時間：2022-06-19 05:47:00
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇集合的含義與表示，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
一、遺忘空集和本身
例1.滿足M?哿{0，1，2}且M?哿{0，2，4}的集合M的個數有()。
(A)1個(B)2個(C)3個 (D)4個
錯解：由已知，M?哿{0，2}，用列舉法得M為{0}，{2}，{0，2}，故選（C）。
剖析：忽視了M=／，故應選（D）。
點評：在集合部分，空集是一個特殊的集合，其定義為不含任何元素的集合，它的具體表現形式很多，可能是方程（組）無解，也可能是不等式（組）無解，或者為其他完全不存在的集合對象。課本上明確指出了它的很多性質，如（1）／?哿A，其中A為任一集合，當A非空時／?芴A；（2）／I A=／，
次考試，筆者都發現錯誤率很高。
二、忽視集合中元素的互異性
例5.設A={-1，a}，B={1，|a|}，若A∩B≠／，求實數a的取值范圍。
錯解：|a|≠-1，由已知A∩B≠／|a|=aa≥0。
剖析：當a=1時，B={1，1}和集合中元素的互異性發生矛盾，所以a的范圍應為{a|a≥0且a≠1}，故本題應考慮|a|≠1這一隱藏條件。
剖析：當m=1時，A中有元素1重復，和互異性矛盾，應舍去，m=-1。
剖析：本題C的值出現了增解，因為當C=1時，集合B出現了相同的元素，和互異性矛盾，故應舍去，C=- 。
點評：集合中的元素有三大性質：⑴確定性、⑵互異性、⑶無序性，其中的互異性在解題時最易被忽視，所以在已知兩個集合滿足某些條件，確定某些字母時要注意將所求得的結果代入檢驗集合中有無重復元素。
三、不能正確理解集合中元素的形式和真正含義
例7.下列哪個集合不同于另外三個集合（ ）。
錯解：筆者發現學生大部分選（A）、（B）或（D）。
剖析：事實上（A）、（B）、（D）都表示集合{1}，而（C）則表示的以“x=1”這個表達式為元素的集合，應選（C）。
分析：上述五小題出錯率都很高，應分別選（D），（C），（D），（D），（C），究其原因主要是完全曲解了這些集合中元素的表示形式及真正含義，它們有時表示定義域，有時為值域，有時表示點集，只有認真審題，了解元素的真正含義，才能立于不敗之地。
點評：集合有多種表示方法，如列舉法，描述法，圖示法等。描述法{x|x具有性質p}用得最多，我們稱之為代表元素描述法，它被廣泛應用于方程（組）、不等式（組）、函數等的表示，學生往往只留意表示方法中豎線右邊的內容，而忽視其左邊的內容，造成對集合中元素的真正含義模糊不清，解題時屢屢犯錯，常見錯誤有{x＞2}=
四、對“／”、“∈”、“?哿”、“ ?芴 ”、“∩”等符號不能正確識記
點評：本題錯誤率很高，正確答案為（B），只有關系式②是正確的，“∈”表示集合和元素之間的關系，“?哿”表示集合與集合之間的關系，值得注意的是一個集合可以一個元素的形式出現在另一個集合中，此時它們即為元素和集合之間的關系，如②和③，對⑤來說，（1，1）并非集合{y|y=x -2x+2，x∈R}的元素，另外我們還應注意符號“?芴”不包括相等這種情況，因此①當A=／時出現了問題。
例10.若A、B、C為三個集合，A∪B=B∩C，則一定有（ ）。
（A）A?哿C （B）C?哿A （C）A≠C （D）A=／
錯解：筆者發現學生選（A）、（B）、（C）或（D）均有。
剖析：學生不能正確理解集合中符號“∩，∪，?哿，∈”的含義。方法一：利用定義轉化抽象的符號語言，設任意元素x∈A或x∈B，A∪B=B∩C x∈B且x∈C，A?哿C，選（A）。方法二：利用A∪B，B∩C的等價的圖形語言轉化抽象的符號語言。
五、區間端點取舍模糊不清
（1）若A?芴B，求a的取值范圍；
（2）若A∩B=B，求a的取值范圍；
（3）若A∩B為僅含一個元素的集合，求a的值。
分析：在考試中發現學生答案較多，如在解（2）時，至少會出現1＜a＜2，1≤a＜2，1＜a≤2，1≤a≤2四種答案，（1）和（3）亦存在類似問題，我們歸納起來發現這些錯誤的共同特征是區間端點問題。解答這類問題的方法是借助數軸求解，首先要特別注意已知集合是否包括區間的端點，如本題集合B改為B={x| x -（a+1）x+a＜0}其答案又都發生變化，本題正確答案依次為（1）a＞2（2）1≤a≤2（3）a≤1，筆者據多年教學經驗認為對區間端點如a=1和a=2代入集合B={1}和B={x|1≤x≤2}，由此易得區間端點是否滿足題意。
例12.已知集合A={ x|-2≤x≤4}，B={ x|x＞a}。
（1）若A∩B≠／，求實數a的取值范圍；
（2）若A∪B=B，求實數a的取值范圍；
（3）若A∩B≠／，且A∩B≠A，求實數a的取值范圍。
分析：本題所揭示問題和上題類似，讀者不妨一試，能否得如下答案：（1）a＜4、（2）a＜-2、（3）-2≤a＜4，將本題中集合A改為A={ x|-2＜x＜4}，答案有何變化？集合B改為B={x|x≥a}，答案又如何？
總之，集合的概念在中學數學教學中的地位十分重要，且應用非常廣泛，被高考列入必考內容。我們應高度重視，對其概念能夠透徹理解，減少考試中的不必要的失分。
一、說教材
集合思想是數學中最基本的思想。從學生一開始學習數學，其實就已經在運用集合的思想了，例如：把1個人、2朵花、3支鉛筆等用一條封閉的曲線圈起來表示。又如，學生學習過的分類思想和方法實際上就是集合理論的基礎。但是，學生只是對集合有一定的生活經驗和知識基礎，但還沒有抽象成集合的思想，以前所接觸到的也只是單獨的一個個集合圖，而本節課所要用到的含有重復部分的集合圖，學生并沒有接觸過。
教材例1編排的意圖是借助學生熟悉的題材，通過統計表的方式列出參加語文小組和數學小組的學生名單，而總人數并不是這兩個小組的人數之和，從而引發學生的認知沖突。這時，教材利用直觀圖（即韋恩圖）把這兩個課外小組的關系直觀地表示出來，從而滲透集合的有關思想，幫助學生找到解決問題的辦法。當然，針對三年級學生的認知水平，學習這部分內容，思維力度較強，有一定的挑戰性。因此教材只是讓學生通過生活中容易理解的題材去初步體會集合思想，為后繼學習打下必要的基礎，學生只要能夠用自己的方法解決問題就可以了。
基于以上思考，我設定以下教學目標：
知識與技能：經歷韋恩圖的產生過程，初步體會集合思想，理解“韋恩圖”中各部分表示的意義，并能用數學語言表述，會利用集合思想解決簡單的實際問題。
過程與方法：在觀察、猜測、操作、比較、交流等數學活動中體會集合思想，會借助集合思想解決簡單的實際問題，培養學生用不同的方法解決問題的意識。
情感態度與價值觀：利用生活事例讓學生感受到數學與生活的密切聯系，進一步樹立學數學用數學的意識。
根據學情分析，我確定本節課的教學重點是：理解“韋恩圖”中各部分表示的含義，并能用數學語言表述，會利用集合思想解決簡單的實際問題。
教學難點是：對重復部分的理解。
評析：數學廣角是人教版教材中的一大亮點。教師在教學數學廣角“重疊問題”時，善于根據教材和編者意圖，著力讓學生真正體驗和感悟數學思想方法――“集合”，并有具體的活動目標、重點。
二、說教法與學法
本課教學我采取“先學后教，以學定教，順學而導”的教學策略，讓學生充分自學、嘗試、探究、交流、展示，讓他們在猜一猜、說一說、畫一畫、算一算等一系列活動來理解重疊的含義，并能用學到的知識解決生活中的問題。
評析：教師在教法、學法上，將數學教學活動建立在學生的認知發展水平和已有的知識經驗上，沒有讓學習活動單純模仿與記憶，而是讓動手實踐、自主探索、合作交流，以生為本，讓課堂動態生成。
三、說教學過程
為了更好地突出教學重點，突破教學難點，達到已定教學目標，我設計了以下四個教學環節。
第一環節：創設情境，初步感悟。
“施教之功，貴在引路，妙在開竅。”要開啟學生通竅之門，就要讓學生先學，然后依據先學中暴露出來的問題實現以學定教。
首先，我根據即將到來的“六一”兒童節創設問題情境出示一份通知，讓學生收集了解信息。然后提問：“根據要求，每個班一共要選多少人參加這兩項比賽？”絕大多數學生會根據以往學習經驗認為需要17人。這時，教師反問“一定是17人嗎？”引導學生深入思考其他可能性，教師順勢出示參賽名單。隨著參賽名單實時呈現，學生的腦海里會躍出一個大大的問號――過去求總數就是直接把各部分的數量加起來的呀，怎么在這里行不通了呢？通過仔細觀察，學生會發現之前脫口而出的答案錯誤了，因為“有重復參加項目的”，從而自然地引出本節課的課題“重疊問題”。
評析：學生是在思維活動中學會思維的。通過學生自學與嘗試，暴露的問題是：過去用部分數相加就能求出總數的方法解決不了今天的新問題。問題激起學生強烈認知沖突，研究“重疊問題”變成學生源自內心的學習需求。
第二環節：合作探究，逐步領悟。
本環節中，我大膽放手，適時引導，讓學生合作交流，將時間和空間交給學生，讓每個學生都參與到活動中來。本環節我設計了以下幾個教學活動。
1.提出問題，明確要求
首先我讓學生繼續觀察表格：既參加書法又參加繪畫的是哪幾人？只參加書法比賽的是哪幾人？只參加繪畫比賽的是哪幾人？引導學生思考：這些信息，可不可以用圖表示出來？引導學生進行創造，自主構建韋恩圖的雛形。
2.獨立探究，自主實踐
問題的提出，如一石激起千層浪，激發了學生挑戰新問題的欲望，此時，我讓學生靜靜思考，然后再嘗試擺一擺。學生自主活動的同時，我深入到學生之中，仔細收集和分析學生的方法，以便后面的教學中能以學定教，順學而導。
3.合作交流，自主展示
通過學生獨立嘗試、探究，此時學生對問題的解決有了一定的思考，還可能出現了多種不同的解決問題的策略。特別是對于兩項比賽都參加的3名同學，因為名字只有一個，所以在擺的過程中必然會產生矛盾沖突：這幾個名字究竟是任意貼在其中一個圈中，還是擺在中間？此時我因勢利導，安排了兩個層次的交流展示。（1）組內交流。組內四人，通過交流，形成一致的擺法。（2）小組展示。組內交流完成后，請進入全班展示的環節。在小組展示的過程中，建議展示的學生除了展示自己小組的擺法和想法，還要詢問其他同學對本組擺法的看法和意見。此時，也要要求其余學生對其展示的擺法做出評價，提出問題。在這樣“詢問―回應―再詢問―再回應”的過程中，教師適時參與其中，生生之間，師生之間，相互啟迪，思維的火花得到了碰撞，對韋恩圖的認知也逐步走向深入，最終完成韋恩圖的創作。此時順勢介紹韋恩圖的數學文化，讓學生深深感受數學文化，以及隱藏在文化背后的數學思想。
4.再次感知，深化理解
在揭示韋恩圖的名稱之后，我要求學生用數學化的語言描述韋恩圖各部分的含義，在學生描述交流的過程中，教師完善板書：紅色的圈表示參加書法比賽的同學，藍色的圈表示參加繪畫比賽的同學，兩個圈中間重疊的部分恰好可以表示“既參加了書法比賽又參加了繪畫比賽的同學”，左邊的月牙形表示“只參加了書法比賽的同學”，右邊的月牙形表示“只參加了繪畫比賽”的同學。讓學生在小組內再互相指一指、說一說，最后通過多媒體課件的光、色等多種信息渠道進一步明確韋恩圖各部分的含義。
5.抽象概括，完善認知
