時(shí)間：2022-12-16 19:47:52
開(kāi)篇：寫(xiě)作不僅是一種記錄，更是一種創(chuàng)造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇數(shù)學(xué)例題教學(xué)，希望這些內(nèi)容能成為您創(chuàng)作過(guò)程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進(jìn)步。
關(guān)鍵詞數(shù)學(xué) 例題 教學(xué)
例題教學(xué)是初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重要環(huán)節(jié)。不但為學(xué)生提供解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的范例，揭示數(shù)學(xué)方法，規(guī)范思考過(guò)程，而且為其數(shù)學(xué)方法體系的構(gòu)建提供了基石。那么，如何進(jìn)行初中數(shù)學(xué)的例題教學(xué)呢？
一、初中數(shù)學(xué)例題的作用和地位
例題在教材中所占的地位是由它的功能與作用所決定的.數(shù)學(xué)教材是由數(shù)學(xué)知識(shí)、例題、習(xí)題三個(gè)有機(jī)部分所組成，例題在教材中具有替代的結(jié)構(gòu)性和作用。
例題的作用，主要體現(xiàn)在以下兩個(gè)方面：
1、從結(jié)構(gòu)上看，例題是把知識(shí)、技能、思想和方法聯(lián)系起來(lái)的一條紐帶。
知識(shí)的價(jià)值，技能的操作、思想與方法的作用都是通過(guò)例題來(lái)體現(xiàn)的。例題的講解與示范是教學(xué)中傳授知識(shí)，培養(yǎng)技能必不可少的一個(gè)環(huán)節(jié)。學(xué)習(xí)知識(shí)的最終目的是要轉(zhuǎn)化為能力，例題作為學(xué)以致用的重要環(huán)節(jié)，在教學(xué)過(guò)程中擔(dān)負(fù)著把知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的重要使命，這是它的首要作用。
2、從功能上看，教學(xué)例題具有知識(shí)功能、教育功能、發(fā)展功能與示范功能。
在教學(xué)過(guò)程中，主要是通過(guò)例題和習(xí)題，使學(xué)生獲得系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識(shí)，形成必要的數(shù)學(xué)技能技巧。例題的思路分析、解題方法與書(shū)寫(xiě)格式幫學(xué)生掌握分析的方法，了解書(shū)寫(xiě)格式與規(guī)范，熟悉適用的解題方法，使學(xué)生在思想上和行為上都受到數(shù)學(xué)熏陶，對(duì)學(xué)生的思維及解題行為起著潛移默化的作用，啟迪學(xué)生掌握解各類數(shù)學(xué)問(wèn)題的鑰匙，通過(guò)數(shù)學(xué)例題，還可以向?qū)W生進(jìn)行辯證唯物主義世界觀的教育。
二、初中數(shù)學(xué)例題教學(xué)的策略
1、恰當(dāng)選題，幫助學(xué)生減負(fù)增效
例題選擇恰當(dāng)與否，直接關(guān)系著學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和掌握，切不可盲目選擇例題進(jìn)行“滿堂灌”。例題的選擇不能過(guò)多、過(guò)雜、過(guò)難，必須要有一定的基礎(chǔ)性和代表性，遵循從易到難。恰當(dāng)選擇例題，不能一味追求解題的難度和技巧，要選擇典型的，能體現(xiàn)現(xiàn)階段教學(xué)目標(biāo)，能蘊(yùn)含數(shù)學(xué)基本思想和方法的例題，必要時(shí)可以根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況更換課本例題或補(bǔ)充課外例題。另外，例題的精選能在很大程度上避免“題海戰(zhàn)”，使學(xué)生減負(fù)增效，提高教學(xué)的有效性。一般說(shuō)，填空題重概念辨析，選擇題重方法，解答題重思維，證明題重演繹，綜合題重邏輯。教師應(yīng)根據(jù)不同的教學(xué)目的而選擇不同的題型，使學(xué)生從不同的途徑和角度去加深理解并鞏固知識(shí)。
2、例題教學(xué)需懂得逐層遞進(jìn)。
初中數(shù)學(xué)例題教學(xué)，首先是要讓學(xué)生能夠聽(tīng)懂教師教學(xué)所講的內(nèi)容，只有當(dāng)學(xué)生聽(tīng)懂之后，學(xué)生才能夠接受知識(shí)進(jìn)行消化，也就是所謂的逐層遞進(jìn)。想要做到這一點(diǎn)，教師需要從兩個(gè)方面入手：其一，將例題吃透，也就是抓住例題本質(zhì)，懂得將前后知識(shí)點(diǎn)相互的結(jié)合在一起，對(duì)于難易程度也能夠了熟于心；其二，將學(xué)生吃透，掌握學(xué)生知識(shí)水平與理解能力，能夠針對(duì)學(xué)生不同的年齡段而給予不同的解題技巧教學(xué)。如果部分例題難度較大，學(xué)生很難接受，就需要教師進(jìn)行鋪路搭橋，將難度降低到適合學(xué)生的高度，也就是要讓學(xué)生懂得這一題就像樹(shù)上的桃子，伸伸手不一定能夠碰得到，但是如果自己跳一下，就能夠?qū)⑻易诱聛?lái)。
3、講解到位，全面呈現(xiàn)發(fā)現(xiàn)過(guò)程
數(shù)學(xué)教學(xué)不僅僅要讓學(xué)生看到數(shù)學(xué)結(jié)果，最重要的是讓學(xué)生看到數(shù)學(xué)結(jié)果是如何獲得的。學(xué)習(xí)解題最好的途徑是學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)，倘若教師沒(méi)有全面呈現(xiàn)解法的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，學(xué)生通常只知其然，而不知其所以然，解題時(shí)只能機(jī)械地模仿?！笆谥贼~(yú)不如授之以漁”，例題講解要重視思維過(guò)程的指導(dǎo)，要全面呈現(xiàn)發(fā)現(xiàn)過(guò)程，暴露如何想，揭示怎樣做。例如解題的關(guān)鍵條件是什么？解法是如何想到的？思路是怎樣打通的？如果出現(xiàn)解題困難，是否需要重新審視條件和結(jié)論，該引發(fā)什么新的思考，思維上的差距何在，等等。某些特殊情況下，教師還應(yīng)“稚化”自己的思維，有意識(shí)地退回到與學(xué)生相仿的思維態(tài)勢(shì)，或者假裝遭受挫折，一籌莫展，讓學(xué)生獨(dú)立分析原因再繼續(xù)探索等等。
4、拓展例題的知識(shí)范圍，觸類旁通，舉一反三
有的例題僅僅針對(duì)一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，解決一個(gè)問(wèn)題，但在實(shí)際教學(xué)時(shí)有時(shí)可能會(huì)根據(jù)實(shí)際情況，需要“借題發(fā)揮”，對(duì)例題的知識(shí)范圍進(jìn)行拓展。例如在學(xué)習(xí)方程、不等式和函數(shù)知識(shí)，如何理解三者之間的關(guān)系，可以結(jié)合具體的例題，配合圖像讓學(xué)生理解函數(shù)的對(duì)應(yīng)的本質(zhì)，函數(shù)是整個(gè)過(guò)程中的對(duì)應(yīng)，不等式是某個(gè)范圍內(nèi)的對(duì)應(yīng)，而方程式是某個(gè)瞬間的對(duì)應(yīng)，加深學(xué)生對(duì)三者之間的關(guān)系的理解。
5、錯(cuò)題辨析、改正
在教學(xué)中我們發(fā)現(xiàn)講解題目的正確解法有時(shí)達(dá)不到教學(xué)目的，因?yàn)閷W(xué)生不知道自己為什么錯(cuò)，錯(cuò)在哪里，無(wú)法對(duì)癥下藥。錯(cuò)誤是正確的先導(dǎo)，正如哲學(xué)家波普爾所說(shuō)：“錯(cuò)誤中往往孕育著比正確更豐富的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造因素”。課堂例題教學(xué)時(shí)，根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中會(huì)感到疑難或者易發(fā)生認(rèn)知偏差的問(wèn)題，設(shè)置錯(cuò)題辨析、改正，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)錯(cuò)解及產(chǎn)生錯(cuò)解的原因，從錯(cuò)題中體會(huì)到知識(shí)的關(guān)鍵點(diǎn)和易錯(cuò)點(diǎn)，辨析出知識(shí)的異同，加深對(duì)知識(shí)的理解，讓學(xué)生經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”和“再創(chuàng)造”的過(guò)程，找到正確的解法和結(jié)論，有效地知錯(cuò)、改錯(cuò)、防錯(cuò)
鑒于此，本人認(rèn)為在小學(xué)數(shù)學(xué)例題教學(xué)中可以從以下幾個(gè)方面著手：
一、將例題生活情景化
生活是數(shù)學(xué)的源泉，數(shù)學(xué)知識(shí)的獲得離不開(kāi)生活。倘若將例題轉(zhuǎn)變生活情景，不僅可以激發(fā)學(xué)生的參與熱情，還能發(fā)揮學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)造能力。例如，教學(xué)兩位數(shù)加兩位數(shù)（進(jìn)位加）時(shí)，我先復(fù)習(xí)百以內(nèi)的進(jìn)位加法，如：27+41=？接著學(xué)習(xí)例題56+18=?我結(jié)合生活實(shí)際設(shè)計(jì)了學(xué)生喜歡的玩具圖片并展示在黑板上：小汽車28元，飛機(jī)56元，手槍5元，狗熊34元，洋娃娃25元。先讓學(xué)生提出加法問(wèn)題，并嘗試計(jì)算，接著請(qǐng)學(xué)生對(duì)列出的算式進(jìn)行分類，抽取其中進(jìn)位加法一例展開(kāi)討論，思考算法，哪種方法最簡(jiǎn)便。這樣把學(xué)習(xí)內(nèi)容融入生活情景中，不但激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還調(diào)動(dòng)了學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性。
二、讓學(xué)生動(dòng)手，在實(shí)踐中獲得知識(shí)
學(xué)生的積極思維往往是由問(wèn)題開(kāi)始，又在解決問(wèn)題的過(guò)程中得到發(fā)展。
教師若能結(jié)合例題特征，把問(wèn)題拓展、加深、變活，便可獲得良好的效果。如：在教學(xué)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手測(cè)量教室、課桌面和數(shù)學(xué)書(shū)四周的長(zhǎng)度，引出周長(zhǎng)的概念和計(jì)算方法。通過(guò)學(xué)生親手實(shí)踐，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從而獲取新知。
三、拓展例題，培養(yǎng)思維能力
拓展是指例題教學(xué)后，教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)例題的回問(wèn)，巧妙地改變問(wèn)題、情節(jié)和方法，組織變式練習(xí)。數(shù)學(xué)的各知識(shí)點(diǎn)間是相互依存、不斷變化的。只有把課本知識(shí)融會(huì)貫通，拓展延伸，才會(huì)增強(qiáng)學(xué)生思維的發(fā)散性和創(chuàng)造性。
四、細(xì)讀教材，總結(jié)規(guī)律，培養(yǎng)自學(xué)能力
【摘 要】初中數(shù)學(xué)的例題及習(xí)題是把數(shù)學(xué)理論、數(shù)學(xué)思維及數(shù)學(xué)方法鏈接在一起的重要紐帶。隨著新課程改革的不斷深入，初中數(shù)學(xué)例題及習(xí)題的教學(xué)也取得了一系列的實(shí)質(zhì)性成果。文章就如何充分挖例題及習(xí)題的教學(xué)優(yōu)勢(shì)，以有效提升初中數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量，從三大方面進(jìn)行了粗淺探討。
【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué) 例題及習(xí)題 教學(xué)策略
例題及習(xí)題是初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重要環(huán)節(jié)之一。學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)理論、數(shù)學(xué)思維及數(shù)學(xué)方法等知識(shí)的掌握離不開(kāi)教師對(duì)相關(guān)例題及習(xí)題的解析。當(dāng)前，隨著新課程改革的不斷深入，初中數(shù)學(xué)例題及習(xí)題的教學(xué)也取得了一系列的實(shí)質(zhì)性成果。下面筆者結(jié)合多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，就如何充分挖例題及習(xí)題的教學(xué)優(yōu)勢(shì)，有效提升初中數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量M行探討。
一、結(jié)合實(shí)際情況，選擇難度適中的例題及習(xí)題
初中數(shù)學(xué)教材所選的例題及習(xí)題雖然都是經(jīng)過(guò)嚴(yán)格精選的，基本符合普通學(xué)生的智力發(fā)育水平，但結(jié)合筆者多年的教學(xué)實(shí)踐來(lái)看，因?qū)W生學(xué)習(xí)接受能力不同，同樣的教材內(nèi)所得到的教學(xué)效果也不盡相同。如一些班級(jí)中大部分學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較差，那么教材內(nèi)容中所涉及的例題內(nèi)容有可能就會(huì)超出其一段時(shí)間內(nèi)的知識(shí)接受范圍；反之，學(xué)生則會(huì)感覺(jué)例題內(nèi)容相對(duì)簡(jiǎn)單。因此，教師在進(jìn)行日常的例題、習(xí)題教學(xué)時(shí)，要從學(xué)生的角度出發(fā)，合理選擇例題內(nèi)容，并以學(xué)生以往課堂知識(shí)的學(xué)習(xí)反饋為依據(jù)，對(duì)例題內(nèi)容進(jìn)行適當(dāng)選擇，切忌不顧實(shí)際地將教師自身的理念和主觀意識(shí)強(qiáng)加于學(xué)生。
