時間：2024-03-20 10:17:06
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇推理的邏輯形式，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
論文關鍵詞 法律邏輯學 形式邏輯 非形式邏輯
在我國,法律邏輯的研究開始于80年代初期,起步較晚,而且國內學者對國外法律邏輯的研究狀況也了解較少。在我國法律邏輯研究的初期階段,法律邏輯學的主要研究方向是如何把形式邏輯的知識應用到法律當中,法律邏輯的任務在于把形式邏輯的一般原理運用于法學和法律工作中。但隨著研究的深入以及學科理論的發展,不少學者認識到把法律邏輯限制在形式邏輯的框架下,不僅阻礙了這一學科的發展,也沒能使這一學科發揮出其應有的作用。因此,國內的法律邏輯學教材多呈現出兩種趨勢,一種是以形式邏輯為框架穿插法律案例,以形式邏輯的推論來解決法律案例中的邏輯問題;另一種是不局限于形式邏輯,而是采用了更多的非形式邏輯的方法來解決法律實踐中遇到的難題。在這樣的背景下,便產生了法律邏輯學的研究方向的轉向。有的學者更多的是從法律的角度出發,把法律思維分為立法和司法兩個領域,司法領域中所涉及的推論分為事實推理、法律推理和判決推理。也有的學者更多的是從邏輯學角度出發,認為法律邏輯學研究的主要趨向應該是非形式邏輯的方向。本人認為法律邏輯學是法學和邏輯學的交叉學科,它既是法學的一個分支,又是邏輯學的一個分支,它運用的是邏輯工具,它需要解決的則是法律領域的問題,因此法律邏輯學有著它固有的邏輯基礎——形式邏輯,但僅有形式邏輯明顯不足以支撐起法律邏輯學的大廈,法律實踐中遇到的問題很多還要留給非形式邏輯去解決。
一、形式邏輯與法律邏輯學
法律推理是指運用“情境思維”的方法或“個別化的方法”來解讀或解釋法律,從已知或假定的法律語境出發判斷出法律意思或含義的推論,是一個在法律語境中對法律進行判斷或推斷的過程。法律推理旨在為案件確定一個可以適用的法律規則即上位法律規范,為判決確立一個法律理由或法律依據即裁判大前提。形式邏輯可以為法律邏輯學提供一定的理論基礎,這是毋庸置疑的,運用形式邏輯的方法來解決法律邏輯問題的案例在法律邏輯學教科書中也屢見不鮮:
偵查機關通過一番調查,初步判斷:
被害者的上級(B)、妻子(M)、秘書(G)中至少有一人是兇手,但他們不全是兇手。
僅當謀殺發生在辦公室里(A),上級才是兇手;如果謀殺不發生在辦公室里,秘書不是兇手。
假如使用毒藥(C)那么除非妻子是兇手,上級才是兇手;但妻子不是兇手。
毒藥被使用了,而且謀殺未發生在辦公室里。
問:偵查員的這些判斷都是真實的嗎?
解決這一問題首先需要把四個命題用形式化的方法表示出來,然后運用自然推理系統PN進行推理,推理過程中如果得出了相互矛盾的結果則說明這些判斷不都是真實的,如果得出的結果沒有相互矛盾,則證明這些判斷都是真實的。這是運用形式邏輯來解決刑事案件的典型例子。從這個例子可以看出,形式邏輯是研究推理的,是一種證明的邏輯,傳統法律邏輯運用的是傳統邏輯即形式邏輯,可見它解決的是法律推理問題。所謂推理是指由一個推論的序列組成的推論鏈,其中一個推論的結論是下一個推論的前提;所謂推論是指一組命題,其中一個命題是結論,其他命題是前提;而一個推理序列則組成了論證,其中一個推理的結論充當了下一個推理的前提。可以說,一個論證包含了多個推理,一個推理包含了多個推論。形式邏輯雖然解決了法律推理問題,但是未能解決法律論證問題。
另外,法律推理理論的研究大致有兩個方向,一是法律的形式推導,二是法律的實質推導。法律的形式推導是指基于法律的形式理性或邏輯理性進行的法律推理,是基于法律規范的邏輯性質或邏輯關系進行的法律推理。法律的形式推導的結果是法律規范的邏輯后承,是對法律規范進行邏輯判斷的結果,是對法律規范進行“形式計算”或“概念計算”的結果。如果要進行法律形式推導,則必定是建立在法律規范含義明確清晰,案件事實確鑿清楚,案件所適用的法律規范是確定無疑義的情況下的,這樣一來就可以根據法律規范本身的邏輯特性,按照相應的邏輯規則進行推理,這種推理可以運用形式邏輯的的方法,但是這種法律形式推理只適用于較為簡易的案件判決。從這里可以看出,形式邏輯確實可以為法律邏輯學提供一定的理論基礎。
雖然形式邏輯可以為法律邏輯學的研究提供一定的方法,但是僅僅有形式邏輯時無法滿足法律邏輯學發展的需要的。眾所周知,能夠進入訴訟程序的案件往往不是那么容易就被確認的,控辯雙方經常會在法律規范的模糊意義下擺出自己的道理,控辯雙方對于案件事實的描述也往往大相徑庭,在這種情況下,法官則需要運用法律的實質推導來處理案件。法律的實質推導是指基于實踐理性或目的理性以及價值理性進行的法律推理。它是基于法律意圖或目的、法律的價值取向、社會效用或社會效益、社會公平正義觀念等實質內容對法律展開的推論。在法律出現空隙,法律規范含混不清,相互抵觸,“合法”與“合理”相悖的困境等問題上,法律實質推理作出了法律形式推理無法給出的回答。
形式邏輯也有傳統和現代之分,傳統形式邏輯主要是指亞里士多德三段論理論和斯多葛命題邏輯為主體的形式邏輯,現代形式邏輯主要是指皮爾士、弗雷格、羅素、希爾伯特等人發展起來的數理邏輯或符號邏輯。從形式邏輯本身性質來看,它自身的一些特點決定了它無法完全滿足法律邏輯學發展的需要。
首先,我們知道形式邏輯主要研究的是演繹推理的有效性問題,如果想要得到真實可靠的結論,則需兩個條件:前提真實并且形式有效,而形式邏輯關心的則是人工語言論證和邏輯系統的有效性,它對前提是否真實則關注不夠。一個論證的形式是有效的并不能保證前提是真的。“形式邏輯對論證的評價是從真前提開始,但如何判定前提的真假,這已經超出形式邏輯所討論的范圍。”
其次,在法律事務中遇到的問題往往不像上述例子中那么簡單,某些不確定的因素總是包含在法律論證的大、小前提(即法律規范和案件事實)當中,在由前提到結論的推論中,不是單純的形式邏輯的推演活動,因而這樣的推論不可能是像書本例題中的那種簡單形式邏輯的操作。作為法律論證大前提的法律規范是基于自然語言的產物,因此難免會受到自然語言多義性、模糊性的影響,導致法官、律師在運用法律規范的過程中產生困擾。
在實際操作中,作為法律推論小前提的案件事實并不總是清晰地擺在人們面前,法官、律師也總是面對不完整的案件事實而進行推理、推論,而形式邏輯所進行的演繹推理必然是在前提充分的條件下進行的,它關注的更多是程序化的論證及人工語言的論證。從這點來看,用形式邏輯來進行法律推論顯然是力不從心的。
再次,形式邏輯所研究的命題都是事實命題,是有真值的對象,形式邏輯對事實命題做出的非此即彼的評價是形式邏輯二值性的充分體現。但是在法律文本中有較多的命題并非事實命題,而是如“外國人入境,應當向出入境邊防檢查機關交驗本人的護照或者其他國際旅行證件、簽證或者其他入境許可證明,履行規定的手續,經查驗準許,方可入境。(中華人民共和國出境入境管理法第二十四條)”這一類的規范命題或價值命題,這類命題的性質無所謂真假,它們也不充當演繹推理的前提和結論,這類命題顯然已經超出了形式邏輯的研究范圍。形式邏輯并不專門以法律領域中的推理與論證為對象,沒有涵蓋法律思維領域里的全部推理與論證。
第四,《牛津法律大辭典》指出:“法律推理是對法律命題的一般邏輯推理”,包括演繹推理、歸納推理和類比推理。法律思維中涉及了大量的歸納推理、類比推理、語境推理等,這些都屬于非演繹推理的范疇,而形式邏輯對非演繹推理的研究十分粗糙,無法滿足法律思維的實踐,因此形式邏輯無法有效地評價、規范全部法律思維。
二、法律邏輯學的研究方向——非形式邏輯
非形式邏輯興起于上個世紀60年代,到目前為止,它還沒有一個完全統一公認的概念,現任《非形式邏輯》雜志主編拉爾夫·約翰遜(RalphH.Johnson)和安東尼·布萊爾(J.AnthonyBlair)提出:“非形式邏輯是邏輯的一個分支,其任務是講述日常生活中分析、解釋、評價、批評和論證建構的非形式標準、尺度和程序”。這個定義被認為是當今流行的定義。從這個定義中可以看出,非形式邏輯的研究對象是日常生活的語言,也就是自然語言,這一點恰恰迎合了法律邏輯學以自然語言為文本的的特性。
非形式邏輯之所以是“非形式的”,這主要是因為它不依賴于形式演繹邏輯的主要分析工具——邏輯形式的概念,也不依賴于形式演繹邏輯的主要評價功能——有效性。非形式邏輯在這方面與形式邏輯形成了良好的互補,形式邏輯研究論證主要是基于語義的研究,即真假命題之間的關系研究;而非形式邏輯研究論證主要是基于語用的研究,即從語境和論證目的角度進行研究,正是這一點成為了法律邏輯學與非形式邏輯的完美聯姻。在法律邏輯學中,與法律形式推導對應的是法律實質推導,法律實質推導是指基于實踐理性或目的理性以及價值理性進行的法律推理,是基于法律意圖或目的、法律的價值取向、社會效用或社會利益、社會公平正義觀念等實質內容之間的關系對法律展開的推論,可分為法律的目的推導和價值推導。法律實質推導是基于目的蘊涵和價值蘊涵,而不是基于形式蘊涵,因此它應當有不同于法律形式推導的框架,而非形式邏輯從語境和論證目的角度進行研究就為法律實質推導提供了工具。
關鍵詞：范疇三段論推理；信念偏差效應；指導語；任務難度
中圖分類號：B849 文獻標志碼：A 文章編號：1002-2589（2012）14-0049-02
一、范疇三段論
范疇三段論推理在人們對思維的研究中占有重要地位，引發了大量的研究。在形式邏輯中，范疇三段論是指由兩個包含著共同項的性質命題為前提而推出一個新的性質的命題為結論的推理[1]103。一個范疇三段論傳統的包括三個陳述：包括四種量項中的一種AEIO。這些量項決定陳述的式。A代表全稱肯定，E代表全稱否定，I代表特稱肯定，O代表特稱否定。項的順序可以有多種呈現方式，可以產生四種格中的一種。可以產生AB-BC；BA-CB；AB-CB；BA-BC這四種格。在這里格是前提和結論同時呈現的。諸如，所有的藝術家都是養蜂人；所有的養蜂人都是化學家。至此，如果我們要問：所有的藝術家都是化學家嗎？上面三段論的形式是AAA,格是AB-BC。通過這種方式來定義格，結論的順序也是相關的，在這個例子中是A-C。前提和結論的格與式決定著三段論的有效性。前提決定他們是否支持一個有效結論，是否是從前提中必然的推出。
二、信念偏差效應
自1928年Wilkins開始對信念偏差效應進行研究以來，許多研究者開展了實驗研究，確認了信念偏差效應的基本表現形式，并嘗試對信念偏差效應發生的基本機制進行解釋。對范疇三段論進行研究的過程中，意識到人們的實際推理活動不僅僅受到推理問題的邏輯形式的影響，還受到與邏輯形式相互獨立的一些因素的影響。內容效應指面對具有相同邏輯形式的推理問題時，我們采用不同的具體內容，人們的正確率會發生很大的變化。內容對演繹推理的影響存在兩種方向，促進或抑制對問題的邏輯解決。信念偏差效應是內容效應的一個主要的表現形式。信念偏差效應是指人們在評價結論的有效性或推出結論時，常常受到已有知識經驗或者信念影響，表現出接受可信結論，拒絕不可信結論的傾向[1]126。
Evans對信念偏差效應研究作出了巨大的貢獻，他們確認了信念偏差的一般表現形式，第一，不可信結論與可信結論相比，被試傾向接受可信結論，表明被試在進行推理的時候受到信念或已有知識經驗的影響。第二，推理結論的可信性與邏輯有效性之間存在交互作用，結論的可信性對無效推理的效應大于對有效推理的效應。此外，邏輯無效結論與邏輯有效結論相比，被試更加傾向接受邏輯有效的結論[2]。這個實驗結果得到后來一系列實驗研究的驗證。
三、指導語對信念偏差效應的影響
當我們在對范疇三段的信念偏差效應進行研究的時候存在兩種不同的指導語形式。一種是基于信念的指導語，一種是基于邏輯的指導語。當我們采用基于信念的指導語進行研究的時候，是讓人們根據已有的信念，即根據你在現實生活中積累的知識經驗，判斷能否得出此結論。所以人們在進行推理的時候是基于自己已有的知識經驗，常常會表現出接受可信結論，而拒絕不可信結論的傾向。這樣就會導致信念偏差效應的出現。還會對信念偏差效應產生促進的作用。當我們采用基于邏輯的指導語進行研究的時候，是要求人們判斷能不能從前面的兩個前提中合乎邏輯地得出后面的結論。即根據邏輯有效性來判斷是否能夠得出結論。由于是根據邏輯進行判斷，所以人們在做出判斷的時候是基于邏輯的，可以減少信念偏差效應的影響，但是還是不能夠完全的消除信念偏差效應的影響。這樣就可以抑制信念偏差效應的出現。
Evans等的研究發現在可能性指導語下被試對結論的接受率要顯著高于必然性指導語下被試對結論的接受率；指導語和問題類型的交互作用顯著，不確定無效的可能性弱的問題在必然性指導語下的接受率顯著低于可能性指導語下的接受率。然而在Evans等的研究對于不確定無效問題又被分成了可能性強問題和可能性弱問題。在他的文章中又涉及了積極效應、消極效應和兩種不同的指導語，一種指導語是可能性指導語，一種是必然性指導語。然而積極效應和消極效應是對信念偏差形式的一種具體的劃分。積極效應（接受更多的可信結論）指不經常犯的錯誤當結論可信時卻出現了；消極效應（拒絕更多不可信的結論）指經常犯的錯誤當結論不可信時被抑制了。在Evans等的研究中得出這種積極效應、消極效應和采用何種指導語之間沒有交互作用。積極效應、消極效應和問題的類型出現了交互作用，在不確定無效的可能性弱的問題上出現了積極效應；在不確定無效的可能性弱的問題上出現了消極效應[2]。
四、任務難度對信念偏差效應的影響
為了解釋信念偏差效應，區分多模型、單模型問題是有必要的。根據心理模型理論根據可以建構模型的數量把范疇三段論分成了單模問題和多模問題。在解決三段論問題時，只可以構建一個心理模型的三段論問題就是單模型問題。可以建構兩個或者兩個以上心理模型的三段論問題就是多模型問題。單模問題是一種簡單的三段論問題。諸如，所有的梨樹都是細閱；所有的細閱都是動物；因此，所有的梨樹都是動物。多模問題是一種復雜的三段論問題。諸如，所有的哺乳動物都不是位真；有些猩猩是位真；因此有些哺乳動物不是猩猩。這里所提到的位真和細閱是無意的中項[3]。由于難度低的單模型任務只需要建構一個心理模型，所以他很少會出現信念偏差效應。而難度大的多模型任務需要建構兩個以上的心理模型，很容易就會出現按照已有的知識經驗來做出判斷，而不是按照邏輯有效性進行判斷。Evans等人的實驗中表明：所有謬誤的產生至少是在三段論能夠建構兩個心理模型的推理中。他認為只有在難度大的問題上才會出現謬誤，也就是難度大的問題比難度小的問題容易出現信念偏差。
胡竹菁采用非必然性的指導語時，當被試同時面對推理形式和推理內容，如果被試對推理形式掌握比較好，那么他就會按照推理的形式回答；如果被試對推理內容掌握比較好，那么他就會按照推理的內容回答；如果被試對推理的內容和形式掌握的差不多，兩種標準均有一半的人采用[4]。單模型的任務就是一種形式很好掌握的任務，所以基本不會出現信念偏差效應。然而對于多模型的問題，他的形式就比較地難掌握，而他的內容則要比他的形式好掌握許多。所以比較容易出現信念偏差效應。
五、生成結論的范式對信念偏差效應的影響
三段論推理任務中的推理評估任務范型中發現了信念偏差效應，沒有發現格效應。而在產生式范型中發現了格效應，沒有發現信念偏差效應。所以我們在對三段論的信念偏差效應進行研究的時候都是采用的結論評估范式而不是采用結論生成范式。結論的評估范式是指：在進行三段論推理的時候采用給出兩個前提的同時給出一個結論，讓被試來判斷這個結論是否能夠得出。然而結論的生成式是指：在進行三段論推理的時候只給出兩個前提，而不給出結論，要被試自己從前提得出結論。這樣他們兩個在進行推理時候的心理活動是不同的。他們所進行的推理方向剛好相反。一個是正向的推理，一個是反向的推理。
六、兩種理論對信念偏差效應的解釋
強調推理過程中的邏輯加工以Braine等人的心理邏輯最有名。該理論認為，人們在推理過程中將邏輯規則運用于心理操作，即人們在推理中首先將前提轉化成相似的心理表征，使其邏輯形式明確化，進而將邏輯規則運用于這些表征，得出結論。盡管這一假設被許多心理學家認同，但一直沒有得到實驗證據支持。與心理邏輯假設相對的一些理論認為，人們進行范疇三段論的推理的過程似乎與形式邏輯規則是沒有關系的。這些相對的理論中以Johnson—Larid等的心理模型理論影響最大。該理論認為演繹推理要經過三個階段才能夠完成。首先，推理者利用已有的知識或者經驗對前提加以理解，建構一個前提所描述內容的心理模型。然后，在所建構的心理模型的基礎上得出某個結論；如果模型不能夠提供結論，推理者就會得出前提得不出任何結論的判斷。最后，通過建構其他可能的模型來對得到的結論驗證，如果找不到其他可能的模型，那么就接受在第二步時得到的結論，如果可以建構其他可能的模型，就回到第二階段試圖發現是否存在所建構的模型中都正確的結論，這樣反復下去，窮盡全部可能的模型。該理論認為演繹推理的難度是由所能夠建構的心理模型的數量來決定，并推斷推理者的錯誤結論是根據某些可能的模型得出，并沒有能夠窮盡所有的模型。同時認為，人們所持有的知識或者信念會影響演繹推理的加工，如果得出的結論令人難以相信，人們就會努力尋找其他可能的模型。我們需注意的是，最近的證據表明人們在進行三段論推理時，傾向接受在頭腦中出現的第一個結論，很少去證明有效性。
七、結語
無論你采用何種指導語都不能夠完全的消除信念偏差效應，但是采用邏輯必然性指導語的時候可以減輕信念的影響。簡單的三段論推理中的信念偏差效應比較的小，在難度較大的三段論推理中，信念偏差效應較大。在使用結論的生成范式時，基本不會出現信念偏差效應。然而采用結論評估范式時，容易出現信念偏差效應。心理模型理論可以對信念偏差效應很好地進行解釋，然而心理邏輯理論并不能夠對信念偏差效應很好地進行解釋。
參考文獻：
[1]胡竹菁.人類推理的心理學研究[M].北京:高等教育出版社,2007.
