時間：2022-09-25 14:32:46
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創(chuàng)造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇函數(shù)教學，希望這些內(nèi)容能成為您創(chuàng)作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
C語言的學習在整個計算機專業(yè)甚至非計算機專業(yè)的學習中都有舉足輕重的作用。函數(shù)的學習在C語言的學習中是具有靈魂作用的一章。根據(jù)筆者多年的C語言教學經(jīng)驗，發(fā)現(xiàn)很多學生在進行函數(shù)的學習時，遇到很大的困難。很多學生因為函數(shù)沒搞清楚，導致整個C語言的水平永遠只停留在入門的階段。分析原因，一是大多課本函數(shù)知識的安排很靠后，這樣函數(shù)在整個C語言的學習中課時較少；二是我認為大多是教學方法不合理，很多教師過分注重C語言語法知識的學習，沒有注重編程思想的培養(yǎng)。
一、函數(shù)的概念函數(shù)是一組語句，這組語句可以完成一個獨立的操作，這組語句有一個簡短的名字，程序員可以僅僅利用這個名字完成某個操作。函數(shù)的使用，使復雜的程序變得簡單化、條理化、清晰化。在C語言中函數(shù)分為兩大類：庫函數(shù)、用戶自定義函數(shù)。
1、庫函數(shù)在編寫程序的過程中往往有一些操作需要頻繁的使用，并且這些操作的代碼實現(xiàn)又有一定的難度。比如數(shù)據(jù)的輸入、輸出。在C語言中是沒有輸入輸出語句的，由于輸入輸出涉及到多計算機硬件的直接操作，對用戶來說較困難。這些操作往往由編譯系統(tǒng)的開發(fā)商提供給用戶。它們都是以獨立程序塊的模式出現(xiàn)，并且存在于編譯系統(tǒng)的某個文件中，這就是庫函數(shù)。比如printf()，scanf()。它們是由編譯程序根據(jù)一般用戶的需要編制并提供給用戶使用的一組程序代碼。C語言的庫函數(shù)極大地方便了用戶，同時也補充了C語言本身的不足。事實上，在編寫C語言程序時，應當盡可能多地使用庫函數(shù)，這樣既可以提高程序的運行效率，又可以提高編程的質(zhì)量。
2、用戶自定義函數(shù)用戶自定義函數(shù)顧名思義就是用戶自己定義的函數(shù)。程序的編寫過程其實就是一個個函數(shù)的定義過程。很多情況下，C語言的編譯系統(tǒng)提供給我們的函數(shù)并不能滿足用戶的要求，這就要求用戶自己編寫函數(shù)。函數(shù)是由一組語句組成，并給定一個名字。相應的函數(shù)的定義一般可分為兩大部分：函數(shù)頭部的定義、函數(shù)體的定義。形式如下：函數(shù)的類型函數(shù)名（函數(shù)的參數(shù)）{函數(shù)體；}上面大括號上邊的一行成為函數(shù)的頭部（首部），它給出了函數(shù)的表面信息：函數(shù)返回值的類型，函數(shù)的名字，函數(shù)要處理的數(shù)據(jù)；大括號內(nèi)的語句描述了函數(shù)的內(nèi)在構(gòu)造，這組語句完成一個獨立的操作，是對函數(shù)能夠完成功能的具體描述。
3、函數(shù)的調(diào)用函數(shù)是由一組語句組成，并給定一個名字。執(zhí)行與函數(shù)相關的一組語句的行為稱為函數(shù)的調(diào)用。應該說函數(shù)定義好之后調(diào)用之前是沒有什么意義的。函數(shù)就像某個具有特殊功能的機器工具。這些機器只有在開關打開之后才能發(fā)揮作用。在程序編寫過程中，完成“開關機器”這個操作的就是函數(shù)調(diào)用。函數(shù)調(diào)用的一般形式：函數(shù)名（實際參數(shù)）；
二、函數(shù)的教學C語言函數(shù)的教學主要是學習自定義函數(shù)以及庫函數(shù)的使用。
1、庫函數(shù)的教學庫函數(shù)的教學主要是引導學生主動積極地去使用庫函數(shù)。由于大多數(shù)課本中庫函數(shù)僅僅是提及，學生大多只會簡單輸入輸出函數(shù)及一些字符串處理函數(shù)的使用。其實庫函數(shù)還有大量的函數(shù)提供給我們。但很多學生不會主動去了解，去使用，原因主要是學生不了解庫函數(shù)有哪些，能干什么。針對這種情況，我們可以在教學中找一些用法簡單有趣的庫函數(shù)來激發(fā)學生的學習興趣。比如可以把圖形函數(shù)庫中的一些函數(shù)做一簡單介紹，在屏幕上輸出一些帶有色彩的簡單的圖案。事實證明色彩的引入能引起很多學生主動使用庫函數(shù)的興趣。
2、自定義函數(shù)的教學在這個環(huán)節(jié)的教學中，函數(shù)定義的一般形式很多學生能夠掌握。但是函數(shù)的參數(shù)確定以及函數(shù)返回值的確定對很多函數(shù)初學者來說是難點。我認為，這個地方我們可以引入圖示法來理解函數(shù)的參數(shù)和函數(shù)的返回值。函數(shù)其實就是對某些數(shù)據(jù)的處理，我們把函數(shù)理解為一個黑匣子，它有一個入口和一個出口。入口進入的數(shù)據(jù)就是你要處理的數(shù)據(jù)，也就是函數(shù)的參數(shù)。出口出去的數(shù)據(jù)就是數(shù)據(jù)的處理結(jié)果，也就是函數(shù)的返回值。
一、教學設計
備課時，我認真研讀教材，認為本節(jié)課無論是重點和難點都要讓學生掌握反比例函數(shù)的概念，以及如何與一次函數(shù)及一次函數(shù)中的正比例函數(shù)的區(qū)別。所以，我在講授新課前安排了對“函數(shù)”“一次函數(shù)”及“正比例函數(shù)”概念及“一次函數(shù)”和“正比例函數(shù)”的復習。
為了更好地讓學生掌握“反比例函數(shù)”的概念，并能突出重點，我采用了課本上的問題情境，同時調(diào)整了課本上提供的“做一做”的有關問題，讓學生體會在生活中有很多反比例關系。
情景設置：
第143頁實例：電流I，電阻R，電壓U之間滿足關系式U=IR，當U=220 V時。
（1）你能用含有R的代數(shù)式表示I嗎？
（2）利用寫出的關系式完成下表：
當R越來越大時，I怎樣變化？當R越來越小呢？
（3）變量I是R的函數(shù)嗎？為什么？
學生通過填表發(fā)現(xiàn)：
當R越來越大時，I越來越小。當R越來越小時，I越來越大。
變量I是R的函數(shù)。變量I是R的函數(shù).由IR=220，得b=220/R.當給定一個R的值時，相應地就確定了一個I值，因此I是R的函數(shù)。
設計意圖：與前面復習內(nèi)容相呼應，讓同學們能在“做一做”中感受兩個量之間的函數(shù)關系，同時也能注意到與所學“一次函數(shù)”，尤其是“正比例函數(shù)”的不同，從而自然地引入“反比例函數(shù)”概念。
二、課堂教學
在這節(jié)課中，由于備課充分，我信心十足，因此課堂氣氛比較活躍。我認為最成功之處是比較充分地調(diào)動了學生的積極性、主動性。由于學生的興趣得以激發(fā)，所以，在教授新課的過程中，師生得以互動。
在復習“函數(shù)”這一概念的時候，很多學生感到比較陌生，顯然不是忘記了就是不知道如何表達。我舉了兩個簡單的實例，學生們立即就回憶起函數(shù)的本質(zhì)含義，為學習反比例函數(shù)的圖象做了很好的鋪墊。
