時間：2022-01-30 22:21:54
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創(chuàng)造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇數(shù)列考試總結(jié)，希望這些內(nèi)容能成為您創(chuàng)作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進(jìn)步。
關(guān)鍵詞: 2009年高考試題數(shù)列比較分析
高考是全國普通高等院校統(tǒng)一招生考試的簡稱,是一種競爭、選拔性的考試。作為我國高中教學(xué)的唯一評價標(biāo)準(zhǔn),它關(guān)系到社會的方方面面。數(shù)學(xué)是高考的主要考試科目,數(shù)學(xué)試題又是高考中數(shù)學(xué)科目的關(guān)鍵,因此高考中的數(shù)學(xué)試題也是值得注意的方面。
數(shù)列在整個高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中,處于數(shù)學(xué)知識和教學(xué)方法的匯合點(diǎn)。與高中的許多知識,如方程、不等式、函數(shù)、解析幾何、三角函數(shù)等,都有著密切的聯(lián)系。在數(shù)列的題目中,這些知識點(diǎn)都能充分運(yùn)用。因此數(shù)列部分在我國高考數(shù)學(xué)這一科目中占有重要地位。
對2009年全國高考的18份數(shù)學(xué)理科試卷:全國卷Ⅰ,全國卷Ⅱ,北京卷,湖北卷,陜西卷,四川卷,安徽卷,福建卷,遼寧卷,江蘇卷,山東卷,廣東卷,浙江卷,天津卷,江西卷,重慶卷,湖南卷,寧夏、海南卷的比較分析,均有數(shù)列這部分內(nèi)容的試題。對其中的考查題型與命題知識點(diǎn)的分析如下。
一、考查題型比較
高考數(shù)學(xué)考試的題型有三種:選擇題、填空題和簡答題。其中填空題和選擇題都屬于提供型試題。選擇題與填空題在數(shù)學(xué)考試中每道題的分值在5分左右,而簡答題的分值一般都在10分以上。
所研究的18套2009年高考試卷,都涉及了數(shù)列內(nèi)容的試題。而且其中在11份試卷中,數(shù)列部分的內(nèi)容被列為簡答題,在這11份試卷中有7份試卷,除了將數(shù)列的題目列為簡答題外,也將其知識點(diǎn)放在填空或選擇題中考查,數(shù)列知識點(diǎn)在卷面上的分值都在12分以上。只有5份試卷對數(shù)列知識的評價分值放在5分左右,只將其作為填空題或者選擇題。有兩份試卷對這部分內(nèi)容既作為選擇題又作為填空題來考查,分值都在10分左右。
通過比較發(fā)現(xiàn),全國卷的兩套試題和安徽卷、江蘇卷、江西卷、廣東卷、重慶卷對數(shù)列部分的試題分值都達(dá)到了15分以上,考查的內(nèi)容均為綜合性的知識,大多涉及數(shù)列通項公式的推導(dǎo)和數(shù)列與函數(shù)知識點(diǎn)、數(shù)列與不等式知識點(diǎn)的結(jié)合。而北京卷、陜西卷、福建卷、浙江卷這幾套高考試題對數(shù)列的試題分值較小,只有5分左右,而且以考查基本知識點(diǎn)為主。
二、考查的知識點(diǎn)
從考查的知識點(diǎn)來說,高考在考查數(shù)列部分內(nèi)容過程中主要有以下幾個主要的知識點(diǎn)。
1.等差、等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項公式、前n項和公式的應(yīng)用,以及它們之間的關(guān)系。
如2009年浙江卷填空題第11題。
這道題主要考查了等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式,以及它們之間的關(guān)系。在歷年的考試題中,對等差、等比數(shù)列的基本概念、性質(zhì)、通項公式、前n項和,以及通項公式與前n項和之間關(guān)系的題目屢見不鮮。不僅在填空選擇題,還在簡答題中也作為基本題型出現(xiàn)。
2.數(shù)列的求和問題,遞推數(shù)列問題,數(shù)列應(yīng)用問題。
如2009年湖北卷簡答題第19題。
這道題主要考查數(shù)列的通項公式、等差數(shù)列的定義、數(shù)列求和、數(shù)學(xué)歸納法等基礎(chǔ)知識和基本技能,考查學(xué)生分析問題的能力和推理論證的能力。解決此類問題要熟練數(shù)列等差、等比數(shù)列的通項公式及前n項和的公式,也要掌握常用的通項公式及前n項和的求法,如錯位相減法,拆項法等。這種題目主要是數(shù)列知識點(diǎn)的綜合運(yùn)用。
3.數(shù)列與其它知識點(diǎn)的綜合問題。
如:2009年廣東卷第21題是一道考查函數(shù)、數(shù)列、不等式的綜合題目。
這道高考題以數(shù)列知識為基礎(chǔ),分別考查了數(shù)列的遞推關(guān)系、數(shù)列的通項公式、不等式的放縮等內(nèi)容,是函數(shù)、數(shù)列、不等式的綜合題目,還能夠考查學(xué)生的抽象概括能力,推理論證能力,運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識。
在對數(shù)列這部分高考試題的研究,我們不難發(fā)現(xiàn)數(shù)列內(nèi)容命題的多元化。這些題目也反映出了我國高考數(shù)學(xué)命題的方方面面。
三、總結(jié)與反思
1.總結(jié)
通過對2009年不同數(shù)學(xué)試卷中數(shù)列部分命題研究,以及對數(shù)列試題的異同分析,我們不難得出以下結(jié)論。
(1)單純基礎(chǔ)知識點(diǎn)的試題較少,學(xué)生能力的考查較多。
在這18份數(shù)學(xué)高考試卷中,就數(shù)列這部分內(nèi)容來看,單純考查學(xué)生數(shù)列的基本概念、性質(zhì)、通項公式的題目很少,大部分的試題是數(shù)列知識的綜合運(yùn)用、學(xué)生的歸納推理能力,以及數(shù)列知識與其它數(shù)學(xué)知識的綜合運(yùn)用。
“過去多年的改革基本上是在科目設(shè)置上,科目多少上做文章,沒有去觸動影響高中學(xué)生能力和素質(zhì)的關(guān)鍵――高考的內(nèi)容,把高考內(nèi)容作為改革的重點(diǎn)是新一輪高考改革的關(guān)鍵”。[1]而這里所說的高考內(nèi)容就是高考試題。數(shù)列試題的命題現(xiàn)在已經(jīng)重視考查學(xué)生的數(shù)學(xué)能力及數(shù)學(xué)思想方法。
(2)高中課程改革對高考數(shù)列試題的影響。
高中課程改革與高考改革是當(dāng)前教育改革的兩大熱點(diǎn)問題,高考的命題關(guān)系到新課程改革的實(shí)施與高校人才的選拔。作為高中課程改革的一部分,高考命題也充分反映了高中新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求。“數(shù)列作為一種特殊的函數(shù),是反映自然規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型”,“學(xué)生將通過對日常生活中大量實(shí)際問題的分析,建立等差數(shù)列和等比數(shù)列這兩種數(shù)列模型,探索并掌握它們的一些基本數(shù)量關(guān)系,感受這兩種數(shù)列模型的廣泛應(yīng)用,并利用他們解決一些實(shí)際問題”。[2]
各地的高考卷中,數(shù)列這部分的命題表現(xiàn)出了題目新穎,提供了新的信息、新的材料,從不同的角度對數(shù)列的知識點(diǎn)進(jìn)行考查,通過與不等式、方程、函數(shù)、解析幾何等知識點(diǎn)融合起來,引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度思考數(shù)列的模型。
2.2009年高考試題對2010年高考的啟示
2010年普通高校招生全國統(tǒng)一大綱――數(shù)學(xué)(理)(必修+選修Ⅱ)中對數(shù)列這部分的考試要求為:(1)理解數(shù)列的概念,了解數(shù)列通項公式的意義,了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法,并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項。(2)理解等差數(shù)列的概念,掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式,并能解決簡單的實(shí)際問題。(3)理解等比數(shù)列的概念,掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式,并能解決簡單的實(shí)際問題。大綱中還強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)意識等方面提出了考查要求。從2009年各種數(shù)學(xué)試卷對數(shù)列命題可以看出,2010年的試卷中仍然不會單獨(dú)地考查單獨(dú)的數(shù)列知識點(diǎn),仍然會以數(shù)列的綜合題型或與解析幾何、函數(shù)、不等式等知識點(diǎn)結(jié)合起來。因此,學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)列的過程中,應(yīng)運(yùn)用數(shù)列的思想,通過類比歸納,將數(shù)列的通項公式之間的關(guān)系和數(shù)列與其它數(shù)學(xué)知識點(diǎn)之間的關(guān)系結(jié)合起來,真正認(rèn)識數(shù)列的本質(zhì)。
參考文獻(xiàn):
[1]周遠(yuǎn)清.實(shí)現(xiàn)高考改革的新突破[J].中國高等教育,2000,(19).
數(shù)列的知識點(diǎn)總結(jié)
數(shù)列知識：數(shù)列是一種特殊的函數(shù)。其特殊性主要表現(xiàn)在其定義域和值域上。數(shù)列可以看作一個定義域為正整數(shù)集N*或其有限子集{1，2，3，…，n}的函數(shù)，其中的{1，2，3，…，n}不能省略。
數(shù)列
①用函數(shù)的觀點(diǎn)認(rèn)識數(shù)列是重要的思想方法，一般情況下函數(shù)有三種表示方法，數(shù)列也不例外，通常也有三種表示方法：a.列表法;b。圖像法;c.解析法。其中解析法包括以通項公式給出數(shù)列和以遞推公式給出數(shù)列。
數(shù)列的一般形式可以寫成
a1，a2，a3，…，an，a(n+1)，……
簡記為{an}，
項數(shù)有限的數(shù)列為“有窮數(shù)列”(finite sequence)，
項數(shù)無限的數(shù)列為“無窮數(shù)列”(infinite sequence)。
數(shù)列的各項都是正數(shù)的為正項數(shù)列;
從第2項起，每一項都大于它的前一項的數(shù)列叫做遞增數(shù)列;如：1，2，3，4，5，6，7;
從第2項起，每一項都小于它的前一項的數(shù)列叫做遞減數(shù)列;如：8，7，6，5，4，3，2，1;
從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列叫做擺動數(shù)列;
各項呈周期性變化的數(shù)列叫做周期數(shù)列(如三角函數(shù));
各項相等的數(shù)列叫做常數(shù)列(如：2，2，2，2，2，2，2，2，2)。
通項公式：數(shù)列的第N項an與項的序數(shù)n之間的關(guān)系可以用一個公式an=f(n)來表示，這個公式就叫做這個數(shù)列的通項公式(注：通項公式不唯一)。
遞推公式：如果數(shù)列{an}的第n項與它前一項或幾項的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的遞推公式。
數(shù)列中項的總數(shù)為數(shù)列的項數(shù)。特別地，數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})為定義域的函數(shù)an=f(n)。
如果可以用一個公式來表示，則它的通項公式是a(n)=f(n).
