時間：2023-01-25 10:33:16
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創(chuàng)造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇等腰三角形的性質(zhì)，希望這些內(nèi)容能成為您創(chuàng)作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
我說課的內(nèi)容是人教版八年級下冊第十二章第三節(jié)——等腰三角形的性質(zhì)，對于這堂課的教材分析及教學設(shè)計，現(xiàn)從教材分析、教學目標、教法學法分析、教學過程、幾點說明五個方面給大家介紹：
1教材分析
首先是教材地位和作用分析：本節(jié)課是在學生學習了一般三角形和軸對稱的基礎(chǔ)上學習的一種特殊的三角形，主要學習等腰三角形的性質(zhì)。本節(jié)內(nèi)容既是前面知識的深化和應用，又是今后學習等邊三角形，等腰梯形等幾何圖形的預備知識，還是證明角相等，線段相等及兩條直線互相垂直的重要依據(jù)。因此，本節(jié)內(nèi)容在教材中處于非常重要的位置，起著承前啟后的作用。另外，研究和學習本課，對于培養(yǎng)學生的思維能力、分析能力，養(yǎng)成在等腰三角形中添加適當輔助線的意識，以及向?qū)W生滲透轉(zhuǎn)化的思想等方面起了很大的作用。在此基礎(chǔ)上，我確立本堂課的教學重點是等腰三角形的性質(zhì)，難點是等腰三角形性質(zhì)的證明。
2教學目標
這堂課的教學目標確定以下三個方面：
（1）使學生掌握等腰三角形的性質(zhì)定理，并能進行初步應用
（2）培養(yǎng)學生在等腰三角形中添加適當輔助線的意識，并通過添加輔助線，向?qū)W生滲透轉(zhuǎn)化的思想，從而深入領(lǐng)會分析幾何證明題的方法。
（3）使學生進一步了解追尋規(guī)律，研究問題的方法，尤其是研究幾何對象的基本思路。
3教法與學法分析
組織學生以小組活動為載體，交流探究為主線進行學習，鼓勵學生積極感知，大膽猜想，并引導他們探究，論證，努力為學生搭建一個自由交流學習的空間和平臺，促進學生新的知識，能力生成。
4教學過程
4.1首先是興趣導入，復習舊知。師生共同欣賞一組軸對稱圖形的圖片，并讓學生按照軸對稱圖形的特點，利用兩個三角板構(gòu)造一組圖形，要求：
（1）拼出的圖形是軸對稱圖形；（2）拼得的軸對稱圖形是三角形。
學生以小組的形式按要求拼圖，教師收集成果，并及時設(shè)問：
你拼出了一個什么樣的三角形？并質(zhì)疑：“等腰三角形除了具有一般三角形的性質(zhì)及兩腰相等的特點外，還有哪些特殊的性質(zhì)？”從而引出課題。
學生通過自己動手，感知等腰三角形的對稱性，有趣的活動不但激發(fā)學生的學習興趣，還對接下來的性質(zhì)探究和證明做鋪墊。
4.2設(shè)置情景，引導探究。首先，讓學生用直尺等工具在紙上畫一個等腰三角形，思考這樣一個問題“如果讓你來研究等腰三角形的特殊性質(zhì)，你覺得要從哪些要素加以分析？”讓學生分成小組探討，學生在探討過程中，想到一般三角形的構(gòu)成元素：邊，角，以及三角形的重要的三種線段，得到的結(jié)論可能不唯一，有些學生會想到從等腰三角形的兩個底角出發(fā)加以研究，還有思維靈活的同學可能會想到從等腰三角形的底邊上的中線，底邊上的高和頂角的角平分線加以研究；思維更加靈活，想象空間更寬廣的學生會想到兩腰上的中線，高加以研究，對于學生的探討結(jié)果，老師進行歸納，歸納出以下四個元素是我們這堂課研究的主要內(nèi)容：（1）兩個底角；（2）底邊上的中線；（3）底邊上的高；（4）頂角的角平分線。引導學生的注意力集中到這四個方面來，面對這四個元素，再追問：“你可以用哪些方法分析這些要素？”大部分同學能想到用量角器測量，畫圖的方法。思維靈活的同學能想到利用軸對稱性質(zhì)對折等腰三角形。教師針對學生的探究方法給予肯定，并讓學生親自操作，同時設(shè)問：“你發(fā)現(xiàn)這四個元素可能存在什么樣的關(guān)系？說說你猜想”學生通過實驗進行猜想，會發(fā)現(xiàn)兩個底角相等，三條線段為同一線段。老師再次歸納學生的結(jié)論，并對他們的探究成果給予肯定。通過這個環(huán)節(jié)，不僅使學生體會到知識的發(fā)生，發(fā)展過程，還能較好的培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題，解決問題的能力。
4.3證明猜想，形成定理。老師先質(zhì)疑：“哪個同學畫出的等腰三角形沒有這兩個特點？”同時設(shè)問：“所有的等腰三角形都具備這兩個特點嗎？”對于學生的肯定回答，老師聲明，要想加以確認，必須進行理論證明，讓學生感受數(shù)學的嚴謹性。
這樣用文字證明的幾何問題，包括了證明的三個步驟，對于學生來說有一定的難度，因此，我決定通過三個問題的解答，幫助學生理順思路，化解難題。問題一：找出命題“等腰三角形兩個底角相等”的題設(shè)，結(jié)論，并根據(jù)畫出的圖形寫出已知，求證。這個設(shè)計，使學生體會將文字語言翻譯成數(shù)學語言，幫助學生寫出已知，求證。問題二：證明兩個角相等的方法有哪些？ 該問題供給學生解決新問題的思路，引導學生用舊知識，解決新問題，體會數(shù)學中的轉(zhuǎn)化思想。問題三：怎樣把等腰三角形分成兩個全等三角形呢？本題中輔助線的添加是這堂課的一個難點，由此，我決定讓學生把課堂開始拼得的等腰三角形拿出來，并讓學生回憶拼圖的過程，學生能夠很快發(fā)現(xiàn)等腰三角形是用兩個全等的三角形組成，重合的線段是對稱軸。在此基礎(chǔ)上繼續(xù)設(shè)問：當這條對稱軸隱藏起來了，怎樣把等腰三角形分成兩個全等的三角形？由于對知識的發(fā)生，發(fā)展有了充分的了解，學生通過探討，可能會出現(xiàn)以下三種解決方法：（1）做底邊的中線（2）做底邊的高（3）做頂角的角平分線。以以做底邊上的中線為例，讓學生陳述證法，老師板書，規(guī)范書寫。
這個過程不僅使學生了解了做證明題的三個步驟，而且使學生體會到數(shù)學中化未知為以知的轉(zhuǎn)化思想，讓學生體驗數(shù)學中發(fā)現(xiàn)，再創(chuàng)造的過程，進一步培養(yǎng)了學生分析問題，解決問題的能力。
4.4講練結(jié)合，加深認識。 第一題是口答練習，使學生能夠利用性質(zhì)一解決問題，第二題是將證明的理論翻譯成數(shù)學語言，為以后解決角度相等，線段相等，線段垂直的問題提供了新的依據(jù)和方法。并再此基礎(chǔ)上設(shè)問：“若等腰三角形中的三線出現(xiàn)一線，你會想到什么？若等腰三角形中的三線一線未出，你應該想到什么？”聽過這個問題的解答，使學生對性質(zhì)定理的認識實現(xiàn)了飛躍。第三題源于課本，師生共同完成，目的在于培養(yǎng)學生正確應用所學知識的應用能力，鞏固所學性質(zhì)。
4.5歸納小結(jié)，當堂測試。 首先小結(jié)部分引導學生自己總結(jié)知識點，思想方法上的收獲，幫助學生構(gòu)建比較完善的知識結(jié)構(gòu)，歸納數(shù)學學習中常用的思想方法，從而提高他們自主學習，獨立學習的能力。
關(guān)鍵詞 取值范圍 五線合一
中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A
等腰三角形的邊、角問題是初中數(shù)學教材中的重點內(nèi)容，在運用其性質(zhì)解決關(guān)于等腰三角形中的邊角問題時由于題目繁多，學生總覺得困難，尤其是學生在遇到等腰三角形“邊角計算問題”，“等腰三角形的各邊的取值范圍”和等腰三角形“三線合一”問題時經(jīng)常會出現(xiàn)這樣和那樣的問題，作為教師覺得頭痛，同時再加上等腰三角形的底邊垂直平分線和對稱軸之后，這樣就出現(xiàn)了“五線合一”，學生更覺得糊涂分不清了。
1有關(guān)等腰三角形的邊角計算的討論問題
1.1等腰三角形的邊的問題
（1）已知等腰三角形的一邊長為5cm，另一邊長為9 cm，則它的周長為多少？
（2）已知等腰三角形的一邊長為9cm，另一邊長為4 cm，則它的周長為多少？
分析時要分類考慮，是否構(gòu)成三角形，若構(gòu)成在求周長，否則就沒有。
第（1）題：5、5、9或5、9、9都能構(gòu)成等腰三角形，所以周長為19 cm或23 cm；
第（2）題：4、4、9構(gòu)不成三角形，而4、9、9能夠成等腰三角形，此周長為22 cm。
（3）等腰三角形的一個角為400，它的另外兩個角為多少？
（4）等腰三角形的一個角為1000，它的另外兩個角為多少？
分析時也要分類考慮：
第3題：當400為頂角時，另外兩個角分別為700，700；當400為底角時，另外兩個角為400，1000。
第4題：當1000為頂角時，另外兩個角分別為400，400；當1000為底角時，就構(gòu)不成三角形。
1.2如何確定“等腰三角形的各邊的取值范圍”的問題
1.2.1已知等腰三角形的周長，如何確定腰長和底邊長的取值范圍
為了學生便于理解和掌握，筆者在教學中，做一個等腰三角形的教具：用兩條相等的木條AB、AC做等腰三角形的兩腰，用一條橡皮筋BC做等腰三角形的底邊，做成一個等腰ABC。
操作方法：先從等腰ABC的頂點A上拉，要求兩腰AC、AB重合，使底邊BC為零。兩腰之和與等腰三角形的周長相等，每一條腰等于周長的1/2，為了保證三角形的成立，必須每一條腰小于周長的1/2，必須大于零；然后將等腰ABC的底角的頂點B、C拉直，兩腰之和等于底邊，即底邊等于周長的1/2，為了保證三角形的成立，必須底邊小于周長的1/4，底邊必須大于零，否則不能構(gòu)成三角形。所以有以下的結(jié)論：
（1）腰的取值范圍
等腰三角形的腰的取值范圍這樣確定比較簡便：腰長小于等腰三角形周長的1/2，必須大于周長的1/4。
例如：等腰三角形的周長為20厘米，試確定等腰三角形的腰的取值范圍？
分析：設(shè)等腰三角形的腰長為X厘米
20/4
（2）底邊取值范圍
等腰三角形的底邊的取值范圍這樣確定比較簡便：底邊長小于等腰三角形周長的1/4，且大于零。
例如：等腰三角形的周長為20厘米，試確定等腰三角形的底邊的取值范圍？
分析：設(shè)等腰三角形的底邊長為X厘米
1.2.2已知等腰三角形的腰長，如何確定底邊長的取值范圍
根據(jù)三角形的三邊不等關(guān)系可知：底邊長大于零而小于腰長的兩倍。
例如：等腰三角形的腰長為15厘米，試確定等腰三角形的底邊的取值范圍？
分析：設(shè)等腰三角形的底邊長為X厘米
1.2.3已知等腰三角形的底邊長，如何確定腰長的取值范圍
根據(jù)三角形的三邊不等關(guān)系可知：腰長大于底邊長的1/2即可。
例如：等腰三角形的底邊長為18厘米，試確定等腰三角形的腰長的取值范圍？
分析：設(shè)等腰三角形的腰長為X厘米
X>18/2，即X>9。所以：等腰三角形的底邊長的取值范圍是X>9。
2等腰三角形中“五線合一”
（1）等腰三角形中的“五線”指的是等腰三角形的頂角平分線AD、底邊上的中線AD、底邊上的高AD、底邊上的垂直平分線MN和對稱軸MN。
（2）等腰三角形中的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高指的是線段。
如圖：線段AD是等腰三角形頂角∠BAC的平分線，底邊BC上的高線，也是底邊BC上的中線。
（3）等腰三角形的底邊垂直平分線和對稱軸指的是直線。
如圖：直線MN是等腰三角形的對稱軸，也是底邊BD的垂直平分線。
我們在前面研究圖形的過程中，一直有一根“線”——“對稱”在引導著我們?nèi)フJ識圖形. 由“軸對稱”得到等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、角平分線、中垂線性質(zhì)，由“中心對稱”得到平行四邊形、矩形、菱形、正方形及中位線的性質(zhì). 在這一章中上述結(jié)論的再學習并不是游離于以往的探索經(jīng)驗，而是依然建立在我們對“對稱”的理解和認識基礎(chǔ)上，繼續(xù)發(fā)揮這根“線”的作用，借助曾經(jīng)的實驗操作方法，就能幫助我們確定證明的方法.