三、經(jīng)驗感想
關鍵詞 函數(shù) 概念
回顧函數(shù)概念的歷史發(fā)展，函數(shù)概念是不斷被精煉，深化，豐富的。初中時函數(shù)的定義是一個變量對另一個變量的一種依賴關系。在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么我們就說x是自變量，y是x的函數(shù)。高中時，是用集合與對應的語言描述了函數(shù)概念。函數(shù)是一種對應關系，是函數(shù)概念的近代定義。
設a,b是非空數(shù)集,如果按某個確定的對應關系f,使對于集合a中的任意一個數(shù)x,在集合b中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應,那么就稱f:ab為從集合a到集合b的一個函數(shù),記作y=f(x),x∈a。函數(shù)近代定義與傳統(tǒng)定義在實質(zhì)上是一致的，兩個定義中的定義域與值域的意義完全相同。兩個定義中的對應法則實際上也一樣，只不過敘述的出發(fā)點不同，傳統(tǒng)定義是從運動變化的觀點出發(fā)，近代定義的對應法則是從集合與對應的觀點出發(fā)。
函數(shù)的概念這一節(jié)課，內(nèi)容比較抽象，概念性強，思維量大，為了充分調(diào)動學生的積極性和主動性，教學中通過典型實例來啟發(fā)和幫助學生分析，比較，以達到建構(gòu)概念之目的。
引出函數(shù)的概念，先是舉出了生活中的三個實例。第一個實例是關于物體做斜拋運動的，和初中學習過的二次函數(shù)相聯(lián)系。第二個實例是關于臭氧空洞的問題，給出了函數(shù)的圖像，按照圖中曲線，發(fā)現(xiàn)了兩個集合之間的一種特殊的對應關系。第三個實例是關于恩格爾系數(shù)的經(jīng)濟實例。列表給出了恩格爾系數(shù)和時間（年）的關系。三個實例共同反映了變量之間的相互依賴的關系，同時反映出兩個非空集合之間的一種特殊的對應關系。這樣，自然而然地給出了函數(shù)的概念，并且這三個實例中的函數(shù)恰好是用了三種表示方法：解析法，圖像法，列表法。
以實際問題為載體，以信息技術的作圖功能為輔助。通過三個實例的教學，師生共同發(fā)現(xiàn)了函數(shù)概念中的對應關系。教師在歸納出函數(shù)定義后，可以在全班進行交流。結(jié)合初中函數(shù)的定義，指出兩個定義的區(qū)別和聯(lián)系。關于“y=f(x)”這一個函數(shù)符號的理解，教師可以提問：y=f(x)一定是函數(shù)的解析式嗎？回答是不一定，可以舉出實例二和實例三。函數(shù)的解析式，圖像，表格都是函數(shù)的表示方法。即：y=f(x)表示y是x的函數(shù)，但f(x)不一定是解析式。當f(x)是一個解析式時，如果把x,y看作是并列的未知量或者點的坐標，那么y=f(x)也可以看做是一個方程。
函數(shù)的核心是對應法則，通常用記號f表示函數(shù)的對應法則，在不同的函數(shù)中，f的具體含義不一樣。函數(shù)記號y=f(x)表明，對于定義域a的任意一個x在“對應法則f”的作用下，即在b中可得唯一的y.當x在定義域中取一個確定的a，對應的函數(shù)值即為f(a).集合b中并非所有的元素在定義域a中都有元素和它對應；值域 。教師引導學生歸納并總結(jié)，函數(shù)的三要素是定義域，值域和對應法則。
然后，教師給出同學們所熟悉的三種函數(shù)，一次函數(shù)y=ax+b(a≠0)，反比例函數(shù) ，以及二次函數(shù) 。教師演示動畫，用幾何畫板顯示這三種函數(shù)的動態(tài)圖像，啟發(fā)學生觀察，分析，并請學生們思考之后，填寫對應關系，定義域和值域。通過三個熟悉的函數(shù)加深學生對函數(shù)近代定義的理解。教師引導學生歸納總結(jié)出：函數(shù)的三要素是定義域、值域及對應法則。在函數(shù)的三要素中，當其中的兩要素已確定時，則第三個要素也就隨之確定了。如果函數(shù)的定義域，對應法則已確定，則函數(shù)的值域也就確定了。
連續(xù)的實數(shù)集合可以用集合表示，也可以用區(qū)間表示。利用多媒體課件展示怎樣用區(qū)間表示集合。區(qū)間可以分為閉區(qū)間，開區(qū)間，半開半閉區(qū)間。特別地，實數(shù)集r記作(-∞,+∞), ∞ 讀作無窮大；-∞ 讀作負無窮大；+∞ 讀作正無窮大;“∞”不是一個數(shù)，表示無限大的變化趨勢，因此作為端點，不用方括號。
例1和例2的編排，是為了進一步地加深理解函數(shù)的三要素。函數(shù)的定義域通常由問題的實際背景確定.對于用解析式表示的函數(shù)如果沒有給出定義域，那么就認為函數(shù)的定義域是指使函數(shù)表達式有意義的自變量取值的集合。在例1中，要注意f(a)與f(x)的聯(lián)系與區(qū)別：f(a)表示當自變量x=a時函數(shù)f(x)的值，它是一個常量；而f(x)是自變量x的函數(shù)，在一般情況下，它是一個變量。f(a)是f(x)的一個特殊值。例2是來判斷兩個函數(shù)是否相等的。如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且對應關系完全一致，這兩個函數(shù)就是相等的。
數(shù)學概念是構(gòu)建數(shù)學理論大廈的基石；是導出數(shù)學定理和數(shù)學法則的邏輯基礎；是提高解題能力的前提；是數(shù)學學科的靈魂和精髓。因此，數(shù)學概念教學是高中數(shù)學教學的一項重要任務，是“雙基”教學的核心、是數(shù)學教學的重要組成部分，應引起足夠重視。正確理解概念是學好數(shù)學的基礎，概念不清往往是導致學生數(shù)學成績差的最直接的原因。
【關鍵詞】周期 最小正周期 周期函數(shù)
【中圖分類號】G642 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674－4810（2012）04－0045－01
要教好函數(shù)教學，首先教師自己要對函數(shù)教學知識有整體的認識和把握；其次要了解學生的認知結(jié)構(gòu)；再次要處理好課堂教學中教師的教和學生的學的關系。課堂教學是學生在校期間學習文化科學知識的主陣地，也是對學生進行思想品德教育的主渠道。課堂教學不但要加強“雙基”而且要提高智力；不但要發(fā)展學生的智力，而且要發(fā)展學生的創(chuàng)造力；不但要讓學生學會，而且要讓學生會學，特別是會自學；要提高學生的智力因素，盡量在有限的時間里，出色地完成教學任務。以下談一談筆者的一些看法。
一 定義法
利用定義求函數(shù)最小正周期是一種很重要的方法。
例1，求函數(shù)y＝sin（px＋α）的最小正周期，其中p＞0，α為實數(shù)。
解：設T是函數(shù)y的周期，那么sin［p（x＋T）＋α］＝
sin（px＋α），移項后，再和差化積，得到2sin •cos（px
＋ ＋α）。當sin ＝0它的最小正數(shù)解為T＝ ，上式
對于一切x都成立，所欲求最小正周期。
例2，設數(shù)列a1，a2，…，an，…，滿足a1＝a2＝1，a3＝2，且對任何自然數(shù)n都有anan＋1an＋2≠1，又anan＋1an＋2an＋3＝an＋an＋1＋an＋2＋an＋3，則a1＋a2＋…＋a100的值是 。（1998全國高中聯(lián)賽）
解：由anan＋1an＋2•an＋3＝an＋an＋1＋an＋2＋an＋3，得an＋1
