時間：2022-10-15 14:06:11
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇勾股定理證明方法，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
【關鍵詞】數學史；勾股定理歷史；融入；教學策略
1.勾股定理歷史融入教學的意義
1.1 有利于激發興趣，培養探索精神
勾股定理的證明是一個難點.在數學教學中適時引入數學史中引人入勝和富有啟發意義的歷史話題或趣聞軼事，消除學生對數學的恐懼感，可使學生明白數學并不是一門枯燥無味的學科，而是一門不斷發展的生動有趣的學科，從而激發起學生學習數學的興趣.
1.2 有利于培養人文精神，加強歷史熏陶
學習數學史可以對學生進行愛國主義教育.浙教版新教材對我國勾股定理數學史提得很少，其實中國古代數學家對于勾股定理發現和證明在世界數學史上具有獨特的貢獻和地位，尤其是其中體現出來的數形結合思想更具有重大意義。
2.勾股定理歷史融入教學的策略
在勾股定理教學的過程中，要求我們在教學活動中，注意結合教學實際和學生的經驗，依據一定的目的，對勾股定理歷史資源進行有效的選擇、組合、改造與創造性的加工，使學生容易接受、樂于接受，并能從中得到啟發.在實踐過程中，發現以下幾種途徑與方法是頗為適宜的.
2.1在情景創設中融入勾股定理歷史
建構主義的學習理論強調情景創設要盡可能的真實，數學史總歸是真實的.情景創設可以充分考慮數學知識產生的背景和發展歷史，以數學史作為素材創設問題情景，不僅有助于數學知識的學習，也是對學生的一種文化熏陶.
案例1：
師：同學們知道勾股定理嗎？
生：勾股定理？地球人都知道！（眾笑）
師：要我說，如果有外星人，也許外星人也知道.大家知道世界上許多科學家都在探尋其他星球上的生命，為此向宇宙發射了許多信號：如語言、聲音、各種圖形等.我國數學家華羅庚曾經建議向宇宙發射勾股定理的圖形，并說：如果宇宙人是文明人，他們一定會認識這種“語言”的.（投影顯示勾股圖）
可以說，禹是世界上有文字記載的第一位與勾股定理有關的人.中國古代數學著作《周髀算經》中記載有商高這樣的話：……我們做成一個直角三角形，這形亦稱曰[勾股形].它的距邊名叫[勾]，長度為三；另一邊名叫[股]，長度為四；斜邊名叫[弦]，長度為五.勾股弦三邊，若各自乘，我們就可由其中任何兩邊以求出第三邊的長……
《周髀算經》卷上還記載西周開國時期周公與商高討論勾股測量的對話，商高答周公問時提到“勾廣三，股修四，經偶五”，這是勾股定理的特例.卷上另一處敘述周公后人榮方與陳子（約公元前6、7世紀）的對話中，則包含了勾股定理的一般形式：“以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，并兒開方除之，得邪至日.”
由此看來，《周髀算經》中已經利用了勾股定理來量地測天.勾股定理又叫做“商高定理”.畢達哥拉斯（Pythagoras）是古希臘數學家，他是公元前五世紀的人，比商高晚出生五百多年.希臘另一位數學家歐幾里德（Euclid，是公元前三百年左右的人）在編著《幾何原本》時，認為這個定理是畢達哥達斯最早發現的，所以他就把這個定理稱為"畢達哥拉斯定理"，以后就流傳開了.
2.2在定理證明中融入勾股定理歷史
數學史不僅給出了確定的知識，還可以給出知識的創造過程，對這種過程的再現，不僅能使學生體會到數學家的思維過程，還可以形成探索與研究的課堂氣氛，使得課堂教學不再是單純地傳授知識的過程.
案例2.：
劉徽（公元263年左右）的證明：
劉徽用了巧妙的“出入相補”原理證明了勾股定理，“出入相補”見于劉徽為《九章算術》勾股數──“勾股各自乘，并而開方除之，即弦”所作的注：“勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，各從其類，因就其余不動也，合成弦方之冪，開方除之，即弦也.”如何將勾方與股方出入相補成弦方，劉徽未具體提示，學界比較常見的推測是如下圖.
③剪拼法（學生動手驗證）
證明方法之特征：數形結合證法，建立在一種不證自明、形象直觀的原理上，主要是用拼圖的方法證明，使數學問題趣味化.
翻開古今的數學史，不僅勾股定理的歷史深厚幽遠，所有的數學知識都蘊涵著曲折的道路、閃光的思想、成功的喜悅和失敗的教訓.將數學史的知識融入數學教學中，發揮數學史料的功能，是數學教育改革的一項有力的措施.正象法國數學家包羅·朗之萬所說：“在數學教學中，加入歷史具有百利而無一弊.”
參考文獻
[1]中華人民共和國教育部制訂.全日制義務教育數學課程標準 （實驗稿） 》[S] 北京：北京師范大學出版社
勾股定理在幾何里具有非常重要的地位，是解三角形的重要基礎，也是整個平面幾何的重要基礎，其在現實生活中也具有普遍的應用性. 在數學教科書中，勾股定理一般出現在八年級，而八年級被認為是學生學習數學的一個重要發展階段，也即具體思維向形式化思維轉變的時期. 所以可以說，勾股定理教學也處于學生數學思維轉折階段. 但另一方面，勾股定理的教學卻始終是一個難點. 雖然勾股定理的證明方法據說超過400種，但是讓學生能夠在思路上比較“自然地”想到證明方法是困難的；而且，從讓學生體驗知識發現過程的角度講，要想讓學生“再發現”勾股定理更是難上加難.[1]所以有人說，看一個國家的數學教育水平，只要看看勾股定理，他們的教材是怎樣編的，他們的教師是怎樣教的，就可略知一二.
對于勾股定理的教學，黃榮金博士從上海和香港所做的19個勾股定理教學的現場實錄，以及由第三次國際數學和科學重復錄象研究項目提供的12個勾股定理教學錄象（包括實錄文稿）中，選取澳大利亞、捷克、中國香港和上海四地勾股定理的課堂教學進行研究，其研究表明澳大利亞是把勾股定理作為一個事實（已知）告訴學生，只字未提證明，捷克和香港雖然介紹了多種證明方法，但事實上只是通過演示手段，讓學生直觀地確認所發現的關系. 文[2]表明滬港兩地教師在教學中對勾股定理證明的處理有許多不同之處：香港課堂主要通過直觀或具體的活動來確認定理的真實性，而上海教師至少介紹一種數學證明，而且四分之三多的教師介紹 2 種以上方法；上海教師比香港教師更加緊扣教科書，而香港教師使用的教科書可以是不同的；香港教師總是將探索問題的過程或證明的步驟程序化.
教師通常依據教科書來進行教學，教科書的不同很有可能影響到教師的教學. 由此，本文從微觀層面來考察滬港兩地數學教科書“勾股定理”部分的編寫. 上海的教科書，我們選取華東師范大學出版社《數學》（事實上，此套教材在內地被廣泛使用），而香港教科書我們選取Oxford University Press的《Exploring Mathematics》[3].
2 《數學》和《Exploring Mathematics》中的“勾股定理”
《數學》第十四章為《勾股定理》，包括14.1《勾股定理》和14.2《勾股定理的應用》，其中14.1由《直角三角形三邊的關系》和《直角三角形的判定》兩小節組成. 《Exploring Mathematics（2ndEdition）2B》第10章為《勾股定理（Pythagoras’ Theorem）》，該章有三節為勾股定理的內容：10.2《勾股定理(Pythagoras’ Theorem)》，由《直角三角形三邊的關系（Relations between the Three Sides of a Right-angled Triangle）》、《介紹勾股定理（Introduction to Pythagoras’ Theorem）》和《數學的美妙：勾股定理的證明（The Beauty of Mathematics:Proofs of Pythagoras’ Theorem）》三小節組成；10.3《勾股定理的應用（Applications of Pythagoras’ Theorem）》，由《簡面圖形的應用（Applications to Simple Plane Figures）》和《現實生活應用（Real Life Applications）》兩小節組成；10.4《勾股定理的逆定理及應用（Converse of Pythagoras’ Theorem and Its Applications）》. （10.1和10.5分別為平方根和無理數. ）
本文從勾股定理的發現、勾股定理的證明、勾股定理的逆定理和勾股定理的應用四個方面對兩種教科書進行介紹，而這里的介紹涉及對兩種教科書的簡單比較.
2.1 勾股定理的發現
《數學》通過三個活動引導學生發現勾股定理. 第48頁安排了“試一試”：
測量你的兩塊直角三角尺的三邊的長度，并將各邊的長度填入下表：
根據已經得到的數據，請猜想三邊的長度a、b、c之間的關系.
筆者認為，這個活動設計得并不十分合理. 因為一塊任意的三角板，它的三邊長很可能并非整數. 讓學生由三邊長分別為3、4、5或者5、12、13的直角三角形猜想勾股定理，就已經不是十分容易的事（比如，學生容易得到3+5=2×4而不易得到32+42=52；也有學生由32=4+5和52=12+13猜想a2=b+c），更何況來猜想三個非整數之間的平方關系. 第49頁安排了“試一試”，通過數或計算三個正方形的面積來尋找直角三角形三邊長度之間的關系. 這個活動比前面那個活動目標明確、步驟清晰、難度降低，學生容易找到要求的關系. 第50頁又安排了“做一做”. 由這三個活動概括出勾股定理.
《Exploring Mathematics》的處理方式似乎與《數學》有些類似，事實上又有很大的區別. 教科書安排了兩個“班級探險（Class Exploration）”，第一個活動是出示一個直角三角形，要學生測量三邊的長度，然后計算三邊的平方，再思考a2+b2與c2的關系. 第二個活動是讓學生填表格，已知直角三角形的兩條直角邊分別是3和4，8和6，15和8，畫出圖形，測量斜邊，計算a2、b2和c2，再確定a2、b2和c2之間的關系. 很顯然，這兩個活動的目標很明確，而且臺階已經鋪好，學生只要依次一步步做下去，就可以得到答案.
總之，兩種教科書都通過若干個活動引導學生發現勾股定理. 從難度上講，《Exploring Mathematics》比《數學》要小，因為已經把“探索問題的過程或證明的步驟程序化”.
2.2 勾股定理的證明
《數學》在勾股定理的證明這一環節安排了“試一試”：將四個完全相同的直角三角形拼成一個正方形，然后計算邊長為c的正方形面積，通過運算得到勾股定理，這是一種代數方法. 拼法有兩種，第一種拼法（圖1）有運算c2=(a+b)2-4×1/2ab=a2+b2，第二種拼法（圖2）有運算c2=(a-b) 2+4×1/2ab=a2+b2. 這里的圖2是歷史上趙爽“弦圖”的簡圖，教科書隨后在“讀一讀”中對其做了簡單介紹.
