時(shí)間：2023-09-15 17:41:12
開(kāi)篇：寫(xiě)作不僅是一種記錄，更是一種創(chuàng)造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇高三數(shù)學(xué)數(shù)列求和，希望這些內(nèi)容能成為您創(chuàng)作過(guò)程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進(jìn)步。
關(guān)鍵詞：高三數(shù)學(xué)；教學(xué)方法；教學(xué)理念
高三階段的學(xué)生面臨高考的壓力以及知識(shí)難度加大的壓力，因而，很多高三學(xué)生都能夠積極投入到數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中。但是雖然很多學(xué)生在課堂上能夠理解知識(shí)，卻仍是不會(huì)應(yīng)用。這種現(xiàn)象不僅阻礙了學(xué)生學(xué)習(xí)能力的提高，還影響數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)效率。因而，高三數(shù)學(xué)教師應(yīng)該深入研究產(chǎn)生這種現(xiàn)象的原因，并根據(jù)原因采取科學(xué)、合理的措施提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。
一、造成學(xué)生“懂而不會(huì)”現(xiàn)象的原因
1.教學(xué)方法的錯(cuò)誤
在教學(xué)課堂上，多數(shù)學(xué)生處于被動(dòng)接受知識(shí)的狀態(tài)，學(xué)生所謂的聽(tīng)懂知識(shí)也是明白了某道題目的解法，而并沒(méi)有深刻理解其中的內(nèi)涵。而且被動(dòng)接受知識(shí)還阻礙了學(xué)生的思維發(fā)展，使得學(xué)生缺乏舉一反三的能力。
2.學(xué)生的差異性
每個(gè)學(xué)生的理解能力、創(chuàng)造力、實(shí)踐能力都是不相同的。但是很多數(shù)學(xué)教師并不重視層次教學(xué)的重要性，使很多學(xué)生無(wú)法跟隨教師的思路。這也就造成了學(xué)生學(xué)習(xí)能力不足、思維拓展能力不強(qiáng)的問(wèn)題。
二、改善學(xué)生“懂而不會(huì)”現(xiàn)象的措施
1.轉(zhuǎn)變教學(xué)理念，創(chuàng)新教學(xué)方法
在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)該根據(jù)學(xué)生實(shí)際和教材內(nèi)容，科學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程，以突出學(xué)生的主體地位，使學(xué)生從被動(dòng)接受知識(shí)轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃?dòng)學(xué)習(xí)知識(shí)。另外，高三階段的學(xué)生除了學(xué)習(xí)新知識(shí)以外，還要鞏固舊知識(shí)。因此，數(shù)學(xué)教師應(yīng)該選擇一些具有典型特征的例題。
教師可以借助多媒體以及其他教學(xué)輔助工具增強(qiáng)課程的趣味性、生動(dòng)性，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。如，教師在進(jìn)行數(shù)列的復(fù)習(xí)過(guò)程中，在課堂的開(kāi)始可以將與數(shù)列有關(guān)的知識(shí)通過(guò)多媒體展示給學(xué)生，如等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念、有關(guān)公式和性質(zhì)、數(shù)列求和、證明數(shù)列的方法。然后再將平常會(huì)用到的解題方法展示給學(xué)生，如，基本量法、特殊數(shù)列轉(zhuǎn)化法、極限法等。接下來(lái)教師可以通過(guò)范例來(lái)教會(huì)學(xué)生如何應(yīng)用。
如，已知數(shù)列{an}，a1=1，求滿(mǎn)足下列條件的通項(xiàng)公式。①an+1=an-3；②an+1=2an；③an+1=2an-3；④an+1=an-n。在這個(gè)過(guò)程中，教師可以讓學(xué)生自由組合，進(jìn)行小組合作學(xué)習(xí)，這樣既能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，又能培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)結(jié)協(xié)作能力。設(shè)計(jì)該題的主要目的是讓學(xué)生能夠分析出等差、等比數(shù)列的遞推形式，從而掌握求通項(xiàng)的方法。可見(jiàn)，教師在高三數(shù)學(xué)的教學(xué)中應(yīng)轉(zhuǎn)變教學(xué)理念，充分創(chuàng)新教學(xué)模式，并借助多媒體等設(shè)備來(lái)改變傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課堂枯燥、無(wú)味的學(xué)習(xí)氛圍，從而使學(xué)生能夠充分掌握數(shù)學(xué)知識(shí)。
2.促使學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣
很多學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)，對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題知識(shí)一知半解，但是又不好意思請(qǐng)教老師、麻煩其他學(xué)生，久而久之，學(xué)生的數(shù)學(xué)能力就會(huì)逐漸下降。另外，也有很多學(xué)生在遇到一些比較難的數(shù)學(xué)題目時(shí)，就會(huì)放棄不做，而當(dāng)遇到自己擅長(zhǎng)的知識(shí)時(shí)，就能夠堅(jiān)持下去。這種壞習(xí)慣會(huì)嚴(yán)重影響學(xué)生學(xué)習(xí)成績(jī)的提高。
高三數(shù)學(xué)教師應(yīng)該重視培養(yǎng)學(xué)生的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣。首先，應(yīng)該促使學(xué)生養(yǎng)成反思的習(xí)慣，反思自己為什么找不到思路解題，解這種類(lèi)型的題目時(shí)又應(yīng)該注意些什么，如果題目變換已知條件，是否還能夠解出。如例題：已知集合A={1，2}，而集合B滿(mǎn)足A∪B={1，2}，那么集合B的個(gè)數(shù)有幾個(gè)？這道題的重點(diǎn)是鞏固學(xué)生之前已學(xué)過(guò)的集合知識(shí)。雖然較簡(jiǎn)單，但是卻很典型。這道題目可以變形為①已知集合A有m個(gè)元素，那么A的子集是（ ），真子集是（ ）。②已知集合A={1，2}，而集合B滿(mǎn)足A∪B=A，那么A與B的關(guān)系是（ ）。可見(jiàn)，反思能夠培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。
除此之外，教師還應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生一題多解的解題習(xí)慣。這樣在學(xué)習(xí)一道題目時(shí)，學(xué)生就會(huì)自動(dòng)發(fā)掘出題目中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)，并加以融會(huì)貫通。如解不等式3
綜上所述，高三數(shù)學(xué)教師應(yīng)該改變教學(xué)方法，充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，促使學(xué)生主動(dòng)吸收數(shù)學(xué)知識(shí)。在此基礎(chǔ)上，教師還應(yīng)該重視培養(yǎng)學(xué)生正確的學(xué)習(xí)習(xí)慣、科學(xué)的解題方法以及舉一反三的能力。總之，教師應(yīng)該讓學(xué)生理解，并會(huì)運(yùn)用，這樣才能真正提高教師的教學(xué)效率。
參考文獻(xiàn)：
[1]常晉珉.對(duì)高三數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生“懂而不會(huì)”現(xiàn)象的思考[J].新課程（中學(xué)），2014（2）：33.
關(guān)鍵詞：2014年；陜西高考；高考試題淺析
一、回歸課本，體現(xiàn)了試題的基礎(chǔ)性
課本是高考命題的生長(zhǎng)地。縱觀陜西近幾年的高考試題，發(fā)現(xiàn)每年都有幾道明顯的課本原題或改編題，2014年更是如此。如，文理科選擇第7題是由數(shù)學(xué)必修1第77頁(yè)第三章B組第4題改編而來(lái)；理數(shù)填空題的第14題，直接取之于選修教材2-2的“歸納推理”第一節(jié)的例1，將著名的歐拉公式設(shè)計(jì)為考題進(jìn)行考查，秉承了考課本定理的陜西特色。再回首，2011年余弦定理的證明，2012年三垂線(xiàn)定理的證明，2013年等差等比數(shù)列求和公式的證明，都取之于教材，題目難度不大，得分卻不高。試想，如果從課本選了一個(gè)稍難的題目，沒(méi)見(jiàn)過(guò)很可能想不到，而學(xué)校又沒(méi)復(fù)習(xí)到，那老師的責(zé)任就大了。這就給我們一再敲響警鐘，高考備考想要扎實(shí)全面，回歸課本是很關(guān)鍵的一條。
二、命題出其不意，體現(xiàn)了創(chuàng)新性
2014年的高考命題，大刀闊斧地改頭換面，出其不意，讓人意外。首先肢解了數(shù)列的內(nèi)容，沒(méi)有出現(xiàn)單獨(dú)的數(shù)列解答題，這是解答題布局的新動(dòng)向。17題的立體幾何與三視圖相結(jié)合，以線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理為考點(diǎn)，讓人意外，但又在情理之中。18題的向量獨(dú)成大題，開(kāi)創(chuàng)了陜西高考命題設(shè)計(jì)的先河，第2問(wèn)將向量與線(xiàn)性規(guī)劃相結(jié)合，一反常態(tài)，充分考查了學(xué)生的考場(chǎng)應(yīng)變能力。還有，21題的第1問(wèn)，應(yīng)用數(shù)列的歸納推理①求通項(xiàng)，并且結(jié)合了數(shù)學(xué)歸納法證明；選擇題的第5題考查了幾何體的外接球；第9題代表的統(tǒng)計(jì)，沒(méi)有考抽樣和頻率分布直方圖，而是考查了平均值與方差的運(yùn)算性質(zhì)等，都是陜西新課改后的首例，令人耳目一新，也是今年高考試題的亮點(diǎn)所在，充分體現(xiàn)了新課標(biāo)探索創(chuàng)新的特點(diǎn)。
三、多元知識(shí)結(jié)合，體現(xiàn)了試題的綜合性
今年的高考試題，極力地體現(xiàn)了交匯命題的原則，充分考查了考生應(yīng)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力以及思維的靈活性。具體表現(xiàn)在試題的綜合性更強(qiáng)，涉及的知識(shí)面更廣。如理數(shù)的16題將解三角形、三角變換、等差等比數(shù)列的性質(zhì)以及均值不等式緊密結(jié)合；18題將向量的運(yùn)算和線(xiàn)性規(guī)劃連為一體；19題將常規(guī)的函數(shù)應(yīng)用題與概率相結(jié)合；21題導(dǎo)數(shù)、數(shù)列繼11年結(jié)合應(yīng)用，今年再創(chuàng)新高，難度更大。凡此種種，表明數(shù)學(xué)成績(jī)的提高、數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)，短期很難見(jiàn)效，這也是很多平時(shí)不學(xué)習(xí)的學(xué)生突然狂學(xué)一兩個(gè)月，可數(shù)學(xué)成績(jī)并不見(jiàn)提高的原因。
四、命題貼近生活，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的實(shí)用性
知識(shí)源于生活，又用于生活。今年的高考試題很好地詮釋了這一點(diǎn)。文理科數(shù)學(xué)選擇題的第10題，從基本函數(shù)式的選擇中，體現(xiàn)了將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的技能。理科數(shù)學(xué)的19題，與實(shí)際生活中常見(jiàn)的利潤(rùn)問(wèn)題結(jié)合，考查了概率和分布列。文科數(shù)學(xué)的第9題以單位員工的工資為背景，考查了平均數(shù)與方差的運(yùn)算性質(zhì)；19題以車(chē)輛保險(xiǎn)為背景考查了概率。而縱觀每年高考試題，不難發(fā)現(xiàn)每年都至少有兩道以上以實(shí)際生活為背景的題目。試題貼近生活，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的密切聯(lián)系以及數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用性。
五、隱含高數(shù)背景，體現(xiàn)了試題的選拔性
縱觀陜西各年高考試題，時(shí)常會(huì)涉及一些高等數(shù)學(xué)里的著名函數(shù)、定理以及研究方法，而今年尤為突出。如理數(shù)21題的第2問(wèn)的恒成立問(wèn)題，解法之一就是分參之后結(jié)合洛必達(dá)法則，避免了繁瑣的分類(lèi)討論，解法簡(jiǎn)潔而流暢；第3問(wèn)本質(zhì)是數(shù)列和的不等式證明，有著高等數(shù)學(xué)里調(diào)和級(jí)數(shù)的影子，而且證法之一是應(yīng)用了面積法，巧妙地將題中各式轉(zhuǎn)化為一些圖形的面積，快捷簡(jiǎn)便，令人驚嘆。這種方法中隱含了定積分中的“分割、代替、求和、取極限”的部分思想。而這種思想是高數(shù)里面非常重要的一種數(shù)學(xué)思想方法。當(dāng)然，這些題目的解決也有通性通法，只不過(guò)相對(duì)于通性通法而言，以上方法更巧妙、更快捷。因此，試題充分體現(xiàn)了高考是一種選拔性考試，考查了學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的潛能。
應(yīng)當(dāng)說(shuō)，2014年的試題設(shè)計(jì)符合陜西的考情，杜絕了偏題、難題、怪題，有利于廣大考生數(shù)學(xué)水平的正常發(fā)揮，為今后高三的數(shù)學(xué)備考起到了良好的引導(dǎo)作用。而我們高三老師在備考中，也應(yīng)該把學(xué)生帶出資料，回歸基礎(chǔ)，走進(jìn)課本，關(guān)注真題，面向全體學(xué)生，著眼思維活動(dòng)，致力于學(xué)生思維能力的培養(yǎng)。只有基礎(chǔ)扎實(shí)了，思維靈活了，我們才能以不變應(yīng)萬(wàn)變，在高考中穩(wěn)操勝券。
參考文獻(xiàn)：
【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；復(fù)習(xí)；高考；歸納與整理
進(jìn)入了高三，無(wú)論是老師還是學(xué)生都感覺(jué)到了時(shí)間的緊迫性.隨著高中數(shù)學(xué)課程的改革，高中數(shù)學(xué)課的教學(xué)時(shí)間更加緊迫、任務(wù)更加繁重，而高三數(shù)學(xué)課復(fù)習(xí)效率的高低將直接影響學(xué)生在高考中的成績(jī).由此可見(jiàn)，提高高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的效率勢(shì)在必行.
一、教師重視指導(dǎo)學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的歸納與整理，助幫學(xué)生形成知識(shí)體系
在平時(shí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們所掌握的知識(shí)一般都是比較零散的，沒(méi)有形成一個(gè)體系，這樣就使得學(xué)生在解題的過(guò)程中，不能很好地對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行靈活的運(yùn)用.在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的過(guò)程中，教師就應(yīng)該對(duì)我們平時(shí)所學(xué)習(xí)的、零散的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行歸納和總結(jié)，幫助學(xué)生對(duì)知識(shí)形成一個(gè)整體的認(rèn)識(shí).這樣學(xué)生在數(shù)學(xué)解題的過(guò)程中才能更好地融會(huì)貫通、靈活運(yùn)用知識(shí)，從而有效提升數(shù)學(xué)解題的效率.
為此我羅列了我比較喜歡的幾種方法.（1）運(yùn)用構(gòu)圖記憶法.這種形象的方式可以將那些抽象的知R點(diǎn)以及知識(shí)之間的層次關(guān)聯(lián)通過(guò)畫(huà)圖表方法直觀地表示出來(lái)，幫助學(xué)生把知識(shí)點(diǎn)以及知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)性形成長(zhǎng)久記憶，做到不依賴(lài)課本教材也能牢固地掌握，做到及時(shí)提取應(yīng)用.（2）學(xué)會(huì)進(jìn)行知識(shí)串聯(lián)，建立知識(shí)聯(lián)系機(jī)制.知識(shí)之間都是相互聯(lián)系的，只有找到知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)紐帶，使其具有綜合性，才能跳出章節(jié)的限制，建立清晰的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，構(gòu)建完善知識(shí)體系.例如函數(shù)、不等式、方程、數(shù)列以及拋物線(xiàn)等可以建立聯(lián)系機(jī)制，加快記憶，加深理解.再如sin2θ+cos2θ=1，可與圓標(biāo)準(zhǔn)方程、圓和橢圓的參數(shù)方程、三角換元等聯(lián)系，二次函數(shù)可與一元二次方程和不等式、等差數(shù)列、解幾中的拋物線(xiàn)等聯(lián)系，使學(xué)生跳出書(shū)本單一背景的限制，從而走向知識(shí)交匯和綜合.（3）利用問(wèn)題紐帶，建立知識(shí)動(dòng)態(tài)聯(lián)系.利用問(wèn)題激發(fā)學(xué)生思考，用思想方法建立知識(shí)聯(lián)系，幫助學(xué)生對(duì)知識(shí)再認(rèn)識(shí)，產(chǎn)生新知，完善健全知識(shí)體系.
在復(fù)習(xí)數(shù)列這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的時(shí)候，指導(dǎo)學(xué)生對(duì)等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行歸納并且進(jìn)行對(duì)比，而對(duì)于由遞推關(guān)系求通項(xiàng)的方法進(jìn)行整理，歸納出累加法、疊乘法、待定系數(shù)構(gòu)造等差等比數(shù)列法、取倒數(shù)法、Sn與an法、對(duì)于數(shù)列求前n項(xiàng)和問(wèn)題有公式法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法、并項(xiàng)求和法.在復(fù)習(xí)拋物線(xiàn)時(shí)把拋物線(xiàn)的四種情況的標(biāo)準(zhǔn)方程、圖像、頂點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)軸、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線(xiàn)、焦半徑歸納小結(jié).
