時(shí)間：2023-06-12 14:47:22
開(kāi)篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創(chuàng)造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇三角函數(shù)變換規(guī)律，希望這些內(nèi)容能成為您創(chuàng)作過(guò)程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進(jìn)步。
【關(guān)鍵詞】 恒等變換 給值求值 給角求值 給值求角 綜合運(yùn)用
【中圖分類號(hào)】G424 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】 A 【文章編號(hào)】 1006-5962(2012)06(a)-0143-02
三角恒等變換是高考的重點(diǎn)之一,要求掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式;高考對(duì)本部分內(nèi)容的考點(diǎn):一方面是簡(jiǎn)單的化簡(jiǎn)、求值,以客觀題為主,難度一般不大,有時(shí)以向量為載體出現(xiàn)解答題;另一方面本節(jié)內(nèi)容常作為數(shù)學(xué)工具常融合三角函數(shù),這時(shí)要先對(duì)三角函數(shù)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)、變形,再深入考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)。還需說(shuō)明一點(diǎn)的是“幾個(gè)三角恒等式”及積化和差、和差化積公式和半角公式不要求記憶和運(yùn)用,已經(jīng)淡出高考范圍。本文現(xiàn)從江蘇和全國(guó)其他各省近幾年的高考試卷中精選出一些典型考題與大家一起研討高考中這部分內(nèi)容的命題方向和考查方向,希望能起到一個(gè)拋磚引玉的效果。
1 高考命題熱點(diǎn)一:給值求值問(wèn)題。
【真題再現(xiàn)1】(2011年全國(guó)卷理科第14題)已知,,則
【解析】本題考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與二倍角的正切公式的運(yùn)用。
由已知得,則,所以。
規(guī)律小結(jié):對(duì)于給值求值問(wèn)題,即由給出的某些角的三角函數(shù)值求另外一些角的三角函數(shù)值,關(guān)鍵在于變角,使目標(biāo)角變換成已知角,若角所在的象限沒(méi)有確定則應(yīng)分情況討論,應(yīng)注意這部分內(nèi)容中公式的正用、逆用、變形利用,同時(shí)根據(jù)題目的結(jié)構(gòu)特征,學(xué)會(huì)拆角、拼角等技巧,
如,等。
2 高考命題熱點(diǎn)二:給角求值問(wèn)題。
【真題再現(xiàn)2】(2006年江蘇卷第14題)
【解析】本題考查了切割化弦、輔助角公式
,倍角正弦公式、降冪公式。原式
=
=
=。
規(guī)律小結(jié):給角求值問(wèn)題,一般給出的角都是非特殊角,從表面來(lái)看是很難的,但仔細(xì)觀察非特殊角與特殊角總有一定的關(guān)系。解題時(shí)要利用觀察得到的關(guān)系,結(jié)合三角公式轉(zhuǎn)化為特殊角并且消去非特殊角的三角函數(shù)而得到解,有時(shí)還要逆用、變用公式,同時(shí)結(jié)合輔助角公式和升冪、降冪公式等技巧。
3 高考命題熱點(diǎn)三:給值求角問(wèn)題。
【真題再現(xiàn)3】(2008年江蘇卷第15題)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,以軸為始邊做兩個(gè)銳角,,它們的終邊分別與單位圓相交于A,B兩點(diǎn),已知A,B的橫坐標(biāo)分別為。(1)求的值;(2)求的值。
【解析】本題融合三角函數(shù)的定義,考查兩角和的正切公式、二倍角的正切公式。由條件得,因?yàn)?為銳角,所以=,因此
(1),
(2),所以,因,為銳角則,故=
規(guī)律小結(jié):給值求角問(wèn)題,往往通過(guò)間接求出這個(gè)角的某個(gè)三角函數(shù)值,再得出這個(gè)角的大小,選取某個(gè)三角函數(shù)值時(shí)可按照下列原則:一般已知是角的正切函數(shù)值,則選所求角的正切函數(shù)值;已知條件是正弦、余弦函數(shù)值,則選所求角的正弦、余弦函數(shù)值皆可;若所求角的范圍是,則選該角的正弦函數(shù)值較好;若所求角的范圍是,則選該角的余弦函數(shù)值較好。解決給值求角問(wèn)題分三步:第一步是求該角的某個(gè)三角函數(shù)值,第二步是確定該角所在的范圍,第三步是根據(jù)角的范圍寫出所求的角。
4 高考命題熱點(diǎn)四:三角恒等變換與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合運(yùn)用問(wèn)題。
【真題再現(xiàn)4】(2011年重慶卷第16題)設(shè),
,滿足,求函數(shù)在上的最大值和最小值。
【解析】本題考查融合了三角函數(shù)的單調(diào)性和最值的性質(zhì),考查誘導(dǎo)公式、二倍角的正弦公式、降冪公式、公式
,又考查綜合分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。由已知 ,由得,因此
;由及,解得增區(qū)間;由及,解得減區(qū)間,所以函數(shù)在上的最大值是;又因,則函數(shù)在上的最小值為。
【真題再現(xiàn)5】(2009年江蘇卷第15題)設(shè)向量
,,。
(1)若與垂直,求的值;
(2)求的最大值;(3)若,求證:∥。
【解析】 本題主要考查融合向量的基本概念與向量平行,考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、
二倍角的正弦、兩角和的正弦與余弦公式,考查運(yùn)算和證明得基本能力、綜合分析問(wèn)題和解
決問(wèn)題的能力。
(1)由與垂直,,即
,。
(2)4,
,則的最大值是。
(3)由得,即,所以∥。
規(guī)律小結(jié):三角恒等變換與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合運(yùn)用,大多以解答題的形式出現(xiàn),它一方面融合平面向量知識(shí)考查化簡(jiǎn)、求值、證明恒等式,學(xué)生必須掌握好平面向量知識(shí)特別是數(shù)量積的運(yùn)算才能順利解答問(wèn)題;另一方面三角恒等變換為數(shù)學(xué)解題工具,它往往融合三角函數(shù)考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)(如周期性、單調(diào)性、值域、最值等),這類題突破的關(guān)鍵是能正確快速地對(duì)三角函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn),化簡(jiǎn)的技巧和原則:①采用遇平方降冪的方法使式子的次數(shù)盡量低;②采用輔助角公式、切弦互化使式子的函數(shù)種類盡量少;③采用已知角表示未知角使式子的角的種類盡量少;④采用通分等變形技巧使式子結(jié)構(gòu)盡量簡(jiǎn)單,同時(shí)還要注意角的范圍及三角函數(shù)的正負(fù)。隨著知識(shí)的深入還會(huì)更多的接觸到三角恒等變換與解三角形(正弦、余弦定理)融合的題型。
5 高考的考查特點(diǎn)分析和方向預(yù)測(cè)。
上面就一些高考中的三角恒等變換知識(shí)進(jìn)行了深入的分析,通觀全國(guó)各省對(duì)三角恒等變換的考查,我們發(fā)現(xiàn)有以下特點(diǎn):
(1)分文理科的地區(qū),兩科對(duì)三角恒等變換均有考查;文理試題的題目基本相同,難度區(qū)分不大。
(2)區(qū)分度問(wèn)題:三角恒等變換部分不會(huì)出非常難的題目,一般都是以容易題、中檔題出現(xiàn)。
（3）題型方面:全國(guó)各省在選擇題和填空題中都有所考查,更側(cè)重填空題;在解答題中考查但難度不大;全國(guó)各省高考大多數(shù)都是考一道填空題容易題和一道解答形式的中檔題。
摘要：課堂教學(xué)的主體是學(xué)生，課堂教學(xué)的目的是促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展。教師在課堂教學(xué)中是學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者、組織者和幫助者。教師如果能采用恰當(dāng)?shù)牟呗裕浞职l(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和熱情，為學(xué)生的學(xué)習(xí)指明正確的方向，那么學(xué)生就會(huì)在課堂的學(xué)習(xí)中獲得長(zhǎng)足的發(fā)展。
關(guān)鍵詞：學(xué)生發(fā)展 教學(xué)策略 三角函數(shù)
課堂教學(xué)的最終目的是促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展，學(xué)生發(fā)展的內(nèi)涵體現(xiàn)在教學(xué)目標(biāo)上，可細(xì)化為“三維目標(biāo)”：即知識(shí)與技能、過(guò)程與方法、情感態(tài)度與價(jià)值觀。作為“思維的體操”的數(shù)學(xué)，在促進(jìn)學(xué)生發(fā)展方面起著舉足輕重的作用，它可以很好的培養(yǎng)學(xué)生能力、夯實(shí)學(xué)養(yǎng)根基、培養(yǎng)優(yōu)良個(gè)性品質(zhì)。在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，如何根據(jù)不同的教學(xué)內(nèi)容，選擇合適的教學(xué)策略，促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展，成為廣大教師所關(guān)心的熱點(diǎn)問(wèn)題之一，本文以高中數(shù)學(xué)《三角函數(shù)》的教學(xué)為例，就此談點(diǎn)粗淺的認(rèn)識(shí)和體會(huì)。
1、注重知識(shí)銜接，奠定學(xué)生發(fā)展的基礎(chǔ)
同一知識(shí)模塊或相關(guān)知識(shí)，在不同學(xué)段有著不同的要求.“螺旋式上升、循序漸進(jìn)”便成為了新教材編寫的重要原則。因此，在課堂教學(xué)中，要充分體現(xiàn)這一原則，充分注重知識(shí)的銜接，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，為學(xué)生的發(fā)展奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。
案例1初、高中三角函數(shù)各自內(nèi)容怎樣？?jī)烧呤侨绾毋暯拥模?/p>
眾所周知，三角函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，在初中階段，學(xué)生已初步學(xué)習(xí)了三角函數(shù)知識(shí)，但只要求學(xué)生在了解的基礎(chǔ)上會(huì)進(jìn)行一些特殊角的三角函數(shù)的計(jì)算和化簡(jiǎn)。在高一教材中則花了三個(gè)章節(jié)系統(tǒng)介紹了三角函數(shù)知識(shí)，并且角的范圍擴(kuò)大到任意角，教學(xué)要求明顯提高，偏重于三角函數(shù)圖象和性質(zhì)的研究及應(yīng)用，內(nèi)容豐富、抽象、概括性很強(qiáng)，它不是初中內(nèi)容的簡(jiǎn)單重復(fù)，而是延伸、拓展和提高。因此，我們說(shuō)三角函數(shù)是初、高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要銜接內(nèi)容，正確處理好初、高中三角函數(shù)的教學(xué)銜接，深入研究彼此潛在的聯(lián)系和區(qū)別，做好新舊知識(shí)的串連和溝通，不僅可以幫助學(xué)生深化理解三角函數(shù)概念，而且更有助于提高學(xué)生的思維能力，分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。
案例2 高中三角函數(shù)兩章的內(nèi)容如何分布？又是怎樣銜接的？
高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)在人教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教材·數(shù)學(xué)（A版）中，安排在必修4的第一章《三角函數(shù)》和第三章《三角恒等變換》共兩章，知識(shí)脈絡(luò)大體為；角的推廣任意角的三角函數(shù)定義誘導(dǎo)公式圖象與性質(zhì)圖象變換簡(jiǎn)單應(yīng)用；兩角和與差的公式倍角公式簡(jiǎn)單三角恒等變換.一環(huán)扣一環(huán)，前面的基礎(chǔ)沒(méi)打好，后續(xù)知識(shí)就會(huì)難以為繼.比如：由三角函數(shù)定義，我們不難得出各個(gè)函數(shù)在每個(gè)象限的符號(hào)，而懂得這個(gè)符號(hào)規(guī)律是我們掌握誘導(dǎo)公式的前提。
在課堂教學(xué)中，至于這兩章如何銜接，具體處理方式不外乎兩種，第一種就按教材順序進(jìn)行；第二種第一、三章連著上，然后再上第二章。筆者建議不用“創(chuàng)新”就按教材這種“螺旋式上升”這種方式就行了，先學(xué)了《三角函數(shù)》之后接著講《平面向量》，學(xué)生先有一種新鮮感，爾后學(xué)《三角恒等變換》，再通過(guò)三角與向量的簡(jiǎn)單結(jié)合，進(jìn)一步加深、強(qiáng)化、鞏固.這樣，更符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)。我們要深刻理解新教材編寫的良苦用心，注重同一知識(shí)不同章節(jié)的銜接，打好知識(shí)基礎(chǔ)并在此基礎(chǔ)上呈階梯狀上升。
2、注重知識(shí)生成，提升學(xué)生發(fā)展的品質(zhì)
長(zhǎng)期以來(lái)，高中學(xué)生普遍反映數(shù)學(xué)難、數(shù)學(xué)枯燥乏味，究其原因是教師在教學(xué)中過(guò)分重視結(jié)論的應(yīng)用而忽視結(jié)論的生成造成的。數(shù)學(xué)教學(xué)是學(xué)生在教師的正確引導(dǎo)下通過(guò)動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、合作交流的方式獲得廣泛數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的過(guò)程，并在這個(gè)過(guò)程中，逐步提升學(xué)生發(fā)展的品質(zhì)，包括主動(dòng)發(fā)展的意識(shí)、思維能力、創(chuàng)新行為與成果等。
案例3 三角函數(shù)的定義是怎樣形成的？
初中銳角的三角函數(shù)的定義用直角坐標(biāo)系中角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)定義銳角三角函數(shù)用單位圓上的點(diǎn)來(lái)定義銳角三角函數(shù)利用單位圓定義任意角的三角函數(shù)。
四個(gè)過(guò)程，循序漸進(jìn)，不斷深化，通過(guò)有效的鋪墊,使之符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生、發(fā)展過(guò)程, 從而激發(fā)學(xué)生主動(dòng)探求事物“來(lái)龍去脈”的原始欲望，強(qiáng)化主動(dòng)發(fā)展的意識(shí)。
案例4 余弦函數(shù)y=cosx的圖象如何得到？
設(shè)問(wèn)1：用描點(diǎn)法可以作出y=cosx的圖象嗎？
設(shè)問(wèn)2：用類似于求作y=sinx的方法可以作出y=cosx的圖象嗎？
設(shè)問(wèn)3：由誘導(dǎo)公式六y=cosx=sin（■+x），你能找到y(tǒng)=sinx和y=cosx的圖象之間的聯(lián)系嗎？
三個(gè)設(shè)問(wèn)的設(shè)計(jì)，從思維的角度出發(fā)沿著先易后難的方向，從自主探究的過(guò)程出發(fā)則是先難后易，在課堂教學(xué)當(dāng)中，引導(dǎo)學(xué)生先獨(dú)立思考，后合作交流，這樣從正反兩個(gè)方面不僅讓學(xué)生得到了y=cosx的圖象，還讓他們知道正余弦函數(shù)圖象之間的區(qū)別和聯(lián)系，圖象生成之際即為思維能力提升之時(shí)。
3、注重學(xué)科辯證思想，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)展的素養(yǎng)
“辯證法”作為“放之四海皆準(zhǔn)”的通法，會(huì)滲透到各個(gè)學(xué)科各個(gè)領(lǐng)域，數(shù)學(xué)學(xué)科亦不例外。三角函數(shù)內(nèi)部之間存在著唯物辨證的關(guān)系，在學(xué)習(xí)三角函數(shù)關(guān)系中要注意滲透辨證思想，例如常量與變量、運(yùn)動(dòng)與靜止、特殊與一般、具體與抽象，有助于幫助學(xué)生理解和掌握三角函數(shù)的知識(shí)內(nèi)容和相互聯(lián)系，同時(shí)通過(guò)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)培養(yǎng)唯物辯證思想，感受數(shù)學(xué)的美學(xué)價(jià)值，學(xué)習(xí)做人做事的基本原則，將來(lái)成為社會(huì)發(fā)展需要的高素質(zhì)人才。
【關(guān)鍵詞】三角函數(shù)；教學(xué)體會(huì)；教學(xué)反思；實(shí)際應(yīng)用
當(dāng)今時(shí)代，知識(shí)更新速度加快，日新月異.特別是進(jìn)入21世紀(jì)以后，思想活躍，關(guān)于數(shù)學(xué)方面的研究日益深入和豐富.三角函數(shù)研究的意義和必要性也日益突出，其中三角函數(shù)的教學(xué)扮演著重要角色.
