時間：2022-11-07 16:46:11
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇大學線性代數知識點，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
本文主要結合筆者多年的一線教學經驗，查閱相關文獻，闡述線性代數法在高等數學中運用所需要具備的幾種能力，希望對學生的學習具有一定的指導作用。
眾所周知，高等數學是高校一門主要基礎課程，也是一門必修課程。而線性代數，則是高校數學的一個重要分支，和高等數學的學習息息相關。雖然兩者在一般數學問題、解決方法上存在一定的差異性，但是其理念是相通的。因此，在某些數學問題上，兩者還是密切相關，具有相通性的，在解題方法和解題思路上還是相互融合，相互滲透的。所以，研究高等數學和線性代數法之間的關聯顯得尤為重要，如何正確對待線性代數法和高等數學之間的關系，使兩者相互促進，更好地相融，已經成為擺在廣大高校數學教師面前的一大課題。而將線性代數法引入高等數學，可以提高學生學習興趣，促進教學質量的提高。這里，側重談談線性代數法在高等數學中的運用所需要具備的兩種能力。借此能力，可以更好地學習高等數學，提高學生數學水平。
一、注重抽象思維能力培養
在高校數學科目中，線性代數對于學習者的要求還是相對比較高的，最重要的是需要學生具備良好的抽象思維能力。比如，線性代數中的向量、矩陣以及行列式等，這些數學量的概念、性質和相互關系，都具有一定的抽象性，對于一些學生來說，有時可能比較難以理解。作為教師，我們要努力培養學生的抽象思維能力，讓學生掌握知識點的規律性，強化學生對知識點性質和概念的領會。在平時的課程教學中，教師要讓學生理解線性代數和高等數學之間的關系，教給他們線性代數方法在高數中的應用策略，并要求學生課后認真復習，自己找出與高等數學的關聯之處，自行總結一些抽象思維方法，讓學生熟練掌握線性代數法，使其能更好地為高等數學服務。
二、注重邏輯推理能力培養
我們都知道，線性代數的學習也需要較強的邏輯推理能力。在線性代數的學習中，各個環節知識點的連接，就是各個知識點之間邏輯關系的聯系，這就要求學生具備良好的邏輯推理能力和邏輯思維能力。作為教師，在線性代數教學過程中，要不斷培養和鍛煉學生的邏輯思維能力，讓學生自主探究，自覺鍛煉自身的邏輯推理和思維能力，對各個知識點之間的邏輯關系加深理解。
總之，在高等數學的教學中存在很多煩瑣的問題，如果我們將線性代數方法滲透到高等數學問題分析中，充分考慮兩者之間的相關性，就能使得很多數學問題迎刃而解。將線性代數法引入到高等數學中，在高等數學教學中最大限度地發揮線性代數法的作用，不僅給高等數學的教學帶來了全新的效果，而且在一定程度上提高了高等數學的教學效果和質量，提高了學生的數學水平，促進學生更好地成長。
（吉林省四平職業大學宣傳部）
數學在我們生活中無處不在，在大學期間，數學學習的難度有所增加，所以高等數學被分為了好多學科，其中就包括線性代數這一重要的學科。線性代數的學習程度對高等數學是有一定的影響的，因為線性代數與高等數學是由相輔相成的作用的，在解決某些問題上，采用其中的一種方法是有可能比較困難的，這個時候就需要轉變思維，換一個角度想問題，讓自己的學習過程更加順利，從而提高自己的成績。
1 線性代數方法學習所需能力
1.1 需要有抽象的思維能力才能使學習更加高效
線性代數是需要學生通過抽象的思維進行想象的，可以說學習的過程中對于向量，矩陣等都需要自己通過抽象想象的。線性代數中這樣的學習有很多種，例如矩陣與線性方程組，在矩陣與矩陣，矩陣與向量組，向量組與向量組等等，所以學生要了解他們之間的抽象關系，認真領會其中的知識點，對他們的概念以及性質的學習進行加強。在初中和高中的學習中，學生們已經接觸過具有抽象能力的數學知識點了，比如說在向量的學習中，就需要將向量想象成一種抽象的東西，這個時候的數學還是很好學的，但是對于高等數學中的線性代數里面的思維想象能力的要求就相對來說比較高了，所以對于學生在這方面能力的鍛煉與培養，需要教師多加引導，讓學生養成自己思考，主動學習的好習慣，多做題，逐漸的就會把自己的抽象能力培養出來。
1.2 邏輯推理能力
不僅僅是線性代數需要邏輯推理能力，可以說整個的數學學習就是一個邏輯推理能力的培養從小學時，學生們便開始學習數學，數學的學習一直都在鍛煉學生們的是邏輯推理能力。線性代數的各個知識點之間邏輯關系是非常緊密的，邏輯性是非常高的。其實我們在學習很多學科時都有這種體會，知識點不是單獨存在的，教材在安排知識點的位置的時候也都會將有聯系的知識點放在一起學，這樣既對學生學習起來是一個方便，同時教師在教授的過程中也更加容易方便，這在一定程度上考驗了學生的邏輯思維能力，所以線性代數在學習過程中一定要上下聯系，找出其中關聯的地方，把有關聯的知識點放在一起仔細研究，找到他們在解題過程中的運用效果，能夠在解題過程中顯得不那么手足無措，同時要深刻理解其中的每個知識點之間的聯系，從而提高學習效率。另一方面學習的過程中需要運用的推理能力不僅僅表現在知識點的上下聯系，而且在解題過程中需要在讀過題之后快速的找到體重的關鍵點，找出解題時所要用到的知識點，這也是對邏輯推理能力的一個考驗。[1]
2 線性代數核心方法與工具學習
學習過高等數學的人們都知道，在線性代數的學習過程中，線性方程組是一個核心內容，二有關于線性方程組在解題過程中的主要的答題方法和答題依據是矩陣和矩陣的初等變換。有的解題方法例如矩陣的初等變換這一階梯方法，可以用在特征向量，向量空間的維數和基，還有就是矩陣的逆矩陣這一內容也可以用矩陣的初等變換這一方法。[2]所以，線性代數的學習是融會貫通的，教師在教學過程中和學生在學習的過程中都要注意好矩陣的初等變換這一內容的學習，掌握矩陣這一項主要的學習工具，這樣才能在學習過程中可以游刃有余，可以找到解題的思路。
3 注重學生學習能力的培養
前面我們說過了。線性代數的學習需要很多的抽象能力，二線性代數的核心又在于行列式，行列式的學習就需要很高的抽象能力，學生在學習這一內容時，僅僅是憑借著公式死記硬背的套上去是不能夠解決問題的，需要手和腦的一起使用，所以學生在進行基礎概念的學習時，要靈活運用，注意要和題相結合，在解題的過程中自然而然的就學會了基礎概念，才能對所學的知識進行全面深入的了解。因此，學生在對線性代數知識點的掌握時，可以包含以下幾個基本點。
3.1 對學生學習和理解基本知識方面的能力進行加強
學生在學習之前必須要搞清楚概念，只有概念問題解決了，在解題過程中才不至于一頭霧水，線性代數是一門概念問題非常多的一門學科，里面的解題思路也很復雜，所以要想學好這門學科，必須先要把概念搞清楚，概念不清楚，解題過程中就會一點思路也沒有，即使題做出來了，也會事倍功半，達不到自己預期的效果。[3]線性代數里面包含的概念有關于解方陣的冪，有要求解逆矩陣以及解矩陣的秩，還有計算字母型和數字型的行列式等一些概念，這些概念說容易，只要學生搞清楚里面的關系，還有他們之間的邏輯性，按照規律循序漸進就可以很好地掌握，但是在掌握過程中，在一些抽象的地方還需要進一步的想象和理解。
3.2 強調知識點的轉換與銜接
線性代數這門課的知識點是比較多的，但是我們上面已經提到，這些知識點與知識點之間的聯系是比較緊密的，我們可以把這些知識點聯系起來，構成一個知識體系，使知識點之間能夠統籌起來，讓自己的綜合分析能力得到提高，從而提升自己的解題能力。我們在學習的過程中，要把知識點前后連接起來，形成一套完整的知識體系。從內容上看，這些知識點之間的聯系是相當緊密的，有時候一個知識點的學習得使用之前的知識點進行連接貫通，，他們之間是相互滲透，縱橫交錯的，所以在解題的過程中也有很多的方法可以進行選擇，這些都是靈活多變的，我們在學習過程中不能夠只是用一種方法階梯，這樣會使效率變得很低，達不到自己的要求。尤其是在線性代數這門課的學習中，應該將其中知識點的轉換與串聯進行靈活掌握，這樣才能在做題中快速的想到解題思路，提高做題速度，從而得到高分。[4]
3.3 敘述的表達能力需要鍛煉，邏輯思維能力需要提高
學生在線性代數的學習過程中，一定會碰到很多的證明題，這些證明題在證明的過程中一定會遇到語言敘述方面的問題，不要小看這些文字敘述，他們在考察敘述能力和邏輯思維能力方面是很強的。在證明時，首先得把解題的思路想出來，至于怎樣想的就需要對邏輯思維進行考察，當把解題思路想出來后，緊接著就是如何把自己的思路用簡潔明了的話語敘述出來，這就用到了我們的敘述表達能力了。[5]所以在學習線性代數的時候，對于表達能力和邏輯能力是需要特別的能力的。學生在不斷地證明一道題之后對于里面設計到的一些知識和概念也會隨著做題量的增加而更加熟練更加游刃有余的。
關鍵詞：獨立學院；線性代數；教學改革
中圖分類號：G4 文獻標識碼：A
文章編號：1672―3198（2014）16―0117―01
《線性代數》課程與《微積分》一樣，都是大學數學最重要的基礎課，如何教好、學好《線性代數》一直是學校領導、老師比較關注的問題。
與《微積分》相比，《線性代數》的內容相對較少，知識點沒有那么瑣碎，同時要記的定理和公式少得多，這是學習這門課的容易之處。但另一方面，這門課更加抽象，入門更難。
獨立學院的學生層次介于本專科之間，數學基礎一般，計算能力較差，邏輯思維不強，更重要的是自覺性比較差，學習積極性不強。在這種環境下，怎樣教好《線性代數》，使學生順利入門就成了任課老師必須要思考的問題。
目前國內對《線性代數》教學改革方面的研究大多是從《線性代數》這門課程整體的層面進行分析的，而對于更加具體的課堂教學方法的研究還比較少。本人從事《線性代數》教學工作多年，結合教學過程中的體會，談談《線性代數》課堂教學方法改革的一些認識。
