時間：2023-06-18 10:46:43
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇勾股定理的研究，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
在我國所頒布的《數學課程標準》，無論是義務教育階段還是普通高中階段，都有與數學史相關的要求。《全日制義務教育數學課程標準(實驗稿)》第四部分“課程實施建議”，每一個學段的“教材編寫建議”都有“介紹有關的數學背景知識”這一條目。而《普通高中數學課程標準(實驗)》認為“數學課程應適當反映數學發展的歷史、應用和趨勢”“應幫助學生了解數學在人類文明發展的作用，逐步形成正確的數學觀。”同時在選修課程中開設“數學史選講”，并提供了若干可供選擇的專題。
勾股定理是平面幾何中具有奠基性地位的定理，是解三角形的重要基礎，也是整個平面幾何的重要基礎，其在現實生活中具有普遍的應用性。因此勾股定理幾乎是全世界中學數學課程中都介紹的內容。這是因為勾股定理不僅對數學的發展影響巨大，而且在人類科學發展史上意義非凡。從某種意義上說，勾股定理的教學是數學課程與教學改革的晴雨表。20世紀五六十年代數學課程的嚴格論證，后來提倡的“量一量、算一算”“告訴結論”“做中學”，直到現在的探究式等，在勾股定理的教學中都有各自的追求。數學教學要培養學生數學計算、數學論證乃至數學推斷等能力，勾股定理的教學正是一個恰當的例子。
“勾股定理”是初中數學中的一個重要內容，具有悠久的歷史和豐富的文化內涵，《全日制義務教育數學課程標準(實驗稿)》中指出勾股定理的教學目標是讓學生體驗勾股定理的探索過程，會運用勾股定理解決簡單的問題。勾股定理的內容出現在八年級，而八年級又是學生學習數學的一個重要發展階段，由具體思維向形式化思維轉變的重要時期，但勾股定理的教學卻始終是一個難點，雖然勾股定理的證明方法據說超過400種，但是真正能夠讓學生在思路上比較“自然地”想到的證明方法是困難的，而從讓學生體驗知識的發現過程的角度來講，要讓學生“再發現”勾股定理更是難上加難。
那么，教師如何教學才能使學生體驗勾股定理的探索過程呢?筆者認為教師應該以勾股定理的歷史文化發展為線索來設計課堂教學更為合適。
1. 教學目標
（1）使學生在探索中“發現”勾股定理；
（2）使學生從勾股定理的歷史背景中體驗勾股定理；
（3）使學生從不同文化對勾股定理不同的證明方法中感受數學證明的靈活和數學美，感受勾股定理的豐富文化內涵；
（4）使學生運用勾股定理解決實際問題；
2. 課時安排 本節安排三課時，第一課時講到勾股定理的證明，第二課時講授證明方法，第三課時講授勾股定理的應用。
3. 教學過程
3.1 從文化傳統入手使學生“發現”勾股定理：
教師在課前需要做好形式多樣的三角形的模型，既有直角三角形又有非直角三角形（為方便起見，使得每一個直角三角形的兩個直角邊的長度均為整數）。將全班學生分若干個小組，發給每個小組兩個直角三角形和一個非直角三角形，讓每個小組同學利用直尺測量三角形的三邊長，并記錄數據（教師可利用幾何畫板進行集體演示）。然后，教師提出問題：
(1) 你手中的直角三角形的三邊的平方之間有什么關系？
(2) 這種關系對于非直角三角形是否任然成立？
通過計算，和小組內討論，每個小組選出一位“發言人”代表本小組陳述本組的結果。教師在一旁進行指導，并根據學生的回答，給出正確的結論：
問題(1)：任意直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。這就是我們要學習的勾股定理的內容。這里的“勾、股”指的是直角三角形的兩個直角邊，斜邊叫做“弦”。
問題(2)：任意非直角三角形都不存在這種關系。
中國傳統數學非常重視測量與計算，這是古人發現問題和解決問題的主要方法之一，同時也是學生很熟悉的學習方法。這樣引入課題符合從特殊到一般的思維規律，能夠帶動學生的學習積極性。
3.2 向學生介紹勾股定理的歷史背景：
據史書記載，大禹治水與勾股定理有關。
大禹在治水的實踐中總結出了運用勾股術(也就是勾股的計算方法)來確定兩處水位的高低差。可以說，大禹是世界上有確切文字記載的第一位與勾股定理有關的人了。
《周髀算經》是中國歷史上最早的一本算術類經書。周就是圓，髀就是股。上面記載周公與商高的談話，其中就有勾股定理的文字記錄，即＂勾三股四弦五＂，亦被稱作商高定理。卷上另外一處記述了周公后人榮方與陳子(約公元前6、7世紀)的對話中，則包含了勾股定理的一般形式：
“……以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，并幾開方除之，得邪至日。”
可見，在我國西周時期已經開始利用勾股定理來測天量地，于是勾股定理又叫“商高定理”。
而在西方，人們認為勾股定理的第一個證明是畢得格拉斯給出的，因此將勾股定理又叫做“畢得格拉斯”定理。相傳畢得格拉斯學派為了慶祝這條定理的發現，一次就宰殺了一百頭牛祭神慶賀，于是也把“畢得格拉斯”定理稱為“百牛定理”，不過迄今為止還沒有畢得格拉斯發現和證明勾股定理的直接證據，而且宰牛慶賀一說也與畢得格拉斯學派的素食主義相違背。不過盡管如此，人們任然對畢得格拉斯證明勾股定理的方法給予了種種的猜測，其中最著名的是普魯塔克(Plutarch,約46-120)所給出的面積分割法。從畢得格拉斯時代到現在，人們對勾股定理給出了各式各樣不同的證明方法。在盧米斯(E·S·Loomis)的《畢氏命題》一書第二版中，作者收集了勾股定理的約370種不同的證明方法，并對它們進行了分類。
3.3 向學生展示歷史上勾股定理的不同的證明方法：
勾股定理在幾何里具有非常重要的地位，是解三角形的重要基礎，也是整個平面幾何的重要基礎，其在現實生活中也具有普遍的應用性. 在數學教科書中，勾股定理一般出現在八年級，而八年級被認為是學生學習數學的一個重要發展階段，也即具體思維向形式化思維轉變的時期. 所以可以說，勾股定理教學也處于學生數學思維轉折階段. 但另一方面，勾股定理的教學卻始終是一個難點. 雖然勾股定理的證明方法據說超過400種，但是讓學生能夠在思路上比較“自然地”想到證明方法是困難的；而且，從讓學生體驗知識發現過程的角度講，要想讓學生“再發現”勾股定理更是難上加難.[1]所以有人說，看一個國家的數學教育水平，只要看看勾股定理，他們的教材是怎樣編的，他們的教師是怎樣教的，就可略知一二.
對于勾股定理的教學，黃榮金博士從上海和香港所做的19個勾股定理教學的現場實錄，以及由第三次國際數學和科學重復錄象研究項目提供的12個勾股定理教學錄象（包括實錄文稿）中，選取澳大利亞、捷克、中國香港和上海四地勾股定理的課堂教學進行研究，其研究表明澳大利亞是把勾股定理作為一個事實（已知）告訴學生，只字未提證明，捷克和香港雖然介紹了多種證明方法，但事實上只是通過演示手段，讓學生直觀地確認所發現的關系. 文[2]表明滬港兩地教師在教學中對勾股定理證明的處理有許多不同之處：香港課堂主要通過直觀或具體的活動來確認定理的真實性，而上海教師至少介紹一種數學證明，而且四分之三多的教師介紹 2 種以上方法；上海教師比香港教師更加緊扣教科書，而香港教師使用的教科書可以是不同的；香港教師總是將探索問題的過程或證明的步驟程序化.
教師通常依據教科書來進行教學，教科書的不同很有可能影響到教師的教學. 由此，本文從微觀層面來考察滬港兩地數學教科書“勾股定理”部分的編寫. 上海的教科書，我們選取華東師范大學出版社《數學》（事實上，此套教材在內地被廣泛使用），而香港教科書我們選取Oxford University Press的《Exploring Mathematics》[3].
2 《數學》和《Exploring Mathematics》中的“勾股定理”
《數學》第十四章為《勾股定理》，包括14.1《勾股定理》和14.2《勾股定理的應用》，其中14.1由《直角三角形三邊的關系》和《直角三角形的判定》兩小節組成. 《Exploring Mathematics（2ndEdition）2B》第10章為《勾股定理（Pythagoras’ Theorem）》，該章有三節為勾股定理的內容：10.2《勾股定理(Pythagoras’ Theorem)》，由《直角三角形三邊的關系（Relations between the Three Sides of a Right-angled Triangle）》、《介紹勾股定理（Introduction to Pythagoras’ Theorem）》和《數學的美妙：勾股定理的證明（The Beauty of Mathematics:Proofs of Pythagoras’ Theorem）》三小節組成；10.3《勾股定理的應用（Applications of Pythagoras’ Theorem）》，由《簡面圖形的應用（Applications to Simple Plane Figures）》和《現實生活應用（Real Life Applications）》兩小節組成；10.4《勾股定理的逆定理及應用（Converse of Pythagoras’ Theorem and Its Applications）》. （10.1和10.5分別為平方根和無理數. ）
本文從勾股定理的發現、勾股定理的證明、勾股定理的逆定理和勾股定理的應用四個方面對兩種教科書進行介紹，而這里的介紹涉及對兩種教科書的簡單比較.
2.1 勾股定理的發現
《數學》通過三個活動引導學生發現勾股定理. 第48頁安排了“試一試”：
測量你的兩塊直角三角尺的三邊的長度，并將各邊的長度填入下表：
根據已經得到的數據，請猜想三邊的長度a、b、c之間的關系.
筆者認為，這個活動設計得并不十分合理. 因為一塊任意的三角板，它的三邊長很可能并非整數. 讓學生由三邊長分別為3、4、5或者5、12、13的直角三角形猜想勾股定理，就已經不是十分容易的事（比如，學生容易得到3+5=2×4而不易得到32+42=52；也有學生由32=4+5和52=12+13猜想a2=b+c），更何況來猜想三個非整數之間的平方關系. 第49頁安排了“試一試”，通過數或計算三個正方形的面積來尋找直角三角形三邊長度之間的關系. 這個活動比前面那個活動目標明確、步驟清晰、難度降低，學生容易找到要求的關系. 第50頁又安排了“做一做”. 由這三個活動概括出勾股定理.
《Exploring Mathematics》的處理方式似乎與《數學》有些類似，事實上又有很大的區別. 教科書安排了兩個“班級探險（Class Exploration）”，第一個活動是出示一個直角三角形，要學生測量三邊的長度，然后計算三邊的平方，再思考a2+b2與c2的關系. 第二個活動是讓學生填表格，已知直角三角形的兩條直角邊分別是3和4，8和6，15和8，畫出圖形，測量斜邊，計算a2、b2和c2，再確定a2、b2和c2之間的關系. 很顯然，這兩個活動的目標很明確，而且臺階已經鋪好，學生只要依次一步步做下去，就可以得到答案.
總之，兩種教科書都通過若干個活動引導學生發現勾股定理. 從難度上講，《Exploring Mathematics》比《數學》要小，因為已經把“探索問題的過程或證明的步驟程序化”.
