時間：2023-06-15 17:26:07
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇數學除與除以的區別，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
誤區一：“單位”、“單位名稱”和“名數”混淆不清
在數學教學中，不少教師和學生把名數與單位名稱等同起來，其實它們是有區別的。對于列式解決應用題后在計算結果后面需要寫上“單位名稱”，是在二年級上冊教材“加和減”這個單元出現的。“不要忘了寫單位”是數學教師經常掛在嘴邊的一句話，目的在于提醒學生在列式解決實際問題時，不要忘了寫得數后面的單位名稱。但細細一想，“單位”是“單位名稱”的縮寫嗎？“不要忘了寫單位”這句話在闡述上對嗎？說到這里，就不得不提提“單位”、“單位名稱”和“名數”這三個概念的含義以及它們之間的關系。
數學中的“單位”一詞，是指測量某個物理量時用來進行比較的標準量。比如，測量長度用1米做為單位，計量質量用1千克做為單位，計算時間用1秒做為單位，測量液體的多少用升或毫升為單位。1米、1千克、1秒、1升這些都是“帶有名稱的單位”，它們的“單位名稱”分別是米、千克、秒、升等。
“名數”，是指帶有單位名稱的數，即量數和單位名稱合起來叫做名數。如5升、7千克、6米、13噸20千克等。“名數”有“單名數”和“復名數”之分。“單名數”是只含有一個單位名稱的名數，如5升、7千克、6米等；“復名數”是含有兩個或兩個以上的同類單位名稱的名數，如13噸20千克、5小時30分17秒等。
知道什么是“單位”“單位名稱”和“名數”，就可以弄清它們之間的聯系和區別。有“單位”的數，不一定都有“單位名稱”，也不一定都是“名數”。“名數”一定具有相應的“數”和“單位名稱”。
因此，在實際應用中要防止混淆概念，不能把忘記寫“單位名稱”，說成是忘記寫“名數”或忘記寫“單位”。
誤區二：“因數”“約數”的概念不清
小學四年級上冊第七單元是“因數和倍數”，這里的“因數”就是指原來的“約數”，新教材中不再出現“約數”這兩個字。
其實，在“數的整除性”中，約數和因數是兩個重要的概念。在小學數學中，接觸因數是在整數乘法時，所有的乘數對于積來說，都是因數。約數是在“數的整除性”中出現的，它與倍數是在“整除”概念的前提下，同時建立起來的概念。以6÷3=2為例，6能夠被3整除，也能被2整除，因此，對6來說，3和2都是它的約數。如果換成乘法算式：3×2=6，對于乘積（6）來說，3和2都是它的因數。由此可見，只有在“整除”的范疇內，才能談得上約數，而在乘法中，因數早已經存在了。
約數與因數的另一個區別，還在于各自的應用范圍上。約數的應用范圍是有限的，它只存在于“數的整除性”這部分知識當中。因數的應用范圍則比較廣泛，無論整數、小數、分數、百分數，以及到中學后所接觸到的負數，只要出現了乘法，就存在著因數的概念。
例如：在小數中2.4×0.8=1.92，2.4與0.8都是1.92的因數。
為了減少學生不必要的名詞記憶，很多新教材中不出現約數這個名詞。雖然新教材中不出現“約數”了，但由于一些老教師或家長還是按以前的說法來輔導學生，一些練習冊中也要經常出現“約數”，學生還是會混著說的。我們應該盡量去規范學生的說法，但也告訴他們，在遇到“約數”時，應該知道指的是“因數”。
誤區三：綜合算式的讀法不規范
在教學中經常會遇到讓學生讀出綜合算式的情況，例如，34×（45÷9），學生普遍會讀成“三十四乘小括號四十五除以九小括號回括”，其實這樣的讀法已經使這個綜合算式在讀的過程當中，不能明確地讀出它應有的運算規律。我認為我們再讓學生讀的時候，應該能夠通過讀來體現綜合算式的運算規律，即讀作“三十四乘四十五除以九的商”。這樣學生在計算類似“78除以2乘13的積是多少？”這類敘述題時，會迎刃而解，不至于忘記加小括號。
關鍵詞：被除數 除數
在除法運算中，被除數與除數在除法運算中，是不可回避的兩個重要概念。在除法算式中，由于混淆這兩個概念，在實際解題時常常出現錯誤。學生為什么會對看似簡單的概念分辯不清呢？怎樣防止學生混淆這些概念呢？筆者以下談談自己的粗淺認識。
一、對比除法與減法，重視類比思想在辨析概念中的作用
小學數學中的概念是小學數學的基本知識，必須讓學生理解和掌握。然而許多概念的含義相近，本質屬性又有所不同，既有共同點又有不同點，學生往往容易混淆。學法之前，學生對減法已經有了比較全面的認識，對被減數與減數這兩個重要的概念能夠理解并加以辨別。學生在大腦中已經建立起“被減數-減數=差”關系的數學模型結構，甚至部分學生在回答三者的關系時是脫口而出，學生對被減數與減數的認識，會遷移到日后對被除數與除數的認識，所以這是一個重要的時間節點，要讓學生真正理解被減數與減數的概念。在學法時，隨意列出一個減法算式，讓學生辨別出減法中被減數與減數，目的是把被除數與被減數、除數與減數建立起對應的關系，加強學生理解被除數與除數的關系是作用與被作用的關系。被除數是在除數這個條件的作用下，平均分后產生的結果。
二、提高學生的綜合素質，建立數學與其他學科之間的聯系
小學數學的學習不是孤立的，學生的理解能力直接或間接地影響到學生數學學習的程度，因此，我們要重視學生的語文閱讀水平，對學生理解概念以及理解數量之間的關系帶來極大地促進作用。前蘇聯教育家蘇霍姆林斯基曾經說過：“學生學習越感到困難，他在腦力勞動中遇到的困難越多，他就越需要多閱讀。（《給教師的建議》第51頁）”。在語文教學中，把字句與被字句是語文的基本常識，如果學生對被字句中的有關知識掌握得好，也會幫助學生認識被除數與除數之間的關系，加深對被除數與除數的概念的理解。例如，漢語中對被字句的解釋：被字句是現代漢語的一種句式，用介詞“被”構成的表示被動意義的句子。其陳述的形式一般是：甲被乙怎么樣。被字句的成立條件：（1）主語是受事，“被”字后的名詞是施事。（2）動詞必須是及物動詞。有時“被”字直接用在動詞之前，即施事者省略，過去被字句一般用于表達不幸或不愉快的遭遇，后來突破了這種局限。口語中常用“叫”“讓”“給”替代“被”，仍稱被字句。例如，張三被李四打傷了；小飛的衣服被雨水淋濕了等。學生在學法時，如果有了這些知識基礎，會對理解除數與被除數的兩個抽象概念起到潛移默化的作用。
三、揭示概念的本質屬性，深刻理解概念的內涵
在四則運算中，除法的定義是：已知兩個因數的積與其中一個因數，求另一個因數的運算，叫做除法。換句話說，若ab=c（b≠0），已知a（或b）與c，求b（或a），這種運算就是除法，用算式表示成：c÷a（或c÷b），其中，c叫做被除數，a（或b）叫做除數，運算的結果b（或a）叫做商。
如果在除法中被動地讓學生從除法算式中，死記硬背“÷”前的的數是被除數，“÷”后的數是除數，只是從表面上認識概念，達不到理解除法概念的的本質，日后可能會造成在認識被除數與除數兩個概念時的隱患。所以，對除法要有深刻的理解，強調除法是建立在平均分的基礎上，除法有兩種情況：一是把一個數量等分成若干份數，求一份是多少；一是把一個數量分成若干份，知道其中一份是多少，求分成的份數。這樣全面、系統、完整地學法，理解了概念的本質屬性，厘清了被除數與除數之間的關系，增強了對概念的辨析能力。
