時(shí)間：2022-12-12 18:13:52
開(kāi)篇：寫(xiě)作不僅是一種記錄，更是一種創(chuàng)造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇小數(shù)的產(chǎn)生和意義，希望這些內(nèi)容能成為您創(chuàng)作過(guò)程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進(jìn)步。
教學(xué)目標(biāo)：經(jīng)歷小數(shù)計(jì)數(shù)單位的產(chǎn)生過(guò)程，理解十進(jìn)制分?jǐn)?shù)與小數(shù)的聯(lián)系；結(jié)合具體情境理解小數(shù)的意義，溝通小數(shù)和整數(shù)的關(guān)系；在探索小數(shù)意義的過(guò)程中鍛煉學(xué)生的觀察能力、分析能力、抽象概括和遷移能力。
教學(xué)重難點(diǎn)：分?jǐn)?shù)和小數(shù)的聯(lián)系，理解小數(shù)的意義和小數(shù)的計(jì)數(shù)單位。
教具準(zhǔn)備：自制1米長(zhǎng)的尺子（正面無(wú)刻度，背面平均分成10份，其中1份可取下）
教學(xué)過(guò)程：
一、復(fù)習(xí)數(shù)數(shù)，預(yù)伏新知生長(zhǎng)點(diǎn)
課件中出示鋪滿屏幕的一大堆小方塊，請(qǐng)學(xué)生數(shù)有多少個(gè)。（數(shù)不清楚）
師：我們讓電腦來(lái)幫幫忙。（整理成十個(gè)十個(gè)再次出示）現(xiàn)在呢？（還是數(shù)不清楚）那要是這樣呢？（以百為單位再次顯示，學(xué)生吃力地?cái)?shù)出一千）現(xiàn)在呢？（變?yōu)檎R的一個(gè)千）
師：為什么同樣多的小方塊，我們一開(kāi)始都數(shù)不清楚，現(xiàn)在怎么這么快就都數(shù)清楚了？一起回顧一下剛才數(shù)小方塊的過(guò)程。課件中的小方塊先以個(gè)為單位呈現(xiàn)，后逐步轉(zhuǎn)為以十、以百、以千為單位進(jìn)行呈現(xiàn)，我們數(shù)小方塊的過(guò)程也由不清楚逐漸變?yōu)橐幌伦泳湍軋?bào)出得數(shù)。由此可見(jiàn)，數(shù)數(shù)時(shí)計(jì)數(shù)單位的合理選擇是很重要的。
【設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)整數(shù)的計(jì)數(shù)單位，理解在適當(dāng)?shù)那榫诚逻x擇適當(dāng)?shù)挠?jì)數(shù)單位很重要。每十個(gè)小的計(jì)數(shù)單位可以合成一個(gè)新的比較大的計(jì)數(shù)單位，使計(jì)數(shù)變得更清晰、更簡(jiǎn)便。那么，當(dāng)計(jì)數(shù)單位太大，不夠分時(shí)，就自然會(huì)想到平均分成十個(gè)，得到新的更小的計(jì)數(shù)單位再數(shù)，這是小數(shù)意義的一個(gè)預(yù)伏的新知生長(zhǎng)點(diǎn)。】
二、自主探究，建構(gòu)新知
1.一位小數(shù)的意義
師（出示一把沒(méi)有刻度的尺子）：如果我用自然數(shù)1來(lái)表示這把尺子的長(zhǎng)度，你覺(jué)得我們教室門(mén)的高大約可以用什么數(shù)字來(lái)表示，黑板的長(zhǎng)呢？
生1：2，4。
師：那么這支毛筆的長(zhǎng)度呢？還能用幾個(gè)1來(lái)表示嗎？
生2：不能，毛筆的長(zhǎng)度還不到1。
師：也就是說(shuō)現(xiàn)在用1作為計(jì)數(shù)單位太大了，那該怎么辦？
生3：我們需要?jiǎng)?chuàng)造一個(gè)比1更小的計(jì)數(shù)單位。
師：有道理，那么我們把1平均分成幾個(gè)小的計(jì)數(shù)單位比較好呢？
生4：平均分成10個(gè)比較好，因?yàn)檎麛?shù)里也是滿十進(jìn)一。
師：你很會(huì)思考。整數(shù)里是滿十進(jìn)一，這里就可以是“一分為十”。（多媒體演示：把一把尺子平均分成10份）這樣我們就創(chuàng)造了一個(gè)新的比1更小的計(jì)數(shù)單位――0.1（十分之一），那接下來(lái)（取下自制尺子中的0.1邊演示邊講解）我們就可以以0.1為單位進(jìn)行計(jì)數(shù)和測(cè)量物品了。數(shù)數(shù)看1里面一共分成了幾個(gè)0.1呢？（板書(shū)：1里面有10個(gè)0.1）
【設(shè)計(jì)意圖：在新知的探究中，教師舍棄了經(jīng)典的方格紙的分割來(lái)教學(xué)小數(shù)，而采用了空白的一把尺子來(lái)加以引入。因?yàn)樾?shù)最早產(chǎn)生于人們生產(chǎn)勞動(dòng)的丈量過(guò)程中，采用空白尺子進(jìn)行教學(xué)能更有利于還原小數(shù)產(chǎn)生的實(shí)際情境，也更有利于小數(shù)計(jì)數(shù)單位的教學(xué)。】
師：現(xiàn)在毛筆的長(zhǎng)度是幾個(gè)0.1呢？3個(gè)0.1可以怎么表示？（0.3）那么空白部分有幾個(gè)0.1，可以用什么分?jǐn)?shù)來(lái)表示？（0.7）沒(méi)錯(cuò)，有了0.1這個(gè)計(jì)數(shù)單位以后，我們就可以0.1，0.1地?cái)?shù)了。一起來(lái)數(shù)一數(shù)。（結(jié)合課件帶領(lǐng)學(xué)生一起從0.1數(shù)到1.0）這個(gè)0.1是把1平均分成10份，每一份其實(shí)就是分?jǐn)?shù)里的十分之一，對(duì)嗎？所以我們也可以十分之一、十分之一地?cái)?shù)，一起來(lái)數(shù)一數(shù)。（結(jié)合課件帶領(lǐng)學(xué)生一起從十分之一數(shù)到十分之十）
學(xué)生練習(xí)，教師巡視，并進(jìn)行個(gè)別指導(dǎo)后全班交流。
師：都做對(duì)了嗎？我們?cè)僖黄饋?lái)看一看，用0.1作為單位寫(xiě)出的小數(shù)都有什么共同的特點(diǎn)？轉(zhuǎn)化成的分?jǐn)?shù)又有什么特點(diǎn)呢？也就是說(shuō)一位小數(shù)和十分之幾的分?jǐn)?shù)一樣都是把一個(gè)物體平均分成十份，表示這樣的幾份的數(shù)。
（板書(shū)：計(jì)數(shù)單位 0.1一位小數(shù)？圮十分之幾）
【設(shè)計(jì)意圖：兩次數(shù)數(shù)，第一次以0.1為單位數(shù)，第二次以十分之一為單位數(shù)，能更好地幫助學(xué)生理解一位小數(shù)都是由0.1累加而成的，十分之幾是由十分之一累加而成的。進(jìn)一步強(qiáng)化了學(xué)生計(jì)數(shù)單位的體驗(yàn)，有利于增強(qiáng)學(xué)生對(duì)小數(shù)意義的理解。】
2.理解兩位小數(shù)的意義
師：1作為計(jì)數(shù)單位太大時(shí)，我們創(chuàng)造了比1更小的計(jì)數(shù)單位0.1，并用它作為單位解決了一些問(wèn)題。那么像橡皮這種用0.1測(cè)量還是太大的又該怎么辦呢？
生7：需要?jiǎng)?chuàng)造一個(gè)比0.1更小的計(jì)數(shù)單位。
生8：把0.1再平均分成10份，變成0.01再數(shù)。
師：為什么都是平分成10份呢？
生8：因?yàn)檎麛?shù)計(jì)數(shù)單位之間的進(jìn)率都是十，所以我認(rèn)為小數(shù)也應(yīng)該是十。
師：有道理，得到了0.01這個(gè)計(jì)數(shù)單位后，我們就可以0.01，0.01地?cái)?shù)了。我們一起來(lái)數(shù)數(shù)看。（多媒體展示，全班跟著數(shù)：從0.0到0.09）再增加一個(gè)0.01，小數(shù)點(diǎn)右邊的第二位就滿十了，怎么辦？
生9：向前一位進(jìn)1。
師：前一位是哪一位？
生9：小數(shù)點(diǎn)右邊的第一位。
師：是的，他從整數(shù)的進(jìn)位中獲得了啟發(fā)。我們接著往下數(shù)。0.99是由幾個(gè)0.01構(gòu)成的呢？
生10：99個(gè)0.01.
師：再增加一個(gè)0.01又該怎么表示了呢？（演示百分位滿十向十分位進(jìn)一，十分位滿十向個(gè)位進(jìn)一的過(guò)程）
【設(shè)計(jì)意圖：兩次數(shù)數(shù)環(huán)節(jié)的教學(xué)設(shè)計(jì)，能最大限度地利用學(xué)生對(duì)整數(shù)的認(rèn)知來(lái)構(gòu)建小數(shù)體系，有利于今后小數(shù)計(jì)算教學(xué)中的算理溝通，為后續(xù)教學(xué)鋪路。】
3.拓展延伸
師：你也能像剛才總結(jié)一位小數(shù)一樣給我們的兩位小數(shù)學(xué)習(xí)做一個(gè)總結(jié)嗎？
0.01兩位小數(shù)？圮百分之幾 （板書(shū)）
師：根據(jù)剛才的學(xué)習(xí)，你還能知道三位小數(shù)和四位小數(shù)的意義嗎？
0.001三位小數(shù)？圮千分之幾
0.0001四位小數(shù)？圮萬(wàn)分之幾（板書(shū)）
三、鞏固練習(xí)
1.你能根據(jù)計(jì)數(shù)單位的不同把下面的小數(shù)分類嗎？再試著說(shuō)說(shuō)每一個(gè)小數(shù)由有幾個(gè)這樣的計(jì)數(shù)單位組成。
0.9 0.39 0.032 2.3 0.06 0.102
0.1（ 、 ） 0.01（ 、 ） 0.001（ 、 ）
2.先說(shuō)說(shuō)下面各小數(shù)的意義，再用手勢(shì)表示下面小數(shù)中的長(zhǎng)度：0.8米，0.8厘米；先說(shuō)說(shuō)下面各小數(shù)的意義，再用表情表示一下你抱下面的重量時(shí)的感受：0.7克，0.07噸。
3.在數(shù)軸中表示小數(shù)。一位不算矮的女老師，她的身高可以用一個(gè)一位小數(shù)表示，你猜會(huì)是多少米？（1.6米）你能在數(shù)軸中把它表示出來(lái)嗎？一位男的高個(gè)子體育老師，他的身高也可以用一位小數(shù)來(lái)表示，你猜會(huì)是多少米？（1.8米）在數(shù)軸中表示出來(lái)。我的身高介于他們兩人之間，但要用兩位小數(shù)才能表示，你猜會(huì)是多少？（1.74米）哪里才是1.74呢？
四、回顧總結(jié)
一、明確教學(xué)目標(biāo)，促進(jìn)認(rèn)數(shù)教學(xué)的有效實(shí)施
對(duì)于“數(shù)的認(rèn)識(shí)”， 除了認(rèn)數(shù)、讀數(shù)、寫(xiě)數(shù)的相關(guān)要求，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》針對(duì)每個(gè)學(xué)段都提出了明確的要求. 我們教師要在充分理解課標(biāo)的基礎(chǔ)上，結(jié)合具體教學(xué)內(nèi)容，從學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，合理制定教學(xué)目標(biāo)，促進(jìn)認(rèn)數(shù)教學(xué)的有效開(kāi)展.
如10以內(nèi)各數(shù)的認(rèn)識(shí)是小學(xué)階段學(xué)生認(rèn)數(shù)的開(kāi)始. 在現(xiàn)實(shí)生活中，很多幼兒園的老師或者家長(zhǎng)在孩子上學(xué)前就已經(jīng)對(duì)他們進(jìn)行了這些方面的訓(xùn)練. 可以說(shuō)，在入學(xué)前不會(huì)數(shù)數(shù)，不認(rèn)識(shí)1，2，3，…的孩子很少很少，這是學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn). 對(duì)于這樣的情況，有很多老師會(huì)認(rèn)為，既然學(xué)生已經(jīng)會(huì)數(shù)數(shù)了，只要寫(xiě)好數(shù)就行了. 其實(shí)這是對(duì)于認(rèn)數(shù)教學(xué)認(rèn)識(shí)上的一種偏差. 學(xué)生對(duì)于10以內(nèi)各數(shù)的認(rèn)識(shí)不應(yīng)該僅僅停留在數(shù)數(shù)這個(gè)淺層次上，還有深層次的要求. 例如：① 物體個(gè)數(shù)與數(shù)一一對(duì)應(yīng)，不能口中按順序數(shù)數(shù)，卻不能與物體個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng). ② 物體個(gè)數(shù)與數(shù)字一一對(duì)應(yīng)，每個(gè)不同的數(shù)量與不同的數(shù)學(xué)符號(hào)（數(shù)字）對(duì)應(yīng). ③ 注意選擇不同的情境和不同的學(xué)具，幫助學(xué)生理解數(shù)的意義. 如3可以表示所有數(shù)量是3個(gè)的物體，而與物體的大小、形狀、質(zhì)量等狀態(tài)無(wú)關(guān). ④ 知道數(shù)的作用不但可以用來(lái)表示數(shù)量的多少（基數(shù)），還可以表示順序（序數(shù)）和編碼，如3可以表示有3個(gè)物體，也可以表示第3個(gè)物體. 這些都是我們教師在備課前應(yīng)該考慮到的.
二、營(yíng)造生活情境，促進(jìn)認(rèn)數(shù)教學(xué)的有效實(shí)施
數(shù)是從人們生活和生產(chǎn)的需要中產(chǎn)生和發(fā)展起來(lái)的，它與人們的生活、生產(chǎn)有著十分密切的聯(lián)系. “數(shù)學(xué)情境”是聯(lián)系數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的紐帶，是溝通數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的橋梁. 教師利用學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，設(shè)計(jì)生動(dòng)有趣、直觀形象的數(shù)學(xué)情境，能夠使數(shù)學(xué)知識(shí)成為看得見(jiàn)、摸得著、聽(tīng)得到的現(xiàn)實(shí)，讓抽象的數(shù)貼近生活，讓多彩的生活為認(rèn)數(shù)教學(xué)服務(wù).
如“小數(shù)的初步認(rèn)識(shí)”教學(xué)中，可以創(chuàng)設(shè)學(xué)生喜聞樂(lè)見(jiàn)的超市情境，將學(xué)生置身于現(xiàn)實(shí)生活情境中，讓他們根據(jù)已有的知識(shí)和生活經(jīng)驗(yàn)觀察商品價(jià)格的特點(diǎn)，從而自然揭示“小數(shù)”、“小數(shù)點(diǎn)”的概念，同時(shí)也讓學(xué)生感受到小數(shù)在生活中有著廣泛的應(yīng)用，感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)是有意義的.
又如，在“百分?jǐn)?shù)的意義和寫(xiě)法”教學(xué)中，布置學(xué)生課前收集生活中百分?jǐn)?shù)的例子，創(chuàng)設(shè)“小小新聞會(huì)”的現(xiàn)實(shí)情境，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)幾條含有百分?jǐn)?shù)信息的分析和交流，初步感知百分?jǐn)?shù)，充分發(fā)揮學(xué)生收集信息和討論分析的積極性，為師生共同探究百分?jǐn)?shù)搭好“腳手架”.
三、引領(lǐng)學(xué)生感受數(shù)的產(chǎn)生與發(fā)展，促進(jìn)認(rèn)數(shù)教學(xué)的有效實(shí)施
數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程是漫長(zhǎng)、動(dòng)態(tài)的過(guò)程，數(shù)的產(chǎn)生與發(fā)展有著其自身特定的意義. 教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)有針對(duì)性地再現(xiàn)數(shù)發(fā)展的歷史進(jìn)程，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)史的簡(jiǎn)單了解，增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，豐富數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的良好情感，從而加深對(duì)數(shù)的意義的理解.