一般而言，數(shù)學(xué)中針對(duì)一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的例題會(huì)有兩三個(gè)，且其知識(shí)側(cè)重點(diǎn)和學(xué)習(xí)難度均不一樣。對(duì)此，教師可以根據(jù)大多數(shù)學(xué)生的實(shí)際學(xué)習(xí)情況進(jìn)行合理挑選：一道簡(jiǎn)單的例題要緊扣基礎(chǔ)知識(shí)，以兼顧各方面學(xué)習(xí)基礎(chǔ)的學(xué)生，一道難度較大的例題，起到一定的拔高作用。同時(shí)，在習(xí)題布置尤其是隨堂習(xí)題的布置方面，也要針對(duì)性地選擇。
對(duì)學(xué)生而言，要打下良好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，一定的習(xí)題練習(xí)量是必需的。但相對(duì)于隨堂練習(xí)時(shí)間而言，每個(gè)知識(shí)章節(jié)后面的練習(xí)題量很大，且其中有相當(dāng)部分習(xí)題是同類型的。因此，在隨堂練習(xí)中，教師同樣要結(jié)合學(xué)生的實(shí)際聽(tīng)課情況，尤其要根據(jù)重點(diǎn)和難點(diǎn)來(lái)布置課后習(xí)題，盡可能地貼近考試題型，力求做到每道習(xí)題都具有一定的典型性、代表性，從而提高學(xué)生的課堂練習(xí)質(zhì)量和效率。
二、掌握教學(xué)技巧，用好用活例題及習(xí)題
數(shù)學(xué)知識(shí)千變?nèi)f化，題型也千差萬(wàn)別，但萬(wàn)變不離其宗，無(wú)論如何變化，其都要遵循著一定的原理。從歷年中考試題來(lái)看，絕大部分題目源于教材的例題和習(xí)題，即使是綜合題也大多是課本例習(xí)題的組合、加工與拓展?？梢?jiàn)教材的例題及習(xí)題具有明顯的基礎(chǔ)和示范作用。因此教師在平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，要立足于教材，采取多種教學(xué)手段，用好用活例題及習(xí)題，切實(shí)做課程理念倡導(dǎo)的“從教教材，到用教材”。
比如，可以在教學(xué)過(guò)程中將學(xué)生熟悉的事物融入于例題及習(xí)題課堂教學(xué)當(dāng)中，讓學(xué)生在趣味性的教學(xué)過(guò)程中增強(qiáng)學(xué)習(xí)興趣，開(kāi)拓?cái)?shù)學(xué)思維。如在教學(xué)人教版七年級(jí)上冊(cè)《有理數(shù)的乘法》時(shí)，教師可先利用多媒體設(shè)備播放一系列反映水位上升及下降的短片，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，再將學(xué)生引入相關(guān)教學(xué)情境。教師將水位下降計(jì)為負(fù)，水位上升計(jì)為正，以此將有理數(shù)的乘法概念帶入到生活化的教學(xué)場(chǎng)景中，再設(shè)計(jì)一系列問(wèn)題：以每小時(shí)水位下降2米的速度將游泳池中的水排出，2小時(shí)后水位下降多少米？以每小時(shí)水位上漲2米的速度往游泳池中放水，2小時(shí)后水位上漲多少米？此類生活化的例題，不但能大大激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還使學(xué)生在類似的反復(fù)鍛煉過(guò)程中掌握了解題規(guī)律，從而將該規(guī)律靈活運(yùn)用在其他題目的解題過(guò)程中。
又如，加強(qiáng)變式教學(xué)，一題多解，以一推百。筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生在日常的習(xí)題訓(xùn)練中思維比較僵化，往往只習(xí)慣于套用教材例題的固定模式來(lái)進(jìn)行解題分析，不利于提高解題效率。對(duì)此，教師可通過(guò)變式教學(xué)對(duì)學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)，使學(xué)生學(xué)會(huì)對(duì)一個(gè)定義或問(wèn)題舉一反三。以人教版七年級(jí)下冊(cè)《三角形》知識(shí)體系為例，此類知識(shí)基本上以三角形的內(nèi)角和來(lái)出題。學(xué)生在練習(xí)中對(duì)于一般的題型能很好地解出答案，但在題型變化情況下往往無(wú)從下手。對(duì)此，筆者在課堂上使用了變式教學(xué)法對(duì)學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)：“已知三角形的內(nèi)角和是180°，誰(shuí)能舉出幾種方法進(jìn)行求證呢？”學(xué)生經(jīng)過(guò)思考得到如下幾種答案：（1）借助量角器等幾何工具進(jìn)行測(cè)量，通過(guò)對(duì)三角形內(nèi)角的測(cè)量，學(xué)生很快得出了三角形的內(nèi)角和；（2）學(xué)生親自動(dòng)手將三角形的內(nèi)角進(jìn)行剪切再組合拼接，發(fā)現(xiàn)三角形的內(nèi)角組合在一起正好是一個(gè)平角；（3）通過(guò)圖形的變形推算，學(xué)生將四個(gè)角都是直角的四邊形進(jìn)行對(duì)折，再根據(jù)圖形進(jìn)行推理，可以得到三角形的內(nèi)角和為180°。如此通過(guò)變式引導(dǎo)，既讓學(xué)生的思維得到了進(jìn)一步拓展，又讓學(xué)生學(xué)會(huì)了在今后的學(xué)習(xí)中可利用各種方法進(jìn)行求證，提高了學(xué)生的做題速度，降低了錯(cuò)誤率。
此外，教師還應(yīng)該重視課堂上的例題解答過(guò)程和做完習(xí)題之后的總結(jié)概括，以充分發(fā)揮課堂習(xí)題對(duì)學(xué)生知識(shí)點(diǎn)掌握的強(qiáng)化作用。以人教版七年級(jí)下冊(cè)《不等式的性質(zhì)》為例，其中例l為：“利用不等式的性質(zhì)解下列不等式：（1）x-726；（2）-4x3.”在學(xué)生對(duì)不等式性質(zhì)及概念有了了解后，可通過(guò)如下訓(xùn)練對(duì)該知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行強(qiáng)化：（1）若ab，則3a__3b，-2a__-2b；（2）若xy，則ayax中的a應(yīng)滿足___，若xy，則axay中的a應(yīng)滿足____。如上習(xí)題的設(shè)置均為由淺入深，層層遞進(jìn)，符合數(shù)學(xué)教學(xué)由簡(jiǎn)到難的學(xué)習(xí)步驟，既讓學(xué)生參與到了思考解題的過(guò)程中，又培養(yǎng)了學(xué)生舉一反三的能力。
三、創(chuàng)造性地使用教材，積極開(kāi)發(fā)例題及習(xí)題活動(dòng)素材
《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出：“讓學(xué)生獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。”在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要從這一要求出發(fā)，在尊重理解教材的基礎(chǔ)上，結(jié)合教學(xué)目標(biāo)及學(xué)生實(shí)際情況，創(chuàng)造性地使用教材，積極開(kāi)發(fā)例題及習(xí)題活動(dòng)素材，以激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生課堂參與度。
以人教版九年級(jí)上冊(cè)《圓》的教學(xué)為例，教師在進(jìn)行例題解析時(shí)，若只一味地進(jìn)行例題講解，學(xué)生往往覺(jué)得枯燥乏味。因此，教師可以多多挖掘例題中隱藏的一些趣味性，如讓學(xué)生發(fā)揮想象，探討三角形、方形或橢圓形的車輪會(huì)發(fā)生的各種怪異情形來(lái)了解車輪為圓形的原因，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)圓的興趣，同時(shí)還可以讓學(xué)生動(dòng)手操作，制作車輪等圓形的物體，并標(biāo)出圓心、半徑和周長(zhǎng)等。如此生動(dòng)活潑的課堂教學(xué)，不僅符合初中學(xué)生的心理，還培養(yǎng)了學(xué)生的動(dòng)手能力。
又如，將一枚一元硬幣放在同樣大小的另一枚硬幣上，無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)一周，問(wèn)學(xué)生該硬幣自轉(zhuǎn)了幾周，并讓學(xué)生通過(guò)獨(dú)立動(dòng)手嘗試找出答案。學(xué)生給出回答：“因兩枚硬幣周長(zhǎng)相等，故自轉(zhuǎn)了一周?！苯處熇^續(xù)提問(wèn)是否有不同答案。有學(xué)生回答兩圈，原因是前面回答的學(xué)生只關(guān)注硬幣本身轉(zhuǎn)了幾圈，沒(méi)有關(guān)注周長(zhǎng)是否相等。通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)很容易解決此題。問(wèn)題到此，教師還應(yīng)做一步深化：“我們?cè)賮?lái)看這樣一個(gè)問(wèn)題。如圖1，一個(gè)半徑為1的圓，在邊長(zhǎng)為2π的等邊三角形的邊上滾動(dòng)一周后回到起點(diǎn)，則這個(gè)圓自轉(zhuǎn)了幾周？”有學(xué)生很快回答3周。但有學(xué)生發(fā)現(xiàn)在三個(gè)頂點(diǎn)處是需要拐個(gè)彎過(guò)來(lái)的，因此肯定超過(guò)3周，繼續(xù)深入發(fā)現(xiàn)三個(gè)頂點(diǎn)處都拐了120°，因此自轉(zhuǎn)了4周……
通過(guò)如上的活動(dòng)教學(xué)，教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)本質(zhì)：不論在平面還是曲面上，圓滾動(dòng)后自轉(zhuǎn)幾周的問(wèn)題，其實(shí)就是看圓自身前進(jìn)的距離等于幾個(gè)周長(zhǎng)，因此關(guān)鍵是看圓心，圓心走的距離就是圓前進(jìn)的距離。如此，學(xué)生既對(duì)所學(xué)知識(shí)有了深刻的認(rèn)識(shí)，又在活動(dòng)教學(xué)中體驗(yàn)到了探究的過(guò)程及方法，大大促進(jìn)了學(xué)生生成性知識(shí)的形成。
總之，初中數(shù)學(xué)的例題及習(xí)題教學(xué)對(duì)于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，提升數(shù)學(xué)教學(xué)效果有積極意義。在今后的教學(xué)中，我們應(yīng)繼續(xù)加強(qiáng)這方面的探索和研究，不斷總結(jié)經(jīng)驗(yàn)并反思，以期更好地發(fā)揮出例題及習(xí)題教學(xué)的教學(xué)優(yōu)勢(shì)，打造初中數(shù)學(xué)高效課堂。
【參考文獻(xiàn)】
[1]王雨.初中數(shù)學(xué)例題教學(xué)和習(xí)題教學(xué)的研究[J].新課程導(dǎo)學(xué)，2015（35）：89.
例題教學(xué)的主要任務(wù)是使學(xué)生能通過(guò)具體例題的教學(xué)理解和鞏固數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，形成數(shù)學(xué)的基本技能，把數(shù)學(xué)理論與實(shí)踐相結(jié)合，掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)理論的用途和方法，從而達(dá)到提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力. 所以，在例題教學(xué)之前，必須明確例題的任務(wù)：具體體現(xiàn)了哪些基礎(chǔ)，用來(lái)解決怎樣的實(shí)際問(wèn)題，用怎樣的數(shù)學(xué)方法等.
二、弄清例題的類型和功能
數(shù)學(xué)教材中的例題按功能來(lái)分，無(wú)非有兩大類：一類是引入新知識(shí)的實(shí)際問(wèn)題或具體事例，另一類是為加深對(duì)概念、命題的理解和鞏固，熟悉其用途和用法的. 對(duì)于不同類型的例題，要選擇適當(dāng)?shù)慕谭? 前一類例題內(nèi)容較簡(jiǎn)單，為了引入新概念，大都是用學(xué)生較熟悉或易于理解，易于接受的生活實(shí)例，這類例題大都給學(xué)生以感性材料，如平行線的教學(xué)中，引用鐵道上某一段的兩條鐵軌、黑板的兩組對(duì)邊等，通過(guò)具體事例引申到的數(shù)學(xué)理論. 后一類例題在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中占有很大的比重，教學(xué)時(shí)，一般都在學(xué)生接受了數(shù)學(xué)的基本概念、原理后出示，所以必須在講解例題前點(diǎn)明例題的意義和作用，以激發(fā)學(xué)生的積極性，使學(xué)生在心里覺(jué)得學(xué)習(xí)了基礎(chǔ)還可以解決某一類問(wèn)題，然后引導(dǎo)學(xué)生去分析“已知”和“未知”，以分析法為主為學(xué)生尋求解題思路，以綜合法為主表述解題過(guò)程，因而在進(jìn)行該類型例題的教學(xué)時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：
1. 例題特點(diǎn)
基礎(chǔ)知識(shí)和教材中的例題是有機(jī)的結(jié)合，對(duì)于多個(gè)例題的章節(jié)，一般都是從具體到抽象，從特殊到一般，從易到難，從單一性到綜合性，所以為了加強(qiáng)例題教學(xué)的針對(duì)性，發(fā)揮教材所提供該例題的典型示范作用，教學(xué)時(shí)必須深挖例題的特點(diǎn)，是屬于加深理解和鞏固新知的，還是用來(lái)闡明新知的用途和用法的，或是為學(xué)生形成解題基本技巧，解題方法等，這樣才能使學(xué)生在學(xué)習(xí)完例題后，深知這一例題的目的何在，才能使學(xué)生明確例題與習(xí)題的關(guān)系，才易于著手下筆.