三角函數(shù)教學(xué)的內(nèi)容、教學(xué)目標(biāo)及教學(xué)方法不斷發(fā)生著變化，而且在我們的日常生活中具有越來(lái)越重要的作用.下面讓我對(duì)高中三角函數(shù)教學(xué)的心得體會(huì)、反思以及三角函數(shù)在我們?nèi)粘Ｉ钪械淖饔米鲆恍┰敱M的介紹.
一、三角函數(shù)教學(xué)的心得體會(huì)
1.要特別關(guān)注和留意教材與大綱內(nèi)容的變化.認(rèn)識(shí)這一變化，我們才能有目標(biāo)地學(xué)習(xí)，了解教學(xué)的深度、難度和廣度，避免復(fù)習(xí)中做一些無(wú)用功.
2.關(guān)注教材編寫的新穎之處.
3.強(qiáng)化幾何思想，加強(qiáng)幾何直觀.
4.加強(qiáng)了數(shù)學(xué)建模的思想.把三角函數(shù)作為描述真實(shí)生活的數(shù)學(xué)模型，首先展示大量的背景材料，再分析、概括、抽象，建立模型來(lái)解決問(wèn)題.數(shù)學(xué)生活化，更容易調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性.
5.高科技設(shè)備的引入和應(yīng)用.把學(xué)生從煩瑣的計(jì)算中解脫出來(lái)，并利用信息技術(shù)探索數(shù)學(xué)規(guī)律.
二、三角函數(shù)的教學(xué)反思
關(guān)于三角函數(shù)的教學(xué)，應(yīng)注意以下問(wèn)題：
1.數(shù)學(xué)知識(shí)生活化.讓學(xué)生自主積極地將數(shù)學(xué)與生活聯(lián)系起來(lái)，使學(xué)生體會(huì)三角函數(shù)模型的意義.
2.弧度是學(xué)生比較難接受的概念，教學(xué)中應(yīng)使學(xué)生體會(huì)弧度也是一種度量角的單位，可在后續(xù)課程的學(xué)習(xí)中逐步理解這一概念，在此不作深究.
三、對(duì)學(xué)生的要求
學(xué)生一定要注重三角函數(shù)中的基礎(chǔ)知識(shí)及應(yīng)用知識(shí).要對(duì)三角函數(shù)的圖像、周期性、單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性、化簡(jiǎn)、求值和最值等重點(diǎn)內(nèi)容熟練掌握并加以運(yùn)用.將三角函數(shù)與代數(shù)、幾何、向量的關(guān)系加以聯(lián)系總結(jié)，相互融通.在三角函數(shù)的學(xué)習(xí)中比較重要的就是注重知識(shí)的總結(jié).
1.熟悉三角變換常用的方法——化弦法、降冪法、角的變換法等，并能應(yīng)用這些方法進(jìn)行三角函數(shù)式的求值、化簡(jiǎn)、證明.
2.深入探究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)的圖像性質(zhì)及對(duì)平移變換、伸縮變換的意義.
四、學(xué)習(xí)三角函數(shù)的策略
1.了解差別：深入探究角、函數(shù)運(yùn)算間的差別，即進(jìn)行所謂的“差異分析”.
2.尋找相關(guān)性：通過(guò)公式間的相關(guān)性，找出差異之間的內(nèi)在聯(lián)系.
3.恰當(dāng)轉(zhuǎn)化：選擇合適公式，使得差異轉(zhuǎn)化.
五、三角函數(shù)知識(shí)的意義和影響
三角函數(shù)知識(shí)對(duì)于鍛煉學(xué)生思維，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想方面發(fā)揮著重要作用.
1.培養(yǎng)學(xué)生的函數(shù)與方程思想
教師在培養(yǎng)學(xué)生的函數(shù)與方程思想時(shí)，講授求值域、求最值、求參數(shù)等相關(guān)的知識(shí)和方法，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)和方程的使用，通過(guò)指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題練習(xí)，使學(xué)生在實(shí)際練習(xí)中感悟函數(shù)與方程思想的意義，從而使學(xué)生的函數(shù)與方程思想得到鍛煉和培養(yǎng).
雖然三角變換的技巧多且靈活，但是萬(wàn)變不離其宗，多是通過(guò)觀察角、名、形、冪之間的差異，進(jìn)行差異分析，實(shí)現(xiàn)異角化同角、異名化同名、高次化底次、弦切互化等的變異求同.
1.變“角”
例1.設(shè)α∈（0，），β∈（，），cos（α-）=，sin（β+）=-，求sin（α+β）的值.
【分析】條件角是α-，β+，目標(biāo)角是α+β，運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想得到α+β=（α-）+（β+）-.
【解答】由α∈（0，）得到α-∈（-，0），所以sin（α-）=-=-.
由β∈（，）得到β+∈（π，），所以cos（β+）=-=-.
所以sin（α+β）=sin[（α-）+（β+）-]=-cos[（α-）+（β+）]=.
【評(píng)析】本題可以直接利用和角、差角公式展開(kāi)cos（α-）=，sin（β+）=-得到sinα，sinβ，cosα，cosβ.這也是一種思路，但是計(jì)算量太大.本題的解法通過(guò)配角化異求同，溝通已知角與未知角的關(guān)系，大大提高了解題效率.但是解題中要注意角的范圍，α-∈（-，0），β+∈（π，）是不可缺少的，忽視角的范圍限制，容易產(chǎn)生運(yùn)算錯(cuò)誤.
常用的角度變換有：α=（α+β）-β=（α-β）+β，2α=（α+β）+（α-β），（+α）+（-α）=，等等.
2.變“名”
例2.已知函數(shù)f（x）=tan（2x+），
（Ⅰ）求f（x）的定義域與最小正周期；
（II）設(shè)α∈（0，），若f（）=2cos2α，求α的大小.
【分析】解決三角函數(shù)問(wèn)題要三看，即看角、看名、看式.由f（）=2cos2α得到tan（α+）=2cos2α，這里有復(fù)角α+，倍角2α，單角α，首先得消除角的差異，即α+，2αα；其次函數(shù)化切化弦.
【解答】（I）易解得定義域?yàn)閧x|x≠+，k∈Z}，最小正周期T=.
（II）解：由f（）=2cos2α得到tan（α+）=2cos2α，即=2（cosα-sinα），即=2（cosα+sinα）（cosα-sinα）.
因?yàn)棣痢剩?，），所以sinα+cosα≠0，所以（cosα-sinα）=，即sin2α=.
由α∈（0，），得2α∈（0，），所以2α=，α=.
【評(píng)析】弦切互化是化函數(shù)異名為同名的最常用方法.忽視角的范圍限制是產(chǎn)生錯(cuò)誤的重要原因.
3.變“式”
例3.求值：tan17°+tan43°+tan17°tan43°.
【分析】非特殊角特殊角，利用公式變形整體求解.
【解答】tan60°=tan（17°+43°）==，所以tan17°+tan43°=（1-tan17°tan43°），所以tan17°+tan43°+tan17°tan43°=.
【評(píng)析】在進(jìn)行三角變換時(shí)，順用公式的情況比較普遍，但如果能根據(jù)題目的結(jié)構(gòu)，聯(lián)想到公式的變形、逆用，那么就會(huì)“柳暗花明又一村”.本題的巧妙之處在于將兩角和的正切公式變形為tanα+tanβ=tan（α+β）（1-tanαtanβ）.
4.變“次”
例4.函數(shù)f（x）=sin（2x-）-2sinx的最小正周期是
？搖？搖？搖 ？搖.
【分析】已知條件中存在次數(shù)的差異，應(yīng)先運(yùn)用降次、升冪公式消除次數(shù)差異.
【解答】f（x）=sin（2x-）-2=sin2x-cos2x-+cos2x=sin2x+cos2x-=sin（2x+）-，所以最小正周期是π.
【評(píng)析】通過(guò)降次、升冪等手段，為使用公式創(chuàng)造條件，也是三角變換的一種重要策略.常見(jiàn)的降次公式有sinx=，cosx=；升冪公式有：sin2α=2sinαcosα，cos2α=cosα-sinα=2cosα-1=1-2sinα.
5.“1”的妙用
例5.已知a，β均為銳角，且tanβ=，則tan（α+β）=
？搖？搖？搖 ？搖.
【分析】已知條件是sinα，cosα的齊一次式，聯(lián)想到化弦為切，轉(zhuǎn)化為tanα，tanβ的關(guān)系.
【解答】tanβ===tan（-α）.又因?yàn)棣粒戮鶠殇J角，所以β=-α，即α+β=，所以tan（α+β）=1.
【評(píng)析】在三角變換中，“1”的妙用使問(wèn)題迎刃而解.常見(jiàn)的有1=sinα+cosα，1=tan.
6.整體處理
例6.已知sinθ+cosθ=，且θ∈[，]，則cos2θ的值是
？搖？搖 ？搖？搖.
【分析】看到sinθ+cosθ=比較容易想到sinθ+cosθ=sin（θ+）=，那么2θ=2（θ+）-，這是一種思路.當(dāng)然還可以從化同角的角度把單角變倍角，則只需平方即（sinθ+cosθ）=sinθ+2sinθcosθ+cosθ=1+2sinθcosθ=1+sin2θ；或者把倍角轉(zhuǎn)化為單角，則cos2θ=cosθ-sinθ=（cosθ+sinθ）（cosθ-sinθ），只要能求出cosθ-sinθ，這個(gè)問(wèn)題就解決了.
【解答】法一：sinθ+cosθ=兩邊平方得（sinθ+cosθ）=sinθ+2sinθcosθ+cosθ=1+2sinθcosθ=1+sin2θ=，即sin2θ=-.又因?yàn)棣取蔥，]，所以2θ∈[π，]，所以cos2θ=-=-.
