時間：2023-02-11 19:23:27
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇函數概念，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
本章將集合作為一種語言來學習，使學生感受用集合表示數學內容時的簡潔
性、準確性，幫助學生學會用集合語言描述數學對象，發展學生運用數學語言進行交流的能力.
函數是高中數學的核心概念，本章把函數作為描述客觀世界變化規律的重要數學模型來學習，強調結合實際問題，使學生感受運用函數概念建立模型的過程與方法，從而發展學生對變量數學的認識.
1.了解集合的含義，體會元素與集合的“屬于”關系，掌握某些數集的專用符號.
2.理解集合的表示法，能選擇自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)描述不同的具體問題，感受集合語言的意義和作用.
3、理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集，培養學生分析、比較、歸納的邏輯思維能力.
4、能在具體情境中，了解全集與空集的含義.
5、理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的交集與并集,培養學生從具體到抽象的思維能力.
6.理解在給定集合中，一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集.
7.能使用Venn圖表達集合的關系及運算，體會直觀圖示對理解抽象概念的作用.
8.學會用集合與對應的語言來刻畫函數，理解函數符號y=f(x)的含義;了解函數構成的三要素，了解映射的概念;體會函數是一種刻畫變量之間關系的重要數學模型，體會對應關系在刻畫函數概念中的作用;會求一些簡單函數的定義域和值域，并熟練使用區間表示法.
9.了解函數的一些基本表示法(列表法、圖象法、分析法)，并能在實際情境中，恰當地進行選擇;會用描點法畫一些簡單函數的圖象.
10.通過具體實例，了解簡單的分段函數，并能簡單應用.
11.結合熟悉的具體函數，理解函數的單調性、最大(小)值及其幾何意義，了解奇偶性和周期性的含義，通過具體函數的圖象，初步了解中心對稱圖形和軸對稱圖形.
12.學會運用函數的圖象理解和研究函數的性質，體會數形結合的數學方法.
13.通過實習作業，使學生初步了解對數學發展有過重大影響的重大歷史事件和重要人物,了解生活中的函數實例.
二.編寫意圖與教學建議
1.教材不涉及集合論理論，只將集合作為一種語言來學習，要求學生能夠使用最基本的集合語言表示有關的數學對象，從而體會集合語言的簡潔性和準確性，發展運用數學語言進行交流的能力.教材力求緊密結合學生的生活經驗和已有數學知識，通過列舉豐富的實例，使學生了解集合的含義，理解并掌握集合間的基本關系及集合的基本運算.
教材突出了函數概念的背景教學，強調從實例出發，讓學生對函數概念有充分的感性基礎，再用集合與對應語言抽象出函數概念，這樣比較符合學生的認識規律，同時有利于培養學生的抽象概括的能力，增強學生應用數學的意識，教學中要高度重視數學概念的背景教學.
2.教材盡量創設使學生運用集合語言進行表達和交流的情境和機會，并注意運用Venn圖表達集合的關系及運算，幫助學生借助直觀圖示認識抽象概念.教學中，要充分體現這種直觀的數學思想，發揮圖形在子集以及集合運算教學中的直觀作用。
3.教材在例題、習題教學中注重運用集合的觀點研究、處理數學問題，這一觀點，一直貫穿到以后的數學學習中.
4.在例題和習題的編排中，滲透了集合中的分類思想，讓學生體會到分類思想在生活中和數學中的廣泛運用，這是學生在初中階段所缺少的.在教學中，一定要循序漸進，從繁到難，逐步滲透這方面的訓練.
5.教材對函數的三要素著重從函數的實質上要求理解，而對定義域、值域的繁難計算，特別是人為的過于技巧化的訓練不做提倡，教師要準確把握這方面的要求，防止撥高教學.
6.函數的表示是本章的主要內容之一，教材重視采用不同的表示法(列表法、圖象法、分析法)，目的是豐富學生對函數的認識，幫助理解抽象的函數概念.在教學中，既要充分發揮圖象的直觀作用，又要適當地引導學生從代數的角度研究圖象，使學生深刻體會數形結合這一重要數學方法.
7.教材將映射作為函數的一種推廣，進行了邏輯順序上的調整，體現了特殊到一般的思維規律，有利于學生對函數概念學習的連續性.
8.教材加強了函數與信息技術整合的要求，通過電腦繪制簡單函數動態圖象,使學生初步感受到信息技術在函數學習中的重要作用.
9.為了體現教材的選擇性,在練習題安排上加大了彈性,教師應根據學生實際,合理地取舍.
三.教學內容及課時安排建議
本章教學時間約13課時。
1.1集合4課時
1.2函數及其表示4課時
1.3函數的性質3課時
實習作業1課時
復習1課時
§1.1.1集合的含義與表示
一.教學目標：
l.知識與技能
(1)通過實例，了解集合的含義，體會元素與集合的屬于關系;
(2)知道常用數集及其專用記號;
(3)了解集合中元素的確定性.互異性.無序性;
(4)會用集合語言表示有關數學對象;
(5)培養學生抽象概括的能力.
2.過程與方法
(1)讓學生經歷從集合實例中抽象概括出集合共同特征的過程，感知集合的含義.
(2)讓學生歸納整理本節所學知識.
3.情感.態度與價值觀
使學生感受到學習集合的必要性，增強學習的積極性.
二.教學重點.難點
重點：集合的含義與表示方法.
難點：表示法的恰當選擇.
三.學法與教學用具
1.學法：學生通過閱讀教材，自主學習.思考.交流.討論和概括，從而更好地完成本節課的教學目標.
2.教學用具：投影儀.
四.教學思路
(一)創設情景，揭示課題
1.教師首先提出問題：在初中，我們已經接觸過一些集合，你能舉出一些集合的例子嗎?
引導學生回憶.舉例和互相交流.與此同時，教師對學生的活動給予評價.
2.接著教師指出：那么，集合的含義是什么呢?這就是我們這一堂課所要學習的內容.
(二)研探新知
1.教師利用多媒體設備向學生投影出下面9個實例：
(1)1—20以內的所有質數;
(2)我國古代的四大發明;
(3)所有的安理會常任理事國;
(4)所有的正方形;
(5)湖南省在2004年9月之前建成的所有立交橋;
(6)到一個角的兩邊距離相等的所有的點;
(7)方程的所有實數根;
(8)不等式的所有解;
(9)洞口一中2007年9月入學的高一學生的全體.
2.教師組織學生分組討論：這9個實例的共同特征是什么?
3.每個小組選出——位同學發表本組的討論結果，在此基礎上，師生共同概括出9個實例的特征，并給出集合的含義.
一般地，指定的某些對象的全體稱為集合(簡稱為集).集合中的每個對象叫作這個集合的元素.
4.教師指出：集合常用大寫字母A，B，C，D，…表示，元素常用小寫字母…表示.
(三)質疑答辯，排難解惑，發展思維
1.教師引導學生閱讀教材中的相關內容，思考：集合中元素有什么特點?并注意個別輔導，解答學生疑難.使學生明確集合元素的三大特性，即:確定性.互異性和無序性.只要構成兩個集合的元素是一樣的,我們就稱這兩個集合相等.
2.教師組織引導學生思考以下問題：
判斷以下元素的全體是否組成集合，并說明理由：
(1)大于3小于11的偶數;
(2)我國的小河流.
讓學生充分發表自己的建解.
3.讓學生自己舉出一些能夠構成集合的例子以及不能構成集合的例子，并說明理由.教師對學生的學習活動給予及時的評價.
4.教師提出問題，讓學生思考
(1)如果用A表示高—(3)班全體學生組成的集合，用表示高一(3)班的一位同學，是高一(4)班的一位同學，那么與集合A分別有什么關系?由此引導學生得出元素與集合的關系有兩種：屬于和不屬于.
如果是集合A的元素，就說屬于集合A，記作.
如果不是集合A的元素，就說不屬于集合A，記作.
(2)如果用A表示“所有的安理會常任理事國”組成的集合，則中國.日本與集合A的關系分別是什么?請用數學符號分別表示.
(3)讓學生完成教材第6頁練習第1題.
5.教師引導學生回憶數集擴充過程，然后閱讀教材中的相交內容，寫出常用數集的記號.并讓學生完成習題1.1A組第1題.
6.教師引導學生閱讀教材中的相關內容，并思考.討論下列問題：
(1)要表示一個集合共有幾種方式?
(2)試比較自然語言.列舉法和描述法在表示集合時，各自有什么特點?適用的對象是什么?
(3)如何根據問題選擇適當的集合表示法?
使學生弄清楚三種表示方式的優缺點和體會它們存在的必要性和適用對象。
(四)鞏固深化，反饋矯正
教師投影學習：
(1)用自然語言描述集合{1，3，5，7，9};
(2)用例舉法表示集合
(3)試選擇適當的方法表示下列集合：教材第6頁練習第2題.