二、研究考試綱要，總結(jié)高考基本規(guī)律
作為高三教師，如何讓學(xué)生少走彎路，提高復(fù)習(xí)的效率，讓學(xué)生們打場(chǎng)有把握的仗是教師們面對(duì)的嚴(yán)峻挑戰(zhàn)，對(duì)此，教師們要仔細(xì)研讀《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》以及省內(nèi)的考試說(shuō)明，明確思路，有針對(duì)地開(kāi)展復(fù)習(xí)工作.同時(shí)，教師還要明白高考命題方向，如近幾年高考大綱堅(jiān)持難題不怪的出題原則，注意學(xué)生對(duì)通法基礎(chǔ)的掌握，減弱了對(duì)學(xué)生高難度思維技巧的考查，所以教師要本著扎實(shí)基礎(chǔ)，掌握通法的原則制訂復(fù)習(xí)方案，立足于課本教材，從基礎(chǔ)知識(shí)抓起，梳理知識(shí)、搭建完善知識(shí)體系，著重挖掘例題涵蓋的內(nèi)涵，熟練掌握通法解題技巧，并且針對(duì)重點(diǎn)、難點(diǎn)進(jìn)行技能強(qiáng)化訓(xùn)練.
三、建立實(shí)效思路，制訂高效復(fù)習(xí)方案
復(fù)習(xí)方案在復(fù)習(xí)過(guò)程中起到了至關(guān)重要的作用，所以如何制訂一個(gè)好的復(fù)習(xí)方案是教師們面臨的挑戰(zhàn)，但由于學(xué)生的基礎(chǔ)參差不一，增加了方案的制訂難度.所以教師首先讓學(xué)生們做好“戰(zhàn)斗”的思想準(zhǔn)備，讓學(xué)生們知道高三一年的學(xué)習(xí)計(jì)劃，并督促自己按照計(jì)劃施行.
第一輪高考復(fù)習(xí)教師要注意計(jì)劃的可實(shí)施性，合理科學(xué)，以教材為依托，根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，設(shè)計(jì)難度、深度適中的方案，做到方案可行、合理、周密；第二輪的復(fù)習(xí)方案要因人而異，選擇一套適合自己的復(fù)習(xí)資料，并且根據(jù)實(shí)際情況，制訂一套最適合自己的復(fù)習(xí)方案；最后一輪復(fù)習(xí)則是以大量的“實(shí)戰(zhàn)練習(xí)”為主了，能有效摸清學(xué)生的真實(shí)狀況，查漏補(bǔ)缺，完善自己的不足.
四、教給學(xué)生方法，促使學(xué)生通過(guò)自主探究完成對(duì)知識(shí)點(diǎn)的回顧
對(duì)高三學(xué)生，主要的做法是教給學(xué)生方法，讓學(xué)生對(duì)一些典型題進(jìn)行自主探究解題后的反思、發(fā)散和提高，舉一反三，觸類(lèi)旁通，力爭(zhēng)讓學(xué)生的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)達(dá)到一個(gè)新的高度.
例如，已知ABC，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c，其中邊長(zhǎng)c為定值，請(qǐng)你建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并添加適當(dāng)?shù)臈l件，求出點(diǎn)C的軌跡方程.學(xué)生們主動(dòng)探尋，大膽創(chuàng)新，所添?xiàng)l件豐富多彩，現(xiàn)展示部分如下：
（1）添加條件：a+b=m（m>c）.
（2）添加條件：a-b=m（0
（3）添加條件：頂點(diǎn)C到兩個(gè)定點(diǎn)連線(xiàn)斜率的乘積是定值k（k≠0）.
（4）添加條件：ABC的面積是定值m（m>0）.
（5）添加條件：∠B=2∠A.
（6）添加條件：a，b，c成等差數(shù)列.
……
數(shù)列是高中數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的知識(shí)點(diǎn)，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，所以在高考中占有很重要的地位，也是高考數(shù)學(xué)必考的內(nèi)容之一.其主要考查學(xué)生對(duì)數(shù)列的公式記憶能力、理解能力、邏輯推理能力、思維分析能力、運(yùn)用知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.在解決數(shù)列這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，我們常運(yùn)用方程或不等式組的思想、函數(shù)的思想、化歸思想，所以我們必須重視數(shù)學(xué)思想方法的探究.著名的數(shù)學(xué)教育家弗賴(lài)登塔爾說(shuō)過(guò)：與其說(shuō)是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，還不如說(shuō)是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化；與其說(shuō)是學(xué)習(xí)公理系統(tǒng)，還不如說(shuō)是學(xué)習(xí)公理化；與其說(shuō)是學(xué)習(xí)形式體系，還不如說(shuō)是學(xué)習(xí)形式化.由此可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)思想方法對(duì)我們認(rèn)識(shí)世界相當(dāng)重要.下面我就結(jié)合數(shù)列的學(xué)習(xí)，簡(jiǎn)單地闡述數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué).
一、運(yùn)用方程或不等式組的思想解決有關(guān)數(shù)列問(wèn)題
等差數(shù)列有兩個(gè)基本量a■、d（等比數(shù)列是a■、q），等差（等比）數(shù)列的兩個(gè)基本問(wèn)題a■、S■，都可以用兩個(gè)基本量表示，所以我們可以列出有關(guān)方程組（或不等式組）來(lái)求解，這種方法可稱(chēng)為方程法（或不等式組法）.
例1：在等差數(shù)列{a■}中，已知a■=10，a■=25，求a■.
思路一：由題意，可求出a■和d，然后由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，便可求出a■.
解法一：設(shè)等差數(shù)列{a■}的首項(xiàng)為a■，公差為d，則由題意得：a■+4d=10a■+14d=25
這樣就轉(zhuǎn)化成以a■和d為未知數(shù)的方程組，可解得a■=4，d=■.
這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為：a■=4+■×（n-1），即：a■=■n+■，a■=40.
思路二：如注意到a■與a■，可求出a■，后直接用關(guān)系式a■=a■+（n-m）d，可簡(jiǎn)化運(yùn)算.
解法二：由題意可知：a■=a■+10d，即25=10+10d，10d=15.
又a■=a■+10d，a■=40.
思路三：如注意到在等差數(shù)列{a■}中，a■，a■，a■也成等差數(shù)列，則利用等差中項(xiàng)關(guān)系式，便可直接求出a■的值.
解法三：在等差數(shù)列{a■}中，a■，a■，a■成等差數(shù)列，2a■=a■+a■，即a■=2a■-a■，a■=40.
例2：一個(gè)首項(xiàng)為23，公差為整數(shù)的等差數(shù)列，如果前六項(xiàng)均為正數(shù)，第七項(xiàng)起為負(fù)數(shù)，則它的公差是多少？
解：由23+（6-1）d>023+（7-1）d
[練習(xí)]在等差數(shù)列{a■}中，若a■+a■+a■=12，a■a■a■=28，求{a■}的通項(xiàng)公式.
答案：a■=-■n+■.
總之，數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的公式都緊密聯(lián)系a■，d，q，a■，S■五個(gè)基本量，“知三求二”是一類(lèi)最基本的運(yùn)算.因此方程或不等式組的觀點(diǎn)是解決此類(lèi)問(wèn)題的基本數(shù)學(xué)思想與方法.
二、運(yùn)用函數(shù)與數(shù)形結(jié)合思想解決有關(guān)數(shù)列問(wèn)題
數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)求和公式都可以看成是函數(shù)，特別是等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可以看成是一次函數(shù)，因此許多數(shù)列問(wèn)題可以用函數(shù)的思想進(jìn)行分析.
例3：若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a■=q，a■=p，求a■.（如圖）
分析：不妨設(shè)p
數(shù)列的項(xiàng)以函數(shù)上的點(diǎn)的形式給出，將數(shù)列和函數(shù)的性質(zhì)相結(jié)合，究其本質(zhì)，依然還是對(duì)數(shù)列的基本知識(shí)進(jìn)行考查.在本題中，利用函數(shù)的性質(zhì)，將本來(lái)沒(méi)有太多關(guān)系的數(shù)列轉(zhuǎn)化成一次函數(shù)圖像上一些點(diǎn)，從而使問(wèn)題顯得明朗而簡(jiǎn)單.
三、運(yùn)用化歸與轉(zhuǎn)化思想解決有關(guān)數(shù)列問(wèn)題
在處理數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，我們將待解決的問(wèn)題通過(guò)化歸與轉(zhuǎn)化的思想，使問(wèn)題轉(zhuǎn)化成較容易的問(wèn)題，這是數(shù)學(xué)學(xué)科特有的思想方法，化歸與轉(zhuǎn)化思想的核心是把生題、難題轉(zhuǎn)化為熟題、易題，將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題，將未解決問(wèn)題化歸為已解決問(wèn)題.
例4：（2009年萊陽(yáng)高三理）若數(shù)列{a■}滿(mǎn)足■-■=d（n∈N■，d為常數(shù)），則稱(chēng)數(shù)列{a■}為調(diào)和數(shù)列.已知數(shù)列{■}為調(diào)和數(shù)列，且x■+x■+…+x■=200，則x■+x■=？搖？搖 ？搖？搖.
分析：根據(jù)調(diào)和數(shù)列的定義，可以看出其倒數(shù)數(shù)列符合等差數(shù)列的定義，由此可以轉(zhuǎn)化，利用等差數(shù)列的定義求出前n項(xiàng)和.
關(guān)鍵詞：新課程；高三；教學(xué)措施；思考
對(duì)于高三數(shù)學(xué)來(lái)講，其重點(diǎn)就是抓復(fù)習(xí)，教師的主要作用就是帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)匯總，為學(xué)生穿針引線(xiàn)，組建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)體系，讓學(xué)生在復(fù)習(xí)的過(guò)程中不斷提升自身的學(xué)習(xí)能力。但是現(xiàn)階段很多教師在教學(xué)時(shí)都是被復(fù)習(xí)資料牽著走，脫離課本，也不從學(xué)生的實(shí)際情況出發(fā)，當(dāng)然也難以有效解決學(xué)生存在的問(wèn)題，最后就出現(xiàn)與新課程背道而馳的情況，這些都違背了新課程的標(biāo)準(zhǔn)和要求。
一、抓重點(diǎn)，解決難點(diǎn)
高三學(xué)生的課程教學(xué)中也會(huì)遇到一些沒(méi)見(jiàn)過(guò)的重難點(diǎn)問(wèn)題，教師在教學(xué)的過(guò)程中不能夠籠統(tǒng)的講解，還應(yīng)該針對(duì)某個(gè)重點(diǎn)，某個(gè)難點(diǎn)問(wèn)題展開(kāi)針對(duì)性的講解。因?yàn)榻處熤v得太籠統(tǒng)，學(xué)生就會(huì)有種摸不著頭腦的感覺(jué)，長(zhǎng)時(shí)間下去，學(xué)生就會(huì)不知所云，教師講得筋疲力盡、口干舌燥，教學(xué)質(zhì)量非常低，倘若要轉(zhuǎn)變這種情況，就需要依照新課程的相關(guān)要求，因材施教。例如，在復(fù)習(xí)三視圖及空間幾何體的計(jì)算時(shí)，首先學(xué)生應(yīng)掌握畫(huà)圖的基本要求：正俯一樣長(zhǎng)，側(cè)俯一樣寬，正側(cè)一樣高；其次解決由三視圖確定幾何體的形狀并求表面積或體積時(shí)要知道遵循：先確定幾何體的大致輪廓，然后利用三視圖中的實(shí)線(xiàn)和虛線(xiàn)通過(guò)切割、挖空等手段逐步調(diào)整，得出幾何體的形狀，最后利用相關(guān)公式計(jì)算即可。學(xué)生只要把上述所講弄明白了，解決這類(lèi)問(wèn)題的重點(diǎn)和難點(diǎn)也就突破了，再通過(guò)練習(xí)讓學(xué)生去體驗(yàn)、思考感悟，相信最后教給學(xué)生的是方法更是鑰匙。
二、鼓勵(lì)學(xué)生及時(shí)對(duì)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行歸納總結(jié)
對(duì)于高三的學(xué)生而言，他們已經(jīng)掌握了一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，但是在考試解題時(shí)總是找不到突破口，當(dāng)教師為學(xué)生解答之后，學(xué)生也總是會(huì)說(shuō)“我當(dāng)時(shí)怎么就沒(méi)有想到呢？原來(lái)這么簡(jiǎn)單”。那么學(xué)生為什么會(huì)出現(xiàn)遇到各種解答題的時(shí)候無(wú)法下手，找不到突破口呢？就是因?yàn)閷W(xué)生在做完一個(gè)題型或者是老師講述完一個(gè)題型后沒(méi)有對(duì)其中的知識(shí)點(diǎn)和解題突破點(diǎn)進(jìn)行總結(jié)，缺乏解題的經(jīng)驗(yàn)和手段。所以每遇到一個(gè)不同的題型他們就覺(jué)得解答起來(lái)很吃力，那么怎樣總結(jié)知識(shí)呢？本文主要闡述了以下幾點(diǎn)：
第一，從知識(shí)層面上來(lái)講，看題中有無(wú)可以直接看出來(lái)的概念、公式等，對(duì)于這些出現(xiàn)在題中的概念、公式，解題時(shí)是怎樣應(yīng)用的。第二，從方法層面上面來(lái)講，教師在解答這些題型時(shí)，用到了什么解題方法，為什么教師能夠想到用此法，自己有無(wú)掌握教師的解題方法和解題技巧。第三，學(xué)生拿到題目后，首先應(yīng)該觀察這屬于哪種題型，平常我們?cè)诮獯疬@一題目時(shí)都用了什么解題方法。學(xué)生在總結(jié)題型的過(guò)程中，教師不能夠不讓學(xué)生思考就自行幫助學(xué)生歸納總結(jié)，這樣會(huì)讓學(xué)生養(yǎng)成不自己動(dòng)腦思考的習(xí)慣，教師還應(yīng)該讓學(xué)生跨過(guò)門(mén)檻，自己總結(jié)這屬于什么題型。例如，在高三的一次數(shù)學(xué)課堂上，在復(fù)習(xí)數(shù)列這一章的內(nèi)容時(shí)，數(shù)列的求和是困惑學(xué)生的知識(shí)難點(diǎn)，那么教師就應(yīng)該多找出幾個(gè)數(shù)列方面的例子，讓學(xué)生根據(jù)這些例子，先從解答簡(jiǎn)單的題型，再到困難題型的解答，將這些知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)起來(lái)，尋找其解題突破口。
例如：
1.設(shè)x+1，5成等比數(shù)列，求x+1中的x=？
2.求數(shù)列中各項(xiàng)的和。
3.設(shè)a為一常數(shù)，那么求數(shù)列中a，2a2，3a3，…，nan，…的前n項(xiàng)和。
要求學(xué)生將這些題型中最簡(jiǎn)單的一道題型解出來(lái)，然后再“依葫蘆畫(huà)瓢”，最終都取得了較好的解題效果，倘若此時(shí)學(xué)生都已經(jīng)將題的答案解答出來(lái)了，此時(shí)教師的重要任務(wù)就是鼓勵(lì)學(xué)生總結(jié)知識(shí)，并總結(jié)在解答此題時(shí)所用到的方法，那么下次再遇到同樣的問(wèn)題，學(xué)生就會(huì)胸有成竹了。
三、精講細(xì)練，從實(shí)踐中掌握知識(shí)
教師在為學(xué)生復(fù)習(xí)某個(gè)知識(shí)點(diǎn)或者講述某個(gè)新知識(shí)點(diǎn)的過(guò)程中，應(yīng)該做到精講細(xì)練，并鼓勵(lì)學(xué)生多做練習(xí)，教師還可以依照知識(shí)點(diǎn)的難易程度等為學(xué)生尋找一些練習(xí)題，從簡(jiǎn)單到困難，還要要求學(xué)生在解題時(shí)不僅要尋求速度，還要尋求質(zhì)量。因?yàn)樵诟呖紩r(shí)，時(shí)間不等人，不能夠像平常解決問(wèn)題時(shí)那樣可以思考半天，當(dāng)學(xué)生將這些例題完全解答后，教師再為學(xué)生講解習(xí)題答案時(shí)，學(xué)生也要積極、主動(dòng)地響應(yīng)教師，而不是教師在上面滔滔不絕，學(xué)生在下面沉默寡言。解答結(jié)束后，教師還應(yīng)該讓學(xué)生對(duì)所解的題進(jìn)行歸納、總結(jié)。倘若學(xué)生解答錯(cuò)了，要幫助學(xué)生尋求錯(cuò)誤點(diǎn)在哪里，下次遇到此題時(shí)就知道該怎樣解答了。
總之，對(duì)于高三數(shù)學(xué)來(lái)講，除了要復(fù)習(xí)舊知識(shí)，還要不斷學(xué)習(xí)新方法，在新舊交替學(xué)習(xí)的過(guò)程中歸納、總結(jié)知識(shí)點(diǎn)，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)質(zhì)量和效率，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。不過(guò)在這過(guò)程中，除了以上所說(shuō)的幾點(diǎn)之外，教師還應(yīng)該教會(huì)學(xué)生靈活運(yùn)用各種解題方法。例如配方法、定義法、換元法、反證法等。與此同時(shí)，在用這些方法解題時(shí)還要不斷培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力，數(shù)據(jù)處理能力以及應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)等，這樣才能不斷滿(mǎn)足新課程的標(biāo)準(zhǔn)和要求。
參考文獻(xiàn)：
1.童先峰.高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課開(kāi)放性教學(xué)設(shè)計(jì)的探索與實(shí)踐[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2013（9）：6-8
在這次高考中，我的數(shù)學(xué)單科考了138分，雖然個(gè)人對(duì)結(jié)果不是很滿(mǎn)意，但是還是對(duì)得起自己高三一年來(lái)的付出，沒(méi)有辜負(fù)家長(zhǎng)與老師的期待.而今年八月，我們又將迎來(lái)新的一屆高三，迎來(lái)新的太陽(yáng).因此，我想借這個(gè)機(jī)會(huì)，和大家分享一下自己在高三一年中復(fù)習(xí)的心得與體會(huì)，希望自己的綿薄之力能幫助學(xué)弟學(xué)妹們充實(shí)而順利地度過(guò)高三，取得自己人生的輝煌.