2.2 勾股定理的證明
《數學》在勾股定理的證明這一環節安排了“試一試”：將四個完全相同的直角三角形拼成一個正方形，然后計算邊長為c的正方形面積，通過運算得到勾股定理，這是一種代數方法. 拼法有兩種，第一種拼法（圖1）有運算c2=(a+b)2-4×1/2ab=a2+b2，第二種拼法（圖2）有運算c2=(a-b) 2+4×1/2ab=a2+b2. 這里的圖2是歷史上趙爽“弦圖”的簡圖，教科書隨后在“讀一讀”中對其做了簡單介紹.
此外，第54頁習題14.1的第1題其實是勾股定理的總統證法，第58頁的“讀一讀”其實是勾股定理的“風車證法”，而本章的最后安排“課題學習”：勾股定理的“無字證明”. 可以說，《數學》對勾股定理的證明非常重視，通過不同的活動形式展現給學生；而且更多地，不是直接告訴學生方法，而是引導學生自己去探索，去查找資料主動獲取證明方法.
《Exploring Mathematics》在《數學的美妙：勾股定理的證明》這一小節中，給出兩種“簡單而優雅的證明（two simple and elegant proofs）”. 證明1通過四個直角三角形拼成正方形的兩種不同擺放形式（圖3），從直觀上驗證定理（沒有代數運算），這是一種幾何方法. 證明2與《數學》“試一試”中的第二種方法一致，通過代數運算來證明；而且教科書在證明2旁邊也放了一則“歷史注解（Historical Note）”簡單介紹趙爽的弦圖及其證明方法. 不過除了這兩種證明方法，教科書中沒有再出現其他的方法.
總之，兩種教科書對勾股定理證明的處理有一致也有區別之處. 《數學》“試一試”中的兩種方法都是代數方法，而《Exploring Mathematics》采用一種幾何方法和一種代數方法. 而且，兩書的第二種方法都與趙爽的弦圖有關，都配有簡要的數學史知識. 此外，與《Exploring Mathematics》不同，《數學》還涉及其他證明方法，其中第58頁“做一做”中的“風車證法”也是一種幾何方法.
2.3 勾股定理的逆定理
對勾股定理的逆定理，《數學》用古埃及人畫直角的方法來引入；而《Exploring Mathematics》則開門見山，提出問題：交換勾股定理的條件與結論，“如果a2+b2=c2，那么∠C=90°”，這個結論成立嗎？然后學生探索，驗證，得到結論. 《Exploring Mathematics》也用“歷史注解”的形式簡單介紹了古埃及人畫直角的方法.
2.4 勾股定理的應用
對于定理的應用，兩種教科書都給出了一定數量的例題和習題. 我們來看兩書中的典型題目. 《數學》14.2《勾股定理的應用》例1：
如圖14.2.1（圖略），一圓柱體的底面周長為20cm，高AB為4cm，BC是上底面的直徑. 一只螞蟻從點A出發，沿著圓柱的側面爬行到點C，試求出爬行的最短路程.
比較有意思的是，這一題目我們可以在內地其他版本的教科書中看到. 比如，人民教育出版社《數學》第十八章《勾股定理》復習題的第8題就是類似一題；北京師范大學出版社《數學》八上第一章《勾股定理》第3節就以“螞蟻怎樣走最近”為標題，研究這個“螞蟻問題”. 為什么這些教科書都采用這一題目，它有什么深刻背景嗎？事實上，它是由一道歷史名題改編而來的，原題為：
如圖4，在一個長、寬、高分別為30、12、12英尺的長方體房間里，一只蜘蛛在一面墻的中間離天花板1英尺的A處，蒼蠅則在對面墻的中間離地面1英尺的B處，蒼蠅是如此地害怕，以至于無法動彈. 試問，蜘蛛為了捉住蒼蠅需要爬行的最短距離是多少？（提示：它少于42英尺）
這一“蜘蛛與蒼蠅”問題最早出現在1903年的英國報紙上，它是H.E.杜登尼（Henry Dudeney，1847-1930）最有名的謎題之一. 杜登尼是19世紀英國著名的謎題創作者，他創作的這一問題對全世界難題愛好者的挑戰，長達四分之三個世紀.[4]這就不難明白，教科書為什么對這“螞蟻問題”偏愛有加了.
除例1外，《數學》還安排3個例題. 在例2下面有一“做一做”，其實是證明勾股定理的“風車證法”，與上下文似乎沒有太大的聯系，放在這一節里并不合理.
《Exploring Mathematics》中例題和習題給人的第一感覺是，離學生的生活很近. 比如《現實生活應用》這一小節一開始安排了“班級探險”：
假設一艘小船離開大嶼山的梅窩碼頭，航行2.8公里達到喜靈洲碼頭. 然后左轉90度并航行3.1公里到達坪洲碼頭. 尋找一種可以獲知梅窩碼頭到坪洲碼頭的直線距離的方法.
大嶼山是香港的一個島（迪斯尼樂園就建在這個島上），喜靈洲和坪洲是大嶼山附近的兩個小島，它們都是香港學生熟悉的. 所以這一題設計得非常好，它取材于學生的現實生活，給人一種“身邊的數學”的感覺，富有生活氣息. 把現實中的問題轉化為數學問題，讓學生通過數學化和數學地思維去解決問題. 解決了這一問題，又能讓學生感覺到數學不僅是有趣的而且還是有用的.
再比如，同一小節的例7，大意是說Patrick從學校到公交車站要穿過一個長124米寬93米的足球場，那么他走最短路線要走多遠. 其后練習10C的14題又把場景放到一個籃球場，David沿邊跳，John沿對角線跳，然后問他們跳的路程差. 10.4《勾股定理的逆定理及應用》中的例9關注兩位學生的家與學校的距離，這樣的情境讓學生感覺到很親切. 相比而言，《數學》第58頁的例2，卡車通過工廠的大門，這樣的問題情境就不是十分貼近學生的生活.
總之，《數學》取材于歷史數學名題，《Exploring Mathematics》在問題情境的設計上下足工夫，兩書各具特色. 此外，從習題數量上看，《Exploring Mathematics》明顯要比《數學》多，而且每一個例題都標明它屬于水平1還是水平2，其后的習題也按水平1和水平2分開編排；《數學》除章末的復習題按難度和水平分成A、B、C三組，其他的例題、練習和習題沒有標注其對應的水平.
3 兩種教科書引發的思考
通過對《數學》和《Exploring Mathematics》在“勾股定理”內容的考察、比較和分析，也引起了我們對一些問題的思考.
3.1 弱化對定理的發現
對于定理的發現，筆者認為可以做弱化處理，沒有必要讓學生在此太花精力. 引導學生探究而發現勾股定理，處理不當，容易導致學生盲目的探究. 在實際教學中，教師雖有探究式教學的理念，但在師生行為的設計上存在著困惑：通過度量直角三角形三條邊的長，計算它們的平方，再歸納出a2+b2=c2，由于得到的數據不總是整數，學生很難猜想出它們的平方關系，因此教師常常把勾股定理作為一個事實告訴學生. 如何處理這一困惑，一條途徑就是教科書直接把勾股定理呈現在學生面前，而更多地把空間留給介紹與勾股定理相關的數學史料上，借此拓寬學生的視野. 第二條途徑是參考顧泠沅、王潔等人的工作：運用“腳手架”理論，通過“工作單”進行鋪墊，為學生的學習提供一種教學協助，幫助學生完成在現有能力下對高認知學習任務的難度的跨越. 這樣的處理也具有一定的可行性. 不過，筆者更傾向于第一條途徑，弱化發現，而強化證明、重視應用，把重點放到其后定理的證明和應用上，這樣處理也許對學生的思維更有利.
3.2 呈現多種證明方法
我們看到《Exploring Mathematics》只介紹了兩種證明方法，而且第一種更多的是借助直觀的幾何驗證；而《數學》則涉及到好幾種證明方法. 這也可以從某種程度上解釋前文所提及的兩地課堂教學上的差別. 筆者認為，對于定理的發現，我們可以做弱化處理，而證明則應該強化. 一方面，勾股定理的證明可以訓練學生精致的數學思維；另一方面，勾股定理的證明方法是體現多元文化數學的極好題材. 正如前文所述，勾股定理的證明方法據說超過400種，而且不同的方法與不同的文化、不同種族的思維方式緊緊聯系在一起. 我們認為數學教科書中呈現多元文化數學的內容是數學教科書編寫的發展方向. 通過對不同時期、不同地域數學成果及其思想方法的比較，可以使學生明白，數學并不只屬于某個民族、某種文化. 數學教科書和數學教學引導學生尊重、分享、欣賞、理解其他文化下的數學，借此拓寬學生的視野，加深對數學知識的理解，培養開放的心靈. 那么，在《勾股定理》中，教科書應以適當的方式呈現若干種經典證法. 比如歐幾里得《原本》的證明方法就很值得向學生介紹，與趙爽的方法做一對比，學生能體會到古希臘人對理性的追求；對相關背景做介紹，學生意識到不同的文明產生了不同的數學. 歐幾里得方法可能對學生而言比較難，不是那么容易理解，教師可以做適當的處理，比如借助計算機做動態演示，一般學生還是可以接受的.
3.3 問題情境的設計應貼近學生的生活
兩種教科書對定理的應用都非常重視. 學習了勾股定理，學生必須會用這個定理，否則學習它就沒有多大意義了. 教科書都安排了不少例題和習題. 在筆者看來，《Exploring Mathematics》的最大特色就在于問題情境的創設上. 數學問題本身就來自于生活，數學方法應應用于現實生活. 數學并不遠離學生的現實世界，相反，它就在我們身邊. 《Exploring Mathematics》中的例題和習題，就取材于學生周圍的世界，學校、自己家的房子、球場、公交車站、居住的島嶼，這些都是學生熟悉的場景. 這些熟悉的場景放進數學題里，學生就有一種親切感. “學數學”不僅是“做數學”，而且還是“玩數學”，讓學生在一種輕松愉快的情境中解決數學問題，而這個過程是充滿樂趣的. 教科書中的數學問題不能單純圍繞數學而編寫、杜撰. 比如說，我們在內地某教科書中看到這樣一個問題：
強大的臺風使得一根旗桿在離地面9米處折斷倒下，旗桿頂部落在離旗桿底部12米處. 旗桿折斷之前有多高？
這個問題設計并不科學、合理，因為橫向的“12米”是容易測量的，那么縱向的“9米”又是如何得到的呢？如果可以通過直接測量的話，那么折斷部分的15米應該也不難測量（唯一難測量的情況就是尺子的長度大于12米而小于15米）. 所以，它看似是來自于一個現實生活的問題，實則是很典型的“為數學而問題”. 從數學角度講，它也許是嚴謹的、完美的，但它卻遠離了學生的現實生活. 香港教科書在問題情境創設上對我們很具啟發和借鑒意義.
參考文獻
［1］ 鮑建生,王潔,顧泠沅.聚焦課堂――課堂教學視頻案例的研究與制作［M］.上海:上海教育出版社,2005. 180.
