時間：2022-04-03 01:20:36
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇函數教案，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
②應用對數函數的性質可以解決：對數的大小比較，求復
合函數的定義域、值域及單調性。
③注重函數思想、等價轉化、分類討論等思想的滲透,提高
解題能力。
教學重點與難點：對數函數的性質的應用。
教學過程設計：
⒈復習提問：對數函數的概念及性質。
⒉開始正課
1比較數的大小
例1比較下列各組數的大小。
⑴loga5.1,loga5.9(a>0,a≠1)
⑵log0.50.6,logЛ0.5,lnЛ
師：請同學們觀察一下⑴中這兩個對數有何特征？
生：這兩個對數底相等。
師：那么對于兩個底相等的對數如何比大小？
生：可構造一個以a為底的對數函數，用對數函數的單調性比大小。
師：對，請敘述一下這道題的解題過程。
生：對數函數的單調性取決于底的大小：當0<a<1時，函數y=logax單
調遞減，所以loga5.1>loga5.9；當a>1時，函數y=logax單調遞
增，所以loga5.1<loga5.9。
板書：
解：Ⅰ）當0<a<1時，函數y=logax在（0，+∞）上是減函數，
5.1<5.9loga5.1>loga5.9
Ⅱ）當a>1時，函數y=logax在（0，+∞）上是增函數，
5.1<5.9loga5.1<loga5.9
師：請同學們觀察一下⑵中這三個對數有何特征？
生：這三個對數底、真數都不相等。
師：那么對于這三個對數如何比大小？
生：找“中間量”，log0.50.6>0，lnЛ>0，logЛ0.5<0；lnЛ>1，
log0.50.6<1，所以logЛ0.5<log0.50.6<lnЛ。
板書：略。
師：比較對數值的大小常用方法：①構造對數函數，直接利用對數函
數的單調性比大小，②借用“中間量”間接比大小，③利用對數
函數圖象的位置關系來比大小。
2函數的定義域,值域及單調性。
例2⑴求函數y=的定義域。
⑵解不等式log0.2(x2+2x-3)>log0.2(3x+3)
師：如何來求⑴中函數的定義域？（提示：求函數的定義域，就是要
使函數有意義。若函數中含有分母，分母不為零；有偶次根式，
被開方式大于或等于零；若函數中有對數的形式，則真數大于
零，如果函數中同時出現以上幾種情況，就要全部考慮進去，求
它們共同作用的結果。）
生：分母2x-1≠0且偶次根式的被開方式log0.8x-1≥0，且真數x>0。
板書：
解：2x-1≠0x≠0.5
log0.8x-1≥0，x≤0.8
x>0x>0
x(0,0.5)∪(0.5,0.8〕
師：接下來我們一起來解這個不等式。
分析：要解這個不等式,首先要使這個不等式有意義，即真數大于零，
再根據對數函數的單調性求解。
師：請你寫一下這道題的解題過程。
生：<板書>
解：x2+2x-3>0x<-3或x>1
(3x+3)>0,x>-1
x2+2x-3<(3x+3)-2<x<3
不等式的解為：1<x<3
例3求下列函數的值域和單調區間。
⑴y=log0.5(x-x2)
⑵y=loga(x2+2x-3)(a>0,a≠1)
師：求例3中函數的的值域和單調區間要用及復合函數的思想方法。
下面請同學們來解⑴。
生：此函數可看作是由y=log0.5u,u=x-x2復合而成。
板書：
解：⑴u=x-x2>0,0<x<1
u=x-x2=-(x-0.5)2+0.25,0<u≤0.25
y=log0.5u≥log0.50.25=2
y≥2
xx(0,0.5]x[0.5,1)
u=x-x2
y=log0.5u
y=log0.5(x-x2)
函數y=log0.5(x-x2)的單調遞減區間(0,0.5]，單調遞增區間[0.5,1)
注：研究任何函數的性質時，都應該首先保證這個函數有意義，否則
函數都不存在，性質就無從談起。
師：在⑴的基礎上，我們一起來解⑵。請同學們觀察一下⑴與⑵有什
么區別？
生：⑴的底數是常值，⑵的底數是字母。
師：那么⑵如何來解？
生：只要對a進行分類討論，做法與⑴類似。
板書：略。
⒊小結
這堂課主要講解如何應用對數函數的性質解決一些問題，希望能
通過這堂課使同學們對等價轉化、分類討論等思想加以應用，提高解題能力。
⒋作業
⑴解不等式
①lg(x2-3x-4)≥lg(2x+10);②loga(x2-x)≥loga(x+1),(a為常數)
⑵已知函數y=loga(x2-2x)，(a>0,a≠1)
①求它的單調區間；②當0<a<1時，分別在各單調區間上求它的反函數。
⑶已知函數y=loga(a>0,b>0,且a≠1)
①求它的定義域；②討論它的奇偶性;③討論它的單調性。
⑷已知函數y=loga(ax-1)(a>0,a≠1),
①求它的定義域；②當x為何值時，函數值大于1；③討論它的
單調性。
5.課堂教學設計說明
2.若集合A中有m個元素，集合B中有n個元素，則從A到B可建立nm個映射
3.函數定義：函數就是定義在非空數集A，B上的映射，此時稱數集A為定義域，象集C={f(x)|x∈A}為值域。定義域，對應法則，值域構成了函數的三要素
4.相同函數的判斷方法：①定義域、值域;②對應法則(兩點必須同時具備)
5.求函數的定義域常涉及到的依據為①分母不為0;②偶次根式中被開方數不小于0;③對數的真數大于0，底數大于零且不等于1;④零指數冪的底數不等于零;⑤實際問題要考慮實際意義⑥注意同一表達式中的兩變量的取值范圍是否相互影響
6.函數解析式的求法：
①定義法(拼湊)：②換元法：③待定系數法④賦值法7.函數值域的求法：
①換元配方法。如果一個函數是二次函數或者經過換元可以寫成二次函數的形式，那么將這個函數的右邊配方，通過自變量的范圍可以求出該函數的值域。②判別式法。一個二次分式函數在自變量沒有限制時就可以用判別式法去值域。其方法是將等式兩邊同乘以dx2+ex+f移項整理成一個x的一元二次方程，方程有實數解則判別式大于等于零，得到一個關于y的不等式，解出y的范圍就是函數的值域。
③單調性法。如果函數在給出的定義域區間上是嚴格單調的，那么就可以利用端點的函數值來求出值域
8.函數單調性的證明方法:
第一步：設x1、x2是給定區間內的兩個任意的值，且x1
第二步：作差¦(x1)-&brVBar;(x2)，并對“差式”變形，主要采用的方法是“因式分解”或“配方法”;
第三步：判斷差式¦(x1)-&brVBar;(x2)的正負號，從而證得其增減性
9、函數圖像變換知識
①平移變換：
形如：y=f(x+a)：把函數y=f(x)的圖象沿x軸方向向左或向右平移
|a|個單位，就得到y=f(x+a)的圖象。
形如：y=f(x)+a：把函數y=f(x)的圖象沿y軸方向向上或向下平移|a|個單位，就得到y=f(x)+a的圖象
②.對稱變換y=f(x)y=f(-x),關于y軸對稱
y=f(x)y=-f(x),關于x軸對稱
③.翻折變換
y=f(x)y=f|x|,(左折變換)
把y軸右邊的圖象保留，然后將y軸右邊部分關于y軸對稱
y=f(x)y=|f(x)|(上折變換)
把x軸上方的圖象保留，x軸下方的圖象關于x軸對稱
10.互為反函數的定義域與值域的關系：原函數的定義域和值域分別是反函數的值域及定義域;
11.求反函數的步驟：①求反函數的定義域(即y=f(x)的值域)②將x,y互換，得y=f–1(x);③將y=f(x)看成關于x的方程，解出x=f–1(y)，若有兩解，要注意解的選擇;。
12.互為反函數的圖象間的關系：關于直線y=x對稱;
13.原函數與反函數的圖象交點可在直線y=x上，也可是關于直線y=x對稱的兩點
14.原函數與反函數具有相同的單調性
15、在定義域上單調的函數才具有反函數;反之，并不成立(如y=1/x)
16.復合函數的定義域求法：