一、善于聯(lián)想
拿到題目后的第一眼，若不能很順利地產(chǎn)生思路，就需要進(jìn)行聯(lián)想.這個(gè)聯(lián)想，可以是遷移，可以是轉(zhuǎn)化.舉一個(gè)簡(jiǎn)單的例子：設(shè)函數(shù)f（x）= 上兩點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2），若 = （ + ），且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為 ，若Sn=f（ ）+f（ ）+…+f（ ）+f（ ），求Sn.我們可以輕易地得出當(dāng)x1+x2=1時(shí)，有f（x1）+f（x2）=1，我們又看到 + =1，故f（ ）+f（ ）=1，但是前n-1項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)到底是奇數(shù)還是偶數(shù)呢？是不是還要分奇偶來(lái)討論呢？如果分奇偶討論的話(huà)，當(dāng)n-1是奇數(shù)時(shí)，那奇數(shù)項(xiàng)中的中間項(xiàng)又該如何表示呢？如果順著這條路想下去，不難發(fā)現(xiàn)，我們將陷入死胡同當(dāng)中.那么，該怎樣利用這么巧妙的條件呢？如果我們仔細(xì)回憶并展開(kāi)聯(lián)想，就會(huì)發(fā)現(xiàn)在學(xué)習(xí)數(shù)列求和的時(shí)候，推導(dǎo)前n項(xiàng)和的公式所利用的方法是倒序相加法，其中a1+an=a2+an-1=…，這不恰恰與f（ ）+f（ ）=1類(lèi)似嗎？那么如果我們將倒序相加法遷移到這道題上來(lái)，這道題目便迎刃而解了.其實(shí)這種聯(lián)想的方法不僅僅適用于數(shù)學(xué)，在其他學(xué)科的學(xué)習(xí)上，甚至于生活中，聯(lián)想也是十分重要的一種思維方式.
二、善于總結(jié)
總結(jié)方法，總結(jié)規(guī)律是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的良方.那數(shù)列求和的常用方法來(lái)舉例：倒序相加法、裂項(xiàng)相加法、錯(cuò)位相減法、累加累乘法、待定系數(shù)法等方法，很多同學(xué)把他們搞得很混亂，不知道什么情況或題型該用什么方法.其實(shí)，通過(guò)觀察與總結(jié)，我們可以大致得出下面這些較為粗略的規(guī)律：當(dāng)通項(xiàng)的表達(dá)式是一個(gè)分母為多項(xiàng)式乘積的分式時(shí)，使用的一般是裂項(xiàng)相加法；當(dāng)通項(xiàng)是等差與等比的乘積時(shí)，一般使用錯(cuò)位相減法；當(dāng)通項(xiàng)的表達(dá)式是相鄰兩項(xiàng)之間的比例關(guān)系，那么多用累乘…通過(guò)總結(jié)方法，我們可以將不同題型的解題思路熟練的掌握并熟練的運(yùn)用，做到“思路如泉涌”，一下子就能打開(kāi)思路，找到正確的解題道路.
三、善于反思與回顧
很多同學(xué)肯定聽(tīng)說(shuō)過(guò)錯(cuò)題本法，但是又覺(jué)得這個(gè)方法過(guò)時(shí)老套且耗費(fèi)大量的時(shí)間來(lái)摘擇題目，那么我便介紹一種較為“新穎”的方法：一擇二藏三瀏覽.一擇是指將自己認(rèn)為有價(jià)值的題目精選出來(lái).有些同學(xué)會(huì)將自己做錯(cuò)的題全部都摘擇出來(lái)，但是其實(shí)不需要，因?yàn)橛行╊}目可能是粗心或者不小心而做錯(cuò)的，這些題個(gè)人覺(jué)得完全沒(méi)有必要選擇出來(lái)，如果選擇出來(lái)反而可能會(huì)浪費(fèi)時(shí)間；二藏是指將其進(jìn)行標(biāo)注（覺(jué)得有必要的同學(xué)可以將他剪下來(lái)，貼在自己的數(shù)學(xué)本中，個(gè)人覺(jué)得這樣更有利于復(fù)習(xí)）；三瀏覽就是經(jīng)常回顧復(fù)習(xí)，瀏覽自己曾經(jīng)摘擇下來(lái)的題目，在此基礎(chǔ)上在反思.反思的內(nèi)容可以包括以下幾個(gè)方面：1. 當(dāng)初做這道題的思路以及正確的思路，通過(guò)這樣可以看到自己解題思路的不足或是不完善的地方，以此來(lái)完善、改進(jìn)；2. 標(biāo)注出解題步驟中的疑難點(diǎn)或是難以想到的步驟，并寫(xiě)上難以想到的原因，這樣可以加深印象；3. 方法總結(jié).很多同學(xué)的錯(cuò)題本只有題目和答案，沒(méi)有自己的思考和總結(jié)，這恰恰是不當(dāng)?shù)男袨?因?yàn)槿说挠洃浭怯羞z忘規(guī)律的（剛剛記憶完畢，100%；20分鐘，58.2%；1小時(shí)后，44.2%；8-9小時(shí)后，35.8%；1天后，33.7%；2天后，27.8%；6天后，21.1% ），如果不是印象很深刻的題目，即使有了答案，回頭看的時(shí)候也難免會(huì)生疏.這個(gè)時(shí)候，同學(xué)們可能又會(huì)拿著錯(cuò)題本去找老師，這樣便浪費(fèi)了時(shí)間.所以，我們可以在摘擇的錯(cuò)題旁邊，寫(xiě)上自己對(duì)這種解題方法的理解和認(rèn)識(shí)，如果你思考得夠深入，說(shuō)不定還能想到其他好解法呢！而且通過(guò)自己的詮釋?zhuān)梢愿玫乩斫狻⒂洃?通過(guò)這樣的復(fù)習(xí)，我們可以將自己曾經(jīng)不懂的或者自己認(rèn)為有價(jià)值的題目收入囊中，將解這道題的方法變?yōu)樽约旱摹胺▽殹?
四、善于構(gòu)造
數(shù)學(xué)是一門(mén)注重邏輯與思考的學(xué)科，它卻不死板.每一次邏輯的“轉(zhuǎn)彎”都充滿(mǎn)了美感和樂(lè)趣，這需要你細(xì)心的觀察和霎時(shí)間的靈感激發(fā)，特別是創(chuàng)造性的思維.用下面一道題目來(lái)舉例：設(shè)a1，a2，a3，…，an為互不相等的正整數(shù)，求證：a1+ + +…+ ≥1+ +…+ .初看這條題目，我們覺(jué)得無(wú)從下手，左邊的似乎可以利用錯(cuò)位相減法，但是又不知道{an}是一個(gè)什么樣的數(shù)列，而且分母也不是等比數(shù)列.而且條件十分簡(jiǎn)單，那么我們?cè)撛趺崔k呢？在腦海中似乎也沒(méi)有相關(guān)的解法能讓我們挪用，但是仔細(xì)觀察可以看到：左邊的式子若將分母全部提取出來(lái)便變成：1+ +…+ ，和右邊的1+ +…+ 十分相像，只需將左邊各項(xiàng)開(kāi)方即可，那么在我們的知識(shí)體系中，有什么是開(kāi)方的呢？這樣一聯(lián)想，我們便自然而然地想到了基本不等式.但是，若要這樣利用基本不等式，便要消掉分子上的a1，a2，…，an等數(shù)，那么該如何消掉呢？這時(shí)候，我們便想到了解基本不等式題時(shí)常用方法：乘一個(gè)數(shù)值為一的多項(xiàng)式來(lái)達(dá)到運(yùn)用基本不等式的目的.那么我們便可以如下假設(shè)：設(shè)A=a1+ + +…+ ，B= + +…+ ，則A+B=（a1+ ）+（ + ）+…+（ + ）≥2（1+ +…+ ），因?yàn)閍1，a2，…，an為互不相等的正整數(shù)，所以B≤1+ +…+ ，因此A≥1+ +…+ ，故原不等式成立.
關(guān)鍵詞：中等生；例題教學(xué)；有效性
問(wèn)題的提出
2011年有幸觀摩了一堂高三有關(guān)不等式問(wèn)題的復(fù)習(xí)課. 教師用PPT顯示一組題，讓學(xué)生分小組進(jìn)行討論，然后小組派代表來(lái)闡明解題思路，教師只略微點(diǎn)撥，最后進(jìn)行練習(xí). 整堂課學(xué)生情緒高漲，思維活躍，練習(xí)準(zhǔn)確率也很高.
引例 已知函數(shù)f（x）=8x2+16x+m（其中m∈R），g（x）=2x3+5x2+4x.
（1）對(duì)任意的x∈［-3，3］，都有f（x）≤g（x）成立，求m的取值范圍；
（2）存在x∈［-3，3］，有f（x）≤g（x）成立，求m的取值范圍；
（3）對(duì)任意的x1，x2∈［-3，3］，都有f（x1）≤g（x2）成立，求m的取值范圍；
（4）對(duì)任意的x1∈［-3，3］，存在x2∈［-3，3］，使得g（x2）=f（x1）成立，求m的取值范圍.
筆者覺(jué)得這個(gè)例題很好，將不等式中似是而非的問(wèn)題串起來(lái)了. 回校后，筆者也用了這些題和這樣的教學(xué)模式在自己的高三（3）班上進(jìn)行教學(xué)，但教學(xué)效果不盡如人意.但在高三（4）班進(jìn)行教學(xué)時(shí)，做了一些調(diào)整，收效很好，80%以上學(xué)生明白每小題之間的本質(zhì)區(qū)別與聯(lián)系.
調(diào)整后的教學(xué)過(guò)程如下：
例題中每個(gè)小題是通過(guò)PPT一個(gè)個(gè)地展現(xiàn)的，若5個(gè)小題全部顯示，會(huì)分散學(xué)生的課堂注意力. 因?yàn)轭}（1）是學(xué)生接觸較多的題型，教師讓學(xué)生自己解答，然后將題（1）的詳解展示在PPT上.
解：（1）任意的x∈［-3，3］，f（x）≤g（x）恒成立，即m≤2x3－3x2－12x在x∈［-3，3］上恒成立. 記h（x）=2x3－3x2－12x，由題知m≤hmin（x），x∈［-3，3］. 因?yàn)閔′（x）=6x2－6x－12，令h′（x）≥0，得x≥2或x≤－1，所以y=h（x）在［-3，-1］上遞增，在［-1，2］上遞減，在［2，3］上遞增.
又h（－3）=－45，h（2）=－20，
所以hmin（x）=－45，從而m≤－45.
學(xué)生進(jìn)行校對(duì)，然后教師和學(xué)生一起總結(jié)：題（1）恒成立問(wèn)題化歸為求函數(shù)的最值問(wèn)題.
展現(xiàn)題（2），留給學(xué)生思考時(shí)間，學(xué)生必會(huì)將題（1）與題（2）進(jìn)行對(duì)比思考. 學(xué)生在原有知識(shí)基礎(chǔ)上能判斷出題（2）是存在性問(wèn)題，即是不等式有解問(wèn)題，學(xué)生能做到將題（2）化歸為m≤h（x）max，x∈［-3，3］. 在題（1）基礎(chǔ)上，易知h（x）max=7，得m≤7.
展現(xiàn)題（3），留給學(xué)生思考時(shí)間. 教師引導(dǎo)學(xué)生將題（1）與題（3）進(jìn)行對(duì)比思考，學(xué)生在教師有目的的引導(dǎo)下，感受到題（1）中不等式f（x）≤g（x）兩邊的x是同時(shí)取相同的自變量的值，而題（3）中不等式f（x1）≤f（x2）兩邊的x1，x2的變化是互不影響的. 學(xué)生隨即將題（3）化歸為求使f（x1）max≤g（x2）min，x1，x2∈［-3，3］成立的m的取值范圍問(wèn)題.
解：當(dāng)x∈［-3，3］時(shí)，f（x）=8（x+1）2+m－8，則fmax（x）=120+m.
又g′（x）=6x2+10x+4，令g′（x）≥0，解得x≥－或x≤－1；
于是g（x）在［-3，-1］遞增，在－1，－遞減，在－，3遞增；
又g（－3）=－21，g－=，
故gmin（x）=－21. 由題知，只需120+m≤－21，得m≤－141.
?搖?搖展現(xiàn)題（4），留給學(xué)生思考時(shí)間，在題（3）的基礎(chǔ)上，學(xué)生明白等式g（x2）=f（x1）兩邊的x1，x2的變化是互不影響.筆者觀察學(xué)情后，讓數(shù)學(xué)基礎(chǔ)好的學(xué)生來(lái)說(shuō)明解決此題的關(guān)鍵在于如何理解任意的x1∈［-3，3］，存在x2∈［-3，3］這兩個(gè)條件在題中的作用，只要f（x）的值域包含于g（x）的值域即可. 教師將學(xué)生的表述潤(rùn)色為，此問(wèn)題可化歸為f（x）的值域是g（x）的值域的子集.在題（3）的基礎(chǔ)上可得f（x）∈［m－8，120+m］， g（x）∈［－21， 111］，于是只需m－8≥－21，120+m≤111，解得－13≤m≤－9.
教師運(yùn)用相同的例子對(duì)兩個(gè)同等水平的班級(jí)采取了不同的教學(xué)方式，得到了不同的教學(xué)效果，為什么會(huì)這樣？究其原因，問(wèn)題的關(guān)鍵在于例題的后一種教學(xué)方式更適合本校學(xué)生的學(xué)情. 心理學(xué)家維果茨基關(guān)于“最近發(fā)展區(qū)”的理論認(rèn)為，學(xué)生有兩種發(fā)展水平：一種是現(xiàn)有發(fā)展水平，即已經(jīng)達(dá)到的發(fā)展水平；另一種是潛在發(fā)展水平，即可能達(dá)到的發(fā)展水平，主要包含在教師指導(dǎo)下，通過(guò)自己的努力才能完成的智力任務(wù). 原單位生源好，教師在平時(shí)的教學(xué)中也常強(qiáng)調(diào)這種解題方式，學(xué)生對(duì)問(wèn)題的分析、對(duì)比和轉(zhuǎn)化能力強(qiáng). 經(jīng)過(guò)學(xué)生相互之間的討論，絕大多數(shù)學(xué)生對(duì)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)能夠更上一層樓. 而高三（3）班學(xué)生數(shù)學(xué)水平中等，這些問(wèn)題本來(lái)就不是很清楚，堆在一起就更暈了，題組所需要的數(shù)學(xué)思維和能力已經(jīng)超過(guò)了（3）班學(xué)生的“現(xiàn)有發(fā)展水平”，不能把學(xué)生的潛在發(fā)展水平進(jìn)行開(kāi)發(fā)，因此筆者的點(diǎn)撥只對(duì)部分學(xué)生起了作用，導(dǎo)致小組討論失敗了. 而在高三（4）班的例題教學(xué)很好地運(yùn)用了“最近發(fā)展區(qū)”理論，筆者從學(xué)生熟悉的知識(shí)出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生層層轉(zhuǎn)化.通過(guò)題與題之間的對(duì)比，讓學(xué)生認(rèn)清了題與題之間的區(qū)別與聯(lián)系，使學(xué)生更好地將其內(nèi)化成自己的知識(shí). 筆者成功地將學(xué)生的現(xiàn)有發(fā)展水平不斷向前推進(jìn)，激發(fā)了學(xué)生的潛在發(fā)展水平.
高三的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)往往是圍繞著例題教學(xué)展開(kāi)的，例題教學(xué)在于精，不在于多. 美國(guó)著名的教學(xué)設(shè)計(jì)研究專(zhuān)家馬杰（R.Mager）指出，教學(xué)設(shè)計(jì)依次由三個(gè)基本問(wèn)題組成：首先是“去哪里”，即教學(xué)目標(biāo)的制訂；接著是“如何去那里”，包括學(xué)習(xí)者起始狀態(tài)的分析、教學(xué)內(nèi)容的分析與組織、教學(xué)方法與媒介的選擇；最后是“如何判斷已經(jīng)到達(dá)了那里”，即教學(xué)評(píng)價(jià). 也就是說(shuō)，教學(xué)設(shè)計(jì)首先要解決的是“去哪里”即“教什么”的問(wèn)題，也就是教學(xué)目標(biāo)的定位；其次是“怎么教”，即方法和策略的問(wèn)題. 因此，例題教學(xué)是否科學(xué)，是否合情合理，直接關(guān)系著高考目標(biāo)實(shí)現(xiàn)的高低.
以中等水平為本的例題選編策略
1. 研究教材，嚴(yán)格以綱為綱，不超綱
教學(xué)有效的一個(gè)有效檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)是考試分?jǐn)?shù)的高低. 近幾年來(lái)高考試題穩(wěn)中求新，穩(wěn)中求變，個(gè)別試題的靈活度有所加大，但從未超綱. 萬(wàn)變不離其宗，其所考查的內(nèi)容和范圍都以《考綱》為憑，其考查的要求和說(shuō)明都是以《考試說(shuō)明》為依據(jù)的. 《考試說(shuō)明》是由國(guó)家教委考試中心頒發(fā)的高考法定性文件，規(guī)定了考試性質(zhì)、內(nèi)容、形式等，特別是明確指出了考試內(nèi)容和考試要求，也就是說(shuō)要考的知識(shí)點(diǎn)及各知識(shí)點(diǎn)要考到什么程度均有明確規(guī)定. 現(xiàn)在不少學(xué)校的數(shù)學(xué)教師在高二期末會(huì)選擇一本高三復(fù)習(xí)用書(shū)，到高三復(fù)習(xí)階段就以這本輔導(dǎo)書(shū)為數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的主要教材，表面上復(fù)習(xí)得很到位了，卻不知犯了以偏概全的毛病. 原因主要有兩個(gè)：①每本教輔書(shū)的編寫(xiě)者往往是以他自己的觀點(diǎn)來(lái)編寫(xiě)參考書(shū)的，存在片面性. 有的教輔書(shū)更甚至于翻印了前幾年參考書(shū)或其他出版社的參考書(shū)的部分內(nèi)容，也不管是否超出本省的《考綱》和《考試說(shuō)明》的范圍. ②為了對(duì)每一個(gè)孩子公平，每年各省出高考的專(zhuān)家們都是以高中課本、《考綱》和《考試說(shuō)明》為參考書(shū)進(jìn)行高考試題的編寫(xiě). 因此教師應(yīng)以課本為本，以《考綱》和《考試說(shuō)明》為依據(jù)，在備課前應(yīng)該認(rèn)真研讀《考試說(shuō)明》和《考綱》對(duì)數(shù)學(xué)每一章節(jié)的要求和整體要求，明確“考什么”“考多難”“怎么考”；也要學(xué)會(huì)借鑒當(dāng)年各地各校編寫(xiě)的教輔資料，集眾家之力量， 結(jié)合自己學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，缺什么就補(bǔ)什么，缺多少就補(bǔ)多少，進(jìn)而確定“選編什么例題”，使其對(duì)中等生的高考更加有效.
