時間：2022-02-21 18:05:21
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇數學難題，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
“按照他的理論，好像破了千古之謎”
近日，我隨豐都縣中學資深高中數學教師劉華一起，來到了豐都縣高家鎮文昌路柿子梯道12號“海峰”的住所。一位穿著舊解放鞋的老農倚在門口，他就是“海峰”――今年已經62歲的殘疾農民李亞明。
李亞明的家是移民后的還建房，仍保持著“清水房”的樣子。在他妻子的臥室里，有一臺小彩電和一臺嶄新的電腦，也是他家里唯一值錢的東西。
“這些就是我畢生的心血。”李亞明從自己的臥室里抱出一個塑料口袋，小心翼翼地從里面掏出一摞上千頁的材料。上面畫著密密麻麻的幾何圖形，并配有大量演算過程的圖示。隨后，他從里面掏出一本名為《中國環球尺規學》的論文說：“我所有的結論就在這上面了。”
劉華看后解釋稱，李亞明研究的是“三等分角、立方倍積、化圓為方”這三大難題。據介紹，這是著名的古代幾何作圖難題，早在2400年前《幾何原本》問世之前就提出了，至今仍無人能解。
“按照他的理論，好像是破解了這千古之謎。”劉老師沉思著說，“李亞明在破解的過程中，用了一套自己研發的‘工具’，然而這套‘工具’是否有價值，現在還不好說，需要專家進行相關論證。”
“稿紙裝了11麻袋，占了大半間臥室”
回憶起自己為何癡迷數學研究，李亞明稱，自己在初中剛接觸幾何學時，就聽數學老師說起了《幾何原本》中的三大難題，至今無人能解。那時年僅16歲的他就有了這個想法：要學好數學，將來一定要解開這個謎。
李亞明念完初中就不得不放棄學業，開始下鄉。1975年，李亞明在生產隊一邊工作，一邊找來高中數學教材自學。次年他與冉啟蘭結為了夫妻。全國恢復高考后，成績優異的他卻因是已婚身份導致無法上大學。無奈之下，李亞明找來大學數學教材，一邊務農，一邊自學。“研究這幾個難題需要一套完整的數學體系，我必須自學大學數學。”李亞明稱，由于當時沒人教，周圍沒人懂，自己只能琢磨著自學，最終花了3年時間將大學數學全部學完。
由于貧窮，紙用完了沒錢買，李亞明就拄著棍子到當地政府門口收舊報紙，用來當草稿紙。筆用完了，李亞明就跑到學校找學生施舍……鎮政府里的人都以為他喜歡讀報，沒有要他的錢。而當地的學生則將他當成一個瘋子，看他可憐就送一支鉛筆給他。
冉啟蘭稱，在移民搬家前，李亞明所用的稿紙裝滿了11個麻袋，幾乎占據了他大半間臥室。
“研究數學就像吸毒一樣，欲罷不能”
李亞明的第一個研究成果就是發明了“無窮極等分線段”和“無窮極等分弧段”。“這兩個理論的研究成功，是我破解千年難題的關鍵。”李亞明眼里閃過一絲興奮，他稱，當時自己連續三天三夜沒有睡覺，餓了吃口饅頭，渴了喝口水。研究成功后，自己還央求妻子炒了一盤回鍋肉來慰勞自己。
“我研究數學這件事，除了家人，沒給任何人提起過。”李亞明表示，由于自己研究的數學跟通常學校里教的不同，周圍的人都不懂，完全無法溝通。于是李亞明只能在家獨自畫圖研究。
在李亞明的家里，找不到任何一本數學大家的著作。李亞明稱，首先是沒錢買，其次是幾何上的三大難題由于千年來都無解，買書來看也沒用。
35年的時間里，李亞明一直沉浸在自己的數學世界中。“研究數學就像是吸毒一樣，每天都讓我欲罷不能。”李亞明稱，如果一個問題沒有解決，自己就會整晚睡不著，喝醉酒、吃安眠藥，都無濟于事。在他的臥室看到，除了一張床和一盞昏暗的吊燈，只剩下幾個泡菜壇子和幾大麻袋焦炭。夏天，李亞明就趴在草席上徹夜畫圖，冬天就蜷縮在被子里進行研究。
現在，李亞明幾乎每天都要研究數學到次日凌晨3點，然后早晨6點起床去地里除草，順便放松頭腦。午飯休息一陣后，又繼續投入到數學研究中。
劉華對此表示，李亞明可親自將其送往西南大學數學研究協會或者北京的中科院數學研究所，讓專家們對其進行論證。
1、解方程：180-α-290-α= ( )1?180 ，則α3
2、用10%和5%的鹽水合成8%的鹽水10kg ，問10%和5%的鹽水各需多少kg ？
3、已知5x +2k =3的解為正數，則k 的取值范圍是
4、（2）若??x -2a ?1的解為x ＞3，則a 的取值范圍
?2(x +1) ?11-x
（3）若??2x -a ?1的解是-1＜x ＜1，則（a+1）（b-2）=
?x -2b ?3
（4）若2x ＜a 的解集為x ＜2，則a=
（5）若??2x -m ≤0有解，則m 的取值范圍
?4x +16?0
5、已知??3x +2y =m +1，x ＞y ，則m 的取值范圍 ； 2x +y =m -1?
6、已知上山的速度為600m/h，下上的速度為400m/h，則上下山的平均速度為？
7、已知4(x +y -3) +x -y =0，則，； 2
?3x +5y +3z =08、已知?（z ≠0），則x :z = ，y :z = ； 3x -5y -8z =0?
9、當m= 時，方程??x +2y =6中x 、y 的值相等，此時x 、y 的值= 。
?2x -y =3m -10
10、已知點P(5a-7,-6a-2)在二、四象限的角平分線上，則a= 。
?x +2y =3m 1211、?的解是3x +2y =34的解，求m -。 m ?x -y =9m
12、若方程3m (x +1) +1=m (3-x ) -5x 的解是負數，則m 的取值范圍是 。
13、船從A 點出發，向北偏西60°行進了200km 到B 點，再從B 點向南偏東20°方向走500km 到C 點，則∠ABC= 。
14、??3x +5y =a +2的解x 和y 的和為0，則a= 。
?2x +3y =a
1
15、a 、b 互為相反數且均不為0，c 、d 互為倒數，則(a +b ) ?5+
a 、b 互為相反數且均不為0，則(a +b -1) ?(b 2-cd =。 a 3a +1) = 。 b
a 、b 互為相反數，c 、d 互為倒數，x =2，則10a +10b +cdx = 。
16、若m
m （填“＞” 、“＜”或“=” ） =1，則m 0。
4n 17、若m +5與(n -2)互為相反數，則m =
18、有23人在甲處勞動，17人在乙處勞動，現調20人去支援，使在甲處勞動的人數是在乙處勞動
的人數的2倍，應調往甲乙兩處各多少人？
0019、 如圖, 已知: 等腰Rt OAB 中, ∠AOB=90, 等腰Rt EOF 中, ∠EOF=90, 連結AE 、BF. 求證:
(1) AE=BF; (2) AEBF.