[2]Jonathan,St.B.T.Evans,Simon,J.Handley,& Catherine,N.J.Harper.Necessity,possibility and belief:A study of syllogistic reasoning[J].The quarterly journal of experiental psychology,2001,54,935-958.
論文摘要：邏輯學是研究推理的一門學問，而推理是由概念、命題組成的，不懂得命題就不懂得推理。普通邏輯學在研究命題時，主要是從二值邏輯的角度研究命題邏輯形式的邏輯值與命題形式之間的真假關系。本文著重從認識論的角度闡述邏輯真理的內涵，同時詳細論述邏輯真理與事實真理的區別。為了探求真理必須保證思維的邏輯性。
邏輯學離不開“真”這個概念。一般來說人們是從下述意義上使用“真”這個概念的：
（一）前提或者命題真。這種真是指命題的思想內容是真的。任何一個命題的內容不是真的就是假的，在這里真或假不是用以描述事物狀態的，而是評價命題或陳述的內容的。它的核心是針對其所表達的知識或信念的，例如：“臺灣不是一個主權國家。”這個命題的內容是符合客觀事實的，所以是個真命題。
（二）推理真。這是指推理中前提真和結論真之間的關系。演繹推理前提真結論必然真，歸納推理和類比推理前提真而結論是或然性真。因此推理真就是推理中的結論相對于前提是必然的真或者是或然的真。這里“真”指的是否再現邏輯推斷關系而不是對命題內容的評價。
（三）指派真和賦值真。在邏輯學中（特別是在現代邏輯中）把命題形式當作真值形式，而且只從真假的角度研究每一種命題形式的邏輯特征，真和假是命題的唯一屬性。邏輯真在這里指這些真值形式和其中的變項與公式的真假，這時的真假和具體命題內容的真假無關，而只是一種假定的真假和根據這種假定而推論出的真假。
（四）形式真。這是指永真式（重言式）或普遍有效式的真。邏輯學中有一類公式，對其中的變項可以代以任何命題、謂詞、個體詞總能得到真命題。這類公式的真是一種邏輯關系的真，例如：P或者非P中不管變項P賦真值或是假值，這個公式都是真的。
（五）系統真。現代邏輯建立了形式系統，如果它的定理都是形式真，即都是永真公式或是普遍有效式，那么整個系統便是可靠的和一致的，這種可靠性和一致性就是一種系統的真。
在以上這五種“真”的情況下，邏輯學不考慮第一種意義的“真”，而只關注后四種“真”。后四種“真”在邏輯學中有各種表現，在其他科學中也有這些意義上的真的表現，就被稱為邏輯真理。
所謂邏輯真理是一種特殊的真理，是一種因邏輯關系或邏輯原因而成為真的一種真理。邏輯真理不能憑經驗而得知其為真，它需要我們借助邏輯分析、語義分析、關系分析確定它們是真的。它和我們日常生活中所說的真理是有區別的。
恩格斯認為：全部哲學特別是近代哲學的重大基本問題，是思維與存在的關系問題。它包括兩個方面的問題，一方面是思維與存在何者為本原的問題；另一方面是思維和存在有無同一性的問題，也就是我們的思維能否認識現實或者正確地反映現實世界的問題。從邏輯哲學的角度來看，其重大的基本問題就是邏輯與客觀現實的關系問題，任何邏輯學家都要回答：邏輯真理是否與客觀現實一致？邏輯真理與事實真理之間又有什么關系？
關于這個理論問題，亞里士多德在其所著《形而上學》一書中明確提出并詳細論述了邏輯基本規律（矛盾律與排中律）。在談到矛盾律時認為，事物不能同時存在又不存在。矛盾律首先是存在的規律。它之所以能夠成為邏輯思維的基本規律，是因為它符合“事理”。亞里士多德肯定了邏輯規律與存在規律的一致性，其根據就是真理符合現實的理論，即所謂真理符合論。它在解釋真與假這對概念時說，凡以不是為是、是為不是者，這就是假的；凡以實為實、以假為假者這就是真的。按照真理符合論，一切真理必需與現實一致，邏輯真理也不能例外。可見亞里士多德的真理觀，是唯物主義的一元論，這個真理論肯定了思維與存在的同一性。但是亞里士多德只強調邏輯真理與存在規律的一致性，卻忽視了邏輯真理的特殊性。
萊布尼茲是現代邏輯的創始人。他第一個提出了用數學方法研究邏輯學中的推理問題，對亞里士多德的真理一元論提出了挑戰。他認為有兩種真理：即推理的真理和事實的真理。推理的真理是必然的，事實的真理是偶然的。推理的真理不像事實真理那樣依賴于經驗，它們的證明只能來自所謂的天賦的內在原則。因此萊布尼茲的這種觀點，就成為真理二元論和邏輯真理先驗論的一個起源。
基于萊布尼茲的推理真理和事實真理的對立，在康德的哲學中就演變為分析判斷和綜合判斷的分歧。康德認為一切來源于經驗的判斷都是綜合判斷；分析判斷是絕對獨立于一切經驗的知識，即先天知識。例如：“白人是人”就是分析判斷，在康德看來表示邏輯規律的判斷就屬于分析判斷。
數理邏輯問世之后，邏輯哲學領域中出現了維特根斯坦學派，即以維也納小組為核心的邏輯實證主義者。他們的一個共同的工作就是利用數理邏輯的成果，發展從萊布尼茲到康德的真理二元論和邏輯真理的先驗論，使之獲得科學化的外觀和現代化的形式。維特根斯坦把邏輯真理稱為重言式。他認為重言式的命題是無條件的真，由此他斷言，重言式既不能為經驗所證實，同樣的也不能為經驗所否定，也就是說與現實沒有任何描述關系。邏輯實證主義者進一步把康德關于分析判斷和綜合判斷的區分推向極端。在他們看來，凡是先天的都是分析的；反之，凡分析的都是先天的。邏輯實證主義者確立了一個基本的哲學信條：分析真理與綜合真理有根本的區別。這個學派的主要代表卡爾納普認為，哲學家們常常區分兩類真理，某些陳述的真理是邏輯的、必然的、根據意義而定的，另一些陳述的真理是經驗的、偶然的、取決于世界上的事實的。前一類推理就是所謂的分析推理，后一類推理就是所謂的綜合推理。邏輯真理被看作是分析真理的一個特殊的真子集。
1933年塔爾斯基以形式化的方法給出了真理的語義學概念，他用非形式化方法對其語義學的成果作出概述。他認為邏輯真理同其他真理一樣，必需與客觀現實相符合或者相一致，在形式語言中，一個語句是不是邏輯真理，取決于它是不是在每一種解釋下都成為真語句；同時一個語句在某一解釋下是否為真，取決于它在這一解釋下，是否與它所“談論的對象”相一致。可見邏輯真理的概念直接依賴于形式語言中的語句，與它們所描述的客觀現實之間的符合關系，這說明它的邏輯真理或者分析真理并非先驗的真或者先天的真，它們為真同樣是因為它們與現實相符合。塔爾斯基重新建立了真理符合論，表明一切真理包括事實真理和邏輯真理，它們的共同特征就是必需與客觀現實相符合。
綜上所述，我們可以看出亞里士多德提出的真理符合論，肯定了邏輯真理與存在規律的一致性，但是忽視了它們之間的差別。萊布尼茲、康德、維特根斯坦和邏輯實證主義者認為，邏輯真理和現實絕對無關，與事實真理根本不同。塔爾斯基主張真理必需以亞里士多德的真理符合論為基礎，而且只能以形式語言來構造，這種觀點有一定的局限性。
認識論認為，真理是客觀事物及其規律在人們思維中的正確反映。同樣邏輯真理也是客觀世界規律性的反映。列寧指出，人的實踐經過千百萬次的重復，它在人的意識中以邏輯的格固定下來，而最普遍的邏輯格，就是事物被描述的很幼稚的……最普遍的關系。列寧認為邏輯的公理、正確的推理形式是事物最普遍的關系，是由人們實踐中千百萬次的重復而反映和鞏固在意識中。列寧說的最普遍的邏輯格是指三段論推理的正確形式。在這一點上我們說邏輯真和事實真是相容的，事實真是基礎，邏輯真是建立在事實真基礎之上的，二者是一致的，但是邏輯真理與任何具體的經驗事實無關。
第一，邏輯系統的公理和定理的真是邏輯系統設定，其為真的根據是某種初始的邏輯關系。第二，邏輯公理和定理經過解釋的真命題，其為真不取決于解釋中的內容，而取決于這些公理、定理所顯示的邏輯關系。第三，邏輯推斷關系這種推論的結論真是一種邏輯關系真。第四，根據邏輯聯系詞的性質，由邏輯真得到邏輯真。如：A、B是邏輯真命題，那么A并且B、如果A那么B都是邏輯真命題。第五，數學中的邏輯真命題，是建立在公理演繹基礎之上。以上這些邏輯真由于邏輯的原因或者邏輯關系而真，在這一點上我們可以說，在局部意義上，相對于特定的邏輯系統而言，邏輯真理可以說是分析的，是以邏輯意義為根據的，而與任何具體的經驗事實無關。 轉貼于
摘要：邏輯學是研究推理的一門學問，而推理是由概念、命題組成的，不懂得命題就不懂得推理。普通邏輯學在研究命題時，主要是從二值邏輯的角度研究命題邏輯形式的邏輯值與命題形式之間的真假關系。本文著重從認識論的角度闡述邏輯真理的內涵，同時詳細論述邏輯真理與事實真理的區別。為了探求真理必須保證思維的邏輯性。
邏輯學離不開“真”這個概念。一般來說人們是從下述意義上使用“真”這個概念的：
（一）前提或者命題真。這種真是指命題的思想內容是真的。任何一個命題的內容不是真的就是假的，在這里真或假不是用以描述事物狀態的，而是評價命題或陳述的內容的。它的核心是針對其所表達的知識或信念的，例如：“臺灣不是一個國家。”這個命題的內容是符合客觀事實的，所以是個真命題。
（二）推理真。這是指推理中前提真和結論真之間的關系。演繹推理前提真結論必然真，歸納推理和類比推理前提真而結論是或然性真。因此推理真就是推理中的結論相對于前提是必然的真或者是或然的真。這里“真”指的是否再現邏輯推斷關系而不是對命題內容的評價。
（三）指派真和賦值真。在邏輯學中（特別是在現代邏輯中）把命題形式當作真值形式，而且只從真假的角度研究每一種命題形式的邏輯特征，真和假是命題的唯一屬性。邏輯真在這里指這些真值形式和其中的變項與公式的真假，這時的真假和具體命題內容的真假無關，而只是一種假定的真假和根據這種假定而推論出的真假。
（四）形式真。這是指永真式（重言式）或普遍有效式的真。邏輯學中有一類公式，對其中的變項可以代以任何命題、謂詞、個體詞總能得到真命題。這類公式的真是一種邏輯關系的真，例如：P或者非P中不管變項P賦真值或是假值，這個公式都是真的。
（五）系統真。現代邏輯建立了形式系統，如果它的定理都是形式真，即都是永真公式或是普遍有效式，那么整個系統便是可靠的和一致的，這種可靠性和一致性就是一種系統的真。
在以上這五種“真”的情況下，邏輯學不考慮第一種意義的“真”，而只關注后四種“真”。后四種“真”在邏輯學中有各種表現，在其他科學中也有這些意義上的真的表現，就被稱為邏輯真理。
所謂邏輯真理是一種特殊的真理，是一種因邏輯關系或邏輯原因而成為真的一種真理。邏輯真理不能憑經驗而得知其為真，它需要我們借助邏輯分析、語義分析、關系分析確定它們是真的。它和我們日常生活中所說的真理是有區別的。
恩格斯認為：全部哲學特別是近代哲學的重大基本問題，是思維與存在的關系問題。它包括兩個方面的問題，一方面是思維與存在何者為本原的問題；另一方面是思維和存在有無同一性的問題，也就是我們的思維能否認識現實或者正確地反映現實世界的問題。從邏輯哲學的角度來看，其重大的基本問題就是邏輯與客觀現實的關系問題，任何邏輯學家都要回答：邏輯真理是否與客觀現實一致？邏輯真理與事實真理之間又有什么關系？