1采用問題式教學，注意選擇題的使用
前蘇聯教學論專家馬赫穆括夫創立的問題教學法認為，問題教學是一種發展性教學，讓學生帶著問題去學習、去思考、去尋找答案。
《線性代數》中有些知識點比較難以掌握，同學們容易混淆記錯，而選擇題的特點之一恰是以似是而非的多個答案布設“陷阱”，引誘學生膚淺地作答，考查學生撥霧明理的能力，明辨之才能掌握，所以在講解易混淆的知識的時候，可以有意識地設置一些選擇題，讓學生通過辨析去掌握它。
例如，在講解已知A2+A-7E=0求證A+3E可逆這類問題的時候，要用到矩陣乘法的左右分配率，這里會有很多學生會出問題。學生在做到A（A+3E）-2（A+3E）=E這一步時，接下來就要提公因式A+3E，到底怎么提，是（A-2F）（A+3E）=E還是（A+3E）（A-2E）=E呢？很多學生會在這里犯錯誤，錯誤的根源在于不熟悉矩陣乘法的分配率。這時我會先讓學生看一下左右分配率，然后給出一道選擇題：下列哪些選項是正確的（）：
（A）AB+AC=A（B+C）
（B）AB+AC=（B+C）A
（C）AB+CA=A（B+C）
（D）AB+CA=（B+C）A
（E）BA=CA=（B+C）A
（F）BA+CA=A（B+C）
由矩陣乘法的左右分配率知（A）、（E）分別滿足左、右分配率是正確的，（C）、（D）兩項的A不在同一側不叫公因式，通過這個題目，學生就會對乘法分配率有一個新的認識，再使用分配率時，就不易出錯。
2采用聯系式教學
在講解知識的時候，注重與原先學過知識的聯系，找出異同點，這樣可以提起學生的學習興趣。
例如，在講解求解矩陣方程AX=B時，學生往往搞不懂怎樣去掉系數矩陣A。在講這一問題時，我先列出一個方程2x=6讓大家計算，這一題目非常簡單，同學們都說兩邊同除以2，得x=3。這時我會引導說：在這個計算里只能用乘法，不能用除法，因為矩陣運算沒有除法，大家又會說方程兩邊同乘以2-2。
同樣解矩陣方程AX=B求解X的話也要去掉系數A，問題是兩邊怎樣同乘以A-1，這樣我又會設置一個選擇題供學生選擇：下列哪個選項是正確的（）：
（A）A-1AX=BA-1
（B）AXA-1=BA-1
（C）A-1AX=A-1B
（D）AXA-1=A-1B
由于矩陣的乘法運算一般不滿換律，所以在方程兩邊同乘以某矩陣時只能在同一側乘，故選（C）。
通過這一問題，使大家對矩陣方程的解法理解更加深刻，記憶也更加牢固。同理，同學們也學會了XA=B的解法。
3采用娛樂教學，利用好課間時間
在教學中還要充分利用好課間休息的時間，雖然課間休息只有短短的5分鐘，但如果利用好了也能起到很好的效果。之前的教學中我發現，一下課，學生就會趴在課桌上，一臉疲憊，無精打采的樣子，下節課的學習效率也不高。后來我改變策略，在課間休息的時間，我通常會放一些搞笑的視頻，讓同學們哈哈大笑一番，上節課的疲勞一掃而光，精神飽滿地投入到下節課的學習中去。
通過兩個學期的實踐，學生對這種方法反映良好，其中測評的時候，學生對我的評語中有“能把復雜問題簡單化”、“提起學生學習興趣”等肯定性的語句。期末考試所有班都全部通過，未發現不及格現象。甚至于后來，我在教《微積分》的時候還有學生接受師兄師姐的推薦來向我請教線性代數的問題，而所問的一般都是我當時采用一些方法講解的知識點。
參考文獻
[1]趙燕.獨立學院線性代數教學改革初探[J].中國石油大學勝利學院學報，2011，25（4）.
[2]王志華.獨立學院線性代數教學改革的實踐與思考[J].高等數學研究，2012，15（6）.
[3]孟麗娜等.線性代數教學改革的實踐與探索[J].數學教學研究，2009，28（8）.
[4]賈云濤等.獨立學院線性代數教學改革的幾點思考[J].中國科教創新導刊，2013，（13）.
[5]姚瓊等.獨立學院“線性代數”教學改革新思路[J].長春理工大學學報，2011，6（3）.
關鍵詞：線性代數；教學次第
中圖分類號：G642.0 文獻標識碼：A 文章編號：1671-0568（2013）17-0119-02
線性代數課程屬于代數的范疇，研究對象是有限維空間的線性理論，特點是概念多且抽象，概念與概念之間又有錯綜復雜的聯系。很多教師討論了怎樣進行教學內容與教學形式的改革，怎樣培養學生的應用意識，怎樣培養學生應用MATLAB等數學軟件的能力，致力于解決培養適應各種專業的人才，做出教學改革上的思考。但是，如何進行落實？線性代數乃至整個數學的教學目的，都是讓學生具備數學的思想，培養數學的思維，掌握數學的方法，并能學以致用，達到這一較高的目標并不容易。筆者認為，需要在教師的教學和學生的學習上有次第。
一、線性代數教學的第一梯次
筆者認為，線性代數教學的第一梯次應該是講清楚線性代數的理論、方法和計算，讓學生課上能聽懂，初步領悟線性代數的理論、方法并會進行相應的計算。而要做到這一點，根據筆者這幾年的教學經驗，認為就是要把線性代數的概念、性質、定理、推論、方法、計算、應用等幾個方面講清楚。具體論述如下：①對于概念，應從概念的引入，概念的內涵、外延，概念和概念之間的區別與聯系，新舊概念所形成的知識鏈幾個方面來講解。這里需要選擇恰當的引例、準確的語言、各種情況下的例子及與前面概念的區別與聯系的認識，等等。例如，向量組的秩可以用線性方程組的獨立方程的個數來引入，[1]即討論表示方程的行向量之間的線性相關性，說明方程組中獨立方程的個數由誰來確定，從而給出向量組的秩的概念。從實例引入向量組的秩的概念，也就是知道這個概念的內涵之后，說明它的外延，即舉例說明向量組的秩。有幾種情況：一種是只有零向量的向量組，一種是一般的向量組，即極大無關組包含的向量的個數少于向量組所包含的向量的個數，還有一種是向量組本身就是線性無關的，即向量組是其本身的一個極大無關組，即極大無關組包含的向量的個數等于向量組所包含的向量的個數。要描述向量組的秩的概念，就得了解向量的線性表示、線性相關（無關）和極大無關組的概念，這是一條知識鏈。即：向量的線性表示 線性相關（無關） 極大無關組 向量組的秩。[2]另外，了解向量組的秩的概念與前面學過的矩陣的秩在概念上的聯系，是需要討論的。②性質。性質當然不是憑空而來，它是由概念推導而來的。但是，人們是怎樣想到性質的呢？當然也不是憑空想到的。例如，矩陣的運算規律。前面學習了矩陣的線性運算、矩陣的乘法，與數的運算作為類比討論了他們的運算規律，到了矩陣的轉置運算，就想到轉置的轉置是什么，加入線性運算后就得到兩個矩陣相加后得到的矩陣的轉置是什么，一個數乘以一個矩陣后得到的矩陣的轉置是什么，加入矩陣的乘法就得到兩個矩陣的乘積所得到的矩陣的轉置是什么，對于矩陣其它運算的性質也是類似的。再比如，逆矩陣的運算規律。首先，是一個矩陣的逆矩陣的逆矩陣是什么，加入線性運算得到的性質，加入矩陣的乘法運算得到的性質，加入矩陣的轉置運算得到的性質，加入矩陣的行列式運算得到的性質，加入矩陣的伴隨矩陣的運算得到的性質。③對于定理和推論。所謂定理是用邏輯的方法判斷為正確并作為推理的根據的真命題。所以對于前人提出來的每個定理，都要進行證明，這樣能讓學生更好地理解定理的內涵和它的應用。④對于方法、計算。講完了基本的概念、性質、定理、推論后，應該引入具體的計算方法。但是方法、計算的講解是要以前面的這些要素作為基礎的。應該讓學生在理解了這些概念之后，也就是在頭腦中對這些概念、性質、定理等有印象了以后，再來理解這些計算的方法。例如，利用矩陣的初等行變換來求一個可逆陣的逆矩陣。這個方法的推導用到了初等陣的概念，用到了初等陣是初等變換的矩陣表示這一定理和任何一個可逆陣都可以分解成有限個初等陣的乘積這一定理，用到了分塊矩陣的乘法，等等。只有把要用到的知識都講清楚、講明白，方法自然就順理成章地推導出來了。⑤對于應用。一般的線性代數的教材上具體應用的實例都很少，大部分都是在講理論與方法，但這是基礎。由于學時很緊，在課堂上能把理論與方法講好已經很不容易。但是，如果只講理論與方法，會使學生覺得課程太過枯燥，而學習的目的很大部分是為了學以致用，所以適當地列舉一些簡單的應用實例，是必不可少的，如逆矩陣在對明碼加密中的應用等。總之，把這些方面講清楚是教學的基礎，要想使學生更容易接受，還得在講課思路和教法上下功夫。上述內容，是筆者對線性代數第一梯次的認識，這些都可以在課堂上實現。
二、線性代數的第二梯次
筆者認為，第二梯次應該是第一梯次的升級，即熟練掌握各種概念、性質、定理、計算，更要掌握知識與知識之間的各種聯系，這就需要大量的習題訓練，從單一的知識點的運用，到復合的知識點的運用。這時，考研題是很好的選擇。在課堂上，可以適當地舉一些例子，但大部分的訓練還是需要學生課下去做的。
三、線性代數的第三梯次
筆者認為，第三梯次是知識的應用，這就需要數學建模的訓練，可以從一些簡單的數學建模的練習題開始，鍛煉學生運用知識、解決實際問題的能力。同時，還可以鍛煉學生應用MATLAB來解決線性代數中的計算問題的能力。對于MATLAB的訓練，可以建立一個基于MATLAB的《線性代數實驗課程》的GUI平臺。便于學生的操作和教師的演示。[3]數學建模不僅可以使學生更好地理解引入概念的意義，更能在解決問題的過程中更好地理解線性代數的理論和方法。更深刻地認識線性代數乃至整個數學學科。
四、線性代數的最高境界
線性代數的最高境界應該是創新思維、創新能力的培養。要做到這一點，應該了解代數的起源、現狀，才可以把握未來的發展動向。當然，這一目標的實現，需要學生多讀一些課外的讀物，廣泛涉獵綜合性的知識。
綜上，這是筆者對線性代數教學次第的認識與思考。任何一種教學都是需要有次第的，只有有次第的教學才能使教育真正落到實處，才能讓學生在學習上獲得更多真實的利益。
參考文獻：
[1]杜紅等.線性代數（第一版）[M].北京：北京師范大學出版社，2011.
