時間：2022-11-01 03:53:46
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇圓柱和圓錐的關系，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
一、教學前測
第1題（本題為教材中的例題）：工地上有一些沙子，堆起來近似于一個圓錐，這堆沙子大約多少立方米？（得數保留兩位小數）
第2題：你會求圓錐的體積嗎？你是怎么知道的？
結果統計如下表。
■
根據前測信息，學生的學習起點簡析如下。
經驗起點：理解圓錐體積與底面積和高有關。在“不能正確列式計算”的學生中，兩班分別有一定比例的學生雖然不會正確列式計算，但能猜測圓錐體積是“底面積×高”，或認為是“底面積×高÷2”。
知識起點：圓錐體積計算方法的學習已不是本課最重要的目標。兩個班分別有78.3%和66.0%的學生已經會正確列式計算圓錐的體積，學習的途徑也很多，其中“預習學會”的幾乎占50%，說明學生已有較好的學習習慣。
認知起點：圓錐體積計算方法的探究過程需加強，需不斷豐富活動經驗。由于本課是在學習了圓柱的體積后進行的，部分學生受直觀定式的影響，對圓錐體積計算方法的猜測出現偏差。
二、教學對策
1.學生的學習起點是什么？
很顯然，如果僅以“使學生掌握圓錐體積的計算方法”作為本課的教學目標是不夠的。在學習圓錐體積計算方法的同時，需要創設有效環節幫助學生發展空間觀念。
2.怎樣幫助學生獲得豐富的操作經驗并理解知識？
需要組織行之有效的操作活動，讓每一位學生參與其中，經歷操作過程，積累操作經驗，從而獲得感悟。操作器材的選擇與提供尤為重要。
三、教學實踐
1.復習準備，直接揭題
2.切割猜想，初步溝通圓柱與圓錐的聯系
（1）如果要用木料加工（切削）成一個這樣的圓錐（課件出示），它的底面直徑是10厘米，高是15厘米。選擇怎樣形狀的木料加工最方便？
（2）為什么選擇圓柱形木料？你是怎么想的？
（3）這里有4個不同型號的圓柱形木料，選擇底面直徑和高分別是多少的圓柱形木料加工最方便？為什么？先獨立思考，再同桌交流。
■
（4）選擇第3個圓柱加工。猜測：這個圓錐的體積和圓柱有怎樣的關系？并說說你的想法。（課件出示：■）在這兩個容器中倒滿水，再猜測它們的體積有什么關系。
3.探究圓錐體積的計算方法
操作材料說明：同桌兩人合做。全班共提供24套學具。其中22套中有3組不同型號等底等高的圓柱、圓錐，還有1套等底不等高的圓柱、圓錐和1套等高不等底的圓柱、圓錐。
（1）引入：這個圓柱和圓錐，它們的體積有什么關系呢？你打算怎么做試驗？要注意什么？
（2）同桌合作，先思考準備怎么做，再動手試一試。
（3）反饋：你們小組是怎樣做試驗的？把你的過程和結果介紹給大家。
生1：把圓錐裝滿水后倒入圓柱中，一次又一次重復，重復倒了3次，正好把圓柱裝滿。以此說明圓錐體積是圓柱體積的■。
生2：在圓柱里灌滿水，然后倒進圓錐，圓錐里的水滿后，倒回桶里。再把圓柱中的水倒進圓錐，滿后再倒進桶里，再把圓柱里剩下的水倒進圓錐中，正好又倒滿。
師（追問）：倒了幾次？你得到什么結論？
生2：正好倒3次。說明圓柱體積是圓錐體積的3倍。
生3：先將圓柱灌滿水，圓錐不灌水，把圓錐輕輕地放入圓柱中，此時圓柱中的水會溢出來。再把圓錐輕輕地拿出來，這時圓柱中的水面會下降。用尺量出圓柱中空出部分的高，看看與圓柱的高有什么關系。
師（追問）：溢出的水就是什么？空出部分的高與圓柱的高有什么關系？
生3：溢出的水就是圓錐的體積。空出部分的高是圓柱高的■。說明圓錐的體積就是圓柱的■。
生4：先把圓錐裝滿水，倒進圓柱里。然后用尺量出圓柱中水的高度，最后用量出的數據除以圓柱的高度。
師（追問）：你們倒了幾次？結果如何？
生4：只倒了1次。結果水面的高度正好是圓柱高度的■。
師（再次追問）：說明什么？
生4：圓錐的體積是圓柱體積的■。
生5：把圓錐裝滿水后，倒進圓柱中，用筆做個記號。然后再把圓錐裝滿水后倒進圓柱，再做個記號。我用尺量了一下，這兩個記號正好把圓柱的高平均分成三份。說明圓錐體積是圓柱的■。
生6：我們前面猜測圓錐的體積是圓柱的■。所以根據圓柱上標出來的線，倒■的水。
師（追問）：你是怎么知道是■的水？
生6（舉起試驗圓柱）：這上面有紅色刻度的，正好是在高的■處。
師（評價）：哦！你們小組做試驗的圓柱上有已經做好標記的紅線。你們能根據自己的猜測進行試驗，驗證了猜測是正確的。這種猜想、驗證的做法正是我們做學問的態度和方法。如果你一直用這種方法和態度進行學習，相信你會越來越出色的！
生7：我們組開始用圓錐灌滿水倒進圓柱里，感覺誤差大。就換了一種，把圓柱灌滿水，往圓錐里倒，剛剛好倒了3杯。說明圓柱體積是圓錐的3倍，也就是圓錐體積是圓柱體積的■。
師（評價）：真了不起！你們小組不但完成了試驗任務，得出了結論，而且發現了做試驗減少誤差的方法！
師（追問）：還有不同的發現嗎？
生8：我們的試驗結果和他們的不一樣。我們也是做倒水試驗，可是用圓錐裝滿水倒入圓柱，倒了4次多才倒滿。
生9（另有一組的學生）：我們才倒了2次半就倒滿了。（其他學生都靜下來）
師：請你們兩組把你們做試驗的圓柱、圓錐拿上來，當著大家的面再做一次。（這兩組學生當著全班學生的面又做了一次，結果仍然和原來相同。）
師：這是怎么回事呢？
生10（興奮地）：我知道啦！（走到講臺前，邊指邊說）他們這兩組的圓柱、圓錐和我們做試驗的不一樣。
師（追問）：什么不一樣？
生10：這個圓錐比圓柱矮，所以要倒4次多才能倒滿。這個圓錐的底比圓柱大，所以倒了2次半就倒滿了。（其余學生若有所思）
師：那你們做試驗的圓柱、圓錐之間有什么關系呢？請你們仔細觀察。（學生紛紛觀察自己小組做試驗的器材）
生10：我們做試驗的圓柱、圓錐的底是相等的，高也是相等的。
師：你們的發現和他的一樣嗎？
生：一樣！
師：底相等，高也相等，我們叫做等底等高。其他同學還有什么想說的呢？
生11：必須是等底等高的圓柱和圓錐，做試驗時，才正好倒3次。
師（小結）：只有等底等高的圓柱和圓錐，圓錐體積是圓柱體積的三分之一，圓柱體積是圓錐體積的3倍。
（4）課件演示試驗過程，并根據過程推導圓錐體積計算方法。V圓錐=■V圓柱=■Sh。
（5）計算如右圖所示圓錐的體積。
反饋時追問：3.14×（10÷2）2×15表示什么意思？
引導：看著這個圓錐，先想像和它等底等高的圓柱的形狀，再用手比劃。（課件出示：■）
思考：削去了多少體積？你是怎么想的？根據這幅圖，你還想到什么？
4.練習鞏固
（1）課件出示：工地上有一些沙子，堆起來近似于一個圓錐，這堆沙子大約多少立方米？要計算這個沙堆的體積，需要知道哪些信息？結合生活實際想一想：底面半徑、直徑和周長，哪一個信息便于測量？為什么？（出示：底面周長是12.56米，高1.2米。反饋時追問：12.56÷3.14÷2和3.14×（12.56÷3.14÷2）2×1.2分別表示什么意思？）
（2）想一想，做一做。
出示：■已知圓錐的體積是56.52立方厘米，底面積是28.26平方厘米。它的高是多少厘米？
追問：56.52×3或56.52÷■表示什么意思？
課件演示一： ■
課件演示二：圓柱右移■
思考：圓柱與圓錐的體積有什么關系？如果要使它們的體積相等，并且保持原來的形狀，你有什么辦法？可以畫圖說明。
（3）觀察、猜想。
課件依次出示：■；■；……
思考：根據這節課的學習，你有什么猜想？
5.總結提升
四、反思
在教學過程中，學生的表現極其出色：操作到位、感悟深刻、回答精彩。這都得益于整堂課的設計都立足于學生已有的學習起點，真正做到尊重學生的需求。
1.立足學生的經驗起點
六年級的學生，他們已積累了一定的生活與活動經驗。因此在教學時要重視喚醒學生已有的經驗。
首先，喚醒學生的生活經驗。學生的生活經驗遷移到學習活動中，往往是一種直覺。這種直覺，可能是正確的，也可能是錯誤的，但不管如何，這些都是學生進一步學習的“土壤”，等待著知識“種子”的播撒。如在上課伊始，讓學生思考“如果要用木料加工（切削）成一個這樣的圓錐，它的底面直徑是10厘米，高是15厘米。選擇怎樣形狀的木料加工最方便？”學生根據生活經驗，馬上想到要用圓柱形的木料加工，因為它們的底都是圓的。這種根據兩個形體間基本特征的聯想，是多么可貴啊！接著讓學生從提供的4個不同型號的圓柱木料中做出選擇，學生能在潛意識中關注它們的底面直徑與高的數值作出判斷，這是生活經驗的又一次提升，明確了“圓錐從哪里來”的問題。
其次，關注基本活動經驗的積累。活動經驗具有不可替代性。而在日常教學中，我們往往容易犯“經驗替代”的過錯，造成了學生只知道圓錐體積的計算方法，而不會主動溝通圓柱與圓錐的聯系。為了避免這種現象，在上述課例中，我設計了讓學生同桌合作的環節。通過合作，學生反饋的信息異常豐富，概括起來有三個層次：（1）兩種常規的倒水法；（2）“排水法”和“量高法”；（3）操作方法的優化提升。學生通過操作發現，用圓柱容器往圓錐容器中倒水，比用圓錐容器往圓柱容器中倒水誤差小。這是多么可貴的發現啊！試想，如果沒有實物操作，只讓學生看課件和看教師操作，他們能有這樣的體會和這些發現嗎？正因學生有如此豐富的經驗積累，才使圓錐體積的計算方法水到渠成！
2.立足學生的知識起點
“圓錐的體積”是學生在小學階段學習的最后一個形體，在此之前，學生已積累了較為豐富的知識經驗。尤其是經過長方體、正方體、圓柱體積的學習之后，學生對“柱體”的體積計算有了一定的認識，“底面積×高”的思想已逐漸樹立。但在會求圓錐體積的學生中有相當一部分只是記住了計算方法，而對為什么這樣算不清楚，也就是說學生公式推導過程的經驗幾乎為零。此外，由于圓柱與圓錐在形體上有一定的聯系（底面都是圓的），學生會很自覺地對這兩個形體進行溝通，尋求它們之間的聯系。因此在教學中，如何讓學生進一步深化這兩個形體之間的聯系顯得尤為重要，這也成為本課的一個重要的教學任務。如在學生嘗試列式計算圓錐的體積后追問：“3.14×（10÷2）2×15表示什么意思？”他們會不自覺地想到與圓錐等底等高的圓柱的體積，并用手勢比劃出圓柱的形狀，從而初步感悟等底等高的圓柱與圓錐之間的體積關系。接著讓學生觀察■，從不同的角度分析圓柱、圓錐、削去部分的體積之間的關系，進一步深化了等底等高的圓柱與圓錐之間的體積關系。這些新知的獲得，都是立足于學生原有的知識基礎，是學生自主地生發出來的。
