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開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇數學中的分析法，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
關鍵詞：結構分析法;數學;教法;學法;運用
中圖分類號：G712 文獻標識碼：A 文章編號：1005-1422（2015）02-0064-03
收稿日期：2015-01-20
作者簡介：陳海濱（1967-），男，廣東省梅州農業學校講師，大學本科。研究方向：數學教育。（廣東 梅州/514011）
在數學的教學活動中，教師往往側重于“教法”的積極探索而忽視對學生的“學法”的研究指導，造成整個教學過程脫節。于是，出現一個怪現象：課上教師盡所能、展才智充分調動學生積極性、激發學習興趣，學生聽得懂，叫好，而課后學生復習、練習、作業、考試時又感到不理解、不會做、考不好，叫苦，只開花不結果。那么怎樣才能使“教法”寓于“學法”，“學法”源于“教法”，將二者有機地結合起來，既開花又結果呢？這就要求教師要從不同的角度全方位地進行教學設計。筆者認為，教師是導演――統攬全局，也是演員――把握精辟，還是觀眾――期待效果。從教師的角度“導”出“教法”;從學生的角度“演”出“學法”;從家長的角度“觀”出效果。正是本著這樣的理念，經過多年的教學積累探索出一種教與學的通用之法――結構分析法。經過多年的實踐檢驗表明，此法特別適合代數教學。本文就以代數教學為例進行闡述。
所謂的“結構分析法”就是依據數學的換元思想，通過觀察分析數學概念、公式、法則等數學知識結構形式的特點，對其結構形式進行分解――確定“可變”與“不變”兩個部分，用中括號[ ]代替“可變部分”找出規律，揭示出其本質特征，從而深刻地理解其內涵，靈活地掌握和運用數學知識解決問題，提高教學效率的一種方法。
一、結構分析法在數學“教”的過程中的運用
（一）在數學概念教學方面的運用
例1.“函數概念”的教學分析。
函數是數學中十分重要的概念，是數學各個分支理論的重要基礎之一，在各個領域都有著廣泛的應用。由此可見，深刻地理解函數概念是至關重要的。然而，學生普遍感到較難理解“函數概念”，尤其是對用抽象符號：“y=f（x）”表示函數的理解感到一頭霧水。現在就從這里入手，運用“結構分析法”進行分析。
觀察，函數y=f（x）的結構形式進行如下分析：
這樣，學生容易片面地理解函數的概念：誤認為x就是自變量，y就是因變量，而解析式表示的就是函數。缺乏對函數概念的深層次地理解，導致在學習過程中遇到有關函數問題時，就問題多多。
現在，我們對上述結構形式進行分解，確定“可變”部分為x和y所在的位置，余者不變。用中括號[ ]代替“可變”部分――x和y所在的位置，就不難發現對于一個確定的函數，無論是具體的還是抽象的都可以理解如下：
顯然，在函數的構成要素中，最重要的是函數的定義域和對應法則，最難理解的就是“對應法則”（不變部分）。事實上，對于一個確定的函數其對應法則是不變的、抽象的。
現在，通過幾個例子加以說明如何運用結構分析法揭示出對應法則的本質特征。
例如，二次函數f（x）=3x2+2x+1的對應法則f的本質特征是：f[ ]=3×[ ]2+2×[ ]+1
函數值：當x=2時，有f（2）=3×22+2×2+1=17
當x=t時，有f（t）=3×t2+2×t+1=3t2+2t+1
對應法則f：[ ]內取2，則有f[2]=3×[2]2+2×[2]+1=3×22+2×2+1=17
[ ]內取t，則有f[t]=3×[t]2+2×[t]+1=3×t2+2×t+1=3t2+2t+1
顯然，f（2）=f[2]，f（t）=f[t]
再如，復合函數g（x）=lg（3 x2+2x）的對應法則g的本質特征是：g[ ]=lg（3×[ ]2+2×[ ]）
函數值：當x =2時，有g（2）=lg（3×22+2×2）=4lg2
當x=t時，有g（t）=lg（3×t2+2×t）= lg（3t2+2t）
對應法則g：[ ]內取2，則有g[2]=lg（3×[2]2+2×[2]）=lg（3×22+2×2）=4lg2
[ ]內取t，則有g[t]=lg（3×[t]2+2×[t]）= lg（3×t2+2×t）= lg（3t2+2t）
顯然，g（2）= g[ 2 ]， g（t）= g[t]
這就說明了對應法則的本質是理解時抽象而運用時又具體的一種對應關系。學生就容易理解函數f（t）=3t2+2t+1與函數f（x）=3x2+2x+1是同一個函數;函數g（x）=lg（3x2+2x）與函數g（t）=lg（3t2+2t）也是同一個函數。自然認同x、y只是一個記號，習慣用之而已。從而更加容易理解“每一個函數都有其對應法則，并且每一個自變量的取值按其對應法則都有唯一的因變量的值與之對應”的內涵。這樣，使學生通過“抽象――具體――抽象”的認識過程，進而深刻地理解函數概念的內涵。
像冪函數、指數函數、對數函數、三角函數及其復合函數，還有抽象函數等函數概念都可以運用“結構分析法”進行數學概念教學，使學生更加容易把握數學概念的本質特征，提高教學效果。
（二）在數學公式教學方面的運用
例2.三角函數中“誘導公式”的教學分析。
常用的誘導公式有9組36個公式，若要求學生死記硬背難度大且用時易錯，用“結構分析法”教學，可以概括出“口訣”，易記、好用、準確。
誘導公式中角的形式有9種：“2kπ±α（k∈Z），π±α，0-α，π2±α，3π2±α”。 觀察分析這9種角的結構形式發現：“2kπ，π，0”角的終邊都在橫軸上;“π2，3π2”角的終邊都在縱軸上。
（因篇幅所限，選幾組加以分析）
sin（π±α）=sinα
cos（π±α）==cosα
tan（π±α）=±tanα
cot（π±α）=±cotα公式（一）
可變部分“±”， 余者不變
sin（3π2±α）==cosα
cos（3π2±α）=±sinα
tan（3π2±α）=cotα
cot（3π2±α）=tanα
公式（二）
可變部分“±”、“名稱”， 余者不變
sin（π±α）=[ ]sinα
cos（π±α）=[ ]cosα
tan（π±α）=[ ]tanα
cot（π±α）=[ ]cotα
sin（3π2±α）=[ ][ ]α
cos（3π2±α）=[ ][ ]α
tan（3π2±α）=[ ][ ]α
cot（3π2±α）=[ ][ ]α
首先，確定函數“名稱”的變化規律。
觀察分析公式（一）、公式（二）兩邊的函數名稱發現：公式（一）名稱不變，且π角的終邊在橫軸上，公式（二）名稱改變，且3π2角的終邊在縱軸上，由此概括出函數“名稱”的變化規律：“縱變橫不變”。
其次，確定“±” 符號變化規律。
觀察分析公式（一）、公式（二）兩邊的函數值符號發現：等式左邊的函數值符號都是正的，而等式右邊的函數值符號是變化的，若把α看成是銳角時就會發現：由“π±α，3π2±α”角的終邊所在的象限確定的函數值符號排布規律與右邊函數值符號排布規律一致，這說明右邊的函數值“符號”是由左邊的“π±α，3π2±α”角的終邊所在的“象限”確定的函數值符號排布規律決定的。由此可以概括出符號變化規律：“符號看象限”。
這樣，可以得到誘導公式的口訣為：“縱變橫不變，符號看象限”。
例3.三角函數中“二倍角公式”的教學分析。
許多數學公式在理解和運用時，學生常常忽視它們內在成立的“條件”或者運用的“條件”，而片面地理解數學公式，導致用時易錯、缺乏靈活性。若用“結構分析法”教學，則可以使學生深刻理解公式的內涵，提高靈活運用的能力。
以“二倍角公式”的教學為例進行分析：
sin2α=2sinαcosα
cos2α=cos2α-sin2α
=1-2sin2α
=2cos2α-1
tan2α=2tanα1-tan2α
可變部分“2α，α”
sin[ ]=2sin[ ]cos[ ]