[關鍵詞] 線性代數 抽象思維 線性相關性
一般的工科《線性代數》課程主要包括線性方程組、行列式、矩陣、向量、特征值與特征向量、向量空間與線性變換、二次型等幾部分內容[1]。在教材中各部分內容均可獨立成章。從而造成線性代數教材可以用不同的方式去組合各個專題展開課程的內容。因此學生很難自發深刻地體會到彼此之間的聯系。此外，線性代數課程所具有的高度抽象性也常常使學生望而生畏。針對這些情況，已有不少作者發表了關于怎樣學好線性代數的一些文章，可參考文獻[2-5]。
在長期的教學實踐當中，本文作者發現在對書本知識經過一番必要的解釋之后，再從教材的理論結構這一大處著手，半句妙語，提綱挈領，往往勝于千言。因此，針對線性代數課程抽象枯燥的特點，提出了強調教材結構體系的方法。從而將線性代數各部分有機地聯系到一起，以使學生對線性代數課程有一個整體全面的把握。
尋找線性代數的理論結構，需要注重局部和全局的關系。線性代數是一門高度抽象的課程，如能從高處以更廣的視野對教材的內容進行審視，或對內容進行一種全局性、宏觀性的概括，就可使學生的學習有明確的目標意識，而紛繁多頭的知識點也就會呈現出清晰的主干脈絡和條理性，達到事半功倍的效果。線性代數具有很多種理論層次結構。本文試圖從如下幾個方面來理解線性代數的理論結構。
一、線性代數的理論基礎來源于解線性方程組
最初的線性方程組問題大都來源于生活實踐，正是實際問題刺激了線性代數這一學科的誕生與發展。展開知識的發展過程就是這個問題的解決過程。所有枯燥的理論都是從這里生長的。在學生明確了學習的目的之后，很自然的就可以回憶起高中解二元一次線性方程組的方法――消元法。那么在大學里，我們將要解決的是所有含有有限個未知量的線性方程組。熟話說：工欲善其事，必先利其“器”！而行列式和矩陣正是我們研究線性方程組的兩個“器”。首先，為了求解方程的個數與未知數個數相等時的線性方程組，引入了行列式的概念，進而討論其性質，利用他們得到了解這類線性方程組的優美的克萊姆定理。其次，對于方程的個數與未知數個數不相等時的線性方程組，引入了矩陣這一工具。而前者可以統一到后者之中。學生在明白了這一簡單的理論架構以后就知道自己為什么要學習行列式和矩陣了。參看下面的圖1。
圖1表明了求解線性方程組時所用到的兩種工具。
二、線性代數的重要內容――矩陣
矩陣或者說增廣矩陣就是把一個線性方程組最重要的信息提煉出來。這是學生在線性代數的學習中將要遇到的第一次抽象。這一問題的轉化過程是通過一一對應實現的。因此矩陣來源于線性方程組。但是矩陣作為線性代數中一個嶄新的概念，隨著矩陣理論自身的發展，它又是高于線性方程組的。這句話不是很好理解，打一個譬如。如果我們把線性方程組看作“道”，矩陣是另外的“道”。那么矩陣這個“道”是可以用線性方程組這個“道”來描述的，但又不僅僅是線性方程組這個“道”的平常意義所能包涵得了的。很熟？對！就是“道可道，非常道”那句話。事實上，我們的線性方程組這個“道”也是來源于現實生活中更具體的“道”------“道”法自然。而矩陣那個“道”也可以用諸如向量組，向量空間等更高級的“道”來抽象。像這樣一種不斷的用“道可道，非常道”抽象上去的理論結構的強調對學生抽象思維能力的培養是很有好處的。參看下面的圖2。
圖2揭示了線性代數課程的某一種理論層次結構：表明了從線性方程組到子空間或極大線性無關組的不斷發展抽象的過程。
三、矩陣――廣義的數
矩陣的定義是一個數表，但是也可以理解為數的概念的一種推廣。因為矩陣也定義了加減乘等運算，對于可逆矩陣還有求逆的運算。特別地，對于一行一列的矩陣來說就是我們通常意義的實數或復數。所以，用這個思路來理解矩陣這個概念就會覺得很自然。另外要注意的一點就是矩陣做為一種新的廣義的數，當然具有一些自己獨特的性質。如矩陣乘法的交換律，消去律等等已經不再恒成立。這些正是學生需要加以學習和辨認的。當學生對數的概念放寬以后，就可以繼續說線性變換甚至更廣的函數都是數的概念的推廣。從而形成對數的認識發展的理論結構。或者說另外的一種“道可道，非常道”抽象上去的理論結構。參看下面的圖3。
圖3表明人類對數一種認識的過程。
四、矩陣的核心――矩陣的秩
矩陣的秩是一個較難消化的概念，但又是一個非常重要的概念。對矩陣的秩的理解直接影響到對整個教材的理解。在學生通過學習由K階子式所導出的矩陣的秩的定義之后，把求矩陣的秩轉化為求階梯形矩陣非零行的行數顯得很重要。對于一個具體的線性方程組來說，其所對應的增廣矩陣的秩就是方程組中“有用”的方程的個數。也就是說，其增廣矩陣對應的階梯形矩陣中的零行所對應的方程組中的線性方程的存在與否對方程組的解沒有任何影響。即零行對應的這些線性方程是“無用的，表面的”！因此通過化矩陣為階梯形求矩陣的秩的過程，實際上就是對線性方程組的一個化繁為簡的過程，去粗取精的過程！這樣一種結構事實上就是在線性方程組的集合與矩陣的集合之間建立了一種一一對應的關系之后，把對線性方程組的研究徹底的轉化為對矩陣的研究。這是進行數學研究的根本方法。
五、初等變換――“照妖鏡”
在用消元法求解的過程當中，我們會用到初等變換。此時，初等變換把一個方程組變成同解的另外一個方程組，在這個過程當中，原方程組形式上變得簡單了，但是方程組的解集合不會改變。在把矩陣化為階梯形矩陣的過程當中，我們同樣會用到初等變換，此時矩陣形式上也變得簡單了，但是矩陣的秩不會改變。而從階梯形矩陣我們一眼就可以看出矩陣的秩。所以線性代數用一句話來說就是研究線性方程組，矩陣，向量組，以及二次型等等在初等變換下不變的那些性質。這樣一種結構就能把各個知識點串起來，讓學生達到融會貫通的效果。
六、兩個重要概念――線性相關與線性無關
線性代數里面有很多重要的概念，線性相關與線性無關無疑是其中的兩個。這里，一個簡單的命題是含有零向量的向量組線性相關。因為我們可以取零向量的系數為1，其他向量的系數為零，從而得到一組不全為零的組合系數。這個命題的逆命題顯然是不成立的。與此同時，在各種版本的教材中還會有這樣的一個定理：一個向量組線性相關等價于該向量組中存在一個向量被其余向量線性表示。我們說能夠被其余向量線性表示的向量在某種意義上在這個向量組里面是多余的或者說沒用的――在線性方程組里，去掉這個向量所代表的那個線性方程對原方程組的解不會有任何影響，而在某個矩陣里，去掉該向量所代表的行也不會對矩陣的秩有任何影響。在這樣一種意義下，我們甚至可以把這樣的向量――能夠被其余向量線性表示的向量――看成零向量。因此，線性相關的向量組表面上不含有零向量，但本質上還是含有零向量的。認識清楚這一點，我們就可以透過現象，看到本質！從而也能得到線性代數中另外的一個理論結構。那就是從任何一個向量組出發，通過反復去掉其中多余的向量――能夠被該向量組剩余向量線性表示的向量，我們可以得到原向量組的一個極大線性無關組；而通過反復添加多余的向量――能夠被該向量組線性表示的向量，就可以直達向量空間這個概念。
七、矩陣的應用――二次型
大部分教材最后一部分往往涉及到實對稱矩陣的一個應用，即利用已經得到的有關實對稱矩陣的對角化的理論，來化一般二次型為標準二次型。因此縱觀整個教材，很好的體現了從實踐上升到理論，最后又用理論來指導實踐這一創造美好世界的原則。參見圖1.
