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開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇數學概念教學的基本策略，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
許多一線教師在教學中重解題、輕概念，造成數學概念與解題脫節的現象。而近幾年數學高考試題中，考查概念應用、新概念理解的試題頻繁出現，學生普遍感到難度較大，甚至無從下手。 因此，如何搞好新課標下數學概念課的教學，是值得廣大教師探討的問題。
一、數學概念的主要特點和作用
數學概念是反映一類對象本質屬性的思維形式，它具有相對獨立性。概念反映的是一類對象的本質屬性，即這類對象的內在的、固有的屬性，而不是表面的屬性，而這類對象是現實世界的數量關系和空間形式，它們已被舍去了具體物質屬性和具體的關系，僅被抽取出量的關系和形式構造，在某種程度上表現槎栽始對象具體內容的相對獨立性。
數學概念教學在中學數學中非常關鍵，是學好數學的重要一環，正確理解概念是學好數學的基礎。有的學生數學成績差，最直接的一個原因就是概念不清，尤其是普通中學的學生，數學素養差的關鍵是在對數學概念的理解、應用和轉化等方面的差異。因此，要想提高中學數學教學質量，最重要的就是要抓好概念教學。教學過程中如果能夠充分考慮到這一因素，抓住有限的概念教學的契機，以提高大多數學生的數學素養是完全可以做到的，同時，數學素養的提高也為學生的各項能力和素質的培養提供了有利條件以及必要保障。
從平常數學概念的教學實際來看，學生往往會出現兩種傾向，其一是有的學生認為基本概念單調乏味，不去重視它，不求甚解，導致概念認識和理解模糊；其二是有的學生對基本概念雖然重視但只是死記硬背，而不去真正透徹理解，只有機械的、零碎的認識，這樣久而久之，嚴重影響了對數學基礎知識和基本技能的掌握和運用。比如有同學在解題中得到異面直線的夾角為鈍角，這些錯誤都是由于學生對概念認識模糊造成的。只有真正掌握了數學中的基本概念，我們才能把握數學的知識系統，才能正確、合理、迅速地進行運算、論證和空間想象。從一定意義上說，數學水平的高低，取決于對數學概念掌握的程度。
二、高中數學教學中概念教學的可行性策略
1.在體驗數學概念產生的過程中認識概念
數學概念的引入，應該從實際出發，通過與概念有明顯聯系、直觀性強的例子，使學生在對具體問題的體驗中感知概念，形成感性認識，再通過觀察、分析，抽象出感性材料的本質屬性，并推廣到一切同類事物，概括形成概念。例如，在“異面直線”概念的教學中。展示長方體模型，請學生找出模型中平行及相交的直線，再提出問題：還有其他的位置關系嗎？當學生找出兩條既不平行又不相交的直線時，教師告訴學生像這樣的兩條直線就叫做異面直線。 接著提出“什么是異面直線”的問題，讓學生相互討論，嘗試敘述，最后概括出定義：“我們把不同在任何一個平面上的兩條直線叫做異面直線。”在此基礎上，再讓學生找出生活中的異面關系的直線，最后以平面作襯托畫出異面直線的圖形。 學生經過以上過程對異面直線的概念有了明確的認識，同時也經歷了概念發生發展過程的體驗。再比如，在講數學歸納法的概念時，為了幫助學生更好的理解“遞推”的含義，可以引進“多米諾”骨牌游戲，由于骨牌之間的特殊的排列方法，只要推到了第一塊骨牌，第二塊骨牌就會自己倒下，接著第三塊就會倒下，第四塊也會倒下，……如此傳遞下去，所有的骨牌都會倒下，這種傳遞相推的方法，就是遞推。
2.在挖掘新概念的內涵和外延的基礎上理解概念
有些概念由于其內涵豐富、外延廣泛，很難一步到位，必須循序漸進、不斷加深理解。例如，關于“角”的概念的深化，首先列出“平面角”、“異面直線所成的角”、“直線與平面所成的角”、“二面角”、“二面角的平面角” 各種定義，進行對比。 進一步認識到空間 “異面直線所成的角”、“直線與平面所成的角”、“二面角”都是在“平面角”概念的基礎上發展和推廣的；反之，這些空間的角都又是轉化為“平面角”來表示的，只有“二面角”是通過“二面角的平面角”來表示。 求角是立體幾何中的重要題型，只有對各種角概念理解透徹，才能很好的應用到解題中。
3.通過練習進一步鞏固概念
數學概念形成之后，引導學生利用概念解決數學問題是數學概念教學的一個重要環節。 有關數學概念運用的問題千變萬化，但萬變不離其宗。 在學生掌握了數學概念之后，教師精選幾類題目，讓學生運用概念解決問題， 然后啟迪學生從中總結出解題規律，培養學生的數學思維。如用向量解決幾何中有關距離的題型就是典型的例子。 在學習完“向量的坐標”這一概念之后，提出問題：已知平行四邊形的三個頂點的坐標分別是 A（3，5）、B（4，6）、C（2，1），試求另一個頂點的坐標。 學生展開充分的討論，不少學生運用平面解析幾何中學過的知識（如兩點間的距離公式、斜率、直線方程、中點坐標公式等），結合平行四邊形的性質，提出了各種不同的解法。 有的學生應用共線向量的概念給出了解法；還有一些學生運用所學過向量坐標的概念，把點的坐標和向量的坐標聯系起來，巧妙地解答了這一問題。 學生通過對問題的思考，盡快地投入到新概念的探索中去，從而激發了學生的好奇，以及探索和創造的欲望，使學生在參與的過程中產生內心的體驗和創造。除此之外，教師通過反例、錯解等進行辨析，也有利于學生鞏固概念。
三、結語
數學教學是一種對話、一種溝通，是合作與共建。課堂教學中，教師分析得再透徹也代替不了學生的思考。只有通過學生參與對話和交流，才能在不知不覺中培養學生的數學思維。 高中數學新課標提出了與時俱進的認識“雙基”的基本理念，概念教學是“雙基”教學的重要組成部分。教學中，要根據課標對概念教學的具體要求，創造性地使用教材。優化概念教學，把握概念教學過程，真正使學生在參與的過程中產生內心的體驗和創造，達到認識數學思想和本質的目的。
參考文獻：
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[3]孫殿武.對高中數學概念教學的幾點思索[J].科技創新導報，2014，21：157.
【關鍵詞】概念的理解；思維與創新；概念教學
一、前 言
在數學的教學中，幫助學生理解基本的數學概念是教學活動的基本環節，也是一項基本功，它是培養學生基本邏輯思維能力的基石，是學生靈活解答各種問題的必備條件。所以高中數學教師進行數學教學的時候，應該要多多幫助學生加強各種概念的理解，應該要把概念教學貫穿到教學活動的每一個環節，但是這幾年，由于受各種因素的影響，很多的高中老師對于概念的教學環節不太注重，而是一味地強調學生對各種題目的解答，不少老師把數學上的概念當成“語文”上的概念來解釋，導致很多高中的學生連基本的概念都很難把握到位，嚴重影響了學生解答以及思維能力的提高。
二、深刻理解數學概念的作用
很多高中數學老師不愿意在概念的講解上花費太多的時間，很大的一部分原因應該是沒有意識到概念理解在學生解題能力中的重要作用，從筆者多年的高中從教經驗中，筆者認為高中數學概念教學的作用至少有以下幾個方面：
1概念理解是思維的基礎
高中數學老師應該深有體會，一般而言，對于數學中的各種基本概念理解能力比較強的學生解題能力要比一些理解能力弱的學生強。用一個比較常用的說法：基石都不穩，大廈怎么會穩。數學概念是構建數學中各種理論的一個重要基礎，同時也是確定研究范圍的一個重要工具。數學中的各種概念很多時候都不是孤立存在的，而是與多個的概念相聯系，舉個簡單的例子：數學中的充分條件和必要條件，這兩個概念就不是孤立存在的，是有一定的關聯的，老師在講解時應該要充分地將兩者聯系起來并進行區分。如果學生不能很好地區分這兩個概念，我想學生很難用思維判斷出什么情況下是充分條件，什么情況下是必要條件。
2概念理解是培養學生概括能力以及創新能力的必要條件
數學本身的一個重要作用就是培養學生的思維能力,高中數學中的概念一般而言都具有很強的嚴密性、抽象性和明確規定性，對于各種概念的理解過程是學生培養概括能力的的一個很好的鍛煉機會，同時概念的理解過程應該是學生開動腦筋發現問題的過程，一千個讀者有一千個哈姆雷特，對于同一個概念，可能也會有一千種不同的理解方式，理解方式的不同，形成的思維也會有很大的不同，但是這些不同的思維方式正是學生進行創新活動所必須具備的。
三、高中概念教學的相關策略探討
從以上分析我們已經知道概念教學的重要作用，因此我們一定不能只是把數學概念當做一個語文上的名詞來解釋，也不能只是生搬硬套使概念復雜化，應該要注意策略性。筆者認為，要讓學生很好地把握數學中抽象難懂的概念可以采取以下幾種方式：
1注意概念的導入方式