an＋2an＋3an＋4＝an＋1＋an＋2＋an＋3＋an＋4，兩式相減得an＋1an＋2
an＋3（an－an＋4）＝an－an＋4，因此（an－an＋4）（an＋1an＋2an＋3－1）＝0。
anan＋1an＋2≠1，an＝an＋4。
{an}是以4為周期的周期數(shù)列，而a1＝a2＝1，a3＝2，a1a2a3a4＝a1＋a2＋a3＋a4，因此a4＝4，a1＋a2＋…＋a100＝25（a1＋a2＋a3＋a4）＝200。
二 公式法
設周期函數(shù)f（x）有最小正周期T，那么f（λx）（λ≠0）
有最小正周期 。這條性質(zhì)的來源是高中數(shù)學中三角函數(shù)的
性質(zhì)：對于函數(shù)y＝A sin（ωx＋φ），x∈R其周期為 ，由于
函數(shù)f（x）＝sin（x）的周期為T＝2π，所以可以猜想對于一般函數(shù)也具有這樣的一般性。所以，在求函數(shù)最小正周期時，將所給的三角函數(shù)恒等變形，等價轉(zhuǎn)化為上面的基本三角函數(shù)中的某一種，再套用公式，即可求解。
三 公倍數(shù)法
設F（x）＝A sinω1x＋B sinω2x x（其中A，B為非零常數(shù)，ω1，ω2＞0，ω1≠ω2），sinω1x的最小正周期為mπ，sinω2x的最小正周期為nπ。m、n皆為正整數(shù)，L＝［m，n］，則F（x）的最小正周期為Lπ。
四 對稱性
例3，設函數(shù)f（x）在（－∞，+∞）上滿足f（2－x）＝f（2＋x），f（7－x）＝f（7＋x），且在閉區(qū)間［0，7］上，只有f（1）＝f（3）＝0。則：（1）試判斷函數(shù)y＝f（x）的奇偶性；（2）試求方程f（x）＝0在閉區(qū)間［－2005，2005］上的根的個數(shù)，并證明你的結(jié)論。（2005廣東高考）
五 奇偶性
性質(zhì)1：設函數(shù)y＝f（x）為奇函數(shù)，且關于x＝a對稱，則y＝f（x）是T＝4a的周期函數(shù)。
性質(zhì)2：設函數(shù)y＝f（x）為偶函數(shù)，且關于x＝a對稱，則y＝f（x）是T＝2a的周期函數(shù)。
六 總結(jié)
[關鍵詞]
初中階段，學生已經(jīng)學習過函數(shù)概念，但到了高中，函數(shù)概念發(fā)生了變化。此時，數(shù)學教師要幫學生理清概念，解析問題。
一、對“函數(shù)”概念的理解
在初中，學生已經(jīng)學習過函數(shù)概念，建立的函數(shù)概念是：一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么，我們就說y是x的函數(shù)。其中x稱為自變量。這個定義從運動變化的觀點出發(fā)，把函數(shù)看成是變量之間的依賴關系。從歷史上看，初中給出的定義來源于物理公式，最初的函數(shù)概念幾乎等同于解析式。進入高中，學生需要建立的函數(shù)概念是：設A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對應，那么就稱f：AB為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y＝f（x），x∈A。其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合 f（x）|x∈A叫做函數(shù)的值域。這個概念與初中概念相比更具有一般性。其實，高中的函數(shù)概念與初中的函數(shù)概念本質(zhì)上是一致的。不同點是表述方式不同──高中明確了集合、對應的方法；初中雖然沒有明確定義域、值域這些集合，但這是客觀存在的，也已經(jīng)滲透了集合與對應的觀點。且高中引入了抽象的符號f（x），f（x）指集合B中與x對應的那個數(shù)，當x確定時，f（x）也唯一確定。另外，初中并沒有明確函數(shù)值域這個概念。
函數(shù)概念的核心是“對應”，理解函數(shù)概念要注意：1.兩個數(shù)集間有一種確定的對應關系f，即對于數(shù)集A中每一個x，數(shù)集B中都有唯一確定的y和它對應。2.涉及兩個數(shù)集A、B，而且這兩個數(shù)集都非空；這里的關鍵詞是“每一個”“唯一確定”。也就是，對于集合A中的數(shù)，不能有的在集合B中有數(shù)與之對應，有的沒有。而且，在集合B中只能有一個與之對應，不存在兩個或者兩個。3.函數(shù)概念中涉及的集合A、B，對應關系f是一個整體，是集合A與集合B之間的一種對應關系，應該從整體的角度來認識函數(shù)。
二、目標解析
1.通過豐富實例，建立函數(shù)概念的背景，使學生體會函數(shù)是描述變量之間的依賴關系的重要數(shù)學模型。能用集合與對應的語言來刻畫函數(shù)，了解構(gòu)成函數(shù)的三個要素。2.會判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)，會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域。3.通過從實例中抽象概括函數(shù)概念的活動，培養(yǎng)學生的抽象概括能力。
教學的重點是，在研究已有函數(shù)實例（學生舉出的例子）的過程中，感受在兩個數(shù)集A、B之間所存在的對應關系f，進而用集合、對應的語言刻畫這一關系，獲得函數(shù)概念。然后再進一步理解它。
三、教學問題診斷分析
1.學生對函數(shù)概念中的“每一個”“唯一確定”等關鍵詞關注不夠，領會不深。教學中，可以通過反例讓學生加以認識。如有學生的考試情況是這樣的：集合A＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{90，93，98，92}，f：每次考試成績。這里就不能表示一個函數(shù)。因為對于集合A中的元素“4”，在集合B中就沒有元素與它對應。
2.忽視“數(shù)集”二字，把一般的映射關系理解為函數(shù)。如：高一（2）班的同學組成集合A，教室里的座椅組成集合B，每個學生都有唯一的一個座椅，班上還有空椅子。這能否算作一個函數(shù)的例子，為什么？
3.對為什么集合B不是函數(shù)的值域不理解．讓學生感受到，有時，為了研究方便或者確定一個函數(shù)的值域暫時有困難，使得B＝{f（x）|x∈A} 更加合理。
4.當函數(shù)關系具有解析式表示時，f（x）當然可以用x的解析式表示出來。學生會因此而誤以為對應關系f都可以用解析式表示。可以通過所舉實例的類型，引導學生，明確表示對應關系f并非解析表達式不可。但這不是本節(jié)課的重點，應該放在下一節(jié)課“函數(shù)的表示”中解決。只要注意所列舉的例子不光是有解析式的即可。
5.本課的難點是：對抽象符號y＝ f（x）的理解。可以通過具體函數(shù)讓學生理解抽象的f（x）。比如函數(shù)f（x）＝x2，A＝x|－2≤x＜2 ．f(－1)＝1，f(1.5)＝2.25，f(－2)＝4，
首先，我認為在課堂上，我對知識的掌握還是有一定的欠缺，把二次函數(shù)用自己的眼光和感受想象的太簡單，但是對于學生而言，這又是一個重點，尤其是一個難點。所以我課堂上有的習題深度沒有掌握好，沒有做到面向全體。
其次，本節(jié)課體現(xiàn)的是分層教學，而我只是在后面的比賽中簡單的體現(xiàn)分層，對于提問中得分層，習題中的分層還是做的不夠好，這說明我對于分層教學的這種方法還是有待于進一步的提高，應該真正的站在學生的角度來分層。