如蘇教版第五冊(cè)“認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)”一課的教學(xué)設(shè)計(jì)，一般教師都是從公平分物引入，讓學(xué)生自覺(jué)體會(huì)到在平均分的前提下，每份的物品數(shù)量可以用學(xué)過(guò)的整數(shù)來(lái)表示. 而當(dāng)每份的數(shù)量無(wú)法用學(xué)過(guò)的整數(shù)表示時(shí)，像1塊蛋糕平均分給2個(gè)人，怎樣分？每人分得多少？1塊蛋糕平均分給4個(gè)人、10個(gè)人、100個(gè)人呢？每人又分得多少？從而逐步產(chǎn)生一個(gè)認(rèn)知上的沖突，“逼迫”學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)再創(chuàng)造的學(xué)習(xí)過(guò)程：從用“半個(gè)”這樣的生活用語(yǔ)表示，到用圖形表示，乃至感到困難時(shí)，需要?jiǎng)?chuàng)造一種新的數(shù)來(lái)表示. 整個(gè)設(shè)計(jì)不僅有利于學(xué)生理解分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生是以平均分為前提，同時(shí)體現(xiàn)了分?jǐn)?shù)的社會(huì)屬性. 教師再次引發(fā)思考：究竟用怎樣的數(shù)來(lái)表示呢？這時(shí)恰當(dāng)?shù)刂噩F(xiàn)分?jǐn)?shù)的發(fā)展歷程，學(xué)生對(duì)于分?jǐn)?shù)的意義的理解也就水到渠成了.
又如蘇教版教材五年級(jí)上冊(cè)“認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)”一課，教師利用與學(xué)生生活密切聯(lián)系的三件事情：① 1路公交車(chē)在中間第一站上來(lái)了8人，第2站下去了3人. ② 本學(xué)期我們四年級(jí)轉(zhuǎn)來(lái)25名新同學(xué)，五年級(jí)轉(zhuǎn)走16名同學(xué). ③ 小明媽媽投資股票，3月份賺了5000元，4月份虧了2000元. 引導(dǎo)學(xué)生親自動(dòng)手記錄數(shù)據(jù)，學(xué)生在對(duì)不同記錄方法的分析、比較中，親身經(jīng)歷“符號(hào)化”、“數(shù)學(xué)化”的過(guò)程，充分體會(huì)到負(fù)數(shù)產(chǎn)生的必要性. 然后在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生簡(jiǎn)單了解負(fù)數(shù)的產(chǎn)生歷史，加深對(duì)負(fù)數(shù)意義的理解，教學(xué)效果事半功倍.
四、強(qiáng)化知識(shí)之間的聯(lián)系，促進(jìn)認(rèn)數(shù)教學(xué)的有效實(shí)施
在小學(xué)階段，對(duì)于數(shù)的認(rèn)識(shí)，從縱向看，包括整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)的有關(guān)概念和負(fù)數(shù)的初步認(rèn)識(shí)；從橫向看，包括數(shù)的意義、數(shù)的讀法和寫(xiě)法、數(shù)的大小比較、數(shù)的性質(zhì)、數(shù)的改寫(xiě). 有經(jīng)驗(yàn)的教師都知道：因?yàn)閷W(xué)生每天都能接觸到數(shù)，所以對(duì)于數(shù)的知識(shí)不容易遺忘. 而學(xué)生學(xué)習(xí)的薄弱點(diǎn)更多集中在對(duì)數(shù)的概念模糊不清，對(duì)于數(shù)的認(rèn)識(shí)沒(méi)有整體性，解決問(wèn)題缺乏靈活性. 我們?cè)诮虒W(xué)中必須加強(qiáng)知識(shí)之間的溝通，提高有效性.
如在“認(rèn)識(shí)小數(shù)”教學(xué)時(shí)，教師要抓住小數(shù)與分?jǐn)?shù)（分母是10，100，1000，…）之間的內(nèi)在聯(lián)系，把小數(shù)的概念建立在十進(jìn)制分?jǐn)?shù)的基礎(chǔ)上，借助直觀感性材料米尺、人民幣、1噸等，分別把它們平均分成10份、100份、1000份……這樣的一份或幾份可以用分?jǐn)?shù)表示，也可以用小數(shù)表示，從而揭示小數(shù)與分?jǐn)?shù)之間的聯(lián)系：一位小數(shù)表示十分之幾，兩位小數(shù)表示百分之幾，三位小數(shù)表示千分之幾……引導(dǎo)學(xué)生探究并揭示小數(shù)的意義.
《詩(shī)經(jīng)》上說(shuō)“如切如磋、如琢如磨”，這是研究課堂教學(xué)的一種境界。在研討交流中，我深深為許衛(wèi)兵老師的深入思考（對(duì)教材的深入分析、對(duì)相關(guān)材料的閱讀、教學(xué)想突破的“問(wèn)題”）所折服，真的是“小數(shù)不小，小數(shù)的世界很大”。對(duì)于一線教師與教學(xué)研究者來(lái)說(shuō)，小數(shù)的世界之“大”，就“大”在讓我們深入地追問(wèn)與思考一些問(wèn)題。
“小數(shù)初步認(rèn)識(shí)”到底“教什么”？
課程改革后，不同版本教材都是“螺旋上升”式地處理“小數(shù)的認(rèn)識(shí)”，各教材的整體設(shè)計(jì)不盡相同，但在第一次“認(rèn)識(shí)小數(shù)”時(shí)都把握了共同的原則：（1）基于學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)學(xué)習(xí)小數(shù)，在具體的“量”中理解小數(shù)的現(xiàn)實(shí)意義，這里“具體的‘量’”主要指錢(qián)數(shù)、長(zhǎng)度；（2）都是“規(guī)定”小數(shù)是十進(jìn)分?jǐn)?shù)的另一種表示方法；（3）溝通用“整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)”都能表示同一個(gè)“量”，北師大版主要是溝通用“整數(shù)、小數(shù)”表示同一個(gè)量；（4）都涉及到純小數(shù)和混小數(shù)的認(rèn)識(shí)。下面以人教版、北師大版、蘇教版為例，簡(jiǎn)要概述“小數(shù)的初步認(rèn)識(shí)”的內(nèi)容安排。
人教版在《小數(shù)初步認(rèn)識(shí)》中要學(xué)習(xí)一位、二位小數(shù)，是從“生活中的小數(shù)（價(jià)錢(qián)）”引入，理解用小數(shù)表示的價(jià)錢(qián)是什么意思，通過(guò)呈現(xiàn)小數(shù)在生活中的應(yīng)用場(chǎng)景讓學(xué)生感受到小數(shù)是一個(gè)生活中常見(jiàn)的“數(shù)”，進(jìn)而以“米制系統(tǒng)”為直觀模型認(rèn)識(shí)一位小數(shù)就是十分之幾的分?jǐn)?shù)、二位小數(shù)就是百分之幾的分?jǐn)?shù)，認(rèn)識(shí)小數(shù)數(shù)位上的數(shù)字的“分?jǐn)?shù)意義”以及“現(xiàn)實(shí)意義”。在此基礎(chǔ)上，在“做一做”的活動(dòng)中，再用整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)表示“錢(qián)數(shù)”，進(jìn)一步讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到“同一個(gè)量，既可以用自然數(shù)表示，也可以用小數(shù)、分?jǐn)?shù)表示”。其難點(diǎn)是當(dāng)兩位小數(shù)中十分位、百分位是“0”時(shí)如何用小數(shù)表示現(xiàn)實(shí)的量。
北師大版也是學(xué)習(xí)一位、二位小數(shù)，一直以“人民幣”為直觀模型學(xué)習(xí)小數(shù)（包括小數(shù)的加減運(yùn)算），借助于小數(shù)位上各數(shù)字的“人民幣”意義學(xué)習(xí)，不涉及“分?jǐn)?shù)”（教材中《小數(shù)的初步認(rèn)識(shí)》在前，《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)》在后）。
蘇教版則只學(xué)習(xí)一位小數(shù)，“米制系統(tǒng)”、“人民幣”兩個(gè)直觀模型都用，首先借助“米制系統(tǒng)”模型呈現(xiàn)一位小數(shù)就是“分母是10的分?jǐn)?shù)”的另一種記法，然后再用“人民幣”認(rèn)識(shí)混小數(shù)，認(rèn)識(shí)“混小數(shù)”能突破學(xué)生總認(rèn)為“小數(shù)是比‘1’小的數(shù)”的錯(cuò)誤思維定勢(shì)。只有蘇教版教材在《小數(shù)初步認(rèn)識(shí)》就提出“整數(shù)部分”、“小數(shù)部分”的概念，認(rèn)識(shí)小數(shù)點(diǎn)左邊的數(shù)是小數(shù)的整數(shù)部分，小數(shù)點(diǎn)右邊的數(shù)是小數(shù)的小數(shù)部分。
在認(rèn)識(shí)小數(shù)的“學(xué)具”方面，人教版、蘇教版還使用了“長(zhǎng)（正）方形”的面積模型、線段圖模型以及“數(shù)軸”（習(xí)題中），而北師大版則不涉及這些直觀“模型”，主要借助人民幣認(rèn)識(shí)小數(shù)。
小數(shù)的含義是“規(guī)定的”還是“發(fā)現(xiàn)”的？
弄清楚了“教什么”，接下來(lái)就是“怎么教”的問(wèn)題：學(xué)生如何理解一個(gè)概念？教學(xué)如何“教”概念？杜威“由生活經(jīng)驗(yàn)向科學(xué)概念的運(yùn)動(dòng)過(guò)程就是教學(xué)”這一重要的教學(xué)思想，在學(xué)科課堂教學(xué)中如何落實(shí)？是“告知”學(xué)生概念的意義還是讓學(xué)生探索、概括發(fā)現(xiàn)概念的意義？尤其教學(xué)“認(rèn)識(shí)小數(shù)”時(shí)這兩種教學(xué)方式容易引發(fā)爭(zhēng)議。
幾乎所有版本的教材都是這樣處理小數(shù)的意義的：5/10米還可以寫(xiě)成0.5米。即小數(shù)是十進(jìn)分?jǐn)?shù)的另一種表達(dá)形式，一位小數(shù)就是十分之幾，兩位小數(shù)就是百分之幾，依此類推。
很多教師認(rèn)識(shí)，小數(shù)的意義是“規(guī)定”的，教學(xué)時(shí)就是告訴學(xué)生這個(gè)規(guī)定而無(wú)需學(xué)生探究。但許衛(wèi)兵老師執(zhí)教的《認(rèn)識(shí)小數(shù)》則走了另外一條路：在學(xué)生對(duì)用小數(shù)表示“錢(qián)數(shù)”已有生活經(jīng)驗(yàn)、知道其現(xiàn)實(shí)意義的基礎(chǔ)上，借助于分?jǐn)?shù)的面積模型，讓學(xué)生在“折一折”、“畫(huà)一畫(huà)”的活動(dòng)中探究發(fā)現(xiàn)并概括出“零點(diǎn)幾就是十分之幾”、“零點(diǎn)幾的意義和十分之幾的意義相同”的結(jié)論。即學(xué)生頭腦中先有“小數(shù)”，然后通過(guò)探究發(fā)現(xiàn)“一位小數(shù)實(shí)際上就是分母是10的分?jǐn)?shù)”，讓學(xué)生有一種“頓悟”、有一種發(fā)現(xiàn)了隱藏的秘密的快樂(lè)。進(jìn)而再將這一發(fā)現(xiàn)拓展應(yīng)用到“米制”模型，以鞏固對(duì)一位小數(shù)的認(rèn)識(shí)和理解。
這樣做符合執(zhí)教者的主旨：確立真正的兒童立場(chǎng)，讓學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)真正在概念學(xué)習(xí)中發(fā)揮作用，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)概念學(xué)習(xí)的“案例――原則――模仿――運(yùn)用”的探究發(fā)現(xiàn)式過(guò)程。因此許老師說(shuō)：從學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)的角度看，將“價(jià)錢(qián)之間的轉(zhuǎn)化”作為例題素材、“長(zhǎng)度之間的轉(zhuǎn)化”作為習(xí)題素材更為合適，因?yàn)閷W(xué)生缺乏足夠的“小數(shù)表示的長(zhǎng)度”這一經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，“5/10米還可以寫(xiě)成0.5米”這一直接表明分?jǐn)?shù)、小數(shù)之間關(guān)聯(lián)的結(jié)論，教師除了采用講解的方式直接“告訴”學(xué)生，別無(wú)他法。
但是，可能有教師會(huì)追問(wèn)：是學(xué)生獨(dú)立探究發(fā)現(xiàn)“零點(diǎn)幾就是十分之幾”還是規(guī)定“十分之幾就是零點(diǎn)幾”？即小數(shù)的意義到底是“規(guī)定的”還是“發(fā)現(xiàn)”的？
這個(gè)問(wèn)題要從兩個(gè)方面來(lái)看。首先，從小數(shù)的產(chǎn)生發(fā)展史看，先有分?jǐn)?shù)后有小數(shù)，小數(shù)的意義是“人為”規(guī)定的。16世紀(jì)荷蘭的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，同時(shí)也是一位軍人的斯蒂文最早發(fā)明小數(shù)，當(dāng)時(shí)是為了便于計(jì)算復(fù)雜的利息問(wèn)題。斯蒂文發(fā)現(xiàn)，當(dāng)利率都是以10、100、1000等作為分母時(shí)，按照復(fù)利計(jì)算的利息問(wèn)題將變得簡(jiǎn)單，其結(jié)果都是以分母是10、100、1000等的分?jǐn)?shù)表示。但還是不太便于比較大小和計(jì)算，于是他發(fā)現(xiàn)用“小數(shù)”（當(dāng)時(shí)的小數(shù)書(shū)寫(xiě)形式不是現(xiàn)在的樣子，沒(méi)有小數(shù)點(diǎn)）表示非常方便，于是創(chuàng)造出“十進(jìn)小數(shù)”，進(jìn)行小數(shù)的四則計(jì)算非常簡(jiǎn)單，類似于自然數(shù)的四則計(jì)算。從其發(fā)生的本源來(lái)看，小數(shù)是基于十進(jìn)分?jǐn)?shù)而創(chuàng)造出來(lái)的，是“原創(chuàng)的”。實(shí)際上，人為的“約定”、“規(guī)定”就是人的一種創(chuàng)造，是一種新的頓悟與發(fā)現(xiàn)。
其次，從學(xué)生學(xué)習(xí)的角度看，通過(guò)個(gè)別案例的探索，發(fā)現(xiàn)（對(duì)于學(xué)生而言是教師引領(lǐng)下的“真正發(fā)現(xiàn)”）小數(shù)的含義是學(xué)生的“再創(chuàng)造”過(guò)程。讓學(xué)生經(jīng)歷這個(gè)“再創(chuàng)造”過(guò)程遠(yuǎn)比告知學(xué)生“十分之幾就可以記作零點(diǎn)幾”更有價(jià)值，也就是許老師執(zhí)教本節(jié)課的目的所在。
那么這樣做的價(jià)值何在？?jī)r(jià)值就在于讓學(xué)生體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)秘密的快樂(lè)。荷蘭著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾在《作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)》中說(shuō)：“要知道，泄露一個(gè)可以由學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)的秘密，那是‘壞’的教學(xué)法，甚至是罪惡。”這符合他一貫倡導(dǎo)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是“再創(chuàng)造”的過(guò)程。許老師執(zhí)教的“認(rèn)識(shí)小數(shù)”就落實(shí)了這一數(shù)學(xué)觀，讓學(xué)生經(jīng)歷“再創(chuàng)造”與發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，體驗(yàn)到獨(dú)立發(fā)現(xiàn)秘密的樂(lè)趣，這才是學(xué)生可持續(xù)學(xué)習(xí)能力培養(yǎng)的深層動(dòng)力。