法二：sinθ+cosθ=兩邊平方得（sinθ+cosθ）=sinθ+2sinθcosθ+cosθ=1+2sinθcosθ=，即2sinθcosθ=-，
又（cosθ-sinθ）=cosθ-2sinθcosθ+sinθ=1-2sinθcosθ=，又θ∈[，]，
所以cosθ-sinθ
關(guān)鍵詞：幾何畫板 三角函數(shù) 動(dòng)態(tài)演示
在新課程改革的大背景下，如何充分應(yīng)用信息技術(shù)服務(wù)教學(xué)成為了我們每個(gè)教育工作者必須關(guān)心的話題。在傳統(tǒng)的三角函數(shù)教學(xué)中，基本上都是使用常規(guī)工具（如粉筆，圓規(guī)或直尺等）畫圖，所作的圖形是靜態(tài)的，具有一定的局限性；而在數(shù)學(xué)中很多關(guān)系和規(guī)律是在變化中被發(fā)現(xiàn)和掌握的，傳統(tǒng)的教學(xué)沒(méi)有變化過(guò)程，無(wú)法展現(xiàn)圖形變化的任意性，從而不利于規(guī)律的發(fā)現(xiàn)。本文將通過(guò)三角函數(shù)教學(xué)中的兩個(gè)案例，展示幾何畫板輔助三角函數(shù)教學(xué)所具有的獨(dú)特優(yōu)勢(shì)，讓三角函數(shù)教學(xué)"動(dòng)"起來(lái)。
案例1：借助幾何畫板形象說(shuō)明y=sinx是以2π為周期的周期函數(shù)
在人教版數(shù)學(xué)必修4《第一章三角函數(shù)》這一章中，如何理解"三角函數(shù)的周期性"是教學(xué)的重點(diǎn)，也是教學(xué)的難點(diǎn)，正確理解三角函數(shù)的周期性對(duì)于學(xué)生在三角函數(shù)的學(xué)習(xí)中有著舉足輕重的地位。數(shù)學(xué)概念都是死的，是不能再創(chuàng)造的。傳統(tǒng)的教學(xué)對(duì)三角函數(shù)的周期性這一概念往往是讓學(xué)生死記，再機(jī)械應(yīng)用，但隨著時(shí)間的推移，學(xué)生的記憶就會(huì)很快的被遺忘。而事實(shí)上，對(duì)三角函數(shù)的周期性這一概念的教學(xué)應(yīng)該關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程，提供足夠的材料、時(shí)間和空間，讓學(xué)生通過(guò)觀察、比較、交流、討論等活動(dòng)來(lái)完成。幾何畫板對(duì)于達(dá)到上述目標(biāo)具有先天的優(yōu)勢(shì)，借助幾何畫板的"平移圖像"功能，通過(guò)數(shù)形結(jié)合很好的向?qū)W生展示了三角函數(shù)在每個(gè)周期上的函數(shù)圖像是一樣的。
下面以y=sinx為例，向?qū)W生展示y=sinx是以2π為周期的周期函數(shù)，繪圖步驟如下：
①建立直角坐標(biāo)系xOy，執(zhí)行"圖表-定義坐標(biāo)系"。在直角坐標(biāo)系xOy中作出函數(shù)y=sinx的圖像：執(zhí)行"圖表-定義坐標(biāo)系"，"圖表-繪制新函數(shù)-函數(shù)-sin-x"。
②在畫板中任取點(diǎn)P，以點(diǎn)P為
坐標(biāo)原點(diǎn)建立新的直角坐標(biāo)系，如
應(yīng)用1，作出y=sinx在區(qū)間[0，2π]
上的函數(shù)圖像。選中該圖像，執(zhí)行
"編輯-操作類按鈕-隱藏/顯示"，
生成按鈕顯示軌跡。圖一
③在x軸上繪制點(diǎn)A(-2π，0)、A（2π，0）。依次選中點(diǎn)P、點(diǎn)O，執(zhí)行"編輯-操作類按鈕-移動(dòng)"，生成按鈕還原；依次選中點(diǎn)P、點(diǎn)A，執(zhí)行"編輯-操作類按鈕-移動(dòng)"，生成按鈕周期1；依次選中點(diǎn)P、點(diǎn)B，執(zhí)行"編輯-操作類按鈕-移動(dòng)"，生成按鈕周期2；
④隱藏所有沒(méi)必要的對(duì)象,如圖一。
教學(xué)時(shí)，點(diǎn)擊按鈕顯示軌跡，函數(shù)在區(qū)間[-2π，2π]上的圖像便以粗體的形式出現(xiàn)在學(xué)生面前。拉動(dòng)點(diǎn)P，再次讓學(xué)生體會(huì)y=sinx在區(qū)間[-2π，2π]上的圖像。點(diǎn)擊按鈕還原，則該圖像會(huì)回到原來(lái)的位置。點(diǎn)擊按鈕周期1和周期2，y=sinx在區(qū)間[-2π，2π]上的圖像就會(huì)分別移動(dòng)到區(qū)間[-2π，0]和[2π，4π]上，此時(shí)，學(xué)生很容易看出在這三個(gè)周期上的函數(shù)圖像是一樣的，依此類推，通過(guò)圖像的移動(dòng)等動(dòng)態(tài)演示，從而使學(xué)生深刻理解三角函數(shù)的周期性這一概念。
案例2：借助幾何畫板探究函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖像
人教版數(shù)學(xué)必修4《1.5函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖像》這一章節(jié)的教學(xué)中，重點(diǎn)是如何讓學(xué)生認(rèn)清楚參數(shù)φ、ω、A對(duì)y=Asin(ωx+φ)圖像的影響。為此，我們借助幾何畫板分別作出y=sinx與y=sin(x+φ)、y=sinx與y=sinωx、y=sinx與y=Asinx三組圖像，通過(guò)改變參數(shù)φ、ω、A的值，引導(dǎo)學(xué)生觀察參數(shù)φ、ω、A對(duì)y=Asin(ωx+φ)圖像的影響。
下面，我以φ對(duì)y=sin(x+φ)的圖像的影響為例，談?wù)勅绾谓柚鷰缀萎嫲鍎?dòng)態(tài)演示y=sinx的圖像轉(zhuǎn)換成y=sin(x+φ)（φ∈(-π，π)）的圖像，作圖步驟如下：
①作y=sinx的圖像:建立直角坐標(biāo)系xOy，執(zhí)行"圖表-定義坐標(biāo)系"。作函數(shù)y=sinx的圖像，執(zhí)行"圖表-定義坐標(biāo)系"，"圖表-繪制新函數(shù)-函數(shù)-sin-x"。
②作y=sin(x+φ)的圖像:在x軸上繪制點(diǎn)M(-π，0)、N(π，0)，作線段MN。選中線段MN，執(zhí)行"作圖-線段上的點(diǎn)"，得到點(diǎn)P。依次選中點(diǎn)P與原點(diǎn)O，執(zhí)行"變換-標(biāo)記向量"。選中y=sinx的圖像，執(zhí)行"作圖-函數(shù)圖像上的點(diǎn)"，得到點(diǎn)A。選中點(diǎn)
A，執(zhí)行"變換-平移-標(biāo)記"，得到點(diǎn)B。
依次選中點(diǎn)A和點(diǎn)B，執(zhí)行"作圖-軌跡"，
得到y(tǒng)=sin(x+φ)的圖像。
③依次選中點(diǎn)P、點(diǎn)A和點(diǎn)B，執(zhí)行
"度量-橫坐標(biāo)"，得到點(diǎn)P、點(diǎn)A和點(diǎn)B
的橫坐標(biāo)xP、xA、xB，則φ=xP。
④隱藏所有沒(méi)必要的對(duì)象,如圖二。圖二
在教學(xué)中，先將點(diǎn)P移至原點(diǎn)。演示的時(shí)候，提醒學(xué)生觀察參數(shù)xP、xA、xB的變化，其中φ=xP。若將點(diǎn)P向x軸的負(fù)半軸移動(dòng)時(shí)，函數(shù)y=sin(x+φ)的圖像向右移動(dòng)，此時(shí)φ=xP0。通過(guò)以上動(dòng)態(tài)演示，學(xué)生不難得出以下結(jié)論:當(dāng)φ0時(shí)，y=sin(x+φ)的圖像可由y=sinx的圖像向左平移|φ|個(gè)單位。
運(yùn)用幾何畫板輔助三角函數(shù)的教學(xué)，不僅讓三角函數(shù)教學(xué)"動(dòng)"起來(lái)，而且還增大課堂容量、優(yōu)化教學(xué)結(jié)構(gòu)，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)學(xué)生的探究精神。同時(shí)，充分體現(xiàn)了"以人為本"的新課程理念，并且拓寬了數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)形式，改變以往單一的教學(xué)手段，使數(shù)學(xué)問(wèn)題更形象化，更貼近生活，為數(shù)學(xué)教育開(kāi)辟了更為廣闊的天地。
參考文獻(xiàn)
摘要：高中數(shù)學(xué)的特點(diǎn)是由它的培養(yǎng)目標(biāo)決定的，學(xué)生在學(xué)習(xí)中不同的學(xué)習(xí)方法，不同的學(xué)習(xí)態(tài)度會(huì)得到不同的效果。教師要加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練。
關(guān)鍵詞：教育目標(biāo) 知識(shí)網(wǎng)絡(luò)化 學(xué)習(xí)興趣 創(chuàng)新能力
高中數(shù)學(xué)是高考中的必考學(xué)科，它不同于其他學(xué)科是由它培養(yǎng)教育目標(biāo)所決定的。高中數(shù)學(xué)教育占有特殊的地位，使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想，使學(xué)生表達(dá)清晰，思考有條理，使學(xué)生具有實(shí)事求是的態(tài)度，鍥而不舍的精神，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思考方式去解決問(wèn)題。學(xué)好數(shù)學(xué)對(duì)于每一個(gè)高中生來(lái)講是十分必要的，特是不同的方法，不同的學(xué)習(xí)態(tài)度會(huì)得到不同的效果。教師在教學(xué)中有必要加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練。
函數(shù)部分進(jìn)行列表比較。一般函數(shù)按照定義域、值域、基本圖象、單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性來(lái)進(jìn)行，特別是要記住一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和函數(shù)f(x)=ax+b/x(a＞0，b＞0)的圖象和性質(zhì)。對(duì)于函數(shù)的一些特殊性質(zhì)是必須記的且必須會(huì)靈活運(yùn)用，如：函數(shù)f(x)=0既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；單調(diào)函數(shù)存在反函數(shù)，且其反函數(shù)在其對(duì)應(yīng)區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱；由f(a+x)=f(a-x)去找函數(shù)的對(duì)稱性，由f(x+a)=f(X-a)去找函數(shù)的周期性。
數(shù)列知識(shí)對(duì)比學(xué)習(xí)。如等差數(shù)列與等比數(shù)列可以從定義，通項(xiàng)公式，等差(比)中項(xiàng)，前n項(xiàng)和公式，性質(zhì)人手，如下標(biāo)成等差數(shù)列的項(xiàng)所構(gòu)成的數(shù)列；間隔相等的數(shù)列片斷和構(gòu)成的數(shù)列；非零的常數(shù)列。記的結(jié)論如三角形中的三個(gè)內(nèi)角成等差數(shù)列，則其中必有一個(gè)角為60°，若是三條邊成等差數(shù)列，三內(nèi)角的正弦值成等差數(shù)列，兩個(gè)等差數(shù)列中相同的項(xiàng)仍構(gòu)成等差數(shù)列，其公差是已知兩數(shù)列公差的最小公倍數(shù)；在求數(shù)列通項(xiàng)公式時(shí)要注意相鄰兩項(xiàng)的比(差)的關(guān)系，以及在對(duì)已知條件變形(如加常數(shù)，取對(duì)數(shù)，取倒數(shù))轉(zhuǎn)化為等差(比)數(shù)列，在求前n和公式時(shí)對(duì)于等比數(shù)列的求法，以及裂項(xiàng)相消法；同時(shí)要注意與函數(shù)和不等式的聯(lián)系。
三角函數(shù)的學(xué)習(xí)中要找準(zhǔn)一個(gè)“變”。在三角變換中有角的變換、三角函數(shù)名稱的變換、三角函數(shù)表達(dá)式的變換。要觀察差異(角、函數(shù)、運(yùn)算)，1的運(yùn)用，尋找聯(lián)系(借助熟知公式、方法和技巧)，特別是在三角函數(shù)的周期、最值以及函數(shù)圖象的變換時(shí)，常用降次公式和輔助角公式。同時(shí)要將平面向量中解三角形綜合起來(lái)，將它看作為三角函數(shù)在三角形中的運(yùn)用。尤其是正余弦定理的運(yùn)用，函數(shù)圖象按向量平移與一般平移不同。
不等式方面以及導(dǎo)數(shù)知識(shí)將它們看作為是新的解題方法，是能力的提升。特別是線性規(guī)劃問(wèn)題劃入不等式的學(xué)習(xí)中更為有利，一定要將均值不等式成立的條件理解清楚；導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中單調(diào)性的討論以及閉區(qū)間上最值的討論又是對(duì)函數(shù)性質(zhì)的補(bǔ)充和擴(kuò)展。對(duì)于導(dǎo)數(shù)中判斷方程解的個(gè)數(shù)一定要注意極限思想。
解析幾何方面找準(zhǔn)曲線的定義，記住曲線的性質(zhì)。作為這部分知識(shí)是數(shù)學(xué)的思想和方法的提煉，對(duì)函數(shù)與方程的思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸轉(zhuǎn)化的思想、分類討論的思想，以及待定系數(shù)法、坐標(biāo)法定義法、相關(guān)點(diǎn)法、參數(shù)法、交軌法都考查得十分到位的。
立體幾何方面一定要夯實(shí)基礎(chǔ)，弄清概念，學(xué)會(huì)作圖、識(shí)圖，把知識(shí)網(wǎng)絡(luò)化。對(duì)于線線、線面及面面的位置關(guān)系(平行與垂直)、兩異面直線的判定，三垂線定理，二面角等應(yīng)精練多練，對(duì)于三種角的求法，距離之間的轉(zhuǎn)化要不斷總結(jié)找規(guī)律。要能充分利用好向量這一解題工具，很多時(shí)候會(huì)解決不易作圖問(wèn)題，但對(duì)計(jì)算能力要求要高一些。
作為每一部分的內(nèi)容不是孤立的，在學(xué)習(xí)中要多找它們的交匯點(diǎn)，如函數(shù)與不等式、數(shù)列、解析幾何等，向量與三角恒等變形，向量與幾何，向量與代數(shù)的聯(lián)系，對(duì)于應(yīng)用問(wèn)題要能建立數(shù)學(xué)模型(如函數(shù)模型、方程或不等式模型、數(shù)列模型、排列組合模型、幾何模型、圖表模型等)，再思考重點(diǎn)是什么；學(xué)習(xí)中一定要充分利好教材，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，通過(guò)培養(yǎng)問(wèn)題意識(shí)，通過(guò)不同數(shù)學(xué)內(nèi)容的聯(lián)系與啟發(fā)，進(jìn)行類比、推廣、特殊化、化歸等思想方法的運(yùn)用，提高數(shù)學(xué)思維能力，在開(kāi)發(fā)練習(xí)、習(xí)題的鞏固，拓展知識(shí)、深化數(shù)學(xué)理解和應(yīng)用的功能、精心設(shè)計(jì)和編排習(xí)題中進(jìn)一步探索研究，培養(yǎng)創(chuàng)新能力。
集合與函數(shù)口訣
內(nèi)容子交并補(bǔ)集，還有冪指對(duì)函數(shù)。性質(zhì)奇偶與增減，觀察圖象最明顯。
復(fù)合函數(shù)式出現(xiàn)，性質(zhì)乘法法則辨，若要詳細(xì)證明它，還須將那定義抓。
指數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)，兩者互為反函數(shù)。底數(shù)非1的正數(shù)， 大1為增小為減。
函數(shù)定義域好求，分母不能等于0 ，偶次方根須非負(fù)，零和負(fù)數(shù)無(wú)對(duì)數(shù)；
正切函數(shù)角不直，余切函數(shù)角不平；其余函數(shù)實(shí)數(shù)集，多種情況求交集。
兩個(gè)互為反函數(shù)，單調(diào)性質(zhì)都相同；圖象互為軸對(duì)稱， Y ＝ X是對(duì)稱軸；
求解非常有規(guī)律，反解換元定義域；反函數(shù)的定義域，原來(lái)函數(shù)的值域。
冪函數(shù)性質(zhì)易記，指數(shù)化既約分?jǐn)?shù)；函數(shù)性質(zhì)看指數(shù)，奇母奇子奇函數(shù)，
奇母偶子偶函數(shù)，偶母非奇偶函數(shù)；圖象第一象限內(nèi)，函數(shù)增減看正負(fù)。
三角函數(shù)口訣（一）
三角函數(shù)是函數(shù)，象限符號(hào)坐標(biāo)注。函數(shù)圖象單位圓，周期奇偶增減現(xiàn)。
同角關(guān)系很重要，化簡(jiǎn)證明都需要。正六邊形頂點(diǎn)處，從上到下弦切割；
中心記上數(shù)字 1 ，連結(jié)頂點(diǎn)三角形；向下三角平方和，倒數(shù)關(guān)系是對(duì)角，
頂點(diǎn)任意一函數(shù)，等于后面兩根除。誘導(dǎo)公式就是好，負(fù)化正后大化小，
變成銳角好查表，化簡(jiǎn)證明少不了。二的一半整數(shù)倍，奇數(shù)化余偶不變，
將其后者視銳角，符號(hào)原來(lái)函數(shù)判。兩角和的余弦值，化為單角好求值，
余弦積減正弦積，換角變形眾公式。和差化積須同名，互余角度變名稱。
計(jì)算證明角先行，注意結(jié)構(gòu)函數(shù)名，保持基本量不變，繁難向著簡(jiǎn)易變。
逆反原則作指導(dǎo)，升冪降次和差積。條件等式的證明，方程思想指路明。
萬(wàn)能公式不一般，化為有理式居先。公式順用和逆用，變形運(yùn)用加巧用；
1 加余弦想余弦， 1 減余弦想正弦，冪升一次角減半，升冪降次它為范；
三角函數(shù)反函數(shù)，實(shí)質(zhì)就是求角度，先求三角函數(shù)值，再判角取值范圍；
利用直角三角形，形象直觀好換名，簡(jiǎn)單三角的方程，化為最簡(jiǎn)求解集。
三角函數(shù)口訣（二）
三角知識(shí)，自成體系，記憶口訣，一二三四。
一個(gè)定義，三角函數(shù)，兩種制度，角度弧度。
三套公式，牢固記憶，同角誘導(dǎo)，加法定理。
同角公式，八個(gè)三組，平方關(guān)系，導(dǎo)數(shù)商數(shù)。
誘導(dǎo)公式，兩類九組，象限定號(hào)，偶同奇余。
兩角和差，欲求正弦，正余余正，符號(hào)同前。
兩角和差，欲求余弦，余余正正，符號(hào)相反。
兩角相等，倍角公式，逆向反推，半角極限。
加加減減，變量替換，積化和差，和奇互變。
不等式口訣
解不等式的途徑，利用函數(shù)的性質(zhì)。對(duì)指無(wú)理不等式，化為有理不等式。