2. 研究高考
仔細(xì)推敲近幾年，特別是近三年的高考試題的命題特點(diǎn)，熟悉高考試題的題型和要求，明確高考試題形式、題型分布、知識(shí)點(diǎn)的覆蓋規(guī)律、每年高考試題的創(chuàng)新亮點(diǎn)、思想方法考查的切入點(diǎn)、能力考查的力度等，對(duì)了解高考命題方向、把握高三復(fù)習(xí)方向有很好的指導(dǎo)作用. 例如2009年之前，全國(guó)有關(guān)函數(shù)高考?jí)狠S題常考求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，或用函數(shù)的單調(diào)性解參等. 而2009年浙江高考命題組突破常規(guī)，考查了函數(shù)在區(qū)間上的不單調(diào)問(wèn)題. 有些學(xué)校這一題的得分情況很好，一方面反映了該校學(xué)生靈活的解題能力，另一方面也反映了該校的教師很好地在研究各地的有關(guān)函數(shù)高考題的情況，并在2009年高考復(fù)習(xí)時(shí)已經(jīng)選編過(guò)這類(lèi)題型. 又如2010年浙江數(shù)學(xué)高考理21題與2006年湖北數(shù)學(xué)高考理21題是驚人的相似，浙江卷命題組教師在湖北卷基礎(chǔ)上，結(jié)合本省的《考試說(shuō)明》推陳出新. 因此，教師應(yīng)通過(guò)研究高考，幫助中等水平的學(xué)生能攻克80%左右的經(jīng)典題和重點(diǎn)題，幫助他們反復(fù)對(duì)比，并將其內(nèi)化成自己的知識(shí).
3. 研究學(xué)生
例題教學(xué)的起點(diǎn)是學(xué)生的學(xué)情現(xiàn)狀. 筆者執(zhí)教學(xué)校學(xué)生的總體水平在杭州屬中等，近幾年該校的數(shù)學(xué)理科高考平均分約在108左右. 每年浙江省高考卷常考常新，背景新穎、設(shè)問(wèn)創(chuàng)新，但絕大多數(shù)試題，至少80%，新中見(jiàn)舊，屬于舊題翻新，形變質(zhì)不變；而真正意義上的創(chuàng)新試題不足20％. 而該學(xué)校的主要目標(biāo)是使學(xué)生能很好地答完高考試卷的80%，剩下的部分盡可能多拿分.中等學(xué)生的思維特點(diǎn)主要有：（1）對(duì)公式的理解片面，顧此失彼. （2）運(yùn)算過(guò)程中，觀察對(duì)象不仔細(xì). （3）思考問(wèn)題時(shí)，忽視問(wèn)題的特殊性. （4）面對(duì)多種情況，忽視分類(lèi)討論. （5）解決問(wèn)題時(shí)，用特殊代替一般. （6）面對(duì)隱蔽問(wèn)題，不會(huì)挖掘隱含條件. （7）缺乏逆向思維，考慮不周全. （8）思維不嚴(yán)謹(jǐn)，解題粗心馬虎. （9）概括能力差，缺少反思和歸納. （10）對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)學(xué)本質(zhì)認(rèn)識(shí)不足. 通過(guò)幾屆高三教學(xué)，筆者一直在思考一個(gè)問(wèn)題：如何對(duì)中等生進(jìn)行有效的例題教學(xué)，使其更靈活地應(yīng)用于高考？
以中等生為本的課堂教學(xué)策略
任何一名學(xué)生都是喜歡思考問(wèn)題的.中等生已經(jīng)掌握了較多的解題方法，其不能靈活地應(yīng)用或掌握的知識(shí)是支離破碎的，當(dāng)教師點(diǎn)明題意或引導(dǎo)思考時(shí)，中等生能從學(xué)過(guò)的知識(shí)中找出解題的方法. 教師對(duì)例題教學(xué)想說(shuō)明什么問(wèn)題，學(xué)生會(huì)在例題求解中出現(xiàn)怎樣的狀況，教師應(yīng)該用怎樣的問(wèn)題引起他們的思維，教師要有一個(gè)預(yù)見(jiàn)性的診斷. 教師應(yīng)針對(duì)學(xué)生的理解困難，以知識(shí)的“再發(fā)現(xiàn)”為線(xiàn)索，預(yù)設(shè)置一些好的“腳手架”，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考和探索，建構(gòu)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程. 讓學(xué)生在這個(gè)情景中去體驗(yàn)、思考數(shù)學(xué)問(wèn)題，去感受挑戰(zhàn)困難、戰(zhàn)勝困難的愉悅. 如果教師只是自己理解了知識(shí)，卻不知道以什么方式將這種理解傳達(dá)給學(xué)生，那么知識(shí)就只是不可言傳的“個(gè)人特技”. 因此要開(kāi)展有針對(duì)性的課堂教學(xué)模式，力求逐個(gè)突破.
1. 淡化形式，尋求本質(zhì)，突破難點(diǎn)
數(shù)學(xué)問(wèn)題千變?nèi)f化，例題教學(xué)歸根到底是為了提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，是為了培養(yǎng)學(xué)生能較為迅速地尋求和發(fā)現(xiàn)走哪條路達(dá)到目標(biāo)可能是最近的意識(shí)和能力. 尋到問(wèn)題的本質(zhì)，復(fù)雜問(wèn)題總是由簡(jiǎn)單問(wèn)題組成的. 在例題教學(xué)時(shí)，要注意引導(dǎo)學(xué)生想想它的簡(jiǎn)單情形，可以考慮或轉(zhuǎn)化成熟悉的等價(jià)命題，或主動(dòng)元與被動(dòng)元互換等，從而把較復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題. 這樣就能以解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題作為跳板，從中尋找方法或受到啟發(fā)，再“進(jìn)”到復(fù)雜問(wèn)題.正如數(shù)學(xué)家華羅庚所說(shuō)：善于“退”，足夠地“退”，“退”到最原始而不失重要性的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竅. 在這一“退”一“進(jìn)”之間，挖掘問(wèn)題的本質(zhì).
例1 （2008年浙江理10）如圖1，AB是平面α的斜線(xiàn)段，A為斜足，若點(diǎn)P在平面α內(nèi)運(yùn)動(dòng)，使得ABP的面積為定值，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是（ ）
A． 圓 B． 橢圓?搖
C． 一條直線(xiàn)?搖?搖 D． 兩條平行直線(xiàn)
圖1
例2 （2010年浙江理22題）已知a是給定的實(shí)常數(shù)，設(shè)函數(shù)f（x）=（x－a）2（x+b）ex，b∈R，x=a是f（x）的一個(gè)極大值點(diǎn)．（Ⅰ）求b的取值范圍；（Ⅱ）略.
例3 （2009年浙江文21）已知函數(shù)f（x）=x3+（1－a）x2－a（a+2）x+b（a，b∈R）.
（Ⅰ）略；（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（－1，1）上不單調(diào)，求a的取值范圍.
針對(duì)中等生的思維特點(diǎn)：對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)學(xué)本質(zhì)認(rèn)識(shí)不足；缺乏逆向思維，考慮不周全等，設(shè)計(jì)了以上例題. 通過(guò)例1，教師傳授一種解題思路：通過(guò)主動(dòng)元與被動(dòng)元互換，將主動(dòng)元點(diǎn)P在被動(dòng)元平面α上形成的軌跡轉(zhuǎn)換成被動(dòng)元平面α截以AB為旋轉(zhuǎn)軸，主動(dòng)元點(diǎn)P到直線(xiàn)AB距離為半徑的圓柱體形成的軌跡，抓住了問(wèn)題的本質(zhì)，簡(jiǎn)化了形式. 教師也適時(shí)指出該問(wèn)題的知識(shí)來(lái)源于課本（選修2-1）P42探究與發(fā)現(xiàn)（為什么截口曲線(xiàn)是橢圓），讓學(xué)生明白高考既源于課本，又略高于課本. 利用例2的教學(xué)，教師讓學(xué)生體會(huì)到，面對(duì)題型熟悉而常規(guī)求解無(wú)法進(jìn)行時(shí)，可以通過(guò)等價(jià)條件將問(wèn)題轉(zhuǎn)化，即“x=a是f（x）的一個(gè)極大值點(diǎn)”等價(jià)于“x=a處左邊附近f（x）單調(diào)遞增，右邊附近單調(diào)遞減”，或等價(jià)于“y=f′（x）在x=a處左邊附近函數(shù)值為正，右邊附近函數(shù)值為負(fù)”，或等價(jià)于“方程f′（x）=0根的分布問(wèn)題”，即“方程［x2+（3－a+b）x+2b－ab－a］=0有兩個(gè)實(shí)根，一個(gè)大于a，另一個(gè)小于a”. 當(dāng)然，中等生對(duì)f（x）=（x－a）2（x+b）ex的求導(dǎo)往往是將其先展開(kāi)成多項(xiàng)式和再求導(dǎo)，使得整個(gè)解題后續(xù)工作無(wú)法進(jìn)行. 此時(shí)教師需要引導(dǎo)，并展現(xiàn)整個(gè)解題過(guò)程以便中等生能理解和掌握. 利用例3的教學(xué)，教師引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)正難則反的思維方法.要求解原問(wèn)題，可以通過(guò)反面“函數(shù)f（x）在區(qū)間（－1，1）上單調(diào)”來(lái)解決，即等價(jià)于“方程f′（x）=0至多有1個(gè)實(shí)根”. 教師適時(shí)指出這三道題在當(dāng)年高考時(shí)學(xué)生的得分都很低，其實(shí)如果我們學(xué)會(huì)抓住問(wèn)題的本質(zhì)，難題也變可解題、容易題. 這種題型的教學(xué)可以鼓舞中等生的士氣，激發(fā)學(xué)生的興趣.
2. 例題呈現(xiàn)方式，突破知識(shí)零散性
高二結(jié)束，學(xué)生已經(jīng)學(xué)完了考綱中規(guī)定的高中全部數(shù)學(xué)課程，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念、定理、公式、基本數(shù)學(xué)方法已較好地掌握，但較分散. 針對(duì)學(xué)生存在的思維特點(diǎn)，要想在有限的時(shí)間內(nèi)進(jìn)行有效的復(fù)習(xí)，教師要幫助學(xué)生對(duì)已掌握的零碎的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行歸類(lèi)、整理、加工，使之規(guī)律化、網(wǎng)絡(luò)化；對(duì)知識(shí)點(diǎn)、考點(diǎn)、熱點(diǎn)進(jìn)行思考、總結(jié)、處理，使學(xué)生掌握的知識(shí)更為扎實(shí)、更為系統(tǒng)，讓學(xué)生更具有實(shí)際應(yīng)用的本領(lǐng)，更具有分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力. 同時(shí)將學(xué)生獲得的知識(shí)轉(zhuǎn)化成為能力，從而使學(xué)生做到：總復(fù)習(xí)全面化，普通的知識(shí)規(guī)律化，零碎的知識(shí)系統(tǒng)化. 教師在例題教學(xué)中可以常用題組教學(xué)、變式教學(xué)、知識(shí)交匯點(diǎn)教學(xué)、專(zhuān)題教學(xué)等形式，將知識(shí)進(jìn)行有機(jī)的整合，逐漸完善中等學(xué)生的思維.
（1）題組教學(xué)
教師選擇題組進(jìn)行有效教學(xué)，能讓學(xué)生真正弄懂形同質(zhì)異或形異質(zhì)同題的求解問(wèn)題，改善中等生思維上的不足，如概括能力差，缺少反思和歸納；思考問(wèn)題時(shí)，忽視問(wèn)題的特殊性；對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)學(xué)本質(zhì)認(rèn)識(shí)不足；面對(duì)隱蔽問(wèn)題，不會(huì)挖掘隱含條件等. 如引例中的幾個(gè)小題，這類(lèi)函數(shù)問(wèn)題是常考常錯(cuò)，在高一、高二的教學(xué)中，很多時(shí)候都是分開(kāi)教學(xué)，學(xué)生并沒(méi)有真正理解這一類(lèi)題目. 在高三教學(xué)中，將這幾個(gè)題有效地組織在一起教學(xué)，可以提高中等生的分析概括能力. 求參問(wèn)題也是中等生很頭痛的問(wèn)題，如下例.
例4 1. 已知方程2sin2x－cosx－a=0有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
2. 已知函數(shù)f（x）=（a∈R），在x∈（－∞，1）時(shí)，f（x）有意義，求實(shí)數(shù)a的范圍.
3. 已知函數(shù)f（x）=lg（a－ax－x2），若f（x）>0的解集為（2，3），試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
教師利用例4題組對(duì)比教學(xué)，讓學(xué)生明白：第一，無(wú)論是在閉區(qū)間上方程的有實(shí)根問(wèn)題來(lái)求參數(shù)還是不等式恒成立來(lái)求參數(shù)，往往都可用分離變量法將其轉(zhuǎn)化成兩函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題；第二，不等式的解集問(wèn)題本質(zhì)上是方程的根的問(wèn)題，只要通過(guò)代入根就可求解參數(shù).通過(guò)這類(lèi)問(wèn)題的集中教學(xué)，可以使學(xué)生認(rèn)清問(wèn)題的本質(zhì). 當(dāng)然，教師也要強(qiáng)調(diào)，題中涉及換元時(shí)要注意新元范圍的變化，以改善中等生思維不嚴(yán)謹(jǐn)性.
再如在導(dǎo)數(shù)概念及其幾何意義的復(fù)習(xí)課中，數(shù)學(xué)《大綱》要求：理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義. 根據(jù)高二時(shí)學(xué)生在這個(gè)知識(shí)點(diǎn)上常見(jiàn)的錯(cuò)誤，筆者為學(xué)生選編以下例題.
例5 曲線(xiàn)y=4x－x3在點(diǎn)（－1，3）處的切線(xiàn)方程是________.
課堂練習(xí)：1. 直線(xiàn)y=x+b是曲線(xiàn)y=lnx的一條切線(xiàn)，則實(shí)數(shù)b=________.
2. 過(guò)原點(diǎn)作曲線(xiàn)y=ex的切線(xiàn)，則切線(xiàn)的斜率是________.
3. 已知曲線(xiàn)y=x3+，則過(guò)點(diǎn)P（2，4）的切線(xiàn)方程為_(kāi)_______.
通過(guò)例題和課堂練習(xí)讓學(xué)生理解：1. 在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義為過(guò)該點(diǎn)的切線(xiàn)的斜率；2. “在某點(diǎn)處的切線(xiàn)”與“過(guò)某點(diǎn)的切線(xiàn)”是不同的概念，“在某點(diǎn)處的切線(xiàn)”中的點(diǎn)就是切點(diǎn)，“過(guò)某點(diǎn)的切線(xiàn)”的點(diǎn)并不一定是切點(diǎn).
（2）變式教學(xué)
變式教學(xué)作為一種傳統(tǒng)的、典型的數(shù)學(xué)教學(xué)方式，不僅有著廣泛的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，而且還具有很好的實(shí)踐性. 在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)中，選擇變式教學(xué)，也是必需的. 教師通過(guò)變式教學(xué)，有意識(shí)地把教學(xué)過(guò)程轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生的思維過(guò)程，讓學(xué)生多角度地理解數(shù)學(xué)定義、定理、公式，進(jìn)而提高學(xué)生獨(dú)立分析和解決問(wèn)題的能力.
如均值不等式≥（x，y∈R+，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，“=”成立）是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn).但學(xué)生在使用時(shí)，很容易疏忽定理使用的條件，一正二定三相等. 為了讓學(xué)生更好地鞏固知識(shí)，筆者以課本（必修5）P114練習(xí)1為原題設(shè)計(jì)了以下變式教學(xué)：
例6 已知x>0，當(dāng)x取何值時(shí)，y=x+有最小值？最小值是什么？
變式1：當(dāng)x∈R時(shí)，函數(shù)y=x+是否有最小值？
變式2：已知x>5，求f（x）=4x+的最小值.
變式3：當(dāng)x≥2時(shí)，y=x+的最小值是2嗎？
通過(guò)例5的變式教學(xué)，一方面鞏固了學(xué)生對(duì)均值不等式使用條件的掌握；另一方面，教師從圖象向?qū)W生說(shuō)明為什么要有這樣三個(gè)條件，因而加深了中等生對(duì)定理的理解.
又如數(shù)列是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要知識(shí)，但也是令中等生頭痛的問(wèn)題，特別是通過(guò)遞推數(shù)列求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而研究數(shù)列性質(zhì).筆者以課本（必修5）P35例題為原題設(shè)計(jì)了以下變式教學(xué)：
例7 已知數(shù)列｛an｝滿(mǎn)足a1=1，an=2an-1+1（n>1），求an.
