時間：2022-10-24 06:54:46
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇數學思想，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
數學課堂教學是教師“主體表演”的過程，是語言、動作、板書演示、語言交流、情感交流等融于一體的過程。在這種過程中，往往既能反映出教師專業基礎知識的情況，又能反映出教師對教學理論的掌握情況，同時還可反映出教師的數學思想的有關情況。實踐證明，在數學教學中，數學思想、方法已經越來越多地得到人們的重視，特別是在數學教學中，如何使學生較快地理解和掌握數學思想、方法，更是我們廣大中學數學教師所關心的問題。
一、對中學數學思想的基本認識
“數學思想”作為數學課程論的一個重要概念，我們完全有必要對它的內涵與外延形成較為明確的認識。關于這個概念的內涵，我們認為：數學思想是人們對數學科學研究的本質及規律的理性認識。這種認識的主體是人類歷史上過去、現在以及將來有名與無名的數學家；而認識的客體，則包括數學科學的對象及其特性，研究途徑與方法的特點，研究成就的精神文化價值及對物質世界的實際作用，內部各種成果或結論之間的互相關聯和相互支持的關系等。可見，這些思想是歷代與當代數學家研究成果的結晶，它們蘊涵于數學材料之中，有著豐富的內容。
通常認為數學思想包括方程思想、函數思想、數形結合思想、轉化思想、分類討論思想和公理化思想等。這些都是對數學活動經驗通過概括而獲得的認識成果。既然是認識就會有不同的見解，不同的看法。實際上也確實如此，例如，有人認為中學數學教材可以用集合思想作主線來編寫，有人認為以函數思想貫穿中學數學內容更有利于提高數學教學效果，還有人認為中學數學內容應運用數學結構思想來處理等等。盡管看法各異，但筆者認為，只要是在充分分析、歸納概括數學材料的基礎上來論述數學思想，那么所得的結論總是可能做到并行不悖、互為補充的，總是能在中學數學教材中起到積極的促進作用的。
關于這個概念的外延，從量的方面講有宏觀、中觀和微觀之分。屬于宏觀的，有數學觀(數學的起源與發展、數學的本能和特征、數學與現實世界的關系)，數學在科學中的文化地位，數學方法的認識論、方法論價值等；屬于中觀的，有關于數學內部各個部門之間的分流的原因與結果，各個分支發展過程中積淀下來的內容上的對立與統一的相克相生的關系等；屬于微觀結構的，則包含著對各個分支及各種體系結構定內容和方法的認識，包括對所創立的新概念、新模型、新方法和新理論的認識。
二、數學思想的特性和作用
1、數學思想凝聚成數學概念和命題，原則和方法
我們知道，不同層次的思想，凝聚成不同層次的數學模型和數學結構，從而構成數學的知識系統與結構。在這個系統與結構中，數學思想起著統帥的作用。
2、數學思想深刻而概括，富有哲理性
各種各樣的具體的數學思想，是從眾多的具體的個性中抽取出來且對個性具有普遍指導意義的共性。它比某個具體的數學問題(定理法則等)更具有一般性，其概括程度相對較高。現實生活中普遍存在的運動和變化、相輔相成、對立統一等“事實”，都可作為數學思想進行哲學概括的材料，這樣的概括能促使人們形成科學的世界觀和方法論。
3、數學思想富有創造性
借助于分析與歸納、類比與聯想、猜想與驗證等手段，可以使本來較抽象的結構獲得相對直觀的形象的解釋，能使一些看似無處著手的問題轉化成極具規律的數學模型。從而將一種關系結構變成或映射成另一種關系結構，又可反演回來，于是復雜問題被簡單化了，不能解的問題的解找到了。如將著名的哥尼斯堡七橋問題轉化成一筆畫問題，便是典型的一例。
三、數學思想的教學功能
1、數學思想是教材體系的靈魂
從教材的構成體系來看，整個初中數學教材所涉及的數學知識點匯成了數學結構系統的兩條“河流”。一條是由具體的知識點構成的易于被發現的“明河流”，它是構成數學教材的“骨架”；另一條是由數學思想方法構成的具有潛在價值的“暗河流”，它是構成數學教材的“血脈”靈魂。有了這樣的數學思想作靈魂，各種具體的數學知識點才不再成為孤立的、零散的東西。因為數學思想能將“游離”狀態的知識點(塊)凝結成優化的知識結構，有了它，數學概念和命題才能活起來，做到相互緊扣，相互支持，以組成一個有機的整體。可見，數學思想是數學的內在形式，是學生獲得數學知識、發展思維能力的動力和工具。教師在教學中如能抓住數學思想這一主線，便能高屋建瓴，提挈教材進行再創造，才能使教學見效快，收益大。
2、數學思想是我們進行教學設計的指導思想
關鍵詞 中學數學 函數 函數思想
中圖分類號：G424 文獻標識碼：A DOI：10.16400/ki.kjdkx.2017.04.052
An Analysis of the Thought of Mathematical Function in Middle School
ZHAO Sheng
（Zhanyi Area No.3 Middle School， Qujing， Yunnan 655331）
Abstract Function thought is one of the most basic mathematical ideas， function is the core content of middle school mathematics， it runs through the entire secondary school. Understanding and mastering the function thought can help the learners to understand the true meaning of mathematics， enhance the enthusiasm of the students to learn mathematics， and help mathematics learning. This paper analyzes the importance of the function of thought， from the application and function thought in mathematics teaching in high school mathematics teaching how to penetrate the function of thought were discussed， so as to achieve the function of ideological understanding in middle school mathematics.
Key words middle school mathematics； function； function thought
函鄧枷朧竊謔學的發展史中形成的，它是人們對函數知識的本質性認識，來源于函數的基礎知識，它在中學數學教學中起著重要的作用，是教材體系的靈魂。在中學數學函數教學中，加強函數思想教學可以幫助學生更好地理解函數知識、形成正確的教學觀念和優秀的數學精神；它是落實素質教育的有效途徑和重要手段；還可以提高教學質量與教學水平；有利于培養學生的辯證唯物主義能力與函數應用能力。隨著數學教育的改革與發展，中學數學函數思想日趨凸顯，從事數學教育以及一些數學學習者越來越認識到函數思想的重要性。函數是支撐中學數學的骨架，是中學數學最重要的內容之一，貫穿整個中學階段。從歷年中考、高考的情況來看，以函數為核心編制的題目立意新穎，知識覆蓋面廣，靈活性較強，有比較理想的選拔功能。所以函數思想有極高的研究價值。作為數學教育工作者了解函數思想的產生、發展和特點，掌握函數運動的發展規律，形成正確的教學觀，從而提高對數學知識的駕馭能力。本文通過對中學數學函數思想的研究來指導教育工作者更加有效地進行教學，同時也為新課改提供有力依據，給學生的學習指引正確的方向。