3. 立足學生的認知起點
學生的認知隨著年齡的增長而不斷豐富，他們的認知起點包括心理起點與思維起點。
（1）找準學生的心理起點。在課堂上創設與生活緊密聯系的情境，提出具有啟發性的問題，激發學生的學習興趣與積極性顯得尤為重要。本課之所以精彩，與學生的全程積極參與密不可分，而這又得益于教師對學生的有效引導。首先，引發他們思考做圓錐選材的問題。其次，提供了充分的時間讓他們操作，讓他們“動”起來，在“好玩、有趣”中伴著操作、思考，使他們積累了豐富的活動經驗。再次，應用與實際結合起來。在計算沙堆體積時讓學生思考需要知道哪些信息，然而隨著進一步的思考發現現實生活中測量直徑與半徑是不現實的，從而得出根據底面周長與高計算沙堆體積的方法。這既是對新學知識的變式應用，又與生活密不可分。學生置身于這一個又一個環環相扣的問題情境，學習的好奇心與求知欲不斷得到滿足，參與積極性始終保持一定的強度。
[關鍵詞]直觀 操作 實驗 觀察 思維 發散 促進 激發
[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2016）05-022
數學學習是從感性認識開始的，所以在數學課堂中，教師應加強直觀演示的教學，引導學生對學習素材進行多層面、多角度、多維度的觀察、比較、選擇與歸納。下面，以“圓柱與圓錐”單元教學為例，談談如何通過直觀教學，培養學生的數學思維。
一、操作，激發學生的思維
“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行。”課堂教學中，教師可通過動手操作，激活學生的思維，引導他們深入探究，真正理解所學知識。
師：圓柱的體積計算公式是什么？
生1：圓柱的體積=底面積×高。
師：我們是怎樣推導圓柱的體積計算公式的？
生2：我們把圓柱轉化成等底等高的長方體，通過長方體的體積計算公式推導出圓柱的體積計算公式。
師：今天，我們探究圓錐的體積計算方法。猜一猜，圓錐的體積可以怎樣求？它與哪些條件有關？
生3：只要把圓柱上面的一個圓縮成點就變成了圓錐，說明圓錐的體積和圓柱是有聯系的。
生4：可以把圓錐轉化成已經學過的立體圖形——圓柱，由于圓柱體積=底面積×高，那么圓錐的體積計算可能與它的底面積和高有關系。
……
我國數學家徐利治曾說過：“直觀就是借助于經驗觀察、測試或類比聯想，所產生的對事物關系直接的感知與認識。”教學“圓柱的體積”時，把圓柱的體積轉化成已學過的長方體體積，這樣能有效喚醒學生的學習潛能，使學生去觀察、反思、梳理，為后續推導圓錐的體積計算埋下伏筆。由圓柱體積的推導過程，學生能想到圓錐的體積是不是能轉化成已學過的立體圖形進行計算，這樣就會產生一種學習新知識的需求。學生由于生活經驗和認知水平的局限，更易于接受直觀的事物。因此，直觀演示更利于學生進行觀察、比較、分析和想象，并在此基礎上展開更加豐富多彩的直觀推理，進而洞察相關聯物體之間的聯系與區別，獲得必要的結論。
二、實驗，促進學生的思維
學生的感悟因經歷而豐富，視野因思維更拓展。因此，課堂教學中，教師應以實驗為媒介，促進學生的數學學習與數學活動有機融合。
師（出示許多大小不等的圓柱和圓錐形容器）：你打算將圓柱與圓錐如何轉化？如果讓你在這么多的圓柱與圓錐中選擇兩個來探究，你打算選擇什么樣的圓柱和圓錐？說說你選擇的理由。
生1：剛才把圓柱的一個底面縮成點就變成了圓錐，其中圓錐與圓柱的底面積相等，高也相等，所以應選擇底面積相等、高相等的圓柱和圓錐進行探究。
師：為了便于我們研究圓錐體積，每個組都準備了一個圓柱和一個圓錐，比一比，它們有什么相同的地方？（生操作演示，如下圖）
師：你發現了什么？底面積相等，高也相等，用數學語言來說就叫等底等高。既然圓錐與圓柱等底等高，能不能直接用圓柱的體積計算公式求出圓錐的體積呢？
生2：不行，把圓錐放入圓柱形容器中，發現圓錐比圓柱的體積小。
師：這位同學真了不起。請你再猜一猜，圓錐與它等底等高的圓柱體積有什么樣的關系呢？
生3：圓錐體積可能是它等底等高圓柱體積的1/2。
師：還有其他的猜想嗎？
生4：圓錐體積可能是它等底等高圓柱體積的1/3。
師：有什么好辦法驗證自己的猜想是正確的呢？先在小組里交流，再做實驗驗證你的猜想。（生動手操作）
師：誰來匯報一下？
生5：我選擇等底等高的圓錐和圓柱，發現把圓錐裝滿水倒入圓柱里，倒滿了三次，說明圓錐體積是它等底等高圓柱體積的1/3。
師：其他組實驗的情況也和他們一樣嗎？
生：一樣。
師（出示兩組大小不同的圓柱和圓錐，如下圖）：這兩組圓柱和圓錐，圓錐的體積還是圓柱體積的1/3嗎？為什么？
生6：這里的圓錐體積不是圓柱體積的1/3，因為它們不是等底等高。
師：這說明了什么？
生7：不是任何一個圓錐的體積都是圓柱體積的1/3。
師：什么樣的圓錐與圓柱體積才有1/3的關系呢？
生8：等底等高的圓錐和圓柱。
……
數學抽象地反映了客觀世界。在數學學習過程中，學生由于受知識經驗和思維水平的限制，經常會遇到一些很難用語言解釋清楚的數學問題，這時候直觀圖形或者直觀模型就能夠給學生提供形象的思考和表達的機會，幫助學生把頭腦里的數學事實外顯化。學生通過操作、實驗去驗證自己的想法是否正確，不知不覺中，學生的認識變得更豐富了，理解變得更深刻了，思維變得更靈活了，體驗變得更強烈了。這樣教學，順應了學生的思維發展，使他們真正掌握了解決問題的策略。
三、觀察，發散學生的思維
系統的發散訓練，能適當降低思維的難度，給學生的自主學習搭建一個“腳手架”，有利于學生內化數學思想方法，提升思維能力。
例1 如右圖，正方形OABC的面積是10平方厘米，O是圓心，求圓的面積。
由圖可知，正方形的面積就是r 2，圓的面積就是πr 2=3.14×10=31.4（平方厘米）。
例2 如右圖，正方形ABCD的面積是40平方厘米，求圓的面積。
由于有了例1的鋪墊，學生能把例2轉化為例1——畫兩條與正方形鄰邊互相垂直的直徑（如右圖），這樣就把大正方形平均分成了四個小正方形，可以先求出每個小正方形的面積，也就是求出r 2的值，再用r 2的值求出圓的面積，所以圓的面積πr 2=3.14×（40÷4）=31.4（平方厘米）。
例3 如右圖，求大正方形、圓、小正方形的面積比。
由圖可知，先求出大正方形與小正方形的面積比是多少，再求大正方形、圓、小正方形的面積比。有了上面的坡度練習和推理，學生很快能得出結論：大正方形、圓、小正方形的面積比為4∶π∶2。
師：請小組長拿出老師課前發給你們的空心圓柱和圓錐，比一比，看看你們能發現什么？
生：它們的底和高都相等。
師：同學們準備了沙子或米，請同學們自己動手試一試，你能不能利用這些工具來得出圓錐的體積與圓柱的體積之間的關系？
（小組活動）
師：同學們研究得特別認真，你們有什么發現嗎？圓柱的體積和圓錐的體積有什么關系？
生1：我發現圓柱的體積是圓錐體積的3倍。
師：你是怎么發現的？
生1：我們把圓錐里面裝滿沙子倒在圓柱里面，倒三次才能倒滿，說明，圓柱的體積是圓錐體積的3倍。
師：這是什么樣的圓柱和圓錐？
生1：空的。
生2：等底等高的。
師（興高采烈的）：說得好，這是等底等高的圓柱和圓錐，雖再說說他們體積的關系？
生3：圓柱和圓錐等底等高，圓柱的體積是圓錐的3倍。
生4：等底等高的圓柱的體積是圓錐的3倍。
師：別的小組也是這樣嗎？
生（異口同聲地）：是。
……
評析：
改變學習方式是本次課程改革的核心，探究性學習作為新課程所倡導的學習方式，非常有利于挖掘學生的潛能，培養學生的創新意識和實踐能力。然而，上面的探究，卻大打了折扣，存在著幾個明顯問題。
1.目標不明。
探究性學習一般包括提出問題、確定策略、展開探究、交流結果幾個過程。而在上面的片斷中，問題的提出和確定策略兩個環節全部省略。學生沒有經過思索，只是稀里糊涂地按照老師的要求去操作，至于為什么這樣做，學生根本不清楚。目標不明，導致了學生興趣不濃，思維也根本沒有被激活，整個探究的過程中學生只充當了被動的操作工。如果教學時先提出問題：探索圓錐的體積。在老師的啟發引導下，學生們一定能夠從形狀的相似上發現圓錐和圓柱的關系最密切，可以借助圓柱來推導圓錐的體積公式。然后，讓小組設計、交流研究方案，小組選擇比較簡便的操作方法展開探究。這樣，學生的探究欲望會是多么強烈，探究的方法該是多么豐富多彩。
2. 空間太小。
探索的路總是充滿艱辛的，正因為如此，探究的過程才更有魅力。可是，本節課的探究卻是格外的一帆風順，原因在于空間太小。等底等高的空心圓柱和圓錐，學生只需要裝裝沙子，就可以一下子發現教師需要的結果，沒有一點波折，在學生的心里也就激不起什么波瀾，狹窄的探究空間，還使得結論中的關鍵因素“等底等高”沒能引起學生的主意，是在老師的追問、強調中學生才意識到的。其實探究中，老師可以選擇一些非等底等高圓錐和的圓柱，這樣，有的小組一定能得到3倍的結論，而有的小組一定是得不出3倍結論的：或許是圓錐和的圓柱的體積一樣多，或許是4倍、5倍關系。在這種情況下，讓學生觀察實驗所使用的工具，在分析比較、互動交流中學生恍然大悟：只有當圓錐和圓柱等底等高時，他們的體積關系才會出現三分之一（或者3倍）的關系。這樣的設計，學生的思維才能在廣闊的空間內自由馳騁，碰撞出智慧的火花，不僅發現規律，還能積累探究的經驗，體驗創造的樂趣，促進三維目標的有效達成。
3.沒有適時的評價。
當學生得出自己的結論時，教師沒有理性而適時的評價，對于學生結論的正確與否，更沒有再一次引導探究，只是對得出正確結論的學生給予了簡單的評價，沒有體現出評價的作用和價值。錯誤結論的學生沒能得到教師的評價，對自己的結論錯誤的原因沒有理清，更是在這個錯誤之后，沒有教師再一次引導，缺失了對正確結論的認識過程，這和我們以前的灌輸式教學，有何不同？更不用提學生的積極性自始至終沒有得到關注，教師只是一直詢問著自己想要的答案，按照預先的教案延續自己的教學。這樣，當學生起初的積極性慢慢淡化后，沒有適時的評價延續學生持續的興奮點，教學只能是回到老路上。
關鍵詞 深度學習 教師引導 學生參與
中圖分類號：G623 文獻標識碼：A