［2］ 黃榮金.香港與上海數學課堂中的論證比較――驗證還是證明［J］.數學教育學報,2003,12(4):13-19.[ZK)]
【中圖分類號】 G633.6 【文獻標識碼】 C
【文章編號】 1004―0463（2015） 10―0119―01
數學教學中應深入挖掘教材，在傳授數學知識的同時，充分展示其內在功能.本文對八年級上冊第一章中“勾股定理的逆定理”的運用價值作一探討分析.
一、展示數學辯證統一思想
數學知識是一個有機整體，許多知識點有著內在辯證統一的聯系，而“勾股定理的逆定理”是在“勾股定理”研究的基礎上形成的.兩個定理不但組成一對完善的互逆定理，而且在研究過程中亦展現了數學知識內部發展、運動的辯證統一關系.數學教學中，要充分地揭示兩定理的互逆性和統一性，加深學生對勾股定理本質的認識，進而親身體驗矛盾轉化的美感.
例1 如圖1，ABC中，CD是邊AB上的高.
（1）若∠ACB=90°，求證：CD2=AD?BD;
（2）若CD2=AD?BD，求證：∠ACB=90°.
證明：（1）由勾股定理得
（AD2+CD2）+（BD2+CD2）=AD2+2CD2+BD2…… ①
又AC2+BC2=AB2=（AD+BD）2=AD2+2?AD?BD+BD2…… ②
由①、②可得：CD2=AD?BD
（2）由已知，AB2=（AD+BD）2=AD2+2?AD?BD+BD2=AD2+2CD2+BD2=AC2+BC2.由勾股定理的逆定理可得∠ACD=90°.
二、滲透數學建模思想
數學建模思想是連接數學與現實的橋梁，是學生領悟數學“源于生活，又用于生活”的理想途徑.教學中應結合教材，把數學建模思想融合于知識學習之中，使知識點的內在價值得到充分體現.
例2 古埃及人用下面方法畫直角：把一根長繩打上等距離的13個結，然后用樁釘如圖2那樣釘成一個三角形，其中一個角便是直角.說明這種做法的根據.
例3 已知ABC中，三邊長分別為a，b，c，且a=n2-1，b=2n，c=n2+1（n>0），求證∠C=90°.
由例2可見，數學建模思想自古有之，是人類長期實踐的結晶，是人類燦爛文明的一部分，數學中應將它發揚光大.而例3作為一個幾何命題，實質上給出了勾股數的一個數學模型，由此可輕而易舉地完成練習：“除3，4，5外，再找出五組勾股數”.由上面兩例可見，數學建模思想在數學與非數學領域的導向性價值，亦可見課本編者匠心所在.
三、強化數形結合思想
華羅庚教授指出：“數缺形時少直覺，形少數時難入微.數形結合百般好，隔離分家萬事休.”如何使學生接受、理解并掌握數形結合思想，進而在分析問題、解決問題中能較熟練的運用，向來是數學教學的重點和長期任務之一.
例4 如圖3，ABC中，AB=13cm，BC=10cm，BC邊上的中線AD=12cm，求證：AB=AC.
由例4證明過程知，根據勾股定理逆定理，對ABC三邊進行精確的數量運算，并結合圖形，可得∠ADB=∠ADC=90°.先由RtACD圖形的直觀特征，用勾股定理計算出AC=13cm，最后由數的關系得到圖形相等關系AB=AC.
四、 “問題解決”的綜合實踐思想
“問題”是數學的心臟，而“問題解決”是數學永恒的主題.初中學生在數學學習過程中，時刻在感受、體驗“問題解決”的內涵.如何緊扣教材知識點，組織形成“問題情境”，使學生參與到“問題解決”的過程中，從而提高數學思維能力，已經成為教學重要任務之一.而該章“勾股定理逆定理”所隱含的極有價值的有關素材，正可不失時機地加以挖掘和應用.
例5 在ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，并且a2+b2=c2， 求證：∠C=90°.
略證：作A′B′C，使∠C′=90°，BC=a，AC=b，則由勾股定理得：A′B′=c=AB，所以ABC≌A′B′C′.由此∠C=∠C′=90°得證.
例6 如圖4 ，已知∠1=90°，AB=13，BC=12，CD=3，AD=4，求證：∠D=90°.
略證 RTABC中，由勾股定理可得AC=5，在ADC中由勾股定理可得∠D=90°.
1由中國結到勾股定理的證明方法
中國的文化既悠久又豐富，中國的民間藝術豐富，其中中國結就是中國民間藝術的智慧結晶.中國結從頭到尾都是用一根絲線編結而成，每一個基本結又根據其形、意命名.把不同的結飾互相結合在一起，或用其它具有吉祥圖案的飾物搭配組合，就形成了造型獨特、絢麗多彩、寓意深刻、內涵豐富的中國傳統吉祥裝飾物品.勾股定理的發現可以從中國傳統的吉祥裝飾物品中體現出來，同樣這種數學元素也反映在非洲的裝飾品中[1]，如此一來，這一素材又反映了數學多元文化的特點.具體地，圖1展現了“結”的前后表面形狀，圖2是“結”形狀的輪廓，包括可以看見的線條以及不可見的線條，由此可以看出中間是一個近似的正方形.
如果按照這個中國結的編織圖形（圖3）進行分割，通過截取變化（圖4）便能得到并證明結論：SC=SA+SB.（圖5）
2由紙風車到勾股定理的證明方法
紙風車是一種來自民間的折紙藝術，做法簡單，制作后的紙風車形狀具有數學對稱美，而其形狀又成為了證明勾股定理的良好素材.通過觀察可以看出紙風車的形狀成中心對稱，將紙風車中的結點連接，大正方形被分割成一個小正方形和四個全等的四邊形（圖6）.將圖6中的幾何圖形進行如圖7的拼接，可以巧妙地證明勾股定理.
3文化素材的教學應用
多元文化數學的進一步挖掘會使數學的教與學變得更加豐富多彩[2]，從教學的角度思考勾股定理的教學，將上述的文化素材切入勾股定理的學習，將數學融入文化，并從學生認知規律出發設計一堂生動有趣的數學文化課堂.具體而言，上述文化素材可以通過兩種方式加以應用.
一是在形成了有關勾股定理的猜想之后，展現中國結與紙風車等文化素材，通過數學化，將生活形狀抽象為幾何圖形，然后再利用拼圖游戲來直觀化地驗證勾股定理.這樣做的目的有三.首先，適應學生的幾何認知水平.荷蘭學者范希爾夫婦經過理論和實踐兩方面的長期探索，指出學生的幾何思維存在5個水平：直觀（Visualization）、分析（Analysis）、推理（Inference）、演繹（Deduction）、嚴謹（Rigor）[3].初中學生的邏輯思維能力還不是太強，因此需要通過直觀、操作等手段幫助學生理解抽象的幾何關系與演繹邏輯.而借助中國結、紙風車等為載體抽象出來的幾何圖形，通過拼圖能直觀地驗證勾股定理，這對于數學學習基礎尤其是抽象思維能力較弱的學生而言是極為重要的，降低了思維難度，但同時又提高了學生的參與度、興趣與信心.其次，密切數學與生活的關聯.在很長一段時間里，學生學校的數學學習與其生活是相互割裂的.這樣的學習也造成了很大的教育問題，即學生的數學學習未能被正當地賦值，甚至有人還提出數學無用論.因此，在教學中需要借助學生生活中常見的素材，并由此學習這些素材中蘊含的數學元素與數學關系，這也即是“數學生活化”的教學設計邏輯[4].這即是指，教師首先確立的是“勾股定理”這一數學維度上的學習目標，然后尋找到如中國結、紙風車等生活中常見的素材，并使之融入到教學之中，以實現“數學生活化”.再次，為了學生文化浸潤式的學習.除了密切學生的現實生活與數學之間的關聯之外，還要讓學生體會到數學的文化厚重感.即借助富有中國傳統特色的中國結、流傳歷史悠久的紙風車來學習數學，能讓學生產生歷史厚重感.
二是在學生已經學習了勾股定理之后，向學生展現中國結和紙風車圖片，要求學生抽象出其中的數學元素，并由此探索這些數學元素之間的數學關系.與前一種將文化素材作為驗證勾股定理的載體不同，這里將其后置到定理學習之后作為拓展性的問題讓學生探索.這種用法的價值除了具有前述“密切數學與生活之間的關系”、“為了學生文化浸潤式的學習”等兩個方面之外，還有以下意義.首先，為了知識的鞏固與活化.學生在學習了勾股定理之后，除了常規的練習之外，事實上更重要的是要將知識遷移到類似的但又不那么封閉與明確的情境之中.后者不僅在于鞏固知識，同時也使知識得到活化.因為，無論是中國結還是紙風車，都需要學生作一定程度的數學化，并將不熟悉的問題化歸為剛剛學習的勾股定理相關的問題，顯然這就不僅僅是知識的鞏固了.其次，從教育目標的角度來看，這種做法還期待培養學生“生活數學化”的能力.關于數學價值，不同的人也許有著不同的理解.但顯見的是，在數學上研究越深入的人越能認識到數學的內在價值.造成這種現象的一個重要原因在于，數學的價值有時是非常內隱的，甚至很難為人所感知的.如果在教學中不去挖掘數學的內在價值，有時就會產生誤導，甚至會認為數學只是用于計算.也正因如此，我們強調這些文化素材在數學教學中加以應用，就是希望所培養的學生能逐漸擁有用數學思考問題的意識和習慣，擁有用數學更好地組織生活的能力.就本案例而言，中國結與紙風車都是我們文化生活中所常見的，但我們更習慣于用工藝品（或藝術品）的角度來理解，而很少會從數學的角度研究這類物品.但事實是，當我們用數學的角度來理解生活中的這些事和物的時候，往往能帶來驚喜：原來我們身邊處處有數學.再次，有助于培養學生的數學學習習慣.過去我們所理解的數學學習習慣往往指的是學生伏在案頭學習數學的習慣.我們認為，數學學習習慣除了上述方面外，一個更高的層次是學生隨時而自然地會想著用數學的角度思考問題.后者當然是理想的狀態，但教學中的有意識培養也能幫助學生朝著這個方向前進.其中一個重要的培養策略就是讓學生嘗試探索也許表面上與數學風馬牛不相及的素材中的數學元素，除了中國結、紙風車，還有包括建筑物等素材.需要進一步說明的是，與前一種用法相比，這種用法對學生的數學要求也更高，當然所培養的探索能力也會更強一些.
總之，數學文化的觀念已引起人們越來越多的關注，關于數學文化與數學課程教學的整合也是研究的熱點問題之一.但關于富含數學元素的民俗文化的挖掘與教育學轉換還比較有限，本文也是在這一方向上的一種努力.