高次向著低次代，步步轉(zhuǎn)化要等價(jià)。數(shù)形之間互轉(zhuǎn)化，幫助解答作用大。
證不等式的方法，實(shí)數(shù)性質(zhì)威力大。求差與0比大小，作商和1爭(zhēng)高下。
直接困難分析好，思路清晰綜合法。非負(fù)常用基本式，正面難則反證法。
還有重要不等式，以及數(shù)學(xué)歸納法。圖形函數(shù)來(lái)幫助，畫圖建模構(gòu)造法。
數(shù)列口訣
等差等比兩數(shù)列，通項(xiàng)公式N項(xiàng)和。兩個(gè)有限求極限，四則運(yùn)算順序換。
數(shù)列問(wèn)題多變幻，方程化歸整體算。數(shù)列求和比較難，錯(cuò)位相消巧轉(zhuǎn)換，
取長(zhǎng)補(bǔ)短高斯法，裂項(xiàng)求和公式算。歸納思想非常好，編個(gè)程序好思考：
一算二看三聯(lián)想，猜測(cè)證明不可少。還有數(shù)學(xué)歸納法，證明步驟程序化：
首先驗(yàn)證再假定，從K向著K加1，推論過(guò)程須詳盡，歸納原理來(lái)肯定。
導(dǎo)數(shù)記憶口訣
導(dǎo)數(shù)定義要分明，平均變化率記清，增量可正亦可負(fù)，但要牢記不為零。
某點(diǎn)導(dǎo)數(shù)若存在，函數(shù)這點(diǎn)必連續(xù)，導(dǎo)數(shù)為零請(qǐng)注意，未必都是極值點(diǎn)；
某點(diǎn)導(dǎo)數(shù)不存在，切線方程可出現(xiàn)，區(qū)間導(dǎo)數(shù)大于零，這個(gè)區(qū)間必遞增，
反之不一定成立。可導(dǎo)奇函導(dǎo)為偶，可導(dǎo)偶函導(dǎo)為奇；導(dǎo)數(shù)加減分進(jìn)行，
導(dǎo)數(shù)積商記分明，函數(shù)可導(dǎo)四者導(dǎo)，兩個(gè)函數(shù)若不導(dǎo)，四者導(dǎo)否難說(shuō)清。
常數(shù)導(dǎo)數(shù)記為零，正變余弦不變號(hào)，余變正弦前添負(fù)，高次導(dǎo)數(shù)要記清，
前添次數(shù)上減1 。自然對(duì)數(shù)導(dǎo)真倒，一般對(duì)數(shù)真倒前，對(duì)底不變真變e；
自然指數(shù)導(dǎo)不變，一般指數(shù)前不變，自然對(duì)數(shù)底作真，切線斜率幾何意。
復(fù)數(shù)口訣
虛數(shù)單位i一出，數(shù)集擴(kuò)大到復(fù)數(shù)。一個(gè)復(fù)數(shù)一對(duì)數(shù)，橫縱坐標(biāo)實(shí)虛部。
對(duì)應(yīng)復(fù)平面上點(diǎn)，原點(diǎn)與它連成箭。箭桿與X軸正向，所成便是輻角度。
箭桿的長(zhǎng)即是模，常將數(shù)形來(lái)結(jié)合。代數(shù)幾何三角式，相互轉(zhuǎn)化試一試。
代數(shù)運(yùn)算的實(shí)質(zhì)，有i多項(xiàng)式運(yùn)算。 i 的正整數(shù)次冪，四個(gè)數(shù)值周期現(xiàn)。
一些重要的結(jié)論，熟記巧用得結(jié)果。虛實(shí)互化本領(lǐng)大，復(fù)數(shù)相等來(lái)轉(zhuǎn)化。
利用方程思想解，注意整體代換術(shù)。幾何運(yùn)算圖上看，加法平行四邊形，
減法三角法則判；乘法除法的運(yùn)算，逆向順向做旋轉(zhuǎn)，伸縮變換模長(zhǎng)短。
三角形式的運(yùn)算，須將輻角和模辨。利用棣莫弗公式，乘方開(kāi)方極方便。
輻角運(yùn)算很奇特，和差是由積商得。四條性質(zhì)離不得，相等和模與共軛，
兩個(gè)不會(huì)為實(shí)數(shù)，比較大小要不得。復(fù)數(shù)實(shí)數(shù)很密切，須注意本質(zhì)區(qū)別。
排列、組合、二項(xiàng)式定理口訣
加法乘法兩原理，貫穿始終的法則。與序無(wú)關(guān)是組合，要求有序是排列。
兩個(gè)公式兩性質(zhì)，兩種思想和方法。歸納出排列組合，應(yīng)用問(wèn)題須轉(zhuǎn)化。
排列組合在一起，先選后排是常理。特殊元素和位置，首先注意多考慮。
不重不漏多思考，捆綁插空是技巧。排列組合恒等式，定義證明建模試。
關(guān)于二項(xiàng)式定理，中國(guó)楊輝三角形。兩條性質(zhì)兩公式，函數(shù)賦值變換式。
立體幾何口訣
點(diǎn)線面三位一體，柱錐臺(tái)球?yàn)榇怼＞嚯x都從點(diǎn)出發(fā)，角度皆為線線成。
垂直平行是重點(diǎn)，證明須弄清概念。線線線面和面面、三對(duì)之間循環(huán)現(xiàn)。
方程思想整體求，化歸意識(shí)動(dòng)割補(bǔ)。計(jì)算之前須證明，畫好移出的圖形。
立體幾何輔助線，常用垂線和平面。射影概念很重要，對(duì)于解題最關(guān)鍵。
異面直線二面角，體積射影公式活。公理性質(zhì)三垂線，解決問(wèn)題一大片。
平面解析幾何口訣
有向線段直線圓，橢圓雙曲拋物線，參數(shù)方程極坐標(biāo)，數(shù)形結(jié)合稱典范。
笛卡爾的觀點(diǎn)對(duì)，點(diǎn)和有序?qū)崝?shù)對(duì)，兩者一一來(lái)對(duì)應(yīng)，開(kāi)創(chuàng)幾何新途徑。
兩種思想相輝映，化歸思想打前陣；都說(shuō)待定系數(shù)法，實(shí)為方程組思想。
三種類型集大成，畫出曲線求方程，給了方程作曲線，曲線位置關(guān)系判。
四件工具是法寶，坐標(biāo)思想?yún)?shù)好；平面幾何不能丟，旋轉(zhuǎn)變換復(fù)數(shù)求。
解析幾何是幾何，得意忘形學(xué)不活。圖形直觀數(shù)入微，數(shù)學(xué)本是數(shù)形學(xué)。
思維體操口訣歌
世上事情多，總想弄明白。
勤做思維操，快樂(lè)常相伴。
第一看位置，前后與左右。
根據(jù)何而來(lái)，要往哪里去。
時(shí)間和空間，就是兩條線。
目的和對(duì)象，分明是界限。
第二看尺度，平衡是關(guān)鍵。
快慢有節(jié)奏，松緊不能斷。
條件會(huì)變化，它變我也變。
流水不爭(zhēng)先，和諧是真言。
第三看層面，角度千千萬(wàn)。
里看外也看，眼光要常換。
登高能望遠(yuǎn)，秋毫也能見(jiàn)。
一層又一層，進(jìn)出都自在。
第四看動(dòng)機(jī)，矛盾是根源。
一分都為二，要好又要鬧。
才有不平事，立刻起波瀾。
前因有后果，解決靠實(shí)踐。
第五看途徑，辦法有很多。
大處來(lái)著眼，小處要細(xì)算。
發(fā)散與聚合，順逆都能得。
巧未必勝拙，胸中有主見(jiàn)。
天地有奧妙，萬(wàn)物皆循環(huán)。
思維常鍛煉，只能算一半。
八風(fēng)吹不動(dòng)，意志堅(jiān)如磐。
關(guān)鍵詞：周期性現(xiàn)象模型；感性認(rèn)識(shí)；三角函數(shù)
到了高中階段，三角函數(shù)概念擺脫了初中階段的束縛，產(chǎn)生很大的飛越． 概念提升后，學(xué)生認(rèn)識(shí)的角度、深度和廣度都要相應(yīng)地發(fā)生變化，對(duì)概念的理解才能從初中階段順利過(guò)渡到高中階段．從人類認(rèn)識(shí)運(yùn)動(dòng)的辯證過(guò)程看，首先是從實(shí)踐到認(rèn)識(shí)的過(guò)程． 在這個(gè)過(guò)程中，認(rèn)識(shí)采取了感性認(rèn)識(shí)和理性認(rèn)識(shí)兩種形式，并經(jīng)歷了由前者到后者的能動(dòng)飛躍． 理性認(rèn)識(shí)是基于感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)之上的． 感性認(rèn)識(shí)和理性認(rèn)識(shí)相互滲透，相互包含． 感性認(rèn)識(shí)和理性認(rèn)識(shí)在實(shí)踐的基礎(chǔ)上是辯證統(tǒng)一的． 認(rèn)識(shí)運(yùn)動(dòng)是不斷反復(fù)和無(wú)限發(fā)展的． 數(shù)學(xué)就是人類通過(guò)實(shí)踐由感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)而形成的，并在不斷豐富和發(fā)展．
初中階段的三角函數(shù)概念，其研究范圍是銳角，側(cè)重幾何的角度，在一個(gè)直角三角形中，研究角和三角形邊與邊的“比值”之間的內(nèi)在關(guān)系，其研究方法是幾何的，研究目的是為解直角三角形服務(wù)． 高中階段，它是在“角的概念的推廣”的基礎(chǔ)上進(jìn)行討論和研究的，研究從“靜態(tài)”到“動(dòng)態(tài)”，體現(xiàn)了運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)．通過(guò)構(gòu)造，將給定的角通過(guò)直角坐標(biāo)系研究，提供了用代數(shù)方法研究幾何的思路，研究平臺(tái)從初中的平面幾何圖形過(guò)渡到平面直角坐標(biāo)系，再次體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想． 任意角的三角函數(shù)作為函數(shù)概念的下位概念，要強(qiáng)調(diào)它是以角為自變量，比值為函數(shù)值的函數(shù)，由“銳角三角函數(shù)”概念擴(kuò)張到“任意角三角函數(shù)”． 三角學(xué)的現(xiàn)代特征，是把三角量看做函數(shù)，即看做是一種與角相對(duì)應(yīng)的函數(shù)值． 正如歐拉所說(shuō)，“引進(jìn)三角函數(shù)以后，原來(lái)意義上的正弦等三角量，都可以脫離幾何圖形去進(jìn)行自由的運(yùn)算”．
三角函數(shù)在高中數(shù)學(xué)教材中自成體系，成為獨(dú)立的一章． 沿定義出發(fā)衍生的基本內(nèi)容有：三角函數(shù)線、三角函數(shù)值的符號(hào)、同角三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式、一些變換公式以及圖象和性質(zhì)，其內(nèi)涵豐富，外延廣泛． 在經(jīng)歷從銳角三角函數(shù)過(guò)渡到任意角三角函數(shù)定義的推廣過(guò)程中，學(xué)生的理解很難一步到位，往往還是容易陷入于直角三角形中去研究角和三角形邊與邊的“比值”之間的內(nèi)在關(guān)系． 要克服負(fù)遷移，打破思維定式，突破它的下位概念——銳角三角函數(shù)的概念的束縛，承前啟后，從狹義走向廣域，達(dá)到概念的內(nèi)化．
脫離實(shí)際的理論是空洞的，會(huì)顯得蒼白無(wú)力． 找到感性認(rèn)識(shí)的切入點(diǎn)，通過(guò)突出和深化感性認(rèn)識(shí)，提供一些適當(dāng)?shù)谋尘埃鰪?qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)的體驗(yàn)，學(xué)生能身臨其境，伴隨著“真情實(shí)感”來(lái)體驗(yàn)概念的產(chǎn)生、發(fā)展過(guò)程，逐步過(guò)渡到理性認(rèn)識(shí)階段，水到渠成．
以典型、具體的模型，通過(guò)適當(dāng)?shù)膶?shí)踐讓學(xué)生從已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)去認(rèn)知，明確研究范圍的變化，開(kāi)闊視野，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行提煉概括，才能揭示由此帶來(lái)的新問(wèn)題，加深對(duì)新概念的理解，這樣的學(xué)習(xí)才會(huì)充滿活力．
這里給出兩個(gè)例子來(lái)加以說(shuō)明．
以和我們?nèi)粘Ｉ钕⑾⑾嚓P(guān)的交流電為例，它的最基本的形式是正弦電流
如圖1所示為發(fā)電機(jī)的示意圖．當(dāng)線圈在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中以角速度ω逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，線圈將產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)． 當(dāng)線圈平面垂直于磁感線時(shí)，各邊都不切割，沒(méi)有感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，稱此平面為中性面，如圖2所示． 設(shè)磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，磁場(chǎng)中線圈一邊的長(zhǎng)度為l，平面從中性面開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)時(shí)間t，線圈轉(zhuǎn)過(guò)的角度為ωt，這時(shí)，其單側(cè)線圈切割磁感線的線速度v與磁感線的夾角也為ωt，所產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)e′=Blvsinωt． 所以整個(gè)線圈所產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為e=2Blvsinωt，2Blv為感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的最大值，設(shè)為Em，則e=Emsinωt． 此式為正弦交流電動(dòng)勢(shì)的瞬時(shí)值表達(dá)式，也稱解析式． 正弦交流電壓、電流等表達(dá)式與此相似．
圖3
圖4
從產(chǎn)生交流電的過(guò)程看，對(duì)比正弦曲線，此例是一個(gè)非常生動(dòng)和具體的實(shí)例．
簡(jiǎn)諧振動(dòng)
簡(jiǎn)諧振動(dòng)有單擺擺動(dòng)和彈簧振子運(yùn)動(dòng)．
理論和實(shí)驗(yàn)都證明，簡(jiǎn)諧振動(dòng)物體的位移隨時(shí)間變化的規(guī)律呈正弦函數(shù)或余弦函數(shù)．
以橫軸表示時(shí)間t，以縱軸表示位移x，建立坐標(biāo)系，畫出簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的位移—時(shí)間圖象都是正弦或余弦曲線，振動(dòng)圖象表示了振動(dòng)物體的位移隨時(shí)間變化的規(guī)律． 由圖象可知振動(dòng)的周期，可以讀出不同時(shí)刻的位移；根據(jù)圖象可以確定速度大小、方向的變化趨勢(shì)；還可以根據(jù)位移的變化趨勢(shì)判斷加速度的變化，也能判斷質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能和勢(shì)能的變化情況．
學(xué)生如果能從所熟悉的問(wèn)題、感興趣的事物、日常生活中的情景或已熟悉掌握的知識(shí)等這些背景出發(fā)，不僅把已有的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)作為新知識(shí)增長(zhǎng)點(diǎn)，從現(xiàn)有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)中培養(yǎng)新的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，也將所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)與他的現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系起來(lái)，找到數(shù)學(xué)知識(shí)在實(shí)踐應(yīng)用中的切入點(diǎn)，把數(shù)學(xué)應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)世界，服務(wù)于當(dāng)代和新生科學(xué)的理論和實(shí)踐，“把現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)與學(xué)生個(gè)體的現(xiàn)實(shí)緊密地結(jié)合起來(lái)”．
任意角的三角函數(shù)反映了自然界中或工程技術(shù)中的一個(gè)非常重要的周期運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象，是大量周期性現(xiàn)象的模型，也是為研究客觀世界中大量存在的周期性現(xiàn)象服務(wù)的．
【關(guān)鍵詞】新課改；三角函數(shù)；空間解析幾何；教學(xué)
【基金項(xiàng)目】云南省科技廳應(yīng)用基礎(chǔ)研究青年項(xiàng)目（2013FD052）；文山學(xué)院重點(diǎn)學(xué)科數(shù)學(xué)建設(shè)項(xiàng)目（12WSXK01）
引 言
《空間解析幾何》不僅是大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課程，而且也是其他理工科類專業(yè)的高等數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，它是數(shù)學(xué)的重要組成部分，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)后續(xù)課程的重要基礎(chǔ).它包括：向量與坐標(biāo)，軌跡與方程，平面與空間直線、柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面，二次曲線和二次曲面六部分內(nèi)容，在這些內(nèi)容中會(huì)涉及三角函數(shù)和反三角函數(shù)的知識(shí).三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，自2009年以來(lái)，云南省開(kāi)始實(shí)行新課程改革，數(shù)學(xué)用的教材是經(jīng)全國(guó)中小學(xué)教材審定委員會(huì)2004年初審?fù)ㄟ^(guò)的，人民教育出版社出版的普通高中新課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書，根據(jù)普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（試驗(yàn)），三角函數(shù)部分的知識(shí)與以前的全日制普通高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱相比，內(nèi)容和要求上都發(fā)生了很大的變化.本文在云南省高中數(shù)學(xué)新課程改革下，結(jié)合大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)及其他理工科專業(yè)對(duì)空間解析幾何知識(shí)的要求，研究空間解析幾何教學(xué)中設(shè)計(jì)三角函數(shù)相關(guān)知識(shí)的處理方式和技巧.