(五)歸納整理，整體認識
在師生互動中，讓學生了解或體會下例問題：
1.本節課我們學習過哪些知識內容?
2.你認為學習集合有什么意義?
3.選擇集合的表示法時應注意些什么?
(六)承上啟下，留下懸念
1.課后書面作業：第13頁習題
[關鍵詞] 數學概念 函數的概念 函數的定義域 可操作性
函數，是中等專業學校數學的重要內容。函數的概念，是函數單元教學開章明義的第一課。概念教學，往往容易流于從概念到概念，顯得抽象，枯燥，學生，尤其是中專的學生，對數學的概念往往不重視，對抽象枯燥的函數概念教學更是提不起興趣，嚴重地影響了函數這一重要單元以后的學習。因此，在函數概念的教學，如何化抽象為具體，化枯燥為生動，化從概念到概念為具可操作性，就成為教學中必須解決的一大難題。
為了生動地引入函數的概念，我在教學過程首先引進了三個具體的例子：
①每斤2.5元的菜，買若干斤，應付多少錢？
（分析）以所買斤數為x(斤)，以應付款數為y元，則易得 y=2.5x ,這里的x可以取什么數值？可以取負數嗎？x為負數，表示買菜的人按2.5元每斤的價格賣菜給賣菜人，賣菜人肯定是不接受的。X=0即不買，當然不需要付錢y=0。X為正數，當然就得按照價錢算來付錢了。所以，y=2.5x 。
②把24個蘋果均分給若干個人，要求每個人得到整數個蘋果，每個人可能得幾個？
（分析）設人數為x人，每人得蘋果y個，易知y=24x 。
X可能取什么值？y既要求為正整數，人數x只能取24 的約數：1，2，3，4，6，8，12，24。所以y=24x,x∈｛1,2,3,4,6,8,12,24｝。
③用20m長的鐵絲彎成一個矩形，矩形的面積為多少？
（分析）以矩形的一邊為x(m)，則鄰邊為（10－x）m，矩形面積設為y()，則有：
y=x(10-x)=，那么，這式中的x應取什么數？
顯然矩形的邊長必須大于或等于0（等于0即矩形面積為0），即x應同時滿足兩個條件：
x≥0,10-x≥0 ，即0≤x≤10，所以y=,
在舉例過程，我特別提醒學生注意：x是一個可以變化的量――變量，而x在允許范圍內所取的每一個值y都有而且僅有一個值與這個x值相對應。這樣，y就隨著x的變化而發生變化。因此y也是一個變量。X與y的對應關系叫做對應法則，x，y就是通過某一個對應法則發生對應的。上面所述的y=2.5x，就是x，y這兩個變量在具體問題中的對應法則的具體表示。
有了上面的鋪墊，函數定義及函數的定義域的講授就順理成章了。課本中函數及函數的定義域是這樣的：在某一個變化過程中有兩個變量x和y，設變量x的取值范圍為數集D，如果對于D內的每一個x值，按照某個對應法則f，y都有唯一確定的值與它對應，那么，把x叫做自變量，把y叫做x的函數,表示為y=f(x)。數集D就叫做函數的定義域。
為了使學生更加清晰，我把它分述如下：
一、{x}和{y}是兩個變量集合，研究函數，也就是要研究兩個變量間的對應關系和變化規律。
二、強調對于x在允許范圍內所取得某一個確定值，y都有而且只有唯一的一個值與這個x值對應，否則x，y就不構成函數關系。
可以舉出反例子加以說明。例如,x≥0
對于一個x值（x=0除外），y可以有兩個值與之對應，如x=1y=±1;x=2y=±2等，這樣的x，y就不構成函數關系。
三、x，y兩個變量有一個對應法則，這個對應法則統一用f來表示，前面三例中的y=2.5x，，就是x，y的具體的對應法則，“y是x的函數”可以用數學式y=f（x）來統一表示，前三例便可寫成：,,.
這些具體的對應關系式就稱為函數的解析式（簡稱為函數式）或函數方程。
四、不是所有的實數都可以是x的取值，因為x的取值必須使函數式有意義且符合實際情況。X的可能取值組成的集合稱為函數的定義域。上三例y=2.5x、 y=24x、y=,中，、｛1,2,3,4,6,8,12,24｝、就分別是上述各函數的定義域D。
為了增加概念教學的可操作性，我補充了在學生現階段，函數的定義域可以通過下式方法求出：
①分母式≠0； ②偶次方根的被開方式0； ③實際情況要求的；
要求學生列出不等式求解定義域，且在數軸上表示。相應的例子為：
①，分母式x-2≠0，x≠2；函數定義域為；
②，被開方式1-2x≥0，即，函數定義域為；
③， X必須同時滿足：x-2≠0 ⑴， ⑵
從⑴x≠2，⑵，用數軸畫出，函數的定義域為。
開始時的三例都是從實際中求出函數的定義域的。
最后，我再把函數概念用圖的形式投影打出，并簡單作小結。圖如下：
最后，再用適當的例子和練習鞏固，結束本節教學。
通過對函數的概念這節課的思考和備課，我感到：
①要從學生原有的數學基礎出發，設置梯度不大的鋪墊，一步一步地引入學生未熟悉的數學概念。
②細分數學概念的講解，把數學概念的每一部分闡述清楚，再讓學生領會數學概念的全部與內涵。
③使嚴密和抽象的數學概念變得生動具體，具有一定的可操作性。這樣可以調動起學生學習數學概念的興趣，也使學生容易把握好數學概念。
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1要把握函數的實質
17世紀初期，笛卡爾在引入變量概念之后，就有了函數的思想，把函數一詞用作數學術語的是萊布尼茲，歐拉在1734年首次用f(x)作為函數符號。關于函數概念有“變量說”、“對應說”、“集合說”等。變量說的定義是：設x、y是兩個變量，如果當變量x在實數的某一范圍內變化時，變量y按一定規律隨x的變化而變化。我們稱x為自變量，變量y叫變量x的函數，記作y=f(x)。初中教材中的定義為：如果在某個變化過程中有兩個變量x、y，并且對于x在某個范圍內的每一個確定的值，按照某個對應法則，y都有唯一確定的值與之對應，那么y就是x的函數，x叫自變量，x的取值范圍叫函數的定義域，和x的值對應的y的值叫函數值，函數值的集合叫函數的值域。它的優點是自然、形像和直觀、通俗地描述了變化，它致命的弊端就是對函數的實質——對應缺少充分地刻畫，以致不能明確函數是x、y雙方變化的總體，卻把y定義成x的函數，這與函數是反映變量間的關系相悖，究竟函數是指f，還是f(x)，還是y=f(x)?使學生不易區別三者的關系。
迪里赫萊（P.G.Dirichlet）注意到了“對應關系”，于1837年提出：對于在某一區間上的每一確定的x值，y都有一個或多個確定的值與之對應，那么y叫x的一個函數。19世紀70年代集合論問世后，明確把集合到集合的單值對應稱為映射，并把：“一切非空集合到數集的映射稱為函數”，函數是映射概念的推廣。對應說的優點有：①它抓住了函數的實質——對應，是一種對應法則。②它以集合為基礎，更具普遍性。③它將抽像的知識以模型并賦予生活化，比如：某班每一位同學與身高（實數）的對應；某班同學在某次測試的成績的對應；全校學生與某天早上吃的饅頭數的對應等都是函數。函數由定義域、值域、對應法則共同刻劃，它們相互獨立，缺一不可。這樣很明確的指出了函數的實質。
對于集合說是考慮到集合是數學中一個最原始的概念，而函數的定義里的“對應”卻是一個外加的形式似乎不是集合語言，1914年豪斯道夫（F.Hausdorff）采用了純集合論形式的定義：如果集合fС{(x，y)|x∈A，y∈B}且滿足條件，對于每一個x∈A，若(x，y1)∈f，(x，y2)∈f，則y1=y2，這時就稱集合f為A到B的一個函數。這里f為直積A×B={(x，y)|x∈A，y∈B}的一個特殊子集，而序偶（x，y）又是用集合定義的：（x，y）＝{{x}，{x，y}}.定義過于形式化，它舍棄了函數關系生動的直觀，既看不出對應法則的形式，更沒有解析式，不但不易為中學生理解，而且在推導中也不便使用，如此完全化的數學語言只能在計算機中應用。
2加強數形結合
數學是人們對客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽像概括、形成方法和理論，并進行廣泛應用的過程。在7—12年級所研究的函數主要是冪函數、指數函數、對數函數和三角函數，對每一類函數都是利用其圖像來研究其性質的，作圖在教學中顯得無比重要。我認為這一部分的教學要做到學生心中有形，函數圖像就相當于佛教教徒心中各種各樣的佛像，只要心中有形，函數性質就比較直觀，處理問題時就會得心應手。函數觀念和數形結合在數列及平面幾何中也有廣泛的應用。如函數y=log0.5|x2-x-12|單調區間，令t=|x2-x-12|=|(x-?)2-12.25|，t=0時，x=-3或x=4，知t函數的圖像是變形后的拋物線，其對稱軸為x=?與x軸的交點是x=-3或x=4并開口向上，其x∈(-3，4)的部分由x軸下方翻轉到x軸上方，再考慮對數函數性質即可。又如：判定方程3x2+6x=1x的實數根的個數，該方程實根個數就是兩個函數y=3x2+6x與y=1／x圖像的交點個數，作出圖像交點個數便一目了然。