并非所有的數(shù)列都能寫出它的通項公式。例如：π的不同近似值，根據(jù)精確的程度，可形成一個數(shù)列3，3.1，3.14，3.141，…它沒有通項公式。
數(shù)列中的項必須是數(shù)，它可以是實(shí)數(shù)，也可以是復(fù)數(shù)。
用符號{an}表示數(shù)列，只不過是“借用”集合的符號，它們之間有本質(zhì)上的區(qū)別：1.集合中的元素是互異的，而數(shù)列中的項可以是相同的。2.集合中的元素是無序的，而數(shù)列中的項必須按一定順序排列，也就是必須是有序的。
知識拓展：函數(shù)不一定有解析式，同樣數(shù)列也并非都有通項公式。
初中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)：平面直角坐標(biāo)系
下面是對平面直角坐標(biāo)系的內(nèi)容學(xué)習(xí)，希望同學(xué)們很好的掌握下面的內(nèi)容。
平面直角坐標(biāo)系
平面直角坐標(biāo)系：在平面內(nèi)畫兩條互相垂直、原點(diǎn)重合的數(shù)軸，組成平面直角坐標(biāo)系。
水平的數(shù)軸稱為x軸或橫軸，豎直的數(shù)軸稱為y軸或縱軸，兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)。
平面直角坐標(biāo)系的要素：①在同一平面②兩條數(shù)軸③互相垂直④原點(diǎn)重合
三個規(guī)定：
①正方向的規(guī)定橫軸取向右為正方向，縱軸取向上為正方向
②單位長度的規(guī)定；一般情況，橫軸、縱軸單位長度相同；實(shí)際有時也可不同，但同一數(shù)軸上必須相同。
③象限的規(guī)定：右上為第一象限、左上為第二象限、左下為第三象限、右下為第四象限。
相信上面對平面直角坐標(biāo)系知識的講解學(xué)習(xí)，同學(xué)們已經(jīng)能很好的掌握了吧，希望同學(xué)們都能考試成功。
初中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)：平面直角坐標(biāo)系的構(gòu)成
對于平面直角坐標(biāo)系的構(gòu)成內(nèi)容，下面我們一起來學(xué)習(xí)哦。
平面直角坐標(biāo)系的構(gòu)成
在同一個平面上互相垂直且有公共原點(diǎn)的兩條數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系，簡稱為直角坐標(biāo)系。通常，兩條數(shù)軸分別置于水平位置與鉛直位置，取向右與向上的方向分別為兩條數(shù)軸的正方向。水平的數(shù)軸叫做X軸或橫軸，鉛直的數(shù)軸叫做Y軸或縱軸，X軸或Y軸統(tǒng)稱為坐標(biāo)軸，它們的公共原點(diǎn)O稱為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)。
通過上面對平面直角坐標(biāo)系的構(gòu)成知識的講解學(xué)習(xí)，希望同學(xué)們對上面的內(nèi)容都能很好的掌握，同學(xué)們認(rèn)真學(xué)習(xí)吧。
初中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)：點(diǎn)的坐標(biāo)的性質(zhì)
下面是對數(shù)學(xué)中點(diǎn)的坐標(biāo)的性質(zhì)知識學(xué)習(xí)，同學(xué)們認(rèn)真看看哦。
點(diǎn)的坐標(biāo)的性質(zhì)
建立了平面直角坐標(biāo)系后，對于坐標(biāo)系平面內(nèi)的任何一點(diǎn)，我們可以確定它的坐標(biāo)。反過來，對于任何一個坐標(biāo)，我們可以在坐標(biāo)平面內(nèi)確定它所表示的一個點(diǎn)。
對于平面內(nèi)任意一點(diǎn)C，過點(diǎn)C分別向X軸、Y軸作垂線，垂足在X軸、Y軸上的對應(yīng)點(diǎn)a，b分別叫做點(diǎn)C的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)，有序?qū)崝?shù)對（a，b）叫做點(diǎn)C的坐標(biāo)。
一個點(diǎn)在不同的象限或坐標(biāo)軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)不一樣。
希望上面對點(diǎn)的坐標(biāo)的性質(zhì)知識講解學(xué)習(xí)，同學(xué)們都能很好的掌握，相信同學(xué)們會在考試中取得優(yōu)異成績的。
初中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)：因式分解的一般步驟
關(guān)于數(shù)學(xué)中因式分解的一般步驟內(nèi)容學(xué)習(xí)，我們做下面的知識講解。
因式分解的一般步驟
如果多項式有公因式就先提公因式，沒有公因式的多項式就考慮運(yùn)用公式法；若是四項或四項以上的多項式，
通常采用分組分解法，最后運(yùn)用十字相乘法分解因式。因此，可以概括為：“一提”、“二套”、“三分組”、“四十字”。
注意：因式分解一定要分解到每一個因式都不能再分解為止，否則就是不完全的因式分解，若題目沒有明確指出在哪個范圍內(nèi)因式分解，應(yīng)該是指在有理數(shù)范圍內(nèi)因式分解，因此分解因式的結(jié)果，必須是幾個整式的積的形式。
相信上面對因式分解的一般步驟知識的內(nèi)容講解學(xué)習(xí)，同學(xué)們已經(jīng)能很好的掌握了吧，希望同學(xué)們會考出好成績。
初中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)：因式分解
下面是對數(shù)學(xué)中因式分解內(nèi)容的知識講解，希望同學(xué)們認(rèn)真學(xué)習(xí)。
因式分解
因式分解定義：把一個多項式化成幾個整式的積的形式的變形叫把這個多項式因式分解。
因式分解要素：①結(jié)果必須是整式②結(jié)果必須是積的形式③結(jié)果是等式④
因式分解與整式乘法的關(guān)系：m(a+b+c)
公因式：一個多項式每項都含有的公共的因式，叫做這個多項式各項的公因式。
公因式確定方法：①系數(shù)是整數(shù)時取各項最大公約數(shù)。②相同字母取最低次冪③系數(shù)最大公約數(shù)與相同字母取最低次冪的積就是這個多項式各項的公因式。
提取公因式步驟：
①確定公因式。②確定商式③公因式與商式寫成積的形式。
分解因式注意；
①不準(zhǔn)丟字母
②不準(zhǔn)丟常數(shù)項注意查項數(shù)
③雙重括號化成單括號
④結(jié)果按數(shù)單字母單項式多項式順序排列
⑤相同因式寫成冪的形式
【關(guān)鍵詞】高考數(shù)學(xué);數(shù)列;不等式;解題思路
一、高中數(shù)學(xué)不等式和數(shù)列的學(xué)習(xí)短板
總結(jié)高中三年學(xué)習(xí)心得，筆者認(rèn)為在數(shù)學(xué)不等式和數(shù)列的學(xué)習(xí)過程中，常見的學(xué)習(xí)阻礙主要是以下兩方面：
第一，未能充分、全面、系統(tǒng)地理解不等式和數(shù)列的數(shù)學(xué)性質(zhì)，難以靈活運(yùn)用、貫通相關(guān)公式，正負(fù)問題相對明顯。造成這一問題的原因，較多是因為在學(xué)習(xí)過程中沒有形成數(shù)學(xué)思維，沒有培養(yǎng)良好的思維習(xí)慣，或是數(shù)學(xué)概念掌握不牢固，在學(xué)習(xí)數(shù)列和不等式時傾向于對概念性的記憶，而忽視了對解題思路、邏輯推理的理解和運(yùn)用，導(dǎo)致在進(jìn)行課外練習(xí)時，無法做到舉一反三。
第二，未能進(jìn)行深度、有效的課外練習(xí)拓展，學(xué)習(xí)欠缺主動性。通常在課堂上聽取老師講授后，課后未能將課本上關(guān)于數(shù)列和不等式的知識與課外相關(guān)練習(xí)進(jìn)行融合聯(lián)系，對數(shù)列和不等式的相關(guān)知識點(diǎn)掌握未進(jìn)行深度挖掘、探究，僅是依葫蘆畫瓢，課本上有什么就學(xué)什么，缺乏學(xué)習(xí)積極性，由此很大程度上限制了數(shù)學(xué)思維和創(chuàng)新能力的發(fā)展。
二、打破常規(guī)――不等式解題思路
不等式的解法和C明是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，而解析不等式的基礎(chǔ)則是熟知相關(guān)概念和不等式的性質(zhì)。因此，在分析不等式的解析思路過程中，要根據(jù)自己數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的實(shí)際情況，針對不等式的難點(diǎn)和重點(diǎn)，靈活采取科學(xué)的學(xué)習(xí)方式予以突破。具體地說，首先要牢固基礎(chǔ)，在不等式性質(zhì)的運(yùn)用過程中，要注意不等式性質(zhì)成立的前提;其次，要明確不等式的解答過程，實(shí)際就是同解變形的過程，在不等式證明中，如果不等式跟二次函數(shù)有關(guān)，就可以將不等式轉(zhuǎn)換為二次函數(shù)的問題，再通過單調(diào)性、判別式等知識證明不等式。例如，在求證“x2+10>6x”一題時，可以采取如下思路：先將不等式變形為“x2-6x+10>0”，這樣就將左邊完全變成關(guān)于“x的二次函數(shù)”，再用配方法，即可輕松證明這個二次函數(shù)的最小值大于零，推得“（x-3）2+1>0”。筆者認(rèn)為，采取這樣通過二次函數(shù)的性質(zhì)來判斷不等式是否成立的方法是十分方便的。除上述外，在不等式的實(shí)際應(yīng)用中還要學(xué)會如何抓住關(guān)鍵，如何將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型。因為在高考試題中，經(jīng)常出現(xiàn)以實(shí)際情況為背景、以函數(shù)形式來建模型的題目。如題：“有一批成本有a元的貨物，如果本月初出售可獲利100元，然后將本利都存入銀行，已知銀行的月利是2%，如果下月初出售，可獲利120元，但貨物要付5元保管費(fèi)。”提問：“什么時間出售好？”在解析這類題型時，可以先假設(shè)“本月初出售獲利為x”，“下月初出售可獲利為y”，推知：“x=（100+a）×（1+2%），y=120+a-5;x-y=13-0.02a”。從而可推導(dǎo)出“當(dāng)a=650時，本月初、下月初出售獲利相同;當(dāng)a>650時，x-y
三、融會貫通――數(shù)列解題思路
對于高中數(shù)列的學(xué)習(xí)，筆者認(rèn)為重點(diǎn)在于全面掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的求法及其性質(zhì)，靈活運(yùn)用求通項公式an以及前n項和Sn，同時，盡可能熟練掌握常見求通項公式的方法，如定義法、構(gòu)造法、猜想和數(shù)學(xué)歸納法;以及Sn求法，如疊加法、錯位相減法（一個等差數(shù)列乘以一個等比數(shù)列）、分組求和法（一般是一個等比數(shù)列加上一個等差數(shù)列）、裂項相消法，等等。
其中，高考試題常見考查方向主要有：
（1）裂項抵消或錯位相減求和;
（2）從遞推關(guān)系構(gòu)造出等差或等比數(shù)列求通項：①分式線性一階遞推的不動點(diǎn)法;②線性常系數(shù)多階遞推的特征根法;③其他能通過取倒數(shù)等簡單代數(shù)變形求得的。
（3）已知通項但求和沒有解析解的，通過代數(shù)變形、不等式性質(zhì)等放縮出求和的上下限。