參考文獻
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關鍵詞：和諧；黃金數；勾股定理；對稱美
隨著數學的深入發展，人們逐漸地認識到：數學的發展與人類文化休戚相關，數學一直也是人類文明的文化力量。在數學教材中，蘊涵著豐富的數學美，認識數學的美，有利于提高學生學習的興趣，能增強學生的數學解題能力和數學思維。
一、黃金數
兩千多年前，古希臘數學家歐多克斯發現：如果將一條線段(AB)分割成大小兩段(AP、PB)，若小段與大段的長度比恰好等于大段長度與全長之比的話，那么這一比值等于0.618…，用式子表示就是PB：AP=AP：AB=0.618…
建筑師們對數字0.618…特別偏愛，無論是古埃及的金字塔，還是巴黎的圣母院，或者是近世紀的法國埃菲爾鐵塔，都是與0.618…有關的數據。人們還發現，一些名畫、雕塑、攝影作品的主題，大多在畫面的0.618…處。藝術家們認為弦樂器的琴馬放在琴弦的0.618…處，能使琴聲更加柔和甜美。因此大畫家達芬奇把0.618…稱為黃金數。
黃金分割在幾何作圖中有很多應用，如五角星的各邊就是按照黃金分割劃分的，圓的內接正十邊形也能歸結為黃金分割。關于黃金分割還有很多應用，如攝影、建筑設計、音樂、藝術等。
二、古老的勾股定理
勾股定理是初等幾何中的一個基本定理，是人類最偉大的十個科學發現之王，西方國家稱之為“畢達哥拉斯定理”，但遠在畢達哥拉斯（公元前580或568—公元前501或500）出生之前，這一定理早已為人們利用，幾乎所有文明古國（希臘、中國、埃及、巴比倫、印度等）對此定理都有所研究。希臘著名數學家畢達哥拉斯曾對本定理有所研究，故西方國家均稱此定理為畢達哥拉斯定理。我國又前也叫“畢達哥拉斯定理”，上世紀50年代曾開展關于這個定理命名問題的討論，最后確定叫“勾股定理”。
3500年以前，巴比倫人就知道三邊長為下列各數的一些三角形為直角三角形：
120，119，169； 3456，3367，4825； 4800，4601，6649； 13500，12709，18541； 72，65，97； 360，319，481；2700，2291，3541； 960，799，1249；
然而，當時為什么列出這些三角形，至今還是個謎。
勾股定理是歐氏平面幾何的一個核心結果，是三角學的出發點，開普勒稱“幾何學兩個寶藏”：一個是勾股定理，另一個是黃金分割。中國著名數學家華羅庚曾建議用一幅反映勾股定理的數形關系圖來作為與“外星人”交談的語言。就勾股定理本身而言，它在直角三角形的三條邊之間建立了固定關系，從而將原來對幾何學的感性認識精確化，真正意義的幾何學才可以確立。尤其是其中體現出來的“數形統一”的思想方法，更具有科學創新的重大意義。勾股定理啟發了人類對數學的深入思考，促成了解析幾何及三角學的建立，使數學的幾何與代數兩大門類結合起來，為數學進一步的發展開拓了寬廣的道路。勾股定理以及處理數據的數學方法、思考模式和現代天體物理學思考模式一致。第一宇宙定律就是通過對勾股定理的說明影響人們思維方法的平直時空觀。
在人類借助宇宙飛船設法尋找“外星人”的時候，曾經碰到了一個難題：一旦人類遇到“外星人”，該怎樣與他們進行交談？顯然用人類的語言、文字、音樂等是不行的。我國著名數學家華羅庚建議，用一幅數形關系圖作為與“外星人”交談的語言。
這幅圖中有邊長為3、4、5的三個正方形，它們又相互聯結圍成一個三角形，三個正方形都被分成了大小相同的一些小方格，并且每條邊上小方格的個數與這條邊長度的數字相等，兩個小正方形的小方格數分別為9和16，其和為25，恰好等于大正方形的小方格數，整幅圖反映了“在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方”。這就是勾股定理，西方人稱它為畢達哥拉斯定理。
勾股定理是—條古老而又應用十分廣泛的定理。據說四千多年前，中國的大禹就是用勾股定理來確定兩地的地勢差，以治理洪水的。古埃及人也是運用勾股定理，以繩子打結的方法來確定直角，并用這種辦法確定金字塔的正方形底的。勾股定理在現代的應用范圍更為廣泛。木工用三、四、五放線法確定垂線或直角。在計算屋架所需木料以及起重機工作高度時，都需要用勾股定理來幫助計算。而勾股定理在科學、技術、工程上的應用更是多得不勝枚舉。事實上，勾股定理在現代的應用范圍是任何數學定理所不可比擬的。
三、美妙的對稱
自古以來，人們就已經討論對稱原理之一——左和右之間的對稱（還有上、下、前、后等之間的對稱）了。對稱的概念源于數學（更確切地講是歐氏幾何）。對于對稱在生物中的研究，始于1848年的巴斯德的工作，對稱在天文學（甚至自然界）上的研究，則始于兩千多年前的古希臘人。20世紀的物理學家們研究中發現：對稱的重要性在與日俱增，這從某個方面也說明了希臘人想法的合理性。
鬧鐘、飛機、電扇、屋架等的功能、屬性完全不同，但是它們的形狀卻有—個共同特性——對稱。
在鬧鐘、屋架、飛機等的外形圖中，可以找到一條線，線兩邊的圖形是完全一樣的。也就是說，當這條線的一邊繞這條線旋轉180度后，能與另一邊完全重合。在數學上把具有這種性質的圖形叫做軸對稱圖形，這條線叫做對稱軸。電扇的葉子不是軸對稱圖形，不管怎么畫線，都無法找到這條直線。但電扇的—個扇葉，如果繞著電扇中心旋轉1 80度后，會與另一個扇葉原來所在位置完全重合。這種圖形在數學上稱為中心對稱圖形，這個中心點稱為對稱中心。顯然鬧鐘也是一個中心對稱圖形。
人們把鬧鐘、飛機、電扇制造成對稱形狀，不僅為了美觀，而且這有一定的科學道理：鬧鐘的對稱保證了走時的均勻性，飛機的對稱使飛機在空中保持平衡。
對稱也是藝術家們創造藝術作品的重要準則。像中國古代的近體詩中的對仗、民間常用的對聯等，都有一種內在的對稱關系。如果說建筑也是一種藝術的話，那么建筑藝術中對稱的應用就更廣泛。中國北京整個城市的布局也是以故宮、天安門、人民英雄紀念碑、前門為對稱軸兩邊對稱的。對稱還是自然界的一種生物現象。不少植物、動物都有自己的對稱形式。比如人體就是以鼻尖、肚臍的連線為對稱軸的對稱形體，眼、耳、鼻、手、腳都是對稱生長的。眼睛的對稱使人觀看物體能夠更加準確；雙耳的對稱能使所聽到的聲音具有較強的立體感，確定聲源的位置；雙手、雙腳的對稱能保持人體的平衡。
對稱在數學上的表現則是普遍的。幾何上，平面的情形有直線對稱（軸對稱）和點對稱（中心對稱），空間的情形除了直線和點對稱外，還有平面對稱。比如，正方形既是軸對稱圖形（以過對邊中心的直線為軸）、又是中心對稱圖形（對角線交點為對稱中心），圓也是。正六面體（立方體）、球等都是點、線、面對稱圖形。
從命題的角度去看：正定理與逆定理、否定理、逆否定理等也存在著對稱關系。而且，數學推理的內在的優美，以及由此而來的用數學推理法去揭示物理學結論的復雜性和嘗試，是鼓舞物理學家不斷進取的源泉。當代美國數學家赫爾曼韋爾指出：“對稱，盡管你可以規定其含義或寬或窄，然而從古到今都是人們用來理解和創造秩序、美妙以及盡善盡美的一種思想。”對稱原理乃是數學中“最有力量和最優雅”的解題方法之一。
綜上所述，數學中處處充滿著各種各樣的美，正是這些美構成了完整的數學美，也正是這些美激發了學生的學習興趣，提高了學生的思維能力和解題能力。數學美能減輕學生的心理壓力，伴隨著美感的學習是一種享受，而非一種負擔，可使學生學習從“苦學”為“樂學”。這樣不僅使學生陶冶了情操，又獲取了知識，開發了智力。讓學生發現、感受到數學的美，為數學本身的魅力所吸引，通過領悟奇妙的數學美，使數學真正成為鍛煉思維的體操。
參考文獻
關鍵詞：自主學習；協作學習；混合學習
新課程指出，引導學生建立以“主動參與，樂與探究，交流與合作”為特征的學習方式。學生的合作意識受到了關注，都倡導協作學習，不少教師都在嘗試協作學習。然而，現在的小組合作流于形式，課堂上熱熱鬧鬧，卻沒有多少效果。小組協作，是激發學生的創造力的有效途徑，能培養學生的合作能力。然而，“學而不思則罔”，在學習上獨立思考必不可少。數學是發展學生思維的殿堂，需要獨立思考，也離不開同學之間的互相幫助。勾股定理是初中數學的重要內容，是數形結合的完美體現，本文以驗證勾股定理一課為載體，研究合自主學習和協作學習兩者怎樣結合能使學生的收益更大。為此我上了一堂課題研究課――驗證勾股定理。
在這一課中，我設計了課前、課中、課后三個環節，我備課時設計的一份“課題學習單”上，有三個內容：
活動一：課前，布置學生根據課題學習單上的要求完成以下學習任務：（每人都要完成）
1.查閱電腦或書籍，收集關于驗證勾股定理的方法。
2.研究你查閱到的方法，進行初步自學。
3.把你收集到的這些方法記錄下來或打印下來。
4.想一想怎樣讓你的組員理解這些方法。想出辦法，并寫下來。
5.根據你寫的方法選擇展示的方式，如PPT，小黑板、拼圖、剪紙、投影片等形式都可以。
在這一環節中這樣設計是當我們遇到一個問題時，首先肯定是自己去面對，去想辦法解決問題，現代社會，電腦網絡成了知識百科全書，大家一有問題只要“百度”一下就能知道答案，讓學生自己上網或查閱書籍，培養了學生收集、整理資料的能力。因為學生是獨立的個體，都有自我學習的能力，所以學生自己研究查閱到的方法，進行自學，可以讓學生把查到的知識內化為自己的。“想一想怎樣讓你的組員理解這些方法。想出辦法，并寫下來。”目的是為了小組合作交流做準備，小組交流不是隨隨便便圍在一起討論幾分鐘就算了，小組交流也要作準備的。讓大家先自己想想怎樣跟組員講解驗證方法，等到小組交流時可以不至于浪費時間，比較有效。小組合作交流也是學習，只有作好準備，才能有高質量的發言。
在小組交流時，每個學生都準備充分，大家討論很激烈，有的拼圖，有的寫計算過程，有的在圖形上講解，同學講的時候，組員聽講都很認真，效率確實很好。在小組充分討論的前提下，每個小組完成“課題學習單”上的活動二。
活動二：展示驗證勾股定理的方法，把小組交流得出的驗證方法寫下來，同時寫出展示方式、發言形式、研究過程與存在問題等，便于小組在課堂上進行匯報和課后的繼續學習。
上課時，首先花2分鐘時間同伴說說勾股定理的內容，這是為了復習前一節課的內容――勾股定理。然后每組派代表講解小組中得到的驗證勾股定理的方法，在小組代表匯報中，我發現，他們像小老師一樣，有的用實物投影，先在圖形上分析，然后在圖形旁或黑板上寫出計算過程，有的用PPT展示了動畫，有的制作了教具進行拼圖……在小組匯報中，當然有講的不周到的地方，其他同學補充，從而使得學習的內容不斷完善。這些孩子的能力是無窮的，我們以前只注重讓學生聽老師講，做題，偶爾請學生回答一下問題，原來學生的自學能力和語言表達能力這么強，完全可以自己完成這些任務。有學生講解到這樣一種方法，是我國魏晉數學家劉徽的證明方法――青朱出入圖，我在備課時總想學生就是在網上找到這種方法也看不懂，我已經在預設教案中準備講解這種方法了，可是卻有學生講解到了這種方法，而且講解得非常到位。為后面讓學生自己拼圖驗證勾股定理做了很好的鋪墊。