3將映射概念下放
就前面三種函數概念而言，能提示函數實質的只有“對應說”，如果在初中階段把“變量說”的定義替換成“對應說”的定義，可有以下優點：⑴體現數學知識的系統性，也顯示出時代信息，為學生今后的學習作準備。⑵凸顯數學內容的生活化和現實性，函數是刻畫現實世界數量變化規律的數學模型。⑶變抽像內容形像化，替換后學生會感到函數概念不再那么抽像難懂，好像伸手會觸摸到一樣，身邊到處都有函數。學生就會感到函數不再那么可怕，它無非是一種映射。只需將集合論的初步知識下放一些即可，學生完全能夠接受，因為從小學第一學段就已接觸到集合的表示方法，第二學段已接觸到集合的運算，沒有必要作過多擔心。以前有人提出將概率知識下放的觀點，當時不也有人得出反對意見嗎？可現在不也下放到了小學嗎？如果能下放到初中，就使得知識體系更完備，銜接更自然，學生易于接受，學生就不會提出“到底什么是函數？”這樣的問題。
4區分函數與方程
盡管函數和方程都是反映量與量之間的關系，可函數反映的是變量和變量之間的關系，強調的是一個變量隨另一個變量的變化情況，從函數的角度來看，考慮的是x和y在各自取值范圍內，彼此間怎樣相互變化。而方程反映的是未知量和已知量之間的關系，等式F（x，y）=0是一個方程，只有在一定條件下才能確定為一個函數，從方程的角度來看，考慮的是x和y選取哪些數值時才能使等式成立，另一方面，如果變量x和y的函數關系可以用解析式y=f(x)表示，那就得到一個方程y-f(x)=0，它們是可以互相轉化的，有時用方程知識去研究函數，也常用函數知識去研究方程。
【關鍵詞】 初中數學 函數概念 教學
1. 概念滲透階段，初步認識變量之間的相互關系
函數與我們每個人的生活息息相關，函數關系充斥著我們的生活，函數概念是中學數學中的核心概念，函數思想貫穿中學教材的始終。首先，從初一代數“對字母表示數的認識”開始，學生體驗、認識到了“變量”，在教學中教師要促使學生感受到變量的意義，體驗變量的概念.其次，在“代數式的值”、“數軸和坐標”的教學中再滲透變量的含義，讓學生通過對代數式中字母取值之間的相互關系，滲透關于“對應”概念的初步思想，感受到變量之間的相互聯系。最后，隨著代數式、方程的研究滲透這一觀念，特別是“二元一次方程”的教學環節中，進一步促進學生感受兩個變量之間是彼此關聯的。通過這樣的鋪墊，經過一定量的知識累積，引導學生體會變量之間的相互依存的關系。
2. 概念認知階段，逐步感知變量之間的內在聯系
在初二幾何部分教學中，教材中涉及函數關系的例子非常多。比如“角的平分線的定義”、“中點的定義”、“角度之間的互余、互補”等都揭示了兩個變量之間的聯系。另外像“平行線四邊形的性質”、“中位線定理”等等都蘊涵著函數關系。一方面，教師在傳授這些知識點的 過程中要有不斷滲透變量的意識，即在現實生活中存在著大量的變量，且變量之間并不是獨立的，而是相互聯系的；另一方面，要指導學生在學習這些知識的過程中熟悉把“幾何問題代數化”的方法，為函數的代數和幾何方法的相結合打好必要的基礎，為后續函數概念的學習作好充分的鋪墊。
函數概念的形成用物理上的知識點滲透變量意識，是非常直觀而且有效的方法。物理書中的很多知識點都是促成學生形成函數概念的較好素材。比如速度計算公式v=st中的速度、時間和路程，壓強計算公式P=F/S中壓力、受力面積和壓強之間的關系都是典型的函數關系。從多方面、多學科進行滲透，強化變量之間是相互聯系的觀念。
3. 概念引入階段，順利形成函數概念的感知認識
“建構主義學習理論”認為：“應把學生看成是學生主動的建構活動，學習應與一定的知識、背景即情境相聯系；在實際情境下進行學習，可以使學生利用已有的知識與經驗同化和索引出當前要學習的新知識，這樣獲取的知識，不但便于保持，而且易于遷移到陌生的問題情境中?！?/p>
在學生對變量意識以及變量之間相互依存關系有了初步認識以后，函數概念的教學前期準備工作已經基本完成，接下來就可以開始函數概念的講授了。教師在教授函數概念時，一定要合理設置教學情境，要讓學生清醒地感受到變量意識，然后再講清楚“自變量”、“函數”的名稱及含義，并引導學生學會運用這些名詞來敘述變量間的依存關系，從而熟悉函數概念。
當然學生這時對函數的理解還并不太清晰，正比例函數、一次函數都是比較簡單的函數，在實際生活中也是大量存在的，例如相似三角形、30°角的直角三角形中對應邊之間的比例關系是正比例函數等等。具體例子可以使學生清楚地認識到兩個變量之間的聯系及共性，函數的概念就會逐漸在學生的腦海中留下印記，在以后的反比例函數和二次函數的教學中，可以進一步促進學生深入理解函數概念的內涵與實質。教師在實際教學中能從整體上把握教學，就可以挖掘出最適宜的教學方法，使學生深刻理解函數的實質。
4. 概念延伸階段，逐漸適應函數的學習方法
函數的學習方法與以前代數和幾何的學習方法有著明顯的不同。進入函數表達式開始，由于函數的表達是多樣化的，有圖像法、列表法、解析式法等，許多學生很不適應，怎樣在教學函數時使學生逐漸適應這種多樣化呢？在函數概念的實際教學中，我一般采用教師引導式：先從實際問題引入概念，鼓勵學生以討論的方式，注重分析啟發、鞏固反饋，使學生一點點地認識到函數概念的共同特性；了解不同的方法表示函數的方法在不同情況下的使用情況。
另外，“數形結合法”是函數學習的最重要的學習方法，它和代數方法、幾何方法有著明顯的不同。
學生對“數形結合法”的適應需要一定的時間，因為學生對代數解析式與幾何圖形之間的對應還不適應，從正比例函數到反比例函數，最后進入二次函數的學習過程中，要使學生認識到幾種函數的直觀對應關系：一次函數對應直線，反比例函數對應雙曲線，二次函數對應拋物線.通過對圖像的認識與感知，學生體會到“數形結合法”的優點：“準確簡潔的解析式，直觀形象的圖像?！?/p>
總之，學習函數概念首先要有觀念上的轉變，其次要具備抽象思維能力，提高學生的抽象思維能力和學生的認識能力是使學生形成函數思想的基礎。所以教師在進入函數概念的教學過程中，要把傳授知識和培養思維能力有機結合起來，實現觀念上的轉變。這就要求教師要從整體上處理好教材，使函數概念的教學活動成為一個有機整體，這樣才能在教學活動中真正有效地提高學生的素質。
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【關鍵詞】函數概念；函數定義；定義域；值域；對應法則
在中學數學中函數概念是整個數學的一個核心概念，學習函數對于學生的思維能力的發展具有重要意義，而中學生對于函數概念的理解和學習卻感到非常困難。本文作者是一位高三學生，筆者根據函數概念的發展歷史和自身理解來學習近代函數概念的三要素：定義域、值域和對應法則，并以近年來高考函數例題進行解答。
一、函數概念歷史進程
從17世紀至20世紀上葉，函數概念經歷了漫長的演進過程，在此過程中筆者對諸多數學家們給出的各種定義進行簡述和總結。在函授概念傳統定義中數學家提出最多的是變量對應角度的定義，代表人物德國數學家狄利克雷（L. Dirichlet， 1805―1859）；除了變量對應角度的定義還有集合對應關系的定義，代表人物法國數學家坦納里（J. Tannery， 1848―1910））；映射的定義，代表人物德國數學家戴德金（R. Dedekind， 1831―1916）；解析式的定義，代表人物瑞士數學家約翰?伯努利（John Bernoulli， 1667―1748）；運算的定義，代表人物17世紀蘇格蘭數學家格雷戈里（J. Gregory， 1638―1675）；變量的依賴關系的定義，代表人物法國數學家柯西（A. Cauchy， 1789―1857）；最后是曲線或圖象定義，代表人物數學家歐拉、拉克洛瓦（S.F. Lacroix， 1765―1843）。從上述定義的代表數學家，筆者認為17世紀后函授概念的演進過程是運算―解析式―變量的依賴關系或對應關系―集合的對應關系或映射。
二、近代函數定義
傳統函數定義是設在一個變化過程中有兩個變量x和y，如果對于x的每一個值，y都有唯一的值與它對應，那么就說y是x的函數，x叫自變量，與y值對應的值叫函數值。