（4）已知遞推關(guān)系但通項沒有解析解的，通過代數(shù)變形、不等式性質(zhì)和數(shù)學(xué)歸納法等給出通項的一些性質(zhì)。
本文以累加法、累乘法、公式法和待定系數(shù)法為例展開分析。
1.累加法
例題：“已知數(shù)列{an}滿足an+1=an+2n+1，
a1=1，求數(shù)列{an}的通項公式。”
解析：“由an+1=an+2n+1可得an+1-an=2n+1”
即推得出：an=n2
2.累乘法
例題：“已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an=a1
+2a2+3a3+…+（n-1）an-1（n≥2），求{an}的通項公式。”
解析：“此類題型的關(guān)鍵在于利用遞推公式對數(shù)列進(jìn)行轉(zhuǎn)化，進(jìn)而推導(dǎo)出an=3×2n-1
×5×n。
3.公式法
例題：“已知數(shù)列{an}，滿足an+1=2an+3×2n，
a1=2，求數(shù)列{an}的通項公式。”
解析：“an+1=2an+3×2n，等式兩邊同時除以2n+1，則，即
即數(shù)列為以為首項，以為公差的等差數(shù)列。
故，即數(shù)列{an}的通項公式為”。
通過將已知遞推公式“an+1=2an+3×2n”轉(zhuǎn)化為“”，再利用等差數(shù)列通項公式的解答方法，從而推導(dǎo)出數(shù)列“{an}”的通項公式是較常見的解題思路，也是較為簡單的一種利用公式法求數(shù)列通項公式的解題方法。
4.待定系數(shù)法
例題：“數(shù)列{an}滿足an+1=2an+3n2+4n+5，
a1=1，求數(shù)列{an}的通項公式。”
解析：“an+1+x（n+1）2+y（n+1）+z=2（an+xn2+yn+z）
則2an+3n2+4n+5+x（n+1）2+y（n+1）+z=2（an+xn2+yn+z）
2an+（3+x）n2+（2x+y+4）n+（x+y+z+5）
=2an+2xn2+2yn+2z
等式兩邊同時除以2an，則“（3+x）n2+（2x+y+4）n+（x+y+z+5）=2xn2+2yn+2z”
得“an+1+3（n+1）2+10（n+1）+18=2（an+3n2+10n+18）”;
又a1+3×12+10×1+18=1+31=32≠0，則“an+3n2+10n+18≠0”;
而盜{an+3n2+10n+18}是以a1+3×12+10×1
+18=1+31=32為首項，以2為公比的等比數(shù)列，所以“an+3n2+10n+18=32×2n-1”，即“an=2n+4-3n2-10n-18”。
除上述外，還有一個重點(diǎn)應(yīng)給予重視，即對數(shù)列放縮的學(xué)習(xí)。在對這一技巧的學(xué)習(xí)過程中，筆者采取了分析法進(jìn)行解析。具體地說，既然是一個等比數(shù)列，那么就可直接構(gòu)造這個等比數(shù)列，將“a1”和“q”都設(shè)出來。一般來說，“q”就是前面需要放縮的式子中指數(shù)下的那個（題目難的話，可能會調(diào)整這個q），然后再利用放縮的逆過程，即兩個數(shù)列中的每一項都有固定的大小關(guān)系（如要證A>B，那么對應(yīng)的a（n）>b（n））;此處會用到很多技巧，比如可能這個式子的前幾項不滿足，但后面的所有項都成立，那么，便可將前幾項單獨(dú)拿出來說明;最后，再運(yùn)用綜合法來書寫解題過程。
總而言之，數(shù)列題通常以高考壓軸題的形式出現(xiàn)，題目難度不算很大，但在解答過程中要格外注意解析的步驟，認(rèn)真完成計算和推導(dǎo)過程，牢記公式法，如累加法、累乘法常適用于數(shù)列規(guī)律較明顯的題目;待定系數(shù)法則可用于多種數(shù)列題目，適應(yīng)性較強(qiáng);此外還有迭代法、換元法、數(shù)字歸納法等，每種方法都有其解題優(yōu)勢，在實(shí)際解答操作時，要針對具體題目與要求，靈活選擇最簡便易行的方法完成題目解析。
四、總結(jié)與反思
綜上所述，筆者認(rèn)為高中數(shù)學(xué)數(shù)列和不等式的學(xué)習(xí)及相關(guān)解題技巧和思路的訓(xùn)練，都是一種基于總結(jié)而形成的，并不具備絕對性和完全適應(yīng)性。對于備戰(zhàn)高考的高中生而言，學(xué)習(xí)的恒重點(diǎn)是在平時不斷練習(xí)、不斷探索的過程中，學(xué)會和掌握如何自我總結(jié)、分析和整理，如何夯實(shí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，從而形成適合自己學(xué)習(xí)水平的思維習(xí)慣，進(jìn)而逐漸培養(yǎng)自身從已知條件、隱含條件當(dāng)中挖掘更多的信息能力，最終實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的拔高。
參考文獻(xiàn)：
[1]朱國宏. 探析數(shù)列型不等式證明中“放縮法”的妙用[J]. 高中數(shù)理化， 2014（5）：12-13.
[2]高國圣. PBL模式下的高中數(shù)學(xué)微課教學(xué)研究――以“不等式與數(shù)列求和教學(xué)”為例[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)， 2016（7）：4-5.
關(guān)鍵詞： 等比數(shù)列 快速求和 解法
1.引言
如何在高度緊張的考場環(huán)境中提高解題速度和解題準(zhǔn)確率是處于高考復(fù)習(xí)階段的莘莘學(xué)子共同關(guān)心的問題。那么，到底如何在考場環(huán)境中提高解題速度和解題準(zhǔn)確率呢？這除了取決于考生臨場發(fā)揮和自信心外，更重要的在于考生平時對解題技巧的歸納和掌握程度。下面我就平時數(shù)學(xué)教學(xué)過程中自己的一點(diǎn)關(guān)于數(shù)列趣味性計算技巧總結(jié)如下，供同學(xué)們和同行借鑒參考，也希望借此幫助學(xué)生在感受數(shù)學(xué)美的同時舒緩緊張的神經(jīng)。
等比數(shù)列求解
++…+?搖?搖（n=0，1，2，…）?搖?搖（1）
++…+?搖?搖（n=0，1，2，…）?搖?搖（2）
++…+?搖?搖（n=0，1，2，…）?搖?搖（3）
……?搖?搖?搖?搖?搖?搖……
++…+?搖?搖（n=0，1，2，…）?搖?搖（k-1）
按照課本上學(xué)習(xí)的等比數(shù)列求解公式：
S=（a：首項；q：公比；n：項數(shù)）
該公式看似簡單，但隨著首項的逐漸增大，其計算難度也逐漸增大，同時也影響了解題的速度與準(zhǔn)確率。在教學(xué)過程中，我發(fā)現(xiàn)該類型的等比數(shù)列有兩種快速且?guī)の缎缘那蠼夥椒ā?/p>
2.趣味圖解法
（1）假定把圓的面積當(dāng)作1，則式（1）可以理解為：
從圖中可以看出，各式分別單位圓減去帶圈的數(shù)字部分（該部分的數(shù)值等于數(shù)列的最后一項），即：
1-?搖?搖?搖?搖1-?搖?搖?搖?搖1-?搖?搖?搖?搖1-
由此可得該數(shù)列的總和為：
++…+=1-
即總和等于首項（a）的2倍減去末項（a）。
（2）同理，假定把圓的面積當(dāng)作1，則式（2）可以理解為：
+?搖?搖?搖++?搖?搖?搖+++?搖?搖?搖 ++++
從圖中可以看出，各式分別以虛線處減去帶圈的數(shù)字部分（該部分的數(shù)值等于數(shù)列的最后一項），即：
-?搖?搖?搖?搖-?搖?搖?搖?搖-?搖?搖?搖?搖-
由此可得該數(shù)列的總和為：
++…+=-
即總和等于首項（a）的2倍減去末項（a）。
（3）同理，假定把圓的面積當(dāng)作1，則式（2）可以理解為：
+?搖?搖?搖++?搖?搖?搖+++?搖?搖?搖++++
從圖中可以看出，各式分別以虛線處減去帶圈的數(shù)字部分（該部分的數(shù)值等于數(shù)列的最后一項），即：
-?搖?搖?搖?搖-?搖?搖?搖?搖-?搖?搖?搖?搖-
由此可得該數(shù)列的總和為：
++…+=-
即總和等于首項（a）的2倍減去末項（a）。
3.逆向求解法
由于該類型的數(shù)列公比是，因此數(shù)列當(dāng)中后一項的2倍等于前一項。因此，如果數(shù)列本身再加上其末項，該數(shù)列即可轉(zhuǎn)化為：
（1）如果k=2時，數(shù)列=-
（2）如果k=3時，數(shù)列=-
（3）如果k=4時，數(shù)列=-
計算結(jié)果與上述圖解法相等，即此方法亦可行。
4.數(shù)列極限
從該數(shù)列的上述圖解法和逆向求解法可知，
即該數(shù)列極限等于首項的2倍。
5.結(jié)語
1.求通項公式問題
1.1 已知數(shù)列的前n項和表達(dá)式，求數(shù)列的通項公式。
（例2009年安徽卷）已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=2n2+2n，求這個數(shù)列的通項公式。
方法解析：由Sn=2n2+2n得，
當(dāng)n≥2時，有Sn-1=2(n-1)2+2(n-1)
an=Sn-Sn-1=(2n2+2n)-［2(n-1)2+2(n-1)］=4n,n∈N*。
說明：解答這類問題的關(guān)鍵，是充分利用前n項和表達(dá)式這一條件，再根據(jù)an=Sn-Sn-1這一相等關(guān)系即可解決。
1.2 給出已知數(shù)列的遞推公式，求數(shù)列的通項公式。
如果一個數(shù)列的任一項an與它的前一項an-1（或前幾項）間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就稱這個數(shù)列的遞推公式。利用數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的通項，是歷年高考數(shù)學(xué)的一個熱點(diǎn)。解決這類問題的主要方法有累加法、累乘法、分離常數(shù)化歸為等差數(shù)列和分項整理化歸為等比數(shù)列等。
例1:已知數(shù)列{an}滿足a1=2，aa+1=an+2n，求這個數(shù)列的通項公式。
方法解析：由an+1=an+2n得，
an+1-an=2n，據(jù)此可寫出如下等式：
a2-a1=2，a3-a2=22，a4-a3=23……an-an-1=2n-1
將上述等式兩邊分別相加得，
an-a1=2+22+23+……2n-1=2（1-2n-1）1-2=2n-2
an=a1+2n-2=2n。
說明：此題的解法就是利用了累加法，通過累加，使等式中的一些項抵消，巧妙地得出通項公式。
例2:已知數(shù)列{an}是首項為1的正項數(shù)列，且an+1=nn+1an，求這個數(shù)列的通項公式。
方法解析：由an+1=nn+1an得，
an+1an=nn+1，據(jù)此可寫出如下等式：
a2a1=12，a3a2，a4a3=34……anan-1=n-1n
將上述等式兩邊分別相乘得，
a2a1•a3a2•a4a3……anan-1=12•
23•34……n-1n
ana1=1n
即an=1n。
說明：此題的解法就是利用了累乘法，通過對許多等式的累乘，約去大量的因式，從而簡化計算過程，求出通項公式。
例3：已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=2an+1，求這個數(shù)列的通項公式。
方法解析：由an+1=2an+1得，
an+1+1=2(an+1)
a1+1=2≠0
an+1+1an+1=2。
上式說明數(shù)列{an+1}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列
an+1=2×2n-1
即an=2n-1。
說明：此題的解法就是利用了化歸的數(shù)學(xué)思想方法。通過對遞推公式分項整理，將所給問題化歸為等比數(shù)列問題，從而使問題迎刃而解。同時也總結(jié)出一個結(jié)論：對于“an+1=xan+y(x≠0,x≠1,y≠0)”型數(shù)列遞推式，可以化歸為等比數(shù)列：an+1+λ=x(an+λ)，其中λ=yx-1。