在學生明確了韋恩圖各部分的含義之后，讓學生根據韋恩圖列算式解決三（1）班一共有多少人參加了這兩項比賽的問題。再在組內和全班交流自己的方法。由于學生思考問題的角度不同，必然會有不同的解決問題的策略。而教師對于學生提出的多種方法，都予以及時的評價和肯定。對于算式中每個數字表示的含義，也讓學生講清講透，如對于8+9-3=14（人）一一對應板書中的信息和問題，讓學生說說為什么減“3”。這樣做一方面是讓學生感受到韋恩圖能很好地幫助理清思路，找到解決問題的方法。另一方面通過學生個性化的解讀，使知識到位到每個人，讓孩子們感受到解決問題的多樣性。
評析：整個新授課環節，教師從學生的自學開始，先嘗試后內化，先自主再交流，教師則在學生自學的基礎上引導學生展開合作、交流，有針對性地點撥，充分開發學生潛能，充分激發學生的主動性、創造性。
第三環節：反饋應用，實現深悟。
在這個環節中，我安排了以下幾個層次的練習。
1.基本練習：動物運動會（出示110頁第1題）
第一題是練十四的第一題，本題是在學生有利用集合的思想方法解決簡單問題經歷的基礎上，放手讓學生辨析集合圖的含義，完成對一些動物的分類并填寫。最后我添加了一個問題：“大伙正在為自己報了拿手的項目而高興時，有一種動物11號（小兔）卻在圈外垂頭喪氣。這是為什么呢？”相信學生能夠說出因為它既不會游泳又不會飛。這樣順利把集合圖由圈內引向了圈外，將學生的視野拓展開來。
2.綜合練習：文具店開業（出示110頁第2題）
第二題是練十四的第二題，文具店昨天與今天進的貨有重復的，要求學生列式計算兩天一共進了多少種貨。本題給學生提供再次感知、認識集合的思想方法的機會，加深對相應集合思想方法的體驗。解決問題中，放手讓學生用自己喜歡的方式，有效落實問題策略多樣性的改革理念，提高學生解題的靈活性。
3.拓展練習
在課開始，對于每個班要選多少人參加比賽，很多學生脫口而出的答案是17人，后來通過觀察三（1）班參賽名單，發現有人重復了，實際只有14人。現在再回頭看這個問題，三（1）班是14人，那其他班級呢？在這里我通過判斷小明和小軍的結論再次引起學生思考，小組交流得出“每班參賽的同學最多是17人，最少是8人”。這樣在課始問題基礎上做出縱向和橫向的自然延伸，使學生對“重疊問題”的理解更具深度與廣度。
評析：練習是學生掌握知識、形成技能和能力、發展智力的重要方法，也是課堂教學的一個重要環節。通過不同層次的練習鞏固強化所學知識，拓展學生的思維空間，使不同的學生得到不同的發展。
第四環節：提煉升華，延伸回悟。
這是本節課的最后一個環節，首先讓學生自己總結本節課所學內容，談體會和收獲。同時詢問“關于韋恩圖和重疊問題，你還有新的問題嗎？老師更喜歡那些在解決了問題之后還能提出新問題的同學！”這樣一方面在最后給學生回憶梳理全課知識的時間，另一方面鼓勵學生主動提出新問題。
最后老師再出示以下表格并提問學生：從這份名單中你發現了什么？怎么用韋恩圖來表示這三個小組的重疊問題呢？有興趣的同學可以課后繼續研究。這樣做是讓學生帶著問號進入課堂展開學習，又帶著問號走出課堂繼續學習，讓學生感受數學海洋的無窮奧秘。
評析：學生自己總結、提煉，梳理思想，明晰方法。讓學生滋生新疑，是學習深入、理解深刻的體現，是繼續深化學習、向更多領域拓展學習的動力。
總評：本說課設計立足教材，超越教材，采取大版塊、大線條，采用學生自由的學習形式，以學定教，順學而導。在開放性的課堂里，學生有充分的學習時空，大膽質疑，廣泛交流，充分討論，通過不同的角度、形式獲得知識的學習體驗，汲取自己最需要的知識，鍛煉自己新的思維。學生智慧的生成，讓課堂更具蓬勃生命活力。
關鍵詞：數據挖掘；關聯規則；Apriori算法；購物籃分析；頻繁項集
中圖分類號：TP391.4
先從著名的啤酒與尿布的案例說起。美國某零售業企業對過去的歷史數據進行分析，意外發現很多購買尿布的顧客會購買啤酒。這樣的結論按平常的思維根本不能解釋，經過仔細調查，商家發現了潛在的秘密：美國的媽媽們習慣將購買尿布的任務交給下班后的小孩爸爸，其中有一些爸爸在買完尿布之后再去購買自己喜歡的啤酒，啤酒與尿布兩個不相關聯的事物就這樣聯系了起來。得到這一結論后，這家企業立即采取行動，將啤酒與尿布放在距離相近的位置，大大提高了銷售額。由此，誕生了購物籃分析（Market Basket Analysis）方法，衍生到數據挖掘領域稱之為關聯規則（Association Rules）。關聯規則揭示了事物之間的相互依存性和關聯性。關聯規則在當今生活中應用十分廣泛，如電商根據顧客近期的消費記錄向顧客推送相似商品的廣告信息，60%購買了牛奶的顧客會購買面包等。
1 關聯規則概述
1.1 規則與關聯規則
形如“如果…那么…”，通過條件得到結果，就是一項規則。關聯規則可以用蘊含式：R：X Y表示，度量一項規則是否夠好有兩個指標：置信度（Confidence）和支持度（Support）。
1.2 置信度和支持度
置信度：表示一條規則值得信賴的程度。如果A表示條件，B表示結果，則置信度的數學表示為Confidence（A―>B）=P（B|A），其含義是在條件A發生的情況中同時條件B發生的概率。
支持度：表示在總體情況下當前情況發生的概率。如果A、B均表示一種可能發生的情況，則支持度數學表示為Support（A―>B）=P（AB），其含義是A、B同時發生的概率。
1.3 關聯規則的相關概念
項目（Item）：集合I={k1，k2，…，kn}中每一個kn（n=1，2，…，n）叫做一個項目。集合I叫做項集（Itemset）。集合中元素個數為k的項集叫做k-項集（k-Itemset）。
交易（Transaction）：集合I的子集構成的集合稱為交易，記為T，T I。每一筆交易有自己唯一的編號，即交易號TID。若干交易構成的集合D稱為交易集D，交易集D中包含的交易個數記為count（D）。
項集支持度：對于規則X Y，Support（X Y）=count（X∪Y）/count（D），X、Y I，支持度的含義就是含X、Y的交易數與總交易數之比。
項集置信度：Confidence（X Y）=Support（X Y）/Support（X），置信度的含義是包含X、Y的交易與包含X的交易之比。支持度與置信度刻畫了用戶興趣程度，一般來說，兩者都高表示用戶對其興趣越高。
1.4 最小支持度與頻繁項集
關聯規則作用的集合必須滿足一個最小支持閾值，即存在最小支持度（Minimum Support）。所有項的支持度均大于等于最小支持度的集合，稱之為頻繁項集（Frequent Itemset）。同樣也存在一個最小置信度（Minimum Confidence）。最小支持度與最小置信度用來衡量關聯規則的最低可靠程度。
1.5 強關聯規則
滿足支持度大于等于最小支持度，置信度大于等于最小置信度的關聯規則稱之為強關聯規則（Strong Rules）。反之，稱為弱關聯規則。
2 Apriori算法的實現
Apriori算法是一種生成關聯規則的頻繁項集挖掘經典算法，利用該算法，可以找到項之間關系。Apriori算法有兩個重要的性質：
（1）頻繁項集的子集一定是頻繁項集。
（2）非頻繁項集的超集一定是非頻繁項集。
Apriori算法挖掘的步驟：
（1）掃描數據庫，算出初始項集K1各個項的支持度，即1-項集的支持度，通過最小支持度篩選得到1-項集的頻繁集，記為Q1。
（2）掃描數據庫，通過Q1中項與項之間連接∞得到備選項集K2，K2是2-項集。
（3）通過最小支持度篩選K2得到頻繁集Q2，即將K2中不滿足最小支持度的項舍去得到Q2。
（4）通過Q2以（2）中的方法計算出K3，通過K3以（3）中的方法計算出Q4，繼續掃描數據庫，用（2）（3）中方法繼續計算更高層次的頻繁項集，（2）中使用的的方法叫做連接（Join），（3）中使用的方法叫做剪枝（Prune），重復步驟連接、剪枝，直到不再產生新的項集為止。例：
K1={k1，k2，k3，k4，k5}，最小支持度Supmin=45%，最小置信度Conmin=45%
（1）計算k1各項支持度：sup{k1}=50%，sup{k2}=75%，sup{k3}=75%，sup{k4}=25%，sup{k5}=75%。
sup（k4）
（2）Q1中項與項之間做連接 ：K2={{k1，k2}，{k1，k3}，{k1，k5}，{k2，k3}，{k2，k5}，{k3，k5}}。
（3）計算K2各項支持度，得到sup{k1，k2}
（4）循環（2）（3）中步驟，最終得到頻繁項集{k2，k3，k5}。通過{k2，k3，k5}的非空子集和最小置信度即可產生強關聯規則。
3 Apriori算法的不足
Apriori算法存在一個很嚴重的問題是效率低。因為Apriori算法是從1-項集開始逐層計算得到最大項集的，從k-項集通過連接、剪枝到k+1項集需要掃描一次數據庫，如果項集中項數越多，則掃描次數越多。比如：項集中含10個項，則要掃描數據庫10次，I/O負載特別大。針對它的不足，Jiawei Han等人提出了FP-growth算法，也有人研究出一些改進算法，大大提高了算法的效率。
參考文獻：
[1]楊文博.零售業數據挖掘的再認識[J].商業時代，2004（11）：10-11.
[2]劉華婷，郭仁祥，姜浩.關聯規則挖掘Apriori算法的研究與改進[J].計算機應用與軟件，2009（01）：146-149.
[3]趙洪英，蔡樂才，李先杰.關聯規則挖掘的Apriori算法綜述[J].四川理工學院學報（自然科學版），2011（01）：66-70.
[4]張紅艷，都娟.關聯規則中Apriori算法的應用[J].數字技術與應用，2011（08）：14-15.
依據教育部頒布的《普通高中數學課程標準（實驗）》和福建省教育廳頒布的《福建省普通高中新課程數學學科教學實施指導意見（試行）》、《福建省普通高中學生學業基礎會考方案（試行）》、《2018年福建省普通高中學生學業基礎會考數學學科考試大綱（試行）》，并結合我省普通高中數學學科的教學實際情況進行命題.
二、命題原則
1．導向性原則.面向全體學生，有利于促進學生全面、和諧、健康的發展，有利于中學實施素質教育，有利于體現數學學科新課程理念，充分發揮基礎會考對普通高中數學學科教學的正確導向作用.
2．基礎性原則.突出學科基礎知識、基本技能，注重學科基本思想和方法，考查初步應用知識分析、解決問題的能力，試題難易適當，不出偏題和怪題.
3．科學性原則.試題設計必須與考試大綱要求相一致，具有較高的信度、效度.試卷結構合理，試題內容科學、嚴謹，試題文字簡潔、規范，試題答案準確、合理.
4．實踐性原則.堅持理論聯系實際，試題背景應來自學生所能理解的生活現實，符合學生所具有的數學現實和其他學科現實，貼近學生的生活實際，關注數學的應用及其與社會的聯系.
5．公平性原則.試題的考查內容、素材選取、試卷形式對每個學生而言要體現公平性，制定合理的評分標準，尊重不同的解答方式和表現形式.
三、考試目標與要求
高中畢業會考數學科考試的主要考查方面包括：中學數學基礎知識、基本技能、基本數學思想方法.
1．知識
知識是指《普通高中數學課程標準（實驗）》（以下簡稱《課程標準》）中所規定的必修課程中的數學概念、性質、法則、公式、公理、定理.