知識點1 等腰三角形的兩個底角相等
【透析】 應用等腰三角形的性質(zhì)定理證明兩個角相等時，必須是這兩個角在同一個三角形中，否則結(jié)論不一定成立.
知識點2 等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合
【透析】 這個定理簡稱為“三線合一”，應用的前提條件是三角形必須為等腰三角形. 在解決有關(guān)等腰三角形的問題中，經(jīng)常需要添加輔助線，雖然等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合，但是如何添加輔助線要由具體情況來決定，作輔助線時只需作出一條，再根據(jù)性質(zhì)得出另外兩條.
知識點3 斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等
【透析】 此定理是直角三角形全等的判定定理，只能用在直角三角形中，對于一般三角形是不成立的. 證明中，主要涉及兩種方法：圖形的“拆”（把一個等腰三角形拆成兩個全等的直角三角形）和“拼”（把兩個全等的直角三角形拼成一個等腰三角形），體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想，即把待證的問題轉(zhuǎn)化為可證的問題.
知識點4 角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等
【透析】 這里的“距離”是指“點到直線的距離”，因此在應用時必須含有“垂直”這個條件，否則不能得到線段相等.
知識點5 菱形的性質(zhì)
【透析】 菱形也是特殊的平行四邊形，它也具有平行四邊形的所有性質(zhì)，它的獨特性質(zhì)主要體現(xiàn)在：（1） 4條邊都相等，對角線互相垂直；（2） 菱形的對角線把菱形分成4個全等的直角三角形；（3） 計算菱形的面積除利用平行四邊形的面積的計算公式外，當a，b分別表示兩條對角線的長時，菱形的面積為s=ab.
知識點6 矩形的判定
【透析】 矩形的每種判定方法都必須有兩個條件. （1） 定義判定：① 平行四邊形；② 有一個角是直角. （2） 判定定理1：① 平行四邊形；② 對角線相等. （3） 判定定理2：① 四邊形；② 有3個角是直角.
知識點7 菱形的判定
【透析】 若已知的四邊形是平行四邊形，要證它是菱形，需要證它有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直；當四邊形是一般的四邊形，要證它是菱形，可以證它的四條邊相等或先證它是一個平行四邊形，再證它是菱形.
知識點8 正方形的判定
【透析】 判定一個四邊形是正方形的主要途徑有兩條：（1） 先證它是矩形，再證有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直；（2） 先證它是菱形，再證有一個角是直角或?qū)蔷€相等.
知識點9 等腰梯形的判定
【透析】 等腰梯形判定的一般步驟：先判定一個四邊形是梯形，再用“兩腰相等”或“在同一底上的兩個角相等或?qū)蔷€相等”來判定它是等腰梯形.
考點一、線段垂直平分線，角的平分線，垂線
1、線段垂直平分線的性質(zhì)定理及逆定理
垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線。
線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等。逆定理：和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。2、角的平分線及其性質(zhì)
一條射線把一個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線。角的平分線有下面的性質(zhì)定理：
（1）角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。
（2）到一個角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上。
3垂線的性質(zhì)：
性質(zhì)1：過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。
性質(zhì)2：直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短。簡稱：垂線段最短。2、三角形中的主要線段
（1）三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點間的線段叫做三角形的角平分線。
（2）在三角形中，連接一個頂點和它對邊的中點的線段叫做三角形的中線。
（3）從三角形一個頂點向它的對邊做垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線（簡稱三角形的高）。
3、三角形的穩(wěn)定性
三角形的形狀是固定的，三角形的這個性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性。三角形的這個性質(zhì)在生產(chǎn)生活中應用很廣，需要穩(wěn)定的東西一般都制成三角形的形狀。6、三角形的三邊關(guān)系定理及推論
（1）三角形三邊關(guān)系定理：三角形的兩邊之和大于第三邊。推論：三角形的兩邊之差小于第三邊。
（2）三角形三邊關(guān)系定理及推論的作用：
①判斷三條已知線段能否組成三角形②當已知兩邊時，可確定第三邊的范圍。③證明線段不等關(guān)系。7、三角形的角關(guān)系
三角形的內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角和等于180°。推論：
①直角三角形的兩個銳角互余。
②三角形的一個外角等于和它不相鄰的來兩個內(nèi)角的和。③三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角。
注：在同一個三角形中：等角對等邊；等邊對等角；大角對大邊；大邊對大角。等角的補角相等，等角的余角相等。
8、三角形的面積
三角形的面積=
2
1
×底×高應用：經(jīng)常利用兩個三角形面積關(guān)系求底、高的比例關(guān)系或值
考點二、全等三角形
1、全等三角形的概念
能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。
能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。兩個三角形全等時，互相重合的頂點叫做對應頂點，互相重合的邊叫做對應邊，互相重合的角叫做對應角。夾邊就是三角形中相鄰兩角的公共邊，夾角就是三角形中有公共端點的兩邊所成的角。
2、三角形全等的判定三角形全等的判定定理：直角三角形全等的判定：
對于特殊的直角三角形，判定它們?nèi)葧r，還有HL定理（斜邊、直角邊定理）：有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（可簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）考點三、等腰三角形
1、等腰三角形的性質(zhì)
（1）等腰三角形的性質(zhì)定理及推論：
定理：等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）
推論1：等腰三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊。即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合。
推論2：等邊三角形的各個角都相等，并且每個角都等于60°。（2）等腰三角形的其他性質(zhì)：
①等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°
②等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）。
③等腰三角形的三邊關(guān)系：設(shè)腰長為a，底邊長為b，則
三角形的全等和相似是研究圖形問題最基本的方法和策略. 它是研究四邊形、圓等復雜圖形以及函數(shù)等知識的重要工具.
三角形的知識在中考試題中占有相當重要的地位，希望同學們努力掌握好基礎(chǔ)知識以及最基本的解決問題的方法和策略，能靈活地解決相關(guān)問題.
等腰三角形中的分類討論
等腰三角形是初中數(shù)學的基礎(chǔ)內(nèi)容之一，中考考點的核心就是它與分類討論結(jié)合考查. 舉例如下：
一、 關(guān)于角的討論
例1 （2013·欽州）等腰三角形的一個角是80°，則它頂角的度數(shù)是（）.
A. 80° B. 80°或20°
C. 80°或50° D. 20°
【解析】分80°角是頂角與底角兩種情況討論：①80°角是頂角時，三角形的頂角為80°；②80°角是底角時，頂角為180°-80°×2=20°. 綜上所述，該等腰三角形頂角的度數(shù)為80°或20°. 故選B.
【變式】若將80°改為100°要注意100°角不能做底角.
例2 在ABC中，∠A=50°，當∠B=_____°時，ABC是等腰三角形.
【解析】①∠B是頂角時，∠A一定是底角，則有∠B=80°；②∠B角是底角時，∠A若是底角，則有∠B=50°，∠A若是頂角，得∠B=65°.
【點評】這一類問題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；題目中沒有明確頂角或底角，做題時要注意分情況進行討論，這是解決問題的關(guān)鍵.
二、 關(guān)于邊的討論
例3 （2013·淮安）若等腰三角形有兩條邊的長度為3和1，則此等腰三角形的周長為（）.
A. 5 B. 7 C. 5或7 D. 6
【解析】因為已知長度為3和1兩邊，沒有明確是底邊還是腰，所以有兩種情況，需要分類討論. ①當3為底時，其他兩邊都為1，1+1<3，∴不能構(gòu)成三角形，故舍去；②當3為腰時，其他兩邊為3和1，3、3、1可以構(gòu)成三角形，周長為7.
【變式1】（2013·涼山州）已知實數(shù)x，y滿足x-4+=0，則以x，y的值為兩邊長的等腰三角形的周長是______.
【答案】20.
【變式2】已知關(guān)于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+4（k-0.5）=0.
（1） 判斷這個一元二次方程的根的情況；
（2） 若等腰三角形的一邊長為3，另兩條邊的長恰好是這個方程的兩個根，求這個等腰三角形的周長及面積.
【答案】（1） b2-4ac=（2k-3）2≥0，所以方程有實數(shù)根.
（2） 分兩種情況討論：①若腰為3，則x=3是方程的一個根，可求得三邊為3，3，2.那么這個等腰三角形的周長為8，面積為2. ②若底為3，則b2-4ac=（2k-3）2=0，可求得三邊為2，2，3. 那么這個等腰三角形的周長為7，面積為.
【點評】本例考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；在已知條件中沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進行討論，還應驗證各種情況是否能構(gòu)成三角形，這點非常重要，也是解題的關(guān)鍵.
例4 （2013·玉林）如圖1，在直角坐標系中，O是原點，已知A（4，3），P是坐標軸上的一點，若以O(shè)，A，P三點組成的三角形為等腰三角形，則滿足條件的點P共有______個，寫出其中一個點P的坐標是______.
【解析】本例考查了等腰三角形的判定、坐標與圖形的性質(zhì). 如圖2，從x軸上考慮，以O(shè)A為腰長的等腰三角形有3個，P4（5，0），P2（8，0），P5（-5，0），以O(shè)A為底邊的等腰三角形有1個，P8
，0. y軸上情況與x軸相似，P3（0，5），P1（0，6），P6（0，-5），P70
，，故滿足條件的點P共有8個.
【變式1】如圖3，一種電子游戲，電子屏幕上有一正方形ABCD，點P沿直線AB左右移動，當出現(xiàn)：點P與正方形四個頂點中的任意兩個頂點構(gòu)成等腰三角形時，就會發(fā)出警報，則直線AB上會發(fā)出警報的點P有______個.
【答案】設(shè)正方形邊長為a. 分類討論如下：①腰長為a的等腰三角形有4個；②腰長為a的等腰三角形有4個；③以CD為底邊的等腰三角形有1個. 共9個.
【變式2】如圖4，在平面直角坐標系中，點A，C分別在x軸，y軸上，四邊形ABCO為矩形，AB=16，點D與點A關(guān)于y軸對稱，=，點E，F(xiàn)分別是線段AD，AC上的動點（點E不與點A，D重合），且∠CEF=∠ACB.
（1） 求AC的長和點D的坐標；
（2） 說明AEF與DCE相似；
（3） 當EFC為等腰三角形時，求點E的坐標.
【答案】（1） AC=20，D（12，0）；
（2） 欲證AEF與DCE相似，只需要證明兩個對應角相等. ∠CDE=∠CAO，∠AEF
=∠DCE；
（3） 當EFC為等腰三角形時，有三種情況：①當CE=EF時，AEF與DCE的相似比為1，則有AE=CD=20，E（8，0）.
②當EF=FC時，此時過點F作FM⊥CE于M，則點M為CE的中點，F(xiàn)ME∽ABC得出=，那么AEF∽DCE的相似比為5∶6，E
，0.
③當CE=CF時，F(xiàn)點與A點重合，E點與D點重合，這與已知條件矛盾，故此種情況不存在.
例5 如圖5，半圓O的半徑為4 cm，AB是☉O的直徑，BC切☉O于點B，且BC=4 cm，當點P在☉O上運動時，是否存在點P，使得PBC為等腰三角形？若存在，有幾個符合條件的點P，并分別求出點P到線段BC的距離；若不存在，請說明理由.
【解析】本例是等腰三角形與圓相結(jié)合的一個綜合題，解決問題的關(guān)鍵是分BC為腰、BC為底邊兩種情況來解決. 如圖6，①BP1=BC，②CP2=BC，③CP=BP，即作BC的垂直平分線交☉O于P3，P4.
例6 如圖7，拋物線y=-x2+4x+n經(jīng)過點A（1，0），與y軸交于點B.
（1） 求拋物線解析式和頂點坐標；
（2） 若P是坐標軸上一點，且PAB是以AB為腰的等腰三角形，試求P點坐標.
【解析】本例是等腰三角形與二次函數(shù)結(jié)合的綜合題.
（1） 由該函數(shù)圖像經(jīng)過A點（1，0），由0=-1+4+n得n=-3，解析式是y=-x2+4x-3
=-（x-2）2+1，頂點坐標為（2，1）.
（2） 由題意知，B點坐標是（0，-3），AB的長是，要注意的是問題中強調(diào)“以AB為腰”所以不必習慣性地分AB為腰，AB為底邊兩類討論，而是分P點在x軸或y軸上進行討論. ①當P點在x軸上時，P點坐標為（1+，0），（1-，0），（-1，0）；②當P點在y軸上時，P點坐標為（0，3） ，（0，-3+），（0，-3-）.