2.求前n項和問題
在高考中，由于所給的數(shù)列問題往往千變?nèi)f化，可能既不是等差也不是等比數(shù)列，這就需要我們學(xué)會隨機(jī)巧變，靈活轉(zhuǎn)化，最終將所給的問題轉(zhuǎn)化成等差或等比數(shù)列的問題來解決；或應(yīng)用其他手段，化變量為常量，以多化少，以繁化簡，以解決問題為目的。
2.1 倒序相加法。
例：求1+2+3+……+100的和。
方法解析：設(shè)S100是所求的和，則
S100=1+2+3+……+100
另一方面又有，
S100=100+99+98+……+1
將上述兩個等式的兩邊分別相加得，
2S100=（1+100）+（2+99）+（3+98）+……+（100+1）
=100×100
S100=101×1002=5050
說明：采用倒序相加的目的，是將多個變量化成一個常量，從而有效地減少了變量的個數(shù)，使復(fù)雜問題簡單化。
2.2 錯位相減法。
以課本教材為例。求首項為a1，公比為q(q≠1)的等比數(shù)列{an}的前n項和Sn。
方法解析：設(shè)Sn為等比數(shù)列的前n項和
Sn=a1+a1q+a1q2+……+a1qn-1 ①
將上述等式的兩端分別都乘以q得
qSn=a1+a1q+a1q2+……+a1qn-1②
②-①得，qSn-Sn=a1qn-a1
q≠1
Sn=a1(1-qn)1-q。
說明：上述解法就是利用的錯位相減法，通過錯位相減，使等式中一些共同的項消去。運(yùn)用錯位相減法求和的關(guān)鍵特征是等式中存在大量的相同的項。
2.3 分組轉(zhuǎn)化法。
例：已知在數(shù)列{an}中，an=n+2n，求這個數(shù)列的前n項和Sn。
方法解析：Sn=a1+a2+a3+……+an
=（1+2）+（2+22）+（3+23）+……（n+2n）
=(1+2+3+……+n)+(2+23+23+……+2n)
=n(n+1)2+2(1-2n)1-2
=n2+n2+2n+1-2
說明：分組轉(zhuǎn)化法，就是把數(shù)列的每一項分成多項，再經(jīng)過重新組合，使其轉(zhuǎn)化為熟知的等差或等比數(shù)列求和。一個數(shù)列能否利用分組轉(zhuǎn)化法求和，是由通項的結(jié)構(gòu)特征所解決的。
2.4 裂項抵消法。
例:已知在數(shù)列{an}中，an=1n2+n，求這個數(shù)列的前n項和Sn。
方法解析：由an=1n2+n得，
an=1n(n+1)=1n-1n+1
Sn=a1+a2+a3+……+an
=(1-12)+(12-13)+(13-14)+……+(1n-1n+1)
=1-1n+1
=nn+1
說明：若一個數(shù)列的每一項都可以表示為兩項之差，且前一項的減數(shù)恰與后一項的被減數(shù)相同，求和時中間的一些項就可以互相抵消，這種數(shù)列求和的方法就稱為裂項抵消法。
3.證明一個數(shù)列是等差或等比數(shù)列問題
關(guān)于等差或等比數(shù)列的證明問題，多出現(xiàn)在解答題的第一問，一般難度不太大，只要利用等差或等比數(shù)列的定義即可解決。
（例2009年陜西卷）已知數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=2，an+2=an+an+12，n∈N*，令bn=an+1-an，證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列。
方法解析：an+2=an+an+12
an+2-an+1=-12（an+1-an）
由bn=an+1-an得，
bn+1=an+2-an+1
bn+1=-12(an+1-an)=-12bn
又b1=a2-a1=2-1=1≠0
bn+1bn=-12
上式說明數(shù)列{bn}是首項為1公比為-12的等比數(shù)列。
說明：要證明一個數(shù)列是等差或等比數(shù)列，一般應(yīng)用定義進(jìn)行嚴(yán)格論證，即證明an+1-an或an+1an為常數(shù)；要證一個數(shù)列不是等差或等比數(shù)列，只要舉一反例說明即可。
【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)考試 難題 技巧
高中學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，普遍存在一個問題，平時聽老師講課，聽得懂，所學(xué)的知識點(diǎn)也掌握，但是在緊張的考試中，一但遇到有一定難度的數(shù)學(xué)題目，往往就無從下手，找不到突破口，不知如何是好？這是學(xué)生普遍存在的問題。這時，我們將如何思考、運(yùn)用所學(xué)知識解決實(shí)際問題，讓難題變得容易呢？這就牽涉到難題解題技巧，使得在競爭激烈的高考考試中，在有限的時間內(nèi)快速、正確地解答數(shù)學(xué)難題，考出好成績，實(shí)現(xiàn)自己遠(yuǎn)大理想和目標(biāo)。以下是我在教學(xué)中總結(jié)出的一些方法和技巧，僅供同行參考。
首先，要慢讀題。讀題時要把題中的每個字母表示的含義都要弄清，每一個已知條件所牽涉到的知識點(diǎn)要掌握。一邊讀一邊審。
其次，要從題目中條件的結(jié)構(gòu)，形式去選擇解題方法。
第三，代數(shù)法，幾何法，同時兼并，即“數(shù)形結(jié)合”，達(dá)到快速解題的功效。
例如【1】；定義在R上的奇函數(shù)Y= f（x），
滿足不等式>0，，
若當(dāng)時，
首先；要慢讀題，認(rèn)清題中的字母，，代表自變量，，，表示函數(shù)的值。其次，想到的是解不等式 >0，
即；>0，
從而總結(jié)出自變量，，與函數(shù)值，，滿足的是單調(diào)性的關(guān)系，即；y=f（x）在R上為增函數(shù)。第三，題中的已知條件，y=f（x）為奇函數(shù)，得到f（x）=―，其中時，，這個條件不要放過。即；
，
且，
在解這個不等式中，利用幾何知識（線性規(guī)劃）問題，解二元二次不等式，在分別以為橫軸，為縱軸建立坐標(biāo)系，則不等式表示的平面區(qū)域為一個圓心在原點(diǎn)，半徑為1的一個半圓，分別在一，四象限。
所解決的問題為的取值范圍是什么？
其實(shí)就是直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)p與A，兩點(diǎn)的距離，且點(diǎn)p在半圓內(nèi)。根據(jù)“數(shù)形結(jié)合”思想，點(diǎn)，點(diǎn)。則AB的距離最大為2.AO的距離最小為1，
從而；。解題過程如下；
解；
y=f（x）在R上為增函數(shù)。且f（x）=―，
且
例如【2】；已知函數(shù)
（I）當(dāng)時，討論f（x）的單調(diào)性；
（II）若時，恒成立，求的取值范圍。
（I）首先；慢讀題，考慮解析式中的代表的是函數(shù)的自變量，可取那些數(shù)，即函數(shù)的定義域，表示自然對數(shù)，底數(shù)為，
其次，開始看第一小題的條件，，則定義域確定；
根據(jù)求導(dǎo)公式可得；，
通過解不等式得到單調(diào)區(qū)間，即；
函數(shù)在，為減函數(shù)，在
為增函數(shù)。
（II）由特殊到一般，分兩種情況進(jìn)行；
（i）若時，，故
，，函數(shù)在為增函數(shù)。故，而題目要求恒成立。所以，。
（ii）若時，，
①當(dāng)時，，時，。所以，在為減函數(shù)，即 .
恒成立。
②當(dāng)時，，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則在上存在，使，故不合題意.
③當(dāng)時，， 函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則在上存在，使，故不合題意.
綜上所得，。
例如【3】；設(shè)數(shù)列的前n項和為，數(shù)列的前n項和為， 滿足，（n）
求；的值。
（2）求數(shù)列的通項公式。
首先，慢讀題，認(rèn)清題中的字母，，，n，表示什么？
即； 。
。
其次，看到 已知條件，
這一個等式，就可以寫出無數(shù)個等式，即；
， ，，。。。。
第三，題中的條件， 不要忘記。從而n可取1，2，3，，，，，。解題過程如下；
解；（1）由
，
（2）由數(shù)列公式；
【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) 數(shù)列
本章在歷年高考中占有較大的比重，至少占8%，考題類型既有選擇題，也有填空題和解答題，既有容易題，也有中檔題，更有難題。而從這幾年高考題的命題模式來看，客觀題主要是考察和其他知識點(diǎn)的交匯，主觀題對數(shù)列的考察較為全面，考察數(shù)列的概念、性質(zhì)、公式、求和的應(yīng)用。除09年理科解答題考察了和不等式及數(shù)學(xué)歸納法的結(jié)合外，最近幾年的數(shù)列解答題在高考中主要作為中檔題出現(xiàn)，對知識的交匯的考察主要集中在與函數(shù)、不等式以及數(shù)學(xué)歸納法的聯(lián)系上。本文從近幾年山東高考對數(shù)列的考查情況進(jìn)行分析。
1.數(shù)列考點(diǎn)（山東卷）統(tǒng)計分析
年號題號所占分值重點(diǎn)考察的知識點(diǎn)及知識點(diǎn)交匯情況所占比例
有以上兩個表格分析的近五年試題的分布來看，等差、等比數(shù)列作為最基本的數(shù)列模型，依然是高考重點(diǎn)考察的對象，利用Sn與an的關(guān)系以及遞推公式求數(shù)列通項，以及數(shù)列求和問題也是近幾年高考命題的熱點(diǎn)。由于2009年考試說明把放縮法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法加入考試要求，在09年高考中就考了數(shù)學(xué)歸納證明、放縮法，從而加大數(shù)列題難度，從最近五年的高考出題情況，雖然從2009年考綱加大難度，到2010年的中規(guī)中矩，再到2011年的新鮮題干，最后到2012年的等差數(shù)列中巧妙嵌入等比數(shù)列，我覺得數(shù)列的考察題目對知識難度要求總體有下降的趨勢，我認(rèn)為這與山東高考將取消文理分科，進(jìn)一步降低難度的大趨勢有關(guān)。
2.本單元考綱要求及復(fù)習(xí)策略
2.1 考綱要求
（1）了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖像、通項公式）。
了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一次函數(shù)。
了解等差數(shù)列與一次函數(shù)，等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系。
（2）理解等差數(shù)列，等比數(shù)列的概念；
掌握等差數(shù)列，等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式；
掌握由數(shù)列前n項求通項的公式；
掌握由遞推公式求通項的基本方法；
掌握裂項求和以及錯位相減求和。
（3）能在具體的問題情境中，識別數(shù)列的等差、等比關(guān)系，并能綜合運(yùn)用有關(guān)知識解決問題。
2.2 復(fù)習(xí)策略
（1）首先要認(rèn)真研讀大綱、考綱，認(rèn)真分析高考的出題動向，才能做到對這一部分出題動向的深入把握，這樣才能做到復(fù)習(xí)中更有針對性。
（2）曾聽到一位命題專家說過這樣一句話：“高考題來源于課本，高于課本”。由于這幾年山東高考大趨勢是更加注重基礎(chǔ)，降低難度。所以，復(fù)習(xí)過程中要切實(shí)做到“降低起點(diǎn)，以課本為主”，以知識模塊為主線開展復(fù)習(xí)，不能脫離課本僅憑某本參考資料復(fù)習(xí)。其實(shí)，往往很多高考題都是課本習(xí)題或例題的再加工或者就是原型。尤其是課本中思考、探究更應(yīng)引起我們的重視。如：（2009湖北卷文）古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種性狀來研究數(shù)，例如：