例題一：正比例函數y=4x；解析：對于x的每一個實數y，都有唯一的實數與它對應y，x是的4倍；非空數集A、B是實數集R，對應關系f是乘4。
近代函數定義是設A，B，是非空的數集，如果按照某種確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有惟一確定的數f（x）和它對應，那么就稱f：AB為從集合A到集合B的一個函數，記作y=f（x）。其中，x叫做自變量，x的取值范圍叫做函數的定義域；與x值對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f（x）|x∈A}叫做函數的值域。顯然，值域是集合B的子集。
例題二：反比例函數y=；解析：對于不等于0的每個實數，都有與其對應惟一的實數，y是x的倒數；非空集合A是不等于0的全體實數組成的集合{x∈R|x≠0}，非空集合B可以是實數集R（只要包含集合{y|y≠0}即可），對應關系f是求倒數。
由以上兩例題筆者認為初等函數定義與近代函數定義其本質上是相同的，只敘述上的出發點是不相同的，傳統函數定義是從運動變化的觀點出發，而近代函數定義是從集合的觀點出發。函數的實質都是從非空數集A到非空數集B的一個特殊的對應。
三、近代函數定義的三個要素
筆者在初中的時候主要學習了函數的初等定義、一次函數、二次函數、反比例函數；到了高中還要學習函數的近代定義以及對數函數、指數函數等更多函數。因為不管是初中的一次函數還是高中的對數函數都是屬于函數，并且具備共同特征，所以筆者認為函數概念的學習非常重要。
1.近代函數定義三要素的概念。學習近代函數定義主要掌握近代函數的三個要素：定義域（A）、值域（C）和對應法則（f）。定義域是自變量x的取值范圍，是構成函數主要的組成部分。值域C是集合B的子集；集合B中包含了與任意x相對應的y值，還會包含其它數值，所以集合B包含集合C。函數的定義域A和對應法則f來確定函數的值域。
例題三：對應法則f就是集合A到集合B的函數嗎？
解：不是，集合A、B以及對應法則f一起稱為集合A到集合B的函數
2.近代函數定義三要素的三點說明：第一定義域不同，兩個函數不同；如第二對應法則不同，兩個函數不同；第三定義域、值域分別相同的函數，也不一定是同一個函數，還要看對應法則。
例題四：f（x）=4x+2與g（t）=4t+2是同一函數嗎？
解：是的，f（x）=4x+2與g（t）=4t+2定義域都是是4，值域和對應法則都是相同的，所以是同一函數。
注意：函數是兩個數集之間的對應關系，任何字母來表示自變量、因變量以及對應關系都不影響兩個函數是同一函數。
四、結論
對于所有學生來說理解和學習函數概念是中學數學的學習重點，同時也是學習難點。在初中學習函數概念一般采用“變量說”，而在高中學習函數概念一般采用“對應說”，筆者人物它的學習不僅是要掌握和理解函數概念的初等定義和近代定義，還要將實際生活與數學知識有機的結合起來，才能為今后打下良好的學習基礎；才能靈活地解決其函數知識的多變問題，才能提高自身的數學素養和應用數學的能力。
【參考文獻】
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[2]談雅琴.中學生對函數概念的理解[D].華東師范大學，2006
【關鍵詞】變量 函數概念 概念內涵 對應法則
【中圖分類號】 G 【文獻標識碼】 A
【文章編號】0450-9889（2015）03B-0109-02
要提高數學教學質量，必須加強基礎知識、基本方法和基本技能的教學，而概念教學是這“三基”教學的核心。函數是中學數學的主干內容，與中學數學的大部分內容都有密切的聯系。鑒于此，函數概念最早出現在初二下學期的課本，而且在此之前的幼兒園、小學階段都已經滲透了有關函數概念的集合和對應的方法。到了高中，進一步深化函數概念，成為貫穿中學數學知識的一條主線。因此，歷屆數學教育家想方設法編出了循序漸進、螺旋上升、科學合理的函數內容教材，努力提高學生的數學文化知識。可是，教學效果仍然不盡人意，特別是在普通中學，許多學生讀到了高三，還說不清楚什么是函數。在此，筆者想與同行們共同探討如何進行初、高中數學函數概念的教學。
一、如何進行初中函數概念的教學
學生理解數學概念，一般是從感性開始的。采取從感性到理性，又從理性到實踐的過程進行教學，是符合學生認識規律的。課本準備了一些感性材料，讓學生經歷從典型、豐富的具體事例中概括概念本質的活動。初中課本準備了4個不同類型的實際問題：（1）畫出了表示某地某天內的氣溫隨時間變化而變化的圖形曲線。（2）繪出了2006年8月中國人民銀行公布的“整存整取”年利率表，表中顯示了年利率 y 隨著存期 x 的增長而增高。（3）給出了收音機刻度盤上的波長 λ（m）和頻率 f（kHZ） 的對應值表。（4）讓學生根據圓面積公式 S=πr2，填圓半徑 r 與面積 S 的對應值表。在上面的每一個問題中，先后出現了兩個相互依賴、相互制約、相互影響大小的變量，不妨分別用字母 x 和 y 來表示，引導學生發現：先出現的變量 x ，在允許的范圍內每取一個值，都會得出另一個變量 y 的一個值，或者說另一個變量 y 隨之就會只有一個值和它對應。由此概括抽象出初中函數定義：如果在一個變化過程中，有兩個變量，例如 x 和 y ，對于 x 的每一個值， y都有唯一的值與之對應，我們就說 x 是自變量， y 是因變量，此時也稱 y 是 x 的函數?？梢?，函數 y 是一個變量，但它不是獨立變化的變量，而是由自變量自變引起因變量因變的這樣一個變量，于是，把因變量 y 稱作是自變量 x 的函數。學生學習了定義之后，還要讓學生回到實踐，知道在客觀世界中，廣泛存在著函數的事例。比如，正方形的面積 S 是邊長 a 的函數；物體作勻速直線運動的路程 S 是時間 t 的函數等事例。當學生知道函數自變量 x 可以表示時間、長度、路程、電流等變量，知道因變量 y 可以表示溫度、利率、頻率、面積、電壓等變量。知道函數研究的對象是兩個有著主從依賴、互相制約的確定關系的變量，這兩個變量的值存在著一種特殊的對應關系時，學生就理解了初中的函數概念。至于兩個變量之間的主導與從屬關系，在一定條件下可以互相轉化，只能放在高中學習反函數時再去研究。
二、如何進行高中函數概念的教學
高中階段函數的教學是初中階段函數教學的延續，要求學生在集合與對應等思想的基礎上深刻理解函數概念?，F行的高中教材類似于初中教材的設計，從函數具有豐富的實際背景出發，準備了三個不同類型的實際問題。問題（1）給出了炮彈距地面的高度 h（m） 隨時間 t （S）變化的規律 h=130t―5t2。問題（2）中的曲線顯示了南極上空臭氧層空洞面積從1979～2001年的變化情況。問題（3）給出了“八五”計劃以來我國城鎮居民恩格爾系數變化情況表。每個問題都給出了兩個變量各自的變化范圍，教材的意圖是要讓學生知道或發現這兩個變量之間對應關系的共同點，于是讓學生先回答課本 P16 的思考題：分析、歸納以上三個實例，變量之間的關系有什么共同點？
共同點：（1）兩個變量都有各自所屬于的非空數集；（2）這兩個非空數集之間的元素都有一種確定的對應關系 f ，使對于集合 A 中的任意一個數 x ，在集合 B 中都有唯一確定的數 y 和它對應。
不同點：兩個變量的對應關系表現形式不相同，實例（1）是解析式，實例（2）是一條曲線，實例（3）是數據表格。
于是，每個實例中的兩個變量之間的關系都可以描述為：對于數集 A 中的每一個 x ，按照某種對應關系 f ，在數集 B中都有唯一確定的 y 和它對應，并且把這種對應關系記作 f：AB，從而得到了突出“對應關系”的高中函數定義：
設 A ， B 是非空的數集，如果按照某種確定的對應關系 f ，使對于集合 A 中的任意一個數 x ，在集合 B 中都有唯一確定的數 y 和它對應，那么就稱 f：AB為從集合 A 到集合 B 的一個函數，記作 y=f（x）， x∈A。其中， x 叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域，與 x 的值相對應的 y 值叫做函數值，函數值的集合{f（x）│x∈A} 叫做函數的值域。這樣引入函數概念雖然自然，但是，學生知其然而不知其所以然。過去學習了“因變量 y叫做自變量 x 的函數”，現在為什么要把“數集 A 與 B 之間元素的這種對應關系 f：AB叫做從集合 A 到集合 B 的一個函數呢？”過去講的函數是一個變量，現在講的函數是一種對應關系，學生誤以為有兩個完全不同的函數定義。