學生代表講解完后，我順利地引導到比較困難的用拼圖割補的方法驗證勾股定理，引導學生以直角三角形三邊為邊長向直角三角形內或外作正方形，把兩個邊長為a、b小正方形進行割補拼到邊長為c的大正方形中，如果正好拼好，那么說明能驗證勾股定理。接下來，就讓學生自己進行割補拼圖。同時告訴學生，你通過拼圖驗證勾股定理的方法分別是18世紀英國的一位業余數學家佩里哥爾發明的驗證勾股定理的方法，清代數學家華蘅芳的方法及清代數學家梅文鼎的方法等。也就是說，學生不經過教師講解，自己探索出了驗證勾股定理的方法，與古代的數學家可以媲美。
在這節課的課后，讓學生完善課題學習單上活動三。
活動三：我們小組的亮點，讓學生寫一些這次學習活動中自己小組在學習方法、個人學習、小組活動等方面做得好的地方。并張貼于教室展板上，便于課后再一次自主學習，最后把你會了幾種驗證勾股定理的方法一一寫下來。
在驗證勾股定理這節課活動后，我發了一份調查問卷，經調查發現：1.對數學的學習90%有興趣，10%沒有什么興趣不興趣的，只為學習而已；2.不喜歡數學的原因是數學成績差經常挨批； 3.你在數學課堂上一般的做法是：A.聽老師講，一般不回答提問也不參加討論占17% ； B.聽老師講，也回答問題或討論占31% ；C.聽后思考老師提出的問題，積極參與討論占48% ；D.不太愿聽老師講，愿意自己看書、思考或參與討論占2%； 4.在課堂或小組討論中，不發言，不想說也不會說的有6% ，不發言，想說，但缺少勇氣占4%，有的時候發言，但聽人家說更好占73% ，積極發言，敢說也會說，光聽人家說沒意思占17%； 5.這節課與傳統的數學課相比，覺得更深刻，同學講的更容易理解占58% ，還可以，一般般占 23% ，有的同學講的聽不懂，需要老師再講一下32% ；6.這樣的課堂與傳統課堂相比，對學習數學的興趣有沒有提升有提升占85% ，有一點點作用占10% ，沒有提升占4% 。問卷調查說明，這樣還給學生的課堂能激發生絕大多數學習數學的興趣，同學之間的交流能使問題更容易理解。
一、確立主題、設計教案
華師大版八年級下冊第19章第二節安排了勾股定理內容的學習，在教材的閱讀材料中，有《九章算術》中的“葭生池中”的問題，這道題很有趣，能夠調動學生的興趣，因此，我決定給大家呈現一節利用勾股定理解決生活中實際問題的研究課，探討教師應如何設計教案、把握教學，提高學生學習數學的積極性。
我們準備好教案后去請教兩位數學特級教師，聽取他們的意見和建議。兩位專家對我們的教學設計給予了充分肯定，認為課題設計非常新穎，課程內容人文價值豐富，很好地體現了數學與生活的密切聯系。兩位專家還就講課過程的設計給我們提出了中肯的意見。我們參考專家的意見和建議對教案進行了修改。
二、上課和觀課
1.第一次上課
教學環節一：復習
①勾股定理的歷史及內容（學生回答）；
②勾股定理的變式（多媒體展示）；
③應用勾股定理的必備條件，沒有條件的話，如何解決？（學生回答，教師補充）
教學環節二：新課引入
①出示例題：名題鑒賞――“蓮花戲水”（板書：勾股定理在生活中的應用）；
12世紀的印度數學家婆什迦羅（Bhaskara）的著作中有一道“蓮花戲水”的問題：
波平如鏡一湖面，半尺高處出紅蓮。
亭亭多姿水中立，勁風吹來斜一邊。
偏離原地兩尺遠，花貼湖面似睡蓮。
請你動腦想一想，池塘水面多深淺？
②展示示意圖，讓學生思考并說出題目已知什么、要求什么（板書分析過程）；
③挖掘圖形中線段之間的關系；
④設未知數，根據勾股定理列出方程，求解；
⑤總結解決問題的方法：先將生活實際問題轉化為數學問題，再利用勾股定理列出方程，解方程。
教學環節三：練習
應用歸納的解題方法，自己解決問題（學生朗讀、思考后提問）
《九章算術》中的趣題：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊。問水深、葭長各幾何？”（注：1丈=10尺）
教W環節四：小結和作業
①小結（提問）：今天你學到了什么知識？你的哪方面能力得到了提高？
②作業：練習2。
2.聽課教師評價
聽課教師普遍認為課題設計新穎，以古代題目為背景，用優美的詩詞創設問題情境，拓展了學生的思考空間。教學中滲透了應用意識，具體包括三層轉化：一是實際問題轉化為數學模型，即把實際問題數學化；二是把不可解的問題轉化為可解的問題，構造直角三角形；三是把幾何問題轉化為代數問題，利用勾股定理構造方程。
3.在反思中發現課堂教學得與失
針對第一次試教的不足，我們把教學目標定位為“讓學生成為學習的主人”，讓學生經歷知識發生、發展的過程，在實際問題數學化的過程中，學會學習、學會發現、學會創造。第二次教學對學生來說具有一定的挑戰性，課堂的時空得到開放，學生的主體作用充分體現。課堂教學環環相扣，巧妙創設情境，注重與學生的情感交流，充分調動了學生的自主性和積極性。
三、分享成果
課例研究校本教研活動體現了教師的主體地位，使教師真正成為教研活動的組織者、建構者和創造者。每一位教師自始至終都融入研究活動中，與同伴合作，或討論，或反思，提高了發現問題、分析問題、解決問題的能力，提高了實施新課程的能力。校本研修使教師產生了共鳴，激發了教師的教研熱情。
［關鍵詞］視障；勾股定理；教學設計
勾股定理的探索和證明蘊含著豐富的數學思想和研究方法，對數學發展具有重要作用。但是對于視障孩子來說，過于抽象，難以理解，學習起來比較困難。為了激發視障孩子的學習興趣，拓展學生的思維，培養他們的創造性思維，我盡可能地把發展空間留給學生，鼓勵學生勇于探索，引導學生學會觀察、探索、分析、歸納，讓學生在玩中學，學中玩，變“苦學”為“樂學”。本節課具體設計如下：
一、準備活動：智力拼圖游戲
讓學生用硬紙板動手剪四個完全一樣的直角三角形，然后用這四個直角三角形拼外形是正方形的圖形，要求三角形不能疊加，拼成的正方形中間可以有空隙。（動手剪直角三角形是為了讓學生通過親自操作感知直角三角形的特征，為動手拼正方形作準備。通過動手操作，一是發展學生的邏輯思維能力、動手操作能力、空間想象能力，發展其智力；二是為引入課題及本節課證明勾股定理作準備。）
二、創設情景，導入新課
多媒體顯示2002年在北京召開的第24屆國際數學家大會會徽，讓低視力學生觀察大屏幕上會徽圖案，引導學生尋找與會徽上的圖案一樣的拼圖。這就是我國漢代數學家趙爽證明勾股定理時用的圖。學生思考：為什么用此圖案作為2002年在北京召開的第24屆國際數學家大會會徽？此圖還曾被我國數學家華羅庚提議發射到其他星球，以此試探其他星球“人”是否存在，他認為只要宇宙人是“文明人”就能識別這個圖形。學生思考：這又說明了什么？引出課題“勾股定理”，勾股定理是研究什么內容的定理呢？引發學生思考、探究欲望。（“好的開始是成功的一半”，在課程之處，迅速集中學生的注意力，把他們帶進特定的學習情境，激發學生濃厚的學習興趣和強烈的求知欲，這對這堂課教學的成敗起著至關重要的作用。運用多媒體展示這一有意義的圖案，可有效地開啟學生思維的閘門，激發聯想，激勵探究，使學生的學習狀態由被動變為主動，在輕松愉悅的氛圍中學到知識。）
三、探究發現（探究特殊的直角三角形三邊關系）
1.觀察郵票上的圖案探究特殊直角三角形的三邊關系，同時介紹古希臘數學家畢達哥拉斯。通過讓學生觸摸紀念畢達哥拉斯的盲用郵票圖案，學生觀察得到：這個特殊直角三角形的三邊關系32+42=52。即這個直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。2.對比古希臘數學家畢達哥拉斯并介紹我國勾股先師———商高。（由學生觸摸西方國家郵票上的圖案，發現此圖案反映了直角三角形三邊的數量關系。學生活動從“數小方格”開始，起點低、趣味性濃。學生在偉人的故事中進行數學問題的討論和探索，在平淡無奇的現象中發現隱藏的深刻道理。讓學生了解勾股定理的古老與神奇，激發了學生強烈的求知欲，激發了學生探究知識的愿望。）
四、巧設疑共探究（探究一般的直角三角形三邊關系）
由特殊的直角三角形具有的特點拋出問題：是不是所有的直角三角形都具有這樣的特性？讓學生通過自己拼出的圖形利用面積法自行探究任意直角三角形的三邊關系，探究發現四個完全一樣的直角三角形拼成一個中空的正方形，大正方形面積等于小正方形面積與4個三角形面積之和。四個完全一樣的等腰直角三角形拼成的正方形等于四個三角形面積和。最后小組交流探究結果，得到勾股定理：如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2+b2=c2，即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。（學生利用自己拼出的圖形證明交流，發展學生的發散思維能力、邏輯思維能力、合作交流能力。同時拋磚引玉介紹趙爽弦圖，趙爽用幾何圖形證明代數恒等關系，具有嚴密性、直觀性，是中國古代以形證數、形數統一的典范。“趙爽弦圖”表現了我國古代人對數學的鉆研精神和聰明才智，它是我國數學的驕傲。通過中西方證明方法，讓學生欣賞豐富多彩的數學文化，展示五彩斑斕的文化背景，激發了學生的愛國熱情。
五、課堂小結
課堂小結是對學習內容的回顧，是對數學思想、方法的總結。讓學生暢談本節課的收獲與感受，讓學生注重知識體系的建構過程，培養了學生的良好反思習慣。
六、布置作業
初中數學勾股定理教學創新在最新出版的《初中數學新課標》中明確指出：“教師應多采用多媒體技術來豐富自己的課堂，使自己的課堂能夠通過多媒體的幫助變得更加生動有趣，使學生能夠在多媒體教學中循序漸進的接受學習內容、思考學習內容并運用教學內容。”由此我們可以看出，多媒體技術在實踐教學中的應用，已經得到教育部的認可。下面以“勾股定理”這一傳統教學內容為例，探討如何在實踐教學中如何更靈活、更有效的使用多媒體技術。
一、通過多媒體例子切入勾股定理