用可視化的“形”認(rèn)識(shí)抽象的“數(shù)”的意義何在？
用可視化的“形”認(rèn)識(shí)抽象的“數(shù)”的意義，即如許老師所強(qiáng)調(diào)的：有了與現(xiàn)實(shí)生活、與兒童經(jīng)驗(yàn)的對(duì)接，學(xué)生對(duì)小數(shù)的認(rèn)識(shí)也就得以通過(guò)“慢鏡頭”來(lái)完成。教學(xué)不應(yīng)停留在教師直接的講解和“告訴”，而應(yīng)讓學(xué)生充分展開(kāi)探索過(guò)程，借助于直觀圖示的形象支撐，建立起了一位小數(shù)的“直觀模型”（長(zhǎng)方形等分、涂色）。然后將一位小數(shù)（純小數(shù)、混小數(shù)）的認(rèn)識(shí)拓展到“米制系統(tǒng)”，進(jìn)而再在半抽象半形象的“數(shù)軸”上認(rèn)識(shí)小數(shù)（從“米尺”到“數(shù)軸”的抽象過(guò)程非常巧妙）。
從借助“面積模型”、“線段圖模型”到“數(shù)軸”來(lái)認(rèn)識(shí)小數(shù)，所用的工具從直觀形象到半抽象半形象，符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，有助于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程的順利展開(kāi)與實(shí)施。其實(shí)更為重要的是，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用這些直觀模型為學(xué)生理解和運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”思想積累了數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生逐步學(xué)會(huì)“用形象來(lái)滋養(yǎng)抽象，用直覺(jué)來(lái)涵養(yǎng)思維”，這是幫助學(xué)生清晰地掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的重要“法寶”。數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累與豐富不能夠依賴教師的“告知”與重復(fù)性的“練習(xí)”，需要學(xué)生的親自探究與體驗(yàn)，借助于多種模型和途徑（可以說(shuō)，這三種直觀模型貫穿于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的始終）充分地展開(kāi)探究過(guò)程，學(xué)生的體驗(yàn)與感受就越強(qiáng)烈，理解就越深刻，數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)就越豐富和靈活。
“告知”式的教學(xué)可能“省時(shí)”、“省力”，但這是短期效果；“慢鏡頭”教學(xué)從短期看“費(fèi)事”、“費(fèi)時(shí)”、“費(fèi)力”，但其長(zhǎng)期效果不容忽視：有助于教師深入解讀教學(xué)內(nèi)容，研究學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)條件與路徑，設(shè)計(jì)有價(jià)值的數(shù)學(xué)活動(dòng)；有助于提升教師的執(zhí)教能力；有助于學(xué)生經(jīng)歷探究發(fā)現(xiàn)過(guò)程，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感受體驗(yàn)探究發(fā)現(xiàn)的樂(lè)趣，真正落實(shí)“三維教學(xué)目標(biāo)”的整合。
人教版數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)第32-33頁(yè)。
教學(xué)目標(biāo)：
1.進(jìn)一步認(rèn)識(shí)小數(shù)，會(huì)進(jìn)行小數(shù)和分?jǐn)?shù)的轉(zhuǎn)化。
2.結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn)，了解小數(shù)的產(chǎn)生，通過(guò)推理等。
3.明確一位小數(shù)表示十分之幾，兩位小數(shù)表示百分之幾，三位小數(shù)表示千分之幾……實(shí)際也就是讓學(xué)生明白，每相鄰兩個(gè)小數(shù)單位之間的進(jìn)率是10。
教學(xué)過(guò)程：
一、從生活中感知小數(shù)的意義
課前準(zhǔn)備：讓學(xué)生用米尺測(cè)量自己喜歡的物體。如：課桌的高度、長(zhǎng)度、自己的身高、同學(xué)的身高……
思考：在測(cè)量中，你發(fā)現(xiàn)了什么？遇到了什么困難？
課堂中讓學(xué)生說(shuō)出自己測(cè)量出的數(shù)據(jù)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)學(xué)生報(bào)出的數(shù)據(jù)中有小數(shù)的存在，讓學(xué)生自己感知，在測(cè)量時(shí)，往往不能正好得到整數(shù)的結(jié)果，這時(shí)要用小數(shù)來(lái)表示。并指導(dǎo)學(xué)生看圖，看看自己測(cè)量時(shí)碰到的情況是否和圖中小朋友碰到的情況一樣。
在進(jìn)行測(cè)量和計(jì)算時(shí)，往往不能正好得到整數(shù)的結(jié)果，這時(shí)也常用小數(shù)來(lái)表示。
二、從探究中感知小數(shù)的意義
把1m平均分成1000。
小數(shù)的計(jì)數(shù)單位是十分之一、百分之一、千分之……?分別寫(xiě)作0.1、0.01、0.001……
每相鄰兩個(gè)計(jì)數(shù)單位之間的進(jìn)率是（ ）。
分?jǐn)?shù)：____ ____ ____
小數(shù)：____ ____ ____
1.運(yùn)用米和分米的關(guān)系探究一位小數(shù)的改寫(xiě)。
教師出示尺子圖，師生共同探究，讓學(xué)生把1米平均分成10份，讓學(xué)生說(shuō)出1米=（ ）分米，再讓學(xué)生標(biāo)出米尺上的1分米、2分米、3分米……10分米。教師巡視指導(dǎo)，并讓學(xué)生說(shuō)出1分米處實(shí)際就是1米的（ ）分之（ ）處，2分米處實(shí)際就是1米的（ ）分之（ ）處，3分米處實(shí)際就是（ ）米的（ ）分之（ ）處，以此類推，說(shuō)到10分米處（即10分之10處），讓學(xué)生說(shuō)出10分之10處就是1米處。再讓學(xué)生說(shuō)出1/1米寫(xiě)成小數(shù)就是0.1米，2/10米寫(xiě)成小數(shù)就是（ ）米，3/10米寫(xiě)成小數(shù)就是（ ）米，一直寫(xiě)到10/10米就是1米。
2.運(yùn)用米和厘米的關(guān)系，探究?jī)晌恍?shù)的改寫(xiě)。
出示把1米平均分成100份的尺子D，請(qǐng)學(xué)生說(shuō)出1米=（ ）厘米，接著讓學(xué)生說(shuō)出1米平均分成1 00份的一份實(shí)際就是（ ）厘米，即1厘米處實(shí)際就是1/100米處，也就是（0.01）米處，2厘米處實(shí)際就是（ ）分之（ ）米，也就是（ ）（填小數(shù)）米處，3厘米處就是（ ）分之（ ）米，也就是（ ）（填小數(shù)）米處。讓學(xué)生盡量多說(shuō)一些數(shù)字，教師點(diǎn)名抽查學(xué)生說(shuō)的情況。
3.運(yùn)用認(rèn)識(shí)米和毫米的關(guān)系，探究三位小數(shù)的改寫(xiě)。
出示把1米平均分成1000份尺子圖，請(qǐng)學(xué)生說(shuō)出1米=（ ）毫米，接著讓學(xué)生說(shuō)出1毫米實(shí)際就是1/1000米處，也就是（0.001）米處，2毫米實(shí)際就是2/1000米處，也就是（0.002）米處，3毫米實(shí)際就是3/1000米處，也就是（0.003）米處，以此類推，讓學(xué)生盡量多說(shuō)說(shuō)。教師根據(jù)學(xué)生實(shí)際點(diǎn)名讓學(xué)生說(shuō)，多提問(wèn)幾個(gè)學(xué)生。
三、動(dòng)手操作。感知小數(shù)的意義
1.涂一涂。
（1）教師在黑板上畫(huà)出10個(gè)大小相同的圓，并把每個(gè)圓平均分成10份，點(diǎn)名讓學(xué)生分別上黑板涂出第1個(gè)圓的1份、2份、3份、4份、5份、6份、7份、8份、9份、10份。并讓學(xué)生在圖形下面寫(xiě)出所表示的分?jǐn)?shù)是（ ）分之（ ），小數(shù)是（ ）。同時(shí)，全體學(xué)生也一同練習(xí)。師生共同檢查學(xué)生填寫(xiě)情況。如果有錯(cuò)誤，讓別的學(xué)生給予訂正。
（2）教師出示三個(gè)平均分成100份的正方形，點(diǎn)名讓第一個(gè)學(xué)生涂出9格，第二個(gè)學(xué)生涂出15格，第三個(gè)學(xué)生涂出33格。涂好后在下面分別寫(xiě)上分?jǐn)?shù)和小數(shù)。其他學(xué)生也一起練習(xí)。
2.解決問(wèn)題，感知小數(shù)在生活中的意義。
（1）小東的爸爸有1000元錢(qián)，交電話費(fèi)150元，買(mǎi)牙膏用了25元，買(mǎi)小菜用了15元，交電話費(fèi)用了這些錢(qián)的幾分之幾？買(mǎi)牙膏用了這些錢(qián)的幾分之幾？買(mǎi)小菜用了這些錢(qián)的幾分之幾？
（2）變一變。（把老師念的分?jǐn)?shù)改寫(xiě)成小數(shù)，小數(shù)改寫(xiě)成分?jǐn)?shù)。）如：
師：千分之二 生寫(xiě)：0.002
師：百分之二 生寫(xiě)：0.02
師：十分之二 生寫(xiě)：0.2
（教師根據(jù)實(shí)際設(shè)計(jì)，以學(xué)生熟練掌握為標(biāo)準(zhǔn)。）
教師巡視學(xué)生做題情況，對(duì)有困難的學(xué)生及時(shí)給予指導(dǎo)。
四、總結(jié)小數(shù)的意義
1.從以上的內(nèi)容我們可以看出，分母是10、100、1000……的分?jǐn)?shù)可以用小數(shù)表示。
下面是“小數(shù)的性質(zhì)”教學(xué)時(shí)，教師遭遇到的尷尬情形。
師：以元為單位，3角怎么表示？
生：0.3元。
師：那30分呢？
生：0.30元。
師：以米為單位，3分米怎么表示？
生：0.3米。
師：那30厘米呢？
生：0.30米。
師：你發(fā)現(xiàn)了什么？
生：0.3元=0.30元，0.3米=0.30米。
教師擦去單位名稱，剩下0.3=0.30，問(wèn)：那現(xiàn)在相等嗎？
很多學(xué)生頓了一下后回答：不相等！
教師一愣，有點(diǎn)惱怒地告誡學(xué)生：不相等？！想清楚了再回答。它們相等嗎？
生（齊聲）：相等！
……
【“問(wèn)”：病歷記錄】
課后，教師找來(lái)這些發(fā)出“異”見(jiàn)的學(xué)生，咨詢他們當(dāng)時(shí)認(rèn)為“0.3≠0.30”的真實(shí)想法。
生1：“我當(dāng)時(shí)是這么想的，0.3元≠0.30米，所以0.3≠0.30。”
生2：“我當(dāng)時(shí)也覺(jué)得0.3≠0.30，因?yàn)?.3和0.30的后面可以隨便跟什么單位，比如0.3千克和0.30克也不相等。”
生3：“我的想法跟他們一樣，0.3和0.30有時(shí)候相等，有時(shí)候不相等，后面的單位相同時(shí)，0.3=0.30；后面的單位不相同時(shí)，0.3≠0.30，所以0.3和0.30在沒(méi)有單位的情況下就無(wú)法比較。”
……
教師又問(wèn)：“上完課，現(xiàn)在你們知道0.3=0.30了吧？”學(xué)生點(diǎn)頭。
接著教師假設(shè)：“如果課一開(kāi)始直接讓你們比較0.3與0.30的大小，你們覺(jué)得自己會(huì)嗎？”
生1：“我覺(jué)得自己會(huì)比較的。我會(huì)把它們看成0.3元和0.30元，0.3元=3角，0.30元=30分=3角，所以0.3=0.30。”
生2：“我會(huì)這么想，在它們后面添上單位“米”，0.3米=3分米，0.30米=30厘米=3分米，所以0.3=0.30。“
生3：“我會(huì)把它們畫(huà)成這樣的圖（如下圖），它們涂色部分的面積相等，所以0.3=0.30。”
……
教師好奇地問(wèn)前兩位學(xué)生：“你們?cè)趺磿?huì)想到添上這兩個(gè)單位的？”結(jié)果他們回答說(shuō)是以前在認(rèn)識(shí)小數(shù)的時(shí)候老師都是這么教的。
最后，教師不無(wú)遺憾地跟這些學(xué)生說(shuō)道：“瞧，現(xiàn)在你們挺清楚的嘛，當(dāng)時(shí)怎么就糊涂了呢？！”他們不好意思地吐了吐舌頭。接著一個(gè)孩子說(shuō)出了讓人瞠目結(jié)舌的秘密：“是老師把我弄糊涂了。老師問(wèn)我們：‘那現(xiàn)在相等嗎？’，讓我誤以為老師是在故意反過(guò)來(lái)問(wèn)，正好前面有‘元’和‘米’，于是就想岔了。”其他學(xué)生也若有所思。
【“切”：病理診治】
這一節(jié)課出現(xiàn)的病癥并不是這一節(jié)課所形成的，而是以前一連串教學(xué)中的問(wèn)題慢慢積累而成的，只不過(guò)這一節(jié)課設(shè)置的情境成了問(wèn)題的導(dǎo)火索，使學(xué)生對(duì)知識(shí)的誤解暴露無(wú)遺。
在這節(jié)課中，“元”和“米”為何在學(xué)生頭腦中留下這么深刻的印象，以至于陷在生活的“泥潭”而不能自拔，一是因?yàn)榻滩脑诮虒W(xué)小數(shù)的意義（認(rèn)識(shí)小數(shù)第一次安排在三年級(jí)，第二次安排在五年級(jí)）、小數(shù)的大小等內(nèi)容時(shí)都是回到購(gòu)物和測(cè)量這兩大學(xué)生常見(jiàn)的生活情境之中理解知識(shí)、解決問(wèn)題，結(jié)果導(dǎo)致學(xué)生“留戀”于生活“走不出來(lái)”；二是因?yàn)橐恍┙處熢诮虒W(xué)的時(shí)候過(guò)多、過(guò)久滯留于生活情境之中，對(duì)知識(shí)抽象不足或抽象太晚，結(jié)果導(dǎo)致學(xué)生“流連”于生活“走不出來(lái)”。
充分利用學(xué)生生活中的數(shù)學(xué)進(jìn)行教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)“生活化”的主要做法，這種由生活實(shí)踐形成的各種數(shù)學(xué)知識(shí)和技能具有直接性的特點(diǎn)，這種直接性十分有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，而且置身于實(shí)際情境往往也有利于主體更好地發(fā)揮自己的聰明才智，有助于學(xué)生更快更好地理解和掌握抽象的知識(shí)。然而，也正由于它是與各個(gè)具體情境直接相聯(lián)系的，與實(shí)物、事物對(duì)應(yīng)性強(qiáng)，因此相應(yīng)的知識(shí)和技能的可遷移性差，概括性、抽象性水平低，從而就表現(xiàn)出一定的局限性。如建構(gòu)主義所指明的那樣，在數(shù)學(xué)教學(xué)中通過(guò)“貼近生活”得以調(diào)動(dòng)的學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)就未必如我們所期望的那樣，恰能為抽象的數(shù)學(xué)概念或知識(shí)的學(xué)習(xí)提供合適的基礎(chǔ)，還可能包括許多不相干的，甚至是有一定干擾性的成分，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生負(fù)面效應(yīng)：影響學(xué)生完成從特殊到一般的抽象過(guò)程。
上述課例中，學(xué)生根據(jù)教師創(chuàng)設(shè)的情境，由自身生活中的經(jīng)驗(yàn)，很快得出“0.3元=0.30元”和“0.3米=0.30米”，此時(shí)的0.3和0.30都有具體的含義，學(xué)生的思維一如既往地被框在具體的情境中，無(wú)法一下子跳出來(lái)、轉(zhuǎn)過(guò)來(lái)。正因?yàn)樯钪杏玫拇蠖嗍敲麛?shù)，它們有具體的含義，所以當(dāng)數(shù)后面沒(méi)有單位名稱時(shí)，學(xué)生的腦海中還“留戀”或“流連”在單位名稱上，無(wú)法確定具體含義，于是就認(rèn)為它們不相等，可以說(shuō)，正是這種思想的局限性影響了知識(shí)的正遷移。