此外，第54頁習題14.1的第1題其實是勾股定理的總統證法，第58頁的“讀一讀”其實是勾股定理的“風車證法”，而本章的最后安排“課題學習”：勾股定理的“無字證明”. 可以說，《數學》對勾股定理的證明非常重視，通過不同的活動形式展現給學生；而且更多地，不是直接告訴學生方法，而是引導學生自己去探索，去查找資料主動獲取證明方法.
《Exploring Mathematics》在《數學的美妙：勾股定理的證明》這一小節中，給出兩種“簡單而優雅的證明（two simple and elegant proofs）”. 證明1通過四個直角三角形拼成正方形的兩種不同擺放形式（圖3），從直觀上驗證定理（沒有代數運算），這是一種幾何方法. 證明2與《數學》“試一試”中的第二種方法一致，通過代數運算來證明；而且教科書在證明2旁邊也放了一則“歷史注解（Historical Note）”簡單介紹趙爽的弦圖及其證明方法. 不過除了這兩種證明方法，教科書中沒有再出現其他的方法.
總之，兩種教科書對勾股定理證明的處理有一致也有區別之處. 《數學》“試一試”中的兩種方法都是代數方法，而《Exploring Mathematics》采用一種幾何方法和一種代數方法. 而且，兩書的第二種方法都與趙爽的弦圖有關，都配有簡要的數學史知識. 此外，與《Exploring Mathematics》不同，《數學》還涉及其他證明方法，其中第58頁“做一做”中的“風車證法”也是一種幾何方法.
2.3 勾股定理的逆定理
對勾股定理的逆定理，《數學》用古埃及人畫直角的方法來引入；而《Exploring Mathematics》則開門見山，提出問題：交換勾股定理的條件與結論，“如果a2+b2=c2，那么∠C=90°”，這個結論成立嗎？然后學生探索，驗證，得到結論. 《Exploring Mathematics》也用“歷史注解”的形式簡單介紹了古埃及人畫直角的方法.
2.4 勾股定理的應用
對于定理的應用，兩種教科書都給出了一定數量的例題和習題. 我們來看兩書中的典型題目. 《數學》14.2《勾股定理的應用》例1：
如圖14.2.1（圖略），一圓柱體的底面周長為20cm，高AB為4cm，BC是上底面的直徑. 一只螞蟻從點A出發，沿著圓柱的側面爬行到點C，試求出爬行的最短路程.
比較有意思的是，這一題目我們可以在內地其他版本的教科書中看到. 比如，人民教育出版社《數學》第十八章《勾股定理》復習題的第8題就是類似一題；北京師范大學出版社《數學》八上第一章《勾股定理》第3節就以“螞蟻怎樣走最近”為標題，研究這個“螞蟻問題”. 為什么這些教科書都采用這一題目，它有什么深刻背景嗎？事實上，它是由一道歷史名題改編而來的，原題為：
如圖4，在一個長、寬、高分別為30、12、12英尺的長方體房間里，一只蜘蛛在一面墻的中間離天花板1英尺的A處，蒼蠅則在對面墻的中間離地面1英尺的B處，蒼蠅是如此地害怕，以至于無法動彈. 試問，蜘蛛為了捉住蒼蠅需要爬行的最短距離是多少？（提示：它少于42英尺）
這一“蜘蛛與蒼蠅”問題最早出現在1903年的英國報紙上，它是H.E.杜登尼（Henry Dudeney，1847-1930）最有名的謎題之一. 杜登尼是19世紀英國著名的謎題創作者，他創作的這一問題對全世界難題愛好者的挑戰，長達四分之三個世紀.[4]這就不難明白，教科書為什么對這“螞蟻問題”偏愛有加了.
除例1外，《數學》還安排3個例題. 在例2下面有一“做一做”，其實是證明勾股定理的“風車證法”，與上下文似乎沒有太大的聯系，放在這一節里并不合理.
《Exploring Mathematics》中例題和習題給人的第一感覺是，離學生的生活很近. 比如《現實生活應用》這一小節一開始安排了“班級探險”：
假設一艘小船離開大嶼山的梅窩碼頭，航行2.8公里達到喜靈洲碼頭. 然后左轉90度并航行3.1公里到達坪洲碼頭. 尋找一種可以獲知梅窩碼頭到坪洲碼頭的直線距離的方法.
大嶼山是香港的一個島（迪斯尼樂園就建在這個島上），喜靈洲和坪洲是大嶼山附近的兩個小島，它們都是香港學生熟悉的. 所以這一題設計得非常好，它取材于學生的現實生活，給人一種“身邊的數學”的感覺，富有生活氣息. 把現實中的問題轉化為數學問題，讓學生通過數學化和數學地思維去解決問題. 解決了這一問題，又能讓學生感覺到數學不僅是有趣的而且還是有用的.
再比如，同一小節的例7，大意是說Patrick從學校到公交車站要穿過一個長124米寬93米的足球場，那么他走最短路線要走多遠. 其后練習10C的14題又把場景放到一個籃球場，David沿邊跳，John沿對角線跳，然后問他們跳的路程差. 10.4《勾股定理的逆定理及應用》中的例9關注兩位學生的家與學校的距離，這樣的情境讓學生感覺到很親切. 相比而言，《數學》第58頁的例2，卡車通過工廠的大門，這樣的問題情境就不是十分貼近學生的生活.
總之，《數學》取材于歷史數學名題，《Exploring Mathematics》在問題情境的設計上下足工夫，兩書各具特色. 此外，從習題數量上看，《Exploring Mathematics》明顯要比《數學》多，而且每一個例題都標明它屬于水平1還是水平2，其后的習題也按水平1和水平2分開編排；《數學》除章末的復習題按難度和水平分成A、B、C三組，其他的例題、練習和習題沒有標注其對應的水平.
3 兩種教科書引發的思考
通過對《數學》和《Exploring Mathematics》在“勾股定理”內容的考察、比較和分析，也引起了我們對一些問題的思考.
3.1 弱化對定理的發現
對于定理的發現，筆者認為可以做弱化處理，沒有必要讓學生在此太花精力. 引導學生探究而發現勾股定理，處理不當，容易導致學生盲目的探究. 在實際教學中，教師雖有探究式教學的理念，但在師生行為的設計上存在著困惑：通過度量直角三角形三條邊的長，計算它們的平方，再歸納出a2+b2=c2，由于得到的數據不總是整數，學生很難猜想出它們的平方關系，因此教師常常把勾股定理作為一個事實告訴學生. 如何處理這一困惑，一條途徑就是教科書直接把勾股定理呈現在學生面前，而更多地把空間留給介紹與勾股定理相關的數學史料上，借此拓寬學生的視野. 第二條途徑是參考顧泠沅、王潔等人的工作：運用“腳手架”理論，通過“工作單”進行鋪墊，為學生的學習提供一種教學協助，幫助學生完成在現有能力下對高認知學習任務的難度的跨越. 這樣的處理也具有一定的可行性. 不過，筆者更傾向于第一條途徑，弱化發現，而強化證明、重視應用，把重點放到其后定理的證明和應用上，這樣處理也許對學生的思維更有利.
3.2 呈現多種證明方法
我們看到《Exploring Mathematics》只介紹了兩種證明方法，而且第一種更多的是借助直觀的幾何驗證；而《數學》則涉及到好幾種證明方法. 這也可以從某種程度上解釋前文所提及的兩地課堂教學上的差別. 筆者認為，對于定理的發現，我們可以做弱化處理，而證明則應該強化. 一方面，勾股定理的證明可以訓練學生精致的數學思維；另一方面，勾股定理的證明方法是體現多元文化數學的極好題材. 正如前文所述，勾股定理的證明方法據說超過400種，而且不同的方法與不同的文化、不同種族的思維方式緊緊聯系在一起. 我們認為數學教科書中呈現多元文化數學的內容是數學教科書編寫的發展方向. 通過對不同時期、不同地域數學成果及其思想方法的比較，可以使學生明白，數學并不只屬于某個民族、某種文化. 數學教科書和數學教學引導學生尊重、分享、欣賞、理解其他文化下的數學，借此拓寬學生的視野，加深對數學知識的理解，培養開放的心靈. 那么，在《勾股定理》中，教科書應以適當的方式呈現若干種經典證法. 比如歐幾里得《原本》的證明方法就很值得向學生介紹，與趙爽的方法做一對比，學生能體會到古希臘人對理性的追求；對相關背景做介紹，學生意識到不同的文明產生了不同的數學. 歐幾里得方法可能對學生而言比較難，不是那么容易理解，教師可以做適當的處理，比如借助計算機做動態演示，一般學生還是可以接受的.
3.3 問題情境的設計應貼近學生的生活
兩種教科書對定理的應用都非常重視. 學習了勾股定理，學生必須會用這個定理，否則學習它就沒有多大意義了. 教科書都安排了不少例題和習題. 在筆者看來，《Exploring Mathematics》的最大特色就在于問題情境的創設上. 數學問題本身就來自于生活，數學方法應應用于現實生活. 數學并不遠離學生的現實世界，相反，它就在我們身邊. 《Exploring Mathematics》中的例題和習題，就取材于學生周圍的世界，學校、自己家的房子、球場、公交車站、居住的島嶼，這些都是學生熟悉的場景. 這些熟悉的場景放進數學題里，學生就有一種親切感. “學數學”不僅是“做數學”，而且還是“玩數學”，讓學生在一種輕松愉快的情境中解決數學問題，而這個過程是充滿樂趣的. 教科書中的數學問題不能單純圍繞數學而編寫、杜撰. 比如說，我們在內地某教科書中看到這樣一個問題：
強大的臺風使得一根旗桿在離地面9米處折斷倒下，旗桿頂部落在離旗桿底部12米處. 旗桿折斷之前有多高？
這個問題設計并不科學、合理，因為橫向的“12米”是容易測量的，那么縱向的“9米”又是如何得到的呢？如果可以通過直接測量的話，那么折斷部分的15米應該也不難測量（唯一難測量的情況就是尺子的長度大于12米而小于15米）. 所以，它看似是來自于一個現實生活的問題，實則是很典型的“為數學而問題”. 從數學角度講，它也許是嚴謹的、完美的，但它卻遠離了學生的現實生活. 香港教科書在問題情境創設上對我們很具啟發和借鑒意義.