變式1：已知數(shù)列｛an｝滿(mǎn)足a1=1，an+1=an+n（n∈N*），求an.
變式2：已知數(shù)列｛an｝滿(mǎn)足a1=1，an+1=an+2n-1（n∈N*），求an.
變式3：已知數(shù)列｛an｝滿(mǎn)足a1=1，an+1=2an+2n-1（n∈N*），求an.
變式4：已知數(shù)列｛an｝滿(mǎn)足a1=1，an+1=（n∈N*），求an.
變式5：已知數(shù)列｛an｝滿(mǎn)足a1=1，an+1=an（n∈N*），求an.
通過(guò)以上變式教學(xué)，歸納出數(shù)列中利用遞推關(guān)系式求數(shù)列通項(xiàng)這一類(lèi)題型的常見(jiàn)用法，如疊加、疊乘、迭代等方法，將其化歸成等差、等比數(shù)列來(lái)解決，提高中等生對(duì)問(wèn)題的化歸能力及對(duì)不同條件下數(shù)列問(wèn)題的處理方法. 中等生在處理有多少項(xiàng)或者是否從第一項(xiàng)開(kāi)始就滿(mǎn)足求解出來(lái)的通項(xiàng)公式這些問(wèn)題上往往會(huì)考慮不全，因此教師要在解題過(guò)程中一步步講解清楚，如何確定項(xiàng)數(shù)或通項(xiàng)公式. 如在完成變式5后，筆者將變式5中條件“an+1=an”改成“an+1=an”，再讓學(xué)生進(jìn)行解答.
（3）知識(shí)交匯點(diǎn)教學(xué)
全國(guó)各地的高考總會(huì)在知識(shí)交匯點(diǎn)出題，這勢(shì)必要求學(xué)生能從知識(shí)交匯點(diǎn)處抓出主干條件，進(jìn)行有效解剖. 但中等生在這方面能力都較弱，因?yàn)檫@不光需要學(xué)生對(duì)每一章節(jié)知識(shí)的熟練掌握，而且還需要學(xué)生有很強(qiáng)的綜合處理問(wèn)題能力. 其實(shí)知識(shí)點(diǎn)交匯題型中，不少題目中某個(gè)知識(shí)點(diǎn)只是一個(gè)點(diǎn)綴，這需要教師在教學(xué)中有效培養(yǎng)和訓(xùn)練學(xué)生抓“點(diǎn)綴”的本領(lǐng). 如圓錐曲線(xiàn)綜合題是高考命題的重點(diǎn)內(nèi)容之一，也是考生普遍感到困難的一種題型. 圓錐曲線(xiàn)與向量、圓錐曲線(xiàn)與圓、圓錐曲線(xiàn)與平面幾何、圓錐曲線(xiàn)與數(shù)列等知識(shí)的交匯，只要挖掘下去，去掉枝葉大多都轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)的方程的根的問(wèn)題，或坐標(biāo)關(guān)系問(wèn)題. 當(dāng)然這類(lèi)題型計(jì)算量很大，針對(duì)中等生的計(jì)算能力弱的特點(diǎn)，課堂上應(yīng)挪出更多的時(shí)間讓學(xué)生來(lái)進(jìn)行演算，提高學(xué)生的計(jì)算能力和體驗(yàn)知識(shí)交匯題的不可怕，并感受綜合題的解題方向往往會(huì)在計(jì)算的過(guò)程中豁然開(kāi)朗，領(lǐng)悟教師歸納出的結(jié)論.
例8 （2010浙江理21）已知m＞1，直線(xiàn)l：x－my－=0，橢圓C：+y2=1，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn).
（Ⅰ）當(dāng)直線(xiàn)l過(guò)右焦點(diǎn)F時(shí)，求直線(xiàn)l的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，AF1F2，BF1F2的重心分別為G，H. 若原點(diǎn)O在以線(xiàn)段GH為直徑的圓內(nèi)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
此題考查橢圓的幾何性質(zhì)與方程，直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系. 問(wèn)題的突破需要借助于兩個(gè)三角形中涉及的重心，需要學(xué)生用數(shù)形結(jié)合的思想把重心轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)式滿(mǎn)足x=，y=，把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)坐標(biāo)運(yùn)算． 教師指出點(diǎn)在圓內(nèi)除了利用點(diǎn)到圓心的距離小于半徑外，還可利用點(diǎn)在圓內(nèi)側(cè)點(diǎn)與直徑端點(diǎn)所成的角∠GOH為鈍角，而鈍角則可轉(zhuǎn)化為向量?
練習(xí)：（2010年北京理19）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B與A（－1，1）關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，P是動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)AP與直線(xiàn)BP斜率之積等于－.
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)AP與BP分別與直線(xiàn)x=3交于點(diǎn)M，N. 問(wèn)：是否存在點(diǎn)P使得PAB與PMN的面積相等？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
通過(guò)以上練習(xí)，加強(qiáng)學(xué)生處理綜合問(wèn)題的能力，增強(qiáng)中等生的信心. 當(dāng)然教師也要通過(guò)問(wèn)題1中
“?=－”與“x2+3y2=4”的區(qū)別，改善中等生考慮問(wèn)題的馬虎性.
（4）專(zhuān)題教學(xué)
在高三第二輪復(fù)習(xí)時(shí)，對(duì)于一些高考中的重難點(diǎn)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法等，教師要針對(duì)中等生的特點(diǎn)，應(yīng)用專(zhuān)題教學(xué)方式，對(duì)中等生掌握的知識(shí)再次進(jìn)行有效整合和提升. 如在立體幾何教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)正方體用處非常大，為此在第二輪復(fù)習(xí)時(shí)設(shè)計(jì)了一節(jié)“構(gòu)建正方體解題”專(zhuān)題課.
案例：“構(gòu)建正方體解題”專(zhuān)題課
1. 正四面體與正方體
例1 在棱長(zhǎng)為1正四面體ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，試求CE與平面BCD所成的角得余弦值．
2. 正方體與球
例2 （2008浙江理14）如圖2，已知球O的面上四點(diǎn)A，B，C，D，DA平面ABC，ABBC，DA=AB=BC=，則球O的體積等于________．?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖
圖2?搖
3. 正方體與不規(guī)則圖形
例3 （2007浙江理19）在圖3所示的幾何體中，EA平面ABC，DB平面ABC，ACBC，且AC=BC=BD=2AE，M是AB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：CMEM；
（Ⅱ）求CM與平面CDE所成的角．
圖3
作業(yè)：1. 如圖4，正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為1，棱AB∥平面α，則正四面體上的所有點(diǎn)在平面α內(nèi)的射影構(gòu)成的圖形面積的取值范圍是________.
2.平面四邊形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=，BDCD將其沿對(duì)角線(xiàn)BD折成四面體A′－BCD，使平面A'BD平面BCD. 四面體A′－BCD頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為_(kāi)_______.
3.如圖5，ABCD為矩形，AD平面ABE，AE=EB=BC=2，F(xiàn)為CE上的點(diǎn)，且BF平面ACE.
（1）求證：AE∥平面BFD；
（2）求證：AE平面BCE；
（3）求平面BDF與平面ABE的交線(xiàn)，并求平面BDF與平面ABE所成的二面角正弦值.
教師對(duì)“構(gòu)建正方體解題”進(jìn)行專(zhuān)題設(shè)計(jì)，從另一視角向中等生傳授了求解這類(lèi)問(wèn)題的方法. 浙江卷的試題分布情況，立體幾何占19分左右，其中一道14分的題布置在第二或第三解答題處，前三道解答題的得分情況直接影響中等生數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)的高低及考試心態(tài). 中等生在立體幾何解答題中往往會(huì)出現(xiàn)以下三種情況：1. 表述不完整；2. 立體幾何的定理、公理等的條件結(jié)論搞混或亂用；3. 方法沒(méi)有掌握或掌握單一，不能靈活應(yīng)用. 所以在立體幾何題的證明時(shí)，教師應(yīng)將例題詳解展示在黑板上，提煉思路、常見(jiàn)解題方法及敘述定理，起一個(gè)良好的示范性作用.
當(dāng)然，為了使例題教學(xué)更有效，還要選配“合身”的練習(xí). 做到：每天反饋性練習(xí)保證及時(shí)、每周鞏固性練習(xí)保證系統(tǒng)、每階段綜合性練習(xí)保證滾動(dòng)和模擬性練習(xí)保證全面，對(duì)學(xué)生易錯(cuò)易混的地方，教師要有意識(shí)地多次重復(fù)，反復(fù)強(qiáng)調(diào).
3. 突出學(xué)生主體地位，處理好“扶”、“放”、“收”三者關(guān)系
關(guān)鍵詞： 情境式設(shè)問(wèn)；啟發(fā)式設(shè)問(wèn)；探究式設(shè)問(wèn)；高效課堂；反思
《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出：“教師應(yīng)向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)，幫助他們?cè)谧灾魈剿骱秃献鲗?duì)話(huà)的過(guò)程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。”為了避免出現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)中“只學(xué)其形不見(jiàn)其神”的“偽數(shù)學(xué)問(wèn)題”，我在2012年3月23日長(zhǎng)郡中學(xué)面對(duì)全省開(kāi)放的骨干教師高效課堂探究課上，以數(shù)列與函數(shù)為題，做了一個(gè)嘗試，考慮到學(xué)生函數(shù)和數(shù)列知識(shí)的一輪復(fù)習(xí)已經(jīng)結(jié)束，因此設(shè)計(jì)這節(jié)課的著力點(diǎn)放在函數(shù)與數(shù)列的交匯及函數(shù)思想的運(yùn)用上，充分利用學(xué)生已形成的知識(shí)體系，通過(guò)運(yùn)用知識(shí)解決綜合問(wèn)題產(chǎn)生的矛盾沖突中激發(fā)學(xué)生的探究熱情，最終形成用思想指導(dǎo)方法的思維習(xí)慣，從而實(shí)現(xiàn)由有效課堂到高效課堂的轉(zhuǎn)變，現(xiàn)將本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)與反思呈現(xiàn)如下，以期與同仁交流。
一、教學(xué)實(shí)錄（片段）
課堂引入：請(qǐng)簡(jiǎn)單概述數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系。
生：數(shù)列是一種特殊函數(shù)，是刻畫(huà)離散過(guò)程的重要數(shù)學(xué)模型。
師：數(shù)列的定義域是什么？
生：正整數(shù)集或它的子集。
師：它的圖象有什么特點(diǎn)？
生：是一系列孤立的點(diǎn)。
師：我們可以把研究函數(shù)的方法遷移到數(shù)列中來(lái)嗎？
生：可以，但同時(shí)要注意數(shù)列本身離散的特征。
案例1. 已知數(shù)列{an}通項(xiàng)公式an=-n2+kn+2，若對(duì)n∈N*，an+1
A.k
C.k>-2 D.k>-3
生1： f（n）=-n2+kn+2（n∈N*）？圯f'（n）=-2n+k≤0？圯k≤2
發(fā)現(xiàn)沒(méi)有答案，感到困惑（同學(xué)們?cè)谒伎迹蠋煵患庇诒響B(tài)）
（約一分鐘有同學(xué)舉手）
2
師：羅佳偉同學(xué)利用數(shù)列單調(diào)性定義實(shí)施了參變量分離，使問(wèn)題得到輕松解決，同時(shí)他還對(duì)劉天蓉同學(xué)的錯(cuò)誤給出了剖析，很好。（鼓勵(lì)其他同學(xué)積極思考，并未馬上對(duì)生1的方法做出結(jié)論。馬上又有同學(xué)舉手）
師：任曉昀同學(xué)透過(guò)函數(shù)看問(wèn)題，并借助函數(shù)圖象，以形助數(shù)，很好。
至此，我們可以判斷，生1的做法僅僅是找到了問(wèn)題的充分不必要條件，所以得到的范圍是B的子集。
師：利用導(dǎo)數(shù)法研究數(shù)列的最值問(wèn)題，從運(yùn)動(dòng)變化中認(rèn)識(shí)數(shù)列，再一次凸顯了數(shù)列的函數(shù)背景。
師：我們先來(lái)復(fù)習(xí)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式（因?yàn)閍n與sn的關(guān)系是數(shù)列的重要知識(shí)內(nèi)容，應(yīng)引起高度重視）
師：公差不為0的等差數(shù)列通項(xiàng)是n的一次函數(shù)，前n項(xiàng)和數(shù)是n的二次函數(shù)，且不含常數(shù)項(xiàng)，已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn能否求出數(shù)列通項(xiàng)an？
師：用性質(zhì)解題是技巧，用an與Sn的關(guān)系求解是通法。
變式二：等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1>0，若存在自然數(shù)P≥10，使得Sp=ap，則當(dāng)n>p時(shí)，Sn與an的大小關(guān)系是（ ）
A. an≥Sn B. an>Sn
C. an≤Sn D. an
有了前面的熱身，此題給學(xué)生足夠時(shí)間思考討論，完全放開(kāi)，學(xué)生思維開(kāi)始活躍。經(jīng)過(guò)共同討論，形成四種方案：
畫(huà)出Sn的草圖，是開(kāi)口朝下，零點(diǎn)為x1=0，x2=p-1的拋物線(xiàn)。
當(dāng)n>P>P-1時(shí)，Sn遞減， Sn-1
師：比較四種解法，我們不僅要會(huì)算，還要會(huì)簡(jiǎn)算。生8用到數(shù)形結(jié)合的思想，使抽象的問(wèn)題直觀化，圖形要求準(zhǔn)確，只憑主觀想象，則會(huì)造成錯(cuò)解。
案例3. 已知函數(shù)f（x）=2x-1（x≤0）f（x-1）+1（x>0）把函數(shù)g（x）=f（x）-x的零點(diǎn)按從小到大排成一個(gè)數(shù)列{an}，則它的通項(xiàng)公式為
（ ）
解析：x≤0時(shí)，g（x）=f（x）-x的零點(diǎn)只有一個(gè)x=0a1=0。
x>0時(shí)，函數(shù)值呈現(xiàn)重復(fù)出現(xiàn)的形式，每次推進(jìn)一個(gè)單位，所以一段一段討論0
1=2x-1。
此時(shí)g（x）=f（x）-x的零點(diǎn)即2x-1=x的解，觀察得x=1a2=1，排除B、D。1
f（x-2）+2=2x-2+1，此時(shí)g（x）=f（x）-x的零點(diǎn)即2x-2+1=x的解，觀察得x=2a3=2，排除A。
師：此題由特殊到一般進(jìn)行歸納猜想，步步為營(yíng)。歸納猜想是解決數(shù)列問(wèn)題的一種重要的方法，應(yīng)當(dāng)引起重視。
生9：可否用放縮法？
對(duì)一切正整數(shù)n都能成立，所以a的最小正整數(shù)的值為2013。
師：大家對(duì)唐同學(xué)的解法有何看法，不妨直言不諱。
……
生10：我覺(jué)得此題用放縮法不對(duì)，這是一個(gè)恒成立問(wèn)題，一邊是參數(shù)，一邊是變量，參數(shù)大于變量，應(yīng)大于變量的最大值。
所以a的最小正整數(shù)的值為2012。
師：構(gòu)造函數(shù)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題是函數(shù)思想的核心，其實(shí)質(zhì)是把所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為以函數(shù)為背景的問(wèn)題，再利用函數(shù)的有關(guān)知識(shí)來(lái)解決。陳同學(xué)就是通過(guò)巧妙構(gòu)造函數(shù)，使數(shù)列問(wèn)題函數(shù)化。
師：（步步為營(yíng)）那么唐同學(xué)的做法究竟錯(cuò)在哪呢？（對(duì)出現(xiàn)的問(wèn)題有反思有總結(jié)才會(huì)提高）
生11：我覺(jué)得放縮法難以把握放縮的度，是放大了還是放小了？
師：提得非常好，正因?yàn)槿绱耍苑趴s法的難度相對(duì)大些，更主要的是我們?cè)谶@里要找的是一個(gè)界，而不是一個(gè)范圍，所以此題用放縮法不合適。
課堂小結(jié)：本節(jié)課我們進(jìn)一步探討了數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系，解決數(shù)列問(wèn)題常常有兩條途徑：一是利用數(shù)列內(nèi)部的知識(shí)來(lái)解決；二是透過(guò)函數(shù)看問(wèn)題，利用函數(shù)知識(shí)解決數(shù)列問(wèn)題。
二、教學(xué)反思
1. 有效問(wèn)題串的結(jié)構(gòu)與設(shè)計(jì)