1 函數思想在中學數學中的應用
函數是數集之間的特殊映射，反映事物的內部聯系，縱觀整個中學階段，函數將大部分數學知識緊扣在一起，形成一個以函數為中心向四周擴散的知識網絡，而函數思想則是形成這個知識網絡的靈魂。函數思想的應用就是對于一些實際問題、數學問題構建一個函數模型，應用函數的基本性質更快更好地解決問題，而構造函數模型是函數思想的重要體現。接下來筆者將從以下幾個方面闡述函數思想在中學數學中的應用。
1.1 函數思想在中學數學中的宏觀應用
函數思想的宏觀應用也就是函數性質的直接應用，即應用初等函數的基本性質（定義域、值領、單調性、奇偶性、周期性、有界性、連續性、對稱性、圖像等）求解有關的值、討論參數的取值等問題，只要掌握函數的基本概念與性質，直接對其加以簡單應用就行，直觀明了，同樣也是函數思想的簡單體現。
例1 函數 （） = + 3 + 有極值，又在其曲線上極大和極小的點分別為、，若線段（不含端點）與曲線交于點（1，0），求的值。
分析：首先弄清已知條件，已知①一個含參數的三次函數；②函數有極值；③有極大和極小點，；④線段（不含端點）與曲線交于點（1，0）。解題目標是求的值。
由 '（） = 3 + 6 = 0得 = 0， = 。
（0，），（， + ）
再由點（1，0）在曲線上以及三點共線，解得
這個結果是否正確？還是要注意題目的條件，即條件④中有一點容易被忽略，這就是點應在線段的內部，因此應滿足0
1.2 函數思想在中學數學中的微觀應用
函數與方程、不等式、角、數列等均有不同程度的內在聯系，將一些非函數問題轉化成函數問題、構建函數模型就是函數思想的微觀應用，也就是函數的間接應用，此類題型可以鍛煉學習者的發散思維和邏輯推理能力。接下來將以幾個實例加以說明。
1.2.1 活躍在方程、不等式中的函數思想
函數與方程、不等式有著千絲萬縷的關系，絕大多數方程與不等式的研究需要依靠函數來實現，而函數性質的研究則又需要依賴方程與不等式來完成，所以他們是相輔相成的。比若說求定義域、函數單調性證明都需要借助不等式來完成；而解方程又是求函數的零點。所以在解關于方程與不等式這類題的過程中應該考慮以函數為工具，加強函數、方程、不等式的綜合應用能力，系統掌握數學各個模塊的知識。
例2 證明不等式0）。
分析：證明不等式有很多種方法，可以通過作差、作商、反證、放縮、構造等不同方法來實現，根據不同題目選擇合理方法可以達到事半功倍的效果。通過觀察，本題通過構造函數的方法來證明，再根據函數單調性來實現不等式大小，既方便又快捷。
證明：要證0），即證
令 = ，（>0）
當>0時， = 1 / （1 + ）即
= 在（0，）上為單調遞減函數
那么就有0）
即 =
小結：本題通過構造函數證明該不等式，是應用函數單調性求解問題的典型例題，通過導函數來確定函數的單調性，進而證明不等式，思路清楚，方法簡單易懂。
1.2.2 三角函數思想的呈現
例3 已知為銳角，且，求的值。
分析：由的構成特點，本題的化簡變形，不宜按常規對的三角函數都采用降次的作法，而需把已知表達式中的含的三角函數升次，含的三角函數降次，即湊出和的表達式出來。
解：由（1），得3 = 2 （3）
由（2），得3 = 2 （4）
（3）鰨？），得 = （） = 0，
因為為銳角，所以0
1.2.3 實際問題中的函數模型
在數學學習中，我們會遇到很多抽象的數學問題，如果直接求解會非常困難或者是直接解不出來，這是我們應該充分應用所學知識，試著應用函數的思想去考慮，試著建立函數關系式，讓抽象、復雜的實際問題轉化為簡單的函數問題，再應用函數的基本性質將它求解出來，這就是應用函數思想求解數學實際問題的基本套路。
例4 （2012浙江省嘉興市）某汽車租賃公司擁有20輛汽車。據統計，當每輛車的日租金為400元時，可全部租出；當每輛車的日租金每增加50元，未租出的車將增加1輛；公司平均每日的各項支出共4800元。設公司每日租出輛車時，日收益為元。（日收益=日租金收入平均每日各項支出）
（1）公司每日租出輛車時，每輛車的日租金為_______元（用含的代數式表示）；
分析：本題為綜合性題目，主要考查二次函數實際問題，怎樣建立函數關系式與找等量關系，函數關系建立好之后結合實際函數圖像做出解答。
解析：單輛車日租金為：50（20）+400 = 140050
2 中學數學教學中滲透函數思想的途徑
中W數學函數教學最重要的目的就是打開學生的函數思維，提升學生們的函數素養，新一輪課程改革中，將函數思想作為必須掌握的教學要求，所以函數教學過程中不再一味地讓學生吸收理論知識與概念性內容，而是讓學生獨立思考，老師引導，建立一定的函數思想基礎，從根本上提升自己的函數應用能力。教學過程中滲透函數思想的途徑很多，接下來介紹三種滲透方式。
2.1 應用函數思想探究數學知識
新的教育背景下，數學教學過程中應該注重對學生培養知識形成的過程，在數學知識的探索過程中（比如說一些公式、定理、性質的推導過程）就是數學思想方法的最佳體現時刻，因此教師在教學中，要重視公式、定理、性質的推導過程，盡量凸顯其相關的數學思想，讓學生掌握基本知識的同時，領悟數學真諦。下面我們以函數思想為實例，演示探究數學知識的過程中滲透函數思想。
2.2 在數學解題中滲透函數思想
在數學教學過程中，經常出現課堂上學生聽懂了，但是課后做同類型的題目是就無從下手，其原因就是在教學過程中，教師就題論題，拿到題目就草率地解答出來，遇到此類題時照葫蘆畫瓢，機械操作，學生感到厭煩，學生沒有真正認識到題目的出處，沒有領略到數學思想方法。在數學解題過程中滲透函數思想也就是在數學解題過程中應用函數的思想方法去求解繁瑣的數學問題，比如說用函數的單調性、奇偶性、最值等等基本性質將其復雜問題簡單化。
例5 設不等式 + 2 + >0的解集為全體實數，求的取值范圍。
分析：題設不等式的系數比較復雜，可通過另設變元的方法，使此題解題過程簡化。
解：設 = ，則 = ， = ，
而原不等式化成（） + 2>0
由題意知，
解得
“數學思想”作為數學課程論的一個重要概念，我們完全有必要對它的內涵與外延形成較為明確的認識。關于這個概念的內涵，我們認為：數學思想是人們對數學科學研究的本質及規律的理性認識。這種認識的主體是人類歷史上過去、現在以及將來有名與無名的數學家；而認識的客體，則包括數學科學的對象及其特性，研究途徑與方法的特點，研究成就的精神文化價值及對物質世界的實際作用，內部各種成果或結論之間的互相關聯和相互支持的關系等。可見，這些思想是歷代與當代數學家研究成果的結晶，它們蘊涵于數學材料之中，有著豐富的內容。
通常認為數學思想包括方程思想、函數思想、數形結合思想、轉化思想、分類討論思想和公理化思想等。這些都是對數學活動經驗通過概括而獲得的認識成果。既然是認識就會有不同的見解，不同的看法。實際上也確實如此，例如，有人認為中學數學教材可以用集合思想作主線來編寫，有人認為以函數思想貫穿中學數學內容更有利于提高數學教學效果，還有人認為中學數學內容應運用數學結構思想來處理等等。盡管看法各異，但筆者認為，只要是在充分分析、歸納概括數學材料的基礎上來論述數學思想，那么所得的結論總是可能做到并行不悖、互為補充的，總是能在中學數學教材中起到積極的促進作用的。