參考文獻
［1］ 鮑建生,王潔,顧泠沅.聚焦課堂――課堂教學視頻案例的研究與制作［M］.上海:上海教育出版社,2005. 180.
［2］ 黃榮金.香港與上海數學課堂中的論證比較――驗證還是證明［J］.數學教育學報,2003,12(4):13-19.[ZK)]
關鍵詞：教師；教材使用；創造性；勾股定理
中圖分類號：G633.6 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2013）50-0153-02
本次課程改革無論是在課程設置上還是在課程內容及教材編排方式的更新上都給教師提供了廣闊的創造空間。它帶來教學觀念、方式的一大改變，就是要求打破原有的教學觀、教材觀，創造性地使用數學教材。這就要求教師在充分了解和把握課程標準、學科特點、教學目標、教材編寫意圖的基礎上，以教材為載體，靈活有效地組織教學，拓展課堂教學空間。創造性地使用教材是教學內容與教學方式綜合優化的過程；是課程標準、教材內容與學生生活實際相聯系的結晶；是教師智慧與學生創造力的有效融合。
一、創造性的使用教材的內涵
創造性地使用教材主要表現在對教材的靈活運用和對課程資源的綜合、合理、有效利用。它需要教師具有較強的課程意識，準確把握教材編寫意圖和教學目的，避免形式化、極端化傾向。在創造性地使用教材的過程中教師的專業化水平將得到飛速提高。
那究竟如何來創造性地使用教材呢？筆者擬通過人教版八年級下冊《勾股定理》一課來具體闡述。在人教版的教學建議中，明確指出：《勾股定理》一課的教學目標是使學生了解勾股定理的歷史背景，體會勾股定理的探索過程，掌握直角三角形的三邊關系。為了達成教學目標，不同的教師創設任務的方式也有所不同。
二、課堂再現
課例1
1.提出問題。T：相傳兩千五百多年前，古希臘畢達哥拉斯去朋友家做客，在宴席上，其他的賓客都在盡情地歡樂。只有畢達哥拉斯卻看著朋友家的方磚發呆，原來朋友家的地面是用直角三角形形狀的磚鋪成的，黑白相間美觀大方。主人看到畢達哥拉斯的樣子非常奇怪就過去詢問，誰知畢達哥拉斯突然站起來，大笑著跑回家了，他發現了直角三角形的某一些性質。同學們，你知道畢達哥拉斯發現了什么性質？你能發現什么？S1：我發現圖中有直角三角形，而且是等腰直角三角形。S2：我發現以直角邊為邊做出的正方形的兩個面積之和等于斜邊為邊做出的正方形面積。T：我們發現A+B=C，由于這個三角形為特殊的直角等腰三角形。我們再來看幾個直角邊為整數的三角形，它們的面積是否依然存在這樣關系？
2.解決問題。T：接下來我們一起來做個實驗，大家看下圖。A、B、C面積之間有什么關系？邊長a、b、c之間存在什么樣的關系？
老師發現有的同學不會算C的面積，于是請會算的同學說說計算思路。
S：我用的方法是補的，就是把這樣以c為邊的斜的正方形補成一個正放的大正方形。
先算出大正方形的面積，減去4塊直角三角形的面積就得出C的面積了。
T：非常好，有沒有不同的方法？
S：我用的是分割的方法。我把這個大的正方形割成4個直角三角形和1個小的正方形。我們可用三角形的面積加上中間小正方形就是大的正方形的面積。
T：非常好。接下來，請大家仔細觀察表格中的數據，請想一下，直角三角形三邊可能存在哪些數量關系？
S：a2+b2=c2
3.揭示本質。T：我們剛才進一步驗證我們的猜想a2+b2=c2是成立的。那對于一般的直角三角形，兩直角邊為a、b斜邊為c，是否都有a2+b2=c2？不要忘記，剛才我們在求大正方形的面積是如何求的？它給我們什么啟示？其實歷史對證明勾股定理有許多種，而我們中國古代數學家的證明思想是“以盈補虛，出入相補”。
T：2002年國際數學家大會放在北京舉行，大會的會徽正是三國時期的數學家趙爽關于勾股定理證明的草圖。同學們，請拿出紙筆證明一下。
S：我用大的正方形的面積等于四個直角三角形加上小正方形的面積。
T：運用面積不變，用割補的方法我們可以得到a2+b2=c2。
4.描述定義。T：下面我們給出勾股定理的表述。
命題：直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。
數學語言：ABC為直角三角形，∠C=90°AC2+BC2=AB2
5.教學總結。T：同學們，今天這節課我們學了勾股定理，那你學到了什么？S：用割補法進行勾股定理的證明。T：對，我們講了中國古代以盈補虛的數學思想，那這種以面積來證明勾股定理的方法同時也體現了我們的數學上的數形結合的思想。這節課你還學到了哪些數學方法？S：從特殊到一般。T：我們從特殊的等腰直角三角形入手再探究有整數邊的直角三角形，最后到一般直角三角形的證明。
分析：張老師本節課的重點放在定理的證明上，讓學生充分體驗邏輯推理的魅力。讓學生自主探索、小組合作交流，直觀理解勾股定理規律的發現，重視學生獨立思考和探索能力的培養，在與同學交流學習中，通過取長補短，吸收同學意見，修正、完善自己的想法，探討出利用割補法求面積的方法，就本節課的教學內容而言，掌握方法（割補法）和滲透學科思想（轉化的思想）與知道結果同樣重要。
課例2
1.引入課題（第一次活動）。T：請在方格紙上畫面積最小的格點RtABC，教師用實物投影展示一位學生作品即如圖ABC，并隨即提問：RtABC中，BC=1，AC=1，你能否用計算面積法求AB的長？
S：可以把四個三角形拼成一個大正方形，得到正方形的面積為2，那正方形的邊長也就是AB的長為■。
T：對于一個特殊的Rt確實有a2+b2=c2，但對于一般直角三角形能成立嗎？
2.深入探究（第二次活動）。T：請各組利用手中的四個全等Rt紙板，拼出一個邊長為C的正方形。（設定兩直角邊、斜邊分別是a，b，c）學生合作后擺出了如下的兩種圖案：
T：對于擺法1，大正方形面積可有幾種表示法？S：兩種，一種是c2，另一種為4個直角三角形和與一個小正方形的面積。
T：小正方形邊長為多少？S：b-a，把兩種表示法等同起來（b-a）2+2ab=c2，化簡整理得a2+b2=c2。
S：對于擺法2，也可得出a2+b2=c2。
3.強調定義。如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2+b2=c2，即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。
4.總結拓展。T：關于勾股定理的證明方法有五百余種，在這數百種證明方法中，有的十分精彩，有的十分簡潔，有的因為證明者身份的特殊而非常著名。下面我們來看幾組勾股定理證明的簡單介紹（介紹劉徽圖、加菲爾德圖），希望同學們課下也去思考一種證明勾股定理的方法。
分析：課例2中的兩次活動都運用了動手操作的形式，非常符合中學生好奇性強的心理特點，幾乎所有的學生都興趣盎然地參與了整個學習活動，并在教師的提問下進行積極的思考與探索。新課程下的學生不希望老師經常給他們一些輕而易舉就能解決的問題，有時他們渴望做一個探索者、研究者、論證家。而上面的兩個活動正是為學生提供了這樣的氛圍與平臺，使學生在合作學習中體會了從特殊到一般的論證思想，整個設計提倡多樣化問題解決的思維方式，在活動中完成了思維的不斷發展。最后老師展示了一些較為典型的證明方法激發學生思考，也為學生課下學習奠定基礎。
三、創造性地使用教材
上述兩位老師都在課堂中創造性地使用教材，那創造性地使用教材究竟有哪些可取之處呢？筆者認為有三點：首先，它要求教師要進一步樹立課程意識，以新的課程觀（學生觀、教材觀、課程資源觀）來重新審視、規劃教學目標、內容和方法——以更高、更寬的眼光來設計教學、看待孩子，而不僅僅局限在教材和一時的教學效果。其次，教師在創造性使用教材中應充分認識明確教學目的的重要性。每節課、每次活動都應有明確的教學目的，而不是為了創造性地使用教材而輕率、刻意地去更改教材內容等等。教學手段與教學目的和諧一致的原則是創造性教材使用的基本著眼點與歸宿。最后，希望教師們在創造性地使用教材的過程中獲得專業成長。一是廣泛吸收各種教材的精華與長處，進行合理整合，逐步形成自己的東西；二是結合個人教學經驗、研究成果和本地實際，嘗試編制富有時代氣息和地方特色的校本教材，從而進一步豐富和完善現行的教材體系。當教師在自己的教學活動中有了明顯的課程意識和研究、探索意識，教師就不再是普通的“教書匠”，而是已經步入到學者型、專家型的實踐研究者行列，其專業化教學水平必然得到全面發展與提高。
參考文獻：
[1]金立淑.指向最佳教學教學路徑[J].中學數學，2012，（10）.
【關鍵詞】初中數學；數學概率；學科發展
長期以來，數學學科在教學過程中的“缺人”現象一直存在.所謂的“缺人”現象就是對人文素養的缺失與忽視.而實際上，教學過程中適當的融入數學史的做法便是很好的人文滲透.以人文滲透的方式豐富數學學習的內容與形式，可以讓學生喜歡數學、會學數學、進而學好數學.從數學史的內容分布來看，在數學教育中滲透數學史的元素可以從以下幾個方面入手.
一、數學史之數學概念的發生、發展過程
數學概念是數學中最基本的元素之一，對數學概念的歷史挖掘可以更好的讓學生對概念的本質產生直觀印象，從源頭幫助學生學好知識，學透知識.正數與負數的歷史發展正數與負數的產生是人類思維進化的大飛躍.在原始時期，人們沒有數的概念，在計數的時候往往使用手指計數，當手指數量不夠用的時候，人們就會借助結繩、棍棒、石子的方式計數.隨著社會的發展，尤其是經濟的發展.對計數的要求就逐漸變高，于是就有了自然數的概念，分數的產生.而在生活中則有了比0度還低的溫度……這些情景的出現就要求人類開始考慮數字的正反，多少兩個層面的含義，于是就誕生了負數的概念.這種正負數產生的過程就可以讓學生真切的感知負數誕生的歷史背景和社會生態，有利于學生將正負數的知識遷移運用到生活當中.