還應該注意，在學法時，不能脫離乘法，單純地為學法而學習，除法的概念是建立在乘法的基礎上。我們常說，除法是乘法的逆運算。為更進一步地增強對除法的認識，教學中要抓住除法與乘法之間的關系，用連線的方法把除法算式中的被除數、除數與乘法中的因數連接起來，讓學生充分感受到除法中的被除數、除數與乘法算式中的的因數的對應關系，把新舊知識連點成線、穿線結網，從根本上理解除法中被除數與除數的概念內涵。
四、適時點撥、引導，提高學生的科學認知能力
關鍵詞：概念本質；余數；除數；性質
新改版的人教課標版五年級上第三單元在學習了用四舍五入法求商的近似值后，安排了例10（1）小強的媽媽要將2.5kg香油分裝在一些玻璃瓶里，每個瓶子最多可裝0.4kg。需要準備幾個瓶子？（2）王阿姨用一根25m長的紅絲帶包裝禮盒。每個禮盒要用1.5m長的絲帶，這些紅絲帶可以包裝多少個禮盒？根據生活需要，一道題用“進一法”求近似值，一道題用“去尾法”求近似值。教學中首先要讓學生清楚這兩種方法與“四舍五入”的區別，第（1）小題多數學生都會列式計算：2.5÷0.4=6.25（個），有些學生知道6個不夠用，用6+1=7（個），有些學生約等于6個，有些學生就等于6.25個。這時可展開討論，讓學生說說哪種答案正確，為什么，最終大家都能理解6個瓶子不夠裝，剩下的油不能扔掉，所以需要多準備一個瓶子。但剩下多少油呢？部分學生比較困惑，有些學生認為剩下0.25千克的油，如何讓學生理解到底剩多少油呢？我認為可以用以下兩種方法：
一種方法可以讓學生算算6個瓶子能裝多少kg的油，用6×0.4=2.4kg，再用2.5-2.4=0.1kg。另一種可以借助學生剛才的除法算式，觀察 余下的0.1才是香油的重量，而不是余下的
0.25kg。同樣的方法第（2）小題中，25÷1.5=16.666…的含義是不夠17個包裝盒，到底余下多少紅絲帶可以模仿第（1）小題求得。
余數給學生帶來的困惑還不止這些，這不禁讓我想起在蘇州大學培訓時徐文斌教授給我們講的一道有余數的問題：在教授三年級下冊“除法”練習課時，補充了“612÷2÷4”一題。同學們的解題方法歸納起來有以下三種：
[解法一] 612÷2÷4=306÷4=76……2
[解法二] 612÷2÷4=612÷8=76……4
[解法三] 612÷2÷4=153÷2=76……1
同樣一道題，為什么會有不同答案呢？我一時茫然，按說只是不同的解題方法，答案應該是一樣的呀，為什么會出現余數不同的結果呢？以前似乎沒有遇到過類似問題，也沒有認真思考過，聽徐文斌教授講完才知道，余數是相對于除數而言的，這三個算式余數都是除數的一半，化成分數都是1/2，或小數0.5，其實結果相同，只是表達形式不同而已。如果改成應用題可以更好地幫學生理解余數的意義。612個同學，按三個算式的分法來分，最后余幾人是否相同呢？按第一種分法，先平均分成2大組，每組再平均分成4小組，每大組余2人，2大組共余4人。而按照第二種分法，直接分成8組，共余4人。按照第三種分法，先平均分成4大組，每一大組再平均分成2小組時都余1人，4大組共余4人。看來總共余4是一樣的。關鍵是要分清余數是相對除數幾而言的，這點非常重要，我們再教學有關余數問題時應引起老師們的注意，除了讓學生認識到“余數比除數小”以外，還應該讓學生認識到這樣一個問題，余數與相應的除數有關，余數隨著除數的變化而變化，讓學生真正理解余數的本質。
余數問題在小學數學中非常重要且應用廣泛，余數有如下一些重要性質需要我們了解：（其中a，b，c均為自然數）
（1）余數小于除數。
（2）被除數=除數×商+余數；除數=（被除數-余數）÷商；商=（被除數-余數）÷除數。
（3）如果a，b除以c的余數相同，那么a與b的差能被c整除。例如，20與14除以3的余數都是2，所以20-14能被3整除。
（4）a與b的和除以c的余數，等于a，b分別除以c的余數之和（或這個和除以c的余數）。例如，28，21除以5的余數分別是3和1，所以（28+21）除以5的余數等于3+1=4。注意：當余數之和大于除數時，所求余數等于余數之和再除以c的余數。例如，28，24除以5的余數分別是3和4，所以（28+24）除以5的余數等于（3+4）除以5的余數。
（5）a與b的乘積除以c的余數，等于a，b分別除以c的余數之積（或這個積除以c的余數）。例如，28，21除以5的余數分別是3和1，所以（28×21）除以5的余數等于3×1=3。注意：當余數之積大于除數時，所求余數等于余數之積再除以c的余數。例如，28，24除以5的余數分別是3和4，所以（28×24）除以5的余數等于（3×4）除以5的余數。
運用這些性質，可以巧解很多題目，下面我僅舉三道實例：
例1.5122除以一個兩位數得到的余數是66，求這個兩位數。
分析與解：由性質（2）知，除數×商=被除數-余數。5122-66=5056，5056應是除數的整數倍。將5056分解質因數，得到5056=26×79。由性質（1）知，除數應大于66，再由除數是兩位數，得到除數在67～99之間，符合題意的5056的約數只有79，所以這個兩位數是79。
例2.有一個整數，用它去除70，110，160得到的三個余數之和是50。求這個數。
分析與解：先由題目條件，求出這個數的大致范圍。因為50÷3=16……2，所以三個余數中至少有一個大于16，推知除數大于16。由三個余數之和是50知，除數不應大于70，所以除數在17～70之間。由題意知（7+110+160）-50=290應能被這個數整除。將290分解質因數，得到290=2×5×29，290在17～70之間的約數有29和58。因為110÷58=1……52>50，所以58不合題意。所求整數是29。
例3.求478×296×351除以17的余數。
分析與解：先求出乘積再求余數，計算量較大。根據性質（5），可先分別計算出各因數除以17的余數，再求余數之積除以17的余數。478，296，351除以17的余數分別為2，7和11，（2×7×11）÷17=9……1。所求余數是1。
由此可見，“余數”知識可以拓展思路，幫助我們思考解題。深刻理解“余數”概念的內涵，探究問題本質，我們任重而道遠！真是小小知識點，蘊含大學問啊！
1 演繹推理，是從一般到特殊的推理，只要前提為真，符合邏輯規則，那么結論就可靠。它通常包括直接演繹（由一個前提直接推出結論）和間接演繹（由兩個或兩個以上前提推出結論）。
演繹推理具有“三段論”的形式，它是由大前提（一般的判斷）、小前提（特殊的判斷）、結論（最后的判斷）這三個判斷組成的。例如，一個數各位上的數的和是3的倍數，這個數就是3的倍數（大前提）；258各位上的數字和15是3的倍數（小前提）；所以，258是3的倍數（結論）。
2 合情推理，是從特殊到一般的思想，通過研究一些具體、特殊的情況，達到認識一般規律的目的，它是人們認識未知的一種重要思想。歸納推理就是一種從特殊到一般的推理，它是一種合情推理，是在觀察分析問題的幾個簡單、特殊情況，從中總結規律，發現一般問題的解答的思想方法。