關于這個理論問題，亞里士多德在其所著《形而上學》一書中明確提出并詳細論述了邏輯基本規律（矛盾律與排中律）。在談到矛盾律時認為，事物不能同時存在又不存在。矛盾律首先是存在的規律。它之所以能夠成為邏輯思維的基本規律，是因為它符合“事理”。亞里士多德肯定了邏輯規律與存在規律的一致性，其根據就是真理符合現實的理論，即所謂真理符合論。它在解釋真與假這對概念時說，凡以不是為是、是為不是者，這就是假的；凡以實為實、以假為假者這就是真的。按照真理符合論，一切真理必需與現實一致，邏輯真理也不能例外。可見亞里士多德的真理觀，是唯物主義的一元論，這個真理論肯定了思維與存在的同一性。但是亞里士多德只強調邏輯真理與存在規律的一致性，卻忽視了邏輯真理的特殊性。
萊布尼茲是現代邏輯的創始人。他第一個提出了用數學方法研究邏輯學中的推理問題，對亞里士多德的真理一元論提出了挑戰。他認為有兩種真理：即推理的真理和事實的真理。推理的真理是必然的，事實的真理是偶然的。推理的真理不像事實真理那樣依賴于經驗，它們的證明只能來自所謂的天賦的內在原則。因此萊布尼茲的這種觀點，就成為真理二元論和邏輯真理先驗論的一個起源。
基于萊布尼茲的推理真理和事實真理的對立，在康德的哲學中就演變為分析判斷和綜合判斷的分歧。康德認為一切來源于經驗的判斷都是綜合判斷；分析判斷是絕對獨立于一切經驗的知識，即先天知識。例如：“白人是人”就是分析判斷，在康德看來表示邏輯規律的判斷就屬于分析判斷。
數理邏輯問世之后，邏輯哲學領域中出現了維特根斯坦學派，即以維也納小組為核心的邏輯實證主義者。他們的一個共同的工作就是利用數理邏輯的成果，發展從萊布尼茲到康德的真理二元論和邏輯真理的先驗論，使之獲得科學化的外觀和現代化的形式。維特根斯坦把邏輯真理稱為重言式。他認為重言式的命題是無條件的真，由此他斷言，重言式既不能為經驗所證實，同樣的也不能為經驗所否定，也就是說與現實沒有任何描述關系。邏輯實證主義者進一步把康德關于分析判斷和綜合判斷的區分推向極端。在他們看來，凡是先天的都是分析的；反之，凡分析的都是先天的。邏輯實證主義者確立了一個基本的哲學信條：分析真理與綜合真理有根本的區別。這個學派的主要代表卡爾納普認為，哲學家們常常區分兩類真理，某些陳述的真理是邏輯的、必然的、根據意義而定的，另一些陳述的真理是經驗的、偶然的、取決于世界上的事實的。前一類推理就是所謂的分析推理，后一類推理就是所謂的綜合推理。邏輯真理被看作是分析真理的一個特殊的真子集。
1933年塔爾斯基以形式化的方法給出了真理的語義學概念，他用非形式化方法對其語義學的成果作出概述。他認為邏輯真理同其他真理一樣，必需與客觀現實相符合或者相一致，在形式語言中，一個語句是不是邏輯真理，取決于它是不是在每一種解釋下都成為真語句；同時一個語句在某一解釋下是否為真，取決于它在這一解釋下，是否與它所“談論的對象”相一致。可見邏輯真理的概念直接依賴于形式語言中的語句，與它們所描述的客觀現實之間的符合關系，這說明它的邏輯真理或者分析真理并非先驗的真或者先天的真，它們為真同樣是因為它們與現實相符合。塔爾斯基重新建立了真理符合論，表明一切真理包括事實真理和邏輯真理，它們的共同特征就是必需與客觀現實相符合。
綜上所述，我們可以看出亞里士多德提出的真理符合論，肯定了邏輯真理與存在規律的一致性，但是忽視了它們之間的差別。萊布尼茲、康德、維特根斯坦和邏輯實證主義者認為，邏輯真理和現實絕對無關，與事實真理根本不同。塔爾斯基主張真理必需以亞里士多德的真理符合論為基礎，而且只能以形式語言來構造，這種觀點有一定的局限性。
關鍵詞：離散數學;存在量詞;規則
中圖分類號：G642.0 文獻標識碼：A 文章編號：1002-4107（2015）12-0003-02
離散數學是計算機科學與技術、軟件工程等本科專業的一門基礎課程，而數理邏輯是離散數學課程中的一個重要組成部分，對提高學生理解和構造數學證明的能力以及培養學生的計算思維（computational thinking）具有重要作用[1-2]。
命題邏輯和一階謂詞邏輯是數理邏輯教學內容中的兩個部分。一階謂詞邏輯通過引入量詞來表達個體與總體之間的內在聯系與數量關系[3]，從而克服了命題邏輯中無法表達數量關系的局限性。
量詞包括全稱量詞和存在量詞。全稱量詞表達個體域中的所有個體，通常用符號“ ”表示;存在量詞表達個體域中的單個個體，通常用符號“ ”表示。一般用小寫字母a、b、c等符號表示個體常元，用小寫字母x、y、z等符號表示個體變元，用大寫字母A、B、C、P、Q、R等符號表示謂詞。在謂詞公式 xP（x）或 xP（x）中，x是約束變元，也稱變元x是約束出現，這時的P（x）稱為 x或
x的轄域;如果謂詞公式Q（y）中不存在變元y的約束出現，則稱變元y在Q（y）中自由出現，或稱y是自由變元。在謂詞公式 x yP（x，y）或 x yP（x，y）中，變元x在 x或 x的轄域內是約束出現，但在 y或 y的轄域內是自由出現。
一階謂詞邏輯推理系統除了具有與命題邏輯推理中一樣推理規則之外，還有4條與量詞的引入和消去有關的規則，分別是全稱量詞引入規則（簡記為 +或UG）、全稱量詞消去規則（簡記為 -、UI或US）、存在量詞引入規則（簡記為 +或EG）、存在量詞消去規則（簡記為 -、EI或ES）。量詞引入也稱為量詞泛化，量詞消去也稱為量詞實例化或指定。這4條與量詞有關的引入和消去規則極大地豐富了一階謂詞邏輯推理的表達能力。
在量詞引入規則和量詞消去規則的教學中，保證量詞引入規則以及量詞消去規則的內容與形式的統一性對學生正確理解和接受推理規則及推理過程具有重要作用，否則容易引起學生理解上的困惑。
一、現有的規則
我們以文獻[3]中關于存在量詞引入規則（ +或EG）和存在量詞消去規則（ -、EI或ES）為例進行說明。文獻[3]是普通高等教育“十一五”國家級規劃教材，具有代表性。在文獻[3]中給出的全稱量詞引入規則和全稱量詞消去規則的內容與形式是統一的，不存在理解上的困惑。
文獻[3]給出的存在量詞引入規則（ +或EU）形式為：
或 （1）
以及
或 （2）
其中，x、y是個體變元符號，c是個體常元符號。應用該規則的前提要求是：在謂詞公式A中，變元y不在 x和 x的轄域內自由出現，常元c不在 x和 x的轄域內出現。
在上述式（1）這對表述中，第一個表述成立的依據是公式A（c） xA（x）永真，因此有A（c） xA（x）;第二個表述成立的依據是假言三段論規則：（BA（c））∧（A（c） xA（x）） B xA（x）。式（2）的情形類似。 我們看到，這個規則稱為“存在量詞引入規則”，其推理結果在形式上也體現了存在量詞 ，規則的內容與符號形式是統一的，學生易于理解和接受。
然而，文獻[3]給出的存在量詞消去規則（ -或EI）的形式為：
或 （3）
以及
或 （4）
其中，y是個體變元符號，c是個體常元符號，應用該規則的前提要求是：變元y不在推理的任何前提公式以及謂詞公式B中自由出現，常元c不在推理的任何前提公式以及謂詞公式 xA（x）及B中出現。
我們看到，在這個稱為“存在量詞消去規則”的推理結果形式中反而出現了存在量詞 ，使得規則的內容與符號形式不統一，導致學生理解上的困惑。
實際上，在上述式（3）這對表述中，第一個表述可以當作一條存在量詞引入規則;該表述成立的依據是假言三段論規則：
（ xA（x）A（c））∧（A（c）B） xA（x）B。其中，常元c是滿足謂詞公式 xA（x）的個體。
而式（3）中的第二個表述在本質上不是消去存在量詞，而是得出結論B，其成立的依據實質上是假言推理規則，即：
（ xA（x）A（c））∧（ xA（x）） A（c）
以及
A（c）∧（A（c）B） B。
其中，常元c是滿足謂詞公式 xA（x）的個體。因此，在該規則描述中的第二個表述其實是不必要的，可以從該規則中刪去。
類似地，在式（4）這對表述中，第一個表述也可以當作一條存在量詞引入規則;考慮到變元y的任意性，該表述成立的依據是假言推理規則（ xA（x）A（c））∧
（ xA（x）） A（c）、化簡規則A（y）B A（c）B以及假言三段論規則（ xA（x）A（c））∧（A（c）B） xA（x）B 。
其中，常元c是滿足謂詞公式 xA（x）的個體。
式（4）中的第二個表述在本質上也不是消去存在量詞，而是得出結論B，其成立的依據實質上是假言推理規則（ xA（x）A（c））∧（ xA（x）） A（c）、化簡規則A（y）B A（c）B以及假言推理規則A（c）∧（A（c）B）
B。其中，常元c是滿足謂詞公式 xA（x）的個體。因此，該表述其實也是不必要的，可以從該規則中刪去。
二、修改后的規則
為了保證規則內容與形式的統一性，我們可以將式（3）的第一個表述以及式（4）的第一個表述納入到存在量詞引入規則中，這種做法
其中，x、y是個體變元符號，c是個體常元符號。應用該規則的前提要求是：應用式（5）或（7）時要求常元c、變元y分別不在公式A中 x和 x的轄域內出現和自由出現;應用式（6）或（8）時要求常元c、變元y分別不在公式A中 x和 x的轄域內、公式B以及推理的任何前提公式中出現和自由出現。
在修改后的存在量詞引入規則（ +或EU）中，式（5）的第二個表述和式（7）的第二個表述可以看成是在蘊含式的后件引入存在量詞的情形，式（6）和式（8）的表述可以看成是在蘊含式的前件引入存在量詞 的情形。這些表述具有內容與形式的統一性，便于學生理解和記憶，可以根據不同情形選擇使用。
那么，存在量詞消去規則應具有怎樣的形式呢？我們可如下表述存在量詞消去規則（ -、EI或ES）：
其中，c是個體常元符號。應用該規則前二個表述的前提要求是：常元c是滿足公式 xA（x）的個體。
在修改后的存在量詞消去規則（ -、EI或ES）中，當常元c是滿足公式 xA（x）的個體時，式（9）中第一個表述成立的依據是公式 xA（x）A（c）為永真式，因此有
xA（x） A（c）;第二個表述成立的依據是假言三段論規則：
（B xA（x））∧（ xA（x）A（c）） BA（c）。第三個表述成立的依據是假言三段論規則：
（A（c） xA（x））∧（ xA（x）B） A（c）B 。
與對修改后的存在量詞引入規則（ +或EU）形式的看法類似，在修改后的存在量詞消去規則（ -、EI或ES）中，第二個表述可以看成是在蘊含式的后件消去存在量詞 的情形，第三個表述可以看成是在蘊含式的前件消去存在量詞 的情形，這樣更便于學生理解和記憶。修改后的存在量詞消去規則（ -、EI或ES）也是對文獻[4]中對應規則的進一步擴充。
綜上所述，在一階謂詞邏輯推理中，我們應保證規則的內容與形式的統一性，使學生正確理解和接受相應的推理規則，合理構造推理過程，從而有利于培養學生的計算思維能力以及提高學生的推理能力。
參考文獻：
[1]Kenneth H.Rosen. Discrete mathematics and its
applications（7th Ed.）[M].McGraw-Hill（Asia）
Education Press，2012：xvi.
[2]Jeannette M.Wing. Computational thinking[J].
Communications of the ACM，2006，49（3）：33-35.
[3]屈婉玲，耿素云，張立昂.離散數學（第二版）[M].北京：
高等教育出版社，2015：60，81.