2. 注意習(xí)題的類化作用
教材中引用例題的目的，絕不是為了使學(xué)生會(huì)做例題，會(huì)做習(xí)題，而是使學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)一個(gè)例題而知一類習(xí)題，由一個(gè)題的思路、解法而知這一類題的思路和解法. 因此，在加強(qiáng)例題教學(xué)的同時(shí)，或在例題講解完之后，向?qū)W生進(jìn)行歸納總結(jié)這一類問(wèn)題的思路、解法、技巧等，這樣學(xué)生學(xué)完一個(gè)例題后就能夠舉一反三，觸類旁通，從而達(dá)到由“不會(huì)”到“學(xué)會(huì)”，再由“學(xué)會(huì)”到“學(xué)活”.
3. 強(qiáng)化例題的應(yīng)用
總結(jié)了例題的類化后，還必須附加一些鞏固習(xí)題進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練，在練習(xí)中，還要強(qiáng)調(diào)例題與習(xí)題的關(guān)系，強(qiáng)化后，對(duì)原題的條件或結(jié)論做適當(dāng)?shù)母淖儯缓笕W(xué)會(huì)變化這一類題的解法，這樣，既可以不至于使學(xué)生機(jī)械地套用例題，又可以提高學(xué)生對(duì)例題的靈活性，也拓寬了某一個(gè)例題的范圍，從而提高學(xué)生解題的技巧性和靈活性.
關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；教學(xué)現(xiàn)狀；具體策略
現(xiàn)有初中數(shù)學(xué)教材中，例題教學(xué)是幫助學(xué)生將課本知識(shí)高效轉(zhuǎn)化為現(xiàn)實(shí)應(yīng)用的一個(gè)媒介。因此，教師需要在實(shí)際課堂教學(xué)活動(dòng)中充分發(fā)揮例題教學(xué)的功能，使初中生可以借助例題解析教材中抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)，進(jìn)而全面提升自我數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。
一、初中數(shù)學(xué)例題教學(xué)現(xiàn)狀
（一）初中數(shù)學(xué)例題缺乏針對(duì)性
眾所周知，數(shù)學(xué)教材中例題的主要功能是導(dǎo)入數(shù)學(xué)概念，幫助學(xué)生解析例題中隱含的數(shù)學(xué)條件，分析學(xué)習(xí)重點(diǎn)，相同數(shù)學(xué)題目中也可能存在完全不同的解題思路。因此，初中數(shù)學(xué)例題教學(xué)內(nèi)容的選擇必須要具備針對(duì)性。但是從現(xiàn)階段初中數(shù)學(xué)例題教學(xué)的實(shí)際發(fā)展情況來(lái)看，大部分教師在選擇例題過(guò)程中嚴(yán)重缺乏針對(duì)性。所選的數(shù)學(xué)例題沒(méi)有側(cè)重突出學(xué)習(xí)重點(diǎn)，無(wú)法培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題概念，學(xué)生也不理解例題中隱含的數(shù)學(xué)條件，進(jìn)而導(dǎo)致數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量嚴(yán)重下滑。
（二）初中數(shù)學(xué)例題應(yīng)用存在不足
初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)需要以學(xué)生為學(xué)習(xí)主體，教師作為課堂教學(xué)的組織者與引導(dǎo)者。有效利用數(shù)學(xué)例題可以增進(jìn)師生間的情感關(guān)系，對(duì)強(qiáng)化初中生自主學(xué)習(xí)能力具有較大幫助。但是當(dāng)下大部分初中數(shù)學(xué)教師對(duì)例題教學(xué)的應(yīng)用存在不足，課堂教學(xué)手法過(guò)于單一，只是一味地講述教材中的數(shù)學(xué)概念，或者是運(yùn)用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)例題將重要的數(shù)學(xué)概念一筆帶過(guò)。數(shù)學(xué)教師此種數(shù)學(xué)例題應(yīng)用不足的問(wèn)題，若是不能及時(shí)進(jìn)行解決，必定會(huì)嚴(yán)重影響學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。
二、初中數(shù)學(xué)例題有效教學(xué)的具體策略
（一）強(qiáng)化數(shù)學(xué)例題的應(yīng)用性
人教版初中數(shù)學(xué)教材中例題素材，全部來(lái)自于現(xiàn)實(shí)生活。教師在實(shí)際開(kāi)展數(shù)學(xué)例題教學(xué)過(guò)程中，需要及時(shí)認(rèn)清例題教學(xué)的本質(zhì)。通過(guò)不斷加強(qiáng)其與學(xué)生現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中有效滲透相關(guān)生活實(shí)例，強(qiáng)化例題教學(xué)趣味性的同時(shí)，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。
如，教師在教學(xué)人教版初中七年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)“正數(shù)與負(fù)數(shù)”這一課時(shí)，負(fù)數(shù)是一個(gè)比較抽象的概念，為了讓學(xué)生比較容易理解負(fù)數(shù)，數(shù)學(xué)例題從學(xué)生的生活實(shí)際出發(fā)，有效強(qiáng)化學(xué)生的學(xué)習(xí)理解。如，以班級(jí)中籃球比賽為例，在上半場(chǎng)籃球比賽中本班同學(xué)共計(jì)贏球6個(gè)，在下半場(chǎng)時(shí)贏球4個(gè)，比賽結(jié)束后共計(jì)贏球10個(gè)；而在與其他班級(jí)進(jìn)行比賽的過(guò)程中，本班學(xué)生在上半場(chǎng)輸球6個(gè)，下半場(chǎng)贏球3個(gè)，比賽結(jié)束后共計(jì)輸球3個(gè)。教師此時(shí)需要引導(dǎo)學(xué)生將兩場(chǎng)比賽的贏輸球運(yùn)用“+”“-”進(jìn)行表示。學(xué)生在討論后得出列式為（+6）+（+4）=+10，（-6）+（+3）=-3。此種借助數(shù)學(xué)實(shí)際案例進(jìn)行形象展示正數(shù)與負(fù)數(shù)概念，有效激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的同時(shí)，進(jìn)一步使學(xué)生深刻體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)生活間的關(guān)聯(lián)。
（二）以生為本，因材施教
初中數(shù)學(xué)教師在實(shí)際開(kāi)展課堂教學(xué)工作前，需要深入了解班級(jí)中學(xué)生的實(shí)際學(xué)習(xí)情況及學(xué)習(xí)基礎(chǔ)。只有充分掌握學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，結(jié)合學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，才能有效創(chuàng)設(shè)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的學(xué)習(xí)情景，進(jìn)而充分提高課堂教學(xué)質(zhì)量，開(kāi)展例題教學(xué)活動(dòng)也是同樣的道理。在實(shí)際開(kāi)展例題教學(xué)時(shí)，教師需要站在學(xué)生的視角分析數(shù)學(xué)知識(shí)，盡可能避免將自我主觀學(xué)習(xí)感受強(qiáng)加到學(xué)生的學(xué)習(xí)思維上，進(jìn)而嚴(yán)重導(dǎo)致課堂教學(xué)效率的低下。
例如，教師在教學(xué)人教版八年級(jí)下“平行四邊形的判定”這一課時(shí)。
已知：如圖，ABCD中，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，求證：BE=DF。
若是想要證明BE=DF，可以證明兩個(gè)三角形全等，也可以證明？四邊形BEDF是平行四邊形，在進(jìn)行比較方法后，學(xué)生得出簡(jiǎn)單方法。
證明：四邊形ABCD是平行四邊形，AD∥CB，AD=CD， E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，DE∥BF，且DE=21AD，BF=21BC。
DE=BF，四邊形BEDF是平行四邊形（一組對(duì)邊平行且相等的四邊形平行四邊形）。BE=DF。
此題綜合運(yùn)用了平行四邊形的性質(zhì)和判定，先運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)得到判定另一個(gè)四邊形是平行四邊形的條件，再應(yīng)用平行四邊形的性質(zhì)得出結(jié)論；題目雖不復(fù)雜，但層次有三，且利用知識(shí)較多，在學(xué)生樹(shù)立清晰的證明思路的同時(shí)，進(jìn)一步深化學(xué)生的學(xué)習(xí)印象。
再如，在下列給出的l件中，能判定四邊形ABCD為平行四邊形的是（ ）。
A.AB∥CD，AD=BC
B.∠A=∠B，∠C=∠D
C.AB=CD，AD=BC
D.AB=AD，CB=CD
通過(guò)有效教學(xué)數(shù)學(xué)例題，旨在讓學(xué)生可以充分掌握平行四邊形的第三種判定方法和綜合運(yùn)用平行四邊形的判定方法和性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題。同時(shí)適當(dāng)給學(xué)生補(bǔ)充一些題目，進(jìn)而全面培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題，尋找最佳解題途徑的能力。
綜上所述，初中數(shù)學(xué)教師在實(shí)際開(kāi)展例題教學(xué)過(guò)程中，需要事先對(duì)例題進(jìn)行充分的分析與利用，結(jié)合班級(jí)中學(xué)生的實(shí)際學(xué)習(xí)情況，自主創(chuàng)新例題教學(xué)模式。通過(guò)有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生參與到學(xué)習(xí)活動(dòng)中，進(jìn)而全面激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能，從根本上提高課堂教學(xué)質(zhì)量與效率。
參考文獻(xiàn)：
【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；例題教學(xué)；策略
我們常有這樣的困惑：不僅是講了，而且是講了多遍，可是學(xué)生的解題能力就是得不到提高！也常聽(tīng)見(jiàn)學(xué)生這樣的埋怨：鞏固題做了千萬(wàn)遍，數(shù)學(xué)成績(jī)卻遲遲得不到提高！誠(chéng)然，出現(xiàn)上述情況涉及方方面面，但其中的例題教學(xué)值得反思，例題是教材的重要組成部分，這些例題是編者從茫茫題海中經(jīng)過(guò)反復(fù)篩選、精心選擇出來(lái)的，是學(xué)生掌握雙基的重要來(lái)源，也是教師傳授知識(shí)的紐帶，它蘊(yùn)含著豐富的教學(xué)功能，處理好例題的教學(xué)，對(duì)教學(xué)質(zhì)量大面積的提高、學(xué)生智力的發(fā)展、思維品質(zhì)的培養(yǎng)都是至關(guān)重要.然而很多時(shí)候只是例題繼例題，因而學(xué)生的學(xué)習(xí)也就停留在例題表層，出現(xiàn)上述情況也就不奇怪了。
事實(shí)上，解后反思是一個(gè)知識(shí)小結(jié)、方法提煉的過(guò)程；是一個(gè)吸取教訓(xùn)、逐步提高的過(guò)程；是一個(gè)收獲希望的過(guò)程。從這個(gè)角度上講，例題教學(xué)的解后反思應(yīng)該成為例題教學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容。本文擬從以下三個(gè)方面作些探究。
一、引申拓廣，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的發(fā)散性
教學(xué)中，若對(duì)一些典型的例、習(xí)題進(jìn)行變式處理，如改變?cè)}的條件、結(jié)論、方法或逆向思維、反例分析等，即可以在演變多解過(guò)程中，使得學(xué)生在知識(shí)及方法的縱橫方向分別得以拓廣和延伸，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維。
例1數(shù)學(xué)必修⑷P122第3題證明：對(duì)任意a，b，c，d∈R，恒有不等式（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2） （1）
對(duì)于⑴式能否有更深刻的變化呢？將不等式⑴字母分別排序，得（a12+a22）（b12+b22）≥（a1b1+a2b2）2 （5）
通過(guò)分析知道，可以按字母增加的方向演變。
[變4]設(shè)a1、a2、a3、b1、b2、b3∈R，
求證：（a12+a22+a32）（b12+b22+b32）≥（a1b1+a2b2+a3b3）2 （6）
此時(shí)，利用學(xué)生的連續(xù)思維所產(chǎn)生的思維慣性，教師因勢(shì)利導(dǎo)，把問(wèn)題推廣。
推廣 設(shè)ai，bi∈R（i=1，2……n），則
（a12+a22+……+an2）（b12+b22+……+bn2）≥（a1b1+a2b2+……+anbn）2
（當(dāng)且僅當(dāng)ai=kbi時(shí)，取“=”號(hào)）
這是一個(gè)重要的定理，叫柯西不等式。不等式（5）、（6）即柯西不等式當(dāng)n=2和n=3時(shí)的特例。
如此層層推進(jìn)，使結(jié)論更加完美，更具有普遍性。
上述對(duì)原題從不同角度進(jìn)行演變和多解，這樣從一題多變到一題多解，使知識(shí)橫向聯(lián)系，縱向深入，拓寬了學(xué)生的思路，培養(yǎng)了學(xué)生的發(fā)散思維。
二、揭示規(guī)律，培養(yǎng)思維的深刻性
善于作解題后的反思、方法的歸類、規(guī)律的小結(jié)和技巧的揣摩，再進(jìn)一步作一題多變，一題多問(wèn)，一題多解，挖掘例題的深度和廣度，擴(kuò)大例題的輻射面，無(wú)疑對(duì)能力的提高和思維的發(fā)展是大有裨益的。
例如：（原例題）已知等腰三角形的腰長(zhǎng)是4，底長(zhǎng)為6；求周長(zhǎng)。我們可以將此例題進(jìn)行一題多變。
變式1 已知等腰三角形一腰長(zhǎng)為4，周長(zhǎng)為14，求底邊長(zhǎng)。（這是考查逆向思維能力）