①已知y=f(x)的定義域為A，求y=f[g(x)]的定義域時，可令g(x)ÎA，求得x的取值范圍即可。
②已知y=f[g(x)]的定義域為A，求y=f(x)的定義域時，可令xÎA，求得g(x)的函數值范圍即可。
17.復合函數y=f[g(x)]的值域求法：
首先根據定義域求出u=g(x)的取值范圍A，
在uÎA的情況下,求出y=f(u)的值域即可。
18.復合函數內層函數與外層函數在定義域內單調性相同，則函數是增函數;單調性不同則函數是減函數。增增、減減為增;增減、減增才減
①f(x)與f(x)+c(c為常數)具有相同的單調性
②f(x)與c·f(x)當c>0是單調性相同，當c<0時具有相反的單調性
③當f(x)恒不為0時，f(x)與1/f(x)具有相反的單調性
④當f(x)恒為非負時，f(x)與具有相同的單調性
⑤當f(x)、g(x)都是增(減)函數時，f(x)+g(x)也是增(減)函數
設f(x)，g(x)都是增(減)函數，則f(x)·g(x)當f(x)，g(x)兩者都恒大于0時也是增(減)函數，當兩者都恒小于0時是減(增)函數
19.二次函數求最值問題：根據拋物線的對稱軸與區間關系進行分析，
Ⅰ、若頂點的橫坐標在給定的區間上，則
a>0時：在頂點處取得最小值，最大值在距離對稱軸較遠的端點處取得;
a<0時：在頂點處取得最大值，最小值在距離對稱軸較遠的端點處取得;
Ⅱ、若頂點的橫坐標不在給定的區間上，則
a>0時：最小值在離對稱軸近的端點處取得，最大值在離對稱軸遠的端點處取得;
a<0時：最大值在離對稱軸近的端點處取得，最小值在離對稱軸遠的端點處取得
20.一元二次方程實根分布問題解法：
①將方程的根視為開口向上的二次函數的圖像與x軸交點的橫坐標
②從判別式、對稱軸、區間端點函數值三方面分析限制條件
21.分式函數y=(ax+b)/(cx+d)的圖像畫法：
①確定定義域漸近線x=-d/c②確定值域漸近線y=a/c③根據y軸上的交點坐標確定曲線所在象限位置。
22.指數式運算法則23.對數式運算法則：
24.指數函數的圖像與底數關系：
在第一象限內，底數越大，圖像(逆時針方向)越靠近y軸。
25.對數函數的圖像與底數關系：
在第一象限內，底數越大，圖像(順時針方向)越靠近x軸。
26.比較兩個指數或對數的大小的基本方法是構造相應的指數或對數函數，若底數不相同時轉化為同底數的指數或對數，還要注意與1比較或與0比較
27.抽象函數的性質所對應的一些具體特殊函數模型：
①f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)Þ正比例函數f(x)=kx(k¹0)
②f(x1+x2)=f(x1)·f(x2);f(x1-x2)=f(x1)÷f(x2)Þy=ax;
③f(x1•x2)=f(x1)+f(x2);f(x1/x2)=f(x1)-f(x2)Þy=logax
28.如果f(a+x)=f(b-x)成立，則y=f(x)圖像關于x=(a+b)/2對稱;
特別是，f(x)=f(-x)成立，則y=f(x)圖像關于y軸對稱
29.a>f(x)恒成立Ûa>f(x)的最大值
a
冪函數是繼指數函數和對數函數后研究的又一基本函數。通過本節課的學習，學生將建立冪函數這一函數模型，并能用系統的眼光看待以前已經接觸的函數，進一步確立利用函數的定義域、值域、奇偶性、單調性研究一個函數的意識，因而本節課更是一個對學生研究函數的方法和能力的綜合檢測。
二．學情分析
學生通過對指數函數和對數函數的學習，已經初步掌握了如何去研究一類函數的方法，即由幾個特殊的函數的圖象，歸納出此類函數的一般的性質這一方法，為學習本節課打下了基礎。
三．教學目標
1．知識目標
（1）通過實例，了解冪函數的概念；
（2）會畫簡單冪函數的圖象，并能根據圖象得出這些函數的性質；
（3）了解冪函數隨冪指數改變的性質變化情況。
2．能力目標
在探究冪函數性質的活動中，培養學生觀察和歸納能力，培養學生數形結合的意識和思想。
3．情感目標
通過師生、生生彼此之間的討論、互動，培養學生合作、交流、探究的意識品質，同時讓學生在探索、解決問題過程中，獲得學習的成就感。
四．教學重點常見的冪函數的圖象和性質。
五．教學難點畫冪函數的圖象引導學生概括出冪函數性質。
六．教學用具多媒體
七．教學過程
（一）創設情境（多媒體投影）
問題一：下列問題中的函數各有什么特征？
（1）如果張紅購買了每千克1元的蔬菜w（kg），那么她應支付p＝w元．這里p是w的函數．（2）如果正方形的邊長為a，那么正方形的面積為S＝a2．這里S是a的函數．（3）如果立方體的邊長為a，那么立方體的體積為V＝a3．這里V是a的函數．（4）如果一個正方形場地的面積為S，那么這個正方形的邊長為a＝．這里a是S的函數．（5）如果某人t（s）內騎車行進了1km，那么他騎車的平均速度為v＝t-1（km／s）．這里v是t的函數．由學生討論、總結，即可得出：p＝w，s＝a2，a＝，v＝t-1都是自變量的若干次冪的形式．
問題二：這五個函數關系式從結構上看有什么共同的特點嗎？
這時，學生觀察可能有些困難，老師提示，可以用x表示自變量，用y表示函數值，上述函數式變成：y＝xa的函數，其中x是自變量，a是實常數．由此揭示課題：今天這節課，我們就來研究：§2.3冪函數
（二）、建立模型
定義：一般地，函數y＝xa叫作冪函數，其中x是自變量，a是實常數。（投影冪函問題二：數的定義。）
深化認知（1）下列函數是冪函數的是：
A．y=2x+1B．y=3x2C．y=x-3D．y=1
（2）冪函數與指數函數有什么聯系和區別？
學生回答，老師點評。
引導：有了冪函數的概念后，我們接下來做什么？―――研究冪函數的性質。
通過什么方式來研究？――――――畫函數的圖象。
為使作圖高效，我們可先做點什么―――分析函數的定義域、奇偶性。
（三）問題探究1.對于冪函數y＝xa，討論當a＝1，2，3，，－1時的函數性質．填表
以上問題給學生留出充分時間去探究，教師引導學生從函數解析式出發來研究函數性質．2.在同一坐標系中，畫出y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x-1的圖像，并歸納出它們具有的共同性質．
學生回答，老師點評：冪函數的性質．
（1）函數y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x-1的圖像都過點（1，1）；（2）函數y＝x，，y＝x3，y＝x-1是奇函數，函數y＝x2是偶函數;（3在（0，＋∞）上,函數y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝是增函數，函數y＝x-1是減函數；（4）在第一象限內，函數y＝x-1圖像向上與y軸無限接近；向右與x軸無限接近。
（四）解釋應用
例1．寫出下列函數的定義域，并指出奇偶性：（投影）
①y=x②y=x③y=x④y=x
學生解答，并歸納解決辦法。引導學生與指數函數、對數函數對照比較。（演示）
例2．比較下列各組中兩個值的大小，并說明理由：
①0.75，0.76；②(-0.95)，(-0.96)；
③0.23，0.24；④0.31，0.31
學生思考、作答，教師引導學生敘述語言的邏輯性。注意：由于學生對冪函數還不是很熟悉，所以在講評中要刻意體現出冪函數圖像的畫法，即再一次讓學生體會根據解析式來畫圖像例題這一基本思路．
（五）拓展延伸
探究：①已知(a+1)<(3-2a),試求a的取值范圍。
②觀察冪函數的定義域對其奇偶性有什么影響？
（六）歸納小結
今天的學習內容和方法有哪些？你有哪些收獲和經驗？
（七）布置作業：
課本第87頁2、3題
思考：冪函數y=(m-3m-3)x在區間上是減函數，求m的值。
附：板書設計
課題…………
問題一
（1）……………….