【關鍵詞】邏輯/廣義與狹義/一元論/多元論/工具主義
【正文】
一、廣義的邏輯與狹義的邏輯
什么是邏輯？要清楚明確地回答這一問題，要將各種各樣冠以“邏輯”的學科都統一在一個明確清晰的“邏輯”的定義之下，這是很困難的，甚至是不可能的。
不妨先對邏輯發展史作一簡單考察。
在西方，公元前4世紀，古希臘哲學家亞里士多德集其前人研究之大成，寫成了邏輯巨著《工具論》（由亞氏的六部著作編排而成：《范疇篇》、《解釋篇》、《前分析篇》、《后分析篇》、《論辯篇》、《辨謬篇》）。雖然在亞氏的著作中他并沒有明確地使用“邏輯”這一名稱，也沒有明確地以“邏輯”這一術語命名其學說，但是，歷史事實是，亞氏使形式邏輯從哲學、認識論中分化出來，形成了一門以推理為中心，特別是以三段論為中心的獨立的科學。因此，可以說，亞里士多德是形式邏輯的創始人。
亞氏之后，亞里士多德學派即逍遙學派和斯多葛學派都以不同形式發展了亞氏的形式邏輯理論——逍遙學派的德奧弗拉斯特和歐德慕給亞里士多德邏輯的推理形式增補了一些新的形式與內容，提出了命題邏輯問題，斯多葛學派克里西普斯等人則構造了一個與亞里士多德詞項邏輯不同的命題邏輯理論。
弗蘭西斯·培根是英國近代唯物主義哲學家，也是近代歸納邏輯的創始人，他在總結前人歸納法的基礎上，在批判了經院邏輯和亞里士多德邏輯之后，以其古典歸納邏輯名著《新工具》為標志，奠定了歸納邏輯的基礎。
18-19世紀，德國古典哲學家康德、黑格爾等，對人類思維的辯證運動與發展進行了深入研究，建立了另一種新的思辯邏輯——辯證邏輯。
與此同時，以亞里士多德邏輯為基礎的形式邏輯在發展與變化中也進入了新的階段——數理邏輯階段。數理邏輯也稱符號邏輯，或謂狹義的現代邏輯，奠基人是德國哲學家、數學家萊布尼茲。他主張建立“表意的、普遍的語言”來研究思維問題，使推理的有效性可以用數學方法來進行。萊布尼茲的這些設想雖然在許多方面并未實現，但他提出的“把邏輯加以數學化”的偉大構想，對邏輯學發展的貢獻卻是意義深遠的，正如邏輯史家肖爾茲所說，“人們提起萊布尼茲的名字就好象在談到日出一樣。他使亞里士多德邏輯開始了‘新生’，這種新生的邏輯在今天的最完美的表現就是采作邏輯斯蒂形式的現代精確邏輯。”（注：肖爾茲著，張家龍譯：《簡明邏輯史》，商務印書館1997年版，第50頁。）萊氏之后，經過英國數學家、哲學家、邏輯學家哈米爾頓、德摩根的研究，英國數學家布爾于1847年建立了邏輯代數，這是第一個成功的數理邏輯系統。1879年，德國數學家、邏輯學家弗雷格在《概念文字——一種模仿算術語言構造的純思維的形式語言》這部88頁的著作中發表了歷史上第一個初步自足的、包括命題演算在內的謂詞演算公理系統，從而創建了現代數理邏輯。之后，英國哲學家、邏輯學家羅素和懷特海于1910年發表了三大卷的《數學原理》，建立了帶等詞的一階謂詞系統，從而使得數理邏輯成熟與發展起來。
上述數理邏輯，以兩個演算——命題演算與謂詞演算作為核心，被稱之為現代形式邏輯或狹義的現代邏輯。在當代，以現代邏輯為基礎，將現代邏輯應用于各個領域、各個學科，從而出現了廣義的各種各樣的現代邏輯分支。
從以上對古代、近代、現當代邏輯學說發展的簡單考察可以看出，邏輯的范圍是十分廣泛的。它至少包括了以亞里士多德邏輯為基礎的傳統演繹邏輯、以數理邏輯為核心及基礎的現代邏輯及其分支、歸納邏輯、辯證邏輯等等，而這些邏輯相互之間的特性又是十分不同甚至十分對立的。所以，要用一個明確的定義把這些歷史上所謂的邏輯都包含進去，確實是很難的。事實上，“邏輯”一詞是可以有不同的涵義的，邏輯可以有廣義與狹義之分。
英國邏輯學家哈克在談到邏輯的范圍時，認為邏輯是一個十分龐大的學科群，其分支主要包括如下：
1.傳統邏輯：亞里士多德的三段論
2.經典邏輯：二值的命題演算與謂詞演算
3.擴展的邏輯：模態邏輯、時態邏輯、道義邏輯、認識論邏輯、優選邏輯、命令句邏輯、問題邏輯
4.異常的邏輯：多值邏輯、直覺主義邏輯、量子邏輯、自由邏輯
5.歸納邏輯（注：S.Haack:Philosophyoflogics,CambridgeUniversityPress,1978,P.4,221-231.）
在這里，哈克所謂的“擴展的邏輯”，是指在經典的命題演算與謂詞演算中增加一些相應的公理、規則及其新的邏輯算子，使其形式系統擴展到一些原為非形式的推演，由此而形成的不同于經典邏輯的現代邏輯分支；至于“異常的邏輯”，則是指其形成過程一方面使用與經典邏輯相同的詞匯，但另一方面，這些系統又對經典邏輯的公理與規則進行了限制甚至根本性的修改，從而使之脫離了經典邏輯的軌道的那些現代邏輯分支。“擴展的邏輯”與“異常的邏輯”統稱為“非經典邏輯”。
以哈克的上述分類為基礎，從邏輯學發展的歷史與現實來看，邏輯是有不同的涵義的，因此，邏輯的范圍是有寬有窄的：首先，邏輯指經典邏輯，即二值的命題演算與謂詞演算，不嚴格地，也可以叫數理邏輯，這是最“標準”、最“正統”的邏輯，也是最狹義的邏輯；其次，邏輯還包括現代非經典邏輯，不嚴格地，也可以叫哲學邏輯，即哈克所講的擴展的邏輯與異常的邏輯；再次，邏輯還包括傳統演繹邏輯，它是以亞里士多德邏輯為基礎的關于非模態的直言命題及其演繹推理的直觀理論，其主要內容一般包括詞項（概念）、命題、推理、證明特別是三段論等。此外，邏輯還可以包括歸納邏輯（包括現代歸納邏輯與傳統歸納法）、辯證邏輯。將邏輯局限于經典邏輯、非經典邏輯，這就是狹義的邏輯，而將邏輯包括傳統邏輯、歸納邏輯與辯證邏輯，則是廣義的邏輯。以這一取向為標準，狹義的邏輯基本上可以對應于“邏輯是研究推理有效性的科學，即如何將有效的推理形式從無效的推理形式中區分開來的科學”這一定義，而廣義的邏輯則可以基本上對應于“邏輯是研究思維形式、邏輯基本規律及簡單的邏輯方法的科學”這一定義。
由此可見，邏輯學的發展是多層面的，站在不同的角度，就可以從不同的方面來考察邏輯學的不同層面及不同涵義：
(1)從現代邏輯的視野看，邏輯學的發展從古到今的過程是從傳統邏輯到經典邏輯再到非經典邏輯的過程。這一點上面已有論述，此不多說。
(2)從邏輯學兼具理論科學與應用科學的角度，可以確切地把邏輯分成純邏輯與應用邏輯兩大層面。可以說，純邏輯制定出一系列完全抽象的機械性裝置（例如公理與推導規則），它們只展示推理論證的結構而不與某一具體領域或學科掛鉤，是“通論”性的，而應用邏輯則是將純邏輯理論應用于某一領域或某一主題，從而將這一具體主題與純邏輯理論相結合而形成的特定的邏輯系統，它相當于邏輯的某一“分論”。在純邏輯這一層面，還可以分成理論邏輯與元邏輯，所謂元邏輯，是以邏輯本身為研究對象的元理論，是刻劃、研究邏輯系統形式面貌與形式性質的邏輯學科，它研究諸如邏輯系統的一致性、可滿足性、完全性等等。不言而喻，元邏輯之外的純邏輯部分，統稱為理論邏輯。以這種分法為基礎，如果說純邏輯是狹義的邏輯的話，則應用邏輯就是廣義的邏輯。
(3)從邏輯學對表達式意義的不同研究層次，可以把邏輯分成外延邏輯、內涵邏輯與語言邏輯。傳統邏輯與經典邏輯對語言表達式（詞或句子）意義的研究基本上停留在表達式的外延上，認為表達式的外延就是其意義（如認為詞的意義就是其所指，句子的意義就是其真值），因此，它們是外延邏輯。對表達式意義的研究不只是停留在其外延上，認為不僅要研究表達式的外延，也要研究表達式的內涵，這樣的邏輯就是內涵邏輯。可以看出，外延邏輯與內涵邏輯對表達式意義的研究都只是停留在語形或語義層面，而實際上，表達式總是在具體的語言環境下使用的，因此，邏輯對語言表達式意義的研究還可以也應該深入到語言表達式的具體的使用中去，對其進行語用研究，這一考慮，就促成了所謂的自然語言邏輯或語言邏輯的研究。所謂自然語言邏輯，按我的理解，就是通過對自然語言的語形、語義與語用分析來研究自然語言中的推理的科學。因此，如果說狹義的邏輯是一種語形或語義邏輯、它們只研究語形或語義推理的話，則廣義的邏輯則是一種語用邏輯，它還要研究語用推理。
二、現代邏輯背景下的邏輯一元論、多元論與工具論
從上面的論述可以看出，在當代，現代邏輯的發展呈現出多層次、全方位發展的態勢，邏輯學正在從單一學科逐步形成為由既相對獨立又有內在聯系的諸多學科組成的科學體系的邏輯科學。現代邏輯發展的這一趨勢，就使得一方面大量的、各種各樣的現代邏輯分支、各種各樣的邏輯系統不斷涌現，比如，既有作為經典邏輯的命題演算與謂詞演算，也有作為對經典邏輯的擴展或背離的非經典邏輯。另一方面，不同于傳統邏輯或經典邏輯所具有的直觀性，非經典邏輯系統越來越遠離直觀甚至在某些意義上與直觀相背。在這種背景下，邏輯學家就必然面臨如下需要回答的問題：
(1)邏輯系統有無正確與不正確之分？說一個邏輯系統是正確的或不正確的是什么意思？
(2)是否一定要期望一個邏輯系統成為總體應用的即可以應用于代表任何主題的推理的？或者說，邏輯可以是局部地正確，即在一個特定的討論區域內正確的嗎？
(3)經典邏輯與非經典邏輯特別是其中的異常邏輯之間的關系如何？它們是否是相互對立的？
對上述問題的不同回答，就區分出了關于邏輯的一元論、多元論與工具主義。
不管是一元論還是多元論，都認為邏輯系統有正確與不正確之分，邏輯系統的正確與否依賴于“相對于系統本身的有效性或邏輯真理”與“系統外的有效性或邏輯真理”是否一致。如果某一邏輯系統中的有效的形式論證與那些在系統外的意義上有效的非形式論證相一致，并且那些在某一系統中邏輯地真的合式公式與那些在系統外的意義上也邏輯地真的陳述相一致，則該邏輯系統就是正確的，反之則為不正確的。以這一認識為基礎，一元論認為只有一個唯一地在此意義下正確的邏輯系統，而多元論則認為存在多個如此的邏輯系統。
工具主義則認為，談論一個邏輯系統是否正確或不正確是沒有意義的，不存在所謂正確或不正確的邏輯系統，“正確的”這個詞是不合適的。就工具主義來說，他們只允許這樣一個“內部”問題：一個邏輯系統是否是“完善的”(Sound)？即是說，邏輯系統的定理或語法地有效的論證是否全部地并且唯一地是在該系統內邏輯地真或有效的？（注：S.Haack:Philosophyoflogics,CambridgeUniversityPress,1978,P.4,221-231.）
多元論又可以分為總體多元論與局部多元論。局部多元論認為，不同的邏輯系統是由于應用于討論的不同領域而形成的，因此，局部多元論把系統外的有效性和邏輯真理從而也把邏輯系統的正確性看作是討論的一個特定領域，認為一個論證并不是無條件地有效的，而是在討論中有效的，所以，邏輯可以是局部地正確的，即在某一特定的討論區域內正確的。而總體多元論則持有與一元論相同的假定：邏輯原理可以應用于任何主題，因此，一個邏輯系統應該是總體應用的即可以應用于代表任何主題的推理的。
就經典邏輯與非經典邏輯特別是異常邏輯之間的關系而言，一元論者強迫人們在經典系統與異常系統中二者擇一，而多元論者則認為經典邏輯與擴展的邏輯都是正確的。因此，一元論者斷言經典邏輯與異常邏輯在是否正確地代表了系統外的有效論證或邏輯真理的形式上是相互對立的，而多元論者則認為經典邏輯與異常邏輯兩者在某一或其他途徑下的對立只是表面的。
就邏輯科學發展的現實而言，從傳統邏輯到經典邏輯再到非經典邏輯的道路，也是邏輯科學特別是邏輯系統發展由比較單一走向豐富多樣的過程。以傳統邏輯來說，它來自于人們的日常思維和推理的實際，可以說是對人們的日常思維特別是推理活動的概括和總結，因此，傳統邏輯的內容是比較直觀的，與現實也是比較吻合的。而經典邏輯是傳統邏輯的現展階段，是以形式化的方法對傳統邏輯理論特別是推理理論的新的研究，因此，與傳統邏輯一樣，經典邏輯的內容仍是具有直觀基礎的——經典邏輯的公理與定理大都可以在日常思維中找到相對應的思維與推理的實例予以佐證，人們對它們的理解與解釋也不會感到與日常思維特別是推理的實際過于異常。所以，在傳統邏輯與經典邏輯的層面，用“系統內的有效性”與“系統外的有效性”的一致來說明一個邏輯系統的正確性是合適的，這種說明的實質就是要求邏輯系統這種“主觀”的產物與思維的客觀實際相一致。
相對而言，在經典邏輯基礎上發展起來的各種非經典邏輯，它的直觀性、與人們日常思維特別是推理的吻合性就大大不如經典邏輯，甚至與經典邏輯背道而馳。以模態命題系統為例（應該說，相對而言，模態命題邏輯在非經典邏輯中是較為直觀的），如果說系統T滿足對模態邏輯系統的直觀要求，它所斷定的是沒有爭論的一些結論的話，則系統S4、S5就難以說具有直觀性以及與人們日常思維特別是推理的吻合性了：在系統S4和S5中都出現了模態算子的重疊，因而象pp、pp這樣的公式大量出現，而這些公式幾乎沒有什么直觀性。至于非經典邏輯中的直覺主義邏輯、多值邏輯，它們離人們的日常思維特別是推理的實際更遠，更顯得“反常”。同時，同一個領域比如模態邏輯或時態邏輯，由于方法和著眼點不同，可以構造出各種不同的系統。在這種情況下，一些學者作出邏輯系統無正確性可言、邏輯系統純粹只是人們思考的工具的工具主義結論也就不足為怪了。應該說，工具主義的觀點是有一定的可取之處的：它看到了邏輯系統特別是各種非經典邏輯系統遠離日常思維與推理和作為“純思維產物”的高度抽象性，看到了邏輯學家在建構各種邏輯系統時的高度的創造性或“主觀能動性”。但是，另一方面，從本質來看，工具主義的這種觀點是不正確的，也是不可取的。它完全抹殺了邏輯系統建構的客觀基礎，否定了邏輯系統最終是人們特別是邏輯學家的主觀對思維實際、推理實際的反映。這種觀點最終的結果就是導致邏輯無用論，最終取消邏輯。這顯然是不符合邏輯科學發展的實際和邏輯科學的學科性質的。
而一元論對邏輯系統的“正確性”的理解過于狹窄，也過于嚴厲，這種觀點難以解釋在今天各種不同的邏輯系統之間相互并存、互為補充的現實。從本質上講，盡管任何邏輯系統都是邏輯學家構造出來的，但是，它們是有客觀基礎的——它總是在一定程度上反映了人類思維特別是推理實際的某一方面或某一領域（否則，它就是沒有實際意義的，最終難以存在下去），所以，邏輯系統是有“正確”與“不正確”之分的——正確地反映了人類思維特別是推理實際的邏輯系統就是正確的，反之則是不正確的。應該說，這一點是一元論與多元論都可以同意的，但是，在承認這一說法的同時，還應該看到，“正確地反映人類思維特別是推理的實際”是可以有不同的程度、不同的層次的：邏輯系統對人類思維特別是推理實際的反映可以是比較普遍、一般的（比如傳統邏輯與經典邏輯），也可以是比較特殊、具體的（比如某些非經典邏輯系統，它所反映的就是相對于某一特定主題或領域的特定的思維與推理）；邏輯系統對人類思維特別是推理實際的反映可以是比較直觀、與日常較為吻合的，也可以是相對來說較為抽象、遠離現實的。從這個意義上來講，邏輯系統的“正確性”是多樣的，不可絕對化和唯一化。所以，我認為，一元論堅持“只有一個正確的、唯一的邏輯”是不妥的，相反，多元論的觀點則是可以接受的。
如果按哈克的分析把非經典邏輯分成“擴展的邏輯”與“異常的邏輯”的話，那么，很顯然，擴展的邏輯是以經典邏輯為基礎，將經典邏輯理論應用于某一領域或學科而形成的對經典邏輯的擴充，它們之間并不存在互斥、對立的情況，它們都可以是“正確的”。至于“異常的邏輯”，它的某些性質與特征確實可能與經典邏輯不同甚至相矛盾（例如在直覺主義邏輯、多值邏輯中排中律的失效等等），因此，它們有“對立”的地方，但就經典邏輯與某一異常邏輯分支相比而言，它們的對立或不一致只是在某些方面，而從整個系統的性質來看，它們的互通之處更多，因此，經典邏輯與某一異常邏輯分支之間的所謂“對立”之處，恰恰是該異常邏輯分支的獨特之處，也是它對某一問題的不同于經典邏輯的處理和解決之處，所以，從這個意義上講，它對經典邏輯的意義不在于“否定”了經典邏輯的某些定理或規則，而在于對經典邏輯忽略了的或無法處理的地方進行了自己的獨特的處理。所以，經典邏輯與異常邏輯之間的“對立”是表面上的，其實質是它們之間的互補。
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（桂林電子科技大學計算機科學與工程學院，廣西桂林541004）
摘要：針對離散數學課程中的數理邏輯教學，分析計算思維與數理邏輯之間的內在關系，從計算思維的角度對數理邏輯教學內容進行梳理，論述如何將“對問題進行抽象建模一形式化一自動化一分析評估”這一思維模式貫穿于教學過程中，以及如何在教學中強調計算思維的基本概念和基本方法。
關鍵詞 ：計算思維；數理邏輯；抽象；形式化；自動化
文章編號：1672-5913(2015)15-0031-05
中圖分類號：G642
第一作者簡介：常亮，男，教授，研究方向為知識表示與推理、形式化方法，changl@guet．edu．cn。
0 引 言
對計算思維能力的培養已經成為新一輪大學計算機課程改革的核心導向。如何從計算思維的角度重新梳理和組織計算機相關課程的教學內容，如何在教學實施中培養學生的計算思維能力，是近年來計算機教育者熱烈探討的問題。
數理邏輯是計算機專業核心基礎課程離散數學中的主要教學內容，不僅為數據庫原理、人工智能等專業課程提供必需的基礎知識，更對培養學生的抽象思維能力和邏輯思維能力起著重要作用。
1 計算思維