一、新課改下三角函數(shù)的教學(xué)要求
在沒(méi)有實(shí)行新課程改革以前，高中數(shù)學(xué)教學(xué)都是以教育部制定的《全日制普通高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》為標(biāo)準(zhǔn)，而實(shí)行新課程改革試點(diǎn)后，很多省市的高中數(shù)學(xué)教學(xué)就以《新課標(biāo)》為標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)兩者在三角函數(shù)部分的教學(xué)要求進(jìn)行比較發(fā)現(xiàn)，《新課標(biāo)》有如下幾點(diǎn)變化和要求：
1.對(duì)弧度的概念，任意角的定義，三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)，求值和恒等式的證明，三角不等式的應(yīng)用，三角函數(shù)求角，和差化積、積化和差、半角公式等降低了要求，在畫圖上更注重應(yīng)用現(xiàn)代設(shè)備（計(jì)算器或計(jì)算機(jī)），不再是單純的傳統(tǒng)的尺規(guī)作圖.
2.很注重三角函數(shù)定義中單位圓的地位及其應(yīng)用.在《新課標(biāo)》的說(shuō)明與建議中明確提出：?jiǎn)挝粓A可以幫助學(xué)生直觀地認(rèn)識(shí)任意角、任意角的三角函數(shù)，理解三角函數(shù)的周期性、誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式，以及三角函數(shù)的圖像和基本性質(zhì)；借助單位圓結(jié)合具體實(shí)例，教師可以引導(dǎo)學(xué)生自主的探索三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.
3.重視與其他學(xué)科之間的交叉與聯(lián)系，也注重學(xué)以致用的思想.既可從物理、生物、自然界中的周期現(xiàn)象（運(yùn)動(dòng)），也可從已學(xué)過(guò)的指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等得到啟示，例如通過(guò)單擺運(yùn)動(dòng)、波的傳播、交流電、圓上一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，以及音樂(lè)、波浪、潮汐、四季變化等實(shí)例，使學(xué)生感受周期現(xiàn)象的廣泛存在，認(rèn)識(shí)周期現(xiàn)象的變化規(guī)律，體會(huì)三角函數(shù)是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型之一，從而幫助揭示一些自然現(xiàn)象，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，還有助于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.
4.在這個(gè)模塊中，對(duì)比新課改前后的教材可知，任意角的反正弦、反余弦、正割、余割、反正切、反余切函數(shù)、周期函數(shù)，最小正周期和三角函數(shù)奇偶性的判定內(nèi)容被刪減了.
二、空間解析幾何教材中三角函數(shù)相關(guān)知識(shí)的處理
在空間解析幾何教材中，涉及三角函數(shù)知識(shí)的內(nèi)容很多，如向量的射影、數(shù)量積、向量積、非零向量的方向余弦；平面曲線的方程、曲面的方程和空間曲線的方程；兩條直線所成的角、兩個(gè)平面所成的角、直線與平面所成的角；各種曲面的參數(shù)方程以及二次曲線和二次曲面的化簡(jiǎn).根據(jù)第一部分所述的三角函數(shù)的要求，以及高校空間解析幾何對(duì)后續(xù)課程的影響及作用，對(duì)該教學(xué)內(nèi)容中涉及三角函數(shù)相關(guān)知識(shí)的處理顯得非常重要.
1. 復(fù)習(xí)、引導(dǎo)和構(gòu)建
近年來(lái)，學(xué)生生源的不斷減少，但高等教育在不斷發(fā)展，我國(guó)大學(xué)的入學(xué)率在不斷的提高，或多或少會(huì)對(duì)生源的質(zhì)量造成一定程度的影響，其中不乏部分?jǐn)?shù)學(xué)基礎(chǔ)不好的學(xué)生被錄取，所以在上空間解析幾何課程之前，可以先復(fù)習(xí)中學(xué)已經(jīng)學(xué)過(guò)的三角函數(shù)知識(shí)；在教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生用已掌握的知識(shí)去推導(dǎo)即將用到的知識(shí)；其次，還要用所學(xué)知識(shí)試圖去構(gòu)建新知識(shí)，這樣既有利于學(xué)生開(kāi)動(dòng)腦筋，又能培養(yǎng)學(xué)生思考問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.
2.熟記、鍛煉和提高
雖然現(xiàn)在倡導(dǎo)能力和素質(zhì)的培養(yǎng)，但也不能忽略培養(yǎng)學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能.在解析幾何課程中經(jīng)常會(huì)用到已知三角函數(shù)求角，和差化積、積化和差，三角恒等變換公式等，現(xiàn)在國(guó)內(nèi)通用的解析幾何或者高等數(shù)學(xué)教材在涉及這部分知識(shí)內(nèi)容上并沒(méi)有太大的區(qū)別，因此在教學(xué)中會(huì)多次用到上述知識(shí)，可以通過(guò)多次強(qiáng)調(diào)幫助學(xué)生記住這些公式，同時(shí)多加以練習(xí)，從而不斷提高.
3.略講、轉(zhuǎn)換或不講
對(duì)于數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，空間解析幾何課程是一門非常基礎(chǔ)的專業(yè)課，但也是對(duì)后續(xù)課程有很大影響的課程，對(duì)涉及三角函數(shù)知識(shí)比較多的第二章，可以挑選幾個(gè)例題介紹用到的三角函數(shù)知識(shí)的基本思想，或者對(duì)所涉及的內(nèi)容作一定的轉(zhuǎn)換后再講解，以便于降低學(xué)生的難度，同時(shí)更有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解.對(duì)于其他理工科類專業(yè)涉及這部分知識(shí)的基礎(chǔ)好一點(diǎn)的班級(jí)可以略講，基礎(chǔ)差的班級(jí)可以不講.側(cè)重于教會(huì)學(xué)生今后遇到這類問(wèn)題時(shí)怎樣去查找資料，考試時(shí)可以不做要求.
（1）通過(guò)引例讓學(xué)生經(jīng)歷問(wèn)題提出過(guò)程，激發(fā)學(xué)生探索數(shù)學(xué)規(guī)律的積極性。
（2）理解兩角差的余弦公式及推導(dǎo)過(guò)程，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單的三角恒等變換。
（3）通過(guò)公式的探究，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。
二、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)
重點(diǎn)：兩角差的余弦公式的探究過(guò)程及公式的運(yùn)用。
難點(diǎn)：探索過(guò)程的組織和引導(dǎo)，兩角差余弦公式的探究思路的發(fā)現(xiàn)。
三、教學(xué)準(zhǔn)備
教師：將教科書中的引例及圖3.1-1，圖3.1-2，圖3.1-3，例1，例2做成投影片，有條件的可利用多媒體，圖3.1-2做成動(dòng)畫形式。
學(xué)生：直尺、圓規(guī)等。
四、教學(xué)導(dǎo)圖
創(chuàng)設(shè)情景，以實(shí)例引入課題 明確探究目標(biāo)及途徑組織學(xué)生自主探索例題與練習(xí)小結(jié)與作業(yè)。
五、教學(xué)設(shè)計(jì)
1. 展示實(shí)例
課本章頭圖3.1-1給出的問(wèn)題，創(chuàng)設(shè)情景，引入課題。
設(shè)計(jì)意圖：由給出的情境素材，使學(xué)生感受到實(shí)際問(wèn)題中對(duì)研究?jī)山呛停ú睿┕降男枰?/p>
師生活動(dòng)：教師――運(yùn)用投影片或多媒體出示實(shí)例。組織學(xué)生使，問(wèn)題數(shù)學(xué)化。
學(xué)生――實(shí)例的關(guān)鍵是如何由sinα=，求tan a=（45°α）的值。
教師――可先引導(dǎo)學(xué)生用方程的思想分析求解該問(wèn)題。進(jìn)而啟發(fā)學(xué)生如何用所學(xué)的三角學(xué)知識(shí)進(jìn)行分析解決。
師生――將問(wèn)題一般化，抽象概括出帶有一般性的數(shù)學(xué)問(wèn)題：探求單角與和角的三角函數(shù)值之間的關(guān)系，即對(duì)任意角α、β如何用α、β的三角函數(shù)值把α+β或α-β的三角函數(shù)值表示出來(lái)？為此，本節(jié)學(xué)習(xí)兩角差的余弦公式這一具有奠基性的問(wèn)題，從而引出本節(jié)課題。
2. 你認(rèn)為= 正確嗎？
設(shè)計(jì)意圖：人們由于受思維定勢(shì)的影響，往往以為此“分配律”成立，通過(guò)特意設(shè)置這個(gè)思考問(wèn)題，讓學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)到這一“習(xí)慣性”的結(jié)論的不正確性，從而樹(shù)立不能想當(dāng)然、要理性思維的良好觀念，并認(rèn)識(shí)到要探索的公式在“恒等”方面要求的意義。
師生活動(dòng)：教師――提出上述問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生分析認(rèn)識(shí)到，要驗(yàn)證一個(gè)等式是否成立，可以先通過(guò)特例進(jìn)行初步驗(yàn)證，有一個(gè)特例不成立，就可斷言結(jié)論不成立;若找不到反例，則可試著去證明它是成立的。
學(xué)生――嘗試檢驗(yàn)，取一些特殊角進(jìn)行驗(yàn)證，例如α=60°，β=30°，判斷出該“式”不是“恒”成立的。
教師――那么，如何用單角α、β的正弦、余弦值正確表示cos（α-β）呢？通過(guò)這個(gè)問(wèn)題引起懸念，激起探索欲望。
3. 運(yùn)用三角函數(shù)定義探索cos（α-β）的表達(dá)式
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)提出用三角函數(shù)定義推導(dǎo)公式，學(xué)生會(huì)考慮單位圓上如何做出角α、β、α-β的三角函數(shù)線，教師利用投影或多媒體，積極引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“作角找線找等量關(guān)系”的探索過(guò)程。
師生活動(dòng)：教師――數(shù)學(xué)上講究從特殊到一般，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，對(duì)此問(wèn)題，我們也不妨先從α、β、α-β三個(gè)角都為銳角的情形開(kāi)始研究。我們可以借用的工具是什么呢？回到基礎(chǔ)，從定義開(kāi)始。
學(xué)生――在單位圓，作出角α、β的終邊，從而做出角α-β的余弦線OM，如圖3.1-1。
教師――現(xiàn)在，問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為什么樣的問(wèn)題？只需要探究出來(lái)什么就可以了呢？
學(xué)生――學(xué)生基本能夠指出，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：如何用角α、β的正弦線、余弦線來(lái)表示OM？
教師――帶領(lǐng)學(xué)生利用幾何直觀尋找OM的表達(dá)式，從而得出表達(dá)式。教師進(jìn)一步指出，剛才的推導(dǎo)是在都為銳角這個(gè)特殊情況下進(jìn)行的，所得結(jié)果是否任意角α、β都成立？教師可以用多媒體進(jìn)行演示，讓學(xué)生通過(guò)演示觀察猜測(cè)結(jié)論。肯定結(jié)論之后，具體推廣過(guò)程請(qǐng)同學(xué)們課下完成。
4. 能否利用向量的方法探究cos（α-β）公式？
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)多角度分析，培養(yǎng)學(xué)生的自主探究能力。使學(xué)生對(duì)向量的坐標(biāo)表示，向量的數(shù)量積有進(jìn)一步的理解。同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)品質(zhì)。
師生活動(dòng)：教師――上面通過(guò)回歸定義，我們推導(dǎo)出了兩角差的余弦公式，還有其他辦法嗎？
學(xué)生――在平面直角坐標(biāo)系xOy中作單位圓，以O(shè)x為始邊作角α，β，如圖3.1-2，從而能寫出交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，由數(shù)量積坐標(biāo)公式推導(dǎo)出cos（α-β）。嘗試推導(dǎo)過(guò)程。
教師――引導(dǎo)學(xué)生分析整個(gè)推導(dǎo)過(guò)程，是否有不嚴(yán)謹(jǐn)之處？
師生――根據(jù)向量數(shù)量積的概念，角α-β必須符合條件0≤α-β≤π，若α-β是任意角，則α-β也是任意角。事實(shí)上，α-β=2kπ+，或2kπ-
（k∈Z）.