變式2 已等腰三角形一邊長(zhǎng)為4；另一邊長(zhǎng)為6，求周長(zhǎng)。（前兩題相比，需要改變思維策略，進(jìn)行分類討論）
變式3已知等腰三角形的一邊長(zhǎng)為3，另一邊長(zhǎng)為6，求周長(zhǎng)。（顯然“3只能為底”否則與三角形兩邊之和大于第三邊相矛盾，這有利于培養(yǎng)學(xué)生思維嚴(yán)密性）
變式4 已知等腰三角形的腰長(zhǎng)為x，求底邊長(zhǎng)y的取值范圍。
變式5 已知等腰三角形的腰長(zhǎng)為x，底邊長(zhǎng)為y，周長(zhǎng)是14。請(qǐng)先寫(xiě)出二者的函數(shù)關(guān)系式，再在平面直角坐標(biāo)內(nèi)畫(huà)出二者的圖象。
通過(guò)例題的層層變式，學(xué)生對(duì)三邊關(guān)系定理的認(rèn)識(shí)又深了一步，有利于培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般，從具體到抽象地分析問(wèn)題、解決問(wèn)題；通過(guò)例題解法多變的教學(xué)則有利于幫助學(xué)生形成思維定勢(shì)，而又打破思維定勢(shì)；有利于培養(yǎng)思維的變通性和深刻性。
三、聯(lián)想轉(zhuǎn)化，促進(jìn)知識(shí)的遷移
方程sinx=lgx的解有（ ）個(gè)。（A）1（B）2（C）3（D）4
學(xué)生習(xí)慣于通過(guò)解方程求解，而此方程無(wú)法求解常令學(xué)生手足無(wú)進(jìn)。若能運(yùn)用靈活的思維換一個(gè)角度思考：此題的本質(zhì)為求方程組y=sinxy=lgx的公共解。運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化為求函數(shù)圖家交點(diǎn)問(wèn)題，尋求幾何性質(zhì)與代數(shù)方程之間的內(nèi)在聯(lián)系。通過(guò)知識(shí)串聯(lián)、橫向溝通牢牢抓住事物的本質(zhì)，在思維深刻性的基礎(chǔ)上，思維靈活性才有了用武之地。
綜上所述，課本是教學(xué)之本，深挖教材的潛力，充分發(fā)揮教材的自身作用，處理好課本例、習(xí)題的教學(xué)十分重要.立足課本，對(duì)課本典型例、習(xí)題進(jìn)行演變、探究、引申、拓廣、應(yīng)用，由點(diǎn)到面，由題及類，解剖一例，帶活一串，注意數(shù)學(xué)思想方法的滲透，這樣教學(xué)，深化了基礎(chǔ)知識(shí)，培養(yǎng)了思維品質(zhì)，發(fā)展了思維能力，這正是我們所要追求的目標(biāo)。
【參考文獻(xiàn)】
一、例題的選擇必須能實(shí)現(xiàn)課堂教學(xué)目標(biāo)
每一堂課都有一個(gè)明確的教學(xué)目標(biāo)，例題的選取自然離不開(kāi)這一目標(biāo)。圍繞教學(xué)目標(biāo)，精選例題，合理安排，才能使學(xué)生更好地掌握所學(xué)知識(shí)。教師制訂教學(xué)目標(biāo)，必須緊扣教學(xué)大綱，加強(qiáng)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力，使之形成創(chuàng)新意識(shí)，促進(jìn)情感、價(jià)值觀的養(yǎng)成，例題的選擇要時(shí)刻體現(xiàn)這一點(diǎn)。例如：高中數(shù)學(xué)中的解析幾何教學(xué)，許多教師選擇的例題都是系數(shù)簡(jiǎn)單或者湊好的整數(shù)，這樣運(yùn)算起來(lái)一是方便，二又省時(shí)，但課后常常發(fā)現(xiàn)學(xué)生的作業(yè)很不理想。教師都知道，解析幾何相對(duì)來(lái)講運(yùn)算量大，學(xué)生容易算錯(cuò)，有的時(shí)候還會(huì)喪失信心。所以，在解析幾何教學(xué)中，可以多些復(fù)雜計(jì)算，以在提高學(xué)生計(jì)算能力的同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的毅力和勇氣。
二、例題的選取要依據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平
教師在教學(xué)的過(guò)程中，應(yīng)把學(xué)生的現(xiàn)有認(rèn)知水平作為教學(xué)的基本出發(fā)點(diǎn)，對(duì)教材進(jìn)行創(chuàng)造性的處理，積極引導(dǎo)、適時(shí)點(diǎn)撥，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的精神和科學(xué)的態(tài)度，逐漸掌握基本的科學(xué)方法，從而促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)散，提高學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力。學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)和認(rèn)知水平是有巨大差異的，同一地區(qū)不同學(xué)校有差異，同一學(xué)校不同班級(jí)也有差異。教師要充分掌握所教班級(jí)的情況，例題的講解要能使決大部分學(xué)生理解、掌握。也可以對(duì)例題進(jìn)行組合，或階梯式地對(duì)難點(diǎn)進(jìn)行分解。運(yùn)用題組教學(xué)，可以幫助學(xué)生正確理解定義，突破教學(xué)難點(diǎn)，尋找解題規(guī)律，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。
例如：在講解映射的定義時(shí)，教師可以運(yùn)用如下題組，讓學(xué)生思考和練習(xí)。試觀察下列從集合到集合的對(duì)應(yīng)法則：
（1）A={30°，45°，60°，90°}，B={■，■，■，1}對(duì)應(yīng)法則：求正弦。
（2）A={1，2，3，-1，-2，-3}，B={1，4，9}，對(duì)應(yīng)法則：求平方。
（3）A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5，6}，對(duì)應(yīng)法則：乘以2。
（4）A={x|x∈且x≠0}，B=Q，對(duì)應(yīng)法則：f：xy=■。
通過(guò)思考和提示，教師可提問(wèn)學(xué)生這些從集合A到集合B的對(duì)應(yīng)法則有何共同點(diǎn)，讓學(xué)生歸納總結(jié)，從而正確理解映射的定義。
三、例題必須具有代表性與典型性
例題是在課堂上講解給學(xué)生聽(tīng)的，課堂時(shí)間有限，就必須要求例題少而精，一道例題要代表一類問(wèn)題，解題方法具有廣泛性，稱得上是通法。學(xué)生通過(guò)這一個(gè)例題，聯(lián)想到一系列相似問(wèn)題，并能較好地利用通法解決。例如：已知圓的方程是x2+y2=r2（r>0），求經(jīng)過(guò)圓上一點(diǎn)M（x0，y0）的切線方程。在解析幾何中，直線與圓的位置關(guān)系屬于典型試題。教師在講解時(shí)一般有兩種方法：1.通過(guò)切線與垂直關(guān)系先求切線斜率。2.通過(guò)圓心到切線距離等于半徑立方程求斜率。兩種方法都具有代表性，都用到了幾何性質(zhì)。但后者更具廣泛性，若求過(guò)圓外一點(diǎn)的切線，或有關(guān)直線與圓相交相離問(wèn)題，第一種方法就不適用了。
四、題目追求簡(jiǎn)潔，盡量用數(shù)學(xué)語(yǔ)言，不冗長(zhǎng)，無(wú)歧義
愛(ài)因期坦說(shuō)過(guò)：“美，本質(zhì)上終究是簡(jiǎn)單性。”數(shù)學(xué)例題自然要有數(shù)學(xué)特色，新編數(shù)學(xué)教科書(shū)更新了傳統(tǒng)內(nèi)容的講法和部分?jǐn)?shù)學(xué)語(yǔ)言，例如比較廣泛地使用集合語(yǔ)言、邏輯聯(lián)結(jié)詞、國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)計(jì)量符號(hào)。在高中階段，學(xué)生將接觸很多的數(shù)學(xué)符號(hào)，把題目條件或命題結(jié)論都可以用數(shù)學(xué)的符號(hào)語(yǔ)言表示，這也是課程標(biāo)準(zhǔn)提出的要求。所以，例題的給出要使學(xué)生不經(jīng)意間感受到數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)修養(yǎng)。同時(shí)，冗長(zhǎng)、繁復(fù)的題目會(huì)影響學(xué)生的理解，體現(xiàn)不出數(shù)學(xué)的美，降低學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。
五、背景要貼近生活
問(wèn)題來(lái)源生活，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，學(xué)生就會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣。重視數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用，是近年來(lái)數(shù)學(xué)教改的一個(gè)熱點(diǎn)，也是課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)的重點(diǎn)之一，新編教材在加強(qiáng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)方面也做了改進(jìn)，理論聯(lián)系實(shí)際是編寫(xiě)教材的重要原則之一。而聯(lián)系實(shí)際的目的就是為了使學(xué)生更好地掌握基礎(chǔ)知識(shí)，增強(qiáng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，培養(yǎng)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。新編教材把培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識(shí)貫穿在教材編寫(xiě)的始終，教材的正文一般都注意從實(shí)際引入概念，從實(shí)際提出問(wèn)題，例題、習(xí)題中增加了一些聯(lián)系實(shí)際的內(nèi)容，例如數(shù)列中聯(lián)系經(jīng)濟(jì)生活中的儲(chǔ)蓄，函數(shù)中聯(lián)系增長(zhǎng)率的變化，直線和圓的方程中增加線性規(guī)劃初步知識(shí)，圓錐曲線中聯(lián)系行星、衛(wèi)星運(yùn)行軌道等。概率本身就是與實(shí)際問(wèn)題聯(lián)系非常密切的內(nèi)容。各章的章頭圖或閱讀材料中，也注意提供有實(shí)際背景的問(wèn)題。教材中還注意把數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用到相關(guān)學(xué)科和生活、生產(chǎn)實(shí)際中去，引導(dǎo)學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題過(guò)程中提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。但并不是要一味地讓學(xué)生做應(yīng)用題，適當(dāng)?shù)卮┎逵袑?shí)際背景的例題，會(huì)活躍整個(gè)課堂教學(xué)氣氛。
六、處理好書(shū)本例題與課外例題的關(guān)系
我們要充分、科學(xué)地利用課本例題，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)有益于發(fā)展的探究情境，并對(duì)課本例題進(jìn)行適當(dāng)?shù)奶嵘?，推廣。例如，已知：如圖四邊形ABCD是空間四邊形（四個(gè)頂點(diǎn)不共面的四邊形），E、H分別是AB、AD的中點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是邊CB、CD上的點(diǎn)，■=■=■，求證：四邊形EFGH是梯形。如果按課本例題的顯性內(nèi)容就題講題，也似乎能完成學(xué)習(xí)任務(wù)，甚至有的人認(rèn)為這道題過(guò)于簡(jiǎn)單而忽略處理。這種做法是不恰當(dāng)?shù)?。這是由于有些教材上的例、習(xí)題，看似平淡無(wú)奇，仔細(xì)琢磨卻蘊(yùn)涵著豐富的教學(xué)、教育價(jià)值。教師若能結(jié)合學(xué)生認(rèn)知水平的實(shí)際，對(duì)課本的例題、習(xí)題加以科學(xué)、創(chuàng)造性的利用，則會(huì)對(duì)學(xué)生的思維發(fā)展、獨(dú)立建構(gòu)認(rèn)知結(jié)構(gòu)能力的提高均有益處，這道例題就具有相當(dāng)豐富的教學(xué)、教育價(jià)值。其次，現(xiàn)在的課堂教學(xué)任務(wù)已不是以講得是否清楚為標(biāo)準(zhǔn)，而是以對(duì)學(xué)生的探究學(xué)習(xí)能力以及創(chuàng)新能力的形成與提高是否有幫助為標(biāo)準(zhǔn)。簡(jiǎn)單地處理例題，不利于學(xué)生思維的發(fā)展和能力的提高。就題論題的簡(jiǎn)單處理，學(xué)生解決問(wèn)題的能力只局限于這一道題的解決。
若再遇到類似于“已知四邊形ABCD是空間四邊形（四個(gè)頂點(diǎn)不共面的四邊形），E、H分別是AB、AD的三等份點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是邊CB、CD上的點(diǎn)，■=■=■，求證EF、GH、AC交于一點(diǎn)”的題，大部分學(xué)生還是需要進(jìn)行“從猿到猴”的審題，甚至學(xué)習(xí)能力差的學(xué)生還會(huì)對(duì)此題束手無(wú)策。若遇到類似抽象一點(diǎn)，如“E、F、G、H分別為空間四邊形ABCD各邊上的一點(diǎn)，若EF、GH交于一點(diǎn)P，求點(diǎn)P”的題目與類似開(kāi)放性較強(qiáng)“E、F、G、H分別為空間四邊形ABCD各邊上的一點(diǎn)，則在什么條件下，有EG=FH成立”的題目，大部分學(xué)生仍覺(jué)得束手無(wú)策。
例題（人教版選修2-1第41頁(yè)例2） 如圖1，在圓x2+y2=4上任取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作軸x的垂線段PD，D為垂足. 當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段PD的中點(diǎn)M的軌跡是什么？為什么？
背景：本例安排在課本上的“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”一節(jié)，前一例是用橢圓的定義和待定系數(shù)法求解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 本例繼續(xù)探討求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓與圓之間的關(guān)系.