二、數學史之定理的發現與證明過程
傳統課堂中對定理的證明和介紹往往是將證明過程進行展示，學生對定理的來歷和證明過程的原始記載并無掌握，不能很好的形成對所學知識的深刻印象.將定理證明的來源及其在不同國家的歷史發展介紹給學生將有助于深化對定理的理解，學習偉大數學家對待證明的方法，并感悟數學思想的魅力.勾股定理的證明在中國，勾股定理的證明最早可以追溯到4000年前.在《周髀算經》的開頭就有關于勾股定理的相關內容；而在西方有文字記載的最早給出勾股定理證明的則是畢達哥拉斯.相傳是畢達哥拉斯在朋友家做客時，無意中看到朋友家地板的形狀，于是便在大腦中出現了一系列的假設和猜想，并隨后給予了論證.當畢達哥拉斯證明了勾股定理以后，欣喜若狂，于是殺牛百頭以示祝賀.現在，數學家已經從不同的角度對勾股定理進行了證明，證明方法多達幾十種.
三、數學史之數學歷史中較為有名的難題解析
在數學的發展史中，有一些流傳下來的被后人津津樂道的數學難題，這些題目的解答中往往蘊含著豐富的數學解題思想和獨特的思維方式，同時也可以讓學生感受到數學問題的奧秘并從中獲得啟示.哥尼斯堡七橋問題在18世紀的時候，有一個小城角哥尼斯堡，城中有一條河，河上坐落著七座橋，這七座橋將河中間的兩個小島與岸邊相連.在那里生活的居民就提出了一個問題，如何在既不重復，也不落下的情況下走遍七座橋，并在最后回到出發點？這個問題困擾了大家很久，但始終都沒有得到解決.直到一位名叫歐拉的數學家通過將問題簡化和抽象最終得出了問題的解決辦法.這就是后人常提到的“一筆畫”問題.
四、數學史之數學家的故事
數學家的故事往往蘊含了豐富的人生哲理，不僅教會學生如何對待工作，對待生活，對待工作中的每個細節，還在側面影響了學生從事數學工作的意愿.教師可以在教學之余穿插介紹一些中外數學家的故事，重點介紹其對待數學事業的態度以及在工作上優良的品質，以鼓勵所有學生在數學學習過程中不斷的學習數學家的品質與風貌.高斯的故事高斯十歲上學時老師給所有同學出了個題目：將1－100的數字全部寫出來并把它們相加.老師原本想讓孩子們多算一會兒好讓自己休息，其他很多同學也開始用石板逐一計算.但是高斯卻很快就將答案擺在了老師的面前.老師自然對高斯的表現異常吃驚，尤其是高斯的答案是正確的.而當高斯解釋解題過程的時候，連老師都沒有想到將數字串進行首尾相加的方法卻從一個十歲兒童的筆下得出.這不得不讓人對這個孩子的聰穎大加贊賞和敬佩.
五、數學史之中國古代的數學成就
關鍵詞：探索能力；綜合運用；好奇心與幻想；滲透美德
中圖分類號：G623.5 文獻標識碼：B 文章編號：1672-1578（2016）05-0216-01
創新是一個民族的靈魂，是一個國家興旺發達的不竭的動力。作為"人類靈魂的工程師"肩負著培養、造就具有創新意識、創新精神、創新能力，適應新世紀競爭合格人才的光榮使命和時代的重托，也是當代教師深思遠慮的時代課題，下面是本人在教學實踐中的培養學生創新意識的一些體會：
1.培養學生的探索能力，從而培養學生的思維創新能力
"探索是數學教學的生命線"。適時，經常地組織學生進行探索性學習，有利于將教學過程的重點從教師的教轉移到學生的學，學生從被動接受變為主動探索、研究，確立學生在學習中的主體地位，促進學生獨立思考，培養和發展其創新性思維能力。而這些創新思維的產生，都不同程度來源于教師設計的一些具有探究性的問題，如果設計的問題不具有挑戰性，就不能使學生產生創新性的欲望。例如教學"通分"時，為了讓學生比較3/4與5/6的大小，一般情況下，教師預先設計如下問題引導學生思考：3/4與5/6的分母一樣嗎？能否直接比較大小呢？能將3/4與5/6化成分母相同的分數嗎？應以什么數作為公分母？這樣提前引導、指令，使學生亦步亦趨，毫無自主探索的權利可言，不利于學生個性的發展。而教師事先不作暗示，放手先讓學生自主思考、探索，那么學生的思考策略就趨于多樣化而富有個性：化成小數比較。用折紙比較?；赏帜傅姆謹当容^?；赏肿拥姆謹当容^。為此，在教學工作中應做好以下幾項工作：善于引導學生學習興趣，保護好奇心，激發求知欲。創設問題情景，引導學生探索發現。鼓勵學生發現問題，提出問題。引導學生自己研討，培養獨立思考能力。讓學生動手實驗，操作，手腦并用。實踐證明，在教學過程中，如果我們多設計一些探究性的問題，就會使學生逐漸養成在以后的學習過程中注意觀察分析，努力探索，從而培養學生的思維創新能力。
2.聯系幾何知識綜合運用，提高空間觀念的積累水平
在學生掌握了部分幾何知識，且具有初步的空間觀念以后，我們需要幫助學生進一步貫通幾何知識內在的聯系。我們可以把學過的幾何知識和具有代表性的題目通過變式，強化綜合運用知識解題的靈活性，引導學生的空間思考能力，以利于提高空間觀念的積累水平。 1） 在學生具有初步幾何空間知識后，我們可以設計綜合幾何題型來鍛煉學生的空間分析能力。這是一道圓柱體和長方體組合的題目：在一只底面半徑是 10厘米的圓柱形玻璃瓶中，水深8厘米。要在瓶中放入長和寬都是8厘米，高是15厘米的一塊鐵塊： 如果把鐵塊橫放在水中，水面上升幾厘米？ 如果把鐵塊豎放在水中，水面上升幾厘米？ 對于此題的解答，我們可以對學生進行實驗演示，或者先讓學生大膽地想象出鐵塊浸沒在水中的兩種情況之下的不同的形狀、方位、大小，培養學生的空間觀念。 圖3.1圓柱形玻璃瓶和長方體鐵塊 第（1）小題，學生可以很容易地理解，把鐵塊橫放在水中，鐵塊將會全部浸沒。上升的容積就是鐵塊的體積。 若用算術方法解：則水面上升部分的容積（也就是鐵塊體積）÷圓柱底面積=水面上升的高度，即15×8×8÷（102×3.14）≈3（厘米）； 第（2）小題，我們首先要讓學生思考，把鐵塊豎放在水中，鐵塊能全部浸沒嗎？顯然不能。因為橫放在水中，水面只上升了約 3厘米，而豎放在水中，鐵塊的體積不變，底面積變小了，所以水面不可能上升到15厘米這一高度。進而再考慮，把鐵塊豎放在水中，水面是肯定要上升的，因為有部分鐵塊將浸沒在水中。 若用方程解：我們假設把鐵塊豎放在水中，水面上升到 x 厘米，則當前水面的總容積-鐵塊浸沒在水中的體積=原來水面的總容積，即：102×3.14×x- 82×x= 102×3.14×8。 解得：x≈10（厘米），得到水面上升為：10-8=2（厘米）。 對于很多幾何應用題，解題所需的條件并不是完全已知的，需要學生通過分析提煉出隱蔽的數據，這部分需要學生具有一定的綜合分析能力。
3.尊重學生的好奇心與幻想，激發學生的創新意識
每位學生都有很強的創新欲望，他們對什么都充滿了好奇心與幻想。因此應為學生創設情境，激發他們的創新熱情，使他們善于創新。如有這樣一道題：某小學放兩部科學教育影片，第一部長585米，放映19.5分鐘，第二部長720米，要比第一部多放映多少分鐘？對于這道題，教師要求是只列式不計算，比一比看誰用的方法多。激活了學生的思維，很快有多數同學先后列出3種不同的算式：①720÷（585÷19.5）-19.5；②19.5×（720÷585）-19.5；③（19.5÷585）×（720-585）。緊接著在教師的鼓勵啟發下，學生的思維更加活躍，相繼又出現了2種不同的解法：④（720-585）÷（585÷19.5）；⑥19.5×[（720-585）÷585]。然后指出回答每一種方法的解題思路，學生紛紛踴躍發言說出各自的理由，形成民主、平等的教學氛圍，這樣既激活了課堂氣氛，又有利于激發學生的創新意識。
4.滲透美德，培養思維的審美力
明是非、知美丑、懂得失，是一個人有所為、有所不為的思想基礎，教育始終應為提高學生的思想認識鋪路搭橋。利用正面榜樣，提供楷模力量；借鑒反面教訓，增強憂患意識；展示學科內容的作用，以需激趣；發掘學科內容的美育因素，陶冶情操；揭示學科內容中蘊涵的哲學素材，提高感知世界、認識自我的本領；等等。使學生逐漸形成思維的人格審美力、行為審美力、鑒賞審美力和辯證唯物主義的世界觀。如在勾股定理的教學設計中，課前布置學生回家查找勾股定理相關資料：在網上可以搜索"勾股定理"有約322000條相關內容；"勾股定理證明方法"有約72500條相關內容；"有資料表明，關于勾股定理的證明方法已有500余種，僅我國清末數學家華蘅芳就提供了二十多種精彩的證法。""這是任何定理無法比擬的；至今可查的有關勾股定理的最早記載，是大約公元前1世紀前后成書的我國古代的一部著名的數學著作《周髀算經》，比古希臘的數學家畢達哥拉斯（在西方，勾股定理通常被稱為畢達哥拉斯定理）要早了五百多年等等。學生會深刻感悟數學圖形的美感，同時也了解到到我國古代數學家對數學領域的突出貢獻，更增強了民族自豪感。
總之，學生創新能力的培養，貫穿于整個教學活動之中，只需我們認真研究和探索，一代具有創新能力的學生就會脫穎而出。
參考文獻：
[1]楊慶余，《小學數學課程與教學》，高等教育出版社，2004年。
[2]馬云鵬，《小學數學教學論》，人民教育出版社，2003年。
自主學習法是指學生在教師的指導下進行自學，獲得書本知識，發展能力的一種教學模式. 進入初中的學生已具備一定的自主學習能力，教師的任務是幫助學生提高自主學習的效率，讓學生學會積累知識， 沉淀方法，分析并解決問題. 在這一模式中，學生通過自學，進行思考、實踐探究，讓學生在自學中學會學習，撐握學習方法，增強他們學習數學的興趣，讓每一名同學都有成功的體驗. 下面我來談談自己的一些做法：
一、給出自主學習的目標，增強學生自主參與意識
給出目標意在突出學生于學習中的主體地位，通過呈現學習目標讓學生明確本課要學習的內容和需要達到的程度，進而圍繞目標，帶著問題積極、主動地參與學習活動. 在教學過程中，還要擴大教學環節的具體要求，通過白板或投影等形式使學生明確每個教學環節的具體目標.