圖4為線性代數課程的另一種理論層次結構：表明理論來源于實踐（指從解線性方程組中所得到的矩陣理論）之后又可以用于指導實踐（指用矩陣理論解決二次型的標準化問題）的哲學思想。
扎根于對教材的深入理解，能得到許多的理論層次結構。既有關于整個教材的，也有關于某個知識小塊的。許多結構都還有待于我們去繼續發現。本文旨在起個拋磚引玉的作用。鑒于各種抽象的過程，借用《道德經》里面的一段話來結束全文：道可道，非常道，名可名，非常名。無，名天地之始，有，名萬物之母。故常無，欲以觀其妙；常有，欲以觀其繳；此兩者，同謂之玄。玄之又玄，眾妙之門！
參考文獻
[1]同濟大學數學教研室.線性代數（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2005
[2]張軍，戴霞.淺析注重思維培養的線性代數教學方法[J].高等教育研究，2007，24（4）：29～31
[3]李佩澤.對線性代數中線性方程組教學的實踐和體會[J].高等教育，2007，14：21～23
[4]丁巍.淺談“線性代數”教學中的美育[J].高等數學研究，2008，11（4）89～90
線性代數高素質教育存在問題解決措施一、前言
線性代數是我國高等院校工科專業中的一門基礎的數學學科，通過線性代數的學習，可以培養和提高學生思考問題、解決問題的能力，教育部將其列入重點評估課程，可見線性代數在高等院校數學教育中的重要性。計算機技術的進一步發展，使得線性代數的重要性更加突出。隨著高等教育規模的不斷擴大，如何保證高校人才的教育水平成為了當今高校教育的巨大挑戰，而線性代數無疑首當其沖，線性代數面臨著各種各樣的問題，不僅存在著學生方面的問題，而且在學校方面更存在著非常嚴重的失誤，以下是對高校數學當中非常具有代表性的一科――線性代數，做出了問題分析并提出幾點改進的建議。
二、線性代數在高校數學教育中遇到的瓶頸
1.傳統教學內容的設置不合理
目前線性代數教育仍然處于新舊交替的階段，很多陳舊的教材中的內容仍然是處于應試教育的框架，重點在階梯方法的傳授而不是對數值的計算和對數學本身的現代應用。同時，教材中很多的問題還處在上世紀七八十年代的水平，其中不僅包含的信息量不多而且也完全與現代生活脫節，更無法使用現代數學的方法提供解題思路，使得學生們無法真正具有學習線性代數的學前基礎，進而導致對相應的知識無法牢固掌握。
2.傳統教學目的占主導
由于長期以來受應試教育的影響，學生的學習成績被當作是教師教學水平的唯一衡量標準，教學的目的也從教書育人變成了如何讓學生在考試中取得好的成績，忽視了培養學生尋根溯源的學習思想。而老師在講解公式的時候也對方法欠缺指導，教學當中重結果、輕過程的做法泯滅了學生的求知欲。在線性代數的教學過程中，更多的老師習慣通過“用題講點（知識點）”的方法教育學生以此減少教學壓力并且提高教學成績，不能變通地完成學習計劃，其結果只會培養出缺乏個性的學生，進而也就無法適應社會變化發展的需要。
3.教學模式較為單一
教學模式的落后和單一也導致了線性代數無法達到真正的教學目的，目前的線性代數做的是單一的灌輸式教育，以教師的講授為主，學生的學都處于被動接受的狀態，師生之間缺乏應有的學習互動導致了本應是雙向反饋性質的學習變形成為單一的灌輸，所以無法達到學習線性代數應有的效果。還有更多的老師講授過程中只是單純的從書本到書本，生硬地隔斷了數學與現實生活的聯系，讓其成為了一個空中樓閣，使其脫離生活實際，從而讓學生覺得學習枯燥無味，也體會不到數學在解決現實生活中的巨大作用。實踐證明線性代數具有很強的抽象性和嚴謹的邏輯性以及結論的確定性，這也決定了學習的難度，更要求了老師要不斷地更新教學方式，以學生的角度充分調動學生的學習自主性，真正培養學生的主體積極性，只有這樣才能提高線性代數的教學水平。
三、解決線性代數教育問題的方法及策略
學生才是學習的活動主題，學習和老師都是教學的外在條件，教師的教授只有通過學生的學習才能體現出教學效果，因此必須要改變傳統的師生角色，讓學生反客為主，喚起學生自主學習的主體意識，培養學生的主動學習能力。
每個學生的特點和學習基礎都是不同的，因此因材施教變得十分重要，實施分層的教學方法是針對學生數學基礎參差不齊而且差別較大的特點決定的。分層教育應當做到全過程的分層準備，從備課到課堂練習和作業測驗，逐一進行分層，使得好學生不會被拖后腿，中等學生能夠聽懂課程，學習成績較差的學生有基本的學習興趣，并要時刻注意對各個層次的學生給予不同的鼓勵以增強學生的信心，是不同層次的學生各有所得，在不同程度上得到進步。
實施以學生為主題的階段式教學方法，從學什么到怎么學再到怎么用三個層次進行教育。第一步進行目標鋪墊，即提出教學目標；第二部展開討論，在課堂上互動雙向解答疑惑，合作學習引發導論并互相做出評價；第三部是整個學習過程中的關鍵，這一步將學過的知識歸納并加以擴展，通過擴展和展示學過的知識激發學生的學習主體性。
通過調查發現，學生真正出現的問題并不是智力因素，而是平時沒有養成良好的生活學習習慣和作息規律，上課的時候不專心聽講，注意力不集中導致了計算的準確率極低，課后學生懶惰沒有長久的學習熱情，不做練習導致知識沒有得到扎實的鞏固。所以在整個教學過程中應該在學生的學習習慣和學習方法上多下工夫，最主要的是要培養學生主動學習的學習興趣，將學生感興趣的事例引入課堂，如在生活中與線性代數有關的數學問題等，這些知識都和學生的現實生活息息相關，這就增強了學生學習線性代數的目的性、主動性和趣味性。
四、結束語
線性代數作為高校數學科目中的一門應用性非常廣的基礎課程，從開設的現狀到現階段出現的問題應當從教學目標、教學內容、考核評價和教育原則等方面做出相應的改進。通過線性代數的學習，可以逐漸使學生具有獨立的邏輯推理能力和空間想象能力，從各個方面鍛煉學生的自學能力。通過發現線性代數中的教育問題進一步反映出了線性代數等一系列基礎學科的教育問題，不僅應單純從教育方式進行改變，更應從更高的教學內容和教育體制改變對學生的脫節知識灌輸，變被動為主動，才能真正讓學生做到真正的提高，為社會培養全方位綜合能力強的高素質人才。
參考文獻：
[1]湖北經濟學院經濟數學教研室.線性代數[M].武漢：武漢工業大學出版社，1997.
[2]吳天毅.線性代數教學內容改革的研究與實踐[J].天津輕工業學院學報，2003，（18）：45-47.
關鍵詞 線性代數；高效課堂教學；教學策略
中圖分類號：G642.4 文獻標識碼：B 文章編號：1671-489X（2013）03-0110-02
Efficient Teaching Searching of Linear Algebra//Zhang Limei， Xu Meichun
Abstract For the problems of abstract contents， strong logic， difficult understanding and applying of Linear Algebra， the paper gives some methods of implementing high efficiency of teaching that improving interests of teaching and strength the system of knowledge， so that getting high teaching efficiency.
Key words linear algebra； high class efficiency； teaching strategy
1 前言
隨著科學技術數學化和計算機的廣泛應用，線性代數在現代科技發展中起著越來越重要的作用，尤其在計算機、通訊、電力、經濟、生物、控制系統及管理科學等領域有著廣泛應用。對大學生來說，線性代數是高等院校理工科專業及部分文科專業的數學基礎課，它不但是學好后續課程的基礎，而且是將來從事實際工作的重要數學工具。然而，如此重要的一門課程，在實際教學中卻存在以下問題：
1）由于該課程概念、性質、定理多而抽象，邏輯性強，加之大量復雜的數學符號[1]，致使學生的學習存在困難；
2）該課程內容多，課時少，致使多數教師只忙于理論知識的講授，而忽略了線性代數其廣泛的應用性，學生感到乏味無趣，更是難以學以致用。
針對以上問題，在實際教學中勢必要求教師要高效地教，學生要高效地學，實施高效課堂教學。為此，筆者認為應從以下幾方面進行探索。
2 提高課堂教學的趣味性，使學生喜歡線性代數
2.1 將晦澀難懂的理論與形象生動的實際問題相結合
學有所用是激發學生學好一門課程的關鍵。然而線性代數的內容大多較抽象，學生往往感覺看不見、摸不著、枯燥乏味，更難以體會到學以致用的樂趣。
事實上，線性代數并非那么深不可測，其應用性滲透到了生產、生活中的眾多領域。如奧運場館鳥巢的受力分析、構造一份減肥食譜等，均會用到線性代數的知識。因而，教師可以將生活中的實例貫穿到課堂教學中去。比如教學中若干抽象概念的引入可以利用這些淺顯易懂的實際問題，其相關理論知識也可進一步從實例中建立起來，并可引導學生利用這些理論為實際問題構建模型等。比如，線性方程組概念的引入、相關理論及求解方法可以通過一個國民經濟部門的投入產出分析實例來展現。先編制棋盤式的投入產出表，然后建立相應的線性方程組，再利用系數矩陣將其解出。整個問題的解決離不開線性方程組（從概念到求解），讓學生一目了然，看得見，摸得著，親身體會到這些知識的重要性及使用價值。
再比如，“矩陣”是線性代數中貫穿始終的一個重要概念，可以借助于形象的圖像來引入。在圖像處理中，一張圖像如人臉在計算機中通常用矩陣來表示，而圖像處理的若干方法也涉及到矩陣的運算[2]，如兩張圖像的疊加可以通過矩陣的加法得到。如圖1中的圖像0.5lcu+0.5logo是由圖像lcu與圖像logo所對應的矩陣相加得到的，在教學中可以使用多媒體形象生動地展示給學生。這樣學生不但加深了對知識的理解，知道了它們是“從哪里來”以及“到哪里去”，而且真正地做到了活學活用。
值得注意的是，在選用實際問題時，要考慮到學生的接受能力，不同專業、不同基礎的學生應選用不同實例，實例要淺顯易懂，以提高他們的學習熱情，使他們充分體會到學以致用的樂趣。
2.2 將傳統教學方式與現代化的教學方法相結合
線性代數內容多，課時少，為授完課程，多數教師采用傳統的講授式教學，這種一成不變的教學方式缺乏創新，難以調動學生的學習熱情和積極性；而且容易助長學生的惰性，使學生習慣于被動地接收，懶于思考問題，嚴重影響了教學質量。
興趣是最好的老師，也是促使學生學習的動力。新穎的教學方法能夠強烈刺激學生的好奇心和新鮮感，提高學生的學習興趣。因而，在線性代數的實際教學中應敢于使用不同的教學方式，激發學生興趣。比如在講授“矩陣乘法”時可以采用探討式教學方法。先不給出矩陣相乘的概念，而是讓學生自己定義兩矩陣相乘的計算方式（若課堂時間不夠，可以以課外作業的形式），然后再闡明與教材中的定義方式的不同，這樣自然會加深學生對這一重要運算的理解，同時開闊了學生的思維方式。
另外，也可采用研究式教學，講述知識的原始發現過程，激發學生的創新欲望等。如引入行列式概念時，首先用消元法求解二元、三元方程組，然后分析解表達式中系數與常數項的關系，從而看出需要定義一個新的概念來簡化這種解表達式。這樣自然地定義出了二階、三階行列式。從而使學生充分體會到數學概念并非是憑空產生的，而且其產生過程往往也是漫長的、艱澀的。
當然為提高課堂趣味性，除了以上介紹的方式，在實際教學中還可以插入一些與該課程有關的，同時能啟發學生思考，拓展學生視野的元素來調節課堂氣氛，調動學生熱情。總之，要寓教于樂、寓教于新、寓教于促進學生的學習興趣。
3 注重知識的系統性，讓學生“會學”線性代數
3.1 溝通各知識點之間的聯系，一通百通
線性代數的主要內容包括行列式、矩陣、線性方程組、向量與向量空間、矩陣的特征值與特征向量、二次型等，教材的安排通常是各部分內容相對獨立，缺乏連貫性。學生學習時，難以將前后內容連貫起來，知識體系混亂，增加了學習難度。
為此，在實際教學時，教師要幫助學生在頭腦中形成脈絡清晰的知識體系，必要時可以改變教材內容的講授順序。事實上，線性代數的各部分內容均可以矩陣為主線，將其聯系起來。矩陣概念相對容易理解，可以首先講述；線性方程組理論可以借助于矩陣來解答；向量實際上是矩陣的某種簡化形式，其眾多問題如秩等均與矩陣有密切聯系；行列式主要用于判斷向量組是否線性相關，而該問題往往對應矩陣是否可逆；最后，二次型的問題通常也是借助于矩陣來解決的。當然，在具體講述時，將它們之間的聯系畫成知識結構圖或表格進行描述會更直觀，從而降低知識點的難度，便于學生理解和掌握。
3.2 勤歸納善總結，各個難點分散擊破
幾乎線性代數的每節課都有概念、性質及定理，內容繁多。在教學中，要勤歸納它們之間的聯系與區別，這樣學生不但復習了舊知識，而且對新知識的接受會更容易，使線性代數的學習變得更加輕松。對于學生最感頭疼的各個難點，除了將處理這種問題的方法進行總結外，還要注意各個擊破，避免增加學生困難，挫傷學生的學習積極性。
比如逆矩陣的計算，可以歸納出4種方法[3]：
1）定義法，即按照逆矩陣的定義等式AA-1=I求出逆矩陣中各個待定元素，此法計算量較大。
2）伴隨矩陣法，即用公式A-1=A*/|A|求逆矩陣，因計算量較大，常用于理論證明或階數較低矩陣的逆矩陣。
3）初等變換法，一般是在待求逆的矩陣上拼接單位矩陣，然后對它們同時實施相同的初等變換，將待求逆矩陣化為標準形，則對應的單位矩陣化成的矩陣即為所求的逆矩陣。
4）分塊矩陣求逆法，通常是先將待求逆矩陣分塊（一般可分為三角形矩陣），然后帶入分塊矩陣的求逆公式即可。
4 結語
線性代數是大學生必須具備的基礎理論知識和重要數學工具，在教學中要努力克服各種困難，提高學生的積極性，引導學生掌握正確的學習方法，取得良好的課堂效果。總之，如何實施線性代數高效課堂教學已成為當前亟待解決的問題。培養學生的應用能力和創造能力，是目前數學教育改革的熱點問題。因而，教師不但要傳授知識，使學生掌握線性代數的基本知識、基本運算技能，更要培養學生綜合運用所學知識分析問題、解決問題的能力，提高學生的學習熱情，著眼于學生的未來發展，培養出高素質創新型人才。
參考文獻
[1]張天德.線性代數輔導及習題精解[M].北京：新華出版社，2006：1-3.