【變式】如圖8，已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點A（3，3）、B（4，0）和原點O. P為二次函數(shù)圖像上的一個動點，過點P作x軸的垂線，垂足為D（m，0），并與直線OA交于點C.
（1） 求出二次函數(shù)的解析式；
（2） 當點P在直線OA的上方時，用含m的代數(shù)式表示線段PC的長，并求線段PC的最大值；
（3） 當m>0時，探索是否存在點P，使得PCO為等腰三角形，如果存在，請直接寫出所有P的坐標；如果不存在，請說明理由.
【答案】（1） 設(shè)y=ax2+bx，把A、B點坐標代入，求出解析式為y=-x2+4x；
（2） 根據(jù)點P（m，-m2+4m），點C（m，m）的坐標代入，得PC=PD-CD=-m2+4m-m=-m2
+3m=-m
-2+，PC的最大值為；
（3） 當0
當m≥3時，PC=m2-3m，OC=m，分三種情況：
①當OC=PC時，m2-3m=m，解得：m=3+或m=0（舍去），P（3+，1-2）；
②當OC=OP時，（m）2=m2+（-m2+4m）2，解得：m1=5，m2=3（舍去），P（5，-5）；
所謂“操作”，是指人用手活動的一種行為，也是一種技能，含義很廣泛.一般是指勞動、勞作，或者按照一定的規(guī)范和要領(lǐng)操縱動作，數(shù)學中的操作題一般是需要對數(shù)的設(shè)置或?qū)D形的變換、剪拼等，由于此類試題既可以有效地鞏固數(shù)學知識，又可以提高同學們的動手能力，所以中考中頻頻“上演”此類問題.
重點題型例析
一、對數(shù)的操作
例1（2014.婁底）按照下面所示的操作步驟，若輸入值為3，則輸出的值為________.
分析：由操作程序可知，32=9
解：由32=9
反思：解此類題時，應正確地選擇運算操作程序，避免：①錯選“否”的運算程序；②錯把10作為一個結(jié)果參與運算；③不按每一步的結(jié)果得數(shù)進行計算，如32+2x5=19.
二、對式的操作
例2 （2014.臺州）有一個計算程序，每次運算都是把一個數(shù)先乘以2，再除以它與1的和，多次重復進行這種運算的過程如下：
則第n次的運算結(jié)果=________.（用含字母x和n的代數(shù)式表示）
分析：要探究操作的第n次運算結(jié)果，可分別將第2、3、4次的分式計算、化簡，再將化簡后的分式列表分析、發(fā)現(xiàn)規(guī)律.
解：依題意，可列表如表1.
四、閱讀與操作
例4 （2014.山西）閱讀下列材料，按要求完成相應的任務(wù).
幾何中，平行四邊形、矩形、菱形、正方形和等腰梯形都是特殊的四邊形，大家對于它們的性質(zhì)都非常熟悉，生活中還有一種特殊的四邊形――箏形，所謂箏形，它的形狀與我們生活中風箏的骨架相似.
定義：兩組鄰邊分別相等的四邊形，稱之為箏形，如圖4，四邊形∠ABCD是箏形，其中AB=AD，CB=CD.
判定：①兩組鄰邊分別相等的四邊形是箏形.②有一條對角線垂直平分另一條對角線的四邊形是箏形.
顯然，菱形是特殊的箏形，就一般箏形而言，它與菱形有許多相同點和不同點.如果只研究一般的箏形（不包括菱形），請根據(jù)以上材料完成下列任務(wù)：
（1）清說出箏形和菱形的相同點和不同點各兩條.
（2）請仿照如圖5的畫法，在如圖6所示的8x8網(wǎng)格中重新設(shè)計一個由四個全等的箏形和四個全等的菱形組成的新圖案，具體要求如下：①頂點都在格點上；②所設(shè)計的圖案既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形；③將新圖案中的四個箏形都涂上陰影（建議用一系列平行斜線表示陰影）.
分析：（1）利用菱形的性質(zhì)以及結(jié)合圖形得出箏形的性質(zhì)分別得出異同點即可.（2）利用軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義結(jié)合題意得出答案，顯然答案不唯一.
解：（1）相同點：①兩組鄰邊分別相等；②有一組對角相等；③有一條對角線垂直平分另一條對角線：④有一條對角線平分一組對角；⑤都是軸對稱圖形；⑥面積等于對角線乘積的一半.不同點：①菱形的對角線互相平分，箏形的對角線不互相平分；②菱形的四邊都相等，箏形只有兩組鄰邊分別相等；③菱形的兩組對邊分別平行，箏形的對邊不平行；④菱形的兩組對角分別相等，箏形只有一組對角相等；⑤菱形的鄰角互補，箏形的鄰角不互補；⑥菱形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，箏形是軸對稱圖形不是中心對稱圖形.（2）答案不唯一，如圖7所示中的任意一種情形.
反思：求解此類問題時，一定要充分借助網(wǎng)格特點進行作圖，解題的關(guān)鍵是正確理解平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)以及中心對稱圖形、軸對稱圖形的意義.
五、裁剪操作
例5 （2014.寧波）用正方形硬紙板做三棱柱盒子，每個盒子由3個矩形側(cè)面和2個正三角形底面組成，硬紙板以如圖8所示的兩種方法裁剪（裁剪后邊角不再利用）.
A方法：剪6個側(cè)面：B方法：剪4個側(cè)面和5個底面，
現(xiàn)有19張硬紙板，裁剪時x張用A方法，其余用B方法.
（1）用含x的代數(shù)式分別表示裁剪出的側(cè)面和底面?zhèn)€數(shù).
（2）若裁剪出的側(cè)面和底面恰好全部用完，則能做多少個盒子？
分析：（1）根據(jù)一張硬紙板用A方法剪6個側(cè)面 ，B
六、對圖形的分割操作
例6 （2014.漳州）如圖9，ABC中，AB=AC，∠A=36。，稱滿足此條件的三角形為黃金等腰三角形.請完成以下操作（畫圖不要求使用圓規(guī)，以下問題所指的等腰三角形個數(shù)均不包括ABC）：
（1）在圖9中畫1條線段，使圖中有2個等腰三角形，并直接寫出這2個等腰三角形的頂角度數(shù)分別是______度和______度.
（2）在圖10中畫2條線段，使圖中有4個等腰三角形.
（3）繼續(xù)按以上操作發(fā)現(xiàn)：在ABC中畫n條線段，則圖中有______個等腰三角形，其中有______個黃金等腰三角形.
分析：（1）利用等腰三角形的性質(zhì)以及∠A的度數(shù)，進而得出這兩個等腰三角形的頂角度數(shù).（2）利用（1）中思路進而得出符合題意的圖形.（3）利用畫1條線段可得到2個等腰三角形，畫兩條線段可得到4個等腰三角形，畫3條線段可得到6個等腰三角形，進而得出規(guī)律求出答案.
解：（1）如圖9所示AB=AC，∠A =36。，故當AE=BE時，∠A= ∠ABE=36。，則∠AEB=108。，則∠EBC=36。，故這兩個等腰三角形的頂角度數(shù)分別是108度和36度.
（2）畫法不唯一，如圖10所示，四個等腰三角形分別是：ABE，BCE，BEF，CEF
（3）如圖11.畫1條線段可得到兩個等腰三角形，畫兩條線段可得到4個等腰三角形，畫3條線段可得到6個等腰三角形，…，在ABC中畫n條線段，則圖中有2n個等腰三角形，其中有n個黃金等腰三角形.
反思：本題既是一道操作題，又是一道問題的探究題，求解時應注意作圖技巧，靈活運用等腰三角形的性質(zhì)，其中探究出分割圖形的規(guī)律是解題關(guān)鍵.另外，在（2）中當畫出線段BE時，余下的也可以過C作∠C的平分線交BE于點F
七、折疊操作
例7 （2014 臨沂）對一張矩形紙片ABCD進行折疊，具體操作如下：
第一步：先對折，使AD與BC重合，得到折痕MN，展開，
第二步：再一次折疊，使點A落在MN上的點A’處，并使折痕經(jīng)過點B，得到折痕BE，同時，得到線段BA’，EA’，展開，如圖12.
第三步：再沿EA’所在的直線折疊，點B落在AD上的點B'處，得到折痕EF，同時得到線段B’F，展開，如圖13.
（1）證明：∠A BE=300.
（2）證明：四邊形BFB’E為菱形.
分析：（1）根據(jù)點M是AB的中點判斷出A’是EF的中點，然后判斷出BA'垂直平分EF，根據(jù)線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等可得BE=BF，再根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可得∠A’BE=∠A 'BF，根據(jù)翻折的性質(zhì)可得∠ABE= ∠A 'BE，然后根據(jù)矩形的四個角都是直角計算即可得證.（2）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可得BE=B'E，BF=B'F，然后得出BE=B'E=B'F=BF，再根據(jù)四條邊都相等的四邊形是菱形證明.
解：（1）由對折AD與BC重合，折痕是MN，故點M是AB的中點，故A’是EF的中點，因∠BA’E= ∠A =90。，故BA’垂直平分EF，故BE=BF，故∠A' BE= ∠A 'BF，由翻折的性質(zhì)，∠ABE=∠A'BE，故∠ABE= ∠A 'BE=∠A，BF，故∠ABE（）×90。=30。.
（2）沿EA’所在的直線折疊，點B落在AD上的點B’處，故BE=B'E，BF=B'F因BE=BF，故BE=B'E=B'F=BF，故四邊形BFB'E為菱形.
反思：本題通過操作，意在考查矩形、菱形、線段垂直平分線等知識.解答折疊問題的一般思路：分清折疊前后的對應邊、對應角、對稱軸，利用對稱軸是對應點所連線段的垂直平分線尋找相等的線段或角，進行相關(guān)的計算或證明.
中考命題預測
1.在ABC中，AB>BC>AC，D是AC的中點，過點D作直線l，使截得的三角形與原三角形相似，這樣的直線l有____條.
2.如圖14，將網(wǎng)格中的三條線段沿網(wǎng)格線平移后組成一個首尾相接的三角形，至少需要移動____格.
3.如圖15，將一副七巧板拼成一只小動物，則∠AOB=____.
4.如圖16，小亮拿一張矩形紙如圖16 （1），沿虛線對折一次得圖16 （2），將對角兩頂點重合折疊得圖16（3）.按圖16（4）沿折痕中點與重合頂點的連線剪開，得到三個圖形，這三個圖形分別是（）.
A.都是等腰梯形
B.都是等邊三角形
C.兩個直角三角形，一個等腰三角形
D.兩個直角三角形，一個等腰梯形
5.在我們學習過的數(shù)學教科書中，有一個數(shù)學活動，其具體操作過程是：
第一步：對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展開（如圖17）：
第二步：再一次折疊紙片，使點A落在EF上，并使折痕經(jīng)過點B，得到折痕BM，同時得到線段BN（如圖l8）.
請解答以下問題：
（1）如圖18，若延長MN交BC于P，BMP是什么三角形？請證明你的結(jié)論.
（2）在圖18中，若AB=a，BC=b，a、b滿足什么關(guān)系，才能在矩形紙片ABCD上剪出{符合（1）中結(jié)論的三角形紙片BMP？
6.現(xiàn)有一張長和寬之比為2：1的長方形紙片，將它折兩次（第一次折后也可以打開鋪平再折第二次）.使得折痕將紙片分為面積相等且不重疊的四個部分（稱為一個操作），如圖19（虛線表示折痕）.
除圖19外，請你再給出三個不同的操作，分別將折痕畫在圖20（1）至圖20（3）中（規(guī)定：一個操作得到的四個圖形，和另一個操作得到的四個圖形，如果能夠“配對”得到四組全等的圖形，那么就認為是相同的操作.如圖19（2）和圖19（1）是相同的操作）.（上接第26頁）點同時從點P 出發(fā)，點A以5 cm/s的速度沿射線PM方向運動，點B以4 cm/s的速度沿射線PN方向運動.設(shè)運動時問為t（s）.
（1）求PQ的長.
（2）當t為何值時，直線AB與00相切？
3.如圖8，在平行四邊形ABCD中.AD=4 cm，∠A=60。，BD AD.一動點P從A出發(fā)，以每秒l cm的速度沿ABC的路線勻速運動，過點P作直線PM，使PMAD.