（2）………………
（3）……………….
（4）………………
（5）……………….
問題二：
………………………
……………………….
定義：…………
…………………
填表
冪函數的性質．
（1）………………
（2）………………
（3）………………
（4）………………
例1……………
①y=x②y=x③y=x④y=x
例2．
（1）………………
（2）………………
（3）………………
（4）………………
拓展延伸……………
布置作業…………….
教學后記
（1）本節課開始時要注意用相關熟悉例子引入新課。
（2）畫函數圖象時，如果學生已能夠運用計算器或相關計算機軟件作圖，可以讓學生自己操作，以提高學生探索問題的興趣和能力，并提高教學效率。
(一)知道函數圖象的意義；
(二)能畫出簡單函數的圖象，會列表、描點、連線；
(三)能從圖像上由自變量的值求出對應的函數的近似值.
教學重點和難點
重點：認識函數圖象的意義，會對簡單的函數列表、描點、連線畫出函數圖象.
難點：對已知圖象能讀圖、識圖，從圖象解釋函數變化關系.
教學過程設計
(一)復習
1.什么叫函數?
2.什么叫平面直角坐標系?
3.在坐標平面內，什么叫點的橫坐標?什么叫點的縱坐標?
4.如果點A的橫坐標為3，縱坐標為5，請用記號表示點A(答：A(3，5)).
5.請在坐標平面內畫出A點.
6.如果已知一個點的坐標，可在坐標平面內畫出幾個點?反過來，如果坐標平面內的一個點確定，這個點的坐標有幾個?這樣的點和坐標的對應關系，叫做什么對應?(答：叫做坐標平面內的點與有序數對一一對應)
(二)新課
我們在前幾節課已經知道，函數關系可以用解析式表示.像y=2x+1就表示以x為自變量時，y是x的函數.
這個函數關系中，y與x的對應關系，我們還可以用在坐標平面內畫出圖象的方法表示.
具體做法是
第一步：列表.(寫出自變量x與函數值的對應表)先確定x的若干個值，然后填入相應的y值.
(這種用表格表示函數關系的方法叫做列表法)
第二步：描點，對于表中的每一組對應值，以x值作為點的橫坐標，以對應的y值作為點的縱坐標，便可畫出一個點.也就是由表中給出的有序實數時，在直角坐標中描出相應的點.
第三步：連線，按照橫坐標由小到大的順序把相鄰兩點用線段連結起來，得到的圖形就是函數式y=2x+1圖象.
例1在同一直角坐標系中畫出下列函數式的圖像：
(1)y=-3x;(2)y=-3x+2;(3)y=-3x-3.
分析：按照列表、描點、連線三步操作.
解：
它們的圖象分別是圖13-25中的(1)，(2)，(3).
例2某化我廠1月到12日生產某種產品的統計資料如下：
(1)在直角坐標系中以月份數作為點的橫坐標，以該月的產值作為點的縱坐標畫出對應的點.把12個點畫在同一直角坐標系中.
(2)按照月份由小到大的順序，把每兩個點用線段連接起來.
(3)解讀圖像：從圖說出幾月到幾月產量是上升的、下降的或不升不降的.
(4)如果從3月到6月的產量是持逐平穩增長的，請在圖上查詢4月15日的產量大約是多少噸?
解：(1)，(2)見圖13-26.
(3)產量上升：1月到2月；3月，4月，5月，6月逐月上升；10月，11月，12月逐月上升.產量下降：8月到9月，9月到10月.產量不升不降：2月到3月；6月到7月，7月到8月.
(4)過x軸上的4.5處作y軸的平行線，與圖象交于點A，則點A的縱坐標約4.5，所以4月15日的產量約為4.5噸.
(三)課堂練習
已知函數式y=-2x.用列表(x取-2，-1，0，1，2)，描點，連線的程序，畫出它的圖象.
(四)小結
到現在，我們已經學過了表示函數關系的方法有三種：
1.解析式法——用數學式子表示函數關系.
2.列表法——通過列表給出函數y與自變量x的對應關系.
3.圖象法——把自變量x作為點的橫坐標，對應的函數值y作為點的縱坐標，在直角坐標系描出對應的點.所有這些點的集合，叫做這個函數的圖像.用圖象來表示函數y與自變量x對應關系.
這三種表示函數的方法各有優缺點.
1.用解析法表示函數關系
優點：簡間明了.能從解析式清楚看到兩個變量之間的全部相依關系，并且適合于進行理論分析和推導計算.
缺點：在求對應值時，有進要做較復雜的計算.
2.用列表法表示函數關系
優點：對于表中自變量的每一個值，可以不通過計算，直接把函數值找到，查詢時很方便.
缺點：表中不能把所有的自變量與函數對應值全部列出，而且從表中看不出變量間的對應規律.
3.用圖象法表示函數關系
優點：形象直觀.可以形象地反映出函數關系變化的趨勢和某些性質，把抽象的函數概念形象化.
缺點：從自變量的值常常難以找到對應的函數的準確值.
函數的三種基本表示方法，各有各的優點和缺點.因此，要根據不同問題與需要，靈活地采用不同的方法.在數學或其他科學研究與應用上，有時把這三種方法結合起來使用，即由已知的函數解析式，列出自變量與對應的函數值的表格，再畫出它的圖像.
(五)作業
1.在圖13-27中，不能表示函數關系的圖形有().
(A)(a),(b),(c)(B)(b),(c),(d)(C)(b),(c)(e)(D)(b),(d),(e)
2.函數的圖象是圖13-28中的().