設(shè)計(jì)問(wèn)題串是一種教學(xué)策略，意圖是搭建一個(gè)思維臺(tái)階，把學(xué)生推到解決問(wèn)題的前沿，問(wèn)題串的設(shè)計(jì)要針對(duì)學(xué)生實(shí)際，問(wèn)題串設(shè)計(jì)的連續(xù)性（對(duì)某一數(shù)學(xué)概念、方法、思想而搭建的呈現(xiàn)內(nèi)在聯(lián)系與邏輯關(guān)系的系列問(wèn)題）和層次性（以適應(yīng)不同認(rèn)知水平的學(xué)生的學(xué)習(xí)要求）不僅能營(yíng)造輕松的教學(xué)氛圍，還有利于激發(fā)學(xué)生的求知欲，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維能力和提煉歸納能力。
2. 用思想方法引領(lǐng)學(xué)生解題
新的教育理念要求變教師會(huì)“教”為學(xué)生會(huì)“學(xué)”，教師在教學(xué)上的作用是引領(lǐng)，引導(dǎo)學(xué)生在自然的探究中去領(lǐng)悟隱含于題目當(dāng)中的數(shù)學(xué)思想方法，并自覺(jué)運(yùn)用到今后的解題中去，最終達(dá)到用思想指導(dǎo)方法的思維習(xí)慣。
3. 不足之處
關(guān)鍵詞：教學(xué)課堂；問(wèn)題解決教學(xué)；策略
中圖分類(lèi)號(hào)：G427 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2013）06-068-2
教師角色能否轉(zhuǎn)變到位是決定課堂能否真正發(fā)生根本性變化的關(guān)鍵！問(wèn)題探究和解決能否激發(fā)學(xué)生求知欲是決定教學(xué)教學(xué)質(zhì)量能否大幅度的提升根本！
數(shù)學(xué)課堂設(shè)置了多少個(gè)問(wèn)題，有多少學(xué)生展示，解決了多少問(wèn)題，知識(shí)得到怎樣的升華，能力得到怎樣的發(fā)展，均涉及“問(wèn)題解決教學(xué)”，由此，本人經(jīng)過(guò)多年高三畢業(yè)班教學(xué)總結(jié)出數(shù)學(xué)課堂“問(wèn)題解決教學(xué)”的五大核心策略。
一、主體發(fā)展策略
在課堂教學(xué)中，強(qiáng)調(diào)發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，充分體現(xiàn)學(xué)生的主體作用。在課堂教學(xué)設(shè)計(jì)的過(guò)程中應(yīng)充分發(fā)揮教師的主體作用，組織并落實(shí)多種形式的課堂實(shí)踐活動(dòng)，使學(xué)生在活動(dòng)的參與過(guò)程中，提高認(rèn)識(shí)能力和增強(qiáng)情感體驗(yàn)、情感控制能力，發(fā)展個(gè)性特長(zhǎng)。
例如，講評(píng)高三數(shù)學(xué)試卷，通常有兩種做法：第一，老師精講，學(xué)生認(rèn)真聽(tīng)；第二，學(xué)生板演，學(xué)生展示。前一種方法老師講得累，學(xué)生聽(tīng)得累，講的問(wèn)題有的學(xué)生沒(méi)錯(cuò)，還有錯(cuò)的教師沒(méi)講；后一種方法不錯(cuò)的學(xué)生得以展示，學(xué)生有時(shí)間反思，較難的壓軸題需要學(xué)生整理、感悟，可將試卷上所有的問(wèn)題解決，還可以另外加餐。
二、動(dòng)機(jī)激發(fā)策略
在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)該把學(xué)生吸引到有興趣的、有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)活動(dòng)中，讓學(xué)生體驗(yàn)成功所產(chǎn)生的愉悅和成就感，學(xué)會(huì)正確地對(duì)待挫折，從正、反兩方面來(lái)有效地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)。
數(shù)學(xué)課經(jīng)常出現(xiàn)假熱鬧、簡(jiǎn)單的問(wèn)題頻頻出現(xiàn)的現(xiàn)象浪費(fèi)寶貴的時(shí)間，使得學(xué)生暈頭轉(zhuǎn)向，無(wú)法有效地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)。簡(jiǎn)練、擇機(jī)、挑戰(zhàn)性的提問(wèn)是高效課堂的追求。
例如，函數(shù)f（x）=x2+2x+ax，對(duì)于任意的x∈[1，+∞）時(shí)，f（x）>0，則a∈
析：只有問(wèn)：本題的中心在函數(shù)？還是不等式？這樣學(xué)生不僅可兩方面思考，還可有所側(cè)重思考。（函數(shù)、不等式是高中數(shù)學(xué)的兩大熱點(diǎn)章節(jié)。）
若轉(zhuǎn)化不等式即為：x2+2x+a>0在x∈[1，+∞）上恒成立，轉(zhuǎn)化函數(shù)即為f（x）=x2+2x+ax的最小值>0。
三、層次設(shè)計(jì)策略
在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)該從“自主、合作、體驗(yàn)、發(fā)展”等層次為學(xué)生提供概念、定理的實(shí)際背景，設(shè)計(jì)定理、公式的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，讓學(xué)生體驗(yàn)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的思考過(guò)程，領(lǐng)悟?qū)ふ艺胬怼l(fā)現(xiàn)規(guī)律的方法和思想。
例如，不論m為何值，拋物線(xiàn)y=x2+（m-1）x+m+1（m為參數(shù)）恒過(guò)一定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)。
析：假設(shè)原拋物線(xiàn)系過(guò)定點(diǎn)，則對(duì)于拋物線(xiàn)系中的任意兩條拋物線(xiàn)的交點(diǎn)即為定點(diǎn)，于是令m=1、-1。得y=x2+2
y=x2-2x，解得x=-1，y=3。所以?huà)佄锞€(xiàn)系y=x2+（m-1）x+m+1（m為參數(shù)）恒過(guò)定點(diǎn)（-1，3）。
這還不夠正確，如果m取-1、1以外的值呢！能否也保證其他的拋物線(xiàn)也過(guò)此點(diǎn)呢？所以，教師應(yīng)該補(bǔ)充說(shuō)明一下，將點(diǎn)（-1，3）坐標(biāo)代入y=x2+（m-1）x+m+1，得0m=0恒成立，故問(wèn)題得證。
可以將拋物線(xiàn)的方程按m進(jìn)行降冪排列，得（x+1）m+x2-x-y-1=0，因?yàn)樯鲜綄?duì)m∈R恒成立，即關(guān)于m的一次方程的解集為R，所以（1）x+1=0
x2-x-y-1=0解得x=-1，y=3。所以?huà)佄锞€(xiàn)系y=x2+（m-1）x+m+1（m為參數(shù)）恒過(guò)定點(diǎn)（-1，3）。
變：求證：不論m為何值，拋物線(xiàn)y=mx2+2x+m+1（m為參數(shù)）不過(guò)定點(diǎn)。
上述證法需要考慮方程組無(wú)解，則曲線(xiàn)系恒不過(guò)定點(diǎn)。那么若該方程組有無(wú)數(shù)解，則曲線(xiàn)系可化為形如f（x，y）g（m）=0形式，結(jié)論會(huì)怎么樣呢？
一般地，對(duì)于所給曲線(xiàn)系F（x，y，m）=0（m為參數(shù)），若能化為m的降冪排列形式，即f0（x，y）mn+f1（x，y）mn-1+…+fn（x，y）=0，則曲線(xiàn)系F（x，y，m）=0（m為參數(shù)），過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程組f0（x，y）=0，f1（x，y）=0，…，fn（x，y）=0，是否有解的問(wèn)題。
四、變式訓(xùn)練策略
問(wèn)題應(yīng)從不同角度、不同層次、不同情形、不同背景做出有效的變化，使其條件或形式發(fā)生變化，而本質(zhì)特征卻不變，真正把學(xué)生能力的培養(yǎng)落到實(shí)處。學(xué)生也不需要大量、重復(fù)地做同一樣類(lèi)型的題目，切實(shí)從題海中走出來(lái)，實(shí)現(xiàn)真正的減負(fù)與增效。
例如，已知a1=3，且an+1=an+2（n∈N*），求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。
變式1：已知a1=3，且an+1=an+2n（n∈N*），求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。變式2：已知a1=3，且an+1=3an+2（n∈N*），求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。變式3：已知a1=3，且an+1=3an+2n+1（n∈N*），求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。變式4：已知a1=3，且an+1=3an+（12）n（n∈N*），求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。
析：原題是直接運(yùn)用基本數(shù)列等差數(shù)列列的公式即可；變1，利用累加法求通項(xiàng)，方法是推導(dǎo)等差數(shù)列通項(xiàng)的方法；變2，式子兩邊同除3n+1，轉(zhuǎn)化為變1的解法；變3、變4，式子兩邊同除3n+1，累加后還需再求和，可總結(jié)為已知遞推關(guān)系an+1=kan+f（n），再求通項(xiàng)。
五、探究創(chuàng)新策略
在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)該為學(xué)生提供動(dòng)手實(shí)踐的機(jī)會(huì)和探究的時(shí)間，指導(dǎo)學(xué)生大膽質(zhì)疑，鼓勵(lì)學(xué)生敢于發(fā)表不同意見(jiàn)和獨(dú)特見(jiàn)解。
例如，我曾給學(xué)生介紹過(guò)“洗衣問(wèn)題”：
給你一桶水，洗一件衣服，如果我們直接將衣服放入水中就洗；或是將水分成相同的兩份，先在其中一份中洗滌，然后在另一份中清一下，哪種洗法效果好？答案不言而喻，但如何從數(shù)學(xué)角度去解釋這個(gè)問(wèn)題呢？
我們借助于溶液的濃度的概念，把衣服上殘留的臟物看成溶質(zhì)，設(shè)那桶水的體積為x，衣服的體積為y，而衣服上臟物的體積為z，當(dāng)然z應(yīng)非常小與x、y比可忽略不計(jì)。
第一種洗法中，衣服上殘留的臟物為yzx+y；
按第二種洗法：第一次洗后衣服上殘留的臟物為yzx2+y；第二次洗后衣服上殘留的臟物為zy2（x2+y）2；顯然有yzx+y>zy2（x2+y）2。
這就證明了第二種洗法效果好一些。
事實(shí)上，這個(gè)問(wèn)題可以更引申一步，如果把洗衣過(guò)程分為k步（k給定），則怎樣分才能使洗滌效果最佳？
一、《2015年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試大綱（文科/理科）》及《2015年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試大綱的說(shuō)明（文科/理科）》（以下總體簡(jiǎn)稱(chēng)考綱）解讀
依據(jù)考綱，2015年高考數(shù)學(xué)學(xué)科的命題指導(dǎo)思想是堅(jiān)持“有助于高校科學(xué)公正地選拔人才，有助于推進(jìn)普通高中課程改革，實(shí)施素質(zhì)教育”的原則，在命題中體現(xiàn)普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)的基本理念，以能力立意，將知識(shí)、能力和素質(zhì)融為一體，以全面檢測(cè)考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，發(fā)揮數(shù)學(xué)作為主要基礎(chǔ)學(xué)科的作用，考查考生對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的掌握程度，考查考生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解水平以及進(jìn)入高等學(xué)校繼續(xù)學(xué)習(xí)的潛能。
今年高考，我區(qū)將第一次使用高考課標(biāo)卷，依據(jù)《考綱》，今年的課標(biāo)卷與往年我區(qū)使用的大綱卷相比，有諸多不同：①考點(diǎn)改變較大，例如概率統(tǒng)計(jì)部分及導(dǎo)數(shù)部分（文科）明顯增多。②考試內(nèi)容排序及要求改變。③更重視過(guò)程與方法，更注重理論與實(shí)踐相結(jié)合。④題型及難度改變：文理科相同試題減少，如立體幾何、概率統(tǒng)計(jì)解答題的選材文理科均有不同要求;三角函數(shù)部分難度降低;增加了選考題;數(shù)列、立體幾何和解析幾何難度下降;等等。
鑒于以上情況，總體建議：已降低要求的內(nèi)容，教師在復(fù)習(xí)時(shí)不要再拔高;已刪除的內(nèi)容，教師不要再增補(bǔ)。下面，我們對(duì)新舊教材的內(nèi)容做個(gè)大盤(pán)點(diǎn)，以便于教師準(zhǔn)確把握《考綱》對(duì)各部分內(nèi)容和要求的具體變化。
二、明確試卷結(jié)構(gòu)，分析近年主干知識(shí)命題特點(diǎn)及備考策略
（一）依據(jù)考綱，解析2015年的考試內(nèi)容及試卷結(jié)構(gòu)
2015年的數(shù)學(xué)高考仍采用閉卷、筆試形式，有第Ⅰ、第Ⅱ卷，滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間為120分鐘。第Ⅰ卷為必考內(nèi)容，含12道選擇題。第Ⅱ卷含必考和選考兩部分，皆為非選擇題：必考部分有4道填空題、5道解答題;選考部分從選修系列4中的“幾何證明選講”“坐標(biāo)系與參數(shù)方程”“不等式選講”3個(gè)內(nèi)容中各命制1道解答題，考生從3題中任選1題作答，多做則按所做的第一題給分。
綜觀全卷，共有選擇題、填空題和解答題3種題型，其中：選擇題是四選一型單項(xiàng)選擇題;填空題只需填寫(xiě)結(jié)果，不必寫(xiě)出計(jì)算或推證過(guò)程。三種題型分值分布：選擇題40%左右，填空題10%左右，解答題50%左右。以上試題，按其難度分為容易題、中等難度題和難題，總體難度適中。
（二）高考數(shù)學(xué)卷的命題規(guī)律及2015年備考策略
根據(jù)全國(guó)課標(biāo)卷近幾年主干知識(shí)的考點(diǎn)分布特點(diǎn)，我們可大體分析出數(shù)學(xué)卷的命題規(guī)律，并對(duì)2015年的考點(diǎn)作出簡(jiǎn)單預(yù)測(cè)。
（1）函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與不等式
通常對(duì)這部分內(nèi)容的考查包括2道客觀題、1道主觀題，分值為22分。題目將不僅對(duì)函數(shù)知識(shí)自身進(jìn)行顯性考查，而且會(huì)將函數(shù)知識(shí)與其它主干知識(shí)（數(shù)列、不等式、解析幾何、導(dǎo)數(shù)等）結(jié)合起來(lái)進(jìn)行隱性考查。命題的熱點(diǎn)包括函數(shù)的表示、函數(shù)值域與最值、函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線(xiàn)、單調(diào)性、極值最值問(wèn)題以及導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，線(xiàn)性規(guī)劃、不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍、函數(shù)不等式、數(shù)列不等式的證明等。
預(yù)測(cè)2015年的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)試題仍將是兩小一大，客觀題考查函數(shù)的圖象、性質(zhì)以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義、零點(diǎn)等。建議特別關(guān)注姊妹不等式ex≥x+1與ln（x+1）≤x及其變式應(yīng)用。
（2）三角函數(shù)和解三角形
以三角函數(shù)圖象和性質(zhì)為基礎(chǔ)，掌握三角函數(shù)的性質(zhì)及圖象的平移、伸縮變換;以誘導(dǎo)公式、同角關(guān)系及和、差、倍角公式等為基礎(chǔ)，掌握化簡(jiǎn)、求值及三角恒等變換的方法技巧;以正弦定理、余弦定理、面積公式為基礎(chǔ)，掌握解三角形時(shí)邊、角的求值及其綜合應(yīng)用。
備考建議：①高考對(duì)三角恒等變換能力要求較高。解答三角函數(shù)考題的關(guān)鍵是進(jìn)行必要的三角恒等變形，其解題通法如下：從角度、函數(shù)、運(yùn)算入手發(fā)現(xiàn)已知和未知的差異，通過(guò)套用、變用、活用公式來(lái)尋找聯(lián)系并合理轉(zhuǎn)化。解題技巧包括項(xiàng)的分拆與角的配湊、化弦（切）法、降次與升次、輔助角公式等。②《考綱》中不作考查要求的內(nèi)容不要隨意添加，如萬(wàn)能公式、和差化積、積化和差公式等。
預(yù)測(cè)三角函數(shù)每年必考，一般為1大1小或3小，分值在17分左右，難度在容易和中等難度之間。考題考查角度是從基礎(chǔ)到能力。另外，三角函數(shù)的定義域、值域、解析式、圖象與性質(zhì)、三角函數(shù)的概念及同角三角函數(shù)關(guān)系式，一般難度不大，主要是考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，這種趨勢(shì)在今年高考中預(yù)計(jì)仍將繼續(xù);而三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)、三角恒等變換的內(nèi)容在主客觀題中都有可能出現(xiàn)。解三角形問(wèn)題在教材中的地位和考試中的地位都有很大幅度提升，必須引起足夠重視。
（3）數(shù)列
課標(biāo)卷對(duì)數(shù)列的考查有所降低，主要是等差、等比數(shù)列。考查方式包括2道客觀題或1道主觀題，分值一般為10―12分。從考查的知識(shí)點(diǎn)看，重點(diǎn)是兩類(lèi)數(shù)列（等差與等比數(shù)列）、數(shù)列求和（裂項(xiàng)求和法、錯(cuò)位相減求和法等）和兩類(lèi)綜合（與函數(shù)、不等式的綜合），整體難度中等，個(gè)別試題屬于壓軸題。從命題思路看，雖然也有綜合型問(wèn)題和探索型問(wèn)題，但仍以基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法為主，而且更加注重知識(shí)的基礎(chǔ)性和應(yīng)用性。