計算思維運用計算機科學的基本概念來求解問題、設計系統和理解人類行為，包括一系列廣泛的計算機科學的思維方法。根據卡內基·梅隆大學周以真( Jeannette M．Wing)教授的設想，一個人具備計算思維能力體現在以下幾個方面：給定一個問題，能夠理解其哪些方面是可以計算的；能夠對計算工具或技術與需要解決的問題之間的匹配程度進行評估；能夠理解計算工具和技術所具有的能力和局限性；能夠將計算工具和技術用于解決新的問題；能夠識別出使用新的計算方式的機會；能夠在任何領域應用諸如分而治之等計算策略等。在計算思維所包含的諸多內容中，最根本的內容是抽象和自動化。
在計算機專業相關課程的教學中，為了培養學生的計算思維能力，我們認為一種有效的途徑是從問題出發，抓住抽象和自動化這兩個核心內容，培養學生分析問題、解決問題和對解決方案進行評估的能力。同時，我們提煉出計算機學科以及各門具體課程中涉及的基本概念和思維方法，在教學過程中有意識地強化學生對這些基本概念和思維方法的理解和掌握。
2 基于計算思維的數理邏輯數學內容組織
數理邏輯應用數學中的符號化、公理化、形式化等方法來研究人類思維規律。從廣義上看，數理邏輯是數學的一個分支，包括證明論、集合論、遞歸論、模型論以及各種邏輯系統等5部分。我們在這里談的是狹義的數理邏輯，即大學計算機相關專業學習的數理邏輯基礎。
數理邏輯與計算機科學有著非常密切的關聯。無論是在ACM和IEEE-CS聯合攻關組制訂的《計算教程CC2001》中，還是在中國計算機學會教育委員會和全國高等學校計算機教育研究會聯合制定的《中國計算機科學與技術學科教程2002》中，數理邏輯都是計算機相關專業的核心知識單元。對于計算機相關專業來說，數理邏輯的教學內容主要是命題邏輯和一階謂詞邏輯這兩個基礎的邏輯系統。針對這兩個邏輯系統，傳統的教學大綱主要從語法、語義、等值演算、形式證明系統等4個方面安排教學。在開展教學的過程中，教師強調的主要是培養學生的抽象思維能力和邏輯思維能力。然而，從學生的角度看，這兩種能力本身都是抽象的口號，處于大一或者大二階段的學生難以將這些知識點與計算機科學聯系起來，感覺不到數理邏輯在計算機科學或者將來工作中的具體應用，從而缺乏相應的學習興趣。
數理邏輯中的許多思想都與計算思維有著異曲同工之妙；最為明顯的是數理邏輯和計算思維都強調抽象及形式化。在關于離散數學課程的教學實踐中，我們已經把計算思維的諸要素或多或少地滲透到包括數理邏輯在內的培養方案和教學大綱中，但尚未上升到以培養計算思維能力為導向的高度。
在明確將培養計算思維能力作為一個新的教學目標之后，我們從計算思維的角度對數理邏輯教學內容重新進行梳理。具體來說，在計算思維的指導下，我們以問題求解作為出發點，抓住抽象和自動化這兩個核心內容，按照“對問題進行抽象建模一形式化一自動化一分析評估”的主線來組織數理邏輯教學，培養學生應用計算思維分析問題和解決問題的能力。與此同時，在教學實施的過程中，盡可能地提煉出各個知識點中關于計算思維的基本概念和基本方法，把計算思維貫徹到每堂課中。
2.1 從問題出發引入數理邏輯
在傳統的數理邏輯教學中，開篇的內容就是對命題進行符號化，但許多學生并不清楚為什么要進行符號化。在計算思維的引導下，我們可以通過如下兩個問題來引人數理邏輯。
第一個問題是萊布尼茨創立數理邏輯時的理想：把推理過程像數學一樣利用符號來描述，建立直觀而又精確的思維演算，最終得出正確的結論。形象地說，當兩個人遇有爭論時，雙方可以拿起筆說“讓我們來算一下”，就可以很好地解決問題。為了實現萊布尼茨的理想，基本思路是首先引入一套符號體系，將爭論的內容嚴格地刻畫出來；其次規定一套符號變換規則，借助這些符號變換規則，將邏輯推理過程在形式上變得像代數演算一樣。
第二個問題是人工智能中的知識表示和知識推理。人工智能中的符號主義學派認為，人的認知基元是符號，認知過程就是符號操作過程；知識可以用符號表示，也可以用符號進行推理，從而建立起基于知識的人類智能和機器智能的統一理論體系。基于這種思路，為了在計算機上實現智能，我們首先需要將知識用某套符號體系表示出來，然后在此基礎上通過算法進行知識推理，最終實現智能決策等一系列體現智能的功能。
從上述兩個問題出發，我們可以將命題邏輯和一階謂詞邏輯當作兩個工具來引入。與此同時，對于這兩個工具來說，應用它們來解決問題的過程又可以被分解為符號化表示和符號化推理兩個階段。因此，我們最終可以從兩個維度上引入數理邏輯：一個維度是命題邏輯和謂詞邏輯兩個工具，另一個維度是符號化表示和符號化推理兩個過程。與傳統的直接介紹數理邏輯形式系統的方式相比，這種從問題出發的引入方式與計算機專業學生的思維方式即計算思維一致。
2.2 從形式化的角度組織教學內容
作為徹底的形式系統，數理邏輯為培養計算思維中的抽象思維能力提供了非常好的素材。從形式系統自身的角度來看，我們還可以將語法和語義兩個內容獨立出來。在此基礎上，我們用表1對計算機相關專業數理邏輯部分的學習內容進行概括。
表1列出的知識點與《計算教程CC2001》《中國計算機科學與技術學科教程2002》中關于數理邏輯的知識點一致。借助這張表，可以讓學生對數理邏輯部分的學習內容形成一個清晰、全面的認識。在教學過程中，每開始一個新的章節，我們都可以呈現這張表，幫助學生知道接下來的學習內容處于哪個位置，并且加深他們對計算思維中抽象和建模的印象。
需要指出的是，在廣義的數理邏輯中，介紹形式演算系統時通常是指公理推理系統。公理推理系統從若干條給定的公理出發，應用系統中的推理規則推演出系統中的一系列重言式。公理推理系統可以深刻揭示邏輯系統的相關性質以及人類的思維規律，但從計算思維解決問題的角度來看，我們并不關注公理推理系統。在知識推理中，我們關注的是從任意給定的前提出發，判斷能否應用推理規則推演出某個結論；我們并不要求這些前提和結論是重言式。因此，對于計算機專業的數理邏輯來說，我們關注的是自然推理系統，即構造證明法。計算思維為我們選擇自然推理系統而不是公理推理系統提供了一個很好的視角。
2.3 在數理邏輯中強調自動化
表1的知識點充分體現了計算思維中抽象和對問題建模求解的思維方式，但計算思維中的自動化尚未體現出來。在學習了構造證明方法之后，學生一般會形成一個印象，認為構造證明法使用起來簡單方便，與人們的直觀邏輯思維一致，但使用過程中需要一定的觀察能力和技巧。與之相反的是，計算思維希望能夠通過算法實現問題的自動求解。
實際上，在廣義的數理邏輯中已經存在許多自動化證明方法，其中最為典型的是歸結推理方法和基于Tableau的證明方法。為了判斷能否從給定的前提推導出某個結論，我們同樣可以采用歸結推理方法或者基于Tableau的證明方法。具體來說，我們首先對擬證明的結論進行否定，將該否定式與所有前提一起合取起來，然后判斷所得到的合取式是否為可滿足公式；如果不可滿足，則表明可以從給定的前提推導出結論，否則表明所考察的結論是不能得出的。換句話說，前提與結論之間是否可推導的問題被轉換為公式可滿足性問題來解決。
歸結推理方法最早于1965年由Robinson提出，是定理證明中主流的推理方法。《計算教程CC2001》和《中國計算機科學與技術學科教程2002》都將其列為人工智能課程的一個重要知識點。由于許多學校都是將人工智能作為選修課來開設，因此許多學生都沒有機會接觸和學習。實際上，在數理邏輯的教學實踐中，只需要很少的課時就可以把歸結推理方法講授清楚。具體來說，在講授完構造證明法中的歸謬法之后，只需要補充介紹歸結原理這一條推理規則就可以了，最多只花費半個課時。當我們用簡潔的算法把歸結推理方法描述清楚，讓學生直觀感受到機械化的證明過程之后，學生對計算思維就有了更進一步的認識和掌握。在有條件的情況下，還可以讓學生上機實現命題邏輯的歸結推理算法。
基于Tableau的證明方法出現的時間早于歸結推理方法，最初在1955年就被Beth和Hintikka分別獨立提出，之后Smullyan在其1968年出版的著作中進行了規范描述。Tableau方法的基本思想是通過構造公式的模型來判斷公式的可滿足性。雖然Tableau方法使用的推理規則不只一條，但每條推理規則都直觀地體現了邏輯聯結詞的語義定義。Tableau方法在早期沒有受到太多關注，但最近十多年來，隨著描述邏輯成為了知識表示和知識推理領域的研究熱點，在描述邏輯推理中發揮出優異性能的Tableau方法得到了越來越多的關注。鑒于此，在講授完構造證明法和歸結推理方法之后，我們也向學生簡單描述了Tableau方法，引導學有余力并且對學術前沿感興趣的學生在課后自學。
2.4 在分析評估中強化計算思維
在講授數理邏輯的過程中，我們還可以從許多知識點提煉出計算思維的內容，把計算思維貫徹到每個具體的教學內容中。我們列舉體現計算思維的4個典型內容進行探討。
首先，命題公式和謂詞公式的語法定義為計算思維中的遞歸方法提供了經典案例。實際上，除了公式的語法定義外，數理邏輯中在對語義的定義、對語法與語義之間關系的研究、對算法正確性的證明、對算法復雜度的分析等各項內容中都用到了遞歸。由于課時的限制，我們不能在數理邏輯教學中對其展開，但可以點出這個情況，讓將來可能繼續攻讀碩士或博士學位的學生留下一個印象。
其次，當我們講授了用歸結推理方法或者Tableau方法進行自動推理和問題求解之后，從計算思維的角度看，一個很自然的想法是想知道這種解決方法的求解效率。因此，我們可以對命題邏輯中推理算法的復雜度進行分析。由于我們已經把歸結推理方法通過非常簡潔的算法呈現在學生面前，因此只需要進行簡單的口頭分析就可以得出最壞情況下的算法復雜度，讓學生知道命題邏輯的公式可滿足性問題是NP問題。到此為止，在對命題邏輯進行講授的過程中，我們引導學生完成了“對問題進行抽象建模一形式化一自動化一分析評估”的完整流程。如果在后繼課程中再反復重現這個流程，將可以把這種思維模式固化到學生大腦中，使得計算思維成為他們日后解決新問題的有效工具。
第三，在講授完命題邏輯之后，我們可以用著名的蘇格拉底三段論作為例子來引入謂詞邏輯。首先我們用命題邏輯對“所有的人都是會死的”“蘇格拉底是人”“蘇格拉底會死的”進行符號化，然后展示在命題邏輯下無法從兩個前提推導出后面的結論，從而說明命題邏輯在表達能力上的局限，進而闡述引入一階謂詞邏輯的原因和思路。從計算思維的角度看，這個過程體現了如何選擇合適的表示方式來陳述一個問題，以及如何確定對問題進行抽象和建模的粒度，此外，這個例子還讓學生直觀感受到了計算工具所具有的能力和局限性。
最后，在講授完一階謂詞邏輯的推理之后，我們可以介紹一階謂詞邏輯的局限，即一階謂詞邏輯是半可判定的，一階謂詞邏輯的歸結推理算法不一定終止。從計算思維的角度看，這個結論給了我們一個很好的例子，可以引導學生分析哪些問題是可計算的，哪些問題是不可計算的。在此基礎上，我們進一步闡述邏輯系統的表達能力與推理能力之間存在的矛盾關系：一階謂詞邏輯在表達能力上遠遠超過命題邏輯，但其推理能力僅僅為半可判定；命題邏輯可判定，但描述能力不強。從計算思維的角度看，此時我們可以引入“折中”這個概念，訓練學生在解決問題的過程中抓住主要矛盾，忽略次要矛盾。更進一步地，我們向學生簡單介紹目前作為知識表示和知識推理領域的研究熱點的描述邏輯：早期的描述邏輯通常被看做一階謂詞邏輯的子語言，在表達能力上遠遠超過命題邏輯，但在推理能力上保持了可判定性。這些補充內容既能讓學生接觸到學科前沿，又能幫助學生深刻理解如何根據問題的主要矛盾來選擇合適的工具。
3 結語
總的來說，數理邏輯很好地詮釋了計算思維并為其提供了生動的案例。將數理邏輯的教學與計算思維培養結合起來，一方面可以從計算思維的角度重新審視和組織數理邏輯的課堂教學，取得更好的教學效果；另一方面能加強對計算思維能力的培養，使學生能夠更好地應用計算思維來解決問題。
計算思維的培養不是通過一兩門課程的教學就能解決的問題，而是應該貫穿于所有的專業課程教學中。要實現這個目標，要求授課教師不僅僅照本宣科以教會學生課本上的知識為目的，而要能夠從計算思維的高度來看待所講授的課程，對所講授的課程中含有的計算思維基本概念、方法和思想不斷進行提煉，從計算思維的角度對課程進行重新梳理和建設。進行教學改革的目標是要更好地培養學生的計算思維能力，在實施教學改革的過程中，授課教師的計算思維能力也得到不斷的提升和加強。
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關鍵詞：古代邏輯；墨經；名家
中國古代邏輯學體系，實際上并沒有真正被完全地建立起來。盡管它擁有一個非常宏偉的綱領。其中一個非常重要的原因在于，中國古代邏輯學的發展缺乏語法和語義之間關系的研究。首先，盡管《墨經?小取》中有“以名舉實，以辭抒義，以說出故”一語，似乎對名、辭、說進行了區分，但是“辭”這個概念的外延卻不是語句，而是推理。對于“辭”的外延，《小取》中有這樣的一段陳述：
……是故辟、牟、援、推之辭，行而異，轉而危，遠而失，流離其本，則不可不審也，不可常用也。
可見，“辟”、“侔”、“援”、“推”四種推理方式都是辭。而之后的“以說出故”，則是《墨經》中出現的一種特殊體裁，目的是給論證一個比較嚴格的規范，區分出一個論證中何為其然，何為其所以然。雖然這樣的規定是一種人工規范的語法，但是這種規范對于探討邏輯學本身的規律沒有實際意義。
我們知道，傳統的詞項邏輯的推理的有效性取決于推理形式的有效性，而推理形式的有效性又取決于推理形式中的命題形式的邏輯性質，而命題形式的邏輯性質則取決于構成它的主項、謂項、聯項、量項的邏輯性質。我們之所以可以依循著這個架構對推理的有效性進行由翻至簡的還原，就是因為掌握了推理、命題和詞項所對應的語言載體――論證、語句和詞語――相互之間的層級結構關系。甚至亞里士多德的第一實體也是通過語法間接確定的，他把那些命題中被屬性謂述而不在其他命題中起謂述作用的詞項劃作第一實體，并且由此開啟了實體論的形而上學。
在先秦時代，我們看不到這種依循語法規律還原邏輯規律的方法。這就使得我們很難搞清名和辭之間的關系。以至于在很長時間內，中國的名辯學都不得不借助辯論的形式，而不是語言的形式。在《小取》中，甚至開宗明義地講到：“夫辯者，將以明是非之分，審治亂之紀，明異同之處，察名實之理，處利害，決嫌疑焉：莫略萬物之然，論求群言之比。”辯就是邏輯的代名詞。而在西方，Logic這個詞的詞源是Language，也即語言這種更普遍的形式。
另外一方面，中國古代著重探討的“名”的形式也非常含混不清。當然， 我們可以說“名”大體上相當于我們所說的概念。墨家曾經將“名”歸類為“達名”、“類名”和“私名”，相當于我們今天所說的單獨概念、普遍概念和范疇。但是，中國的傳統邏輯還沒有辦法對概念進行限制和概括。因為它們無法把短語的構造和概念內涵的增減相聯系，這也是一種語法支撐的缺失。
比如說，我們可以說：星期四早上擺在小李窗前的紅色的盆栽月季花（A）；我們對它進行概括后，可以得到一個普遍概念：紅色的盆栽月季花（B）。我們說，后者比前者有更少的內涵和更多的外延，這種轉變是通過合成詞中語素的減少而達到的。由于外延之間的包含關系，我們可以說A是B，但不能隨便說B是A。
同樣是分析合成詞所對應的概念，在公孫龍對于白馬非馬這一命題的分析中，主張“馬”是“命形”的，而“白”是命色的。白不能命名馬，則白馬也不能命名馬。
然而，客難指出“合馬與白，復名白馬”。“白馬”在這里也是一個名，說“白命色”而“白馬非馬”，是把“白馬”這個名當成了“白”、“馬”兩個不相干的名，是“相與以不相與為名”的錯誤。
公孫龍的反駁是，即便這個“復名”存在，它的意義也不足以做出“有白馬不可謂無馬”這個斷言，當我們說“有白馬不可謂無馬”的時候，實際上偷偷忽略掉了“白”，而直接說馬罷了。“以‘有白馬不可謂無馬’者，離白之謂也。”然而若按照種理解，“有白馬不可謂無馬”這個句子實際上就是一個病句，因為里面插入了一個沒有意義的詞。
當然，公孫龍似乎也看到了“白馬”這一復名必須給予解釋，他說：“白馬者，言白定所白也。”概念“白”在這個合成的概念里就是限定了“所白”，也即“馬”這個概念，似乎承認了“白”對“馬”有概念的限制作用。但是，他反過來又說：“定所白者非白也。”也即，馬不是白。這樣，即便白限定了馬，由于馬不是白，那么“白馬”的意義仍然不蘊含馬。
從這里，我們可以看到，先秦諸子在探討命題的語義的時候，常常有意無意地忽視語法規范對于語義的約束作用。但是恰恰在邏輯中，語形和語義是密切相關的。甚至在構建邏輯的系統時，其有效性和完全性是一個重要的衡量標準。在自然語言中，盡管我們的語法不是那么嚴格和精確，但是它仍然對我們的語義表述有至關重要的作用。從《墨經》中，我們未曾看到他們有專論提及語法語形的作用，而作為名辯大家的公孫龍甚至反對這種聯系。因此，中國邏輯學的自身發展的難度是可想而知的。
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【英文摘要】Philosophicallogicisapolysemantincontemporarylogicalliterature.Webelieveit''''sanon-classicallogicwithphiloso-phicalpurportorcause.Itsrisearosesalotoftheoreticalproblems.Thisessayexpoundsthelimitsofclassicallogic,non-monotonyanddeduction,logicalmathematicalizationanddepart-mentalization,theownershipofinductivelogic,etc.
