開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇靜電場的描繪實驗報告，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。

第1篇

關鍵詞：數理方程實驗；教學改革；數學建模

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2013）48-0035-03

一、引言

數學物理方程是人們對一些物理規律、物理過程和物理狀態進行研究后歸結出來的一些偏微分方程，是微積分學產生以后，在實踐中產生并且不斷向前發展的教學分支之一[1]。數理方程教學的直接目標是幫助學生掌握必要的數學知識和工具，為后續專業基礎課和專業課作準備；其長遠目標是訓練學生的數學思維及運用數學工具解決實際問題的能力[2]。但該課程被公認為“老師難教、學生難學、作業難做”[3]，而且隨著近幾年新技術的發展與變化，各高校為了適應寬口徑科技人才培養的需要，將這門課的課時進行了進一步壓縮。因此，要保持教學內容和提高教學質量，任課教師迫切需要對教學手段進行改革。通過對數理方程以往教學情況的實際調研來看，學生們對這門課普遍感覺畏懼、難以產生興趣。產生這種情緒的原因主要有兩點：（1）數學推導很長、很多，例題比較抽象，過于陳舊，容易讓人乏味。（2）不知道數理方程課對其專業學習到底有何作用，因此不愿多花精力，想混及格就行[3]。我們教研組經過研究和討論認為，沒有學不好或學不會的知識，只是學生的主觀能動性還沒有得到充分挖掘。因此，我們讓學生自由組合成三人小組，指導他們結合專業方向設計能夠用數理方程中三類典型偏微分方程進行數學建模的實際物理或者專業實驗，然后進行相關物理量的測量、分析，同時進行數學模型的理論計算和計算機軟件仿真等工作，并將其實驗報告作為平時分重要參考。經過近兩屆學生的實踐發現，該課程的通過率得到了極大提高，學生的反映也很積極，甚至讓人驚喜，有些學生據此進一步參加了數學建模比賽、物理實驗創新競賽、大學生創新訓練計劃等，取得了良好的教學效益。

二、數理方程實驗教學的目的、特點和作用

開授數理方程實驗課的目的就是引導學生以研究、分析、解決實際問題為導向，全面掌握數理方程這門課所包含的數學建模、數學分析、求解方法等，并培養學生實際動手實驗能力和應用計算機解決相關專業問題的能力。相對于傳統數理方程教學而言，數理方程實驗教學有三個新特點：（1）傳統數理方程的教學形式是以教師為中心，以課堂教學為中心；而數理方程實驗則更多地強調以學生為中心，以課外實踐為中心。（2）傳統的數理方程教學追求理論的完整性、步驟的連貫性，繁雜冗長的數學推理不可避免；而數理方程實驗針對具體問題進行數學建模和求解，研究目標明確，因而可以通過簡明實踐來理解理論。（3）每個數理方程實驗的內容具有相對的獨立性，可以將數學、物理、專業知識、計算機應用等眾多不同的領域結合起來，并借此介紹一些目前科學技術前沿廣泛運用的知識，如非線性方程、小波變換、積分方程等。數理方程實驗要求將實際物理實驗（或者專業實驗）、數學建模，以及計算機仿真三者融為一體，最后形成實驗報告。因此數理方程實驗教學具有以下三個方面的作用。

1.激發了學生的主觀能動性。在數理方程實驗中，學生們需要尋找滿足波動方程、輸運方程或者恒定場方程的實例，并進行設計性實驗，因此學習過程中分工合作、共同探討的氣氛得以形成。通過實驗測量、計算、仿真過程中逐步取得的成功，學生們對數理方程的學習興趣極大地提高；通過將復雜難懂的物理、工程問題直觀地顯示于物理現象或精美圖表，學生們更喜歡主動地去研究、計算機編程計算專業課中的各種問題。

2.促進了學生的自學、編程和書面表達等多方面能力的提高，真正提高了學生的動手、動腦能力。因為要編程求解數理方程，首先要理解、掌握相關數學知識，這就迫使他們查閱、學習相關資料，并下意識地對教師所講解的數學知識產生強烈關注，畢竟“社會需要是科技發展的最大動力”。而撰寫實驗報告對于培養學生的書面表達能力、邏輯思維能力很有助益。通過將實驗測量數據與理論計算結果、計算機仿真結果進行比較，學生們更加感性地接受了理論指導實踐，實踐拓展理論的研究思路。

3.培養了學生的專業素養和創新意識。通信、電子類專業一般都會開設《高頻電路基礎》、《微波技術與天線》、《電磁場傳輸理論》等課程，因此在引入三類典型二階線性偏微分方程、講解“分離變量法”、“格林函數法”及特殊函數時，都盡量以這些課程中的問題為模型，然后讓學生利用專業實驗室的儀器設計實驗，再結合數學建模的思想去完成數理方程實驗。這樣不僅可以讓學生學習專業課時輕松自如，還會刺激他們思考實驗過程中碰到的各種問題。