20、如圖示，已知四邊形ABCD 是正方形，E 是AD 的中點，F 是BA 延長線上一點，AF=1AB ， 2
已知ABE ≌ADF.
（1）在圖中，可以通過平移、翻折、旋轉中的哪一種方法，使ABE 變到ADF 的位置；（3分）
關鍵詞：解題技能；聯想；把握問題實質
每年中考數學題，一般都把試題分為容易題（基礎題），中檔題以及難題。近年中考數學題中，難題一般都占全卷總分的四分之一強，難題不突破學生是很難取得中考好成績的。初中數學中考中的難題主要有以下幾種：1，思維要求有一定深度或技巧性較強的題目。2，題意新或解題思路新的題目。3，探究性或開放性的數學題。
有些老師認為，對全班進行面上的復習只要復習到中等題就行，不必進行難題的復習，那些智力好的學生你不幫他們復習他們也會做，那些智力差的學生你教他們也白白浪費時間。其實，學生有一定的數學知識和基本的解題技能也不一定能解出難題，這是因為從數學基礎知識出發到達中考的難題的答案，或者思維深度要求較高――學生思維深度不夠，或者思路很新――學生從來沒有接觸過。但很多有經驗的初三畢業班的老師的多年的實踐證明，針對難題進行專題復習是很有必要的，只要復習得好，對中等以上學生解難題的能力的提高作用是較大的。對此，我們在第二階段復習中要對學生針對難題進行思維能力的訓練和思路拓寬的訓練。當然，這種訓練也要針對學生的“雙基”情況和數學題型，這種訓練要注意題目的選擇，不只針對中考，也要針對學生思維的不足，一定量的訓練是必要的，但要給出足夠的時間給學生進行解題方法和思路的反思和總結，只有多反思總結，學生的解題能力才能提高。老師要注重引導，不能以自己的思路代替學生的思路，因為每個人解決問題的方法是不一定相同的。
對難題進行分類專題復習時，應該把重點放在對學生進行對數學難題跟基礎知識的聯系的把握能力的訓練以及引導學生迅速正確分析出解題思路這一點上，并從中培養學生解題的直覺思維。應當先把難題進行分類。然后進行分類訓練。
我認為可以將初中數學中考題的難題分以下幾類進行專題復習：
第一類：與一到兩個知識點聯系緊密的難題
例1已知：O1與O2相交于A，B兩點，若PM切O1于M，PN切O2于N，且PM>PN.試指出點P所在的范圍。
教學引導：
（1）先畫圖，試判斷，并嘗試去證明。
（2）看看可能有幾種情況。
（3）出示右圖，要求學生指出點P的范圍（點P在直線AB的O2的一側，且在O2外），學生指出點P的范圍后，要求學生證明。
（4）學生證明有困難時，作點撥：若點P在直線AB上時可以證得什么？（PM=PN），如何證明？
（用切割線定理：PM2=PA*PB，PN2=PA*PB，故，PM=PN）現在可以應用切割線定理來證明PM>PN嗎？
（5）學生還不能證明時，作提示：
連結PB，交O1于點C，交O2于D，用切割線定理
（證明：PM2=PC*PB，PN2=PD*PB，因PC>PD，所以PC*PB>PD*PB，即PM2>PN2，所以PM>PN）
評議：本題關鍵是引導學生用切割線定理來證明，并且進行分類討論。
第二類：綜合多個知識點或需要一定解題技巧才能解的難題。
這類難題的教學關鍵要求學生運用分析和綜合的方法，運用一些數學思想和方法，以及一定的解題技巧來解答。
例2在三角形ABC中，點I是內心，直線BI，CI交AC，AB于D，E.已知ID=IE.
求證：∠ABC=∠BCA，或∠A=60°。
教學點撥：本題要運用分析與綜合的方法，從條件與結論兩個方向去分析。 從條件分析，由ID=IE及I是內心，可以推出AID和AIE是兩邊一對角對應相等，有兩種可能：AD=AE或AD≠AE。
例3某公司在甲，乙兩座倉庫分別有農用車12輛和6輛，現需要調往A縣10輛，調往B縣8輛。已知從甲倉庫調運一輛農用車到A縣和B縣的運費分別為40元和80元；從乙倉庫調運一輛農用車到A縣和B縣的運費分別為30元和50元。
（1）設從乙倉庫調往A縣農用車x輛，求總運費y的關于x的函數關系式；
（2）若要求總運費不超過900元。問共有幾種調運方案？
（3）求出總運費最低的調運方案，最低運費是多少元？
教學引導：
（1）先把題目的數量關系弄清楚。
引導學生把本題數量關系表格化：
（2）引導學生寫出y與x的函數關系式后，運用函數的性質解答題目的后兩問。
第三類：開放性，探索性數學難題。
無論是開放性還是探索性的數學難題，教學重點是教會學生把握問題的關鍵。
例4請寫出一個圖象只經過二，三，四象限的二次函數的解析式。
教學點撥：二次函數的圖象只經過二，三，四象限，就是不能經過第一象限，即當x>0時，y0時y
第四類：新題型（近年全國各地中考題型）
例5電腦CPU芯片由一種叫“單晶硅”的材料制成，未切割前的單晶硅材料是一種薄形圓片，叫“晶圓片”。現為了生產某種CPU芯片，需長，寬都是1cm的正方形小硅片若干。如果晶圓片的直徑為10.05cm.問一張這種晶圓片能否切割出所需尺寸的小硅片66張？請說明你的方法和理由。（不計切割損耗）
分析：本題解題的關鍵是①一排一排地放小正方形，②利用圓的內接矩形的對角線就是圓的直徑的知識。
可能我們都有這樣的經驗：我們講解難題的時候，學生都能理解，但讓學生再做另外一些難題的時候，學生又做不出來。這是因為，我們只是把結果告訴學生，學生解題的思維方式沒有得到訓練。在難題的教學中，我們不能只把結論告訴學生，更重要的是要讓學生知道解題的思維方式，我們不要急于把題目的解法告訴學生，應當引導學生自己去解題，在解題的過程中尋找解題思路以及訓練思維能力和創新能力。
參考資料：
[1]《初中數學復習專輯》（《中學數學研究》2003年10月）。
[2]《廣州市中考數學試題分析與測評》（廣州市中學數學教研會編）。
一、建立模型，提取共性
專家劉振航在《數學模型》中提出數學建模就是從生活中各種雜亂無章的現象里抽象出一定的數學關系，組建成一個數學模型，也就是說，建立模型必須要在各種生活現象中抽取出共性來。教師在教學的過程中可以組織學生圍繞各種生活現象和問題情境來抽象出一定共性，并嘗試建立模型。