cos[ ]=cos2[ ]-sin2[ ]
=1-2sin2[ ]
=2cos2[ ]-1
tan[ ]=2tan[ ]1-tan2[ ]
觀察分析上述公式的結構形式發現“可變部分”是2α，α，余者“不變”，從而揭示出公式成立的“條件”：左邊角的“形式”是右邊角的“形式”的二倍，公式成立，反之亦然。于是，可以得到許多常用的結論：
如：sinα=2sinα2cosα2sinα2cosα2=12sinα;
sin2α=1-cos2α2 （降冪擴角公式）;
sinα2=±1-cosα2 （半角公式）
等等，這些在求三角函數的周期、最值等問題時常用。
由此看來，運用“結構分析法”進行數學公式教學，更加容易抓住數學公式的本質特征。若能概括出“口訣”，揭示出“條件”，就會使學生對數學公式的深刻理解和靈活掌握得到很大程度的提高，從而提高教學效果。
二、結構分析法在數學“學”的過程中的運用
（一） 觸類旁通，掌握新知識
1.引導學生學會概括數學公式（法則）的“口訣”，提高記憶效果和學習效率。
例4.引導概括：三角函數中“加法定理”的口訣。
sin（α±β）=sinαcosβ±cosαsinβ
cos（α±β）=cosαcosβsinαsinβ
tan（α±β）=tanα±tanβ1tanαtanβ
引導學生類似“誘導公式”的分析方法，觀察分析上述公式的結構形式，發現角的排布規律明顯――先α后β。
首先，觀察分析上述公式的三角函數名稱的排布規律發現：正弦、余弦名稱“改變”，正切名稱“不變”。由此可以概括為：“弦變切不變”。弦變之意為：“正弦正在先，名稱交替出現;余弦余在前、名稱重復出現”。
其次，觀察分析上述公式的“±”號的排列規律發現：正弦左右一致;余弦左右相反;正切分子一致，分母相反。由此可以概括為：“符號有順逆”。順逆之意為：“弦正順余逆;切上順下逆”。
因此，可以得到加法定理“口訣”為：“弦變切不變，符號有順逆”。
這樣，就抓住了數學公式的本質特征，在理解掌握數學公式時就會感到：易記、好用、準確、高效。
2.引導學生學會揭示數學公式（法則）的“條件”，提高理解運用的準確性和靈活性。
例5.引導學生學會揭示重要極限limx∞1+1xx=e的“條件”。
引導學生類似“二倍角公式”的分析方法，觀察分析上述公式的結構形式發現：“可變部分”是1x與x，且成倒數關系，余者“不變”。即limx∞1+[ ][ ]=e，于是，公式成立的“條件”是：小括號內的[ ]與小括號外的[ ]的結構形式成倒數關系且與x有關，當x∞時，小括號外的[ ]∞，公式成立。
再如，limx0sinxx=1limx0sin[ ][ ]=1。成立的“條件”是：[ ]內的結構形式一致且與有關，當x0時，[ ]0，公式成立。
這樣，在運用數學公式時，就能準確、靈活、快速地解決問題。
（二） 舉一反三，解決新問題
學以致用，舉幾個例子看一下由“結構分析法”得出的結果在數學解題中的應用。
例6.已知函數f（x）=x2+2，g（x）=2x+1，求f（g（x2））
解：g（x2）=2x2+1， g[]=2×[]+1 （對應法則g）
f（g（x2））=（g（x2））2+2，f[]=[]2+2（對應法則f ）
=（2x2+1）2+2
=4x4+4x2+3
例7.求函數y=sin（kx-π6）sin（kx+π3），k≠0的最小正周期。
解：y=sin（kx-π6）sinπ2+（kπ-π6）
=sin（kx-π6）cos（kx-π6） 縱變橫不變，符號看象限（誘導公式口訣）
=12sin（2kπ-π3）
左邊角是右邊角的一半，二倍角公式成立（條件）
最小正周期為：T=π|k|
例8.求limx∞2x+32x+1（x+1）
解：原式=limx∞1+22x+1x+12 +12
=limx∞1+1x+12x+121+1x+1212
=e?1=e 1x+12與x+12成倒數關系，公式成立（條件）
綜上所述，“結構分析法”在整個教學活動中，體現了二法合一的內在統一性。一法二用，不僅能使學生易于接受“教法”，理解知識，聽得明白，又能使學生利于掌握“學法”，學會思考，解決問題，還能使學生對數學概念、公式、法則等數學知識的深刻理解和靈活掌握得到很大程度的提高。從而能靈活多變地快速解決問題，提高學習效率，達到“授之以漁”的教學目的。
參考文獻：
皮亞諾數學歸納法，產生了與其相對的皮亞諾數學分析法。現代數學沿著這種歸納、分析的相對邏輯性，發展成了現代數學體系。那么，世界上只能有這一種皮亞諾數學歸納法與依據這個原則產生的分析法嗎？
首先，我們來看一下什么是數學方法。因為無論是歸納法還是分析法，它們都是數學方法。
那么，現代數學是如何來定義數學方法的呢？現代數學的數學方法指運用數學的概念、理論、技巧對研究對象的數量、結構進行分析、描述、計算和推導，揭示對象運動規律的方法。
顯而易見，數字方法的特點是具有抽象性、精確性和普遍適用性。現代數學的數學方法主要有數學模型方法和公理化方法等。
那么，傳統文化中的數學方法又是什么呢？我們在前面講到了形貌的具體性與屬性的抽象性，講到了數值的絕對精確性與屬性形貌的相對混沌性，講到了事物形貌與屬性的普遍存在性與事物內外形貌與屬性的特殊結構性。也就是說，中國傳統數學所表達的認識方法是在數值、形貌、屬性三個內容上的共同體系。而現代數學則僅僅是表達數值的純粹量值觀。
所以，現代數學需要概念、理論、技巧的模型或者公理的先行置入。并不具有數學科學的可實驗性與從實踐中產生的具體過程表達性。它首先需要數學上的圣人來建立模型或者發現公理。并在圣人創立的模型與公理中去繼續發揚光大。
而中國傳統數學是建立在界說與道說兩個理論體系下的形貌屬性數值理論體系。界說有面界、線界、點界、體界、系界五種認識論與方法論，道說有數值、數字、數位三種認識論與方法論。界以示形，道以示數。量、形、意、數，式、態、型、勢渾然一體。全體認識、整體認識、總體認識合而為一，孤物獨識、格物致知、博物辨識清晰可分。數理、物理、界理、道理、四理合一。顯而易見，它已經再也不是現代數學所指的狹義數學方法了，已經超越了對研究對象的數量、結構進行分析、描述、計算和推導，揭示對象運動規律的方法定義范疇了。而是所整個世界作為一個變化的事物，來進行一體化的研究了。也就是說，它所描述的數學對象首先應該是大自然中的一個具體事物。揭示一個描述對象的運動規律，并不是揭示研究對象的本身運動規律，而是在大自然運動規律之中的運動狀態。而且這種運動狀態必然與大自然的整體運動抑揚、更相動薄存在必然的規律性。它必然隨著大自然的運動變化規律而變化。
這樣，中國傳統數學方法，就不能是孤物獨識的數學歸納法，它必然是一個描述對象與大自然整體環境與描述研究對象統一的一個數學體系。所以，單純的量值數字性表達已經遠遠不能適應于這個認識層面上的需求。
那么，如何通過數學歸納法與分析法表達出中國傳統數學中的認識論與方法論呢？
所以我們需要一個新的數學歸納法與新的數學分析法。
在現代數學中，歸納法與分析法是兩個分科科學的研究范疇。而在中國傳統文化中，歸納法與分析法則是一個不可分割的體系。那么，這個文化體系的理論，是從哪里來的呢？有人說：來源于易經。因為中國傳統文化自易經之后，易經之前的所有認識論與方法論都在商周文化斷檔中莫明其妙的消失了。與易經后天八卦最具有關聯關系的內容就是先天八卦了，但是，除了先天八卦的四版本卦符仍然在民間有流傳之外，已經沒有具體說明其科學理論或者數學理論的文字著作了。
關鍵詞：技術支持；高中數學；教學行為
中圖分類號：G63 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9132（2017）04-0046-02
DOI：10.16657/ki.issn1673-9132.2017.04.027