3.矩形的周長是12cm，設矩形的寬為x(cm),面積為y(cm2).
(1)以x為自變量，y為x的函數，寫出函數關系式，并在關系式后面注明x的取值范圍；
(2)列表、描點、連線畫出此函數的圖象.
4.(1)畫出函數y=-x+2的圖象(在-4與4之間，每隔1取一個x值，列表；并在直角坐標系中描點畫圖)；
(2)判斷下列各有序實數地是不是函數.y=-x+2的自變量x與函數y的一對對應值，如果是，檢驗一下具有相慶坐標的點是否在你所畫的函數圖像上：
5.畫出下列函數的圖象：
(1)y=4x-1;(2)y=4x+1.
6.圖13-29是北京春季某一天的氣溫隨時間變化的圖象.根據圖象回答，在這一天：
(1)8時，12時，20時的氣溫各是多少；
(2)最高氣溫與最低氣溫各是多少；
(3)什么時間氣溫高，什么時間氣溫最低.
7.畫出函數y=x2的圖象(先填下表，再描點，然后用平滑曲線順次連結各點)；
8.畫出函數的圖象(先填下表，再描點，然后用平滑曲線順序連結各點)：
作業的答案或提示
1.選(C).因為對應于x的一個值的y值不是唯一的.
2.選(D).當x＜0時，｜x｜=-x,所以,當x＞0時，｜x｜=x,所以
3.
(1)y=x(6-x)其中0＜x＜6，(圖13-30).
(2)
4.
5.
見圖13-32.
6.(1)8時約5℃，12時約11℃，20時約10℃.
(2)最高氣溫為12℃，最低氣溫為2℃.
(2)(2)14時氣溫最高，4時氣溫最低.
7.
課堂教學設計說明
1.在建立平面直角坐標系后，點的坐標(有序實數對)與坐標平面內的點一一對應；不同的坐標與不同的點一一對應；函數關系與動點軌跡一一對應.把抽象的數量關系與形象直觀的圖形聯系起來，通過解讀圖象，了解抽象的數量關系，這種“數形結合”，是數學中的一種重要的思想方法.
2.本課的目標是使學生會畫函圖象，并會解讀圖象，即會從圖象了解到抽象的數量關系.為此，先在復習舊課時，著重提問會標平面上的點與有序實數對一一對應.接著在新課開始時介紹了畫函數圖象的三個步驟.
3.教學設計中的例3，即訓練學生從已有數據畫圖象，又訓練學生逆向思維、解讀圖象、在圖象上估計某日產量的能力.對函數圖象功能有一個完整的認識.
4.在小結中，介紹了函數關系的三種不示方法，并說明它們各自的優缺點.有利于對函數概念的透徹理解.
5.作業中的第1～3題，對訓練函數概念及函數圖象很有幫助.
第1題，目的要說明，對于x的一個值，必須是唯一的值與之對應.而(b),(c),(e)都是對于x一個值，y有不止一個值與之對應，所以y不是x的函數.本題還訓練解讀形的能力.
第2題，訓練學生分類討論的數學思想，在去掉絕對值符號對，必須分x≥0與x＜0討論.
1、結合二次函數的圖象，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數，從而了解函數的零點與方程根的關系；
2、根據具體函數的圖象，能夠借助計算器或計算機用二分法求相應方程的近似解，了解這種方法是求方程近似解的常用方法。
教學重點：函數的零點的概念及求法；能夠借助計算器或計算機用二分法求相應方程的近似解。
教學難點：利用函數的零點作簡圖；對二分法的理解。
課時安排：3課時
教學過程：
一、引入課題
1、思考：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）的根與二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象有什么關系？
2、指出：
（1）方程x2-2x-3=0的根與函數y=x2-2x-3的圖象之間的關系；
（2）方程x2-2x+1=0的根與函數y=x2-2x+1的圖象之間的關系；
（3）方程x2-2x+3=0的根與函數y=x2-2x+3的圖象之間的關系.
二、新課教解
1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）的根與二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象有如下關系：
判別式
=b2-4ac
>0
=0
<0
二次函y=ax2+bx+c
的圖象
x
y
x1
x2
x
y
x1=x2
y
x
與x軸有兩個交點（x1,0）,(x2,0)
與x軸有唯一的交點（x1,0）
與x軸沒有交點
一元一次方程
ax2+bx+c=0
的根
有兩個不等的
實數根x1，x2
x1<x2
有兩個相等實數
根x1=x2
沒有實數根
2、函數零點的概念
對于函數y=f(x),我們把使f(x)=0的實數x叫做函數y=f(x)的零點(zeropoint).
方程f(x)=0有實數根函數y=f(x)的圖象與x軸有交點函數y=f(x)有零點
3、連續函數在某個區間上存在零點的判別方法：
如果函數y=f(x)在區間[a,b]上的圖象是連續不斷一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函數y=f(x)在區間(a,b)內有零點.即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，這個c也就是方程f(x)=0的根.
例1求函數f(x)=lnx+2x-6的零點個數.
練習：P103第1、2題．
思考：怎樣求解方程lnx+2x-6=0？
4、二分法
對于在區間[a,b]上連續不斷、且f(a)·f(b)<0的函數y=f(x)，通過不斷把函數f(x)的零點所在區間一分為二，使區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫二分法。
步驟：1、確定區間[a,b]，驗證f(a)·f(b)<0，給定精確度ε
2、求區間(a,b)的中點x1
3、計算f(x1);
(1)若f(x1)=0,則x1就是函數的零點
(2)若f(a)·f(x1)<0,則令b=x1(此時零點x0∈(a,x1))
(3)若f(b)·f(x1)<0,則令a=x1(此時零點x0∈(x1,b))
4、判斷是否達到精確度ε，即若|a-b|<ε,則得到零點的近似值a(或b)；否則得復2～4。
例2、借助電子計算器或計算機用二分法求方程
的近似解（精確到0.1）。
練習：P106第1、2題．
三、歸納小結，強化思想
本節主要學習了函數的零點的概念及求法；借助計算器或
計算機用二分法求相應方程的近似解。
四、作業布置
《贏在45分鐘》教輔書給出，判斷一個函數為對數函數的條件是：（1）對數符號前的系數為1 （2）底數為大于0且不等于1的常數 （3）真數為單個自變量。并且舉例說函數 不是對函數。因為 的前面的系數是2，而不是1。
志鴻系列從書《高中優秀教案》（必修1）中舉例：
像 等函數，它們是由對數函數變化而得到的，都不是對數函數。即該書也不認為 是對數函數。
那么， 真不是對數函數嗎？
我認為 是對數函數。理由如下：
一、對數函數是指數函數的反函數
《贏在45分鐘》和《高中優秀教案》均承認 這樣的函數為指數函數。由 。所以 的反函數為 。人教A版必修1《數學》教材中已明確指出對數函數 和指數函數 互為反函數。既然承認 為指數函數，為什么又不承認 是對數函數呢？