例如在指導學生掌握平行的幾何概念的時候，教師就可以讓學生先從生活中觀察到的現象中抽象出平行的概念，讓學生通過感知火車鐵軌、雙杠、五線譜等事物，在觀察中感知平行的概念。但是只是單純觀察還無法讓學生從中抽取共性，建立模型，教師還要給學生一些啟發，讓學生提高認知，將關注的焦點從單純的兩條直線上升到注意兩條直線之間的距離。教師可以讓學生嘗試建立模型，并圍繞模型思索一些問題，如兩條直線在什么時候永遠不會相交，嘗試量一下兩條平行線之間的距離，觀察一下這些垂線之間有什么關系。同時再將問題回歸到社會生活中，讓學生思考，在生活中，鐵軌是平行的，那么人們又是通過什么方法確保鐵軌之間一定是平行的呢？在思考這些問題的過程中，學生所建立的數學模型會越來越清晰，他們可以從模型中提取共性，那就是當兩條直線沒有任何公共點的時候，它們是平行的，在同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行。
小學低年級學生接觸的數學模型是類似線段圖這樣的直觀模型，而高年級之后也會接觸符號類的抽象數學模型，教師不僅要指導學生如何提取共性，建立模型，還要培養學生養成建模的習慣，深度地提高對數學模型的認知。
二、調整模型，嘗試推理
學者史寧中認為數學發展過程中所依賴的本質有三個，那就是抽象、推理和模型。在指導學生運用建模思想解決數學問題的過程中，光光建立模型還是不夠的，教師還要指導學生學會在推理的過程中調整模型，提高他們的合情推理能力。
在學習小數乘法的問題時，教師可以讓學生嘗試模擬超市購物的真實場景，在游戲活動的過程中逐漸建立數學模型，并在推理中調整數學模型。在活動的時候，學生可以根據討論來設定每種商品的價格和購物的總價，然后設定參與購物活動的基本規則，然后便可以在設立模型的基礎上嘗試參與到這個活動中來。在進行活動的過程中，學生可能會發現自己事先設定的模型有問題，例如在設定購物的總價時出現了問題，總價太大，超過了全部商品價格的總和。教師要讓學生在設立模型的過程中收集大量的信息，然后根據具體情況來刪除一些無用的信息，并添加一些有用的信息，將數學模型進行合理調整，并嘗試運用自己設立的數學模型來進行計算。這樣的學習方式使得數學模型的設定外延得以擴大，也能讓學生更好地感受到數學模型在生活中的實際用途，讓學生養成實事求是的嚴肅態度，同時也對學生的創新精神有所促進。
教師可以培養學生養成觀察事物的良好習慣，并嘗試通過簡單猜想的方式來調整自己設定的數學模型，從而更好地提高自己的建模能力。
三、應用模型，培養能力
學者吳長江提出數學建模能力是對各種問題進行數學化，創建相應數學模型，并最終解決問題的能力，在小學數學教學中，教師要提高學生的數學建模能力就要讓學生嘗試應用模型來解決各種難題。小學生要學習如何運用公式、圖表、法則等來解決實際問題，提高自己的數學求解能力。
教師要讓學生明白，建立了數學模型之后是要用來解決各種實際問題的，他們要嘗試運用各種變式來解決現實問題。例如“雞兔同\”是一個十分典型的問題，很多小學的應用題都可以轉化為“雞兔同籠”類的問題，學生可以嘗試用假設法、方程法、抬腿法等各種方法來解決這個問題，更重要的是要學會解決這個問題的基本思路，這樣才能將其抽象為數學模型，并運用其規律來解決現實生活中的其他數學問題。例如教師可以讓學生嘗試參考“雞兔同籠”的問題來進行其變式的練習，嘗試解決：“在一個班級中，一共有46個同學一起去參加游藝場的活動，大家選擇了海盜船的游戲，大家一共乘坐12艘海盜船，其中大海盜船每一艘坐5個人，小海盜船每一艘坐3個人，問大海盜船和小海盜船一共有多少艘？”要解決這個問題就要熟悉數學模型，然后嘗試運用該數學模型來解決此問題。這樣的練習對于提高學生應用數學模型的能力有很大幫助。
【關鍵詞】解題技能 聯想 把握問題實質
每年初中數學會考，一般都把試題分為容易題（基礎題），中檔題以及難題。近年初中數學中考中，難題一般都占全卷總分的四分之一強，難題不突破學生是很難取得會考好成績的。
初中數學中考中的難題主要有以下幾種：①思維要求有一定深度或技巧性較強的題目。②題意新或解題思路新的題目。③探究性或開放性的數學題。
針對不同題型要有不同的教學策略，無論解那種題型的數學題，都要求學生有一定的數學基礎知識和基本的解題技能（對數學概念的較好理解，對定理公式的理解，對定理公式的證明的理解；能很熟練迅速地解答出直接運用定理公式的基礎題），所以對學生進行 "雙基"訓練是很必要的。當然，初三畢業復習第一階段都是進行 "雙基"訓練，但要使學生對數學知識把握得深化和基本技能得到強化，復習效果才好。
有些老師認為，對全班進行面上的復習只要復習到中等題就行，不必進行難題的復習，那些智力好的學生你不幫他們復習他們也會做，那些智力差的學生你教他們也白白浪費時間。其實，學生有一定的數學知識和基本的解題技能也不一定能解出難題，這是因為從數學基礎知識出發到達初中中考中的難題的答案，或者思維深度要求較高――學生思維深度不夠，或者思路很新――學生從來沒有接觸過。但，很多有經驗的初三畢業班的老師的多年的實踐證明，針對難題進行專題復習是很有必要的，只要復習得好，對中等以上學生解難題的能力的提高作用是較大的。對此，我們在第二階段復習中要對學生針對難題進行思維能力的訓練和思路拓寬的訓練。當然，這種訓練也要針對學生的 "雙基"情況和數學題型，這種訓練要注意題目的選擇，不只針對會考，也要針對學生思維的不足，一定量的訓練是必要的，但要給出足夠的時間給學生進行解題方法和思路的反思和總結，只有多反思總結，學生的解題能力才能提高。老師要注重引導，不能以自己的思路代替學生的思路，因為每個人解決問題的方法是不一定相同的。
過去，有些初三畢業班的老師，在中考復習中，找來各地各區的模擬題對學生進行一輪輪的訓練，練完講，講完練，師生都很辛苦，但效果卻不很理想，這是因為這種題海戰術式的復習方法沒有做到因材施教，老師的教學對學生的知識技能及思維能力和對數學題型的針對性都不足。學生沒有體現學習的主體性，也沒有足夠的時間進行總結和反思。因此，學生的解題技能和思維能力沒有真正得到提高。
有些老師覺得，中考難題難度大，考試題型新而難以捉摸。對難題的專題復習就是把今年會考難題以及當年各地各區的模擬考試題中的難題講練一次。這種以題論題的復習也難以使學生解難題的能力有實質性的提高。