隨著新一輪課程改革的進行，教師在教學過程中發現了非常多的問題，教育現狀不容樂觀，傳統的教學模式不能滿足新課標的要求，教學模式的改革勢在必行。教師進行教學時要與學生的實際學習和發展情況相結合，根據學生的學習水平和思維方式展開教學，這樣才能使學生在學習過程中找到適合自己的學習方法，順利地進行自主學習，實現學生個性化的發展。
一、教學行為的涵義
教學經驗是進行教學行為研究的重要基礎和前提。教師在以往的教學行為研究的過程中，沒有建立起一個相關內容的知識體系，研究的內容集中教學方法、模式等上，但是重視的程度卻非常不夠。隨著教育教學改革的深入，教學行為的研究才從其他研究中獨立出來，越來越受到重視，其在教學中的重要性得到認可，教學行為的研究成為了一項專門的研究項目。
當前，我們國家的基礎教育進行了一輪又一輪的改革，教育界人士對課堂教學有了更多的關注，在課堂教學中教學行為是至關重要的一項內容。隨著改革的不斷深入，人們對于教學行為的關注程度也在不斷上升，教學行為的研究范圍在不斷拓展，研究深度也實現了新的突破。教學行為是課堂活動非常重要的載體，對教學水平和教學質量有很大的影響。在教學行為的研究和實施中，教師和學生作為其中的兩大主體，發揮著不可小視的作用，教師和學生要不斷地進行溝通和交流，在溝通和交流的過程中所呈現出的特征就是教學行為。對教學行為的發展規律進行研究和探索，可以在最大限度上幫助教師做好教學，實現教學效率和水平的提高。除此之外，還可以推動整個教育行業的發展，完善教學實踐活動，從而實現學生學習效率的提高和個性化的發展。從對課堂教學行為的分析和探索中，可以看出教師教學的質量和水平，同時也為相關教學行為的研究提供了參考。
課堂教學行為的研究隨著教育教學改革的進行越來越受到重視，教師等相關教育人士進行了一輪又一輪的探索。通過研究教學行為方法對課堂教學行為進行分析是非常準確的，而且研究的角度多種多樣，進而能夠實現對課堂教學效率更加深入的分析和研究，從而提高教學效率和實現教師自身的發展。不過，教學行為的研究包含非常復雜的內容，研究的難度非常大，如果不借助于專業的分析研究工具，是很難完成高中數學課堂教學行為的深入研究。教師在研究的過程中發揮著至關重要的作用，我們在使用課堂教學行為分析法對教學質量進行研究時，要與課堂教學的相關實例結合起來，將其中的相關數據作為研究基礎，進行深入研究。很多科目的教學行為研究都將提高教師的教學效率和水平作為目標。同時，研究中還加入了相關的教學指導，通過這個過程，力求實現教師自身能力的提高。
新一輪的課程改革中教學目標發生了變化，更加突出學生的主體地位，加強學生的自主學習和個性化的發展。在教學過程中，為了實現這一個目標，教師一定要起到引導和啟發學生的作用。教師還要重視知識輸入和輸出的過程，不是將相關的知識完全灌輸給學生，而是充分發揮學生的自主學習能力，讓學生利用自己的思維方式對相關知識進行研究和理解。這樣做能夠為學生營造一種積極愉悅的課堂教學氛圍，調動他們的學習積極性，激發他們的學習的興趣。教師要及時與學生進行有效的溝通和交流，激發學生獲取知識的欲望。
二、教學行為研究所用到的方法
（一）s-T分析法
在教學行為研究的過程中，發揮最大作用的一種研究方法就是s-T分析法。這種分析方法能夠直觀地對課堂教學效果做出相應的判斷，在對教學相關內容進行定量的分析后，能夠獲取教學質量的客觀數據。教師和學生是教學中的兩大主體，這種分析方法對教師和學生的行為進行了劃分，T代表的是教師在視聽方面的信息傳遞，而s代表的是教師在視聽方面的信息以外的內容。對這兩種教學行為進行相應的編碼，然后對課堂行為進行準確的描述。這種分析法的核心是對教學質量和課堂行為特點的分析。
（二）問題類型分析法
問題類型分析法存在著與s-T不同的部分，那就是問題類型分析法往往要將課堂上教師向學生提出的問題進行相關的記錄，然后根據記錄的內容進行分析，是一種聚焦式的觀察法。教師提出問題之后，學生要對教師提出的問題進行探討，找出解決問題的方法，這個過程能夠將教師的教學和學生的學習緊密結合在一起。教師在課堂上提出的問題分為四類：第一，與生活實際結合起來的問題；第二，定律或法則問題；第三，解決方法類問題；第四，假設性問題。
（三）對話分析法
最后一種方法是對話分析法。這種分析法也是一種聚焦式的觀察法，即根據課堂上教師和學生之間的語言交流記錄，進行分析的方法。這種分析法包含了三個方面的內容，分別是教師選擇的回答方式、學生回答方式和教師回應方式。
三、結語
本文對課堂教學行為進行了相應的分析，通過對它的分析，我們對于高中數學課堂教學行為的相關涵義和內容有了一定程度的了解。雖然在教育教學改革的過程中，我們對教學行為的研究已經有了一定程度的重視和改善，但是，高中數學課堂教學行為研究的道路還是存在很多難關，相關的教學工作者要充分發揮自己的影響力，運用不同的研究方法，推動教學行為的研究進程，實現教師教學水平和教學質量的提高。
參考文獻：
一、引導學生熟悉所學的數學公式
初中數學教學中，教師會教授很多的數學公式，可以說數學公式是學好數學、解決應用題的關鍵，但是學生并不一定對所有的公式了如指掌，因此教師應該引導學生熟悉所學的數學公式，要讓學生一看到題目，就應馬上反應出題目中相關量的基本關系.舉例來說，關于行程問題的公式――路程=時間×速度；關于工程問題的公式――工作總量=工作效率×工作時間；關于稅率問題的公式――利息=本金×利率×期數，等等.這些數學公式搞清楚了，學生就能夠了解到應用題中運用哪些思路來解決，因此教師一定要事先為學生解釋清楚，讓學生在做應用題之前內心有數.
二、細致審閱題干，對未知數進行精準確定
所謂的審閱題干，便是要求學生通過審閱題目的活動，對題干的內容實現全面理解和把握.學生依托對題干內容的細致審閱，將實現對已知數和未知數情況以及二者之間關系的清晰界定.通過審閱題干，使學生能夠使用“x”對未知數進行表述.初中階段學生所接觸到的一些應用題難度較為適中，因而教師可以使學生領會通常只要將所需要求得的數值設定為未知數“x”即可進行求解.例如，一次期中考試的試卷中有這樣一道題：“學校圖書館里科技書的本數比文藝書的2倍多47本，科技書有495本，文藝書有多少本？”在這道題目中只有“文書的數量”不知道，所以只要設“文藝書的數量”為未知數x就可以了.因此，學生在列方程解應用題的時候，一定要細致審閱題干，對未知數進行精準確定，方便進行下一步.
三、把握好數值等量關系
借助方程式的解題方式實現對應用題的求解具有多種方式，如列表分析法、譯式分析法、線示分析法、逆推法等.這四類方法在使用方程式進行應用題求解時較為常見.下面我們分別就這四種方式一一展開探究.
1.列表分析法.此種方法乃是使用表格對應用題之中的已知量與未知量加以表述，其后借助表格實現對不同量的比較，進而列出方程式進行求解.這種方法的優勢在于便于學生進行操作，同時因為表格能夠直觀地呈現出不同量之間的關系，因而便于學生理解.
2.譯式分析法.此種方法乃是把應用題中的關鍵詞轉換成代數式的形式，即將題目中的文字語言轉換為數學語言形式，進而實現對不同量之間關系的確定，通常此種方法在實踐應用中遵循下述步驟：首先，數學教師必須耐心地引導學生進行未知量的設置，即使學生具備將未知量由文字語言轉換為數學語言的能力；其次，數學教師應當使學生對應用題中的屬性量加以領會，進而將已知量與未知量組成代數式的形式；最后，數學教師應當引導學生實現對等量的轉換，唯有如此，方才能夠正確進行方程式的列式.
3.線示分析法.此種方法通常針對相遇問題較為適用，便于幫助學生快速發現應用題中涵蓋的等量關系.
4.逆推法.此種方法即通常所說的還原法.即通過逆向思維對問題進行還原，此種方法對于一些較為復雜的應用題求解極其有效，能夠使學生獲得全新的計算推理體驗.
此外，教師應該引導學生，在找準等量關系列出方程求解應用題時，還要注意以下幾個問題：第一，未知數的作用；第二，對未知數補充條件的探討；第三，單位換算，有些問題中已知條件的單位不同時，必須先化成相同單位；第四，方程兩邊的代數式表示同一個屬性量.掌握好以上四個方面，有利于學生更好地解答應用題.