深度學習是相對于淺層學習所提出的一個概念，是一種基于理解的學習，它強調學習者要批叛地學習新知識，把它們納入原有的認知結構，從而幫助決策，解決問題。深度學習鼓勵學生積極地探索、反思和創造。與淺層學習相比，它凸顯了學生由被動學習向主動學習的轉化，關注了學生發現問題，提出問題，分析問題，解決問題的能力。下面，結合《圓錐的體積》一課的教學，談談教師如何引導學生進行深度學習。
1激發學生主動探究的欲望
贊可夫說過：“單純地聽教師講解，不能調動學生學習的精神力量。”教師的主導作用就在于激發他們的學習熱情，促使其積極主動地探索知識。所以，上課伊始，教師可以利用新舊知識的連接點激發學生對圓錐體積探索的興趣：（1）讓學生說說長方體、正方體、圓柱體積的計算方法。因這三個物體的體積都可以用底面積乘高來進行計算，這個問題為下面學生的猜想作了鋪墊。（2）讓學生猜想：怎樣計算圓錐的體積？學生很自然地想到用“底面積乘高”的方法來計算。但有的同學提出了質疑：底面積乘高是計算圓柱體積的，很明顯，圓錐體積不能用同樣的方法來計算。（3）在學生的討論中，新的問題油然而生：那么怎樣計算圓錐的體積？圓錐的體積與圓柱的體積有什么關系呢？這幾個問題激發了學生探究的興趣，學生有了問題才會有探索，只有主動探索，才會有創造。
2引導學生真正參與探究過程
利用學生已有認知經驗，組織學生研究是學生自主學習的良好方式，但在課堂上往往受時空的限制，有時很難有效地完成，要么蜻蜓點水，要么變成個別同學的研究。對于圓錐體積的計算方法，在課堂教學中，很多老師常常是拿來一個圓柱容器、一個與圓柱容器等底、等高的圓錐形容器，老師演示：往圓錐容器中裝水或者谷粒，裝滿后倒入圓柱容器中，讓學生仔細觀察幾次能裝滿。老師裝完，學生也數完，需三次才能裝滿，于是師生共同得出結論：圓錐的體積等于和它等底等高的圓柱體積的三分之一。從課堂教學來看，只是老師在做，學生在看，學生只是一個旁觀者，沒有參與到研究的過程中去，這種學習是機械地、被動地，是一種淺層的學習。
蘇霍姆林斯基說過：“在的人內心深處，都有一種根深蒂固的需要，這就是希望自己是一個發現者，研究者、探索者，而在兒童的精神世界中這種需要特別強烈。”只有讓每個孩子都動起來，在動手做的過程中，引發思考、啟迪思維，學生才會進行深度學習。
我們可以設計這樣的探究活動：
2.1課前制作容器
課前讓學生用硬紙板制作一個圓柱容器，再做與這個圓柱等底等高、等高不等底、等底不等高，不等底不等高的圓錐容器各一個。別小看這簡單的制作活動，在制作容器的過程中，學生需要測量、計算、剪、粘，在動手、動腦的過程中，對圓錐、圓柱的底面積和高又加深了認識，對“等底等高”這個概念有了深入的認識，為新課的學習打下了基礎。
2.2課堂演示操作
課堂上以小組為單位，讓每個學生都親自動手操作：用各種圓錐容器為測量工具，往圓柱容器中裝谷粒，記錄下裝滿的次數，并填好表格。
將與圓柱與關的四種圓錐羅列出來，讓學生分別都動手做一做，旨在讓學生明確“與圓柱等底等高”這一前提的唯一性。
2.3組織學生交流
操作完成后組織學生交流各組操作后的發現，學生從自己小組里的信息可發現，只有與圓柱等底等高的圓錐需3次才能將圓柱容器裝滿，而其它的次數各不相同，這是不是偶然現象呢？教師再匯總全班各小組的數據讓學生觀察并思考：觀察表中數據，會發現什么？學生會發現：所有組與圓柱等底等高的圓錐都需要3次才能將圓柱裝滿，而其它圓錐裝的次數各不相同。
這樣在課堂上組織學生交流分享，碰撞研究火花，學生在獨立研究的基礎上，與同伴在共贏共進中進行深度學習。
2.4啟發思考，得出結論
引導、啟發學生思考：你發現了什么？圓錐體積和什么樣的圓柱體積有關系呢？有什么關系呢？怎樣計算圓錐的體積呢？學生從交流中自己會發現：圓錐體積只和與它等底等高的圓柱體積有關系，而且總是這樣圓柱體積的三分之一，于是利用圓柱的體積公式推導出：圓錐的體積=底面積贅住？
學習情境的真實展現，學生學習過程的真實展開，是學生自我建構知識結構的必備條件，只有真正經歷用已有數學活動經驗，不斷解決新問題的過程，學生的深度學習才有生命力。
3變式練習培養思維的深刻性
情景再現一：尊重學生的心理需求，自然引入
師：同學們，今天這節課我們開始認識圓錐。你們覺得，我們首先會研究圓錐的什么呢？
生1：體積。
生2：表面積。因為我們以前在學習長方體、正方體和圓柱的時候，都是先研究它們的特征，然后借助特征來研究它們的表面積，最后才研究體積。所以我覺得在研究圓錐時也應該遵循這樣的順序。
（此時教室里已經鴉雀無聲，似乎對此同學的觀點都表示認同，更有甚者連連點頭表示贊許。只有極個別學生仍然堅持“體積”這一觀點，理由很簡單，因為書上如此。在這些學生的提示下，大伙都忍不住翻開課本瞧個究竟，看得出一個個不服氣的面孔上也帶著些許疑問。）
師：同學們，你們發現什么了？有疑問嗎？
（一個個迫不及待地伸長著手臂）
生1：老師，今天的確是要研究圓錐的體積。
生2：我仔細看了看，書上竟然沒有介紹圓錐的表面積！
……
生3：老師，為什么書上沒有安排學習圓錐的表面積呢？
師：是呀，我也正在納悶呢！怎么偏偏只有圓錐這個立體圖形沒有介紹表面積呢？誰來幫忙解釋一下。
學生一片茫然，老師靜靜地等待。突然一只手非常急促地、興奮地舉過頭頂。
生1：老師，研究圓柱表面積的時候，我們從研究它的側面展開圖開始。我想圓錐也應該如此，上次我做圓錐的時候發現它的側面展開圖是一個不規則圖形。
生2：它的展開圖像扇子一樣。
生3：我知道，那是扇形。
（老師欣然點頭）
生1（繼續侃侃而談）：圓柱的側面展開圖可以是長方形、正方形，也可以是平行四邊形。這些平面圖形的面積我們早就學過了，可是扇形的面積計算方法我們卻不知道，所以我想要研究圓錐的表面積就必須先研究出扇形的面積計算方法。
（語速稍快的生1很自豪地坐下了，看得出正期待著老師與同學的表揚呢！幾秒的停頓，深入的思考，迎來的是那來自全班學生雷鳴般的掌聲。）
思考：以往的教學經驗告訴我，很多老師在執教這一內容時，都會直接切入正題，把大量的時間留在推導圓錐的體積公式和利用體積公式解決實際問題上。然而學生也隨著老師的“引領”云里霧里地學習著，并不能真正了解教材、體會編者的意圖。
因此，本節課從學生已有的知識基礎出發，喚醒學生對圓柱這一知識體系的學習經驗，從而遷移到本節課的學習中，不僅知其然，更要知其所以然――為什么繼續研究的是體積而不是表面積？而且為后一環節圓錐體積公式的推導也進一步埋下伏筆。
情景再現二：尊重學生的知識經驗，逐步引導
師：既然今天要研究圓錐的體積，你準備怎樣研究？（出示：圓錐）
生1：我想圓錐的體積肯定與圓柱有關系。以前研究三角形的面積時，就發現三角形的面積與平行四邊形的面積有聯系，新舊知識之間總是有聯系的。
生2：我們只要拿一個圓柱和一個圓錐，就可以發現它們之間的關系了。
生3：老師，我覺得他說得不夠嚴謹，像我的這個圓柱（很小），如果跟老師的圓錐進行比較，我覺得……
（雖然很難繼續表達下去，但學生們似乎都明白了。）
生4：那我們就找一個與圓錐等底等高的圓柱。（教師微笑著拿出一個圓柱）
師：它符合要求嗎？為什么？
（舉手的同學越來越多，可能想到了講臺上預先準備的水的作用了。）
多名學生齊說：往里面裝滿水，再倒入另一個里面。
生5：我估計圓錐的體積可能是那個圓柱體積的幾分之幾。
生6：我估計圓柱的體積可能是那個圓錐體積的幾倍。
師：同學們太了不起了，越來越會思考了。誰愿意到前面來演示一下？
（兩名學生進行驗證）
思考：學生的已有知識經驗是學習新知的基礎。平時教學時，筆者經常從學生已有的知識經驗出發，拉近學生與數學之間的距離，調動學生學數學學習的興趣。因此，本節課的教學中，學生自然在新知與舊知之間架起了橋梁，為新知的研究指明了方向。
此環節通過觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流等數學活動，積極主動地發現了等底等高的圓柱與圓錐體積間的關系，進而推導出圓錐體積的計算公式，充分積累了數學活動經驗。這不僅能讓學生在猜測、驗證中體會到數學的趣味性，也能讓學生品嘗到成功的喜悅。
情景再現三：尊重學生的學習規律，強化感悟
孩子們通過自己的聯想、觀察、猜測、操作、驗證研究出了圓錐的體積公式，帶著自己的研究成果順利地完成了書上的試一試。
試一試
一個圓錐形零件，底面積是170平方厘米，高是12厘米。這個零件的體積是多少立方厘米？
師：做完這道題目，你有什么想說的嗎？
生：太簡單了。
師：是啊，對于我們班同學來說確實簡單了點。如果你是教材的主編，你會出些什么題目呢？
生1：我不會直接告訴你圓錐的底面積，可能會告訴你圓錐的底面直徑和圓錐的高；或者提供圓錐的底面半徑和高，要求計算圓錐的體積。
師：很好！確實增加了一點難度，能解決的同學請舉手。
生2：已知圓錐的底面周長和高，要求圓錐的體積。
生3：老師，我這還有一個更難的。已知一個圓柱的側面積和底面直徑，要求與它等底等高的圓錐的體積。
判斷下面的圓錐與哪個圓柱的體積相等。（單位：cm）
生1：一個圓柱和一個圓錐，底面積相等，體積也相等……
沒等這位同學說完，生2急不可待地說：那么圓錐的高肯定是圓柱高的3倍。
沉思之后，有學生突然說出：書上第5題就有這樣的圖。所有學生的目光立即轉移到了課本上，尋找著那樣的兩個圖形。原本第二課時需要著重處理的圓柱和圓錐之間的關系竟然提前高效地完工了。
思考：學生獲得知識與形成能力的方法有所不同，知識靠接受和理解獲得，能力則要通過能動的實踐和體悟形成，但獲得知識、形成能力都需要學生“感悟”。因此，教師在教學中必須尊重學生學習的規律，讓學生主動地經歷“悟”的過程，進而促進數學能力的提高。基于此，本課的練習幾乎是在學生的對話中生成，并逐步感悟的。“授人以魚，不如授人以漁。”
二、教學目標
1、知識與技能：使學生在具體的情境中認識圓錐，知道圓錐各部分的名稱，掌握圓錐的特征，了解圓錐高的測量方法。
2、過程與方法：通過讓學生動手摸一摸，量一量，
培養學生的動手操作能力，思維能力。
3、情感態度與價值觀：用生活中的圓錐讓學生體會所學知識的生活價值，培養學生熱愛數學學習的情感、態度。
五、教學重點及難點
教學重點：圓柱圓錐的特征。
教學難點：圓錐的高的測量方法。
六、教學過程
教師活動
預設學生活動
設計意圖
今天我給大家帶來一則謎語，看：誰來讀?