一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一個是正確的）
1．在直角坐標系中，點（2，1）在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
考點：點的坐標．
分析：應先判斷出所求的點的橫縱坐標的符號，進而判斷點所在的象限．
解答：解：因為點P（2，1）的橫坐標是正數(shù)，縱坐標也是正數(shù)，所以點在平面直角坐標系的第一象限．
故選A．
點評：解決本題的關(guān)鍵是牢記平面直角坐標系中四個象限的點的坐標的符號特征：第一象限正正，第二象限負正，第三象限負負，第四象限正負．
2．下列長度的三條線段能組成三角形的是（）
A．1、2、3.5B．4、5、9C．20、15、8D．5、15、8
考點：三角形三邊關(guān)系．
分析：根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，利用排除法求解．
解答：解：A、1+2=3＜3.5，不能組成三角形；
B、4+5=9，不能組成三角形；
C、20、15、8，能組成三角形；
D、5+8=13＜15，不能組成三角形．
故選：C．
點評：本題主要考查三角形的三邊性質(zhì)，需要熟練掌握．
3．下列命題中，是真命題的是（）
A．若a•b＞0，則a＞0，b＞0B．若a•b＜0，則a＜0，b＜0
C．若a•b=0，則a=0，且b=0D．若a•b=0，則a=0，或b=0
考點：命題與定理．
分析：分析是否為真命題，需要分別分析各題設(shè)是否能推出結(jié)論，從而利用排除法得出答案．
解答：解：A、a•b＞0可得a、b同號，可能同為正，也可能同為負，是假命題；
B、a•b＜0可得a、b異號，所以錯誤，是假命題；
C、a•b=0可得a、b中必有一個字母的值為0，但不一定同時為零，是假命題；
D、若a•b=0，則a=0，或b=0，或二者同時為0，是真命題．
故選D．
點評：本題主要考查乘法法則，只有深刻理解乘法法則才能求出正確答案，需要考生具備一定的思維能力．
4．如圖，在ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分別是∠ABC、∠BCD的角平分線，則圖中的等腰三角形有（）
A．5個B．4個C．3個D．2個
考點：等腰三角形的判定；三角形內(nèi)角和定理．
專題：證明題．
分析：根據(jù)已知條件和等腰三角形的判定定理，對圖中的三角形進行分析，即可得出答案．
解答：解：共有5個．
（1）AB=AC
ABC是等腰三角形；
（2）BD、CE分別是∠ABC、∠BCD的角平分線
∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠BCD，
ABC是等腰三角形，
∠EBC=∠ECB，
BCE是等腰三角形；
（3）∠A=36°，AB=AC，
∠ABC=∠ACB=（180°﹣36°）=72°，
又BD是∠ABC的角平分線，
∠ABD=∠ABC=36°=∠A，
ABD是等腰三角形；
同理可證CDE和BCD是等腰三角形．
故選：A．
點評：此題主要考查學生對等腰三角形判定和三角形內(nèi)角和定理的理解和掌握，屬于中檔題．
5．如圖，ABC經(jīng)過怎樣的平移得到DEF（）
A．把ABC向左平移4個單位，再向下平移2個單位
B．把ABC向右平移4個單位，再向下平移2個單位
C．把ABC向右平移4個單位，再向上平移2個單位
D．把ABC向左平移4個單位，再向上平移2個單位
考點：平移的性質(zhì)．
專題：壓軸題．
分析：根據(jù)平移的性質(zhì)可知，圖中DE與AB是對應線段，DE是AB向右平移4個單位，再向上平移2個單位得到的．
解答：解：由題意可知把ABC向右平移4個單位，再向上平移2個單位得到DEF．
故選C．
點評：本題主要考查了平移的性質(zhì)，觀察圖象，分析對應線段作答．
6．下列說法錯誤的是（）
A．三角形的中線、高、角平分線都是線段
B．任意三角形內(nèi)角和都是180°
C．三角形按角可分為銳角三角形、直角三角形和等腰三角形
D．直角三角形兩銳角互余
考點：三角形的角平分線、中線和高；三角形內(nèi)角和定理；直角三角形的性質(zhì)．
專題：推理填空題．
分析：根據(jù)三角形的中線高角平分線定義即可判斷A；由三角形內(nèi)角和定理能判斷B；由直角三角形的分類能判斷C；根據(jù)直角三角形的性質(zhì)能判斷D．
解答：解：A、三角形的中線高角平分線都是線段，故本選項錯誤；
B、根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，三角形的內(nèi)角和等于180°，故本選項錯誤；
C、因為三角形按角分為直角三角形和斜三角形（銳角三角形、鈍角三角形），故本選項錯誤；
D、直角三角形兩銳角互余，故本選項正確；
故選D．
點評：本題考查了三角形的角平分線、中線、高，三角形的內(nèi)角和定理，直角三角形的性質(zhì)等知識點，熟練理解和掌握這些知識是解此題的關(guān)鍵．
7．在平面直角坐標系xOy中，已知點P（2，2），點Q在y軸上，PQO是等腰三角形，則滿足條件的點Q共有（）
A．5個B．4個C．3個D．2個
考點：等腰三角形的判定；坐標與圖形性質(zhì)．
專題：壓軸題．
分析：根據(jù)題意，畫出圖形，由等腰三角形的判定找出滿足條件的Q點，選擇正確答案．
解答：解：如上圖：滿足條件的點Q共有（0，2）（0，2）（0，﹣2）（0，4）．
故選B．
點評：本題考查了等腰三角形的判定及坐標與圖形的性質(zhì)；利用等腰三角形的判定來解決特殊的問題，其關(guān)鍵是根據(jù)題意，畫出符合實際條件的圖形，再利用數(shù)學知識來求解．
8．如圖，在ABC中，∠CAB=70°．在同一平面內(nèi)，將ABC繞點A旋轉(zhuǎn)到AB′C′的位置，使得CC′∥AB，則∠BAB′=（）
A．30°B．35°C．40°D．50°
考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．
分析：旋轉(zhuǎn)中心為點A，B與B′，C與C′分別是對應點，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，旋轉(zhuǎn)角∠BAB′=∠CAC′，AC=AC′，再利用平行線的性質(zhì)得∠C′CA=∠CAB，把問題轉(zhuǎn)化到等腰ACC′中，根據(jù)內(nèi)角和定理求∠CAC′．
解答：解：CC′∥AB，∠CAB=70°，
∠C′CA=∠CAB=70°，
又C、C′為對應點，點A為旋轉(zhuǎn)中心，
AC=AC′，即ACC′為等腰三角形，
∠BAB′=∠CAC′=180°﹣2∠C′CA=40°．
故選：C．
點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)，對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應點與旋轉(zhuǎn)中心的連線的夾角為旋轉(zhuǎn)角．同時考查了平行線的性質(zhì)．
9．為確保信息安全，信息需加密傳輸，發(fā)送方由明文⇒密文（加密），接收方由密文⇒明文（解密），已知有一種密碼，將英文26個小寫字母a，b，c，…，z依次對應0，1，2，…，25這26個自然數(shù)（見表格），當明文中的字母對應的序號為β時，將β+10除以26后所得的余數(shù)作為密文中的字母對應的序號，例如明文s對應密文c
字母abcdefghijklm
序號0123456789101112
字母nopqrstuvwxyz
序號13141516171819202122232425
按上述規(guī)定，將明文“maths”譯成密文后是（）
A．wkdrcB．wkhtcC．eqdjcD．eqhjc
考點：有理數(shù)的混合運算．
專題：應用題；壓軸題．
分析：m對應的數(shù)字是12，12+10=22，除以26的余數(shù)仍然是22，因此對應的字母是w；a對應的數(shù)字是0，0+10=10，除以26的余數(shù)仍然是10，因此對應的字母是k；t對應的數(shù)字是19，19+10=29，除以26的余數(shù)仍然是3，因此對應的字母是d；…，所以本題譯成密文后是wkdrc．
解答：解：m、a、t、h、s分別對應的數(shù)字為12、0、19、7、18，它們分別加10除以26所得的余數(shù)為22、10、3、17、2，所對應的密文為wkdrc．
故選：A．
點評：本題是閱讀理解題，解決本題的關(guān)鍵是讀懂題意，理清題目中數(shù)字和字母的對應關(guān)系和運算規(guī)則，然后套用題目提供的對應關(guān)系解決問題，具有一定的區(qū)分度．
10．甲、乙兩個準備在一段長為1200米的筆直公路上進行跑步，甲、乙跑步的速度分別為4m/s和6m/s，起跑前乙在起點，甲在乙前面100米處，若同時起跑，則兩人從起跑至其中一人先到達終點的過程中，甲、乙兩之間的距離y（m）與時間t（s）的函數(shù)圖象是（）
A．B．C．D．
考點：函數(shù)的圖象．
專題：壓軸題．
分析：甲在乙前面，而乙的速度大于甲，則此過程為乙先追上甲后再超過甲，全程時間以乙跑的時間計算，算出相遇時間判斷圖象．
解答：解：此過程可看作追及過程，由相遇到越來越遠，按照等量關(guān)系“甲在相遇前跑的路程+100=乙在相遇前跑的路程”列出等式
v乙t=v甲t+100，根據(jù)
甲、乙跑步的速度分別為4m/s和6m/s，起跑前乙在起點，甲在乙前面100米處，
則乙要追上甲，所需時間為t=50，
全程乙跑完后計時結(jié)束t總==200，
則計時結(jié)束后甲乙的距離s=（v乙﹣v甲）×（t總﹣t）=300m
由上述分析可看出，C選項函數(shù)圖象符合
故選：C．
點評：本題考查的是函數(shù)圖象與實際結(jié)合的問題，需注意相遇的時間、全程時間以及最后甲乙的距離這幾個點．
二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，請把答案填在題中橫線上）
11．如果正比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過點（1，﹣2），那么k的值等于﹣2．
考點：待定系數(shù)法求正比例函數(shù)解析式．
專題：待定系數(shù)法．
分析：把點的坐標代入函數(shù)解析式，就可以求出k的值．
解答：解：圖象經(jīng)過點（1，﹣2），
1×k=﹣2，
解得：k=﹣2．
故答案為：﹣2．
點評：本題主要考查函數(shù)圖象經(jīng)過點的意義，經(jīng)過點，說明點的坐標滿足函數(shù)解析式．
12．等腰三角形的對稱軸有一條或三條條．
考點：軸對稱圖形．
專題：常規(guī)題型．
分析：等腰三角形是軸對稱圖形，注意分一般等腰三角形和特殊等腰三角形兩種情況考慮．
解答：解：一般等腰三角形有一條，即底邊上的中線所在的直線；
若是特殊的等腰三角形即等邊三角形，則有三條，即每條邊上的中線所在的直線．
故答案為：一條或三條．
點評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及軸對稱圖形；做題時很易出錯，往往只想到一般的等腰三角形，要注意兩種情況的考慮．
13．命題“直角都相等”的逆命題是
相等的角都是直角，它是
假命題．（填“真”或“假”）．
考點：命題與定理．
分析：把一個命題的題設(shè)和結(jié)論互換就可得到它的逆命題，根據(jù)真命題與假命題的概念，判斷正確的命題叫真命題，判斷錯誤的命題叫假命題，即可判斷出命題的真假．
解答：解：命題“直角都相等”的逆命題是：相等的角都是直角，
相等的角不一定都是直角，
命題是假命題，
故答案為：相等的角都是直角，假．
點評：本題考查了互逆命題的知識，兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的結(jié)論，而第一個命題的結(jié)論又是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題，其中一個命題稱為另一個命題的逆命題，還考查了真假命題的定義，難度適中．