切入點是教師上好一堂課的關鍵，俗話說“萬事開頭難”，面對一節課的開始，教師如何設計能讓學生更清晰的認識教學內容，教師如何設計能讓學生更對教學內容感興趣，成為目前教師教學時首先要考慮的一個問題。初中生正處在一個各方面都在成長的階段，他們自身對待多媒體有一種強烈的好奇心，如果教師在課堂上能夠利用學生對多媒體的好奇心來引入知識點，學生將會更加自然的進入到學習當中。例如在課堂上教師先為學生播放下面的一組視頻：“第一個視頻：依據中國鐵路乘坐法規定，乘客不能攜帶長度超過2米的物品，一次小剛手持一根2米2的竹竿上火車，乘警卻‘視而不見’，這是為什么？第二組視頻：小明家今天搬家，當搬到一個櫥柜時遇到麻煩了，櫥柜非常高，垂直抬進去肯定不可能進去，但是斜著抬能否抬進去呢？小明經過測量后很快得出答案，可以抬，經過實踐，順利將其抬入家中。”兩組視頻播放完畢后，教師詢問大家：“大家有沒有發現視頻中和我們同齡的同學非常聰明啊，誰知道他們是運用了什么原理呢？其實不難，只要大家認真聽我今天講的內容，大家也可以很輕松的像他們一樣厲害。”通過這種方法，學生自然對本節課要學習的內容產生極大的興趣和好奇心，于是就會讓學生在之后的學習中更加仔細和認真，從而牢固地將學習內容掌握住。
二、借助多媒體將抽象的勾股定理具象化
盡管目前在初中檢測學生學習優異的標準是以考試成績這一結果來判斷的，但實踐表明在初中教學中，學生學習的過程比結果更為重要，學生只有在學習過程中對學習內容感興趣、努力掌握并研究學習的相關技巧和方法，才能將一個好成績延續下去，而如果一個學生一直持有考試以“蒙混過關”的方式取得好成績的話是不現實的，即使有一次取得一個好結果，也不會持久下去，為此我們一定要重視對學生學習過程的培養。
勾股定理作為一個抽象的、靜止的理論知識，在教學中卻具有很強的靈活性，有時它會和很多其它的知識點綜合起來，這對學生來說掌握起來是非常困難的。而要想讓學生有所突破，將這一原理具象化、形象化成為一個很好的辦法，在實踐教學中，我們可以通過多媒體技術將聲音、圖像、文字與數學計算公式完美的結合在一起，將教學內容變得更為形象，從而促進學生進一步理解勾股定理的含義及具體應用，漸漸地使他們在原有的基礎上逐漸將這一原理的知識結構漸漸積累起來。比如，在講授勾股定理的證明這一重點環節時，傳統的教學方法是老師在黑板上給大家演算計算過程，學生在下面用心聽講即可，這種教學方法相對比較枯燥，學生有時聽不懂也不敢提問。而當我們在課堂上使用多媒體教學時，完全可以把這種枯燥的驗算過程具象化，比如我們將課本上證明勾股定理的圖片事先準備好，然后用播放Flash的方式讓學生一步步的理解勾股定理的證明方法，這樣既節省了時間，又提高學生對勾股定理的學習興趣。
三、通過多媒體技術實現生本教育理念
生本教育是最近幾年中國教育提出來的一個新理念，它的宗旨在于將課堂完全還給學生，一切以學生自主學習為主，徹底改變過去教師講課，學生聽課的被動思想，讓學生在主動探討、積極學習、創新學習的過程中逐漸掌握教學內容，并能夠將教學內容更靈活地進行利用。初中學生本身對多媒體有著極強的好奇心，因此我們可以嘗試著使用多媒體來實現生本教育。
首先，在上課前，教師可以先布置這樣一道題目：“一棵大樹在一次暴風雨后被吹成兩半，已知折斷的大樹底端與大樹樹根的舉例為30厘米，折斷的大樹高為40厘米，問這課大樹有多高。”隨后教師可以這樣引導學生：“大家看下這道題應該如何解答，被折斷的大樹與地面和樹干呈什么形狀，而要想求大樹的高度，我們首先應該獲取哪些信息？”“折斷大樹的長度”學生紛紛回答，“對那么如何求被折斷的大樹的長度呢？這需要運用到我們今天要學的原理。”其次，教師可以讓學生進行分組討論，討論時可以利用教師分配給每個小組的電腦進行資料的查詢。當學生們一起學完勾股定理的相關內容后，教師可以將自己事先準備好的題目通過網絡傳到每組的學生電腦中，每組學生根據電腦中題目的內容共同探討并嘗試進行解答，并將答案通過網絡傳給教師，教師根據學生的答案給予批閱，并對做得最快、最好的小組進行表揚。教師通過上面的方法可以將孩子對多媒體的好奇心完全轉化為學習的動力，每個小組的同學通過電腦不僅可以掌握勾股定理，還可以相互之間進行更多的交流，以達到靈活掌握和學以致用的效果。比如，學生之間如何進行有效磋商，如何說服彼此，如何表達意見，如何做出讓步等等，這些技能在傳統課堂中難以學到。
四、總結
總之，隨著社會的迅速發展，世界逐漸步入電子時代，電腦及其相關多媒體技術成為這一時代的代表，將它們合理地運用到初中數學課堂中，能夠為學生還原一個異彩繽紛的具象世界，讓原本抽象的數學內容變得更加具象，讓學生對數學充滿學習興趣。另外，多媒體技術可以讓學生更輕松的感受到學習之外的內容，學生可以在網絡上瀏覽所學內容的歷史概括，了解不同人對這一數學原理的認識程度，更重要的是可以通過多媒體鍛煉自學能力，逐漸養成一種自我鉆研學習知識的能力。勾股定理這一知識點在初中數學中是一大重點和難點，學生能否熟練掌握并靈活應用將會對以后學習有極大的關系。勾股定理是一個幾何知識，學習這類知識必須在一個較為具象的環境中才能夠更加輕松，因此利用多媒體技術講解這一原理，將更有利于學生靈活掌握，所以初中老師不妨可以多嘗試著使用新技術進行教學。
參考文獻：
\[1\]曾喜萍.淺談多媒體在高校數學教學中的運用\[J\].廣西工學院學報，2005，（1）.
數學課每一個數學老師都能上，但要做到讓學生感興趣、學而不厭，卻不是那么容易。上課是一門學問、是一門藝術，這需要我們老師精心的研究、精心的準備，讓學生把學習的積極性充分發揮出來，我認為課前都應明確：這堂課要讓學生了解什么、理解什么、掌握什么、會什么、達到什么要求等，絕不能糊里糊涂的去上課。老師不明、學生不清，學生哪還有什么興趣可言。我認為，要讓學生對數學感興趣應做好如下幾點：
一、要讓學生對數學感興趣，課前準備是關鍵
上課就象打仗一樣，要打就要打勝仗，不能打敗仗。上課就要上好課，不能上低效課。前提條件就是要備好課。怎樣備？我認為，最切合實際的備課就是首先了解學生、了解每個學生的學習能力、學習態度、家庭背景、行為習慣等。不了解學生的備課就等于紙上談兵、空中樓閣，沒有一點實用效果。根據學生的年齡特點，發揮學生自身的主動性、積極性和創造性，創造最佳的教學方式和方法，要讓學生學會：學生幫學生、學生教學生。要設置適當的起點與層次，讓不同的學生都有不同的收獲、不同的發展，充許學生有差異。一堂課要讓學生知道什么、了解什么、理解什么、掌握什么、學會什么等，課前做到心中有數。對課標的要求要清楚，讓學生一堂課圍繞重點去學習，以它為中心，引導學生開展活動。做到心中有重點、講中有重點、練中有重點，才能使整個一堂課有個靈魂。教學過程中把握難點、突破難點。所謂難點，就是學生不易理解和掌握的知識點。一定要注重分析，認真研究，抓住關鍵，突破難點、分散難點。讓學生感覺不到有什么難以解決的問題。
二、備課是排練、上課就是表演。
通過對學生的了解和分析，從中發現什么、掌握什么，在備課中多用功思考，把每一個問題都變得有吸引力。譬如說初二教材上冊，勾股定理這一節，一開始我們可以創設一個能吸引學生的情境，或用一些鼓勵性的語言把學生的學習積極性調動起來，以積極的態度對待這堂課。如一開始手拿一直角三角形紙板讓學生看這是什么？等學生回答后提問：你對直角三角形的有關知識了解多少？學生這時可能把所學的有關知識答一遍。接著問：除此之外還有其它性質嗎？譬如，直角三角形的三條邊有沒有存在某種關系？學生可能無言。那么接下來就可以把學生引入到勾股定理的探索研究活動中去了。在這一環節中，通過學生的觀察、計算、發現、自我得出結論。在這一探索的過程中涉及的難點是：利用方格求直角三角形斜邊上的正方形面積。對此引領學生看卡通圖，從而掌握了割補法解決問題，總結出勾股定理。再通過讓學生操作驗證活動，得出只有直角三角形三邊具有這種關系。有了這種關系，讓學生試著求一些簡單的直角三角形邊長問題。初步了解它的用處。這節課一切都在學生的活動中積極的、活躍的完成任務，學生有成就感。
三、承上啟下為下節課作準備
完成了本節任務后，我們還應該想到如何讓學生很好的完成下節內容。因此提出課題讓學生課后研究，譬如勾股定理這一節，可向學生提出：1、勾定理是人類文明的成果，幾乎所有擁有古代文化的民族和國家都對勾股定理有所研究，我們叫它為勾股定理，而在外國可不叫勾股定理，他們叫做畢達格拉斯定理，上網查一查，看到底是誰最先發現的？2、到目前勾股定理在國內外有400百多種驗證法，我們的教材上也提供了幾種證法，課后你可以研究一下，或上網查一查有關勾股定理的一些證法？希望下節課你能向大家展示你的證法等。這就是說要給學生自學的空間，預習的空間，為下節課順利的完成教學任務作準備。
四、根據學生的年齡特點及愛好扮演好自己的各種角色
我覺得，一個好的老師要讓學生相信自己、喜歡自己、親近自己是學生喜歡學你這科的重要因素。只有這樣，學生學習上有了困惑才可以大膽的向你發問，和你交流，不會掩飾自己不會、不懂的問題。因此我們要扮演好各種角色，即老師的角色、父母的角色、朋友的角色，從各個方面關心他們、愛護他們、鼓勵他們、貼近他們，我們不光要關心他們的學習，還要關心他們的身、心健康。還要關心他們的物質生活、和文化生活。對學生不好的行為習慣要注意觀察、引導、糾正，想學生所想，急學生所急，這樣才能讓學生真正感到老師既是良師，也是益友。讓學生的個性在自然、和諧愉快的環境中得到釋放，這樣才能展現出學生學習數學的生命活力。過去我們過多地強調學生知識的記憶、模仿。學習采取壓制性，最終使教學變得機械、沉悶、低效。因此，我們不能讓學生在課堂上做“聽客”和“看客”，要讓學生做課堂的主人，動口、動手、又動腦，親身參與課堂的探索實踐活動。切記，凡是能由學生思考解決的，應由學生去做；凡能由學生提出的問題，不要由教師提出；凡能由學生解的題，不要由教師代勞解答；凡能由學生表述的，不要由教師代說。數學課堂不再是過去的教師“一言堂”，要讓學生成為課堂上的主人。
總之，我的感悟是：要讓學生對數學有興趣、對學生產生吸引力，要注重課堂教學的不斷改革和優化。要注重課堂教學的科學性、客觀性和實用性。在情感方面要發展學生的自信心，進取心；要注重學生對課堂教學的內心體驗和收獲；要注重學生知識、智能、情感和行為的表現，從而激發學生的學習興趣，提高數學的學習成績。
［關鍵詞］ 教學；勾股定理；設計；反思
教材簡析
（使用教材：上海教育出版社出版九年義務教育課本數學（試用本）八年級第二學期）
勾股定理是平面幾何中幾個最重要的定理之一，它揭示了一個直角三角形三條邊之間的數量關系，它可以解決許多直角三角形中的計算問題，是解直角三角形的主要根據之一，在生產、生活實際中用途很大. 它不僅在數學中，而且在其他自然科學中也被廣泛應用.