1.歸納推理
近幾年高考特別注重對歸納猜想的考查，主要形式是根據已知條件歸納出一個結論，若是解答題，再用演繹推理對結論進行證明。歸納推理的注意點：①歸納推理是依據特殊現象推斷一般現象，由歸納推理得到的結論超越了前提所包容的范圍，因而必須立足于觀察、檢驗、實驗的基礎上；②用歸納推理歸納結論時，切記不要以偏概全，不能根據幾個特殊情況就得到一般性結論，需再用所學知識去證明結論是否正確，所以要慎重。
2.類比推理
類比推理在近幾年的高考中屢有出現，且不斷翻新，不但考查考生對聯想、類比等方法的掌握情況，還考查考生的演繹（邏輯）推理能力。類比推理的注意點：①類比推理是從人們已經掌握了的事物的屬性，推測正在研究的事物的屬性，是以舊有的認知為基礎，類比出新的結果；②類比推理是從一種事物的特殊屬性推測到另一種事物的特殊屬性，是由特殊與特殊的推理；③在幾何問題的推理中，通常情況下，平面圖形中的點、線、面可類比為空間圖形中的線、面、體，平面圖形中的面的面積可類比為空間圖形中的幾何體體積。
3.演繹推理
演繹推理的一般步驟：可根據具體問題靈活選擇推理步驟，但幾種推理規則基本都遵循“條件——推理——結論”這樣的三步式。演繹推理的注意點：①在數學中，證明命題的正確性都是用演繹推理，而合情推理不能當作證明；②演繹推理中的三段論推理中的大前提在具體問題的推理過程中有時可以省略，但是必須明確大前提是什么。
4.直接證明
綜合法與分析法是兩種思路截然相反的證明方法。綜合法的特點是：從“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，實際上是要尋找上一步的必要條件。而分析法的特點是：從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”，實際上是要尋找使上一步成立的充分條件。分析法和綜合法各有其優缺點：①從尋求解題思路來看，分析法有利于思考，方向明確，思路自然；綜合法往往枝節橫生，不容易達到所要證明的結論。②從表達過程而論，分析法敘述繁瑣，文辭冗長；綜合法形式簡捷，條理清晰。也就是說，分析法利于思考，綜合法宜于書寫。因此，在實際解題時，常常把這兩種方法結合起來使用，即先用分析法探索證題的途徑，然后用綜合法寫出證明過程，這是解決數學問題常用的一種重要方法。
5.間接證明
使用反證法證明數學命題的一般步驟為：（1）分清命題的條件與結論；（2）做出與命題相矛盾的假設；（3）由假設出發，應用正確推理的方法，推出矛盾；（4）斷定產生矛盾結果的原因在于開始所做的假設不真，于是原結論成立，從而間接證明原命題成立。
6.數學歸納法
用數學歸納法證明的關鍵在于兩個步驟要做到“遞推基礎不能少，歸納假設要用到，結論寫明莫忘掉”。因此必須注意以下幾點：（1）驗證是基礎。數學歸納法的原理表明：第一個步驟是要找到一個數，這個數就是我們要證明命題對象的最小自然數，這個自然數并不一定都是“1”，因此“找準起點，奠基要穩”是我們正確運用數學歸納法第一個要注意的問題。（2）遞推乃關鍵。數學歸納法的實質在于遞推，所以從“k”到“k+1”的過程，必須把假設“n=k”作為條件來導出“n=k+1”時的命題，在推導過程中，要把歸納假設用上一次或幾次。（3）正確尋求遞推關系。我們已經知道數學歸納法的第二步遞推是至關重要的，如何尋求遞推公式呢？①在第一步驗證時，不妨多計算幾項，并爭取正確寫出來，這樣對發現遞推公式是有幫助的。②探求數列通項公式要善于觀察式子或命題的變化規律，觀察n處在哪個位置。③在書寫f(k+1)時，一定要把包含f(k)的式子寫出來，尤其是f(k)中的最后一項，除此之外，多了哪些項、少了哪些項都要分析清楚。
二、常見方法、技巧及注意點
1.使用反證法證明問題時，準確地做出反設（即否定結論）是正確運用反證法的前提，常用的“結論詞”與“反設詞”列表如下：
2.反證法的關鍵是在正確的推理下得出矛盾。常見矛盾有三類：
（1）與假設矛盾；（2）與數學公理、公式、定義或已被證明了的結論矛盾；（3）與公認的簡單事實矛盾。
3.在進行類比推理時要盡量從本質上去類比，不要被表面現象所迷惑，如果只抓住一點表面的相似甚至假象就去類比，就會犯機械類比的錯誤。
4.運用數學歸納法常見的錯誤：
隱性知識 排球教學 評價指標 評價方法
目前，我國學術界在呼吁加強對知識測度問題的研究。因此也非常有必要加強對隱性知識評價指標與方法問題的研究。只有對個體含有的隱性知識進行相對合理地評價和測度，才能用利益驅動隱性知識的流動和轉化。然而，由于隱性知識具有個體性難以模仿性和路徑依賴性，對其直接量化和評價顯得非常困難。
一、排球教學中隱性知識的具體評價指標
1.知識的廣度和深度
一個人的知識的廣度和深度，直接量化很困難，可以采用顯在的相對變量來測量。把知識的廣度和深度看作是隱性知識含量的函數。不妨我們可以這樣假設，個人知識廣度可根據項群理論的系譜，考慮其熟悉項目之間的跨度和分布狀況來加以確定。一個人的知識深度和廣度，可以根據他在排球領域掌握的情況來相對加以評估，包括技術、戰術、教學訓練方法、體能訓練的一般理論與方法，以及競賽組織與編排和裁判法等，還可以進一步再細分其指標由同行專家共同確定。
2.取象比類的能力
取象比類是一種獨特的領悟隱性知識的方式，是隱性知識顯性化較為有效的一種表達方法和工具。學識淵博之人能夠旁征博引，通過隱喻、類比、模型等方法把問題闡述清楚明白，能使受眾得到更大的啟發和效益。這里關鍵在于選擇精巧的比喻的能力。這是可以由專家、同行和受眾明顯感受和評價的。
3.運用意象的能力
在排球教學中，考查學生運用隱性知識的過程是十分重要的。其中明顯的表現是他能夠熟練地應用技戰術，并能自由地駕馭。例如，在排球教學比賽中，學生在比賽的瞬間決定采取合理的技術動作，是評價其成績好壞的關鍵指標。學生完成技術動作的知識絕大部分是隱性知識。因此，我們可以把運用知識的能力作為評價隱性知識豐富與否的指標之一。在同等條件下，熟練應用知識的人當然比不熟練應用知識的人具有豐富的隱性知識。
4.隱性知識的相對績效
5.知情意相貫通的能力
研究表明，非正式交流是隱性知識獲取的重要途徑。在排球比賽中，知情意相貫通的能力在傳播隱性知識中起著重要的作用。具有較多隱性知識的人，應該有更強的知情意相貫通的能力，能夠將顯性知識和隱性知識有機結合，在認知活動中恰當地發揮情感因素的作用，創設適于接收、交流以共享隱性知識的氛圍，使隱性知識的獲取和運用保持開放態勢。
二、排球教學中隱性知識的具體評價方法
1.層次分析法
層次分析法是美國匹茲堡大學薩蒂提出的將現實生活中存在的許多復雜、模糊不清的關系轉化為定量分析的方法。該方法將定量分析與定性分析結合起來，用決策者的經驗判斷各衡量目標能否實現的標準之間的相對重要程度，能有效地應用于那些難以完全用定量方法解決的課題。
層次分析法是多目標決策的一個科學方法，它以嚴謹的分析方法、深刻的數理背景和應用方便等特點，這些滿足了對于排球教學中學生隱性知識測評特殊性的要求。本文已經論述了排球教學中隱性知識的因素、維度，正是運用了層次分析法，確定一些具體的指標來評價學生的個體隱性知識，包括知識的廣度和深度、取象比類的能力、運用意象的能力、隱性知識的相對績效和知情意相貫通的能力。在學生隱性知識測評中，層次分析法通過定性分析和定量計算相結合，既考慮了隱性知識維度及其要素的權重，又避免了測評過程中主觀性的出現。
2.模糊綜合測評法
作為定性分析和定量分析綜合集成的一種常用方法，模糊綜合測評已在工程技術、經濟管理和社會生活中得到廣泛應用。模糊綜合評價方法是模糊數學理論在實際問題的應用。由于模糊數學突破了傳統精確數學絕對不允許模棱兩可的約束，使得那些與數學關系不大的學科都有可能用定量化的數學方法加以描述和處理，這樣數學的應用范圍大大擴展。
在實際問題中，人們往往選擇多個因素或多個指標來對一事物進行測評，如對教師知識能力測評等。對這樣事物的測評受到兩個方面的制約，一方面，該測評對象本身具有不確定含義，具有模糊性；另一方面，它常常受到多種隨機因素的影響，也具有模糊性。為了提高測評的科學性和準確性，需要采用多個指標和多個因素的綜合測評方法。而模糊綜合評價方法就是這樣的測評方法。它運用模糊變換的原理，對某一研究對象進行全面地評判，能比較順利地解決傳統方法難以解決的“模糊性”評判與決策問題，是一種行之有效的輔助決策方法。
因此，模糊綜合評價法的特點滿足了排球教學中學生隱性知識測評的要求，在用層次分析法確定學生隱性知識各要素、維度對總目標的貢獻率的基礎上，運用綜合模糊測評法對學生隱性知識進行了定量分析，能夠有效地區分不同學生個體隱性知識水平等差異。
三、結語
個體隱性知識的評價和測度是一項全面的系統工程。本文通過對排球教學中隱性知識的認識，初步提出了評價學生個體隱性知識的5項指標。當然，這5項指標的具體內容和具體算法還有待進一步細化和研究。通過建立各級指標，采取層次分析法確定各評價指標的權重，組織專家、同行、受眾對學生個體的隱性知識含量進行打分，運用模糊評估法，構造評價對象矩陣，能夠對個體隱性知識的含量得到相對的結果，對于如何實施這有待于進一步研究和驗證。
參考文獻：
[1]高寶龍.對高等體育院校排球教學中學生隱性知識積累的探索與思考[J].安徽科技學院學報，2009，24（3）.