況且 和 （a>0且a≠1）分別可化為 和 完全符合條件：（1）系數為1，（2）底數為大于0且不等于1的常數，（3）真數為單個自變量。沒有理由不承認它們是對數函數。《贏在45分鐘》和《高中優秀教案》不承認 是對數函數，就不應該承認 是指數函數。他們這不是自己搬石頭砸自己的腳嗎？
二、"滿足 的函數是對數函數
筆者在文《對指數函數中兩處流行錯誤的辨析》中，補充了指數函數的另一個定義：指數函數是指定義于 ，滿足條件 的連續函數（高希堯編《數學術語詳解詞典》）。文認為 滿足上述條件但不是指數函數。將定義更改為：指數函數就是定義于 ，滿足條件 的單調函數。
仿文筆者試給出對數函數的第二定義：對數函數就是定義于 ，滿足條件 的單調函數。以 為例說明
不是對數函數。
而 2
是對數函數。
三、不光看"形似"，更要看"神似"
形如 （a>0且a≠1）的函數叫對數函數。這里的條件：（1）系數為1，（2）底數為大于0且不等于1的常數，（3）真數為單個自變量x。這只是對數函數的"貌"而非對數函數的"神"。即只要轉化后具備（1）、（2）、（3）三個條件就是對數函數。
（a>0且a≠1）
= （已形似）
是對數函數。
羅增儒教授認為根據指數函數的定義，只要定義域為全體實數，對應關系能表達為指數形式 的函數就是指數函數。顯然羅教授采用的也是轉化后形似的方法，也就是不只看"形似"更要看"神似"。
仿羅教授的這段話，我們可得到：只要定義域為 ，對應關系能表達為對數形式 的函數就是對數函數。所以，我們在判斷一個函數是否為對數函數時千萬別再以"貌"取"人"！
以上三點均可說明 是對數函數。
參考文獻：
1.朱勇.一個定義的瑕疵.中學數學教學，2009，5(28)
一、學案與教案相結合
教師教學要在一定的學案、教案指導下才能夠把握好教學的方向，也才能夠針對學生的實際情況進行備課、布置作業，同時對自己的教學也才能及時做出更新和完善。針對學案設計來說，顧名思義要關注到學生的自主研究、自主發展、合作探究等問題上，制定一個具有實際意義的學習方案。例如蘇教版高中數學必修一“集合的含義及其表示”這個內容，教師便可以要求學生先自主去預習這一節的內容，在預習好的情況下嘗試做教材中的例題，從例題中學習課題內容。在課堂上，教師講解“集合的含義”時則要求學生說出自己在預習中所了解到的“集合的含義”是什么，學生在表述過程中就是一種對自己學習的回顧，也會一種對自我學習的檢驗過程。教師根據學生的表述也要及時糾正錯誤或者進行知識強化，還可以針對某些學生陳述的內容來要求小組學生進行討論，完善學生自主學習的內容，促進學生在課堂上繼續強化自己的學習，課后繼續進行相關課題的反思和深化探究。這一套過程就是對學生進行學習所制定的學習方案的實施應用，并且在應用過程中不斷改進學案。而針對教案而言，教師如何進行教學、如何在教學中提高效率、如何改善學生的學習方法和習慣……這些都是教師進行教學方案設計所應該涉及的內容。例如在學習“指數函數、對數函數和冪函數”時，教師就可以考慮如何讓學生在課堂上集中注意力進行函數的學習；或者根據學生的接受能力情況，教師還可以考慮是否應該再次回顧初中階段的函數學習，為指數函數、對數函數和冪函數的學習做好鋪墊；又或者在課堂上，是否可以進行小組交流的方式來強化學生對知識的理解和探究……這些問題就是教師教學方案中所該呈現的內容，所以學案與教案相結合才能促進整個教學活動的順利進行，學生才能樹立良好的學習態度，教師才能掌握好有效的教學技能。
二、合理安排學習過程和教學過程
學生的學習和教師的教學是相互影響和相互聯系的，因此學生的學習過程和教師的教學過程中也應該是相互契合的。對于學生的學習過程來說，除了有教師的引導性作用影響外，還應該有自身的自覺性控制和自主性探討來進行安排計劃。例如蘇教版高中數學必修二，關于“統計”的學習，首先教師進行學生學習的安排就應該涉及到課前預習、課堂練習、課后探究三個部分，這是教師引導性作用在學生學習安排中的體現。而學生自覺性和自主性的發揮也要從這三個部分去體現，比如“統計”這節包含的抽樣方法、總體分布的估計、總體特征的估計、線性回歸方程這些內容都應該在學生剛開始接觸“統計”這個章節時就必須了解的內容，并且建立這些內容之間的聯系。在課堂上針對自己存在的疑問進行提問，課后再次加深自己對問題的思考和探索。這是學生學習過程的具體內容。對于教師教學而言，教師也要通過課前任務布置、課堂教學手段設置、課后活動計劃安排等環節的考慮來完善教學。例如在學習“概率”這一章時，教師也要結合概率章節中關于隨機事件及其概率、古典概型、幾何概型、互斥事件等內容來讓學生在課前進行全面了解，概括其中的規律和不同，并且在課堂上以提問的形式來考察學生是否對知識點進行掌握，同時在課后教師還可以組織學生進行相關的實際事件的概率探究，加強學生的實踐性操作。這些內容就就教師教學過程的具體內容。
三、能動性的提升
能動性是“雙動兩案”教學模式順利實施最根本的因素，不管是教師還是學生，能動性都直接影響著教學的發展，教師在能動性的驅使下才能進一步地完善教學質量，學生在能動性的驅使下才能提高自己的學習水平。例如蘇教版高中數學必修四教材中的“解三角形”這一章節，教師的能動性發揮可以體現在如何向學生解釋正弦、余弦的定理使得他們更加容易理解，如何把正切定理和正弦、余弦定理進行比較使得學生能夠體會到解三角形過程中避免定理公式的記憶錯誤，或者怎樣啟發學生去思考關于余切這個教材未涉及到的概念從而開發學生的思維……同樣學生在能動性的發揮中，也要在學習中、生活中體現出來，比如針對某個數學問題加強自己在生活中的觀察，對課堂上的疑問做好標記找同學和老師詢問，對于一類數學問題尋找其他各種解決方法從而拓展自己的數學思維……這便是學生在能動性發揮方面的體現。所以教師和學生是教學過程的主要兩種角色，能動性的提升必須在教師和學生兩者身上同時體現出來才有可能實現“雙動兩案”教學模式下的教學質量的提升。
總體而言，“雙動兩案”教學模式是一種教師與學生共同促進、共同提升的過程。學生學習和教師教學必須相互結合和相互關聯，使得配套的學案與教案能夠適應教師和學生的實際發展。只有在這樣的情況下，教師才有可能對自己的教學不斷進行改善和創新，學生也才會積極主動去反思和端正自己的學習態度，整個教學系統才會進行良性循環。
作者:宋扣生 單位:江蘇省鹽城市第一中學
摘要：隨著教學案的普遍推廣，課本的使用越來越少，本文就其中存在的諸多問題給出深刻剖析，并就如何有效地將教學案及課本有機地結合起來，給出了合理的建議及范例。
關鍵詞：教科書;教學案;教材體系;教師專業成長
中圖分類號：G427文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2014）24-083-1
教學案是一種融教師的教案、學生的學案、分層次的評價練習為一體的師生共用的探究活動的載體，其核心就是從學生的基礎出發，在教師占有大量資料的前提下，把學生所要掌握的知識精心設計成問題的形式來進行導學、導練、導結。教師可以利用教學案引導學生獨立看書、自學、思考和探究，使學生通過課前自學對教材首先有一個初步的了解，發現自己對教材的理解存在的問題，完成第一次教學;然后在課堂上討論交流、合作探究、分析問題，完成第二次教學;最后是當堂進行達標測試，及時得到反饋，解決問題，完成第三次教學。這種設計，為學生自主學習、合作學習、探究學習提供了條件和明確的學習目標。通過教學案的使用，既能轉變教師的教學理念，提高教師的整體素質和業務水平，又能轉變學生的學習方式，讓學生學會并自覺地在已有的經驗基礎上建構自己的知識框架和理論體系，使每個學生的思考深度得到拓展。