關鍵詞：形象化；線性代數，幾何圖形。
中圖分類號G420
線性代數是大學數學的一門重要基礎課，不僅將為學生后續專業課的學習打下基礎，而且還可以培養他們運用數學思維解決實際問題的能力，同時也為部分學生學歷晉升做必要的準備。因而理工科院校對線性代數的教學歷來都十分重視。如何講好這門課程，同樣是數學老師關注和探討的話題。本文結合自己多年教學工作的一點收獲，就線性代數授課中引入直觀化教學模式談一些看法和感想。
1.1 多元化人才需求對線性代數教學賦予新任務
隨著社會的進步，時代的發展，社會上用人單位對人才的需求也在發生變化，趨于多元化，更多的是由過去的“知識型”轉變為“應用型”。走出校門的畢業生單有理論知識而不會應用，在社會上已經很難立足。為了適應這種變化，我們的教學方法也應該做出適當的調整，在保證學生學好理論知識的同時，培養學生對數學的興趣。特別注重知識向能力的轉化。
1.2 學生的實際特點對線性代數課提出新要求
線性代數這門課的特點比較抽象、枯燥。現行的線性代數教材多數是抽象地引出概念，盡管有時也從例子中引出，但是有的例子本身就很復雜，不好理解。對于習慣于中學學習方式的本科生來說，初學線性代數往往感到困難較大。他們雖然思維活躍、求知欲強，但抽象思維能力較差，不少學生在學習線性代數的過程中，只是形式上地接受、模仿、做題，沒有抓住線性代數的本質，久而久之，對學習失去興趣。或只是為了應付考試，學過了也不知道如何應用。造成這種情況的一個重要原因就是對抽象概念缺少形象的展示。因此如何將線性代數教學直觀化、形象化，應做為一個有著實際意義的探討話題。
1.3 線性代數直觀化的教學模式探索
1.3.1挖掘相關定義和定理所隱含的實際背景
線性代數的許多概念都有其蘊含的背景。挖掘出這些實際背景，對學生學習將會有很大的幫助，使他們對抽象的概念接受不再感到枯燥乏味，而是真實貼切。比如講矩陣的概念時，我們從方程組，運輸問題，電路理論等引出概念，還加入了人們所熟知的田忌賽馬【1】5-6的故事：春秋戰國時期，齊王與其手下大將田忌賽馬，雙方各出上、中、下三等馬各一匹比賽，在同等馬中，田忌的馬均處于劣勢，但田忌的上等馬可戰勝齊王的中等馬，中等馬可戰勝齊王的下等馬。由于田忌采用了孫臏的建議，最后贏得了齊王的千金賭注。事實上，這是一個對策問題，在比賽中，齊王和田忌的馬匹可以隨機出陣，那么每次比賽雙方的勝負情況就要根據雙方的對陣情況來定。出陣的可能策略為：策略1（上、中、下）；策略2（中、上、下）；策略3（下、中、上）；策略4（上、下、中）；策略5（中、下、上）；策略6（下、上、中）。
如果齊王和田忌依次使用上面6種策略進行比賽，那么齊王的勝、負情況就可以用下面的矩形數表來表示。其中齊王采用的策略用橫向行表示，田忌采用的策略用縱向列表示。
田忌策略
.
說明：策略1（上、中、下）表示按先后出陣的順序派上等馬、中等馬、下等馬。其他策略解釋類似。每場比賽中，如果齊王的馬匹三戰全勝，則用數3表示；如果2勝1負，則用數1表示；如果1勝2負，則用數-1表示。
這個矩形數表就是矩陣。通過這些事例的引入，學生在趣味盎然的氣氛中進入了矩陣知識的學習。
1.3.2用學生熟悉的知識對比講解
學生對線性方程組的問題比較熟悉，從中學起就開始接觸。線性代數中不僅行列式的概念可以從解線性方程組問題中引出，其他的概念，如矩陣、矩陣的秩，向量組的秩，向量組的線性相關性等問題。以至于矩陣的初等行變換都可以與解方程組的過程對照講解。
例如在中學代數里，用加減消元法求解二元、三元線性方程組時，常需對方程組進行下列同解變形：
（1）交換兩個方程的位置；
（2）用一非零常數乘以某一方程；
（3）把某個方程乘以一個非零常數后加到另一方程上去。
如線性方程組 ，
把第一、第二兩個方程的位置互換，得
，
將第一個方程的-2倍加到第二個方程上，-4倍加到第三個方程上，得
，
將第二個方程的-1倍加到第三個方程上，得
，
再經過類似的變換得方程組的解為
。
而我們知道，方程組的解取決于變量前的系數和常數項部分，每個方程組都對應一個矩陣，因而方程組的每一次變換相當于對矩陣進行一次同樣的變換，這樣就輕松地引出了矩陣的初等變換的概念。即互換第任意兩行；將某行各元素乘以非零常數 ；將某行各元素乘以非零常數 后加到另外一行的對應元素上。
1.3.3結合幾何圖形，使抽象問題形象化
以二次型的問題為例。把一個二次型化為標準型是線性代數的常見運算。為什么要化為標準型？實質上，化標準型的過程中，借助了正交變換【2】134-135。由于正交變換沒有改變向量的模，從幾何上看，只是將坐標系旋轉，用二次型表示的圖形本身并沒有變化。而圖形在新的坐標系下，其表達式是一個標準的解析表達式，其所表示的幾何形狀一目了然。例如直角坐標系 下，曲線 經坐標變換后在直角坐標系 下變為 ，顯然所代表的曲線是橢圓。如圖1所示，這樣用幾何的觀點討論二次型的問題，學生接受起來就不會感到茫然。
圖1
1.3.4增加各知識點的相關應用，激發學生學習興趣
行列式的應用除了人們所熟知的解線性方程組的問題，還可以應用行列式求三角形面積。如圖2，要求三角形 的面積，設 ，則 ，而
圖2
再如，求如圖3所示的平行六面體的體積，
圖3
設 ，則立方體的體積為 ，其中
再如特征值和特征向量的問題一直都是比較抽象的概念，學完后如何用一直困擾著學生，其實它的應用很多，例如判別系統穩定性的問題，人口增長問題，斐波那契（Fibonacci）數列問題，生物基因遺傳問題，以及差分方程的問題、多元函數的極值問題等都可以使用特征值和特征值向量的有關知識來處理。以上內容可以在課堂上選取一二進行講解，而可作為應用實例供學生課后閱讀。
簡而言之，根據筆者的感受，在抽象的線性代數中，引入了形象化、直觀化的教學模式，無論是老師講解還是學生學習，都會收到較好的效果。相信這種做法如果推廣開來，不僅對線性代數，而且對其他的數學學科的學習，都是一個很好的借鑒。
參考文獻：
關鍵詞：應用型；知識背景；典型案例；數學建模
中圖分類號：G623.5
高等院校線性代數課程是理、工、農、醫、經管等學科的一門非常重要的基礎課程。該課程具有較強的邏輯性、抽象性和廣泛的應用性。然而，由于種種原因，該課程的應用特色未能在教學中得到很好的體現，許多學生感受不到這門課程的重要性和應用價值。學生在學習中也經常感到困惑，原因在于大多數高校的線性代數課程學時偏緊，教學傾向于數學知識的灌輸，輕視線性代數理論的產生背景，缺乏與實踐相結合，這使課程成了一門抽象、冗繁而枯燥的課程。應用型大學重在培養學生應用能力，在教學中應重視知識的應用背景介紹，重視用實際的問題引發學生思考，重視學生對知識的應用。本文結合線性代數課程教學的實際，探討如何通過強化應用特色來提高線性代數的教學質量。
一、在線性代數教學中強調應用的必要性
（一）線性代數教學目的的變化
計算機的廣泛應用和計算技術的飛速發展，使科學計算和數值模擬已成為各個學科的必要工具和常用手段。這不但對大學生的數學建模、科學計算和信息處理能力提出了新的要求，而且也將使大學數學的課程內容和教學手段帶來變化。線性代數教學的目的，不僅要使學生掌握必要的知識，更重要的是使學生了解它的概念、模型、思維方式及解決問題的思想方法，掌握其精髓，形成解決實際問題的能力。這就要求線性代數的教學不能只停留在理論層面上，要著眼于學生的后續發展，將線性代數和學生的專業背景緊密聯系起來，逐步培養在其專業內使用這一數學工具的習慣。
（二）應用型人才培養的要求
應用型本科院校其培養目標和培養模式與研究型大學是不同的，研究型大學的學生數學基礎好、能力強，他們對人培養的目標要求較高，因此強調理論性，加強數學素養的培養，教授更多的數學理論。而應用型本科院校，在使學生掌握基礎知識之上，重在應用知識，因此需要結合人才培養的實際需要選擇教學內容和教學方式。有些學校已經做出了改革嘗試[1]，有的側重于借助數學軟件平臺，將數學知識應用于解決實際問題；有的側重于介紹課程相關理論知識，介紹了基礎數學知識在某相關領域的一些應用。
（三）線性代數改革的需要