14．如圖，AD是ABC的邊BC上的高，由下列條件中的某一個就能推出ABC是等腰三角形的是②③④．
①∠BAD=∠ACD；②∠BAD=∠CAD；③AB+BD=AC+CD；④AB﹣BD=AC﹣CD．
考點：等腰三角形的判定與性質(zhì)．
專題：壓軸題．
分析：可根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)來判斷①②是否正確；③④要通過作等腰三角形來判斷其結(jié)論是否成立．
解答：解：應添加的條件是②③④；
證明：②當∠BAD=∠CAD時，
AD是∠BAC的平分線，且AD是BC邊上的高；
則ABD≌ACD，
BAC是等腰三角形；
③延長DB至E，使BE=AB；延長DC至F，使CF=AC；連接AE、AF；
AB+BD=CD+AC，
DE=DF，又ADBC；
AEF是等腰三角形；
∠E=∠F；
AB=BE，
∠ABC=2∠E；
同理，得∠ACB=2∠F；
∠ABC=∠ACB，即AB=AC，ABC是等腰三角形；
④ABC中，ADBC，根據(jù)勾股定理，得：
AB2﹣BD2=AC2﹣CD2，
即（AB+BD）（AB﹣BD）=（AC+CD）（AC﹣CD）；
AB﹣BD=AC﹣CD①，
AB+BD=AC+CD②；
①+②得：，
2AB=2AC；
AB=AC，
ABC是等腰三角形
故答案為：②③④．
點評：此題主要考查的是等腰三角形的判定和性質(zhì)；本題的難點是結(jié)論③的證明，能夠正確的構(gòu)建出等腰三角形是解答③題的關(guān)鍵．
三、（本題共2小題，每小題8分，共16分）
15．如圖，已知：點B、F、C、E在一條直線上，F(xiàn)B=CE，AC=DF．能否由上面的已知條件證明AB∥ED？如果能，請給出證明；如果不能，請從下列三個條件中選擇一個合適的條件，添加到已知條件中，使AB∥ED成立，并給出證明．供選擇的三個條件（請從其中選擇一個）：
①AB=ED；
②BC=EF；
③∠ACB=∠DFE．
考點：全等三角形的判定與性質(zhì)．
分析：只有FB=CE，AC=DF．不能證明AB∥ED；可添加：①AB=ED，可用SSS證明ABC≌DEF，得到∠B=∠E，再根據(jù)平行線的判定方法可得AB∥ED；也可添加：③∠ACB=∠DFE，可用SAS證明ABC≌DEF；但不能添加②，這就是SSA，不能判定ABC≌DEF．
解答：解：不能；
可添加：①AB=ED，可用SSS證明ABC≌DEF；
FB=CE，
FB+FC=CE+FC，
即BC=EF，
在ABC和DEF中，
ABC≌DEF（SSS），
∠B=∠E，
AB∥ED．
點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及平行線的判定，關(guān)鍵是掌握證明三角形全等的方法，以及全等三角形的性質(zhì)定理．
16．如圖，分別過點C、B作ABC的BC邊上的中線AD及其延長線的垂線，垂足分別為E、F．求證：BF=CE．
考點：全等三角形的判定與性質(zhì)．
分析：由已知條件“過點C、B作AD及其延長線的垂線”易證兩個直角相等；再由AD是中線知BD=CD，對頂角∠BDF與∠CDE相等，利用“AAS”來證明BDF≌CDE；最后根據(jù)全等三角形的對應邊相等來證明BF=CE．
解答：證明：根據(jù)題意，知CEAF，BFAF，
∠CED=∠BFD=90°，
又AD是邊BC上的中線，
BD=DC；
在RtBDF和RtCDE中，
∠BDF=∠CDE（對頂角相等），BD=CD，∠CED=∠BFD，
BDF≌CDE（AAS），
BF=CE（全等三角形的對應邊相等）．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是通過平行線的判定定理（在同一平面內(nèi)，垂直于同一條線段的兩條直線平行）證明CE∥BF，然后通過平行線的性質(zhì)（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）求得∠DBF=∠DCE才能構(gòu)建是全等三角形BDF≌CDE．
四、（本題共2小題，每小題8分，共16分）
17．如圖，已知直線L1經(jīng)過點A（﹣1，0）與點B（2，3），另一條直線L2經(jīng)過點B，且與x軸相交于點P（m，0）．
（1）求直線L1的解析式．
（2）若APB的面積為3，求m的值．（提示：分兩種情形，即點P在A的左側(cè)和右側(cè)）
考點：待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式．
專題：分類討論；待定系數(shù)法．
分析：（1）設(shè)直線L1的解析式為y=kx+b，由題意列出方程組求解；
（2）分兩種情形，即點P在A的左側(cè)和右側(cè)分別求出P點坐標，再求解．
解答：解：（1）設(shè)直線L1的解析式為y=kx+b，
直線L1經(jīng)過點A（﹣1，0）與點B（2，3），
，
解得．
所以直線L1的解析式為y=x+1．
（2）當點P在點A的右側(cè)時，AP=m﹣（﹣1）=m+1，
有SAPB=×（m+1）×3=3，
解得：m=1．
此時點P的坐標為（1，0）．
當點P在點A的左側(cè)時，AP=﹣1﹣m，
有SAPB=×|﹣m﹣1|×3=3，
解得：m=﹣3，
此時，點P的坐標為（﹣3，0）．
綜上所述，m的值為1或﹣3．
點評：本題要注意利用一次函數(shù)的特點，列出方程組，求出未知數(shù)求得函數(shù)解析式；利用P點坐標求三角形的面積．
18．如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A（0，8），點B（6，8）．
（1）只用直尺（沒有刻度）和圓規(guī)，求作一個點P，使點P同時滿足下列兩個條件（要求保留作圖痕跡，不必寫出作法）：
①點P到A，B兩點的距離相等；
②點P到∠xOy的兩邊的距離相等．
（2）在（1）作出點P后，寫出點P的坐標．
考點：作圖—復雜作圖．
分析：（1）點P到A，B兩點的距離相等，即作AB的垂直平分線，點P到∠xOy的兩邊的距離相等，即作角的平分線，兩線的交點就是點P的位置．
（2）根據(jù)坐標系讀出點P的坐標．
解答：解：（1）作圖如右，點P即為所求作的點．
（2）設(shè)AB的中垂線交AB于E，交x軸于F，
由作圖可得，EFAB，EFx軸，且OF=3，
OP是坐標軸的角平分線，
P（3，3），
同理可得：P（3，﹣3），
綜上所述：符合題意的點的坐標為：（3，3），（3，﹣3）．
點評：本題主要考查了線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等和角平分線上的點到角兩邊的距離相等．
五、（本題共2小題，每小題10分，共20分）
19．已知函數(shù)y1=x﹣1和y2=﹣2x+3．
（1）同一坐標系中畫出這兩個函數(shù)的圖象．
（2）求出這兩個函數(shù)圖象的交點坐標．
（3）觀察圖象，當x取什么范圍時，y1＞y2？
考點：兩條直線相交或平行問題．
專題：作圖題；數(shù)形結(jié)合．
分析：（1）找出y1，y2與橫縱縱坐標的交點即可畫出；
（2）令x﹣1=﹣2x+3即得到交點；
（3）由（2）中所得交點結(jié)合圖象即求得．
解答：解：（1）如右圖
（2）令x﹣1=﹣2x+3，得x=，
代入得：y=
交點坐標為（，）；
（3）當x＞時，從圖象上函數(shù)y1的圖象在y2圖象的上面，
即此時y1＞y2
點評：本題考查兩直線的相交問題，（1）中求得兩直線與橫縱坐標的交點即可求得直線，（2）令兩直線相等，即可求得兩直線的交點坐標．（3）從（2）中得到的交點結(jié)合圖象即求得．
20．觀察與發(fā)現(xiàn)：小明將三角形紙片ABC（AB＞AC）沿過點A的直線折疊，使得AC落在AB邊上，折痕為AD，展開紙片（如圖①）；在第一次的折疊基礎(chǔ)上第二次折疊該三角形紙片，使點A和點D重合，折痕為EF，展平紙片后得到AEF（如圖②）．小明認為AEF是等腰三角形，你同意嗎？請說明理由．
（2）實踐與運用：將矩形紙片ABCD沿過點B的直線折疊，使點A落在BC邊上的點F處，折痕為BE（如圖③）；再沿過點E的直線折疊，使點D落在BE上的點D′處，折痕為EG（如圖④）；再展平紙片（如圖⑤）．求圖⑤中∠α的大小．
考點：翻折變換（折疊問題）；等腰三角形的判定；矩形的性質(zhì)．
專題：操作型．
分析：（1）由兩次折疊知，點A在EF的中垂線上，所以AE=AF；
（2）由圖知，∠α=∠FED﹣（180°﹣∠AEB）÷2．
解答：解：（1）同意．如圖，設(shè)AD與EF交于點G．
由折疊知，AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD．
又由折疊知，∠AGE=∠DGE，∠AGE+∠DGE=180°，
所以∠AGE=∠AGF=90°，
所以∠AEF=∠AFE．所以AE=AF，
即AEF為等腰三角形．
（2）由折疊知，四邊形ABFE是正方形，∠AEB=45°，
所以∠BED=135度．
又由折疊知，∠BEG=∠DEG，
所以∠DEG=67.5度．
從而∠α=67.5°﹣45°=22.5°．
點評：本題是一道折疊操作性考題．重點考查學生通過觀察學習，領(lǐng)悟感受，探究發(fā)現(xiàn)折疊圖形的對稱只是，培養(yǎng)其自主學習能力，本題的關(guān)鍵是成軸對稱的兩個圖形全等，對應角相等．
在解答此題時，有的人往往知道結(jié)論，書寫不規(guī)范，建議教師在以后的教學中，在培養(yǎng)學生自主學習能力的同時，還要注重培養(yǎng)有條理表達和規(guī)范證明的能力．
六、（本題滿分12分）
21．已知：如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°．點E是DC的中點，過點E作DC的垂線交AB于點P，交CB的延長線于點M．點F在線段ME上，且滿足CF=AD，MF=MA．
（1）若∠MFC=120°，求證：AM=2MB；
（2）求證：∠MPB=90°﹣∠FCM．
考點：直角梯形；全等三角形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；含30度角的直角三角形．
專題：證明題．
分析：（1）連接MD，由于點E是DC的中點，MEDC，所以MD=MC，然后利用已知條件證明AMD≌FMC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可以推出∠MAD=∠MFC=120°，接著得到∠MAB=30°，再根據(jù)30°的角所對的直角邊等于斜邊的一半即可證明AM=2BM；
（2）利用（1）的結(jié)論得到∠ADM=∠FCM，又AD∥BC，所以∠ADM=∠CMD，由此得到∠CMD=∠FCM，再利用等腰三角形的性質(zhì)即可得到∠CME=∠FCM，再根據(jù)已知條件即可解決問題．
解答：證明：（1）連接MD，
點E是DC的中點，MEDC，
MD=MC，
又AD=CF，MF=MA，
AMD≌FMC，
∠MAD=∠MFC=120°，
AD∥BC，∠ABC=90°，
∠BAD=90°，
∠MAB=30°，
在RtAMB中，∠MAB=30°，
BM=AM，
即AM=2BM；
（2）連接MD，
點E是DC的中點，MEDC，
MD=MC，
又AD=CF，MF=MA，
AMD≌FMC，
∠ADM=∠FCM，
AD∥BC，
∠ADM=∠CMD
∠CMD=∠FCM，
MD=MC，MEDC，
∠DME=∠CME=∠CMD，
∠CME=∠FCM，
在RtMBP中，∠MPB=90°﹣∠CME=90°﹣∠FCM．
點評：此題主要考查了梯形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定，及等腰三角形的性質(zhì)與判定，綜合性比較強．
七、（本題滿分12分）
22．某加油站五月份營銷一種油品的銷售利潤y（萬元）與銷售量x（萬升）之間函數(shù)關(guān)系的圖象如圖中折線所示，該加油站截止到13日調(diào)價時的銷售利潤為4萬元，截止至15日進油時的銷售利潤為5.5萬元．（銷售利潤=（售價﹣成本價）×銷售量）請你根據(jù)圖象及加油站五月份該油品的所有銷售記錄提供的信息，解答下列問題：