cos（α-β）=cos=O?O對(duì)于，對(duì)于任意角α、β都有cos（α-β）。=cos αcosβ+sinαsinβ。
5. 歸納公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)
設(shè)計(jì)意圖：使學(xué)生進(jìn)一步熟悉公式，了解公式的結(jié)構(gòu)特征，以便運(yùn)用公式解決一些問(wèn)題或推導(dǎo)其他公式。
師生活動(dòng)：師生――共同分析公式結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：①任意角，②同名積，③符號(hào)反。
教師――此公式稱為差角的余弦公式，簡(jiǎn)記為C（α-β）。
6. 自學(xué)例1，并解決思考題
設(shè)計(jì)意圖：初步體驗(yàn)公式用法，增加對(duì)公式的理解，培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力。
師生活動(dòng)：學(xué)生――求解過(guò)程獨(dú)立完成。
教師――通過(guò)本例及思考題，點(diǎn)評(píng)①公式的正用和逆用，②角的拆分的多樣性，③誘導(dǎo)公式的運(yùn)用。并安排如下兩個(gè)變式練習(xí)，來(lái)強(qiáng)化公式的記憶和理解。
變式練習(xí)：求值：（1）cos53°cos23°+
sin53°sin23°;（2）cos（+θ）cosθ+
sin（+θ）sinθ。
7. 自學(xué)例2，并完成P127練習(xí)第2～4題
設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步理解公式，掌握運(yùn)用公式應(yīng)該注意的問(wèn)題，明確思維的有序性和表達(dá)的條理性是三角變換的基本要求。
師生活動(dòng)：學(xué)生――認(rèn)真審題，求解問(wèn)題，注意步驟。
教師――對(duì)學(xué)生表述的步驟，是否規(guī)范作出必要的點(diǎn)評(píng)和要求。
遞進(jìn)思考：將例2的條件α∈（，
π）改為α∈（0，π），如何求cos（α-β）的值。
訓(xùn)練學(xué)生的分類討論的思想，提高表達(dá)能力。
8. 練習(xí)：以知α、β為銳角，cosα=，cos（α+β）= ，求cos的β值
設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用公式的能力，初步體會(huì)角的配湊技巧在三角問(wèn)題解決中的作用。
師生活動(dòng)：教師――引導(dǎo)學(xué)生比較公式，注意角β與α，α+β之間的關(guān)系。
學(xué)生――獨(dú)立思考，不難得出β=（α+β）-β
教師――提問(wèn)學(xué)生說(shuō)出思路，最后進(jìn)行解法點(diǎn)評(píng)。本題特點(diǎn)：①需要構(gòu)造角，②需要研究角的范圍。
9. 反思與升華
① 總結(jié)兩角差的余弦公式的探索及證明思路;
② 應(yīng)用公式求值時(shí)應(yīng)注意問(wèn)題是什么？
③ 總結(jié)本節(jié)課所涉及的數(shù)學(xué)思想和辦法。
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)總結(jié)，使學(xué)生對(duì)本節(jié)課有一個(gè)全面的認(rèn)識(shí)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，培養(yǎng)學(xué)生強(qiáng)烈的求知欲望。
師生活動(dòng)：師生――探究公式的方法：①有簡(jiǎn)單到復(fù)雜，由淺入深;②由特殊到一般，抓主要問(wèn)題探索;③進(jìn)行反思，予以修正完善。
六、作業(yè)設(shè)計(jì)
作業(yè)：教課書P137習(xí)題3.1 A組第2～4題。
備選練習(xí)：1. 若cosα+cosβ=cosγ=0，sinα+sinβ+sinγ=0，求cos（α-β）的值。
解：cosα+cosβ=-cosγ ①
sinα+sinβ=-sinγ ②
①+②得：2+2+cos（α+β）=-
⒉ 如何用cos（α-β）的表達(dá)式來(lái)探究（α±β）的其他三角函數(shù)？
七、教材設(shè)計(jì)說(shuō)明
（1）本設(shè)計(jì)首先通過(guò)章頭圖實(shí)際問(wèn)題的引入，讓學(xué)生感受到研究和差公式的必要，這樣設(shè)計(jì)能夠引起學(xué)生興趣，引發(fā)矛盾沖突，同時(shí)明確了探究目標(biāo)。
（2）本設(shè)計(jì)重點(diǎn)放在公式的推導(dǎo)上，分三個(gè)層次：一是直覺(jué)猜想，特殊驗(yàn)證;二是通過(guò)α、β為銳角（α>β）的特殊情況進(jìn)行探究;三是對(duì)一般情形進(jìn)行探究。這樣設(shè)計(jì)符合認(rèn)知規(guī)律，使學(xué)生感受到學(xué)習(xí)過(guò)程是不斷猜想、不斷修正、從特殊到一般的思維過(guò)程。通過(guò)探究和證明不但培養(yǎng)了學(xué)生邏輯推理能力，而且培養(yǎng)了合情推理能力及創(chuàng)新能力，以及優(yōu)秀的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，體現(xiàn)了探究中“大膽猜想、小心求證”的教學(xué)思想，使數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程由冰冷的美麗化為火熱的思考。
1.
對(duì)于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“確定性、互異性、無(wú)序性”。
中元素各表示什么？
注重借助于數(shù)軸和文氏圖解集合問(wèn)題。
空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。
3.
注意下列性質(zhì)：
（3）德摩根定律：
4.
你會(huì)用補(bǔ)集思想解決問(wèn)題嗎？（排除法、間接法）
的取值范圍。
6.
命題的四種形式及其相互關(guān)系是什么？
（互為逆否關(guān)系的命題是等價(jià)命題。）
原命題與逆否命題同真、同假；逆命題與否命題同真同假。
7.
對(duì)映射的概念了解嗎？映射f：AB，是否注意到A中元素的任意性和B中與之對(duì)應(yīng)元素的唯一性，哪幾種對(duì)應(yīng)能構(gòu)成映射？
（一對(duì)一，多對(duì)一，允許B中有元素?zé)o原象）
8.
函數(shù)的三要素是什么？如何比較兩個(gè)函數(shù)是否相同？
（定義域、對(duì)應(yīng)法則、值域）
9.
求函數(shù)的定義域有哪些常見(jiàn)類型？
10.
如何求復(fù)合函數(shù)的定義域？
義域是_。
11.
求一個(gè)函數(shù)的解析式或一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)時(shí)，注明函數(shù)的定義域了嗎？
12.
反函數(shù)存在的條件是什么？
（一一對(duì)應(yīng)函數(shù)）
求反函數(shù)的步驟掌握了嗎？
（①反解x；②互換x、y；③注明定義域）
13.
反函數(shù)的性質(zhì)有哪些？
①互為反函數(shù)的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱；
②保存了原來(lái)函數(shù)的單調(diào)性、奇函數(shù)性；
14.
如何用定義證明函數(shù)的單調(diào)性？
（取值、作差、判正負(fù)）
如何判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性？
……）
15.
如何利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性？
值是（
）
A.
B.
1
C.
2
D.
3
a的最大值為3）
16.
函數(shù)f(x)具有奇偶性的必要（非充分）條件是什么？
（f(x)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）
注意如下結(jié)論：
（1）在公共定義域內(nèi)：兩個(gè)奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；兩個(gè)偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；一個(gè)偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù)。
17.
你熟悉周期函數(shù)的定義嗎？
函數(shù)，T是一個(gè)周期。）
如：
18.
你掌握常用的圖象變換了嗎？
注意如下“翻折”變換：
19.
你熟練掌握常用函數(shù)的圖象和性質(zhì)了嗎？
的雙曲線。
應(yīng)用：①“三個(gè)二次”（二次函數(shù)、二次方程、二次不等式）的關(guān)系——二次方程
②求閉區(qū)間［m，n］上的最值。
③求區(qū)間定（動(dòng)），對(duì)稱軸動(dòng)（定）的最值問(wèn)題。
④一元二次方程根的分布問(wèn)題。
由圖象記性質(zhì)！
（注意底數(shù)的限定！）
利用它的單調(diào)性求最值與利用均值不等式求最值的區(qū)別是什么？
20.
你在基本運(yùn)算上常出現(xiàn)錯(cuò)誤嗎？
21.
如何解抽象函數(shù)問(wèn)題？
（賦值法、結(jié)構(gòu)變換法）
22.
掌握求函數(shù)值域的常用方法了嗎？
（二次函數(shù)法（配方法），反函數(shù)法，換元法，均值定理法，判別式法，利用函數(shù)單調(diào)性法，導(dǎo)數(shù)法等。）
如求下列函數(shù)的最值：
23.
你記得弧度的定義嗎？能寫出圓心角為α，半徑為R的弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式嗎？
24.
熟記三角函數(shù)的定義，單位圓中三角函數(shù)線的定義
25.
你能迅速畫出正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象嗎？并由圖象寫出單調(diào)區(qū)間、對(duì)稱點(diǎn)、對(duì)稱軸嗎？
（x，y）作圖象。
27.
在三角函數(shù)中求一個(gè)角時(shí)要注意兩個(gè)方面——先求出某一個(gè)三角函數(shù)值，再判定角的范圍。
28.
在解含有正、余弦函數(shù)的問(wèn)題時(shí)，你注意（到）運(yùn)用函數(shù)的有界性了嗎？
29.
熟練掌握三角函數(shù)圖象變換了嗎？
（平移變換、伸縮變換）
平移公式：
圖象？
30.
熟練掌握同角三角函數(shù)關(guān)系和誘導(dǎo)公式了嗎？
“奇”、“偶”指k取奇、偶數(shù)。
A.
正值或負(fù)值
B.
負(fù)值
C.
非負(fù)值
D.
正值
31.
熟練掌握兩角和、差、倍、降冪公式及其逆向應(yīng)用了嗎？
理解公式之間的聯(lián)系：
應(yīng)用以上公式對(duì)三角函數(shù)式化簡(jiǎn)。（化簡(jiǎn)要求：項(xiàng)數(shù)最少、函數(shù)種類最少，分母中不含三角函數(shù)，能求值，盡可能求值。）
具體方法：
（2）名的變換：化弦或化切
（3）次數(shù)的變換：升、降冪公式
（4）形的變換：統(tǒng)一函數(shù)形式，注意運(yùn)用代數(shù)運(yùn)算。
32.
正、余弦定理的各種表達(dá)形式你還記得嗎？如何實(shí)現(xiàn)邊、角轉(zhuǎn)化，而解斜三角形？
（應(yīng)用：已知兩邊一夾角求第三邊；已知三邊求角。）
33.
用反三角函數(shù)表示角時(shí)要注意角的范圍。
34.
不等式的性質(zhì)有哪些？
答案：C
35.
利用均值不等式：
值？（一正、二定、三相等）
注意如下結(jié)論：
36.
不等式證明的基本方法都掌握了嗎？
（比較法、分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法等）
并注意簡(jiǎn)單放縮法的應(yīng)用。
（移項(xiàng)通分，分子分母因式分解，x的系數(shù)變?yōu)?，穿軸法解得結(jié)果。）
38.
用“穿軸法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，從最大根的右上方開(kāi)始
39.
解含有參數(shù)的不等式要注意對(duì)字母參數(shù)的討論
40.
對(duì)含有兩個(gè)絕對(duì)值的不等式如何去解？
（找零點(diǎn)，分段討論，去掉絕對(duì)值符號(hào)，最后取各段的并集。）
證明：
（按不等號(hào)方向放縮）
42.
不等式恒成立問(wèn)題，常用的處理方式是什么？（可轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，或“”問(wèn)題）
43.
等差數(shù)列的定義與性質(zhì)
0的二次函數(shù)）
項(xiàng)，即：
44.
等比數(shù)列的定義與性質(zhì)
46.
你熟悉求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法嗎？
例如：（1）求差（商）法
解：
［練習(xí)］
（2）疊乘法
解：
（3）等差型遞推公式
［練習(xí)］
（4）等比型遞推公式
［練習(xí)］
（5）倒數(shù)法
47.
你熟悉求數(shù)列前n項(xiàng)和的常用方法嗎？
例如：（1）裂項(xiàng)法：把數(shù)列各項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)之和，使之出現(xiàn)成對(duì)互為相反數(shù)的項(xiàng)。
解：
［練習(xí)］
（2）錯(cuò)位相減法：
（3）倒序相加法：把數(shù)列的各項(xiàng)順序倒寫，再與原來(lái)順序的數(shù)列相加。
［練習(xí)］
48.
你知道儲(chǔ)蓄、貸款問(wèn)題嗎？
零存整取儲(chǔ)蓄（單利）本利和計(jì)算模型：
若每期存入本金p元，每期利率為r，n期后，本利和為：
若按復(fù)利，如貸款問(wèn)題——按揭貸款的每期還款計(jì)算模型（按揭貸款——分期等額歸還本息的借款種類）
若貸款（向銀行借款）p元，采用分期等額還款方式，從借款日算起，一期（如一年）后為第一次還款日，如此下去，第n次還清。如果每期利率為r（按復(fù)利），那么每期應(yīng)還x元，滿足
p——貸款數(shù)，r——利率，n——還款期數(shù)
49.
解排列、組合問(wèn)題的依據(jù)是：分類相加，分步相乘，有序排列，無(wú)序組合。
（2）排列：從n個(gè)不同元素中，任取m（m≤n）個(gè)元素，按照一定的順序排成一
（3）組合：從n個(gè)不同元素中任取m（m≤n）個(gè)元素并組成一組，叫做從n個(gè)不
50.
解排列與組合問(wèn)題的規(guī)律是：
相鄰問(wèn)題捆綁法；相間隔問(wèn)題插空法；定位問(wèn)題優(yōu)先法；多元問(wèn)題分類法；至多至少問(wèn)題間接法；相同元素分組可采用隔板法，數(shù)量不大時(shí)可以逐一排出結(jié)果。
如：學(xué)號(hào)為1，2，3，4的四名學(xué)生的考試成績(jī)
則這四位同學(xué)考試成績(jī)的所有可能情況是（
）
A.
24
B.
15
C.
12
D.
10
解析：可分成兩類：
（2）中間兩個(gè)分?jǐn)?shù)相等
相同兩數(shù)分別取90，91，92，對(duì)應(yīng)的排列可以數(shù)出來(lái)，分別有3，4，3種，有10種。
共有5＋10＝15（種）情況
51.
二項(xiàng)式定理
性質(zhì)：
（3）最值：n為偶數(shù)時(shí)，n＋1為奇數(shù)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大且為第
表示）
52.
你對(duì)隨機(jī)事件之間的關(guān)系熟悉嗎？
的和（并）。
（5）互斥事件（互不相容事件）：“A與B不能同時(shí)發(fā)生”叫做A、B互斥。
（6）對(duì)立事件（互逆事件）：
（7）獨(dú)立事件：A發(fā)生與否對(duì)B發(fā)生的概率沒(méi)有影響，這樣的兩個(gè)事件叫做相互獨(dú)立事件。
53.
對(duì)某一事件概率的求法：
分清所求的是：（1）等可能事件的概率（常采用排列組合的方法，即
（5）如果在一次試驗(yàn)中A發(fā)生的概率是p，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中A恰好發(fā)生
如：設(shè)10件產(chǎn)品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率。
（1）從中任取2件都是次品；
（2）從中任取5件恰有2件次品；
（3）從中有放回地任取3件至少有2件次品；
解析：有放回地抽取3次（每次抽1件），n＝103
而至少有2件次品為“恰有2次品”和“三件都是次品”
（4）從中依次取5件恰有2件次品。
解析：一件一件抽取（有順序）
分清（1）、（2）是組合問(wèn)題，（3）是可重復(fù)排列問(wèn)題，（4）是無(wú)重復(fù)排列問(wèn)題。
54.
抽樣方法主要有：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣（抽簽法、隨機(jī)數(shù)表法）常常用于總體個(gè)數(shù)較少時(shí)，它的特征是從總體中逐個(gè)抽取；系統(tǒng)抽樣，常用于總體個(gè)數(shù)較多時(shí)，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一個(gè)；分層抽樣，主要特征是分層按比例抽樣，主要用于總體中有明顯差異，它們的共同特征是每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等，體現(xiàn)了抽樣的客觀性和平等性。
55.