他們研究過圖1中的1，3，6，10，…，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似地，稱圖2中的1，4，9，16…這樣的數(shù)成為正方形數(shù)。下列數(shù)中及時三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是
A.289 B.1024 C.1225 D.1378
這是我們課本數(shù)列第一節(jié)的引入實(shí)例，如果我們在教學(xué)過程中能夠給予重視、講解，那這個題學(xué)生做起來就很容易了。所以高考中很多題目都可以在課本中找到原型。
（3）教學(xué)過程中我們堅持用“題組法”進(jìn)行數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)教學(xué)，取得了較好的復(fù)習(xí)效果。用題組法組織數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)，可以更好的突出重點(diǎn)，有梯度的攻克難點(diǎn)。用“題組法”組織數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課一般由四組題目構(gòu)成：再現(xiàn)型題組，鞏固型題組，提高型題組，反饋型題組。
具體是：①再現(xiàn)性題組，前一天已經(jīng)做過，老師已經(jīng)批閱過，上課是先用 3到5分鐘時間，讓學(xué)生習(xí)慣性的展開小組討論，然后，遺留問題就少得多了，老師精講相關(guān)內(nèi)容、用時也較少。 ②鞏固型題組，組內(nèi)派代表板演，不但讓小組間展開積極競爭，也能更好地檢測再現(xiàn)性題組的討論效果，板演結(jié)束后，由其它組的成員點(diǎn)評，提出多種不同的解決方案，老師在此基礎(chǔ)上再精析，將知識、方法升華。③提高型題組，小組內(nèi)簡單交流，稍作思考，然后有老師引導(dǎo)學(xué)生共同解決問題。④反饋型題組，完全的交給學(xué)生，小組內(nèi)完成，基礎(chǔ)好的同學(xué)，一般是組長可以利用自習(xí)、課間時間負(fù)責(zé)組織組內(nèi)講解，這樣，班級學(xué)習(xí)氛圍更濃了，第二天的課上輕松多了。相信經(jīng)過同學(xué)們的充分參與，我們的課堂真正成為學(xué)生的課堂，老師只是“導(dǎo)演”！
（4）在每次選編題組時，要求出題教師要圍繞有利于復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識，鞏固基本方法，揭示某些解題規(guī)律來選題、編題，每個題組中的題目及各題組之間要由易到難，并緊緊圍繞課時復(fù)習(xí)目標(biāo)，使基礎(chǔ)知識、基本技能、基本方法、基本思想、解題規(guī)律重復(fù)出現(xiàn)，螺旋式遞進(jìn)。這符合學(xué)生的認(rèn)識規(guī)律，有助于學(xué)生記憶、理解知識、方法、思想，加速從模仿到靈活運(yùn)用的進(jìn)程，能深深印入學(xué)生的腦海中。同時題目的選編，要以考綱為綱，以教本為本，應(yīng)具有基礎(chǔ)性、典型性、啟智性等。
（5）在復(fù)習(xí)過程中，要注意重視抓書寫規(guī)范訓(xùn)練，突出提高解題準(zhǔn)確與速度，以及對公式的準(zhǔn)確記憶。計算能力是高考四大能力要求之一，也是學(xué)生的薄弱環(huán)節(jié)之一。
3.高考試題典例分析
3.1 考察等差、等比數(shù)列的概念和簡單性質(zhì)
（2010山東理數(shù)）
（9）設(shè){an}是等比數(shù)列，則“a1
（A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件、
（C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】若已知a11，且a1>0，所以數(shù)列an是遞增數(shù)列；反之，若數(shù)列an是遞增數(shù)列，則公比q>1且a1>0，所以a1
【命題意圖】本題考查等比數(shù)列及充分必要條件的基礎(chǔ)知識，屬保分題。
3.2 用定義法求數(shù)列的通項，以an，-1n為基礎(chǔ)構(gòu)造新數(shù)列，分類討論，分組求和
2011年（山東文、理20）
等比數(shù)列中，分別是下表第一、二、三行中的某一個數(shù)，且中的任何兩個數(shù)不在下表的同一列.
評析：文理（ 20 ）題均為數(shù)列題，情景一致。該題以列表的形式簡潔明了地給出了等比數(shù)列的前三項，極易讓考生把握，巧妙地穿了分類整合的思想。該種情景具有科學(xué)依據(jù)，因為數(shù)列是特殊的函數(shù)，函數(shù)可以借助解析法、列表法、圖象法來表示。此外，從該情景中還可以感覺到行列式的魅力。所以該題目情景的設(shè)置極具創(chuàng)新精神，又不失科學(xué)依據(jù)，具有極深的數(shù)學(xué)底蘊(yùn)，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)語言文化的魅力。在第二問中，均在通項的基礎(chǔ)上求和，但在求和的方法、計算量的大小和難易的程度，都充分考慮到文理考生的實(shí)際狀況，體現(xiàn)了對廣大考生的人文關(guān)懷。
3.3 對數(shù)列知識的綜合考察
（08年山東理19題）
將數(shù)列{an}中的所有項按每一行比上一行多一項的規(guī)則排成如下數(shù)表：
評析：本題以數(shù)列知識為背景，綜合考察不等式的證明方法，如數(shù)學(xué)歸納法，放縮法且步步遞進(jìn)，環(huán)環(huán)相扣，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行歸納、總結(jié)、推理、論證等能力.
4.5 以等差數(shù)列為背景嵌入等比數(shù)列，對等差（比）數(shù)列之定義，通項以及求和的全面考察
（2012年文20） （本小題滿分12分）
已知等差數(shù)列{an}的前5項和為105，且a20=2a5.
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）對任意m∈N*，將數(shù)列{an}中不大于72m的項的個數(shù)記為bm.求數(shù)列{bm}的前m項和Sm.
解析：（I）由已知得：5a1+10d=105，a1+9d=2（a1+4d），
4.2013年高考預(yù)測
從近五年高考題目來看，除零九年理科數(shù)列題結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法和不等式難度有點(diǎn)增加外， 08、10年數(shù)列高考題的出題方向難度降低、更加注重基礎(chǔ)方向發(fā)展。2011年、2012年均是作為20題出現(xiàn)，文理兩科的出題意境也極為類似，而且全面考察等差數(shù)列、等比數(shù)列定義，通項公式以及求和等基礎(chǔ)知識。這就要求我們以后教學(xué)過程中仍要堅持重視基礎(chǔ)，無論難度降低還是提高，都能做到“以不變應(yīng)萬變”。
1.客觀題以考察等差、等比數(shù)列的概念、簡單性質(zhì)和基本量運(yùn)算為主。
2.解答題主要考查數(shù)列的綜合應(yīng)用為主，這里常涉及到的知識方法有：
（1）基本量思想，對等差或等比數(shù)列，列方程求首項和公差或公比。
（2）利用Sn與an的關(guān)系，求通項或?qū)崿F(xiàn)Sn與an的轉(zhuǎn)化，我認(rèn)為Sn與an的關(guān)系公式，不僅僅是求通項，而是在題目中實(shí)現(xiàn)了Sn與an相互轉(zhuǎn)化的一條通道。
（3）已知遞推公式求通項公式，這里重點(diǎn)考察的是構(gòu)造法。
【關(guān)鍵詞】高考數(shù)學(xué)；數(shù)列復(fù)習(xí)；思想方法；有效策略
數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。近幾年來，主要有以下三個方面的命題：（1）數(shù)列本身的有關(guān)知識，其中有等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項公式及求和公式。（2）數(shù)列與其他知識的交匯結(jié)合，其中有數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式、三角、幾何的結(jié)合。（3）數(shù)列的應(yīng)用問題，其中主要是以增長率問題為主。試題的難度有三個層次，小題大都以基礎(chǔ)題為主，解答題大都以基礎(chǔ)題和中檔題為主，只有個別地方用數(shù)列與幾何的綜合與函數(shù)、不等式的綜合作為最后一題難度較大。那么對于高三課堂，如何才能在不增加學(xué)生負(fù)擔(dān)的前提下，更有效地復(fù)習(xí)好數(shù)列呢？
一、緊扣課本，夯實(shí)基礎(chǔ)知識
對于一名高三教師，應(yīng)該認(rèn)真學(xué)習(xí)研究《新課程標(biāo)準(zhǔn)》與《考試說明》，明確數(shù)列的考查要求，突出兩種基本數(shù)列（等差、等比數(shù)列）的復(fù)習(xí)，從歷年數(shù)列考題可以看出，多數(shù)問題解決最終均化歸為等差或等比數(shù)列求解。在復(fù)習(xí)中，我們教師要注意難度的把握，等差、等比數(shù)列的基本量計算是個常考點(diǎn)，常涉及“知三求二”題型，對于該題型的訓(xùn)練我們要強(qiáng)化，使學(xué)生熟練掌握，又要適度，不要人為做那些太難、太繁題目，這樣不僅增加學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，而且還淡化了數(shù)學(xué)本質(zhì)；同時還應(yīng)適當(dāng)關(guān)注等差、等比數(shù)列的性質(zhì)在化簡運(yùn)算方面的作用；等差、等比數(shù)列的判定（定義法，中項公式法等）以及數(shù)列求和也是高考的另外兩個常考點(diǎn)，我們應(yīng)通過適當(dāng)?shù)木毩?xí)訓(xùn)練來加深學(xué)生對數(shù)列求和方法（公式法、分組求和法、錯位相減法、裂項相消法、倒序相加法等）的正確運(yùn)用，并注意引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注易漏、易錯、易混點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生的認(rèn)真、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S品質(zhì)，避免不必要的失分。例如，（2012高考重慶理1）在等差數(shù)列{an}中，a2=1，a4=5，則{an}的前5項和S5=（ ），本題可采用基本量法，也可利用數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)解決問題。
二、把握基本思想，提高解題能力
數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，它與數(shù)、式、函數(shù)、方程、不等式等有著密切的練習(xí)，在數(shù)列綜合問題中涉及很多數(shù)學(xué)思想方法，如函數(shù)思想、方程思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、遞推思想與數(shù)學(xué)歸納思想等。在復(fù)習(xí)中若能靈活應(yīng)用這些數(shù)學(xué)思想方法，將會取得事半功倍的效果。