猜謎語：
身體長得細又長，天生美麗黑心腸，
上平下尖紙上爬，越爬越短越傷心。
（打一學習用品）
師：你讀得真準確！誰來猜？恭喜你！猜對了。（出示答案）
2、復習舊知，引入新課。
課件出示一支圓柱形鉛筆。
教師問：同學們這支鉛筆是什么形狀的？你能說說它具有什么特征嗎？
師：圓柱的特征同學們掌握得非常好，今天我們學習一種新的幾何形體，請同學們仔細觀察屏幕。
課件演示：用轉筆刀削鉛筆，把削成的筆尖部分（圓錐體）垂直切下來。
師：這還是圓柱體嗎？被切下來的是什么幾何形體呢？
師揭示課題：我們把像這樣的幾何形體叫做圓錐體，簡稱圓錐，我們所學的圓錐都是直圓錐。今天我們就來學習《圓錐的認識》。板書課題
課件出示書中的三個圖片
師：觀察這些物體的形狀有什么共同的特點？
課件演示他們抽象出的平面幾何圖形，總結：像圖中這些物體的形狀都是圓錐體，簡稱圓錐。
同學們想一想，在日常生活和生產勞動中，你都看到過哪些物體的形狀是圓錐體的？你也可以把課下收集的圓錐形物體拿出來給大家看。
同學們很善于觀察，請同學們拿出圓錐體模型，看一看、想一想，你都想知道有關圓錐的哪些知識？
出示自探提示，激勵學生自探。
拿出圓錐體模型，看一看、摸一摸、玩一玩、也可以猜一猜你能發現什么？想一想，回答下面問題：
（1）圓錐有幾部分組成？分別是什么？
（2）什么是圓錐的高？圓錐有幾條高？
（3）圓錐側面展開圖是什么圖形？
（4）怎樣測量圓錐的高？你還能想到什么方法？
指名讀謎語，大家猜謎語。
生：是圓柱體。它的特征是：圓柱有三個面，有上下兩個底面，是完全相同的兩個圓；有一個側面是曲面，兩個底面之間的距離叫做圓柱的高，有無數條高。圓柱側面展開是長方形。指名回答。
同學們可以拿出準備好的轉筆刀，跟著操作。
生：不是。是圓錐體。
預設：頂部是尖尖的，底面是個圓。
生1：冰激凌外殼的形狀是圓錐體的。
生2：漏斗的形狀是圓錐體的。
生3：蓋房子用的鉛錘的形狀是圓錐體的。
生可能提出：
1、我想知道圓錐的特征。
2、我想知道圓錐有幾條高？它的高指的是什么？
3、我想知道圓錐的側面展開是什么形狀的？
4、我想知道圓錐的體積應怎樣計算？
5、我想知道圓錐的表面積該怎樣計算？
學生自主學習。
下面請同學們根據自探提示，自學教材第31～32頁內容，獨立思考，逐一探究解決。
數學源于生活，從生活中找數學，才會是“活”數學，有意義的數學。我在教學中從生活中“找”數學素材，多讓學生到生活中找數學、想數學，真切地感受到生活中處處有數學。謎語導入，學生就不會對數學有枯燥感，可以產生學習的興趣。
回顧之前學習圓柱有哪些特征？這樣可以使我了解到學生的學習現狀，及時鞏固已學過的知識為本節課的學習做好鋪墊。
利用轉筆刀削鉛筆，這一學生所熟悉的活動，把削成的筆尖垂直切下來，觀察被切下來的是什么幾何形體，讓學生感受到數學源于生活，從而激發學生的學習動機和興趣。
讓學生列舉在日常生活和生產勞動中的圓錐形物體，使學生感覺到圓錐與我們的生活關系非常密切，從而激發學生的學習動機和興趣。通過舉例，使學生從整體上認識圓錐體，形成初步的表象，在此基礎上抽象出幾何圖形，由物到形，由生活走向數學，引導學生對照模型想圖形，在頭腦中形成圓柱和圓錐的表象，幫助學生形成空間觀念。
讓學生學會質疑，培養學生的問題意識，目的就是激發學生的探究欲望。。
師：把你觀察到的，感覺到的告訴給你小組的同學，小組同學共同探討剛才大家提出的問題
小組交流、討論。教師深入小組和學生一起進行探討。
師：哪組愿把你們的研究成果展示給大家。
師：通過剛才的學習，我們掌握了圓錐各部分的名稱。請同學們拿起圓錐體模型，小組同學互相說說圓錐各部分的名稱。找同學誰愿意到前面說說圓錐各部分的名稱：圓錐有一個頂點，底面是一個圓，側面是一個曲面。
師：同學們對于圓錐的高有幾種不同的看法，誰的說法是正確呢？請同學們小組進行討論。
師：哪些同學同意某某的說法。老師也同意這位同學的說法。請同學們仔細看屏幕。
師：這條黑色的虛線就是圓錐的高。誰愿意說說圓錐的高指的是什么？
（手指母線,這條是不是圓錐的高?為什么不是？你能舉個例子駁倒他嗎？出示等高但母線不等的兩圓錐，測量母線的長，發現長短不一，得出母線不足以代表圓錐的高。）
師：請同學們打開書32頁看第三自然段最后一句話，誰來讀。
（指名讀、齊讀高的定義）師：哪一組還有發現。
先想一想，然后利用課下大家準備的材料，小組同學共同探究圓錐的高的測量方法。
教師用課件演示側面展開的過程。（強調沿母線剪開）
探究測量圓錐高的方法。
師：通過剛才的學習我們掌握了圓錐的特征及圓錐各部分的名稱，我們知道圓錐的高是從圓錐的頂點到底面圓心的距離，那怎樣來測量圓錐的高呢？
課件出示測量高的方法
（強調：測量時，圓錐的底面要求水平的放；上面的平板要求水平地放在圓錐的頂點上面；我們認為不管用什么方法，都應該注意小尺測量時要從“0”刻度開始）
同桌合作填表，比較圓柱與圓錐特征
名稱
圓柱
圓錐
底面
高
側面
圓錐與圓柱的區別？
生匯報：（預設展示過程）
A、圓錐特征
①我們發現圓錐上面細，下面粗。
②圓錐有一個尖尖的部分，摸起來很扎手。我們把它叫做頂點。
③圓錐有一個彎曲光滑的面，我們可以把它叫做側面。這個面是曲面。
④圓錐有一個圓形的面，我們可以把他叫做底面。
B、圓錐的側面展開。
我們發現圓錐的側面展開是扇形。（舉起給同學們看，一名同學把展開的圖形貼在黑板上）
C、圓錐的高
①我們發現圓錐的高是從圓錐的頂點到底面之間的距離。
②圓錐的高是從圓錐的頂點到底面圓心的距離，我們認為圓錐只有一條高。
③圓錐的高是圓錐的底面到頂點的線段的長。
④我們認為他們說的不準確，圓錐的高是從圓錐的頂點到底面的距離。它應該有無數條高。因為從圓錐的頂點引一條與底面平行的線，這樣就可以作出無數條高。
小組進行討論。
生試說圓錐的高：
圓錐的高是從圓錐的頂點到底面圓心的距離。圓錐只有一條高。因為圓錐只有一個頂點和一個底面圓心。
D、測量圓錐的高
學生匯報：
生1：我們小組是這樣測量的，先把圓錐底面放平，用直尺水平地放在圓錐的頂點上，用三角板豎直地量出圓錐的高
生2：我們小組的方法和他們的差不多，只是用小尺豎立在桌面上，然后用三角板通過頂點與直尺垂直。
生3：我認為這種方法比第一種測量準確。因為三角板這樣放在圓錐的頂點上可以與直尺保持垂直，準確地測量出高
生4：我們是這樣測量的，把圓錐的底面朝下倒立在桌面上，把小尺放在圓錐的底面上，然后用三角板垂直地測量出頂點到底面之間的距離。
生5：用直尺測量圓錐點到底面邊緣的長度。
生6：他說的這種說法是錯的，圓錐的高是頂點到底面圓心的距離。
生7：我們認為不管用什么方法，都應該注意小尺測量時要從“0”刻度開始
同桌配合說特點
放手讓學生自主探究圓柱的特征，通過課件演示，學生看一看、摸一摸、比一比、量一量、議一議等活動，讓學生親身經歷知識的形成過程，進一步整體感知圓錐，加深對圓錐的認識，培養學生的空間觀念，建立對圓錐的表象的認識；
通過舉例認識高，將抽象的數學知識形象化，便于理解；通過小組合作，交流認識、動手操作，培養了學生的合作能力。
讓每個學生自主參與驗證活動，而且使學生在經歷觀察、操作、分析、推理和想象活動過程中解決問題，發展空間觀念和論證推理能力。
在多方交流與討論、積極思考、發表想法。從而使測量高的方法得到一步一步的完善。特別可能出現一種錯誤的測量高的方法，更加強了學生對高的認識，使學生從中享受成功的喜悅。
通過比較圓柱和圓錐的異同，使學生深化認識圓柱和圓錐的特點。讓學生想象，培養學生的空間想象力，加強了圓柱和圓錐的聯系，為后面學習圓柱和圓錐的體積關系作鋪墊。
課堂練習
1、在下面的圖形中找出哪些是圓錐。
2、說出下面各圓錐的高。（單位：厘米）
3、判斷。（打手勢）
（1）圓錐的側面是曲面。
（
）
（2）圓柱側面展開是長方形，圓錐側面展開也是長方形。
（
）
（3）從圓錐的頂點到底面任意一點的線段叫做圓錐的高。
（
）
（4）
圓錐的底面是圓形。
（
）
4、實踐活動
（1）把一張長方形的硬紙貼在木棒上，快速轉動木棒，看看轉出什么形狀。
（2）把一張直角三角形的硬紙貼在木棒上，快速轉動木棒，看看轉出什么形狀。
5、思考題
如果一個直角三角形的兩條直角邊分別長8厘米和6厘米。（1）以長邊為軸旋轉一周所得圓錐的底面直徑是多少厘米，高是多少厘米？
同學答題
分層次測試，多元評價。讓學生在積極思考，大膽嘗試，主動探索中，獲取成功并體驗成功的喜悅。
這一環節讓學生在“玩”中又一次從旋轉角度認識了圓錐。同時我將書中的直角三角形旋轉拓展到等腰三角形旋轉，并進一步追問三角形與旋轉后形成的圓錐之間的關系。學生在經歷動手操作后能夠很輕松的理解并解答教師的問題，真正做到了讓學生在有趣的活動中去發現，去創造。
這節課我們學習了什么？通過這節課的學習你都學會了什么？
八、板書設計
圓錐的認識
頂點
側面
高
一個頂點
展開圖是扇形
一條
九、教學反思
教學下來感到基本比較順，在課中有幾點驚喜：
1、學生們的想象力已經初步形成，這對于學生們認識圖形很有幫助。這一點體現在：（1）學生對圓錐的認識很清楚：在沒有課件演示的情況下，頭腦中能想象出圓錐與圓柱之間的關系。
（2）對高的認識與測量：學生們通過觀察、測量，理解了圓錐側面積上的直線是扇形的半徑，但半徑不是圓錐的高，圓錐的高是看不見的，但是可以測量。
（3）
關鍵詞：知識生成過程；數學概念；思維轉換；舉一反三
中圖分類號：G622 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2013）33-068-01
數學教學中，我常常因為無法打開學生的思路而苦惱。書上的練習學生大部分都會計算，但是你一但將其放在試卷中或者稍作變換時，學生往往一片茫然，不是做錯就是不會。我也曾將這一現象戲稱為“不良反應”，究其實，產生這一現象的原因有：學生對考試的恐懼心理造成的思維停滯和知識盲區；學習過于死板，應變能力不強；所學知識沒有融會貫通，缺乏自信。基于上面的分析，在課堂練習中，我將變式練習作為學生訓練的重點，從基本概念中展開，教會學生舉一反三，逐類旁通。
在圓柱表面積和體積、圓錐體積的計算練習中，我曾進行過如下的嘗試：
一、從圓柱與圓錐的形成入手，強化數學概念理解：
“探索一些圖形的形狀、大小和位置關系，了解一些幾何體和平面圖形的基本特征；體驗簡單圖形的運動過程，能在方格紙上畫出簡單圖形運動后的圖形，了解確定物置的一些基本方法；掌握測量、識圖和畫圖的基本方法。”
在圓柱概念形成的過程中，學生知道以長方形的一邊為軸，旋轉一周，便形成了一個圓柱。教學中，我以此出發點指導學生進行變式訓練。
例、將一個長為3cm ，寬為1cm 的長方形，以一條邊為軸進行旋轉，所得到的圓柱，它的表面和體積各是多少？
在這一題目的計算中，學生要從兩個角度進行考慮：
（1）以 a=3cm 為軸進行旋轉，得到的圓柱為：底面 r=3cm h=1cm.