要解決這一種陷于生活的“泥潭”而不能自拔的問(wèn)題，有效克服低層次、低水平學(xué)習(xí)的局面，需要教師從知識(shí)的“上游”和教學(xué)的“上端”加以整治，改變抽象程度不高的知識(shí)表征方式和教學(xué)表達(dá)方式。按照知識(shí)的序列，三年級(jí)的“小數(shù)的初步認(rèn)識(shí)”是知識(shí)的起步，教材采用了學(xué)生熟悉的測(cè)量和購(gòu)物情境，利用“米”與“分米”、“元”與“角”之間的進(jìn)率關(guān)系來(lái)幫助學(xué)生理解十分之幾就是零點(diǎn)幾的關(guān)系。在認(rèn)識(shí)小數(shù)第一課時(shí)，教師就應(yīng)該做好知識(shí)的抽象工作，當(dāng)借助情境推出知識(shí)后，教學(xué)就應(yīng)該去情景化，把學(xué)生的注意力集中在知識(shí)的“本身”――本課研究的是“數(shù)”。
認(rèn)識(shí)一個(gè)事物就是把這個(gè)對(duì)象從與它相關(guān)的事物中相剝離的過(guò)程。然而，在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生在研究小數(shù)和分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系時(shí)，常常始終“帶”著情境中的數(shù)量，知識(shí)抽象得并不“干凈”。因此，對(duì)測(cè)量情境中產(chǎn)生的小數(shù)，教師要么框出其中的“數(shù)”，如：
要么用紅色粉筆突出其中的“數(shù)”，要么在黑板上擦去或在屏幕上隱去其后的單位名稱，僅把“數(shù)”留在學(xué)生的視野里。
緊隨其后，教師應(yīng)進(jìn)一步抓住購(gòu)物情境中產(chǎn)生的小數(shù)與測(cè)量情境中產(chǎn)生的小數(shù)進(jìn)行意義的比對(duì)與同化。例如，“0.5元”與“0.5米”去除單位后小數(shù)意義相同，都表示，然后把小數(shù)的意義通過(guò)“方形圖線段圖數(shù)軸圖”反映出來(lái)，讓學(xué)生領(lǐng)悟小數(shù)在數(shù)學(xué)中的不同表征方式，進(jìn)而強(qiáng)化小數(shù)的意義，引導(dǎo)學(xué)生排除生活情境的干擾，走向數(shù)學(xué)的最深處。
一旦前期的知識(shí)抽象徹底，等到教學(xué)“小數(shù)的性質(zhì)”時(shí)，學(xué)生就不會(huì)那么容易受困于生活情境之中，而能夠清楚地明白教師所提出的“0.3和0.30是否相等”這一問(wèn)題指向的是數(shù)的大小比較，與數(shù)量無(wú)關(guān)。
從上述課例中，我們還能夠發(fā)現(xiàn)另外一個(gè)涉及教師教學(xué)行為的問(wèn)題。學(xué)生之所以會(huì)去牽扯小數(shù)的數(shù)量，一方面與教學(xué)從生活引入有關(guān)，另一方面與教師問(wèn)話有關(guān)，“那現(xiàn)在相等嗎”讓學(xué)生誤以為教師說(shuō)的是反話，從而想方設(shè)法證明0.3和0.30不相等。之所以會(huì)產(chǎn)生這樣的誤解，是因?yàn)樵谝酝慕虒W(xué)中，限于時(shí)間，教師大多會(huì)直接擦去單位名稱直接揭示“0.3=0.30”，而不會(huì)多此一問(wèn)，反之，如果教師突然多此一問(wèn)，就會(huì)讓學(xué)生以為教師故此一問(wèn)，是反話正說(shuō)。由此可見(jiàn)，教師的“反常”會(huì)引起學(xué)生的懷疑，從而誤入歧途。當(dāng)然，如果學(xué)生基礎(chǔ)扎實(shí)，不管教師怎樣說(shuō)、怎樣問(wèn)，都會(huì)意志堅(jiān)定。
其實(shí)，教到“小數(shù)的性質(zhì)”這一步，學(xué)生的學(xué)習(xí)已經(jīng)多次經(jīng)歷了從生活到數(shù)學(xué)、從特殊到一般的過(guò)程，已具有了豐富的生活經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)。只要知識(shí)抽象得徹底，“小數(shù)的性質(zhì)”這一節(jié)課不妨換一種教學(xué)路線，采用從一般到特殊的思路來(lái)設(shè)計(jì)教學(xué)：課一開(kāi)始，讓學(xué)生直接思考“0.3和0.30是否相等”這一數(shù)學(xué)問(wèn)題，估計(jì)會(huì)有許多學(xué)生憑直覺(jué)會(huì)猜測(cè)0.3和0.30相等，教師就可以充分利用學(xué)生的這種想法甚至爭(zhēng)議，引導(dǎo)學(xué)生去自己尋找方法來(lái)證明自己的觀點(diǎn)或別人的觀點(diǎn)。此時(shí)，學(xué)生會(huì)主動(dòng)遷移以前的相關(guān)經(jīng)驗(yàn)，像上述課后訪談中的那些學(xué)生的想法一樣，或利用購(gòu)物或測(cè)量的生活情境來(lái)尋找答案，或通過(guò)畫(huà)圖（不畫(huà)圖亦可）直接從這些小數(shù)所表示的分?jǐn)?shù)意義上來(lái)說(shuō)明問(wèn)題，當(dāng)然也可能有學(xué)生把0.3和0.30放入前一節(jié)課剛學(xué)的數(shù)位順序表中來(lái)解釋。而教師可以事先為學(xué)生提供米尺、方格紙、數(shù)位順序表等探索工具。
從數(shù)學(xué)回溯到生活，這樣“倒行逆施”的教法可以最大程度上避開(kāi)生活對(duì)學(xué)生思考問(wèn)題的負(fù)面影響。在這里，學(xué)生成功地運(yùn)用了“關(guān)系映射反演”原則：給每個(gè)數(shù)加上一個(gè)單位，比如“米”，這樣就形成了“數(shù)”與“長(zhǎng)度”的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，“長(zhǎng)度”是“數(shù)”在這個(gè)映射下的像。利用生活經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，得到了像之間的關(guān)系（0.3米=0.30米），然后利用“反演”得出這兩個(gè)像的原像之間的關(guān)系（0.3=0.30）。學(xué)生運(yùn)用“關(guān)系映射反演”原則來(lái)解決問(wèn)題，從一般到特殊，從而有效地避免了由生活經(jīng)驗(yàn)（特殊）到數(shù)學(xué)知識(shí)（一般）所帶來(lái)的“意外”。
當(dāng)然，為了使學(xué)生適應(yīng)這樣的思考問(wèn)題、研究問(wèn)題的方式，我們?cè)诮虒W(xué)五年級(jí)的“小數(shù)的再認(rèn)識(shí)”時(shí)，就可以嘗試改變“小數(shù)的初步認(rèn)識(shí)”時(shí)所遵循的“生活應(yīng)用數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)”的一般教學(xué)程序，而采用“數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)生活解釋”這樣逆向行駛：先讓學(xué)生根據(jù)已知的“一位小數(shù)表示十分之幾”猜想出“兩位小數(shù)表示百分之幾、三位小數(shù)表示千分之幾……”，然后讓學(xué)生回到購(gòu)物和測(cè)量的生活情境中尋找依據(jù)，在此正好與教材例題實(shí)現(xiàn)對(duì)接。
這樣反其道而行之的教學(xué)思路，還有一個(gè)更大的好處是，可以有效地改變慣常和平常的教學(xué)方式，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，真正讓學(xué)習(xí)變成學(xué)生自己的事。因?yàn)槿说乃季S和人體的健康系統(tǒng)具有免疫自檢自適應(yīng)功能一樣，學(xué)生在尋找知識(shí)解釋方法、尋找知識(shí)解釋工具的過(guò)程中，會(huì)根據(jù)知識(shí)的意義進(jìn)行自適應(yīng)的不斷嘗試和不斷調(diào)整，所以，教師不必?fù)?dān)心學(xué)生找不到知識(shí)的“家”。
綜上所述，生活并不總是對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)產(chǎn)生“正能量”，它有時(shí)也會(huì)阻擾學(xué)生更深入的學(xué)習(xí)。經(jīng)驗(yàn)是理解的基礎(chǔ)，提供了把未知的信息模塊連接到已有經(jīng)驗(yàn)結(jié)構(gòu)中去的背景和方法，但有時(shí)也會(huì)產(chǎn)生誤導(dǎo)。希望我們的教師都能明白這一點(diǎn)，千萬(wàn)不要不分階段、不分場(chǎng)合、不分對(duì)象都來(lái)“生活化”一下，如果一味這樣教學(xué)，就可能會(huì)弄巧成拙。
一、突出主體，先行自學(xué)
先學(xué)后教不是不教，而是教的目的和方式有別于先前，重在學(xué)前引導(dǎo)、學(xué)中輔導(dǎo)、學(xué)后督導(dǎo)。在“先學(xué)后教，當(dāng)堂訓(xùn)練”的教學(xué)中，每一步都離不開(kāi)教師。就如同汽車(chē)要上高速公路，若沒(méi)有引橋和匝道，就上不去；如司機(jī)駕車(chē)沒(méi)有路標(biāo)，就可能走錯(cuò)路。教師要當(dāng)好“引橋”“路標(biāo)”，發(fā)揮主導(dǎo)作用，這是學(xué)生學(xué)得好的前提。
1.巧設(shè)提綱，為先學(xué)導(dǎo)航
“先學(xué)后教”的“學(xué)”不是學(xué)生盲目的自學(xué)，應(yīng)是學(xué)生帶著教師布置的任務(wù)、有既定目標(biāo)的自學(xué)。為了提升“先學(xué)”的質(zhì)量與效率，教師應(yīng)根據(jù)所教的內(nèi)容、學(xué)生實(shí)際情況及思維特點(diǎn)，抓住知識(shí)點(diǎn)、突出重點(diǎn)“靠船下篙”，精心設(shè)計(jì)每堂課的“導(dǎo)學(xué)提綱”，為學(xué)生的先行自學(xué)、思考、交流明確方向。如 《精打細(xì)算――小數(shù)除以整數(shù)》 （北師大版四下）一課，其目標(biāo)為：結(jié)合具體情境，體會(huì)小數(shù)除法在日常生活中的應(yīng)用，進(jìn)一步體會(huì)除法的意義；理解、掌握常見(jiàn)的基本數(shù)量關(guān)系；正確掌握小數(shù)除以整數(shù)的計(jì)算方法。由此，依據(jù)教學(xué)目標(biāo)擬定如下導(dǎo)學(xué)提綱：
（1）要解決情境圖中的問(wèn)題，為什么用除法列式？這兩道算式與以前學(xué)過(guò)的除法不同在哪里？由此，你想說(shuō)些什么？
（2）你想怎樣算出“11.5÷5”？你是怎樣理解書(shū)上的兩個(gè)豎式的？
（3）你看懂了“12.96÷6”的計(jì)算過(guò)程嗎？遇到什么困難？除到哪一位出現(xiàn)了問(wèn)題？你想怎樣解決？
（4）現(xiàn)在，你認(rèn)為小數(shù)除以整數(shù)的一般計(jì)算方法是怎樣的？
教師通過(guò)提綱形式的導(dǎo)學(xué)，讓學(xué)生在先學(xué)即預(yù)習(xí)的時(shí)候有章可循，有法可依，思路明確。經(jīng)過(guò)這樣有目標(biāo)、系統(tǒng)性的導(dǎo)學(xué)，學(xué)生對(duì)將要學(xué)習(xí)的新課內(nèi)容有了一定的了解，對(duì)方法有了初步的掌握，為之后課堂上師生、生生之間的互動(dòng)交流、合作探究提供了智力支持，創(chuàng)造了良好的條件。
2.依據(jù)提綱，先行自學(xué)
“先學(xué)”，就是讓學(xué)生圍繞“導(dǎo)學(xué)提綱”結(jié)合具體的例子，通過(guò)獨(dú)立思考、相互討論、互為補(bǔ)充等方式，解讀數(shù)學(xué)文本，找出已知和未知，建立起新舊知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，還有哪些困惑和疑難，為有針對(duì)性地“后教”打下基礎(chǔ)。其流程如下：
匯報(bào)展示：檢查學(xué)生自學(xué)效果，明確教的內(nèi)容。
師：哪一組先來(lái)匯報(bào)？
生1：我們小組想?yún)R報(bào)第一個(gè)問(wèn)題，即“為什么用除法列式”。我們的理由是：因?yàn)樾?shù)除法與整數(shù)除法的意義相同，所以用除法列式。這兩道算式與以前學(xué)過(guò)的除法不同的是它們的被除數(shù)都是小數(shù)。
師：還有其他意見(jiàn)嗎？
生2：我們小組有不同的意見(jiàn)！我們通過(guò)討論、交流發(fā)現(xiàn)：“11.5÷5、12.96÷6”，這里的11.5與12.96表示總價(jià)；5與6表示瓶數(shù)（即數(shù)量）；而11.5÷5、12.96÷6所得的商表示單價(jià)（即一瓶牛奶的價(jià)錢(qián)）。因?yàn)椋瑔蝺r(jià)（一瓶牛奶的價(jià)錢(qián)）=總價(jià)÷數(shù)量（瓶數(shù)），所以用除法計(jì)算。（這樣學(xué)生掌握應(yīng)用題結(jié)構(gòu)的基本數(shù)量關(guān)系是伴隨著對(duì)四則計(jì)算意義的理解和實(shí)際問(wèn)題的“數(shù)學(xué)化”思考實(shí)現(xiàn)的。）
生3：我們小組匯報(bào)第二個(gè)問(wèn)題。我們是把小數(shù)轉(zhuǎn)化成整數(shù)來(lái)計(jì)算，即11.5元=115角，115角÷5=23角，23角=2.3元。
生4：我是列豎式計(jì)算的，如下式，我是這樣想的：先用11除以5得2，2寫(xiě)在個(gè)位1的頭上，再用1.5除以5得0.3，3寫(xiě)在5的頭上。
師：大家還有什么意見(jiàn)嗎？
生5：××同學(xué)（生4），豎式的余數(shù)15可以點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)嗎？（該生說(shuō)不清。）
生6：為什么商的小數(shù)點(diǎn)要與被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊？
生4：這是規(guī)定的，因?yàn)樾?shù)加法中和的小數(shù)點(diǎn)要與加數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊，所以，我認(rèn)為商的小數(shù)點(diǎn)要與被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊。（這是學(xué)生知識(shí)點(diǎn)的“盲區(qū)”，也是本課時(shí)教學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)。在學(xué)生們的相互交流中，為教師的后教找準(zhǔn)了“切入”點(diǎn)。）
生7：我匯報(bào)第三個(gè)問(wèn)題，即12.9÷6。（學(xué)生對(duì)照豎式說(shuō)思考與困惑）當(dāng)除到小數(shù)部分還有余數(shù)時(shí)，我不知道怎么辦，請(qǐng)大家?guī)椭摇?/p>
（在余數(shù)的后面補(bǔ)“0”繼續(xù)除是本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)，即“后教”的重點(diǎn)）
……
這樣，學(xué)生結(jié)合具體的例子，圍繞“導(dǎo)學(xué)提綱”進(jìn)行自學(xué)，對(duì)小數(shù)除以整數(shù)的意義、算理等有了一定的認(rèn)識(shí)，然后集體交流、討論，學(xué)生循序漸進(jìn)理解和掌握了知識(shí)，由淺入深的教學(xué)，教師教得輕松，學(xué)生學(xué)得扎實(shí)。
二、立足疑惑，靈動(dòng)點(diǎn)撥