例如，六年級下冊第94頁第3題，（1）多邊形內角和與它的邊數有什么關系？（2）一個九邊形的內角和是多少度？通過學生思考三角形、四邊形、五邊形、六邊形的內角和，由三角形內角和是180°×（3—2），四邊形內角和是180°×（4—2），五邊形內角和是180°×（5—2），從中發現多邊形內角和與它邊數的關系，推出規律：內角和的度數=180°×（邊數—2）。這是一種不完全歸納推理，不完全歸納推理是在研究某個事物或現象的某些特殊情況所得到的共同屬性的基礎上，對這一事物或現象作出一般結論的。不完全歸納推理所得到的結論可能是正確的，也可能是錯誤的。例如，由4是偶數，4也是合數；6是偶數，6也是合數；8是偶數，8也是合數；推得一切偶數都是合數，這個結論就不正確。雖然不完全歸納推理得到的結論可能正確也可能錯誤，但是它能幫助人們迅速地去發現事物的規律，提供研究的線索和方向。
有時在解決問題中，從特殊到一般和從一般到特殊這兩種思想方法需要結合使用。
例如，3586除以5的余數是多少？如果你一心一意想把586個3連乘，企圖得到它們的積，再把積除以5求余數，盡管你的整數乘法基本功很好，也是難以求得答案的，因為這是一個天文數字。正確的思考方法是：1.先把問題一般化：問3n（n表示自然數）除以5的余數是什么？如果能夠解答這個一般問題，那么當n=586時，便是本題的答案。2.使用歸納法，從n=1，2，3，……入手，探求一般問題的結論。當，n=1時，31=3，除以5的余數是3；當n=2時，32=9，除以5的余數是4；當n=3時，33=27，除以5的余數是2；當n=4時，34=81，除以5的余數是1；當n=5時，35=243，除以5的余數是3；當n=6時，36=729，除以5的余數是4……從上面可以看出，當，n從1開始按順序取值時，3n除以5的余數依次以3、4、2、1周期反復出現。這就是上述一般問題的解答。3.使用演繹法，從一般規律求當n=586時本題的解答，因為586被4除余2，所以3586除以5的余數是4。
3 類比思想，從特殊到特殊的思想。人們研究魚為什么在水中能自由浮沉，設計發明了潛水艇；從雞蛋殼的結構，發明了薄殼建筑等，這些都是人類模仿生物特性創造發明的成果，使用的思想方法就是類比思想。
類比思想是小學數學常用到的思維方法。例如，由整數的運算定律遷移到小數、分數的運算定律，解決問題中數量關系相近的問題的類比等。小學數學中的類比推理除了能有效地促進知識的遷移，還能進一步加強新舊知識間的聯系，引導學生從知識點形成知識鏈，并進一步形成知識面，完成知識的系統化。例如，整數四則運算與小數四則運算的類比，還能幫助學生有效地掌握運算法則。
類比推理并不是論證，由類比推理所引出的結論并不一定是正確的，例如由“a×3=b×3，則a=b”；類比推出“a×0=b×0，則a=b”，后者就不一定正確，但是類比思想在科學假設中常常能起到很大的作用。
二、從數學間的區別和轉化的角度看
1 分類的思想。分類是一種重要的數學思想，分類思想是根據對象本質屬性的共同點和差異點，將屬性對象按一定的秩序區分為不同種類的思想，它以比較為基礎，能夠揭示數學對象之間的聯系與區別，有助于更準確完整地認識事物。學習數學的過程中經常會遇到分類問題，如數的分類（整數、小數、分數：奇數、偶數；質數、合數、1等）、圖形的分類（角的分類、三角形的分類等）。在研究數學問題中，常常需要通過分類討論解決問題，分類的過程就是對事物共性的抽象過程。教學活動中，要使學生逐步體會為什么要分類，如何分類，如何確定分類的標準，在教學中滲透分類思想時，應讓學生了解分類標準是多樣的，不同的分類標準會有不同的分類結果。例如，《三角形的分類》一課。制定教學目標時，一方面要求讓學生牢固掌握三角形角的特征，另一方面還應重點讓學生去感悟抽象或分類的數學思想。教學的具體實施，更要時刻圍繞著這樣的目標去展開。比如，當學生不能正確分類時，可以引導學生去觀察角的特征，使分類得以進行：當學生出現將三角形按角分成直角三角形和沒有直角的三角形（斜三角形）兩類或直角三角形、鈍角三角形、銳角三角形三類時，則可以引導學生去對比其中的聯系，使學生認識鈍角三角形、銳角三角形都是在斜三角形基礎上的細化分類，都完全符合概念分類的原則，都完整地展現了分類的結果。這樣不僅直觀體現了分類的思想，還能夠有效地支撐學生進一步明確概念之間的邏輯關系。
學會分類，可以有助于學習新的數學知識，有助于分析和解決數學問題。例如，等腰三角形中有一個角是80°，它的另外兩個角分別是多少度？就要將問題分兩類未思考：①當頂角為80°時，另外兩個角分別為50°，50°。（②當底角為80°時，另外兩個角分別為80°，20°。
2 化歸的思想。在許多情況中，我們遇到的數學問題所蘊含的模式難以檢索到相關的數學知識，就常常需要將原有的數學問題進行一定的轉化，這在數學上稱為化歸，化歸也是普遍使用的一種數學思想。其基本思想就是：把甲問題的求解，化歸為乙問題的求解，然后通過乙問題的解反向去獲得甲問題的解。其基本方法是：在考察待解決的問題時，能意識到與對象有內在聯系的其他諸多對象，將原對象化歸為一個較為熟悉的另一個對象，最終達到對原問題的解答。
化歸思想作為最基本的數學思想之一，在學習數學和解決數學問題的過程中無所不在。例如，六年級上冊的“雞兔同籠”的教學。由于“雞兔同籠”問題解決的特殊性，許多問題都可以化歸為“雞兔同籠”問題。人教版教材“做一做”和練習中安排了類似的一些習題，讓學生拓寬對“雞兔同籠”問題的認識，讓學生進一步體會到這類問題在日常生活中的應用。同時這些問題通過轉化，都可以將其歸結為已經解決的“雞兔同籠”問題類型，從而進一步求解，這就是化歸。
在計算以及解決問題時，有時就需要把條件進行變更、化歸，使原問題變更為一個更容易解決的問題。例如，解決問題，某紡織廠甲、乙兩個車間去年共織布520千米，今年共織布680千米，其中甲車間比去年增產48%，乙車間比去年增產20%。今年甲、乙兩個車間各織布多少千米？這道題中兩個百分率所表示的單位1不同，難以下手進行直接轉化。但我們可以將原問題進行非等價變形，使它變成一個比較簡單的問題，某紡織廠甲、乙兩個車間去年共織布520千米，今年甲、乙兩個車間都比去年增產20%。今年共織布多少千米？先解化歸后的問題，今年共織布520×（1+20%）=624（千米）。現在將結果與原問題進行比較，發現比原問題中少織布680—624=56（千米）。而這56千米的差是由于甲車間增產的48%變為20%所致，所以甲車間今年的織布數為56÷（48%—20%）×（148%）=296（千米），乙車間今年織布數為680—296=384（千米）。非等價變形指化歸前后兩個問題并不等價。但是，當解決了化歸問題之后，就能為解決問題提供解題線索和程序。解題思路是：假設兩個車間多織的百分率相同一找出織布千米數的差與對應百分數的差一求出對應百分數所在單位1的千米數。
盡管化歸方法在具體運用過程中有各種形式，但它的目標都指向一個，即使原問題化歸為一個容易解決的問題，而化歸后的問題解答目標又盡可能接近原問題解答的目標，這就是化歸法的本質所在。
摘 要：在長期的數學教學中，發現學生的數學思維難以形成，當六年級學生面臨小升初時成績又極其不理想，尤其是對待必考的列式計算學生更是手足無措，無從下手，學習數學的自信心喪失。
關鍵詞：厭學情緒；融會貫通；舉一反三
一、數學列式計算問題引發的厭學情緒