一、講“到”目標(biāo)
每一個(gè)數(shù)學(xué)例題在選取或設(shè)計(jì)時(shí)都應(yīng)有與其功能相匹配的目標(biāo)游離于既定教學(xué)目標(biāo)之外的例題教學(xué)是不可取的. 因此，教師講好例題要緊扣目標(biāo). 有些例題的目標(biāo)是顯性的，但有些例題的目標(biāo)是隱性的，并不清楚或明顯，需要教師給予解讀，將隱性目標(biāo)顯性化，最好就是對(duì)目標(biāo)給予說(shuō)明，這樣學(xué)生就會(huì)有針對(duì)性和重點(diǎn)地參與例題的教學(xué). 對(duì)例題目標(biāo)給予說(shuō)明往往在展示例題之時(shí)，并且很簡(jiǎn)短. 教師的語(yǔ)言類似于如下：接下來(lái)，為了……，我們一起來(lái)看這樣一個(gè)問(wèn)題；下面，我們一起來(lái)解決這些例題，通過(guò)這些例題，同學(xué)們要理解（掌握）……由此看出，教師對(duì)例題的目標(biāo)的“講到”，并非多講，只需點(diǎn)到、提到即可.
【案例片段1】
師：同學(xué)們，通過(guò)例1我們知道了求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的關(guān)鍵是要求a，b，c三者之二，一般采用待定系數(shù)法來(lái)求.但是，有些情形我們并不知道所求的曲線方程就是橢圓的方程，就不能用這種方法.此時(shí)，我們就要先求出曲線方程，如果能化為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，那么我們可以再來(lái)斷定這個(gè)曲線就是橢圓，下面，我們來(lái)看看這樣的情形.
（展示新例題，開(kāi)展本例教學(xué)）
點(diǎn)評(píng)：在總結(jié)上例的基礎(chǔ)上，教師講到了學(xué)習(xí)下例的目標(biāo)，自然過(guò)渡到了下例的學(xué)習(xí).學(xué)生對(duì)接下來(lái)要做的事情有方向感，會(huì)自覺(jué)地關(guān)注求曲線的方程的方法和進(jìn)一步認(rèn)識(shí)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
二、講“清”題意
順利解決例題的第一步是理清題意，即通常所說(shuō)的審題. 通常的時(shí)機(jī)就是在給出例題之后的最短時(shí)間內(nèi)，教師要面對(duì)全體，引導(dǎo)學(xué)生思考并講清題意. 這里的“講”就包括教師的“講”和學(xué)生的“講”，而所謂“清”，即清楚、清晰而不含混. 講清的要點(diǎn)包含：（1）題目的條件是什么，一共有幾個(gè)，其數(shù)學(xué)含義如何；（2）題目的結(jié)論是什么，一共有幾個(gè)，其數(shù)學(xué)含義如何；（3）題目的條件與結(jié)論有哪些數(shù)學(xué)聯(lián)系，是一種什么樣的結(jié)構(gòu). [3]
【案例片段2】
教師引導(dǎo)學(xué)生講清例題題意：
師：同學(xué)們首先看看這道例題的內(nèi)容. 都來(lái)說(shuō)說(shuō)已知條件有幾個(gè)？哪幾個(gè)？所求結(jié)論是什么？
生：例中已知條件有4個(gè)，分別是：圓的方程x2+y2=4；點(diǎn)P在圓上，且為動(dòng)點(diǎn)；線段PD垂直于x軸；M是線段PD的中點(diǎn).
（在學(xué)生講已知條件的過(guò)程中，教師輔以幾何畫(huà)板作圖，呈現(xiàn)圖形的構(gòu)成過(guò)程）
生：所求的是“當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段PD的中點(diǎn)M的軌跡是什么？為什么？”
師：如果求出了點(diǎn)M的軌跡方程，那么能不能得到結(jié)論？
生：能.
師：“點(diǎn)M的軌跡是什么”和“為什么”，這兩個(gè)問(wèn)題的本質(zhì)是一個(gè)，即按照嚴(yán)格的方法，求出點(diǎn)M的軌跡方程，根據(jù)方程判斷軌跡. 根據(jù)圖形，同學(xué)們能不能猜猜點(diǎn)M的軌跡是什么呢？
生：是橢圓. （教師通過(guò)幾何畫(huà)板動(dòng)畫(huà)演示，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)的軌跡就是橢圓）
師：點(diǎn)M的軌跡就是橢圓. 但是為什么是橢圓呢？我們必須要嚴(yán)格地推證它是橢圓. 因此，需要求出該曲線的方程，并判斷它是否是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，對(duì)吧？那么，所求的曲線的方程跟已知條件有什么聯(lián)系呢？
生：點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)由點(diǎn)P引起的，點(diǎn)M的坐標(biāo)由點(diǎn)P和點(diǎn)D決定，點(diǎn)P的坐標(biāo)關(guān)系滿足圓的方程.
師：對(duì)，這三點(diǎn)非常重要，要求點(diǎn)M的軌跡還得從這三個(gè)條件出發(fā).
點(diǎn)評(píng)：片段中教師引導(dǎo)學(xué)生從三個(gè)要點(diǎn)（“已知條件”、“所求結(jié)論”、“條件與結(jié)論的聯(lián)系”）初步分析清楚了題意，為具體求解過(guò)程奠定了基礎(chǔ). 其間，學(xué)生也猜想出了點(diǎn)M的軌跡是橢圓. 為了便于學(xué)生把握題目的實(shí)質(zhì)，揭示相關(guān)題目的解題規(guī)律，有時(shí)通過(guò)改變呈現(xiàn)方式來(lái)講“清”題意[4]，這一點(diǎn)很重要. 教師借助幾何畫(huà)板工具將點(diǎn)P，M，D動(dòng)起來(lái)，很容易驗(yàn)證了學(xué)生的猜想，為學(xué)生認(rèn)識(shí)橢圓與圓之間的關(guān)系建立了感性基礎(chǔ).
三、講“出”方法
在例題的教學(xué)中，找出問(wèn)題解決的方法是關(guān)鍵，然而找方法的過(guò)程非常藝術(shù)化. 教師首先要聽(tīng)學(xué)生的講，然后才是講給學(xué)生聽(tīng). 在教師與學(xué)生的“聽(tīng)”、“講”交替過(guò)程中，方法得以呈現(xiàn).一般來(lái)講，教師對(duì)方法的“講”主要是對(duì)學(xué)生的“啟”和“導(dǎo)”，即采用啟發(fā)性和引導(dǎo)性的語(yǔ)言，講出學(xué)生的后續(xù)之音、弦外之音和合理之言，而學(xué)生的“講”包括講出思考中的困惑，講出錯(cuò)誤處的原因，講出精彩點(diǎn)的道理.這里講“出”方法就是要將方法呈現(xiàn)、凸現(xiàn)，講到位.
【案例片段3】
師：我們?cè)趺磥?lái)求點(diǎn)M的軌跡方程呢？
生1：用前邊學(xué)的“求曲線的方程”的步驟.
師：主要有哪些步驟呢？
生1：“建”（建立坐標(biāo)系）、“設(shè)”（設(shè)定點(diǎn)坐標(biāo)）、“限”（限制條件列式）、“代”（代入式子）、“化”（化簡(jiǎn)方程）.
師：本題中又如何應(yīng)用呢？
生1：坐標(biāo)系已有了，不用建，點(diǎn)M的坐標(biāo)可以假設(shè)為（x，y），現(xiàn)在主要看后三步.
生2：用點(diǎn)M坐標(biāo)滿足的條件是“M是線段PD的中點(diǎn)”，用它列出式子.
師：對(duì)，用我們剛才分析的已知條件.列出什么式子呢？
生2：用中點(diǎn)公式，好像沒(méi)有直接的……不好表達(dá).
師：有式子，但是還要進(jìn)行處理，可以把點(diǎn)P的坐標(biāo)假設(shè)出來(lái)嗎？
……
點(diǎn)評(píng)：此處已能看出，本題求解的方法已非常明確，學(xué)生很容易想起求曲線“建”、“設(shè)”、“限”、“代”、“化”的步驟，說(shuō)明學(xué)生在解題的方法上有基本認(rèn)識(shí)，關(guān)鍵就是如何應(yīng)用了.
四、講“通”思路
學(xué)生對(duì)例題的理解除了方法外，更為細(xì)致的是疏通解決問(wèn)題的思路. 而這一點(diǎn)正是學(xué)生實(shí)現(xiàn)知識(shí)生長(zhǎng)、能力提升的關(guān)鍵點(diǎn). 當(dāng)學(xué)生的解題思路出現(xiàn)各種問(wèn)題時(shí)，教師要不失時(shí)機(jī)地把握關(guān)鍵點(diǎn)來(lái)講解，使之暢通. 一般來(lái)講，學(xué)生思路匱乏時(shí)教師要“引”，學(xué)生思路混雜時(shí)教師要“理”，學(xué)生思路受阻時(shí)教師要“疏”，學(xué)生思路短缺時(shí)教師要 “續(xù)”，學(xué)生思路狹窄時(shí)教師要“拓”，當(dāng)學(xué)生思路繞彎時(shí)教師要“改”.
在案例片段3中，生2的思路略微受阻，教師可以繼續(xù)引導(dǎo)生2，可以請(qǐng)其他學(xué)生來(lái)解決，也可以由教師自己來(lái)講.
【案例片段4】
師：假設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x0，y0），現(xiàn)在點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足的關(guān)系式能寫(xiě)出來(lái)了嗎？
生：能.
（學(xué)生寫(xiě)出：x=x0，y=）.
師：但是現(xiàn)在點(diǎn)P的坐標(biāo)包含有x0，y0兩個(gè)未知變量. 求的方程中能有這兩個(gè)變量嗎？
生：不能，要消去.
師：怎么消？
生：點(diǎn)P在圓上，代入方程x2+y2=4.
師：很好，這樣就能求出點(diǎn)M的軌跡方程了. 我再請(qǐng)一個(gè)同學(xué)來(lái)把整個(gè)題的思路講一下.
生：首先，按照步驟，把點(diǎn)M和P的坐標(biāo)假設(shè)出來(lái)，然后利用中點(diǎn)公式寫(xiě)出點(diǎn)M和P的關(guān)系式，接著把利用點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足圓的方程建立方程，最后化簡(jiǎn).
師：說(shuō)得很好，現(xiàn)在，按照剛才的思路，我們一起來(lái)寫(xiě)出求解過(guò)程.
……
點(diǎn)評(píng)：本例的思路因有“求曲線的方程”的步驟這個(gè)“路標(biāo)”指引而較為暢通，教師要做的就是引導(dǎo)學(xué)生講出“路標(biāo)”，把各個(gè)路標(biāo)所指的內(nèi)容串聯(lián)起來(lái).
五、講“明”收獲
例題教學(xué)中不可忽視的一個(gè)過(guò)程就是反思評(píng)價(jià). 在這個(gè)過(guò)程中教師或?qū)W生一定要講明收獲. 這個(gè)收獲包括與目標(biāo)對(duì)應(yīng)的預(yù)期收獲，也包含生成性的意外收獲. 這些收獲中可能有知識(shí)、方法、技巧、經(jīng)驗(yàn)、情感等中的某些方面. 值得一提的是，我們有時(shí)可能并沒(méi)有獲得什么明顯的東西，僅僅是一種體驗(yàn)，但它也是教學(xué)中的一種經(jīng)驗(yàn)或情感類營(yíng)養(yǎng)成分；有時(shí)例題中發(fā)現(xiàn)的新問(wèn)題并沒(méi)有徹底解決，為后續(xù)的學(xué)習(xí)播下一?！胺N子”，這也是很有價(jià)值的收獲.