關于這個概念的外延，從量的方面講有宏觀、中觀和微觀之分。
屬于宏觀的，有數學觀(數學的起源與發展、數學的本能和特征、數學與現實世界的關系)，數學在科學中的文化地位，數學方法的認識論、方法論價值等；屬于中觀的，有關于數學內部各個部門之間的分流的原因與結果，各個分支發展過程中積淀下來的內容上的對立與統一的相克相生的關系等；屬于微觀結構的，則包含著對各個分支及各種體系結構定內容和方法的認識，包括對所創立的新概念、新模型、新方法和新理論的認識。
從質的方面說，還可分成表層認識與深層認識、片面認識與完全認識、局部認識與全面認識、孤立認識與整體認識、靜態認識與動態認識、唯心認識與唯物認識、謬誤認識和正確認識等。
二、數學思想的特性和作用
數學思想是在數學的發展史上形成和發展的，它是人類對數學及其研究對象，對數學知識（主要指概念、定理、法則和范例)以及數學方法的本質性的認識。它表現在對數學對象的開拓之中，表現在對數學概念、命題和數學模型的分析與概括之中，還表現在新的數學方法的產生過程中。它具有如下的突出特性和作用。
(一)數學思想凝聚成數學概念和命題，原則和方法
我們知道，不同層次的思想，凝聚成不同層次的數學模型和數學結構，從而構成數學的知識系統與結構。在這個系統與結構中，數學思想起著統帥的作用。
(二)數學思想深刻而概括，富有哲理性
各種各樣的具體的數學思想，是從眾多的具體的個性中抽取出來且對個性具有普遍指導意義的共性。它比某個具體的數學問題(定理法則等)更具有一般性，其概括程度相對較高。現實生活中普遍存在的運動和變化、相輔相成、對立統一等“事實”，都可作為數學思想進行哲學概括的材料，這樣的概括能促使人們形成科學的世界觀和方法論。
(三)數學思想富有創造性
借助于分析與歸納、類比與聯想、猜想與驗證等手段，可以使本來較抽象的結構獲得相對直觀的形象的解釋，能使一些看似無處著手的問題轉化成極具規律的數學模型。從而將一種關系結構變成或映射成另一種關系結構，又可反演回來，于是復雜問題被簡單化了，不能解的問題的解找到了。如將著名的哥尼斯堡七橋問題轉化成一筆畫問題，便是典型的一例。當時，數學家們在作這些探討時是很難的，是零零碎碎的，有時為了一個模型的建立，一種思想的概括，要付出畢生精力才能得到，這使后人能從中得到真知灼見，體會到創造的艱辛，發展頑強奮戰的個性，培養創造的精神。
三、數學思想的教學功能
我國《九年義務教育全日制初級中學數學教學大綱(試用修訂版)》明確指出：“初中數學的基礎知識主要是初中代數、幾何中的概念、法則、性質、公式、公理、定理以及由其內容所反映出來的數學思想和方法”。根據這一要求，在中學數學教學中必須大力加強對數學思想和方法的教學與研究。
(一)數學思想是教材體系的靈魂
從教材的構成體系來看，整個初中數學教材所涉及的數學知識點匯成了數學結構系統的兩條“河流”。一條是由具體的知識點構成的易于被發現的“明河流”，它是構成數學教材的“骨架”；另一條是由數學思想方法構成的具有潛在價值的“暗河流”，它是構成數學教材的“血脈”靈魂。有了這樣的數學思想作靈魂，各種具體的數學知識點才不再成為孤立的、零散的東西。因為數學思想能將“游離”狀態的知識點(塊)凝結成優化的知識結構，有了它，數學概念和命題才能活起來，做到相互緊扣，相互支持，以組成一個有機的整體。可見，數學思想是數學的內在形式，是學生獲得數學知識、發展思維能力的動力和工具。教師在教學中如能抓住數學思想這一主線，便能高屋建瓴，提挈教材進行再創造，才能使教學見效快，收益大。
(二)數學思想是我們進行教學設計的指導思想
筆者認為，數學課堂教學設計應分三個層次進行，這便是宏觀設計、微觀設計和情境設計。無論哪個層次上的設計，其目的都在于為了讓學生“參與”到獲得和發展真理性認識的數學活動過程中去。這種設計不能只是數學認識過程中的“還原”，一定要有數學思想的飛躍和創造。這就是說，一個好的教學設計，應當是歷史上數學思想發生、發展過程的模擬和簡縮。例如初中階段的函數概念，便是概括了變量之間關系的簡縮，也應當是滲透現代數學思想、使用現代手段實現的新的認識過程。又如高中階段的函數概念，便滲透了集合關系的思想，還可以是在現實數學基礎上的概括和延伸，這就需要搞清楚應概括怎樣的共性，如何準確地提出新問題，需要怎樣的新工具和新方法等等。對于這些問題，都需要進行預測和創造，而要順利地完成這一任務，必須依靠數學思想作為指導。有了深刻的數學思想作指導，才能做出智慧熠爍的創新設計來，才能引發起學生的創造性的思維活動來。這樣的教學設計，才能適應瞬息萬變的技術革命的要求。靠一貫如此設計的課堂教學培養出來的人才，方能在21世紀的激烈競爭中立于不敗之地。
(三)數學思想是課堂教學質量的重要保證
數學思想性高的教學設計，是高質量進行教學的基本保證。在數學課堂教學中，教師面對的是幾十個學生，這幾十個智慧的頭腦會提出各種各樣的問題。隨著新技術手段的現代化，學生知識面的拓寬，他們提出的許多問題是教師難以解答的。面對這些活潑肯鉆研的學生所提的問題，教師只有達到一定的思想深度，才能保證準確辨別各種各樣問題的癥結，給出中肯的分析；才能恰當適時地運用類比聯想，給出生動的陳述，把抽象的問題形象化，復雜的問題簡單化；才能敏銳地發現學生的思想火花，找到閃光點并及時加以提煉升華，鼓勵學生大膽地進行創造，把眾多學生牢牢地吸引住，并能積極主動地參與到教學活動中來，真正成為教學過程的主體；也才能使有一定思想的教學設計，真正變成高質量的數學教學活動過程。
有人把數學課堂教學質量理解為學生思維活動的質和量，就是學生知識結構，思維方法形成的清晰程度和他們參與思維活動的深度和廣度。我們可以從“新、高、深”三個方面來衡量一堂數學課的教學效果。“新”指學生的思維活動要有新意，“高”指學生通過學習能形成一定高度的數學思想，“深”則指學生參與到教學活動的程度。
關鍵詞：小學數學;思想
一、方程和函數思想
在已知數與未知數之間建立一個等式，把生活語言“翻譯”成代數語言的過程就是方程思想。笛卡兒曾設想將所有的問題歸為數學問題，再把數學問題轉化成方程問題，即通過問題中的已知量和未知量之間的數學關系，運用數學的符號語言轉化為方程（組），這就是方程思想的由來。
在小學階段，學生在解應用題時仍停留在小學算術的方法上，一時還不能接受方程思想，因為在算求解題時，只允許具體的已知數參加運算，算術的結果就是要求未知數的解，在算術解題過程中最大的弱點是未知數不允許作為運算對象，這也是算術的致命傷。而在代數中未知數和已知數一樣有權參加運算，用字母表示的未知數不是消極地被動地靜止在等式一邊，而是和已知數一樣，接受和執行各種運算，可以從等式的一邊移到另一邊，使已知與未知之間的數學關系十分清晰，在小學中高年級數學教學中，若不滲透這種方程思想，學生的數學水平就很難提高。例如稍復雜的分數、百分數應用題、行程問題、還原問題等，用代數方法即假設未知數來解答比較簡便，因為用字母x表示數后，要求的未知數和已知數處于平等的地位，數量關系就更加明顯，因而更容易思考，更容易找到解題思路。在近代數學中，與方程思想密切相關的是函數思想，它利用了運動和變化觀點，在集合的基礎上，把變量與變量之間的關系，歸納為兩集合中元素間的對應。數學思想是現實世界數量關系深入研究的必然產物，對于變量的重要性，恩格斯在自然辯證法一書有關“數學”的論述中已闡述得非常明確：“數學中的轉折點是笛卡兒的變數，有了變數，運動進入了數學;有了變數，辨證法進入了數學;有了變數，微分與積分也立刻成為必要的了。”數學思想本質地辨證地反映了數量關系的變化規律，是近代數學發生和發展的重要基礎。在小學數學教材的練習中有如下形式：