第三，課堂上的語言不夠精辟，尤其是評價性的話語很少，很單調(diào)。沒有做到讓學生為我的一句話而振奮，沒有因為為了爭得我的一句話而好好做題等等，這是我一直以來欠缺的一個重要點。
那么針對以上幾點，我從自己的角度思考，收獲了以下這些：
1.上課之前一定要反復的推敲，琢磨課本，找出本節(jié)課知識的“靈魂”，然后站在學生的角度，仔細研究，如何講授學生們才能愿意聽，才能聽得明白。尤其不能把學生想像的水平很高，不是不自信，而是不能把學生逼到“危險之地”，以免打擊自尊心，熄滅剛剛點燃的興趣之光。真正做到“低起點”。
2.既然選擇和實施了分層教學，就應該多下功夫去琢磨，去進行它。既然是分層就應該把它做到“順其自然”，而不僅僅是一種形式。在分層的同時應該找到一個點，就是說，這個點上的問題是承上啟下的，是應該全班都能夠掌握的。對于尖子生，不能在課堂上想讓他們吃飽，對于他們應該在課下，或者是采用小紙條的方法單獨來測試，不能為了他們的能力把題目難度定的過高。再者，分層應該體現(xiàn)在一節(jié)課的所有環(huán)節(jié)，例如，在提問時，對于一個問題應該分層次來提，來回答。
3.應該及時地，迅速的提高自己的言語水平。
一堂課的精彩與否，教師的課堂語言也是很重要的一個方面，例如一節(jié)課的講授過程，或者是對于學生的評價等等。
督促自己多讀書，多練習，以豐富自己的語言。
【關鍵詞】 初中數(shù)學 函數(shù)概念 教學
1. 概念滲透階段，初步認識變量之間的相互關系
函數(shù)與我們每個人的生活息息相關，函數(shù)關系充斥著我們的生活，函數(shù)概念是中學數(shù)學中的核心概念，函數(shù)思想貫穿中學教材的始終。首先，從初一代數(shù)“對字母表示數(shù)的認識”開始，學生體驗、認識到了“變量”，在教學中教師要促使學生感受到變量的意義，體驗變量的概念.其次，在“代數(shù)式的值”、“數(shù)軸和坐標”的教學中再滲透變量的含義，讓學生通過對代數(shù)式中字母取值之間的相互關系，滲透關于“對應”概念的初步思想，感受到變量之間的相互聯(lián)系。最后，隨著代數(shù)式、方程的研究滲透這一觀念，特別是“二元一次方程”的教學環(huán)節(jié)中，進一步促進學生感受兩個變量之間是彼此關聯(lián)的。通過這樣的鋪墊，經(jīng)過一定量的知識累積，引導學生體會變量之間的相互依存的關系。
2. 概念認知階段，逐步感知變量之間的內(nèi)在聯(lián)系
在初二幾何部分教學中，教材中涉及函數(shù)關系的例子非常多。比如“角的平分線的定義”、“中點的定義”、“角度之間的互余、互補”等都揭示了兩個變量之間的聯(lián)系。另外像“平行線四邊形的性質(zhì)”、“中位線定理”等等都蘊涵著函數(shù)關系。一方面，教師在傳授這些知識點的 過程中要有不斷滲透變量的意識，即在現(xiàn)實生活中存在著大量的變量，且變量之間并不是獨立的，而是相互聯(lián)系的；另一方面，要指導學生在學習這些知識的過程中熟悉把“幾何問題代數(shù)化”的方法，為函數(shù)的代數(shù)和幾何方法的相結(jié)合打好必要的基礎，為后續(xù)函數(shù)概念的學習作好充分的鋪墊。
函數(shù)概念的形成用物理上的知識點滲透變量意識，是非常直觀而且有效的方法。物理書中的很多知識點都是促成學生形成函數(shù)概念的較好素材。比如速度計算公式v=st中的速度、時間和路程，壓強計算公式P=F/S中壓力、受力面積和壓強之間的關系都是典型的函數(shù)關系。從多方面、多學科進行滲透，強化變量之間是相互聯(lián)系的觀念。
3. 概念引入階段，順利形成函數(shù)概念的感知認識
“建構(gòu)主義學習理論”認為：“應把學生看成是學生主動的建構(gòu)活動，學習應與一定的知識、背景即情境相聯(lián)系；在實際情境下進行學習，可以使學生利用已有的知識與經(jīng)驗同化和索引出當前要學習的新知識，這樣獲取的知識，不但便于保持，而且易于遷移到陌生的問題情境中。”
在學生對變量意識以及變量之間相互依存關系有了初步認識以后，函數(shù)概念的教學前期準備工作已經(jīng)基本完成，接下來就可以開始函數(shù)概念的講授了。教師在教授函數(shù)概念時，一定要合理設置教學情境，要讓學生清醒地感受到變量意識，然后再講清楚“自變量”、“函數(shù)”的名稱及含義，并引導學生學會運用這些名詞來敘述變量間的依存關系，從而熟悉函數(shù)概念。
當然學生這時對函數(shù)的理解還并不太清晰，正比例函數(shù)、一次函數(shù)都是比較簡單的函數(shù)，在實際生活中也是大量存在的，例如相似三角形、30°角的直角三角形中對應邊之間的比例關系是正比例函數(shù)等等。具體例子可以使學生清楚地認識到兩個變量之間的聯(lián)系及共性，函數(shù)的概念就會逐漸在學生的腦海中留下印記，在以后的反比例函數(shù)和二次函數(shù)的教學中，可以進一步促進學生深入理解函數(shù)概念的內(nèi)涵與實質(zhì)。教師在實際教學中能從整體上把握教學，就可以挖掘出最適宜的教學方法，使學生深刻理解函數(shù)的實質(zhì)。
4. 概念延伸階段，逐漸適應函數(shù)的學習方法
函數(shù)的學習方法與以前代數(shù)和幾何的學習方法有著明顯的不同。進入函數(shù)表達式開始，由于函數(shù)的表達是多樣化的，有圖像法、列表法、解析式法等，許多學生很不適應，怎樣在教學函數(shù)時使學生逐漸適應這種多樣化呢？在函數(shù)概念的實際教學中，我一般采用教師引導式：先從實際問題引入概念，鼓勵學生以討論的方式，注重分析啟發(fā)、鞏固反饋，使學生一點點地認識到函數(shù)概念的共同特性；了解不同的方法表示函數(shù)的方法在不同情況下的使用情況。
另外，“數(shù)形結(jié)合法”是函數(shù)學習的最重要的學習方法，它和代數(shù)方法、幾何方法有著明顯的不同。
學生對“數(shù)形結(jié)合法”的適應需要一定的時間，因為學生對代數(shù)解析式與幾何圖形之間的對應還不適應，從正比例函數(shù)到反比例函數(shù)，最后進入二次函數(shù)的學習過程中，要使學生認識到幾種函數(shù)的直觀對應關系：一次函數(shù)對應直線，反比例函數(shù)對應雙曲線，二次函數(shù)對應拋物線.通過對圖像的認識與感知，學生體會到“數(shù)形結(jié)合法”的優(yōu)點：“準確簡潔的解析式，直觀形象的圖像。”
總之，學習函數(shù)概念首先要有觀念上的轉(zhuǎn)變，其次要具備抽象思維能力，提高學生的抽象思維能力和學生的認識能力是使學生形成函數(shù)思想的基礎。所以教師在進入函數(shù)概念的教學過程中，要把傳授知識和培養(yǎng)思維能力有機結(jié)合起來，實現(xiàn)觀念上的轉(zhuǎn)變。這就要求教師要從整體上處理好教材，使函數(shù)概念的教學活動成為一個有機整體，這樣才能在教學活動中真正有效地提高學生的素質(zhì)。
參考文獻：
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函數(shù)是初中數(shù)學的核心內(nèi)容，一直以來都是重點與難點，學好函數(shù)，不僅僅是應對考試的需求，更是解決許多實際生活問題的需要。函數(shù)概念自身的抽象性與學生的思維特點、學習習慣，構(gòu)成了初中函數(shù)教學的主要困難，教學應在深化概念理解、滲透數(shù)形結(jié)合思想、激發(fā)學生學習主動性等方面提出提高初中函數(shù)教學效率。
[關鍵詞]