我們經常會碰到這樣的題目“用20和15的差去除72和35的積商是多少？”對于這樣錯綜復雜的數量關系學生往往是“丈二和尚摸不著頭腦”，對于其中出現的關鍵性詞語“差、除、積、和”等復雜的關系網難以理清楚，列式時也是錯誤百出。如果我們用常規的辦法來解決，首先也必須把其中的數量關系一一理清楚，可學生往往也會在理清數量關系,尋找解題方法的同時失去探索的耐心，以至于對列式計算這樣的題目失去求解的信心，常常流露出厭學情緒，甚至消極厭惡。在考試中因為列式計算失分嚴重，使學生對試卷中出現的列式計算問題產生厭惡心理，導致數學成績不理想，久而久之形成惡性循環，越來越差，進而失去學習數學的信心，更別說是取得優異成績了。
二、將數學問題和語文知識相結合，融會貫通
小學生的年齡特點使其獨立性差，依賴性強，無法融會貫通。如果我們把上面這道題目和語文縮句的知識聯系起來求解的話就很簡單了，“用20和15的差去除72和35的積商是多少？”應用語文知識縮寫句子，這道題目就可以簡單改寫成“差除積商是多少？”追問“除”所表示的意義和“除以”的區別，那么就可以簡單得到算式“積÷差=商”再進而追問積是誰和誰的積？差是誰和誰的差？那么把積和差作為一個整體看待，根據運算法則只需加上括號，這道題目就能簡單地列出算式（72×35）÷（20－15）＝商”那么解決這道題目就變得輕而易舉，這樣既增強了學生學習數學的信心，又將枯燥的數學知識和語文知識相結合，增強了數學知識的趣味性，使學生輕而易舉地消滅了試卷中的“攔路虎”并從中重拾學習數學的信心，不再依賴于常規的、簡單的解題方法。學生再遇到列式計算問題時也就不會畏首畏尾，不知所措。只要老師把這種方法在課堂上多加練習，加以鞏固，學生就會慢慢在練習中體會成功的喜悅，不再有厭學情緒，相反學生會越來越喜歡做這道題目，不言而喻學習數學的熱情也會漸漸高漲。我相信這樣的課堂絕對不是枯燥乏味的課堂，同時數學學習也將成為學生的特長，而不是負擔。總之，數學問題的解決離不開語文知識的導向，只有將兩者融會貫通、互相結合，解決數學問題會更加得心應手。
三、舉一反三解決數學列式計算問題，提高學生學習的自信心
自信心能增強求知欲，學生在學習數學的過程中會遇到諸多困難。如果有了自信心，便會激發學生的學習興趣，再加上老師科學的學法指導，就會大大提高學生學習數學的自信心。找對了方法，學生遇到列式計算問題就能得心應手地解決，像這樣的列式計算概括為：先利用縮寫句子的方法縮寫題目，再簡單列式，最后求解，問題就能迎刃而解。例如，“求198加82的和與306除以6所得的商的積是多少？”利用上述方法直接縮寫句子“和與商的積是多少？”列式“和×商＝積”作為整體的和、商列式時加上括號，所以算式直接列為“（192+82）×（306÷6）=”這種方法既省時又能得出正確的算式，學生不但解決了問題還從中找到了更多學習數學的樂趣。
原來抽象復雜的列式計算問題利用縮句這種方法變得具體簡單，學生能很快掌握學習方法，增強數學學習的興趣。對學習有困難的學生，放低要求，分層訓練，逐漸提高對數學學習的興趣。有了自信心后，繼而再提出一些較高難度的題目，當學生熟練地掌握了這種方法后，就會嘗到甜頭，隨之數學成績也提高了，在考試中就會取得優異成績。
以上三點是我針對學生遇到列式計算時經常出錯所進行的一些思考，發現語文學科和數學學科并不是獨立的，在學習中這兩者思維往往可以互相理解運用，增強知識的趣味性和學生學習的自信心，使學生愛學、愿學、樂學。
（作者單位 華亭縣馬峽鎮劉店小學）
“數的整除”在“西師版”五年級數學教學中既是一個重點，又是一個難點。其中繁多的概念讓學生甚至是教師都無所適從。它不僅涉及到概念之間聯系緊密，并且很容易混淆。通過多年的小學數學教學，筆者對這部分內容做了十分仔細的總結和思考，現結合我平時的教學，對“數的整除”這一環節中幾個問題做如下分析，以供廣大同仁參考。
【問題一】
整除與除盡有什么區別？
解答與分析：
1、整除：整數a除以整數b（b≠0），得到的商是整數，沒有余數。我們就說a能被b整除，或說b能整除a，即“整除”的條件是被除數、除數和商都是整數。
2、除盡：兩個數（整數或小數）相除，當商是整數或有限小數時，如：11÷5.5=2；3÷16=0.1875；7.5÷2.5=3等，我們就說，這些算式中的“被除數”能被“除數”除盡，或者說“除數”能除盡“被除數”。
顯然，上面這些算式，不能說“被除數”能被“除數”整除，這是因為它們不符合“整除”的條件：“被除數、除數和商都是整數”。
例如：40÷8=5，可以說40能被8整除，也可以說40能被8除盡；然而4÷8=0.5就只能說“4能被8除盡”而不能說“4能被8整除”。
整除和除盡兩者的關系，還可以用下面的集合圖來表示：
【問題二】
為什么不把1也看作質數？
解答與分析：
質數的特征是只能被1和它本身整除，而1也只能被1和它本身——“1”整除。那么為什么不把1也看著質數呢？原因是如果把1也作為質數，那么將給分解質因數帶來混亂，破壞結果的唯一性。例如：把12分解質因數，就會出現無限多的結果：
12=2×2×3 12=1×2×2×3
12=1×1×2×2×3 12=1×1×1×2×2×3
………
為了保證分解質因數時結果的唯一性，所以，規定“1”不是質數。這樣12以及其它合數分解質因數時就只有唯一的結果了。
【問題三】
怎樣快速判斷兩個自然數是互質數？
分析與解答：
我根據“互質的兩個數只有公因數1”這個特點，在教學中總結出如下快速判斷兩個自然數是否互質的方法：
1、1和任何（非0）自然數互質。（注：教材是在非0自然數范圍內研究整除的）
例如：1和8； 1和47等。
2、2和任何奇數互質。
例如：2和11； 2和57等。
3、相鄰兩個自然數互質。
例如：21和22； 58和59等。
4、相鄰兩個奇數互質。
例如：11和13； 17和19等。
5、兩個不同的質數互質。
例如：17和13； 83和23等。
6、較大數是質數的兩個數。
例如：4和23； 79和12等。
7、較小數是質數，較大數不是較小數的倍數的兩個自然數互質。
例如：5和27； 11和280等。
8、兩個合數，較小數所有的質因數都不是較大數的因數，這兩個數互質。
例如：12和35 12=2×2×3 而2、3都不是35的約數。12和35這兩個數是互質數。
9、兩個合數，它們的差得所有質因數都不是較小數的約數，這兩個數是互質數。
例如：24和85,85－24=61,61不是24的因數，所以24和85這兩個數是互質數。
〖注〗在判斷兩個自然數是否互質時，前5中方法使用較多。
【問題四】
質數、互質數、質因數有什么區別？
解答與分析：
在自然數中除了1和它本身以外，沒有其它的約數，這個自然數叫質數。（如20以內的質數有2、3、5、7、11、13、17、19）
兩個自然數，除了1以外，沒有其它公因數時，稱這兩個數為互質。（也叫做“互素”）。互質的兩個數叫互質數。（例如：4和15是互質數）
如果一個數的因數，這個因數本身又是一個質數，這樣的因數就叫做這個數的質因數。例如：5和11都是55的質因數。
由此可知：
1、質數和質因數本身都是質數，而互質數的兩個數卻不一定是質數。例如：8和9是互質數，而8和9都不是質數。
關鍵詞：創造欲望；激發思考；創新發展；合作交流