先學(xué)后教的“教”不是系統(tǒng)講授，而是靈動(dòng)的“點(diǎn)撥”（即引在重點(diǎn)上，導(dǎo)在疑難處，點(diǎn)在困惑時(shí)），教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生的自學(xué)情況進(jìn)行點(diǎn)撥與引導(dǎo)，或規(guī)范其不準(zhǔn)確的表達(dá)或解答其疑惑的問(wèn)題，或糾正其錯(cuò)誤的理解。如前所述：商的小數(shù)點(diǎn)為什么要與被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊是本節(jié)課重點(diǎn)目標(biāo)。當(dāng)學(xué)生通過(guò)自主學(xué)習(xí)、小組合作交流，即經(jīng)過(guò)努力，依然對(duì)小數(shù)除法算理的理解有障礙時(shí)，教師就應(yīng)該轉(zhuǎn)變角色，做到“該出手時(shí)就出手”，參與到學(xué)生的討論之中。比如，可以通過(guò)“元角分”和小數(shù)意義等知識(shí)的提示，引導(dǎo)學(xué)生步步深入，由表及里，去認(rèn)識(shí)知識(shí)（即小數(shù)除以整數(shù)的計(jì)算法則）的本質(zhì)。
具體可從以下方面適時(shí)引領(lǐng)：
（1）在直觀對(duì)比中感知。如，先引導(dǎo)學(xué)生把11.5元轉(zhuǎn)化成115角再除，如左下豎式。再把所得的商23角及被除數(shù)115角化成以元為單位，如右下豎式。讓學(xué)生初步直觀感知“商的小數(shù)點(diǎn)與被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊”這一原理。
（2）在數(shù)的組成中提升。學(xué)生就“商的小數(shù)點(diǎn)為什么要與被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊”有了初步的感知后，可結(jié)合數(shù)的組成（即小數(shù)的意義）相關(guān)知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)著豎式，說(shuō)說(shuō)計(jì)算思路。如先用整數(shù)部分的11除以5，得到商2，余數(shù)是1；再把小數(shù)部分的5落下來(lái)，和余數(shù)1合成1.5，這里的1.5表示15個(gè)0.1（或15個(gè) ），15個(gè)0.1除以5，得到3個(gè)0.1，所以要把3寫(xiě)在十分位上，因此，11.5除以5得數(shù)是2.3。這樣，通過(guò)教師適時(shí)、恰到好處地點(diǎn)撥引導(dǎo)，以及生生間的互為補(bǔ)充，我認(rèn)為學(xué)生對(duì)小數(shù)除法的計(jì)算思路（即算理）會(huì)慢慢清晰起來(lái)。
再如，生7在計(jì)算12.9÷6時(shí)，除到小數(shù)部分還有余數(shù)，不知如何解決，需尋求幫助。此時(shí)，應(yīng)發(fā)揮集體智慧，解決問(wèn)題。如：
師：誰(shuí)來(lái)幫助解決該問(wèn)題？
生8：我們可以幫助他們，除到小數(shù)部分還有余數(shù)的時(shí)候，可以在余數(shù)的末尾補(bǔ)“0”，然后繼續(xù)除。因?yàn)樾?shù)的末尾添上“0”或去掉“0”，小數(shù)的大小不變。但我們的困惑是“3”是什么意思，而在“3”后補(bǔ)一個(gè)“0”變?yōu)?0，那“30”又是何意呢？
在余數(shù)的后面補(bǔ)“0”繼續(xù)除是本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)。當(dāng)學(xué)生在知識(shí)難點(diǎn)處深感困惑時(shí)，教師應(yīng)發(fā)揮主導(dǎo)作用。如：
師：同學(xué)們，這里的9是9個(gè)0.1，除以6得1個(gè)0.1，還余下3個(gè)0.1，不夠6除，所以在“3”的后面添“0”，為“30”，30表示30個(gè)0.01，除以6得5個(gè)0.01（如右式）……
歸納小結(jié)：
師：你有什么收獲？現(xiàn)在，你認(rèn)為小數(shù)除以整數(shù)的一般計(jì)算方法是怎樣的？
生1：通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，我知道了小數(shù)除法與整數(shù)除法的意義相同。
生2：商的小數(shù)點(diǎn)要與被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊，從高位除起。
生3：當(dāng)小數(shù)部分有余數(shù)時(shí)，可以在余數(shù)的末尾補(bǔ)“0”，然后繼續(xù)除。
在學(xué)生交流、討論的基礎(chǔ)上總結(jié)出除法的計(jì)算法則：除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法，按照整數(shù)除法的法則去除，商的小數(shù)點(diǎn)要和被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊；如果除到被除數(shù)的末尾仍有余數(shù)，就在余數(shù)后面添“0”再繼續(xù)除。
三、巧設(shè)練習(xí)，當(dāng)堂訓(xùn)練――提升能力
學(xué)生的數(shù)學(xué)能力不僅在于他們掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的多少，而是看他們能否把所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)、思維方式遷移到實(shí)際問(wèn)題中去，形成學(xué)習(xí)新知識(shí)的能力。而練習(xí)是學(xué)生掌握知識(shí)、形成技能、發(fā)展智力的重要手段。因此，教師在精心設(shè)計(jì)例題教學(xué)的同時(shí)，應(yīng)該精心設(shè)計(jì)練習(xí)、充分運(yùn)用練習(xí)達(dá)到教學(xué)目標(biāo)。如，本課時(shí)在完成新知學(xué)習(xí)后，可設(shè)計(jì)以下練習(xí)：
1.在下面豎式上點(diǎn)上商的小數(shù)點(diǎn)（想想有什么竅門(mén)）
2.練習(xí)套餐
請(qǐng)根據(jù)自己的實(shí)際選擇其中一組或幾組計(jì)算。比比看，誰(shuí)算得又快又對(duì)。
（1）計(jì)算比拼：
93.2÷4= 75.15÷5= 25÷4=
（2）解決問(wèn)題：
①6個(gè)蘋(píng)果1.26千克，平均每個(gè)蘋(píng)果多少千克？
②小紅買(mǎi)6個(gè)蘋(píng)果共花去3.12元，平均每個(gè)蘋(píng)果多少元？
（3）計(jì)算接力（拓展題）：
35.2÷11= 7.79÷95=
練后反饋：
師：大家都做得差不多吧？下面我們一起校對(duì)一下。誰(shuí)愿意把自己的作業(yè)拿到前面展示一下？同桌交換批改。
師：校對(duì)完后，看看自己的練習(xí)情況，你覺(jué)得哪幾道題還存在疑問(wèn)，在題號(hào)前面打上“√”，待會(huì)兒我們一起研究。
師：老師收集了大家的錯(cuò)例，主要集中在下面幾道題目上（挑選其中典型錯(cuò)誤進(jìn)行展示）。誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)這道題怎樣做？需要注意什么？（采用“生教生”的方式進(jìn)行）
【片斷1】
師：（屏幕出示）這是生活中一些物品的單價(jià)。誰(shuí)愿意讀給大家聽(tīng)？
1.一支鋼筆9元；
2.一根橡皮筋0.06元；
3.一個(gè)乒乓球0.8元；
4.一本筆記本2.35元。
師：這節(jié)課，我們就圍繞這幾條信息，展開(kāi)研究。繼續(xù)看屏幕。
（在相應(yīng)的條件后出示問(wèn)題）
買(mǎi)10支鋼筆要多少元？
買(mǎi)7根橡皮筋要多少元？
買(mǎi)3個(gè)乒乓球要多少元？
師：這3個(gè)問(wèn)題你能獨(dú)立解決嗎？列式計(jì)算，不寫(xiě)答話，寫(xiě)在作業(yè)紙上。
師：如果不會(huì)計(jì)算，也沒(méi)關(guān)系，把算式列出來(lái)就行了。
剖析：計(jì)算教學(xué)不僅是為了計(jì)算而計(jì)算，而是要與解決實(shí)際問(wèn)題相結(jié)合，所以這里出示了一組與購(gòu)物情境有關(guān)的條件和問(wèn)題，既要求學(xué)生說(shuō)出相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系式，又要求學(xué)生根據(jù)乘法的意義說(shuō)出用乘法計(jì)算的理由。讓學(xué)生說(shuō)出列式理由，還因?yàn)檫@節(jié)課是小數(shù)乘法的第一課時(shí)，學(xué)生面對(duì)實(shí)際問(wèn)題，雖然能把整數(shù)乘法的意義遷移到小數(shù)乘法中來(lái)，列出乘法算式，但對(duì)于他們來(lái)說(shuō)，乘法的使用范圍畢竟擴(kuò)大了，因此在學(xué)生說(shuō)出列式依據(jù)后，教師明確指出：過(guò)去我們求幾個(gè)相同整數(shù)的和，用乘法計(jì)算比較簡(jiǎn)便，現(xiàn)在求幾個(gè)相同小數(shù)的和，仍然可以用乘法計(jì)算，而且比較簡(jiǎn)便。這樣，既關(guān)注了數(shù)學(xué)知識(shí)的嚴(yán)謹(jǐn)性，使學(xué)生對(duì)乘法意義的認(rèn)識(shí)更加完善，又使接下去的算法探討有了依據(jù)。
【片斷2】
師：0.8×3=2.4（元），這里的2.4元是怎樣算出來(lái)的？同桌互相說(shuō)說(shuō)看。全班交流，屏幕相機(jī)出示。
生1：0.8元=8角，8×3=24（角），24角=2.4元。
師：這是從元角分的單位上理解的。
生2：8（個(gè)0.1）×3=24（個(gè)0.1），24個(gè)0.1是2.4。
師：這是從小數(shù)計(jì)數(shù)單位上理解的。
生3：0.8的小數(shù)點(diǎn)不看，用8×3=24，再點(diǎn)小數(shù)點(diǎn)是2.4。
（因?yàn)榻處焸湔n時(shí)沒(méi)有預(yù)設(shè)到這種情況，怕耽誤上課時(shí)間，更加擔(dān)心如果他已經(jīng)知道小數(shù)和整數(shù)相乘的算法，并把算法講出來(lái)，教師沒(méi)法進(jìn)行后續(xù)教學(xué)，所以在課堂上沒(méi)敢追問(wèn)，而是遲疑片刻后替學(xué)生做出了解答）
師：哦，其實(shí)你就是把0.8看成了8個(gè)0.1。
（課后，我問(wèn)這位學(xué)生是怎樣想的，果不出預(yù)料，他說(shuō)家長(zhǎng)已經(jīng)提前教過(guò)他，小數(shù)乘整數(shù)時(shí)，就看做整數(shù)乘整數(shù)，再看因數(shù)是幾位小數(shù)，積就是幾位小數(shù)）
生4：0.8＋0.8＋0.8=2.4（元）。
師：這是轉(zhuǎn)化為以前學(xué)過(guò)的小數(shù)加法來(lái)計(jì)算。十分位上8×3=24，寫(xiě)4進(jìn)2。
師：這里的0.42元又是怎樣算出來(lái)的？
師：剛才交流算法的過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)，在計(jì)算0.8×3時(shí)都用到了8×3，在計(jì)算0.06×7時(shí)都用到了6×7，也就是說(shuō)在計(jì)算小數(shù)和整數(shù)相乘的時(shí)候，都是把它先看做――整數(shù)乘整數(shù)。
板書(shū)：先按整數(shù)乘。
剖析：將學(xué)生已有的知識(shí)基礎(chǔ)和生活經(jīng)驗(yàn)與當(dāng)下的學(xué)習(xí)內(nèi)容緊密結(jié)合，讓學(xué)生在獨(dú)立思考、自主探索和合作交流中學(xué)會(huì)思考、學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，這是活力課堂的原點(diǎn)。計(jì)算0.8×3等于多少時(shí)，不是告訴學(xué)生怎樣算，而是鼓勵(lì)學(xué)生調(diào)動(dòng)已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，運(yùn)用不同的方法得出結(jié)果，并讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，同時(shí)滲透了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。
【思考】
葉瀾教授指出：一節(jié)充滿生命活力的課具有四個(gè)特點(diǎn)：有意義，有效率，有生成，有遺憾。我想就從這四個(gè)方面來(lái)思考上述幾個(gè)教學(xué)片斷。
一、過(guò)有意義的數(shù)學(xué)生活
“有意義”主要有三層含義：一是學(xué)生必須在課堂教學(xué)中學(xué)到知識(shí)，提高能力，陶冶情感，即學(xué)有所得；二是學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中必須要產(chǎn)生積極的、愉悅的情感體驗(yàn)，即學(xué)有所樂(lè)；三是學(xué)生在這樣的課堂中不斷被激發(fā)出進(jìn)一步學(xué)習(xí)的強(qiáng)烈需求，而且越來(lái)越主動(dòng)地投入到學(xué)習(xí)中去，即學(xué)有所求。當(dāng)“為什么都用乘法計(jì)算？”“0.8×3=2.4（元），這里的2.4元是怎樣算出來(lái)的？”等富有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題呈現(xiàn)在每個(gè)學(xué)生面前時(shí)，學(xué)生解決問(wèn)題的欲望會(huì)油然而生。在問(wèn)題解決任務(wù)的驅(qū)動(dòng)下，學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)在需要得到激發(fā)，他們會(huì)自然而然地主動(dòng)投入到解決問(wèn)題的過(guò)程中去。每個(gè)學(xué)生積極主動(dòng)的參與為師生積極有效的互動(dòng)提供了思維涌動(dòng)的源動(dòng)力。
二、過(guò)有效率的數(shù)學(xué)生活
有效率就是說(shuō)在課堂教學(xué)中能使學(xué)生在知識(shí)與技能，過(guò)程與方法，情感、態(tài)度、價(jià)值觀等方面有所提高。學(xué)生的生活背景、學(xué)習(xí)基礎(chǔ)、個(gè)性差異等迥然不同，因此有效率的課堂不要求每個(gè)學(xué)生都能達(dá)到統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)，但必須使每一位學(xué)生都有不同程度的提高。本教學(xué)設(shè)計(jì)讓學(xué)生解釋“為什么都用乘法計(jì)算？”用已有的知識(shí)解決新的問(wèn)題“0.8×3”的積是多少，并指出“如果不會(huì)計(jì)算，也沒(méi)關(guān)系，把算式列出來(lái)就行了”等，體現(xiàn)了尊重兒童的差異，遵循兒童的認(rèn)知規(guī)律，突出了“自主”“開(kāi)放”的課堂價(jià)值取向。
三、過(guò)有生成的數(shù)學(xué)生活
有生成就是要求我們?cè)谡n堂教學(xué)中強(qiáng)調(diào)動(dòng)態(tài)生成，但是并不忽視有效預(yù)設(shè)的重要性。相反，動(dòng)態(tài)生成的課堂更需要教師課前的有效預(yù)設(shè)。只是課前的有效預(yù)設(shè)不能成為課堂教學(xué)的全部，不能成為束縛學(xué)生動(dòng)態(tài)生成的枷鎖。本教學(xué)設(shè)計(jì)教師為了形成師生積極有效高質(zhì)量的互動(dòng)，促進(jìn)課堂教學(xué)的動(dòng)態(tài)生成，有意識(shí)地從原來(lái)封閉的控制式的教學(xué)向開(kāi)放的教學(xué)轉(zhuǎn)化。
四、過(guò)有遺憾的數(shù)學(xué)生活
當(dāng)然，真實(shí)的教學(xué)不是盡善盡美的，是存在不足的。關(guān)鍵是課后，能否像圍棋運(yùn)動(dòng)員那樣“賽后復(fù)盤(pán)”，回顧課堂中的每一個(gè)環(huán)節(jié)，想想怎樣處理更合適。
關(guān)鍵詞：計(jì)數(shù)；抽象；對(duì)應(yīng)；自然數(shù)；分?jǐn)?shù)