（1）函數(shù)思想。數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，等差數(shù)列的通項公式可以看成是n的一次函數(shù)，而其求和公式可以看成是常數(shù)項為零的二次函數(shù)，而等比數(shù)列的通項公式，則要弄清它與指數(shù)函數(shù)之間的關(guān)系，因此許多數(shù)列問題可以用函數(shù)方程的思想進(jìn)行分析，加以解決。例如，設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a3=12，S12>0，S13
（2）方程思想。數(shù)列的通項公式與前n項和的公式緊密地聯(lián)系著五個基本量a1，n，d（q），an，sn，“知三求二”是一類最基本的運(yùn)算，根據(jù)題設(shè)條件，結(jié)合數(shù)列通項公式和求和公式構(gòu)建方程或方程組求解，方程思想貫穿于數(shù)列學(xué)習(xí)和解題的始終。例如，已知等差數(shù)列{an}的公差是正數(shù)a3a7=-12，a4+a6=-4，求前n項的和sn。此題利用了a3+a7=a4+a6這一性質(zhì)構(gòu)造了二次方程巧妙的解出了a3=-6，a7=2，再利用方程求得了首項與公差的值，從而使問題得到解決，由此可知在數(shù)列解題時往往可借助方程的思想與an+am=ap+aq（或an?am=ap?aq）找出解題的捷徑。
（3）分類討論思想。數(shù)列中滲透分類討論的思想。在運(yùn)用等比數(shù)列求和公式時，若公比q沒有明確給出，需要分q=1和q≠1討論；在數(shù)列求和中有時需要進(jìn)行奇偶分析討論；有些數(shù)列的通項公式是分段表示，解題過程需要討論；在數(shù)列解題中有時根據(jù)過程需要進(jìn)行討論。
（4）遞推思想與數(shù)學(xué)歸納思想。遞推是數(shù)列的本質(zhì)性的內(nèi)涵，是數(shù)列的一大特色。數(shù)列中涉及n，an，sn之間的關(guān)系問題，常采用遞推思想來解決，其中主要使用公式法、累加法、累乘法、迭代法、構(gòu)造法、數(shù)學(xué)歸納法等思想方法。例如，設(shè){an}是首項為1的正項數(shù)列，且（n+1）a-na+an+1?an=0（n=1，2，3…），求通項an。對于此題，通過化簡已知等式，得到（n+1）an+1-nan=0，然后利用累乘法或累加法都可以解決問題，對于一些有些不易直接化成等差或等比的數(shù)列，經(jīng)推理可以尋求特殊關(guān)系的，可以把它轉(zhuǎn)化為可求通項的特殊數(shù)列再求解。
三、關(guān)注交匯內(nèi)容，做好融會貫通
數(shù)列除了考查本身知識內(nèi)容，還常與程序框圖、對數(shù)、三角結(jié)合、一般函數(shù)、不等式等知識相結(jié)合進(jìn)行交匯考查。
例如，在數(shù)1和100之間插入n個實(shí)數(shù)，使得這n+2個數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這n+2個數(shù)的乘積記作Tn，再令an=lgTn，n≥1
①求數(shù)列{an}的通項公式；②設(shè)bn=tanan?tanan+1，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn。
關(guān)鍵詞：命題創(chuàng)新；應(yīng)對策略；明年高考創(chuàng)新預(yù)測
由于綜合高中的生源特點(diǎn)（基礎(chǔ)知識較薄弱，綜合能力較差），所以每年綜合高中數(shù)學(xué)高考試卷一方面要控制難度，以基本題和常規(guī)題為主，另一方面為了保證高考試卷的新穎度和區(qū)分度，每年的高考題中都有1-2道創(chuàng)新題，讓基本功扎實(shí)，能力強(qiáng)的學(xué)生能脫穎而出，達(dá)到選拔人才的效果。結(jié)合綜合高中的教材和學(xué)生的特點(diǎn)，綜合高考創(chuàng)新題的特征是小而活，新而不難，立意巧妙。認(rèn)真研究創(chuàng)新題的特點(diǎn)，可以揣摩命題教師的創(chuàng)新思路，深刻領(lǐng)會“能力立意”的命題指導(dǎo)思想，準(zhǔn)確把握《考試大綱》的要求，以提高高三復(fù)習(xí)的針對性和有效性。
知識綜合，推陳出新
【例1】（江蘇省2009年對口高考第20題）設(shè)數(shù)列a■的前n項和為Sn，對一切n∈N+，點(diǎn)（n，■）均在函數(shù)f（x）=3x+2 的圖象上。
（1）求a■，a■及數(shù)列a■的通項公式；
（2）解不等式f（n）？叟Sn-22。
點(diǎn)評：例1是數(shù)列與函數(shù)，不等式進(jìn)行綜合，在解題時要注意變量n的取值范圍。
【例2】（江蘇省2010年對口高考第20題）已知？琢為銳角，且點(diǎn)（cos？琢，sin？琢）在曲線6x2+y2=5上。
（1）求cos2？琢的值
（2）求tan（2？琢-■）的值
點(diǎn)評：例2是三角函數(shù)與解析幾何的綜合題，屬于淺層次的綜合，改變了題目條件的給出方式，其實(shí)質(zhì)仍然是三角函數(shù)題。
【應(yīng)對策略】：
在知識的交匯點(diǎn)處出題，加強(qiáng)學(xué)生對不同章節(jié)間知識的綜合運(yùn)用能力是高考中常見的考法，可以考查學(xué)生熟練運(yùn)用所學(xué)知識進(jìn)行融會貫通的能力。數(shù)列、三角函數(shù)作為特殊的函數(shù)常與函數(shù)、不等式進(jìn)行綜合，向量作為工具常與三角函數(shù)，解析幾何進(jìn)行綜合等。這就要求學(xué)生在平時的學(xué)習(xí)過程中加強(qiáng)雙基訓(xùn)練，熟練掌握所學(xué)知識，并培養(yǎng)出解決綜合題的能力。
風(fēng)水輪流轉(zhuǎn)，知識輪流考
【例3】（江蘇省2013年對口高考第25題）設(shè)雙曲線■-■=1的焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為2。
（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及漸近線l1，l2的方程；
（2）若A，B分別是l1，l2上的動點(diǎn)，且2AB=5F1F2。求線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線。
點(diǎn)評：上次考查解析幾何的軌跡問題，是在2005年的高考卷上。但后來，從2005年到2012年卻一直未考查，這種長期未考查的知識點(diǎn)很容易被許多老師淡化。所以，今年再次考查這個知識點(diǎn)，可以說是給了所有老師一個足夠的警示。
【例4】（江蘇省2010年對口高考第21題）已知數(shù)列a■滿足
a■=2，a■=a■+2n，n∈N+
（1）求證：a■是a■，a■的等比中項；
（2）求數(shù)列a■的通項公式。
點(diǎn)評：數(shù)列中迭加法求通項公式，在以前單招考試中一直沒出現(xiàn)過，但在2010年的對口單招考試中卻出現(xiàn)了。這表明，即使以前未考的知識點(diǎn)，未必以后不會考， 所以廣大師生在復(fù)習(xí)過程中，千萬不能忽視那些書本上要求掌握的，卻一直沒考過的知識點(diǎn)。
【應(yīng)對策略】：
首先：一輪復(fù)習(xí)時要有足夠的廣度，不能因為某個知識點(diǎn)近幾年沒考，就淡化對其復(fù)習(xí)，如利用迭加法求數(shù)列的通項公式，在高考中一直沒有考過，但在2010年高考解答中題進(jìn)行了考查；其次：在三輪復(fù)習(xí)中要進(jìn)行針對性的練習(xí)，知識面上不容許出現(xiàn)盲點(diǎn)，研究每一章中有哪些知識點(diǎn)，最近5年考查了哪些知識點(diǎn)，還有哪些未考查的知識點(diǎn)要進(jìn)行掃盲，進(jìn)行針對性的復(fù)習(xí)，提高復(fù)習(xí)的全面性，避免高考中因為復(fù)習(xí)的問題導(dǎo)致班級整體性的丟分。
二次加工，源于課本
【例5】（江蘇省2012年對口高考第19題）設(shè)關(guān)于x的不等式x-a
點(diǎn)評：我們平時復(fù)多接觸的是給出不等式，求不等式的解集，而此題將條件和結(jié)論進(jìn)行了調(diào)換，給出了絕對值不等式的解集，求其中待定系數(shù)a，b的值，給人耳目一新的感覺。另外此題其實(shí)是從書本上已知一元二次不等式的解集，求a，b的值的題目遷移而來。
【例6】（江蘇省2012年對口高考第12題）若過點(diǎn)A（3，0）的直線l與圓C：（x+1）2+y2=1有公共點(diǎn)，則直線 斜率的取值范圍為（ ）
A.（-■，■）
B.-■，■
C.（-■，■）
D.（-■，■）
點(diǎn)評：關(guān)于上述考題，還有個小故事。在高考的前一天晚上，班級中部分學(xué)生圍在一起，我對他們進(jìn)行答疑，這時其中一個學(xué)生問到練習(xí)卷上的這樣一道題目：若直線l：y=x+b與圓C：x2+y2=1有公共點(diǎn)，求b的取值范圍。當(dāng)時我給學(xué)生講解之后，想到高考考同類型的題目可能性不大，于是將題目進(jìn)行適當(dāng)改動，將直線y=x+b改成了過P（0，2）的直線，其它條件不變。從這個故事可以看出，高考題其實(shí)是從書本上練次加工得到。
【應(yīng)對策略】：
從上述兩個例題可以看出，高考考題其實(shí)來源于書本和平時的練習(xí)，并對此進(jìn)行適當(dāng)?shù)募庸ぃ晕覀冊谄綍r的復(fù)習(xí)中，要加強(qiáng)變式訓(xùn)練（條件結(jié)論互換，題目遷徙，動靜結(jié)合），可以起到事半功倍的效果。
背景新穎，考題公平
【例7】（江蘇省2010年對口高考第11題）為贏得2010年上海世博會的制高點(diǎn)，某工藝品廠最近設(shè)計、生產(chǎn)了一款工藝品進(jìn)行試銷，得到如下數(shù)據(jù)表：
根據(jù)該數(shù)據(jù)表，可以推測下列函數(shù)模型中能較好反映每天銷售量y（單位：件）與銷售單價x（單位：元/件）之間關(guān)系的是（ ）
A.y=kx+b B.y=ax+bx+c（a≠0）
C.y=logax+b（a>0且a≠1）
D.y=ax+b（a>0且a≠1）
點(diǎn)評：此題是以上海世博會為背景的一個函數(shù)模型題，可利用數(shù)形結(jié)合的思想予以突破。題型較新穎，很難在復(fù)習(xí)資料和模擬試題中找到，解答往往沒有現(xiàn)成的方法可套，對所有考生公平，并會使一些考生感到難以入手，從而使試卷具有很好的區(qū)分度和選拔功能。
【例8】（江蘇省2007年對口高考第22題）隨著人們生活水平的不斷提高，私家車也越來越普及.某人購買了一輛價值15萬元的汽車，每年應(yīng)交保險費(fèi)、養(yǎng)路費(fèi)及消耗汽油費(fèi)合計12000元，汽車的維修費(fèi)為：第一年3000元，第二年6000元，第三年9000元，依此逐年遞增（成等差數(shù)列）。若以汽車的年平均費(fèi)用最低報廢最為合算。
（1）求汽車使用年時，年平均費(fèi)用 （萬元）的表達(dá)式；
（2）問這種汽車使用多少年報廢最為合算？此時，年平均費(fèi)用為多少？
點(diǎn)評：此題以日常生活中私家車保養(yǎng)費(fèi)用為背景，貼近生活，與數(shù)列，一元二次函數(shù)最值，均值不等式最值等知識點(diǎn)進(jìn)行綜合，難度較大，綜合性強(qiáng)，具有良好的選拔功能。
【應(yīng)對策略】：