【案例片段5】
師：剛才，我們求出了點(diǎn)M的軌跡方程，點(diǎn)M的軌跡是一個(gè)橢圓. 求曲線的方程的步驟還管用吧！大家要注意當(dāng)所求動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)不能直接建立關(guān)系式時(shí)，要嘗試找中間變量搭橋，比如這里點(diǎn)P的坐標(biāo)x0，y0就是中間變量（參數(shù)），然后利用中間變量滿足的條件再代入另一個(gè)關(guān)系式達(dá)到消參的目的，從而得到所求的軌跡方程.這是解析幾何中常用的一種方法.
師：通過(guò)剛才的例2，大家發(fā)現(xiàn)橢圓與圓之間有什么關(guān)系嗎？請(qǐng)你們嘗試把點(diǎn)M為線段PD的中點(diǎn)改成分點(diǎn)或其他比例的分點(diǎn)，點(diǎn)M的軌跡又是如何呢？（如圖2，教師利用幾何畫(huà)板動(dòng)畫(huà)演示，得出結(jié)論. 略）
點(diǎn)評(píng)：教師通過(guò)本例強(qiáng)化了求曲線方程的步驟，加深了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的認(rèn)識(shí). 在達(dá)到本例的基本目標(biāo)后再以此例為切入點(diǎn)實(shí)施變式探究，探索出橢圓與圓的關(guān)系，這也是本例的一個(gè)重要收獲.
講好數(shù)學(xué)例題的關(guān)鍵在于恰當(dāng)?shù)卣{(diào)控好“講什么？”“誰(shuí)來(lái)講？”“何時(shí)講？”“怎么講？”幾個(gè)問(wèn)題. 如果我們把握好了例題講的內(nèi)容、講的主體、講的時(shí)機(jī)和講的技巧，將教師單方面的“講”變成教師與學(xué)生之間對(duì)話性的“講”，那么這種“講”的普通“招式”同樣也是“絕招”，照樣能充分發(fā)揮例題的功效，有效推進(jìn)教學(xué). 因此，在例題教學(xué)中沒(méi)必要去刻意追求各種教育理念“沖擊”下多種高效教學(xué)方式的“變”用，而是應(yīng)該多一份心思留意于某些教學(xué)方式的“活”用.
參考文獻(xiàn)：
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關(guān)鍵詞 假懂 理解 思維 理性
中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002-7661（2014）15-0036-03
一、從一個(gè)教學(xué)片斷說(shuō)起
教師：回顧上述解題思路，數(shù)列求和型的不等式，要向有利于求和的方向進(jìn)行轉(zhuǎn)化（不少同學(xué)似有所悟，微微點(diǎn)頭回應(yīng)）。
教師：下面請(qǐng)看下一題。
課后，筆者問(wèn)坐在教室后排的兩位同學(xué)：“懂了嗎？”他們說(shuō)：“懂了！”筆者接著問(wèn)：“答案蓋住，自己做下試試看?！眱晌煌瑢W(xué)想了想，試著寫(xiě)了一下，放縮還是無(wú)法完成。
可見(jiàn)，學(xué)生的“懂”是“假懂”，而非“真懂”。
二、學(xué)生“假懂”的原因分析
1.從數(shù)學(xué)的角度看
上文的例題，其解答的思維過(guò)程包括一下兩個(gè)方面：
一是要熟知高中數(shù)列常見(jiàn)的求和方法，如：常數(shù)列求和，周期數(shù)列求和，等差數(shù)列求和，等比數(shù)列求和，倒序相加求和，錯(cuò)位相減求和，裂項(xiàng)相消求和法等，解題時(shí)要能從題目信息中聯(lián)想到已知的求和方法。從求和式Tn=++++…+的結(jié)構(gòu)特征可以提示我們應(yīng)采用的是裂項(xiàng)相消求和法，這是后續(xù)推理活動(dòng)的鋪墊，是題意理解的一個(gè)關(guān)鍵。
二是通項(xiàng)bn2（n≥2）本事不具有裂項(xiàng)求和法的結(jié)構(gòu)特征，從目標(biāo)分析，需要適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化放大，而“適當(dāng)”說(shuō)的輕松做起并不容易，這也是本題的一個(gè)難點(diǎn)所在。通過(guò)以上分析，解題時(shí)的目標(biāo)是明確的，即需要尋找這樣一個(gè)等差數(shù)cn，能夠使得，當(dāng)n≥2時(shí)，bn2≤成立，而后式能用裂項(xiàng)相消求和，但注意不要放得過(guò)度。
2.從學(xué)生的角度來(lái)看
面對(duì)上文的例題，學(xué)生的困難主要來(lái)自以下三個(gè)方面：
一是兩個(gè)小題相互關(guān)聯(lián)，前面小題是為后面小題做鋪墊的，因此對(duì)部分學(xué)生而言，第（1）小題結(jié)構(gòu)形式復(fù)雜，一下子難以找到突破口， 找尋到突破口還要謹(jǐn)小慎微，細(xì)致討論下才能得到正確結(jié)論，這已經(jīng)就是一只攔路虎。在沒(méi)有能全面解對(duì)情況下，第（2）小題對(duì)他來(lái)說(shuō)沒(méi)有任何意義；
二是看到求和型的不等式時(shí)，學(xué)生心理上不適應(yīng)。首先司空見(jiàn)慣的是求數(shù)列的前n項(xiàng)的和問(wèn)題，學(xué)習(xí)的都是具體而相對(duì)簡(jiǎn)單的數(shù)列求和問(wèn)題，基本思維還希望數(shù)列本身能是上述求和類型的。而現(xiàn)在要求和的數(shù)列既不是等差也不是等比的，哪怕是等差乘以等比的通項(xiàng)公式也可以，理想很豐滿，現(xiàn)實(shí)很骨感，這樣對(duì)于題設(shè)中的求和與目標(biāo)中的不等式內(nèi)在邏輯聯(lián)系存在困惑。其次，這與學(xué)生接觸不等式問(wèn)題少密切相關(guān)，現(xiàn)行高中課本必修部分不等式問(wèn)題獨(dú)立成章的，主要內(nèi)容是解不等式和二元的均值不等式為主。從這個(gè)方面分析，學(xué)生不能將數(shù)列求和與不等式聯(lián)系起來(lái)。
三是在以上兩個(gè)問(wèn)題在思維層面都解決了，想到向裂項(xiàng)相消求和轉(zhuǎn)化，但在放縮時(shí)卻遇到一個(gè)更大的攔路虎。放縮法是說(shuō)起來(lái)容易操作起來(lái)困難，始終感覺(jué)到放縮很神秘，高不可攀，一步小心就放縮過(guò)頭，實(shí)屬不易。要在課堂和考試的有限時(shí)間內(nèi)獨(dú)立完成，也許需要的是技巧和好運(yùn)氣了，但好運(yùn)氣不是時(shí)時(shí)會(huì)有的。
3.從教學(xué)的角度來(lái)看
上文的例題教學(xué)中，教師的講解思路清晰，邏輯準(zhǔn)確，表述簡(jiǎn)潔規(guī)范，可謂“一氣呵成”。那么造成學(xué)生“假懂”的原因，除了前面已述及的例題本身與學(xué)生的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、認(rèn)知發(fā)展的局限性，難道就沒(méi)有教學(xué)上的原因？筆者以為：沒(méi)有正視學(xué)生的思維水平現(xiàn)實(shí)，放低教學(xué)的思維起點(diǎn)。
新課改以來(lái)，一直強(qiáng)調(diào)學(xué)生是教學(xué)的主體，教師是教學(xué)的主導(dǎo)，作為主導(dǎo)的教師，從哪里開(kāi)始導(dǎo)， 導(dǎo)向哪里，怎么導(dǎo)， 是作為教師必須思考的問(wèn)題。
第一個(gè)問(wèn)題從哪里開(kāi)始導(dǎo)？筆者的想法是從學(xué)生的原有知識(shí)基礎(chǔ)和現(xiàn)有思維水平開(kāi)始，本題的原有知識(shí)基礎(chǔ)最基本的是裂項(xiàng)相消法的一般結(jié)構(gòu)模式，擴(kuò)展起來(lái)還有數(shù)列求和的一般方法等?，F(xiàn)有的思維水平，就是學(xué)生想到哪里了，還有那些地方?jīng)]想到。這些問(wèn)題清楚后， 又要注意正視學(xué)生的思維水平現(xiàn)實(shí)，放低教學(xué)的思維起點(diǎn)，這些可作為解此題的出發(fā)點(diǎn)。
第二個(gè)問(wèn)題導(dǎo)向哪里？這是一個(gè)目標(biāo)分析的問(wèn)題，要有大局觀，要求的是學(xué)生和教師對(duì)試題總體方向的把握，也需要解題經(jīng)驗(yàn)的積累。對(duì)于本題直接求和在學(xué)生現(xiàn)有的水平上已是不能完成的任務(wù)的情況下，就要考慮其向已有的求和方法上轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化到那種求和方法需要根據(jù)求和式的結(jié)構(gòu)特征分析。
第三個(gè)問(wèn)題是怎么導(dǎo)，順應(yīng)學(xué)生的思維方式是最為有效的。這是最為關(guān)鍵的問(wèn)題，前面有了引導(dǎo)的基礎(chǔ)和方向，具體落實(shí)時(shí)就是怎么樣過(guò)渡過(guò)去，基礎(chǔ)是此岸，目標(biāo)是彼岸，采取什么方式渡過(guò)中間的河流呢？該式
三、為促進(jìn)學(xué)生的理解而教
以放縮方法的本身技巧性強(qiáng)的特性而采用“告訴式”“結(jié)果式”的教學(xué)方式，客觀上是一種教師逃避責(zé)任的行為，事實(shí)上，正是由于在學(xué)生看來(lái)放縮法艱澀難懂，變化靈活，才為教師開(kāi)展創(chuàng)造性教學(xué)提供了巨大的空間。通過(guò)上面例題的教學(xué)，教師完全可以達(dá)到深化學(xué)生對(duì)放縮方向和尺度的把握，提升數(shù)列與不等式綜合題的解題和理解能力的目的，為學(xué)生后來(lái)更好的學(xué)習(xí)和研究數(shù)列奠定基礎(chǔ)。
1.目標(biāo)引領(lǐng)思維，順勢(shì)而為達(dá)到水到渠成
康托爾說(shuō)過(guò)：“在數(shù)學(xué)的領(lǐng)域中，提出問(wèn)題的藝術(shù)比解答問(wèn)題的藝術(shù)更為重要?！痹诶}講解過(guò)程中，教師要密切關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)態(tài)，并不失時(shí)機(jī)地提出問(wèn)題，通過(guò)引導(dǎo)、啟發(fā)、指導(dǎo)、點(diǎn)撥、評(píng)價(jià)矯正，拓展思路，開(kāi)闊視野，提煉精要，升華情感化，繁為簡(jiǎn)作用，讓師生對(duì)話得以持續(xù)，將學(xué)生單一的思維系統(tǒng)化，使教學(xué)目標(biāo)迅速達(dá)成。經(jīng)過(guò)教師的適時(shí)提問(wèn)，學(xué)生的自主、合作、探究才能順暢，學(xué)生的思維才有可能從懵懂走向頓悟，內(nèi)心才有可能從迷惘變得敞亮。
本例可以嘗試從以下問(wèn)題引領(lǐng)思維：
問(wèn)題1：我們常見(jiàn)的數(shù)列求和方法有那些？本題數(shù)列求和與哪種相似度大？
問(wèn)題2：裂項(xiàng)相消求和方法有什么結(jié)構(gòu)特征？
對(duì)于這兩個(gè)問(wèn)題，作為剛剛復(fù)習(xí)過(guò)數(shù)列的學(xué)生而言，都易解決，屬于知識(shí)層面，其設(shè)計(jì)意圖是在已有知識(shí)和未知問(wèn)題直接建立起跨越的橋梁，為學(xué)生繼續(xù)思考打下基礎(chǔ)。這時(shí)學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)我們現(xiàn)在需要找到這樣的一個(gè)等差數(shù)列{cn}，能滿足當(dāng)n≥2時(shí)，bn2≤成立，也就是
即
最后說(shuō)明的一點(diǎn)是 和式?jīng)]有初等的解析表達(dá)式。
關(guān)鍵詞： 初中數(shù)學(xué) 例題教學(xué) 思維能力
例題是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過(guò)程中極其重要的一環(huán)，它對(duì)以堂課的成敗起著橋梁和杠桿作用。例題教學(xué)不僅可以讓學(xué)生在掌握舊知識(shí)的基礎(chǔ)上構(gòu)建新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，而且能加深新知識(shí)的理解，還能啟迪學(xué)生的思維、培養(yǎng)學(xué)生的思維，這在邏輯性很強(qiáng)的例題教學(xué)中顯得尤為重要。尤其是對(duì)例題的教學(xué)方面，要充分發(fā)揮例題教學(xué)的作用，并著眼于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，讓學(xué)生掌握學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)，激發(fā)求知欲望，提高課堂教學(xué)的效益。通過(guò)例題的教學(xué)，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極思維，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。依我之見(jiàn)，例題教學(xué)應(yīng)從以下幾方面入手。