中圖分類號：G630 文獻標識碼：A 文章編號：1003-2851（2012）-03-0037-01
數學教學對培養學生的思維創新的能力具有無限的空間。數學課堂教學的導入新課，知識的系統總結，概念，定律，性質和法則和歸納，到運用數學基本理論去解答數學題目的整個過程，可以不斷地培養學生的創新能力。
一、激發興趣，喚起學生的創造欲望
為培養學生創造能力，在教學中教師要采用多種形式來激發學生的學習情趣。在課堂教學的導入問題上，雖課堂引入之占幾分鐘或幾句話，但它是教學過程的重要環節和階段。精心設計的導入，能喚起學生的注意力，啟發學生思維的機器，激發學習興趣。它可以編擬符號學生認知水平富有啟發性的問題，能起以石激浪的作用。比如用發問，設疑，設問，懸念等導入。如在“元角分的認識”教學中可以出示儲蓄盒，并搖動讓學生聽聲音，問；“這是什么東西，你知道它的名字和作用嗎？你們想知道關于它的知識嗎？我們一起學習這些內容。再如在“直角的初步認識”的導入中利用所學角的知識，教師讓學生在課桌面找角，提出本課要解決的問題；（1）找出角的形狀，相同嗎?這是什么角？(2)直角的形狀，特點是什么？（3）怎樣用三角板來判斷？（4）怎樣用三角板來畫角？用懸念激趣導入，可以使學生產生一種探究問題奧妙所在的神秘感，從而激發學生興趣，撥動學生好奇心，使他們一開課就精神飽滿，迫切要求學習。有利于培養學生的探索，創新，發現的能力。
二、以學生為主體，激發創新思考
數學課堂教學以教師為主導，以學生為主體，徹底轉變傳統的教師一言堂的教學模式，建立學生“自主學習”的教學模式。在教學中要千方百計的激發學生的學習活動，保持創新意識，促使學生積極主動的參與到教學活動中來。如講小數的除法時，不能全盤脫出，而是引導學生充分發表意見，想法。首先教師讓學生自學例題，要求學生看課本例題是怎樣計算的，你能發現什么？在學生自主探究的基礎上，再組織學生不明白的地方討論，讓他們表達自己的看法發揮學生相互間的作用。學生發現了兩種不同的方法，一種是把題目的56.28米和0.67米都換成厘米數，再用整數除法來計算。另一種是把被除數和除數同時擴大100倍，使56.28除以067轉化為5628除以67來計算的，并說出第二種方法的依據“商不變的性質”。學生自己動腦，動手，動口，主動探索新知識，明白除數是小數除法的轉化成除數是整數的過程，懂得算法，在做完例題，學生已掌握了基本的算理和算法，便會產生試一試的愿望，此時教師直接出示例題，讓學生試做，當求知欲激發時，學生的思維相當活躍。此時組織學生匯報，交流各自的想法。如有的學生說：“把被除數，除數同時擴大10倍，變成105除以7.5.”“可是7.5是小數，還不能計算呀”。可以把被除數擴大100倍。問：“把被除數，除數同時擴大相同倍數，向右移小數點。移動的小數位數一誰為準?讓學生討論，學生與學生之間思維互相碰撞，產生火花，讓他們比一比，看一看哪種更簡單，讓學生自己比較，從中選優。由于老師真正把學習的主動權交給了學生，他們的學習潛能能發揮得淋漓盡致。
三、啟發學生的創新發展
創新思維是以已有的理論知識為基礎，以不同食物的特點為依據，把新舊知識聯系起來進行思考，抓住共同點，區別不同處，綜合運用。也可以運用這種方法進行導入新課。比如說，針對學生在學習中出現的錯誤，精心設計有針對性的練習，上課開始讓學生練習，再分析，使大家明白自己的錯誤，為什么錯，有什么區別，這樣既加深了學生對舊知識的理解,又為學習新知識掃清了障礙。
在教學乘法分配律后，出示23×（60-5）和23×60-23×5兩式進行比較，學生通過計算得到結果相同。讓他們同乘法分配律進行比較，使同學們抓住相同點和不同點，總結出新的乘法定律，除（a+b）×c=ac+bc外，還有a×(b+c)=ab+bc,這樣使教材的內容得到延伸，對培養學生的創新思維能力達到了意想不到的效果。
四、鼓勵學生自主探究與合作交流
一、思維的培養要貫穿于整個教學過程
學生的思維發展是一個長期的漫長的過程，低年級的孩子雖然有了一些抽象思維能力，但仍以具體形象思維為主，他們的思維活動大都還是與具體事物和表象聯系的。到了中、高年級，他們才逐步學會區分概念的本質屬性和非本質屬性，能掌握一些科學的概念，學會運用概念、判斷和推理進行邏輯思維，但仍需要具體形象的已有經驗作為支撐。所以從低年級開始，就應當多給學生提供實物、學具、情境配合動作讓學生理解概念，并在大量的具體形象和已有經驗的支撐下引導學生總結、歸納，逐漸向抽象的邏輯思維轉變。比如在10以內數的認識的時候，就要注意通過快速看點子圖，引導學生從一個一個地點數轉化成能一眼看出10以內數的多少，培養他們估計的意識，數形結合，從實物中抽象出10以內數表示的具體的事物的個數。這樣，到后面學數的組成，10以內的加減法的時候，他們才更容易接受。在教學用一步計算的加減法解決簡單的問題時，一定要讓學生能在選擇算法時能夠說出選擇這種算法的理由。在低年級段一些看似簡單的教學環節里，我們就要注意學生思維的培養，不要到了后面解決比較復雜的問題的時候才來埋怨學生為什么不會思考。
二、多采用小組合作學習的方式激發學生的思維
受教育條件的限制，我們一般都只能采用大班制教學。幾十個學生坐在教室里，每節課能表達自己看法的機會最多也就一兩次，大部分的孩子就沒有機會表達自己的看法。小組合作學習，能讓所有的孩子有機會表達自己的意見，更能調動學生的思維積極性。但我們的小組教學不能流于形式，不能只為討論而討論，我們應該設計合適的教學情境，先拋出問題，在適當的時候置疑，引發學生的思維沖突，再讓他們相互辯論。在教學難點設計這樣的討論，常常能讓學生在爭辯當中提升了自己的思維能力，加深了思維的深度，留下深刻的印象。
三、引導學生多注意知識的前后聯系，培養學生的思維深刻性
思維的深刻性表現在善于抓住主要矛盾的特殊性；善于洞察數學對象的本質屬性和內在聯系；善于挖掘隱含的條件與發現新的有價值的因素，能迅速確定解題策略和組合成各種有效的解題方法。如果我們在教學的過程中，能引發學生去利用知識的前后聯系來學習新的知識，能培養學生的思維深刻性。在教學人教版三年級下冊第二單元筆算一位數除兩位數三位數的時候，如529除以3，我先讓學生動手分小棒，分5個百的時候，我就讓學生用豎式寫出5除以3的過程，分22個十的時候，我又讓學生寫出22除以3的豎式，最后分19個一的時候，也把19除以3的豎式寫出來，然后我問學生，這樣計算簡不簡便，學生說比較麻煩，我說我有種比較簡便的寫法，就把529除以3的豎式的寫法板書在黑板上，讓學生對比觀察，小組討論兩種方法相同與不同的地方，以及每一步計算所表示的意思，再說說象這樣的計算應該先算什么，再算什么。這樣一來，學生比較容易地接受了一位數除以三位數的的算法和算理，而且還學會了如何洞察數學對象本質屬性和內在聯系。在教解決問題的時候，我經常會讓學生觀察所做的題和之前哪道題有相似的地方，細微的區別在哪里。
四、培養思維能力要同培養語言表達能力密切聯系起來
心理學認為，借助語言人們把獲得的感覺、知覺、表象加以概括，形成概念、判斷，進行推理。通過語言表達還有助于調節自己的思維活動，使之逐步完善。所以在教學過程當中，我們應該注重學生語言表達能力的培養。課堂練習時，不僅要讓學生說出解決問題的方法，還要培養學生說清楚自己的思路。課后的小結，要培養學生用簡單明了的語言概括出這一堂課所學的內容，時間充裕的時候，還可以讓每一個學生寫一寫課堂小結。