基本技能包括按照一定程序與步驟進行運算、處理數據、繪制圖表等.
對知識的要求依次是了解、理解、掌握三個層次.
（1）了解：要求對所列知識的含義有初步的、感性的認識，知道這一知識內容是什么，能按照一定的程序和步驟照樣模仿，并能（或會）在有關的問題中識別和認識它.
這一層次所涉及的主要行為動詞有了解，知道，識別，模仿等.
（2）理解：要求對所列知識內容有較深刻的理性認識，知道知識間的邏輯關系，能夠對所列知識作正確的描述說明并用數學語言表達，能夠利用所學的知識內容對有關問題進行比較、判別、討論，具備利用所學知識解決簡單問題的能力.
這一層次所涉及的主要行為動詞有：理解，描述，說明，表達，推測，想像，比較，判別，會求，會解，初步應用等.
（3）掌握：要求能夠對所列的知識內容進行推導、證明，能夠利用所學知識對問題進行分析、研究、討論，并且加以解決.
這一層次所涉及的主要行為動詞有：掌握，導出，分析，推導，證明，研究，討論，選擇，決策，運用、解決問題等.
2．能力
能力是指空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力、數據處理能力以及應用意識和創新意識.
（1）空間想象能力：能根據條件作出正確的圖形，根據圖形想象出直觀形象；能正確地分析出圖形中基本元素及其相互關系；能對圖形進行分解、組合與變形；會運用圖形與圖表等手段形象地揭示問題的本質.
（2）抽象概括能力：對具體的實例，通過抽象概括，能發現研究對象的本質屬性；并從給定的信息材料中，概括出一般性結論，同時能將其用于解決問題或作出新的判斷.
（3）推理論證能力：推理既包括演繹推理，也包括合情推理；論證方法既包括按形式劃分的演繹法和歸納法，也包括按思考方法劃分的直接證法和間接證法.應學會運用合情推理進行猜想，再運用演繹推理進行證明.會根據已知的事實和已獲得的正確數學命題，論證某一數學命題的真實性.
（4）運算求解能力：會根據法則、公式進行正確運算、變形和數據處理，能根據問題的條件尋找與設計合理、簡捷的運算途徑；能根據要求借助計算器對數據進行估計和近似計算.
（5）數據處理能力：會收集、整理、分析數據，能從大量數據中抽取對研究問題有用的信息，并作出判斷.數據處理能力主要依據統計或統計案例中的方法對數據進行整理、分析，并解決給定實際問題.
（6）應用意識：能綜合應用所學數學知識、思想和方法解決問題，包括解決相關學科、生產、生活中簡單的數學問題；能理解問題陳述的材料，并對所提供的信息資料進行歸納、整理和分類，將實際問題抽象為數學問題；能應用相關的數學方法解決問題進而加以驗證，并能用數學語言正確地表達和說明.應用的主要過程是依據現實的生活背景，提煉相關的數量關系，將現實問題轉化為數學問題，構造數學模型，并加以解決.
（7）創新意識：對新穎的信息、情境和設問，選擇有效的方法和手段收集信息，綜合與靈活地應用所學的數學知識、思想方法進行獨立思考、探索和研究，提出解決問題的思路，創造性地解決問題.
3．數學思想方法
數學思想方法是數學知識在更高層次上的抽象和概括，它蘊含在數學知識發生、發展和應用的過程中.對數學思想方法的考查是對數學知識在更高層次上的抽象和概括的考查，主要考查函數與方程思想、數形結合思想、分類與整合思想、化歸與轉化思想、特殊與一般思想、必然與或然思想等.對數學思想方法的考查要與數學知識的考查結合進行，通過數學知識的考查，反映學生對數學思想方法的理解和掌握程度.考查時，要從學科整體意義上考慮，注重通性通法，淡化特殊技巧，有效地檢測學生對中學數學知識中所蘊含的數學思想方法的掌握程度.
4．個性品質
個性品質是指學生個體的情感、態度和價值觀.要求學生具有一定的數學視野，認識數學的科學價值和人文價值，崇尚數學的理性精神，形成審慎思維的習慣，體會數學的美學意義.
四、考試內容
普通高中《數學課程標準》所規定的五個必修模塊的學習內容.具體分述如下：
（一）集合
1.集合的含義與表示
了解集合的含義，了解元素與集合的關系；能用自然語言、圖形語言、集合語言（列舉法或描述法）描述具體問題.
2.集合間的基本關系
理解集合之間包含與相等的含義；了解全集、子集、空集的含義.
3．集合的基本運算
理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集；理解補集的含義，會求給定子集的補集；會用Venn圖表達兩個簡單集合間的關系及運算.
（二）函數概念與基本初等函數Ⅰ（指數函數、對數函數、冪函數）
1.函數
了解構成函數的要素，會求一些簡單函數的定義域和值域，了解映射的概念；會根據不同的需要選擇恰當的方法(如圖象法、列表法、解析法)表示函數；了解簡單的分段函數，并能簡單應用（函數分段不超過三段）；理解函數的單調性、（小）值及其幾何意義；了解函數奇偶性的含義；會運用基本初等函數的圖象分析函數的性質.
2．指數函數
理解有理指數冪的含義，了解實數指數冪的意義，掌握有理指數冪的運算及性質；理解指數函數的概念及其單調性，掌握函數圖象通過的特殊點，會畫底數為2、3、10、 、 的指數函數的圖象；知道指數函數是一類重要的函數模型.
3. 對數函數
理解對數的概念及其運算性質，會用換底公式將一般對數轉化成自然對數或常用對數，了解對數在簡化運算中的作用；理解對數函數的概念及其單調性，掌握對數函數圖象通過的特殊點，會畫底數為2、10、 的對數函數的圖象；知道對數函數是一類重要的函數模型，知道指數函數 （ > 0,且 ≠1） 與對數函數 （ > 0,且 ≠1）互為反函數.
4. 冪函數
了解冪函數的概念；了解冪函數y= ,y= 2,y= 3, , 的圖象的變化情況.
5．函數與方程
了解函數的零點與方程根的聯系，會判斷一元二次方程實根的存在性及實根的個數；會用二分法求某些方程的近似解.
6.函數模型及其應用
了解指數函數、對數函數、冪函數的增長特征，知道直線上升、指數爆炸、對數增長等不同函數類型增長的含義；了解函數模型（如指數函數、對數函數、冪函數、分段函數等在社會生活中普遍使用的函數模型）的廣泛應用.
（三）立體幾何初步
1.空間幾何體
了解柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結構特征,會用這些特征描述現實生活中簡單物體的結構；能畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合）的三視圖，能識別上述的三視圖所表示的立體模型，會用斜二側法畫出它們的直觀圖；會用平行投影方法畫出簡單空間圖形的三圖視與直觀圖,了解空間圖形的不同表示形式；了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式.
2. 點、直線、平面之間的位置關系
理解空間直線、平面位置關系的定義，會用以下公理和定理進行推理：
公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內.
公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面.
公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.
公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行.
定理：空間中如果兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補.
以立體幾何的上述定義、公理和定理為出發點，通過直觀感知、操作確認、思辨論證，認識和理解空間中線面平行、垂直的有關性質與判定.
理解以下判定定理，并用以證明一些空間位置關系的簡單命題：
平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行.
一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行.
一條直線與一個平面內的兩條相交直線垂直，則該直線與此平面垂直.
一個平面過另一個平面的垂線，則兩個平面垂直.
掌握以下性質定理并用以證明一些空間位置關系的簡單命題：
一條直線與一個平面平行，則過該直線的任一個平面與此平面的交線與該直線平行.
兩個平面平行，則任意一個平面與這兩個平面相交所得的交線相互平行.
垂直于同一個平面的兩條直線平行.
兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直.
（四）平面解析幾何初步
1．直線與方程
掌握確定直線位置的幾何要素；理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線斜率的計算公式；能根據兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直；掌握直線方程的三種形式（點斜式、兩點式及一般式），了解斜截式與一次函數的關系；能用解方程組的方法求兩相交直線的交點坐標；掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩平行直線間的距離.
2．圓與方程
掌握確定圓的幾何要素，掌握圓的標準方程與一般方程；能根據給定直線、圓的方程，判斷直線與圓的位置關系；能根據給定兩個圓的方程判斷圓與圓的位置關系；能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題；了解用代數方法處理幾何問題的思想.
3．空間直角坐標系
了解空間直角坐標系，會用空間直角坐標刻畫點的位置；會求空間兩點間的距離.
（五）算法初步
1.算法的含義、程序框圖
了解算法的含義，了解算法的思想；理解程序框圖的三種基本邏輯結構：順序、條件分支、循環.
2. 基本算法語句
了解幾種基本算法語句——輸入語句、輸出語句、賦值語句、條件語句、循環語句的含義.
3．算法案例
了解秦九韶算法、輾轉相除法、更相減損術等算法案例.
（六）統計
1. 隨機抽樣
理解隨機抽樣；會用簡單隨機抽樣方法從總體中抽取樣本；了解分層抽樣和系統抽樣方法.
2. 用樣本估計總體
了解分布的意義和作用，能根據頻率分布表畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，了解他們各自的特點；理解樣本數據標準差的意義和作用，會計算數據標準差（不要求記憶公式）；能從樣本數據中提取基本的數字特征（如平均數、標準差），并作出合理的解釋；會用樣本的頻率分布估計總體分布，會用樣本的基本數字特征估計總體的基本數字特征，理解樣本估計總體的思想；會用隨機抽樣的基本方法和樣本估計總體的思想，解決一些簡單的實際問題.
3. 變量的相關性
會作兩個有關聯變量的數據的散點圖，并利用散點圖認識變量間的相關關系；了解最小二乘法的思想，能根據給出的線性回歸方程系數公式建立線性回歸方程（線性回歸方程系數公式不要求記憶）.
（七）概率
1. 事件與概率
了解隨機事件發生的不確定性和頻率的穩定性，了解概率的意義及頻率與概率的區別；了解兩個互斥事件的概率加法公式.
2．古典概型
理解古典概型及概率計算公式；會計算一些隨機事件的基本事件數及其發生的概率.
3．隨機數與幾何概型
了解隨機數的意義，了解幾何概型的意義，能運用模擬方法估計概率.
（八）基本初等函數Ⅱ（三角函數）
1．任意角、弧度
了解任意角的概念和弧度制的概念；能進行弧度與角度的互化.
2．三角函數
理解任意角三角函數（正弦、余弦、正切）的定義；能用單位圓中的三角函數線推導出 的正弦、余弦、正切的誘導公式及 的正弦、余弦的誘導公式；能畫出 ， ， 的圖象，了解三角函數的周期性；理解正弦函數、余弦函數在[0，2π]上的性質（如單調性、值和最小值、圖象與x軸交點等），理解正切函數在（ ）上的單調性；理解同角三角函數的基本關系式： ， ；了解函數 的物理意義，了解函數 中參數A， ， 對函數圖象變化的影響；會用三角函數解決一些簡單實際問題.
（九）平面向量
1．平面向量的實際背景及基本概念
了解向量的實際背景；理解平面向量概念和兩個向量相等的含義；理解向量的幾何表示.
2．向量的線性運算
掌握向量加、減法的運算，理解其幾何意義；掌握向量數乘運算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義；了解向量的線性運算性質及其幾何意義.
3．平面向量的基本定理及坐標表示
了解平面向量的基本定理及其意義；掌握平面向量的正交分解及其坐標表示；會用坐標表示平面向量的加法、減法與數乘運算；理解用坐標表示的平面向量共線的條件.
4．平面向量的數量積
理解平面向量數量積的含義及其物理意義；了解平面向量的數量積與向量投影的關系；掌握數量積的坐標表達式，會進行平面向量數量積的運算；會運用數量積表示兩個向量的夾角，會判斷兩個平面向量的垂直關系.
5．向量的應用
會用向量方法解決一些簡單的平面幾何問題；會用向量方法解決簡單的力學問題與其他一些實際問題.
（十）三角恒等變換
1．兩角和與差的三角函數公式
會用向量的數量積推導出兩角差的余弦公式；會用兩角差的余弦公式推導出兩角和的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內在聯系.