初中數學中考試題的命題者的命題目的是考查我們初中畢業的學生對初中數學基礎知識的掌握情況，試題當然都離不開初中的基礎知識。所謂難題，只是籠上幾層面紗，使我們不容易看到它的真面目。我們老師的任務就是教會我們的學生去揭開那些看起來神秘的面紗，把握它的真面目。程咬金用三道板斧能在戰場上取勝，我們的學生已經掌握了所有初中數學的基礎知識，有一定的解題技能，只要我們對學生的引導和訓練得當，我們的學生一定能在考場上取勝。關鍵是，我們對學生的復習訓練能使學生對知識融會貫通并強化學生的解題技能，同時，我們老師的得當的引導，學生訓練后的反思總結，對知識的自主構建，從而把握各類數學難題的實質――跟初中數學基礎知識的聯系。
對難題進行分類專題復習時，應該把重點放在對學生進行對數學難題跟基礎知識的聯系的把握能力的訓練以及引導學生迅速正確分析出解題思路這一點上，并從中培養學生解題的直覺思維。應當先把難題進行分類。然后進行分類訓練。在課堂上不必每題都要學生詳細寫出解題過程，一類題目寫一兩題就行了，其他只要求學生能較快地寫出解題思路，回去再寫出詳細的解題過程。我認為可以將初中會考中的難題分以下幾類進行專題復習：
第一類： 與一到兩個知識點聯系緊密的難題
例1：在O中，C是弧AB的中點，D是弧AC上的任一點（D與 A、C點不重合），則（ ）
（A）AC+CB=AD+DB （B）AC+CB
（C）AC+CB>AD+DB（D）AC+CB與AD+DB的大小關系不確定
教學引導： 與線段大小比較有關的知識是什么？（三角形任意兩邊之和大于第三邊或大邊對大角等）
如何把AC+CB與AD+DB組合在一個三角形中比較大小呢？
評議： 本例教學關鍵是引導學生把AC，CB，AD，DB這些線段構造在一個三角形上。
第二類： 綜合多個知識點或需要一定解題技巧才能解的難題
這類難題的教學關鍵要求學生運用分析和綜合的方法，運用一些數學思想和方法，以及一定的解題技巧來解答。
例2：在三角形ABC中，點I是內心，直線BI，CI交AC，AB于D，E.已知ID=IE.
求證： ∠ABC=∠BCA，或∠A=60°
教學點撥：本題要運用分析與綜合的方法，從條件與結論兩個方向去分析。 從條件分析，由ID=IE及I是內心，可以推出AID和AIE是兩邊一對角對應相等，有兩種可能： AD=AE或AD≠AE.
從這可以推得∠ADI與∠AEI的關系。 從結論分析，要證明題目結論，需要找出，∠ABC與∠ACB的關系，∠ADI=1/2∠ABC+∠ACB，而∠AEI=1/2∠ACB+∠ABC.從條件和結論兩個方面分析，只要找出∠AEI與∠ADI的關系就可以證明本題。
例3：某公司在甲，乙兩座倉庫分別有農用車12輛和6輛，現需要調往A縣10輛，調往B縣8輛。已知從甲倉庫調運一輛農用車到A縣和B縣的運費分別為40元和80元；從乙倉庫調運一輛農用車到A縣和B縣的運費分別為30元和50元。
（1）設從乙倉庫調往A縣農用車x輛，求總運費y的關于x的函數關系式；
（2）若要求總運費不超過900元。問共有幾種調運方案？
（3）求出總運費最低的調運方案，最低運費是多少元？
教學引導：
（1）先把題目的數量關系弄清楚。引導學生把本題數量關系表格化；
（2）引導學生寫出y與x的函數關系式后，運用函數的性質解答題目的后兩問。
第三類：開放性，探索性數學難題
無論是開放性還是探索性的數學難題，教學重點是教會學生把握問題的關鍵。
例1：請寫出一個圖象只經過二，三，四象限的二次函數的解析式。
教學點撥： 二次函數的圖象只經過二，三，四象限，就是不能經過第一象限，即當x>0時，y0時y
第四類：新題型（近年全國各地初中會考中才出現的題型）
初中會考題型再新也離不開初中的基礎知識，所以解這類題的關鍵是從題意中找到與題目相關的基礎知識，然后，運用與之相關的基礎知識，通過分析，綜合，比較，聯想，找到解決問題的辦法。
例1：五邊形ABCDE是張大爺十年前承包的一塊土地的示意圖。經過多年開墾荒地，現已變成如圖一所示的六邊形ABCMNE，但承包土地與開墾荒地的分界小路（即圖一中的折線CDE）還保留著。張大爺想過點E修一條直路，直路修好后，要保持直路左邊的土地面積與承包時的一樣多，右邊的土地面積與開墾的荒地面積一樣多。請你用有關的幾何知識，按張大爺的要求設計出修路方案。（不計分界小路與直路的占地面積）
（1）寫出設計方案，并在圖二中畫出相應的圖形；
【關鍵詞】解題，策略，能力，反思，總結
數學離不開解題，解題離不開解題策略。面對著一個比較綜合、有一定難度的數學問題，怎樣才能引導學生迅速地找到其突破口，打開學生的解題思路呢？俗話說妙計可以打勝仗，良策則有利于解題。只有掌握了一定的解題策略，才會在遇到問題時，找到問題的思考點和突破口，迅速、正確地解題。因此在教學中我們要適當加強數學解題策略的指導，優化學生的思維品質，提高解題能力。基于以上的認識，我在教學實踐中進行了對學生解題策略指導的嘗試探索，獲得了一些初步的體驗。
策略一：認真審題，理清思路。
正確深入地審題就等于做對了一半。教師必須逐步引導學生學會有條理有根據地思考問題：條件是什么？問題是什么？要解決這個問題，需要哪些條件？條件是否齊全？還缺哪些條件？
策略二：畫圖、列表幫助分析。
畫圖可以幫助學生列舉所有的情況，能幫助學生直觀地理解題目內容，能幫助學生分析數量之間的關系，從而學生能迅速地搜尋到解題的途徑。
小學低年級可用一些符號畫圖，幫助分析題意。如“小朋友站成一排，從前面數，小紅是第五個，從后面數小紅是第四個，這一排一共有多少個小朋友？”對于此類的題目，可以讓學生用任意符號代替小朋友，如、、、等，讓學生畫一畫，這樣問題就迎刃而解了。
小學中高年級數學解題中多用線段圖示法。像行程問題、分數應用題等等，很多題目都適合畫線段圖分析。線段圖示法是將應用題內在關系表象化、直觀化、是對學生已濃縮的文字進行符號化。長期訓練能極大地簡化、加速思維過程。
列表可以幫助學生整理信息，進行推理，幫助學生分析數量之間的關系，尋找規律。如很多邏輯推理問題適用此法分析。
有一些問題,按常規方法求解比較麻煩,但如果將問題看作一個整體,這樣解題效果特好。
策略三：化零為整。
例：李林喝了一杯牛奶的一半,然后加滿水又喝了一杯的一半,再倒滿水后又喝了半杯,又加滿水,最后把一杯都喝了,李林喝的牛奶多還是水多?