例如，我在教學八年級數學（上）《3.1 勾股定理》時，就給出以下的教學目標：1. 探索直角三角形三邊關系，掌握勾股定理的運用思想，發展數學思維；2. 經歷觀察與發現直角三角形三邊關系的過程，感受勾股定理的應用意識；3. 通過對勾股定理的歷史的了解，感受數學文化，并體會勾股定理的應用價值. 目標導學的目的在于：把學生推到探究新知的“第一線”，讓學生自己動手、動口、動腦，主動思考問題，并在探究新知的過程中，暴露他們研究過程中的問題，把他們弄不懂的地方、錯誤的地方都擺在桌面上，再引導他們通過獨立思考，摒棄錯誤，發現真理，實現由感性認識到理性認識的轉化. 這樣，通過活動，讓學生自己發現要學習的東西，能夠積極地被同化，因而使知識掌握得更加牢固、深刻.
二、指導自主學習，提高學生自主學習能力
初中階段的學生受心理和知識的限制，缺乏必要的學習方法，不能做到完全自主學習. 這就需要老師引導學生掌握必要的學習方法和學習技巧，提供必要的自學指導. 讓學生知道干什么？利用什么工具？怎么干？……. 所以自學內容要考慮知識的完整性，問題的設計要具體，可操作性要強；由淺入深，由易到難，使學生逐步掌握本節課要掌握的知識.
例如，我在上八年級數學（下）《平行四邊形的判定》這節課時，給出以下的自學指導：
請同學們自學P66-67內容，思考：
（1）如何在方格紙中畫出平行四邊形？
（2）你能利用三角形的全等，根據平行四邊形的定義證明它們嗎？請寫出證明過程.
（3）例 3 運用了平行四邊形的哪些性質和判定？你還有其他證明方法嗎？
請寫出來.
學生自學時要注意兩個問題，（1）不要發現問題就開始講，這樣會干擾學生的自學，要讓他們安靜地、獨立地完成自學過程. （2）教師利用這個時間巡視，解決學生自學過程中出現的問題，并通過觀察、個別詢問等形式發現學生在自學中暴露出的疑難問題，并把主要的傾向性問題進行梳理、歸類，為下一步調整課堂進程和選定精講的內容尋找依據.
三、營造自主學習的氛圍 ，提高自主學習效率
創設民主和諧的課堂教學氛圍，使學生勤于動腦，善于發言. 心理學家指出：
人在情緒低落的時候，想象力只有平時的二分之一甚至更少. 因此只有在寬松、民主的教學氛圍中，學生的創造性思維才能得到最大限度地發揮，這就需要我們教師能在數學課堂上建立親和的對話平臺，溝通對話渠道，可以聆聽學生的見解，并能適時地給以贊同表揚或指正他們的觀點. 學生在我們的數學課堂上不應該僅僅是學習活動的接受者，而應該充分體現主體地位的作用，積極參與到一個新知識探究的思維過程中，讓他們學會獨立思考.
類型一：直線與平面平行的證明
【例1】 在三棱柱ABCA1B1C1中,A點在底面A1B1C1上的射影是正A1B1C1的中心.E為側面BB1C1C對角線BC1上一點,且BE=2EC1,
證明：OE∥平面AA1C1C．
分析 (1) 從“量”上分析:①從BE=2EC1知E是一個三等分點(離C1較近);②從正A1B1C1,O是A1B1C1的中心,知O是A1B1C1的重心,隱含O是B1C1邊上中線的一個三等分點,與E點有遙相呼應之感；
(2) 從“形”上分析：由相似三角形的原理知延長CE與B1C1的交點必是B1C1的中點H,從而根據重心知識知A1、O、H共線,這樣可形成A1HC；同時可聯想B1C1的中點是建立聯系的紐帶；
(3) 從方法上分析：應用線面平行的判定定理證明,設法在平面內找到平面外的直線OE的平行線,俗稱“找線法”。
證明 連接CE并延長,交B1C1于點H,因為BC∥B1C1,BE=2EC1,所以BCE∽C1HE,且BC=2C1H,所以H點為B1C1的中點.
又因為點A在底面正A1B1C1內的射影點O是A1B1C1的中心,所以O是A1B1C1的重心,顯然A1、O、H共線.且A1O=2OH.
在HCA1中,CE=2EH,A1O=2OH,所以HEO∽HCA1,所以EO∥CA1.又EO平面AA1C1C,CA1平面AA1C1C,所以OE∥平面AA1C1C．
點撥
(1) 從圖形上可聯想有一個三角形,過OE且與平面AA1C1C有一條交線,故聯想到B1C1的中點；
(2) 在添加輔助線時,易出現錯誤.如：連CE交B1C1于H點,連A1、O、H等形式的錯誤；
(3) 除用判定定理證明外,也可以構造平面與平面AA1C1C平行,利用面面平行的性質來證明。
總結:證明線面平行的方法有：定義法、線面平行的判定定理、面面平行的性質定理等方法,常用的是線面平行的判定定理。
類型二：直線與平面垂直的證明
【例2】 已知四棱錐PABCD的底面ABCD是等腰梯形,AD∥BC且BC=2AB=2AD=2,側面PAD是等邊三角形,PB=PC=2,求證：PC平面PAB.
分析 (1) 從“量”上分析：底面的等腰梯形中,可得出其他的基本關系,作AHBC垂足為H,知BH=12,故易知∠ABC=60°,在ABC中由余弦定理易知AC=3,在PAC,PA=1,PC=2,AC=3,易知PCPA；在PBC中,PB=2,PC=2,BC=2，易知PCPB；
(2) 從“形”上分析：應聯想到PC應垂直平面PAB中兩條相交的直線
PB,PA,AB中的其中兩條即可,可聯想連接AC,用勾股定理證明；
(3) 從方法上分析：應利用線面垂直的判定定理,
設法在平面PAB內找到與PC垂直的兩條相交直線。
證明 由條件易知在PBC中,PB=2,PC=2,BC=2,故PB2+PC2=BC2，即∠BPC=90°,故PCPB.在等腰梯形ABCD中,
由BC=2AB=2AD=2,得BC=2,AB=AD=DC=1,
作AHBC于點H,得BH=12,所以在RtABH中，∠ABH=60°；
又在ABC中使用余弦定理知：AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cos∠ABC=3，
所以在APC中,PA=1,AC=3,PC=2，滿足勾股定理,即∠APC=90°,即PCPA，
由上可知PCPA,PCPB,PA∩PB=P,所以PC平面PAB．
點撥
(1) 本題從找線出發,聯想到要證PCPA與PCPB,而PCPA是本題的一個難點；
(2) 本題最終在APC中利用勾股定理證得PCPA,亦可以通過AB平面PAC,證得PCAB得到。
總結:證明線面垂直的方法有：定義法、線面垂直的判定定理法、面面垂直的性質定理等方法,常用的是線面垂直的判定定理。
恃國家之大，矜民人之眾，欲見威于敵者，謂之驕兵。――魏相
類型三：利用線面平行、垂直的性質的探索性問題
【例3】 已知三棱錐PABC中,ABC是邊長為2的正三角形,PC平面ABC,PA=22,E為PB的中點,F為AC的中點,試在線段PC上找一點Q,使得AE∥平面BFQ．
分析
(1) 從“量”上分析：ABC為正三角形,PA=22,易得PC=2；從而知PB=22；
(2) 從“形”上分析：AE平面PAB,且AE∥平面BFQ；PBC
為等腰直角三角形；同時可以聯想在平面BFQ內有一條與AE平行的線；
(3)從方法上分析：利用線面平行的性質,通過線面平行得出線線
平行,從而確定Q點的位置。
解 因為ABC是邊長為2的正三角形,所以AC=2；
又因為PC平面ABC,AC、BC平面ABC,所以PCAC,PCBC,所以PAC為直角三角形,所以PC2=PA2-AC2=4,即PC=2,所以PBC是以C為直角頂點的等腰直角三角形.不妨在PC上取一點Q,假設滿足AE∥平面BFQ,則由線面平行的性質定理,連接CE交BQ于點H,連接HF,作出平面AEC.因為AE∥平面BFQ,
AE平面AEC,平面AEC∩平面BFQ=FH,所以AE∥FH；
顯然在AEC中,F為AC的中點,所以H為EC的中點．
過E作EG∥BQ,交PC于點G；
在CEG中,HQ∥EG,H為EC的中點,所以Q為GC的中點,故GQ=QC；
在PBQ中,EG∥BQ,E為BP的中點,所以G為PQ的中點,故GQ=PG；
所以PG=GQ=QC,故Q為PC的一個三等分點且靠近C點；因為PC=2,所以QC=23．
點撥 (1) 取Q點形成平面BFQ,利用線面平行的性質定理得AE∥FH,從而知H為EC的中點；
(2) 在PBC中求Q的位置,除了用本題的方法外,還可以把PBC平面化,利用解析幾何知識建立直角坐標系,求出Q點的坐標,從而確定Q的位置；
(3) 學理科的同學還可以通過建立空間直角坐標系,通過求Q的坐標,確定Q的位置。
總結:線面平行的探索性問題常用的解題步驟是：(1) 假設點在某處；(2) 利用線面平行的性質得出線線平行；(3) 通過線線平行確定點的位置。
【例4】 已知直三棱柱ABCA1B1C1中,
BC=2AB=2AC=2,CC1=1,D為B1C1的中點,
AE平面BB1C1C,試在CC1上找一點Q,使得EQ平面A1DC．
分析
(1) 從“量”上分析：BC=2,AB=1,AC=1得∠BAC=90°；CC1=1,可知側棱長均為1；
(2) 從“形”上分析：AE平面BB1C1C,則必有AEBC,即E為BC的中點；同時可以聯想在平面BB1C1C內應該有一條易證的,且與平面A1DC垂直的直線；
(3) 從方法上分析：應利用線面垂直的性質,先找出平面的一條垂線,
再過E作所找垂線的平行線。
解 連接BC1,交DC于O點.因為三棱柱ABCA1B1C1
為直三棱柱,所以BB1C1C為矩形,則由長度關系知：BB1B1C1=DC1C1C=22,所以BB1C1∽DC1C,易得BC1DC.根據D是BB1的中點,且A1B1=A1C1得A1DB1C1.又因為CC1平面A1B1C1,A1D平面A1B1C1,得CC1A1D.所以由A1DB1C1,CC1A1D,B1C1∩CC1=C1得A1D平面BB1C1C,因為BC1平面BB1C1C,所以A1DBC1；因為A1DBC1,BC1DC,A1D∩DC=D得BC1平面A1DC1．
又根據題意,AE平面BB1C1C知AEBC,因為ABC為等腰三角形,所以E為BC的中點；故要使得EQ平面A1DC,只需EQ∥BC1；在BCC1中,EQ∥BC1且E為BC的中點,故Q為CC1的中點；綜上所述,Q的位置在CC1的中點．
點撥
(1) 根據線面垂直的性質,要找到EQ平面A1DC,只需先找到一條平面A1DC的垂線,即可通過平行線找到EQ；
(2) 本題理科學生也可以通過建立空間直角坐標系求出Q點的坐標,確定Q點的位置。
總結:線面垂直的探索性問題的一般步驟是：(1) 假設點在某處；(2) 找到已知平面的一條垂線；(3) 通過作已知平面垂線的平行線,確定要找的點的位置。
牛刀小試
1. 三棱錐PABC中,E、F是PA、PB的中點,O是AC的中點,G是OC的中點,證明：FG∥平面BOE.