概念的導入是講解概念的第一步，導入的方式有很多，但是筆者認為，不管是什么樣的方式，最重要的目的就只有一個：引起學生求知的興趣。一般而言，從生活中一些比較具體的學生比較熟悉的事例出發比較容易引起學生的興趣。比如，可以從一些比較有趣的故事說起或者是從一些現實生活中的問題說起，比如在說到數列的問題時，老師可以借助古代有關的故事來說明：“一尺之棰,日取其半,萬世不竭。”從這一個故事中我們就可以引發學生思考兩個問題：如何計算每天剩余的木棍的長度以及被砍去的木棍的長度。通過這兩個問題的思考老師可以慢慢引出有關數列的相關問題，激發學生學習的興趣。
2注意概念的導出過程
概念是對客觀事物以及客觀現象的抽象理解，它的形成不是一蹴而就的。數學中的概念更是如此。它的形成一般都有一個過程，老師在導出概念時應該要注重概念的形成過程。這個過程一般可以分兩個階段進行：第一個階段是對各種材料以及事例進行抽象的概括，找出這些基本事例中的共同點；第二個階段則是讓學生用自己的方式陳述事物的主要特點。
3注意探索概念的深刻內涵以及外延
數學中概念的內涵和外延是數學概念的兩個重要組成部分，對于數學概念內涵以及外延的把握是深刻理解概念的前提。因為概念的內涵是數學對象的本質屬性的總和，而外延則是其反映的對象的全體。概念的內涵與外延具有層次性，相當的豐富，很難一下子就把握全面，所以必須深入挖掘。
4注意概念之間的聯系
高中數學的很多概念之間存在著很大的聯系，這也是學生容易搞混的原因之一，比如平行線段與平行向量、指數函數與對數函數、反函數與冪函數等。老師在對這些概念進行講解時，應該要注意區分它們之間的聯系與區別，通過對比來強化學生的理解與記憶。
5及時強化，鞏固學習效果
學習的目的應該是為了使用，在對概念進行深入剖析之后應該要設計一些與概念相關的練習來鞏固學生學習的效果。大家應該有同感，很多問題都有相似點，再怎么變化都是圍繞學過的相關點來設計的，所以老師在設計相關的練習時也要注意典型性，不能夠隨便選題，要注意代表性，這對老師而言也是有一定的要求的，即老師要對曾經出現過的與上課內容相關的題要有所了解，這樣可以提醒學生以后在面對同類型的題時應該要注意些什么問題。
四、結 語
高中數學概念教學是整個教學中一個比較重要的環節，是培養學生思維與創造性的基礎，所以一定要注意學生對基礎概念的理解，促進學生思維的發展，注意與學生的互動性，要把課堂交給學生，讓學生在概念的理解中發現問題、解決問題，一味地對各種概念進行應試教育式的灌輸，這樣只會限制學生的思維與創新性。
【參考文獻】
［1］張峰。淺談新課標下的高中數學概念教學［J］。江蘇教育學院學報（自然科學），2010，26(4):59-60。
關鍵詞：小學數學；概念教學；方法
數學概念往往都是比較抽象的，而小學生邏輯能力、空間觀念的培養都需要概念作為基礎。因此，在實際教學中，我們要對小學數學教學的方法進行探索和發現，加強概念教學，提出適合小學生的數學概念教學方法。下面是筆者就小學數學概念教學中存在的問題及方法策略所做的一些淺顯分析。
一、小學數學概念教學中存在的問題
數學概念教學是數學教學的重要組成部分，也是數學教學的核心，但在實際的教學中仍存在著以下幾種問題：
（一）計算的重視程度高于概念
在小學數學教學中，教師過于注重學生的計算能力，但對于學生在概念上的認知卻不是特別關注，概念教學往往一帶而過，僅要求學生自己記住，而不注意學生是否正確理解了概念。這就導致學生把精力和注意力過度放在了計算教學上，對數學概念不夠重視，學習松懈，概念基本模糊不清，問題堆積嚴重。
（二）重結果輕過程
小學教師在數學教學中過于強調結果的重要性，并以此來衡量學生是否掌握熟練，而對于學生的探究和發展卻關注甚少。
（三）缺乏抽象教學
由于小學生的思維是形象性思維，因此他們更容易接受直觀的具體知識。同時，教師也過于注重學生的形象思維而忽略了對其抽象思維的培訓，導致學生一直停留在具體、直觀的學習中，缺少對抽象概念的理解與分析。
（四）缺乏實踐
在數學概念教學中，教師往往全部按照課本上的知識展開教學，沒有聯系學生的生活經驗，導致學生不能用所學概念解決生活中的實際問題。
（五）忽略概念的形成與聯系
在教學中教師往往將學生所要探索的知識全盤托出，要求學生死記硬背而不強調理解，使其知其然而不知其所以然。然而，概念之間都有一定的聯系，如果不注意相關概念的聯系教學，學生就不能在腦中組成完善的概念系統，不能形成一定的知識網絡，最終導致學習效率低下，概念模糊。
二、小學數學概念教學的方法策略
（一）概念引入
概念引入是否得當對于學生對概念的理解與形成具有直接關系。小學生缺乏抽象思維，缺乏生活經驗，教師在教學中切記不可突兀、生硬地引入概念，這會導致大部分學生困惑迷茫，難以接受。教師要充分利用學生好奇、好動的特點，通過創建相應情景引入概念，投其所好，讓學生在充滿樂趣的情景中慢慢理解概念，這樣既能激發學生的學習興趣，又能在讓其很好地把握正確的概念。
（二）構建概念
知識不能簡單地由教師傳授給學生，必須依托學生自己的已有的經驗和知識加以構建。數學概念的抽象性使得學生正確理解概念成了一個主動、復雜的思維過程。因此，教師不能按部就班地將現成概念原封不動地教給學生，也不能只注重結論的記憶而忽略對概念的正確理解，而是要關注學生的探究與發展，引導學生自主參與結論的形成。同時，教師還要對學生的抽象思維加以培養，增強學生的邏輯思維能力，強化學生對概念本質的理解，提高學生的分析能力。
（三）概念的鞏固
概念學習的目的是用來解決實際問題，只有把所學的概念知識運用到實踐中去，才能鞏固所學概念。鞏固概念的練習方式是多層次、多角度的，既要注重概念的關鍵性，又要注重其綜合性。教師應通過練習鞏固，深化概念，強化學生解決問題的能力。
（四）概念的深化
小學數學概念教學中不僅要求學生理解好概念，還要使學生能熟練靈活地對概念加以運用。因此，概念的發展與深化是很有必要的，要抓住重點、分散難點并有計劃地引導學生的概念深化過程。同時，要讓學生深入鉆研教材，明白有關概念在相應章節中的作用和地位，并與其它知識建立聯系，使概念教學與解題教學融為一體，讓學生在知識運用的過程中不斷地強化對概念的深入理解，并提高解題能力。此外，定理、公式是概念教學的延伸，熟練地掌握與概念相關的定理、公式能深化學生對于概念的理解。
（五）指導學生建立概念體系
在教學進行到一定階段時，教師應當對所有概念進行梳理，并將其串聯起來，做一個歸納，從縱向、橫向等多方面找出各個概念之間的關聯，從而將一些概念概括到一個系統當中，形成系統概念。這既幫助學生提高了學習效率，又為學生理清了頭緒，解決了概念模糊的問題，同時也有助于學生充分熟練地掌握各種數學概念并且能夠靈活運用。
（六）在實際生活中運用概念
在數學概念教學中，教師要靈活設計不同的環節，采取各種教學措施，把數學概念的教學引入現實的情景中去，讓學生結合生活實際，把抽象的數學概念轉化為具體情景，促進學生的好奇心與求知欲。這不僅使學生學會了使用數學概念去觀察周圍的事物，也為學生提供了主動探索、發現的空間，并最終提高了學生對概念的實際應用。
總之，小學數學概念的建立是學生主觀、復雜的思維培養過程，在教學時教師要依據小學生的認知規律，從實際生活出發，從學生已有的知識經驗著手，從已知逐步到未知，建立數學概念，然后在實際運用中鞏固、深化概念，建立系統的知識網絡，從而使學生在掌握好數學概念的同時，發展自己的思維和解決實際問題的能力，為我們的數學教學打下堅實的基礎。
參考文獻：
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關鍵詞：起始型概念課；低年段；教學策略
數學課程標準指出，數學教學中應加強對基本概念和基本思想的理解和掌握，對一些核心概念和基本思想要貫穿數學教學的始終，幫助學生逐步加深理解。通過良好的數學概念學習促進學生從具體形象思維發展到抽象邏輯思維，進一步培養數學能力，
通過有效的概念教學，使學生順利地獲取有關概念。
一、起始型概念課教學過程中存在的問題
1.概念教學的目標定位失當
很多教師在上概念課的時候，首先就要求學生把概念強記下來，然后進行大量的強化練習來鞏固概念。這種死記硬背的教學方式有著很大的消極影響，由于學生并沒有理解概念的真正含
義，一旦實際應用的時候就感到一片茫然。
2.孤立地教學概念
很多教師在教學概念的時候往往習慣于把各個概念分開講述，這樣雖然是課時設置的需要，但是這種教學方式會使學生掌握的各種數學概念顯得零碎，缺乏一定的體系，這不僅給學生理解和應用概念設置了障礙，同時還給概念的記憶增加了難度。
3.概念的形成缺乏有效引導
在演繹概念的教學中，教師往往采取“老師帶著學生小步走，學生按照老師的思維慢慢走”的引導模式。引導學生準確地理解概念，明確概念的內涵與外延，正確表述概念的本質屬性，這是概念教學應該達到的教學目標。
二、低年段起始型概念課的有效教學策略