【關鍵詞】經典邏輯/非經典邏輯/演繹性/數學化/部門化/哲學邏輯classicallogic/non-classicallogic/deduction/mathematicalization/departmentalization/philosophicallogic
【正文】
哲學邏輯的崛起引發一系列理論問題。我們僅就其中幾個提出一些不成熟的看法。
一、經典邏輯和非經典邏輯的界限
在這里經典邏輯是指標準的一階謂詞演算(CQC)，它的語義學是模型論。隨著非經典邏輯分支不斷出現，使得我們對經典邏輯和非經邏輯的界限的認識逐步加深。就目前情況看，經典邏輯具有下述特征：二值性、外延性、存在性、單調性、陳述性和協調性。
傳統的主流觀點：每個命題（語句）或是真的或是假的。這條被稱做克呂西波(Chrysippus)原則一直被大多數邏輯學家所恪守。20年代初盧卡西維茨(J.Lukasiwicz)建立三值邏輯系統，從而打破了二值性原則的一統天下，出現了多值邏輯、部分邏輯（偏邏輯）等一系列非二值型的邏輯。
經典邏輯是外延邏輯。外延性邏輯具有下述特點：第一，這種邏輯認為每個表達式（詞項、語句）的外延就是它們的意義。每個個體詞都指稱解釋域中的個體；而語句的外延是它們的真值。第二，每個復合表達式的值是由組成它的各部分表達式的值所決定，也就是說，復合表達式的意義是其各部分表達式意義的函項，第三，同一性替換規則和等值置換定理在外延關系推理中成立。也是在20年代初，劉易士(C.I.Lewis)在構造嚴格蘊涵系統時，引入初始模態概念“相容性”（或“可能性”），并進一步構建模態系統S1-S5。從而引發一系列非外延型的邏輯系統出現，如模態邏輯、時態邏輯、道義邏輯和認知邏輯等等出現。
從弗雷格始，經典邏輯系統的語義學中，總是假定一個非空的解釋域，要求個體詞項解釋域是非空的。這就是說，經典邏輯對量詞的解釋中隱含著“存在假設”，在60年代被命名為“自由邏輯”的非存型的邏輯出現了。自由邏輯的重要任務就在于：(1)把經典邏輯中隱含的存在假設變明顯；(2)區分開邏輯中的兩種情況：一種與存在假設有關的推理，另一種與它無關。
在經典邏輯范圍內，由已知事實的集合推出結論，永遠不會被進一步推演所否定，即無論增加多少新信息作前提，也不會廢除原來的結論。這就是說經典邏輯推理具有單調性。然而于70年代末，里特(R.Reiter)提出缺省(Default)推理系統，于是一系列非單調邏輯出現。
經典邏輯總是從真假角度研究命題間關系。因而只考察陳述句間關系的邏輯，像祈使句、疑問句、感嘆句就被排斥在邏輯學直接研究之外。自50年代始，命令句邏輯、疑問句邏輯相繼出現。于是，非陳述型的邏輯存在已成事實。
經典邏輯中有這樣兩條定理：（p∧q）（矛盾律）和p∧pq（司各特律），前者表明：在一個系統內禁不協調的命題作為論題，后者說的是：由矛盾可推出一切命題。也就是說，如果一個系統是不協調的，那么一切命題都是它的定理。這樣的系統是不足道的(trivial)。柯斯塔(M.C.A.daCosta)于1958年構造邏輯系統Cn（1〈n≤ω）。矛盾律和司各特律在該系統中不普遍有效，而其他最重要模式和推理規則得以保留。這就開創了非經典邏輯一個新方向弗協調邏輯。
綜上所述非經典邏輯諸分支從不同方面突破經典邏輯某些原則。于是，我們可以以上面六種特征作為劃分經典邏輯與非經典邏輯的根據。凡是不具有上述六種性質之一的邏輯系統均屬非經典邏輯范疇。
二、非單調性與演繹性
通常這樣來刻畫演繹：相對于語句集合Γ，對于任一語句S，滿足下述條件的其最后語句為S的有窮序列是S由Γ演繹的：序列中每個語句或者是公理，或者是Г的元素，或者根據推理規則由前面的語句獲得的。它的一個同義詞是導出(derivation)。演繹是相對于系統的概念，說一個公式（或語句）是演繹的只是相對于一不定的公理和推理規則的具體系統而言的。演繹概念是證明概念的概括。一個證明是語句這樣的有窮序列：它的每個語句或是公理或是根據推理規則由前面的語句得出的。在序列中最后一個語句是定理。
現在我們考察單調邏輯中演繹情況。令W是一階邏輯公式的集合，D為缺省推理的可數集，cons(D)為D中缺省的后承的集合。我們來建立公式Φ的缺省證明概念：首先我們必須確定從WUcons(D[,0])。導出Φ這種性質的缺省集合D[,0]。為確保在D[,0]中缺省的適用性，我們須確定缺省集合D[,1]，致使能從WUcons(D[,1])中得出在D[,0]中缺省的所有必須的預備條件。我們從這種方式操作直至某一空的D[,K]。這意謂著從W得出在D[,K-1]中的必須的預備條件。然后我們確定一個證明，只是我們不陷入矛盾，即是W必須跟包括在證明中的所有缺省后承的集合相一致。例如，給定缺省理論：
T=(｛p｝,｛δ[,1]=p:r/r,δ[,2]=r:ps/pS｝)
(｛δ[,2]｝),｛δ[,1]｝，Φ是S在T中的缺省證明。
形式地說，Φ在正規缺省理論T=(W,D)中的一個缺省證明是滿足下述條件的D的子集合的有窮序列(D[,0],D[,1],…D[,K])：
（i）Φ從WUcons(D[,0])得出。
（ii）對于所有i〈K,從Wucona(D[,i+1])得出缺省的所有預備條件。
（iii）D[,K]=Φ。
（iV）WUcons(U[,i]D[,i])是一致的。
由上面可以看出缺省推理中的證明是與通常的演繹證明是不同的，前者比后者要寬廣些。
附圖
由此可見，缺省邏輯中的推出關系比經典邏輯中的要寬。因而相應擴大了“演繹性”概念的外延。于是可把演繹性分為：強演繹性和弱演繹性。后者是隨著作為前提的信息逐步完善，而導出的結論逐步逼近真的結論。
三、邏輯的數學化和部門化。
正如有人所指出的那樣，“邏輯學在智力圖譜中占有戰略地位，它聯結著數學、語言學、哲學和計算機科學不同學科。”[2]作為構建各學科系統的元科學手段的邏輯與各門科學聯系越來越密切。它在當展中，表現出兩個重要特征：數學化和部門化。
邏輯學日益數學化，這表現為：(1)邏輯采取更多的數學方法，因而技術性程度越來越高。一些邏輯問題（如系統特征問題）的解決需要復雜的證明技術和數學技巧。(2)它更側重于數學形式化的問題。其實數學化的本質是抽象化、理想化和泛化（普遍化）。這對像邏輯這樣的形式科學顯然是非常重要的，近一個世紀邏輯迅速發展就證明了這一點。邏輯方法論的數學化在本世紀下半葉正在加速。這給予邏輯的一些重要結論以復雜的結構和深入的處理，使邏輯變得更精確更豐富。但是，由于邏輯中數學專門化已定型并且限定了它自己，所以邏輯需向其他領域擴張，拓寬其研究領域就勢所必然。
邏輯向其他學科領域的延伸并吸收營養，于是出現了各種部門邏輯，如認知邏輯、道義邏輯、量子邏輯等等。我們把邏輯學這種延伸和部門邏輯出現稱做邏輯部門化。
哲學邏輯就是邏輯部門化的產物，它是方面邏輯或部門邏輯。眾所周知，經典邏輯演算的理論、方法和運算技術具有高度的概括性，它適用于一切領域、一切語言所表達的演繹推理形式。所以，它具有普遍性，是一般的邏輯。有人認為一階演算完全性定理表明“采用現代數學方法和數學語言來刻畫的全體‘演繹推理規律’恰好就是人們在思維中所用的演繹推理規律的全體，不多也不少！”[3]。表達一階邏輯規律的公式是普通有效的，即是這些公式在任何一種解釋中都是真的。而哲學邏輯各分支只是研究某一方面或領域的演繹推理規律，表達這些規律的公式只是在一定條件下在某一領域是有效的，即是它們在具有某種條件解釋下是真的。例如，模態公式(D)PP,(T)PP,(B)PP,(4)PP,(E)PP，分別在串行的、自反的、對稱的、傳遞的、歐幾里得的模型中有效。而動態邏輯的一些規律只適用于像計算程序那樣的由一種狀態過渡到另一種狀態轉換的動態關系。
部門邏輯另一種含義是為某一特定領域提供邏輯工具。例如，當人們找出描述一個微觀物理系統在某一時刻的可觀察屬性的命題的一般形式。對其進行運算時，發現一些經典邏輯規律失效，如分配律對這里定義的合取、析取運算不成立。于是人們構造一種能夠描述微觀物理世界新的邏輯系統，這就是量子邏輯。
四、哲學邏輯劃界問題
哲學邏輯形形并且難于表征。在現代邏輯文獻中，“哲學邏輯”是個多義詞。它的涵義主要的有三種：它的第一種涵義是指關于現代邏輯中一些重要概念和論題的理論研究。例如，對于名稱（詞項）、摹狀詞、量詞、模態詞、命題、分析性、真理、意義、指涉、命題態度、悖論、存在乃至索引等概念及與它們相關的論題的理論研究以及利用形式邏輯工具處理邏輯和語言的邏輯結構的哲學爭論。它的第二種涵義是指非經典邏輯中一個學科群體，它包括模態邏輯、多值邏輯等等眾多邏輯分支。它的第三種涵義是兼指上述兩種涵義的“哲學邏輯”。
我們認為，第一種涵義上的“哲學邏輯”不是研究推理有效式意義上的邏輯，而是邏輯哲學。我們贊成在第二種涵義上使用“哲學邏輯”一詞。于是可以給出下述定義：哲學邏輯是具有哲學旨趣或涉及哲學事業的非經典邏輯，在這里應對“哲學”做廣義的理解。哲學邏輯不僅與傳統哲學中的概念和論題有直接或間接聯系。而且也涉及各門科學中具有方法論性質的問題和其他元科學問題。
在我們看來，“歸納”和“演繹”一樣，是傳統哲學所關注的重要哲學概念，而且也是現代一些哲學家所爭議的問題之一。同時歸納邏輯方法的啟發作用在認知過程中不可低估，歸納的一些方法和技術同樣是一些學科的元科學因素，是發現真理構建學科系統不可少的。因此，它應屬于哲學邏輯。《哲學邏輯雜志》亦把它列入哲學邏輯諸分支之首。
問題在于，歸納推理的復雜性，對它的形式刻畫和找出能行程序遇到不易克服的困難，致使其成果與演繹推理所獲得成果相比，顯得不那么豐碩。然而，由于人工智能等技術上的需要，推動著更多的人研究歸納推理，總會有一天，歸納邏輯也像演繹邏輯那樣用形式方法來處理。
【參考文獻】
[1]Antoniou,G.:1997,NonmontonicReasoning,TheMITPress,Cambridge,Masschusetts.