一、舉例，引出概念，公式，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)新知識(shí)的能力
數(shù)學(xué)中的有些概念，往往難以直觀表述。如近似數(shù)、準(zhǔn)確數(shù)等，但它們與舊知識(shí)都有內(nèi)在聯(lián)系。我就充分運(yùn)用舉例來(lái)引出新概念。在備課時(shí)要分析這個(gè)新概念有哪些舊知識(shí)與它有內(nèi)在的聯(lián)系。利用學(xué)生已掌握的舊知識(shí)講授新概念，學(xué)生是容易接受的。例如我講同底數(shù)冪的乘法，就從冪的意義引入，邊板書(shū)、邊提問(wèn)：以下這些算式是什么意思？
數(shù)學(xué)概念對(duì)學(xué)生來(lái)講是抽象、難懂的，也是數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中遇到的比較棘手的問(wèn)題。然而，全面、透徹地理解概念又是非常重要的，它是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)和正確解題的關(guān)鍵所在。因此，為了適應(yīng)快速掌握的要求，應(yīng)設(shè)計(jì)具有前后知識(shí)的連續(xù)性的例題，這樣學(xué)生能節(jié)省學(xué)習(xí)的時(shí)間，提高了課堂的效率。另外，根據(jù)奧蘇•伯爾的同化理論可知，用舊知識(shí)促成新知識(shí)的學(xué)是比較容易的，例題的引入能促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的全面掌握。
二、選擇題，填空題的設(shè)計(jì)，加深對(duì)新知識(shí)理解和掌握
選擇題、填空題主要考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解，基本技能的熟練程度、基本計(jì)算的準(zhǔn)確性、基本方法的運(yùn)用、考查問(wèn)題的嚴(yán)謹(jǐn)、解題速度的快捷等方面，教完新知識(shí)后，為了讓學(xué)生領(lǐng)悟新知識(shí)或矯正學(xué)習(xí)中存在的某些缺陷與障礙，而應(yīng)當(dāng)選擇一些有針對(duì)性的選擇題、填空題進(jìn)行練習(xí)，已達(dá)到突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)之功效。
在學(xué)習(xí)了圓周角這節(jié)課時(shí)，當(dāng)概念教學(xué)結(jié)束后，可以安排下面的選擇題。
下列圖形中，∠BAC是圓周角的圖形是（ ）
則后可以出下列填空題，以加深學(xué)生對(duì)法則的理解。
通過(guò)設(shè)計(jì)以上的選擇題和填空題，考查學(xué)生對(duì)教學(xué)內(nèi)容的理解和對(duì)新知識(shí)的掌握情況。
三、注意例題的一題多解或例題的變式，培養(yǎng)解題思維能力
“例題千萬(wàn)道，解后拋九霄”難以達(dá)到提高解題能力、發(fā)展思維的目的。善于作解題后的反思、方法的歸類、規(guī)律的小結(jié)和技巧的揣摩，再進(jìn)一步作一題多變，一題多問(wèn)，一題多解，挖掘例題的深度和廣度，擴(kuò)大例題的輻射面，無(wú)疑對(duì)能力的提高和思維的發(fā)展是大有裨益的。
例如：（原例題）已知等腰三角形的腰長(zhǎng)是4，底長(zhǎng)為6，求周長(zhǎng)．我們可以將此例題進(jìn)行一題多變．
變式1：已知等腰三角形一腰長(zhǎng)為4，周長(zhǎng)為14，求底邊長(zhǎng)．（這是考查逆向思維能力）
變式2：已知等腰三角形一邊長(zhǎng)為4，另一邊長(zhǎng)為6，求周長(zhǎng)．（與前兩題相比，需要改變思維策略，進(jìn)行分類討論）
變式3：已知等腰三角形的一邊長(zhǎng)為3，另一邊長(zhǎng)為6，求周長(zhǎng)．（顯然“3只能為底”否則與三角形兩邊之和大于第三邊相矛盾，這有利于培養(yǎng)學(xué)生思維嚴(yán)密性）
變式4：已知等腰三角形的腰長(zhǎng)為x，求底邊長(zhǎng)y的取值范圍．
變式5：已知等腰三角形的腰長(zhǎng)為x，底邊長(zhǎng)為y，周長(zhǎng)是14．請(qǐng)先寫(xiě)出二者的函數(shù)關(guān)系式，再在平面直角坐標(biāo)內(nèi)畫(huà)出二者的圖像．（與前面相比，要求又提高了，特別是對(duì)條件0＜y＜2x的理解運(yùn)用，是完成此問(wèn)的關(guān)鍵）
通過(guò)例題的層層變式，學(xué)生對(duì)三邊關(guān)系定理的認(rèn)識(shí)又深了一步，有利于培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般、從具體到抽象地分析問(wèn)題、解決問(wèn)題；通過(guò)例題解法多變的教學(xué)則有利于幫助學(xué)生打破思維定勢(shì)；使學(xué)生的直覺(jué)思維和發(fā)散思維得到綜合訓(xùn)練，更有利于培養(yǎng)思維的變通性和靈活性。
四、通過(guò)綜合性例題，解釋知識(shí)間的縱橫聯(lián)系，提高解題能力
讓學(xué)生應(yīng)用已經(jīng)理解的公理、定理、公式、概念、數(shù)學(xué)方法和知識(shí)去解決一些復(fù)雜的綜合練習(xí)題，教師在組織綜合練習(xí)時(shí)要有明確的目的，要精選題目，使其具有典型性、代表性、綜合性。
例如在學(xué)次函數(shù)后，為了使學(xué)生理解二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式間的聯(lián)系，特設(shè)計(jì)一道綜合題：
已知函線y=x-3x-4，
（1）求此函數(shù)圖像的開(kāi)口方向，對(duì)稱軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)，并畫(huà)出圖像.
（2）求圖像與x軸y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，并求出以這三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積.
（3）x為何值時(shí)，有y＞0，y＜0，y=0？
（4）當(dāng)x?搖 ?搖?搖?搖時(shí)，y的值隨著x的值增大而增大；當(dāng)x?搖 ?搖?搖?搖時(shí)，y的值隨著x的值增大而減小.
（5）求函數(shù)圖像向左平移3個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位后，所得的圖像的函數(shù)解析式。這道綜合題由幾個(gè)不同類型的基礎(chǔ)題組成，通過(guò)對(duì)它的解決學(xué)生可以舉一反三，觸類旁通，使知識(shí)間的縱橫聯(lián)系得到體現(xiàn)，課堂容量增大，且減輕了學(xué)生的課業(yè)負(fù)擔(dān)，教學(xué)效果顯著。
五、有目的列舉反例，以鞏固和深化概念
所謂數(shù)學(xué)反例即指否定的數(shù)學(xué)例證，是為了防止或否定學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)而列舉的一些數(shù)學(xué)事例。它是數(shù)學(xué)課堂上的“調(diào)節(jié)器”。運(yùn)用數(shù)學(xué)反例對(duì)學(xué)生的智力活動(dòng)能起定向糾錯(cuò)、提煉升華的作用，并維持?jǐn)?shù)學(xué)課堂教學(xué)按既定的路線進(jìn)行。數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，不僅要運(yùn)用正面的例子加以深刻闡明，而且要通過(guò)合適的反例，從另一個(gè)側(cè)面抓住概念的本質(zhì)，使學(xué)生對(duì)所學(xué)概念進(jìn)一步反思，從而達(dá)到深刻理解和掌握該概念的目的。學(xué)生在解題中經(jīng)常出現(xiàn)差錯(cuò)且不易發(fā)現(xiàn)、糾正。對(duì)此，可以引入反例，讓學(xué)生學(xué)習(xí)、討論，幫助他們發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，分析錯(cuò)誤原因，找出正確的解題方法。學(xué)生在學(xué)習(xí)一個(gè)新的定理、性質(zhì)時(shí)，往往會(huì)忽略定理、性質(zhì)中的關(guān)鍵詞語(yǔ)，從而造成解題的錯(cuò)誤。為了克服這一現(xiàn)象，教學(xué)中要善于構(gòu)造反例，幫助學(xué)生牢記關(guān)鍵詞語(yǔ)，達(dá)到正確理解并掌握定理、性質(zhì)的目的。
例如，垂徑定理的推論1“平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦”，學(xué)生常會(huì)忽略括號(hào)中的限制條件，誤記為“平分弦的直徑垂直于弦”。教學(xué)時(shí)可以構(gòu)造反例，列舉圓中任意兩條直徑，雖然它們互相平分，但不一定互相垂直，由此來(lái)糾正這一錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，可加深學(xué)生對(duì)限制條件的理解。又如在教學(xué)“三角形全等的判定定理”時(shí)，學(xué)生在掌握基本的幾個(gè)判定定理（SSS，SAS，ASA，AAS）后，教師可讓學(xué)生判斷:三個(gè)角對(duì)應(yīng)全等的三角形是否全等;有兩邊及其其中一邊所對(duì)的角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形是否全等。三角對(duì)應(yīng)相等的三角形全等的反例比較容易列舉，例如三角板中的兩個(gè)三角形。但是有兩邊及其其中一邊所對(duì)的角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等的反例卻較難構(gòu)建。為了解決這個(gè)問(wèn)題，教師可以先固定某些邊或者某些角對(duì)應(yīng)相等以后再讓學(xué)生構(gòu)建反例。可以先固定∠A=∠A′，AC=A′C′，在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考：若BC=B′C′=a，說(shuō)明BC或B′C′?？梢酝ㄟ^(guò)以下作圖方法來(lái)畫(huà)出:以C或者C′為圓心，a為半徑畫(huà)弧，a只要滿足一定的條件，此時(shí)所畫(huà)的弧就很可能與AB或者A′B′所在的直線有兩個(gè)交點(diǎn)，這時(shí)再構(gòu)造不全等的三角形就容易多了。從而說(shuō)明有兩邊及其其中一邊所對(duì)的角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等不能成立。利用反例教學(xué)，可使學(xué)生加深對(duì)知識(shí)的理解和記憶，從而達(dá)到掌握知識(shí)、培養(yǎng)能力的要求。
精煉的例題蘊(yùn)藏著豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)、方法和思想，有利于學(xué)生去領(lǐng)悟、吸收、深化和探索。因此，深化例題教學(xué)發(fā)揮例題的功效，是教學(xué)的關(guān)鍵。例題教學(xué)可培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力和良好的思維素質(zhì)，從而讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)有一個(gè)質(zhì)的飛躍。
參考文獻(xiàn)：
［1］陳國(guó)新.例題教學(xué)中的四點(diǎn)“反思”.中國(guó)教育研究論叢，2006，（00）.
［2］方鎮(zhèn)軍.挖掘例題的教學(xué)功能，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力.數(shù)理化解題指導(dǎo)研究.