學生們普遍覺得“線性代數”課程抽象、枯燥、難學并且和以前的數學知識基本沒有聯系，從而學習起來比較困難。許多學生感到無從著手，從而失去了學習線性代數的興趣，更缺乏進一步深入研究的愿望。這就更難希望他們把線性代數知識應用到他們以后的工作學習中。如何激勵學生學習線性代數，并能創造性地應用于工程等各相關專業的問題，是一個亟待研究和解決的重要任務。對于非數學專業的學生來說，學習數學的目的在于實際應用。如何恰到好處地結合一些例子讓學生明白抽象概念的實際意義，掌握理論和方法，培養其分析問題，解決問題的能力，是線性代數教學改革的關鍵。
二、在線性代數教學中強調應用性的途徑
（一）重視知識的應用背景介紹，使學生了解知識的來龍去脈
線性代數概念較為抽象，許多學生在學習線性代數時，就只會一味的解題，對這門課程的主要內容、相關背景不做了解。這樣很容易使學生一味的為了做題而做題。為了避免這種現象，有必要在介紹理論知識的同時，適當的增加線性代數相關的歷史、背景及發展現狀的介紹，講述一些具有想象力、創造力的故事。這樣有助于學生在輕松的環境下了解知識點的來龍去脈，在對概念進行
理解的同時，還有利于拓廣他們知識面，提高他們的數學修養。
在課堂教學中，要盡可能的以應用實例來引入矩陣、行列式、特征值等數學概念。如，通過考慮運動會成績記錄和獎金計算問題引入矩陣的概念和矩陣運算；通過計算機圖形學中的圖形變換引入矩陣乘法運算；通過行星軌道計算問題和化學方程式配平問題引入線性方程組的求解問題；通過信息編碼和解碼問題引入逆矩陣概念和矩陣求逆方法；通過幾何向量關系和化學成分結構討論向量的線性關系；通過傳染病問題和生物種群的發展趨勢引入特征值與特征向量概念，討論特征值和特征向量相關的理論；通過行星橢圓軌道的半軸計算和化工機械冷卻過程中溫度分布問題引入相似矩陣和矩陣對角化概念等。
而且，要盡可能尋找與學生的生活息息相關案例來引入線性代數的概念。例如，可以通過這樣的例子來引入數學建模中的層次分析法以及矩陣特征值的概念和計算：一位大四學生正從若干個招聘單位中挑選合適的工作崗位，他考慮的主要因素是發展前景，經濟收入、單位信譽、地理位置等。試建立模型給他提出決策建議。通過這樣的實例，學生的理解就是，線性代數與自己的生活密切相關，而解決生活中這些問題的辦法就是數學建模：將現實生活中的問題先轉化為數學問題，再將數學問題轉為能夠應用自己的數學知識能夠解決的數學問題，針對該問題求解，再將數學問題中的解反饋到實際問題中。這些實際問題的提出，引起了學生濃厚的興趣，使他們看到了實際問題是如何和數學概念、理論聯系起來的，看到了實際問題的數學表述的簡潔，從而對數學的基本概念形成和應用有一定的了解，培養學生的創新意識。
（二）結合專業特點設計典型案例，激發學生應用知識的欲望
針對特定專業的學生，在教學中盡可能選擇與專業相關的事例，展現如何從中提煉出數學概念，建立相關數學理論，如何用這些理論去解決實際問題，體現出用數學方法處理實際問題的優勢。例如講解線性方程組的例子時，面對經管專業的學生，從經濟學上的“投入產出模型”引入線性方程組的概念；面對電子專業的學生，將電路中的基爾霍夫定律引入案例；而對生化專業，可以從化學方程式的配平的引入。這樣可以讓學生感覺到線性代數與自己的專業有關，很有用；其次建立方程組的過程，可以培養學生數學的建模能力。
下面是在給電工電子類專業的學生講解線性方程組時，可以結合電路系統課程引入一個圖-1的電路網絡，根據已知電壓和電阻值確定支路中未知電流。首先介紹基爾霍夫定律[2]：⑴ 每一個節點上流入的電流等于流出的電流；⑵ 每一個閉合回路中各元件電壓的代數和為零。然后根據基爾霍夫定律進行建模。
圖1 電路網絡
建立并求解如上的方程組后可以引出一般線性方程組的概念，介紹方程組解的判定法則，解的結構等理論，針對學生的多元方程如何求解的疑問，適當地介紹適合于計算機運算的Seidel迭代法、Jacobi迭代法等近似的數值計算方法。
再如，對于經濟、管理專業的學生，選擇他們熟悉有用的案例。在工農業生產，經濟管理以及交通運輸等方面，經常要涉及使用或分配勞動力、原材料和資金等，而使費用最小、利潤最大就是規劃問題，而用方程組來解線性規劃，就是解決這類問題的常用方法。
如：某企業生產兩種產品，要用三種不同的原料，從工藝資料知道：每生產一種產品甲，需要三種原料分別為1，1，0單位；每生產一種產品乙，分別需要三種原料1，2，1單位；每天三種原料供應能力為6，8，3單位。又知道，每生產一件產品甲，企業利潤收入為300元，每生產一件產品乙，企業利潤收入為400元。企業應如何安排計劃，使一天的總利潤最大？
通過以上的實例，可以使學生充分認識到，線性代數在后續的專業課程學習中確實有許多重要的應用，從而激發學習的興趣，一定程度上克服畏難情緒，引導學生將來在專業課程學習中主動應用所學的線性代數理論知識解決問題。
（三）滲透數學建模的思想，強化應用能力的培養
將數學建模引入線性代數教學可以激發學生學習的興趣，調動學生運用知識分析、解決實際問題的主觀能動性，使學生真正認識線性代數的實用價值。
完整的數學建模的過程包括模型準備，模型假設，模型建立，模型求解，模型分析，模型檢驗，以及模型應用。但線性代數課程畢竟不是專門的數學建模課，因此我們在介紹一些應用案例的時候不求面面俱到，重點放在模型假設，模型建立和模型求解上，側重點在于體現數學建模的思想，加深學生對抽象概念及相關理論的理解，從而增強教學效果，實現科學性、實用性、趣味性的有機統一。[3]
例如，在講授矩陣的逆矩陣時，可以通過密碼的編譯及破譯問題作為引入，講授相關內容后再解決該實際問題；在講授矩陣的特征值與特征向量時，可以通過Google搜索網頁的排列順序問題作為引入；在講授正交矩陣時，可以通過結構化學中原子軌道的雜化問題作為引入，講授相關內容后再解決該實際問題；在化二次型為標準形時，可以通過空間曲面（球面、橢圓拋物面及馬鞍面等等）作為引入，講授相關內容后再解決該實際問題。
把課堂教學和計算機操作結合起來，將復雜的線性代數問題簡單化、具體化和形象化，培養學生對數學的應用意識并培養學生用所學的數學知識和計算機技術去認識和解決實際問題的能力，同時也能保證了教學質量。借助數學實驗課，培養學生用線性代數課程知識解決實際問題的能力。因此在課程中適當地引入Matlab實驗教學可為學生今后應用該軟件在工程、信息等領域進行計算、模擬等打下良好的基礎。讓學生在感覺到學有所用的同時，強化學生的應用意識，培養學生的實踐動手能力，進而加深學生對知識的掌握和理解，增強學生的學習興趣。[4]
（四）進一步完善網絡教學平臺，調整考核方式
目前，線性代數的考核方式是在規定時間內閉卷的方式進行的。考試對學生計算能力要求較高，但是實際中應用不大，學生對抽象知識難以理解，機械性計算，大部分學生是為了考試而死記硬背公式定理，過一段時間后，會很快忘記。這種方式是不易反映學生的創造能力和綜合能力的。并且平時成績占期末的10%～30%，所以很難反映學生的真實學習情況。因此，在考試類型上，應該再加入一些和專業相關的有利于學生發揮的試題，或者是通過上機模式，允許查閱資料，模擬實際問題環境，考查學生動手，自學能力，從而從客觀上真實反映學生學習情況。
三、結束語
面向大眾化教育時代，按不同的層次培養人才，提高人才素質是目前高等教育改革的重要趨勢。應用型本科院校以培養高素質應用型本科人才為目標，必須進行“線性代數”課程的教學方法的改革。在線性代數的教學過程中注重改革教學方法，有意識地培養學生的應用意識、應用能力，注重知識的背景介紹，融入數學建模思想，將代數理論與實際問題和計算機等有機結合，才能真正體現傳授知識、培養能力和提高教學效率的有機統一。
參考文獻：
[1] 江新華，姜廣峰，姜冬青，郭玲，李秋姝.實際問題驅動下的線性代數課程教學探索[J].：78-82.
[2] Steven J.Leon. Linear Algebra with Applications，Sixth Edition[M].Pearson Education， Inc， 2002：22-23.