針對背景新穎的應(yīng)用題，難度較大，我們在平時的學(xué)習(xí)過程很難接觸到原題，這需要教師平時注意培養(yǎng)學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)問題的能力，并且對應(yīng)用題進(jìn)行專題訓(xùn)練，克服對應(yīng)用題的恐懼心理，提高解題能力和信心。
新教材的實(shí)施，為創(chuàng)新提供了更廣闊的空間
仔細(xì)研讀新教材，可以發(fā)現(xiàn)新教材中增加了與日常生活聯(lián)系密切的內(nèi)容（邏輯代數(shù)初步、算法與程序框圖、數(shù)據(jù)表格信息處理、編制計劃的原理與方法、線性規(guī)劃初步等），加強(qiáng)了中職數(shù)學(xué)的實(shí)用性，刪除了一些晦澀難懂的內(nèi)容（如反函數(shù)，均值不等式等）。從新考綱來看，試卷從試題結(jié)構(gòu)和知識點(diǎn)兩方面進(jìn)行了創(chuàng)新。
【例9】（來源2014年考綱典型題示例10）已知圓x2+y2=10上有一點(diǎn)A（1，3），過點(diǎn)A的圓的直徑的斜率為 ，過點(diǎn)A的圓的切線的斜率為 ，切線方程是 。點(diǎn)B也是圓上的點(diǎn)，那么過點(diǎn)B的圓的切線方程是 。過圓x2+y2=10上任意一點(diǎn)P（x0，y0）的圓的切線方程是 。
如果某城市交通規(guī)劃中，擬在半徑為50m的高架圓形車道側(cè)某處開一個出口，以與圓形道相切的方式，引伸一條直道接到圓形道中心正北150m處的道路上（如圖），建立如圖所示坐標(biāo)系，試寫出所引伸直道的方程，并計算出口應(yīng)開在圓形道何處。
點(diǎn)評：本題將填空題與解答題結(jié)合在一起，進(jìn)行了創(chuàng)新。題中的填空部分為后繼問題的解決奠定了基礎(chǔ)，降低了題目難度，提高了學(xué)生得分。本題背景現(xiàn)實(shí)，從方法論的角度看，讓學(xué)生經(jīng)歷了解決問題的全過程。
【例10】（來源2014年考綱典型題示例11）某飯店烹調(diào)“汽鍋鴿子湯”的用料規(guī)定如下：①鴿子1只，單價14元/只；②水發(fā)口菇50克，單價10元/千克；③冬筍、火腿、干貝等原料6元；④調(diào)味品0.9元。規(guī)定毛利率為55。
（1）你能制作“汽鍋鴿子湯”的成本表嗎？
（2）“汽鍋鴿子湯”的定價應(yīng)是多少元？（保留到個位）
答案：（1）成本表如下：
（2）21.4（1+55%）=33.17≈33（元）。
點(diǎn)評：
1.本題屬于“數(shù)據(jù)表格、數(shù)組” 內(nèi)容。此類問題與實(shí)際生活聯(lián)系緊密，有較強(qiáng)的應(yīng)用性。
2.新教材中增加了與日常生活聯(lián)系密切的一些內(nèi)容，如邏輯代數(shù)初步、算法與程序框圖、數(shù)據(jù)表格信息處理、編制計劃的原理與方法、線性規(guī)劃初步等，一方面加強(qiáng)了利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力，提高了中職數(shù)學(xué)教材的實(shí)用性，另一方面為高考創(chuàng)新命題提供了廣闊的空間。
【應(yīng)對策略】：
關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；課堂教學(xué)；有效性
新課程改革要求在實(shí)際教學(xué)當(dāng)中，大多數(shù)教師只是有了形式上的轉(zhuǎn)變，真正課堂內(nèi)容的實(shí)質(zhì)轉(zhuǎn)變卻無法做到。那么，怎樣才能真正做到向素質(zhì)教育的轉(zhuǎn)變呢？這里有一個衡量的標(biāo)志，那就是課堂教學(xué)的有效性。課堂有效性的不斷提高，是新型教育轉(zhuǎn)變成功與否的指標(biāo)。那么，具體到高中數(shù)學(xué)學(xué)科應(yīng)該如何提高課堂教學(xué)的有效性呢？筆者結(jié)合自身教學(xué)經(jīng)驗，在此談?wù)勛约簩μ岣邤?shù)學(xué)課堂教學(xué)實(shí)效性的粗淺認(rèn)識。
一、對課堂教學(xué)內(nèi)容和本班學(xué)生的了解和分析是提高課堂有效性的前提
數(shù)學(xué)教師在上課之前，一定要對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行分析、理解、總結(jié)，只有對教學(xué)內(nèi)容做了前期的準(zhǔn)備和分析后，才能準(zhǔn)確把握課堂教學(xué)的目標(biāo)和任務(wù)，才能把課堂有限的時間安排得詳略得當(dāng)。如何使課堂的時間在教學(xué)內(nèi)容上表現(xiàn)出來，首先應(yīng)該體現(xiàn)在對重難點(diǎn)的突出上。例如，在數(shù)列教學(xué)時，要讓學(xué)生明白通項及求和是數(shù)列中最基本也是最重要的問題。數(shù)列是函數(shù)概念的繼續(xù)和延伸，數(shù)列的通項公式及前n項和公式都可以看作項數(shù)n的函數(shù)，是函數(shù)思想在數(shù)列中的應(yīng)用。數(shù)列以通項為綱，數(shù)列的問題，最終歸結(jié)為對數(shù)列通項的研究……這樣就教給了學(xué)生研究問題的方法，取得了良好的效果。
此外，高中數(shù)學(xué)教師在授課前一定要對本班的學(xué)生做一個比較詳細(xì)的調(diào)查分析，要了解他們現(xiàn)在的知識狀況、掌握程度，只有這樣才能在教學(xué)中做到有的放矢，為順利完成教學(xué)目標(biāo)打下基礎(chǔ)。
二、以學(xué)生為主體的，互動課堂是提高課堂教學(xué)的內(nèi)驅(qū)力
新課程改革要求我們高中數(shù)學(xué)教師要改變過去以往陳舊的教學(xué)方式和方法，要建立以學(xué)生為主體的互動課堂模式。教師作為一個宏觀的指揮者和課堂設(shè)計者的角色出現(xiàn)在學(xué)生面前，以學(xué)生為主體，師生互動，生生合作，共同完成課堂教學(xué)。這樣，不僅可以活躍課堂氣氛，而且可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，從而從根本上提高高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的有效性。教師不必再擔(dān)心學(xué)生的學(xué)習(xí)成績，也不會因為課堂教學(xué)的單一而煩惱。
三、運(yùn)動多種信息化教學(xué)手段是提高課堂教學(xué)有效性的重要
途徑
高中數(shù)學(xué)教學(xué)教具比較有限，如果只利用原有的專業(yè)教具來授勢必比較單調(diào)、無趣。我們不妨利用多媒體等各種信息化手段來教學(xué)，如，立體幾何中的一些幾何圖形、高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用題、重要章節(jié)的內(nèi)容都可以用投影儀或者多媒體課件來進(jìn)行授課，通過形象豐富的畫面來加深學(xué)生的印象，從而收到事半功倍的效果。
總之，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要善于思考，通過多種教學(xué)方法不斷提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的有效性。
參考文獻(xiàn)：
[1]晁旭偉.提高高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)有效性的實(shí)踐探索[J].學(xué)周刊，2011（29）.
“無聊”的填數(shù)問題
網(wǎng)上公布的公務(wù)員考試題中有一道找規(guī)律填數(shù)字問題:
題1 根據(jù)規(guī)律填空：1， 3， 11， 67， 629,( ).
S老師準(zhǔn)備讓學(xué)生試試看.
生 老師,這類題目我們小學(xué)時做得太多了.現(xiàn)在還讓我們做不是太無聊了嗎?
學(xué)生雖這么說,其實(shí)還是很感興趣.但很快由不屑一顧變成束手無策了.這個數(shù)列既不是等差數(shù)列,也不是等比數(shù)列.套路無用武之地了.總體看,數(shù)列逐項在增大.但給出的四個選項都比629大.
生 增大的幅度越來越大:3-1=2， 11-3=8， 67-11=56， 629-67=562.不過2351-629=1722也遠(yuǎn)大于562,后面幾個選項與629的差就更大了.并沒有看出哪個選項顯得特別.
師 除了考察相鄰兩項的差,還有其他方法嗎?
生 能不能看看相鄰兩項的比呢?
于是粗略地估算知:31=3, 113≈3.67, 6711≈6.09, 62967≈9.39.
師 接下來的一個比值大致可能是多少呢?
生 應(yīng)該在12附近才行.又2351629≈3.74, 3130629≈4.98, 4783629≈7.60, 7781629≈12.37,選擇D.
師 很好.
生 老師,雖然猜到了正確的答案,但并沒覺得與學(xué)過的等差或等比數(shù)列有何聯(lián)系?
師 你察覺出數(shù)列是逐項增大,不是考察了相鄰兩項的差、相鄰兩項的商嗎?看到3.67， 6.09， 9.39,為什么會猜想下一個數(shù)應(yīng)該在12的附近呢?
生 哦,原來默化潛移地影響了我直觀察覺的方法.但這樣做讓人有點(diǎn)不放心.如果四個選項提供的數(shù)值靠得很近,不還是沒法選嗎?
師 你們認(rèn)為怎樣才是完美的解法呢?
生 應(yīng)該找出一個通項公式.
師 好,啟動你們這些聰明的腦袋,大家一起想想看.
也就是這樣的問題:
11, 23, 311, 467, 5629, 6？
學(xué)生覺得可從“467, 5629”入手尋找.靠近67的64是43,也就是說67=43+3;同理629=625+4=54+4.
再回頭查看，10+0=1， 21+1=3， 32+2=11,皆符合同樣關(guān)系.所以該數(shù)列的一個通項公式為an=nn-1+n-1.當(dāng)n=6時，65+5=7781,選擇D.
師 看來解決數(shù)列問題并非都是一環(huán)緊扣一環(huán)的推理計算,憑借對問題洞察,也能直逼問題的本質(zhì).
生 嘻,我們解題套路的版本該升級了.
直覺得來的結(jié)果有時我們自己也不敢相信.
被“誤解”的好學(xué)生
一次作業(yè)中有這樣一道題:
題2 已知{an}為等差數(shù)列, Sn是其前n項和， a1=25, S17=S9,問n為何值時，Sn取得最大值?
批改時,絕大部分同學(xué)是按“套路”求解.但發(fā)現(xiàn)某同學(xué)的本子上僅寫了:
解當(dāng)n=13時，Sn取得最大值.
難道來不及做作業(yè),直接將別人的答案抄在自己的作業(yè)本上?課間S老師還是與該生面談了解具體情況.
生 這個問題我會做,只是沒有將想法寫出來.
師 你是怎樣想的呢?
生 因為Sn=na1+n(n-1)2d=d2n2+a1-d2n.所以當(dāng)d≠0時,Sn是關(guān)于n的二次函數(shù).且常數(shù)項為0.故有Sn=an2+bn.考察二次函數(shù)f(x)=ax2+bx.
由條件a1=25, S17=S9,知f(1)=25, f(17)=f(9).
因為f(x)的圖象為拋物線,且過原點(diǎn).又f(17)=f(9),所以拋物線關(guān)于直線x=17+92=13對稱.又因為f(0)
師 想法很好,為什么不寫出來呢?
生 這些都是顯而易見的東西,寫出來太長.但只要想到函數(shù)圖象,也用不著計算,結(jié)果太明顯了.
師 確實(shí)是很好的想法,由等差數(shù)列的前n項和聯(lián)想到二次函數(shù),用函數(shù)工具解決數(shù)列問題,很具有代表性.但數(shù)學(xué)表達(dá)也是不可忽視的一個方面.可不能“茶壺中煮餃子,有貨到不出”.將你的思考過程好好整理一下,貼在后面的展示欄里好嗎?
學(xué)生高興地離開了辦公室.
未過幾天,該生又來找我.