關鍵詞：密碼協議；BAN邏輯；形式化分析
中圖分類號：TP311文獻標識碼：A文章編號：1009-3044(2011)10-2266-03
在復雜的網絡環境下，通信安全是人們首要關注的問題。攻擊者通過各種手段非法獲得想要得到的有用信息。為此，人們設計了諸多密碼協議，如Nssk協議、Kerberos協議等等。利用密碼協議可以實現密鑰的分配和交換、身份認證等，其目標不僅僅是實現通信的加密傳輸，更主要的是解決通信中的安全問題。但是，現有的密碼協議并非像設計者想象的那樣安全。很多情況下，密碼協議仍然存在漏洞可能被攻擊者利用，這并非是由于密碼算法不夠安全，而是由于協議本身的結構存在問題。密碼協議的安全分析是揭示密碼協議是否存在缺陷和漏洞的重要途徑。通過對協議的形式化分析，可以發現其中的未知缺陷，進而可以針對這些缺陷對密碼協議進行改進，提高其安全性。
認證協議是否正確，常用的方法：1) 采用逐個對協議進行攻擊的檢驗方法；2) 應用形式化的分析工具，其中最典型的是BAN 邏輯。BAN 邏輯是1989年由Burrows，Abadi和Needham提出的[1]，它是一種基于信仰的模態邏輯。在BAN邏輯的推理過程中，參加協議的主體的信仰隨消息交換的發展而不斷變化和發展。應用BAN邏輯進行協議分析時，首先需要將協議的消息轉換為BAN邏輯中的公式，即進行協議的“理想化步驟”，再根據具體情況進行合理的假設，然后利用邏輯的推理規則根據理想化協議和假設進行推理，推斷協議能否達到預期的目標。
1 BAN邏輯的基本概念
BAN邏輯在認證協議的形式化分析中發揮了積極有效的作用。BAN邏輯僅從抽象的層次上來討論認證協議的安全性，它不考慮由協議的具體實現所帶來的安全缺陷，也不考慮由于加密體制的缺點所引發的協議缺陷。BAN邏輯的使用，是建立在如下所做的假設基礎之上的：
1) 密文塊不能被篡改，也不能用幾個小的密文塊組成一個新的大密文塊。
2) 若一個消息中有兩個密文塊，則該密文塊被看作是分兩次分別到達的。
3) 假設加密系統是完善的，即只有掌握密鑰的主體才能理解密文消息，才能解密密文而得到明文。攻擊者無法從密文推斷出密鑰。
4) 密文含有足夠的冗余信息，使解密者可以判斷他是否應用了正確的密鑰。
5) 消息中含有足夠的冗余信息，使主體可以判斷該消息是否來源于本身。
6) 假設參與協議的主體是誠實的。
1.1 BAN邏輯的語法和語義
A，B，S：A，B為通信主體，S為認證服務器；
K：加密密鑰；Kab,Kas,Kbs：通信主體的共享密鑰；
Ka,Kb：通信主體的公開密鑰；Ka-1,Kb-1：通信主體的秘密密鑰；
Na,Nb：通信主體的觀點；P, Q：主體變量；
X, Y：一般意義上的語句；(X, Y)：X和Y的連接；
P |X：P相信X，即P認為X為真；
PX：P看到過X，P接收到了包含X的消息，P能讀出并重復X；
P |~X：P曾經說過X，P在某一時刻曾發送過包含X的消息。包含兩個含義：一方面是指消息X是由P發送的，即消息源是P；另一方面，指P能夠確認消息X的含義，即能夠識別該消息并做出正確的解釋；
P | X：P對X有控制權或管轄權；
#(X)：X是新鮮的，即協議執行之前X未被傳送過；
P•Q：P和Q可使用共享密鑰K通信，而且K是好的密鑰。這個斷言是指密鑰的排他性，即只有P，Q或可信任的第三方知道K；
P：K是P的公鑰；
PQ：X是P、Q之間的共享秘密，且除P和Q以及他們相信的主體之外，其他主體都不知道X；
{ X }K：用密鑰K加密X的結果；
XY：由X和Y合成的消息，其中Y是一個秘密；
1.2 BAN邏輯的主要幾條推理規則
1) 消息含義規則(Message Meaning Rules)：
對于共享密鑰：
表示如果P相信K為P和Q之間的共享密鑰，且P接收到用K加密X的消息{X}K，則P相信Q發送過消息X。
對于公開密鑰：
表示P相信K是Q的公鑰，而K-1是Q的私鑰，當P看到用Q的私鑰加密的消息時，就能夠斷定它是Q發送的。
2) 管轄權規則(Jurisdiction Rule)
表示如果P相信Q有權控制X，且P相信Q也相信X時，則P相信X。
3) 臨時值校驗規則(Nonce Verification Rule)
表示如果P相信X是新鮮的，并且P相信Q曾發送過X，則P相信Q相信X。
4) 接收消息規則(Seeing Rules)
上述推理規則表示：如果一個主體曾收到一個公式，且該主體知道相關的密鑰，則該主體曾收到該公式的組成部分。
5) 新鮮性規則(Freshness Rules)
如果P相信X是新鮮的，則P相信由X和Y連接的整體信息也是新鮮的。
6) 信仰規則(Belief Rules)
7) 密鑰與秘密規則(Key and Secret Rules)
1.3 BAN邏輯的推理過程
BAN邏輯在對協議進行形式化分析時，主要解決4個方面的問題：① 認證協議是否正確；② 認證協議的目標是否達到；③ 認證協議的初設是否合適；④ 認證協議是否存在冗余。
BAN邏輯的推理步驟如下：[2]
l) 用邏輯語言對系統的初始狀態進行描述，建立初始假設集合。
2) 建立理想化協議模型，將協議的實際消息轉換成BAN邏輯所能識別的公式。
3) 對協議進行解釋，將形如PQ:X的消息轉換成形如 QX的邏輯語言。解釋過程中遵循以下規則：① 若命題X在消息PQ:Y前成立，則在其后X和 QY都成立;② 若根據推理規則可以由命題X推導出命題Y，則命題X成立時，命題Y也成立。
4) 應用推理規則對協議進行形式化分析，推導出分析結果。
以上步驟可能會重復進行，例如，通過分析增加新的初設、改進理想化協議等。
2 BAN邏輯的缺陷（Defects of BAN Logic）
BAN邏輯存在著許多不完善的地方[3-4]，按照BAN 邏輯分析方法的規定, 如果協議能夠達到最終信仰, 那么就可以相信該協議是安全無缺陷的。然而事實上, BAN 邏輯只能做到：不能達到最終信仰的協議一定是不安全的。它并不能保證達到最終信仰的協議就一定是安全的。這主意是因為：
1) 缺少良好的語義基礎：BAN 邏輯缺少一個定義良好的語義, 造成了BAN 邏輯分析經常會遭受重放攻擊。
2) 初始假設的不確定性：在BAN邏輯中，初始假設的正確性難以確定。在BAN邏輯中，沒有形式化的規則來確定初始假設，也無法確認和自動驗證初始假設的正確性和有效性。
3) 理想化步驟非形式化：BAN邏輯的理想化過程是必不可少的步聚，但是BAN邏輯的理想化步驟本身其實是非形式化的, 理想化過程應使理想化后的協議模型能夠準確表達原協議，然而理想化后的協議模型與原來的協議有一定差距，對協議的內容有所增加或者有所忽略。這種差異反映到分析結果中也就不可避免地與原協議有一定的出入，不能忠實地表達原協議。這就造成BAN 邏輯分析協議缺乏有效性和正確性, 沒有達到形式化方法分析協議的要求。
4) 推理規則存在缺陷：BAN邏輯由一系列的推理規則構成，根據這些推理規則可以分析協議主體能從其接收到的消息中獲得怎樣的信仰。例如，消息含義規則只有在“消息不可偽造”假設的前提下才能夠成立。由于該假設未必成立，所以就構成了該推理規則的缺陷。
5) 無法探測對協議的攻擊：BAN邏輯對于的經典重放攻擊(如對NS單鑰認證協議的攻擊)分析效果較好，但并不意味著它可以發現所有的重放攻擊，有些類型的重放攻擊用BAN邏輯是難以發現的，特別是對并行會話攻擊更是無能為力。
下面我們給出一個因協議中含有弱密鑰而導致未能分析出密鑰猜測攻擊的例子。
例如，NS公鑰認證協議的簡化版本。
(1) AB:{Na,A} Kb (2) BA:{Na,Nb} Ka(3) AB:{Nb } Kb
協議運行的含義如下：
(1) 主體A向主體B發送包含隨機數Na和自己身份的消息1，并用B的公鑰Kb加密消息1；
(2) B收到并解密消息1后按協議要求向A發送用A的公鑰Ka加密的內含隨機數Na和Nb的消息2；
(3) 協議最后一步，A向B發送經過Kb加密的Nb。經過這樣一次協議運行，主體A和B就建立了一個它們之間的共享秘密Nb=(Kab)，這個共享秘密可以為他們以后進行秘密通信確認雙方身份時使用。
用BAN邏輯分析NS公鑰認證協議得出協議是安全的結論，但是入侵者I可以通過兩次并行運行協議來進行有效地攻擊，攻擊如下：
第一次運行協議：(1.1) AI:{Na,A} Ki
同時，入侵者I開始第二次運行協議:
(2.1) I(A)B:{Na,A} Kb (2.2) BI(A):{Na,Nb}Ka
(1.2) IA:{Na,Nb} Ka
(1.3) AI:{Nb} Ki
(2.3) I(A)B:{Nb}Kb
入侵者I通過解密消息 (l.1)、消息 (l.3)獲取發送消息(2.1)、消息(2.3)所需要的Na、Nb，消息(1.2)則是消息(2.2)的重放。上述協議運行完，主體B認為他與A共享秘密Nb，實際上他與I共享Nb，I假冒A成功，攻擊有效。對于網絡系統中任何一個合法用戶，只要接收到發給自己的NS公鑰協議中的消息1，就可以發起上述攻擊，來欺騙另外一個用戶，故NS公鑰協議是不安全的。
此例說明，用BAN邏輯分析是安全的認證協議，并不能保證協議沒有攻擊。
3 BAN邏輯的改進
從上述分析可以看到BAN 邏輯還有許多不足, 于是產生了這樣的尷尬局面：當邏輯發現協議中的錯誤， 每個人都相信那確實是有問題；當邏輯證明一個協議是安全的, 但沒有人敢相信它的正確性。故此，需要針對BAN 邏輯的缺陷進行改進。可改進的方向有：(1) 確立一個可靠的語義，用以驗證初始假設的正確性和確保推理的可靠性；(2) 減少理想化步驟的模糊度，進而消除理想化步驟；(3) 建立計算機化的自動分析過程，將各類攻擊模擬化并進行分析；(4) 在協議設計階段，就引入分析從而避免可能發生的設計錯誤, 并確立好的協議設計方法和規則等。
4 結束語
BAN 邏輯把參與認證的主體在協議運行后所持有的信仰看作是認證協議的目標, 該邏輯從理想化的協議和初始假設出發，應用邏輯規則，對協議運行中的邏輯命題進行推理，最終推出參與協議運行的主體所持有的信仰。BAN邏輯是分析密碼協議的一種重要工具，有許多可取之處。當然, BAN 邏輯也存在一些不足, 如BAN 邏輯不考慮協議的具體實現不當導致的錯誤和不可信主體的認證問題。針對這些缺陷和局限性，一些研究人員又提出了諸多必要的改進和擴展，如GNY邏輯、AT邏輯、MB邏輯、VO邏輯、SVO邏輯等，這些邏輯統稱為BAN類邏輯。但相對來講，BAN類邏輯推理規則更多，運用起來更復雜，不如BAN邏輯簡單直觀。
參考文獻：
[1] M. Burrows, M. Abadi, and R. Needham. A logic of authentication.Proceedings of the Royal Society, Series A,426(1871):233C271, December 1989. Also appeared as SRC Research Report 39 and, in a shortened form, in ACM Transactions on Computer Systems 8, 1 (February 1990),18-36.
[2] 看雪.加密與解密-軟件保護技術及完全解決方案[M].北京:電子工業出版社,2001.
關鍵詞：數理邏輯；命題邏輯；一階邏輯；推理理論
離散數學是現代數學的重要分支，是研究離散量的結構及相互關系的學科，它在計算機理論研究及軟、硬件開發的各個領域都有著廣泛的應用。其內容大致包含數理邏輯、集合論、代數結構、組合數學、圖論和初等數論6部分，這6部分從不同的角度出發，研究各種離散量之間數與形的關系。本文主要研究數理邏輯部分在計算機科學領域中的應用。
1.為計算機的可計算性研究提供依據
數理邏輯分為命題邏輯和一階邏輯兩部分，命題邏輯是一階邏輯的特例。在研究某些推理問題時，一階邏輯比命題邏輯更準確。數理邏輯中的可計算謂詞和計算模型中的可計算函數是等價的,互相可以轉化，計算可以用函數演算來表達，也可以用邏輯系統來表達。
某些自然語言的論證看上去很簡單，直接就可以得出結論，但是通過數理邏輯中的兩種符號化表達的結果卻截然不同，讓人們很難理解，這就為計算機的可計算性研究埋下伏筆。下面舉一個簡單例子加以說明。
例1 凡是偶數都能被2整除。6是偶數，所以6能被2整除。
可見，一個復雜的命題或者公式可以利用符號的形式來說明含義，來判斷正確性，這使得計算機科學中的通過復雜文字驗證的推理過程變得簡單、明了了。
2.為計算機硬件系統的設計提供依據
數理邏輯部分在計算機硬件設計中的應用尤為突出，數字邏輯作為計算機科學的一個重要理論，在很大程度上起源于數理邏輯中的布爾運算。計算機的各種運算是通過數字邏輯技術實現的，而代數和布爾代數是數字邏輯的理論基礎，布爾代數在形式演算方面雖然使用了代數的方法，但其內容的實質仍然是邏輯。范式正是基于布爾運算和真值表給出的一個典型公式。
下面以計算機科學中比較典型的開關電路的設計為實例說明數理邏輯中布爾代數和范式的應用。整個開關電路從功能上可以看做是一個開關，把電路接通的狀態記為1（即結果為真），把電路斷開的狀態記為0（即結果為假），開關電路中的開關也要么處于接通狀態，要么處于斷開狀態，這兩種狀態也可以用二值布爾代數來描述，對應的函數為布爾函數，也叫線路的布爾表達式。接通條件相同的線路稱為等效線路，找等效線路的目的是化簡線路，使線路中包含的節點盡可能地少。利用布爾代數可設計一些具有指定的節點線路，數學上既是按給定的真值表構造相應的布爾表達式，理論上涉及到的是范式理論，但形式上并不難構造。
例2 關于選派參賽選手，趙，錢，孫三人的意見分別是：趙：如果不選派甲，那么不選派乙。錢：如果不選派乙，那么選派甲； 孫：要么選甲，要么選乙。以下諸項中，同時滿足趙，錢，孫三人意見的方案是什么？
解答：把趙，錢，孫三個人的意見看做三條不同的線路，對三條線路化簡得到接通狀態（既使公式結果為1）。
可見，這類選擇問題應用數理邏輯來解決，不但思路清晰、運算結果準確，而且省時、省力。
3.為計算機程序設計語言提供主要思想
專家系統和知識工程的出現使人們認識到僅僅研究那些從真前提得出真結果的那種古典邏輯推理方法是不夠的，因為人類生活在一個充滿不確定信息的環境里，進行著有效的推理。因此，為了建立真正的智能系統，研究那些更接近人類思維方式的非單調推理、模糊推理等就變得越來越必要了，非經典邏輯應運而生。非經典邏輯一般指直覺邏輯、模糊邏輯、多值邏輯等。這些也可以用計算機程序設計語言來實現。計算機程序設計語言的理論基礎是形式語言、自動機與形式語義學，數理邏輯的推理理論為二者提供了主要思想和方法，程序設計語言中的許多機制和方法，如子程序調用中的參數代換、賦值等都出自數理邏輯的方法。推理是人工智能研究的主要工作。邏輯的思想就是通過一些已知的前提推理出未知的結論。
例3 著名的n皇后問題是：是否可以將n(n為正整數)個皇后放在的棋盤上，使得每行每列都有且僅有一個皇后，并且每條對角線上如果有皇后且僅有一個。
通過上述幾個實例的驗證，會發現數理邏輯在計算機科學中的應用非常廣泛，可以把計算機科學中表面上看似不相干的內容通過找出其內在的聯系作為前提，利用數理邏輯中的推理理論得到結論。
參考文獻：
關鍵詞 空間推理；心理模型理論；心理邏輯理論；功能磁共振成像；正電子發射斷層掃描
分類號 B842
人類是如何表征前提的?這是演繹推理研究中的一個重要問題，對此心理學上有兩種不同的觀點，即心理邏輯理論(Mental Logic Theory)和心理模型理論(Mental Model Theory)。心理邏輯理論主張人類以命題或語言來表征前提，并通過對形式規則(formal rules)的操作進行推理。推理問題的難度由得出結論所需要的規則數量和每條規則的難度決定(Braine&O'Brien，i998；Rips，1994)。相反，心理模型理論認為。推理不需要應用邏輯規則，而是通過對心理模型的建構與操作來實現的，心理模型的數量決定了推理問題的難度(Byrne&Johnson-Laird，1989；Johnson―Laird，2001)。
空間推理(spatial reasoning)或空間關系推理(spatial relational reasoning)是涉及空間領域的推理，它是演繹推理中關系推理的一種特殊形式，通常要求從描述空間關系的前提中推論出隱含在其中的結論(具體見表1)，根據前提所表述的整體關系是否確定，空間推理問題可以分為確定問題(如問題1、2)和不確定問題(如問題3、4)。確定問題只有一種心理模型，因而也被稱為單模型問題。不確定問題至少有兩種或兩種以上心理模型。因此也被稱為多模型問題，無論是確定問題還是非確定問題，都可能包含對結論沒有影響的無關前提(如問題1和3中的第一條前提)。在不確定問題中，有些問題是存在有效結論的(如問題3)，而有些問題無法得出適合所有模型的結論，即無有效結論(如問題4)。
相對于其他的演繹推理任務，空間推理問題比較簡單且容易理解，對于模型數量等變量的操作也比較方便。因此，它被廣泛用于驗證心理邏輯理論和心理模型理論。行為研究通過考察模型數量、前提對象順序、問題材料等因素的影響從而證實了心理模型理論的觀點，但這類研究僅通過反應時和正確率等外在指標來推測被試的加工過程，近年來，部分研究者借助于腦成像技術考察空間推理的大腦活動情況，并進一步對兩種理論進行了驗證。
1 支持心理模型理論的證據
1.1 行為研究
1.1.1 心理模型數量決定任務難度
支持心理模型理論的最直接證據來自于對不同模型數量空間推理問題的研究。根據心理模型理論的觀點，模型而非規則數量決定了問題的難度，已有研究表明，在不同條件下，多模型問題均難于單模型問題，研究的結果證實了心理模型理論的觀點。
Byme與Johnson-Laird(1989)比較了推理的步驟(即心理規則)和模型的數量在預測空間推理問題難度方面的差異，在第一個實驗中。問題需要的推理步驟是不變的，但模型數量不同(問題2和問題3)。在第二個實驗中單模型問題比多模型問題需要更多的步驟(問題Ⅱ和問題3)。研究結果表明，多模型問題比單模型問題更難，但需要更多推理步驟的問題并不比需要更少步驟的問題難。Byrne的研究僅以正確率為指標，Carreiras等(1997)對此做了改進，記錄每類問題的前提閱讀時間、問題回答時間及錯誤的百分比，并將空間與非空間的推理問題進行比較。實驗所使用的問題與上述Byrne的研究相似，但使用系列呈現和同時呈現兩種方式，結果表明，在兩種呈現方式下，單模型問題都比多模型問題的正確率更高，反應時更短。對空間和時間推理問題的研究也得到相似的結果(Vandierendonck&Vooght，1996)。在空間和時間領域，單模型問題的前提閱讀時間及結論反應時間都比多模型問題短，反應的正確率更高。Schaeken等(Ⅱ998)通過系統地操縱無關前提(即分別設置無或有無關前提的單模型和多模型問題)，進一步考察了模型數量對任務成績的影響。結果發現，無論是否包含無關前提，多模型問題的正確率均低于單模型問題。
對不同材料的空間推理問題的研究進一步支持了上述的結果。研究中使用的任務類似于表1中問題1、2和]，以句子或圖表(女“AB”，表示A在B的左邊)的形式呈現。結果發現，圖表形式的問題比句子形式的更容易，但兩種材料的多模型問題均比單模型問題難(Boudreau&Pi~eau，2001)。雖然前提的順序及空間的維度都影響被試的成績，但在所有條件下，多模型問題均難于單模型問題(Boudreau，Pigeau，&McCann。2002)。
心理模型理論以工作記憶理論對模型數量影響任務難度的現象進行了解釋，認為工作記憶容量限制了被試處理并比較多個模型的能力，從而影響被試的推理成績(Johnson-Laird，2001)，Oberauer等(2006)證實了工作記憶容量對心理模型建構的影響。研究表明，工作記憶容量高與低的被試在空間推理方面的差異主要表現為成功建構心理模型的概率不同。雖然研究證實了心理模型理論的觀點，但也有研究者提出了質疑。批評者認為，心理模型理論并沒有提出一個明確計算心理模型數量的方法。模型數量是每條前提模型數量的總和，還是符合所有前提的結論的模型數量，或者是每條前提的模型數量加上結論的模型數量(Bonatti，1998)?