“線性代數”是應用型本科院校工科專業的一門基礎課程。在教學過程中，教師由于對課程任務認識不清晰，對專業需求認識不到位，對學生認識不全面，無法滿足應用型本科院校人才培養的需求。在“線性代數”教學過程中，教師應整合教學內容，重新編排課程體系；將多媒體應用于教學中，強化學生的感性認識；增加實踐環節，促進理論與應用的結合；創新教學模式，使用“項目教學+小組合作教學”的模式，提高學生的自主學習能力，并用MapleT.A.系統對學生進行評價,反饋學生的學習成果。
關鍵詞：
應用型本科院校“線性代數”教學；MapleT.A.系統；在線測試
“線性代數”課程是應用型本科院校工科專業的一門重要的基礎理論課，是學習相關專業課程的數學基礎和工具。長期以來，它已形成比較穩定的內容體系，但傳統的教學已無法滿足應用型本科院校學生能力的培養要求,更無法突顯線性代數知識作為有力數學工具的地位。
一、應用型本科院校“線性代數”教學中存在的問題
（一）教師對課程任務認識不清晰
“線性代數”課程的基本任務是使學生獲得線性代數方面的基本知識、基本理論和基本技能；重要任務是培養學生的數學軟件使用能力以及應用數學知識分析解決實際問題和專業問題的能力；潛在任務是培養學生良好的學習行為習慣，特別是學生自主學習的能力，使學生在學習課程知識的過程中逐漸學會學習。教師往往對基本任務較明確，對重要任務也有逐步的認識，但認識不深入，但對潛在任務的認識較少，能把潛在任務有意識地融入課程教學的就更少了。如何使三層任務有機結合并相互推動，是一個值得思考的問題。
（二）教師對專業需求認識不到位
“線性代數”課程在本科院校工科和理科各專業均開設。對于工科專業來說，線性代數是一種重要的工具，計算能力和應用能力培養的重要性遠遠大于邏輯思維能力培養的重要性。事實上，不同的工科專業由于其專業特點不同對線性代數知識也有著不一樣的需求，應該針對需求各有側重。然而，實際教學中，學校和教師往往忽視了不同專業在線性代數知識需求上的差異，大部分學校使用相同的教學大綱、相同的教材，甚至教師面對不同專業授課卻使用相同的教案，布置相同的課業任務。
（三）教師對學生認識不全面
課堂教學過程中教師及時掌握學生的真實學習狀況，對提高課堂教學質量起著重要作用。傳統教學中教師往往只能通過抽查個別學生作答，從而對學生的整體學習效果做出判斷。“線性代數”課程一般開設一學期，任課教師上課之初往往對學生較陌生，待深入了解學生的學習情況后，課程也即將結束，這就給通過抽查得到有效判斷帶來了很大的困難。課后作業批閱是除了課堂抽查以外教師了解學生的另一個主要途徑，其優點是能獲得對學生整體的了解，但現實中學生作業抄襲現象的存在，使得這種判斷的有效性也大打折扣。
二、應用型本科院校“線性代數”教學改革的建議
（一）調整教學內容
目前，“線性代數”教學中普遍以理論知識講授為主，注重基礎知識、基本理論的學習，多側重于課程內部概念，不了解各個學科和工業現代化對線性代數的需求，缺乏與實際生活或專業知識相關問題的研究。在教學中，教師可通過一些實際問題引出基本概念，幫助學生理解概念；通過了解工科各專業對線性代數的需求，增加應用實例，體現專業課程學習中線性代數知識的意義。線性代數中很多知識都涉及計算，對于一些比較繁雜的計算，如高階行列式的計算、高階矩陣的運算、大型線性方程組求解等，教師在講解數學解法的同時還要適當介紹如何利用數學軟件求解。國內大部分線性代數教材都是按照行列式、矩陣、向量組、二次型的順序編排的，教師授課也大部分采用這種教學內容體系，學生看到的是抽象的概念和孤立的知識塊，無法將所學知識融為一個有機的整體，更無法體會到線性代數的實質。教師可以對教材內容進行整合，以向量空間為背景，將矩陣作為工具，先介紹矩陣的知識并將行列式看做矩陣的運算，再介紹向量空間的基本知識、特征值問題和線性變換問題，幫助學生將瑣碎的線性代數知識進行整合。
（二）改進教學手段
針對“線性代數”課程抽象的特點，教學中可以借助幾何解釋，以二維、三維的空間形象強化學生的感性認識。如在講解線性方程組的解的三種情況時，可以把三元線性方程組作為例子。由于三元線性方程在三維空間中表示一個平面，將平面在同一坐標系下繪制出來，可以清晰地看出平面之間的關系以及三元線性方程組的解的情況，讓學生直觀地感受唯一解、無窮多解、無解，進一步幫助學生找到無窮多解之間的差別以及造成無解的原因。通過多媒體還可以將數學軟件的應用貫穿于課堂教學中，一方面，借助數學軟件進行可視化教學，如在講解特征值和特征向量時，可在Matlab軟件中編輯相關程序，通過演示動態圖，展示特征向量在線性變換下方向的不變性，使學生認識到特征向量的意義；另一方面，在講解數學理論時，講解相關數學軟件，幫助學生進一步理解和鞏固所學數學理論，同時減輕實驗課的負擔。
（三）創新教學模式
教師應針對教學中不同的教學目標和對象尋找更有效的教學模式，如針對線性代數中某部分知識可以采用“項目教學+小組合作教學”的模式，教師下發項目任務后，學生3至4人組成一個小組自行收集資料，在完成項目的過程中小組成員之間互相交流學習，項目完成后進行小組匯報與交流，通過學生自評、組員互評、教師評分給出綜合評價。整個過程中無論是項目的分析、問題解決還是成果的匯報、交流，都給了學生自主學習與探索的機會，在探索過程中，學生的自主學習能力會不斷提高。教師還可通過運用現代教育技術手段為學生提供更多自主學習的機會。如利用MapleT.A.系統可進行有效的課外自主學習。基于MapleT.A.的課后練習為學生提供了豐富的在線練習任務，不僅可以避免學生之間的相互抄襲以及抄襲習題集上答案的情況，還可以利用系統的自動評分和反饋功能，讓學生及時發現學習中的問題，并根據系統中的注釋自行解決問題；教師通過設置練習時間，加強對學生課外作業的監管，并避免學生在課堂上補作業的行為發生；教師可將練習設置為允許多次答卷并提交試卷，即允許學生刷成績，可激發學生練習的興趣。同時由于學生提交試卷后可以實時得到本次作業的成績和正確答案，但學生再次進入同一個作業時，參數和函數隨機變化，使得試題內容變化，但知識點不變，所以學生只有真正掌握知識才能答對，從而提高了練習的效果。基于MapleT.A.系統的進階測驗，可以引導學生進行循序漸進的學習，當一部分知識掌握到一定程度后，才能進入另一部分知識的測試，有利于學生各部分知識的平衡掌握，強化薄弱部分的學習。此外，Maple軟件的Student包和Task可分步展示解題過程，每個窗口中會給出重要的文字說明注釋以及下一步執行的任務，給學生明確的引導，方便學生自主學習線性代數的相關知識。
作者：蘭瑞平 雒曉良 單位：呂梁學院數學系
參考文獻：
【關鍵詞】線性代數；教學；案例；分層分類
一、部分文理兼收專業數學基礎課概況
隨著高等教育改革的不斷深入，我國的高等教育已經逐漸轉為面向大眾的大眾化教育.同時，全國各省市相繼出臺的高考改革方案都提出，從2017年后高考將逐漸不再區分文理科，這就意味著高校在招生時將逐步實現大類招生，文理科就讀專業以及數學課程學習差異將逐步縮小.與此相應地，我們在對大學生的教學培養過程中，應該從以往的注重專業課程學習轉化為側重學生基礎能力培養，包括學生的專業課和專業意識.
筆者所在的是一所省屬師范大學，有心理學、工商管理、會計學、地理科學和信息管理與信息系統等20余個專業實現了文理兼收，涉及管理、經濟、商學等多個學科，而且近年文科生和女生的比例大幅增加.他們在學習數學基礎課時都遇到很大困難，教師在教學時也感覺更加難以推進，效果大不如前.
數學基礎課主要包括線性代數、微積分、概率論與數理統計共3門課程，它們都是必修的重要基礎理論課.一方面，數學基礎課是大多數理工類專業研究生入學考試的必考內容，更加受到學生和學校的重視；另一方面，數學基礎課的學習，能夠幫助學生構建起嶄新的思維方式，為他們的后續課程及進一步深造打好基礎.通過微積分和線性代數等數學基礎課的學習，能夠讓學生的思維能力、邏輯推理能力、計算能力、空間想象能力和數學表述能力得到很大提升，這些對于培養學生的綜合能力大有裨益.
本文以線性代數教學為例，對文科生數學基礎課的學習提出一些思考和建議.
二、線性代數課程特點
線性代數和其他數學基礎課的學習一樣，本身具有高度抽象性，同時課程要求學生要在短時間內認識了解一個新的研究對象以及一套新的運算規則，而這些特有的規律與初學者曾經學習了十余年的初等數學有比較大的差異.
線性代數的內容主要包括矩陣、行列式、線性方程組、向量空間和二次型，授課時數為32～48課時，課時量少，課程內容偏多，而且和微積分一起在大一下學期開設.兩門數學基礎課同時學習，給學生學習帶來非常大的困難.在線性代數學習中，學生普遍反映這門課程有三個特點：內容抽象、知識點冗繁、計算枯燥.
線性代數教材種類繁多，筆者一直選用中國人民大學盧剛所編線性代數教材.該書是教育部“高等教育面向21世紀教學內容和課程體系改革計劃”研究成果，現已修訂至第三版.
和多數線性代數教材一樣，盧剛版線性代數也呈現出了定義多（51個）、定理多（含性質、推論共101個）和符號多的特點，增加了和經濟管理專業有關的例題，如，在矩陣中引進圖論模型并給出鄰接矩陣表示圖的方法，引用馬爾可夫鏈進行天氣預測，在矩陣的特征值和特征向量中引用污染與工業發展的工業增長模型、萊斯利種群模型、投入產出分析數學模型等.同時，教材還關注線性代數和其他數學基礎課之間的聯系，如，在正定矩陣的應用中用正交矩陣的知識解決多元函數極值問題、解決二次曲面的標準形轉化問題.
三、線性代數教學的幾點建議
（一）注重案例教學，讓學生自己設計實驗方案
對于文科生數學基礎課的學習，關鍵是培養和提升學習興趣，增加應用訓練便是最有效的途徑.思維訓練和應用訓練在線性代數中并不是篩齬鋁⒌墓δ埽大多數學生對線性代數的畏懼，體現在它的思維訓練上.事實上，線性代數的運算都很簡單，雖然運算過程冗長，但規律性強、技巧性不大.如果能夠在教學中，引導學生把理論和應用相結合，注重知識的內在聯系，便能夠把學生引向一個較高的思維平臺.
要在線性代數教學中增加應用訓練并不困難，線性代數在各學科中的應用非常廣泛，針對不同專業的學生，可以選擇與其專業相關的典型問題，讓他們體會到線性代數理論的應用.線性代數主要在于應用，核心就是典例，典例選用一定要經典，讓學生形成印象、產生興趣，如，對物流管理專業學生引入運輸流量的問題，對計算機專業學生引入加密和解密問題，對化學專業學生引入試劑配制問題，對經濟類學生引入效益最優化問題.
筆者在對經濟管理類專業教學的過程中，嘗試推進案例教學.針對文科生多的特點，選用的都是簡單且學生感興趣的案例，讓學生分團隊合作，設計實驗方案，達到數據分析的目的.
如，在學習矩陣的加法、數乘和乘法等運算知識后，以大一上學期期末成績排名為例，希望學生們能夠以團隊合作的方式，自己設置實驗方案，利用矩陣基本運算，給出計算全班學生平均分的算法，從而達到對這幾個概念內化于心的效果.
例如，某班4名學生甲、乙、丙、丁四門課程（大學英語、體育、微積分、政治經濟學）的期中考試成績和期末考試成績（按百分制評定）由下表給出，計算四名學生在學分制下的平均分.
實驗方案中，矩陣E的構造顯然相對靈活，這也是考查學生能否運用所學概念的關鍵.實際教學過程中，不同小組學生設計的方案雖多，但大多數都是不能靈活利用矩陣各種運算，這更加印證了利用該實驗整合矩陣相關運算概念的必要性.
（二）注重分層教學，針對文理科學生分類開課
事實上，隨著前述專業中文科生從點綴到現在基本過半，不能再簡單地把所有學生塞在同一個教室中上大課.而且，現在很多學校為了節約成本，并不重視數學基礎課的學習，甚至出現了數學基礎課200余學生一起上課的極端現象，這對于學生的學習非常不利.