例題：某書店老板去批發市場購買圖書，第一次購書100元，按定價2.8元出售，很快售完。由于該書暢銷，第二次購書時每本的批發價已比第一次高0.5元，用去了150元，所購數量比第一次多10本，求該老板第一次購書的批發價。
第一，理解題意，學會分析
數學應用問題都是用文字來表述的，要理解題意，學會分析就必須疏通文字。
一是要注意題目中的關鍵詞，如“增加3倍，增加到3倍，增加了3倍”，這些常出現的字眼，必須明確意義。
二是要看好題型，掌握基本關系式。若是行程問題，就必須懂得:路程=速度×時間；若是工程問題，就要明白：工作效率×工作時間=工作量；若是買賣問題，須知道：總金額=單價×數量；若是存款問題，須知道：利息=本金×利率×存期。
三是要學會分析的方法。常用的分析方法一般有直接分析法、線圖分析法和表格分析法三種方法。根據題目的需要，有時可以綜合運用這三種方法把問題分析得更加透徹。
上述題目屬于買賣問題，可以用直接分析法和表格分析法結合進行，首先必須理解書的定價、售價和批發價的意義，弄清楚在個關系式：
①第二次購書的批發價=第一次的批發價+0.5元
②第二次購書的本數-第一次購書的本數=10本
購書的本數=實用現金總額÷每本書的批發價
再借助于下表幫助分析：
■
第二，根據題意，恰當設元
解決數學實際應用問題，設未知數是其中的一個重要環節，能否處理好這個環節對實際應用問題的解決起著重要的作用，一般有三種設元方法：
⑴直接設元法：就是把要求的未知數設為“X”，這種設未知數的方法稱為直接設元法。簡言之，就是題目問什么，設什么。
⑵間接設元法：有些實際問題，如果“問什么，設什么”難以求解,這時應進一步弄清楚題目中量與量之間的關系，把與所求的量有關的量設為未知數“X”，即找出一個間接的關鍵的量作為未知數，這稱之為“間接設元法”。
（3）輔助設元法：某些實際問題，題目中的已知條件較少，特別是列代數式時需要的量往往沒有給出，可以把這些量和待求的量一起設為未知數，使之參與到問題解決的過程中去，并在解題過程中逐步將它消去，這種方法通常稱為輔助設元法。
根據題目的特點，靈活恰當地設元，能收到化難為易、事半功倍的效果。上述例題可采用直接設元法，設第一次購書的批發價為X元，那么第二次購書的批發價為（X+0.5）元。
第三，建立模型，正確求解
通常把現實生活中的實際問題加以提煉，用數學語言概括的一種數學結構，稱為數學模型。數學模型可以是方程、不等式、函數，或其他數學形式。
建立數學模型的大體過程是：（1）分析研究實際問題的對象和特點，確定數學模型的類別；（2）選擇具有關鍵性作用的基本數量關系，并確定其間的相互關系；（3）用數學概念、符號表達事物的對象及其相互關系。
一般情況下，常用的數學建模方法有：對現實生活中普遍存在的等量關系應建立方程模型；對不等量關系應建立不等式模型；對變量關系應建立函數模型；涉及數據的收集、整理、分析時應建立統計模型；涉及圖形時應建立幾何模型。上述題目可建立方程模型，某學生的解題過程是：
解：設第一次的批發價為X元，根據題意得：
■-■=10
整理得：2X2-9X+10=0
解得：X1=2，X2=2.5
經檢驗：X1=2，X2=2.5都是所列方程的根。
答：第一次購書的批發價是2元或2.5元。
由此看到第一次購書的批發價有兩個，即2元或2.5元，這能合乎題意嗎？因此還必須進一步驗證。
第四，回扣原題，驗證作答
解答有些題目，學生容易忽視限制條件，或者沒有發現隱含條件，從而導致解答不完全正確。因此，應當教育學生，問題解出后一定要把求得的結果代入到原題中去進行驗證，把不符合題意的答案舍去，最后寫出結論。
關鍵詞 S-T分析法 教學效果 教學性格
中圖分類號：G424 文獻標識碼：A DOI：10.16400/ki.kjdkz.2015.07.027
Finite Analysis of ST Analysis in the Diagnosis
of Teaching Effectiveness
――Take Yueyang No.1 high school Grade One Chinese
Language Lesson "Border Town" as an example
LI Jing
（Hu'nan Normal University School of Education Science， Changsha， Hu'nan 410000）
Abstract With the deepening of information technology in education and the new generation of teachers to carry out the subject， the teacher is more eager to expand their classroom teaching and in-depth reflection of rationality， ST quantitative analysis method is simple， visual conclusion， it represents teaching through visual graphics character. Because there is a correlation between teaching character and teaching effectiveness， ST analysis is also sometimes used for diagnostic teaching. In this paper， Yueyang No.1 high school Grade One Chinese language lesson "Border Town"in ST analysis， found that for non-interactive distinguished speaker， ST information can not be associated with teaching effectiveness analysis， which is ST Analysis in the diagnostic analysis and prescription recommendations congenital defects.