數(shù)是什么？瀏覽中小學(xué)數(shù)學(xué)教材，對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)不斷深入，數(shù)代表的意義越來(lái)越抽象化，數(shù)域慢慢擴(kuò)大。下面，按照中小學(xué)對(duì)數(shù)認(rèn)識(shí)的順序來(lái)談?wù)勚行W(xué)數(shù)學(xué)中學(xué)了哪些數(shù)，這些數(shù)表示的意義是什么？為什么這樣表示？
一、自然數(shù)
自然數(shù)是對(duì)自然界中的實(shí)物進(jìn)行抽象對(duì)應(yīng)的符號(hào)，而抽象對(duì)應(yīng)的方法又在不斷的改進(jìn)中，所以要深層次理解數(shù)的意義，必須要了解數(shù)產(chǎn)生的歷史和計(jì)數(shù)原理。
遠(yuǎn)古時(shí)代，為了記錄勞動(dòng)成果，人們發(fā)明了石子計(jì)數(shù)、結(jié)繩計(jì)數(shù)、刻痕計(jì)數(shù)。以一群羊?yàn)槔活^羊?qū)?yīng)一個(gè)石子，繩結(jié)或刻痕。一頭羊有眾多的屬性，羊角的形狀，羊毛的長(zhǎng)短等，這樣計(jì)數(shù)，依據(jù)的是羊的什么屬性呢？（1）羊的獨(dú)立性，每一只羊是獨(dú)立的。（2）羊的整體性，以一整只羊?yàn)橐粋€(gè)單位。（3）計(jì)數(shù)的群體具有相同的屬性。計(jì)數(shù)的方法是一對(duì)一的抽象對(duì)應(yīng)。
人類在不斷發(fā)展，需要記錄的數(shù)越來(lái)越大，于是增大了計(jì)數(shù)單位，以一個(gè)大的石子代表十只羊或者更多，盡管這樣，原始的計(jì)數(shù)方法還是有很多不足之處，人們就發(fā)明了一些文字符號(hào)，如阿拉伯?dāng)?shù)字并且沿用至今。
對(duì)比古代計(jì)數(shù)方法和阿拉伯?dāng)?shù)字，所依據(jù)的羊的屬性相同，其計(jì)數(shù)的對(duì)應(yīng)方法不同。古代計(jì)數(shù)方法是每一只羊?qū)?yīng)一個(gè)相同的計(jì)數(shù)符號(hào)，加大了計(jì)數(shù)單位后，對(duì)于大的數(shù)還是需要繁多的計(jì)數(shù)符號(hào)；阿拉伯?dāng)?shù)字中，一只羊?qū)?yīng)數(shù)字“1”，兩只羊?qū)?yīng)數(shù)字“2”，以此類推，阿拉伯?dāng)?shù)字用不同的簡(jiǎn)化符號(hào)來(lái)對(duì)應(yīng)不同的羊。這樣就大大簡(jiǎn)化了計(jì)數(shù)的文字符號(hào)，阿拉伯?dāng)?shù)字的位值法，增大了計(jì)數(shù)單位，能表示很大的數(shù)，又便于理解和記錄。
阿拉伯?dāng)?shù)字對(duì)應(yīng)的事物滿足獨(dú)立性、整體性（單個(gè)事物的整體性作為最基本的計(jì)數(shù)符號(hào)，多個(gè)事物又可以看做新的整體對(duì)應(yīng)一個(gè)計(jì)數(shù)符號(hào)）和相同屬性。例如，一片果林的蘋(píng)果，一個(gè)學(xué)校的學(xué)生，一個(gè)人體內(nèi)的某細(xì)胞……這些事物，我們都可以用一些抽象符號(hào)來(lái)與之對(duì)應(yīng)。
數(shù)的發(fā)展初期就是對(duì)這些自然界中實(shí)際存在的事物進(jìn)行抽象對(duì)應(yīng)的符號(hào)，所以這些數(shù)被人們稱作自然數(shù)。
后來(lái)人們用“0”來(lái)對(duì)應(yīng)沒(méi)有任何事物的情況，并把它歸納為自然數(shù)。具體代表沒(méi)有什么事物，要依據(jù)所研究的對(duì)象了，“0”作為一種最特殊的狀況，在實(shí)際研究過(guò)程中，都會(huì)作為一個(gè)特例拿出來(lái)單獨(dú)討論。
二、分?jǐn)?shù)
自然數(shù)和分?jǐn)?shù)的本質(zhì)區(qū)別在于，自然數(shù)與分?jǐn)?shù)分別體現(xiàn)事物的整體與均分的思想。均分也要選擇一定的整體作為基礎(chǔ)，以一堆西瓜為例，首先它滿足自然數(shù)計(jì)數(shù)的三點(diǎn)：獨(dú)立性、整體性、相同屬性，因此，它可以計(jì)作“0，1，2，3，4…”，那么，被分成塊的西瓜用什么符號(hào)來(lái)表示呢？于是人們發(fā)明了分?jǐn)?shù)。
把西瓜分成八份，取一份對(duì)應(yīng)符號(hào)“1/8”（此分?jǐn)?shù)的計(jì)數(shù)單位），取兩份對(duì)應(yīng)符號(hào)“2/8”，以此類推，取八份對(duì)應(yīng)符號(hào)“8/8”，以自然數(shù)計(jì)數(shù)也可對(duì)應(yīng)“1”。
對(duì)于這類均分的事物，就可以用分?jǐn)?shù)來(lái)對(duì)應(yīng)，分?jǐn)?shù)就是這些事物對(duì)應(yīng)的抽象符號(hào)。這些事物同樣滿足獨(dú)立性、整體性、相同屬性。
小數(shù)作為一種特殊的分?jǐn)?shù)，其計(jì)數(shù)單位為：“1/10，1/100，1/1000……”為什么有了分?jǐn)?shù)，還要發(fā)明小數(shù)呢？在計(jì)算和解決一些實(shí)際數(shù)學(xué)問(wèn)題過(guò)程中，分?jǐn)?shù)有諸多不便的地方：（1）有些事物不能清楚地知道被均分成了多少份而取了幾份。（2）分?jǐn)?shù)單位不統(tǒng)一帶來(lái)的不便。因此發(fā)明了小數(shù)，小數(shù)作為分?jǐn)?shù)的近似，不必像分?jǐn)?shù)這樣精確，而小數(shù)又統(tǒng)一了計(jì)數(shù)單位。小數(shù)沿用了整數(shù)的位值法，在任意一個(gè)整數(shù)中，任意選中一個(gè)數(shù)字，左邊一位數(shù)的計(jì)數(shù)單位是當(dāng)前這位數(shù)的10倍，所以個(gè)位的計(jì)數(shù)單位為“1”，第一位小數(shù)上的數(shù)字的計(jì)數(shù)單位為“1/10”，因此稱作“十分位”，以此類推。
三、負(fù)數(shù)
生活中會(huì)有這樣一些量，收入和支出，升高的量和降低的量，增加的量和減少的量……以收入和支出為例，收入5元，支出5元，但是這兩個(gè)5代表的意義不同，所以單單一個(gè)數(shù)字“5”是不能表達(dá)他們的不同的，要在前面加上一些描述性語(yǔ)言來(lái)區(qū)分，即收入和支出，這些語(yǔ)言也是一些抽象的符號(hào)，不過(guò)沒(méi)有數(shù)學(xué)符號(hào)簡(jiǎn)潔。
于是人們用“+”和“-”來(lái)表示這種具有相反意義的關(guān)系，這樣數(shù)字前面加上正負(fù)號(hào)表示了更多的抽象意義。
引入負(fù)數(shù)以后，數(shù)字所抽象對(duì)應(yīng)的事物就從自然界的實(shí)物拓寬到一些事件，以及人類自定義的一些抽象概念。例如：海拔高度，海平面零米是人為規(guī)定的臨界點(diǎn)，高出和低于海平面高度的數(shù)字前面分別加上“+”于“-”，正號(hào)可省略。要用負(fù)數(shù)來(lái)抽象對(duì)應(yīng)事物，必須要注意：（1）臨界點(diǎn)是什么？即“0”表示什么。（2）相反意義的量是什么？（3）確定數(shù)值。
四、有理數(shù)
把自然數(shù)向負(fù)數(shù)擴(kuò)充，正整數(shù)、零、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)；正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為分?jǐn)?shù)；整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。整數(shù)、分?jǐn)?shù)、正數(shù)、負(fù)數(shù)都可以顧名思義，而有理數(shù)卻讓我費(fèi)解了，更有道理的數(shù)？
有理數(shù)是對(duì)“Rational number”的直譯。這詞源自古希臘，詞根為“ratio”，比率的意思。不難理解，有理數(shù)表示的是能化成比率的數(shù)。分?jǐn)?shù)自然能看作一個(gè)比例，整數(shù)又能化成分?jǐn)?shù)，因此，所有的有理數(shù)都能化成比例。有理數(shù)的意義在前面已經(jīng)說(shuō)明，就不在此累述。
五、無(wú)理數(shù)
在研究一些開(kāi)方數(shù)和圓周率時(shí)，人們發(fā)現(xiàn)一些不能表示成比例的數(shù)，對(duì)比有理數(shù)，就稱這些數(shù)為無(wú)理數(shù)。無(wú)理數(shù)可分為正無(wú)理數(shù)、負(fù)無(wú)理數(shù)，所有的無(wú)理數(shù)可化為無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。無(wú)理數(shù)的意義可以類比有理數(shù)得到。
六、復(fù)數(shù)
復(fù)數(shù)是指能寫(xiě)成如下形式的數(shù)a+bi，這里a和b是實(shí)數(shù)，i是虛數(shù)單位（即-1開(kāi)根）。其代表的意義在中小學(xué)階段不作要求，就不作說(shuō)明。
參考文獻(xiàn)：
關(guān)鍵詞：1奇數(shù) ， 2偶數(shù)， 3對(duì)立性， 4 同一性 ， 5哲理整小數(shù)， 6 哲理整性質(zhì)，7對(duì)立統(tǒng)一，8派生子集合， 9為什么1+1=2？等等
1、奇數(shù)與偶數(shù)的對(duì)立性和同一性（理性地認(rèn)識(shí)奇數(shù)與偶數(shù)這對(duì)擁有哲學(xué)和數(shù)學(xué)意義的矛盾）：
如果從自然辯證法（現(xiàn)代哲學(xué)）、數(shù)學(xué)角度出發(fā)去認(rèn)識(shí)奇數(shù)與偶數(shù)這一對(duì)矛盾，偶數(shù)能被2整除、奇數(shù)不能被2整除的傳統(tǒng)理論，只談了差異、排斥與對(duì)立的一面，換言之，僅僅涉及到了奇數(shù)與偶數(shù)（矛盾）的對(duì)立性，沒(méi)有涉及到奇數(shù)與偶數(shù)（矛盾）的同一性與差異中的共性，很顯然是非完整的理性認(rèn)識(shí)、帶有片面性，…，如果奇數(shù)與偶數(shù)是一對(duì)帶有數(shù)學(xué)意義的哲學(xué)矛盾，則這一矛盾的兩個(gè)方面不僅具有對(duì)立性與不同性、而且還存在著同一性與差異中的共性，如果存在著差異中的共性與同一性，必須探索尋求科學(xué)依據(jù)，不能憑空而論，自然辯證法（現(xiàn)代哲學(xué)）和辯證數(shù)值邏輯共同發(fā)現(xiàn)：在數(shù)值邏輯公理系統(tǒng)中，派生子集合，即小數(shù)0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，……，…的絕對(duì)值比其他普通小數(shù)的絕對(duì)值整裝（不要被它小數(shù)性質(zhì)的現(xiàn)象、假象所迷惑），因而從系統(tǒng)的發(fā)展變化的過(guò)程中差別、產(chǎn)生分化出來(lái)、占據(jù)整數(shù)的位置（即派生子集合），充當(dāng)“整數(shù)”，體現(xiàn)其哲理整性質(zhì)，為奇數(shù)能被2哲理整除提供科學(xué)依據(jù)，為奇數(shù)與偶數(shù)這一對(duì)哲學(xué)矛盾提供同一性的科學(xué)依據(jù)，因此，自然辯證法（現(xiàn)代哲學(xué)）為怎樣正確回答為什么1+1=2？這一數(shù)學(xué)真理開(kāi)辟了前進(jìn)道路、指明了前進(jìn)方向，所以，偶數(shù)能被2整除，奇數(shù)不能被2整除確著實(shí)能被2哲理整除，不僅存在著對(duì)立性，尤其存在著共性與同一性，即異中之同、差異中的共性，換言之，奇數(shù)與偶數(shù)存在著同一性、存在著相反相成對(duì)立統(tǒng)一的辯證關(guān)系，奇數(shù)與偶數(shù)不僅是擁有數(shù)學(xué)意義的矛盾，更是一對(duì)擁有哲學(xué)內(nèi)涵的矛盾，那么當(dāng)然需要辯證認(rèn)識(shí)與辯證推理，當(dāng)然更需要自然辯證法（現(xiàn)代哲學(xué)）的指導(dǎo)與哲學(xué)專家的鼎力支持，…。
2、哲理整小數(shù)及其哲理整性質(zhì)：
我們將小數(shù)0.5，-0.5，1.5，-1.5，2.5，-2.5，3.5，-3.5，4.5，-4.5，5.5，-5.5，……，…以及它們的哲理整性質(zhì)統(tǒng)稱為哲理整小數(shù)，…。
何為哲理整性質(zhì)？：即其他普通小數(shù)的絕對(duì)值比哲理整小數(shù)的絕對(duì)值更零散，換言之，哲理整小數(shù)的絕對(duì)值比其他普通小數(shù)的絕對(duì)值“整裝”，這一相比較而言而得到的“整裝”性質(zhì)與整數(shù)的整裝性質(zhì)構(gòu)成異中之同、差異中的共性，我們將這一差異中的共性與同一性稱之為哲理整性質(zhì)，盡管二者是相對(duì)而言的，然而亦是一個(gè)客觀存在，它為奇數(shù)能被2哲理整除提供了客觀上的科學(xué)依據(jù)，這是自然辯證法的重大發(fā)現(xiàn)和自然辯證法的重大勝利！這是世界觀的認(rèn)識(shí)問(wèn)題，很顯然，哲理整小數(shù)具有相互矛盾的雙重性質(zhì)：其一是哲理整性質(zhì)、其二是普通小數(shù)的性質(zhì)，惟獨(dú)哲理整小數(shù)擁有哲理整性質(zhì)，其他普通小數(shù)并不具備哲理整性質(zhì)，特此說(shuō)明，…。
3、哲理整小數(shù)的哲學(xué)與數(shù)學(xué)意義：
哲理整小數(shù)的哲學(xué)與數(shù)學(xué)意義：它揭示著奇數(shù)與偶數(shù)相反相成對(duì)立統(tǒng)一，為奇數(shù)與偶數(shù)提供同一性，為奇數(shù)能被2 哲理整除、為數(shù)學(xué)真理為什么1+1=2？提供科學(xué)依據(jù)，奇數(shù)與偶數(shù)是一對(duì)既屬于哲學(xué)范疇又屬于數(shù)學(xué)范疇的綜合矛盾，整數(shù)與哲理整小數(shù)為偶數(shù)能被2整除、為奇數(shù)能被2哲理整除提供完整科學(xué)依據(jù)，單純的數(shù)學(xué)角度去認(rèn)識(shí)似乎無(wú)法正確理解與接受，相反相成，老子先生早在兩千多年前就提出來(lái)了，即相反的事物擁有同一性，奇數(shù)與偶數(shù)這對(duì)哲學(xué)矛盾也不例外，哲理整小數(shù)的哲學(xué)與數(shù)學(xué)意義主要是為奇數(shù)能被2哲理整除、為奇數(shù)與偶數(shù)相反相成對(duì)立統(tǒng)一提供科學(xué)依據(jù)，即為奇數(shù)與偶數(shù)提供了哲學(xué)意義的同一性，自然辯證法（現(xiàn)代哲學(xué)）為完整數(shù)學(xué)真理指明了前進(jìn)方向！這是自然辯證法（現(xiàn)代哲學(xué)）的重大勝利！
4、哲理整小數(shù)擁有哲理整性質(zhì)的科學(xué)依據(jù)和其來(lái)源：
很顯然，哲理整小數(shù)具有相互矛盾的雙重性質(zhì)：其一是哲理整性質(zhì)、其二是普通小數(shù)的性質(zhì)，分?jǐn)?shù)有分?jǐn)?shù)單位，1/2是最大的分?jǐn)?shù)單位，那么則0.5是最大的小數(shù)單位，最大的小數(shù)單位“0.5”以及辯證數(shù)值邏輯中派生子集合為哲理整小數(shù)具有哲理整性質(zhì)提供科學(xué)依據(jù)，因而，偶數(shù)能被2整除、奇數(shù)不能被2整除，如果將其極端絕對(duì)化了排斥掉了奇數(shù)與偶數(shù)二者的同一性，即如果排斥掉了奇數(shù)能被2哲理整除的性質(zhì)，就要阻礙完整數(shù)學(xué)真理向前發(fā)展與突破，導(dǎo)致不可思議，千百年來(lái)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)數(shù)值邏輯自身的發(fā)展史充分地證明了這一點(diǎn)，偶數(shù)能被2整除，奇數(shù)不能被2整除的傳統(tǒng)理論沒(méi)有回答為什么1+1=2？，這是因?yàn)槠鏀?shù)不能被2整除，理論上無(wú)法直接承認(rèn)、接受2是數(shù)學(xué)公理；這也是算術(shù)（經(jīng)典數(shù)論）的一大遺憾，盡管高深的數(shù)理邏輯具有無(wú)窮無(wú)盡的力量與作用，由于它不能完全徹底取代數(shù)值邏輯的巨大意義與作用，因此偶數(shù)能被2整除，奇數(shù)不能被2整除的傳統(tǒng)理論只把完整的數(shù)學(xué)真理認(rèn)識(shí)了一半（僅僅涉及到了矛盾的對(duì)立性），另一半，即同一性，奇數(shù)能被2哲理整除亦很重要與必要，…。