以前筆者曾經將文理科學生分別開課，但是效果并不明顯，因為他們對數學基礎課的需求并不相同.現在筆者正在嘗試先對學生進行職業生涯規劃的引導，希望能夠把握住他們的職業目標和就業定位，在此基礎上有針對性地就數學類基礎課做出分層分類教學.如，針對有考研深造打算以及在經濟管理專業中偏重于模型建立和數據分析的學生，可以把他們劃為A類，在數學基礎課的學習中加強要求，甚至可以借鑒數學專業高等代數課程教學的一些經驗，既增加原理和理論教學，強化概念教學，又注重應用訓練.針對有考公務員打算以及想從事會計工作等對數學基礎要求不高的學生，可以把他們劃為B類，在數學基礎課學習中重視對他們結論理解、定理運用等方面能力的培養.
同時，在線性代數學習中，利用學生動手能力強、計算機操作興趣高的特點，可以借助于EXCEL辦公軟件和MATLAB、MAPLE等數學軟件，教會學生在面對大數據計算時，使用計算機手段輔助計算.如，筆者在教授行列式部分時，就要求學生結合自己的學號或者身份證號碼編制出不同的3階行列式和4階行列式，練習手工演算，而教師在多媒體操作中利用EXCEL中的MDETERM函數進行快速計算，驗證學生的計算結果，大大增加了學生的學習興趣，也教會了他們一些常見的函數命令.既通過手工演算熟悉原理，又通過軟件演算提高效率.
四、結語
數學是有用的，數學基礎課的教學，更要注重案例教學，和學生的專業緊密結合.數學基礎課在各學科中的應用，也是它的一種美.數學是美的，數學基礎課的教學也要體現出數學的美.教學過程中，如何把這種美傳遞給學生，便是對教師的最基本的要求.本文結合筆者在多年線性代數課程教學中的心得，給出幾點建議，如注重案例教學，大力推進分層分類教學，對于其他數學基礎課的教學同樣是有意義的.教師在教學過程中還應該多探索，希望能夠讓學生體會到在本專業中數學基礎課的強大作用，以及讓學生體會到數學基礎課帶來的數學邏輯之美、數學整合之美、數學簡潔之美.
【參考文獻】
[1]盧剛.線性代數（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2009.
[2]溫道偉，汪國軍.大類招生線性代數教學方法初探[J].高等數學研究，2016，19（3）：49-51.
關鍵詞：教學改革；應用型；線性代數
中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2017）15-0136-02
我國高等教育“重技重能”的時代即將來臨。在教育部、國家發展改革委、財政部聯合的《關于引導部分地方普通本科高校向應用型轉變的指導意見》中，就提出了引導部分地方普通本科高校向應用型轉變的重要意義、指導思想、基本思路、l展任務以及配套政策和推進機制。如何培養當今社會需要的應用型、創新型人才，與地方經濟、社會發展和產業技術進步融合發展是各高校特別是地方高校面臨的重大問題之一。應用型本科是在高等教育由原來的“精英式”教學逐漸向“大眾式”教學轉變后的大背景下提出的，應用型本科具有以下特點：（1）在教學目標上要以培養出社會所需要的應用型人才為目標；（2）在教學活動中要以實行關注學生綜合能力培養的全方位教學模式為主體；（3）在教學內容上要注重理論和實踐的充分結合；（4）在教學方法上應以創新的方法為主，注重培養每一位學生的實踐能力。為了能向社會輸送具有實際應用能力的學生，實現培養應用型人才的目標。對于每一門課程，都要在教學活動中對教學的每個環節進行精準定位。
二、線性代數課程教學改革的原因
數學類課程作為理工、經濟類學生的必修基礎課程，在人才培養計劃中都是不可缺少的重要課程。以我院為例，在計算機科學與技術、網絡工程等專業的人才培養方案中，高等數學、線性代數、概率統計這些重要的數學基礎課程都包含在學科教育必修課中。線性代數在培養學生的邏輯思維、創造性思維、創新能力等方面，起著至關重要的作用。課程教學質量的高低直接影響著學生上述這些方面的能力。為了便于學生在將來的實際工作中用數學的思想和方法解決現實問題，針對應用型人才培養的數學類課程的教學改革勢在必行。
三、線性代數教學內容及教學現狀
線性代數課程的基本教學內容是線性方程組的求解、線性空間和線性變換。課程涉及的向量的線性相關性、線性空間、線性變換、矩陣的相似對角化、解線性方程組等知識都是將來學生解決實際問題的重要工具和手段。目前，在許多高校里面，很多教材還是沿用以往的教材，這些教材保持理科教材的框架，部分章節內容多而且抽象，課程的教學學時都很少，教師在上課時，急于教學進度，每節課往往都是重視定理的推導，而忽視了定理出現的實際應用背景，忽略了介紹這門課程是進行數值計算工具的內容，從而造成了學生對此門課程不了解，不感興趣，認為學而無用。為了順應高等教育的發展趨勢，適應應用型人才的培養，一定要對原有的線性代數課程的教學內容設置以及教學方法等環節進行改革。
四、基于應用型的線性代數教學改革的具體措施
在我院各專業培養應用型人才的教學計劃中，都把以培養學生能熟練運用線代知識和工具去分析、解決問題作為教學目標。為此，我們對線性代數知識的需要進行有機結合，減少抽象性，突出應用性，建立一種可以培養學生的實際應用能力和綜合分析能力的新的教學模式。
1.教學內容設置方面。線性代數的主要研究內容可概括為五個模塊，即“三個工具，兩個問題”，三個工具指行列式、矩陣、向量空間，兩個問題指線性方程組和二次型。與別的課程相比，線性代數這門課程具有內容抽象、符號繁多、公式龐雜和定理的證明不易理解等特點。因此，我們以線性代數課程是解決實際問題的工具這一原則。講課時，適當降低理論深度，以“應用為目的，夠用為度”的原則，對于一些定理的證明進行略講或不講，讓學生知道如何應用即可，并在每節課上都根據需要掌握的知識配上典型、有針對性的練習題，學生邊學邊練，加深對知識的掌握。
2.教學手段運用方面。傳統的線代教學，重理論、輕實踐的觀念比較嚴重，課堂中，很多的時間和很大的篇幅用于書中定理的證明，對一些實踐的例子沒有時間進行講解，教學脫離了現實問題，早已不能滿足應用型人才培養的需求。這樣的教學方法，使學生對知識的掌握，也是浮于表面，僅能體現在能否在解答卷面問題時能根據條件求出結果。一旦涉及到實際問題就手足無措，沒有辦法實現知識與實際問題的關聯，根本談不上應用。大部分學生陷入了“學不會，用不了”的局面。針對這一現象，我們主要采用了“先明白為什么這么做，再掌握怎么做”這個方法。例如在講解矩陣及其逆矩陣時，引出利用逆矩陣進行密碼的編譯碼設計這一具體實例，加強學生的學習興趣，讓學生去自主學習；在講授特征值和特征向量這部分內容時，我們適當調整了課程內容的講解次序，從第2章的求方陣方冪這個例題出發，并利用人口遷移問題作為這一系列知識點的引入，最終引出對角矩陣，然后利用求出的對角陣，引出特征值和特征向量的概念。這一過程可以使學生對即將進行學習的對角矩陣有一個鮮明的認識，學生在學習的過程中，時刻都知道自己在做什么，為什么這么做。這些就能使學生對將來如何使用這些知識點做到心中有數，有的放矢，達到事半功倍的效果。這些方法既加強了學生對課程基本內容的了解，又使解決問題方法的引入更加自然。通過我們的教學實踐，以上做法對活躍課堂氣氛和提高學生的學習熱情都很有幫助。學生對本門課程的興趣也逐漸增加，能主動進行學習，達到了良好的教學效果。
3.理論與實驗課相結合。針對應用型人才培養的目標，我們打算在以后的教學模式改革中，將數學軟件引入線代教學，弱化手工計算過程，并在將來逐步將學時分配和教學重點偏向上機實驗。計算機專業的學生，對軟件的操作、編程有自己專業的優越性。有一些可以上機的內容，可以在課堂上把基本的概念和Matlab軟件中的簡單命令告訴學生，隨后在上機課上讓他們自己去驗證。對軟件熟練掌握以后，就可以找幾個典型的可用線代知識去解決的實際問題，讓學生嘗試著用軟件去解決，從而培養學生建模、仿真、求解的能力。
4.考試方式的改革。在培養應用型人才的目標下，考試也應隨之改革，改變以往那種重記憶、重理論、重計算能力而輕理解、輕實踐的傳統閉卷考試模式。考試的最終成績應體現出學生的實際應用能力，除了傳統的閉卷紙質考試成績以外，在最終成績里面還應考慮到實踐應用方面的因素。例如加大平時成績的比例，把平時作業特別是一些需要進行查詢資料，并利用數學軟件解決的具有現實意義的題目的完成情況作為主要的平時成績。這種新型的考核方案，能更好的體現出應用型人才培養的教學目標。
五、結語
以上是我們在基于應用型人才培養的教學環境下線代課程教學改革初步的一些實踐。教學模式改革是處于轉型期應用型本科院校實現應用型人才培養目標的重要手段，改革的最終目的還是為了提升學生解決際問題的能力，讓學生通過解決實際問題，從而使運算、抽象思維、邏輯推理的能力不斷地增強，這也符合了應用型人才的發展趨勢。當然，所有的這一切，對于教師的要求也越來越高，我們一定要加強學習、交流，積極地去嘗試一些有效、可行的教學方法，讓每位學生都能在這種背景下得以全面發展，成為一個合格的具有實踐能力和創新意識的應用型人才，在實現地方本科高校應用型轉型的教學改革方面貢獻自己的一份力量。
參考文獻：
[1]蔡海鷗.線性代數教學方法探索[J].首都師范大學學報（自然科學版），2009，（05）.
[2]曾崢，簡國明，李善佳.地方高校數學專業人才培養模式的改革與探索[J].數學教育學報，2012，（05）.
[3]王利東，劉婧.從應用實例出發的線性代數教學模式探討[J].數學教育學報，2012，（03）.
[4]苗菲，劉之松，賈穎.淺談應用型本科經管類線性代數課程教學改革[J].中國教育技術裝備，2016，（04）.
[5]陳永勝，劉洋萍.基于MATLAB求解非齊次線性方程組[J].赤峰學院學報（自然科學版），2009，（10）.
[6]吳曉義，唐曉鳴.應用型本科高校的發展定位、指導思想與校本特色[J].高教探索，2008，（04）.
[7]陶思俊，王茶生.應用型本科高校高等數學教學改革探索[J].新余學院學報，2014，（06）.