Key words S-T analysis method; teaching effects; teaching character
1 問題的提出
教師在教學反思中，除了采用傳統的定性研究手段外，定量的分析方法逐漸嶄露頭角，例如能簡單記錄教學過程數據并直觀反映教學性格的S-T分析法，再如運用多種分析圖表來詳盡直觀表現教學結果的弗蘭德分析法。①S-T分析法的行為僅分為兩類，學生行為S和教師行為T，這種劃分方式最大程度減少了人在教學過程行為分類中的模糊性。此外，一堂課的教學性格在S-T分析法中是以圖形表示的，沒有復雜的計算，便于推廣與實施。
正是因為S-T信息分析只對教學行為進行簡單的定量處理，通過它判定教學性格也必定只能觀察到局部的教育現象，其反映出的結論也必定是有限的。筆者對湖南省第一中學以小說《邊城》為教學內容的一堂高一語文課進行S-T數據采集，分析數據得出該堂課的教學性格為傳統的講授型，但教學效果卻異常出彩，絲毫不亞于練習型、混合型、對話型教學模式。不由得思考，通過S-T分析法來診斷教學性格并評定教學效果存在一定的局限性。
2 實例分析
2.1 采集數據
表1
這是一節45分鐘的高一語文課，采樣時間間隔為1分鐘，聽課時記錄45分鐘內的教師行為和學生行為。S行為包括學生的回答、討論、自主探究等，T行為有教師的講授、提問、板書等。若一分鐘內S行為大于T行為，記為S，若T行為大于S行為，記為T。將每段采樣點的行為類型填在S-T數據記錄表格上，每一行9個格子記錄9分鐘內9個行為的編碼，5行就表示一段45分鐘的連續觀察。根據實際課堂觀察記錄，得出如數據采集表（表1）。
2.2 進行技術分析，形成S-T曲線圖
各項參數：片長45分鐘，采樣間隔1分鐘，S個數為8個，T個數為37個。
圖1
2.3 形成數據
采用 S-T 分析技術對本節語文課進行分析，很容易記錄四十五分鐘的客觀教學過程的S、T行為排列。分析計算課堂觀察數據記錄表，本節課師生行為轉換率Ch=17.8%，教師行為占有率 Rt=82.2%，學生占有率 Rs=17.8%。根據教師行為占有率Rt、行為轉換率Ch的計算與Rt-Ch圖，因為Ch0.7，我們可以很容易判定本節課教學性格為講授型。①
圖2
2.4 評價反思
本節課教學內容為沈從文小說《邊城》節選，教學性格為講授型。這種教學模式給大家的第一印象是傳統的“滿堂灌”教學，師生之間少有互動，學生參與率極低，本堂課看似教學效果一般，師生互動質量亟待提高。
然而，根據其它聽課教師的定性評價，雖然整個教學過程以老師侃侃而談為主，與學生互動較少，但老師的講解充滿感情、細膩入微、引人入勝，他將故事的情節發展娓娓道來，從風光秀麗的湘西城，到善良質樸祖孫倆，到情竇初開的翠翠與儺送的邂逅，到天保的死與儺送的離去，到爺爺在風雨之夜去世后，留下翠翠孤獨守船癡心等待儺送。老師整個敘述過程既注意故事細節的闡述又很好的把握了語調的輕重緩急。許多同學都被這個故事打動而眼含淚水，可以說這堂課的教學效果非常理想。
S-T圖通過客觀的數據、直觀的圖形描述出這堂課的教學性格為傳統的講授型，但我們無法評判該堂課的成敗，因為教育是高度情境化和生活化的， S-T分析法卻忽視了非口語行為，諸如學生思考或做練習時的表情和動作。教師的行為也沒有過多的細分，教師是在簡單進行提問還是在引導學生回答問題，是在單純的灌輸還是正用唯美奇妙的語言引領學生接納美好的知識世界，這些均不得而知。眾所周知，S-T分析法能對課堂教學性格進行分類，且教學性格和教學效果具有相關性，但S-T分析法不能有效反映出一堂課的教學效果。對于非互動型的杰出演講家，一種不太受推崇的教學性格可能帶來極佳的教學效果。
3 運用S-T分析法的局限
首先，S-T分析法因其簡單易用且便于手工分析而大受歡迎，但是當數據量較大時，手工分析同樣費時費力，S-T分析法不適合現場分析，通常是現場錄制教學過程的視頻，課后再分析，教學視頻錄制的拍攝角度可能會限制分析者全面觀察課堂，例如當視頻集中于教師說話的畫面，分析者觀察不到學生的反應。
其次，教學信息具有模糊性的特點，界定S、T行為自然帶有主觀性。在一個采樣間隔時間內可能既有S行為又有T行為，如這一刻是老師在講課，下一刻學生就在思考或做題了，這就妨礙了教育信息的處理，到底該如何抉擇這些不可避免的模糊狀態，有賴于提前商量統一的行為界定方法。S-T分析圖能讓我們清楚地看到師生行為分別占總采樣數的比例和行為發生時間，但我們無法界定他們的具體行為動作和行為產生的效果。
再者，對于教師而言，判定其授課的教學性格固然重要，但是反思課堂教學中存在哪些問題并改進更有現實意義，而S-T分析法在處方建議方面顯得勢孤力薄。它簡單的行為劃分注定它只能得到有限的的結論，反映課堂教育信息的指標多種多樣，例如教師在講授、提問、引導、媒體操作、表揚或批評，學生在被動應答、主動提問、討論交流、思考、記錄和練習。這些不容忽視的教育信息在S-T分析法處理后都蕩然無存了。
最后，教育信息具有隱含性，教師的言談舉止、人格魅力無法測量，教師的教學策略、教學內容組織方式等隱含信息難以測量的。所有的這些信息蘊含于教師與學生的深層意識中，教師學生能彼此感知，我們卻難于表征。
本文中對岳陽縣一中高一語文課的案例分析表明，對于非互動型的優秀演講家，S-T信息分析法不能反映教學效果的好壞，分析者更不能簡單的關聯教學性格與教學效果。通常來說，S-T 分析法更適合用作支持教學反思與研究，并不適合作為教學評價的依據。
4 教學分析法
教學分析大致可分為兩個取向：一是量化分析法，以數學形式和系統的規則來進行分析。另一種是質化分析法，一種具有彈性的分析技巧，結合人的主觀意識分析復雜的現象。為保證教學分析的深度和廣度，理應整合“量化分析法”與“質化分析法”，形成一個更加完整的分析設計。②
類似于S-T 分析法的還有美國學者內德?弗蘭德在1970年成功研制出的FIAS分析法，FIAS的編碼系統將課堂上的語言互動行為分為教師語言、學生語言和沉默或混亂三類，其中教師語言又分為間接影響（接納學生的情感、表揚和鼓勵學生行為、采納學生的主張和意見、提問）、直接影響（講授、給予指導和指令、批判）兩大類共7種，學生語言有學生回答教師提問、學生主動發言和提問2種，沉默與混亂作為一種，共計10個分類。弗蘭德斯的師生語言對話分類表可以分析師生在課堂上的對話頻次，分析者可據此進一步分析教師的教學方式和教學態度。②
（下轉第69頁）（上接第58頁）
不過，基于互動信息技術的FIAS同樣也有不完善之處，例如許多語言行為還沒有細分，第十個行為“沉默”就仁者見仁智者見智。此外，提問沒有區分問題的性質，是開放性問題還是封閉性問題？是與教學相關的問題還是無關問題？學生發言是主動說話還是被動說話？此外，弗蘭德分類類別中未涉及各種媒體。
正如世界上不存在萬能的教學媒體，教學分析方法也是各有千秋，弗蘭德語言互動分析系統將編碼數量增加至10個，分析的結果就更加精確，所反應的問題也就越深刻，但S-T分析法無需復雜的計算，方便教師應用于日常教學。由此可見，具體分析目的和分析要求決定了適合的分析方法。兼顧質和量的分析才能得出最為合理和公正的分析結果，滿足分析者最真實的需求，質的研究與量的研究是相互依存、相互滲透、相互補充的，雙劍合璧方能所向披靡。
5 結束語
教育信息的復雜性、模糊性和主觀性決定教學分析是一個復雜的過程，我們不能用堆積如山的數學符號或是通過簡單的臆想去評定一個教學過程，任何單獨的定量或定性的教育分析法也難以做到絕對的客觀。教師唯有綜合運用質與量的反思與研究方法，以人為本多角度對教學過程進行綜合評價，感性認識與理性分析并重，方能發現課堂教學中的規律與真諦，成為真正的專業化教師和研究型教師。
注釋
關鍵詞：思維能力；創新教育；學科特點
中圖分類號：G622.0 文獻標志碼：B 文章編號：1674-9324（2012）06-0056-02
當今教育越來越重視培養學生的思維能力和創新教育，學生是否具有這種能力也成為衡量教師教學成功的標準。以小學數學為例，數學思維與創新教育的探究，既是一門重要的學習方式，又是數學教學的一門重要內容，它始終貫穿于整個小學教學的全過程。我覺得在教學中培養學生的探究能力，必須利用好學科特點有效地整合學科資源，才能有利于學生創新能力的培養。
一、好奇心是培養思維能力和創新能力的閃光點
今日的小學生視野寬，接受的信息量大，好奇心強，好奇心是學生出現創新能力的閃光點。平日的課堂教學中，學生往往會提出許多有趣的問題。如，有的學生問：為什么我們使用的課本叫數學？零為什么是自然數？最大的數是幾？最小的數又是幾？直線存在于什么地方？射線存在于什么地方？天上的星星和地面上的人一樣多嗎？無論學生提出的問題是對還是錯，教師都應從正確的方面引導學生，使學生積極思考，同時鼓勵學生大膽說出自己的疑難問題。這樣做，學生的好奇心得到教師的愛護和培養，時間一長，學生的好奇心、自尊心和創造性就會自然地結合在一起，形成初步的數學創新意識。如果我們對學生提出的不與課本相關的問題或超出課本以外的可笑問題，或不聞不問或加以呵斥，學生的自尊心很容易受到挫傷，不利于學生個性心理的健康發展。隨著時間的推移，學生的懶惰情緒就會逐漸表現出來，自信心缺乏，更談不上有自信能力。這樣的學生怎么能有思維和創新能力呢？教師及時發現學生中出現思維與數學創新能力的閃光點并加以愛護和引導，學生的數學創新意識會逐漸加強。
二、依照學科優勢，培養學生的思維與數學創新興趣
要使學生具有一定的數學創新能力，首先要使學生具有數學的創新興趣。數學教師要依照學科優勢，培養學生的創新興趣。如學完長方形后，引導學生用長方形的面積公式推導出圓的面積公式或者推出平行四邊形的面積公式，由平行四邊形的面積公式推導出梯形的面積公式，最后由這幾種面積的運算得出組合圖形面積的計算，學生會感悟到數學中推導的興趣。學過面積的運算后，讓學生回家測量計算出家中住房的面積，學生會感悟到數學轉化到生活的無窮樂趣。
三、分析方法的培養是對學生進行思維、創新教育的基礎
培養學生分析問題的方法是學生正確認識事物、具有創新能力的基礎。正確分析方法的培養要在平日的基礎教學中處處體現出來，從而使學生對問題做出正確的判斷推理。
有這么一道練習題：一筐西紅柿上午賣出42千克，每千克賣1.1元，下午按每千克1元賣完，這筐西紅柿每千克賣多少元？