對(duì)總體分布的估計(jì)——用樣本的頻率作為總體的概率，用樣本的期望（平均值）和方差去估計(jì)總體的期望和方差。
要熟悉樣本頻率直方圖的作法：
（2）決定組距和組數(shù)；
（3）決定分點(diǎn)；
（4）列頻率分布表；
（5）畫頻率直方圖。
如：從10名女生與5名男生中選6名學(xué)生參加比賽，如果按性別分層隨機(jī)抽樣，則組成此參賽隊(duì)的概率為_(kāi)___________。
56.
你對(duì)向量的有關(guān)概念清楚嗎？
（1）向量——既有大小又有方向的量。
在此規(guī)定下向量可以在平面（或空間）平行移動(dòng)而不改變。
（6）并線向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。
規(guī)定零向量與任意向量平行。
（7）向量的加、減法如圖：
（8）平面向量基本定理（向量的分解定理）
的一組基底。
（9）向量的坐標(biāo)表示
表示。
57.
平面向量的數(shù)量積
數(shù)量積的幾何意義：
（2）數(shù)量積的運(yùn)算法則
［練習(xí)］
答案：
答案：2
答案：
58.
線段的定比分點(diǎn)
.
你能分清三角形的重心、垂心、外心、內(nèi)心及其性質(zhì)嗎？
59.
立體幾何中平行、垂直關(guān)系證明的思路清楚嗎？
平行垂直的證明主要利用線面關(guān)系的轉(zhuǎn)化：
線面平行的判定：
線面平行的性質(zhì)：
三垂線定理（及逆定理）：
線面垂直：
面面垂直：
60.
三類角的定義及求法
（1）異面直線所成的角θ，0°＜θ≤90°
（2）直線與平面所成的角θ，0°≤θ≤90°
（三垂線定理法：A∈α作或證ABβ于B，作BO棱于O，連AO，則AO棱l，∠AOB為所求。）
三類角的求法：
①找出或作出有關(guān)的角。
②證明其符合定義，并指出所求作的角。
③計(jì)算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。
［練習(xí)］
（1）如圖，OA為α的斜線OB為其在α影，OC為α內(nèi)過(guò)O點(diǎn)任一直線。
（2）如圖，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中對(duì)角線BD1＝8，BD1與側(cè)面B1BCC1所成的為30°。
①求BD1和底面ABCD所成的角；
②求異面直線BD1和AD所成的角；
③求二面角C1—BD1—B1的大小。
（3）如圖ABCD為菱形，∠DAB＝60°，PD面ABCD，且PD＝AD，求面PAB與面PCD所成的銳二面角的大小。
（AB∥DC，P為面PAB與面PCD的公共點(diǎn)，作PF∥AB，則PF為面PCD與面PAB的交線……）
61.
空間有幾種距離？如何求距離？
點(diǎn)與點(diǎn)，點(diǎn)與線，點(diǎn)與面，線與線，線與面，面與面間距離。
將空間距離轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)的距離，構(gòu)造三角形，解三角形求線段的長(zhǎng)（如：三垂線定理法，或者用等積轉(zhuǎn)化法）。
如：正方形ABCD—A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為a，則：
（1）點(diǎn)C到面AB1C1的距離為_(kāi)__________；
（2）點(diǎn)B到面ACB1的距離為_(kāi)___________；
（3）直線A1D1到面AB1C1的距離為_(kāi)___________；
（4）面AB1C與面A1DC1的距離為_(kāi)___________；
（5）點(diǎn)B到直線A1C1的距離為_(kāi)____________。
62.
你是否準(zhǔn)確理解正棱柱、正棱錐的定義并掌握它們的性質(zhì)？
正棱柱——底面為正多邊形的直棱柱
正棱錐——底面是正多邊形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心。
正棱錐的計(jì)算集中在四個(gè)直角三角形中：
它們各包含哪些元素？
63.
球有哪些性質(zhì)？
（2）球面上兩點(diǎn)的距離是經(jīng)過(guò)這兩點(diǎn)的大圓的劣弧長(zhǎng)。為此，要找球心角！
（3）如圖，θ為緯度角，它是線面成角；α為經(jīng)度角，它是面面成角。
（5）球內(nèi)接長(zhǎng)方體的對(duì)角線是球的直徑。正四面體的外接球半徑R與內(nèi)切球半徑r之比為R：r＝3：1。
積為（
）
答案：A
64.
熟記下列公式了嗎？
（2）直線方程：
65.
如何判斷兩直線平行、垂直？
66.
怎樣判斷直線l與圓C的位置關(guān)系？
圓心到直線的距離與圓的半徑比較。
直線與圓相交時(shí)，注意利用圓的“垂徑定理”。
67.
怎樣判斷直線與圓錐曲線的位置？
68.
分清圓錐曲線的定義
70.
在圓錐曲線與直線聯(lián)立求解時(shí)，消元后得到的方程，要注意其二次項(xiàng)系數(shù)是否為零？≥0的限制。（求交點(diǎn)，弦長(zhǎng)，中點(diǎn)，斜率，對(duì)稱存在性問(wèn)題都在≥0下進(jìn)行。）
71.
會(huì)用定義求圓錐曲線的焦半徑嗎？
如：
通徑是拋物線的所有焦點(diǎn)弦中最短者；以焦點(diǎn)弦為直徑的圓與準(zhǔn)線相切。
72.
有關(guān)中點(diǎn)弦問(wèn)題可考慮用“代點(diǎn)法”。
答案：
73.
如何求解“對(duì)稱”問(wèn)題？
（1）證明曲線C：F（x，y）＝0關(guān)于點(diǎn)M（a，b）成中心對(duì)稱，設(shè)A（x，y）為曲線C上任意一點(diǎn)，設(shè)A＇（x＇，y＇）為A關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱點(diǎn)。
75.
求軌跡方程的常用方法有哪些？注意討論范圍。
（直接法、定義法、轉(zhuǎn)移法、參數(shù)法）
【關(guān)鍵詞】 定位；知識(shí)呈現(xiàn)；嚴(yán)格性水平；綜合程度；銜接
函數(shù)是高中數(shù)學(xué)知識(shí)框架中最重要的支柱，三角函數(shù)是函數(shù)知識(shí)的重要組成部分.大家知道，大學(xué)微積分是以函數(shù)研究為對(duì)象的.因此，三角函數(shù)知識(shí)的強(qiáng)化或弱化對(duì)大學(xué)微積分學(xué)習(xí)影響較大.究竟高中教材對(duì)三角函數(shù)應(yīng)做怎樣的取舍，才能不對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)產(chǎn)生負(fù)面的影響呢？我們不妨研究一下香港教材.香港數(shù)學(xué)教育一向受英美影響較深，很有成績(jī).
本文研究選取的是朗文香港教育出版社2009年出版的《新高中數(shù)學(xué)與生活》[1]系列教材，其中與三角函數(shù)有關(guān)的兩本教材是《新高中數(shù)學(xué)與生活（必修部分）4B》（下文簡(jiǎn)稱《必修4B》）與《新高中數(shù)學(xué)與生活（延伸部分）單元二――代數(shù)與微積分1》（下文簡(jiǎn)稱《微積分1》）.《新高中數(shù)學(xué)》教材系列在香港影響較大.希望通過(guò)我們的研究，能讓教材與教參編寫者有所借鑒，對(duì)一線教師有所裨益.
1 三角函數(shù)在高中教材中的定位
香港目前使用的各種版本的高中數(shù)學(xué)教材，都是依據(jù)2007年制訂的《數(shù)學(xué)課程及評(píng)估指引（中四至中六）》編寫的.教材內(nèi)容分必修部分和延伸部分.朗文香港教育出版公司出版的必修教材共6本，《必修4B》是其中的一本，包涵了三角函數(shù)最基礎(chǔ)的知識(shí)及簡(jiǎn)單應(yīng)用.《必修4B》的序言指出：“為所有學(xué)生提供必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，配合他們?nèi)蘸笤诓煌I(lǐng)域進(jìn)修的需要.”延伸部分備有兩個(gè)選修單元，單元一有教材2本，單元二有教材3本.《微積分1》是單元二的第1本教材，屬選修教材，包涵的三角函數(shù)知識(shí)是《必修4B》所選三角函數(shù)內(nèi)容的加深與拓展，絕大部分知識(shí)與大學(xué)數(shù)學(xué)銜接有關(guān)聯(lián).《微積分1》的序言指出：“集中在更深層次的數(shù)學(xué)上，為希望學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的學(xué)生奠下鞏固的代數(shù)與微積分基礎(chǔ)”；“冀能對(duì)學(xué)生日后升學(xué)或從事與數(shù)學(xué)有關(guān)聯(lián)的專業(yè)，有所裨益”.從這里可以看出，《微積分1》是供相當(dāng)于大陸的理科學(xué)生選修的.
香港教材將“三角函數(shù)”最基礎(chǔ)的一部分內(nèi)容定位為必修內(nèi)容，將難度稍大且與大學(xué)數(shù)學(xué)銜接的內(nèi)容定位為選修內(nèi)容，對(duì)以后不同方向發(fā)展的學(xué)生作了不同的要求.反觀大陸2007年編寫的“人教A版”高中數(shù)學(xué)教材，將三角函數(shù)定位為必修內(nèi)容，學(xué)生高中階段所學(xué)的所有三角函數(shù)知識(shí)全編寫在《必修4》[2]中.
2 三角函數(shù)知識(shí)在教材中的具體呈現(xiàn)
《必修4B》中的三角函數(shù)內(nèi)容有132頁(yè)（每頁(yè)接近4A紙大小），大約18課時(shí)；《微積分1》中的三角函數(shù)內(nèi)容有90頁(yè)，大約14課時(shí).兩本書共有三角函數(shù)內(nèi)容222頁(yè)，大約共需32課時(shí).
《必修4B》中三角函數(shù)知識(shí)呈現(xiàn)在第10章“續(xù)三角”與第11章“三角學(xué)的應(yīng)用：二維空間”.第10章的具體編排是：基礎(chǔ)知識(shí)重溫；101旋轉(zhuǎn)角：處于標(biāo)準(zhǔn)位置上的角，四個(gè)象限；102 任意角的三角比：任意角的三角比的定義，三角比的正負(fù)值；103三角函數(shù)的圖像：y=sinθ的圖像，y=cosθ的圖像，y=tanθ的圖像，三角函數(shù)的周期性；104三角方程的圖解法；105三角恒等式：（180°-θ）的三角比，（180°+θ）的三角比，（360°-θ）的三角比，（360°+θ）的三角比，（90°+θ）的三角比；106 利用代數(shù)方法解三角方程；數(shù)學(xué)探究：直角三角形的正切值；IT活動(dòng)：三角比的正負(fù)值，利用單位圓繪畫y=sinθ的圖像；點(diǎn)滴分享知多些：交流電與三角學(xué)在港燈電力供應(yīng)中的應(yīng)用；答案.第11章的具體編排是：基礎(chǔ)知識(shí)重溫；111 三角形面積：三角形面積，海倫公式；112正弦定理；113 余弦定理；114 三角學(xué)上的二維空間應(yīng)用題：回顧，二維空間的應(yīng)用題；數(shù)學(xué)探究：圓內(nèi)接四邊形的面積；答案.
《微積分1》中三角函數(shù)知識(shí)呈現(xiàn)在第4章“續(xù)三角函數(shù)（一）”與第5章“續(xù)三角函數(shù)（二）”中.第4章的具體編排是：41弧度制：度與弧度制的轉(zhuǎn)換，透視弧度法求弧長(zhǎng)及扇形的面積；42三角函數(shù)：三角函數(shù)定義，三角關(guān)系，三角函數(shù)的圖像；43解簡(jiǎn)易三角方程；答案.第5章的具體編排是：51 復(fù)角公式：正弦的復(fù)角公式，余弦的復(fù)角公式，正切的復(fù)角公式；52 二倍角公式；53 積化和差公式與和差化積公式；答案.
《必修4B》介紹了海倫公式：ABC的面積=s（s-a）（s-b）（s-c），教材還不避繁瑣用代數(shù)方法嚴(yán)格地證明了海倫公式.《微積分1》第4章介紹了y=cscθ與y=secx兩個(gè)函數(shù).這樣，誘導(dǎo)公式中多了1+cot2θ=csc2θ、secθ=1cosθ等公式.這些都是人教A版《必修4》中沒(méi)有的知識(shí). 《微積分1》第5章介紹了積化和差公式與和差化積公式，并給予了簡(jiǎn)單的證明.因?yàn)橛辛诉@些公式，《微積分1》中出現(xiàn)了：在XYZ中，證明sinX+sinY+sinZ=4cosX2cosY2cosZ2這類例題，也出現(xiàn)了：化簡(jiǎn)
sinπ9cosπ9+cosπ3+cos5π9+cos7π9這類習(xí)題.人教A版《必修4》給出了例題： 證明（1）sinαcosβ=12sin（α+β）+sin（α-β）；（2）sinθ+sinφ=2sinθ+φ2cosθ-φ2.這是積化和差與和差化積兩個(gè)公式，其他6個(gè)公式的證明放在習(xí)題中，但教材沒(méi)有配套與這8個(gè)公式相應(yīng)的練習(xí)題.
三角方程內(nèi)容在《必修4B》和《微積分1》中都出現(xiàn)過(guò)，由于沒(méi)有編排反三角函數(shù)的知識(shí)，三角方程都是比較簡(jiǎn)單的，若不是特殊函數(shù)值就需查三角函數(shù)值表來(lái)解決.《微積分1》在《必修4B》的基礎(chǔ)上，介紹了y=cotx、y=cscθ、y=secx的圖像、周期性以及定義域與值域，但沒(méi)介紹這些函數(shù)的單調(diào)性.人教A版《必修4》介紹了正弦、余弦、正切三個(gè)函數(shù)的單調(diào)性，并介紹了三角函數(shù)更一般形式的單調(diào)性的求法.恒等式證明在《必修4B》與《微e分1》中都有涉及.《必修4B》的恒等式證明大多利用誘導(dǎo)公式完成，難度較小；因《微積分1》介紹過(guò)積化和差與和差化積公式，所以《微積分1》中給出的恒等式證明題，若從難度上講，大多比人教A版《必修4》中的恒等式證明題難度要大.
3 知識(shí)的呈現(xiàn)模式與嚴(yán)格性水平
3.1 章首與章尾的內(nèi)容與結(jié)構(gòu)
《必修4B》與《微積分1》呈現(xiàn)的三角內(nèi)容共有4章.每章章首都標(biāo)明了學(xué)習(xí)重點(diǎn)，并給出與本章內(nèi)容密切相關(guān)的一個(gè)生活中的實(shí)際例子，起提綱摯領(lǐng)及導(dǎo)入新知識(shí)的作用；每章章尾附有本章摘要，起歸納總結(jié)的作用.以《微積分1》的第5章“續(xù)三角函數(shù)（二）”為例，章首標(biāo)明的學(xué)習(xí)重點(diǎn)有3點(diǎn)；生活中的實(shí)際例子是“聲波之總和”：在大自然中，聲波之傳播可以用正弦函數(shù)表示.當(dāng)幾個(gè)聲波交疊r，只要把代表各聲音的波加起恚便可得出合波.對(duì)于兩個(gè)相同振幅的聲波W1和W2，其合波可寫成函數(shù)y=sinu+sinv.這樣就很自然地連接上和差化e公式.章末有重要詞匯與重要概念.重要詞匯有4條，均是中英文對(duì)照；重要概念包含19個(gè)重要公式.知識(shí)結(jié)構(gòu)完整，內(nèi)容前后呼應(yīng).