思路點撥:此題若按常規方法分步算出李林每次“喝”的牛奶和水的量很麻煩,不妨采用整體思維方法，換個角度，從“倒”的角度來考慮:李林前后喝了四次,牛奶正好喝了一杯,與此同時,三次所倒的水共1(杯),也全部喝完,故結論是李林喝的水和牛奶一樣多。
策略四：連估帶猜。
例：五位老人的年齡互不相同，其中年齡最大的比年齡最小的大6歲。已知他們的平均年齡為85歲，其中年齡最大的一位老人是多少歲？
思路點撥：根據題意，我們先估計年齡最大的老人的歲數在87~90歲之間。
若最大的為87歲，則最小的為81歲，由“年齡互不相同”可知，其他三個老人最多分別為86歲、85歲、84歲。但如果是這樣，五人的平均年齡不足“85歲”，所以最大的老人一定比87歲大。
若最大的老人為89歲，則最小的為83歲，其余3人歲數至少分別是84歲、85歲、86歲。但如是這樣的情況，五人的平均年齡超過“85歲”，所以歲數最大的老人應比89歲小。
這樣的話，年齡最大的老人應該是88歲。
策略五：巧妙設數。
例：水果店有甲乙丙三種水果，梅梅所帶的錢如果買甲種水果剛好可以買4千克，如果買乙種水果，正好可以買6千克，如果買丙種水果則可買12千克。梅梅決定三種水果買一樣多，那么她帶的錢能買三種水果各多少千克？
思路點撥：題中梅梅所帶的錢及三種水果的單價都不知，使得問題變得復雜化了，我們可以設梅梅帶了12元，那么問題就簡單多了。12元錢能分別買4千克甲種水果、6千克乙種水果、12千克丙種水果，那么甲、乙、丙三種水果每千克分別為3元、2元、1元，顯然，梅梅買三種一樣的水果，能各買12÷（3＋2＋1）=2（千克）
策略六：變換角度。
有些問題，若順著所求的問題去苦思冥想，往往非常困難，有時甚至無法得解。這時如果我們變化一下分析思考的角度，就會感到“眼前猛然一亮”，從而巧妙獲解。
例：在1~111這些自然數中，既不是5的倍數，又不是7的倍數的數，共有多少個？
思路點撥：我們從問題的另一面去想，在這111個自然數中，5和7的倍數共有多少個，除去這些數，不正是問題的答案嗎？
有些問題，涉及的某一數量反復多次地變化，若按一般由先到后的變化順序去分析解答，往往非常困難，有時甚至會鉆入牛角尖而無法回頭。怎樣解答這類問題呢？有一個巧妙的方法，就是從問題和結果入手“倒著”去推算。
例如：一條小蟲，由幼體長到成蟲，每天長一倍。10天能長到10厘米。那么，它長到2.5厘米時，長了多少天？
策略七：學會反思，總結方法。
反思是指解完一道題后，回過頭來認真地再做一番思考。但大部分學生只是為了完成任務而解題，只要能做對答案就行，對自己的解題方法和解題過程從來不加以反思和總結，錯過了歸納數學思想方法，感悟由經驗上升到規律，以感性上升到理性的機會。長此以往，學生解題思路狹窄，思維的靈活性必得不到提高。因此，培養學生反思解題過程，尋找最佳解題方案，提高學生的解題能力，也是教師關注的一個重要方面。學生解題后，教師提出問題要求學生反思，如：想想這道題是怎樣做出來的，回憶一下你思考的全過程，為什么要這樣做？還有沒有其他的方法，如果有，哪種方法更好？是否能變換成另一種形式等等，幫助學生進行反思。
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數學史上有個20棵樹植樹問題，幾個世紀以來一直享譽全球，不斷給人類智慧的滋養，聰明的啟迪，伴隨人類文明幾個世紀，點綴裝飾于高檔工藝美術的百花叢中，美麗經久不衰、與日俱增且不斷進步，不斷發展，在人類文明的進程中更加芬芳嬌艷，更加靚麗多采。 20棵樹植樹問題，源于植樹，升華在數學上的圖譜學中，圖譜構造的智、巧、美又廣泛應用于社會的方方面面。20棵樹植樹問題，簡單地說，就是：有20棵樹，若每行四棵，問怎樣種植（組排），才能使行數更多？20棵樹植樹問題，早在十六世紀，古希臘、古羅馬、古埃及等都先后完成了十六行的排列并將美麗的圖譜廣泛應用于高雅裝飾建筑、華麗工藝美術（圖1）。進入十八世紀，德國數學家高斯猜想20棵樹植樹問題應能達到十八行，但一直未能見其發表繪制出的十八行圖譜。直到十九世紀，此猜想才被美國的娛樂數學大師山姆·勞埃德完成并繪制出了精美
的十八行圖譜。
進入20世紀七十年代，兩位數學愛好者巧妙地運用電子計算機超越了數學大師山姆·勞埃德保持的十八行紀錄，成功地繪制出了精湛美麗的二十行圖譜，創造了20棵樹植樹問題新世紀的新紀錄并保持至今（圖
3）。
跨入21世紀，20棵樹植樹問題又被數學家們從新提出：20棵樹，每行四棵，還能有更新的進展嗎？數學界正翹首以待。隨著高科技的與日俱進和更新發展，期望將來人類的聰明智慧與精明才干能突破現在20行的世界紀錄，讓20棵樹植樹問題能有更新更美的圖譜問世，扮靚新世紀。（摘自重慶鄧開朋——中
國教育在線：數學世界三大難題）
20棵樹的問題可以排成23行
分析前人和計算機的成果，我認為20棵樹植樹問題可以突破20行，原因是前人和計算機有兩個問題沒有解決好。一是：外圍點盡量少的問題；二是中心點的移動問題，也就是要解決單一的軸對稱和中心對稱問題。通過研究，我解決了上述的兩個問題：外圍的點由12個減少到4個。由單一的軸對稱和中心對稱變成中心點可以移動的復雜圖形，成功的繪制了十六到二十三排各種圖譜，下面的（圖4）和（圖5）是二十二和二十三行的圖譜，這兩個圖譜具有代表性，稍加變化可以得到其他不同的十八到二十二行圖譜，所