首先使學生弄清楚題意，并找出已知條件和所求的問題各是什么，然后用分析法引導學生分析。分析法的思路如下：要求這筐西紅柿每千克賣多少元？它與哪兩個問題有關？有什么關系？這必須是學生首先要考慮的問題。在弄清問題之間的關系后，引導學生理清分析的整個過程。過程如下：
從而可列式（1.1×42+1×8）÷（42+8），這樣，從所求的問題一直推想到已知條件的思路，便為分析法的思路。反過來的思路是從已知條件出發，推想到要求的問題的思路過程便為分析法的過程。分析法與綜合法的協同運用，提高了學生分析問題的能力，奠定了學生數學思維與創新能力的基礎。
四、想象力的培養是對學生進行思維、創新教育的不竭源泉
教師在平日的課堂教學實踐中，要善于抓住能引起學生想象力的想象點，不失時機地引導學生展開聯想，使學生的知識面在一定的時間內向更寬、更高的方向發展。豐富的想象力是學生進行創新活動的不竭源泉。數學課本中編有一道按比例分配的應用題，我在教學中把課本中的應用例題改為“甲乙兩人承包裝修工程共得10000元錢，按一個月兩人出勤天數30天、25天分配工錢，你能給他們兩人分配工錢嗎？”學生根據所學的知識很容易掌握本題。但如果能及時引導學生做以下幾個過程的練習，那么學生的創新意識及創新能力會有一定的提高。
A：一個三角形的三個內角的度數比為3∶5∶4，這個三角形的內角各為多少度？
B：一個直角三角形的兩個角度數的比為5∶4，它的兩個角各為多少度？
一、結合實際情景，幫助學生理解題意
許多學生解答應用題的能力差是因為他們的文字理解能力差，準確地說是他們對應用題文字敘述的理解力差，就是讀不懂題，導致讀完應用題學生根本不知道各個數量的確切含義，或者對題目中關鍵句子的含義把握不準。針對這種情況，教師可以通過引導學生把應用題的情景思維注入到實踐中去思考。例如，在教用錢買東西這一類應用題時，學生往往會被題目中的數字所迷惑，脫離實際去想，把題目理解得一塌糊涂。其實用錢買東西，是最常見的事情，但當把這一幕買東西的情景敘述成應用題時，學生往往會完全脫離買東西這一現實情景，只是題目中的數字在腦海里打圈圈。如果能把實際情景與應用題敘述的情景聯系起來，學生就會比較容易地把應用題解答出來。例如，第四冊數學中有這樣一類題目：小詩拿5元去1支鋼筆和5本練習本，鋼筆2元一支，練習本3角一本，售貨應找回多少錢？此題對于二年級的小學生來說，一看題目就感到難做。我講課前，布置學生用5元把題目中的文具買回學校用，在講課時結合實踐引導，學生通過實踐活動，會把實際情景與題目敘述的情景聯系起來想，他們會知道“1”支鋼筆的“1”字不需要列入算式計算，這時學生就比較容易地把題目解答出來：3×5=15角=1元5角（買練習本用的錢），2元+1元5角=3元5角（買鋼筆和買練習本總共用的錢），5元-3元5角=1元5角（售貨員應找回的錢）。
二、根據應用題的特點，讓學生掌握一定的解題技巧
應用題雖說是題目變化多端，種類繁雜，但大多還是有章可循的。不同的題型，有不同的解題思路與方法，教師如果在日常的教學中經常性地幫助學生總結歸納解題方法，學生在答題時會少走彎路，解題效率會大大提高。下面介紹幾種小學數學應用題中常用的解題方法。
1.分析法和綜合法
分析法就是從題目的問題入手，逐步推得需知條件，直至均為已知條件為止。綜合法從題目的已知條件入手，逐步推得可求什么，直至得出題中問題為止。例如，客車從甲地開往乙地去時每小時速度是45千米，4小時到達乙地，回來時比去時每小時多走15千米，回來時用了幾小時？這時就可用分析法：回來的時間=回來的路程÷回來的速度，回來得路程=去時的路程=去時速度×去時的時間，回來的速度=去時速度+每小時多走的，就可從問題推導到已知條件，也可用綜合法。分析法和綜合法可綜合運用，由條件向問題或由問題向條件或同時進行，這樣就較容易找到解題的方法。
2.方程法
方程法有助于學生順向思維，尋找等量關系、理清思路，從而達到解題的目的。在解題的過程中，要靈活選用方法解題。例如修路隊修一條路，第一周修這條路的1/3，第二周修這條路的1/4，第二周比第一周少修8千米，這條路有多少千米？這道題用算術方法找分率對應的具體量就比較難找，如果用方程找出等量關系第一周修的量-第二周修的量=少修的8千米，就易于接受。在用方程解應用題時讓學生嘗試列出不同的方程，從不同的角度出發分析數量關系，可以列出不同的等量關系，引導學生對不同的方程加以比較，從中找出簡便解法，培養學生思維的靈活性，提高解答應用題的能力。
3.圖示方法
圖示方法是通過畫簡單的示意圖來揭示問題的實質，顯示數量關系的一種策略。常用的有線段圖、幾何形體的切割等。例如，籠子里有若干只雞和兔，從上面數，有8個頭；從下面數，有26只腳。雞和兔各有幾只？運用圖示可使一些抽象的問題變得直觀形象，錯綜復雜的數量關系變得清晰明了。畫8個圓表示全是雞，圓上畫兩個線段表示雞腳（式子為2×8=16），與題意相比少了十只腳（26-16=10），因為每只雞兔相差兩只腳（4-2=2），在圓上再畫兩條線表示兔子就要畫五個圓（10÷2=5），這種簡單示意圖與算術方法相結合使問題更直觀化，更易于理解。
三、將數學問題生活化
仔細審題，理解題意
小學數學應用題多為抽象方式，許多小學生不能很好理解數學應用題，所以，理解題意是當今小學數學應用題教學亟待解決的一大難題。不能對應用題進行正確、充分的理解，是因為小學生的文字理解能力有限，比如他們對數量等詞匯不能充分理解。
教師在進行教學時，要學生在審題過程中，清楚問題是什么、條件是什么、有哪些數字、哪些數字是干擾的等。學生要邊讀邊想邊記，比如：一件上衣45元，褲子比上衣便宜12元，買一套衣服要多少元？學生在讀題的過程中，可以把數字“45”“12”及文字“便宜”圈起來。
學生讀題時，簡單的標注、圖畫等都可以直接提高審題效率，為下一步解題提供精準保障。良好的學習習慣是成功的基礎，解題的第一環節和前提是審題，即理解題意，所以教師在教學中要非常重視對學生仔細審題的培養。
分析特點，掌握技巧
雖然小學數學應用題題目繁多，類型也較多，但是他們都有一定出題規律與特點，所以在教學實踐中，要教會學生找出解題規律與技巧。教師在備課過程中，要對應用題特征進行分析研究，將它們分類整理，對每一類題目都歸納出相應的解決方案與方法，較大程度地提高學生的解題能力。
教師可以采取以下方法：①畫圖法。應用題的表達具有一定的抽象性，畫圖法最能將抽象變為直觀，利于小學生理解。在教學時，教師可以將應用題中相關的數據用線段或簡筆畫表示出來。例如小學一年級的題目中有：小蘋種7盆紅花，又種了同樣多的黃花，兩種花共多少盆？在講解過程中，教師可以用紅色和黃色粉筆分別畫出車的簡筆畫，使學生可以較為直觀地理解題目。②分析法與綜合法。分析法是從應用題的問題出發，從題目中分析有哪些條件，需要哪些條件。綜合法是指先分析題目中的條件，綜合怎樣解決問題。分析法與綜合法是兩個相對的概念。比如：從甲城到乙城的鐵路長560千米，一列火車以每小時118千米的速度從甲城開往乙城，3小時后能到達嗎？分析法是指先確定問題，需要知道時間、路程和速度3個條件，由條件解決問題；綜合法是將以上3個條件搜集起來，提出問題。
學生只要掌握了以上出題特點及解題技巧，才能按照正確的解題步驟來解答應用題，進一步推出正確解題方法，提高學生的解題速度與正確率。
聯系生活，提高興趣
數學來源于生活，是生活的產物，這在《小學數學課程標準》已有體現，它強調了數學與生活具有緊密的聯系，提出小學數學教學要培養學生解決實際生活的問題，在生活中有效利用數學知識解決問題。數學中單調的公式與數字，容易使學生產生厭煩心理，影響學生對數學的學習興趣，教師要幫助學生創造生活情境，來學習數學知識，提高學習興趣及解決應用題的能力。
在購物的應用題中，許多小學生沒有獨立購物的經驗，不能將題目與實際情境相結合，導致他們不能充分理解題意，解答題目能力不強。比如小明有24元錢，買下列物品：8元的玩具熊、4元的鋼筆、6元的文具盒、3元的筆記本，所帶的錢剛好用完他可以買哪些東西。在講解這類應用題時，教師可以為學生提供模擬情境，比如提前布置課后作業，讓學生獨立購買學習用品。這樣，在下節課講解題目時，學生因為具備了購物的相關經驗，所以就能較為容易的理解題意。小學教師要引導學生在生活中多運用數學知識解決問題，提高數學的應用能力及興趣。應用題是將數學知識應用到實際生活中，在課堂教學中，教師要善于將應用題教學與學生的實際生活結合起來，不僅可以使學生體會數學的存在價值，也可以提高其探究興趣，為理論知識應用于實際生活奠定基礎。
結束語
Abstract: In accordance with different subjects of study, western economics are divided into microeconomics and macroeconomics, and the microeconomics is the basis of macroeconomics. However, in the specific contents, they are strictly divided into two parts again, and they remain independent, and basically do not matter in content. For example: in the theory of the firms profits maximization, it only studies the conditions of a single firm's profit maximization (resource utilization), but does not contact macroeconomics to consider the issues about resources allocation and does not contact the consumer behavior theory to consider the utility maximization problem of consumers and does not contact price elasticity of commodity price to consider the issues about decision of makers. This article intends to explore these issues.