6×3= 20×5= 700×800=
60×3= 20×50= 70×800=
600×3= 20×500= 7×800=
有些老師，讓學生計算完畢，答案正確就滿足了。有經驗的老師卻這樣來設計教學：先計算，后核對答案，接著讓學生觀察所填答案有什么特點（找規律），答案的變化是怎樣引起的？然后再出現下面兩組題：
45×9= 1800÷200=
15×9= 1800÷20=
5×9= 1800÷2=
通過對比，讓學生體會“當一個數變化，另一個數不變時，得數變化是有規律的”，結論可由學生用自己的話講出來，只求體會，不求死記硬背。研究和分析具體問題中變量之間關系一般用解析式的形式來表示，這時可以把解析式理解成方程，通過對方程的研究去分析函數問題。中學階段這方面的內容較多，有正反比例函數，一次函數，二次函數，冪指對函數，三角函數等等，小學雖不多，但也有，如在分數應用題中十分常見，一個具體的數量對應于一個抽象的分率，找出數量和分率的對應恰是解題之關鍵;在應用題中也常見，如行程問題，客車的速度與所行時間對應于客車所行的路程，而貨車的速度與所行時間對應于貨車所行的路程;再如一元方程x+a=b等等。 學好這些函數是繼續深造所必需的;構造函數，需要思維的飛躍;利用函數思想，不但能達到解題的要求，而且思路也較清晰，解法巧妙，引人入勝。
二、化歸思想
化歸思想是把一個實際問題通過某種轉化、歸結為一個數學問題，把一個較復雜的問題轉化、歸結為一個較簡單的問題。應當指出，這種化歸思想不同于一般所講的“轉化”、“轉換”。它具有不可逆轉的單向性。
例： 狐貍和黃鼠狼進行跳躍比賽，狐貍每次可向前跳4 1/2 米，黃鼠狼每次可向前跳2 3/4米。它們每秒種都只跳一次。比賽途中，從起點開始，每隔12 3/8米設有一個陷阱， 當它們之中有一個掉進陷阱時，另 一個跳了多少米？
這是一個實際問題，但通過分析知道，當狐貍（或黃鼠狼）第一次掉進陷阱時，它所跳過的距離即是它每 次所跳距離4 1/2（或2 3/4）米的整倍數，又是陷阱間隔12 3/8米的整倍數，也就是4 1/2和12 3/8的“ 最小公倍數”（或2 3/4和12 3/8的“最小公倍數”）。針對兩種情況，再分別算出各跳了幾次，確定誰先掉 入陷阱，問題就基本解決了。上面的思考過程，實質上是把一個實際問題通過分析轉化、歸結為一個求“最小公倍數”的問題，即把一個實際問題轉化、歸結為一個數學問題，這種化歸思想正是數學能力的表現之一。
三、極限的思想方法
極限的思想方法是人們從有限中認識無限，從近似中認識精確，從量變中認識質變的一種數學思想方法，它是事物轉化的重要環節，了解它有重要意義。
【關鍵字】數學思想；數學思維；滲透；培養
數學學習的過程也是培養數學思維的過程，數學思維能力的高低關系到數學水平的高低，因此，在數學教學中應該注重培養學生的數學思維，在傳授知識的同時揭示數學思維過程，把數學知識的積累和數學思維的培養統一結合起來。
一、在概念教學中滲透數學思想
數學概念是構成數學學科知識理論體系的基礎，是反映數量關系和空間形式本質屬性的思維形式，對數學知識的學習起到基礎性作用，也是數學課堂教學中首先學習的內容。有些數學教師受傳統教學方式的影響，只注重學生對概念的理解和應用，對概念產生的原因、背景、條件和形成過程不關心，這樣使數學概念成為了靜止孤立的定義，學生無法了解概念背后的精神和豐富的內容，不利于數學知識體系的形成。“函數”是數學教學的重點和難點，在學習“函數”的概念時，我們往往只學習函數的古典定義，即“變量說”定義，而對“函數”概念產生和發展的背景和過程不夠了解。自從笛卡爾創立《解析幾何學》開始，數學家們對“函數”的研究就一直在進行，代表人物歐拉，就給“函數”下過三次定義，直到迪里赫勒提出了我們現在使用的函數定義，實際上，函數的定義還有“關系說”和“對應說”，在課堂上，教師在介紹數學概念時可以只做一點引申，在課程講解完或者課余時間，教師再對概念的背景進行講授，在對數學概念形成背景的講授中，可以讓學生明白一個道理，那就是任何數學概念的形成都是有科學根據的，并且是數學家反復推理、實踐得出的結論，在實踐中不斷完善和發展。
二、采用問題教學法培養學生的數學思維
學習和思考是相互促進、相互依存的關系，要想讓學生積極主動的去思考，教師可以根據教學內容，合理設置問題，采用問題教學法來激發學生的思維，促使學生思考。教師設置的問題要貼近教學內容和學生的日常生活，并且要合理協調問題的難易程度，教師提出了問題，就會使學生產生解決問題的愿望，從而促進了學生的思維活動。教師設置了問題，使學生處在問題情境之中，從而集中了學生的注意力，提高了學生課堂學習的效率。根據創設問題的內容，可以把問題教學方法分為故事法、實驗法、生活實例法、聯系舊知識法等，研究表明，學生是否愿意主動的進行思維活動，不僅在于他們對這門學科的興趣性和目的性，更在于這門學科能否幫助學生解決實際問題，也就是說學生是否感覺這門學科有實用性。在教師創設的問題情景下，帶著問題思考，學生對教師傳授的知識和理論更容易接受，并且經過思考后轉化成自己的知識，培養了學生的數學思維能力。
三、激發學生學習數學的興趣
興趣是學生最好的教師，由于數學學科的理論性強、難度大、推理復雜，很多學生對數學望而生畏，覺得數學是一門及其枯燥的學科，在這種的心態下，學生不可能積極主動的去學習，也感受不了學習帶來的樂趣。教師在課堂教學中，可以利用教具進行演示和操作，對于無法動手演示的推理，還可以借助多媒體教學，吸引學生的注意力，盡量把知識簡單化，讓學生樹立學好數學的信心，同時，還要鼓勵學生自己提出問題，提出問題比解決問題更能鍛煉學生的思維能力，因為解決問題只是進行機械定式的思考，而提出問題可以培養學生的觀察能力和創新思維能力。教師要創造一個輕松、愉快、活躍的課堂環境，在這樣的環境下，學生能夠大膽發言，敢于提出自己的問題，不至于使問題越積越多，也緩解了緊張的教學氣氛。教師可以嘗試新的教學方法，在數學教學中滲透數學思想，提高學生學習的主動性。例如在學習數列時，教師可以從生活中常玩的游戲――象棋入手，很多學生都會象棋都興趣，教師在指出象棋和數學學習有聯系后，學生會產生極大的好奇心，想去探求聯系，在探求中學習了知識。
四、利用數學思想指導解題與復習
在對已學知識進行復習時，教師要結合知識形成發展的過程，揭示知識中蘊含的數學思想，比如在學習直線和圓錐曲線的位置關系時，可以采用數形結合的數學方法，使知識變的簡單明了，同時要注重知識的內在聯系，比如函數、方程、不等式的關系，運用數形結合和等價轉換的數學思想把數學知識聯系起來。利用數學思想解題，在解題的過程中培養學生獨立運用數學思想解題的意識，解題的過程就是數學思想運用的過程，比如求二面角的大小，就是運用把立體問題轉化為平面問題的數學思想，三垂線定理的運用也體現了數學思想。運用數學思想培養學生一題多解的能力，可以培養學生的發散性思維，使思維變得更加靈活、敏捷，學生采用多種數學方法，是對數學知識靈活運用的一種表現，提高了學生的數學能力。
五、利用數學思維的特征培養學生能力