1.將概念置身于“原始背景”中去理解
起始型概念是在長期的實踐中總結出來的，它是在一定知識背景下的某一個情境中自然得到的結果，這個合乎想象的能觸發新概念形成的知識背景稱為知識的原始背景。當面對一個嶄新的概念，都應努力地探尋知識的原始背景，模擬知識發生的情境，將靜態的知識結論轉變為動態的探索對象，讓學生經歷概念發生、形成的過程。
2.將概念置身于“現實背景”中去理解
雖然是初級概念，但它仍然是學生的認知發展到一定階段的產物。如在教學中，教師應當采取一些恰當的方式了解學生，如調查研究等方式，找到新舊知識之間、文本知識和生活知識之間的聯結點展開教學，讓學生以聯系的觀點學習新的概念，促進主動建構，這里的聯系包含知識系統本身的聯系和學生已有生活經驗及認知經驗的聯系。
3.讓學生在動手操作的活動中建立概念
學生第一次接觸新概念，難免會產生陌生感、畏難感，這時就需要在動手操作的支撐下建立概念，讓學生迅速進入新知學習的狀態中。建立數學概念有兩種基本形式：一是概念的形成，二是概念的同化。概念的形成是一個累積、漸進的過程，是概念教學的中心環節。數學概念的形成一般要經過直觀感知建立表象揭示本質屬性三個階段，直觀感知和建立表象是建立概念的向導，概念本質屬性的揭示是概念教學的關鍵。動手操作對建立概念能突出體現三個作用：（1）能較好地吸引學生自主參與；（2）能有利于學習過程中的動態生成；（3）能突出知識的本質特征，在較短的時間內解決數學問題。
【關鍵詞】初中數學；概念教學；策略探析
數學概念作為構成數學理論體系的最基本因素，是數學研究成果的高度濃縮，是數學科學的精髓之所在。數學概念教學是數學教學中極其重要的一個環節，初中新課標明確作出要求，數學教師要著力于提高學生的對數學概念的把握能力，由于初中生年齡、閱歷水平有限，再加上一些數學教師慣用傳統的教學模式、最終造成很多學生對數學概念的理解和掌握能力不強。盡管我國初中數學老師在概念教學中積累了豐富的經驗，取得了重大的進展，但在實際的初中概念教學過程中很多問題仍然存在。本文主要研究我國初中數學老師在概念教學中存在的問題，探討初中概念教學策略，為我國中數學老師在概念教學方面的進一步發展提供借鑒。
一、注重概念的形成過程，深入剖析，揭示概念的本質
其實很多的數學概念是從現實生活中抽象出來的，老師在實際的數學概念教學過程中，講清楚數學概念的來源，做好相應的數學概念講解，既不會使得學生對于數學概念感到抽象，甚至有利于營造良好的數學概念學習氛圍，同時把我數學概念形成規律，做好數學概念教學工作。
二、充分利用數學概念多媒體信息技術
在實際的數學概念教學過程中，老師同樣要充分利用多媒體技術，讓學生在視覺、聽覺的雙重作用下提高學生數學概念教學興趣，讓學生充分接觸視頻、圖片、文字、聲音、動畫，在這些形式的作用下進行數學概念教學學習，提高學生對于數學概念教學的學習興趣。然而，在實際的數學概念多媒體教學過程中，老師應該注重現代信息技術利用的適度與適時。適度指的是數學概念教學不要過于頻繁，應該注重效果而不是數量。適時主要指的是應該針對學生數學概念學習存在問題進行相應的補充，注重多媒體數學概念教學的時機，更加注重多媒體數學概念教學的實際效應。
三、優先考慮數學概念教學的實踐性
數學概念實踐教學是目前在我國數學教學中的重要策略，從一定程度上來講，數學概念教學的目的是為了實踐和運用，實踐和應用才是學生進行數學概念學習的重要目的。為此，老師在實際的數學概念教學活動中，應該優先考慮數學概念教學的實踐性與運用性，同時，應該加強對于學生數學概念理論與實踐相結合的能力，老師可以進行數學概念實踐教學情境創設，充分考慮數學概念實踐教學的交際性以及實踐性的原則，做到數學概念實踐教學多練多做，努力提升學生數學概念實踐能力。
四、通過變式，突出比較，鞏固對概念的理解
數學概念是數學教學的關鍵環節，有關心理學研究表明，概念獲得以后需要不斷的進行重復記憶，否則的話就會被遺忘掉，為此，數學老師在完成對數學概念的敘述后，還應該加強對于數學概念的鞏固，讓學生了解數學概念的重點與關鍵，在正確的理解數學概念后再進行相應的練習，鞏固對于數學概念的認知程度。例如，對于“π 與3.14159”，老師可以通過這兩個數對有理數以及無理數進行認知，提高學生對于有理數以及無理數的辨析能力，最后利用比較的方式進行數學概念教學，也是初中數學教學的重要舉措。老師可以將相近的概念或者類似的概念進行總結，分清楚他們的異同點，提高學生對于概念的理解以及辨認能力。
五、引導學生參與數學概念自主探究與合作學習
一、研究的理論和實踐基礎
由于數學對人類發展有著重要的推動作用，數學概念的學習一直以來都是數學教育界研究的重要課題之一，并取得了大量的研究成果。20世紀末，杜賓斯基提出的APOS理論，基于建構數學學習理論之上，將學習個體在解決問題的建構過程分為操作(Action)、過程(Process)、對象(Object)、圖式(Scheme)這四個階段.
第一階段是概念學習的基礎階段，學生通過已有的數學認知將客觀的對象轉換為數學抽象概念.例如，某筆記本的單價為5元，買x個筆記本共需要y元.其中x=1對應y=5;x=2對應y=10;x=3對應y=5…通過操作，學生得出y=5x，并得到單價與總價成一一對應關系，從而初步理解函數y=5x的意義.
第二階段是概念學習的整合階段，學生把操作過程中進行反復的思考和整理，抽象出對象的特有屬性和性質，是概念學習由感性認知過渡到理性認識的初級階段.例如，將上述函數y=5x概括為普通的對應過程：xf(x).第三階段是概念學習的提升階段，學生將在操作、過程兩大階段中認知得到的概念本質提升為一個獨立的對象.
例如，在f(x)+h(x)，f(x)-h(x)，f(x)·h(x)…中f(x)、h(x)都作為一個獨立的對象出現.第四階段是概念學習的終極階段，學生的概念知識體系已經成熟，各個獨立的概念彼此之間建立起獨特的聯系，數學概念就是過程與對象的統一體，從而形成一個完整的心理圖式.例如，解析式f(x)=5x、圖像、曲線等.
濮安山教授依據APOS理論對兩所學校高一、高二年級共604名學生的函數概念理解程度進行了測驗.他們為每個階段精心編制了不同類型、不同數目的測試題，分別對重點中學和普通中學的學生作了相關測試.濮安山教授實踐研究結果表明：依據APOS理論分析，多數學生對函數概念的理解程度達到前兩個階段，少部分學生達到第三個階段，而極少學生達到第四階段;
總體上重點學校的學生對概念的認知程度高于普通學校，但在第四階段出現反差;隨著年級的增加第四階段的學生比例降低.
而從其他學者依據APOS理論所做的實際調查研究中可以總結出學生對高中概念的學習存在如下問題：1.大部分學生建立的概念表征比較單一，且各個表征之間的關聯轉換不夠靈活.2.大部分學生腦海中的概念表象與客觀對象、定義缺乏聯系.3.大部分學生對學習的概念沒能在腦海中形成一個完整的心理圖式，其形式零散.
二、高中數學概念教學策略
在上述APOS理論和實踐基礎上，針對存在的問題提出以下策略.
1.增強教師教學方式之間的交流，取長補短.
由于教育的現實原因，我國學生對數學的學習重心大都偏向于各種應試考試，為了取得優異的成績而忽略數學基本概念、方法、思想的理解及能力的培養.作為教學的主導者，教師之間的教學交流是相當重要的.有些教師的概念教學方式依然是古板的模式化教學，概念一帶而過，習題一道一道而來.學生奔波于題海之中或者固定的題型模式之中，鮮有時間總結概念體系，教師的教學在解題道路上愈走愈遠.但是教學中不乏一些優秀的教學精英，他們執著于精良的概念教學，注重教學設計，著重加強對學生概念學習的對象及過程兩個階段的培養，幫助學生建立一個屬于學生自己的知識框架.在實際教學中，他們給學生留下的習題具有創新性，增強學生的探索能力，幫助學生完成一個完整的心理圖式.然后合理使用教材，教會學生在學習概念之后不斷反思再反思，培養學生數學思維和應用數學知識的能力.
2.加強數學概念與實際生活的聯系，促進抽象與具體之間的轉換.
概念是人們對其所感知的事與物的特有屬性和本質的一種由感性上升到理性的認知，是人的認知思維體系中最基本的構建點.感官的認知來源于實際生活，抽象而又具體.教師的教學應該再更多地融入實際生活，結合概念的文化和現實背景，引導學生發現和琢磨概念具有反映客觀事物的特性。
APOS理論指導教師在教學過程中要著重將概念的學習由活動階段內化為過程階段，再壓縮至對象階段，最后同化與圖式階段.
3.靈活運用教材教學，因地制宜，因材施教.
學生對概念的理解程度與教材的運用有很大關聯，由于教材的不同可能在習題、例題、課外拓展方面的設置都存在差異，但教師應該對整個高中概念體系有著一個明確的框架體系，不至于因為教材的原因打亂一貫的體系，漫無目的地散亂教學.