5、奇數(shù)與偶數(shù)存在著對(duì)立性與同一性的辯證關(guān)系以及蘊(yùn)含著深刻哲學(xué)意義的數(shù)學(xué)真理為什么1+1=2？：
本文將奇數(shù)與偶數(shù)這一對(duì)具有數(shù)學(xué)內(nèi)涵下的哲學(xué)矛盾簡(jiǎn)單的歸納為：偶數(shù)能被2整除，奇數(shù)不能被2整除確著實(shí)能被2哲理整除，奇數(shù)與偶數(shù)不僅存在著對(duì)立性，而且還存在著共性和同一性，即異中之同，差異中的共性，偶數(shù)能被2整除、奇數(shù)能被2哲理整除就是異中之同，差異中的共性與同一性(偶數(shù)能被2整除、奇數(shù)不能被2整除就是指二者差異、排斥與對(duì)立性)，因此說(shuō)，奇數(shù)與偶數(shù)（整數(shù)與哲理整小數(shù)）二者存在著相反相成、對(duì)立統(tǒng)一的辯證關(guān)系，它揭示著2是數(shù)學(xué)公理系統(tǒng)的首要公理，自然辯證法、數(shù)學(xué)二位一體，辯證統(tǒng)一，這是世界觀的認(rèn)識(shí)問(wèn)題，有什么樣的世界觀就有什么樣的認(rèn)識(shí)論、方法論，為什么1+1=2？我們的回答既簡(jiǎn)單又深刻：偶數(shù)能被2整除，奇數(shù)不能被2整除確著實(shí)能被2哲理整除，奇數(shù)與偶數(shù)相反相成對(duì)立統(tǒng)一、擁有對(duì)立性與同一性，2是數(shù)學(xué)首要公理，是啊！它真的既簡(jiǎn)單又深刻，它簡(jiǎn)單的表面上看似是小學(xué)生的基本知識(shí)，但它深刻地不可思議、不可理喻、難以理解與接受，世上有那么多的為什么，為什么迄今為止還沒(méi)有數(shù)學(xué)真理為什么1+1=2？出籠？是它客觀上根本不存在還是我們地球人類沒(méi)有對(duì)它形成理性認(rèn)識(shí)？本文對(duì)此進(jìn)行了探索性地回答，不妥之處敬請(qǐng)諒解，…。
參考文獻(xiàn)
1、《辯證唯物主義和歷史唯物主義原理》，中國(guó)人民大學(xué)出版社出版。
2、《哲學(xué)名詞解釋》，人民出版社出版。
3、《古今數(shù)學(xué)思想》（北京大學(xué)數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)史翻譯組譯）上海科學(xué)技術(shù)出版社出版，1981年7月。原作者：（美國(guó)）M.克萊因 著
數(shù)學(xué)概念是反映數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性和特征的思維形式。小學(xué)數(shù)學(xué)中反映數(shù)和形本質(zhì)屬性的數(shù)字、圖形、符號(hào)、名詞術(shù)語(yǔ)和定義、法則等都是數(shù)學(xué)概念。概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要組成部分，它具有極強(qiáng)的基礎(chǔ)性，概念教學(xué)的效果如何將直接影響學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和掌握，關(guān)系到學(xué)生解題能力的培養(yǎng)與提高。因此,教師指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)概念時(shí)，就要根據(jù)不同概念的不同特征，遵循兒童的認(rèn)識(shí)規(guī)律和認(rèn)知特點(diǎn)，采取適當(dāng)?shù)姆椒ǎ锤兄⑿纬伞㈧柟毯瓦\(yùn)用四個(gè)階段進(jìn)行教學(xué)。
一、發(fā)現(xiàn)概念 領(lǐng)悟概念
小學(xué)生的認(rèn)知特征是從具體逐漸過(guò)渡到抽象。進(jìn)行概念教學(xué)時(shí),教師應(yīng)盡可能將數(shù)學(xué)知識(shí)與學(xué)生在日常生活的、熟悉的、具體的材料相聯(lián)系，這樣就有利于抽象的數(shù)學(xué)概念具體化、形象化，便于學(xué)生的理解,同時(shí)也能激發(fā)學(xué)生的思維和探索新知的欲望。例如學(xué)習(xí)“百分?jǐn)?shù)的意義”時(shí)，教師出示一組在日常生活中經(jīng)常見(jiàn)的數(shù)據(jù)：有一商場(chǎng)的衣服降價(jià)10%；六⑶班同學(xué)的體育合格率達(dá)98%；今年城鎮(zhèn)人口人均收入比去年增長(zhǎng)12.5%……讓學(xué)生初步感知什么樣的數(shù)是百分?jǐn)?shù)。學(xué)生根據(jù)上述的材料會(huì)提出一系列的問(wèn)題：百分?jǐn)?shù)的意義是什么？有什么作用？怎樣讀？怎樣寫(xiě)？百分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)有什么不同……有了這樣的開(kāi)始，再來(lái)學(xué)習(xí)“百分?jǐn)?shù)”的概念就顯得輕松自然了。再如:開(kāi)始學(xué)習(xí)“角”，教師憑借常見(jiàn)的直觀實(shí)物（五角星、三角板等），幫助學(xué)生理解“角”的意義。
對(duì)于發(fā)展性概念，一般采用課前預(yù)習(xí)、課堂復(fù)習(xí)的方式，讓學(xué)生在已有知識(shí)和智力能力的基礎(chǔ)上，通過(guò)已有的概念去認(rèn)識(shí)新的概念，使新概念在已有的概念中深化，產(chǎn)生新的知識(shí)，即在舊概念的基礎(chǔ)上引入新概念。如，講“比的化簡(jiǎn)”時(shí)為了講清“最簡(jiǎn)單的整數(shù)比”這一概念，可以引導(dǎo)學(xué)生回憶運(yùn)用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)約分的道理，復(fù)習(xí)“最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)”的概念，這樣，學(xué)生很快理解了“最簡(jiǎn)單的整數(shù)比”就是“比的前項(xiàng)和后項(xiàng)是互質(zhì)數(shù)的比”。再進(jìn)一步指出化簡(jiǎn)比的方法與約分方法相同，但要注意如果比的前項(xiàng)和后項(xiàng)有小數(shù)或分?jǐn)?shù)，必須轉(zhuǎn)化成整數(shù)比再化簡(jiǎn)。這樣，學(xué)生在學(xué)習(xí)中，就能找出新概念與已有的相關(guān)概念的聯(lián)系與區(qū)別，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移，同時(shí)也鞏固了舊知識(shí)。
二、探究概念、形成概念
當(dāng)學(xué)生感知概念后，為了讓學(xué)生準(zhǔn)確把握概念，必須通過(guò)比較、分析、綜合、概括等思維活動(dòng)和學(xué)習(xí)手段，來(lái)剔除知識(shí)的非本質(zhì)屬性，抽取其基本屬性，認(rèn)真分析概念的內(nèi)涵和外延，并找準(zhǔn)概念中的重點(diǎn)難點(diǎn)給學(xué)生講解，幫助學(xué)生構(gòu)建自己正確、清晰的知識(shí)框架。如揭示倒數(shù)概念時(shí)，應(yīng)重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)“乘積為1”、“互為”兩個(gè)重點(diǎn)，讓學(xué)生明白兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)是表示兩個(gè)數(shù)的關(guān)系，一個(gè)數(shù)是不能稱為倒數(shù)的。再如,什么叫循環(huán)小數(shù)？課本是這樣定義的:“一個(gè)數(shù)的小數(shù)部分,從某一位起，一個(gè)數(shù)字或者幾個(gè)數(shù)字依次不斷重復(fù)出現(xiàn)，這樣的數(shù)叫循環(huán)小數(shù)。”這里要抓住兩點(diǎn)，①前提是一個(gè)數(shù)的小數(shù)部分，與整數(shù)部分沒(méi)關(guān)系，②屬性是一個(gè)數(shù)字或幾個(gè)數(shù)字重復(fù)出現(xiàn)，且是依次不斷的。明確了這兩點(diǎn)就能迅速的判斷出某些數(shù)字是不是循環(huán)小數(shù)，如7777.777、7.32132、2.2020020002……這樣的小數(shù)都不具備循環(huán)小數(shù)的本質(zhì)屬性，所以都不是循環(huán)小數(shù)。而0.324324……、0.146262……具備了循環(huán)小數(shù)的本質(zhì)屬性,它們都是循環(huán)小數(shù)。
在小學(xué)階段的數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，可采用直觀引進(jìn)教學(xué)，因勢(shì)利導(dǎo)，通過(guò)觀察和語(yǔ)言描述提供感性材料，抽象出事物的本質(zhì)屬性；可通過(guò)分析比較概念的關(guān)系或幾何圖形的位置、形狀等變化，突出概念的內(nèi)涵和外延；可充分感知，形成正確表象，給概念下定義。
數(shù)學(xué)中的一些概念是相互聯(lián)系的,既有相同點(diǎn),又有不同之處。劃清了異同界線,才能建立明確的概念。而對(duì)這類概念,應(yīng)用對(duì)比的方法找出它們之間的聯(lián)系、區(qū)別，使學(xué)生更加準(zhǔn)確地理解和牢固記憶學(xué)過(guò)的概念。如教學(xué)“質(zhì)數(shù)和合數(shù)”時(shí)，先給出一些自然數(shù)，讓學(xué)生分別找出這些數(shù)的所有因數(shù)，再比較每個(gè)數(shù)的因數(shù)的個(gè)數(shù)；然后根據(jù)因數(shù)的個(gè)數(shù)把這些數(shù)進(jìn)行分類，①只有一個(gè)因數(shù)的，②只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)的，③除了1和它本身，還有別的因數(shù)的，即因數(shù)有三個(gè)或三個(gè)以上的；最后引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)三類數(shù)的不同特點(diǎn)，總結(jié)出“質(zhì)數(shù)”和“合數(shù)”的定義。
在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，如果能夠把握概念的內(nèi)涵，把握概念教學(xué)的層次，把握概念之間的聯(lián)系和區(qū)別，突出每一個(gè)概念的重點(diǎn)難點(diǎn)，使學(xué)生不僅了解這個(gè)概念是如何表述的，而且了解描述這個(gè)概念的條件是什么，結(jié)論是什么，那么，必然能提高學(xué)生的認(rèn)識(shí)水平和掌握概念的能力。
三、強(qiáng)化概念 鞏固概念
在學(xué)生理解和形成概念基礎(chǔ)上，讓學(xué)生在不同題型、不同方式的訓(xùn)練中，深化對(duì)概念的理解。引導(dǎo)學(xué)生研究、討論，積極思維，才能使學(xué)生深刻理解概念的內(nèi)涵，抓住本質(zhì)屬性，從而使學(xué)生正確地、全面地理解概念，并在理解的基礎(chǔ)上記憶、鞏固概念，這樣學(xué)生所學(xué)到的結(jié)論就不單純是文字的結(jié)論，而是對(duì)概念全面的理解和掌握。比如，在“分?jǐn)?shù)的意義”教學(xué)時(shí)，當(dāng)學(xué)生形成概念后，對(duì)分?jǐn)?shù)意義理解應(yīng)有三次飛躍。第一次是大量感性直觀的認(rèn)識(shí)，結(jié)合具體事物描述分?jǐn)?shù)是一個(gè)什么樣的數(shù)，理解分?jǐn)?shù)是平均分得到的，理解誰(shuí)是誰(shuí)的幾分之幾；第二次飛躍是由具體到抽象，把單位“1”平均分成若干份、1份或幾份……從具體事物中抽象出來(lái)，然后概括出分?jǐn)?shù)的定義，這是感性的飛躍；第三次飛躍是對(duì)單位“1”的理解與擴(kuò)展，單位“1”不僅可以表示一個(gè)物體、一個(gè)圖形、一個(gè)計(jì)量單位，還可以是一個(gè)群體等，最后抽象出：分誰(shuí)，誰(shuí)就是單位“1”，這樣單位“1”與自然數(shù)的“1”的區(qū)別就更加明確了。這樣的三個(gè)層次不是一蹴而就的，要展現(xiàn)出知識(shí)的發(fā)展過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生在知識(shí)的發(fā)展中去理解分?jǐn)?shù)，這個(gè)過(guò)程不是一個(gè)結(jié)論所能代替的。再如學(xué)習(xí)了“比的意義”后，可根據(jù)比與除法、分?jǐn)?shù)之間關(guān)系設(shè)計(jì)練習(xí)，從中明確“除法是一種運(yùn)算，分?jǐn)?shù)是一個(gè)數(shù)，比是表示兩個(gè)數(shù)的倍數(shù)關(guān)系。”
四、運(yùn)用概念、發(fā)展概念
策略一：創(chuàng)設(shè)復(fù)習(xí)情境，集中呈現(xiàn)知識(shí)，梳理知識(shí)網(wǎng)絡(luò)
一般來(lái)說(shuō)，復(fù)習(xí)課在設(shè)計(jì)時(shí)，都假定基本的概念、法則、性質(zhì)、定律已是學(xué)生熟知的知識(shí)，但是這些知識(shí)在學(xué)生頭腦中是分散的、無(wú)序的，因此，需要再現(xiàn)這些知識(shí)，并梳理、儲(chǔ)存這些知識(shí)結(jié)構(gòu)。
1.設(shè)計(jì)有效情境，集中呈現(xiàn)基礎(chǔ)知識(shí)
畢業(yè)班數(shù)學(xué)單元復(fù)習(xí)的內(nèi)容多，而且是學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的內(nèi)容，因此，對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的呈現(xiàn)就不能像新授課那樣依次切入，也不必過(guò)分關(guān)注知識(shí)呈現(xiàn)的有序性和邏輯性，而往往采用某種綜合情境或數(shù)學(xué)題組的形式集中呈現(xiàn)各種有關(guān)的基本知識(shí)，對(duì)這些知識(shí)的來(lái)龍去脈也并非都是一一分析，大多是在學(xué)生相互交流中回憶、完善。
2.采用多種數(shù)學(xué)思維方法，梳理、儲(chǔ)存知識(shí)結(jié)構(gòu)
復(fù)習(xí)課中的基本知識(shí)，一般來(lái)說(shuō)也不是簡(jiǎn)單再現(xiàn)和機(jī)械重復(fù)，關(guān)鍵是要把平時(shí)相對(duì)獨(dú)立地進(jìn)行教學(xué)的概念、法則、性質(zhì)、規(guī)律、方法等以再現(xiàn)、整理、歸納等辦法串起來(lái)，進(jìn)而加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解、溝通，使之條理化、系統(tǒng)化。在知識(shí)結(jié)構(gòu)的梳理與建構(gòu)過(guò)程中，必須依據(jù)復(fù)習(xí)內(nèi)容的特點(diǎn)選擇合適的方法，通常有列表結(jié)構(gòu)編織、樹(shù)狀結(jié)構(gòu)編織、網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)編織等。
策略二：突出重點(diǎn)內(nèi)容，提高單位時(shí)間內(nèi)的復(fù)習(xí)效益
一節(jié)課只有短短的40分鐘，是不可能面面俱到的，而應(yīng)有重點(diǎn)地復(fù)習(xí)。可以突出教材中的重點(diǎn)內(nèi)容進(jìn)行復(fù)習(xí)，也可以突出學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中的難點(diǎn)內(nèi)容進(jìn)行復(fù)習(xí)。復(fù)習(xí)訓(xùn)練的設(shè)計(jì)要有一定的基礎(chǔ)性、綜合性、啟發(fā)性、代表性與典型性，適當(dāng)注意知識(shí)點(diǎn)之間的疊加訓(xùn)練設(shè)計(jì)，注意訓(xùn)練呈現(xiàn)形式與呈現(xiàn)素材的多樣性，舍棄“題海戰(zhàn)術(shù)”，避免機(jī)械重復(fù)的訓(xùn)練，能夠使學(xué)生通過(guò)訓(xùn)練有新的收獲。