人教A版《必修4》每章章首有類似于導(dǎo)言的文字，章末有小結(jié).“導(dǎo)言”簡(jiǎn)明扼要，也起到了提綱摯領(lǐng)的作用.章末有小結(jié)，包含本章知識(shí)結(jié)構(gòu)及回顧與思考兩個(gè)方面.知識(shí)結(jié)構(gòu)一般用框圖形式呈現(xiàn)出來(lái)；回顧與思考有3點(diǎn)，回顧了本章的重要知識(shí)點(diǎn)，還提出了幾個(gè)相關(guān)的問(wèn)題，這對(duì)進(jìn)一步鞏固學(xué)生所學(xué)知識(shí)起到了較好的作用.
3.2 重要概念的引入與公式的推導(dǎo)
《必修4B》與《微積分1》在重要概念的引入上，一般是在舊知識(shí)的基礎(chǔ)上拓展到新知識(shí)，從特殊情形拓展到一般情形.比如任意角的三角比定義，《必修4B》先從銳角θ說(shuō)起，利用直角三角形寫出銳角θ的三角比，再定義一般角θ的三角比：將任意角θ放在坐標(biāo)平面上，設(shè)P（x，y）是角θ終邊上的任一點(diǎn)（異于角的頂點(diǎn)），定義sinθ=yr，cosθ=xr，tanθ=yxx≠0，其中r=x2+y2.這種引入重要概念的方法符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.人教A版《必修4》的做法是，設(shè)角θ的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P（x，y），于是sinθ=y，cosθ=x，定義表述很簡(jiǎn)潔.比較而言，《必修4B》比人教A版《必修4》在細(xì)節(jié)的處理上要到位一些.教材中比較清晰地討論了特殊角0°、90°、180°、270°和360°的三角比，利用數(shù)形結(jié)合的方法使基礎(chǔ)一般的學(xué)生能很好地理解與記憶.
在重要公式的推導(dǎo)上，《必修4B》與《微積分1》的做法與人教A版《必修4》有些不同.例如推導(dǎo)復(fù)角公式，《微積分1》先推導(dǎo)sin（A+B）的結(jié)論：設(shè)在OPQ中，過(guò)頂點(diǎn)O作ORPQ，R是垂足，并設(shè)∠POR=A，∠ROQ=B.利用POQ面積=POR面積+ROQ面積，證明了sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB.教材在此處提示了該公式對(duì)任意角也成立.因?yàn)榻茿與角B不是任意角，這樣的推導(dǎo)過(guò)程不夠嚴(yán)謹(jǐn).人教A版《必修4》第三章是先推導(dǎo)cos（α-β）的結(jié)論的，證明過(guò)程中設(shè)α、β是任意角，利用單位圓和向量的方法完成了證明.這樣證明難度稍大，但證明過(guò)程非常嚴(yán)謹(jǐn).
3.3 定理、法則與公式的嚴(yán)格性水平
嚴(yán)格性一般劃分為四個(gè)水平層次：水平1：直接給出理論，沒(méi)有任何解釋或證明；水平2：通過(guò)例子解釋理論；水平3：較為嚴(yán)格地解釋理論的正確性，但不進(jìn)行證明；水平4：嚴(yán)格地證明理論.
《必修4B》與《微積分1》兩本教材中，正弦的兩角和公式實(shí)際是由特例解釋的，算不上嚴(yán)格的證明，達(dá)到嚴(yán)格性水平2；誘導(dǎo)公式、海倫公式、正弦定理、余弦定理、弧長(zhǎng)公式、扇形面積公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式、正弦兩角差公式、余弦的兩角和與兩角差公式、正切的兩角和與兩角差公式、二倍角公式、積化和差公式、和差化積公式，均是通過(guò)嚴(yán)格證明得到的，達(dá)到了嚴(yán)格性水平4.
人教A版《必修4》中，與-α和π-α相關(guān)的誘導(dǎo)公式、正弦的兩角和與兩角差公式、正切的兩角和與兩角差公式、正弦與余弦的二倍角公式都是直接給出的，沒(méi)有嚴(yán)格證明，達(dá)到嚴(yán)格性水平1；與π2+α相關(guān)的誘導(dǎo)公式只給出了嚴(yán)格的解釋，并沒(méi)有證明，達(dá)到了嚴(yán)格性水平3；與π+α和π2-α相關(guān)的誘導(dǎo)公式、余弦的兩角和與兩角差公式均通過(guò)了嚴(yán)格的證明，達(dá)到了嚴(yán)格性水平4.
可見(jiàn)香港教材的嚴(yán)格性水平整體比較高.人教A版《必修4》的不少公式是直接給出，可能編者認(rèn)為這些公式的證明并不難，學(xué)生可以舉一反三自己完成.
4 例習(xí)題的設(shè)置及綜合性程度
4.1 例習(xí)題的設(shè)置比較
《必修4B》與《微積分1》的例習(xí)題編寫很有特色，層次分明，坡度合理.課內(nèi)有例題，大多深入淺出，展示不同的數(shù)學(xué)技巧.緊跟例題后面有即時(shí)練習(xí)，是些與例題一一對(duì)應(yīng)的題目，以鞏固學(xué)生的知識(shí)，有時(shí)后面還配有綜合性稍強(qiáng)的跟進(jìn)練習(xí)或課內(nèi)練習(xí).課后一般配有不少的練習(xí)題，按程度分為初階和進(jìn)階，并備有開(kāi)放式題目.每章末配有總復(fù)習(xí)題，按程度分為初階、進(jìn)階、多項(xiàng)選擇題及公開(kāi)試題目，并為能力較強(qiáng)的學(xué)生提供香港數(shù)學(xué)競(jìng)賽題目.總復(fù)習(xí)外還配有少量的數(shù)學(xué)探究題與IT活動(dòng)題.設(shè)置數(shù)學(xué)探究題的目的是透過(guò)富有趣味性的題目，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)解難題技巧，激發(fā)學(xué)生探索與研究的興趣；設(shè)置IT活動(dòng)題的目的是讓學(xué)生熟悉新技術(shù)的運(yùn)用，幫助學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的深度理解.
以《必修4B》的第10章“續(xù)三角”為例統(tǒng)計(jì)：例題19個(gè)，即時(shí)練習(xí)題19個(gè)，跟進(jìn)練習(xí)題15個(gè)，課堂練習(xí)題5個(gè).課外練習(xí)中，初階練習(xí)題53個(gè)，其中有4個(gè)開(kāi)放式練習(xí)題；進(jìn)階練習(xí)題48個(gè).本章總復(fù)習(xí)題中，初階練習(xí)題19個(gè)，其中有1個(gè)開(kāi)放式練習(xí)題；進(jìn)階練習(xí)題26個(gè)，多項(xiàng)選擇題14個(gè)，公開(kāi)試題目5個(gè)，香港競(jìng)賽題4個(gè)，數(shù)學(xué)探究問(wèn)題2個(gè)，IT活動(dòng)題目6個(gè).
對(duì)應(yīng)地對(duì)人教A版《必修4》第1章“三角函數(shù)”進(jìn)行統(tǒng)計(jì)：例題25個(gè)，課內(nèi)習(xí)題58個(gè)，課外練習(xí)A組題61個(gè)，B組題15個(gè)，探究題7個(gè)，IT活動(dòng)題目1個(gè).由此可見(jiàn)，人教A版《必修4》課內(nèi)練習(xí)還是做的很扎實(shí).課外練習(xí)共76個(gè)題，比《必修4B》的第10章“續(xù)三角”課外練習(xí)159個(gè)少了83個(gè).
4.2 例習(xí)題的綜合性程度
例習(xí)題的綜合性分為四種類型：類型1：與三角領(lǐng)域內(nèi)其他知識(shí)的綜合；類型2：與數(shù)學(xué)其他領(lǐng)域內(nèi)知識(shí)的綜合；類型3：與其他學(xué)科知識(shí)的綜合；類型4：與具有實(shí)際生活背景的問(wèn)題綜合.
仍以《必修4B》的第10章“續(xù)三角”為例，根據(jù)上述綜合性的分類標(biāo)準(zhǔn)來(lái)統(tǒng)計(jì)：例題中屬類型1有14個(gè)，類型2有2個(gè)，類型3有2個(gè)，類型4有1個(gè)；習(xí)題中屬類型1有159個(gè)，類型2有30個(gè)，類型3有14個(gè)，類型4有12個(gè).由此可見(jiàn)，《必修4B》的第10章“續(xù)三角”中的例習(xí)題，主要體現(xiàn)了三角知識(shí)在三角領(lǐng)域內(nèi)的運(yùn)用，突出對(duì)三角知識(shí)的理解與掌握，同時(shí)也兼顧到數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)各分支知識(shí)的聯(lián)系，以及三角知識(shí)在其他學(xué)科上的綜合應(yīng)用.
人教A版《必修4》第1章“三角函數(shù)”中，例題中屬于類型1的18個(gè)，類型2的3個(gè)，類型3的2個(gè)，類型4的4個(gè)；習(xí)題中屬類型1的61個(gè)，類型2的3個(gè)，類型3的2個(gè)，類型4的6個(gè).可見(jiàn)，人教A版《必修4》主要關(guān)注學(xué)生對(duì)三角基礎(chǔ)知識(shí)的理解和掌握，也注重三角知識(shí)在實(shí)際生活中的應(yīng)用.
5 啟示
5.1 香港教材內(nèi)容豐富詳實(shí)、系統(tǒng)性較強(qiáng)
相對(duì)于英國(guó)和美國(guó)的三角函數(shù)教材，香港教材少了反三角函數(shù)內(nèi)容.但相對(duì)于人教A版《必修4》，香港教材多了簡(jiǎn)單的三角方程、海倫公式、余切函數(shù)、正割函數(shù)、余割函數(shù)等.人教A版《必修4》雖然也出現(xiàn)過(guò)積化和差與和差化積8個(gè)公式，但因這8個(gè)公式只出現(xiàn)在例題和習(xí)題中，教材并沒(méi)有把它們當(dāng)公式用，也沒(méi)有編排相應(yīng)的鞏固練習(xí)題，加之高考又不考，所以，這8個(gè)公式學(xué)生學(xué)了等于沒(méi)學(xué)，在學(xué)生的知識(shí)鏈上沒(méi)有留下多少記憶的痕跡.這樣看，其實(shí)香港教材還多了積化和差與和差化積公式.我們常將三角學(xué)劃分為“三角函數(shù)與方程”、“三角恒等變換”和“三角學(xué)的應(yīng)用”.相對(duì)于這種劃分，香港三角函數(shù)教材內(nèi)容是完整的、豐富詳實(shí)的，系統(tǒng)性較強(qiáng).人教A版《必修4》相對(duì)于香港教材和2003年前的大陸舊教材，刪減內(nèi)容過(guò)多.沒(méi)有了簡(jiǎn)單的三角方程，學(xué)生連已知三角函數(shù)值求角都不會(huì)做，因而連一些簡(jiǎn)單的三角函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題也處理不了；不學(xué)積化和差與和差化積公式，若有稍微綜合一點(diǎn)的三角恒等變形或證明問(wèn)題，W生是沒(méi)辦法處理的.我們新的課程標(biāo)準(zhǔn)和新教材編寫，要借鑒香港教材對(duì)三角函數(shù)內(nèi)容的取舍方法.
5.2 關(guān)注三角函數(shù)知識(shí)與大學(xué)數(shù)學(xué)的銜接
我們都知道，無(wú)論是大學(xué)文科數(shù)學(xué)或理工科數(shù)學(xué)，在學(xué)習(xí)微積分內(nèi)容時(shí)，都會(huì)學(xué)習(xí)求函數(shù)的定義域、值域、極限、微分、積分等知識(shí)，都會(huì)用到6個(gè)三角函數(shù)和4個(gè)反三角函數(shù)的知識(shí)及恒等變換技巧.從2003年開(kāi)始，雖然高校出版的大學(xué)微積分教材多少會(huì)參照高中的課程標(biāo)準(zhǔn)，但是很少能找到銜接好高中知識(shí)的大學(xué)教材，因此大多數(shù)微積分教材得不到大一與大二學(xué)生的認(rèn)可.由于高校的錄取數(shù)量逐年增加，參加高考的學(xué)生75%以上都能被不同層次的各類大學(xué)錄取，因此，不少二本或三本大學(xué)新生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)并不算好，也不具備自學(xué)高中三角函數(shù)知識(shí)的能力；加之大學(xué)沒(méi)有安排時(shí)間補(bǔ)習(xí)那些被弱化和被刪減的知識(shí)，這樣，相當(dāng)一部分學(xué)生學(xué)學(xué)微積分很吃力，甚至不及格.參考英美各國(guó)教材和香港的教材，我們要樹(shù)立長(zhǎng)遠(yuǎn)的課程和教材理念，不要過(guò)度弱化或刪減高中三角函數(shù)核心內(nèi)容，為使學(xué)生學(xué)好大學(xué)微積分，高中應(yīng)為他們打好相應(yīng)的基礎(chǔ).
5.3 進(jìn)一步凸顯習(xí)題設(shè)置的層次性
習(xí)題既是知識(shí)的應(yīng)用，又是知識(shí)和能力的再生.從上文研究可以看出，香港教材在習(xí)題設(shè)置上很有創(chuàng)意，內(nèi)容豐富、層次感強(qiáng).這種細(xì)化分層具有一定的彈性，照顧到了不同基礎(chǔ)學(xué)生的意愿，讓他們有很大余地去選擇課內(nèi)與課外的練習(xí)題；同時(shí)，這種細(xì)化分層使習(xí)題具有很好的坡度，知識(shí)點(diǎn)要求從單一到綜合，技巧要求從易到難，容易使學(xué)生達(dá)到鞏固和提高的目的.而且書中還附有答案，學(xué)生在練習(xí)過(guò)程中可以得到及時(shí)反饋，便于學(xué)生自學(xué).我們的教材中習(xí)題分層簡(jiǎn)單，習(xí)題量小，因此學(xué)生的選擇余地就小.不少老師為了彌補(bǔ)這一缺陷，就組織學(xué)生去找書商購(gòu)買課外參考資料.經(jīng)常因這些參考資料的質(zhì)量參差不齊，影響了學(xué)生的課外學(xué)習(xí).我們的教材編寫者應(yīng)該向香港的同行學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)他們對(duì)習(xí)題設(shè)置的理念與方法，能使我們的教材進(jìn)一步凸顯習(xí)題的層次性，發(fā)揮習(xí)題應(yīng)有的功能和價(jià)值.
參考文獻(xiàn)