數學思維的最基本特征就是概括性，對數學知識的學習和運用實際上就是概括的過程。數學概念的形成需要概括，有了概括，學生才能真正理解數學概念，并學會運用數學知識解決問題；學生對數學認知結構的形成需要概括，有了概括，學生才能形成數學能力，因為，概括的能力是數學能力的基礎，數學能力提高的表現就是把生活中的問題概括成數學問題，繼而概括出數量關系，再到數學模式、數學公式上去，從而使問題得到解決。要培養學生的概括能力，教師應該設置教學情境，明確概括的方法，引導學生通過自己的思考進行概括，教師在分析新舊知識聯系的基礎上，圍繞知識的聯系對學生加以引導，讓學生自己發現內在規律，可以采用多種啟發方法，讓學生鍛煉概括思維的能力，提高解決問題的效率。
數學思想是數學學科的靈魂，是對數學知識本質的認識，是形成學生正確的認識結構的紐帶，是把數學知識轉化為數學能力的橋梁，是培養學生數學思維的根基，因此，在數學教學中，教師應該注重在知識的傳授中滲透數學思想，培養學生的思維能力，提高學生的數學素養。
參考文獻：
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在教學實踐中，我深深地體會到:只有用數學思想武裝起來的學生解決問題才有遠見和洞察力；只有把人類知識積累的思想財富運用于課堂教學的始終，才能使人們的教學朝氣蓬勃，充滿生機，才能叩開學生思維大門，培養他們的創造意識，才能把課堂變為同學們吐露才華的幸福樂園。下面就是我在教學中的初步作法。
1. 把分類討論的思想貫穿于教學之中。
中學生有個弱點，那就是害怕討論問題。雖然他們有時也把一個問題分成幾種情況加以解決，但在大多數情形下，這都是一種機械的、被動的模仿。比如我們在分析形如一元二次函數的表達式時二次項的系數為參數，要求對二次項的系數要分類討論（是否為零），當問及為什么要那樣分類時，他們往往答不上來，或解答不全的情況時有發生。以至于遇到一個要分幾種情況討論的新問題，大多會沒有思路，束手無策。或者純機械的模仿，一看到題中有時就討論它是否為零。通過觀察，我發現學生不能自己獨立地討論問題，是因為同學們不了解討論背后的思想——分類，于是無法對癥下藥。
首先講清楚人類解決任何問題，都是在一定的范圍內進行的，這個范圍就是問題的論域。當人們在整個論域里解決問題遇到困難時，往往先把論域劃分為若干種情況，然后對各種情況一一作答。由于劃分后的每個解決問題的范圍小了，且各自情況都有自身的特征，因此解決起來往往容易些。當這種辦法重復使用于各類問題中后就形成了一種思想——分類思想。顯然，分類的作用就是化整為零，分而治之，各個擊破。
數學問題的論域往往表現為一個大集合——全集，分類就是將大集合分為一些小集合，每個小集合叫一個類，這里還必須講清楚科學分類不準重復，不準遺漏（即常說的不重不漏）的要求及分類要選取一定的標準(依據) ，不同的標準就產生了不同的分類。在教學中我們要有意識地灌輸分類的思想。如講函數的奇偶性的標準是把函數全體分為(l)奇函數，(2)偶函數，(3)非奇非偶函數，(4)既奇又偶函數四大類。又以周期性為標準把它們可分為周期函數與非周期函數兩大類。又如在研究直線與平面的位置關系時，我們選取公共點的個數作為標準將其分為平行、相交和直線在平面內三大類，然后再逐步研究就順利達到了目的。
把數學問題的論域進行分類，然后逐一求解的過程叫討論。顯然分類是討論的先導和源泉。教學中需要討論的問題是很多的，我們在教學中，每次都站在分類思想的高度對學生解題的過程進行思維的指導，經過長期的培養，學生的思維能力有了很大的提高，他們害怕討論問題的程度就大大降低了。
事實上，給每個事物進行一種分類而數集通常用于分類，這樣就能使學生獲得統一的思想認識，在以后的解題中就能化為一個自覺的指導。
2. 用化歸思想駕馭教材。
所謂化歸就是把面臨的問題化解開來，歸結為一個或幾個已解決了的問題或簡單易解決的問題。人們解決問題時都自覺不自覺地用到了化歸的思想，當我們遇到一個陌生的問題時，我們總是把它與我們熟悉的模式、方式方法掛鉤。一般地說，人類知識向前演進的過程中，無不是化新知識為舊知識，化未知為已知的。從這個意義上講，化歸是一種具有廣泛的普遍性的深刻的數學思想，也是我們解決數學問題的總策略。它不但在科學家的發明創新中顯示了巨大的作用，就是在學生日常的解題過程中也有普遍的指導意義。
在教學中，我十分注意化歸思想的教學。在宏觀上，我們指出了解決立體幾何問題總是把空間問題轉化為平面問題，再去用平面幾何已有的結論去解決(這個"平面"一般是幾何體的某一個面所在平面或是我們作的輔助平面) ；解決解析幾何問題， 又總是通過建立坐標系把幾何問題化歸為代數問題去解決；解復數問題，總是用代數形式或三角形式把其化歸成實數問題或三角問題加以解決的。在上面的例子中作輔助平面建立坐標系及用代數(三角)式都是在創造化歸的條件，由此可見，創造"一定條件"是實現化歸的技術和關鍵。
在微觀層次上，我們已十分注意對學生化歸意識的培養。比如我們在講"加法定理"一節時，指導學生用化歸思想去進行推導，并指出:加法定理公式系統中幾十個公式全是用"母"公式通過化歸的方法推導出來的，從而使學生體驗數學思想的和諧的美。通過多次這樣的訓練，同學思維的靈活性、變通性都有了較大的提高，且對后面的知識學習造成了深遠的影響。我們還在證明"射影的面積公式"、"過一點有且只有一條直線垂直于已知平面"等命題及求解"半圓內最大矩形"等題目中成功地運用化歸的思想，使同學們感到化歸確實是一個應用十分廣泛的數學思想，并能自覺地把它作為一種思考新問題的思想原則。
3. 教會學生使用數學的邏輯原則。
人類在數學領域的長期社會實踐中，總結出了許多的知識及邏輯原則，這些原則在推動數學的運行和發展方面顯示了強有力的作用。我們在教學中運用這些原則也取得了較好的效果。例如在講立體幾何時，我跟同學們講，數學中任何一個概念必須經過嚴格的定義后才能運用，一組命題宣布為公理系統，必須具有完備性、獨立性與和諧性。但是有時為了教育的需要把某些直觀的結論、證明困難的命題也當作公理，這就破壞了獨立性。這樣的公理系統叫"擴大的公理系統"。有了這些知識后，同學們自學地調整知識的結構，并發現現行《立體幾何》教材中"平行線"概念的應用發生在定義之前的倒置情況，并認清了教材使用的公理系統是擴大了的公理系統。
一、端正滲透思想更新教育觀念
縱觀數學教學的現狀，應該看到，應試教育向素質教育轉軌的過程中，確實有很多弄潮兒站到了波峰浪尖，但也仍有一些數學課基本上還是在應試教育的慣性下運行，對素質教育只是形式上的“搖旗吶喊”，而行動上卻留戀應試教育“按兵不動”，缺乏戰略眼光，因而至今仍被困惑在無邊的題海之中。
究竟如何走出題海，擺脫那種勞民傷財的大運動量的機械訓練呢？我們認為：堅持滲透數學思想和方法，更新教育觀念是根本。要充分發掘教材中的知識點和典型例題中所蘊含的數學思想和方法，依靠數學思想指導數學思維，盡量暴露思維的全過程，展示數學方法的運用，大膽探索，會一題明一路，以少勝多，這才是走出題海誤區，真正實現教育轉軌的新途徑。
二、明確數學思想和方法的豐富內涵
所謂數學思想就是對數學知識和方法的本質及規律的理性認識，它是數學思維的結晶和概括，是解決數學問題的靈魂和根本策略。而數學方法則是數學思想的具體表現形式，是實現數學思想的手段和重要工具。數學思想和數學方法之間歷來就沒有嚴格的界限，只是在操作和運用過程中根據其特征和傾向性，分為數學思想和數學方法。一般說來，數學思想帶有理論特征，如符號化思想，集合對應思想，轉化思想等。而數學方法則具有實踐傾向，如消元法、換元法、配方法、待定系數法等。因此數學思想具有抽象性，數學方法具有操作性。數學思想和數學方法合在一起，稱為數學思想方法。
不同的數學思想和方法并不是彼此孤立，互不聯系的，較低層次的數學思想和方法經過抽象、概括便可以上升為較高層次的數學思想和方法，而較高層次的數學思想和方法則對較低層次的數學思想和方法有著指導意義，其往往是通過較低層次的思想方法來實現自身的運用價值。低層次是高層次的基礎，高層次是低層次的升級。