五、精心設計練習來培養學生的思維能力
不同類型的練習，能培養學生不同方面的思維能力。如不同的開放題，就有不同的功效：不定型開放題，所給條件包含著答案不唯一的因素，在解題的過程中，必須利用已有的知識，結合有關條件，從不同的角度對問題作全面分析，正確判斷，得出結論，從而培養學生思維的深刻性。多向型開放題，對同一個問題可以有多種思考方向，使學生產生縱橫聯想，啟發學生一題多解、一題多變、一題多思，訓練學生的發散思維，培養學生思維的廣闊性和靈活性；多余型開放題，將題目中的有用條件和無用條件混在一起，產生干擾因素，這就需要在解題時，認真分析條件與問題的關系，充分利用有用條件，舍棄無用條件，學會排除干擾因素，提高學生的鑒別能力，從而培養學生思維的批判性；隱藏型開放題，是解題所需的某些條件隱藏在題目的背后，如不注意這些條件容易被學生忽視。在解題時既要考慮問題及明確的條件，又要考慮與問題有關的隱藏著的條件。這樣有利于培養學生認真細致的審題習慣和思維的縝密性。缺少型開放題，按常規解法所給條件似乎不足，但如果換個角度去思考，便可得到解決。如果在設計練習時，針對學生的不同情況，選擇不同形式的練習設計，就能有針對性地培養各方面的思維能力。
1. 性質與關系的類比
性質與關系的類比是指對象各個屬性之間的關系僅僅在于它們都是同一對象的屬性,或根據兩個對象各自屬性之間可能具有的相同因果關系而進行的類比推理。例如:在教學《中心對稱和中心對稱圖形》時,可以將它和《軸對稱和軸對稱圖形》放在一起進行類比教學。
另外,為了弄清“中心對稱與中心對稱圖形的區別和聯系”也可以先提問題“軸對稱與軸對稱圖形的區別和聯系”讓學生在橫向上有一個類比。甚至在教學“中心對稱作圖”時也可類比“軸對稱作圖”,只要將“垂直、延長、相等”改成“連接、延長、相等”。這樣,通過對兩個類比對象各個方面的比較,學生就很容易接受新知識,真正是“溫故而知新”,起到了一箭雙雕的效果。
在數學教學中還有很多教學內容可采用這種類比教學法,如:“分式”可類比“分數”;“余弦”可類比“正弦”;“一元一次不等式”可類比“一元一次方程”;“相似”可類比“全等”。
2. 生活與數學的類比
生活中的一些素材就是活生生的數學模型,教學時利用好這些素材,能起到事半功倍的效果。例如:在教學《數軸》時,借助“溫度計”這一生活中的“數軸”,從標有刻度的溫度計來表示溫度的高低這個事實出發引出數軸畫法和用數軸上點表示數的方法。請看以下教學片段:
準備:到物理實驗室借了20支溫度計帶進教室
引入: (師)我們知道正數負數可以表示具有相反意義的兩個量,那么你會了解每天的天氣預報嗎?如零上5度,零下10度,你們可以用正數負數表示嗎?
生:零上5度記作+5度,零下10度記作-10度
師:觀察溫度計你能發現什么規律?
生:溫度計上的刻度表示的數可以是正數,負數和零
師:你能用直線上的點表示有理數嗎?如何表示?
師:畫一條水平直線,在直線上取一點表示0(叫做原點),選取某一長度作為單位長度,規定直線上向右的方向為正方向,就得到下面的數軸。
數軸的特征:(借助溫度計作對比)原點,正方向,單位長度。
如溫度計上必須有一個0度,類似的數軸上規定一個原點,溫度計上0度以上為正, 0度以下為負,類似的數軸上規定從原點向右為正方向。相反方向則為負方向,溫度計上每1度占1小格的長度。類似的數軸上選擇適當的長度作為單位長度。強調數軸的畫法,然后觀察數軸與溫度計有什么相似的地方。
由此可得:任何一個有理數都可以用數軸上的一個點來表示。通過與溫度計的類比認識數軸,并向學生滲透對立統一的辯證唯物主義觀點及數形結合的數學思想,可以使學生借助圖形的直觀來理解有理數的有關問題,也為以后學習實數奠定基礎。
像這種利用生活中的素材與數學內容類比教學的例子還有很多,如:通過與天平的類比學習等式;通過與梯子的傾斜程度的類比學習銳角三角函數;通過與電影院里的確定座位的類比學習位置的確定等等。教學中如能正確利用這些素材將起到立竿見影的效果。類比教學還能很好地培養學生學習數學的興趣。
3. 分式類比
3.1 分式基本性質的類比
在小學里已學過分數的基本性質:“分數的分子與分母都乘以(或除以)同一個不為零的數,分數的值不變”。并以此為依據進行分數的約分和通分,從而進行分數的化簡與運算。與之類似的,分式的基本性質是:“分式的分子與分母都乘以(或除以)同一個不為零的整式,分式的值不變”。
由此可見,初中的分式運算是小學學過的分數運算的深化。分式的有關概念和性質與分數相類似。例如分式和分數一樣分母都不能為0;分式的性質與分數的基本性質相類似;分式的加減法與分數的加減法的運算方法相類似;分式的通分與約分與分數的通分與約分相類似;因此在教學分式的有關概念和性質時可類比分數的有關概念和性質進行教學,這樣學生易于理解,便于接受,培養了學生思維的靈活性。
3.2 分式運算方法的類比
分式的加、減、乘、除、乘方運算法則都可由分數的加、減、乘、除、乘方運算法則類比而得。在新教材中,對分式的這五種運算法則都沒有過分強調,其原因和用意可能也是可“類比”。
例:
因為:
1[]1×2[SX)]=[SX(]1[]1[SX)]-[SX(]1[]2[SX)],[SX(]1[]2×3[SX)]=[SX(]1[]2[SX)]-[SX(]1[]3[SX)],……,[SX(]1[]2009×2010[SX)]=[SX(]1[]2009[SX)]-[SX(]1[]2010[SX)]
所以:
[SX(]1[]1×2[SX)]+[SX(]1[]2×3[SX)]+……+[SX(]1[]2009×2010[SX)]=[SX(]1[]1[SX)]-[SX(]1[]2[SX)]+[SX(]1[]2[SX)]-[SX(]1[]3[SX)]+……+[SX(]1[]2009[SX)]-[SX(]1[]2010[SX)]=[SX(]1[]1[SX)]-[SX(]1[]2010[SX)]=[SX(]2009[]2010[SX)]
再解答以下問題:
求[SX(]1[]x(x+1)[SX)]+[SX(]1[](x+1)(x+2)[SX)]+……+[SX(]1[](x+2009)(x+2010)[SX)]的值
由已知條件中分數的簡便運算方法――裂項法,類比到分式運算中的裂項。
答題要點:
因為:
1x(x+1)=1x-1x+1,
1(x+1)(x+2)=1x+1-1x+2,1(x+2009)(x+2010)=
1x+2009-1x+2010
所以:
求式=1x-1x+2010=2010x(x+2010)
類比分數的運算法則――逆向運用分式的減法法則,將一個分式“分裂”成兩個分式,從而尋求到分式運算問題的簡便方法。
4. 過三點的圓與兩點確定一條直線類比
在課堂教學“過三點的圓”時,可通過類比聯想提出以下問題:
第一,確定一條直線的條件是什么?
第二,我們知道,兩點確定一條直線,那么對于圓來說,是否也存在由幾點確定一個圓的問題呢?
第三,經過一個點A,是否可以作圓?如果能作,可以作幾個?
第四,經過兩個點A、B如何作圓?能作幾個?
第五,經過三個已知點作圓又是怎樣的情況?