但隨著教學案的普遍推廣，課本的使用越來越少了，很多學生哪怕用課本也只是把課本上的概念往教學案上謄寫一下就結束了，絕大部分學生的課本到高三畢業時都是嶄新的，筆者在與教師、學生的交流以及教學實踐中漸漸產生了擔憂：在廣泛使用以課本為藍本編制的教學案的課堂中，是不是就可以不要課本了呢？如何正確使用教學案呢？
一、必須熟悉教材體系
只用教學案最嚴重的后果是學生對課本不熟悉，對課本的體系不了解。很多學生沒有系統地看過課本，對教材的內容沒有一個整體上的把握。而高中數學的很多內容是密切聯系的，如：“函數”是個重要的核心概念，學生學習函數的知識經歷四個階段，第一個階段是在初中，學生接受了初步的函數知識，掌握了一些簡單函數的表示、性質、圖象。必修1第二章和第三章的學習是第二個階段，這是系統學習函數知識的階段，也是培養學生應用函數知識解決問題意識的開始。必修1在學習函數概念后學習函數的性質（單調性和奇偶性），進而學習具體的函數：指數函數、對數函數和冪函數，而研究這幾個具體函數的性質主要是通過它們的圖象來研究的，其中性質主要是指函數的定義域、值域、單調性和奇偶性。通過對這三個具體函數的研究，學生對抽象的函數概念的理解會進一步加深。第三個階段是必修4、必修5的學習。必修4三角函數將角的概念推廣到任意角后，我們就可以把三角函數看成是以實數為自變量的函數，這樣就可以把三角函數納入到一般函數的范疇，這部分內容的學習主要還是研究三角函數的圖象與性質，這可以看成是必修1函數知識的一個應用。必修5中的數列雖自成體系，但它也可以看成是定義在正整數集上的函數。這樣函數的概念的外延在不斷地拓展，學生對函數概念的理解也更有深度。第四個階段是選修課程中的導數及其應用、概率、參數方程等。導數可以看成是為了研究更為復雜的函數的性質而采用的更為先進的研究工具，其本質依然是函數，參數方程則給出了函數的另一種表示方式。可見，整套高中教材以函數作為主線貫穿其中。如果學生沒有系統地看書，沒有悟出這些概念之間的聯系，他掌握的知識可能是支離破碎的，這樣也就很難編織清晰的知識網絡，很難形成高效的正確的認知結構，對這些知識的理解就會缺乏深度。
二、深入挖掘課本概念
很多教學案的預習部分都把課本的重要概念設計為填空題的形式，讓學生在預習課本后填寫，大部分教師在課堂上做的工作就是把學生填寫的內容對一下答案，讓學生對基本的概念有個大概的了解，然后講解例題，再讓學生進行當堂鞏固練習，從反饋結果看，學生教學內容好像基本掌握了，但他們對這部分知識只是停留在識記的層面，沒有正在參與到如何得到新知識的過程中去。從更高的要求看，這樣的教學不能培養學生觸類旁通的能力，遇到一個與之相關的問題可能就會束手無策。所以我們的課堂要讓每個學生體驗通過自己的探究得到知識的過程。例如，在學習指數函數時，應引導學生了解為何底數的范圍是大于零且不等于1？更應該指導學生通過描點作圖，了解指數函數的性質，為后面學習對數函數、冪函數以及研究更一般的函數性質提供了范例。
三、變式題教學，促進教師成長
教學案一般由這樣幾部分構成：導讀――根據問題閱讀教材;導思――在閱讀教材的過程中思考問題，探索知識;導練――對知識的鞏固;導結――對知識的小結。為保證質量，很多學校的教學案通常是由備課組集體研究，由骨干教師操刀完成的，所以教學案推行的“任務化”式的教學成為規范教師的教學行為、提高課堂效率的有效手段。這對于起步階段的新教師盡快熟悉業務是有好處的，但長期使用現成的教學案，教師自主研究教材、獨立編寫教案的能力會受制約。如果把教學案教學的課堂組織形式看成是外力，那么教師對教材的解讀、取舍、挖掘及靈活的教學機智則是教師的內力。雖然我們現在有成本的現成的教學案，但教師對同一個教學案的理解是不同的，對教材解讀的能力是良莠不齊的，而且學生的差異也是客觀存在的，不同層次的班級使用同一份教學案是不現實的，這就需要教師根據學生的情況作合理的取舍，或作適當的鋪墊，或作必要的拓展延伸，所以使用一份不經過自己動腦思考、動手修改的現成的教學案恐怕教學效果也不會好，估計教師在課堂上操作起來也往往是捉襟見肘。
關鍵詞：中職數學 教學方法 學案引導法
中圖分類號：G712 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9795（2014）02（b）-0111-01
由于中職學生數學基礎差，大部分學生對數學興趣不濃，主動性不強。面對這種情況，職業高中的數學教師就要因生而變、因材施教，采取靈活多樣的教學方法，在注重知識講授深度和廣度的基礎上，更要注重教學方法的藝術性、教學內容的靈活性、教學氛圍的活躍性，寓教于樂，寓學于導。新一輪高中數學新課改明確提出：讓學生成為學習的主人，倡導學生自主探索，主動學習。為此，我在教學中極力借鑒同行們的先進經驗，大膽嘗試“學案引導式”教學法，取得了良好的教學效果。
1 “學案引導式”教學法的意義和結構
“學案引導式”教學法是一種促進學生自主學習的課堂教學方法，其目標是以教材為載體，以學案為手段，引導學生自主學習，養成良好的學習習慣，逐漸地學會學習。這種教學法改變了教師的教學觀和學生的學習觀，相信并充分挖掘學生的潛能，讓學生真正體會到學習的成功與快樂。
“學案引導法”的基本結構包括教師課前的指導，課中的引導和課后的反復釋疑。具體包含四部分：學習引導+問題引導+總結引導+拓展引導。
下面是我在“一元二次不等式的圖解法”一節教學中的學案設計，提出來與大家共同商討改進。
學習內容：中等職業教育國家規劃教材數學基礎模塊上冊“第二章不等式”。
§2.3.2一元二次不等式的圖解法。
學時：一學時。
學習模式：
【學習引導】
（1）自主學習。
1）讀教材P42～P44到練習止。
2）回答問題：
①本節內容所講的一元二次不等式的解集與哪些因素有關系？
②當a>0時，二次函數y=ax2+bx+c的圖像在坐標系中的位置有哪幾種情況？
③這些不同的位置由什么決定？如何計算？
3）完成練習。
4）小結。
（2）方法指導。
1）閱讀本節內容時，必須對照初中學習的二次函數圖像―― 拋物線在坐標系中的三種位置情況：即與X軸有兩個交點，有一個交點和無交點（先考慮開口朝上的情況）。觀察圖像上縱坐標大于零的點和小于零的點在哪里？
2）本節內容屬“數形結合”的問題，應將位于x軸上方的圖像和位于x軸下方的圖像上點的坐標的范圍與一元二次不等式ac2+bx+c>0（或者0）的解聯系起來，即就是圖像上縱坐標y>0，y=0，y
3）閱讀本節內容時能否想到什么內容，并與之作比較。
【思考引導】
（1）提問題。
1）二次函數，一元二次方程，一元二次不等式三者有何聯系？
2）當a>0時，解一元二次不等式ac2+bx+c>0（或者
3）一元二次不等式ac2+bx+c>0（或者0）的求解有哪幾種情況？
4）當a
（2）變題目。
若一元二次不等式的解集為R或者？時，與該不等式對應的二次函數的圖像是什么情況？
【總結引導】
本節內容：一元二次不等式y=ax2+ bx+c（a>0）的圖解法。
第一步：達標（滿足哪兩個條件？）。
第二步：計算（哪個量？有什么用途？）。
第三步：分類（可分成哪幾種情況？）。