關鍵詞：高中數學；構造法；解題
G633.6
常規的解題思維就是根據數學問題中已經給出的條件，向結論方向進行定向思考，然是目前很多數學難題通過常規的思考方法很難得出最后的正確的答案，尤其是某些數學難題在常規解題思路之下甚至會毫無頭緒。這就和我們走路一樣，遇到障礙清除繼續行走是常規的思維方式，但是有些時候有些障礙沒有辦法清除，那么就需要一個新的方法進行解決，才能更好的通行。面對無法用常規的解題方法進行解題的情況時，我們可以嘗試新的思路，例如：構造法，能夠幫助學生將抽象的數學知識、數學公式巧妙的結合起來從而尋求新的解題思路將數學題解決。
一、構造法在數學解題中的應用基礎
目前，構造法在解決數學難題中所展現出來的作用非常明顯，但是如果要熟練的使用構造法解決數學難題，學生必須要有豐富的數學知識作為基礎，還有學生具有一定的觀察能力，形成一定的數學思維，能夠看出和挖掘出已知條件與結論之間的內在關系。使用構造法解決數學難題，還要求學生必須具備一定的綜合能力，能夠靈活運用數學中的方程、幾何等等數學知識，同時還需要培養學生一定的創造能力，這樣是學會使用構造法的關鍵之處。在利用構造法解決數學難題時，可以發現題中有很對形式多樣的對象能夠用來進行構造，根據這些對象的特點將之劃分為圖形、方程、函數等等。還需要注意的是利用構造法解決數學難題時，不能生搬硬套，其實我們需要先了解什么是構造法，才能在實際解題的過程中更好的運用構造法。簡單來說，構造法本身是沒有特定的套路的，這是一種非常靈活的解題方法，所謂構造法重點在于怎么構造，構造沒有通用的法則，但是凡事都有一定的規律可循，構造法也不例外。構造法首先必須要明確構造的目標，其次就是要分析問題，掌握問題的特點，然后再根據具體的情況，明確構造的方案，從而解決相應的數學難題。
二、構造函數應用
函數是高中數學中非常重要的知識，高中學生一般能夠對函數知識靈活運用的話其實可以解決很多數學難題。若要靈活運用，首先得掌握函數的基本特征，函數特征中含有的界性、單調性、周期性、連續形象、復合函數、反函數等等，這些特性都必須掌握才能在實際解題中靈活的運用。通常我們在解決數學難題時，可以根據題目中已經給出條件的特征與結論的特征，對函數的特性進行靈活的使用，從而構造出相應的函數，將一些不等式證明等等問題轉變為函數的特征進行分析，能夠將所解問題簡單化，還能一定程度上提升解題的效率和解題的準確率。需要特別注意的是，利用構造函數的方法解決數學問題有這些難點：第一，數學題多種多樣，如果要分辨出那種題型比較適合運用函數構造法來進行解決，對于高中學生目前來說難度還是很大的。第二，使用構造法本身具有較高的難度，學生具體使用過程中需要教師進行引導。第三，解題過程中，哪一個階段要使用構造法學生也很難分清楚，有些數學題一開始需要進行構造，還有一些數學題解到一半才需要構造，這些客觀的因素也就體現了構造法的難度。例如：已知a、b、c∈（0，1），求證a（1-b）+b（1-c）+c（1-a）0，f（1）=（b+c-1）+（bc-b-c+1）=bc>0.而f（a）是一次函數，圖形是一條直線，因此，當a∈（0，1）時，恒有f（a）>0，也就是（b+c-1）a+（bc-b-c+1）>0，整理之后得出：a（1-b）+b（1-c）+c（1-a）
三、構造方程應用
對于高中學生來說方程已經不陌生，所謂方程就是含有未知數的等式，解方程就是求未知數的值，或者求未知數的表達式。實際解題過程中，我們知道很多數學問題當中有很多未知的條件，為了更好的避免逆向思考，可以直接將方程式列出來，可以將未知數利用數學符號來進行替代，從而列出等式，然后根據等式之間的關系來求未知數，這樣可以提高解題的效率，還能省去很多不必要的麻煩。高中很多數學題計算量比較大，而且未知量的數量增加與未知量之間的關系變化也是非常的復雜，如果利用常規的方式去解答很多時候學生感覺無從下手，但是通過分析題目中給出的條件與結論之間的關系，構造對應的方程，不僅能夠讓問題更加簡單，還能開闊學生的思維，培養學生的觀察能力與數學知識靈活運用的能力。例如：（m-n）2-4（n-x）（x-m）=0，求證：m，n，x為等差數列。針對這道題如果直面思考，感覺很難下手，經過觀察可以發現這個等式與解方程式的 中的b2-4ac的格式是一樣的，正好就可以利用這個特征，構造對應的方程（n-x）t2+（m-n）t+（x-m）=0，設W=（m-n）2-4x（n-x）（x-m），w=0，所以構造的方程兩個實數根是相等的，從而得知（n-x）+（m-n）+（x-m）=0，得知t=1，也得知另外一個根等于1，然后根據韋達定理，m+n=2x，由此解出m，x，n都是等差數列。
綜上所述，構造法就有一定的創造性，將這種創造性思維融入到解題思維當中，能夠解決更多數學難題。構造法還可以運用更多的數學問題當中，在實踐中不斷提高學生利用構造法解決數學難題的能力。構造法能夠發散學生的思維，讓學生對所掌握的數學知識進行融會貫通，一旦真正讓學生掌握了這種方法，筆者相信很多問題都能夠迎刃而解。因此，在高中數學教學中加強培養學生使用構造法的能力是值得深入研究的重要課題。
參考文獻：
[1]項啟威. 淺論高中數學解題過程中構造法的運用[J]. 考試周刊，2016，10：55-56.