任何一個概念都反映事物的一定范圍（即事物的集合）和這個范圍內的事物的共同本質。概念所反映事物的范圍（或集合）叫做這個概念的外延，這些事物的本質屬性的總和（或集合）叫做這個概念的內涵。概念的外延和內涵分別描述了事物集合的量和質。定義概念就是準確地揭示它的內涵和外延。在中學進行新概念教學時，既要從學生接觸過的具體內容引入，也要從數學內部問題提出，這是比較好的一種教學方法。
既然學生過去學習了“ y 是 x 的函數”定義，就要從學生的認識水平出發，只要把初中函數定義進一步抽象一點點，把不是最基本的本質屬性“變化過程”和“變量”棄掉，只保留最基本的本質屬性，就會得出高中的函數定義。
現行高中教材準備的三個實際問題，仍然可以作為引入函數概念的具體事例。不過，先要根據這些具體事例，引導學生回憶、回答出初中的函數定義“y是 x 的函數”之后，提問：
一個函數的自變量 x 總有取值范圍嗎？因變量即函數 y 總有變化范圍嗎？
答：都有。
把自變量 x 的取值范圍記作 A ，因變量 y 的變化范圍記作 B 。再提問：
初中函數的最基本的特征是什么？
答：v1w自變量 x 有一個取值范圍 A ，因變量 y 有一個變化范圍 B 。
（2）對于數集 A 中的每一個數 x ，按照某個確定的對應法則 f ，都對應著數集 B 中唯一確定的數 y （把這個 y 記作 f（x））。我們把這種對應關系，稱之為從數集 A 到數集 B 的單值對應，記作f：AB。
我們把從數集 A 到數集 B 的單值對應 f：AB，叫做從集合 A 到集合 B 的一個函數，記作 y= f（x），x∈A。其中，x 叫做自變量，x 的取值范圍 A 叫做函數的定義域，與 x 的值相對應的 y 值（f（x））叫做函數值，函數值的集合{f（x）│x∈A}叫做函數的值域。
這樣，只保留初中函數最基本的兩個特征，就輕松地得出了高中函數定義。
三、初、高中函數定義的實質是一樣的
通過保留初中函數最基本的兩個特征，得出高中函數定義，學生容易知道初、高中函數定義的實質一樣：都是指兩個數集之間的元素單值對應，只不過初中函數定義側重于表達變量變化的結果，而高中函數定義側重于整體表達變量之間的全部對應和變化。初、高中函數定義的這種相同本質，可以用如下的簡易圖形示意：
四、解決初中函數不能解決的一些問題
通過減少初中函數概念的內涵，得到的高中函數概念的外延就會擴大，所以初中函數定義中的每一個函數，即初中講的“ y 是 x 的函數”，都是高中函數定義中的函數，都可以寫成“從集合 A 到集合 B 的一個函數”，但是，反之不成立。這樣，高中函數研究的范圍已經擴大，就能解決初中函數不能解決的一些問題，這就是發展概念的動機和原因。例如：
（1）y=sin2x+cos2x=1（x∈R）是函數嗎？
（2）y=與 y=x 是同一個函數嗎？等等，這些問題如果用初中函數定義就無法回答，但是，用高中函數定義就很容易解決。
五、反思高中函數定義
講授完高中函數定義之后，可讓學生反思：（1）定義中的“……，稱 f：AB為從集合 A 到集合 B 的一個函數”。難道從集合 A 到集合 B 還會有另一個函數？比如，已知y=sin x，x∈[0，]是從集合[0，]到集合[0，1]的一個函數，讓學生找一找從集合[0，]到集合[0，1]的另一個函數，有y=cos x，x∈[0，]，等等。（2）除了高中學的函數之外，還會有別的函數嗎？
例如，設立方體長、寬、高、體積分別為x，y，z，V，則V=xyz，其中x，y，z都是自變量，這是一個有三個自變量的多元函數，不是中學的一元函數。
再如，y=±是函數嗎？
因為它不符合中學函數定義的“單值對應”，所以不是中學的函數，而是中學函數之外的多值函數。
通過反思高中函數定義，就不會書云亦云，師云亦云了。
六、鞏固、發展函數概念
函數概念的形成，不是一二節課就能完成的，學生學習了概念之后，還需要采取一些鞏固、發展概念的措施，羅列一些似是而非、容易產生錯誤的對象讓學生辨析，來促進學生認識概念的本質，確定概念外延的有效手段。例如（選自2011年湖北黃石必修1檢測題）：
在下列從集合 A 到集合 B 的對應關系中，不能確定 y 是 x 的函數是（ ）
（1）A={x│x∈Z}，B={y│y∈Z}，對應法則 f：xy=；
（2）A={x│x>0，x∈R}，B={y│y∈R}，對應法則 f：xy2=3x；
（3）A={x│x∈R}，B={y│y∈R}，對應法則 f：xy：x2+y2=25；
（4）A=R，B=R，對應法則 f：xy=x2；
（5）A={（x，y）│x∈R，y∈R}，B=R，對應法則f：（x，y）S=x+y；
（6）A={x│-1≤x≤1，x∈R}，B={0}，對應法則 f：xy=0。
解析：在對應法則 f 下，（1）A 中不能被 3 整除的數在 B 中沒有象。（2）A 中的數在 B 中有兩個數與之對應。（3）A 中的數（除去±5）在 B 中有兩個數與之對應。（5） A 不是數集。所以（1）（2）（3）（5）都不能確定 y 是 x 的函數。（4）（6）顯然滿足函數的特征， y 是 x 的函數。
一個概念即是對前面知識的總結，又是新知識的出發點，函數研究的是變量間的依賴關系，對應關系，因而討論函數的性質時，還是要突出一個“變”字，圍繞自變量，因變量的變化特征來界定。比如，當自變量 x 在定義域 A 中由小變大時，根據 y=f（x） 的變化特點，提出了函數的“增減性”“奇偶性”和“周期性”等概念。用這樣的思路來進行函數概念和性質的教學，能把概念教活，使學生獲取的知識成為一個有機的整體。
【參考文獻】
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中圖分類號：G633.6文獻標識碼：A文章編號：1003-2738（2011）12-0083-01
摘要：以函數概念教學設計為媒折射教學設計的藝術性、科學性以及教學勞動的創新性。
關鍵詞：函數概念；教學程序；教學方法
一、內容和內容解析
“函數”是中學數學的核心概念。
在初中，學生已經學習過函數概念。初中建立的函數概念是：
一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么，我們就說y是x的函數．其中x稱為自變量。
這個定義從運動變化的觀點出發，把函數看成是變量之間的依賴關系。從歷史上看，初中給出的定義來源于物理公式，最初的函數概念幾乎等同于解析式。后來，人們逐漸意識到定義域與值域的重要性，而要說清楚變量以及兩個變量間變化的依賴關系，往往先要弄清各個變量的物理意義，這就使研究受到了一定的限制。如果只根據變量觀點，那么有些函數就很難進行深入研究。例如：
對這個函數，如果用變量觀點來解釋，會顯得十分勉強，也說不出x的物理意義是什么．但用集合、對應的觀點來解釋，就十分自然。
進入高中，學生需要建立的函數概念是：
設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f（x）和它對應，那么就稱f：AB為從集合A到集合B的一個函數，記作y＝f（x），x∈A。其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合 f（x）|x∈A 叫做函數的值域。這個概念與初中概念相比更具有一般性。
實際上，高中的函數概念與初中的函數概念本質上是一致的，不同點在于表述方式不同──高中明確了集合、對應的方法，初中雖然沒有明確定義域、值域這些集合，但這是客觀存在的，也已經滲透了集合與對應的觀點。
與初中相比，高中引入了抽象的符號f（x）。f（x）指集合B中與x對應的那個數．當x確定時，f（x）也唯一確定。另外，初中并沒有明確函數值域這個概念。
函數概念的核心是“對應”，理解函數概念要注意：
1.兩個數集間有一種確定的對應關系f，即對于數集A中每一個x，數集B中都有唯一確定的y和它對應。
2.涉及兩個數集A，B，而且這兩個數集都非空集。
這里的關鍵詞是“每一個”“唯一確定”。也就是，對于集合A中的數，不能有的在集合B中有數與之對應，有的沒有，每一個都要有，而且，在集合B中只能有一個與其對應，不能有兩個或者兩個以上與其對應。
3.函數概念中涉及的集合A，B，對應關系f是一個整體，是集合A與集合B之間的一種對應關系，應該從整體的角度來認識函數。
二、教材的處理