（1）求銷售量x為多少時，銷售利潤為4萬元；
（2）分別求出線段AB與BC所對應的函數(shù)關(guān)系式；
（3）我們把銷售每升油所獲得的利潤稱為利潤率，那么，在OA、AB、BC三段所表示的銷售信息中，哪一段的利潤率？（直接寫出答案）
考點：一次函數(shù)的應用；分段函數(shù)．
專題：壓軸題；圖表型．
分析：（1）根據(jù)銷售記錄每升利潤為1元，所以銷售利潤為4萬元時銷售量為4萬升；
（2）設(shè)BC所對應的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b（k≠0），求出圖象中B點和C點的坐標代入關(guān)系式中即可．
（3）判斷利潤率，應該看傾斜度．
解答：解：解法一：
（1）根據(jù)題意，當銷售利潤為4萬元，銷售量為4÷（5﹣4）=4（萬升）．
答：銷售量x為4萬升時銷售利潤為4萬元；
（2）點A的坐標為（4，4），從13日到15日銷售利潤為5.5﹣4=1.5（萬元），
所以銷售量為1.5÷（5.5﹣4）=1（萬升），所以點B的坐標為（5，5.5）．
設(shè)線段AB所對應的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，則解得
線段AB所對應的函數(shù)關(guān)系式為y=1.5x﹣2（4≤x≤5）．
從15日到31日銷售5萬升，利潤為1×1.5+4×（5.5﹣4.5）=5.5（萬元）．
本月銷售該油品的利潤為5.5+5.5=11（萬元），所以點C的坐標為（10，11）．
設(shè)線段BC所對應的函數(shù)關(guān)系式為y=mx+n，則解得
所以線段BC所對應的函數(shù)關(guān)系式為y=1.1x（5≤x≤10）；
（3）線段AB傾斜度，所以利潤率．
解法二：
（1）根據(jù)題意，線段OA所對應的函數(shù)關(guān)系式為y=（5﹣4）x，即y=x（0≤x≤4）．
當y=4時，x=4．
答：銷售量為4萬升時，銷售利潤為4萬元．
（2）設(shè)線段AB所對應的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b（k≠0），則解得
線段AB所對應的函數(shù)關(guān)系式為y=1.5x﹣2（4≤x≤5）．
設(shè)BC所對應的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b（k≠0），
截止至15日進油時的銷售利潤為5.5萬元，
且13日油價調(diào)整為5.5元/升，
5.5=4+（5.5﹣4）x，
x=1（萬升）．
B點坐標為（5，5.5）．
15日進油4萬升，進價4.5元/升，
又本月共銷售10萬升，
本月總利潤為：
y=5.5+（5.5﹣4）×（6﹣4﹣1）+4×（5.5﹣4.5）
=5.5+1.5+4
=11（萬元）．
C點坐標為（10，11）．
將B點和C點坐標代入y=kx+b得方程組為：
，
解得：．
故線段BC所對應的函數(shù)關(guān)系式為：y=1.1x．（5≤x≤10）．
（3）線段AB傾斜度，所以利潤率．
點評：這是一道分段函數(shù)難度中上的考題，主要考查從圖表獲取信息和利用一次函數(shù)解決實際問題的能力．本題的關(guān)鍵是要仔細審題，找出數(shù)量變化與對應函數(shù)圖象的關(guān)系，思考：險段AB，OA，BC對應的函數(shù)有哪些不同其根本原因是每升的成本，利潤的變化，導致銷售量的變化，正確計算出三種情形中的每升利潤，是解決這一分段函數(shù)的重中之重．
八、（本題滿分14分）
23．某物流公司的快遞車和貨車每天往返于A、B兩地，快遞車比貨車多往返一趟．圖表示快遞車距離A地的路程y（單位：千米）與所用時間x（單位：時）的函數(shù)圖象．已知貨車比快遞車早1小時出發(fā)，到達B地后用2小時裝卸貨物，然后按原路、原速返回，結(jié)果比快遞車最后一次返回A地晚1小時．
（1）請在圖中畫出貨車距離A地的路程y（千米）與所用時間x（時）的函數(shù)圖象；
（2）求兩車在途中相遇的次數(shù)（直接寫出答案）；
（3）求兩車最后一次相遇時，距離A地的路程和貨車從A地出發(fā)了幾小時？
考點：一次函數(shù)的應用；分段函數(shù)．
專題：壓軸題．
分析：（1）貨車從出發(fā)到返回共10小時，所以前4小時一段、后4小時一段、中間2小時路程不變；
（2）分別求出函數(shù)解析式解方程組即可．
解答：解：（1）根據(jù)題意，圖象經(jīng)過（﹣1，0）、（3，200）和（5，200）、（9，0）．
如圖：
（2）4次；
（3）如圖，設(shè)直線EF的解析式為y=k1x+b1
圖象過（9，0），（5，200），
，
，
y=﹣50x+450①，
設(shè)直線CD的解析式為y=k2x+b2
圖象過（8，0），（6，200），
，
，
y=﹣100x+800②，
解由①②組成的方程組得：，
1.目的明確，難易適中
首先，問題必須具有鮮明的目的性，為什么提出這樣的問題？提出這樣的問題對最終解決問題起什么作用？這就要求教師要有目的地設(shè)計問題，并準確地加以表述，其次，嚴格控制問題的數(shù)量，在教學時選擇一些繁簡得當，難度適中的問題，要符合大多數(shù)學生的實際，處于大多數(shù)學生的。“最近發(fā)展區(qū)”，所謂“跳一跳，摘得到”，少提質(zhì)量粗糙、簡單重復、無關(guān)緊要的問題，如導入新課時設(shè)問，要力爭激起學生的求知欲；接觸新知識后要在關(guān)鍵處設(shè)問，引導學生準確掌握本堂課的重點；例題講解后要抓住題目的變通處設(shè)問，培養(yǎng)學生思維的流暢性和靈活性，從而激發(fā)學生的興趣，打開他們探究的心扉，點燃他們心中的創(chuàng)新之火，使他們既有所得又樂在其中。
2.面向全體，因人而異
問題要有層次，照顧到全體學生，這就要求教師備課時對學生心中有數(shù)，課堂上善于觀察每一位學生的微妙變化，捕捉那些容易被忽視的思維浪花，通過不同層次的問題，調(diào)動全體學生的興趣，使每一個學生都能得到提高，在此基礎(chǔ)上，教師提問應面向全體學生，然后根據(jù)教學目的、要求與問題的難易程度，有目的地選擇提問對象，較難的問題要向基礎(chǔ)好的學生發(fā)問，待學生回答后，再作必要的講解，以便讓基礎(chǔ)差的學生也有所收獲；較易的問題向基礎(chǔ)差的學生發(fā)問，這樣，可以吸引所有的學生參加思維活動，促使每一位學生用心回答問題。
3.鼓勵探索，科學講評
在課堂教學中，學生對問題的回答，標志著他們對問題的理解和掌握程度，也是教師檢查自身教學效果的重要途徑，因此，教師要積極鼓勵學生大膽回答問題，而且提問不僅可以是教師提，也包括學生問教師要鼓勵學生大膽質(zhì)疑，在無疑處找疑，在有疑處解疑，對于學生提出的疑問，或讓學生議論，或給予適當?shù)膯l(fā)、誘導、指導思路，但教師不要包辦代替，教師聽完學生回答后要進行小結(jié)，學生受知識水平所限，回答問題出現(xiàn)的錯誤是難免的，教師要及時給予歸納總結(jié)，對正確的加以肯定，不完整的給予補充，錯誤的給予糾正，使學生最后能掌握系統(tǒng)、完整、科學的知識。
在評價學生提出的問題時，首先應關(guān)注學生提出問題的積極性；其次要關(guān)注學生提出問題的深度和廣度，在評價學生解決問題時，不僅關(guān)注解答結(jié)果的正確，更應關(guān)注學生是否積極思考，能否表述自己發(fā)現(xiàn)的規(guī)律及與同伴進行交流等。
二、設(shè)計“問題”的方法
1.創(chuàng)設(shè)情境，激活興趣
問題1：請幫助小李想辦法：墻上釘了一根木條，小李想檢驗這根木條是否水平，他拿來一個如圖1所示的測平儀，在這個測平儀中，AB=AC，BC邊的中點D處掛了一個重錘，小李將BC邊與木條重合，觀察此時重錘是否通過A點，如果重錘過A點，那么這根木就是水平的你能說明其中的道理嗎？
等腰三角形除了具有一般三角形的性質(zhì)外，還具有其他性質(zhì)嗎？想一想，你能告訴我們嗎？在我們還沒有確切答案以前，讓我們先分組做個實驗吧。
問題1引導學生思考開放性、應用性的實際問題，設(shè)懸念喚起學生的學習需要，激發(fā)學生的興趣，誘發(fā)學生思考，為下面的教學活動拉開了序幕。
2.師生互動，以舊引新
問題2：如圖2，任意畫一個等腰三角形，請大家剪下剛才畫好的等腰三角形ABC，把紙片對折，讓兩腰重疊在一起，折痕為AD，然后展平，那么∠1與∠2相等嗎？教師同時演示。
由于角兩邊互相重合，∠1=∠2，發(fā)現(xiàn)折痕AD為等腰三角形ABC的頂角平分線。
問題3：觀察AABC被折痕AD分成的兩個部分能否完全重合？
因為等腰三角形ABC是以頂角平分線AD所在的直線為對稱軸的對稱圖形，點B的對稱點是點C，點A的對稱點是點A，點D的對稱點是點D，所以ABD作關(guān)于直線AD的軸對稱變換所得到的像是ACD，因此，ABD與ACD重合。
問題2、3以等腰三角形的軸對稱性為切入點，使得知識銜接較為自然，并為下一步探索等腰三角形的性質(zhì)埋下伏筆。
3.動手實踐，歸納結(jié)論
問題4：你還能找出圖中其他相等的線段和相等的角嗎？
因為ABD與ACD重合，根據(jù)軸對稱變換不改變圖形的形狀和大小得出ABD≌ACD，故BD=CD，∠B=∠C，∠ADB=∠ADC。
問題5：你能否用文字敘述等腰三角形中有關(guān)底角的性質(zhì)呢？
等腰三角形兩底角相等，也就是說，在同一個三角形中，等邊對等角。
問題6：搶答練習。
（1）等腰三角形的一個內(nèi)角為100°，則另兩個角為：_______。
（2）等腰三角形的一個內(nèi)角為40°，則另兩個角為_______。
（3）等腰三角形的一個內(nèi)角為60°，則另兩個角為_______。
（4）一個等腰三角形的一個外角等于110°，則這個三角形的三個角應該為______。
問題7：現(xiàn)在再觀察折痕AD，你能得出什么結(jié)論？
因為∠ADB=∠ADC，∠ADB +∠ADC=180°，所以AD⊥BC，即折痕AD為底邊上的高，因為∠1=∠2，折痕AD為頂角的平分線，因為BD=CD，折痕AD為底邊上的中線。
問題8：你能否用文字敘述等腰三角形中有關(guān)折痕AD的性質(zhì)呢？
等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線和高互相重合，簡稱等腰三角形三線合一。
問題9：如圖2，在ABC中，根據(jù)下列已知條件，寫出你能得到的結(jié)論：
①如果AB=AC，∠1=∠2，那么_______。
②如果AB=AC，AD⊥BC，那么______。
③如果AB=AC，BD=DC，那么______。
問題4～9圍繞探求折痕AD的多重“身份”層層展開討論，用運動變換的方法一起得出等腰三角形的兩個性質(zhì)，不僅激發(fā)了學生學習的興趣和求知欲，而且問題的梯度拾級而上，符合學生的認知規(guī)律。
4.指導應用，延伸拓展
例1如圖3，在ABC中，AB=AC，D是BC邊上的一點，DELAB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，添加一個條件，使DE=DF，并說明理由。
問題10：若不能添輔助線，你會添加一個怎樣的條件？
添加BD=CD，或BE=CF均能證明BDE≌CDF（ASA）
問題11：若能添輔助線，你會添加一個怎樣的條件？
連結(jié)AD，添加BD=CD，利用等腰三角形三線合一得出AD平分∠BAC，由角平分線上的點到角的兩邊距離相等得到DE=DF。
此例是為使學生鞏固等腰三角 形的性質(zhì)而增設(shè)，亦可通過構(gòu)造三角形全等的角度證得，從而拓寬分析問題的視野和思路。
例2如圖4，已知線段a，h，用直尺和圓規(guī)作等腰三角形ABC，使底邊BC=a，BC邊上的高為h。
問題12：底邊BC已知，底邊上的高長為h，你知道怎樣確定頂點A的位置嗎？
該例有效地訓練學生發(fā)散性思維能力，在已有認知的基礎(chǔ)上使新知得以內(nèi)化。
5.歸納小結(jié)，反思提高
問題13：在本節(jié)課的學習中，你有哪些收獲與我們分享？
問題14：你還有什么不理解的地方，需要得到老師或同學的幫助？