備考策略：①切實(shí)掌握等差、等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式。②靈活應(yīng)用通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系以及數(shù)列的遞推關(guān)系來(lái)解決相應(yīng)問(wèn)題。③注重基礎(chǔ)，強(qiáng)化落實(shí)，切實(shí)提高運(yùn)算求解能力。掌握常用的求和的基本方法：分組法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法、裂項(xiàng)法、累乘法、累和法等;掌握常用的簡(jiǎn)單遞推式的變換技巧。
預(yù)測(cè)會(huì)有1―2道客觀題或1道主觀題，以等差、等比或簡(jiǎn)單的遞推關(guān)系為考查方向，也可和函數(shù)知識(shí)結(jié)合起來(lái)考查數(shù)列不等式。
（4）概率統(tǒng)計(jì)
通常這部分的考查為1道客觀題、1道主觀題，分值一般為17分。
從知識(shí)點(diǎn)上看：算法中主要包括兩類(lèi)，一是求程序框圖的執(zhí)行結(jié)果，二是確定條件結(jié)構(gòu)中的條件與循環(huán)結(jié)構(gòu)中的控制變量;統(tǒng)計(jì)中主要考查隨機(jī)抽樣中的系統(tǒng)抽樣與分層抽樣，樣本的平均數(shù)、頻率、中位數(shù)、眾數(shù)、方差，頻率分布直方圖、莖葉圖，變量間的相關(guān)關(guān)系中的線(xiàn)性回歸分析及獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用;概率中主要考查兩個(gè)計(jì)數(shù)原理、二項(xiàng)式定理、古典概型、幾何概型、條件概率、離散型隨機(jī)變量的分布及其均值方差等。
從命題思路上看：在算法方面，條件結(jié)構(gòu)與分段函數(shù)相聯(lián)系，循環(huán)結(jié)構(gòu)與數(shù)列、統(tǒng)計(jì)等知識(shí)相聯(lián)系;在統(tǒng)計(jì)方面，分層抽樣中的計(jì)算，相關(guān)系數(shù)中回歸方程的應(yīng)用，頻率分布直方圖、獨(dú)立性檢驗(yàn)與概率相結(jié)合;在概率方面，注重知識(shí)的基礎(chǔ)性和應(yīng)用性。這幾年試題難度中等，試題背景新穎，選材變化較大，主要考查考生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。
備考策略：掌握用樣本估計(jì)總體的方法，會(huì)閱讀或制作圖表;關(guān)注統(tǒng)計(jì)與隨機(jī)變量相結(jié)合的題目，對(duì)于獨(dú)立性檢驗(yàn)也要引起重視;重視幾何概型題。
預(yù)測(cè)選擇、填空題有2題10分，內(nèi)容包括排列組合與概率、二項(xiàng)式定理、抽樣、回歸方程、相關(guān)關(guān)系、正態(tài)分布等。解答題以應(yīng)用題形式出現(xiàn)，共12分，內(nèi)容包括期望與方差、直方圖、莖葉圖、數(shù)字特征、線(xiàn)性回歸等。命題趨勢(shì)：二項(xiàng)式定理必考，解答題部分出現(xiàn)形式是與統(tǒng)計(jì)、直方圖相結(jié)合，概率與分布列、期望、方差、回歸方程為獨(dú)立性檢驗(yàn)。
（5）立體幾何
考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)是簡(jiǎn)單幾何體的三視圖、表面積與體積的計(jì)算，空間的位置關(guān)系證明、空間角的計(jì)算以及空間向量在立體幾何中的應(yīng)用。
考查一般為2道客觀題、1道主觀題，屬中等難度題。客觀題中，三視圖為必考內(nèi)容，球與幾何體關(guān)系中涉及面積、體積的計(jì)算也是常考的題目;主觀題常以錐體、三棱柱為載體，考查垂直、二面角、線(xiàn)面角，難度適中。文科涉及體積、距離的運(yùn)算;理科突出向量方法解決，對(duì)構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系及利用空間向量解題提出了一定的要求。在“綜合法”與“向量法”的平衡中，理科有“向量法”漸強(qiáng)的趨勢(shì)，文科不學(xué)向量法。
備考策略與預(yù)測(cè)：把基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本方法的試題練習(xí)到位，解題步驟以高考評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)為依據(jù)加以規(guī)范。預(yù)測(cè)會(huì)有2道客觀題、1道主觀題，共22分。三視圖的考查難度加大，可能以組合體形式出現(xiàn)。主觀題仍注重空間位置關(guān)系的證明、空間角與距離的計(jì)算以及空間向量在立體幾何中的應(yīng)用。
（6）解析幾何
一般考查1―2道客觀題、1道主觀題，分值在17―22分之間。圓、橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)四種曲線(xiàn)至少考兩種。客觀題突出考查圓錐曲線(xiàn)的概念、方程與性質(zhì)的應(yīng)用，解答題突出考查直線(xiàn)與圓、橢圓、拋物線(xiàn)的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用。客觀題難度中等，主觀題文科側(cè)重橢圓與圓的綜合題;理科側(cè)重橢圓、拋物線(xiàn)與圓、雙曲線(xiàn)問(wèn)題中的最值及性質(zhì)中的定點(diǎn)、定值等相關(guān)結(jié)論探究。預(yù)計(jì)2015年高考主觀題仍然以橢圓為主進(jìn)行考查。
從命題思路看，仍以基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法為主，包括直線(xiàn)、圓錐曲線(xiàn)的有關(guān)概念、方程及性質(zhì)，重點(diǎn)是靈活運(yùn)用圓錐曲線(xiàn)的知識(shí)和解析法探究定值、定點(diǎn)、最值以及存在性等問(wèn)題的思想與方法。
備考策略：掌握以下重點(diǎn)問(wèn)題的解決方法――中點(diǎn)弦問(wèn)題，常用設(shè)而不求法（點(diǎn)差法）;焦點(diǎn)三角形問(wèn)題，常用圓錐曲線(xiàn)的定義及正、余弦定理解題;直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系問(wèn)題，基本方法是解方程組，在轉(zhuǎn)化為一元二次方程后再利用判別式、韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式、不等式等知識(shí)解決問(wèn)題;圓錐曲線(xiàn)中的有關(guān)范圍（最值）問(wèn)題，常用代數(shù)法和幾何法解決，如有明顯的幾何關(guān)系可用圖形的性質(zhì)來(lái)解決，否則用函數(shù)求最值或范圍，在已知曲線(xiàn)類(lèi)型求曲線(xiàn)方程或軌跡問(wèn)題時(shí)可用待定系數(shù)法，未知曲線(xiàn)類(lèi)型時(shí)可用求曲線(xiàn)方程的常見(jiàn)方法，如直接法、定義法、相關(guān)點(diǎn)法、參數(shù)法、幾何法、交軌法等。
三、總體備考攻略
（一）明確各輪復(fù)習(xí)的側(cè)重點(diǎn)
（1）第一輪復(fù)習(xí)策略是立足“三基”（基本技能、基本知識(shí)、基本思想和方法），夯實(shí)基礎(chǔ)，弄清每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的來(lái)龍去脈，完善知識(shí)體系。例如在等差數(shù)列an中，若m+n=p+q，則必有am+an=ap+aq;數(shù)列Sn，S2n-Sn，S3n-S2n也是等差數(shù)列。像這樣的基本知識(shí)和基本技能都很重要，但教師不能將這些知識(shí)和技能直接告訴學(xué)生，而應(yīng)安排一定的時(shí)間（課內(nèi)或課外）給學(xué)生自己證明，讓學(xué)生弄清它的來(lái)龍去脈，同時(shí)將這些內(nèi)容在復(fù)習(xí)時(shí)納入等差數(shù)列的知識(shí)體系。
（2）第二輪復(fù)習(xí)策略是培養(yǎng)提高能力，避免題海戰(zhàn)術(shù)。專(zhuān)題復(fù)習(xí)要突出對(duì)專(zhuān)題的重要思想方法的培養(yǎng)：通過(guò)解一定量的綜合題，使學(xué)生由對(duì)單一知識(shí)的認(rèn)識(shí)上升到對(duì)知識(shí)交匯處的重點(diǎn)知識(shí)的認(rèn)識(shí);可以選取課標(biāo)卷真題或者模擬卷典型例題進(jìn)行教學(xué)。①（2014年高考全國(guó)課標(biāo)Ⅱ卷理科數(shù)學(xué)17題）已知數(shù)列an滿(mǎn)足a1=1，an+1=3an+1（I）證明an
+是等比數(shù)列，并求an的通項(xiàng)公式;（II）證明++……+<本題考查等比數(shù)列定義、求數(shù)列通項(xiàng)公式以及不等式的證明等綜合問(wèn)題，難度適中，屬于常規(guī)問(wèn)題。解題思路：第一問(wèn)直接配湊一個(gè)等比數(shù)列，利用定義法證明;第二問(wèn)可從第一問(wèn)計(jì)算出的結(jié)果中看出數(shù)列的通項(xiàng)公式為等比數(shù)列與常數(shù)之和，這樣的通項(xiàng)不能取倒數(shù)求和，這種情況下只能采用放縮成等比數(shù)列后再求和、放縮后裂項(xiàng)相消求和或通過(guò)放縮直接證明不等式。本題的解法較多，體現(xiàn)在數(shù)列求和與不等式證明綜合，考查的是考生的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力。②三角函數(shù)專(zhuān)題中的經(jīng)典題求函數(shù)y=sinx+cosx+2sinxcosx的最值。其解題思路是設(shè)t=sinx+cosx，則t∈[-，]，且有sinxcosx=，化為求二次函數(shù)y=t2+t-1（t∈[-，]）的最值問(wèn)題。本題考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)、二次函數(shù)在閉區(qū)間上求最值的基本知識(shí)和基本技能，突出對(duì)運(yùn)算求解能力以及換元和轉(zhuǎn)化思想的考查，是在三角函數(shù)和二次函數(shù)的知識(shí)交匯點(diǎn)設(shè)計(jì)試題。
（3）第三輪復(fù)習(xí)策略是加強(qiáng)綜合訓(xùn)練與考前模擬，全真模擬訓(xùn)練，重點(diǎn)是查漏補(bǔ)缺，加強(qiáng)教學(xué)診斷。可重點(diǎn)選取使用課標(biāo)卷省份的名校模擬試題，最好是使用自編的試題。年級(jí)統(tǒng)測(cè)之前務(wù)必安排兩名教師先把試卷認(rèn)真做一遍，確保試題的科學(xué)性，考完即公布答案;教師要及時(shí)批改，爭(zhēng)取第二天便予講評(píng)。試卷講評(píng)課的重點(diǎn)是抓住典型問(wèn)題集中剖析。
（4）第四輪復(fù)習(xí)策略是回歸課本基礎(chǔ)，個(gè)別心理疏導(dǎo)。考前10天左右，讓學(xué)生認(rèn)真看看以前做過(guò)的試卷，糾正做錯(cuò)的題目，或者閱讀教材。教師每天可自編課本上一些簡(jiǎn)單題目，以一節(jié)課能完成的題量為標(biāo)準(zhǔn);另外安排每三天利用一個(gè)下午完成一套完整試卷，練完馬上公布答案，不用講評(píng)。
（二）明確主觀題評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)，指導(dǎo)學(xué)生規(guī)范答題
在第二、第三輪復(fù)習(xí)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生規(guī)范解題的過(guò)程與方法，讓學(xué)生知道試題評(píng)分的標(biāo)準(zhǔn)，提高學(xué)生的搶分意識(shí)。以2013年高考數(shù)學(xué)（理）全國(guó)大綱卷18題第Ⅰ問(wèn)為例：設(shè)ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，（a+b+c）（a-b+c）=ac（I）求B;（II）若sinAsinC=，求C該題的解題過(guò)程及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)如下：
解：（I）解法1 （a+b+c）（a-b+c）=ac，a2+c2-b2=-ac2（2分）
由余弦定理得cosB=2（4分）
=-1（5分），
B=120°1（6分）
解法2 由正弦定理得（sinA+sinB+sinC）（sinA-sinB+sinC）=sinAsinC
sin2A-sin2B+sin2C+sinAsinC=02（2分）
sinC=sin（A+B）≠0且sin2A-sin2B=（sinA+sinB）（sinA-sinB）=sin（A+B）sin（A-B）
sin（A-B）+sin（A+B）+sinA=0，
2sinAcosB+sinA=0.
0<A<p sinA≠02（4分），
cosB=-1（5分），
B=120°1（6分）
根據(jù)我區(qū)近年來(lái)的高考閱卷方法，計(jì)算題的給分慣例如下：①準(zhǔn)確寫(xiě)出必要的公式，一般可得2分，如上題中寫(xiě)出余弦定理cosB=即可得2分。高考試題中常考的公式還有等差、等比數(shù)列的基本公式，數(shù)學(xué)期望公式，立體幾何中向量法求角時(shí)的法向量夾角公式，求導(dǎo)公式等。②有一定的化簡(jiǎn)過(guò)程即可得1分。③計(jì)算結(jié)果正確得1分。幾何題的給分，通常是做好圖，得1分;寫(xiě)出必要的推理論證過(guò)程，得2分;計(jì)算過(guò)程及結(jié)果，得2分。鑒于存在以上給分慣例，在完全不懂如何答題的情況下，答題區(qū)域最好還是不要留空：如是立體幾何考題，可以在圖中作出一條連線(xiàn)并用文字予以說(shuō)明;如是計(jì)算題，可以正確寫(xiě)出一條有關(guān)的公式。總之，考生要樹(shù)立拿分意識(shí)，對(duì)真題的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)要了然于胸。
（三）關(guān)于選考題，重點(diǎn)突破坐標(biāo)系與參數(shù)方程題型
平面幾何需要添加輔助線(xiàn)，不等式絕對(duì)值的題目需要分類(lèi)討論，不等式證明題需要構(gòu)造法，這些對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)都有一定的難度。相比之下，坐標(biāo)系與參數(shù)方程題更容易獲得解題思路，所以建議考生重點(diǎn)突破該題型。
坐標(biāo)系與參數(shù)方程題的特點(diǎn)是“方法多樣性，優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)”。如極坐標(biāo)方程應(yīng)用的例子（繞極點(diǎn)旋轉(zhuǎn)問(wèn)題）：已知曲線(xiàn)C1的參數(shù)方程是x=2cos?
y=3sin?（?為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立坐標(biāo)系，曲線(xiàn)C2的極坐標(biāo)方程是ρ=2，正方形ABCD的頂點(diǎn)都在C2上，且A，B，C，D依逆時(shí)針次序排列，點(diǎn)A的極坐標(biāo)為2
，求點(diǎn)A，B，C，D的直角坐標(biāo)。
解：A
2cos，
2sin，
B2cos
+
，2sin
+
，
C2cos
+π，2sin
+π，
D2cos
+
，2sin
+
，
則A1
，，B-
，1，
C-1，
-，D
，-1.
又如連線(xiàn)過(guò)極點(diǎn)問(wèn)題的距離的例子：在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)C1的參數(shù)方程為x=2cosα
y=2+2sinα（α為參數(shù)），曲線(xiàn)C2的參數(shù)方程為x=4cosα
y=4+4sinα（α為參數(shù)），在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線(xiàn)θ=與C1的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為A，與C2的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為B，求|AB|.
解：曲線(xiàn)C1的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ，曲線(xiàn)C2的極坐標(biāo)方程為ρ=8sinθ射線(xiàn)θ=與C1的交點(diǎn)A的極徑為ρ1=4sin，射線(xiàn)θ=與C2的交點(diǎn)B的極徑為ρ2=8sin所以|AB|=|ρ2-ρ1|=2.
直線(xiàn)參數(shù)方程應(yīng)用的例子：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)C1的參數(shù)方程為x
=6+t
y
=t（t為參數(shù)）;在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)C2的極坐標(biāo)方程為ρ=10cosθ，曲線(xiàn)C1與C2交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|.
解：在ρ=10cosθ的兩邊同乘以ρ，得ρ2=10ρcosθ，則曲線(xiàn)C2的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=10x;將曲線(xiàn)C1的參數(shù)方程代入上式，得6+
t2+t2=106+
t，整理，得t2+t-24=0.
設(shè)這個(gè)方程的兩根為t1，t2，
則t1+t2=-，t1t2=-24，
|AB|=|t2-t1|==3.