三、強化滲透意識
在教學過程中，數學的思想和方法應該占有中心的地位，“占有把數學大綱中所有的、為數很多的概念，所有的題目和章節聯結成一個統一的學科的核心地位。”這就是要突出數學思想和方法的滲透，強化滲透意識。這既是數學教學改革的需要，也是新時期素質教育對每一位數學教師提出的新要求。素質教育要求：“不僅要使學生掌握一定的知識技能，而且還要達到領悟數學思想，掌握數學方法，提高數學素養的目的。”而數學思想和方法又常常蘊含于教材之中，這就要求教師在吃透教材的基礎上去領悟隱含于教材的字里行間的數學思想和方法。一方面要明確數學思想和方法是數學素養的重要組成部分，另一方面又需要有一個全新而強烈地滲透數學思想方法的意識。
四、制定滲透目標
依據現行教材內容和教學大綱的要求，制訂不同層次的滲透目標，是保證數學思想和方法滲透的前提。現行教材中數學思想和方法，寓于知識的發生，發展和運用過程之中，而且不是每一種數學思想和方法都能象消元法、換元法、配方法那樣，達到在某一階段就能掌握運用的程度。有的數學思想方法貫穿初等數學的始終，必須分級分層制定目標。以在方程（組）的教學中滲透化歸思想和方法為例，在初一年級時，可讓學生知道在一定條件下把未知轉化為已知，把新知識轉化為已掌握的舊知識來解決的思想和方法；到了初二年級，可根據化歸思想的導向功能，鼓勵學生按一定的模式去探索運用；初三年級，已基本掌握了化歸的思想和方法，并有了一定的運用基礎和經驗，可鼓勵學生大膽開拓，創造運用。實際教學中也確實有一些學生能夠把多種數學思想和方法綜合運用于解決數學問題之中，這種水平正是我們走出題海所迫切需要的，它既是素質教育的要求，也本文的最終目的。
五、遵循滲透原則
我們所講的滲透是把教材中的本身數學思想和方法與數學對象有機地聯系起來，在新舊知識的學習運用中滲透，而不是有意去添加思想方法的內容，更不是片面強調數學思想和方法的概念，其目的是讓學生在潛移默化中去領悟。運用并逐步內化為思維品質。因而滲透中勿必遵循由感性到理性、由抽象到具體、由特殊到一般的滲透原則，使認識過程返樸歸真。讓學生以探索者的姿態出現，在自覺的狀態下，參與知識的形成和規律的揭示過程。那么學生所獲取的就不僅僅是知識，更重要的是在思維探索的過程中領悟、運用、內化了數學的思想和方法。
六、探索并掌握滲透的途徑
數學的思想和方法是數學中最本質、最驚彩、最具有數學價值的東西，在教材中除一些基本的思想和方法外，其它的數學思想和方法都呈隱蔽式，需要教師在數學教學中，乃至數學課外活動中探索選擇適當的途徑進行滲透。
1．在知識的形成過程中滲透
對數學而言，知識的形成過程實際上也是數學思想和方法的發生過程。大綱明確提出：“數學教學，不僅需要教給學生數學知識，而且還要揭示獲取知識的思維過程。”這一思維過程就是思想方法。傳授學生以數學思想，教給學生以數學方法，既是大綱的要求，也是走出題海的需要。因此必須把握教學過程中進行數學思想和方法滲透的契機。如概念的形成過程，結論的推導過程等，都是向學生滲透數學思想和方法，訓練思維，培養能力的極好機會。
2．在問題的解決過程中滲透
數學的思想和方法存在于問題的解決過程中，數學問題的步步轉化無不遵循著數學思想方法的指導。數學的思想和方法在解決數學問題的過程中占有舉足輕重的地位。教學大綱明確指出：“要加強對解題的正確指導，要引導學生從解題的思想和方法上作必要的概括”，這就是新教材的新思想。其實數學問題的解決過程就是用“不變”的數學思想和方法去解決不斷“變換”的數學命題，這既是滲透的目的，也是實現走出題海的重要環節。滲透數學思想和方法，不僅可以加快和優化問題解決的過程，而且還可以達到，會一題而明一路，通一類的效果，打破那種一把鑰匙開一把鎖的呆板模式，擺脫了應試教育下題海戰的束縛。通過滲透，盡量讓學生達到對數學思想和方法內化的境界，提高獨立獲取知識的能力和獨立解決問題的能力，此時的思維無疑具有創造性的品質。如化歸的數學思想是解決問題的一種基本思路，在整個初等方程及其它知識點的教學中，可以反復滲透和運用。
3．在復習小結中滲透
小結和復習是數學教學的重要環節，而應試教育下的數學小結和復習課常常是陷入無邊的題海，使得師生在枯燥的題海中進行著過量而機械的習題訓練，其結果是精疲力盡，茫然四顧，收獲甚少。如何提高小結、復習課的效果呢？我們的做法是：遵循數學大綱的要求。緊扣教材的知識結構，及時滲透相關的數學思想和數學方法。在數學思想的科學指導下，靈活運用數學方法，突破題海戰的模式，優化小結、復習課的教學。在章節小結、復習的數學教學中，我們注意從縱橫兩個方面，總結復習數學思想與方法，使師生都能體驗到領悟數學思想，運用數學方法，提高訓練效果，減輕師生負擔，走出題海誤區的輕松愉悅之感。
4．在數學講座等教學活動中滲透
關鍵詞：數學思想；數學素質；模型
中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2013）23-069-01
在數學思想方法是人們對數學知識本質的認識，是人們在長期的學習和應用數學過程中，形成對數學的高度概括的理論觀點。
《九年制義務教育全日制中學大綱》指出：“初中數學的基礎知識主要是初中代數、幾何中的概念、法則、性質公式、公理、定理以及由其內容所反映出來的數學思想和方法”。由此可見，數學思想方法對于數學學習及教學，全面提高初中學生的數學素質，有著重要的意義。在初中數學中滲透數學思想方法的作用主要表現在以下幾個方面：是素質教育的迫切需要。著名數學家玻利亞曾統計過：學生畢業后，研究數學和從事數學教育的人占1%，使用數學的人占29%，基本不用數學或很少用數學的人70%。愛因斯坦也曾說過：“當學生畢業離開學校時，如果把老師教他的知識都忘光了，這是他所剩下的才是學校、教師在他身上教學的真正成果。”這就是說，真正的成果是知識之外的東西，是能力，更是能力之上的智力因素。而數學思想方法就是增強學生數學觀念，形成良好數學素質的關鍵。
義務教育的核心在于著重發展學生的思維能力，全面提高學生的素質。而這一任務的具體實現，在很大程度上依賴于數學思想方法的教學。在數學概念的確立，數學事實的發現，數學理論的推導以及數學知識的應用中，所凝聚的思想和方法乃是數學的精髓，他會對學生的思維及整體文化素質，產生深刻而持久的影響，是學生受益終身。如果在數學教學中仍在苦口婆心地灌輸大量公式和呆板的例題，或魔術般的演練刁鉆難題而忽視知識與技能，淡化數學思想的數學，不盡快克服這些弊端，后果實在堪憂。
一、有助于學生深刻理解、牢固掌握數學知識
僅僅傳授知識，而缺乏數學思想方法的教學，學生只能是被動的背誦概念、公式、法則，機械的模仿例題的解題步驟，因此出現學生普遍存在的課堂上聽懂了，課下又不會做的現象，這在很大程度上就是知識教學與思想方法教學脫節的結果。
在數學教學中，不失時機地向學生滲透數學思想方法，有助于學生深刻理解知識，還可以使學生牢固掌握這部分知識，原因是數學教學理論和長期的實踐表明，要讓學生牢固掌握知識，唯一的方法就是讓學生了解其本質特征，類推其內部的規律，了解其內涵。表面的數學概念、定義、法則等，只能是學生記憶一時，無法讓學生記憶一世。
例如在分式的教學中，通過分式與分數在結構、運算法則的類比，可以使學生盡快理解分式的概念，掌握分式的運算法則，熟練地進行分式的運算。因此，數學教學中，傳授知識與滲透數學思想方法應交錯進行，互相促進，并行駕驅，才能使學生更深刻的理解數學知識，并能靈活應用，以至于進行數學創造。