函數(shù)；思維；對策
作為初中階段接觸的全新概念，函數(shù)一直是初中數(shù)學教學的重點與難點，學生在學習過程中不免遇到許多困難，本文將對此進行探究。
一、初中數(shù)學函數(shù)教學存在的主要困難
（一）函數(shù)本質(zhì)意識不清
初中數(shù)學函數(shù)教學的首要困難便是函數(shù)概念本質(zhì)理解的問題，這一問題的原因是來自多方面的：
第一，函數(shù)概念自身的抽象性。由函數(shù)的發(fā)展歷史我們就可以看出，函數(shù)是一種簡潔卻抽象的概念，它表達出了兩個變量之間的某種關系，是一個變化的過程，與學生習慣的靜止、穩(wěn)定的狀態(tài)不同，函數(shù)是動態(tài)的，需要用整體、全局的眼光去考慮問題。在函數(shù)的概念中，涵蓋了許多子概念，如映射、變量、定義域、值域等等，每一個概念都像是一個密碼，只有將這些密碼依次理解透徹，才能打開函數(shù)奇妙世界的大門，而學生往往在這些子概念上就會出現(xiàn)混淆，例如，y=f（x）與x=f（y）并沒有本質(zhì)上的不同，但學生往往會因不明白變量的真正含義，主觀地將其視為兩個不同的函數(shù)。
第二，學生思維水平發(fā)展的限制。函數(shù)的概念具有一定的抽象性，而初中生剛剛跳出小學的具體形象思維模式，抽象與辯證思維正處于形成階段，對于函數(shù)這種動態(tài)的、辯證的概念，往往很難輕易認知明確，需要經(jīng)歷一個片面到全局、部分到整體的過程，在接觸函數(shù)之時，許多學生會誤將函數(shù)視作方程，解答函數(shù)問題時，第一反應便是“列方程解應用題”，忽視了函數(shù)是一種“關系”的本質(zhì)；再如有的學生在舉函數(shù)例子時，會給出形如“x2+5”的式子，也是相似的理解性錯誤，缺乏關聯(lián)性思想。
（二）數(shù)形結(jié)合思想較為薄弱
函數(shù)應當是數(shù)形結(jié)合思想體現(xiàn)最為明顯的部分，是培養(yǎng)學生數(shù)學思維的有力法寶，但由于學生長期形成的習慣原因，大部分初中生數(shù)形結(jié)合意識較為薄弱，限制了函數(shù)的認知與學習。首先，是思維習慣，小學階段，學生所接觸到的數(shù)學問題大都是數(shù)是數(shù)，圖形是圖形，少數(shù)數(shù)形結(jié)合問題也可用其他方法來解決，教師不會特地去引導學生把握這種數(shù)學思想，學生也就養(yǎng)成了將數(shù)字與圖形分割開來的思維習慣，而這種習慣在函數(shù)學習中是十分不利的，學生經(jīng)常會犯一些簡單的錯誤，例如圖1所示的四個圖像中，不表示y是x的函數(shù)的是哪一個？很多學生會出現(xiàn)疑惑，不少同學會錯選B或C，未能認清“y是x的函數(shù)”要求“對于每一個確定的x值，都有唯一確定的y值與之對應”，表現(xiàn)在圖像上即為在x軸上取一點，與之對應的y值有且只有一個。
除此之外，學生的動筆習慣也將會影響其判斷，在解決函數(shù)問題時，一般需要繪制平面直角坐標系草圖，而就直角坐標系本身而言，是兩條數(shù)軸依照特殊的關系組合而成，雖然繪制的是草圖，但并不能潦草，不少學生隨手畫兩條相交的直線，不標明坐標軸符號標記，找不出坐標系的特征，不僅他人看不懂，甚至學生自己檢查時也會出現(xiàn)疑惑，這種做法若養(yǎng)成習慣，將會給函數(shù)學習帶來極大困難。
二、提高初中數(shù)學函數(shù)教學的有效策略
（一）深入本質(zhì)，注重函數(shù)概念形成過程
如前文所述，概念是函數(shù)學習的第一大關，若不能將其攻克，勢必對學生深入學習函數(shù)問題造成不良影響，為此，在函數(shù)學習伊始，教師就應注重引導學生把握概念，可聯(lián)系學生實際生活經(jīng)驗，拉近距離感，消除學生的抵觸心理，例如，學生每天上學時搭乘的公共汽車速度、路程與時間的關系，去商店購買物品時單價、數(shù)量與總價之間的關系等等，從學生所熟知的事物出發(fā)，不僅便于理解，更能體現(xiàn)函數(shù)的應用價值。從特殊到一般，是科學探究的常用方法，通過對上述實例進行總結(jié)，學生可以抓住變化關系，確認關鍵屬性，再加以抽象概括，就能形成具有一般意義的變量之間的關系，即函數(shù)。在這一過程中，教師應對學生不懈引導，避免急于求成，應整體把握學生的認知水平，鼓勵學生將函數(shù)的概念與生活實際相結(jié)合，例如請學生舉一些生活中常見的例子，并指出不同變量之間的關系，學生在對函數(shù)概念本質(zhì)有了一定程度的認知后，生活中的一件件小事便有了數(shù)學的影子，如去超市買面包，面包單價一定，總價與數(shù)量成一次函數(shù)關系；自由落地運動中高度與時間為二次函數(shù)關系等等，教師的生活經(jīng)驗遠遠多于學生，所舉的例子可能脫離學生實際生活，而讓學生自主提出例子，則可避免這種情形，同時有利于教師及時糾錯，強化學生對概念的理解。
（二）把握關鍵，滲透數(shù)形結(jié)合思想
圖像是認知函數(shù)的重要手段，數(shù)形結(jié)合是解決函數(shù)問題的首要思想，函數(shù)教學必須注重數(shù)學思想的滲透，這是打開新世界大門的金鑰匙。在教學中，對于某一種函數(shù)的學習，首先可從具體實例開始，例如二次函數(shù)學習時，取y=2x2，請學生用不同方法對其進行表示，采用描點法親自動手畫出該函數(shù)的圖像，與以往經(jīng)驗不同的是，各點之間需用光滑曲線連接而非直線，學生對此產(chǎn)生疑惑，教師抓住學生的問題點，利用多媒體輔助教學，動態(tài)展示二次函數(shù)作圖過程，對其進行講解，并可演示一些生活例子如平拋運動等，進一步深化學生的理解。類似于前文所述，本著特殊到一般的研究過程，引導學生歸納二次函數(shù)的特點，再請學生將其應用于實踐，例如給出某幾個具體二次函數(shù)，請學生畫出圖像草圖，避免使用描點法，學生應用自身歸納出的結(jié)論解決問題，完成知識的正向遷移，思維能力將得到一定提升。
（三）加強引導，激發(fā)學生學習主動性
俗話說“高興學來的東西永遠不會忘”，興趣無疑是最好的老師，學生對某一問題充滿興趣，往往能夠發(fā)揮出極大的潛能，尤其是像函數(shù)一般抽象的概念教學中，能否激發(fā)學生的學習主動性，將在很大程度上決定后續(xù)學習的水平。激發(fā)學生主動性的方法有很多種，前文所提到的結(jié)合生活經(jīng)驗，就是一種極為有效的方法，教師可利用大屏幕展示生活中許多情境，學生則運用所學知識對其進行建模，對于比較復雜的問題如分段函數(shù)，教師可以請前后桌的學生組成小組，討論交流，不同學生看待問題的角度不盡相同，在激烈的課堂討論中，思維之花怒放，學生對函數(shù)知識的理解力也得到有效提升。
（四）反思總結(jié)，知識理解進一步深化
函數(shù)是初中數(shù)學的一大核心，在教學中，必須注重對其進行反思。小到每一節(jié)課后的“同學們今天學到了什么？對哪一部分內(nèi)容印象最為深刻？”大到章節(jié)單元學習內(nèi)容結(jié)束時的總結(jié)課堂，都要強調(diào)反思。在進行階段性總結(jié)時，教師可請學生完成思維導圖，由一點開始，輻射狀地與各種相關概念、公式、定理相連接，強化構(gòu)建系統(tǒng)的知識體系，幫助學生強化知識內(nèi)化過程。
[參 考 文 獻]
[1]葉立軍，斯海霞.當前初中數(shù)學課堂教學存在的問題及其對策[J].中國校外教育，2014（23）.