針對不同題型要有不同的教學策略，無論解哪種題型的數學題，都要求學生有一定的數學基礎知識和基本的解題技能（對數學概念的較好理解，對定理公式的理解，對定理公式的證明的理解；能很熟練迅速地解答出直接運用定理公式的基礎題），所以對學生進行“雙基”訓練是很必要的。當然，初三畢業復習第一階段都是進行“雙基”訓練，但要使學生對數學知識把握得深化和基本技能得到強化，復習效果才好。
有些老師認為，對全班進行面上的復習只要復習到中等題就行，不必進行難題的復習，那些基礎好的學生你不幫他們復習他們也會做，那些基礎差的學生你教他們也白白浪費時間。其實，學生有一定的數學知識和基本的解題技能也不一定能解出難題，這是因為從數學基礎知識出發到達初中會考中的難題的答案，或者思維深度要求較高――學生思維深度不夠，或者思路很新――學生從來沒有接觸過。但很多有經驗的初三畢業班的老師的多年的實踐證明，針對難題進行專題復習是很有必要的，只要復習得好，對中等以上學生解難題的能力的提高作用是較大的。對此，我們在第二階段復習中要對學生針對難題進行思維能力的訓練和思路拓寬的訓練。當然，這種訓練也要針對學生的“雙基”情況和數學題型，這種訓練要注意題目的選擇，不只針對會考，也要針對學生思維的不足，一定量的訓練是必要的，但要給出足夠的時間給學生進行解題方法和思路的反思和總結，只有多反思總結，學生的解題能力才能提高。老師要注重引導，不能以自己的思路代替學生的思路，因為每個人解決問題的方法是不一定相同的。
一、課內重視聽講，課后及時復習
新知識的接受，數學能力的培養主要在課堂上進行，所以要特別重視課內的學習效率，尋求正確的學習方法。上課時要緊跟老師的思路，積極展開思維預測下面的步驟，比較自己的解題思路與教師所講有哪些不同。特別要抓住基礎知識和基本技能的學習，課后要及時復習不留疑點。首先要在做各種習題之前將老師所講的知識點回憶一遍，正確掌握各類公式的推理過程，盡量回憶而不采用不清楚立即翻書之舉。認真獨立完成作業，勤于思考，從某種意義上講，應不造成不懂即問的學習作風，對于有些題目由于自己的思路不清，一時難以解出，應讓自己冷靜下來認真分析題目，盡量自己解決。在每個階段的學習中要進行整理和歸納總結，把知識的點、線、面結合起來交織成知識網絡，納入自己的知識體系。
二、適當多做題，養成良好的解題習慣
要想學好數學，多做題目是難免的，熟悉掌握各種題型的解題思路。剛開始要從基礎題入手，以課本上的習題為準，反復練習打好基礎，再找一些課外的習題，以幫助開拓思路，提高自己的分析、解決能力，掌握一般的解題規律。對于一些易錯題，可備有錯題集，寫出自己的解題思路和正確的解題過程兩者一起比較找出自己的錯誤所在，以便及時更正。在平時要養成良好的解題習慣，讓自己的精力高度集中，使大腦興奮，思維敏捷，能夠進入最佳狀態，在考試中能運用自如。實踐證明：越到關鍵時候，你所表現的解題習慣與平時練習無異。如果平時解題時隨便、粗心、大意等，往往在大考中充分暴露，故在平時養成良好的解題習慣是非常重要的。
三、調整心態，正確對待考試
首先，應把主要精力放在基礎知識、基本技能、基本方法這三個方面上，因為每次考試絕大部分的也是基礎性的題目，而對于那些難題及綜合性較強的題目作為調劑，認真思考，盡量讓自己理出頭緒，做完題后要總結歸納。調整好自己的心態，使自己在任何時候鎮靜，思路有條不紊，克服浮躁的情緒。特別是對自己要有信心，永遠鼓勵自己，除了自己，誰也不能把我打倒，要有自己不垮，誰也不能打垮我的自豪感。
在考試前要做好準備，練練常規題，把自己的思路展開，切忌考前去在保證正確率的前提下提高解題速度。對于一些容易的基礎題要有十二分把握拿全分；對于一些難題，也要盡量拿分，考試中要學會嘗試得分，使自己的水平正常甚至超常發揮。
初中數學會考試題的命題者的命題目的是考查我們初中畢業的學生對初中數學基礎知識的掌握情況，試題當然都離不開初中的基礎知識。所謂難題，只是蒙上幾層面紗，使我們不容易看到它的真面目。我們老師的任務就是教會我們的學生去揭開那些看起來神秘的面紗，把握它的真面目。程咬金用三道板斧能在戰場上取勝，我們的學生已經掌握了所有初中數學的基礎知識，有一定的解題技能，只要我們對學生的引導和訓練得當，我們的學生一定能在考場上取勝。
關鍵詞：小學數學；解題策略；有效提高
一、小學數學解題策略的重要性
1.解決問題的實際意義
在小學數學中，學生會經常遇到自己不會做的題目，在這時，大部分學生不去理會，忽略此類型題目，長久下來，學生遇到的難題越來越多，解決問題的思路也就變得越來越窄，從而使得學生對數學的學習喪失自信心。解決問題就是指教師在課堂教學中做好引導的角色，引導學生自己去思考問題，讓學生能在學習中準確地知道生活中有哪些類似的應用，找到解決此類問題的方法，培養學生自主思考問題的能力。通過解決問題，學生可以掌握不同的解題思路，可以在任何問題下都充滿自信，特別是在數學的學習中有困難的學生，自信對他們很重要，自信可以讓他們在不斷地解決數學問題的過程中提高解題能力。
2.小學數學解題策略的特點
在小學數學教學中，解決問題策略的教學方法與傳統的教學方法相比是不同的，解題策略的教學方法更具有靈活性。在小學數學解決問題策略的教學中，教師依然是根據學生的特點，在課堂里巧妙地引進一些生活中常見的含有小學數學知識的實際物體作為解決問題的教學材料，這樣會給學生一種親切感，從而致使學生對問題進行思考，給學生足夠的思考空間。其實，生活中所涉及的小學數學的知識點也是十分廣闊的，學生在遇到問題時可以發揮的空間很大，所要考慮的知識面廣，在這種情況下，教師可以把學生分組，巧妙地使課堂形成辯論賽的形式，讓學生對問題進行辯論，在辯論中學生可以聽到與自己不同的見解，也可以找到自己在看待問題時的不足之處，并且彌補自己的不足。通過辯論，學生不僅增加了數學的知識量，還有效地提高了學習能力，使得學生有效地克服數學難題。然而傳統的教學方法就不免有些古板，沒有創新性，教師在授課時，可以選擇的教材很少，因此，使得教師在課堂上可以發揮的范圍狹窄，不能夠調動起學生的學習積極性，使得課堂效果不佳，沒辦法有效地解決學生在小學數學中的解題問題。所以，教師在課堂教學中要適當地加一些教學情境，調動學生學習的積極性，然后對學生加以引導，打開學生對問題的思路，讓學生自己去思考問題，找到解決問題的方法，從而有效地解決問題。
二、小學數學解題策略有效提高的措施
隨著網絡媒體技術的發展，多媒體教學逐漸走進課堂，在課堂教學中被廣泛應用，并起到非常重要的作用，方便了教學。小學數學教學有了多媒體這個輔助教學工具，就有了更多的教學資料來指導學生，給學生更多的啟發，為學生打開思路，找到解決問題的技巧。其實，教師在教學過程中，并不僅僅是單純地幫助學生解決一道或者兩道不會的數學難題，而是，要運用一些方法培養學生自主思考問題的習慣，從而，在遇到數學難題時，先是自己對問題思考分析，在思考分析中找到解題思路，然后通過自己對問題的思考分析，學生發現原來數學題也沒有那么難，就會慢慢地掌握解題技巧，以方便以后的做題。在小學數學的教學中，教師還可以運用一些教學方法來幫助學生解決問題，例如，情境教學、加強實踐、處理信息、體驗策略等，通過這些教學方法來幫助學生掌握解題策略。（1）情境教學。即教師在課堂教學中利用談話的方式創設生動的課堂情境，良好的開端是成功的一半，教師和學生輕松的談話可以有效地縮短師生之間的距離，在生活中教師應多與學生接觸，多了解學生，多與學生親近，減少學生對教師的懼怕感，從而使學生在心理上可以輕松的和教師交流，這樣一來，學生愿意和教師做朋友，就不會出現以前課堂上學生不敢發言的現象，從而輕松自在的在課堂上和教師交流數學問題。例如，一個人花了8元錢買了一只雞，9元錢賣掉了，然后他覺得不劃算，花10元又買回來了，11元賣掉了，問，他賺了多少錢？利用這樣簡單有趣的數學題目激發學生內在的數學潛能，引導學生找到解題思路，從而有效地提高解題效率；（2）加強實踐。即學生在學習數學時，僅僅只掌握課堂內容是遠遠不夠的，只有在實踐中學生才能夠知道自己還有哪些不足，還需要在哪些方面進一步強化訓練，因此，學生應在課下找一些與課堂內容相關的題目進行實踐訓練，在這樣真實的題目下，學生主動思考問題、分析問題、解決問題，在這個過程中，可以使學生更充分地認識數學知識，增加對知識的記憶度，也讓學生更充分地認識自己，從而促進解題能力的提升；（3）處理信息，體驗策略。即學生在遇到數學難題時，教師一定要細心地指導學生，讓學生學會處理數學信息，首先要理解問題，很多學生遇到難題就放棄，主要是因為學生沒有理解題目，所以，教師要告訴學生如何去理解問題，找到問題的主干，然后進行分析，只要學生親自去體驗這樣解題的過程，相信，學生很快的就能將方法應用在不同的題目上，從而解決數學難題。
在小學數學教學中，使學生掌握解題技巧并能夠熟練應用，這并不是一天的事情，冰凍三尺，非一日之寒，因此，教師可以循序漸進地教導學生，讓學生慢慢地領悟解決問題的策略，逐漸掌握解決問題的策略。總之，只要學生愿意學習，主動地去學習知識、思考問題，我相信，學生便能夠很快掌握解決問題的技巧并且能夠熟練應用。
參考文獻：
[1]汪華.小學數學解題策略多樣性研究[J].中國科教創新導刊，2013（18）.