如在六年級(jí)下冊(cè)總復(fù)習(xí)第一課時(shí)《整數(shù)、小數(shù)的意義和讀寫(xiě)方法》的教學(xué)中，我們需要準(zhǔn)確地定位復(fù)習(xí)內(nèi)容應(yīng)更側(cè)重于“小數(shù)的意義和讀寫(xiě)方法”，因?yàn)樵凇皫?shù)”的復(fù)習(xí)中也包含了整數(shù)的意義及讀寫(xiě)方法的知識(shí)在內(nèi)。
策略三：突出學(xué)生的主體地位，關(guān)注過(guò)程性目標(biāo)的落實(shí)
教師在新授課的教學(xué)或許已經(jīng)充分考慮并體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位，但一進(jìn)入復(fù)習(xí)階段則又回到了“唯師獨(dú)尊”的局面，“滿堂灌”的情況并不鮮見(jiàn)。復(fù)習(xí)課的教學(xué)中應(yīng)想方設(shè)法讓學(xué)生積極參與到復(fù)習(xí)的全過(guò)程，如知識(shí)的呈現(xiàn)與梳理及自主命題等方面都可組織學(xué)生自主完成。凡是學(xué)生看得懂、講得來(lái)、做得出的內(nèi)容與題目，都要讓學(xué)生獨(dú)立完成，教師不能包辦代替。同時(shí)，教師在復(fù)習(xí)過(guò)程中要注重對(duì)學(xué)生復(fù)習(xí)方法的指導(dǎo)，尤其是對(duì)學(xué)困生復(fù)習(xí)活動(dòng)的指導(dǎo)，將輔導(dǎo)補(bǔ)差工作與課堂教學(xué)同步進(jìn)行。
需要指出的是，“突出學(xué)生的主體地位讓學(xué)生自主復(fù)習(xí)”必須以學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)。為了更好地達(dá)成這一點(diǎn)，教師可有針對(duì)性地指導(dǎo)學(xué)生課前預(yù)習(xí)復(fù)習(xí)內(nèi)容，對(duì)復(fù)習(xí)對(duì)象能基本達(dá)到再認(rèn)甚至再現(xiàn)的水平。教師在引導(dǎo)學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行復(fù)習(xí)的同時(shí)，還需要加強(qiáng)對(duì)學(xué)生復(fù)習(xí)方法的指導(dǎo)。
如在《整數(shù)、小數(shù)的意義和讀寫(xiě)方法》復(fù)習(xí)課的教學(xué)中，我安排學(xué)生課前自主預(yù)習(xí)課本內(nèi)容，學(xué)生對(duì)各知識(shí)點(diǎn)已經(jīng)有了較為清晰的認(rèn)知，而將復(fù)習(xí)的重點(diǎn)轉(zhuǎn)移到對(duì)知識(shí)的整理、分析中來(lái)。通過(guò)看、讀、交流來(lái)再認(rèn)要復(fù)習(xí)的知識(shí);通過(guò)交流、師生共同整理完成“整數(shù)部分”知識(shí)的復(fù)習(xí)，并加強(qiáng)對(duì)復(fù)習(xí)方法的指導(dǎo);再通過(guò)學(xué)生自主交流、自主整理完成“小數(shù)部分”知識(shí)的復(fù)習(xí)，并及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生將整數(shù)知識(shí)與小數(shù)知識(shí)進(jìn)行聯(lián)系、對(duì)比，體會(huì)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系。
策略四：題組訓(xùn)練溝通聯(lián)系，挖掘單元知識(shí)所蘊(yùn)涵的內(nèi)在價(jià)值
新課程明確指出，教材僅僅是我們教學(xué)的基本線索和基本素材，在具體的教學(xué)過(guò)程中，我們“不僅要考慮數(shù)學(xué)自身的特點(diǎn)，更應(yīng)遵循學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理規(guī)律，強(qiáng)調(diào)從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)必須建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上”。這就是說(shuō)，數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)要以學(xué)生的發(fā)展為本，要把學(xué)生的個(gè)人知識(shí)、直接經(jīng)驗(yàn)和現(xiàn)實(shí)世界作為數(shù)學(xué)教學(xué)的重要資源。
策略五：重視元認(rèn)知能力培養(yǎng)，使復(fù)習(xí)成為學(xué)生自我發(fā)展的過(guò)程
在復(fù)習(xí)課教學(xué)中，不同學(xué)習(xí)個(gè)體之間認(rèn)知水平的差異很大，而班級(jí)授課制條件下分層施教往往會(huì)顯得“力不從心”。這就使培養(yǎng)學(xué)習(xí)者自我監(jiān)督、自我檢查、自我反省、自我調(diào)節(jié)的意識(shí)和能力（即元認(rèn)知能力），成為教學(xué)的必然要求。復(fù)習(xí)課教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的元認(rèn)知能力，可以采用以下方法：（1）自我提問(wèn)法。可用于知識(shí)整理過(guò)程中，也可以用于知識(shí)運(yùn)用過(guò)程中。（2）相互提問(wèn)法。兩個(gè)或多個(gè)學(xué)生之間、師生之間就解決問(wèn)題的計(jì)劃（應(yīng)該怎么做）、監(jiān)控（是否這樣做了）、評(píng)價(jià)（做的怎樣）、反思（成功與失敗的原因）互相提問(wèn)。（3）分層練習(xí)法。練習(xí)設(shè)計(jì)既要確保達(dá)成基本教學(xué)目標(biāo)，又要體現(xiàn)一定的彈性，以滿足不同層次學(xué)生的發(fā)展要求。要逐步培養(yǎng)學(xué)生自我評(píng)價(jià)的能力，要使學(xué)生逐步學(xué)會(huì)選擇自己力所能及以至具有挑戰(zhàn)性的練習(xí)。實(shí)踐證明，在復(fù)習(xí)課教學(xué)中培養(yǎng)和訓(xùn)練學(xué)生的元認(rèn)知能力，能促進(jìn)學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)一步完善，更能使學(xué)生在選擇學(xué)習(xí)策略、監(jiān)控和調(diào)節(jié)學(xué)習(xí)過(guò)程的同時(shí)，促進(jìn)自身思維品質(zhì)和思維能力的提高。
策略六：注意培養(yǎng)復(fù)習(xí)興趣，注重?cái)?shù)學(xué)文化的傳承，拓展數(shù)學(xué)視野，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)
傳統(tǒng)的復(fù)習(xí)課教學(xué)中，學(xué)生只是一個(gè)“容器”，他們必須被動(dòng)地接受從“另一個(gè)容器”中倒入的“水”。時(shí)至今日，我們?cè)谂Ω淖兘虒W(xué)方式的同時(shí)還需注重對(duì)學(xué)生復(fù)習(xí)興趣的培養(yǎng)。學(xué)生復(fù)習(xí)的興趣與復(fù)習(xí)的效益是“兩個(gè)成正比例關(guān)系的量”。教學(xué)中要讓學(xué)生體會(huì)復(fù)習(xí)知識(shí)的發(fā)生與發(fā)展過(guò)程，感受數(shù)學(xué)文化的博大精深，豐富認(rèn)知，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，提高復(fù)習(xí)效果。
課程改革的核心是學(xué)生學(xué)習(xí)方式的改革，目前小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)改革中，學(xué)生先自學(xué)然后匯報(bào)所得成為許多老師經(jīng)常采用的教學(xué)方法，然而，由于學(xué)生的認(rèn)知能力的局限，有因?yàn)椴煌瑢W(xué)生間的差異，對(duì)某個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的理解不僅相同，這種“信息差”是課堂教學(xué)的資源，有時(shí)也會(huì)構(gòu)成學(xué)習(xí)的羈絆，使學(xué)生停留在問(wèn)題的表面，滿足于一知半解，不利于學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)，不利于學(xué)術(shù)數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)。如何使我們的數(shù)學(xué)課堂既有溫度，又有深度，是教師們普遍關(guān)心的問(wèn)題，這里教師的導(dǎo)學(xué)起到至關(guān)重要的作用。
蘇教版國(guó)標(biāo)本第十冊(cè)教材《分?jǐn)?shù)與小數(shù)的互化》一課內(nèi)容較多，理解難度不大，與學(xué)生的舊知聯(lián)系很緊密，適合采用自主探究式教學(xué)方式。教學(xué)中可留有空間，無(wú)論是教師提出的有效問(wèn)題還是學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中產(chǎn)生的問(wèn)題都可以有效驅(qū)動(dòng)課堂，讓課堂煥發(fā)活力。
[案例描述]
片段1：?jiǎn)栴}引入
1.師出示例9，指名說(shuō)出圖意。
師：從圖中你獲得了什么數(shù)學(xué)信息？
生1：我知道兩人做彩帶李娟用了0.5米長(zhǎng)，張玲用了米。
生2：我還知道她們兩人一個(gè)用小數(shù)表示彩帶長(zhǎng)度，另一人用分?jǐn)?shù)表示。
2.教師追問(wèn)：你能提出什么問(wèn)題？會(huì)列式解答嗎？
生1：兩人一共用了多少彩帶？用0.5+
生2：李娟用的長(zhǎng)度是張玲的幾分之幾？用0.5÷。
生3：她們誰(shuí)用的彩帶長(zhǎng)？0.5
生4：李娟和張玲相差多少米？-0.5
追問(wèn)：剛才幾位同學(xué)的算式中都有什么共同的地方？（都同時(shí)用小數(shù)和分?jǐn)?shù)）解決這些問(wèn)題都必須將分?jǐn)?shù)和小數(shù)怎樣？（轉(zhuǎn)化）
片段2：比較0.5米和米的大小，揭示分?jǐn)?shù)化成小數(shù)的一般策略。
1.師：怎樣比較0.5米和米的大小？先獨(dú)立思考，再小組交流。
2.學(xué)生匯報(bào)。
生1：跟1米一半比：0.5米就是1米的一半，米超過(guò)了1米的一半，所以0.5米
生2：化成小數(shù)比：=3÷4=0.75，0.5
教師追問(wèn)：把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)0.75的依據(jù)是什么？怎樣把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)？
生3：化成分?jǐn)?shù)比，=，
生4：畫(huà)圖的策略。（具體略）
生5：=1÷2，=3÷4=1.5÷2，可以看出大。
3.比較各種方法，找出一般方法。
師：這些不同的方法有相同之處嗎？你喜歡哪種方法？說(shuō)說(shuō)你的理由。
生1：我喜歡第一種方法，因?yàn)樗羁臁?/p>
生2：雖然第一種方法快，但是第2種方法比較穩(wěn)，任何時(shí)候都能用。
生3：我喜歡畫(huà)圖的方法，形象直觀，但不方便。
生4：這些方法的答案是一樣的，其實(shí)它們都要化成統(tǒng)一的形式才能比出大小。
師：看來(lái)把比較分?jǐn)?shù)和小數(shù)的大小最一般、最常用的方法是把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)，因而我們有必要研究分?jǐn)?shù)化成小數(shù)。教師板書(shū)：分?jǐn)?shù)小數(shù)。
片段3：練習(xí)分?jǐn)?shù)化小數(shù)
1.學(xué)生練習(xí)：做練習(xí)九第8題。把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)（除不盡的要保留三位小數(shù)）挑其中的四題、、、，4人板演。
反饋，重點(diǎn)比較化成小數(shù)的結(jié)果，有的學(xué)生取準(zhǔn)確值，有的學(xué)生保留了三位小數(shù)，讓學(xué)生比較，質(zhì)疑。
強(qiáng)調(diào)計(jì)算要細(xì)心、耐心，確定除不盡時(shí)才取近似值。
2.教師補(bǔ)充：把化成小數(shù)怎么想的？
生1：只要用35÷100=0.35就可以了。
生2：只要根據(jù)小數(shù)的意義“兩位小數(shù)表示百分之幾”，百分之幾就表示兩位小數(shù)可以直接改寫(xiě)成0.35。
師：觀察這題可以從兩種不同的角度把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)，再看剛才我們做過(guò)的題，你想說(shuō)什么？你有怎樣的設(shè)想？
生1：把、、先寫(xiě)成除法算式，再根據(jù)商不變的規(guī)律把它們變成除數(shù)是10、100、1000等分?jǐn)?shù)，再改寫(xiě)。但是我就沒(méi)有辦法了！
生2：是不是找不到一個(gè)整數(shù)和9相乘得10、100、1000……，這個(gè)分?jǐn)?shù)就除不盡呢？
生3：我給生2補(bǔ)充，因?yàn)?的質(zhì)因數(shù)是3和3，10、100、1000等數(shù)的質(zhì)因數(shù)里只有2和5，所以9不行。
生4：我還發(fā)現(xiàn)=0.3，但是0.3×3≠1呀？
師：你們提出了非常有價(jià)值的2個(gè)問(wèn)題。生1、2和3你們可以合作探究，生4的思路可以用來(lái)驗(yàn)證，你舉的特例以后中學(xué)有專門(mén)的介紹。這些有趣的問(wèn)題同學(xué)們可以課后再研究。
片段4：教學(xué)例10，學(xué)習(xí)“小數(shù)化成分?jǐn)?shù)”
1.師：既然分?jǐn)?shù)可以化成小數(shù)，那么你想到——小數(shù)是否也能化成分?jǐn)?shù)呢？
2.師：我們學(xué)過(guò)把小數(shù)化成分?jǐn)?shù)嗎？你能舉例說(shuō)說(shuō)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)的方法嗎？
生：我能，跟剛才的過(guò)程相反，一位小數(shù)表示十分之幾，兩位小數(shù)表示百分之幾，三位小數(shù)表示千分之幾……如0.5=等。教師點(diǎn)評(píng)：這是根據(jù)——小數(shù)的意義直接改寫(xiě)。
3.學(xué)生獨(dú)立完成例10 ，教師指名匯報(bào)說(shuō)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)的依據(jù)。
4.學(xué)生進(jìn)行了必要的練習(xí)后，教師讓學(xué)生出題進(jìn)行分小互化。教師根據(jù)學(xué)生的出題進(jìn)行適當(dāng)點(diǎn)評(píng)，指引學(xué)生有意識(shí)地出題，讓各種類型都成為可能。就在學(xué)生覺(jué)得自己學(xué)得很好很成功時(shí)，有學(xué)生質(zhì)疑。
生1：現(xiàn)在我已經(jīng)能把任何一個(gè)分?jǐn)?shù)化成小數(shù)，除不盡時(shí)可以根據(jù)要求保留相應(yīng)的位數(shù)，但是把小數(shù)化成分?jǐn)?shù)時(shí)，我只能把有限小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，也就是只能化成分母是10、100、1000……這樣的分?jǐn)?shù)，而我們見(jiàn)過(guò)的分?jǐn)?shù)有很多，可以說(shuō)任何不是0的自然數(shù)都可以是分母，這樣的分?jǐn)?shù)是怎樣產(chǎn)生的呢？
生2：我發(fā)現(xiàn)剛才我們始終是把有限小數(shù)化成分?jǐn)?shù)的，要是遇到循環(huán)小數(shù)時(shí)怎么辦呢？是不是先保留再改寫(xiě)成分?jǐn)?shù)呢？……
[案例反思]：