二、有助于培養學生的知識遷移能力
數學中的知識點都是相互關聯的，也只有在數學知識的遷移過程中，知識才能被理解、應用。現代認知理論認為，能力是知識遷移的體現，能力的實質是遷移。一個人在解決問題的過程所學的知識遷移的越廣，越快，遷移的越恰當，他的能力就越強。而提高學生的學習能力是教學大綱的明確要求，因此，教師在教學過程中應善于研究、挖掘，用數學思想方法去溝通知識間的內在聯系，讓學生明確問題的不同形式中所含有的共同特征，認識問題的實質，并且能使他們在運用知識的過程中，產生聯想，獲得知識遷移的途徑，呈現思維的廣闊性。
三、有助于數學應用意識的增強
數學思想，是指現實世界的空間形式和數量關系反映到人們的意識之中，經過思維活動而產生的結果。數學思想是對數學事實與理論經過概括后產生的本質認識；基本數學思想則是體現或應該體現于基礎數學中的具有奠基性、總結性和最廣泛的數學思想，它們含有傳統數學思想的精華和現代數學思想的基本特征，并且是歷史地發展著的。掌握數學思想，就是掌握數學的精髓。
數學方法即用數學語言表述事物的狀態、關系和過程，并加以推導、演算和分析，以形成對問題的解釋、判斷和預言的方法。所謂方法，是指人們為了達到某種目的而采取的手段、途徑和行為方式中所包含的可操作的規則或模式，人們通過長期的實踐，發現了許多運用數學思想的手段、門路或程序。同一手段、門路或程序被重復運用了多次，并且都達到了預期的目的，就成為數學方法。
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關鍵詞： 數學分析 數學思想 分析
一、函數思想
函數概念和函數思想的提出和運用，使得變量數學誕生了，常量數學發展到變量數學，函數思想起了決定性作用。函數是數學分析的研究對象，函數思想就是運用函數的觀點，把常量視作變量、化靜為動、化離散為連續，將待解決的問題轉化為函數問題，運用函數的性質加以解決的一種思想方法。
在數學分析中，我們通常用來解決不等式的證明、方程根的存在性與個數、級數問題、數列極限等。
例1，證明：當x>0時，x-
分析：這是一個不等式證明問題，直接證明有一定難度，但是將此問題轉化為函數問題的單調性，即可解決問題。
證明：構造輔助函數f（x）=1n（1+x）-x+ ，則f`（x）= -1+x，可證當x>0時，f`（x）>0，因此單調遞增。又因為f（0）=0，所以當x>0時，f（x）>f（0）=0，即原不等式成立。
例2，判斷∑（-1）n 的斂散性。
分析：這是一個級數問題，該級數為交錯級數，從函數的觀點出發，化離散為連續，轉化為函數問題，運用函數的性質，從而解決問題。
解：該級數為交錯級數，由萊布尼茲判別法知，要判斷其斂散性，只需判斷通項的絕對值un= =是否單調減少且趨于為0。為此，將un連續化，設f（x）= ，由于f`（x）= ，當x>9時，f`（x）
二、極限的思想
極限的思想方法是近代數學的一種重要思想方法，數學分析就是以極限概念為基礎、極限理論為主要工具來研究初等函數的一門學科。極限是研究無限的有力工具，“極限”揭示了常量與變量、有限與無限、直線與曲線、勻速運動與變速運動對立統一的關系。極限的思想方法貫穿于數學分析課程的始終，一方面利用極限的思想給出了連續函數、導數、定積分、無窮小（大）量、級數的斂散性、多元函數的偏導數、廣義積分的斂散性、重積分、曲線積分、曲線弧長、曲面積分等的概念，數學分析中幾乎所有的概念都離不開極限的思想。另一方面在閉區間列上的區間套定理體現了極限的思想，泰勒定理中的泰勒公式就是利用多項式函數去逼近已知函數等。學習者以”極限理論”為工具，以現實具體的問題為背景，從具體到抽象，特殊到一般地去理解概念及定理的本質，可以增強分析和解決問題的能力。
對所求量，先構造與其相關的變量，前提是該變量無限變化的結果就是所求量，此時采用極限運算得到所求量。例如邱瞬時速度、曲面弧長、曲變形面積等問題，就是采用了極限的思想。
例3，如果物體做非勻速直線運動，其運動規律的函數是s=f（t），其中t為時間，s是距離，求它在時刻t0的瞬時速度。
解：物體從時刻到時刻這段時間內的平均速度是：
v= = ，當|t|很小時，時刻t0的瞬時速度v0≈v，因此當無限趨近于0（t≠0） 時，就無限趨近于v0，即v0=1im =1im 。
三、連續的思想
在數學分析中，把函數的連續性局部化到當函數的自變量在某點鄰域內作微小變動時，相應函數值也在對應點的函數值鄰域內作微小變動。
這種思想應用到連續函數求極限的情形，就可以把極限的復雜問題轉化為求函數值的問題，從而大大簡化了運算。如果給定的函數不連續，可以通過整理、化簡、變換等途徑將其轉化為連續函數，再利用上面的方法求其極限。
例4，求1im ，（a>0，a≠1）。
解：將給定的函數變形為1oga（1+x） ，再根據對數函數的連續性，有1im =1im1og（1+x） =1oga[1im（1+x） ]=1ogae。
四、數形結合的思想
數學是研究空間形式和數量關系的科學，而空間形式和數量關系之間往往存在密切的聯系，又有各自特點。數形結合思想方法，就是充分利用形的直觀性和數的規范性，通過數與形的聯系轉化來研究數學對象和解決數學問題。具體包括：數轉化為形的思想；形轉化為數的思想。這種方法使得復雜問題簡單化、抽象問題具體化、形象化、直觀化，化難為易，最終找到最優解決方案。
數形結合的思想在數學分析課程中的應用廣泛，很多抽象問題中都蘊含著某種幾何意義，借助幾何圖形，對抽象問題進行幾何解釋，使抽象問題結合圖形更容易深入理解，更容易掌握其最本質的知識。
比如：極限、曲線的漸近線、導數與微分、二元函數偏導數與全微分、定積分與重積分、反常積分（無窮積分與瑕積分）、函數的單調性、函數的凹凸性等概念的幾何意義，對于確切理解并正確掌握這些基本概念是非常重要的，同時為解決各種實際問題提供了多樣化的方法。
又比如：閉區間上連續函數基本性質（介值性定理、根的存在定理）、微分中值定理（羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理）、積分中值定理、費馬定理、隱函數存在唯一性定理等幾何意義，不論對定理的深入理解，還是對啟發證明定理結論方面有很大幫助。
例5，下面僅談談幾何圖形對拉格朗日定理的內容的理解及證明所起的作用。
為了敘述的方便，首先將拉格朗日定理陳述如下：若函數f滿足如下：（1）f在閉區間[a，b]上連續；（2）f在開區間（a，b）內可導，則在（a，b）內至少存在一點，使得f`（）= 。
它的幾何意義是若一條曲線在[a，b]上連續，曲線上每一點都存在切線，則曲線上至少存在一點θ（，f（）），過點θ的切線平行于割線AB（圖1）。此定理的證明關鍵在于運用其幾何意義，考慮到這個定理比羅爾定理少了一個條件，構造輔助函數使其滿足羅爾定理的要求，即滿足函數在端點的取值相同，最后用羅爾定理得出最后的結論。因此，想辦法構造一個輔助函數F（x），使得在[a，b]上連續，在（a，b）內可導并且F（a）=F（b）。觀察圖1可知，割線與曲線有兩個交點A與B，要使F（a）=F（b），只需使F（x）的圖像經過A，B兩點，F（x）可取為曲線縱坐標與割線縱坐標之差。其中，曲線的方程為y=f（x），割線AB的方程為y=f（a）+ （x-a），可見，幾何圖形在此定理的證明起到關鍵的作用。
參考文獻
數學思想方法包含的范疇有許多，在解決數學問題的過程中，若能根據習題需要，把數學思想方法滲透其中，可以起到化難為易，化抽象為具體，化繁為簡的作用，促進學生對習題的理解，提升數學能力。下面，就如何在解決問題教學中滲透數學思想方法進行研究。