（2）以b=1cm為軸進行旋轉，得到的圓柱為：底面 r=1cm h=3cm .
通過這兩個層次的解析，使學生明確了數學概念內涵和外延，強化了學生數學思維的深度，拓展了數學思維的廣度。其次通過計算的結果對比，也讓學生明確了圓柱表面積和體積的大小，與地面半徑和高的大小有著密不可分的關系，聯系生活實際，學生為自己的豁然頓悟，感到了興奮和自豪，增強了學習數學的興趣。
思考與訓練：1、將一邊長為 2cm 的正方形，以一條邊為軸進行旋轉，所得圓柱，它的表面積和體積各是多少？
2、將例題中的長方形如果以對角線為軸進行旋轉，所得的圖形是什么圖形，你能算出它的體積嗎？試試看。
有了圓柱概念形成的經驗，我又讓學生以兩個三角板（正三角板和斜三角板）的直角邊為軸，進行旋轉。看看可以形成幾個圓錐，你能算出他們的體積嗎？學生個個興趣盎然，躍躍欲試。通過這一變式訓練，不僅強化了學生對于數學概念的掌握，同時也使得他們對圓柱表面積和體積以及圓錐體積的計算有了更深刻的認識。
二、變化公式條件，增強數學靈活性。
“在數學課程中，應當注重發展學生的數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、推理能力和模型思想。為了適應時展對人才培養的需要，數學課程還要特別注重發展學生的應用意識和創新意識。”
圓錐體積的計算公式是從與圓柱的對比實驗中得到的 V= 1/3Sh 。這一結論有一個重要的條件：圓柱和圓錐等底等高。在一般的計算中，學生是不用考慮這一要素的，只要是圓錐，就按公式計算出體積就可以了。但在圓錐與圓柱的對比練習中，這一要素就顯得尤為重要學生稍有不慎，就會思想模糊容易出錯。其實質是公式理解不到位舍本求末，靈活性太差。為此，在練習中我進行如下的嘗試訓練：
（1）體積底面積相等，圓柱與圓錐的高有何關系？（圓柱是圓錐高的1/3）
（2）體積高相等，圓柱與圓錐的底面積有何關系？（圓柱是圓錐底面積的1/3）
通過訓練和對比分析，學生從最基本的結論“底面積和高相等，圓柱的體積等于圓錐體積的3倍”推演和驗證了，圓柱和圓錐體積及其構成要素之間的密切聯系，以及在各要素之間相互變化時產生出不同的結論。從而感受到了數學的“求變”思想和變化的無窮魅力。
三、截剖變形，轉換思維角度。
為使每個學生都受到良好的數學教育，數學教學不僅要使學生獲得數學的知識技能，而且要把知識技能、數學思考、問題解決、情感態度四個方面目標有機結合，整體實現課程目標。
圓柱與圓錐在教學過程中，更要注意其幾何體的特點及其形成過程，讓學生在這一動態的生成過程中，細心的觀察、發現、感受其特點，從而從本質上掌握定義公式性質等解決問題的基本要素，才有可能在形變的過程中進行靈活的演變，抓住其核心和關鍵的計算要素，靈活正確的處理和解決問題。
圓柱與圓錐的形成都是通過長方形和直角三角形旋轉得到的，那么這個截剖變形就是有章可循的。為了增強學生求異思維，在數學練習中，進行簡單的“破壞”原型幾何體的訓練，就顯得非常重要。
例：一圓柱高為3米，沿地面直徑將它剖開，表面積增加了12平方米，請問這個圓柱的體積是多少平方米？
通過訓練使學生明確了，無論截還是剖，都是通過轉化條件的方式來考察我們解決問題靈活性。這就要求我們在解決數學問題時，首先從數學概念的原始形成入手，注重知識生成過程的分析，全方位多角度掌握概念和公式的應用，舉一反三，逐類旁通，只有這樣，才會在數學解題時思維活躍，得心應手，增強自信。
一、以學生為主――激發主動，發揮主體
“以學生為主”強調研究學生，研究學習方法。我們不僅要研究教師如何教，如何處理教材，更重要是研究學生如何學。那么，怎樣才能激發主動，發揮主體作用呢？
（1）激發學生學習的興趣及調動學生學習的積極性。一堂課成功與否，就在于能否調動學生學習的積極性，使學生由“要我學”到“我要學”。就要學生多動腦、多動手、多看、多聽，充分體現學生為主體。
（2）學生主動參與課堂教學，發展自我。例如：在教學圓錐體積，先組織學生觀察比較出空圓柱、圓錐是等底等高后，再分組進行操作，將空圓錐盛滿紅色的水（或沙子），倒入等底等高的空圓柱內，觀察需幾次才能將它裝滿，進而引導學生推導出求圓錐體的體積公式：V圓錐體 = V圓柱體，V圓柱體 = 3V圓錐體。因此，學生作為學習的主體在學習活動中的主動和能動作用發揮得如何，實踐活動進行如何，將直接影響學習的效果。只有通過自身的操作活動和主動參與實踐，才是最有效的途徑，學生的主動性、主體作用才能得到體現。
二、以自學為主――自主參與，培養能力
自學是為學生在嘗試活動中自己解決問題提供信息。傳統的教學只是在教師講解后讓學生看書。要改變學生被動接受教師講解的模式，就要使自學成為學生主動的要求，自學前要明確提出目標，看什么，怎樣看，解決什么問題，不能讓學生盲目地自學;自學后應該及時檢查、評價。同時，學生在自學過程中也不能忽視教師的主導作用。例如：教學圓錐體積，教師可根據新知識的重、難點編寫一些自學提綱指導學生自學：
（1）我們用來做實驗的圓錐和圓柱有什么關系？
（2）將空圓錐裝滿紅色的水（或沙子）倒入空圓柱，幾次倒滿？
（3）通過實驗你發現了什么？
（4）怎樣求圓錐的體積？
讓學生在操作實踐中自主參與，獨立思考、獨立自學，充分調動學生的積極性，同時發揮教科書的示范作用，促使學生自學能力的培養。
三、以練習為主――促進思維，發展能力
一堂數學課設計應以練習為主線，而嘗試教學法則體現了“以練習為主”的六層次的練習系統：基本練習、準備題、嘗試題、第二次嘗試題、課堂作業題、思考題。那么，嘗試教學中練習設計如何讓學生積極參與，促使學生掌握知識、形成技能、發展思維？
（1）練習設計要有目的性。教師要根據教學的重難點和教學目的來設計練習。設計練習要有代表性，要利于幫助理清知識的聯系與區別。
（2）練習設計要有層次性。練習必須經過模仿、熟練和創造三個階段。練習的設計要有坡度，由層次，難易適度，適合兒童特點，符合學生智力發展和認知規律，由會到熟，由熟到巧的轉化過程。
（3）練習設計要有啟發性。啟發學生借助已有的知識、經驗，主動地獲取新知識和解決問題。如：一個圓柱底面積是314平方厘米，高8厘米，一個圓錐和它體積相等，底面積也相等，這個圓錐的高是多少？學生讀題后小組進行討論：這道題求圓錐的高，要知道什么條件？圓錐的體積、底面積與圓柱有什么關系？怎樣求圓錐的高？教師引導學生用方程與算術兩種解法，啟發學生比較得出：當一個圓柱和一個圓錐體積相等，底面積也相等時，圓錐的高是圓柱高的3倍;圓柱高是圓錐高的。這樣，學生的主體作用得到充分發揮，就能發掘他們的思維潛力，培養他們探索能力和創造能力。
本節內容是在學生了解了圓錐的特征，掌握了圓柱體積的計算方法基礎上進行教學的，教材重視類比、轉化思想的滲透，引導學生經歷“猜測、實驗、探究、推理”的探索過程，理解掌握求圓錐體積的計算公式，會靈活運用公式計算圓錐的體積。這樣不僅幫助學生建立空間觀念，還能培養學生抽象的邏輯思維能力，激發學生的想象力。
數學課程標準中指出：應放手讓學生經歷探索的過程，在觀察、操作、推理、歸納、總結過程中掌握知識、發展空間觀念，從而提高學生自主解決問題的能力。
1、知識與技能：掌握圓錐的體積計算公式，能運用公式求圓錐的體積，并且能運用這一知識解決生活中一些簡單的實際問題。
2、過程與方法：通過“直覺猜想——試驗探索——合作交流——得出結論——實踐運用”探索過程，獲得圓錐體積的推導過程和學習的方法。
3、情感、態度與價值觀：培養學生勇于探索的求知精神，感受到數學來源于生活,能積極參與數學活動,自覺養成與人合作交流與獨立思考的良好習慣。
【教學重點】圓錐體積公式的理解，并能運用公式求圓錐的體積。
【教學難點】圓錐體積公式的推導。
【學情分析】
學生已學習圓柱的體積計算公式和圓錐的特征，在教學中采用放手讓學生思考、操作、小組合作探討等形式，讓學生在研討中自主思考，發現問題并運用學過的圓柱知識遷移到圓錐，通過實驗驗證，得出結論。對于通過實驗操作研究，孩子們有熱切的期盼。
【教法學法】實驗操作探究法 小組合作研討法
【教具學具準備】多媒體課件，等底等高圓柱圓錐各15個，米（若干）。
【教學過程】
1、出示情景畫面：文老師家里有一個圓柱體的糧倉，去年豐收的時候，不僅裝了滿滿一倉，還多出一堆糧食，剛巧是一個與糧倉等底等高的圓錐體。你能幫我算一算，去年我家共收糧食約多少噸嗎？(得數保留兩位小數)
【設計意圖】以最親近的老師在生活中遇到的數學問題的形式進行情景設置，引疑激趣，激發學生積極開動腦筋幫助老師解決問題。孩子們紛紛獻計獻策，在孩子們的討論中得出可以測量出底面圓的周長和高，但是很難求出圓錐體的體積。激情受阻，在這個時候引導學生對新問題的探究：圓柱與圓錐底面積和高都相等，能使學生全身心投入到知識研討中，高效率地獲取新知，水到渠成。
2、揭示課題:圓錐的體積
探究一：等底等高圓柱與圓錐的體積之間有什么關系？
1、猜想與實驗：大膽提出猜想，明確實驗步驟及注意事項后，每組拿出等底等高的圓柱、圓錐（裝有適量的米），驗證猜想。
【設計意圖】通過小組討論，提出猜想與假設，為操作探究活動作好了鋪墊。
2、小組匯報試驗結論（提醒學生匯報出試驗步驟）
3、分析歸納總結試驗結論。
4、你能用字母表示出它們的關系嗎？
【設計意圖】在實驗過程中讓學生親歷自主猜想、實驗驗證、歸納小結的過程，充分調動學生主動探索的意識，激發了學生的求知欲，培養了學生的動手能力，突出了教學的重點，突破了本課的難點。
1、判斷題。
2、口答題。
3、應用題。
【設計意圖】通過判斷題、口答題題型的訓練，及時檢查學生對所學知識的理解程度，鞏固了圓錐體的體積公式。而應用題具有生活實踐性，開放性給學生提供思維發展的空間，讓他們有跳起來摘果子的機會，以達到培養能力、發展個性的目的。
這節課你學到了什么呢？有哪些收獲？
【設計意圖】孩子們會幸福地分享本節課知識、思維方法、操作方法等多方面的體會與感受，極具滿足感的幸福交流。
研究體積相同但等高不等底或等底不等高的圓柱與圓錐之間的關系。
【課后反思】
本節課最具成功的亮點在于：
一、以情孕課。課堂教學始終抓住學生的情感發展變化和心理需要，有效設計學習活動和過程，讓孩子們充分地在活動中大膽想象、實驗探究、合作研討，突出了重點，突破了難點。更讓孩子們體會到了成功的喜悅，分享到學習的樂趣。
注意事項：
1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息
2．請將答案正確填寫在答題卡上
第I卷（選擇題）
請點擊修改第I卷的文字說明
評卷人
得分
一、選擇題
1.每公頃小麥產量一定，種小麥的面積和總產量（
）。
A．不成比例
B．成正比例
C．成反比例
2.圓柱的表面積等于側面積加上（
）
A．底面積
B．底面積×2
C．底面周長
3.在比例尺是1：20000的地圖上，圖上距離是5厘米，則兩地實際距離是（
）千米．
A．0.1
B．1
C．100
4.一個圓柱形的油桶可裝180L汽油，它的（
）是180L．
A．體積
B．容積
C．表面積
D．質量
5.在一幅地圖上，用20厘米的線段表示30千米的實際距離，那么這幅地圖的比例尺是（
）
A．1：1500
B．1：15000
C．1：150000
D．1：1500000
6.打一份稿件，甲用6分鐘，乙用8分鐘，甲乙兩人工作效率的最簡比（
）
A.