1.1.2 前提的對象順序影響推理過程
心理模型理論認為，演繹推理包括三個階段：(1)前提加工階段。被試通過閱讀第一條前提建構一個最初的心理模型。(2)前提整合階段，被試將其他前提整合形成一個整體的模型，并得出假定的結論。(2)確認階段，被試通過建構前提的其他模型來確定假定的結論是否正確(Johnson-Laird&Byrne，1998)。已有研究表明，前提的對象順序對不同的加工階段都有重要影響，研究的結果支持心理模型理論的觀點，
在前提加工階段，對象的位置影響其被加工的過程，空間關系的前提引導被試以某個物體為參照物，另一個物體為目標物(Logan，1994)。如“教堂在車站的左邊”，車站被看作為參照物，教堂則為目標物，Oberauer等人在此基礎上進一步提出關系推理任務中存在方向性(directionality)
的觀點，例如，關系詞“在…左(右)邊”存在反向的作用，對于“A在B的左邊”這一前提，個體是先加工B，其次是A。這一觀點得到句子一圖片證實任務的支持。在單個前提的空間描述中，如果圖片中的參照物先于目標物出現時，被試的證實反應時明顯更短(Oberauer&Wilhelm，2000)。
在前提整合階段，第二條前提中新的元素被整合到第一條前提所建構的最初的心理模型。因此，這一整合過程應該對第二條前提的特點非常敏感(HOmig，Oberauer,&Weidenfeld，2005))，Oberauer等人(2005)總結了關系推理中前提整合的三條原則：(1)參照物=已知原則(relatum=givenprinciple、。如果第二條前提的參照物在第一條前提中已經給出了，第二條前提更容易被整合。(2)先進先出原則(f3rst-in-first-out principle，FIFO)，首先進入工作記憶的信息容易成為最先的輸出結果。(3)舊一新原則(8iven-newprinciple)，當第一條前提中的第二個對象在第二個前提中首先提及時，前提的整合更為容易。對條件推理、關系推理(涉及空間、時間、比較關系)和三段論推理的研究表明，“參照物=已知”原則和"IN一新”原則能夠解釋大多數的對象順序效應。對規范(如“A在B的左邊”)和不規范(如“B的左邊是A”)表述的推理問題、四種不同表述方式的德語推理問題以及“在…之間”的推理均證實了“參照物＝已知”原則和“舊一新”原則(H6rnig，Oberauer，&Weidenfeld，2005；H6rnig，Weskott，Kliegl，&Fanselow，2006；HOmig，Oberauer，&Weidenfeld2006)。
前提的對象順序同樣影響結論的產生。這在三段論推理的研究中已經得到證實，如前提“所有的A是B，所有的B是C”，被試更容易得到“所有的A都是C”而不是“所有的C都是A”的結論。在涉及關系詞“在…左(右)邊”的三個對象空間推理問題中，AB。BC的對象順序更容易得出A-C的結論，而BA-CB的對象順序更容易得出C-A的結論(0berauer，H6rnig，Weidenfel，&Wilhelm，2005)。
1.1.3 圖表推理易于句子推理
根據心理模型理論的觀點，心理模型是圖標形式的。因而圖表的前提比句子的前提更容易形成心理模型。而從心理邏輯理論的角度來看，推理是通過對規則的操作來實現的，這種操作部分是基于句法結構而進行的，因而句子形式的前提應比圖表易于進行規則的操作。對涉及不同材料的空間推理問題的研究證實了心理模型理論的預測。
Boudreau與Pigeau(2001)對圖表材料與文字敘述的空間推理問題進行了比較。實驗設置了四種條件：(1)圖表(圖像)，如“A，”。(2)圖表(名詞)，如“三角形圓形”，(3)句子(圖像)，如“厶在，的左邊”。(4)句子(名詞)，如“三角形在形的左邊”，研究結果顯示，圖表形式的問題均比句子形式顯著容易。在不同的前提順序和空間維度條件下，這一效應仍舊存在(Boudreau，Pigeau，&McCann，2002)。Copeland等人(2007)對空間推理年老化的研究進一步支持了上述的結論。其研究表明，以句子和詞語形式呈現前提時，老年組的推理成績明顯不如青年組，在不連續的前提條件下尤其明顯。但圖片形式的前提對老年組的推理成績影響不大，
1.2 腦成像研究
隨著腦成像技術的發展，關于兩種理論的爭論也從行為研究轉向了對于推理如何在大腦中進行的問題。按照心理模型理論，推理是通過對模型的操作而實現的，這一活動應與大腦的視空間加工系統有關(Johnson-Laird，2001)，，這一預測得到多數空間推理的腦成像研究的證實。
對具體和抽象的空間推理任務的研究表明，兩種任務激活了相似的雙側枕一頂一額腦區網絡，即雙側枕區(BAl7，Ⅱ8，Ⅱ9)、雙側頂區(BA7，40)、雙側額葉背部(BA6)、左側背外側前額皮層(BA9)等(Goel&Dolan，2001)。這些腦區主要與視空間加工系統有關，研究的結果支持心理模型理論的預測，Knaff等人(2002)對不同通道(聽覺和視覺)的兩種推理任務(空間推理與和條件推理)的研究進一步證實了上述研究結果。研究發現，無論是聽覺還是視覺呈現，兩種推理任務均激活了相似的枕一頂一額腦區網絡，包括前額葉皮層(BA6，9)和扣帶回(BA32)、頂區上部與前部(BA7，40)、前楔葉(precuneus)(BA 7)、及視覺相關皮層(BAl9)。上述的研究結果也得到了比較空間推理與空間工作記憶任務研究的支持(Ruff，KnauffFangmeier，&Spreer，2003)，Ruff等人的研究表明，空間推理主要激活枕。頂一額腦區網絡，兩種任務共同激活的神經網絡包括雙側的次級視覺皮層、扣帶皮層后部。ostenor cingulate cortex)和內側前額皮層。
雖然上述研究均表明空間推理主要激活枕一頂一額腦區網絡，但也發現某些視覺有關皮層的激活，為了進一步考察視覺信息對空間推理的影響，Knauff對聽覺上呈現的四種關系推理任務(通過操縱視覺與空間上的可想像程度分為視空間關系、視覺關系、空間關系、控制關系)進行了考察。研究表明，所有的推理問題激活了相似的腦區，視空間關系與空間關系的推理主要導致了左側顳回中部(BA21)、雙側頂區皮層上部(BA7)、左側額回中部(BAll)活動增加，然而，視覺關系的問題除上述激活腦區外，同時也激活了與V2相應的視覺聯系皮層(KnaufI＼Fangmeier,Ruff,&Johnson―Laird，2003)。與上述研究不同的是，這一研究發現了左側顳區的激活。這種差異可能與研究中使用的基線任務不同有關。前面所述的研究使用與推理相匹配的記憶任務為基線，而本研究以被試休息時的大腦活動為基線。Knauff(2006)總結認為，聽覺呈現的任務中也發現視覺有關皮層的激活，這可能與問題包含視覺化信息且必須在視覺工作記憶中儲存與加工有關。但一般的推理過程不需要視覺表象的參與，更多依賴儲存于頂區皮層的抽象的空間表征。只有這些空間表征對真正的推理過程來說是關鍵的。
Fangmeier等人以圖表形式的前提為材料，以事件相關功能磁共振成像技術來證實了心理模型理論所提出的三個加工階段的觀點。對被試大腦活動的掃描結果表明，在不同的加王階段出現了不同的腦區活動特征：(1)在前提加工階段，雙側枕顳皮層出現更大的激活。(2)在前提整合階段，除雙側枕顳皮層外，前額葉皮層(BAl0，32)
出現更大的激活。這與，臨床上對腦損傷病人的研究結果一致，即前額葉損傷嚴重影響需要整合關系的演繹推理與歸納推理任務的成績，但對記憶任務影響不大(Waltz，Knowlan，et al。，1999)。(3)結論的確認階段激活的腦區除前額葉皮層外，還有頂區后部。具體腦區包括額中回(BA9，8，6)、右側前扣帶回(BA32)、頂葉上部和下部(BA7，40)(Fangmeter，Knauff’Ruff，&Sloutsky，2006)。雖然在前提加工階段發現顳區的激活，但這可能反映了對前提的理解過程，而前提整合階段與結論確認階段額區和頂區皮層的更大激活才反映了真正的推理過程，研究的結果不但表明了存在三個不同的加工階段，同時也證實了空間推理活動主要激活與視空間系統有關的腦區，從而進一步證實了心理模型理論的觀點。
2 支持心理邏輯理論的證據
2.1 行為研究
雖然空間推理的行為研究基本支持心理模型理論，但也有研究者持不同的意見。Van derHenst(1999)認為，已有的對單模型與多模型問題比較的研究中。無關前提均放在首位。可能是無關前提的位置而非模型數量影響問題的難度，因此，他使用類似于Byrne等人的單模型和多模型問題，并在多模型問題中設置兩種無關前提的位置(分別放在首位或末位)，結果發現，無關前提在末位的多模型問題比無關前提在首位的多模型問題更容易，葚至與單模型問題同樣容易。此后，他進一步提出，已有研究主要以確定問題(表1中的問題2)與不確定(問題])進行比較，問題]的第一條前提使得問題產生了非確定性。大多數研究者從心理模型理論的觀點出發，認為如果是以規則進行推理，則應不考慮第一條前提。但這種預測是一種錯誤的觀點。被試是否考慮第一條前提，這取決于推理的啟發式或策略的方面，并不依賴于推理的途徑(即基于規則或模型)。實際上，從心理邏輯理論的觀點來看，問題3與問題2需要同樣多的步驟，而問題3由于涉及不確定性，某些步驟需要儲存更多的信息，從而導致難度加大。因此，從心理邏輯理論的觀點來看，多模型問題也應該難于單模型問題(Van der Henst，2002)。
此后，Van der Henst等(2005)考察了前提的措詞、不同呈現方式等因素對結論措詞的影響。首先，前提措詞影響結論的表述。這一結果證實了心理邏輯理論。因為如果被試建構前提的心理模型，則前提的措詞應不影響結論的措詞；相反，如果被試通過規則進行推理，則結論的措詞應與前提保持一致。其次，不同的呈現方式也會影響被試的推理過程。任務(包括前提與問題)同時呈現時，被試傾向于使用規則進行推理。而在系列呈現時，被試傾向于使用心理模型進行推理。第三，前提的順序、提問的方式(D和E之間是什么關系?或者E和D之間是什么關系?)等影響結論的措詞，這一結果支持心理模型理論，據此，研究者提出了一種折衷觀點，即演繹推理涉及兩種推理機制，被試在具體的推理過程中使用哪種方法，可能與任務的特點和被試的策略等因素有關。
2.2 腦成像研究
從心理邏輯理論的角度來看，推理是通過對規則的操作而實現的，應與大腦左半球的語言加工腦區有關(Rips。1994)，這一點得到早期臨床研究的證實。Hier等人的研究表明，左腦語言有關區域損傷的被試雖然能使用抽象的詞語，但很難理解空間關系的介詞(如在…后面、旁邊等)，這些病人在理解視覺空間邏輯關系的任務上成績明顯比正常組差，但右半球損傷的被試并沒有表現出這種困難(Hier,Mogil，Rubin，&Komros，]980)。
Goel等人以Ⅱ2名正常人為被試，并以PET技術掃描被試執行三種類型的演繹推理任務(直言三段論、三個對象的空間關系和非空間關系推理)時的腦區激活情況。研究的結果表明，三種推理任務的激活區域主要是左腦，包括左側額回下部(BA45、47)、左側額回中部(BA46)、左側顳回中部(BA21、22)、左側顳回外側下部及顳回上部(BA32、34)，并沒有發現右半球或頂區顯著的激活(Goel，Gold，Kapur，&Houle，1998)。這一結果進一步支持了心理邏輯理論，
總之，從行為研究來看，雖然Van der Henst等人(2005)的研究表明前提的措詞影響結論從而支持心理邏輯理論，但這項研究中前提的對象順序與措詞兩項因素混合在一起，且僅以結論的正確率為反應指標。很可能是前提的對象順序而非措詞影響了最終的結論。已有的行為研究從模型數量、前提的對象順序效應等方面證實了心理模型理論的預測，研究的結果基本支持心理模型理論，
從腦成像研究的結果來看，多數研究結果表明空間推理活動主要激活視空間加工系統有關的腦區。雖然Goel等人98年的研究表明空間推理主要激活左側腦區，但進一步的審查發現，該研究使用的是[7區組(block design)設計，對被試腦區的掃描時間超過1分鐘以上，掃描的結果主要反映被試閱讀前提時的大腦活動，而并非真正的推理過程(Goel&Dolan，2001)。另外，Goel等人的研究發現對熟悉內容的空間推理主要激活額一頂通道，而對不熟悉內容的空間推理激活枕一顳通道(Goel，Makale，&Grafman，2004)，研究的結果支持主張人類存在兩種不同的推理系統的雙加工理論(Evails，2003)。但是在這項研究中，使用的任務涉及信念信息，可能是這種信念的信息導致了顳區的激活。另一種可能的解釋是，顳區的激活可能僅反映了對詞語材料前提的理解過程，這是進行推理的前提條件(Knauff，Fangmeier,Ruff&Johnson―Laird，2003)，多數的空間推理問題激活了與視空間加工系統有關的枕，頂一額腦區網絡，研究的結果支持心理模型理論的觀點。
3 結語
心理邏輯理論與心理模型理論都是對推理表征形式的一般假設，二者都是一種理論框架。只有兩種理論或建立在其基礎之上的理論對推理機制作出詳細的說明，通過分析支持和反對不同理論的證據，對于推理機制的研究才能取得較大的突破。但目前的研究顯然還沒有達到這一條件，就空間推理而言，雖然心理模型理論提出了較為詳細的解釋，但來自心理邏輯理論的解釋卻相對匱乏，因而研究雖然證實了心理模型理論，卻也難以駁斥心理邏輯理論。