總之，依據APOS理論對高中學生數學概念的理解進行評價是具有可行性的，教師自身應該具有全面的概念心理圖式才能為學生明確地引導思維方向，良好的概念教學策略也是搞好高中教學必不可少的條件.其次，教師應明白學生的學習過程是一個主動建構的過程，其主動性不能被教師的教學阻斷.
一、初中生記憶數學概念存在的問題
筆者根據多年的初中數學一線教學經驗總結出，學生作為教學的主體在學習數學基本概念的過程中，主要呈現出以下三個層面的問題，值得深思和深入研究。
（一）缺乏針對數學概念記憶的策略性知識。我國是一個教育歷史悠久、教育經驗豐富的國家，特別是在“記憶學”的研究與應用上取得了較好的成就，這在“應試教育”教育階段發揮了一定的作用。隨著素質教育、創新教育理念的提出，數學“記憶型”教學突然在理論上被界定為“數學應試教育”的代名詞。這樣一來，向來受到重視的“數學三基”數學理論研究失去了往日的光彩，同時，理解型學習數學知識、創造性解決數學問題，最終培養學生的創新能力一越成為當前素質教育、創新教育培養目標的內核與教育界理論研究的熱點。這意味著前者已經成為初中數學教學視閾的一個“真空地帶”。可從我國數學教育教學規律可以看出，“記憶型”教學是初中數學學習必不可少且占有重要地位的方法論。因此，不能因為素質教育的倡導就徹底否定了記憶教學的價值，或者說割裂了記憶與創新教育的必然聯系。
（二）缺乏權衡記憶與理解的關聯意識。在“應試教育”階段，大部分初中數學教師只顧及數學知識傳授的量的積累與擴充，從而忽視了學生學習知識質的積淀與提高；只強調向學生“填塞”數學知識，從而忽視了“填塞”的方法論要求。這一階段實質上是記憶完全占據統治地位的階段。而在建構主義學習理論的作用下，許多數學研究者有這樣一個共識：數學知識的抽象性和概括性決定了數學知識的學習必須有學生自己理解過程的參與。此觀點后來不斷被強化，以致于在上世紀90年代中期，初中數學教學實踐走向了一個與前者完全相反的極端，即理解完全占據同志地位的階段。但經過艱辛的理論探索后，一條數學教學科學規律終于得到廣泛的認可：數學知識的記憶和理解應該是一個相輔相成的動態化過程。記憶與理解的最佳結合點在于尋求恰好的“平衡支點”。
（三）缺乏系統性數學概念梳理意識。記憶學顯示：有效的數學概念記憶的結果應該是使數學概念在大腦中以網絡鏈接模式有機組合的。初中生的數學知識結構只有也只能以這種模式存在，才能更加利于以后知識的擇取與應用。建構主義學習理論同樣顯示：只有學生自身經過同化和順應作用形成的知識結構才具有基礎性、可辨性、適用性的品質。數學理論的邏輯體系更是決定了數學概念應該是一系列概念環節互為相扣的鏈條有機體系。
但是，初中生特別是那些在數學迷宮里徘徊不前的學生，長時記憶體系中的數學概念卻是孤立的、散亂的。造成這種局面的原因除了學生沒有有效地講求記憶策略和沒有處理好數學概念理解與記憶的關系外，主要是學生沒有整體意識，沒有從宏觀上梳理所記住的數學概念，更沒有理清數學概念間的聯系。其實，即使在教改后的現在正在應用的數學教科書里，很多基礎練習都是針對一個或幾個具體的概念而設計的，并沒有為學生提供從整體上去理解和把握節、章，甚至是一冊數學教材中的概念關系的練習。
二、初中生記憶數學概念的對策選擇
隨著現代教學理論研究的深入和科技教學的廣泛應用，解決上述問題具備了比較充足的應策選擇的條件。筆者認為應當著重從以下兩個方面來改善初中生記憶數學概念時存在的問題。
（一）充分發揮隱性記憶策略的效用。所謂隱性記憶策略是指把記憶指導策略湮沒于數學概念的記憶過程之中，讓學生在無意識中根據教師設計的指導思路記憶數學知識。之所以提出隱性記憶策略，關鍵是基于如下兩點：一是針對初中生的生理、心理特征而言的。處于這個時期的初中生，由于年齡小、沒有獨立成熟的價值觀體系，其自控力就比較差、依附性強、策略性意識薄弱，再加上膚淺的學習經驗和有限知識的限定，很難獨立探討出符合自身的記憶策略。二是針對初中階段的學習特點而言的。初中教學是小學的提升階段，這個時期，不但學習的科目增多，而且知識內容變得更加抽象。這對于初中學生來說是一個很大的挑戰，起碼要有一個較長的轉變和適應過程。這也無形中帶來了初中生學習時間緊張、任務繁重的問題，長而久之就使他們很難有時間主動反思自己的學習過程，整理出適合自己的學習方法。而隱性記憶策略的效用就在于通過教師的幫助來為學生建立起科學有效的方法論體系。
（二）科學地看待數學概念的理解和記憶。理解和記憶是學習的兩項基本方法，兩者相互聯系、相互作用。各學科的理論體系和方法論探究都充分表明，數學概念的記憶是數學概念形成過程中不可或缺的環節。而有效記憶的關鍵點在于如何將記憶環節與理解過程有機融合，形成最有效的學習過程。在數學概念的獲得過程中，理解和記憶的先后關系及其重要性引起了很大的爭論。經歷了記憶與理解地位互換的兩個極端后，筆者認為數學概念的理解和記憶是相輔相成的，應該根據不同抽象度的概念具體對待，時刻遵循數學概念的理解和記憶活動是一個動態過程的原則。學習者只有尋找到了兩者的最佳“平衡支點”，才能獲得最佳的學習效果，才能在各種情境中熟練地運用數學概念。值得重申的是，教師的主要任務之一就是要找到不同類型數學概念的記憶和理解活動的“平衡支點”。針對那些概括度和抽象度比較低的數學概念，理解不需要花很多的時間，可采取在理解的基礎上進行直接記憶的方法；而針對那些概括度和抽象度比較高的概念，理解需要較長的時間，所以主要采取先記憶后理解的方法，即先讓學習者將數學概念記住，然后再針對性地進行練習和應用，逐漸加深理解程度，最后達到完整理解和記憶的目的。
基于《義務教育數學課程標準（2011年版）》對數學基本思想的目標要求和目前小學數學教學的現狀，經課題研究，提出小學數學教學中數學基本思想建構策略：通過“整合教材知識體系”“合理設計數學活動”“摸清學生思維水平”“設計合適的應用情境”建立數學基本思想的建構途徑。通過“知識起始課――主要凸顯數學抽象思想”“遷移發展課――主要凸顯數學推理思想”“模型應用課――主要凸顯數學模型思想”建立小學數學“三種課型”數學基本思想的建構策略。
[關鍵詞]
小學數學教學;數學基本思想;建構策略
《義務教育數學課程標準（2011年版）》在總目標中明確提出：“通過義務教育階段的數學學習，學生能獲得適應社會生活和進一步發展所必需的數學基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗。”這標志著我國基礎教育數學課程目標從重視“雙基”發展為重視“四基”。數學思想作為數學重要課程目標，應貫穿于數學教學的全過程。那么，如何在小學數學教學中進行數學思想建構是亟需解決的問題。筆者于2014年主持了遼寧省青年科研骨干專項重點課題――“小學數學思想教學的缺失調查及對策研究”，近一年的探究與實驗，取得了一些階段性的成果，本文將結合具體課例談談研究所得。
一、數學基本思想的建構途徑
《數學課程標準（2011年版）》明確提出了學生要獲得數學基本思想的目標，但沒有給出具體的實現途徑，可查找文獻資料也沒有具體可感的途徑方法。我們課題組追根溯源，在影響學生數學基本思想形成的因素中找到了最重要的幾個影響因素，即“教材”“數學活動”“學生思維特點”“應用情境”四個因素，力圖揭示數學基本思想的建構途徑。
（一）整合教材知識體系，建構完整的數學基本思想系統
現有的各個版本的教材都是按照知識、技能螺旋式上升的特點進行編排，而沒有系統地將數學的基本思想進行分類、分級，數學思想與知識、技能的編排不相匹配。這就要求教師從建構數學基本思想的角度，對教材知識進行合理整合和教學設計。
1.系統整合
要打破孤立地設計“一節課”的弊端，把教學設計的起點變為“一類課”或“一單元課”。例如，把三年級上冊“一位數乘兩三位數的筆算乘法”、三年級下冊“兩位數乘兩三位數的筆算乘法”和四年級上冊“三位數乘兩三位數的筆算乘法”系統整合為“筆算整數乘法”這一類課。“一位數乘兩三位數的筆算乘法”是這一類課的首課，設計要凸顯數學抽象思想。“兩位數乘兩三位數的筆算乘法”是后續課，設計要凸顯推理思想。“三位數乘兩三位數的筆算乘法”是最后一課，設計要凸顯模型思想。在這三節課中，數學基本思想在抽象思想、推理思想和模型思想的認識中得到提升。
2.局部整合
在使用教材中，還要注意從知識形成的角度出發，研究數學基本思想的完整生發過程，并對知識進行合理的統整。例如，北師大版四年級上冊“相交和垂直”“平移和平行”是“線與角”單元的其中兩節課。表面上看，這是要通過這兩節課揭示“垂直”與“平行”的本質涵義。其實從知識形成的角度看，這是研究同一平面內兩條直線的位置關系時，分類研究產生的研究結果，兩部分內容不宜分開。因此，在教學設計時，要把兩節內容統整為一節比較合適。
這樣，基于系統和局部整合的設計，能幫助學生形成本學科特有的系統的思維方式方法。
（二）合理設計數學活動，在活動中凸顯數學基本思想
在數學教學中，要以凸顯數學基本思想為主線，合理設計數學活動，在活動中收獲體驗，在體驗中完成對數學基本思想的建構。下面以“垂直與平行”這一課為例進行說明。在這課中，教師在探究環節設計了以下兩個數學活動。
活動一：學生動手畫圖，在紙上任意畫出兩條直線的位置圖。
活動二：學生交流討論，給畫出的多組位置圖分類，并說說分類的依據。
在兩個精心設計的數學活動中，教師引導學生經歷“對比觀察位置關系――討論分類標準――交流分類結果――抽象概括數學概念”的過程，積累了分類的經驗，歸納的經驗，抽象的經驗。學生經歷了揭示概念本質的過程，在活動經驗中感悟了抽象思想。