這樣通過類比聯想,引入新課,激發學生的學習興趣,增加學生的求知欲望。
5. 相似三角形與全等三角形類比
相似三角形與全等三角形判斷方法有聯系。在相似與全等三角形的判定中,有關角的條件都是對應角相等,有關邊的調教,全等三角形中是應對邊相等,而相似三角形中是邊對應成比例,只要把全等三角形判定中的“對應邊相等”改為“對應邊成比例”,就能相應得到相似三角形的判定方法。全等三角形必須有一組對應邊相等,而判定相似三角形時,可舍去此條件。
在概念的區別上,全等三角形是能夠完全重合的三角形。包括形狀相同、大小也相同來年各個方面;相似三角形只是形狀相同而大小不一定相同,即只是對應角想的,而對應邊成比例,當對應邊的比值等于1時就全等,因此,全等三角形是相似三角形的特例,掌握它們之間的聯系與區別,問題就能迎刃而解。
在初中數學中的類似問題還有很多,諸如“圓的內接三角形”和“圓的內接四邊形”;“直線和圓的位置關系”與“點和圓的位置關系”等等,它們彼此都有相類似的地方,若能在教學中靈活運用“類比”的方法,揭示這些知識之間的關系,對于學生掌握數學知識,將會收到良好的效果。
綜上所述,類比法在初中數學教學中的應用較為廣泛,對學生的學習興趣的培養和思維能力的提高具有顯著的作用。教師應在教學實踐中進行合理巧妙的運用,并對學生進行相應的啟發,以達到素質教育要求下的初中數學教學目標。
參考文獻:
[1] 黃殊、林光耀.淺談中學數學思想方法教學的實施方案[J].福建中學數學. 2004. 12.
【關鍵詞】數學課 導入法 情感
所謂導入，就是教師在講課之前，圍繞教學目標精心設計的一種教學語言與方法，短則一兩分鐘，長也不過五六分鐘，導入要導入本課體現的重點、難點的宗旨，具有的概括力要求具有趣味性，能激起學生的學習興趣，激起學生的求知欲；具有鼓動性，能調動學生的課堂情緒，使之躍躍欲試；具有啟發性，能激發學生的智力活動，引起思索，吸引學生的注意力；有一定的情感性，起到縮小師生之間心理距離的作用。精彩的導入，會使下面的教學活動更加流暢，在“導入”新課中，必須根據教材內容和學生的具體實際設計不同的導入方式。課堂導入的方法多種多樣，以下本人就數學教育教學過程中常用的幾種導入方法進行一些淺談。
一、溫固知新導入法
溫固知新的教學方法，可以將新舊知識有機的結合起來，使學生從舊知識的復習中自然獲得新知識。這也是我最常用的方法，例如：在教學“多項式除以單項式”的導入時，我先出示了幾組多項式乘單項式，要學生做題并要求說出法則及計算方法。然后我把題中的乘號改為除號，問學生現在屬于什么運算。學生回答：多項式除以單項式。這時我便引出課題：你們能借用多項式乘單項式的方法去試算一下今天要學習的知識嗎？――多項式除以單項式。于是，學生均躍躍欲試，成功的用學過的乘法知識解決了當天的除法知識，并且在解決過程中學生體會到了成功的快樂。
二、類比導入法
類比就是一種間接推理的方法，類比導入法就是通過兩類不同的對象間的某些屬性的相似，而從一種具有的某種其他屬性就猜想另一種也有這種屬性。例如：在教學“分式”的導入時，我先復習在小學時，大家所學的有關分數的一些定義，基本性質及分數的加、減、乘、除等的四則混合運算，這樣給出分式的定義和它的一些基本性質和相關的加減乘除運算。這樣類比能更好的區別分式與整式。
三、實踐導入法
實踐導入法是組織學生進行實踐操作，通過學生自己動手動腦去探索知識，發現真理。例如：在教學“等腰三角形”的導入時，我和學生一起拿出一張長方形紙片，從中間對折，然后剪下一個三角形把它展開。讓學生觀察此三角形有什么特點。此時激發了學生強烈的求知欲，然后很自然的引入新課――等腰三角形。
四、走近生活的導入
日常生活中包含許多數學知識，聯系生活實例的導入是采用學生所熟悉的生活實例引入新課。例如：在教學“反比例函數的意義”的導入時，我將課本“思考”中的三個問題改成如下：下列問題中，變量間的對應關系可用怎樣的函數解析式表示？這些函數有什么共同特點？①海南東環鐵路全程為308km，某次列車的平均速度v（單位：km/h）隨此次列車的全程運行時間t（單位：h）的變化而變化；②黎苗族的盛會“三月三”即將到來，瓊中縣政府決定要在廣場擺放一個面積為200m2的矩形花壇，花壇的長y（單位：m）隨寬x（單位：m）的變化而變化；③已知我校的總面積為3800平方米，人均占有的土地面積S（單位：平方米/人）隨全校總人口n（單位：人）的變化而變化。請同學們認真思考并寫出它們的函數解析式。通過這熟悉的生活實例引入反比例函數，學生很感興趣并能很快地進入新課的探究。
五、設置懸念導入法
設置懸念導入法是根據中學生追根求源的心理特點，一上課就給學生創設一些疑問，創設矛盾，設置懸念，引起思考，使學生產生迫切學習的濃厚興趣，誘導學生由疑到思，由思到知的一種方法。例如：在教學“三角形全等的判定”的導入時，我拿出準備好的三角紙板說：我有一塊三角形的玻璃不小心碎成了兩塊，如果想重新到玻璃店割一塊同樣大小的玻璃，有幾種拿法？這時學生都紛紛說出三種拿法：①把兩塊都拿到玻璃店去，②只拿第一部分，③只拿第二部分。我接著讓學生思考：哪種方法不能買回新玻璃，哪種方法最聰明？激發了學生的學習熱情，調動起了學生的求知欲，學生議論紛紛。這時我向學生說；要解決這個問題就要用到三角形的判定，現在我們就先來學習――全等三角形的判定。這時學生很期待答案，都很認真地學習，本章學生很用心去學。
六、教具導入法
教具導入法能使學生把抽象的東西，通過演示教具形象、具體、生動、直觀地掌握知識。例如：在教學“勾股定理的逆定理”的導入時，我事先準備了一根打上等距離的13個結的繩。分別演示圍成幾組不同邊長的三角形，讓學生判斷哪個是直角三角形，是直角三角形的這三邊有什么關系，從而引入勾股定理的逆定理。
七、數學史引入法
數學史引入法是指在講授數學概念、定理、方法時，首先給學生介紹一些有關的、有趣味性的數學家的傳記或數學史實，從而導入新課的一種方法。這種方法可以通過榜樣的力量去感染學生，增強學習毅力和創新精神，增強愛國主義精神，于德育于智育之中。例如：在教學“勾股定理”的導入時，向學生介紹畢達哥拉斯，也可以介紹我國古代的數學家，并介紹其發現的艱苦歷程，激起學生學習的熱情與積極性，進而導入新課。
八、開門見山導入法
直接導入法是一上課就把要解決的問題提出來的一種方法。例如：在教學“乘法公式――平方差公式”的導入時：我們在上節課學習了“整式的乘法”――多項式與多項式相乘，本節課我們將運用它的法則來學習“乘法公式――平方差公式”。
九、強調式導入法
【關鍵字】數學 課堂教學 美育
一、數字美，計算中的美
阿拉伯數字看似枯燥，但它是從無數具體的物體數量中抽象得出，在讓學生認數、寫數的同時讓學生喜歡數學，有著豐富的美的蘊含。1像根木棒也像火柴，2像小鴨，8像葫蘆……數學計算中，也有很多美的地方，如11×11＝121，111×111＝12321……，計算結果是回文數，正著讀與倒著讀完全相同，而且還以中間數為基準對稱。尤其它還有十分巧妙、簡單的簡算方法等等。又如循環小數商的小數部分從某一位起，一個數字或幾個數字依次不斷的重復出現，猶如萬里長城綿沿不斷，又似大海波濤，生生不息，給學生以廣闊的想象空間。
二、圖形美