2. 三棱錐PABC中,D是AB的中點,E在PB上,且PE=2BE,在PB上確定一個點Q,使得DE∥平面ACQ．
3. 四棱錐SABCD中,AB∥CD,BCCD,側面SAB為等邊三角形,AB=BC=2,CD=SD=1,O為AC與BD的交點,試在SB上找一點E,使得OE平面SAB．
【參考答案】
1. 證明：連接AF交BE于點H,連接OH,因為O是AC的中點,
G是OC的中點,所以AOAG=23；在PAB中,BE,AF均為三角形的中線,故AF與BE的交點H是PAB的重心,
所以AHAF=23.所以在AFG中,AOAG=AHAF=23,
由相似三角形知識得OH∥FG；
又因為OH平面BOE,FG平面BOE,所以FG∥平面BOE．
2. 證明：因為ABCD是正方形,所以AD=DC=1,又因為PC=2,所以PD2+DC2=PC2,即PDDC.又因為PDDC,PDBC,DC∩BC=C,所以PD平面ABCD．
2. 在PB上取點Q,作平面ACQ,假設DE∥平面ACQ；因為DE∥平面ACQ,DE平面PAB,平面PAB∩平面ACQ=AQ,所以DE∥AQ.ABQ中,DE∥AQ,D是AB的中點,所以E為BQ的中點.所以BE=EQ=13PB=PQ,即Q為PE的中點,亦可答：Q是PB的一個三等分點且靠近P點．
3. 在四邊形ABCD中,過D作DHAB于點H,在四邊形ABCD中,
因為AB∥CD,AB=2,CB=2,CD=1,所以AH=1,DH=2,故AD=5．
在SAD中,SA=2,SD=1,AD=5,則SA2+SD2=AD2,
所以SDSA.BCD中,CD=1,BC=2,BCCD,則BD=5．
故在SDB中,SD=1,SB=2,BD=5,所以BD2=SD2+SB2,所以SDSB．
因為SDSA,SDSB,SA∩SB=S,所以SD平面SAB．
要在SB上找一點E,使得OE平面SAB,只需作出SD的平行線即可．
根據CD∥AB,
易得OCD∽OAB,得O為DB的三等分點(靠近D點),
故在SDB中,OE∥SD,顯然E是SB的三等分點(靠近S點)；
一、“推廣型”內容教學時需解決的問題
1.推廣的必要性
解決推廣的必要性問題，即要解決“為什么需要推廣？”這一問題。教學中應從學生已有的認知水平出發，結合數學發展的現實基礎和邏輯基礎，讓學生深刻領悟到進行推廣的必要。例如，在引入大于360°的角和負角時，可以舉些學生熟悉的生活中大于360°的角和負角，如體操中的轉體、跳水中的翻騰、鐘表中的指針、自行車的輪子、螺絲扳手與曲柄連桿等按不同方向旋轉時所成的角，用以說明建立新概念的必要性和實際意義，這也有利于體驗數學的人文價值，開闊學生的視野。
2.推廣的方法性
解決推廣的方法性問題，即要解決“如何進行推廣？”這一問題。從數學學習、研究過程來看，經常使用如下的邏輯思考方法：
其中突出顯示了聯系的觀點，通過類比、推廣、特殊化、化歸等思想方法，可以極大地促進學生的數學思考，使他們更有效地尋找出自己感興趣的問題，從中獲得研究方法的啟示。例如，關于平面幾何中的向量方法，我們可以有如下的“聯系圖”：
3.推廣的應用性
解決推廣的應用性問題，即要解決“推廣后有什么用？”這一問題。在聯系舊知推廣得到新知的基礎上，要重視新知的應用，讓推廣的價值得到充分的展示。這種價值，不僅體現在新知對舊知的覆蓋，更要讓學生感受到一個數學概念的推廣可能帶來很多更好的性質。例如，將勾股定理推廣到余弦定理以后，可以講解這樣的問題：用余弦定理證明：在ABC中，當∠C為銳角時，a2+b2>c2;當∠C為鈍角時，a2+b2
二、“推廣型”內容的教學基本策略
1.創設具有認知沖突的問題情境，揭示推廣的必要性
認知心理學家認為：當學習者發現不能用頭腦中已有的知識來解釋一個新問題，或發現新知識與頭腦中已有的知識相悖時，就會產生“認知失衡”。這種認知沖突會讓學生產生新奇和驚愕，從而引起學生的注意、關心和探究。認知沖突是教學和學習的最佳契機。在進行“推廣型”教學內容的教學時，創設具有認知沖突的問題情境，將有利于推廣必要性的揭示。
（1）情境生活化，使推廣成為需要。解決現實生活和生產實際問題的需要，常常是進行數學推廣最直接、最有力的推手。為此我們可以結合具體的實例創設情境，使新知自然生成。例如，我們將0°～360°角推廣到任意角時，可創設如下問題情境。
案例1 角的概念的推廣的問題情境
問題1 在初中我們是怎樣定義角的？（從如下的靜態和動態兩個角度定義。）
問題2 平面內一條射線繞其端點旋轉一周后回到原來的位置，所形成的角是什么角？如果繼續旋轉下去，所形成的圖形還是不是角？為什么？
問題3 生活中存在剛才問題中所出現的角嗎？你能試著舉出一些實例嗎？我們又如何去理解它們呢？
通過回顧舊知，聯系生活實際，引發認知沖突，角的推廣也就成了必然需求。
（2）關系普遍化，使推廣成為必要。推廣常用的方式是將變量之間、對象之間的特殊關系改為一般關系而獲得具有普遍意義的命題及公式，或是將具體對象改為一般對象從而使命題得到推廣[2]。教學時，一般先復習包容性小、抽象概括程度低的概念，并在此基礎上創設具有認知沖突的問題情境。例如，將銳角三角函數推廣到任意角的三角函數的學習，從認知結構發展的角度來說，是屬于“下、上位關系學習”，“先行組織者”是銳角三角函數的概念[3]。教學時，可創設如下問題情境。
案例2 任意角的三角函數的問題情境
問題1 你能回憶一下銳角三角函數的定義嗎？
問題2 你能用直角坐標系中角的終邊上的點的坐標來表示銳角三角函數嗎？如果按這種方式用坐標表示的三角函數值，在銳角取值范圍內和之前的定義吻合嗎？
問題3 改變終邊上的點的位置，這三個比值會改變嗎？為什么？（在定義任意角的三角函數之前，必須讓學生感知、確認、理解這三個比值都只與角的大小有關，而與點在終邊上的位置無關，因此它們都是以角為自變量的函數，從而給出任意角的三角函數的定義。）
問題4 角的范圍已經推廣到了任意角，那么，仿照以上銳角三角函數的新的定義方式，你認為如何定義任意角三角函數比較合理？
通過以上問題串，由特殊到一般，思維流暢，層層深入，新概念的得出水到渠成。
2.遷移已有的思想方法，凸顯推廣的方法性
新課標強調“四基”，即學生通過學習，獲得必需的基本知識、基本技能、基本思想方法、基本活動經驗。基本思想方法、活動經驗的獲得，不僅來源于自己平時對知識的感悟，更多的來源于平時教師對思想方法的提煉、滲透。學會推廣實際上就是學會方法。教師在進行“推廣型”教學內容的教學時，應注意遷移已有的思想方法，如類比探究、化歸論證等，讓學生在推廣的過程中感悟方法、掌握方法。
（1）類比探究。類比法通過比較兩個對象的部分相同或相似，推出其他方面也可能相同或相似。類比是進行數學再發現的有效方式。在進行角的概念推廣的教學時，為了引出正角、負角和零角的概念，我們可設置如下類比式問題串。
案例3 類比正數、負數、零的概念，得出正角、負角、零角的概念
問題1 如何用數學的方法將按順指針、逆時針兩種不同的方向旋轉的角加以區分？你以前有過類似的經驗嗎？
問題2 我們知道，正負數和0可借助數軸有效地進行區分。那么，為了區分按順指針、逆時針兩種不同的方向旋轉的角，你認為可以利用什么載體進行區分呢？如何給它們下一個合理的定義呢？
通過以上問題，利用類比的方法，由正數、負數、零的概念自然引出正角、負角、零角的概念，同時也讓學生體驗從低維問題向高維問題發展的一般方法。
（2）化歸論證。一般化是數學推廣的基本方式。數學家G?波利亞指出：”一般化是從對象的一個給定集合進而考慮到包含這個集合的更大集合。”由下位公式向上位公式推廣時常伴隨著猜想，而要對這種猜想進行論證，則常需將上位公式化歸至下位公式。例如，我們在將勾股定理推廣到余弦定理時，可按如下方式進行。
案例4 借助化歸的思想論證余弦定理
問題1 前面學過的正弦定理的表達式是怎樣的？它具有怎樣的功能？
問題2 在我們所學知識中，有沒有涉及已知三角形的兩邊及夾角，求第三邊的情形呢？能否舉一個具體的例子？
問題3在ABC中，已知邊a，b，∠C≠90°，是否還能用勾股定理求邊c？（很自然的想法是構造直角三角形，以便用勾股定理進行計算。輔助線如下圖，過程略。）
3.運用推廣的結論方法，強化推廣的應用性
舊知推廣為新知以后，內涵發生了改變，伴隨產生了一些新的性質。為了讓學生鞏固新知，體驗數學的實用價值，我們應在推廣之后，在概念的辨析、性質的應用等方面及時加以應用。
（1）概念辨析，厘清疑點。數學概念在得到推廣以后，其內涵發生了改變，容易與原有的概念產生混淆。為了幫助學生區分新舊概念的區別，加深理解，我們可以通過概念辨析題的方式進行新知的應用。如，將角推廣到任意角以后，伴隨著產生了象限角、軸線角等概念。這些概念與原有的銳角等概念容易混淆，為此我們可通過如下判斷題進行辨析。
案例5 角的概念推廣后設置的概念辨析題
判斷下列說法是否正確：
①銳角是第一象限角。（對）
②第一象限的角都是銳角。（錯）
③小于90°的角都是銳角。（錯）
④第二象限的角一定比第一象限的角大。（錯）
⑤終邊相同的角一定相等。（錯）
⑥終邊相同的角有無數多個，它們相差360°的整數倍。（對）
（2）前后呼應，變式應用。在問題情境的創設過程中，常借助認知沖突，設置懸念，引發推廣。在推廣以后，要及時解決原先的疑問，并適當深入，變式提升。例如，前面為了將勾股定理推廣到余弦定理，設計了這樣的問題：已知三角形的兩邊及夾角，如何求第三邊呢？那么，我們可結合此問題的解決，設計例題及變式。
案例6 將勾股定理推廣到余弦定理后設置的例題及變式
①在ABC中，已知邊b=3，c=1，∠A=60°，求邊a。
②在ABC中，已知邊a=4，b=5，c=6，求∠A。
變式1在ABC中，已知邊a=4，b=5，c=6，判定在ABC的形狀。
變式2在ABC中，已知邊a∶b∶c=3∶4∶5，判定在ABC的形狀。
知識、能力與學習品質的提升是學生發展的基本目標。通過“推廣型”教學內容的教學，讓學生充分認識推廣的必要性、方法行、應用性，在推廣中進行再發現，學會探究，對學生良好數學素養的提升具有較大的幫助。
參考文獻
[1] 徐彥輝.數學推廣及其常見形式舉例分析[J].數學通報，2010（4）.