（三）及時摸清學生思維水平，選擇合適的載體強化數學基本思想
在學生特定的思維水平下，只能形成與之相適應的數學基本思想的理解和感悟能力。因此，摸清學生思維水平，選擇合適的載體強化數學基本思想才是關鍵。
在小學階段，數學推理思想下位的轉化思想對學生并不陌生，在很多問題的解決中都運用了這一思想。但對于這一思想的認識確實要經歷一個過程才能逐漸形成。下面以北師大版數學五年級上冊《多邊形的面積》為例來詳細解析這一過程。平行四邊形的面積是多邊形面積的起始課，這一課可以根據學生的經驗積累，引導學生初步感受“轉化的方向、方法、原則、轉化前后聯系”之轉化思想的內涵。三角形面積是平行四邊形面積的后續課，這一課教師要引導學生進一步感受轉化思想的內涵，體會多樣化的轉化方法。梯形面積是此單元的最后一節課，這節課可以在前兩節課積累的多種轉化經驗的基礎上，大膽讓學生自我探究，找到解決問題的辦法。三節課中，依據學生的經驗特點，由淺到深構建了數學轉化的思想，學生對轉化思想本質的理解也在三節課中逐漸完善，數學推理思想也在轉化思想的不斷深化中有了提升。
（四）設計合適的應用情境，提高學生運用數學基本思想的能力
在小學數學教學中建構數學基本思想的目的，在于提高學生體悟數學基本思想的能力，進而最終運用數學基本思想解決實際問題。因此，教師要善于設計合適的應用情境，引導學生深刻感悟數學思想。
例如，四年級下冊“三角形內角和”在課內完成教學后，教師在學生已具有探索三角形內角和時的“猜想――測量――驗證”的經驗和數學抽象基本思想經歷后，讓學生運用課上積累的經驗和數學思想方法，自己嘗試探索四邊形的內角和和五邊形的內角和。這樣的應用情境既是課內教學的發展和延伸，又是數學活動經驗和數學基本思想得到物化的保證。在探索之中，學生嘗試運用了類比推理、轉化思想、歸納推理，對數學推理思想的認識得到了升華。可以說，應用情境的設計，為學生很好地感悟數學思想搭建了一座橋梁。
二、小學數學“三種課型”教學中數學基本思想的建構策略
依據對“數學化”的理解，把小學數學課型劃分為：“知識起始課”“遷移發展課”“模型應用課”三種課型。下面就談一談小學數學“三種課型”教學中數學基本思想的建構策略。
（一）知識起始課――主要凸顯數學抽象思想
從知識產生和發展的過程看，最初產生的數學的概念、法則、性質等構成了數學知識體系的基礎和框架，我們可以把這部分內容劃定為知識起始課的內容，它主要凸顯的是數學抽象思想。可采取的策略如下。
策略之一：數學抽象要以建立充分的表象為基礎
表象是感性認識的一種高級形式，它是從具體感知到抽象思維的過渡和橋梁。因此，在概念形成、公式及法則推導過程中，建立能突出事物共性的典型表象是非常關鍵的，這為進一步高水平的抽象概括提供了基礎。
例如，在教學北師大版四年級上冊“相交與垂直”“平移和平行”兩節課時，為了更好地揭示概念的本質特征，統整為一節課。在教學中，重要的環節是教師要幫助學生建立典型的、全面的表象。為了抽象出“相交”“平行”的概念，讓學生在一張平面紙上任意畫出兩條直線的位置關系圖，教師幫助學生總結出典型、全面的表象圖（如下圖）。
學生在對表象圖確定分類標準和進行分類的過程中逐漸發現和抽象出概念。如果在上述圖中缺少了③和⑨這樣的圖形，將直接導致對“相交”概念的片面認識。為了避免這樣片面認識的產生，在選取表象時，一定要考慮典型和全面。
策略之二：數學抽象要以建立合適的抽象層次為基礎
數學抽象不是一次完成的，要建立合適的抽象層次，從借助于具體事物的較低層次的抽象逐步發展到借助表象或者數學概念的較高層次的抽象。
例如，兩位數加一位數的筆算進位加法，這是小學列豎式筆算加法的起始課。教師必須帶領學生有層次地經歷“擺小棒計算”（實物抽象）――“撥計數器計算”（半符號抽象）――“列豎式計算”（符號抽象）的抽象過程。這樣，有層次的抽象活動才能讓學生積累完整的抽象的經驗，感悟抽象的數學思想。
策略之三：數學抽象要以獲取完整的數學活動經驗為基礎
數學活動是積累豐富的數學活動經驗的有效載體，而數學思想的感悟必須借助完整的數學活動經驗才能實現。因此，數學抽象要以獲取完整的數學活動經驗為基礎。
例如，前面所說的兩位數加一位的筆算加法教學中，學生經歷了“擺小棒計算”――“撥計數器計算”――“列豎式計算”的活動，在三個數學活動中積累了“實物抽象”“半符號抽象”“符號抽象”的完整遞進的數學抽象的經驗，進而在這完整的數學抽象經驗中，感悟了數學抽象思想的意義。如果在數學中，只經歷擺小棒計算的過程，然后就建構列豎式的符號抽象形式，這樣的過程將導致學生缺乏完整的數學活動的經驗，抽象成符號形式的條件不成熟，抽象思想形成的難度大，不符合學生的思維水平。因此，獲取豐富、完整的數學活動經驗是建構數學抽象的必要基礎。
策略之四：數學抽象要以運用合理的抽象方法為基礎
數學抽象基本思想的形成必須借助合理的抽象方法來實現。如：分類方法、數形結合方法、對應的方法、符號化的方法等都是小學階段主要用到的抽象方法。
例如：“兩位數加一位數進位加法”的豎式計算教學，就利用“擺小棒”和“撥計算器”的方法，達到數形結合，通過數形結合的方法實現最終抽象為符號的目的，進而完成概念、法則的抽象過程。研究“平行”的概念時，就借助了分類的方法，通過對形成典型表象的兩條直線的位置關系圖，研究“分類的標準”和“如何分類”的問題，就抽象出了“平行”概念的本質特征。
（二）遷移發展課――主要凸顯數學推理思想
由數學起始性知識遷移和重構發展而來的知識，可以稱為后續性新知識。可以把這部分內容劃定為遷移發展課的內容，它主要凸顯的是數學推理思想。可采取的策略如下。
策略之一：數學推理要以構建新舊知識內在聯系為基礎
后續性新知識是由相應的舊知識遷移發展而來的，因而架起新舊知識內在聯系的橋梁，才便于找到數學推理的基礎。
例如，異分母分數加減法是由同分母分數加減法遷移發展而來的，因而教學異分母分數加減法，就要依據同分母分數加減法進行類比推理，把異分母分數加減法轉化為同分母分數加減法進行計算。
遷移發展課要以建構新舊知識的內在聯系為基礎，在新舊知識對比中找到相同點和異同點，然后進行類比遷移建構新知識。
策略之二：數學推理要以獲取必要的數學活動經驗為橋梁
數學推理思想的感悟不是通過某個環節單獨完成的，它是在學生獲得豐富活動經驗的基礎上逐漸領悟的。因此，設計好能讓學生產生豐富數學活動經驗的數學活動則是必然的。
例如，教學圓柱的體積計算方法時，設計了兩個數學活動：活動一，從長方形和正方形體積的計算方法，猜一猜怎樣計算圓柱的體積？活動二，能否運用轉化的方法推導出圓柱體積的計算方法。在這兩個活動中，學生由圓柱體、長方體和正方體都是直柱體，通過類比提出“圓柱體的體積的計算方法可能是底面積乘高”的猜想，再通過把圓柱“切、拼”轉化成長方體，根據長方體的體積計算公式推導出圓柱的體積計算公式。在這樣的教學中，學生經歷了“類比猜想――驗證說明”的過程，積累了“類比推理”和“轉化思想”的數學活動經驗，從中體會了數學推理思想在問題中的應用。
策略之三：數學推理要采用合理的推理方法來實現
推理的過程一般經歷“猜想、類比、聯想、歸納”的合情推理階段和“驗證說明”的演繹推理階段。合情推理是培養學生數學思維的主要途徑，也是培養創新思維的不可或缺的途徑。在小學階段，學生較多接觸的是合情推理，演繹推理可在中高年級適當引入。
例如，小學五年級上冊“多邊形的面積”的學習，可引導學生先進行類比推理猜想出面積的計算方法，然后采用演繹推理對“猜想”進行驗證，推導出圖形的面積計算公式。
（三）模型應用課――主要凸顯數學模型思想
建構數學模型即指從數學的角度，對所研究的問題做一個模擬，舍去無關因素，保留其數學關系，以形成某種數學結構。
以北師大版五年級下冊“包裝的學問”為例，談一談建構模型的具體步驟。
（1）了解問題背景，確定目的要求，簡化研究載體
問題是：“幾盒相同的糖果包成一包，怎樣包裝最節約包裝紙？”
涵義及要求：
①要節約包裝紙，從數學角度思考，就是使包裝后的表面積最小。
②要找到所有的包裝方法才能發現最節約包裝紙的方法。
③把現實世界中的各種狀如長方體的盒狀物抽象看成“長方體”。
④在接口處不計的情況下，疊放后長方體的表面積就是需要包裝紙的大小。
（2）選用數學工具，尋求事物聯系，建立數學模型
通過觀察、畫圖、計算的方式，建構“疊放后的長方體露在外面的表面積和內部重疊的面積大小的關系”。
①分別研究兩盒糖果、四盒糖果包成一包，各有幾種不同的包裝形式？觀察和計算后，確定最節省包裝紙的疊放方法。
②比較兩盒、四盒糖果的最節省包裝的方案，歸納出“疊放后的長方體的表面積與內部重疊的面積大小的關系：表面積越小，重疊的面積越大。”
③總結出最節省包裝的方法：使重疊后的面的面積最大。（數學結構）
（3）依據數學模型，求解實際問題，檢驗數學模型
應用“疊放的表面積與重疊面積大小的關系”解決包裝方法的問題，并檢驗正確性。
總之，我們的數學課堂，不僅要完成數學基礎知識、基本技能的教學任務，更要重視挖掘數學基本思想和基本活動經驗的教育因素，形成一整套成熟的具有操作性的策略系統，從而達到發展學生的數學思維，提升學生的數學素養的目的。
[參 考 文 獻]
[1]義務教育數學課程標準解讀（2011版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012.