將映射的定義及類比手法的運用作為本課突破難點的關鍵。函數的定義，是以集合、映射的觀點給出，這與初中教材變量值與對應觀點給出不一樣了，從而給本身就很抽象的函數概念的理解帶來更大的困難。為解決這難點，主要是從實際出發調動學生的學習熱情與參與意識，運用引導對比的手法，啟發引導學生進行有目的的反復比較幾個概念的異同，使學生真正對函數的概念有很準確的認識。
三、教學方法
教學方法：講授為主，學生自主預習為輔。依據是：因為以新的觀點認識函數概念及函數符號與運用時，更重要的是必須給學生講清楚概念及注意事項，并通過師生的共同討論來幫助學生深刻理解，這樣才能使函數的概念及符號的運用在學生的思想和知識結構中打上深刻的烙印，為學生能學好后面的知識打下堅實的基礎。
四、教學程序
（一）課程導入
通過舉以下一個通俗的例子引出通過某個對應法則可以將兩個非空集合聯系在一起。
例1.把高一（12）班和高一（11）全體同學分別看成是兩個集合，問，通過“找好朋友”這個對應法則是否能將這兩個集合的某些元素聯系在一起？
（二） 新課講授
1.接著再通過幻燈片給出六組學生熟悉的數集的對應關系引導學生總結歸納它們的共同性質（一對一，多對一），進而給出映射的概念，表示符號f：AB，及原像和像的定義。強調指出非空集合A到非空集合B的映射包括三部分即非空集合A、B和A到B的對應法則f。進一步引導學生總結判斷一個從A到B的對應是否為映射的關鍵是看A中的任意一個元素通過對應法則f在B中是否有唯一確定的元素與之對應。
2.鞏固練習課本習題。此練習能讓學生更深刻的認識到映射可以“一對一，多對一”但不能是“一對多”。
例1.給出學生初中學過的函數的傳統定義和幾個簡單的一次、二次函數，通過畫圖表示這些函數的對應關系，引導學生發現它們是特殊的映射進而給出函數的近代定義（設A、B是兩個非空集合，如果按照某種對應法則f，使得A中的任何一個元素在集合B中都有唯一的元素與之對應，則這樣的對應叫做集合A到集合B的映射，它包括非空集合A和B以及從A到B的對應法則f），并說明把函f：AB記為y=f（x），其中自變量x的取值范圍A叫做函數的定義域，與x的值相對應的y（或f（x））值叫做函數值，函數值的集合{ f（x）：x∈A}叫做函數的值域。并把函數的近代定義與映射定義比較，使學生認識到函數與映射的區別與聯系。（函數是非空數集到非空數集的映射）。再以讓學生判斷的方式給出以下關于函數近代定義的注意事項：
（1）函數是非空數集到非空數集的映射。
（2）f表示對應關系，在不同的函數中f的具體含義不一樣。
（3）f（x）是一個符號，不表示f與x的乘積，而表示x經過f作用后的結果。
（4）集合A中的數的任意性，集合B中數的唯一性。
（5）“f：AB”表示一個函數有三要素：法則f（是核心），定義域A（要優先），值域C（上函數值的集合且C∈B）。
（三）講解例題
例1.問y=1（x∈A）是不是函數？
解：y=1可以化為y=0*X+1
畫圖可以知道從x的取值范圍到y的取值范圍的對應是“多對一”是從非空數集到非空數集的映射，所以它是函數。
[注]：引導學生從集合，映射的觀點認識函數的定義。
（四）課時小結：
一、初、高中關于函數概念一節的教材對比
我市初二學生使用的滬教版教材在第13章《一次函數》中設置了三個情境：
情境1.用熱氣球探測高空氣象，設熱氣球從海拔500m處的某地升空，它上升到達的海拔高度h與上升時間v的關系；
情境2.S市某日自動測量儀記下的用電負荷曲線（圖像）；
情境3.某型號的汽車在路面上的剎車距離s與車速v之間的關系。
每個例子后面都設置了兩到三個問題，引導學生發現每個例子中的兩個變量以及兩個變量之間的關系，對自變量和因變量的范圍沒有做過多的要求和說明。學生容易得出初中函數的定義：在一個變化的過程中，有兩個變量x和y，如果給定了一個x的值，相應的就確定唯一的一個y值，那么我們稱x是y的函數，其中x是自變量，y是因變量。很顯然，初中函數概念的“變量說”是以運動觀點描述的，是對函數概念的感性認識，直觀、感性、貼近生活，符合初中生的認知特點。緊跟著學生又學習了一次函數、二次函數、反比例函數等具體的函數。通過學習，函數給學生留下的印象就是“兩個變量，一個解析式”，而且其中的自變量基本上都具有一定的物理背景。
我們再來看看人教版高中數學必修一，教材中同樣設置了三個情境：
情境1.炮彈距地面的高度h隨時間t變化的規律；
情境2.1979～2001年南極上空臭氧層空洞的面積的變化情況（圖像）；
情境3.“八五”計劃以來我國城鎮居民恩格爾系數的變化情況（表格）。
在三個情境中都明確給出了其中的兩個變量所在的集合，引導學生從集合、對應的觀點歸納函數的新定義：一般地，設A、B是非空數集，如果按照某種確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f（x）和它對應，那么就稱f：AB為從集合A到集合B的一個函數，記作y=f（x），x∈A.學生已經掌握集合的知識，順理成章地將初中“自變量x的取值范圍”過渡到“定義域”，相對于初中函數，高中函數的定義抽象、理性。
二、高中函數概念的教學策略
（一）從新舊概念沖突入手
由必修一教材中出現的三個例子，學生容易得出函數的新定義，但事實上這三個例子的自變量都是時間，它們用初中的“變量說”仍然可以得到很好的解釋，那為什么高中還要學習新定義？因此我們可以設計以下兩個情境：
情境1.根據鐵道部對火車票做出的規定：身高在1.1以下的乘客免票，身高在1.1～1.5米之間的乘客享受半票，身高在1.5米以上的乘客必須全票，乘客的車票價與身高的關系；
情境2.滁州公交車票價和乘客乘坐的站數之間的關系。
這兩個情境是日常生活中比較常見的例子，學生可以很快做出判斷。到底這兩個例子是不是函數關系呢？學生會產生不同的意見，很多學生認為它們都不是函數，因為情境1中身高在某一范圍內發生變化時，票價卻是不變的；情境2中票價也不都隨站數的變化而變化。在這兩個事例中，初中的“變量說”就不能很好地對其進行解釋，而用集合與對應的觀點來理解，就可以十分自然地理解其實以上兩個情境也都是函數。從這個意義上來說，高中所學的函數概念更具一般性，它從一個更高的角度來認識函數，使函數的知識更加系統起來。學生通過對初高中函數概念比較、分析的過程，不但加深了對函數的理解，促使初、高中學習的知識更為有效地銜接起來，形成更為完善的認知結構體系，同時也激發了學生學習的興趣，提高了學生歸納推理的能力。
（二）函數符號的突破
函數符號是學生難以理解的抽象符號之一，它的內涵是“對于定義域中的任意x，在對應關系f的作用下即可得到y”。我們可以把對應法則比喻成加工廠，形象地告訴學生，因變量y實際上是通過f（faction第一個字母）加工出來的，學生就比較容易理解。在有些問題中，對應關系f可用一個解析式表示；但在不少問題中，對應關系f不便于或不能用解析式表示，這時就必須采用其他方式如圖像或表格等。在教學中，可以讓學生通過分析實際問題和動手操作，逐漸認識和理解函數符號的內涵。例如，將不同情境中的對應關系用同一的符號表示，計算當自變量是數字、字母不同情況時的函數值。
在這里強調對應關系和定義域的主導地位，而值域是附屬地位。
江蘇省蘇州市園區金雞湖學校215000沈奕
作為一節中考復習課，我們需要注意的問題有很多，比如：知識的系統性、全面性、對各項基本技能的訓練、對審題能力的培養等等.而在新課程改革的背景下，考試仍然是目前唯一的一種選拔途徑，那么如何將平時教學中的知識、技能、能力很好地在考試中發揮出來，使學生都能取得自己理想的成績呢？通過本節課的教學我感觸最深的是：知識要復習，技能要訓練，但要想把能力培養與應試訓練很好地結合起來，更要注意對解題過程的反思，反思一道題目所考查的知識點、數學思想方法，即考查了什么、怎樣求、為什么這樣求.對題目的反思過程是一個很好的能力培養的過程，能夠培養學生的審題能力，知道遇到這樣的問題應該怎樣想、如何解決.
一、教學背景分析
一次函數是中考命題的熱點，求一次函數的解析式、利用一次函數的圖象和性質解題是考查的重點內容.它的概念、圖象和性質，充分體現數與形的完美結合.一次函數常與一元一次方程、不等式、不等式組、方程組、三角形的面積、圓的有關線段等知識綜合出現，主要考查學生綜合運用數學思想、方法分析問題和解決問題的能力，同時也考查學生的計算能力、邏輯思維能力、空間想象能力和創造能力.在本節課之前已經復習了平面直角坐標系、函數的表示方法和正、反比例函數.這節課主要復習一次函數的圖象和性質，對于一次函數的應用在后面單獨復習.