一、注重轉化思想方法的滲透
所謂轉化思想，是指學生在解決數學問題時，將一些陌生的、難以理解的數學問題換個角度，換個方式，轉化為學生熟知的、相對簡單的數學問題。運用轉化思想，可以把復雜問題簡單化，抽象問題具體化，一般問題特殊化等等，從而使學生解決問題的過程顯得更加輕松。例如，“小明一分鐘跳繩150下，比小剛一分鐘少跳了28下，問小剛一分鐘跳繩多少下？”解決這個數學問題時，為了避免學生“見多加，見少減”的錯誤解題現象發生，教師就可以換個角度把小學生讀起來比較拗口的語言轉化為比較好理解的語言。這樣一來，學生解決問題顯得更加輕松。比如“比小剛一分鐘少跳了28下”這句話表述不太完整，可以鼓勵小學生把它換個說法。在教師的鼓勵下，有些學生轉化成“小明比小剛一分鐘少跳了28下”和“小剛一分鐘比小明多跳了28下”。這樣，小學生可以清楚地感覺到小剛跳得多，小明跳得少。求多的，用加法，求少的，用減法，這樣學生解決問題顯得相對簡單。像這樣的習題還有許多，教師要鼓勵學生善于把轉化思想運用到解題過程中，這樣不僅使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，而且在轉化過程中有效降低學生的理解難度，提高了學習效果。
二、注重對應思想方法的滲透
對應是指兩個集合元素之間存在的一種對應關系，簡而言之，是指未知問題中所描述的對象，在已有知識中有著與之一一對應的內容。在數學教學中，有許滲透數學思想提升數學能力的研究
鄒彩虹
（江蘇省常州市武進區芙蓉小學，江蘇 常州 213118）
中圖分類號：G421；G623.5 文獻標志碼：A 文章編號：1008-3561（2016）19-0047-01多數與算式、量與量等等之間都存在著一定的對應關系。為了幫助學生輕松解決問題，教師可以從對應思想入手，從已知到未知，幫助學生探尋解題路徑，優化解題方法。例如，“小華家養了12只黑兔，7只白兔，小華家一共養了多少只兔子？”在這道習題的教學中，針對低年級學生形象思維占主導的特點，教師就可以借助形象直觀的圖形，幫助學生建立對應關系，從而幫助學生輕松地解決問題。比如，讓學生用黑色的圓片表示黑兔的只數，用白色的圓片表示白兔的數量，最后求出小華家一共養了多少只兔子？在直觀的圖示中，學生可以清楚地看到求黑兔白兔一共有多少只，也就是求黑色圓片加上白色圓片一共有多少。學生可以用數一數的方法來解決，還可以通過圖示中與之對應的12+7來解決。這樣，在對應思想的滲透下，學生解決問題顯得更加輕松。從上述教學課例可以看出，雖然是簡單的加法應用題，在解決問題的策略上，教師并沒有簡單地一筆帶過，而是注重數學思想的滲透。在這里，直觀圖片與數量關系一一對應，學生可以在潛移默化中找出數量關系，發現對應規律，使學生從小就對數學思想有初步的認識，進而提高學習效果。
三、注重方程思想方法的滲透
所謂方程思想，是指從問題中已知量與未知量的關系出發，通過數學符號語言，幫助學生構建出已知量與未知量之間等式的過程。在數學教學過程中，當學生正向思考問題比較困難、理不清解題思路時，教師就可以引導學生通過構建方程等式的途徑來解決。這樣的教學，很容易幫助學生理清數量之間的關系，提高解題效果。例如，“今年爸爸和兒子的年齡剛好45歲，5年后爸爸的年齡剛好是兒子的4倍，今年爸爸和兒子各幾歲？”對于這個數學問題，教師一般采取的方法是（45+5×2）÷（4+1），先求出兒子的年齡，然后再求出爸爸的年齡。這樣的方法，雖然計算起來比較方便，但學生理解起來還是具有一定難度的。為了降低學生的理解難度，根據學習需要滲透方程思想，學生理解起來就顯得簡單容易多了。在教學時，可以這樣引導學生進行學習：當我們不知道一個具體的量是多少，可不可以用一個特殊的數學符號來表示呢？然后，再通過符號與已知量之間的關系建立等式方程。在教師的指導下，結合題目要求，學生分別用x、y來代替爸爸與兒子的年齡，然后通過具體關系得出x+y=45、x+5=4（y+5）.有了這樣的等量關系，通過等量代換的方法來解決問題既簡便輕松，而且便于學生理解。由此可見，在數學解題過程中，當學生對用算術法解決問題感到理解困難的時候，教師可以根據教學需要，把方程思想引入其中，以使學生能夠盡快找出習題中的數量關系，很容易達到解決數學問題的目的。
一 實踐操作，數字思想“具體化”
教育家夸美紐斯說過：“一切知識都是從感官的感覺開始的。在感覺中的東西，在理智上也不會有。”我們應該充分利用學生的感官，讓學生能夠利用學具來充分進行操作，大量感知，形成表象。現在的電教化手段比較好，所以有的教師就用計算機演示代替了學生的動手操作，但用計算機上的模擬代替學生的實踐活動，這樣就弱化了學生的探索活動。我們要引導學生有步驟、有條理地去操作，這樣才能讓我們的數學具體化，明確化。
比如六年級下冊的“抽屜原理”的教學時，我們讓學生借助把筆放入筆筒的具體操作來感知：把3枝筆放入2個筆筒，會有幾種情況；把4枝筆放入3個筆筒，會有幾種情況；……學生在操作實物的過程中就可以發現一個現象：不管怎么放，總有一個筆筒里至少要放進2枝筆。這時教師一定要引導學生去觀察：發現把4枝鉛筆分配到3個文具盒中一共只有四種情況，即（4，0，0），（3，1，0），（2，2，0），（2，1，1），每一種結果中，至少有一個數是不小于2的。在這4種情況中，我們只考慮存在性問題，所以在每一種情況中，都一定有一個文具盒中至少有2枝鉛筆。通過羅列實驗的所有結果，就可以讓學生感知什么是“總有一個筆筒里至少在放進2枝筆”的含義，從而把“抽屜原理”這個數學思想具體化。
通過操作，用“說理”的方式來理解“抽屜原理”的過程就是一種數學證明的雛形。通過這樣的方式，有助于逐步提高學生的邏輯思維能力，為以后學習較嚴密的數學證明做準備。
二 去表求質，數學模型“數學化”
操作可以為學生積累很多感知，但教學的最終目的是要幫助學生把感性認識上升為理性認識，要讓學生找出最本質的數學模型，有助于提高學生的邏輯思維能力，因此我們應該引導學生要及時對事物進行抽象概括，這樣就能夠抓住事物的本質特征。才能把數學模型“數學化”。
三年級上冊的“搭配”問題教學時，先讓學生自己動手去搭配衣服，再引導學生有順序、有條理地觀察這些情況，還可以讓學生選用文字和線段來表示。學生說出了上衣搭配出了3種情況，牛仔搭配出了3種情況時，引導學生：你觀察一下上身幾件衣服？下身幾件衣服？你又發現什么？學生又很快說出從上身看可以用2×3=6種表示，從下身衣服看也可以用2×3=6種來表示，所以學生又總結出了規律：用上身的衣服數×下身的衣服數=搭配的衣服數。如果只是讓學生進行了操作，不去引導學生對這些具體的表象進行抽象概括的話，學生在思想上的認識就還是一片混亂；沒有感受到什么“數學思想”的教育，但如果引導學生去表求質的話，通過表象去思考問題的實質，找出規律。這樣重在向學生滲透了排列、組合的數學思想，并初步培養學生有順序地、全面地思考問題的意識，這也是《標準》中提出的要求：“在解決問題的過程中，使學生能進行簡單的、有條理的思考。”
所以我們要讓學生能夠把眼前的具體操作“數學化”，在頭腦中構建出“數學模型”的基本模式。
三 靈活運用，數學思想“模型化”
相對于一種數學思想來說，它表現出來的外在形式是多種多樣的，所以我們應該讓學生靈活運用，把我們的數學思想“模型化”，能夠從多種多樣的問題中找出最基本的“數學模型”，用這樣的“模型”把問題簡單化，明了化。所以我們應該有意識地培養學生的“模型化”思想。