[2]邵光華.作為教育任務的數學思想與方法[M].上海：上海教育出版社，2009.
[3]史寧中.漫談數學的基本思想[J].數學教育學報，2011（4）.
關鍵詞：小學數學；數概念；教學策略
數學教學先從認識數開始，可以說數概念是整座數學大廈的基礎，是重要的數學概念，是小學數學教學的重要內容。新教材根據學生已有的經驗和認知水平，把重要的數學概念與數學思想方法采用逐步滲透、深化、螺旋上升的編排原則，將對萬以內的數認識安排在三個年級，分為五個階段。具體安排是：一年級學習100以內數的認識，二年級學習1000以內數的認識，三年級學習10000以內數的認識。其中，100以內數的認識是整個認數教學的關鍵。這個階段的數概念不僅是學習100以內數計算的基礎，也是認識更大的自然數（萬以內的數、大數的認識）的基礎。本文以100以內數的認識為例，來簡單談一談數概念的教學策略。
一、找到難點
學生在一年級上學期已經學習了20以內的數，在平時的生活中對100以內的數并不陌生。我通過課前調查發現大多數學生口頭數100以內的數不會有多大的問題，但大多停留在“唱數”的層面，還沒用建立100以內數的數學模型，在數法上也不是很標準，很多學生習慣了簡單的口語式數數把幾十幾數成幾幾，如二十一數成二一，二十五數成二五等。同時，在實際數物體的數量時，學生往往會出現手口不一致的現象。尤其在數到幾十九時，部分學生很可能出現不知道下一個該數哪個數的現象。如在59、69、79、89等數后面接的是幾十，仍有不少學生需要思考一下才能數下去。除此之外，學生從某個整十數開始數可能比較容易，但是如果從某個中間位置開始數就會出現一定的困難，如從37數到48，或從67開始向后數五個數，都會讓學生不知所措。
二、從實踐活動入手
認識100以內的數，是學生適應生活和進一步學習必須的重要知識，也是學生建立數感的重要素材。由于一年級上學期已經學習了20以內的數的認識，同時學生在日常生活中也對100以內的數有了不同程度的認識，所以我在教學中利用學生的原有認知水平和生活經驗，讓學生數班內人數、粉筆、小棒、花片等實物，體會數來源于數，感受數和物的一一對應關系，逐步積累活動經驗。
具體而言，根據數概念教學的難點，廣大數學教師可以這樣設計實踐活動。
1.讓學生動手數具體的實物
在實際的教學過程中，教師可以為學生準備好小棒、紙片、粉筆、豆子等實物，讓學生自己動手數具體的實物。這樣做的目的是檢測學生是否能準確地數出物體的個數，從而使學生進一步建立數的模型，培養學生的數感。通過創設這種簡單有效的學習活動，不僅可以發揮學生的主體意識，讓學生有充分的感知嘗試活動，還可以通過各種材料、各種途徑，讓學生自主將數學知識遷移內化。
2.抓、估、數豆子
在數概念教學中，教師可以讓每個學生抓一把豆子，握在手里感受一下，然后放在桌子上進行估算并實際數一數。與此同時，教師還要讓學生用同樣的方法再做一次，這一次首先讓學生說一說：“估算抓的顆數時是怎么想的？有沒有和上次抓的實際顆數做比較？”再實際數一數，并填寫記錄表。在這種自己抓、自己數的過程中，通過估算自己抓的顆數和“再來一次”等活動，不僅激發了學生參與數學活動的興趣，還初步培養了學生的估算意識和能力。
三、多種形式鞏固數的概念
在數概念的教學過程中，教師可以借助幻燈片（花片圖），讓學生以各種方式（指名數、男女生對口數、開火車數等），用不同的方法（1個1個的數、10個10個的數），從1數到100（重點從20數到100）。我通過這樣變化形式的教學使學生建立100以內數的數學模型，并認識到可以用不同的方法數物體，進而掌握快速數數的基本方法。為了檢測學生的學習效果，教師可以指名讓學生數，如從24數到35，跨過整數從中間位置開始數，以便觀察學生是否真正建立了數的模型。還可以讓同桌之間拍著手數，從48數到60，從71數到85等。拍手數節奏快，且是跳躍性的數數，對學生的思維有更高的要求。這樣做，可以在脫離實物的基礎上，采取多種方式，讓學生練習口頭數數，并重點指導數到幾十九時，下一個該數哪個數。通過借助數花片圖，采用多種策略數數，吸引學生的注意力，很好地突破了數到幾十九該數哪個數的難點。教師還可以讓學生體驗用不同的方法數實物。
四、教師要善于處理教學中的意外
在讓學生分組數粉筆、小棒和花片等實物的環節中（各類物品的數量是相等的），教師的意圖是檢驗學生是否正確數出物體的個數。在三個數粉筆的小組中，其中一個小組出現了一支粉筆斷成兩截的情況，最終兩個小組數的是46支，而另一個小組數出了47支。我這時說到：“2個小組數的是46支，你們數的47支，你們數錯了。”這個小組的學生卻回應我說，他們盒子里的一支粉筆斷成2支了。這時候，我抓住了課堂的自然生成，對學生認真嚴格的實數精神進行了表揚。我通過對這種教學中的意外情況的正確處理，進一步培養了學生正確數數的意識。
五、加強訓練、學以致用
一、概念教學中引導反思——學會數學地思考
數學概念是數學基礎知識和基本技能的核心，是學生理解、運用數學知識和提高數學能力的基礎. 在數學學習中，數學概念的學習是至關重要的. 教學中，教師應創設必要的問題情境，引導學生從實際問題抽象出概念和模型，使用不同的方式解釋概念、理解概念，使學生在自主觀察的基礎上，通過合作交流，了解同伴對概念的理解，以此豐富自己的思考方法，反思自己的思考過程，并最終通過反思深化對概念的理解，形成完整的概念. 在概念學習過程中，學生潛移默化地懂得怎樣去反思，反思什么，形成借助經驗對自身進行相對直覺的反思能力，學會數學地思考問題.
如：在“圓柱和球的認識”教學中，讓學生主動去觸摸圓柱和球，感知它們的特征，說說他們所發現的圓柱和球的特征，再通過小組交流，將自己對圓柱和球原有的感知特征和同學的意見進行結合、梳理和歸類，從而理解了比較抽象的數學概念.
又如：數軸概念的引入，老師可以拿出直尺、桿秤等實物讓學生觀察，用多媒體展示筆直公路上的里程碑，然后追問這些工具的共同特征和用途，最后追問如何直觀地表示有理數，自然地引導學生得出數軸的概念. 教學中，引導學生透過現象看本質，達到觸類旁通的目的，培養了思維的深刻性和靈活性.
二、解決問題中引導反思——掌握數學方法
數學的學習離不開解決問題. 學生在解決問題時，往往缺乏對解題過程的反思，沒有對解決問題進行提煉和概括，導致學生解決問題過程單一、思路狹窄、方法陳舊、思路混亂、主次不分，解決問題的質量不高. 因而，教學中，教師在解決問題過程中要善于將自己內隱活動的調節、控制過程展示出來，在解決問題過程中不斷地引導學生進行反思，整理思維過程，確定解決問題的關鍵，概括解決問題的方法，使解決問題的過程更加清晰，思維更具條理化、精確化和概括化，使學生思維逐漸向開端、靈活、精細和新穎的方向發展. 這樣能充分發揮學生的主體性，提高學生的概括能力，使學生形成一個系統性強，相互聯系的數學認知結構.