關鍵詞 數(shù)學 函數(shù) 教學
一、函數(shù)在初中數(shù)學教學中的地位和作用
函數(shù)知識貫穿于初中數(shù)學始終，初一，讓學生初步接觸到函數(shù)，學習了平面直角坐標系、函數(shù)概念、一次函數(shù)（正比例函數(shù)），讓學生感受到函數(shù)關系和函數(shù)圖象的對應關系，體會到數(shù)形結(jié)合這 一重要數(shù)學思想方法。初二學習了不等式與不等式組，通過與一次函數(shù)的聯(lián)系，進一步滲透數(shù)形結(jié)合的思想。初三學習了反比例 函數(shù)、二次函數(shù)，讓學生全面理解掌握函數(shù)的相關知識，體會函數(shù)數(shù)學模型在現(xiàn)實生活的應用，因此函數(shù)在初中數(shù)學體系中占有重要的地位和作用，它是初中數(shù)與代數(shù)課程領域?qū)W習的主線。
二、初中數(shù)學函數(shù)教學的策略
1、充分發(fā)揮教材功能
教材本身的主導思想是引導學生從生活中的某一個變化過程里兩個存在特殊關系的變量中提煉出函數(shù)的概念，留紿師生很大的運作空間。幾個例題中，例一試圖用生活中熟悉的“摩天輪”引出生活中的數(shù)學，接著在例二中尋找具體的對應關系，例二讓學生體會“唯一對應”的函數(shù)值，最后給出總結(jié)性的概念。設計思路非常明確，就是要讓學生通過教師導引探索某些變化過程中存在的特殊的數(shù)學規(guī)律并加以概括、精練成數(shù)學概念。這正是新教材以學生發(fā)展為本的重要特殊性點，也代表了今后數(shù)學教學發(fā)展的時代要求。所以教學重、難點就是是如何引導，如何啟發(fā)學生完成這一過程。而突破難點的關鍵在于教師的適時點撥，使學生在思維上有收有放，即教師要設法自始至終的抓住學生，精心設計問題并配置生動的情景畫面，還要大膽地在教材的使用上進行創(chuàng)新，不但對結(jié)構(gòu)進行調(diào)整、還要對例題進行深挖、展開探索，以便實現(xiàn)學生感知概念并形成概念的過程。
2、講清概念。
函數(shù)中一個重要的特點就是抽象，變化，學生在初步接觸函數(shù)時，對函數(shù)概念不易理解，感到陌生，所以教師在講解過程中，要盡量用簡單的語言使學生更好的理解函數(shù)概念，引導學生將生活實際和函數(shù)概念結(jié)合起來，加強學生對函數(shù)概念的理解，而學生函數(shù)思想的形成，不可能一步到位，必須由教師不斷引導，深刻理解函數(shù)概念，只有把函數(shù)概念深刻理解了，才能進行課后題的訓練，使學生從整體上理解函數(shù)的含義。
3、注重“數(shù)學結(jié)合”的教學
數(shù)形結(jié)合的思想方法是初中數(shù)學中一種重要的思想方法。數(shù)學是研究現(xiàn)實世界數(shù)量關系和空間形式的科學。而數(shù)形結(jié)合就是通過數(shù)與形之間的對應和轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學問題。它包含以形助數(shù)和以數(shù)解形兩個方面，利用它可使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，它兼有數(shù)的嚴謹與形的直觀之長。函數(shù)的三種表示方法：解析法、列表法、圖象法本身就體現(xiàn)著函數(shù)的“數(shù)形結(jié)合”。函數(shù)圖象就是將變化抽象的函數(shù)“拍照”下來研究的有效工具，函數(shù)教學離不開函數(shù)圖象的研究。
在借助圖象研究函數(shù)的過程中，我們需要注意以下幾點原則：
（1）讓學生經(jīng)歷繪制函數(shù)圖象的具體過程。首先，對于函數(shù)圖象的意義，只有學生在親身經(jīng)歷了列表、描點、連線等繪制函數(shù)圖象的具體過程，才能知道函數(shù)圖象的由來，才能了解圖象上點的橫、縱坐標與自變量值、函數(shù)值的對應關系，為學生利用函數(shù)圖象數(shù)形結(jié)合研究函數(shù)性質(zhì)打好基礎。其次，對于具體的一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖象的認識，學生通過親身畫圖，自己發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖象的形狀、變化趨勢，感悟不同函數(shù)圖象之間的關系，為發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖象間的規(guī)律，探索函數(shù)的性質(zhì)做好準備。
（2）切莫急于呈現(xiàn)畫函數(shù)圖象的簡單畫法。首先，在探索具體函數(shù)形狀時，不能取得點太少，否則學生無法發(fā)現(xiàn)點分布的規(guī)律，從而猜想出圖象的形狀；其次，教師過早強調(diào)圖象的簡單畫法，追求方法的“最優(yōu)化”，縮短了學生知識探索的經(jīng)歷過程。所以，在教新知識時，教師要允許學生從最簡單甚至最笨拙的方法做起，漸漸過渡到最佳方法的掌握，達到認識上的最佳狀態(tài)。
（3）注意讓學生體會研究具體函數(shù)圖象規(guī)律的方法。初中階段一般采用兩種方法研究函數(shù)圖象：一是有特殊到一般的歸納法，二是控制參數(shù)法。
4、用好“平面直角坐標系”
在理解函數(shù)概念的基礎上，要啟發(fā)學生明白研究函數(shù)的意義和方法，研究函數(shù)性質(zhì)的必要性，為了更好地體現(xiàn)不同函數(shù)關系式的不同特性，我們可以通過研究函數(shù)的圖像來反映函數(shù)的性質(zhì)差異，那么怎樣建立函數(shù)的圖像呢？我們可以依賴于一種工具――“平面直角坐標系”，它是各類不同的函數(shù)展示各自特性的一個平臺，在這個平臺上，以另一種方式反映了變量之間的關系，可以更為形象直觀地了解不同函數(shù)的性質(zhì)。其實在實際的學習過程中，有很多同學直到初中畢業(yè)以后，也沒明白函數(shù)的解析式與函數(shù)圖像的關系，不知道為什么要進行列表、描點和連線，不知道函數(shù)解析式怎么就過渡成為函數(shù)的圖像，而只是一味地死記它的畫圖步驟和老師強調(diào)的注意點，缺乏知其所以然的認識。其實我們的教學過程中，在學生理解了有序?qū)崝?shù)對和平面內(nèi)點的坐標之間的一一對應關系以后，有必要告訴學生，我們在畫函數(shù)圖像的列表、描點過程中，都是對函數(shù)中的兩個變量的順序作了人為的規(guī)定，規(guī)定了自變量的取值作為點的橫坐標，而與之對應的因變量的值作為點的縱坐標。
［關鍵詞］ 函數(shù)；概念；生成；反思
本課在教材中的地位與作用
函數(shù)在數(shù)學課程中一直占據(jù)著非常重要的地位，尤其在初中階段，它不僅有著基礎性的重要功能與廣泛的實際應用，而且對于學生的后繼學習也有著舉足輕重的作用，它是初中數(shù)學的核心內(nèi)容，也是重要的基礎知識和重要的數(shù)學思想. 大家是在前面學習代數(shù)式、方程等知識的基礎上來學習函數(shù)的概念、平面直角坐標系知識、一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)等知識的，為高中函數(shù)的學習打下基礎. 同時，在函數(shù)教材中還蘊涵了豐富的數(shù)學思想，如轉(zhuǎn)化思想、模型思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類思想等，感悟這些數(shù)學思想不僅是本專題學習的重要任務，而且對今后數(shù)學學習及學生生活都將發(fā)揮重要作用.
多少年來，學生談“函”色變，教師教“函”叫苦，面對這樣一個抽象的數(shù)學概念，如何教給學生，以求教學效益的最大化，是我們共同追求的目標. 因此，以“函數(shù)”概念引入課為參賽課題的各級賽課、展示課應運而生.
課堂實錄及分析
2013年10月，在全市數(shù)學教師青年論壇上，一位數(shù)學教師執(zhí)教蘇科版八年級上冊“函數(shù)”第一課時，這是一節(jié)數(shù)學概念的引入課，執(zhí)教教師預先制作了精美的課件，上課前，讓學生欣賞了一段視頻，內(nèi)容是自然界的萬物變化，讓學生感知自然，讓數(shù)學走進生活.
導課環(huán)節(jié)，教師設置了以下問題情境：
1. 兩張標簽（購買相同單價、不同質(zhì)量的雞蛋標簽）；
2. 模擬升國旗（標明了旗桿總長、升旗速度、旗桿剩下長度等信息）.
在這兩個情境中，教師引導學生觀察、分析兩張標簽的相同點、不同點，升旗過程中哪些量發(fā)生改變，哪些量不變，進而引導學生得出本課的第一組概念：變量和常量.
教師小結(jié)：在變化的過程中，常量和變量會有一些關系. 緊接著教師詢問：我們是研究變量還是常量呢？學生回答：變量. 好！正合教師之意，于是進入下一個情境（情境3）進行探究（水位變化）.
課件呈現(xiàn)一個不規(guī)則容器（沒有刻度），其中蓄水量在上升，教師提問：觀察這個變化的過程，你發(fā)現(xiàn)變量有哪些？常量是什么？哪些變量之間有一定的關系？（表1）
教師提問：你發(fā)現(xiàn)水位和蓄水量之間有怎樣的關系？如果在合理的范圍內(nèi)給定一個水位，會有對應的蓄水量嗎？有幾個蓄水量與之對應？（引導學生感受函數(shù)的定義）
分析了蓄水量與水位變化之間的關系后，教師總結(jié)：這種對應關系對于水利工作者的研究特別重要.