第四步：寫解集（依據是什么？）。
記憶方法：達標―― 看=b2-4ac正負―― 分類―― 寫解集。
【拓展引導】
（1）課外作業：P45習題2～4。
（2）m為何值時，方程x2+2（m-1）x+3m2-11=0有兩個不相等的實數根？
（3）m為何值時，二次函數y=mx2-（1-m）x+m與x軸無交點？
2 “學案引導法”的有關說明
（1）學案與教材，教案的關系。
教材是專家依據課標的理念設計編寫的，其中的語言表達標準、規范、精簡、書面化.教案是教師為上好一節課，根據教師本人的特點，依據教材內容，學生的情況設計的教學過程材料，僅供教師使用；學案是教師依據教材為了讓學生閱讀教材而編寫的，并通過課前的學習，課中的討論，課后的研究，使學生對概念理解后，用自己的語言對概念重新描述，并書寫在學案上，較口語化，適合學生本人的復習和閱讀.供學生使用。
（2）學案特點。
①設計上應站在學生角度考慮問題。
②方法上要引導學生讀懂教材。
③內容上包含所有的知識，技能和方法。
④使用上它是階段性學習資料。
⑤手段上通過分層設計，滿足各個層次學生的需要。
參考文獻
可以這樣說，教育實習是檢驗大學成績的開卷考試。如何在這次開卷考試中取得優異成績，給自己交上一份滿意的答卷呢？“機會只會眷顧有準備的人”，為了在這次的開卷考試中取得一個讓自己滿意的成績，我在實習前做了大量的充分準備。
一、暑期實踐
1、下鄉支教
七月中旬，我跟隨班里的隊伍到雷州三下鄉支教，以副班主任的身份收獲了另一番的體驗。在下鄉過程中，我體會到作為一個班主任，不僅要親自進行科目的教學工作，協助各科班主任做好班級教學工作，更要時刻關注班里學生的思想動態，及時做好開導、建議工作，同時我也有更多的時間和機會親近學生，了解學生內心的需求和渴望，為實習期間迅速打開學生心門積累了一些經驗，同時也為我的實習工作奠定了一些基礎。
2、中學見習
大三第二學期，我到廣州市113中學聽了初一老師所上的數學課并協助老師進行課后作業修改工作。我明白了課堂教學需要課前充分準備。從理解教材到設計教學、從課堂教學到課外的作業查漏補缺等每一個環節都需要一絲不茍的努力。而且，針對不同學情，如何講授教材中的內容也需把握恰當。重點要突出，難點要突破：有些知識只需口頭帶過，不必詳究。
二、實習前的準備
1、購買必要的教學資源，全面備課
暑假期間，我前往廣州購書中心購買了初中《5年中考3年模擬》，高中《教材完全解讀》等數學資料，以及下載了數學必修1的電子教材以及相關的教師教案、學生學案在全面熟悉教材、準備教案的同時，我也通過一些高考題的聯系不斷強化自己的解題思路，提高自己的解題速度。
2、搜集備課資源，開始進行教學設計
在新課程標準的指導下，從網上搜索優秀的教案和課件，結合自己閱讀教材的體會，初步形成自己的教案，并制作了相應的課件。
3、努力備好“五個一”資料
目前，我已經寫好了《指數函數及其性質》一節的教案并做好了相關的PPT課件，也準備了主題為“吃一塹，長一智”以及“價值大拍賣”班會主題課方案和“趣味數學”的第二課堂活動方案。同時，也開始總結自己在實習前所作的準備工作。
關鍵字：多元函數，極值，二次型，正定，負定
1.引言
由于自變量的個數大于3時,多元函數極值存在性的判定比較繁復,現行工科高等數學中關于多元函數極值存在性判定問題,局限于討論二元函數,這是遠遠不夠的。因此,尋求能被學生接受的自變量個數大于3時多元函數極值的存在性的判別方法是十分有必要的。本文介紹了運用線性代數的相關知識判定多元函數極值的存在性的方法。這些知識都是成熟的結果,并非作者的創造發明,但將這些知識經過整理移植到工科數學教學中去卻是一個十分有意義的工作。這種方法能為大學生們十分自然地接受,而且能擴大工科學生的知識容量,提高學生運用學得的知識解決實際問題的能力,激發學生學習數學的興趣。
2預備知識
定義1含有個變量的二次齊次函數
(2-1)稱為二次型，取，則（2.1）可寫成
當為復數時,稱為復二次型；當為實數時,稱為實二次型。記
，
則二次型可表示成
,
其中A為對稱陣。二次型與對稱陣A之間存在著一一對應關系,A稱為二次型的矩陣,而稱為對稱陣A的二次型,對稱陣A的秩稱為二次型的秩。
定義2設有實二次型,如果對任何,都有,則稱為正定二次型,并稱對稱陣A是正定的,記作A>0;如果都有,則稱的負定二次型,并稱對稱陣A是負定的,記作A<0;如果都有,則稱為半正定的,稱對稱陣A是半正定的,記作;如果都有,則稱了為半負定的,稱對稱陣A是半負定的,記作；如果既不是半正定也不是半負定的,則稱為不定的,相應地,對稱陣A稱為不定的。
由定義,實二次型的正定性與它的矩陣的正定性是等價的。
關于對稱陣的正定性有如下判別法:
定理2.1對稱陣A為正定的充分必要條件是A的各階順序主子式都為正;即
或A的各階主子式都為正。
對稱陣為負定的充分必要條件是奇數階主子式為負,偶數階主子式為正,即
定理2.2對稱陣A為正定的充分必要條件是A的特征值全為正,對稱陣A為負定的充分必要條件是A的特征值全為負。
定義3設有n元函數，在區域內具有一階和二階連續偏導數，對，記
分別稱和
為在的梯度（grad）和在的海森矩陣（Hessianmatrix）
3多元函數極值的判別法
定理3.1（必要條件）：設多元函數在點具有偏導數，且在點處有極值，則它在該點的梯度必然為零,即
證：反證法。不妨設為極大值，而，則有某一i，使。不妨設，則存在的某一鄰域，使得在這一鄰域內當時，有，矛盾。
定理3.2（充分條件）：設多元函數在點的某一鄰域內連續且有一階及二階連續偏導數，且，則
（1）正定時，取得極小值；
（2）負定時，取得極大值；
（3）不定時，在處不取極值；
（4）半正定或者半負定時，在點處可能取極值也可能不取極值。
證：由連續性，存在點的某一鄰域，使當時，與同號，于是當時，記
注意到，由一階泰勒公式，
可知，（1）當正定時，，取得極小值；
（2）當負定時，，取得極大值；
（3）當不定時，不恒大于或不恒小于，因而不是極值；
（4）研究函數，顯然，為半正定陣，而卻不是的極值
由定理3.2可得如下推論
推論1設二元函數在某鄰域內連續且有一階及二階連續偏導數,又，記，則
（1）當在點處取得極小值；
（2）當，在點處取得極大值；
（3）當時，在點不取極值；
（4）時，在點可能取極值也可能不取極值。
證由定理3.2及定理2.1既得。
推論2設多元函數在點的某一鄰域內連續且有一階及二階連續偏導數，且，則
（1）的特征值全為正值時，取得極小值；
（2）的特征值全為負值時，取得極大值；
證由定理3.2及定理2.2既得。
例1求函數的極值
解：，
由，解得或。
當時，
因，，
正定，取得極小值；
當時，
，，
不定，在(0,1,1)點不取極值。
4結束語
上述提出的關于多元函數極值的判定方法的教學方案需同時開設高等數學和線性代數,在多元函數極值的教學中采用上述教案則是水到渠成,得心應手的事。如果按照傳統的課程設置組織教學,采用上述教案也是可行的,沒有多大困難,只需引進n維向量、矩陣及相應概念。這些概念在多元函數極值后面的教學中也很有用,并能激發學生的學習興趣和積極性,激勵學生去自學一些諸如線性代數,經濟數學等課程,提高人才素質,并使后續的線性代數教學更得心應手。
參考文獻
[1]趙賢淑.多元函數極值的求法及其應用[J].高等數學研究,1996,(01).