2．簡單的三角恒等變換
能運用上述公式進行簡單的恒等變換（包括導出積化和差、和差化積、半角公式，但不要求記憶）.
（十一）解三角形
1．正弦定理和余弦定理
掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題.
2．正弦定理和余弦定理的應用
能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題.
（十二）數列
1．數列的概念和簡單表示法
了解數列的概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖象、通項公式）；知道數列是自變量為正整數的特殊函數.
2．等差數列、等比數列
理解等差數列、等比數列的概念；掌握等差數列、等比數列的通項公式與前n項和公式；能判斷數列的等差或等比關系，并用等差數列、等比數列的有關知識解決相應的問題；了解等差數列與一次函數的關系，等比數列與指數函數的關系.
（十三）不等式
1．不等關系與一元二次不等式
了解不等式（組）的實際背景，會從實際問題的情境中抽象出不等式模型；了解一元二次不等式與相應的二次函數、一元二次方程的聯系；會解一元二次不等式.
2．二元一次不等式組與簡單線性規劃問題
會從實際情境中抽象出二元一次不等式組；了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區域表示二元一次不等式組；會從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規劃問題，并能加以解決.
3．基本不等式： （ ）
了解基本不等式的證明過程；會用基本不等式解決簡單的（小）值問題.
五、考試形式
考試采用閉卷筆試的形式，全卷100分，考試時間90分鐘.考試不使用計算器．
六、試卷結構
一、會計主體理論評述
對所有者權益性質的認定依賴于人們對會計主體性質的認定。迄今為止，所有者權益并沒有一個統一的定義，現有的定義也并沒有揭示所有者權益的本質，其根源在于人們對會計主體性質認識的差異。
(一)所有權理論評述所有權理論的基本出發點是“股東是企業的所有者”，“股東擁有企業的所有權”。所有權理論認為，所有者擁有資產和負債，資產是所有者所擁有的權利，而負債是所有者所承擔的義務，權利減去負債后的凈額便是所有者權益。所有權理論的資產負債表方程式為：資產一負債=所有者權益，其所對應的資產負債表則為報告式。
所有權理論的主要目標就是確定和分析所有者的凈財富，也就是所有權的價值。嚴格的所有權理論進一步認為，負債為“負資產”，“資產一負債”就是企業的凈資產，而所有者權益就成為“凈資產”。美國財務會計概念公告第6號《財務報表的各種要素》對所有者權益的定義是：“所有者權益或凈資產是某一個主體的資產扣除其負債的剩余部分”，這里將所有者權益等同于凈資產，可見美國財務會計準則概念公告對所有者權益的定義的依據正是所有權理論。
一般認為，所有權理論只適用于獨資和合伙這類不公開募股的公司，并不適用于公眾公司。除了股東之外，企業還有許多利益相關者，如債權人、職工、社區居民、政府等，這些利益相關者也擁有對企業的特定權益，企業主體理論正是對這種現實的反映。另外，企業的剩余索取權并不總是歸股東所有，在某些特定情況下(如企業經營不善導致資不抵債)企業的所有權將被債權人接收，剩余權益理論正是對這種現實的反映。
所有權理論將負債抽象為“負資產”，實質上將負債的義務屬性抽象掉了，負債不再是一個獨立的會計要素，而成為特定類別的“資產”；所有者權益的所有權屬性也被抽象掉了，而成為“凈資產”，成為總資產的一個部分，所有權理論實質上否定了所有權的存在，與其基本的出發點相矛盾。按照所有權理論編制的資產負債表所提供的信息只是有關資產、負資產和凈資產的信息，降低了資產負債表的信息含量，這是所有權理論最致命的缺陷。
(二)企業主體理論評述企業主體理論認為應將企業主體與所有者和其他利益相關者分離開來，企業主體是有別于供資者的一個主體，將企業視為具有獨立人格的獨立主體，這也是被法律和制度認可的事實。企業主體擁有企業的資源，負有向所有者和債權人支付的義務。相應的資產負債表方程式為：資產=權益，或者，資產：負債十所有者權益。在這一等式中，負債和所有者權益被置于相同的地位，都是企業資產的來源，其區別僅在于，債權人的權益不受其他計價項目的影響，而所有者權益則是一種剩余權益，或者說，負債是企業的特定義務，而剩余部分則是歸屬于所有者的權益。
企業主體理論將“資產”定義為歸屬于企業主體的權利，“權益”定義為資產的來源，所有者權益則是權益扣除負債后的剩余權益。企業主體理論的缺陷在于對“權益”的定義。毫無疑問，企業的資產主要來源于債權人和所有者，會計實務核算的負債和所有者權益也主要是債權人和所有者向企業投入資源形成的，但企業在生產經營過程中會形成新的資產(主要體現為資產價值的增加)，這也是企業存在的根本目的，這部分資產并不是來源于債權人和所有者的投入，這說明會計實務核算的權益并不全是“資產的來源”。另外，有許多權益項目的形成也并不是“資產的來源”，如，“應計利息”產生的原因不是債權人向企業提供了資金，而是源于企業占用了債權人的資金；“應交稅金”產生的原因也不是政府向企業提供了資產，而是企業法定的義務；“留存收益”記錄的是企業經營活動導致的所有者權益增加，而不是所有者向企業投人資產。可見，將“權益”定義為資產的來源與會計實務相矛盾。
(三)剩余權益理論評述剩余權益理論是介于所有權理論和企業主體理論之間的一種理論，其目的是為了更好地向普通股股東提供與決策有關的信息。該理論所對應的資產負債表方程式為：資產－特定權益=剩余權益。
特定權益包括債權人權益和優先股東權益。在通常情況下，優先股票既具有債權的性質又有所有者權益的性質。有些優先股票實際上具有到期日和金額，到期時必須用現金償還。這樣的優先股票與一般債權并無不同。特定權益的主要特征是它的數額通常不受資產計價程序的影響，而歸屬于普通股的權益則受到資產計價程序的影響，即要按上述資產負債表方程式來計算剩余權益。
剩余權益理論兼具所有權理論和企業主體理論缺陷。如果按所有權理論將特定權益定義為“負資產”，則剩余權益也就成為“凈資產”，資產負債表也就只能提供有關“資產”的信息。如果按企業主體理論將“特定權益”和“剩余權益”定義為“企業資產來源”，則與會計實務核算的特定權益和所有者權益相矛盾。
(四)基金理論評述基金理論將從事業務活動的單位作為會計核算的對象，這一業務活動單元的利益范圍成為基金。該理論所對應的會計等式為：資產=基金。基金可按用途分為基金項目。我國在計劃經濟時期采用了基金理論，將資產限定為流動資產、固定資產和專項資產，并為之設立了三個相對應的基金，即流動基金、固定基金和專項基金，其根本目的在于控制資產的運用，以達到專款專用。這種做法對國家直接管理企業能發揮一定的作用，但限制了企業成為一個產權清晰、權責明確、政企分開、管理科學、追逐利潤的主體。基金理論缺陷在于忽視了企業所有權的存在，也忽視了企業是一個獨立的主體，因此，基金理論所建立的會計主體并不適合于企業。
二、資產扣除負債的含義
我國會計準則對資產和負債的定義是：“資產是指企業過去的交易或者事項形成的、由企業擁有或者控制的、預期會給企業帶來經濟利益的資源；負債是指企業過去的交易或者事項形成的、預期會導致經濟利益流出企業的現時義務。”該定義所揭示出的資產的最本質特性是“資源”，負債的最本質特性是“義務”。那么，資產能扣除負債?
(一)兩個集合的扣除運算借助兩個集合的差來探討“扣除”的含義。設A和B表示兩個任意的集合，從集合A中扣除集合B的元素得到的集合稱為A和B的差集，記為A―B。集合A和B之間存在三
種可能的關系，A包含B、A與B不相交、A與B相交，如圖1所示。
從圖1可知：(1)當A包含B，A扣除B就是將集合B從集合A中扣除，剩余部分為A中沒有陰影的部分，是集合A的一個子集。(2)由于A與B不相交，集合A扣除集合B，剩余部分仍然為集合A，或者說從集合A中扣除集合B沒有產生任何實質的影響。(3)當A與B相交，集合A扣除集合B就是將兩集合相交部分從集合A中扣除，剩余部分為A中沒有陰影部分，是集合A的一個子集。由此可以看出，集合A扣除集合B剩余部分一定是集合A的一個子集，當A與B不相交時，集合A扣除集合B還是集合A本身，“扣除”沒有產生任何實際影響。
(二)資產與負債的關系用符號A表示企業的資產集合。按照資產的定義，集合A的構成元素為具備特定條件的“資源”，或者說具備“企業過去的交易或者事項形成的”、“由企業擁有或者控制的”、“預期會給企業帶來經濟利益的”這三個條件的資源構成了集合A。用符號B表示企業的負債集合。按照負債的定義，集合B的構成元素為具備特定條件的“義務”，或者說具備“企業過去的交易或者事項形成的”、“預期會導致經濟利益流出企業的”、“現時的”這三個條件的義務構成了集合B。
資源包含自然資源和社會資源兩大類，前者如陽光：空氣、水、土地、森林、草原、動物、礦藏等，后者包括人力資源、信息資源以及經過勞動創造的各種物質財富。義務的本質屬性為人與人之間的社會關系，指政治上、法律上或道義上應盡的責任。因此，資源與義務屬于完全不同的范疇，或者說，不存在既是資源又是義務的資源，也不存在既是義務又是資源的義務。進而可知，集合A和集合B的構成元素沒有相同的，也即集合A與集合B不相交，因此，集合A扣除集合B剩余部分仍然是集合A，即資產集合扣除負債集合仍然為資產集合，或者說，資產扣除負債沒有任何實際意義。
(三)資產扣除負債的特定含義“資產=負債+所有者權益”是復式記賬和編制資產負債表的基石，由該等式可以得到“資產－負債=所有者權益”。但資產負債表等式僅僅反映的是等式兩邊的價值相等，并不表示“資產”與“負債+所有者權益”性質相同。資產負債表等式可以更為準確地表述為“資產的價值=負債的價值+所有者權益的價值”，“資產－負債=所有者權益”則實質上是“資產的價值－負債的價值=所有者權益的價值”。因此，“資產－負債=所有者權益”只能用來計量所有者權益的價值，并不是對所有者權益屬性的規定。“資產扣除負債”的特定含義就是資產的價值減去負債的價值，這只是規定了所有者權益的計量方法，并不是對所有者權益的定義。
三、所有者權益定義的改進
企業主體理論將“資產”定義為歸屬于企業主體的權利，“權益”定義為資產的來源，提出的資產負債表等式為“資產=權益”。本文不贊同企業主體理論對“資產”和“權益”的定義，但接受將“資產=權益”作為資產負債表等式。筆者不贊同所有權理論將“負債”看作是“負資產”，也不贊同將所有者權益定義為“凈資產”，但接受所有者權益為“剩余權益”的觀點。以此為基礎，筆者對所有者權益會計定義進行改進。
一、注意符號的識別與記憶
例1 用適當的方法表示下列集合：（1）方程x2=1的解組成的集合；（2）不等式3x≥4-2x的解集。
錯解：（1）｛x|-1，1｝，｛x=-1或x=1｝；（2）｛x≥■｝。
集合語言主要有三種形態，即自然語言、符號語言和圖形語言。平時的數學表達更多的是使用符號語言。表示集合的方法，課本上介紹了列舉法和描述法。例1兩小題的錯因是學生把兩種表示方法混淆了，同時用描述法和列舉法來表示集合。筆者建議在教學中多強調兩種表示法的特點和適用條件，多讓學生練習體會它們的區別。
例2 用適當的方法表示下列集合：（1）一次函數y=x+3與y=-2x+6的圖象的交點組成的集合；（2）二次函數y=x2-4的函數值組成的集合。
錯解：（1）｛1，4｝；（2）｛（x，y）|y=x2-4｝。
高中數學主要涉及的集合有兩類：數集和平面點集。例2兩小題的錯因是學生沒有弄清楚集合的元素是什么：（1）表示兩個數1和4組成的集合；（2）表示二次函數y=x2-4圖象上的點組成的集合，與題目要求不符。列舉法表示數集和平面點集的區別在于集合元素是數還是點，或者看看每個元素之間有沒有用括號隔開；描述法表示數集和平面點集的區別是豎線前面的元素符號是數還是點。
符號語言是一種高度抽象的人工符號系統，因此它常常成為數學教學的難點。正確理解集合符號語言的前提是對集合符號能正確地識別和記憶。筆者建議廣大教師重視數學符號語言的教學，組織學生對一些符號進行辨析、識別和記憶，同時加強訓練，加深學生對符號的理解和記憶。