勾股定理的發現、驗證和應用蘊涵著豐富的文化價值. 本節課是在學生已具備了直角三角形的有關知識，積累了一定的觀察、操作等活動經驗，具有一定的說理能力和初步推理能力的基礎上學習的. 本節課可通過豐富的拼圖實踐活動，讓學生經歷驗證勾股定理的過程，感受解決問題的方法的開放性，激發數學探究興趣，享受數學思維的快樂，對培養學生良好的思維品質起重要作用.
設計理念
現代教學論認為數學課應該加強學生的數學活動，學生是活動的主人. 如果學生能在活動中把概念、定理、性質、公式等，通過自己的努力去發現和創造出來，這就是我們課堂教學中追求的最高境界，也是課程改革的迫切要求. 心理學家皮亞杰曾說過：“一切真理都要讓學生自己去獲取，由他重新發現，而不是草率地傳授給他. ”
可是，長期以來，我們的數學課堂教學過于重視結論，而輕視了過程. 為了應付考試，為了使學生對公式、定理應用達到所謂的“熟能生巧”，教學中不惜花大量的時間采用“題海戰術”進行強化. 在數學概念、公式、定理的教學中往往采用的所謂“掐頭去尾燒中段”的方法，到頭來把學生強化成只會套用“程式”的解題機器，這樣的學生面臨新問題時就會束手無策.
數學是思維的體操，是培養學生分析問題、解決問題的能力及創造能力的載體. 新課程倡導：強調過程，強調學生探索新知識的經歷和獲得新知的體驗，不能再讓教學脫離學生的內心感受，必須讓學生追求過程的體驗. 我意識到：在數學教學中，要讓“教”和“學”和諧統一，形成感性到理性的認知過程，促進學生的全面發展. 教師的“教”應體現在創設情境、激發興趣、組織探索、引導發現上，學生的“學”則應體現在操作討論、探究發現、歸納結論上.
基于以上認識，在設計本節課時，我所考慮的不是簡單地告訴學生勾股定理的內容，而是創設一些數學情境，讓學生自己去發現定理、證明定理. 從發現定理的過程中讓學生體會到：定理并不是憑空產生的，發現定理并不都是高不可攀的事情，通過我們的努力，也可以做一些好似數學家才能完成的事. 在這個過程中，學生在課堂上的主體地位得到了充分發揮，能極大地激發他們的學習興趣，提高他們提出問題、解決問題的能力，同時培養他們的創新能力，這正是新課程所倡導的教學理念.
教學目標
通過本節課的學習，力求達到：
1. 理解和掌握勾股定理的內容及簡單的應用.
2. 通過學生的動手操作及探求勾股定理的發現、證明過程，初步體會用面積法解決幾何問題的基本策略，了解從特殊到一般的推理方法及數形結合的數學思想方法，初步培養學生探究問題的能力，增強邏輯思維能力.
3. 通過介紹我國古代學者發現及應用勾股定理的成就，感受祖國文化的悠久，激發學生的民族自豪感和愛國熱情.
4. 通過活動討論，增強合作意識，初步培養探索的精神，并體驗探索成功的樂趣.
教學重點、難點
重點：勾股定理的內容及簡單的應用.
難點：勾股定理的拼圖證明.
教學過程
（一）創設情境？搖 導入新課
【電腦演示】
情境1？搖1995年希臘發行的一張郵票（圖1）和ICM2002年國際數學家大會會標（圖2），并出示問題：為何以這個圖案發行郵票？以這個圖案作為會標？
情境2
學校操場上，呈現升旗儀式場面照片，最后定格在旗桿照片，并出示問題：如何測算出學校操場上旗桿的高？
【設計意圖：設疑激趣，明確目標】
新課標強調數學應返璞歸真. 在教學過程中，要貫徹“生活即數學，生活即教材”的理念. 從生活中引出問題，從問題中引出課題. 通過創設恰當的情境，培養學生用數學的意識，教會學生觀察生活，領悟生活中的數學因素.
問題是思維的出發點，通過有意識地設置問題情境，提出思考要求，能激發學生強烈的好奇心和求知欲.
（二）師生互動？搖 探究新知
【電腦演示】
實驗猜想：給出三個具體的直角三角形.？搖用一把尺度量各直角三角形的三邊，得到下列數據：（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）8，15，17.？搖？搖
引導學生對數據進行分析，猜想三邊關系. 由32+42=52，52+122=132，82+152=172的關系式，學生可能會得出：直角三角形中兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.
進一步引導學生：由特殊到一般的推理只是一種猜想，是否正確還須通過證明.
提出問題：對于一般的直角三角形，是否都有a2+b2=c2（其中a，b為直角邊，c為斜邊）？
【設計意圖：探索發現，揭示新知】
從具體的圖形入手，通過測量出具體的數據，經過計算、觀察，發現結論，進而提出猜想，這種處理方法，一方面，符合學生的認知規律和心理發展規律，另一方面，也符合知識的發生、發展規律，有利于讓學生經歷知識的形成過程，有利于加深學生對數學學習的體驗.
1.？搖證法探究
給出一套拼板（如圖3，四個全等的直角三角形和一個等腰直角三角形） ，請學生從中選出幾個，拼成組合圖形，要求學生設法利用組合圖形的面積來證明上述結論，即證明a2+b2=c2（其中a，b為直角邊，c為斜邊）.
采用小組合作探究的方式，給學生充分的時間進行拼圖、思考、交流. 教師巡視，適時介入小組討論. 當有小組找到解決方法后，請該組派一位同學代表上講臺，展示拼圖方法，交流證法. 然后，教師借助電腦進行動態演示. 學生可能會通過以下幾種組合圖形的面積得到結論.
方法1
如圖4，由AFE≌DEH推出∠AFE=∠DEH. 又因為∠AFE+∠AEF = 90°，所以∠DEH +∠AEF = 90°. 于是可得∠FEH = 90°. 同理可得∠FGH =∠GHE =∠EFG =90°，所以S四邊形EFGH？搖= c2. 而S正方形ABCD=S四邊形EFGH+4SAEF，即（a+b）2=c2+4×ab，a2+2ab+b2=c2+2ab，所以a2+b2=c2.
方法2
與方法1的證法類似. 如圖5，因為（b－a）2+4×ab=c2，即b2－2ab+a2+2ab=c2，所以b2+a2=c2. （介紹趙爽弦圖及“演段算法”）
方法3
如圖6，因為（a+b）（a+b）=2×ab+c2，所以a2+2ab+b2=2ab+c2，即a2+b2=c2. （介紹此證法與美國第二十任總統珈菲爾德的證法一致）
【設計意圖：激活思維，加深體驗】
《數學課程標準》指出：“數學教學活動必須向學生提供充分從事數學活動的機會. ”這就是指，學生在教師的引導下參與教學活動，體驗、發現、歸納，即在教師的引導下發揮學生的主觀能動性，體驗數學的再創造過程. 這里設計拼圖活動就是基于上述思考.
利用拼圖證明勾股定理是一種開放性的探究活動，其起點低，層次多，目前已發現的證法有四百多種，學生易于下手，每個學生都有解決問題的機會，它促進學生智力因素與非智力因素的同步發展，激發學生的創造意識.
2. 定理推出
【板書勾股定理，介紹勾股定理，揭示課題引入時的問題】
勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.
【設計意圖：數學文化，德育滲透】
我國古代的學者，對勾股定理的研究有許多重要成就，不僅在很久以前獨立地發現了勾股定理（比西方要早500多年），而且使用了許多巧妙的方法證明了它，尤其在勾股定理的應用方面，對其他國家數學的影響很大，這些都是我國人民對人類的重大貢獻. 通過向學生介紹我國古代在勾股定理研究方面的成就，有利于激發學生熱愛祖國，熱愛祖國悠久文化的思想感情，有利于培養他們的民族自豪感，并激勵學生奮發圖強，努力學習. 寓思想教育于學科教學中，這也是新課程所追求的.
3. 簡單應用
【電腦演示】
例1 在等腰三角形ABC中，AB=AC=13 cm，BC=10 cm（如圖7），求ABC的面積 .
（教師板書解題過程，解題過程略）
例2？搖 有一旗桿，升旗用的繩子沿旗桿放下時，繩子下端有一部分在地面上，將地面上的這部分拉直后，量得繩子的下端點到旗桿底端的距離為0.2米，再將繩子拉直且下端點放在地上，此時量得繩子的下端點到旗桿底端的距離為2.2米. 問旗桿高度是多少？
【設計意圖：內化新知，反饋調控】
這一環節是學生鞏固知識、形成技能、發展智力的重要階段. 例1是勾股定理的簡單應用，通過例1的學習有利于學生加深對勾股定理的理解與掌握，強化基本技能，落實本節課的教學重點. 例2是一道實際素材背景的應用題，并與課題引入時的“情境2”首尾相顧，前后呼應，形成一個整體. 學生應用所學的知識，很快就能解決“課題引入”時的問題，不僅可以讓學生經歷勾股定理的應用過程，還可以讓學生體驗成功的喜悅，增強學習數學的愿望與信心.
（三）自主小結？搖 深化提高
【以學生為主，教師與學生一起進行歸納小結，同時，電腦演示四個“一”】
一個定理……
一次探索……？搖？搖
一個思想……？搖？搖
一份自豪……
【設計意圖：回顧整理，總結提升】
小結是對一節課的回顧與整理，也是落實學生主體地位的一個重要環節. 在教師的引導下，可讓學生自己進行總結或師生合作，體現教學的民主性. 這樣，不僅有利于培養學生的歸納、概括能力，幫助學生理清知識脈絡，將所學的知識納入知識體系，形成良好的認知結構，深化本節課所學的內容，還有利于引導學生反思學習過程，認識自我、增強信心、鞏固興趣，讓學生在愉悅的、學有收獲的心境下結束本節課的學習.
（四）分層作業？搖 發展個性
必做題：教材P56練習1、2、3；練習冊A冊第23頁 25.4（1）.