6:8
B.8:6
C.3:4
D.
4:3
第II卷（非選擇題）
請點擊修改第II卷的文字說明
評卷人
得分
二、填空題
7.（2分）工作總量一定，工作效率和工作時間成
比例．
8.一幅地圖，圖上9厘米表示實際距離270千米，這幅地圖的比例尺是(
)。
9.在比例尺為1：2000000的這個地圖上，量得北京到鄭州的距離是32厘米；把它畫在比例尺為的地圖上。應畫(
)厘米。
10.
是
比例尺，改寫成數值比例尺形式應該是
．
11.
5：9=20÷
．
12.一支牙膏的出口處直徑為5毫米，每次擠1厘米長的牙膏，可以用40次，這支牙膏的容積是
立方毫米（圓周率取3.14）
13.一個圓錐的底面直徑和高都是6cm，它的體積是
cm3．
14.兩地相距10千米，畫在圖上為10厘米，這幅圖的比例尺是
．
15.在比例尺是1：4000000的地圖上，圖上
cm表示實際距離
km．
16.一個圓柱形水池的內壁和底面都要抹上水泥，水池底面直徑是4米，水池深15分米．抹水泥的面積是
平方米．
評卷人
得分
三、判斷題
17.（3分）如果a：b=2：3，那么a與b的和是5
．（判斷對錯）
18.（1分）（2012華亭縣模擬）圓錐的體積比與它等底等高的圓柱的體積小．
．（判斷對錯）
19.把一個圓柱削成最大的圓錐，削去部分的體積是圓錐的2倍．
．（判斷對錯）
20.圓柱體的底面直徑是3厘米，高是9.42厘米，它的側面展開后是一個正方形．
．（判斷對錯）
21.用兩枚五角的硬幣同時拋擲空中，結果是一枚數字朝上、一枚數字朝下的可能性約占總次數的50%．
．
評卷人
得分
四、計算題
22.求下面形體的體積。（單位：米）
23.（2011秀嶼區）
求未知數x的值
（1）x：=8：2
（2）x比它的20%多20．
24.求圓錐的體積（單位：厘米）．
25.解比例．
56：X=7：8
：X=：
3.2：0.6=X：4.5．
26.計算下面立體圖形的體積：
評卷人
得分
五、解答題
27.要建一個圓柱形狀的水池。底面直徑4米，深1.8米。要粉刷它的底面和側面，粉刷面積至少是多少平方米？
28.在一幅1：20000000的地圖上，量得甲、乙兩地機場距離為9厘米，一架飛機以每小時750千米的速度從甲機場飛往乙機場，需要飛行幾小時？
29.（2012安溪縣）一個錐形沙堆，底面積是28.26m2，高是2.5m，用這堆沙在10m寬的公路上鋪2cm厚的路面，能鋪多少米？
30.（2014利辛縣）一個圓柱形鐵皮煙囪，底面直徑是1.2米，高2米，將它的外表面涂上防銹漆，平均每千克油漆可涂2.4平方米．涂10個這樣的煙囪需要油漆多少千克？
31.一堆圓錐形的沙子，底面周長是6.28米，高1.2米，每立方米沙重1.5噸．這堆沙重多少噸？
參數答案
1.B
【解析】1.
考點：正比例和反比例的意義。
分析：根據正反比例的意義，分析數量關系，找出一定的量，然后看那兩個變量是比值一定還是乘積一定，從而判定成什么比例關系。
解答：
種小麥的面積和總產量是兩種相關聯的量，它們與每公頃小麥產量有下面的關系：
總產量：種小麥的面積=每公頃小麥產量（一定）；
已知每公頃小麥產量一定，也就是總產量與種小麥的面積的比值一定，所以種小麥的面積和總產量成正比例。
2.B
【解析】2.
試題分析：根據圓柱體的表面積的意義和它特征，圓柱體的特征是：上下底面是完全相同的兩個圓，側面是一個曲面，側面沿高展開是一個長方形，它的側面積加上兩個底面積就是它的表面積．由此解答．
解：根據圓柱體的表面積的意義和它的特征，圓柱的側面積加上兩個底面積就是它的表面積．
故選：B．
【點評】此題主要考查圓柱體的表面積的意義和它的特征．
3.B
【解析】3.
試題分析：要求兩地的實際距離是多少千米，根據“圖上距離÷比例尺=實際距離”，代入數值計算即可．
解：5÷=100000（厘米）
100000厘米=1千米
答：兩地的實際距離是1千米．
故選：B．
【點評】此題有計算公式可用，根據圖上距離、比例尺和實際距離三者的關系，進行分析解答即可得出結論．
4.B
【解析】4.
試題分析：一個圓柱形的油桶可裝180L汽油，就是說這個油桶所能容納的汽油的體積是180L．根據容積的意義，物體所能容納物體的體積叫物體的容積，這個油桶的容積是180L．
解：一個圓柱形的油桶可裝180L汽油，它的容積是180L；
故選：B．
【點評】本題是考查容積的意義，容積與體積是兩個不同的概念，要注意區分．
5.C
【解析】5.
試題分析：圖上距離和實際距離已知，依據“比例尺=”即可求得這幅圖的比例尺．
解：因為30千米=3000000厘米，
則20厘米：3000000厘米=1：150000；
故選：C．
【點評】此題主要考查比例尺的計算方法，解答時要注意單位的換算．
6.D
【解析】6.本題考查有關工作效率的問題。工作效率表示1分鐘能打多少字，把這份稿件看作“單位1”，甲的工作效率是1÷6＝，乙的工作效率是1÷8＝，：＝÷＝×8＝＝＝4:3。
7.反．
【解析】7.
試題分析：根據正反比例的意義，分析數量關系，工作總量是一定的量，然后看那兩個變量工作效率和工作時間之間是比值一定還是乘積一定，從而判定成什么比例關系．
解：工作效率×工作時間=工作總量（一定），
可以看出，工作效率與工作時間是兩種相關聯的量，工作效率隨工作時間的變化而變化，
工作總量是一定的，也就是工作效率與工作時間相對應數的乘積一定，所以工作效率與工作時間成反比例關系．
故答案為：反．
點評：此題重點考查反比例的意義．
8.1:3000000
【解析】8.比例尺等于圖上距離除以實際距離，所以比例尺是9厘米：270千米=9厘米：27000000厘米=1:3000000。
考點：比例尺的計算。
9.20
【解析】9.先求甲、乙兩地的實際距離，根據“圖上距離÷比例尺=實際距離”，代入數值，計算出甲、乙兩地間的實際距離，進而根據“實際距離×比例尺=圖上距離”解答即可。
解：32÷×
=64000000×
=20（厘米）
考點：比與比例。
規律總結：解答此題應根據圖上距離、比例尺和實際距離三者的關系：實際距離×比例尺=圖上距離，進行解析解答即可得出結論。
10.線段，1：12000000
【解析】10.
試題分析：圖上距離和實際距離已知，依據“比例尺=圖上距離：實際距離”即可將線段比例尺改為數值比例尺．
解：120千米=12000000厘米，
所以是線段比例尺，改寫成數值比例尺形式應該是1：12000000．
故答案為：線段，1：12000000．
點評：此題主要考查比例尺的計算方法，解答時要注意單位的換算．
11.36
【解析】11.
試題分析：解答此題的關鍵是5：9，根據比與除法的關系，5：9=5÷9，再根據商不變的性質，被除數、除數都乘4就是20÷36．
解答：解：5：9=20÷36．
故答案為：36．
點評：此題是考查比與除法的關系、商不變的性質．利用它們之間的關系及性質即可轉化．
12.7850
【解析】12.
試題分析：我們運用底面積乘以長就是一次使用的牙膏的體積，再乘以40就是這支牙膏的容積．
解答：解：1厘米=10毫米
3.14×（5÷2）2×10×40，
=3.14×62.5×40，
=196.25×40，
=7850（立方毫米）；
答：這支牙膏的容積是7850立方毫米．
故答案為：7850．
點評：本題運用“底面積×高=體積”進行計算即可．
13.56.52．
【解析】13.