二、注意空集?芰的概念和性質
例3 用正確的符號填空：（1）?芰_________｛0｝；（2）0________?芰；（3）?芰_________｛?芰｝。
錯解：（1）=；（2）∈；（3）=。
空集是不含任何元素的集合，記為?芰。例3中（1）（2）兩題的錯因是學生把空集概念中“沒有”元素中的沒有和0表示“沒有”的意思混淆了；（3）的錯因是學生前面接觸的集合都要加｛｝，所以誤以為所有的集合都要加｛｝。實際上｛?芰｝可以理解為有一個元素是?芰的集合。筆者建議在教學中可以把不用加｛｝就表示集合的符號羅列一下（如：?芰，N，Z，Q，R），方便學生記憶。
例4 已知集合A=｛x|a+1＜x＜2a｝，B=｛x|x＜4｝，若A?哿B，求a取值范圍。
錯解：A?哿B，2a≤4，a≤2。
空集是一個特殊且重要的集合，所以它有一些獨特的性質：1.對任意的集合A，有A∩?芰=?芰；2.對任意的集合A，有A∪?芰=A；3.空集是任何集合A的子集，即?芰?哿A。例4的錯因是忽視了空集的第三個性質。所以這題要分A=?芰和A≠?芰兩種情況討論。
三、注意臨界點的取舍
例5 已知集合A=｛x|-2＜x≤4｝，B=｛x|x＜a｝，若A?哿B，求實數a取值范圍。
■
錯解：a≤4。
臨界點的討論一直是含參問題的難點。例5的錯因是學生誤以為字母a取到等號集合B就含有4這個元素。實際上集合B是否含有4這個元素主要是看x＜a中不等號是否有等號。筆者建議引導學生單獨考慮臨界點的等號，把取等號時兩個集合的情況寫出來，對照條件是否滿足，再進行最后的取舍。
例6 若全集U=｛x|x≥-3｝，A=｛x|x＞1|｝，則?奩UA=__________。
■
錯解：?奩UA=｛x|-3＜x＜1｝。
集合運算中臨界點的取舍是考試考查的重點。例6的錯因是學生沒有理解補集的概念。筆者建議在講解補集概念時，重點突出補集中元素的兩個特點：1.在全集U中；2.不在集合A中。在解題過程中可以運用補集的兩個性質：（?奩UA）∩A=?芰和（?奩UA）∪A=U對結果進行檢驗，這樣就知道臨界點是否可以取到。
四、注意新定義集合的理解和運算
例7 設集合S=｛0，1，2，3，4，5｝，A是S的子集，當x∈A時，若有x-1?埸A且x+1?埸A，則稱x是A的一個“孤立元素”；如果A中含有4個元素，且沒有“孤立元素”，則這樣的集合有_________。
錯解：｛0，1，2，3｝；｛1，2，3，4｝；｛2，3，4，5｝。
例7 的錯因是學生沒有正確理解“孤立元素”的含義。本題轉化為學生容易理解的內容是：不含“孤立元素”是指集合A中每個元素的前一個或后一個數也在A中。而不是指集合A中元素必須全部相鄰。
【關鍵詞】集合；子集；特征函數；包含與排除
為了證明本原理的定理，我們事先要做一些引導，我們討論一個有限或無窮的集合U.U的子集A的特征函數A（x）是U中變元x的函數.根據x屬于或不屬于A定義
A（x）=1或0.
U的特征函數為常數1（因此U也表示單位數），空集的特征函數是常數0，U的子集A，B，C，…的特征函數分別用A（x），B（x），C（x），…表示，如果不致發生誤解的話，也可以把A（x），B（x），C（x），…簡寫成A，B，C，…即用同樣的符號表示U的子集和它的特征函數.
A是B的一個子集的充要條件是對所有x成立A（x）≤B（x）或簡寫成A≤B.
如果U是一個有限集，那么子集A中元素的個數是∑A（x），其中和式取遍U中所有元素.
定理1 設有N個對象，令Nα，Nβ，…，Nμ，Nλ分別表示這些對象中具有某種性質α，β，…，μ和λ的對象的個數.類似的，令Nαβ，Nαγ，…，Nαβλ，…，Nαβγ…μλ分別表示同時具有性質α和β，α和γ，…，α，β和γ，…，α，β，γ，…，μ和λ的對象的個數.那么不具有性質α，β，γ，…，μ，λ中任一性質的對象個數N0等于
N-Nα-Nβ-Nγ-…-Nμ-Nλ+Nαβ+Nαγ+…+ Nμλ-Nαβλ-…±Nαβγ…μλ.
證明 設A，B，C，…分別為具有性質α，β，γ…的對象所組成的子集，則A，B，C，…的余集的交集表示不具有性質α，β，γ…中的任何一個性質的對象所組成的集合.我們需要找出它所含元素的個數，令N0是它所含元素的個數，N是對象的個數，其他Nα，Nβ，…的含義同定理.由上可得A，B，C，…的余集的交集的特征函數是：
（1-A）（1-B）（1-C）…=1-A-B-C-…+AB+AC+BC+…-ABC-…
所以它的元素個數N0等于
∑[（1-A）（1-B）（1-C）…]= ∑1-∑A-∑B-∑C-…+∑（AB）+∑（AC）+∑（BC）+…-
∑（ABC）-…= N-Nα-Nβ- Nγ-…+Nαβ+Nαγ+ Nβγ-…-Nαβγ-….
即求出所需求元素的個數，定理即證.
定理2 假定有N個對象，像在定理1中那樣，它們能夠具有性質α，β，…，μ，λ，給每個對象帶上一個權數.用Wα表示具有性質α的所有對象所帶的權數總值（那些對象所帶權數數值的和），用Wβ表示具有性質β的所有對象所帶的權數總值等等.類似的，令Wαβ，Wαγ，…，Wαβλ，…，Wαβγ…μλ分別表示同時具有性質α和β，α和γ，…，α，β和γ，…，α，β，γ，…，μ和λ的對象所帶權數總值.如果W是所有對象所帶的權數總值，那么不具有性質α，β，γ，…，μ，λ中任一性質的那些對象所帶的權數總值等于W-Wα-Wβ-Wγ-…-Wμ-Wλ+Wαβ+Wαγ+…+ Wμλ- Wαβλ-…±Wαβγ…μλ.
證明 設A，B，C，…分別為具有性質α，β，γ，…的對象所組成的子集，則不具有性質α，β，γ，…中的任何一個性質的對象所組成的集合是A，B，C，…的余集的交集，則有∑xA是具有性質α的所有對象的權數總值，類似的∑xB表示具有性質β的所有對象的權數總值……我們需要找出A，B，C，…的余集的交集中對象所帶的權數總值，由此可得，它的特征函數是：
（1-A）（1-B）（1-C）…=1-A-B-C-…+AB+AC+BC+…-ABC-….
那么，不具有性質α，β，γ，…中任一性質的那些對象所帶的權數總值W0等于
a+b+c+…+k+l-min（a，b）-min（a，c）-…-min（k，l）+min（a，b，c）+…±min（a，b，c，…，k，l）.
證 令N=max（a，b，c，…，k，l）.當N=0時，結論顯然成立.當N>0時，將數1，2，…，N看作對象，并對它們應用定理1.如果一個數≤a，則稱該數具有性質α，若≤b，則稱具有性質β，等等，既沒有性質α也沒有性質β…的對象的個數顯然等于0.于是
N-[a+b+c+…+k+l-min（a，b）-min（a，c）-…-min（k，l）+min（a，b，c）+…±min（a，b，c，…，k，l）]=0，即證.
在這里我們從集合的角度，證明了包含與排除原理的兩個定理，其中定理2是定理1的推廣，而定理1是定理2的特殊情況.并通過例題對所證明的定理進行了應用，在實際的運用過程中通常應用定理2即可.
【參考文獻】
[1]劉玉翹，陳漢卿.集合初步知識[M].天津：天津科學技術出版社，1980.
[2]同濟大學數學系.高等數學.高等教育出版社，2007.
目前現有的針對煙草營銷策略的研究，多采用數據挖掘的思想，基于數據挖掘的營銷策略是對終端客戶進行分類，根據用戶的銷量和誠信記錄把用戶分為多個等級，但這種分級策略只能反應用戶的銷量信息，把這個分類作為營銷策略依據太單薄，只能起一定的輔助作用。更深入地研究是根據客戶的資料和歷史訂單數據對現有商戶進行聚類，獲取到自主的商戶分類，但盲目的聚類會導致商戶的分類沒有實際意義，或獲取的結果是無助于營銷目的的。
2技術關鍵
本系統采用基于營銷目的的商戶聚類，技術關鍵包括三部分內容：數據預處理中的特征選擇、基于限制目標的商戶精確聚類和基于聚類結果的多層關聯規則算法的研究。
2.1特征選擇
假定獲取的數據的維數為n，通常情況下n是很大的一個數，為簡化模型，也為了防止模型陷入過擬合（維數災難），需要進行降維處理，即僅把對項目改造判定起關鍵作用的因素挑選出來。本系統采用PCA算法來進行降維處理，過程如下：
1)計算標準化后的矩陣Z的樣本的協方差矩陣Cov；
2)計算協方差矩陣Cov的本征向量e1,e2,…,en的本征值。本征值按大到小排序；
3)投影數據
到本征矢張成的空間之中，利用貢獻分析取前m個向量Y1,Y2,…,Ym。
2.2基于營銷目標限制的商戶精確聚類算法
現有聚類算法一般沒有約束條件，只根據相似度來進行聚類，為了能夠體現約束條件，需要在聚類相似度或者樣本距離之間把限制條件增加進去，這樣在樣本聚類的時候即可使得具有相同營銷特性的樣本或者客戶被劃分到同一個類中。煙草終端商戶的大部分屬性是分類屬性，例如：地區、類別等，此外還有數字型屬性、日期型屬性，由于存在不同類型的屬性，常規的聚類算法無法使用，為此，采用把數字屬性和日期屬性劃分區間的思路，這樣可以轉化成分類屬性的方式來進行聚類。進而可建立如下商戶模型：分類對象X∈Ω，X=[A1=x1]∧[A2=x2]∧…∧[Am=xm]，其中xj∈DOM(Aj)，1≤j≤m，為簡便起見，將對象X∈Ω用向量（x1,x2,…,xm）表達，如果屬性Aj的值不存在，則Aj=ε。令Χ={X1,X2,…,Xn}為n個分類對象的集合，用集合方式表達分類對象，則Xi={xi,1,xi,2,…,xi,m}，如果屬性Aj的值不存在，則集合中不出現xi,j，容易得到|Xi|≤m。如果存在Xi,j=Xk,j，1≤j≤m，則Xi=Xk。為方便聚類，利用聚類匯總來壓縮原始數據，從而達到提高算法效率的目的。一個類C可以由如下三元組（n,I,S）來表示。其中n為類C中的對象數量，I={i1,i2,…,iu}是C內所有屬性值的集合，S={s1,s2,…,su}，其中sj為ij在類C中的數量，ij∈I，1≤j≤u。集合S按升序排列，即s1≤s2≤…≤su，這同時也暗示集合I的元素按其在C中的數量按升序排列。三元組（n,I,S）被稱作類C的聚類匯總CS，CS的三個成員分別記作CS.n、CS.I和CS.S；對于CS.I的任一元素ij∈CS.I，則記作CS.I.ij，對于sj∈CS.S，則記作CS.S.sj，其中1≤j≤u。
2.3基于煙草營銷的多層關聯規則的研究
針對本項目，對關聯規則定義進行擴展，對形如：XY的關聯規則，不再限定X和Y為一個項目集，而把X和Y定義為條件的合取范式，每個條件Ai=True/False為布爾表達式。此時的Ai為一個項目集，它的含義與原來的X和Y的含義相同，如果把結果中的條件布爾表達式寫成Cj=True/False，則關聯規則有如下形式：（A1=True/False）∧（A2=True/False）∧…∧（An=True/False）（C1=True/False）∧（C2=True/False）∧…∧（Cm=True/False）關聯規則的開采問題可以分解成以下兩個子問題：
①從數據集合或交易集合D中發現所有的頻繁項目集。
②從頻繁項目集中生成所有置信度不小于用戶定義的最小置信度minconf的關聯規則。即對任一個頻繁項目集F和F的所有非空真子集S，SF，如果sup（F）/sup（F－S）≥minconf，則（F－S）S就是一條有效的關聯規則。按上述方法發現所有類似的規則。這兩個步驟中第2步要相對容易，因此項目的研究將更關注第1步，由于最大頻繁項目集已經隱含了所有頻繁項目集，所以可以把發現頻繁項目集的問題轉化為發現最大頻繁項目集的問題。針對煙草營銷的客戶，進行關聯規則挖掘時，是在上一步的基礎上，即針對每一個商戶群進行規則挖掘。在獲取到最大頻繁項目集后，順序生成頻繁項目集，然后獲取到可用的關聯規則。此時獲取的關聯規則是底層關聯規則，然后再采用概念樹的方法對獲取的底層關聯規則進行匯總。概念樹由煙草領域專家根據屬性的領域知識提供，按特定屬性的概念層次從一般到具體排序。樹的根結點是用any表示最一般的概念，葉結點是最具體的概念即屬性的具體值。
一、思考“本質屬性”