三、“問題”教學的實踐體會
1.創(chuàng)設(shè)問題情境，把問題作為教學的出發(fā)點
學生問題意識的培養(yǎng)，首先依賴于教師的教學設(shè)計，因此，教師要善于聯(lián)系學生的生活實際，找準“最近發(fā)展區(qū)”，通過多種手段呈現(xiàn)問題情境，制造學生認識沖突，誘發(fā)學生的問題意識，使學生確實感到有問題要問。
其次，課堂教學提問要有明確的目的，要根據(jù)每節(jié)課的教學要求，對要提問的問題進行精心的設(shè)計，一定要克服課堂教學的隨意性，提問要緊緊圍繞課堂教學的中心來進行，提問內(nèi)容要具有典型性、代表性，提問的形式要具有靈活性、多樣性，問題不能太籠統(tǒng)另外，教師提出的問題還要符合邏輯，注意按照教材順序，層層設(shè)問，環(huán)環(huán)緊扣，使問題與問題間構(gòu)成內(nèi)在的必然聯(lián)系和邏輯層次。
從問題出發(fā)設(shè)計教學，關(guān)鍵之處在于把握學生的固有認識與新現(xiàn)象、新事物的矛盾，在于引導學生自己發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)設(shè)情境，幫助學生發(fā)現(xiàn)這一矛盾，這樣才會引發(fā)真正有效的學習活動，才能真正讓學生學有所思。
2.指導學生開展嘗試活動，啟發(fā)他們發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，分析問題
（1）營造敢問的氛圍，由于傳統(tǒng)教育思想的束縛，我們不少教師對學生在課堂上的隨意議論、相互交流、回答提問等活動限制過多、過細，因而造成了學生因回答不對或害怕違反有關(guān)規(guī)定而感到緊張、焦慮甚至受壓制的現(xiàn)象。
因此，教師既要經(jīng)常鼓勵學生大膽提出問題，又要設(shè)法保護學生的積極性，在組織討論中，能最大限度地讓每個學生有發(fā)表自己見解的機會，真正使學生動起來，課堂活起來，特別是與眾不同的見解，無論是否正確，是否完整，只要學生在思考，只要敢說，就應鼓勵，這樣讓各個層次的學生都嘗到成功的樂趣，能提高學生分析問題、解決問題的能力。
要讓學生在課堂上多思敢問，就必須為學生參與教學創(chuàng)造有心理安全和自由的氣氛，否則學生就不會多思，也不敢多想，有了問題也不敢多問，有了想法也不敢多說，長此以往，學生的問題意識就會淡化。
（2）創(chuàng)設(shè)想問的情境，心理學家研究表明“思維來自于疑問，意向產(chǎn)生于恰當?shù)膯栴}情境”，設(shè)置問題情境的目的是為了激發(fā)學生的學習興趣，使學生處于智力的情境中，事實上，當創(chuàng)設(shè)的問題情境激發(fā)了學生接受挑戰(zhàn)的欲望時，則說明這種問題情境已經(jīng)生成，已起到了作用。
因此，教師在設(shè)計以問題為核心的情境中，在問題基礎(chǔ)上展開討論、閱讀、講解、點撥，然后再激發(fā)出新的問題，同時，教師要學會從學生的直接表述中發(fā)現(xiàn)問題，應該學會從了解到學生的認識基礎(chǔ)與新現(xiàn)象矛盾中發(fā)現(xiàn)問題，而且積極引導學生多角度地觀察問題，思考問題，使學生敢想、敢說、敢質(zhì)疑。
（3）教給會問的方法，要培養(yǎng)學生的問題意識，除了要學生敢問、想問，還要讓學生會問、教師要教給學生一些提問的技巧，提高學生的思維品質(zhì)，如教材中出現(xiàn)的“通過上面例子，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？”“你有解決這個問題的更好的方法嗎？”“在同樣條件下，還有其他結(jié)論嗎？如果條件改變或部分條件改變，結(jié)論會怎樣？”這不僅教給學生會問的方法，同時使學生能主動參與認識過程，能提高學生分析問題、解決向題的能力。
3.問題獲解后的探究
學生初解此類問題時，一般靠直覺畫圖，或是主觀猜測，往往會出現(xiàn)漏解、錯解，甚至在坐標系背景下無從下手等現(xiàn)象。根據(jù)筆者對此類問題的研究，現(xiàn)將本考點解題策略整理如下：
一、先弄清一個基本問題的解題方法：已知線段AB，在平面內(nèi)取一點P，使PAB為等腰三角形。首先，因為沒有說明誰為腰，誰為底，因此要分類討論：
1.如果AB為底，則作AB的垂直平分線，點P一定在AB的垂直平分線上。
2.如果AB為腰，若∠A為頂角，則以點A為圓心，AB長為半徑畫圓，點P一定在這個圓上。
3.如果AB為腰，若∠B為頂角，則以點B為圓心，AB長為半徑畫圓，點P一定在這個圓上。稱這種方法為“兩圓一線”，兩圓即以兩定點為圓心，以定長為半徑畫的兩個圓，具體到實際問題可畫出部分弧，一線即給定線段的垂直平分線。即兩圓上的點和線段垂直平分線上的點都符合要求，具體到題目中會讓在指定范圍確定。
二、探索的等腰三角形有一條邊是確定位置及長度的，確定第三個頂點的存在（一般會指定位置，如在x軸或y軸或拋物線或某拋物線的對稱軸上是否存在點使三角形為等腰三角形）。
例1.如圖1，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點，直線l是拋物線的對稱軸。
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)點P是直線l上的一個動點，當PAC的周長最小時，求點P的坐標；
（3）在直線l上是否存在點M，使MAC為等腰三角形，若存在，直接寫出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由。
思路點撥：因為A、C位置確定，采用“兩圓一線”找到兩圓及一線與l的交點，因本例是在對稱軸上確定點，所以不太好確定點的坐標，我們可采用設(shè)未知數(shù)的方法來求。設(shè)未知數(shù)的方法有兩種：一種是設(shè)點的坐標，一種是設(shè)某線段的長度。但總之設(shè)未知數(shù)后都要利用幾何條件及圖形特征列方程，利用代數(shù)方法求解，因為只有通過解方程才能求出設(shè)的未知數(shù)的值。
三、在所求的等腰三角形中，一個頂點固定，另外兩個頂點運動（有運動兩點的位置范圍，即在哪條線上），確定其中一頂點或兩點坐標。
解題策略：由于兩個頂點都在運動，用“兩圓一線”無從下手，這種問題常見的有兩種類型：一是三角形的三邊可以用已知或與運動變化相關(guān)的量來表示，這一種我們可以利用勾股定理或相似表示邊長，再根據(jù)兩邊相等列方程（當然也需分類討論）。二是“盲解”，即代數(shù)方法。這種解法一般分三步：1.羅列三邊；2.分類列方程；3.解方程，檢驗三角形不是所有邊長都能用與運動相關(guān)的量來表示，那我們就要利用等腰三角形的性質(zhì)（三線合一、兩腰相等等），常過頂點做底邊的垂線把底邊平分來列方程求解。
例2 如圖2，已知正方形OABC的邊長為2，頂點A、C分別在x、y軸的正半軸上，M是BC的中點。P（0，m）是線段OC上一動點（C點除外），直線PM交AB的延長線于點D。
（1）求點D的坐標（用含m的代數(shù)式表示）；
（2）當APD是等腰三角形時，求m的值。
思路點撥：
1.用含m的代數(shù)式表示APD的三邊長，為解等腰三角形做好準備。
2.探求APD是等腰三角形，分三種情況利用邊相等列方程求解。
解答：（1）因為PC//DB，所以■=■=■。因此PM=DM，CP=BD=2-m。所以AD=4-m。于是得到點D的坐標為（2，4-m）。
（2）在APD中，AD2=（4-m）2，AP2=m2+4，PD2=（2PM）2=4+4（2-m）2。
①當AP=AD時，（4-m）2=m2+4。解得m=■（如圖3）。
②當PA=PD時，m2+4=4+4（2-m）2。解得m=■（如圖4）或m=4（不合題意，舍去）。
③當DA=DP時，（4-m）2=4+4（2-m）2。解得m=■（如圖5）或m=2（不合題意，舍去）。
綜上所述，當APD為等腰三角形時，m的值為■，■或■。
■
第（2）題解等腰三角形的問題，其中①②用幾何說理的方法，計算更簡單：圖3，當AP=AD時，AM垂直平分PD，那么PCM∽MBA。所以■=■=■。因此PC=■，m=■。
②如圖4，當PA=PD時，P在AD的垂直平分線上。所以DA=2PO。因此4-m=2m。解得m=■。
一、教學實錄
（一）課堂引入
首先，教師和學生一起回顧二次函數(shù)定義及其圖象的頂點坐標、對稱軸等，然后給出下列問題：
如圖1，已知二次函數(shù)y=x2-2x-3，與x軸交于A、B兩點（A在B的左側(cè)），與y軸交于C點，頂點為D。
（1）直接寫出A，B，C，D各點坐標及BC的直線解析式；
（2）根據(jù)圖象回答下列問題：
①開口方向為__________；
②對稱軸______________；
③當x=_______時，
最大（小）值_______；
④|AB|=______
⑤當x_________，y隨x的增大而增大，
當x_______，y隨x的增大而減小。
復習課的課堂引入是教師通過創(chuàng)設(shè)情境，幫助學生回顧已有的知識結(jié)構(gòu)。潘老師通過一個簡單的二次函數(shù)圖象，將學生短期內(nèi)遺忘掉的零散知識點重新編碼，通過（1）（2）兩小題建立二次函數(shù)知識之間、知識與學生個體經(jīng)驗之間的聯(lián)系，幫助學生回顧知識和整理知識，并組織學生交流探討第（2）題的第④小題，當A、B兩點的坐標任意確定時，都可以求出線段AB的長度，讓學生自己試著舉出例子，引導學生相互交流，幫助學生優(yōu)化知識結(jié)構(gòu)。
（二）創(chuàng)設(shè)問題
在解答完以上兩個小題之后，給出第三個小題。
（3）根據(jù)圖象思考由這些點O、A、B、C、D能構(gòu)成了哪些三角形，并求出這些三角形的面積。
生1：SOAC=[12]×1×3=[32] SOBD=[12]×3×4=6
SOBC=[12]×3×3=[92] SOCD=[12]×1×3=[32]
SABC=[12]×4×3=6 SAOD=[12]×1×4=2
SABD=[12]×4×4=8
師：還有其他三角形的面積能求嗎？
生2：還有ACD和BCD。
師：能否求出這兩個三角形的面積？相對于上述三角形，這兩個三角形的面積最難求嗎？為什么最困難？
生3：因為ACD和BCD的邊沒有在坐標軸上，其他三角形中都有某一邊或兩邊在坐標軸上，這樣便于尋找三角形的底和高，能比較直觀求出它們的面積，這兩個三角形的三邊都沒有在坐標軸上，尋找數(shù)量關(guān)系就顯得比較困難。
師：那我們有什么辦法來求出它們的面積呢？由原圖會想到哪些問題？
教師的點撥激起了學生思維的火花，帶領(lǐng)學生的思維進入，使數(shù)學問題逐步深入，探究變得非常巧妙自然。
（三）探究問題
師：如圖2，下面我們以BCD為例，來求它的面積，請同學們思考求解的好方法？
生1：可先求出四邊形ACDB的面積，利用上面的幾個基本三角形的和差，從而得到。
SBCD=S四邊形ACBD-SABC
=SAOC+SOCD+SOBD-SABC
=[32]+[32]+6-6
=3
生2：可先求出四邊形OCDB
的面積，利用OCD和OBD的
面積和減去OBC的面積即可。
生3：過D點作DHOC于H點，先求出梯形OHDB的面積，再減去OBC和CHD的面積即可。
本小題涉及到計算三角形面積的常用方法――割補法，學生采用“一題多解”，靈活運用，積極思考，課堂氣氛非常活躍，教師引導學生通過選擇適當?shù)姆椒ń鉀Q問題，體驗解決問題的思考過程，體驗數(shù)學的思想方法，盡可能多地讓學生自己講解，加深記憶，一題多解，做到“授人以魚不如授人以漁”。
二、幾個亮點思考
（一）注重數(shù)學的解題方法：“一題多解”和“一圖多用”
筆者在金華市培訓期間聽一位專家在“對基于教育本質(zhì)的數(shù)學課堂的幾點思考”的講座中提到一個案例：等腰三角形的判定。某位教師在復習等腰三角形性質(zhì)定理“等腰三角形的兩個底角相等”后給出其判定定理“有兩個角相等的三角形是等腰三角形”，在該教學片斷中，采用一圖多用，給筆者留下了深刻印象。題目如下：
師：如圖3，在ABC中，若∠B=∠C，則有什么結(jié)論？
圖3 圖4
生1：由等腰三角形的判定定理得出圖中ABC為等腰三角形.