決定新課程改順利實(shí)施的最關(guān)鍵因素就是師資水平，而在這兩年中我們最大的成果之一就是體現(xiàn)新課程改精神的教師的教育教學(xué)水平的提高，教師的成長(zhǎng)，觀念的更新是前提，專業(yè)化成長(zhǎng)是基礎(chǔ)。新課程的制定是基于許多新的觀念基礎(chǔ)上的。因此，能否理解、認(rèn)同、內(nèi)化這些新的觀念，是關(guān)系到新課程能否順利實(shí)施的最基本條件[1]。
教學(xué)方式的轉(zhuǎn)變作為本次課程改革的重要任務(wù)之一就是要堅(jiān)定不移地推進(jìn)教師教學(xué)方式的轉(zhuǎn)變，先進(jìn)的教育觀念要通過(guò)先進(jìn)的教育方式體現(xiàn)出來(lái)，而教育觀念轉(zhuǎn)變本身也要在教育教學(xué)中進(jìn)行，二者是相輔相成的關(guān)系。觀念不轉(zhuǎn)變，方式轉(zhuǎn)變就沒(méi)有了方向，沒(méi)有了基礎(chǔ)；方式不轉(zhuǎn)變，觀念就失去了歸宿，失去了落腳點(diǎn)。教學(xué)方法除了受觀念的影響外，還與教學(xué)內(nèi)容密不可分，當(dāng)科學(xué)技術(shù)和社會(huì)政治經(jīng)濟(jì)文化等方面的發(fā)展變化使得教學(xué)內(nèi)容不得不做相應(yīng)的調(diào)整與改革的時(shí)候，教學(xué)方法也面臨必須變革和創(chuàng)新的時(shí)代要求。從上世紀(jì)初步教育遠(yuǎn)動(dòng)針對(duì)普遍存在的“學(xué)校中心”、“課本中心”、“教師中心”的傳統(tǒng)教學(xué)模式進(jìn)行革命性改造以來(lái)，教學(xué)法方面的改革從未中斷。現(xiàn)在，我們面臨著同樣的問(wèn)題，要實(shí)現(xiàn)教學(xué)方式的轉(zhuǎn)變，有必要弄清歷史上教學(xué)方法的演變，從中是否可以看到我們現(xiàn)行教學(xué)的影子，弄清哪些是落后的，明確為什么要改，改哪些，怎么改。
2.新課程改中中學(xué)數(shù)學(xué)例題教學(xué)方法
正如前面所說(shuō)的，新課程改革中倡導(dǎo)了許多的教育理念，其中，“一切為了每一位學(xué)生的發(fā)展”是新課程改革中的最高宗旨和核心理念，要將這一核心理念真正地轉(zhuǎn)化為教師的行動(dòng)[2]。教師要建立現(xiàn)代的課程觀。首先要弄清楚課程、教材、教科書(shū)三者之間的關(guān)系現(xiàn)代教育觀念認(rèn)為：教科書(shū)是根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)編寫(xiě)的系統(tǒng)反映了學(xué)科內(nèi)容的教學(xué)用書(shū)。它是最具代表性的核心教材。而新課程改中的例題又是怎么教學(xué)的呢？
例1：化簡(jiǎn)sin50°（1+■tan10°）
分析探求：師：這道題給我們的感覺(jué)是有些無(wú)從下手，很難看出有什么公式可以直接使用，兩個(gè)角10°與50°似乎還有一線希望。但由于受函數(shù)名稱的限制難以發(fā)揮它的作用。大家都來(lái)想想看，有什么辦法可以打破這一僵局（請(qǐng)同學(xué)們討論一下）？
生：在同角三角函數(shù)的化簡(jiǎn)中，如果一個(gè)式子有弦、有切，我們可以把切化弦。
師：好的，我們嘗試一下：
解：sin50°（1+■tan10°）
=sin（1+■■）
=sin50°■
=sin50°+■
=2sin50°■
=2cos40°?■
=■
=■=1
反思研究：本題在嘗試把正切化為弦后果然獲得成功。其實(shí)把正切化為弦就是一條重要思想。請(qǐng)同學(xué)們切記“遇切、割化弦”這一規(guī)律。另外，本題的解答過(guò)程還反映了逆用和角公式的重要性。在實(shí)際教學(xué)中，教師要避免直接肯定或否定信息的有用與否或重要與否，讓學(xué)生在思考與交流中證實(shí)或否定。
3.如何使數(shù)學(xué)例題教學(xué)方法更好地適應(yīng)于新課改
對(duì)于新課程改中數(shù)學(xué)例題教學(xué)我們可以看出：發(fā)展學(xué)生的思維，一題多解，讓學(xué)生自己提問(wèn)、相互交流、相互分享、解決問(wèn)題。下面我們看看下面一題.
例2：設(shè)數(shù)列{a■}的前n項(xiàng)和S■=2a■-1（n=1，2，3，…），數(shù)列{b■}滿足b■=3，b■=a■+b■（k=1，2，3，…）求數(shù)列{b■}的前n項(xiàng)和。
解：本題可以依托S■=2a■-1（n=1，2，3，…）運(yùn)用a■=S■ （n=1）S■-S■（n≥2）
探求a■與a■的關(guān)系，繼而求出b■，也可求出S■再求b■。
方法一：S■=2a■-1=2（S■-S■）-1（n≥2）
S■+1=2（S■-S■）
即S■=2（S■+1）（n≥2）
由此得S■=（S■+1）2■
因S■=a■，故a■=2?a■-1，得a■=1.
于是S■=2■-1，設(shè){b■}的前n項(xiàng)和為T■.
由于b■=a■+b■（k=1，2，3，…）
故b■=a■+b■
b■=a■+b■
……
b■=a■+b■諸式累加可得
b■=S■+b■=2■-1+b■
b■=3，故b■=2+2■.
數(shù)列{b■}的前n項(xiàng)和為T■=2n+■2■
=2n+■
=2■+2n-1
方法二：因S■=2a■-1（n=1，2，3，…），
故當(dāng)n=1時(shí)，a■=S■=2a■-1，得a■=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，a■=S■-S■=（2a■-1）-（2a■-1），
得：a■=2a■.所以數(shù)列{a■}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列a■=2■.
因?yàn)閎■=a■+b■，故b■-b■=a■=2■
則b■-b■=1，b■-b■=2，…，b■-b■=2■
以上這（n-1）式子相加得：
b■-b■=■=2■-1故b■=2■+2
所以數(shù)列{b■}的前n項(xiàng)和T■=（1+2■+2■+…+2■）+2n=2■+2n+1.
由此例題我們可以知道，一題多解，教學(xué)過(guò)程中；教師與學(xué)生間的交往、互動(dòng)，意味著師生之間的相互交流，相互溝通，相互啟發(fā)，相互補(bǔ)充。
關(guān)鍵詞：淺談 初中數(shù)學(xué) 例題教學(xué) 有效性
例題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分和環(huán)節(jié)。通過(guò)例題教學(xué)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)去解答數(shù)學(xué)問(wèn)題，從而達(dá)到鞏固所學(xué)知識(shí)之目的。同時(shí)，例題教學(xué)也是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要途徑，它直接影響到學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力和數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)。因此，探討數(shù)學(xué)例題教學(xué)很有意義。
一、課堂例題教學(xué)存在的誤區(qū)
一方面是不考慮學(xué)生的實(shí)際，盲目選題。盲目選擇一些怪題、難題、偏題，收效甚微，導(dǎo)致學(xué)生恐懼、厭惡數(shù)學(xué)，適得其反；二是教法單一、刻板，缺乏變通、創(chuàng)新。例題教學(xué)有時(shí)教法單一，照本宣科，講解刻板，缺乏變通、創(chuàng)新。例題簡(jiǎn)單時(shí)，認(rèn)為沒(méi)什么好講的，將解題過(guò)程直接板書(shū)，讓學(xué)生自己看解題過(guò)程，或者逐字逐句念給學(xué)生。講解例題有時(shí)會(huì)一股腦地把自己的解題方法灌輸給學(xué)生，學(xué)生缺乏思考，只是單純地接受，逐漸養(yǎng)成“你講我聽(tīng)”的接受式學(xué)習(xí)，沒(méi)有得到一定的思維訓(xùn)練，遇到類似的問(wèn)題有時(shí)勉強(qiáng)可以應(yīng)付，但條件稍微有所變化，就難以獨(dú)立解決問(wèn)題；三是就題講題，缺乏題后反思。我國(guó)教育家葉圣陶先生說(shuō)過(guò):“什么是教育？簡(jiǎn)單地說(shuō)教育就是培養(yǎng)習(xí)慣?！比欢處煶３０牙}解答完就了事，不對(duì)例題進(jìn)一步挖掘，題后不引導(dǎo)學(xué)生對(duì)例題題型、思想方法、表述等進(jìn)行反思，學(xué)生得不到解題反思的熏陶，沒(méi)有題后反思的意識(shí)，無(wú)法養(yǎng)成題后反思的習(xí)慣。
二、如何做到初中例題教學(xué)的有效性
1、講好例題是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。所謂講好例題，就是教學(xué)上課通過(guò)師生、生生積極的互動(dòng)和一些數(shù)學(xué)活動(dòng)，把例題分析清楚、透徹，讓學(xué)生明白為何這樣解，解答該如何表述等等?！稑?biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào):“有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程不能單純地依賴模仿與記憶，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)地從事觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、驗(yàn)證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)，從而使學(xué)生形成自己對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和有效的學(xué)習(xí)策略。”在例題教學(xué)中，教師重點(diǎn)要教給學(xué)生分析問(wèn)題的思想和方法，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用演繹和歸納去探討問(wèn)題。東北師大校長(zhǎng)史寧中教授在《數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育》一書(shū)中指出:“現(xiàn)在我們來(lái)思考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育，思考除了知識(shí)之外還能給學(xué)生些什么。我想這就是演繹和歸納。中國(guó)50年來(lái)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育，一直是重演繹、輕歸納，即給出已知條件，求證一個(gè)結(jié)論，這是演繹的方法。但沒(méi)有讓學(xué)生試著去推導(dǎo)出什么結(jié)論，也就是沒(méi)有教歸納的方法。這不利于培養(yǎng)創(chuàng)新型的人才，如果在數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)中教會(huì)了學(xué)生這兩種方法，那就體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教學(xué)中的素質(zhì)教育。”
2、改編例題是數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用。改編例題的方式很多，例如教材中有些例題的背景一般比較抽象，缺乏生活氣息，如果將例題改編成與學(xué)生密切相關(guān)的生活情境，不僅可以激發(fā)學(xué)生的參與熱情，還能發(fā)揮學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)造能力?；蛘邔⒗}的條件、結(jié)論進(jìn)行改編，由表及里，揭示知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，前后貫通，引伸拓寬，形成一條較為完整的知識(shí)鏈，讓學(xué)生通過(guò)典型范例的思路剖析，牢固掌握基本題型及解題規(guī)律。如在教學(xué)有理數(shù)加減法則時(shí),設(shè)置這樣一道題：在一條南北走向的公路旁有一售貨中心，規(guī)定售貨中心向南為正，向北為負(fù)，某同學(xué)家住售貨中心南200米處，因有事外出，需經(jīng)過(guò)售貨中心辦一件事，現(xiàn)在先向南走450米完成一件事后再折轉(zhuǎn)準(zhǔn)備北行730米做事，問(wèn)該同學(xué)能經(jīng)過(guò)售貨中心辦事嗎？走完730米后最后位置在售貨中心的哪一側(cè)？由學(xué)生通過(guò)議論、列式計(jì)算，在興趣中頓悟有理數(shù)的加減法則。這樣，首先是學(xué)生能看到實(shí)際問(wèn)題，引起解決問(wèn)題的懸念，開(kāi)動(dòng)腦筋，積極猜想，憑直覺(jué)想象，生活經(jīng)驗(yàn)等等均可一試，感覺(jué)數(shù)學(xué)來(lái)自生活，從而也增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。
3、設(shè)置規(guī)律性例題促進(jìn)數(shù)學(xué)能力的提升。為了使學(xué)生在解題時(shí)有較敏銳的觀察能力和較豐富的聯(lián)想能力，舉一反三，觸類旁通，提高解題能力，規(guī)律型的題目正是考察學(xué)生以上這些能力。由于規(guī)律型題目的規(guī)律性和普通性，我們教師在舉這樣的例題應(yīng)注意歸納綜合，俗語(yǔ)說(shuō)：“換湯不換藥，萬(wàn)變不離其宗”。這話用在數(shù)學(xué)上正好反映數(shù)學(xué)知識(shí)的規(guī)律性。例如，二次函數(shù)中有這樣一類題目，給出拋物線中、b、c的符號(hào)，要求判斷拋物線的開(kāi)口方向，拋物線與y軸交點(diǎn)的位置，對(duì)稱軸在y軸的左側(cè)還是右側(cè)，拋物線與χ軸有無(wú)交點(diǎn)，并畫(huà)出草圖，象這樣的問(wèn)題，要先歸納綜合它的規(guī)律性：(1)>0開(kāi)口向上； 0與y 軸交點(diǎn)在χ軸上方；C0與x軸兩個(gè)交點(diǎn)；
4、講清數(shù)學(xué)例題中蘊(yùn)含的方法是學(xué)數(shù)學(xué)的關(guān)鍵。新課程強(qiáng)調(diào)要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)觀察，學(xué)會(huì)思考，學(xué)會(huì)如何學(xué)習(xí)，培養(yǎng)終身學(xué)習(xí)的能力。也就是說(shuō)授之以魚(yú)不如授之以漁。在例題講解中重要的是讓學(xué)生真正領(lǐng)悟隱含于數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)學(xué)思維方法，使學(xué)生從中掌握關(guān)于數(shù)學(xué)思想方法方面的知識(shí)，并把這些知識(shí)消化吸收成具有“個(gè)性”的數(shù)學(xué)思想。逐步形成用數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)思維活動(dòng)，這樣在遇到同類問(wèn)題時(shí)才能胸有成竹，從容對(duì)待。另外，在例題教學(xué)中要充分發(fā)揮學(xué)生參與活動(dòng)的主動(dòng)性。在課堂上，要給學(xué)生充分的思維活動(dòng)空間，盡可能多地靠學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)解題思路和動(dòng)手作答。例題的講解不在于老師講了多少，更重要的是在于學(xué)生領(lǐng)悟了多少。數(shù)學(xué)題目是講不完的，但只要我們講解的方法得當(dāng)，還是可以通過(guò)有限的例題的的本質(zhì)分析、講解，讓學(xué)生真正領(lǐng)悟解決無(wú)限數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)學(xué)奧妙。
參考文獻(xiàn)：