對“學什么”這一問題的思考，實際上就是對學生“學習目標（Objective）”的確定過程。如果把學生視為學習的主體，那么這樣的學習目標相對于學生來說就具有客觀性，是課程編制者或者教師對學生應當“學什么”的期望（Expectation）。對“怎樣學”的思考，首先是將學習目標轉變為學生應當執行并完成的學習任務（Task），之后是思考學生為完成任務所需要經歷的學習活動（Activity）。對“學什么”和“怎樣學”這兩個問題的思考并不是截然分開的，二者的思考應當是融合在一起，并且都要基于對所學知識點及其認識過程本質屬性的認識。
比如“平行四邊形的面積”，[2]這一知識點反映的是一個平行四邊形面積的大小與這個平行四邊形內部元素（底邊長度和高的長度）之間相互依賴與制約的關系，其本質屬性是對客觀規律的描述，此類知識的特點相對于學習者來說具有“確定性”，不依人的意志為轉移。認識這種知識的基本方法是“發現（Discover）”，也就是通過觀察并比較諸多不同對象，從中發現共性，這樣的共性就成為了具有一定普遍意義的規律。
數學課程中另外一類知識其本質屬性是人的“發明（Invention）”，這一類知識通常是依賴于人的主觀“需求（Need）”而出現的。以分數為例，這種“需求”至少表現在三個方面。從語言的視角看，當表達數量關系的時候，同一種數量關系通常會有兩種說法，這兩種說法往往是“雙向同義”的。如果說“甲的收入比乙的收入多100元”，就會有反過來并且意義相同的說法，即“乙的收入比甲的收入少100元”。如果說“甲的收入是乙的3倍”，需要反過來并且要求意義相同的說法，那么沒有分數，這樣的說法就難以實現。有了分數，就可以說“乙的收入是甲收入的三分之一”，從而實現了“雙向同義”的語言描述。
歷史上人們對分數的“需求”還表現在“量（Magnitude）”的測量方面。在沒有度量單位的時候，人們對量與量之間的比較通常都是“用小量大”，當出現“量不盡”的情況時，就“用余量小”，如此反復，量盡為止。比如圖1兩條線段分別表示量A和量B，其中A是較大的量。
量A：― ― ― ― ― ―
量B：―――
圖1 量的比較示意圖
如果需要了解并且表達兩個量之間關系的時候，人們首先就會用較小的量B去與較大的量A重疊測量，目的是為了知道幾次量盡，從而就可以知道量A中包含了幾個量B。但是測量過程中經常出現量不盡的情況，也就是有剩余的情況出現。（見圖2）
量A：
量B：
圖2 “量不盡”示意圖
圖2中用量B測量量A重疊2次后，出現了小于量B的剩余量C，這時候人們通常會用剩余的量C反過來去與量B重疊測量，如果仍然量不盡，就繼續重復這一“用余量小”的過程。圖2用C量B的結果恰好三次量盡。這時候就需要用數來描述量A與量B之間的關系，此時僅有整數就不夠了，有了分數就可以說“A是B的2（或者）”，也可以說“B是A的”。用“比”的語言說就是A與B的比是7∶3，或者B與A的比是3∶7。
數學家對分數的“需求”還表現為對除法運算“封閉”的愿望。在整數范圍內，兩個整數相除，可能得不到整數的結果，這種情況就叫作“整數集合對除法運算不封閉”，也就是整數集合內兩個元素的運算結果跑到了整數集合的外面了。因此需要擴大整數集合的范圍，把分數合并到整數集合中來，由此形成了數學中的有理數集合，在這個集合中除法運算就能保證封閉了，即任何兩個有理數相除的結果一定還是有理數。
“發現”的知識與“發明”的知識屬性不同，當然學習的方式也就有了差異。發現的過程核心環節是“觀察與比較”，發明的過程重在“需求與創造”。針對不同屬性的知識，備課中就要思考如何為學生設計學習任務和學習活動。
二、如何設計“發現”的過程
對客觀規律的認識至少應當包括兩個方面。首先應當是定性的認識，比如對于“平行四邊形面積”來說，應當認識無論什么樣的平行四邊形，其面積的大小都受制于底邊長度和高的長度；在定性認識的基礎上，就可以有定量的認識，即面積的大小等于底邊與高的乘積。針對定性的認識，需要觀察并且比較不同的平行四邊形，在不同中發現共性，也就是所有平行四邊形面積的大小都受制于底邊長度和高的長度；而對于定量的認識，也就是平行四邊形的面積等于底邊與高的乘積，需要觀察平行四邊形與面積相等的長方形之間的關系而得到。如果把長方形視為特殊的平行四邊形，那么就可以將定性的認識與定量的認識合為一體，把學習目標確定為“發現平行四邊形面積的大小與底邊和高的關系”。
既然這一學習目標的實現依賴于觀察與比較，那么教師在備課中需要思考的就是如何設計能夠溝通學習目標及觀察與比較活動之間聯系的學習任務。這種任務的設計是否有效，取決于兩個前提，第一是觀察者為什么需要觀察，也就是要為學生提供觀察的理由，這種理由可以使得學生具有觀察的動機；第二是觀察什么，也即需要為學生提供觀察對象以及思考方向。學習任務的敘述可以是以問題的形式出現的，不妨稱之為“問題型”任務。比如針對學習目標“發現平行四邊形面積的大小與底邊及高的關系”，可以設計如下的問題型任務：“下面是三組平行四邊形，每一組中兩個平行四邊形面積是否相等？你是怎么得到結論的？”
圖3 平行四邊形面積比較圖
第一組中兩個平行四邊形的底邊長度不相等，但是高的長度相等；第二組中兩個平行四邊形的底邊長度相等，但是高的長度不相等；第三組中兩個平行四邊形的底邊長度相等，同時高的長度也相等。為了回答這樣兩個問題，學生可能的學習活動有用眼睛“看”，看不出來還可以用尺子“量”，當然也可以用剪刀把兩個平行四邊形“剪”下來重疊在一起“看”。所有的活動都是針對“是否相等”以及“為什么”這樣兩個問題，因此活動就不是盲目的，而是有目的的，活動的目的性使得學生具有了參與活動的動機。同時，教師為學生提供的三組圖形相當于為學生的觀察提供了對象。通過活動最終期望學生發現平行四邊形面積的大小與底邊以及高有關。
學習任務的敘述還可以是“指令性”的，就是指明要求學生做什么。比如在前面任務已經完成的基礎上，為了能夠發現平行四邊形面積公式，可以給學生布置如下任務：“在方格紙上畫出一個長方形，再畫出一個與長方形面積相等的平行四邊形，和你的同伴說說你的畫法。”學生依據前面觀察的經驗，在畫圖過程中自然而然地就會把平行四邊形的底和高與長方形的長和寬建立起聯系。在以上學習活動的基礎上，最后可以通過布置指令性任務：“請自己總結出計算平行四邊形的面積公式，將你的結論寫出來。”通過以上三項任務，學生經歷一系列以觀察與比較為核心的學習活動，就應當可以達成“發現平行四邊形面積的大小與底邊和高的關系”這一學習目標。
三、“發明”的過程需要經歷
對于“發明”的知識，認識的核心環節是感受需求，并且經歷自主發明的過程。以分數為例，分數的學習包括分數概念的形成與語言表述、分數之間的相等與不等關系、分數的運算以及分數與除法和比的關系等內容，這些內容需要一個螺旋上升的學習過程。如果把分數的本質屬性定位于語言，那么其學習過程就應當遵循語言學習的規律。語言通常是按照“先聽說，后讀寫”的順序進行學習的。通過“聽說”可以感受到分數的存在以及分數概念的含義，通過“讀寫”讓學生經歷“發明”的過程，感受數學中文字語言、圖形語言以及符號語言之間的相互關系。學習分數之初，首先應當讓學生感受到對分數的“需求”，體現“讓知識因需要而產生”的教學原則。因此小學三年級“分數初步認識”的學習目標可以確定為如下三個：感受分數在語言中的存在及其必要性；經歷分數符號從“多樣”到“統一”的發明過程；了解分數的含義。
針對第一個學習目標，可以設計如下的學習任務：“鐘表上表示的時間是‘7點半’，思考其中的‘半’是什么意思？與同伴交流自己的想法。”（見圖4）
圖4 鐘表示意圖
學生在執行并完成這一任務的過程中，自然要思考和交流分針轉動一圈與半圈的關系，或者時針轉動一格與半格之間的關系。這種思考與交流一方面感受到二分之一的現實存在，同時也能初步感受到分數用于描述局部與整體關系的含義。類似的任務還可以設計為如下的形式。
將一張長方形紙對折，折痕將整張紙平均分成了兩部分。這兩部分的大小是什么關系？用盡可能多的語言說說其中一部分的大小與整張紙之間的關系。
用盡可能多的語言說說“10元錢”與“2元錢”之間的關系。
這樣的任務可以啟發學生在思考和交流的過程中，溝通描述數量關系的多種語言之間的聯系。比如關于“10元錢”與“2元錢”之間的關系，學生可能利用先前熟悉的描述加減關系的語言，說出：“10元比2元多8元”和“2元比10元少8元”。學生還可能利用二年級學習過的“倍的認識”說：“5個2元等于10元”或者“10元是2元的5倍”，此時恰好說明需要一種與之相反的說法：“2元是10元的五分之一”，“五分之一”自然而然地因需要而產生了。
通過“聽說”初步感受分數的含義后，就需要用符號來表示分數。符號作為一種數學的語言，具有“人造（Artificial）”的特點，其發生與發展必然是從“多樣”走向“統一”的過程。如果把分數的符號表示方法直接告知學生，表面看省時省力，但失去的是學生經歷發明符號的思考過程。為了讓學生經歷這種“發明”的思考過程，針對第二個學習目標，可以設計這樣的學習任務：“你認為應當用什么樣的符號表示二分之一？向同伴介紹你的發明。”在北京小學萬年花城分校“變教為學教學改革實驗”的課堂中，發現學生依據這個任務開展活動后，的確出現了“多樣”的符號表達。（見圖5）
圖5 學生分數符號表達
在這些符號表達中，學生運用斜線、橫線、逗號等多種方式表達“分”的含義。而且還發現許多學生在寫“二分之一”的符號時，喜歡將2寫在左側或者上面。這實際上反映出平時習慣的閱讀和書寫順序（從左向右，自上而下）對學生認識分數的符號是有影響的。分數“二分之一”的讀法是“先2后1”，因此學生書寫也是這樣的順序。
在學生“多樣”的發明充分交流和展示之后，教師可以補充一個學習任務：“同一個二分之一出現了這么多不同的符號，行嗎？應當怎么辦呢？”補充這個任務的目的在于引發學生思考，分數符號作為一種數學語言，其重要作用是用于交流，多樣化會帶來交流的困難，因此需要統一，統一的目的是讓所有人看到后都能夠知道其確定的含義。
在這兩個任務之后，為了進一步溝通不同語言之間的聯系，深化對分數含義的理解，可以再為學生布置一個任務：“舉個例子說明的意思，在小組內交流不同的想法。”學生可以通過畫圖、折紙、講故事等多樣化的活動完成這個任務，在完成任務的過程中自然會加深對分數含義的理解。
如果時間允許，還可以設計數學與其他學科溝通聯系的學習任務。比如中國傳統文化中成語和詩詞的學習通常是語文課程中的內容，如果引入到數學課程的教學中，一方面可以溝通不同學科知識之間的聯系，同時也能夠激發學生學習數學的興趣，感受到數學學習的現實意義。在前面已經初步認識分數之后，可以利用成語“半斤八兩”設計如下的學習任務：“中國古代用‘斤’和‘兩’作為重量單位，16兩為1斤。古代成語中有‘半斤八兩’的說法，請你用今天學習的知識描述這個成語的意思。”這個任務的思考討論實際上已經滲透了六年級將要學習的“正比例”的知識。如果把“斤”和“兩”看作兩類不同的量，那么其相互依賴的關系可以從表1中明顯看出。
類似的成語還有“事半功倍”與“事倍功半”等。中國古代詩詞中也有蘊含著分數含義的。比如明代詩人杜庠的題為“岳陽樓”的詩：“茫茫雪浪帶煙蕪，天與西湖作畫圖。樓外十分風景好，一分山色九分湖。”洞庭湖是湖南省和湖北省的分界，岳陽樓位于洞庭湖畔湖南省一側，在樓中能夠遠眺君山。“樓外十分風景好，一分山色九分湖”可以用分數的語言描述為，把樓外的風景看作10，那么山景占了其中的，水景占了，描繪出了近大遠小的視覺效果。
“變教為學”教學改革期望的是學生“自由、自主、自信”地開展學習活動，為此就需要教師在備課中準確把握知識的本質屬性，合理設置學習目標。在此基礎上，“把目標變成任務、把知識變成問題、把方法變成活動”，讓學生在課堂學習活動中“愛做、能做、善做”。所謂“愛做”就是學生對于執行學習任務具有積極性和主動性，也就是所謂內在的動機（Motivation），讓學習活動成為學生“自覺自愿”的主動活動，而不是“被逼無奈”的被動活動；所謂“能做”是期望每位學生都能夠明白自己應當做什么和怎樣做，而不是“部分人做，其他人陪”；所謂“善做”指的是每位學生都有做好的愿望，活動過程中有機會向同伴學習，也有機會與同伴分享自己的想法。真正做到“每位學生都有活動，每位學生都有機會”。
參考文獻：
[1]郜舒竹.“變教為學”從哪兒做起[J].教學月刊小學版（數學），2013（9）.