其余問(wèn)題都轉(zhuǎn)化為普通方程，用熟練的解析幾何方法解決。因此，重點(diǎn)是熟練掌握各種方程的相互轉(zhuǎn)化。
口訣：極化直、參化普，其實(shí)都是老朋友，畫(huà)出圖形老辦法;線(xiàn)上距離用直參，最值問(wèn)題用參數(shù);旋轉(zhuǎn)中心是極點(diǎn)，ρ不變來(lái)θ加減，兩點(diǎn)連線(xiàn)過(guò)極點(diǎn)，距離可用ρ加減。
（四）分層備考，有效指導(dǎo)五種類(lèi)型的學(xué)困生
下面以2015年南寧市第一次模擬考學(xué)生答題情況為例說(shuō)明。
（1）基礎(chǔ)薄弱類(lèi)型
這類(lèi)學(xué)生因基礎(chǔ)知識(shí)沒(méi)掌握好，導(dǎo)致平時(shí)記憶及解題錯(cuò)誤率較高。圖1為某文科考生17題的部分答卷。顯然，該考生對(duì)于二倍角余弦公式和正弦定理的推論已經(jīng)忘記，這里明顯是亂用公式。這類(lèi)學(xué)生應(yīng)強(qiáng)化基礎(chǔ)訓(xùn)練和基本技能，多做一些課本上的習(xí)題，力爭(zhēng)小步快跑有效學(xué)習(xí)。
（2）缺少思路類(lèi)型
這類(lèi)學(xué)生看到題目往往不知從哪里下手，想不出命題者的思路，審題過(guò)程與知識(shí)嚴(yán)重脫節(jié)，缺乏解題技巧。圖2為某文科考生21題的部分答卷。方程組雖然列對(duì)了，但運(yùn)算思路混亂。這類(lèi)考生應(yīng)多建“母”題，強(qiáng)化審題意識(shí)，培養(yǎng)發(fā)散思維能力。
（3）粗心大意類(lèi)型
這類(lèi)考生知識(shí)結(jié)構(gòu)和解題思路比較成熟，能找到解題要領(lǐng)和方式，但往往因偷工減料導(dǎo)致丟分。圖3為某理科考生21題部分答卷：因?yàn)楹?jiǎn)單的一元一次不等式解錯(cuò)，導(dǎo)致嚴(yán)重丟分。這類(lèi)考生應(yīng)強(qiáng)化答題規(guī)范訓(xùn)練，規(guī)范答題，養(yǎng)成良好的答題習(xí)慣。
（4）知識(shí)生疏類(lèi)型
主要表現(xiàn)為學(xué)習(xí)時(shí)間不夠或不熟悉各章知識(shí)點(diǎn)。圖4為某文科考生21題的部分答卷：該考生對(duì)橢圓的離心率公式已經(jīng)很生疏了，導(dǎo)致解題無(wú)法進(jìn)行。這類(lèi)考生應(yīng)多背多練、重獲自信。
（5）一做就錯(cuò)類(lèi)型
因?qū)θ菀最}掉以輕心，漏題丟分;對(duì)中檔題分析不清楚，似是而非;對(duì)復(fù)雜題缺乏分析能力，知識(shí)結(jié)構(gòu)和解題技巧不到位。圖5為某文科考生20題的部分答卷：該生因忽略了函數(shù)的定義域，且解一元二次不等式的技能不熟練，導(dǎo)致大面積丟分。這類(lèi)考生應(yīng)加強(qiáng)解題模塊構(gòu)建，多做相似題型，仔細(xì)做題，觸類(lèi)旁通。
總之，要有效應(yīng)對(duì)我區(qū)高中課改后的第一次高考，我們的備考原則是在抓好“三基”的同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的解題能力，在落實(shí)常規(guī)的同時(shí)抓好學(xué)生的分層輔導(dǎo)，在強(qiáng)化訓(xùn)練的同時(shí)精選試題，在關(guān)注整體推進(jìn)的同時(shí)特別關(guān)注臨界生成績(jī)的提高。我們應(yīng)該以更加寬廣的視野，在重點(diǎn)內(nèi)容、方法和思想相對(duì)穩(wěn)定的前提下，注意調(diào)整試題考查的方式和角度，使選材更加多樣化。另外，各校應(yīng)加強(qiáng)對(duì)年級(jí)組與備課組的統(tǒng)一領(lǐng)導(dǎo)，充分發(fā)揚(yáng)團(tuán)隊(duì)合作精神，在備課組統(tǒng)一行動(dòng)的同時(shí)適當(dāng)展示班級(jí)個(gè)性。后面的100天時(shí)間，備課組要統(tǒng)一命制試題，每周安排晚上50分鐘的時(shí)間統(tǒng)一訓(xùn)練16道小題或3道解答題，隔周安排2小時(shí)統(tǒng)測(cè)一套卷子，并形成制度，以更好地激發(fā)學(xué)生的斗志，形成良好的備考氛圍。
[本文系廣西教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2014年度廣西考試招生研究專(zhuān)項(xiàng)課題“廣西高中生數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平等第劃分標(biāo)準(zhǔn)的研究”（立項(xiàng)編號(hào)：2014ZKS006）的部分研究成果。]
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愛(ài)好:解數(shù)學(xué)題。曾多次參加全國(guó)數(shù)學(xué)問(wèn)題有獎(jiǎng)?wù)鞔鸹顒?dòng)并獲獎(jiǎng)。
Part 1:本期主講
上期我們針對(duì)一類(lèi)常見(jiàn)的數(shù)列不等式綜合題,總結(jié)出了一種行之有效的解法,即“一分為N,函數(shù)證明”.可是有些題目中不等號(hào)的另一邊并不是關(guān)于n的函數(shù),而是一個(gè)常數(shù),這類(lèi)不等式能夠用這種方法處理嗎?如果能,“N”怎么分?更棘手的情形是,萬(wàn)一題目沒(méi)有給出結(jié)論,而是要求我們自己探索并證明,怎么辦?
例 (2009年高考數(shù)學(xué)四川卷(理)第22題) 設(shè)數(shù)列{an｝的前n項(xiàng)和為Sn,對(duì)任意的正整數(shù)n,都有an=5Sn+1成立,記bn=(n∈N*).
(1) 求數(shù)列{bn｝的通項(xiàng)公式;
(2) 記cn=b2n-b2n-1 (n∈N*),設(shè)數(shù)列{cn｝的前n項(xiàng)和為T(mén)n,求證:對(duì)任意正整數(shù)n,都有Tn< 成立;
(3) 設(shè)數(shù)列{bn｝的前n項(xiàng)和為Rn,已知正實(shí)數(shù)λ滿(mǎn)足:對(duì)任意正整數(shù)n,Rn≤λn恒成立,求λ的最小值.
一、 第(1)問(wèn)解答
令n=1,由an=5Sn+1可得a1=-;聯(lián)立an+1=5Sn+1+1,an=5Sn+1可得:an+1-an=5an+1,即an+1=- an. 故{an｝為等比數(shù)列,首項(xiàng)a1=- ,公比q=- . an=- n,則bn= .
二、 第(2)問(wèn)解答
(一) 難點(diǎn)突破
由第(1)問(wèn)可知bn=4+ ,則cn=b2n-b2n-1= + = . 我們的任務(wù)是要證明{cn｝的前n項(xiàng)和Tn< ,可{cn｝的通項(xiàng)公式較復(fù)雜,直接求和顯然不可行.如果按“”,將 “分為N”: = +0+…+0,顯然是徒勞;又或者寫(xiě)成 = × ,同樣毫無(wú)意義,因?yàn)槭紫鹊谝豁?xiàng)c1= = < • 就不能恒成立!
那么我們應(yīng)該如何尋求解題的突破口呢?前幾期“挑戰(zhàn)”的經(jīng)驗(yàn)告訴我們,解題靈感首先源于“眼睛”(觀察題目),其次就是“手”(運(yùn)算).對(duì)付數(shù)列題更應(yīng)當(dāng)從第一項(xiàng)算起,邊算邊觀察各項(xiàng)的變化規(guī)律:c1= ,c2= ,…仔細(xì)觀察c2的分母,其展開(kāi)式162×162+3×162-4中,“大頭”是162×162,3×162-4相較而言就有些微不足道,舍棄它,可以大大簡(jiǎn)化運(yùn)算,因此可知c2< = ,而cn= < = . 隨著n不斷增大, 將快速減小.讓我們?cè)囍鴱牡诙?xiàng)起用 來(lái)替代cn,則Tn< + +…+ = + × < + × = < ,第(2)問(wèn)由此得證.
(二) 換位思考
接下來(lái)我們換個(gè)角度分析第(2)問(wèn)的結(jié)論.通過(guò)估算,我們發(fā)現(xiàn){Cn｝雖然不是等比數(shù)列,但其各項(xiàng)快速下降的規(guī)律非常類(lèi)似于等比數(shù)列,那么能否像上期那樣,將右邊的 看做某個(gè)等比數(shù)列c1,c1q,…,c1qn-1,…(0
由于 + × +…+ × = × < ,要證明Tn< ,只需證明c1+c1+…+cn≤ + × +…+ × (①)即可. 要證①式,即證 ≤ × = ,放大左邊,改證 ≤ ,也即證 ≥ ,該式顯然成立,故Tn< .
從以上兩種解法可以看出:cn= < 的放縮使題目難度瞬間降低,要邁出這一步,我們就要在計(jì)算時(shí)留意主次,大膽取舍.
三、 第(3)問(wèn)理解及解答
現(xiàn)已知bn=4+ ,數(shù)列{bn｝的前n項(xiàng)和Rn不易求解. 題目要探求一個(gè)對(duì)任意正整數(shù)n,Rn≤λn均成立的最小正實(shí)數(shù)λ,這是什么意思?一方面,Rn不得超過(guò)λn,就是說(shuō)λ要盡可能地大. 例如,若有Rn≤5n成立,則必有Rn≤6n恒成立.另一方面,在所有使得Rn≤λn恒成立的λ中,要選最小的λ值,也就是說(shuō)λ要盡可能小. 通俗地講,第(3)問(wèn)就是要找出一個(gè)最佳的正比例函數(shù)λn,來(lái)作為Rn這個(gè)復(fù)雜的前n項(xiàng)和的替代者. 假如λ=6,那我們就可以認(rèn)為數(shù)列{bn｝的前10項(xiàng)之和R10約等于60. 看來(lái),本題的用意在于化繁為簡(jiǎn),類(lèi)似于“化曲為直”的數(shù)學(xué)思想.
實(shí)際上,數(shù)列的前n項(xiàng)和無(wú)非是每一項(xiàng)的疊加. bn=4+ 中,“占大頭”的是4,這個(gè)數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)都小于4,而偶數(shù)項(xiàng)均大于4(如b1=4-1,b2=4+ ,b3=4- ,b4=4+ ,… ). 當(dāng)n足夠大時(shí),奇數(shù)項(xiàng)小于4的部分跟偶數(shù)項(xiàng)大于4的部分可以相互抵消,各項(xiàng)的平均值向4靠攏,由此我們可猜想λ=4. 接下來(lái)我們就要證明以下結(jié)論:
①對(duì)任意正整數(shù)n,Rn≤4n恒成立;
②若λ
要證結(jié)論①,在推測(cè)λ=4的過(guò)程中,其實(shí)我們已找到一條思路――奇偶相抵,因此我們可以來(lái)計(jì)算一下(b1+b2),…,(b2k-1+b2k) (k∈N*),看看其中的每一對(duì)數(shù)之和是否都不超過(guò)8. 令b2k-1+b2k=8+ + =8-f(k), 其中f(k)= - = >0(k∈N*),故b2k-1+b2k
要證結(jié)論②,顯然要用反證法,即假設(shè)存在某個(gè)λ
由{bn｝的通項(xiàng)公式可見(jiàn),n越大,bn就越接近于4. 設(shè)n=2k,如前所述,R2k=8k-[f(1)+f(2)+…+f(k)],其中f(k)= - < , f(1)+
f(2)+…+f(k)< • < 8k-2. 即對(duì)于n=2k,總有Rn>4n-2.
假設(shè)存在λ
上述證明中,我們?cè)俅卫昧朔趴s法,如f(k)= - < 等.事實(shí)上, 的存在注定了f(1)+f(2)+…+f(k)是有限的. 在放縮過(guò)程中,“大度方可從容 ”,只要不失大局,舍棄“毫厘”,既可簡(jiǎn)化運(yùn)算,又可暴露問(wèn)題的本質(zhì).
Part 2:上期思考題解答
等比數(shù)列{an｝的前n項(xiàng)和為Sn,已知對(duì)任意的n∈N*,點(diǎn)(n,Sn)均在函數(shù)y=bx+r (b>0,b≠1) 的圖象上.
(1) 求r的值;
(2) 當(dāng)b=2時(shí),記bn=2(log2an+1),證明:對(duì)任意的n∈N*, • •…• > .
解析: (1) 由題意得Sn=bn+r,則a1=S1=b+r;當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=(b-1)•bn-1. 由{an｝是等比數(shù)列, 可知r=-1.
[關(guān)鍵詞]高三數(shù)學(xué) 復(fù)習(xí)課 課堂教學(xué)
高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)是整個(gè)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的基礎(chǔ)工程,其主要任務(wù)是在老師的指導(dǎo)下,讓學(xué)生自己對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能進(jìn)行梳理,使之達(dá)到系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化、完整化;在老師的組織下通過(guò)對(duì)基礎(chǔ)題的系統(tǒng)訓(xùn)練和規(guī)范訓(xùn)練,使學(xué)生準(zhǔn)確理解每一個(gè)概念,能從不同角度把握所學(xué)的每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)所有可能考查到的題型,熟練掌握求解各種典型的通性、通法。為了達(dá)到這樣的目的,采用什么樣的課堂教學(xué)的模式顯得尤為重要。本人談?wù)摿宋倚?shí)際制定一輪復(fù)習(xí)的幾種課堂教學(xué)模式,僅供參考。
一、復(fù)習(xí)課的模式
1.先介紹知識(shí)點(diǎn)并穿插小題練習(xí)――然后講解典型例題――再進(jìn)行鞏固練習(xí)。這種模式比較適合數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較弱的學(xué)生,所復(fù)習(xí)的知識(shí)點(diǎn)碎采用較為適宜。如復(fù)習(xí)等差數(shù)列這部分時(shí),等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)、求和、性質(zhì)、內(nèi)容較碎,可先構(gòu)建知識(shí)框架、再逐一用小題鞏固每個(gè)概念及性質(zhì)讓學(xué)生先激活這部分的記憶,再通過(guò)一些典型例題深化對(duì)每個(gè)知識(shí)點(diǎn)的理解,再通過(guò)練習(xí)達(dá)到強(qiáng)化鞏固的目的。
2.先進(jìn)行練習(xí)――然后總結(jié)提煉知識(shí)點(diǎn)――再講解例題――鞏固練習(xí)。這種模式針對(duì)一些知識(shí)點(diǎn)相對(duì)較少、且學(xué)生相對(duì)熟悉的內(nèi)容較為適宜。如在復(fù)習(xí)基本不等式時(shí),這部分內(nèi)容平時(shí)使用頻率較高,可以讓學(xué)生先通過(guò)幾個(gè)較簡(jiǎn)單的題目的練習(xí)進(jìn)行感悟,激活思維活動(dòng),教師再進(jìn)行點(diǎn)評(píng)提煉出這部分的知識(shí)點(diǎn)、再通過(guò)典型的例題的學(xué)習(xí)強(qiáng)化運(yùn)用、最后進(jìn)行鞏固訓(xùn)練和教師講評(píng)弄清解題中的一些注意點(diǎn)、常見(jiàn)題型的處理方法、面孔生的題目如何進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化等。
3.課前先讓學(xué)生預(yù)習(xí)找出自己的薄弱環(huán)節(jié)――再進(jìn)行針對(duì)性復(fù)習(xí)與教學(xué)――再學(xué)習(xí)重點(diǎn)例題――最后鞏固練習(xí)。這種模式適宜章節(jié)復(fù)習(xí)結(jié)束時(shí)采用,如函數(shù)部分快要復(fù)習(xí)結(jié)束時(shí)可安排一節(jié)這樣的課,課前先讓學(xué)生回顧這部分內(nèi)容、平時(shí)所做的一些講義,各人找出自己的薄弱環(huán)節(jié)。教師再?gòu)闹姓页鲆恍┕残缘膯?wèn)題設(shè)計(jì)一些問(wèn)題加以解決,在課堂上可以報(bào)出某某同學(xué)的問(wèn)題是……。這樣也就拉近了教師與學(xué)生的距離,提高了課堂的效率。當(dāng)然這種模式需要教師在課前做大量細(xì)致的工作,準(zhǔn)確把握學(xué)生的薄弱之處,精心選擇或編擬課前預(yù)習(xí)、重點(diǎn)例題、鞏固練習(xí)中相關(guān)內(nèi)容。
4.先通過(guò)一些小題引出這部分的一些知識(shí)點(diǎn)――構(gòu)建知識(shí)框架――再用典型例題深化――再總結(jié)提煉――再練習(xí)反饋。這種模式針對(duì)學(xué)生基礎(chǔ)相對(duì)較好、且知識(shí)點(diǎn)不太碎的內(nèi)容較為適合,如復(fù)習(xí)函數(shù)的單調(diào)性的證明時(shí)可直接通過(guò)例題復(fù)習(xí)一下兩種方法定義和導(dǎo)數(shù)法,再提煉出證明單調(diào)性的方法,再練習(xí)鞏固。
5.課前先讓學(xué)生練習(xí)――課上以糾錯(cuò)為主。針對(duì)一些高考要求不太高的知識(shí)點(diǎn)可用此法。如簡(jiǎn)易邏輯、四種命題、量詞、推理、證明等部分,可選擇一些典型題讓學(xué)生課前先練習(xí),再針對(duì)一些共性的錯(cuò)誤進(jìn)行糾正。
復(fù)習(xí)課不管采用何種模式都要力求做到:(1)系統(tǒng)性:滾動(dòng)復(fù)習(xí),知識(shí)前后銜接,梳理歸納成串。(2)綜合性:縱橫聯(lián)系,知識(shí)內(nèi)外交叉,多角度、多層次。(3)基礎(chǔ)性:著眼雙基,中檔為主,面向多數(shù)。(4)重點(diǎn)性:突出主干知識(shí),詳略得當(dāng)。(5)發(fā)展性:傳播方法,知識(shí)遷移,學(xué)會(huì)自學(xué)。(6)啟迪性:深挖教材,發(fā)散思維,多角度考慮問(wèn)題。
復(fù)習(xí)中忌諱的是:(1)“大而全”。也即一堂課力求知識(shí)點(diǎn)、題型、方法全、容量大、沒(méi)有重點(diǎn)的做法。(2)教學(xué)方式單一,老樣子,如:講―練―講,始終如此,學(xué)生易產(chǎn)生疲勞感。
二、試卷或作業(yè)講評(píng)課的模式
1.先按知識(shí)點(diǎn)、錯(cuò)誤類(lèi)型歸類(lèi)、或按考查的數(shù)學(xué)思想方法歸類(lèi)、后相對(duì)集中糾錯(cuò),中途可適當(dāng)采用投影儀暴露學(xué)生解題中的典型錯(cuò)誤進(jìn)行點(diǎn)評(píng),再總結(jié)提煉出一份試卷的重點(diǎn)問(wèn)題所在,問(wèn)題處理的一般方法,注意點(diǎn)。
2.按試卷暴露出的問(wèn)題的大小、主次順序進(jìn)行評(píng)講,一般先大后小,先主后次。對(duì)于主干知識(shí)、通性、通法、學(xué)生易得分的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行重點(diǎn)評(píng)講,而對(duì)一些技巧性的、能力要求較高的、過(guò)難或過(guò)易的題目要略講。
講評(píng)課無(wú)論采用何種模式都要力求做到:(1)針對(duì)性:講其所需,釋其所疑,解其所難。(2)診斷性:診痛析因,指點(diǎn)迷津,傳授方法,診防結(jié)合。(3)輻射性:以點(diǎn)帶面,畫(huà)龍點(diǎn)睛,舉一反三。(4)啟發(fā)性:啟發(fā)思維,點(diǎn)撥思路,發(fā)散開(kāi)拓。
講評(píng)課切忌的是不做任何分析就對(duì)答案或講評(píng)時(shí)直接從第一題到第N題,沒(méi)有重點(diǎn)沒(méi)有主線(xiàn)、不能突出學(xué)生練習(xí)、作業(yè)、考試中存在的主要問(wèn)題。