試題分析：根據圓錐的底面直徑求出圓錐的底面積，然后代入圓錐的體積公式計算即可．
解：V錐=πr2h，
=×3.14××6，
=×3.14×9×6，
=56.52（cm3）
故答案為：56.52．
【點評】此題考查了圓錐的體積計算，求其體積時不要漏乘．
14.1：100000．
【解析】14.
試題分析：根據比例尺的意義作答，即比例尺是圖上距離與實際距離的比．
解：10千米=1000000厘米，
10：1000000=1：100000；
答：這幅圖的比例尺是1：100000．
故答案為：1：100000．
【點評】本題主要考查了比例尺的意義，注意圖上距離與實際距離的單位要統一．
15.1，40．
【解析】15.
試題分析：根據比例尺的意義作答，即比例尺是圖上距離與實際距離的比．
解：比例尺是1：4000000的地圖上，圖上1cm表示實際距離4000000厘米，
4000000厘米=40千米
即
圖上1cm表示實際距離40千米．
故答案為：1，40．
【點評】本題主要考查了比例尺的意義，注意圖上距離與實際距離的單位要統一．
16.31.4．
【解析】16.
試題分析：由題意知：抹水泥的面積應是側面積加上底面積，可利用各自的面積公式分別求出再加在一起；但要注意同一單位，也就是把“15分米”化成“1.5米”．
解：15分米=1.5米；
3.14×4×1.5+3.14×（）2，
=3.14×6+3.14×4，
=3.14×10，
=31.4（平方米）；
故答案為31.4．
【點評】此題是考查圓柱相關面積的計算，要先弄清是求哪些面的面積，再據面積公式解答．
17.錯誤
【解析】17.
試題分析：根據比的意義：表示兩個比相等的式子，叫做比例；由a：b=2：3，可知：假設a是2，則b是3；假設a是4，b就是6；假設a是10，b就是15，因為a不確定，所以b也不確定所以a+b的和也不確定；據此判斷即可．
解：由分析知：如果a：b=2：3，那么a與b的和是5，說法錯誤；
故答案為：錯誤．
點評：解答本題的關鍵是理解比的意義，能夠靈活運用知識解答一些簡單的問題．
18.正確
【解析】18.
試題分析：因為圓錐體的體積等于和它等底等高的圓柱體體積的，把圓柱體體積看做單位“1”，圓錐體的體積就是，所以圓錐的體積比與它等底等高的圓柱的體積小1﹣=．
解：1﹣=．
故答案為：正確．
點評：此題根據“圓錐體的體積等于和它等底等高的圓柱體體積的”，找出單位“1”，即可解答．
19.√
【解析】19.
試題分析：把一個圓柱削成一個最大的圓錐，則這個圓柱與圓錐等底等高，所以圓柱是圓錐的體積的3倍，則削去部分的體積是圓錐的體積就是的2倍，由此即可判斷．
解：圓柱與圓錐等底等高，所以圓柱是圓錐的體積的3倍，
則削去部分的體積是圓錐的體積就是的2倍，所以原題說法正確．
故答案為：√．
【點評】抓住圓柱內最大的圓錐的特點，利用等底等高的圓柱與圓錐的體積倍數關系即可解決此類問題．
20.×
【解析】20.
試題分析：根據圓柱體的特征，側面沿高展開得到一個長方形（包括正方形），這個長方形的長等于圓柱體的底面周長，寬等于圓柱體的高．再根據圓的周長計算公式進行解答．
解：圓柱體的底面周長：3.14×3=9.42（厘米）；在這里圓周率π取它的近似值是3.14，
所以圓柱體的底面周長約等于它的高，所以，它的側面沿高展開后是近似一個正方形．
故答案為：×．
【點評】此題主要考查圓柱體的特征，及圓柱體的側面展開圖的形狀．
21.√
【解析】21.
試題分析：把兩枚五角的硬幣同時拋擲空中，結果有以下四種情況：①兩枚都向上，②兩枚都向下，③第一枚向上，第二枚向下，④第一枚向下，第二枚向上；第三種情況和第四種情況是一樣的，即占2種，根據可能性的求法，用除法解答即可．
解：共出現4種情況：：①兩枚都向上，②兩枚都向下，③第一枚向上，第二枚向下，④第一枚向下，第二枚向上；
其中一枚數字朝上、一枚數字朝下有兩種可能，則：2÷4=50%；
故答案為：正確．
【點評】解答此題應根據可能性的求法：即求一個數是另一個數的幾分之幾用除法解答，進而得出結論．
22.376.8立方米
【解析】22.本題是考察圓錐的體積的計算的相關問題。運用相關公式直接計算即可。
d=12m，r=6m，h=10m
V錐=
V=sh÷3
=π×r×r×h
÷3
=3.14×6×6×10
÷3
=376.8（立方米）
23.（1）x=10；（2）x=25
【解析】23.
試題分析：（1）根據比例基本性質，兩內向之積等于兩外項之積，化簡方程，再依據等式的性質，方程兩邊同時除以2即可，
（2）依據題意可列方程：x﹣20%x=20，依據等式的性質即可解答．
解答：解：（1）x：=8：2，
2x=8，
2x=20，
2x÷2=20÷2，
x=10；
（2）x﹣20%x=20，
80%x=20，
80%x÷80%=20÷80%，
x=25．
點評：本題主要考查學生依據等式的性質，以及比例基本性質解方程的能力，解答時注意對齊等號．
24.29.4375立方厘米．
【解析】24.
試題分析：根據圓錐的體積公式：v=sh，把數據代入公式解答．
解：×3.14×（5÷2）2×4.5
=3.14×6.25×1.5
=29.4375（立方厘米）
答：圓錐的體積是29.4375立方厘米．
【點評】此題主要考查圓錐體積公式的靈活運用．
25.64；；24．
【解析】25.
試題分析：（1）根據比例的基本性質，兩內項之積等于兩外項之積，把原式改寫成7X=56×8，然后等式的兩邊同時除以7即可；
（2）根據比例的基本性質，兩內項之積等于兩外項之積，把原式改寫成X=×，然后等式的兩邊同時除以即可；
（3）根據比例的基本性質，兩內項之積等于兩外項之積，把原式改寫成0.6X=3.2×4.5，然后等式的兩邊同時除以0.6即可．
解：根據題意可得：
（1）56：X=7：8，
7X=56×8，
7X=448，
7X÷7=448÷7，
X=64；
（2）：X=：，
X=×，
X=，
X÷=÷，
X=；
（3）3.2：0.6=X：4.5，
0.6X=3.2×4.5，
0.6X=14.4，
0.6X÷0.6=14.4÷0.6，
X=24．
【點評】本題主要考查解比例，根據比例的基本性質和等式的性質進行解答即可．
26.圓柱的體積是113.04立方厘米，圓錐的體積是56.52立方米．
【解析】26.
試題分析：可直接運用圓柱的體積公式V=sh和圓錐的體積公式V=sh列式解答即可．
解：（1）3.14×32×4，
=3.14×36，
=113.04（立方厘米）；
（2）3.14×（6÷2）2×6×，
=3.14×9×2，
=3.14×18，
=56.52（立方米）；
答：圓柱的體積是113.04立方厘米，圓錐的體積是56.52立方米．
【點評】此題是求圓柱、圓錐的體積，在求圓錐體積時不要漏乘．
27.35.168平方米
【解析】27.由問題的平方分米單位知道要求表面積，但是只粉刷底面和側面，所以底面圓只算一個，并不是要求全面積。
d=4m，r=2m，h=1.8m
S表=
S底+
C側
=
π×r×r+
π×d×h
=3.14
×2×2+3.14×4×1.8
=12.56+22.608
=35.168（平方米）
答：粉刷面積至少是35.168平方米。
28.2.4小時
【解析】28.此題應先求出甲、乙兩地的實際距離，根據實際距離=圖上距離÷比例尺即可求出；再用距離除以速度即可。
解：9÷=180000000（厘米）
180000000厘米=1800千米
1800÷750=2.4（小時）
答：需要飛行2.4小時。
29.能鋪117.75米長
【解析】29.
試題分析：由題意知，“沙”由原來的圓錐形變成后來的長方體只是形狀變了，體積沒變；所以先利用圓錐的體積公式V=sh求出沙的體積，再利用長方體的體積公式求出“長”來即可．
解答：解：2厘米=0.02米；
28.26×2.5×÷（10×0.02），
=23.55÷0.2，
=117.75（米）；
答：能鋪117.75米長．
點評：此題是考查利用圓錐、長方體的知識解決實際問題，可利用它們的體積公式解答，同時不要漏了．
30.涂10個這樣的煙囪需要油漆31.4千克
【解析】30.
試題分析：首先要明確的是：煙囪是無底的管道，需要涂漆的面積，實際上就是煙囪的側面積，用底面周長乘高即可求得，用需要涂漆的面積除以2.4，就是涂一個煙囪需要的油漆量，再乘10，就是涂10個這樣的煙囪需要的油漆量．
解答：解：（3.14×1.2×2÷2.4）×10，
=（3.768×2÷2.4）×10，
=（7.536÷2.4）×10，
=3.14×10，
=31.4（千克）；
答：涂10個這樣的煙囪需要油漆31.4千克．
點評：此題主要考查圓柱的表面積的計算方法的靈活應用，關鍵是明白：需要涂漆的面積，實際上就是煙囪的側面積，用底面周長乘高即可求得．
31.1.884噸．
【解析】31.