關鍵詞：數困生；教學設計；轉化
據研究，高中“數困生”很多不是真正意義上的數學學習困難生，他們在初中時大都有著良好的數學基礎，也有著良好的智能開發，他們或是由于從初中到高中教學方法的不適應，或是由于經過幾次考試失敗而喪失了學習信心，或是存在大量沒有攻克的學習難點等各種原因才造成了暫時的學習困難，因此，在教學時設計適合學生發展水平的教學過程和教學方式，轉化進而避免“數困生”是完全可以實現的. 本文就筆者多年教學經驗，談一些體會，供參考.
[?] 設計生動的問題情境，激發“數困生”學習興趣
在課堂教學中設計一些生動的問題情境，不僅能夠在較短的時間內吸引“數困生”的注意力，不讓其思維游離在課堂之外，而且能誘發強烈的參與動機，加速思維的運轉.
案例1必修2 “平面的基本性質”教學中，“直線”、“平面”等概念是幾何學所研究的最為初始的對象，在公理系統中對于這類初始事物的概念，不給予定義，只是予以描述. 因此，學生理解起來有些困難，“數困生”更加會覺得這部分內容抽象，難理解，教師可設置一系列的情境并提出相應問題，通過學生活動，幫助“數困生”進行感知和理解.
情境1 平靜的水面、廣闊的平原、平坦的足球場地、平滑的桌面、黑板的表面等.
情境2 棱柱的底面、圓柱和圓臺的底面.
圖1
問題1 這些事物給我們一種怎樣的形象？
問題2 平面有什么樣的特征？
問題3 我們可以通過怎樣的方式形成平面？
情境3 電腦演示課件，如圖2.
[l][平移]
圖2
通過觀察、歸納、抽象出平面的基本特征：平坦，沒有厚薄，是無限延展的，從而描述出平面的概念.
問題4 可以用怎樣的數學語言描述上述事物？
問題5 直線可以看成是以點為元素的集合，那么平面是否可視為點構成的集合？可以用怎樣的數學符號表示點、直線與平面之間的關系？
通過這些問題情境的設置，“數困生”就很容易理解平面的相關概念和表示方法. 再比如，在講等比數列時，可用古印度“國際象棋的傳說”、生物學中的“細胞分裂問題”及實際生活中的一些情境問題導入課題，這樣既激活了課堂氣氛，又讓學生體會到數列在實際生活中有著廣泛的應用，從而提高學生學習的興趣.
當然，教師在設置情境、提出問題時的注意點是起點要低、入口要寬，如此才能讓“數困生”能夠順利產生思維著力點，努力想出解決問題的方法，從而使所激發的解決問題的熱情為后面的問題解決起到良好的慣性作用，即使遇到一點挫折，他們也會努力去克服.
[?] 設計豐富的學生活動，增加“數困生”數學體驗
著名教育家蘇霍姆林斯基說過：“讓學生體驗到一種自己在親身參與掌握知識的情感，乃是喚起少年特有的對知識的興趣的重要條件. 當一個人不僅在認識世界，而且在認識自我的時候，就能形成興趣. 沒有這種自我肯定的體驗，就不可能有對知識的真正的興趣.”據觀察，“數困生”大多都是數學課堂活動的旁觀者，真正參與的很少. 教師可以根據教學內容，設定一些有趣的學生活動，增加他們數學學習的體驗，這樣既激發了他們的學習興趣，又調動了學習的積極性.
案例2必修3 “隨機事件及其概率”教學中，講解完必然事件、隨機事件、不可能事件之后，設計了學生自己動手拋硬幣的實驗，以期幫助學生形成隨機事件概率的定義. 為了使每個人都有機會參與到實驗中去，小組成員責任要具體化，如某小組的分工如下：
[第X小組分工＼&操作員＼&負責拋硬幣＼&觀察員＼&負責觀察硬幣的正反面＼&記錄員＼&負責記錄硬幣出現正面的次數＼&總結人＼&根據觀察到的現象總結并匯報實驗結果＼&]
此外，還可以根據需要設置其他角色，如檢查者：學習委員或者數學課代表負責糾正別人在解釋或者總結中的錯誤；聯絡員：負責小組與老師之間的聯絡與溝通等. 最后由每組的總結人匯報實驗結果，并輸入EXCEL電子表格計算頻率.
在試驗的過程中，學生發現規律：當實驗次數越多的時候，出現正面朝上的頻率值接近于常數0.5，并在其附近擺動.再由學生自由討論交流這個常數是什么？此時教師提出新的問題：“我們可以如何定義概率呢？”經過學生討論后得出概率的統計定義，這是本節課的重點，也是理解“概率”定義的難點.讓學生動手做實驗，主要是為了讓所有的學生都參與其中，經過觀察，在這個過程中，“數困生”確實也能積極地、興致盎然地進行拋硬幣的實驗.
當然，課堂活動的設計要有較強的可操作性，時間安排要合理，難易程度要控制好，此外，還要考慮所有學生（特別是“數困生”）的知識水平和接受能力，教師的課堂活動指令應清晰明了，從而使“數困生”能理解并積極參與到課堂活動中，培養他們的合作意識，增加他們的數學體驗.
[?] 設計多樣的例題變式，培養“數困生”的解題能力
有部分“數困生”的學習態度端正，但是考試成績較差. 他們在課堂上能夠聽懂，但是當他們自己獨立解題時就束手無策，這說明這部分學生不會靈活應用知識，解題能力欠缺，這需要教師對教學內容進行精心設計從而提高他們的解題能力. 在教學中，教師要精講精練，抓住典型例題，進行遷移、加深、拓展、創新，進行變式訓練，從而加深“數困生”對所學知識的理解并舉一反三，增強思維能力.
案例3必修5 “基本不等式”教學中，在學習了基本不等式的公式之后，可設計如下例題及對應的變式：
例題 已知+=2（x>0，y>0），求xy的最小值.
變式1 已知3x+5y-2xy=0，x>0，y>0，求xy和x+y的最小值.
變式2 已知y=loga（x+3）-1（a>0且a≠1）的圖象恒過點A，且點A在直線mx+ny+1=0上，求+的最小值.
變式3 已知a>0，b>0，是3a與3b的等比數列，求+的最小值.
變式4 若直線ax+2by-2=0（a>0，b>0）始終平分圓x2+y2-4x-2y-8=0的周長，求+的最小值.
變式5 已知a，b都是正實數，且滿足log9（9a+b）=log3，求4a+b的最小值.
以上變式題從形式上看分別考查了函數、直線、圓、等比數列的有關知識，但是其內在本質都是基本不等式的應用，教師通過這些變式，引導“數困生”尋求解決方法，并讓他們感悟它們之間的內在聯系，形成數學思想方法. 通過一個題，掌握一類題，以點帶面，這樣可以使“數困生”覺得原來數學并沒有那么難學，很多時候只是披了一件華麗的外衣，關鍵要抓住本質，多角度、全方位地去考慮問題.這樣的教學有助于“數困生”增強學習數學的信心，提高分析問題和解決問題的能力.
[?] 設計恰當的教學環節，幫助“數困生”克服難點
教學實踐中發現“數困生”總是在某個知識點上屢次犯同樣的錯誤，這里固然有他們自己不求甚解的原因，但也有教師的原因，那就是在講解過程中為了教學進度無暇顧及“數困生”，造成知識點的講解不容易讓“數困生”理解. 因此，進行詳細、細致的錯題分析是非常有效地幫助學生突破知識難點的手段.
案例4 在必修1“集合的含義及其表示”的教學中，筆者注意到學生經常會出現如下錯誤：
題1 {x
x+1=0}=______；學生的錯解：答案是{x=-1}. 分析：題目中的x是指方程x+1=0的解，是一個以數為元素的集合，而答案是用列舉法表示的以表達式x=-1為元素的集合，其本質發生了改變. 錯誤原因是不了解集合中描述法的含義，正確答案是{-1}.
題2 已知M={x
2x2-5x-3=0}，N={x
mx=1}，若N?M，求實數m組成的集合P. 學生的錯解：M=
x
3，-
. 分析：混淆了集合表示的兩種方法，即不是描述法，也不是列舉法，是個四不像，有的學生由N?M，得出N={3}或N=
-
，漏掉了N= 的情況，錯誤原因是沒有理解空集是任何集合的子集的含義.
題3 已知A={x
x=3n+1，n∈Z}，B={x
x=3n+2，n∈Z}，C={x
x=6n+3，n∈Z}. 若c∈C，則是否存在a∈A，b∈B，使c=a+b？
學生錯解：設a=3n+1，b=3n+2，則c=a+b=6n+3∈C，故若c∈C，一定存在a∈A，b∈B，使c=a+b成立. 分析：集合A、B中的n不一定是同一個數，它只是表示整數；另外題中是由c∈C，問是否存在a∈A，b∈B，使c=a+b？而上述解法中是先取了a∈A，b∈B，推出c∈C，題意沒有理解清楚，條件和結論剛好顛倒.