生 老師,我發(fā)現(xiàn)用函數(shù)方法解決問題真的很有用.昨天與同學(xué)討論這樣一道題:
題3 在等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}中，a1=b1>0,且a1≠a3， a3=b3.試比較下列各組數(shù)的大小.(1)a2與b2;(2)a5與b5.
我這樣思考行嗎?
數(shù)列{an}的各項對應(yīng)的點(diǎn)(n， an)在直線y=dx+(a1-d)上,數(shù)列{bn}對應(yīng)的點(diǎn)在曲線y=b1qqx上.因為a1=b1， a3=b3.所以A(1， a1)， B(3， a3)是這兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn).當(dāng)0
由圖1可知,當(dāng)x∈(-∞， 1）∪(3， +∞)時,直線在曲線的下方,當(dāng)x∈(1， 3)時,直線在曲線的上方.所以a2>b2， a5
師 聯(lián)想越來越豐富,頭腦越學(xué)越活,方法很好.如果能注意到q可能為負(fù)數(shù)就更嚴(yán)謹(jǐn)了.
聯(lián)想讓我們的思維插上的翅膀.
“多余”的點(diǎn)撥
隨著對數(shù)列學(xué)習(xí)的不斷深入,學(xué)生涉獵問題的面越來越廣,對解決問題不循規(guī)蹈矩早已司空見慣.還不時挑戰(zhàn)一些有思考難度的問題.老師自然成了學(xué)生的高參.
生 老師,我遇到這樣一道題,不知怎么辦.
題4 給定數(shù)列{xn}， x1=1， xn+1=3xn+13-xn,則x2012
師 等式xn+1=3xn+13-xn也稱為數(shù)列的遞推關(guān)系式.遞推關(guān)系式也是確定數(shù)列的一種方式.根據(jù)給定的前幾項,逐步求出后面的項.
生 這些我都知道.
師 好,那我們就用這一關(guān)系來進(jìn)行計算.由x1=1,可求得x2=2+3,由x2=2+3,求得x3=-2-3,再順次下去,可求得x4=-1， x5=-2+3， x6=2-3.
生 老師,這些我都會.
師 那為什么還要問我呢?
生 我想找一個好方法,能快速算出x2012,像這樣算,即使用計算器,或許到放學(xué)也算不完.
師 我這不是也在找方法嗎?我也沒有再好的方法了,只好先這樣吧.老師也計算膩了.下面你來接著算一算吧,可不能算錯啊!免得一失足成千古恨.
生 知道了,老師放心是了.
于是學(xué)生著手計算.
生 老師,我知道結(jié)果了.
師 怎么這么快解決了呢?
生 因為x7=1,也就是說,往下算得到的結(jié)果與前面由x1=1算出來的重復(fù)了.這不與三角函數(shù)的周期性一樣嗎?所以x13=1， x19=1， …, x6k+1=1 (k∈N),也就是說數(shù)列{xn}以6為周期.又因為2012=335×6+2.所以x2012=x2=2+3.我要是再多算一項,就不用來找您了.
師 你把我的功勞都抹殺了.
生 沒想到三角函數(shù)的知識在數(shù)列中也能發(fā)揮作用.老師,萬一這個數(shù)列的周期是一個很大的數(shù),比如是50,那么不就更難發(fā)現(xiàn)了嗎?有沒有什么其他的方法呢?
師 這個問題提得很好,不妨想想看有沒有其他的方法.由xn+1=3xn+13-xn能想到什么呢?
生 我想到3=tanπ6.
師 式子xn+1=3xn+13-xn又像是一個怎樣的關(guān)系式呢?
生 我還想到tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ.
師 但差異還很明顯.分母應(yīng)當(dāng)是“1-×”的形式.
生 只要將分子分母同除以3就行了.也就是xn+1=xn+331-33xn.
師 這下真的很像了.
生 像是tanα+π6=tanα+331-33tanα.設(shè)xn=tanαn,則tanαn+1=tanαn+331-33tanαn,所以tanαn+1=tanαn+π6.
則xn+6=tanαn+6=tanαn+5+π6=tanαn+4+2π6=…=tanαn+6π6=tanαn=xn.真地又找到了一種好方法.
師 這一方法你有完全的知識產(chǎn)權(quán).老師不與你爭了.
[關(guān)鍵詞]高中數(shù)學(xué)作業(yè)設(shè)計探究策略
[中圖分類號]G633.6[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]A[文章編號]16746058（2016）290013
作業(yè)是鞏固高中生數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)的重要途徑，這一點(diǎn)毋庸置疑.對于高中生而言，他們的學(xué)習(xí)任務(wù)是極為繁重的.在這樣的高壓學(xué)習(xí)之下，高中數(shù)學(xué)教師在作業(yè)設(shè)計方面也應(yīng)多下一番工夫，爭取可以通過有效的作業(yè)設(shè)計不斷激發(fā)高中生完成作業(yè)的興趣.針對高中數(shù)學(xué)作業(yè)的設(shè)計，具體可采取如下有效設(shè)計策略.
一、自主探究型作業(yè)的設(shè)計
對于高中生而言，他們的數(shù)學(xué)作業(yè)絕大部分是通過自主探究完成的.因此，高中數(shù)學(xué)教師在設(shè)計自主探究型作業(yè)時應(yīng)進(jìn)行科學(xué)設(shè)計，通過科學(xué)有效的自主探究型作業(yè)設(shè)計給高中生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方面以更多有益啟示.
例如，執(zhí)教《等差數(shù)列》一課時，為了讓學(xué)生對“公差”更加深入地了解，我特地設(shè)計了如下作業(yè)讓學(xué)生通過自主探究的方式完成.請找出下面數(shù)列的公差，并總結(jié)公差的基本性質(zhì).（1）19、18、17、16、15……（2）9.8、9.7、9.6、9.5、9.4……（3）1、1、1、1、1、1、1、1……通過自主探究，學(xué)生可以輕易發(fā)現(xiàn)，第（1）組數(shù)列的公差為-1；第（2）組數(shù)列的公差為0.1；第（3）組數(shù)列的公差為0.由此可以極容易地總結(jié)出等差數(shù)列的公差可以為正數(shù)、負(fù)數(shù)，也可以為0.這樣的自主探究型作業(yè)設(shè)計省去了數(shù)學(xué)教師很多的教學(xué)時間，可以讓學(xué)生通過該作業(yè)的完成有效掌握等差數(shù)列的公差特性.所以說，這樣的自主探究型數(shù)學(xué)作業(yè)的設(shè)計是極為有效的.
在數(shù)學(xué)高考試卷中關(guān)注更多的是高中生基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識的考察.因此，高中數(shù)學(xué)教師在設(shè)計自主探究型作業(yè)時，也應(yīng)積極遵循這一特點(diǎn)，多為學(xué)生設(shè)計一些基礎(chǔ)型探究作業(yè)，從而不斷鞏固和深化高中生對數(shù)學(xué)知識的掌握.
二、合作探究型作業(yè)的設(shè)計
對于部分?jǐn)?shù)學(xué)作業(yè)而言，單靠高中生個人的能力是很難在短時間內(nèi)完成的.所以，對這部分學(xué)生的數(shù)學(xué)作業(yè)必須要求學(xué)生通過合作學(xué)習(xí)的方式完成.這樣的作業(yè)我們習(xí)慣稱其為合作探究型作業(yè).高中數(shù)學(xué)教師在合作探究型作業(yè)設(shè)計時也應(yīng)靈活把握，盡可能讓合作探究型作業(yè)的設(shè)計呈現(xiàn)出更高成效.
例如，執(zhí)教《等差數(shù)列》一課時，我設(shè)計了這樣一個合作探究型作業(yè)讓學(xué)生完成：假如在數(shù)字a與b的中間插入一個數(shù)字A，最終使得a、A、b形成一個等差數(shù)列.請問，此時的A應(yīng)該滿足什么樣的基本條件？由于該合作探究型作業(yè)是課堂作業(yè)，因此作業(yè)布置之后學(xué)生便迅速行動起來.通過合作探究，學(xué)生一致認(rèn)為，只有A=a+b2時，方能最終使得a、A、b形成一個等差數(shù)列.學(xué)生給出答案后，我還要求給出自己的理由.通過這樣的合作探究型數(shù)學(xué)作業(yè)的設(shè)計，不僅在一定程度上培養(yǎng)了學(xué)生的團(tuán)結(jié)合作精神，更有效提升了高中生合作解決數(shù)學(xué)問題的能力.
合作探究型作業(yè)的設(shè)計不僅是一門藝術(shù)，更是一門學(xué)問.高中數(shù)學(xué)教師在設(shè)計合作探究型作業(yè)時，應(yīng)對學(xué)生的實(shí)際數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況進(jìn)行科學(xué)把握，并在此基礎(chǔ)上科學(xué)設(shè)計合作探究型的數(shù)學(xué)作業(yè)，讓合作探究型作業(yè)盡可能發(fā)揮其成效.
三、網(wǎng)絡(luò)探討型作業(yè)的設(shè)計
21世紀(jì)是一個信息化社會，互聯(lián)網(wǎng)已融入高中生的生活中.為了更好地適應(yīng)互聯(lián)網(wǎng)發(fā)展的迅猛形勢，高中數(shù)學(xué)教師也應(yīng)適當(dāng)設(shè)計網(wǎng)絡(luò)探討型的數(shù)學(xué)作業(yè)讓學(xué)生完成.這樣的數(shù)學(xué)作業(yè)設(shè)計方式對高中生而言往往更具吸引力.
榱吮閿諭絡(luò)探討型數(shù)學(xué)作業(yè)的設(shè)計實(shí)施，我特地在班級內(nèi)建立了一個微信群.微信群建立之后，我經(jīng)常會將一些數(shù)學(xué)作業(yè)公布于微信群中，供學(xué)生進(jìn)行探索、討論.例如，執(zhí)教《等差數(shù)列》一課后，我曾設(shè)計了這樣兩個作業(yè)讓學(xué)生進(jìn)行探討：（1）若等差數(shù)列的前三項依次是
1m+1，56m，1m
，求m的值.（2）已知等差數(shù)列{an}中，a2+a6+a10=1，求a3+a9.作業(yè)呈現(xiàn)完畢之后，學(xué)生積極參與討論.為了幫助學(xué)生進(jìn)一步理清解決問題的思路，我也積極參與其中，給予學(xué)生有效的啟發(fā).通過一段時間的討論，最終在師生的共同努力下有效解決了上述問題.
在具體的教學(xué)實(shí)踐中，發(fā)現(xiàn)高中生對網(wǎng)絡(luò)討論型作業(yè)的設(shè)計尤為感興趣，從他們積極參與的熱情中我充分感受到這一點(diǎn).因此，我也會積極利用課余時間有效設(shè)計網(wǎng)絡(luò)討論型作業(yè)，不斷提高高中生完成數(shù)學(xué)作業(yè)的興趣.
高中數(shù)學(xué)作業(yè)類型是多種多樣的，有游戲型數(shù)學(xué)作業(yè)、調(diào)查型數(shù)學(xué)作業(yè)、動手操作型數(shù)學(xué)作業(yè)等.由于篇幅有限，在此不便一一進(jìn)行論述.希望本文的觀點(diǎn)可以對一線高中數(shù)學(xué)教師在作業(yè)設(shè)計方面有積極啟示，進(jìn)而通過有效作業(yè)的設(shè)計不斷提升高中生完成數(shù)學(xué)作業(yè)的興趣，提升高中生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).
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