如：“圖形的旋轉”一課的教學，可以設計這樣一個活動：請你將圓規的兩腳并攏，然后固定其中的一腳不動，慢慢張開圓規的另一腳，觀察此腳及其端點的位置變化規律. 接著追問這是什么變換？又如何定義旋轉的？用圖形應該如何表示？學生獨立操作以后和小組內的同學比一比，看看誰的作圖最規范，最能體現變換過程中的特征，最后由小組代表交流旋轉的概念，圖形的畫法和旋轉的性質.
三、問題解決后引導反思——提煉數學思想
數學思想方法是數學的靈魂，是學科“四基”的重要組成部分. 數學教學絕不僅僅是數學知識的學習，更要注重數學思想方法的滲透. 在平時的學習過程中，學生總是根據問題的具體情境來決定解題的方法，這種方法是受具體情境制約的，如果不對它進行提煉、概括，那么它的適用范圍就有局限性，不易產生遷移. 這就要求教師在問題解決后，適時引導學生進行反思，提煉數學思想方法，并逐步形成反思習慣和反思能力.
在例題教學時，教師應把練習過程和練習后的反思放在同等重要的地位上，引導學生有目的地通過反思積累解題技巧、歸納解題規律、提煉解題思想和方法，這樣，學生就會逐漸地養成題后反思的習慣了，不知不覺提高了思維的主動性和積極性. 教師應鼓勵學生在學習過程中，加強思維策略上的回顧總結，分析具體解答中包含的數學基本方法，并對具體的方法進行再加工，從中提煉出應用范圍廣泛的數學思想. 如：在進行解直角三角形中“應用舉例”的例題教學時，教師認真設計了5道例題，引導學生對5道例題的所有解題過程進行反思，讓學生們圍繞著這些例題求解過程中的共同點進行討論和交流. 通過反思交流，很快地形成了結論，同學們普遍認識到5道例題都采用了同一種解題思維方式，那就是將實際問題幾何化，然后通過三角函數的知識又將幾何問題方程化，5道例題的解題過程，本質上就是數學的轉化思想. 實踐表明，經常性地引導學生對解題思路進行類比反思，他們就容易歸納出同類問題的解題模式，形成解題策略，觸類旁通，舉一反三，進而提高解題能力.
四、溫故學習中引導反思——培養數學能力
學生在初學基礎知識時往往不求甚解，粗心大意，只滿足于一知半解，這就容易造成對概念的錯誤理解，特別是對于一些難點知識，更容易產生認識上的誤區. 反思作為一種思維活動，其目的就是要消除困惑，解決問題. 只有學會反思，學生才能不斷矯正錯誤，深刻理解和正確掌握知識. 作為教師，應當結合學生出現的錯誤，精心設計教學情境，幫助學生從基本概念、基礎知識的角度來剖析錯誤的原因，給學生一個對基本概念、基礎知識理解鞏固的機會，使學生在糾錯的過程中掌握基礎知識，理解基本概念，指導學生自行檢驗結果，進一步回顧以往所學知識，探索知識之間的規律，發現知識點的聯系，突破知識理解和問題解決中的諸多誤區，形成較強的數學能力.
綜上可以看出，讓學生親歷反思學習過程，形成反思習慣，對學生數學學習有著重要作用. 教師應以培養學生終身學習的愿望和能力為原則，積極引導學生開展反思性學習，將學習實踐與反思融為一體，在數學學習過程中逐步形成反思意識和反思能力，切實使反思成為學生自我成長的一條有效途徑.
反思能力是學生持續發展所必備的素質之一，學會反思，是學習方法的本質和核心. 對數學學習而言，學生的數學學習過程是一個自主構建自己對數學知識理解的過程，他們帶著自己原有的知識背景、活動經驗和理解走進學習活動，通過自己的主體活動，去構建對數學的理解. 這里的主體活動主要包括獨立思考、與他人交流和反思等. 因而，在教學中培養學生數學反思能力，對學生學習數學知識、掌握數學方法以及提高數學素養起著非常重要的作用. 下面談談自己在教學中培養學生反思能力的一些做法和體會：
一、概念教學中引導反思——學會數學地思考
數學概念是數學基礎知識和基本技能的核心，是學生理解、運用數學知識和提高數學能力的基礎. 在數學學習中，數學概念的學習是至關重要的. 教學中，教師應創設必要的問題情境，引導學生從實際問題抽象出概念和模型，使用不同的方式解釋概念、理解概念，使學生在自主觀察的基礎上，通過合作交流，了解同伴對概念的理解，以此豐富自己的思考方法，反思自己的思考過程，并最終通過反思深化對概念的理解，形成完整的概念. 在概念學習過程中，學生潛移默化地懂得怎樣去反思，反思什么，形成借助經驗對自身進行相對直覺的反思能力，學會數學地思考問題.
如：在“圓柱和球的認識”教學中，讓學生主動去觸摸圓柱和球，感知它們的特征，說說他們所發現的圓柱和球的特征，再通過小組交流，將自己對圓柱和球原有的感知特征和同學的意見進行結合、梳理和歸類，從而理解了比較抽象的數學概念.
又如：數軸概念的引入，老師可以拿出直尺、桿秤等實物讓學生觀察，用多媒體展示筆直公路上的里程碑，然后追問這些工具的共同特征和用途，最后追問如何直觀地表示有理數，自然地引導學生得出數軸的概念. 教學中，引導學生透過現象看本質，達到觸類旁通的目的，培養了思維的深刻性和靈活性.
二、解決問題中引導反思——掌握數學方法
數學的學習離不開解決問題. 學生在解決問題時，往往缺乏對解題過程的反思，沒有對解決問題進行提煉和概括，導致學生解決問題過程單一、思路狹窄、方法陳舊、思路混亂、主次不分，解決問題的質量不高. 因而，教學中，教師在解決問題過程中要善于將自己內隱活動的調節、控制過程展示出來，在解決問題過程中不斷地引導學生進行反思，整理思維過程，確定解決問題的關鍵，概括解決問題的方法，使解決問題的過程更加清晰，思維更具條理化、精確化和概括化，使學生思維逐漸向開端、靈活、精細和新穎的方向發展. 這樣能充分發揮學生的主體性，提高學生的概括能力，使學生形成一個系統性強，相互聯系的數學認知結構.
如：“圖形的旋轉”一課的教學，可以設計這樣一個活動：請你將圓規的兩腳并攏，然后固定其中的一腳不動，慢慢張開圓規的另一腳，觀察此腳及其端點的位置變化規律. 接著追問這是什么變換？又如何定義旋轉的？用圖形應該如何表示？學生獨立操作以后和小組內的同學比一比，看看誰的作圖最規范，最能體現變換過程中的特征，最后由小組代表交流旋轉的概念，圖形的畫法和旋轉的性質.
三、問題解決后引導反思——提煉數學思想
數學思想方法是數學的靈魂，是學科“四基”的重要組成部分. 數學教學絕不僅僅是數學知識的學習，更要注重數學思想方法的滲透. 在平時的學習過程中，學生總是根據問題的具體情境來決定解題的方法，這種方法是受具體情境制約的，如果不對它進行提煉、概括，那么它的適用范圍就有局限性，不易產生遷移. 這就要求教師在問題解決后，適時引導學生進行反思，提煉數學思想方法，并逐步形成反思習慣和反思能力.
在例題教學時，教師應把練習過程和練習后的反思放在同等重要的地位上，引導學生有目的地通過反思積累解題技巧、歸納解題規律、提煉解題思想和方法，這樣，學生就會逐漸地養成題后反思的習慣了，不知不覺提高了思維的主動性和積極性. 教師應鼓勵學生在學習過程中，加強思維策略上的回顧總結，分析具體解答中包含的數學基本方法，并對具體的方法進行再加工，從中提煉出應用范圍廣泛的數學思想. 如：在進行解直角三角形中“應用舉例”的例題教學時，教師認真設計了5道例題，引導學生對5道例題的所有解題過程進行反思，讓學生們圍繞著這些例題求解過程中的共同點進行討論和交流. 通過反思交流，很快地形成了結論，同學們普遍認識到5道例題都采用了同一種解題思維方式，那就是將實際問題幾何化，然后通過三角函數的知識又將幾何問題方程化，5道例題的解題過程，本質上就是數學的轉化思想. 實踐表明，經常性地引導學生對解題思路進行類比反思，他們就容易歸納出同類問題的解題模式，形成解題策略，觸類旁通，舉一反三，進而提高解題能力.
四、溫故學習中引導反思——培養數學能力
學生在初學基礎知識時往往不求甚解，粗心大意，只滿足于一知半解，這就容易造成對概念的錯誤理解，特別是對于一些難點知識，更容易產生認識上的誤區. 反思作為一種思維活動，其目的就是要消除困惑，解決問題. 只有學會反思，學生才能不斷矯正錯誤，深刻理解和正確掌握知識. 作為教師，應當結合學生出現的錯誤，精心設計教學情境，幫助學生從基本概念、基礎知識的角度來剖析錯誤的原因，給學生一個對基本概念、基礎知識理解鞏固的機會，使學生在糾錯的過程中掌握基礎知識，理解基本概念，指導學生自行檢驗結果，進一步回顧以往所學知識，探索知識之間的規律，發現知識點的聯系，突破知識理解和問題解決中的諸多誤區，形成較強的數學能力.