在教學平面幾何初步認識時，通過操作、觀察、度量、繪制等，讓學生領悟直線美、曲線美和對稱美。對稱是指整體的各個部分之間的勻稱和對等。對稱性是最能給人以美感的形式。對稱美是一種形態美，數學的對稱美是側重于形態的。德國數學家魏爾曾經說過“美與對稱性密切相關”。對稱，展示整體的和諧與平衡美。長方形、正方形、等腰三角形等都是軸對稱圖形。
三、結構美
數學知識的系統性比較強，許多知識前后聯系密切，通過由此及彼的轉化，能促使知識的正遷移，方便學生掌握新知，并由此感受數學知識的內在美。如在教了基本平面圖形的面積計算后，采用圖示方法，將新舊知識間的內在聯系用圖表示出來，從而使學生懂得，只要掌握了長方形的面積計算方法，就可以通過運用割補、拼合等方法得出其他圖形的面積計算公式。又如在教學由商不變性質到分數的基本性質，再到比的基本性質；除數是小數的除法轉化為除數是整數的除法；異分母分數加減轉化為同分母分數加減等等時，充分利用知識間的內在聯系，促使學生產生正遷移，學生在增長知識的同時，從中深切感受到數學知識蘊含的內在結構美。
四、簡潔美
數學的簡潔性是指數學理論體系的結構和表達形式的簡潔，并不是指數學內容本身的簡單。它既是數學結構美的重要標志，也是數學形態美的重要內容。例如，在教學加法結合律時，先讓學生對加數相同、運算順序不同的兩道加法算式分別進行計算，使學生初步直觀感知它們的運算順序不同，但所得的和卻是相同的。在這兩道算式中，一道是先把前兩個數相加，再和第三個數相加，而另一道是先把后兩個數相加，再與第一個數相加，它們的和不變，這就是加法的結合律，這樣的運算定律文字敘述冗長，學生記憶困難。如果這三個加數分別用字母a、b、c來表示，那么這個加法結合律就可以用字母表示為(a+b)+c=a+(b+c)，這是一個多么簡潔的數學表達形式，它表達了加法結合律這個概念的豐富的內涵和全部的外延，它把加法結合律表達得再也簡潔不過了，真是太美了。
五、統一與和諧美
數學知識本身充滿著對立統一的觀點，如加與減、乘與除、精確與近似、有限與無限等等，到處充滿著矛盾。如乘和除是對立的，但學生了解了分數乘除以后，又可把兩者統一起來，即除以一個數不等于0的數，等于乘以這個數的倒數。自然數的個數是無限的，而每一個具體的自然數又都是由有限個基本單位“1”組成的，這說明“有限”包含在“無限”之中，而“無限”又從“有限”中得到發展……在教學中，通過提示知識間這些有限與無限、合與分，變與不變等等對立統一的關系，指出它們的聯系和區別，使學生在潛移默化中領悟到數學知識的和諧美。
六、表現美、創造美
在小學數學教學中，輕松愉快的課堂氣氛，民主和諧的師生關系，生動具體的教學過程，緊張激烈的學習比賽，饒有情趣的數學故事，富有魅力的數學知識，無不給學生以美的體驗。在數學中要讓學生在感受美、體驗美的同時具有充分地表現美、創造美的空間。例如，在教學軸對稱圖形的認識一課后，我布置了這樣一道課外作業：請學生用一張長方形紙，設計一幅美麗的軸對稱圖形圖案。學生積極性很高，設計了一張又一張，直到自己滿意為止。然后師生一起進行評比，評出最佳作品和優秀作品展覽表揚。這樣既達對軸對稱圖形的鞏固認識，又通過設計、評比、展覽使學生提高審美素質，更滿足了學生表現美、創造美的欲望。
一、數和量
凡是可以測量、計數、計算的東西，都叫量。例如：一張桌子好看不好看，實用不實用，是不能量，不能數，也不能算出來的。但是桌子的長短和高低，是可以測量的。這是我們就說：美觀、實用不是量而長短和高底是量。同一類的量是可以比較的。為了準確的比較，我們就從同類的量中，取定一個度量單位，來度量其他的量的大小，度量的結果就得到數。量和數的區別還在于對于同一個量，用不同的度量單位來度量時，可以得到不同的數。例如一張長90cm的桌子，用米兩度量是0.9m，用毫米來度量則是900mm.所以我們在解決實際問題時，必須注明單位才算完整。
0和沒有
無在數量上可以用0來表示，這源于數物體個數的的過程，自然數是“有”的符號，它是對數量的肯定；而在實踐中我們也經常會遇到一個物體也沒有的情況，這是就用“0”來表示“沒有”，是對數量的否定。長久以來，人們經常用0來表示“沒有”，于是就誤以為0只能用來表示沒有。其實這只是0的意義的一個方面，0還有豐富的內容：
1、0是一個獨立的數字，它是整數，但不是自然數，它是唯一一個非負、非正的中性數。它小于一
切正數，大于一切負數，是正數和負數的分界點。在數軸上原點“0”比任何正負數的點都更為重要，它對應于數軸上的一點，便決定了其他各點的位置。
2、溫度是0℃表示一個特定的溫度，不能說沒有溫度。它表示了水的冰點這樣一個確定的量，就是在
一個大氣壓下，水在這個溫度開始結冰。
3、在近似計算中，0的作用也很重要。比如1.8和1.80的含義就不同：1.8表示精確到0.1位，而
1.80則是精確到0.01位，因而不能把1.80后面的0理解為可有可無，隨意化去。
4、0的了不起還在于：它在參與計算時，任何一個數與0相加仍得0；任何數減0，它的值不變；任
何數與0相乘，積得0；0除以一個非0的數，商等于0；此外，0是一個偶數，是任意自然數的倍數，0不能做除數，因為它作除數是無意義的或者說得不到確定的商；0的相反數是0，0的絕對值是0等隨著我們知識的擴充，對“0的認識也將更加全面。”順便說明一點：在足球比賽時記分牌上出現的3：0等等，同學們一定覺得很奇怪，后項是零的比，分母是零的分數，除數是零的算式都是無意義的，其實它們只是借用數學符號的寫法，并列起來加以比較的意思，與數學無關。記分牌上出現的3：0是表示一方得3分，另一方沒得分，兩者之間相差3分。再如記分牌上8：2則表示一方得8分，另一方得2分.兩者之間相差6分。記分牌上的“幾比幾”不是數學中“比的含義，兩者不是倍數關系。”如果把記分牌上的8：2按數學中“比” 的含義化簡為“4：1”，比賽雙方原來比分相差6分，現在相差3分，贏的一方能同意嗎？ 正負號與加減號
符號是中學和小學數學的區別之所在，學生計算時最容易出錯。“+”和“-”在表示數的性質時叫做正號與負號，而在表示數的運算時則叫做加號與減號。舉個例子來說明：（-11）-（-7）+（-9）-（-6）在這個式子中在11，7，9，6前面的（+）和（-），是表示數的性質的，叫性質符號，又叫正負號。在括號之間的“+”和“-”號，是表示數的運算方法的，叫運算符號，分別叫加號和減號。根據減法法則可以統一成加法運算：（-11）+（+7）+（-9）+（+6）.這時省略所有的加號可得：-11+7-9+6，此時除第一個數是性質符號外，都轉化為運算符號，這種寫法叫代數和，讀作“負11，加7，減9，加6，或讀作負11、+7、-9、+6的和。這個例子說明，在一定的條件下，性質符號和運算符號是可以相互轉化的。在實際應用時，一定注意他們的區別與聯系。
乘方和冪
在數學課上，老師有時把an讀作“a的n次方”；有時讀作“a的n次冪”。學生就會搞不明白，為什么同一個符號an會有兩種不同的讀法？
這是因為乘方和冪既是兩個不同的概念，又是兩個有關聯的概念。乘方是求相同的因數的積的運算，是乘法的一種特殊的運算，從運算來考慮，可以把an讀作“a的n次方”；而冪是乘方運算的結果，那就只能讀作“a的n次方”。這就好像我們學過的加法、減法、乘法、除法等運算，每一種運算結果都有一個專門的名稱。加法運算的結果叫做和，減法運算的結果叫做差，乘法運算的結果叫做積，除法運算的結果叫做商一樣，乘方運算的結果叫做冪。