一、數學概念學習方法。
數學中有許多概念，如何正確地掌握概念，應該知道學習概念需要怎樣的一個過程，應達到什么程度。一個數學概念需要記住名稱，敘述出本質屬性，體會出所涉及的范圍，并應用概念準確進行判斷。這些問題老師沒有要求，不給出學習方法，學生將很難有規律地進行學習。
數學概念的學習方法是：
1、閱讀概念，記住名稱或符號。
2、背誦定義，掌握特性。
3、舉出正反實例，體會概念反映的范圍。
4、進行練習，準確地判斷。
二、學公式的學習方法
公式具有抽象性，公式中的字母代表一定范圍內的無窮多個數。有的學生在學習公式時，可以在短時間內掌握，而有的學生卻要反來復去地體會，才能跳出千變萬化的數字關系的泥堆里。教師應明確告訴學生學習公式過程需要的步驟，使學生能夠迅速順利地掌握公式。
數學公式的學習方法是：
1、書寫公式，記住公式中字母間的關系。
2、懂得公式的來龍去脈，掌握推導過程。
3、用數字驗算公式，在公式具體化過程中體會公式中反映的規律。
4、將公式進行各種變換，了解其不同的變化形式。
5、將公式中的字母想象成抽象的框架，達到自如地應用公式。
三、數學定理的學習方法。
一個定理包含條件和結論兩部分，定理必須進行證明，證明過程是連接條件和結論的橋梁，而學習定理是為了更好地應用它解決各種問題。
數學定理的學習方法是：
1、背誦定理。
2、分清定理的條件和結論。
3、理解定理的證明過程。
4、應用定理證明有關問題。
5、體會定理與有關定理和概念的內在關系。
有的定理包含公式，如韋達定理、勾股定理、正弦定理，它們的學習還應該同數公式的學習方法結合起來進行。
四、初學幾何證明的學習方法。
在七年級第二學期，八年級立體幾何學習的開始，學生總感到難以入門，以下的方法是許多老教師十分認同的，無論是上課還是自學，均可以開展。
1、看題畫圖。（看，寫）
2、審題找思路（聽老師講解）
3、閱讀書中證明過程。
4、回憶并書寫證明過程。
五、提高幾何證明能力的化歸法。
在 掌握了幾何證明的基本知識和方法以后，在能夠較順利和準確地表述證明過程的基礎上，如何提高幾何證明能力？這就需要積累各種幾何題型的證明思路，需要懂得 若干證明技巧。這樣我們可以通過老師集中講解，或者通過集中閱讀若干幾何證明題，而達到上述目的。化歸法是將未知化歸為已知的方法，當我們遇到一個新的幾 何證明題時，我們需要注意其題型，找到關鍵步驟，將它化歸為已知題型時就可結束。此時最重要的是記住化歸步驟及證題思路即可，不再重視祥細的表述過程。
幾何證明能力的化歸法：
1、審題，弄清已知條件和求證結論。
2、畫圖，作輔助線，尋找證題途徑。
3、記錄證題途徑的各個關鍵步驟。
一、利用多媒體課件進行情境創設
初中數學教學過程是信息傳遞和反饋的過程，多媒體課件教學使得數學在教學中能把圖形、聲音、文字集成一體，充分調動學生的各種感官，使學生產生興趣，思維更加活躍，提高了學習質量。
在學習七年級《從三個方向看》時，課件上展現一些廬山的美麗風景，同時播放一首蘇軾的詩：橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同。不識廬山真面目，只緣身在此山中。學生看著廬山畫面，同時跟著一起誦讀詩句。
師：大家去過廬山嗎？如果沒有的話，建議你去看看，因為廬山的風景真的很美麗。我國宋代詩人蘇軾也去過廬山，并且在西林壁上寫下了一首很有名的絕句《題西林壁》，你知道蘇軾是從哪幾個方向來觀察廬山的嗎？
生：橫看，側看，遠看，近看……
師：其實，這首詩里，還有一些數學知識，它教會我們該怎樣去觀察物體，這是我們今天要一起探討的內容《從三個方向看》。
利用課件一起欣賞照片，一起誦讀古詩，這樣就為學生營造了一個寬松的、生動活潑的、主動求知的學習環境。
二、利用多媒體課件展示高難度操作
借助一些工具軟件，教師可以很方便地對一些多媒體對象進行剪輯和加工處理，使之符合我們數學教學的要求。例如：在學習圓的周長時，通過課件演示將圓分成十六等份，然后拼成一個長方形。學生驚訝地發現，原來圓的周長就是這個長方形兩條長之和，而長方形的寬正是圓的半徑。通過這樣的直觀的演示，不僅吸引了學生的注意力，而且加深學生的印象，提高他們學習數學的興趣。
三、利用多媒體課件豐富學生的知識層面
多媒體課件儲存的信息量大，我們可以從網絡上收集需要的材料在多媒體課件上演示，充實課堂教學內容，開拓學生視野，增加了學生學習的廣度和深度。
在學習黃金分割時，教師可以利用課件播放一些黃金分割在各方面的應用：
人體上的黃金分割：在人體中，黃金分割的例子很多。在人體結構上，0.618更是無處不在。大家都知道，從肚臍到腳底的距離/頭頂到腳底的距離=0.618，這是比較完美的人體。
最漂亮的臉龐：有意思的是，最漂亮的臉龐是眉毛到脖子的距離/頭頂到脖子的距離=0.618。像拉斐爾的圣母像、還有《蒙娜麗莎》像，都是這個比值。而鵝蛋形，臉寬與臉長的比值約為0.618，是人們公認的最完美的臉型之一。
植物上的黃金分割：天文學家開卜勒在研究植物葉序問題時，驚訝地發現：葉子在莖上的排列也遵循黃金比?？茖W家經計算表明：這個角度對植物葉子通風、采光來講，都是最佳的。正因為如此，建筑學家仿照植物葉子在莖上的排列方式，設計、建造了新式仿生房屋，不僅外形新穎、別致，同時還有優良的通風、采光性能。
藝術上的黃金分割：同學們仔細觀察就會發現，建筑師們對數學0.618特別偏愛，無論是古埃及的金字塔，還是巴黎的圣母院，或者是法國埃菲爾鐵塔，都有與0.618有關的數據。
四、利用多媒體課件展示數學定理的多種驗證方法
實際的數學課堂教學中經常出現一題多解的情況，利用多媒體課件展示為這種情況提供了方便，節約了時間。
在學習“勾股定理證明”一節課時，教師利用課件展示多種證明方法。例如：第一種證法，趙爽利用四個直角三角形和一個小正方形拼成一個大正方形來證勾股定理的正確性。第二種證法，劉徽用了“出入相補法”即剪貼證明法把勾股定理驗證出來。第三種證法，是著名希臘數學家歐幾里得的一個很好的證法。后面的“總統證法”等等，大大豐富了學生的證明思維。
五、利用多媒體課件演示動態現象
多媒體課件具有呈現客觀事物的時間順序、空間結構和運動特征的能力。在初中數學課堂教學中，常有部分學生遇到有關動態問題的數學感到難懂，老師也感到難教，這里的關鍵問題就是動態問題比較抽象，采用多媒體課件演示就能很好地克服這個困難，培養和提高了學生對圖形的想象能力、動態思維能力，找到解決問題的突破口，解決了學習和教學中的難點。
關鍵詞 說題 中考 數學
中圖分類號：G633.63 文獻標識碼：A
Inspiration from a Problem in High School Entrance Examination
――Dynamic Point Issues in Trapezoidal
LIU Shijie
（High School Affiliated to Xinjiang Agricultural University， Urumqi， Xinjiang 830000）
Abstract Examination is imperative to review the return of textbooks， the exam questions are rooted in the textbook， but is extended to the original question， the conditions change， transplant conversion， increasing the level of problem-solving. Said the problem is the study of creativity exams and exam questions return textbooks are complementary， we make an important weapon in the test review.