新課程在課程的理念、目標上的一個發展是在數學教學和數學學習中，更加強調對數學的認識和理解。無論是基礎知識、基本技能的教學，數學的推理論證，還是數學的應用，都要幫助學生更好地認識數學的思想和本質。為此首先應體現在對基本概念和基本思想的理解和掌握上，教師必須很好地把握基礎，幫助學生打好基礎，發展能力。
一、何謂數學的本質
本質是事物存在的根據，事物中不變的形狀，是事物的根本性質，是某類事物區別于其他事物的基本特質，是事物本身所固有的根本屬性。而對數學本質的認識，一般可以從以下幾個方面入手：
1.對基本數學概念的理解
所謂“對基本數學概念的理解”是指了解為什么要學習這一概念，這一概念的現實原型是什么，這一概念特有的數學內涵、數學符號是什么，以這一概念為基礎是否能構建“概念網絡圖”。
2.對數學思想方法的把握
基本數學概念的背后往往蘊含重要的數學思想方法，數學的思想方法極為豐富，中學階段主要涉及哪些數學思想方法呢？這些思想方法如何落實呢？我們的基本觀點是：在學習概念和解決問題中落實。中學階段數學的主要思想方法有：函數與方程思想、分類與整合思想、化歸與轉化思想、數形結合思想、特殊與一般思想、有限與無限思想、必然與偶然思想等。
3.對數學特有思維方式的感悟
每一學科都有其獨特的思維方式和認識世界的角度，數學也不例外，尤其數學又享有“鍛煉思維的體操、啟迪智慧的鑰匙”的美譽。中學階段主要的數學邏輯方法或思維方式有：分析與綜合、歸納與演繹、比較與分類、具體與抽象等，邏輯思維是數學思維方式的核心。
4.對數學美的鑒賞
能否領悟和欣賞數學美是一個人數學素養的基本成分，能夠領悟和欣賞數學美也是進行數學研究和數學學習的重要動力和方法。能夠把握數學美的本質有助于培養學生對代數學以及數學學習的態度，進而影響數學學習的進程和學習成績。數學的基本原則：求真、求簡、求美。數學美的核心是：簡潔、對稱、奇異，其中“對稱”是數學美的核心。
5.對數學精神（理性精神與探究精神）的追求
可以說，數學的理性精神（對“公理化思想”的信奉）與數學的探究精神（好奇心為基礎，對理性的不懈追求）是支撐數學家研究數學，進而研究世界的動力，也是學生學習數學，研究世界最原始、最永恒、最有效的動力。
二、數列的數學本質
《義務教育數學課程標準》把數列視為反映自然規律的基本數學模型，要求在教學中通過日常生活中的實例，了解數列的概念和幾種表示方法，特別指出要體現數列是一種特殊函數（離散函數），通過列表、圖像、通項公式表示數列，把數列融于函數之中。函數思想是中學階段學生所接觸到的最重要的數學思想方法之一。數列作為一種特殊的函數，更是與函數思想密不可分，任何數列問題都蘊含著函數的本質及意義，具有函數的一些固有特征.因此我們在數列教學中，應充分利用其函數本質，以函數的概念、圖象、性質為紐帶，架起函數與數列之間的橋梁，揭示它們之間的內在聯系.教科書指出：
三、用函數觀點解決數列問題
數學學科在考試時按照“考查基礎知識的同時注重考查能力”的原則，確立以能力立意命題的指導思想，將知識、能力和素質融為一體，全面檢測學生的數學素養，因此數列的學習應回歸概念，立足于函數知識的整合和升華，著重于運用函數模型解決問題，形成函數與方程的解題思想，淡化解決遞推數列問題的技巧。
在教學中充分挖掘等差、等比數列的這些函數圖象特征，對于理解等差、等比數列的性質有很大幫助，同時也為解決等差、等比數列的有關問題提供了簡捷、有效的方法。
總之，在數列的教學中，應該時刻不忘數列的本質，重視函數思想的滲透，把函數概念、圖象、性質有機地融入到數列中，只要抓住數列的函數本質，就能構建數列的解題思路；同時通過數列與函數知識的相互交匯，使學生的知識網絡得以不斷優化與完善，也使學生的思維能力得以不斷發展與提高。
關鍵詞： 初中數學閱讀教學 新知探析 問題解析 案例評析
教育學認為，閱讀是從書面材料中獲取信息的過程，閱讀是讀者和文本進行對話的過程，閱讀是主動獲取的過程.有道是：“腹有詩書氣自豪.”諸葛亮說：“非學無以廣才.”著名考古學家、教育家郭沫若指出：“能讀書才必博.”可見，閱讀在提升個人修養，增強社會技能方面有著積極的作用.聽、說、讀、寫，是每個學生學習知識的基本技能.閱讀作為學生學習新知內容，理解知識內容，增長學識才干，接受新知觀念的一種手段和方法，在實際學習活動有著廣泛而深入的應用.數學閱讀是新課改下教師有效教學活動的重要方式之一，它是指圍繞數學問題或相關材料，以數學思維為基礎和紐帶，用數學的方法、觀念來認知、理解、汲取知識和感受數學文化的學習活動.誠然，在傳統教學活動中，部分初中數學教師以“分數論英雄”，以“升學率”為目標，采用“教師講，學生練”的單一教學方式，忽視對學生讀和說過程的訓練，導致學生成為“解題的高手”“表述的矮子”，出現“茶壺煮餃子——有口說不出”的問題.近年來，閱讀教學引起了教育界的高度重視，江蘇省教研室將此列為第九期重點研究課題.我有幸參與其中，現將初中數學閱讀教學活動的實踐舉措作論述.
一、在新知探析中滲透數學閱讀教學
“書讀百遍，其義自現”.新知教學是教學活動的重要環節，學生對新知內容中概念、性質、定理等內涵及要義的有效掌握和理解，是學生有效解答相關問題案例的重要前提和條件.這其中，就離不開學生對新知概念、性質、定理等內容的閱讀分析活動.數學閱讀教學的根本目的是要借助于閱讀手段，深刻掌握內涵要義.因此，初中數學教師在新知講解環節，在概念、性質、定理等內容的講解過程中，要有意識地引導學生開展閱讀活動，提出有針對性的閱讀學習要求，指導學生既對教學內容進行整體的感知理解，又對關鍵字詞進行局部的深刻研讀，從逐步掌握和理解新知內容的內涵要義和關鍵點.如在“全等三角形的概念”教學活動中，教師采用數學閱讀教學策略進行全等三角形概念內容的講解，設計如下教學過程：
師：全等三角形是全等圖形的一種，請同學們認真研讀全等三角形的概念內容，哪些同學能仿照全等圖形的概念說一說什么是全等三角形？
生：能夠完全重合的兩個三角形是全等三角形.
師：很好，看圖：ABC與DEF能夠重合（用電腦演示重合的過程），那么ABC與DEF就是全等三角形.通過對圖形的認知，我們結合全等三角形的概念，請根據對應頂點和對應邊的概念，找出相應的對應頂點、對應邊、對應角.
生：點B與點E是對應點，BC邊與EF邊是對應邊，AC邊與DF邊也是對應邊，∠B與∠E是對應角，∠C與∠F也是對應角.
師：同學們找得很正確.請同學們認真研讀內容，找出用數學符合變式全等三角形的內容？
如圖，ABC與DEF全等，即這兩個三角形能夠完全重合.我們把它記作ABC≌DEF，讀作“ABC全等于DEF”.
大家注意：記兩個三角形全等時，通常把表示對應頂點的字母寫在對應的位置上.如圖，點A與點D、點B與點E、點C與點F是對應點，記作ABC≌DEF.
在此過程中，教師滲透閱讀教學法，引導學生通過研讀全等三角形的相關概念內容，深刻掌握全等三角形的相關概念內容及表示方法，有效提高學生的認知和掌握程度.
二、在問題解析中滲透數學閱讀教學
問題：如圖，在？荀ABCD中，E、F為對角線BD上的兩點，且∠BAE=∠DCF，求證：BE=DF.
在該問題案例的教學中，教師滲透閱讀教學策略，要求學生認真研讀問題條件及解題要求，學生在閱讀問題案例內容過程中，認識到該問題是關于平行四邊形方面的案例.此時，教師在此要求學生對問題條件之間的關系進行閱讀，學生意識到該問題解答時需要運用到“平行四邊形的性質，平行線的性質，全等三角形的判定和性質”等知識點內容，在此基礎上，教師與學生進行共同讀題，找出該問題解答的策略，學生分析過程如下：要證BE=DF，只要求證ABE和CDF全等，利用平行四邊形對邊平行且相等和平行線內錯角相等的性質可得AB=CD，∠ABE=∠CDF，又由已知∠BAE=∠DCF，根據全等三角形ASA判定定理得證.
學生證明過程如下：
證明：四邊形ABCD是平行四邊形，
ABE≌CDF（ASA）.
BE=DF.
最后，教師引導學生進行解題過程閱讀分析活動，師生共同得出解題策略和方法.
通過上述解題過程可以看出，初中數學教師在解析問題策略過程中，應引導學生開展問題條件的閱讀研析活動，找出問題條件涉及的知識點及內在關系，并通過“閱讀研析”的方式探析出進行問題解答的策略和方法，為有效解題活動的開展提供方法支持.
三、在案例評析中滲透數學閱讀教學