關鍵詞： 廠商理論；利潤最大化；邊際分析法；思考
Key words: manufacturer's theory；profit maximization marginal analysis；thinking
中圖分類號：F73 文獻標識碼：A文章編號：1006-4311（2011）08-0138-02
0引言
傳統西方經濟學依據高等數學中關于連續函數取得最大值的必要條件，論證了生產者（廠商）實現利潤最大化的必要條件是MR=MC，對此結論，本文有不同的看法，本文認為：對廠商利潤最大化理論的分析和探討，除必然需要站在生產者的角度分析外，還需要把它放在更加廣泛的環境中考察，這樣才可能得到更加客觀和更加實際的結論。
1傳統生產者行為理論的具體內容
1.1 傳統廠商利潤最大化理論邊際分析法的基本推導西方經濟學中的廠商利潤最大化理論主要探討廠商如何在投入（成本）既定的情況下獲得最大的利潤（產出）。具體包括了邊際成本分析法和邊際收益分析法。邊際分析法利用高等數學中原函數（總利潤函數）的一階導函數（邊際效用函數）的值為零時，原函數可取到最大值的原理，論證了生產者在投入（成本）即定的前提下（假定貨幣的邊際效用不變）生產某種商品要取得總利潤最大（即：TR-TC的值最大）的原則是MR-MC=0，亦即MR=MC，實際上，（TR）′=MR，（TC）′=MC。也就是說，能滿足MR=MC時的商品生產量能夠保證生產者實現利潤最大化。
1.2 傳統廠商利潤最大化理論邊際分析法的基本分析框架西方經濟學把生產者生產商品所付出的所有投入稱為總成本（TC），把生產者每增加一單位產量所增加的總成本稱為邊際成本（MC）；把生產者銷售商品所得到的所有收入稱為總收益（TR），同時，把生產者每增加一單位的銷售所增加的收益稱為邊際收益（MR）。依據傳統廠商利潤最大化理論，以下（如表1）是一個生產者生產（銷售）一種商品的短期均衡表（以壟斷市場的短期均衡為例）。
單純從數學角度分析：當一個連續函數的一階導函數的值為零時，該函數能夠取到最大值［實際上，MR=（TR）＇］。按照這一數學結論，在假設TP函數為連續函數的前提下，TP要取得最大值，即TR-TC的值要最大的必要條件是MR-MC=0,亦即當MR=MC時，廠商的總利潤TP為最大。從表1的情況來看，當廠商的生產（銷售）數量為5時，邊際收益等于邊際成本，廠商得到最大的總利潤60。
1.3 基本作圖根據以上表格，傳統教課書作出了MR,MC曲線和TP曲線，如圖1。
從圖1可以看出，當銷售量Q=5時，MR曲線與MC曲線有唯一交點，此時MR=MC，同時，TP取得最大值60。
2對傳統廠商利潤最大化理論的思考及修正
2.1 對廠商利潤最大化時的生產量（銷售量）和TP曲線圖形做法的思考及修正依據上表1可知，實際上能滿足總利潤TP的值為最大的銷售（生產）量可以是4也可以是5，亦既在(生產)銷售量為4到5這個階段存在一個總利潤保持最大值的平臺期。所以，嚴格來講，TP函數的圖象不是一個嚴格意義上的拋物線，而是在拋物線的頂端應該有一條平行于Q軸的線段AB，如圖2。
圖2才真正反映了表一中廠商銷售（生產）量、邊際收益、邊際成本和最大利潤之間的相互關系。
2.2 對廠商利潤最大化條件的思考和修正從表一和圖二能夠看出，廠商利潤最大（60）時的銷售（生產）量可以是4也可以是5，但是從不同的角度并把宏微觀經濟學其他理論結合起來分析，利潤最大時的銷售（生產）量則有不同的結論。
2.2.1 單純從廠商的角度來考慮，最優生產（銷售）量應該為4。這是因為在保證總利潤TP為最大的基礎上，廠商生產（銷售）更多的產品意味著廠商在生產技術不變和其他要素投入不變的前提下需要增加一種要素的投入，這意味著生產成本的增加，同時也意味著固定資產（機器設備）的更大損耗。我們知道，西方經濟學假設廠商生產的根本目的是利潤最大化，而利潤最大化首先要滿足的必要條件則是成本最小化。正是從這個意義上來說，單純從廠商角度考慮，其最優的生產（銷售）量為4，而并不是大多數傳統教材中認為的5。
2.2.2 從商品價格彈性理論和廠商所生產產品的可替代程度的角度來考慮，如果該廠商生產（銷售）的產品需求彈性很小甚或無彈性，并且該產品的替代品（包括完全替代品和不完全替代品）很少甚或沒有，則意味著該廠商有能力在產品質量不變的前提下向市場（消費者）索要更高的價格，牟取更大的超額利潤。顯而易見，在這種情況下，廠商最優的生產（銷售）量應該為5。
2.2.3 單純從消費者角度來看，廠商的最優生產（銷售）量應該為5。這是因為當廠商生產并向市場投入更多的產品時，既市場供給量加大時，依據供求定理，產品的價格會有一定程度的下降。而產品價格的下降意味著在消費者收入既定的條件約束下，花費相同的收入會取得更大的效用（即收入效應：產品價格下降，消費者收入不變但其實際購買力增加）。
2.2.4 拋開以上三種考慮角度，單純站在宏觀經濟學資源配置的角度來分析，廠商的最優生產（銷售）量應該為4。這是因為在銷售量為4時，廠商已經取得了總利潤TP最大。如果廠商繼續生產，不但意味著廠商自身生產成本和固定資產損耗加大，而且意味著資源配置的低效和無效。多生產一單位產品（生產量從4增加到5）而投入的生產要素可以在正確的宏觀經濟政策調控下配置到能夠更有效利用（或更需要）該生產要素的生產上去，最終實現資源的合理有效配置。
綜上所述，對西方經濟學中廠商總收益最大化問題的探討不能僅僅局限在廠商自身的角度來思考，而應該同時結合宏微觀經濟學中的其他相關理論綜合進行考慮，這樣才能不斷促進宏微觀經濟理論的融合，不至于讓人們產生宏觀經濟學和微觀經濟學完全割裂和西方經濟學中各個理論相互割裂的印象。也只有這樣，對具體經濟問題的分析，才能得到更加客觀和更符合實際的結論。
參考文獻：