二、教學目標的確定
根據課程標準與2015年中考說明的要求，并結合學生的現有認知水平，我制訂了如下教學目標：
1.理解正比例函數，能結合具體情境了解一次函數的意義，會畫一次函數的圖象；理解一次函數的性質.（基本要求）
2.會根據已知條件確定一次函數的解析式；會根據一次函數的解析式求其圖象與坐標軸的交點坐標.（略高要求）
3.運用數形結合的思想解決與一次函數有關的問題，提高分析問題的能力.
4.激發學生運用數形結合的思想解決問題的興趣，樹立科學探究的精神.
三、教學重點與教學難點
根據以上的分析，我確定了本節課的教學重點和難點.
教學重點：一次函數的概念、圖象和性質.
教學難點：運用數形結合的思想解決與一次函數有關的問題.
四、教學方式及教學手段
本節課采用講練結合的教學方式.課上引導學生觀察、探究、思考、分析，通過學生講解的方式展示交流的結果，并以多媒體課件為手段輔助教學，引導學生學習，啟發學生發現問題、思考問題，鼓勵學生運用數形結合的思想研究問題.
五、課堂實錄
（一）復習成果展示
師：我們今天一起來復習一次函數（板書課題）.昨天我們已經對一次函數的基礎知識做了復習，誰能說說在一次函數這一部分我們都學習了哪些內容？
生答，教師對學生的回答進行整理說明并板書知識結構.再請一名同學把復習提綱用投影展示，由其他同學提出問題，共同對問題進行修正，教師對重點進行強調并板書.
（通過課前鞏固基礎知識，可以節省課堂時間，為知識應用作準備.）
（二）鞏固基礎
試一試：
1.一次函數y=kx+b的圖象如圖1所示，則k、b的取值范圍分別是.
2.一次函數y=2x-3的圖象不經過第象限；y隨x的增大而.
學生板書圖象并看圖口答.這兩個小題對基礎知識進行鞏固，滲透數形結合的思想.
教師總結：以上兩個小題一個由圖象確定k、b的符號，一個根據k、b的符號確定圖象的大致位置，可見在一次函數的學習中離不開圖象.
下面請同學們獨立解決例1.
例1填空：一次函數y=mx-4的圖象經過點（-2，6），則m=；畫出它的大致圖象，y隨x的增大而；它的圖象與x軸的交點坐標是，與y軸的交點坐標是；它的圖象與兩坐標軸圍成的三角形的面積是.
教師先在黑板上畫出坐標系，然后巡視，對有困難的學生進行輔導，約3分鐘后請一名同學上黑板畫出函數圖象，其他學生分析解答，教師給予評價和引導，并板書此面積的求法.
反思解題過程，總結本題考查的知識與方法：
（1）待定系數法；（2）一次函數的性質；（3）求一次函數圖象與兩坐標軸的交點坐標；（4）求圖形面積（數形結合）.
主要反思如何求、為什么這樣求.
接著我們再看看，一次函數還和哪些知識相聯系.
例2已知：一次函數y=（m+2）x-（1-4m）.
（1）m為何值時，圖象與坐標軸交于原點？
（2）y隨菇的增大而增大時，求m的取值范圍；
（3）它的圖象與y軸交點在x軸的下方時，求m的取值范圍；
（4）它的圖象經過一、二、三象限，求m的取值范圍.
學生獨立解題，然后由學生講解，教師補充評價.
反思解題過程，總結本題考查的知識與方法：（1）一次函數的性質；（2）解方程與不等式；（3）數形結合.
主要反思如何求、為什么這樣求.
（三）小結反思、布置作業
引導學生作知識總結.
1.本節課我們學習了哪些知識？
（1）一次函數的概念、圖象和性質；
（2）根據已知條件確定一次函數的解析式（待定系數法）；
（3）會根據一次函數的解析式求其圖象與坐標軸的交點坐標；
（4）一次函數與方程、不等式、圖形變換等知識的聯系.
2.本節課用到了哪些數學思想方法？數形結合.
3.解函數問題的一般思路.認真審題畫出圖象分析問題解決問題
首先創設問題情境：
問題一、你能談談對函數的認識嗎？
問題二、函數的本質是什么？
讓學生回顧初中學習過的函數概念，把握住函數的內涵。教師根據學生所舉例子的具體情況，引導學生列舉分別用解析式、圖象、表格表示對應關系的函數。讓舉例的同學分別解釋他們所舉例子的含義，為什么用這個例子來說明函數。函數是初中已有過的內容，引導學生用初中的定義解釋所列舉的例子，可以了解學生對函數概念的掌握情況，挖掘學生背后的思維過程，暴露學生對函數本質的理解狀況。
然后教師點撥學生：“我們在初中就學習過函數的概念，并且學習過一些特殊的函數，那么現在我們上了高中，為什么又要來學習函數的概念呢？初中對于函數的定義，主要是從變量之間的依賴關系來表述，那么我們學習了集合的相關知識，為了更加深刻地揭示變量之間的這種依賴關系，能不能利用集合對函數進行重新定義呢？這節課我們將從集合的角度賦予函數概念以新的思想?！币源藖硪龑W生把初中學習過的函數概念與高一剛學習的過的集合知識聯系起來，用集合的觀點解釋過去的概念，獲得對函數概念的新認識。
下面把時間留給學生，讓學生自學書上的三個實例：
1。物理公式：s=vt；
2。“艾賓浩斯遺忘曲線”；
3。 1988至2008年中國歷屆奧運會金牌數。
并讓學生思考以下四個小問題：
（1）三個實例中分別含有哪幾個變量？
（2）這些變量的取值范圍怎樣用集合表示出來？
（3）變量所在的集合之間有著怎樣的對應關系？
（4）實例中變量之間的對應關系有何異同？
在此設置自學環節并提出四個小問能夠讓學生靜下心來從具體實例中抽象出函數的概念。教師要注意突出“兩個變量x，y”，對于變量x的“每一個”確定的值，另一個變量y有“唯一”確定的值與x對應，“y是x的函數”。特別要求學生指出對應關系是什么？x取哪些數？即取值范圍，感受數集A的存在，y值的構成情況，為引入兩個數集做準備。
接著我自編了實例四：將6位同學按1到6進行編號，把他們的編號放在一個集合里，將他們的數學成績放在另一個集合里，將編號和他們的成績對應得到第一個對應關系。接著將他們的數學成績放在一個集合里，把他們的排名放在另一個集合里，將他們的成績與排名對應得到第二個對應關系。然后關注最后兩名沒有考及格的同學，把他們的學號與最近兩次考試的成績對應得到第三個對應關系。之后讓他們給自己下次考試成績定個目標，同學5說出下次爭取考到60分，而同學6沒定目標，這樣得到第四個對應關系。請嘗試應用剛剛概括出的函數的概念判斷一下這四個對應關系中哪些是函數？
在是與不是的函數判斷中，學生對函數的概念有著進一步深入的認識。緊接著讓學生自己思考以下三個小問題：
（1）函數的概念中有哪些關鍵詞？
（2）如何理解函數的概念與符號？
（3）函數有哪幾個要素？
教師引導學生要善于解剖概念，促使學生抓住概念中的關鍵詞，透徹理解概念的內涵。
同時，指出：
（1）A、B必須是非空的數集；且對于集合A中的任意一個數x，在集合B中只有唯一確定的數f（x）和它對應，這種對應為數與數之間的一一對應或多一對應；
（2）函數的定義域就是集合A，但函數的值域未必就是集合B，實際上，它是集合B的子集（這里可以借助自編實例四讓學生理解，這也是自編實例四的目的之一）；
（3）f（x）的符號含義：y=f（x）為“y是x的函數”的數學表示，僅僅是一個函數符號，表示x經f作用后的結果，f（x）并非表示f與x相乘 ；
（4）函數必須具備三個要素：定義域，值域，對應法則f，三者缺一不可。并指出對于一個函數，當定義域確定、對應法則確定后，值域也隨之確定，因此，兩個函數相等的條件是定義域以及對應關系相同。
接著讓學生自己總結如何判斷一種對應關系是否是函數？
（1）定義域和對應法則是否給出；
（2）根據給出的對應法則，自變量x在其定義域中的每個值，是否都能確定唯一的函數值y。
現以“函數概念與基本初等函數”的教學為例，說明自組織教學理論在高中數學教學應用中怎樣展現它獨特的魅力和優勢.
一、讓課堂教學充滿生機
在傳統的教學方法中，教師為了使教學的秩序得到保證，以封閉式的教學系統引導學生學習，這使學生只能跟隨教師的思路走，學生即使有想法、有意見、有思路也無法表示.自視域教學理論最重要的特色之一，就是以開放型的教學系統，教師除了給學生一個學習目標以外，不再干涉學生以怎樣的方式學習，學生的自體性得到發揮，整個教學課堂變得有生機.