三、數理方程實驗示例

通過近幾年的積累，我們得到了很多以三類典型偏微分方程：波動方程、輸運方程和恒定場方程為數學模型的物理實驗和專業實驗的案例，下面分別介紹一二。

1.波動方程實驗示例。《微波技術與天線》是通信、電子類專業的必修課，該課程中對于微波電路的分析主要有兩種方法：（1）場分析的方法；（2）“路”分析的方法[4]。這兩種方法都可以作為數理方程實驗的案例，例如均勻傳輸線方程即可以作為波動方程應用的典型案例。均勻傳輸線（如圖1）可等效為具有分布參數的電路，因此可用“路”的分析方法建立傳輸線方程，并導出傳輸線方程的解。通過應用Kirchhoff電壓定律和Kirchhoff電流定律，可推導出均勻傳輸線中電壓和電流所滿足的方程。

■=Ri（z，t）+L■■=Gi（z，t）+C■ （1）

這是均勻傳輸線方程，也稱電報方程。對于時諧電壓和電流，可用復振幅表示為u（z，t）=Re[U（z，t）ejωt]，i（z，t）=Re[I（z，t）ejωt]，將它們帶入式（1）并消元，即可得時諧傳輸線波動方程：

■-γ2U（z）=0■-γ2I（z）=0 （1）

其中γ=■稱為傳播常數，若R≈G≈0，式（2）即為理想傳輸線中電壓、電流的一維波動方程。

在這個實驗當中，若此理想輸線無限長，并已知其初始電壓和初始電流分布，則可根據式（1）求出電壓和電流的“初始位移φ（z）”、“初始速度ψ（z）”，代入D’Alembert公式：

u（z，t）=■[φ（z+at）+φ（z-at）]+■■ψ（ξ）dξ （3）

可求得傳輸線上電壓和電流的傳播情況。

若理想傳輸線是有限長度，實驗中就可引入邊界條件。如終端短路，則V|z=l，為電壓場量的Dirichlet齊次邊界條件，再由式（1）第二式可得Iz|z=l=0，為電流場量的Neumann齊次邊界條件；如終端開路，則I|z=l=0，為電流場量的Dirichlet齊次邊界條件，再由式（1）的第一式可得Vz|z=l=0，為電壓場量的Neumann齊次邊界條件。應用高等數學中二階常微分方程的解法即可得式（2）的通解：

U（z）=A1e-γz+A2eγz=0I（z）=■（A1e-γz-A2eγz） （4）

其中，Z■=■稱為特性阻抗，然后再根據邊界條件求得電壓和電流的分布。

有條件的高校可用網絡分析儀、50Ω微帶線、50Ω BNC連接線、開路負載、短路負載、高阻微波同軸檢測探頭等進行相關實驗測量，我們還可以借助電子電路仿真軟件Multisim或者安捷倫公司的Advanced design system進行上述微波電路的仿真，具體實驗和仿真可參考文獻[5-7]。最后要求將數學模型求解的結果、實驗測量結果、仿真軟件計算結果放在同一表格或者同一張圖中進行比較，這樣可以得到一份很好的數理方程與專業知識相結合的實驗報告。

另外，兩端固定均勻弦的微小橫振動問題是所有數理方程教材的經典例題，我們可以用兩端固定的橡皮筋進行振動模擬，然后數碼攝像機進行拍攝紀錄，通過計算機處理得到其橡皮筋任意一點在任意時刻的位移，并與Matlab編程計算結果進行比較。還有，通過在水槽中用試管滴水得到二維水波振蕩，用數碼相機連拍功能獲取不同時刻水波振動狀態，可與理論計算結果進行比較。學生通過這些實驗不僅理解了方程的含義、求解方法，還學會了如何用這些實驗來測量弦的密度、波的傳播速度等重要物理參量。

2.輸運方程實驗示例。半導體物理學、化學和生物學中許多問題都可歸集為反應擴散方程（或稱輸運方程）問題，在諸多重要物理參數測量方面有很多應用，如氣體、液體擴散系數的測量等。目前很多學校都能開展“測定氣體導熱系數”物理實驗，所需儀器主要有FB-202型氣體導熱系數測定儀、溫度計、氣壓計等。其物理模型為：在圓柱形容器內的沿軸線方向上有一根溫度恒為T1的鎢絲（如圖2），容器內壁的溫度近似為室溫T2（T1>T2），鎢絲的半徑為r1，鎢絲長為L，容器的半徑為r2，由于T1>T2，容器中的待測氣體必然形成一個沿徑向分布的溫度梯度，由于熱傳導，鎢絲溫度下降，本實驗用熱線恒溫自動控制系統來維持鎢絲溫度恒為T1。如對其進行數學建模，得其輸運方程方程模型：