此時，教師沒有立刻揭示函數(shù)的概念，而是進入問題情境4――搭小魚. 在這個情境中，教師意在繼續(xù)讓學生感受變量、常量以及它們之間的變化關系. 從憑經(jīng)驗判斷（觀察：每次增加6根）到用數(shù)據(jù)來說明（可列式為6n+2，其中n為小魚的條數(shù)），發(fā)現(xiàn)火柴棒的根數(shù)和小魚的條數(shù)之間的關系，教師提問：假如在合理的范圍內(nèi)給出小魚的條數(shù)，你能確定火柴棒的根數(shù)嗎？唯一確定嗎？（目標再次指向函數(shù)的定義）
此時，教師仍然沒有揭示函數(shù)的定義，而是引導學生回憶舊知：
6n+2 代數(shù)式
6n+2=140（用140根火柴棒，搭了幾條小魚？） 方程
6n+2＜50（用50根火柴棒最多能搭多少條小魚？）不等式
S=6n+2（火柴棒的根數(shù)為S） 此處設置懸念，目標指向函數(shù)的表達形式
教師此處對一個舊問題進行回顧，旨在讓學生感受函數(shù)知識與方程、不等式等的聯(lián)系和區(qū)別，教學意圖是函數(shù)早已隱含在我們的學習中.
此時，教師仍然沒有揭示函數(shù)定義的意思，又進入了最后一個情境，即情境5（水波紋）.
教師提出與前幾個情境類似的問題：水滴滴下去，你發(fā)現(xiàn)哪些量在變化？不變的量有哪些？對于這個情境，教師讓學生進行小組討論、展示，學生展示的內(nèi)容非常豐富：圓的大小、半徑、周長、面積（變量）. 教師引導學生感受半徑確定了，周長、面積也隨之確定.
此刻，教學時機已經(jīng)成熟，教師提出問題：同學們觀察上述幾個情境，變量與變量之間的關系有何共同之處？在經(jīng)過了小組討論過后，教師引導學生得出函數(shù)的定義：一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么，我們就說y是x的函數(shù)，其中x稱為自變量．
對于定義的揭示過程，教師希望由學生自己展示，但最終還是教師引導得出，聽課的過程中我們感覺到，學生對定義中“唯一確定”還是不能深入地理解.
為了鞏固定義，教師立即引導學生回到之前的情境中，結(jié)合定義分別指出變量、自變量、誰是誰的函數(shù)等知識點（這個環(huán)節(jié)前后呼應，順理成章），并且揭示了S=6n+2或者S=8+6（n-1）都稱為函數(shù)關系式（為下節(jié)課函數(shù)關系的表達形式做鋪墊）.
緊接著，教師又安排了一系列緊扣函數(shù)定義的習題，對于其中的一題：“當矩形的面積一定時，矩形的長是寬的函數(shù)嗎？”學生甲在回答時說道：對于長的每一個取值，寬都有唯一的數(shù)值與它對應，因此寬是長的函數(shù).
學生乙立刻反駁：老師，他說反了，應該是對于寬的每一個取值，長都有唯一的數(shù)值與它對應，因此長是寬的函數(shù).
此時，教師積極引導學生對這兩個同學的回答進行分析，并指出有的時候y是x的函數(shù)， x也是y的函數(shù). 點撥恰到好處，可惜的是，教師一帶而過，就進入了下一題，估計還有很多學生沒有完全明白這是什么意思.
小結(jié)：習題過后，本課的教學任務基本完成，接近尾聲，教師把課件又重新切入到開頭的視頻（萬物變化），并提出問題――回顧視頻，用函數(shù)的眼光描述每一個變化之間的關系. （旨在引導學生用新的眼光觀察身邊的事物，函數(shù)無處不在）
至此，本課畫了一個圓，從生活中來，回到生活中去，感悟數(shù)學的魅力和價值！
最后老師布置作業(yè)：舉出身邊函數(shù)的例子，并思考用怎樣的方式表示變化的關系. （為下節(jié)課做鋪墊，承上啟下）
教學案例反思
通過研讀2011版新課程標準，發(fā)現(xiàn)《標準》中強調(diào)了概念教學的形成過程應由學生感悟，自主生成，體現(xiàn)數(shù)學概念生成的合理性，強調(diào)數(shù)學活動，突出學生的主體地位，讓學生在活動中感悟數(shù)學思想，積累數(shù)學活動經(jīng)驗.
在眾多的函數(shù)概念課教學中，本課無疑是一節(jié)符合新課程標準比較成功的一節(jié)課，教師設計的每一個環(huán)節(jié)都體現(xiàn)了突出學生主體地位的意識，對于函數(shù)這樣一個抽象的數(shù)學概念的形成，水到渠成地讓學生感悟并生成. 同時，教師在整個教學過程中，調(diào)控全局，互動得當，及時提煉與總結(jié)，比較順利地完成了教學任務.
然而，在教學過程中也有一些設計得不夠合理的地方，如：
（1）所提到的水位變化過程，情境的創(chuàng)設不夠直觀，給學生形象感知函數(shù)的變化關系增加了難度.
（2）在生成“函數(shù)”概念之前，情境過多，新課標要求重視情境教學，使學生經(jīng)歷概念的形成過程，積累活動經(jīng)驗，但不能扎進情境中去，這樣會顯得沒有重點，被情境所困. 如果在升國旗的情境中，就引導學生通過列表感悟升旗時間和旗桿剩下高度之間的關系，既能讓學生感悟兩者之間的對應關系，又能為下節(jié)課函數(shù)關系的表達形式之一（列表）埋下伏筆. 而水位變化的情境則可以換成氣溫變化圖，變成學生熟知的情境，降低變量關系的理解難度，也隱含著用圖象來表達函數(shù)關系的意識.
（3）概念生成的過程有些拖沓，在火柴棒搭小魚的情境過后（函數(shù)關系式），就可以引導學生揭示函數(shù)的定義，而把水波紋的情境放入習題中，則可以加深對定義的理解，使得教學環(huán)節(jié)更加緊湊.