師：如圖4，在ABC中，∠ABC=∠ACB，若BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，能得出什么結(jié)論？
生2：可找到兩個等腰三角形，分別是ABC和OBC。
師：如圖5，過O作直線EF∥BC。則圖中有幾個等腰三角形？為什么？線段EF與線段BE、FC之間有何關(guān)系？
圖5 圖6
生3：圖中可找到4個等腰三角形，分別是ABC、OBC、EBO、FOC，線段EF=BE+FC。
接著有學生指出學生3答題不仔細，紛紛舉手，發(fā)現(xiàn)圖3中有5個等腰三角形，不僅線段滿足EF=BE+FC，而且EF=2BE，或EF=2FC。學生觀察問題非常仔細，對問題的思考更加深入。
接著教師讓學生自己編題，設(shè)計問題后自己解決，其中一個學生想到：
生4：如圖6，若∠B與∠C不相等。則圖中有沒有等腰三角形？為什么？②線段EF與線段BE、FC之間還有沒有上述關(guān)系？
生5：圖中還有兩個等腰三角形，此時我們必須綜合應用角平分線定義和平行線性質(zhì)以及等腰三角形的判定定理得出EBO和FOC是等腰三角形，最后得出線段之間的關(guān)系式還是成立的。
師：講得非常好。針對此題，你還能想到什么問題？
生6：當BO和CO中其中有一條是ABC的一個內(nèi)角和一個外角平分線時，比如BO平分∠ABC，CO平分∠ACB的外角，且相交于點O，此時圖中有幾個等腰三角形？線段EF、EB、FC又滿足什么關(guān)系式？
師：針對這個圖形你還會設(shè)計什么問題呢？
生7：在圖3和圖4中，當EF不平行BC時，直線EF繞著點O旋轉(zhuǎn)時，會不會出現(xiàn)等腰三角形？若有，最多有幾個？
這個問題引起了全班同學的思考，大家相互討論，積極動手操作。此時，教師利用幾何畫板，很好的演示了這個過程，點E和點F的位置有可能在線段AB、AC上，或者在其延長線上，同時要對∠EBO進行分類討論：當∠EBO為等腰三角形的頂角或底角時又會怎樣，同時學生也發(fā)現(xiàn)等腰三角形個數(shù)的多少還取決于ABC的形狀。
同學們看著教師的演示，紛紛討論，畫圖探究，動手操作，思考問題的積極性非常高，氣氛熱烈，教師和學生一起完成了學生設(shè)計的難題。這個教學片斷非常巧妙地運用了數(shù)學幾何圖形的“一圖多用”，讓學生層層思考，通過變式、出題、由淺入深，學生整個思維清晰有序，課堂參與率非常高。
（二）注重數(shù)學課堂提問的藝術(shù)
數(shù)學課堂提問的方式很多，有開門見山的提問、有創(chuàng)設(shè)情景的提問、有窮追不舍的提問等。教師在提問時應注意問題要有需要性、激發(fā)性、創(chuàng)造性、發(fā)展性、全面性、適度性。好的提問方式可以激發(fā)學生的學習興趣，迅速集中學生的注意力，是開啟學生智慧之門的鑰匙。筆者在聽一位年輕教師執(zhí)教八年級上冊第十一章數(shù)學活動課“平面鑲嵌”這一課時，摘錄了這位教師的課堂提問。年輕教師的課堂提問設(shè)計能做到精心揣摩，筆者認為是非常好的。
師：正三角形、正四邊形、正五邊形、正六邊形這四種圖形中，選取一種進行平面鑲嵌，哪種不能？
通過多媒體演示，師生共同得出正五邊形不能單獨進行平面鑲嵌。
師：為什么正五邊形不能單一進行平面鑲嵌？能進行平面鑲嵌的圖形必須滿足什么條件？
因著教師的提問，學生進一步思考，對于多邊形進行平面鑲嵌有了更深刻的理解和認識，而并不單單在于記住正五邊形不能進行平面鑲嵌，同時也探討多邊形的內(nèi)角與360°的關(guān)系，提出能被360°整除的就可以進行平面鑲嵌。
結(jié)論：一種正多邊形進行鑲嵌，只有正三角形、正四邊形、正六邊形三種可以。
師：若選取兩種或三種邊長相等的正多邊形，哪些可以進行平面鑲嵌？
在討論探究中學生1得出一個結(jié)論：凡是有正五邊形參與的就不能進行平面鑲嵌。
師：大家同意這位同學（生1）的想法嗎？
生2：用兩個正五邊形和一個正十邊形就可以進行平面鑲嵌，因為正十邊形的內(nèi)角為144°，而正五邊形的內(nèi)角為108°，我想到了式子：2×108°+144°=360°。
全班學生都紛紛舉手表示贊同，但有的學生當時也就疑惑了，這樣湊不是很麻煩？緊接著教師就提出問題。
師：能否用常規(guī)的方法來解決此類問題？
師生一起思考，共同解決。以正三角形和正六邊形進行平面鑲嵌為例，設(shè)有m個正三角形和n個正六邊形進行平面鑲嵌，則有式子：60m+120n=360成立，得出m=6-2n，當n=1時，m=4；當n=2時，m=2，這樣就有兩種情況，用這種辦法去解決一般的多種多邊形平面鑲嵌問題。
師：除了用正多邊形進行平面鑲嵌外，還有沒有其他任意多邊形，如：三角形、四邊形之類能否進行單一鑲嵌呢？
教師通過多媒體演示，利用做好的四個全等的任意三角形和四邊形模型讓學生到黑板上進行動手拼圖，得出能進行平面鑲嵌。
結(jié)論：形狀、大小完全相同的任意三角形和任意四邊形可以進行平面鑲嵌。
師：除了三角形、四邊形、還有其他一般的多邊形能單一進行平面鑲嵌嗎？
學生深入思考探究，最后得出除了三角形和四邊形，沒有其他任意的多邊形能進行平面鑲嵌。
其實問題的提出并不在于多少，而在于是否具有啟發(fā)性，是否能夠觸及問題的本質(zhì)，并引導學生深入思考，不能讓問題處于形式主義。要使提問有效，首先要做到問題的指向明確，提問時針對性要強，充分鉆研教材，悉心考察學情，做到精心設(shè)計問題，傾聽學生回答，及時給予肯定和鼓勵。課堂提問貫穿于我們教學的始終，雖然它是一個古老的話題，卻是我們一線教師永恒的話題，我們要把握提問時機，選擇恰當?shù)奶釂栒Z氣，激活學生的思維內(nèi)力，培養(yǎng)學生探索精神，引導學生積極主動學習，這樣的課堂才是有效和精彩的課堂。
[參 考 文 獻]
一、基本圖形的組合有利于學生理解并掌握圖形的性質(zhì)
一個較復雜的圖形可以分解成若干個基本圖形，一個較復雜的圖形的性質(zhì)是若干個基本圖形性質(zhì)的綜合.為此，要理解并掌握較復雜圖形的性質(zhì)，就必須歸納、比較出其組成的若干個基本圖形性質(zhì)，使新舊知識成為一個有序知識鏈結(jié)構(gòu)，有了這個研究圖形的方法和策略，學生學習空間與圖形的知識就輕松多了.
如： 1.三條線段順次連接構(gòu)成三角形，利用線段的可度量性，理解三角形的分類：
不等邊三角形，三邊都不相等；等腰三角形，有兩邊相等；底邊與腰不相等的等腰三角形，只有兩邊相等；等邊三角形，三邊相等.
（1）不等邊三角形
（2）等腰三角形①底邊與腰不相等的等腰三角形
②等邊三角形
2.在教學人教版七（下）P12 “5.2.2平行線的判定”時，如圖1.將三線八角所組成圖形中的八個角分成同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角，利用同位角的數(shù)量關(guān)系、內(nèi)錯角的數(shù)量關(guān)系、同旁內(nèi)角的數(shù)量關(guān)系來刻畫兩條直線的位置關(guān)系，體現(xiàn)從形象思維向邏輯思維的發(fā)展，從定量研究走向定性研究，培養(yǎng)學生用數(shù)學思維解決實際問題的方式方法.
3.如圖2.兩個三角形拼在一起構(gòu)成四邊形，利用三角形的內(nèi)角和定理理解四邊形的內(nèi)角和等于360°.
4.如圖3.兩個全等三角形拼在一起構(gòu)成平行四邊形，利用全等三角形的性質(zhì)理解平行四邊形的性質(zhì)：由全等三角形的對應邊相等得到平行四邊形的對邊相等，連接平行四邊形的兩條對角線后得到平行四邊形的兩條對角線互相平分；由全等三角形的對應角相等得到內(nèi)錯角相等，進而得到平行四邊形的兩組對邊分別平行.
二、圖形的分解有利于學生探究幾何圖形的求解和證明
從復雜圖形中分解出基本圖形，根據(jù)基本圖形的形狀、大小和位置關(guān)系來捕獲有效解題信息，達成探究較復雜的圖形和解決綜合性的問題的方法，滲透轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想、模型思想等，使學生探究和解決問題有了方向.
如：1.連接平行四邊形的一條對角線把平行四邊形分解成一對全等三角形，通過全等三角形的性質(zhì)證明平行四邊形的判斷定理①兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形②兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形③一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.使學生掌握利用三角形研究四邊形的方法，并滲透轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想.
2.教學圓周角定理“一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半”時，通過學生的動手折疊發(fā)現(xiàn)圓心與圓周角的三種位置關(guān)系：（1）圓心在圓周角的一條邊上；（2）圓心在圓周角的內(nèi)部；（3）圓心在圓周角的外部.如圖4.情形（1）從圖形中分離出等腰三角形中的內(nèi)角與外角關(guān)系來證明圓周角定理，情形（2）（3）作直徑轉(zhuǎn)化為情形（1）證明圓周角定理，其證明思路滲透了圖形的組合與分解關(guān)系、轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想.
三、圖形的組合與分解是對綜合性圖形的解題和析題的有效途徑
以函數(shù)為背景的中考壓軸題，通常把函數(shù)圖象和幾何圖形有機結(jié)合構(gòu)成綜合性題型，圖形顯得較為復雜，象這種題型只有從復雜圖形中分解出簡單圖形才能找到解題思路.
例（2015年龍巖）如圖5，已知點D在雙曲線y=20x （x>0）的圖象上，以D為圓心的D與y軸相切于點C（0，4），與x軸交于A，B兩點；拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A，B，C三點，點P是拋物線上的動點，且線段AP與BC所在直線有交點Q.
上好一堂數(shù)學課，是我一直努力探索和奮斗的目標，經(jīng)過長期的實踐，我總結(jié)了幾種數(shù)學課的導入方法。
一、溫固知新，導入新課
溫固知新的教學方法，可以將新舊知識有機的結(jié)合起來，使學生從舊知識的復習中自然獲得新知識。例如：在學習全等三角形時先與學生復習學過的三角形的概念后，提問學生：兩個三角形全等，有多少對對應頂點、有多少組對應邊、有多少組對應角、分別寫出來，引導學生歸納出：全等三角形的對應邊相等，對應角相等。在以后的練習或作業(yè)中，給出兩個三角形全等和一組對應角（或?qū)叄瑢W生就可以正確地寫出其他的對應角或?qū)叀＿@樣導入，學生能從舊知識的復習中，發(fā)現(xiàn)一串新知識，并且掌握了全等三角形證明方法。
二、實驗演示，導入新課
數(shù)學試驗是激發(fā)學生創(chuàng)新思維的源泉，能幫助學生鞏固數(shù)學知識，促成數(shù)學的良好循環(huán)。上課時組織學生動手操作和試驗，通過動手動腦去探索新知識，主動發(fā)現(xiàn)欲學新知識的愿望，引發(fā)學生探索的興趣。這種演示能使學生把抽象的東西，通過演示教具形象、具體、生動、直觀地掌握知識，給學生直觀感覺，留下深刻印象。如上等腰三角形性質(zhì)一課，課前先讓同學各自拿先剪好的腰長相等，頂角不等的等腰三角形紙片，讓他們沿頂角平分線對折，發(fā)現(xiàn)這四個頂角不等的等腰三角形的兩頂角都能完全重合，自然得出等腰三角形的性質(zhì)：“等腰三角形的兩底角相等”，再通過證明得出“等腰三角形頂角平分線、底邊中線、底邊上的高互相重合。”這種導入新課的方法，能使學生享受到發(fā)現(xiàn)的快樂，點燃學生探索的思維火花，促進學生學習的欲望。使學生有親身感受，學習起來注意力集中。使學生印象深，容易理解，記得牢。
三、進行類比，導入新課
新課程標準中指出“初中數(shù)學教學中發(fā)展學生的邏輯思維能力主要是逐步培養(yǎng)學生會觀察、比較、分析、綜合、抽象和概括的能力”。會運用歸納、演譯和類比進行推理。可見，“類比”很重要。類比就是一種間接推理的方法，類比導入法就是通過兩類不同的對象間的某些屬性的相似，而從一種具有的某種其他屬性就猜想另一種也有這種屬性。比如：講分式，分式的基本性質(zhì)等內(nèi)容時，就可以通過對分數(shù)，分數(shù)的基本性質(zhì)復習，類比得出分式，分式的基本性質(zhì)。這種方法導入自然，使學生能從類推中促進知識的遷移，發(fā)現(xiàn)新知識。從而掌握新知識，能充分調(diào)動學生學習的積極性，主動性和創(chuàng)造性。
四、設(shè)疑問式，導入新課
設(shè)疑式導入法是根據(jù)中學生追根求源的心理特點，一上課就給學生創(chuàng)設(shè)一些疑問，創(chuàng)設(shè)矛盾，設(shè)置懸念，引起思考，使學生產(chǎn)生迫切學習的濃厚興趣，誘導學生由疑到思，由思到知的一種方法。例如：有一個同學想依照親戚家的三角形玻璃板割一塊三角形，他能不能把玻璃帶回家割出同樣的一塊三角形呢？同學們議論紛紛。然后，我向同學們說，要解決這個問題要用到三角形的判定。現(xiàn)在我們就解決這個問題――全等三角形的判定。
總之，初中數(shù)學課的導入方法很多，上面列舉了幾種方法，但不管哪種方法都是為了充分調(diào)動內(nèi)在積極因素，激發(fā)求知欲，使學生處于精神振奮狀態(tài)，注意力集中，為學生能順利接受新知識創(chuàng)造有利的條件。因此在教學過程中教師要優(yōu)化新課的導入，要精心設(shè)計適合課題特點的導入方法，最大限度地發(fā)揮導入新課在整個課堂中的作用。來提高學生學習數(shù)學的興趣，提高教學效果。
（作者單位：021000內(nèi)蒙古呼倫貝爾市海拉爾區(qū)第七中學）