[2]葉克芳.多元函數的極值、條件極值和最值的關系[J].工科數學,1995,(02).
[3]邱煒源.多元函數極值的又一種判別法[J].湖州師范學院學報,1994,(06).
[4]葉淼林.關于多元函數的極值[J].安慶師范學院學報(自然科學版),1995,(04).
在初中教育中,教學難度最大的一門學科就是數學了。并且,在實際的教學中,許多學生上課認真聽講,下課努力復習,但其學習成績卻一直難以提高,造成這一情況的主要原因就是在課堂中教師的講解和點撥不夠。因此,加強初中數學課堂的“精講點撥”對于提升學生學習質量和效率作用十分巨大,對于“精講點撥”方法的研究也顯得尤為重要。那么,在課堂教學中如何做到“精講點撥”呢?
一、加強教材鉆研,實現全面“精講”
在初中數學的教學中,教材是教學的主要依據和重要資源。以前許多老師所陷入的誤區就是認為知識點只要反復講學生就能有很好的理解和吸收,其實這樣的話不僅浪費了課堂時間,學生們也容易產生疲勞和厭倦的狀態,因此,對于教材我們要提倡“精講”。教師在上課之前,要重點加強對教材的鉆研。對教材的鉆研主要包括:哪些內容作用大、哪些內容難度大、哪些內容容易錯等。在這些問題都明確了后再有針對性的做好教案和教學規劃。這樣一來,一些對于以后學習作用不大的內容就可以適當省略,對于難度大和易錯點就可以加強講解的力度,真正實現全面精講。這樣一來,不僅節省了寶貴的課堂時間,同樣也能使學生們對內容的主次性有一定認識,對重難點的理解和掌握也就更加深刻,對于易錯點的重視程度也會更高。
以蘇教版初中數學“二元一次方程”為例,本章最大的難點就是二元一次方程的幾種消元方法,而在這幾種方法中也有主次之分。加減消元法和代入消元法平常使用的多,難度小,因此教師們在教學中可以少講多練,而換元法的難度大,在這一點上就要進行精講。精講的內容主要包括什么時候需要用到換元法、換元法怎么進行運用、運用中需要注意哪些易錯點等。而本章的另一重點就是二元一次方程所對應的函數圖像,函數圖像貫穿整個代數教學的始終,對于以后的各種函數和方程都有十分重大的意義。因此,這一點上要精講細講,保證每個學生都能熟練掌握函數圖像的繪制,函數草圖的描點,以及韋達定理的運用等。總之,教師首先要充分的研究教材,然后根據多年教學經驗去制定教案,在教學中要節約每一分鐘的教學時間,爭取在精講的提前下實現多練多講,提升學生的接收水平。
二、加強課堂練習,明確“點撥”目標
課堂練習作為課堂中檢驗學生學習情況的主要方法,在課堂中的作用十分重大。因此,教師在課堂中要多撥出時間來,對所講內容進行充分的練習。目前新課改下越來越重視知識的實際運用,而課堂練習正好符合了這一要求。當然,課堂練習的前提是老師對知識點的有效講解之后,再進行有針對性的設置題目。還有非常重要的一點就是,目前許多老師片面的注重運用概念和公式進行解題,而忽視了數學思想的灌輸。初中時段的數學思想主要包括:數形結合思想、分類討論思想、函數與方程思想以及化歸轉化這四種思想。素質教育的要求就是不僅在課堂中要教授學生知識,還要重視學生學習能力的培養和智力的開發。而數學思想就很好的結合了解題和智力開發這兩個方面的問題。因此,通過數學思想的教學能實現學生自主的解決問題和總結方法。在習題設計后再根據學生們的解題情況找出其在什么地方遇到困難,在什么地方不小心錯了,明確“點撥”的目標。
三、注重學生差異性,因人而異的“點撥”
在數學教學中,由于每一個學生的智力水平、接收水平和用心程度都不同,所以對于知識的掌握情況也不盡相同。此時如果教師片面重視整體的“點撥”,對于許多學習后進生而言就沒有太大的作用。這樣一來,不盡打擊了后進生的學習積極性,還很容易造成其成績越來越差,班級數學的整體差異性也越來越大,最終難以彌補。所以,教師們在教學中要綜合運用各種方法了解每一個學生的學習情況,然后耐心的進行一一輔導,也可以通過學習互助小組的形式進行“點撥”。
在實際的教學當中,本人就遇到了這一類情況。在“因式分解”章節的學習中,通過課堂測評解決了大部分同學們的疑惑,于是就以為這一章節的學習質量很不錯了。但在考試后,卻發現學生們的錯誤點五花八門,有的是約分錯誤,有的是公式記憶錯誤,有的甚至連換元的方法都不會。這一問題上充分的表明了每一個學生學習情況都是不同的,對于知識掌握的差異化程度也是不同的,因此簡單的全面“點撥”對于少數同學的作用不大。因此本人立刻組建數學互助小組,通過一個成績優異的學生幫扶兩個后進生的方式讓他們敢于提問,最終因人而異的找出不足并彌補。
總之,實現課堂教學的高效是我們每一個教師所追求的目標,而課堂中的“精講點撥”就是實現的方法。并且,精講點撥注重了學生的差異性,真正的做到了教學的“以人為本”。