Key words said the problem； examination； mathematics
本文以一道中考選擇題為例進行說題。
說題題目：2012年烏魯木齊數學中考試題第10題
如圖1，AD∥BC，∠D = 90，AD=2，BC=5，CD=8，若在CD邊上有點P，使 PAD與PBC相似，則這樣的點有（ ）
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
1 說試題立意及背景
試題立意：動點問題是近年來中考的一個熱點問題，要求學生能夠對點在運動變化過程中相伴隨的數量關系、圖形位置關系等進行觀察研究，化“動”為“靜”。從數學知識點來看，動點依附于不同的載體，一般考察幾何圖像的判定和性質（如梯形，相似三角形，直角三角形等）以及函數和方程等知識，綜合性很強?？疾斓耐緩皆絹碓綇碗s，對學生的讀題、解題、知識遷移能力、數形結合的思維能力提出了很高的要求。
說背景：本題以直角梯形作為載體，動點P隱含其中，以相似三角形的判定為主要考點，運算上以一元方程求解為突破，得到點P的個數。本題運用分類討論思想、方程思想、數形結合思想是解題的關鍵。主要考查學生對基本知識、基本方法、基本技能的理解、掌握和應用，屬中考中等難度試題。
2 說學情、教法
說學情：學生較容易先找任一點，大致勾勒三角形，進而利用相似三角形判定列方程，但在分類討論及列方程求解上容易疏漏，這里要注意，需平時加強訓練。
說教法：從圖形運動中找出規律，轉化為一般的幾何證明、代數計算問題，探究解決問題的策略，培養學生解決問題的完備性。
3 說解法
解法一： 解：在CD上找一點P，得到PAD和PBC，設DP=X，則CP = 8-X，若PAD～PBC，對應邊成比例則有兩種可能情況。
圖2 圖3
（1） = （一元一次方程） 有一個解――一個點
（2） = （一元二次方程） 有兩個不相等解――兩個點
經檢驗，均符合題意。答案：C
解法二：從形的角度來分析（圖3），利用物理上的反射來構造相似，相對的兩角相等，這只有一種情況；利用勾股定理證明的圖形作為背景，相對的兩個角互余，但不等，互余且相等的情況不可能，圖3是反例，這時，以不垂直于底的腰為直徑畫圓，有兩個交點，這時有兩種情況，總計三種即有三個點存在。
4 拓展變化
如圖4，AD∥BC，∠D=90，AD=a，BC=b，AB=c，若在CD邊上有點P，使 PAD與PBC相似，則這樣的點有（ ）個。
圖4
本題解有四種情況：以AB為直徑作圓，利用梯形中位線定理和圓與直線的位置關系可解得：（1） 如圖4（a），c a+b CD≠a+b反射構造相似一個點，圓與直線相交構造兩個點，這三點互不重合（一元二次方程有兩個不相等的解）；（4） 如圖4（d），c>a+b CD=a+b反射構造相似一個點，圓與直線相交構造兩個點，這三點中有兩點重合，總共有兩點（一元二次方程有兩個不相等的解，其中有一解于一元一次方程解相同）。
啟示一：本題兩種解法實際從數和形的角度出發，把一元方程解的個數與圓與直線的三種位置關系聯系起來，這兩個看似毫無關聯的知識通過直角梯形這個載體有機統一在一起，我們在平時命題時可以有意識去嘗試把代數和幾何以某個特征圖形為平系起來，去考察中考考點，讓我們對題目有更加深刻的認識，而不是蜻蜓點水，淺嘗輒止。
5 中考鏈接（2013 攀枝花）
如圖5，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD是梯形，AB∥CD，點B（10，0），C（7，4）。直線經過A，D兩點，且sin∠DAB = 。動點P在線段AB上從點A出發以每秒2個單位的速度向點B運動，同時動點Q從點B出發以每秒5個單位的速度沿BCD的方向向點D運動，過點P作PM垂直于x軸，與折線ADC相交于點M，當P，Q兩點中有一點到達終點時，另一點也隨之停止運動。設點P，Q運動的時間為t秒（t>0），MPQ的面積為S。
（1）點A的坐標為 ，直線的解析式為 ；（2）試求點Q與點M相遇前S與t的函數關系式，并寫出相應的t的取值范圍；（3）試求（2）中當t為何值時，S的值最大，并求出S的最大值；（4）隨著P，Q兩點的運動，當點M在線段DC上運動時，設PM的延長線與直線相交于點N，試探究：當t為何值時，QMN為等腰三角形？請直接寫出t的值。
思路分析：（1）利用梯形性質確定點D的坐標，利用sin∠DAB = 特殊三角函數值，得到AOD為等腰直角三角形，從而得到點A的坐標為（-4，0）；由點A、點D的坐標，利用待定系數法求出直線的解析式為 = + 4。
（2）解答本問，需要弄清動點的運動過程：①當0
（3）本問考查二次函數與一次函數在指定區間上的極值，根據（2）中求出的S表達式與取值范圍，逐一討論計算，最終確定S的最大值；
（4）QMN為等腰三角形的情形有兩種，需要分類討論，避免漏解。
解：以第二問為主（2）在點P、Q運動的過程中：
①當0
過點C作CF軸于點F，則CF=4，BF=3，由勾股定理得BC = 5。過點Q作QE軸于點E，則BE=BQ?cos∠CBF=5t ?=3t。PE=PBBE=（142t）3t=145t，S = PM?PE = ＃5t）=5t2+14t；
②當1
過點C、Q分別作軸的垂線，垂足分別為F，E，
則CQ=5t5，PE=AFAPEF=112t（5t5）=167t，
S= PM?PE= ＃7t）=7t2+16t；
③當點M與點Q相遇時，DM+CQ=CD=7，
即（2t4）+（5t5）=7，解得t = 。
當2
MQ=CDDMCQ=7（2t4）（5t5）=167t，
S=PM?MQ=祝？67t）=14t+32。
啟示二：（1）復雜的雙動點問題可以通過畫圖呈現運動全過程，隨著點的移動，與之相關的圖形肯定隨著變化，而且移動到不同的位置，我們研究圖形可能會改變。（2）特別關注一些不變的量，不變的關系或特殊關系，化動為靜，由特殊情形（特殊點、特殊位置、特殊圖形等）過渡到一般情形。要抓住圖形在動態變化中暫時靜止一瞬間，將這些點鎖定在某一個位置上，看滿足什么樣的關系，這樣問題的實質就顯示出來，從而得到解題方法。（3）認真研讀文字抓住其中的等量關系和變量關系。一個問題是有關確定圖形變量之間的關系時，通常建立函數模型求解，當確定圖形之間的特殊關系或者一些特殊值時，通常建立方程模型求解，一般涉及到全等、相似、勾股定理等知識點。
6 教學建議及對策
幾何定理就是幾何命題，還包括推論。由于幾何命題是把定義、概念聯系起來，形成完整的主體內容。因此，我們在教學過程中，要求學生掌握好幾何定理，才能知幾何的體系結構，弄清幾何定理間的內在關系。把學過的定理系統化，形成結構緊密的知識體系。這樣有助于學生牢固掌握幾何知識的結構，有助于解題思維能力和邏輯思維能力的培養。所以我們在定理教學中應從以下幾個方面進行施教。
一、定理的引入
定理的引入是定理教學過程的一重要環節，這就是我們常說的導入技能，導入的好壞對學生的創新意識和實踐能力有直接性的影響。
1.通過實踐、探索、猜想發現命題
在導入定理的教學過程中，老師要有目的地提出一些具體素材供學生研究和探討，讓學生觀察、分析、比較、歸納、畫圖等得出一些命題。例如：“三角形的內角和定理”，先讓學生任剪一個三角形。然后把每個三角形的內角和拼在一起，得到什么樣的結果？或者通過量角器把三內角量出來，它們之和是多少度？學生通過動手、動腦以及老師必要的引導、啟示。學生很快就對定理有個清楚的、明了的認識。
2.通過已經學過的定理引初新定理
例如：勾股定理是常見也是常用的定理，它能清清楚楚地把一個直角三角形的三邊關系表達出來。如果不是直角三角形而是任意三角形也可以用公式表達出來嗎？這就是我們這節課所講的內容，從而就引出了余弦定理的課題。即余弦定理。再如：由兩三角形相似引出兩三角形全等的判斷定理等。這種導入技能是學生認識定理之間的內在聯系和結構層次，從而培養學生對舊知識的鞏固和新知的認識。
二、認識定理的結構
定理是從一個或幾個以知條件得出一個新的結論的思維過程，其包括前提和結論兩部分。認清定理的結構是我們證明習題的基本出發點和最終目標。它是幫助我們分析問題的條件和結構，培養學生的邏輯思維能力。
1.分清定理的條件和結論
在中學幾何教材中，有多定理僅從表面上看，條件和結論間沒有嚴格的界線，使學生對條件和結論分不清楚，找不出條件和結論。例如：“對頂角相等，對角互補等定理含了一定前提條件，這給學生一種模糊現象。在教學過程中，老師要把定理隱含的條件挖掘出來。即：如果兩個角是對頂角，則這兩個角相等?！叭绻欢噙呅螢樗倪呅危瑒t內對角互補?！?/p>
利用圖形，把已知和求證板書給學生。①已知∠1和∠2是對頂角，求證：∠1=∠2。 ②已知ABCD是任意四邊形，求證：∠1+∠2=180?等。
2.理解定理證明的思維過程以及定理的證明與推導
定理教學的目的就是讓學生能理解證明的思維過程以及掌握證明的方法。通過例題教學，并加以總結，可培養學生分析問題和解決問題的能力。在這方面可以從以下入手。
（1）培養學生探索證明的途徑。教師通過講解一些事例的證明思維途徑過程，結合學生自己做一些證明題，把自己所證明的思維過程講給大家參考，這樣大家的證明思路大有不同，從中可得到不同的證明方法這就達到培養學生證明的創造思維能力和實踐能力。
（2）在探索證明途徑中積累經驗。在證明過程中，有些定理本身具有典型性，證明方法具有代表性，因此要經常跟學生歸納和概括，形成一些證明技能。通過分析、綜合、歸納、演繹、類比等邏輯方式，這對學生積累證明經驗和培養學生證明能力都有所幫助和提高。
3.培養學生掌握定理證明的依據
在中學幾何證明教學中，用綜合法將定理的證明表達出來，沒證明一步都少不了證明 依據，這就是我們證明思路的具體化和邏輯化。使學生掌握每得出一步它的依據是什么，這樣學生既對定理的掌握和理解，又培養發展學生的邏輯思維能力。
三、定理的鞏固和運用
（1）在教學定理過程中，不僅單讓學生理解定理，而是注重的是能夠運用定理解決問題。因為我們掌握定理的目的在于運用定理，我們要鞏固和運用定理，只有通過一些具體實例來體現。因此，在定理教學中，教師要特別注重安排好各類習題，除基本鞏固題、綜合題外，還應適當補充一些習題，如：“逆用、變用定理”?？梢耘囵B學生活用定理和逆用定理的能力，從而提高學生 運用定理的目的性和學習的主動性、積極性，同時有可以對學生靈活運用知識，發展學生的邏輯思維能力。
（2）由于中學幾何中的許多定理彼此間聯系緊密，但在幾何課本中不一定一一相繼出現，甚至相距甚遠。所以老師在教學完成定理后，應該注重及時揭示這些定理之間的內在聯系。使得學生知識系統化，形成幾何命題體系。例如：學習了幾何中的相交弦定理，切割線定理、切線長定理等。