選做題：你能否將圖8（兩個正方形拼成的）剪兩刀，拼成一個大正方形，使它的邊長正好等于以a，b為直角邊的直角三角形的斜邊的長度？
【設計意圖：學以致用，鞏固提高】
通過作業，深化新知，可以檢驗學生掌握知識的情況，發現和彌補“教”與“學”中的遺憾與不足. 作業采取“必做題”與“選做題”的處理，為不同程度的學生提供了更為廣闊的探求空間. 一方面，尊重了學生的個體差異，有利于滿足學生多樣化的學習需求，“讓不同的人在數學上得到不同的發展”，充分落實因材施教的原則；另一方面，選做題具有前瞻性，可引導學生自學探究，將學習由課堂延續到課外.
設計說明
1． 本節課教學設計力求以學生發展為本，以探究活動為核心，師生轉換角色，營造良好的學習氛圍，培養學生的探索精神，充分調動學生的積極性.
2. 學起于思，思起于疑，無疑則無知. 教育家托爾斯泰說過：“成功的教學所需要的不是強制，而是喚起學生強烈的求知欲望，激發學習的興趣”，因此，新課引入時，充分利用多媒體教學的直觀性，創設問題情境，能引發學生的思考和探究熱情，能自然導入新課.
3． “平面幾何在中學數學教學中的真正價值在于它的訓練性，即教育學生探索幾何事實的過程遠比其獲得的幾何事實有價值得多. ”本節課從直角三角形三邊關系的猜測，面積方法的證明，到勾股定理的應用，始終為學生提供自主、合作探究的平臺，始終以激勵學生自主探索為主，教師輔以適時的引導. 學生通過動手操作，探索解決問題的多種途徑，能激發學習數學的興趣，培養探索幾何事實的能力.
4. 數學蘊藏著豐富的文化內涵. 本節課設計了數學家的介紹，力求挖掘數學的文化寶藏，學生在生動的愛國主義教育中提高了文化修養.？搖
5. 勾股定理的應用方面，本節課設計了兩個例題. 一個是課本中的一個練習，讓學生掌握簡單的應用；另一個問題來源于學生熟悉的學校操場，是學生身邊的問題，學習將實際問題轉化為數學問題. 安排這兩個例題可以有效地幫助學生鞏固知識，培養學生學數學、愛數學、用數學的意識.
6.？搖教學流程：
教學思考
1. 數學教學過程是教師引導學生進行數學活動的過程
《數學課程標準》特別指出：“數學教學是數學活動的教學. 學生要在教師的指導下，積極主動地掌握數學知識、技能，發展能力，形成積極主動的學習態度，同時使身心獲得健康. ”數學教學過程是數學活動的教學，主要體現在：首先，數學活動是學生通過實踐、思考、探索、交流、掌握和運用數學知識的活動. 簡單地說，整個教學過程應該充分發揮學生的動手、動腦進行數學思維. 為了使學生的數學活動能夠順利進行，教師要創設學習環境，為學生提供進行數學活動的機會，并在學習活動過程中給予適當地指導. 其次，數學活動是學生在教師引導下自我建構數學知識的活動，即在數學活動過程中，學生與教材、學生與教師之間產生交互作用，自我建構數學知識結構，形成技能和能力，發展情感態度和思維品質. 教師要意識到學生是數學知識主動探索的“建構者”，決不是被動的接受者. 教師教學工作的目的就是引導學生進行有效地建構數學知識的活動.
2. 數學知識的“過程教學”與“結論教學”相統一
《數學課程標準》把對知識的“過程教學”作為課程目標的重要組成部分，從而突出了數學知識探究過程教學的重要地位. 傳統的數學教學只注重數學知識結論的教學，學生學到的是一些現成的數學概念、公式、法則，及一些枯燥的數學符號，而對這些概念、公式、法則等的形成過程卻很少過問. 這種教學把數學知識形成的生動過程變成了呆板的知識記憶，一切都是現成的，它排斥了學生的思考和個性，這實際上是對學生智慧和思維個性的扼殺、壓制. 當然，對數學知識結論的學習也是必要的，因為這些數學知識結論（概念、原理體系）表征了數學探索的結果，是學生進行數學思考以及學習更高一級知識的基礎. 但數學教學更為關鍵的是使學生在掌握知識結論的過程中學會數學思維和數學思想，會用數學思想解決問題. 因而，數學課堂教學既要求注重知識結論，又要求重視知識的形成過程. 根據數學的特點，在教學中注重知識探究過程的教學有著很重要的教育價值. 不僅僅是因為數學概念、原理、公式等體系依賴于探究過程，更主要的是數學知識的探究過程體現了數學多樣化的思維和認識方式，并且包含了一系列的質疑、判斷、選擇、比較、分析、綜合、概括等多種認知活動. 學生正是在知識的學習過程中培養了運用數學的思維方式去觀察、分析現實社會，進而解決日常生活問題的能力，增強了運用數學的意識，了解了數學的價值，增強了學好數學的信心，也通過探索知識過程的經歷和獲得知識的體驗，進一步培養了學生的數學解決能力和創新精神. 所以，在教學活動中應盡可能地為學生創造自主探索的機會，使學生在自主探索的過程中真正理解一個數學問題是怎樣提出來的，一個數學概念是如何形成的，一個結論是怎樣探索和猜測到的以及是如何應用的.
3. 數學教學要從學生出發，以學生為本，關注學生創新思維的發展和學習價值觀的形成
教師的教學是為了學生的發展，學生才是教師的“本”. 特別是數學學習，它具有高度的抽象性、嚴密的邏輯性、廣泛的應用性，每個學生在數學學習過程中都會表現出各自特有的學習方式和理解方式，那么教師的教學就不僅僅是按照課本進行知識點的講解、習題的操練，更多的應該是從學生實際出發，注意其在數學學習中正確數學觀的確立與數學能力的形成. 具體的教學設計方式可以是就同一問題情境提出不同層次的問題或開放性問題，以便使不同的學生都能得到不同的發展；課堂例題、習題以及課后練習的設計編排要突出層次性，可以設置鞏固性、拓展性、探索性等多種層次，在全體學生獲得必要發展的前提下，讓不同的學生獲得不同的體驗與發展.
一、教材依據
蘇科版 八年級（上冊）2.7勾股定理的應用（1）.
二、設計思路
1.設計理念
本設計旨在有效整合教材編排的例題，使零散的例題系統化，使學生掌握解決一類問題的方法！同時彰顯學生的個性，充分體現學生的主體地位，有效培養創新能力.
2.學生的認知起點分析
學生通過前面的學習已全面了解了勾股定理，掌握了勾股定理的三邊關系，已做好了知識上的準備.另外，學生也初步了解了諸如類比等數學思想方法，積累了總結的經驗，這使學生能主動參與本節課的操作，探究成為可能.
三、教學目標
1.通過類比例1、例2的教學，培養學生運用類比轉化的思想方法解決問題的能力.
2.探求例題之間的相互聯系，使零散的例題系統化，使學生掌握解決一類問題的方法.
四、教學重點
1.以“三點”為主線，串聯例題，建立知識網絡圖，深刻揭示知識間的相互關系；
2.培養學生思維的深刻性、廣闊性等品質，從而提高學生的探究能力.
五、教學難點
例2的拓展引申.
六、教學準備
學生準備：復習勾股定理的三邊關系；
教師準備：查閱資料，準備相關例題.
七、教學過程
【第1階段】由點到線，數（學）實（際）互換.
教師：同學們認識“點”嗎？（教師黑板畫一點）你對數學上的“點”的實際意義有哪些認識？
學生（七嘴八舌地）：某處（即地點），物體等.
教師（適時地）：兩點形成的線段呢？
學生：路段！
教師：好！現在有三點（分別代表三個地點）！而且這三個地點有點特殊，它們之間的“路段”大致成直角三角形，見下面例題：
例1如圖1，南京玄武湖東西向隧道與中央路北段及龍蟠路大致成直角三角形.從B處到C處，如果直接走湖底隧道BC，將比繞道BA（約1.36 km）和AC（約2.95 km）減少多少行程（精確到0.1 km）？
設計意圖：從學生熟知的最基本的“點”入手，有效的激發了學生的學習興趣，也巧妙的實現了數學知識與實際問題的“轉化”，這種轉化非常自然，不生硬，不“生搬硬套”，使學生在不知不覺中形成學習數學的方法，即賦予數學符號一些實際意義，數學就有了生命，就實現了數學與生活的有機銜接，有效消除數學與實際生活的“隔閡”，使學生初步體會到學有所用.
【第2階段】拓展引申，鞏固強化
教師：同學們對“線段“的實際意義還有哪些認識呢？
學生：梯子！
教師：好！現在有一架梯子斜靠在墻上，即下面的問題：
例2長為10 m的梯子 AB斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8 m.如果梯子的頂端下滑0.5 m，那么它的底端會發生什么變化？與同學交流.
引申1：在上面的情境中，如果梯子的頂端下滑1 m，那么它的底端滑動多少米？是否也滑動1 m？
引申2：如果梯子的頂端下滑2 m，那么它的底端滑動多少米？是否也滑動2 m？
引申3：從上面所獲得的信息中，你對梯子下滑的變化過程有進一步的思考嗎？
設計意圖：引申問題將探究逐步引向縱深，促使學生能主動積極地從數學的角度思考實際問題.教學中學生可能會有多種思考，讓學生進行充分的交流，使學生逐步學會運用數學的眼光去審視客觀世界，從不同的角度去思考問題，獲得一些研究問題的經驗和方法.
說明：教師的預想跟學生的生成不一定一致，學生如果對“線段”的實際意義有其他的認識教師要鼓勵，并要學生發揮小組功能自動進入第3階段.
【第3階段】自編問題，發展能力
教師：同學們對“線段“的實際意義還有哪些認識呢？請你跟同學交流一下，小組編一道能應用勾股定理的題目，并給出具體的解答.一會兒小組選派代表在黑板展示.
設計意圖：學生很可能提出荷花問題、蘆葦問題等，通過小組合作，使學生對勾股定理在實際生活中的應用體會更加深刻，通過解答從“細節”上培養學生的解題能力；由于大家看事物的角度不同產生的想法也不盡相同，在同學的交流中啟迪思維，有效拓展知識面.
說明：學生會有很多奇思妙想，在教學中要善于發現并適時鼓勵.
【第4階段】小結
我們知道勾股定理揭示了直角三角形的三邊之間的數量關系，已知直角三角形中的任意兩邊就可以依據勾股定理求出第三邊.從應用勾股定理解決實際問題中，我們進一步認識到把直角三角形中三邊關系 看成一個方程，只要依據問題的條件把它轉化為我們會解的方程，就把實際問題轉化為解方程.
八、教學反思
1.數學跟實際生活密不可分，數學來源于生活又高于生活，是實際生活的高度概括.在教授完數學知識點后，我們要從“高處”向“低處”走，即賦予抽象的數學符號具體的實際的意義，以起到“高屋建瓴”之功效，從而有效地實現數學與實際生活的有機統一.要想達到此目標，需賦予數學上的點、線以“靈魂”，給它們一些實際含義.在本部分“點”的實際意義可以理解為：地點、物體的停留處等，“線段” 的實際意義可以理解為：路段、樹木、荷花、梯子、蘆葦等.