試題分析：本題知道了圓錐形沙子的底面周長是6.28米，可先求出底面半徑是多少，再利用圓錐的體積公式V=sh求出體積，最后求出重量．
解：6.28÷3.14÷2=1（米）；
3.14×12×1.2××1.5，
=3.14×0.4×1.5，
=3.14×0.6，
=1.884（噸）；
一、研讀教材，挖掘內涵
發展學生思維的主陣地在課堂，主要依據是教材。同樣的教材，由于對教材的挖掘程度不同，學生的思維發展就不一樣。我們在研讀教材，不僅要重視讀例題，還要重視讀每一道習題，放大每一道習題的效能。
蘇教版十二冊數學第31頁有這樣一道習題：
有兩個空的玻璃容器（如下圖）。先在圓錐形容器里注滿水，再把這些水倒入圓柱形容器，圓柱形容器里的水深多少厘米？
學生從圖中獲悉：圓錐形容器和圓柱形容器，它們是等底等高，因此，根據探究圓錐體積發現的規律，即“圓錐體積是與它等底等高的圓柱體積的”，很快得出結論：圓錐形容積也是它等底等高的圓柱容積的，圓錐形容器里注滿水倒入圓柱形容器里時，水面高度也只有圓柱形容器高度的。但我并未就此收筆，而是輕輕抹掉黑板上圓柱示意圖的，引導學生進一步思考，如下圖：
師：從現在圖中提供的信息，你們又能發現什么？
生：圓錐與圓柱是等積等底，圓錐的高是圓柱的3倍。
師：是否任意一組等積等底的圓錐與圓柱，都有這樣的規律呢？你能想辦法證明嗎？
（學生或動筆或思索）
生1：我是舉例證明的，假設它們的體積都是3立方厘米，底面積都是1立方厘米，計算出圓柱的高3÷1=3厘米，圓錐的高3×3÷1=9厘米，9÷3=3，說明剛才的發現是成立的。
生2：我沒有舉例，我是通過想一想說明的，圓錐形容積是與它等底等高的圓柱容積的，圓錐形容器里注滿水倒入圓柱形容器里時，水面高度也只有圓柱形容器高度的，也就是圓錐形的。
師：能找到反例嗎？
（得出結論）
師：這一題中蘊藏著幾條規律，現在你能明白他們的關系嗎？
至此，學生對“圓錐與圓柱是等積等底，圓錐的高是圓柱的3倍”的關系的理解已不是空中樓閣，我趁熱打鐵，引導學生進一步探究：圓錐和圓柱除了有上面兩種關系，還可能有怎樣的關系，你能想辦法證明嗎？把學生的思維引向深入。
對于圓錐和圓柱的第一種關系，由于學生在探究圓錐體積時，經歷探究的過程，在頭腦中形成了清晰認識，但后兩種關系只是習題中偶爾出現，學生理解有一定的難度，如何讓抽象的結論真正為學生所理解，并整體把握，建立結構化的思維方式，我對教材習題進行了二度開發，借助“輕輕一抹”，由一開始的“等底等高”發展成后來的“等積等底”，給學生建立表象提供了支撐，在師生、生生互動中，使后兩種關系的理解水到渠成。
教材中的一些習題，看似平常，但卻具有豐富的內涵，我們要尋找、發現這類習題，引導學生多向剖析、拓展引申，通過挖掘其潛在的功能，激發學生的學習興趣，促使學生知識的深化、視野的開闊，提高學生解決問題的能力。
二、有機整合，提升價值
隨著課改的實施，教師的“資源意識”在不斷增強，越來越多的數學老師在教學設計過程中，已經明顯地意識到：必須努力打破教材的界限，引進與之相關的資源并加以開發和利用，從而讓學生獲得持續的發展。我們教師應該努力整合教材資源，在“活”用學習材料、拓展課程資源、補充開放內容、探究生成問題等方面進行思考，從而提高課堂數學教學效果。如果教師在教學中僅限于讓學生一題一練，這只是讓學生演練了教材編排的每一道習題，學生在練習中的體驗則是膚淺的。所以在教學中，教師還要認真解讀教材中的習題，努力將習題讀“活”，不斷推陳出新，充分挖掘習題的發展功能，使練習的過程不再是機械演練的過程，而是智慧發展的過程。
蘇教版十二冊數學“放大與縮小”新授完后，在學生明確如何對長方形、直角三角形按一定的比放大和縮小后我設計了這樣一道題：“我是設計師”
先完成填空，再按填空畫放大或縮小之后的圖形。
我想把下面的三角形按（ ∶ ）的比（ ）。
學生嘗試繪制，教師尋找錯誤資源。
追問：剛才底和高都放大了相同的倍數，就能畫出放大后的圖形，這里為什么就不能？
生：剛才是把直角三角形放大或縮小，這里不是直角三角形。
強調：要做到形狀不變，除了把底和高都放大了相同的倍數，更要考慮高的位置。
指導畫法：先讓正確學生說說是怎樣想的。
追問：為什么要從左邊起半格處畫高？
感受到高其實把三角形分成了兩個直角三角形，而直角三角形我們是能夠把它放大的。
高效的習題教學讓新知不斷深化，讓學生的思維不斷向更高層面衍化，讓課堂豐富了起來。在上述案例中，學生在探究了直角三角形的放大與縮小后會有一種方法的負遷移。于是，我設計了讓學生嘗試把一般三角形進行放大或縮小，學生通過比較發現：要做到形狀不變，除了把底和高都放大了相同的倍數，更要考慮高的位置。因此，在交流中感悟：借助一條高可以把一般三角形分成兩個直角三角形，只要分別把兩個直角三角形放大就可以了。形成了“任意一個圖形的放大與縮小都可以借助高分成幾部分分別放大與縮小”的思維方式。在我們的教學中，整合習題往往能提示某一類問題的本質，或溝通某些知識的內在聯系，從而加強學生知識的縱橫聯系，豐富學生的知識應用領域，提高其分析問題、解決問題的能力。
三、捕捉生成，高位引領
在教學中經常會遇到這種情況，學生對教師所教學的新內容很快表示理解，但是，在做習題時，很多學生就會有不同程度地“節外生枝”，面對這類“節外生枝”，教師要在關鍵處進行適當的點撥、引導、啟發。
有這樣一道習題：建材商店賣出水泥65%后，又運進水泥10.8噸，這時水泥噸數比原來多10%。建材商店原來有水泥多少噸？
這是一道難題，按常規做法，我們會畫線段圖幫助學生理解，確定數量關系，然而有一學生的巧妙回答化解了大部分學生的困惑。
生1：賣出水泥65%后就少了65%，又運來水泥10.8噸，這時水泥噸數比原來多10%，不僅抵消了65%，還多了10%，所以，數量關系是總噸數的65%+總噸數的10%=10.8噸。
生2：我的想法和他差不多，這時水泥噸數比原來多10%，不僅填補了65%，還多了10%，所以，數量關系是總噸數的65%+總噸數的10%=10.8噸。
師：你們能明白他們的想法嗎？他們用了哪兩個詞語形象地反映了數量之間的關系？
生：抵消、填補！
學生的回答出乎我的意料。“抵消、填補”，這是多么好的方法！在我感懷學生的創新的同時，我意識到這是很好的資源，必須捕捉、共享、放大。于是我對習題進行了變換：
（1）建材商店賣出水泥65%后，又運進水泥10.8 噸，這時水泥噸數和原來相等。建材商店原來有水泥多少噸？
（2）建材商店賣出水泥65%后，又運進水泥10.8 噸，這時水泥噸數比原來少10%。建材商店原來有水泥多少噸？
由于學生的思維在解決問題的過程中被打開了，這兩題很快就得到了解決。
蘇霍姆林斯基說過：“手和腦之間有著千絲萬縷的聯系，手使腦得到發展，使它更明智，腦使手得到發展，使它變成思維的工具和鏡子。”這充分說明了引導學生動手操作，在學習、探究、獲得知識的過程中發揮著極其重要的作用。在小學數學教學過程中，引導學生利用身邊常見的、具體的、有趣的事物和適宜的學具揭示數學概念的形成，探究知識的形成過程，以及運用學具解決數學問題，已成為培養學生探究能力，提高學生綜合素質的有效手段。
讓學生動手，親歷獲取知識的過程，是新課程的要求，并已成為數學教學的一大趨勢。這是因為：學生動手操作，手眼協同活動，運用視覺、觸覺、運動覺協同感知事物時，會以活躍的內部言語體驗情境，展開思維。動手操作時他們會獲得豐富的表象，遇到一系列的問題，在豐富表象的基礎上深入思考，嘗試解決問題，會推動他們進行分析、綜合、比較、概括、類比、猜想、在深刻理解抽象的數學知識的同時，思維能力得到培養。另外，由于動手操作活動是猶的，順應了學生的心理特點，能有效地激發學生學習興趣，發展學生的自主意識。下面就結合“圓的認識、圓柱側面積和圓錐體積”的教學實踐，談談培養學生思維能力的點滴體會。
一、運用認知規律，引導學生動手操作，感知數學概念的形成，培養思維能力
準確理解數學概念是進行邏輯推理、數學論證以及數學計算的基礎。數學概念一般都是較抽象的，因此，在教學時，應盡可能從學生已有的知識出發，引導學生動手操作，增強感性認識與理性認識的聯系，使學生由具體到抽象，由特殊到一般地認知規律，讓學生在動手操作中感知數學概念的形成，理解并掌握概念，從而獲得新知。這不僅符合小學生的年齡和認知特點，而且巧妙地利用了小學生好奇好動的特征。我在教學《圓的認識》一課時，先給每一位學生準備好一個圓形紙片的學具，然后引導學生將圓紙片的邊緣對齊后對折，然后再打開，再換個角度對折。如此多次重復操作后再將圓形紙片打開，讓學生觀察多次對折后的圓紙片上有很多條折痕，仔細觀察會發現圓紙片上所有折痕相交于一點，折痕兩旁的圖形完全重合。這時，引導學生自學教材對應的內容，學生很容易知道圓形紙片上所有折痕相交的一點叫圓心，每條折痕叫圓的直徑，圓心到邊緣的折痕叫圓的半徑，而且很容易發現同一圓中的直徑和半徑的關系等。學生對這樣動手操作獲取的數學知識記憶深刻，在這個基礎上引導學生自己操作圓規，去探究畫圓的方法和步驟就容易多了。
二、運用遷移規律，引導學生動手操作，在操作過程中探求新知，培養思維能力
心理學家研究表明：小學生的思維主要是以具體形象思維為主，因此，在數學課堂教學中，我們要盡量運用看得見、摸得著的實物增加學生的直觀感覺，進而將抽象化的數學知識變為具體的事物。教師要盡可能地讓學生動手擺或拼實物等，親身體驗和感受數學與生活的聯系，從而發展學生的形象思維。圓柱側面積的計算方法是由長方形面積計算公式推導出來的，而教學圓柱側面積計算方法的關鍵是幫助學生想象出側面展開以后是什么圖形。因此，我在教學這一內容時，給每一位學生都準備好一張同樣大小的長方形紙片，在課堂上先指導學生把它卷成圓柱，然后問學生，卷成的這個圓柱的側面積與長方形的面積有什么關系？怎樣求圓柱的側面積？并引導學生帶著這兩個問題去重復操作（圓柱――長方形）。學生經過自己親自動手反復操作，已清楚的觀察到，這個圓柱是由長方形卷成的，也就是圓柱的側面展開后是一個長方形，而這個圓柱的底面周長就是長方形的長，圓柱的高就是長方形的寬。這樣，學生便在操作過程中，由舊知識――長方形面積的計算方法遷移到圓柱側面積的計算方法上。
三、運用分析比較方法，引導學生動手操作，把操作程序內化為智力活動，培養思維能力
在引導學生動手操作時，切忌膚淺、無效的操作。要把動手操作與學生的思維和深層次思考緊密結合在一起，引導學生在頭腦中建構起相應的數學對象或數學概念的心理表征，強調“操作活動的內化”，用操作活化、深化學生的數學思考，培養探究習慣，真正發揮動手操作的內在數學價值。
在教學圓錐的體積時，我將班上的學生分成五個小組，每組給定實驗器具（圓柱、圓錐各一個，一組的兩個實驗器具是等滴不等高，二組的器具是等高不等底，三組的器具既不等高也不等底，四、五組的器具是等底等高），在學生明確了每步實驗的具體要求后，讓學生帶著“圓柱與圓錐體積之間有什么聯系？”這個問題進行探索實踐，反復操作，發現規律。結果，第四、五組的實驗特別順利，均得出：用圓錐體容器裝滿水，往圓柱體容器里倒，三次正好裝滿，說明：“圓錐體積是圓柱體積的，或者說圓柱體積是圓錐體積的3倍”。而一、二、三組的同學卻不同意四、五組同學的這種說法，因為他們的實驗結果并不是這樣的。這時我再問：“那么圓錐體積與圓柱體積之間究竟有沒有聯系，而為什么四、五組的同學又能得出這樣的結論呢？”下面請每組同學將該組的圓柱與圓錐容器的大面積和高分別比較一下，看是否能從中發現什么？學生經過對圓柱與圓錐兩個容器的底面積和高的大小比較，便恍然大悟，原來四、五組的兩個實驗器具是底面積和高都相等（即等底等高），所以能得出“圓錐體積是圓柱體積的，或者說圓柱體積是圓錐體積的3倍”這個結論，而一、二、三組的實驗器具呢，要么是等底不等高，要么是等高不等底，要么是既不等高也不等底，所以得出第實驗結果就不同。學生經過比較與分析后，便能從中小結出：只有在“等底等高”的這個前提下，圓錐的體積才等于圓柱體積的。