關鍵詞：函數(shù)圖像；數(shù)學思想；教學
一、加強定義教學，理解函數(shù)的概念
在學生產(chǎn)生了變量之間是存在相互聯(lián)系的意識后，那么理解函數(shù)概念的準備工作就已完成，此時可以及時地給出函數(shù)定義。向?qū)W生講清楚“某一過程兩個變量，一個變量任意取值，另一個變量唯一確定的值與之對應”的意義。在教授函數(shù)概念時，要重點強化這兩種意識，讓學生清醒地感受到這兩種意識，然后再教給學生自變量、函數(shù)的一些名稱，并訓練學生運用這些名詞來敘述變量之間的關系。
接著我們在以后的具體函數(shù)的教學中不斷使學生理解函數(shù)概念的內(nèi)涵，例如在相似三角形中，每一對對應邊的數(shù)量關系就構(gòu)成了正比例函數(shù)關系等。用這些具體例子使學生清楚地認識到兩個變量之間的依存關系，認識到它們的共同特征，這樣就加強了學生對函數(shù)性質(zhì)的理解。
二、建立函數(shù)模型，滲透建模的思想
函數(shù)知識體現(xiàn)了數(shù)學建模思維的過程，要根據(jù)提供的信息與材料，對問題進行變形。在解題過程中，重要的就是據(jù)題意列出方程，從而使學生懂得，數(shù)學建模過程就是根據(jù)實際問題，通過觀察、類比、歸納、概括等，通過變換問題構(gòu)造新的數(shù)學模型來解決問題。結(jié)合課題的學習，培養(yǎng)學生建立數(shù)學模型能力、實踐能力及創(chuàng)新能力，拓展數(shù)學建模形式的多樣性與活潑性。數(shù)學模型這一思想方法貫穿于整個函數(shù)知識學習過程，建立函數(shù)表達式等都孕育著數(shù)學模型的思想。為了完善學生的數(shù)學建模思想，應該培養(yǎng)學生這樣的能力：理解實際問題的能力，抓住系統(tǒng)知識點的能力，抽象分析問題的能力，把實際問題用數(shù)學符號表達出來的能力，形成數(shù)學模型的能力和把結(jié)果用數(shù)學語言表達的能力，運用數(shù)學知識的能力。只有學會建立數(shù)學模型，才能對數(shù)學知識觸類旁通，舉一反三，才能解決實際問題。
三、彰顯數(shù)學思想，體味萬變不離其宗
如果加強對學生進行方法指導，并且對學生將數(shù)學思想進行潛移默化的培養(yǎng)，其學習效率一定會大大提高。筆者在教學時做了如下實驗：每人點燃一柱長度為26cm的香，讓學生回答觀察到的實驗現(xiàn)象。學生通過實驗知道：香的長度隨著時間的推移逐漸變短。緊接著讓學生思考：香的長度y和香的燃燒時間x之間到底有怎樣的函數(shù)關系呢？學生無法回答。然后再次實驗：每隔1分鐘，記錄一下香的長度，根據(jù)記錄的數(shù)據(jù)，要求學生：從這張表格中能獲取哪些信息？
（1）用x軸表示香的燃燒時間，用y軸表示香的長度，建立平面直角坐標系：分別描出點（0，26）、（1，25.3）、（2，24.59）、（3，23.9）、（4，23.18）、（5，22.5 ）。
（2）把所畫的幾個點連起來，選擇部分學生所畫的圖形，利用實物投影儀進行投影，比較學生自己所畫的圖形，從中發(fā)現(xiàn)了什么？
（3）一炷香的長度為26 cm，香的長度y（cm）和點燃時間x（min）之間的函數(shù)關系式是y=26-0.7x。在此基礎上質(zhì)疑：函數(shù)y=26-0.7x是什么類型的函數(shù)？由此猜想，一次函數(shù)的圖像很可能就是一條直線。通過實驗，學生獲得一次函數(shù)圖像的初步印象。
四、層層剖析，展示多樣化手法
王波鳳
（南師附中江寧分校，江蘇 南京 211102）
摘 要：學習基本初等函數(shù)對數(shù)函數(shù)，一方面可以加深對函數(shù)概念的理解，掌握研究函數(shù)的一般方法；另一方面，基本初等函數(shù)是常見的重要的函數(shù)模型，是研究其他函數(shù)的基礎，與生活實踐、科學研究有著密切的聯(lián)系，有著廣泛的應用．學生已經(jīng)學習過函數(shù)概念，函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì)，學習過指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，學習過對數(shù)的概念以及對數(shù)的運算．這些都構(gòu)成了學生的認知基礎．教學中，一方面利用研究指數(shù)函數(shù)所獲得的經(jīng)驗，按照研究函數(shù)的一般方法來研究對數(shù)函數(shù)，進一步體驗研究函數(shù)的一般方法；另一方面，加強與指數(shù)函數(shù)的聯(lián)系，在知識與知識間的聯(lián)系中學習新知識，幫助他們形成良好的知識結(jié)構(gòu)，發(fā)展理性思維，提高認識能力．兩年前的今天我在師大本部借班上了《對數(shù)函數(shù)的第一課》，到現(xiàn)在仍然記憶猶新，現(xiàn)將整個教學過程和反思與大家分享，有不當之處請批評指正！
關鍵詞：教學案例；對數(shù)函數(shù)；性質(zhì)
一、問題情境，構(gòu)建概念
數(shù)學教學應當從問題開始．首先提出
問題一 我們已經(jīng)學習過指數(shù)函數(shù)y＝ax（a＞0，a≠1），又知道x＝logay（a＞0，a≠1），那么，在x＝logay（a＞0，a≠1）中，能否說x是y的函數(shù)呢？為什么？
生眾：x是y的函數(shù)．
師：還有“為什么”呢？
生：對于任意一個y，都有唯一的實數(shù)x與y對應．
師：任意的一個y？
生：噢，y要是正數(shù)．
師：到底該怎么說？
生：對于任意一個正數(shù)y，都有唯一的一個實數(shù)x與y對應，所以，x是y的函數(shù)．這個函數(shù)的定義域是（0，+∞）．
師：你們認為對于“任意一個正數(shù)y，都有唯一的一個實數(shù)x與y對應”，我認為有兩個x與y對應．你們怎么反駁我？
生：老師，指數(shù)函數(shù)y＝ax（a＞0，a≠1）在a＞1時是單調(diào)增的；在0＜a＜1時是單調(diào)減的，一個x只有一個y跟它對上．怎么會有兩個呢？
師：很好，難不倒你們．前面我們學習過指數(shù)函數(shù)．在指數(shù)函數(shù)中，y是因變量，指數(shù)函數(shù)的值域是（0，+∞），在這里，y成了自變量，（0，+∞）成了定義域．（邊說邊利用幾何畫板畫出指數(shù)函數(shù)的圖象．）
師：習慣上，我們用x表示自變量，用y表示x的函數(shù)，寫成
y＝logax（a＞0，a≠1）．我們把這個函數(shù)叫做對數(shù)函數(shù)．
師：在實際生活中，大家見過或者聽說過這樣的函數(shù)嗎？
生舉例：如果我國GDP年平均增長率保持8%，約多少年后我國的GDP在2010年的基礎上翻兩番？即利用t＝log1.08N計算年數(shù)t是多少．
二、繪制圖象，研究性質(zhì)
師：今天我們結(jié)識了一個新朋友——對數(shù)函數(shù)，接下來自然就是要研究它的性質(zhì)．提出
問題二 請你研究對數(shù)函數(shù)y＝logax（a＞0，a≠1），獲得它的性質(zhì)．越多越好．
留給學生充足的時間．
請四名學生板演．各自在自己的草稿本上畫起來，寫起來，有的還與同伴進行了交流．
待學生板演完畢，絕大多數(shù)學生都有了比較充分的思考之后組織交流．
問題三 你們是怎樣研究對數(shù)函數(shù)y＝logax（a＞0，a≠1）性質(zhì)的？
有學生說，先畫出對數(shù)函數(shù)的圖象．
師：“你們是怎樣畫對數(shù)函數(shù)圖象的？”
生：“列表、描點．”
教師肯定了他們的做法．這很自然，因為研究指數(shù)函數(shù)就是先列表、描點畫出圖象的．教師接著問“都是用列表、描點的方法畫對數(shù)函數(shù)的圖象的嗎？”有學生舉手說，還可以利用指數(shù)函數(shù)的圖象來畫對數(shù)函數(shù)的圖象．
師：怎么畫？
生：把指數(shù)函數(shù)的圖象關于直線y＝x對稱一下．
師：為什么？
生：點P（x，y）在指數(shù)函數(shù)的圖象上，點P’（y，x）在對數(shù)函數(shù)的圖象上？而點P（x，y）與P’（y，x）關于直線y＝x對稱．
師：我們來看看是不是這樣．
教師借助幾何畫板，在指數(shù)函數(shù)的圖象上畫點P，作出與點P關于直線y＝x對稱的P’， 同時度量出點P與P’的坐標，跟蹤點P’，拖動點P，顯示點P與點P’的坐標，點P’的軌跡形成對數(shù)函數(shù)的圖象．（圖2）
事實說明，點P（x，y）與P’（y，x）關于直線y＝x對稱，對數(shù)函數(shù)的圖象與指數(shù)函數(shù)的圖象關于直線y＝x對稱．
師：我們來看黑板上幾位同學寫出的對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，你們說哪位同學寫得最好，需要有什么補充的嗎？
同學們就內(nèi)容是否豐富——是不是發(fā)現(xiàn)得最多？表達是否有條理——有沒有編號？語言是否準確等幾個方面進行了評價，并進行了補充．他們幾乎發(fā)現(xiàn)了對數(shù)函數(shù)的所有性質(zhì)，其中有一些并不是教學所要求的．在教師的引導下，把對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進行比較，形成如下表格．
性質(zhì) 對數(shù)函數(shù)
y＝logax（a＞0，a≠1） 指數(shù)函數(shù)
y＝ax（a＞0，a≠1）
定義域 （0，+∞） R
值域 R （0，+∞）
奇偶性 不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)
單調(diào)性 在a＞1時單調(diào)增；在0＜a＜1時單調(diào)減
圖象過特殊點 圖象都經(jīng)過點（1，0） 圖象都經(jīng)過點（0，1）
對稱 y＝logax的圖象與y＝log x的圖象關于x軸對稱 y＝ax的圖象與y＝（1a）x的圖象關于y軸對稱