■-■Δu（■，t）=f（■，t） （5）

其中u為溫度分布，c為氣體比熱容，ρ為氣體密度，k即為所求熱傳導系數。由于每秒鐘氣體熱傳導所耗散的熱量就等于維持鎢絲的溫度恒為T1時所消耗的電功率，所以圓柱形容器中氣體的溫度分布保持為一個穩定的徑向分布的溫度場，

■+■■+■■=0 r1

然后用分離變量法求解此數學定解問題，得u（r）=（T1-T2）Inr/In（r1/r2）。學生以三人為一小組做實驗，記錄實驗數據，再用Matlab或Origin進行數據處理，然后與理論模型計算值進行比較，最后進行誤差分析，完成實驗報告。通過此實驗學生不僅掌握了如何測量氣體的熱傳導系數，加深了對輸運方程的理解，還學會了如何使用數據處理軟件，對學生今后的學習很有裨益。

3.恒定場方程實驗示例。一般高校的普通物理實驗室都開設靜電場描繪實驗，使用實驗儀器有：AC-12靜電場描繪電源、靜電場描繪儀等（如圖3（a）所示）。以同心水槽中電位分布為研究對象，可得二維極坐標系下Laplace方程定解問題：

Δu=0， a≤r≤bu|■=V1，u|■=V2 （7）

學生可用分離變量法求得其理論解，還可以用Comsol、Matlab等仿真軟件比較容易的得到其電位分布圖，再通過與實驗中打點得到的電位分布圖進行比較（圖3（b）），從而直觀、深刻地理解物理原型、數學模型，并至少掌握了一種計算機仿真軟件的應用。此實驗中根據不同電極形狀的水槽，還可讓學生在不同坐標系下（如雙曲坐標系、直角坐標系）進行分離變量法，從而對Sturm-Liuville本征值問題有更深刻的認識。

總的來說，數理方程實驗的完成首先需要教師指導學生學習、掌握相關數學知識和求解方法，然后引導學生進行相關物理、或者專業實驗的設計、測量，并根據物理規律分析這些實驗的物理原型，建立起數學模型，再由學生自己進行計算機編程計算或利用現有商業軟件進行仿真，最后通過觀察、比較數學模型理論結果、實驗測量數據和計算機軟件仿真結果，進行總結，完成數理方程實驗報告。

在科學技術快速發展的今天，教師在傳授一門課的基本知識的同時，應比以往任何時候更注重傳授學習和研究這門課程的方法，完成由引導式學習到自主學習的根本性轉變[8]。通過一年來數理方程實驗教學的探索和實踐，我們發現數理方程實驗課能夠利用學校現有教學儀器和設備，將物理知識、專業知識、數學知識，以及計算機應用結合在一起，實現“教學、實踐、科研”三位一體[9]的教學模式。學生們通過課題式的研究覺得的數理方程是很有用的一門課，能夠學以致用，縮短了書本理論到專業應用的距離，該課程的通過率相應地也得到了極大提高。有很多同學通過設計數理方程實驗得到啟發，進一步參加了數模競賽、物理實驗創新競賽、大學生創新訓練計劃等各類比賽，取得了良好的教學效益。另外，我們認為數理方程實驗反過來對物理實驗、專業課程實驗設計也有借鑒意義。

參考文獻：

[1]梁昆淼.數學物理方法[M].第3版.北京：高等教育出版社，1998.

[2]季孝達，汪芳庭，陸英.“數學物理方法”課程建設的設想和實踐[J].教育與現代化，2004，1：34-37.

[3]王正斌，毛巍巍，楊志紅.“數理方程”課程教學改革探索[J].宜春學院學報（自然科學），2006，28（6）：23-25.

[4]廖承恩.微波技術基礎[M].西安：西安電子科技大學出版社，1998.

[5]彭沛夫.微波技術與實驗[M].北京：清華大學出版社，2007.

[6]高遠，蔣健，朱昌平.電磁場傳輸線理論仿真實驗的設計與實現[J].實驗技術與管理，2011，（8）：87-89.

[7]王正斌，許立煒.數理方程實驗教學初探[J].中國科技信息，2008，（12）：239-240.

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[9]胡成華，史玲娜，周平，等.大學物理與大學物理實驗課程“三位一體”教學模式的研究與實踐[J].物理與工程，2012，22（4）：55-58.