初中數學中考中的難題主要有以下幾種:1．思維要求有一定深度或技巧性較強的題目.2，題意新或解題思路新的題目.3，探究性或開放性的數學題.
針對不同題型要有不同的教學策略，無論解哪種題型的數學題，都要求學生有一定的數學基礎知識和基本的解題技能(對數學概念的較好理解，對定理公式的理解，對定理公式的證明的理解;能很熟練迅速地解答出直接運用定理公式的基礎題)，所以對學生進行 “雙基”訓練是很必要的.當然，初三畢業復習第一階段都是進行 “雙基”訓練，但要使學生對數學知識把握得深化和基本技能得到強化，復習效果才好.
我認為可以將初中中考中的難題分以下幾類進行專題復習:
第一類 綜合多個知識點或需要一定解題技巧才能解的難題.
這類難題的教學關鍵要求學生運用分析和綜合的方法，運用一些數學思想和方法，以及一定的解題技巧來解答.
例1 某省公路建設發展速度越來越快，通車總里程已位居全國第一，公路的建設促進了廣大城鄉客運的發展．某市擴建了市縣際公路，運輸公司根據實際需要計劃購買大，中兩型客車共10輛，大型客車每輛價格為25萬元，中型客車每輛價格為15萬元．
（1） 設購買大型客車x（輛），購車總費用為y（萬元），求y與x之間的函數表達式;
（2） 若購車資金為180萬元—200萬元（180萬元和200萬元），那么有幾種購車方案？在確保交通安全的前提下，根據客流量調查，大型客車不少于4輛，此時如何確定購車方案可使該運輸公司購車費用最少;
解 （1）y=25+15（10-x）
=10x+150
(2)有題意，得 10x+150 180
10x+150 200
解得 3 x 5
x是非負整數，
x=3，4，5.
共有三種購車方案：
第一種：大型客車3輛，中型客車7輛，不合題意;
第二種：大型客車4輛，中型客車6輛；
第三種：大型客車5輛，中型客車5輛；
第二種方案的購車費用為25 4+15 6=190（萬元）；
第三種方案的購車費用為25 4+15 5=200（萬元）.
即符合客流量要求并且購車費用較少的購車方案是購買大型客車4輛，中型客車6輛．
第二類 新題型(近年全國各地初中中考中才出現的題型)
（2006 寧夏卷）為了提高土地的利用率，將小麥，玉米，黃豆三種農作物套種在一起，俗稱“三種三收”，這樣的種植方法可將土地每畝的總產量提高40%．下面是這三種農作物的畝產量，銷售單價及種植成本的對應表：
現將面積為10畝的一塊農田進行“三種三收”套種，為保證主要農作物的種植比例，要求小麥的種植面積占種植面積的一半．
（1） 設玉米的種植面積為x畝，三種農作物的總銷售價為y元，寫出y與x的函數關系式；
（2） 在保證小麥種植面積不變的情況下，玉米，黃豆的種植面積均不得低于一畝，且兩種農作物均以整畝數種植，三種農作物套種的種植畝數，有哪幾種種植方案？
（3） 在（2）中的種植方案中，采用哪種套種方案，才能使總銷售價最高？最高價是多少？
（4） 在（2）中的種植方案中，采用哪種套種方案，才能使總利潤最大？最大利潤是多少？（總利潤=總銷售單價-總成本）
解析：此題信息量較大，數量關系較復雜，因此需仔細閱讀，分析，弄清楚各種數量關系，才能找到解決問題的方法．
解（1）y=[5*400*2+x*680+(5-x)250*2.6]*1.4
（2）方案如下表：
（3） 根據函數關系式可知，隨的增大而增大，所以采用方案四，即小麥5畝，玉米4畝，黃豆1畝，可使總銷售價最高，最高價為10318元．
（2） 總成本c與x的函數關系式為c=5*200+x*130+50*(5-x)=80x+1250
總利潤與的函數關系式為y-c=42x+10150-(80x+1250)=-38x+8900
她長著濃眉大眼，骨瘦如柴的身材讓我們不得不覺得她很柔弱，但是她的特點三天三夜也說不完。其中最明顯的特點就是：堅持不懈，思維敏捷，樂于助人。
堅持不懈的她
這次運動會，我們班走了一名“飛將”——劉雅麗，成功的希望不大了，我們把希望全都寄托在洪洋身上。在800米和400米比賽中，洪洋像一匹奔馳的駿馬，不過隨著體力的消耗，洪洋的速度漸漸慢下來。一個人追上了她，兩個人追上了她……她望著那些超過她的對手，速度又加快了，旁邊的啦啦隊又喊起了響亮的口號，她終于堅持的跑到終點了，她終于超越自我了。
思維敏捷的她
堅持不懈的她是運動場上的強手，而思維敏捷的她又是學習中的佼佼者。
記得在一堂數學課上，老師給我們出了一道難題。我們冥思苦想，還是不知道從哪兒下手，這是洪洋舉手了，并順利回答了。洪洋真是我們班的“數學家”呀！
樂于助人的她
思維敏捷的她不僅愛解決數學難題，她還愛幫助同學解決數學難題。
就拿這個單元的百分數來說，對我們可算是難題了！因為我們總找不準單位“1”，所以總是出錯。有一次，我又遇到難題了。洪洋見了，便給我詳細解說，難題就不翼而飛了！
這就是那個堅持不懈的她，這就是那個思維敏捷的她，這就是那個樂于助人的她！
洪洋，你是好樣的！
塘下鎮第三小學
六（3）班