這些都是在集合中容易犯的錯誤，其主要原因都是對相關知識點的理解不到位，所以當發現這些錯題時，教師要把它當成一個寶藏，充分挖掘其內在價值，要讓“數困生”自己找出其錯誤的原因，分析其錯誤本質并進行糾正，從而避免再次犯同樣的錯誤. 當然，教學過程中除了引導學生進行錯題分析，還可以結合一些其他的教學手段，比如應用多媒體技術、留時間給學生反思、多鼓勵學生、給予情感關注等等，讓“數困生”樂學數學，主動地鉆研數學，突破知識上的難點.
[?] 設計多層的練習作業，增強“數困生”學習信心
作業是鞏固課堂知識的重要手段，但是在布置作業時，教師經常會“一刀切”，全班所有學生做的是同樣的作業，忽視了學生間的差距和潛能，如此的作業，對數優生來說，可能缺乏挑戰性，對數困生來說可能會有太多的障礙，從而都產生厭倦情緒. 為了“讓每個學生都能得到最優發展”，教師在設計作業時要針對不同程度的學生設計不同層次的作業，力爭讓每個學生在適合自己的作業中獲得成功、輕松、愉快、滿足的心理體驗.
案例5 在選修部分“橢圓”的教學后，在布置作業時，可設置以下兩個練習：
練習1 已知橢圓+=1（a>b>0）的離心率e=，連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為4.
（1）求橢圓的方程；
（2）設直線l與橢圓相交于不同的兩點A、B，已知點A的坐標為（-a，0），若AB=，求直線l的傾斜角.
練習2 已知橢圓+=1（a>b>0）的離心率e=，連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為4.
（1）求橢圓的方程；
（2）設直線l與橢圓相交于不同的兩點A、B，已知點A的坐標為（-a，0）. 若點Q（0，y0）在線段AB的垂直平分線上，且?=4，求y0的值.
由于練習1思路簡單、方法常規，屬于容易題，在布置作業時要求“數困生”做練習1，其他學生做練習2，如果“數困生”有興趣，也可以做練習2，這樣就可以保護“數困生”做作業的積極性.
關鍵詞 函數 概念
回顧函數概念的歷史發展，函數概念是不斷被精煉，深化，豐富的。初中時函數的定義是一個變量對另一個變量的一種依賴關系。在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么我們就說x是自變量，y是x的函數。高中時，是用集合與對應的語言描述了函數概念。函數是一種對應關系，是函數概念的近代定義。
設A，B是非空數集，如果按某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱f:AB為從集合A到集合B的一個函數，記作y=f(x)，x∈A。函數近代定義與傳統定義在實質上是一致的，兩個定義中的定義域與值域的意義完全相同。兩個定義中的對應法則實際上也一樣，只不過敘述的出發點不同，傳統定義是從運動變化的觀點出發，近代定義的對應法則是從集合與對應的觀點出發。
函數的概念這一節課，內容比較抽象，概念性強，思維量大，為了充分調動學生的積極性和主動性，教學中通過典型實例來啟發和幫助學生分析，比較，以達到建構概念之目的。
引出函數的概念，先是舉出了生活中的三個實例。第一個實例是關于物體做斜拋運動的，和初中學習過的二次函數相聯系。第二個實例是關于臭氧空洞的問題，給出了函數的圖像，按照圖中曲線，發現了兩個集合之間的一種特殊的對應關系。第三個實例是關于恩格爾系數的經濟實例。列表給出了恩格爾系數和時間（年）的關系。三個實例共同反映了變量之間的相互依賴的關系，同時反映出兩個非空集合之間的一種特殊的對應關系。這樣，自然而然地給出了函數的概念，并且這三個實例中的函數恰好是用了三種表示方法：解析法，圖像法，列表法。
以實際問題為載體，以信息技術的作圖功能為輔助。通過三個實例的教學，師生共同發現了函數概念中的對應關系。教師在歸納出函數定義后，可以在全班進行交流。結合初中函數的定義，指出兩個定義的區別和聯系。關于“y=f(x)”這一個函數符號的理解，教師可以提問：y=f(x)一定是函數的解析式嗎？回答是不一定，可以舉出實例二和實例三。函數的解析式，圖像，表格都是函數的表示方法。即：y=f(x)表示y是x的函數，但f(x)不一定是解析式。當f(x)是一個解析式時，如果把x，y看作是并列的未知量或者點的坐標，那么y=f(x)也可以看做是一個方程。
函數的核心是對應法則，通常用記號f表示函數的對應法則，在不同的函數中，f的具體含義不一樣。函數記號y=f(x)表明，對于定義域A的任意一個x在“對應法則f”的作用下，即在B中可得唯一的y.當x在定義域中取一個確定的a，對應的函數值即為f(a).集合B中并非所有的元素在定義域A中都有元素和它對應；值域 。教師引導學生歸納并總結，函數的三要素是定義域，值域和對應法則。
然后，教師給出同學們所熟悉的三種函數，一次函數y=ax+b(a≠0)，反比例函數 ，以及二次函數 。教師演示動畫，用幾何畫板顯示這三種函數的動態圖像，啟發學生觀察，分析，并請學生們思考之后，填寫對應關系，定義域和值域。通過三個熟悉的函數加深學生對函數近代定義的理解。教師引導學生歸納總結出：函數的三要素是定義域、值域及對應法則。在函數的三要素中，當其中的兩要素已確定時，則第三個要素也就隨之確定了。如果函數的定義域，對應法則已確定，則函數的值域也就確定了。
連續的實數集合可以用集合表示，也可以用區間表示。利用多媒體課件展示怎樣用區間表示集合。區間可以分為閉區間，開區間，半開半閉區間。特別地，實數集R記作(-∞，+∞)， ∞ 讀作無窮大；-∞ 讀作負無窮大；+∞ 讀作正無窮大;“∞”不是一個數，表示無限大的變化趨勢，因此作為端點，不用方括號。
例1和例2的編排，是為了進一步地加深理解函數的三要素。函數的定義域通常由問題的實際背景確定.對于用解析式表示的函數如果沒有給出定義域，那么就認為函數的定義域是指使函數表達式有意義的自變量取值的集合。在例1中，要注意f(a)與f(x)的聯系與區別：f(a)表示當自變量x=a時函數f(x)的值，它是一個常量；而f(x)是自變量x的函數，在一般情況下，它是一個變量。f(a)是f(x)的一個特殊值。例2是來判斷兩個函數是否相等的。如果兩個函數的定義域相同，并且對應關系完全一致，這兩個函數就是相等的。
數學概念是構建數學理論大廈的基石；是導出數學定理和數學法則的邏輯基礎；是提高解題能力的前提；是數學學科的靈魂和精髓。因此，數學概念教學是高中數學教學的一項重要任務，是“雙基”教學的核心、是數學教學的重要組成部分，應引起足夠重視。正確理解概念是學好數學的基礎，概念不清往往是導致學生數學成績差的最直接的原因。
一、教材分析
1．教材的地位和作用
函數是數學中最主要的概念之一，而函數概念貫穿于中學數學的始終，概念是數學的基礎，概念性強是函數理論的一個顯著特點，只有對概念做到深刻理解，才能正確靈活地加以應用。本課中學生對函數概念理解的程度會直接影響數學其它知識的學習，所以函數的第一課時非常的重要。
2．教學目標及確立的依據
（1）教學目標：
1）教學知識目標：了解對應和映射概念、理解函數的近代定義、函數三要素，以及對函數抽象符號的理解。
2）能力訓練目標：通過教學培養學生的抽象概括能力、邏輯思維能力。
3）德育滲透目標：使學生懂得一切事物都是在不斷變化、相互聯系和相互制約的辯證唯物主義觀點。
（2）教學目標確立的依據：
函數是數學中最主要的概念之一，而函數概念貫穿整個中學數學，如：數、式、方程、函數、排列組合、數列極限等都是以函數為中心的代數。加強函數教學可幫助學生學好其他的數學內容。而掌握好函數的概念是學好函數的基石。
3．教學重點難點及確立的依據
教學重點：映射的概念，函數的近代概念、函數的三要素及函數符號的理解。
教學難點：映射的概念，函數近代概念，及函數符號的理解。
重點難點確立的依據：
映射的概念和函數的近代定義抽象性都比較強，要求學生的理性認識的能力也比較高，對于剛剛升入高中不久的學生來說不易理解。而且由于函數在高考中可以以低、中、高檔題出現，所以近年來高考有一種“函數熱”的趨勢，所以本節的重點難點必然落在映射的概念和函數的近代定義及函數符號的理解與運用上。
二、教材的處理
將映射的定義及類比手法的運用作為本課突破難點的關鍵。 函數的定義，是以集合、映射的觀點給出，這與初中教材變量值與對應觀點給出不同了，從而給本身就很抽象的函數概念的理解帶來更大的困難。為解決這個難點，主要是從實際出發調動學生的學習熱情與參與意識，運用引導對比的手法，啟發引導學生進行有目的的反復比較幾個概念的異同，使學生真正對函數的概念有很準確的認識。
三、教學方法和學法
教學方法：講授為主，學生自主預習為輔。
依據是：因為以新的觀點認識函數概念及函數符號與運用時，更重要的是必須給學生講清楚概念及注意事項，并通過師生的共同討論來幫助學生深刻理解，這樣才能使函數的概念及符號的運用在學生的思想和知識結構中打上深刻的烙印，為學生能學好后面的知識打下堅實的基礎。
四、教學程序
學 法：
〖課程導入〗
通過舉以下一個通俗的例子引出通過某個對應法則可以將兩個非空集合聯系在一起。
例1，把高一（12）班和高一（11）全體同學分別看成是兩個集合，問，通過“找好朋友”這個對應法則是否能將這兩個集合的某些元素聯系在一起？
〖新課講授〗
1．接著再通過幻燈片給出六組學生熟悉的數集的對應關系引導學生總結歸納它們的共同性質（一對一，多對一），進而給出映射的概念，表示符號f：AB，及原像和像的定義。強調指出非空集合A到非空集合B的映射包括三部分即非空集合A、B和A到B的對應法則f。進一步引導學生總結判斷一個從A到B的對應是否為映射的關鍵是看A中的任意一個元素通過對應法則f在B中是否有唯一確定的元素與之對應。
2．鞏固練習課本52頁第八題。
此練習能讓學生更深刻的認識到映射可以“一對一，多對一”但不能是“一對多”。
例1，給出學生初中學過的函數的傳統定義和幾個簡單的一次、二次函數，通過畫圖表示這些函數的對應關系，引導學生發現它們是特殊的映射，進而給出函數的近代定義（設A、B是兩個非空集合，如果按照某種對應法則f，使得A中的任何一個元素在集合B中都有唯一的元素與之對應則這樣的對應叫做集合A到集合B的映射，它包括非空集合A和B以及從A到B的對應法則f），并說明把函f：AB記為y＝f（x），其中自變量x的取值范圍A叫做函數的定義域，與x的值相對應的y［或f（x）］值叫做函數值，函數值的集合{f（x）：x∈A}叫做函數的值域。
并把函數的近代定義與映射定義比較使學生認識到函數與映射的區別與聯系（函數是非空數集到非空數集的映射）。
再以讓學生判斷的方式給出以下關于函數近代定義的注意事項：
（1）函數是非空數集到非空數集的映射。
（2）f表示對應關系，在不同的函數中f的具體含義不一樣。
（3）f（x）是一個符號，不表示f與x的乘積，而表示x經過f作用后的結果。
（4）集合A中的數的任意性，集合B中數的唯一性。
（5）“f：AB”表示一個函數有三要素：法則f（是核心），定義域A（要優先），值域C（上函數值的集合且C∈B）。
〖講解例題〗
例1，問y＝1（x∈A）是不是函數？
解：y＝1可以化為y＝0•x＋1
畫圖可以知道從x的取值范圍到y的取值范圍的對應是“多對一”是從非空數集到非空數集的映射，所以它是函數。
［注］：引導學生從集合，映射的觀點認識函數的定義。
〖課時小結〗
1．映射的定義。
2．函數的近代定義。
3．函數的三要素及符號的正確理解和應用。
4．函數近代定義的五大注意點。
〖課后作業及板書設計〗