比如，引導理解什么是函數的概念，先讓學生觀察：y=1(x∈R),y=x,y=x2x，這三個解析式有什么特征？它們滿足什么條件？有些學生轉化能力強，用畫圖象的方式得到答案；有的學生邏輯性強，以列表找異同的方式得到答案；有些學生直覺性強，一眼就能看出答案.學生能照自己喜歡的方法學習，就會愿意自主的學習.
二、讓學生各展所長
傳統的學習方式最大的特點是學生沒有選擇學習對象的權力，即使自己面對該學習對象內心很煩燥，卻依然得被迫學習.自視域教學理論則是將學生視為不同個體的人，以人為本，將學生視為生命的個體，將課堂視為不可復制的一段生命旅程，學生可以根據自己的需要選喜歡的方式學習，我們的自組織理論視域下數學課堂要給學生空間和時間，讓學生自主選擇學習內容，自己選擇學習方式，自主探究與合作，讓學習過程成為數學體驗與數學享受的過程.比如，指導學生理解函數的值域概念時，引導學生認真思考：
1）習題一
如果函數f(x)=12x2-x+a的定義域與值域為［1,b］(b>1)，那么請求出a、b的數值.
2）習題二
已知函數f(x)=x2-4ax+2a+6(x∈R)的值域是［0,+∞)，求a的數值.
3）習題三
以題二的函數為例，如果函數的數值均不為負數，求f(a)=2-a|a+3|的值域.
三道題，給學生選擇性學習，讓不同學習層次的學生得到不同的發展.教師不僅可以讓學生在習題上有選擇性，還可以鼓勵他們課外尋找非課本的資源研究，讓他們根據自身特長去學習.
三、讓學生共同交流
自組織理論視域下數學新課程，要求學生之間互動，學會交流，形成知識磁力場，比如學生學習函數概念與基本初等函數知識時，貌似把教師說的內容都聽明白了，實際上卻可能沒有聽明白.如果學生能多點交流，學生的視野會得到開拓，學生可能發現自己貌似理解的知識在同學的追問與反駁的情形下原來掌握得非常膚淺.教師要重視學生在課堂中的交流活動.
比如，教師引導學生應用函數與初等函數的知識：
以下左圖為馬鈴薯市場售價與上市時間，右圖為馬鈴薯成本與上市時間，教師將學生分成小組，要求學生共同討論，馬鈴薯什么時候上市，所得到的綜合利潤最高？
這一題既涉及到函數的知識，也涉及到函數的計算，學生在共同討論的過程中，可以找到函數計算的思路、找到最簡的計算方法、找到計算的規律.學生在共同交流的過程中，智慧相互碰撞，知識相互生成，相互激發靈感，可以起到共同進步的學習效果.
四、激發學習能量
從以上自組織視域的函數概念與基本初等函數的教學中可以看到，數學思維能力強、思路寬廣、領悟力強的學生能在這樣的課堂中迅速掌握各種數學知識，他們掌握的知識遠遠超過教學大綱的要求，而有一些學生則僅僅能掌握課堂中的基本知識.在傳統的教學方法中，會認為這種教學成果不能滿足教學要求，然而，自組織視域下的數學教學重視的是培養學生的學習興趣、培養學生的學習能力、引導學生用科學的方式思考.雖然目前學生在一、兩節課堂中看不到學習的成果，然而長期以往，學生會慢慢釋放自己的潛力、發揮自己的特長、展現自我的學習風格，未來，他們會形成學習的飛躍.
關鍵詞：周期性現象模型；感性認識；三角函數
到了高中階段，三角函數概念擺脫了初中階段的束縛，產生很大的飛越． 概念提升后，學生認識的角度、深度和廣度都要相應地發生變化，對概念的理解才能從初中階段順利過渡到高中階段．從人類認識運動的辯證過程看，首先是從實踐到認識的過程． 在這個過程中，認識采取了感性認識和理性認識兩種形式，并經歷了由前者到后者的能動飛躍． 理性認識是基于感性認識的基礎之上的． 感性認識和理性認識相互滲透，相互包含． 感性認識和理性認識在實踐的基礎上是辯證統一的． 認識運動是不斷反復和無限發展的． 數學就是人類通過實踐由感性認識上升到理性認識而形成的，并在不斷豐富和發展．
初中階段的三角函數概念，其研究范圍是銳角，側重幾何的角度，在一個直角三角形中，研究角和三角形邊與邊的“比值”之間的內在關系，其研究方法是幾何的，研究目的是為解直角三角形服務． 高中階段，它是在“角的概念的推廣”的基礎上進行討論和研究的，研究從“靜態”到“動態”，體現了運動變化的觀點．通過構造，將給定的角通過直角坐標系研究，提供了用代數方法研究幾何的思路，研究平臺從初中的平面幾何圖形過渡到平面直角坐標系，再次體現了數形結合的思想． 任意角的三角函數作為函數概念的下位概念，要強調它是以角為自變量，比值為函數值的函數，由“銳角三角函數”概念擴張到“任意角三角函數”． 三角學的現代特征，是把三角量看做函數，即看做是一種與角相對應的函數值． 正如歐拉所說，“引進三角函數以后，原來意義上的正弦等三角量，都可以脫離幾何圖形去進行自由的運算”．
三角函數在高中數學教材中自成體系，成為獨立的一章． 沿定義出發衍生的基本內容有：三角函數線、三角函數值的符號、同角三角函數關系、誘導公式、一些變換公式以及圖象和性質，其內涵豐富，外延廣泛． 在經歷從銳角三角函數過渡到任意角三角函數定義的推廣過程中，學生的理解很難一步到位，往往還是容易陷入于直角三角形中去研究角和三角形邊與邊的“比值”之間的內在關系． 要克服負遷移，打破思維定式，突破它的下位概念——銳角三角函數的概念的束縛，承前啟后，從狹義走向廣域，達到概念的內化．
脫離實際的理論是空洞的，會顯得蒼白無力． 找到感性認識的切入點，通過突出和深化感性認識，提供一些適當的背景，增強學生學習活動的體驗，學生能身臨其境，伴隨著“真情實感”來體驗概念的產生、發展過程，逐步過渡到理性認識階段，水到渠成．
以典型、具體的模型，通過適當的實踐讓學生從已有的知識經驗去認知，明確研究范圍的變化，開闊視野，引導學生進行提煉概括，才能揭示由此帶來的新問題，加深對新概念的理解，這樣的學習才會充滿活力．
這里給出兩個例子來加以說明．
以和我們日常生活息息相關的交流電為例，它的最基本的形式是正弦電流
如圖1所示為發電機的示意圖．當線圈在勻強磁場中以角速度ω逆時針勻速轉動時，線圈將產生感應電動勢． 當線圈平面垂直于磁感線時，各邊都不切割，沒有感應電動勢，稱此平面為中性面，如圖2所示． 設磁感應強度為B，磁場中線圈一邊的長度為l，平面從中性面開始轉動，經過時間t，線圈轉過的角度為ωt，這時，其單側線圈切割磁感線的線速度v與磁感線的夾角也為ωt，所產生的感應電動勢e′=Blvsinωt． 所以整個線圈所產生的感應電動勢為e=2Blvsinωt，2Blv為感應電動勢的最大值，設為Em，則e=Emsinωt． 此式為正弦交流電動勢的瞬時值表達式，也稱解析式． 正弦交流電壓、電流等表達式與此相似．
圖3
圖4
從產生交流電的過程看，對比正弦曲線，此例是一個非常生動和具體的實例．
簡諧振動
簡諧振動有單擺擺動和彈簧振子運動．
理論和實驗都證明，簡諧振動物體的位移隨時間變化的規律呈正弦函數或余弦函數．
以橫軸表示時間t，以縱軸表示位移x，建立坐標系，畫出簡諧運動的位移—時間圖象都是正弦或余弦曲線，振動圖象表示了振動物體的位移隨時間變化的規律． 由圖象可知振動的周期，可以讀出不同時刻的位移；根據圖象可以確定速度大小、方向的變化趨勢；還可以根據位移的變化趨勢判斷加速度的變化，也能判斷質點動能和勢能的變化情況．
學生如果能從所熟悉的問題、感興趣的事物、日常生活中的情景或已熟悉掌握的知識等這些背景出發，不僅把已有的數學現實作為新知識增長點，從現有的知識經驗中培養新的知識經驗，也將所學的數學知識與他的現實生活聯系起來，找到數學知識在實踐應用中的切入點，把數學應用于現實世界，服務于當代和新生科學的理論和實踐，“把現實的數學與學生個體的現實緊密地結合起來”．
任意角的三角函數反映了自然界中或工程技術中的一個非常重要的周期運動現象，是大量周期性現象的模型，也是為研究客觀世界中大量存在的周期性現象服務的．
