時間：2022-08-26 00:01:32
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇一元一次方程教案，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
教學目的
1．使學生會進行簡單的公式變形。
教學分析
重點：含字母系數的一元一次方程的解法。
難點：含字母系數的一元一次方程的解法及公式變形。
教學過程
一、復習
1．試述一元一次方程的意義及解一元一次方程的步驟。
2．什么叫分式？分式有意義的條件是什么？
二、新授
1．公式變形
引例：汽車的行駛速度是v（千米/小時），行駛的時間是t（小時），那么汽車行駛的路程s（千米）可用公式
s=vt①
來計算。
有時已知行駛的路程s與行駛的速度v（v≠0），要求行駛的時間t。因為v≠0，所以
t=。②
這就是已知行駛的路程和速度，求行駛的時間的公式。
類似地，如果已知s，t（t≠0），求v，可以得到
v=。③
公式②，③有時也可分別寫成t=sv-1；v=st-1。
以上的公式①，②，③都表示路程s，時間t，速度v之間的關系。當v、t都不等于零時，可以把公式①變換成公式②或③。
像上面這樣，把一個公式從一種形式變換成另一種形式，叫做公式變形，公式變形往往就是解含有字母系數的方程。
例3在v=v0+at中，已知v、v0、a且a≠0。求t。
解：移項，得v-v0=at。
因為a≠0，方程兩邊都除以a，得。
例4在梯形面積公式S=中，已知S、b、h且h≠0，求a。
解：去分母，得2S=（a+b）h，ah=2S-bh
因為h≠0，議程兩邊都除以h，得
。
三、練習
P92中練習1，2，3。
四、小結
公式變形的實質是解含字母系數的方程，要求的字母是未知數，其余的字母均是字母已知數。如例3就是把v、v0、a當作字母已知數，把t當作未知數，解關于t的方程。
五、作業作業：P93中習題9.5A組7，8，9。
另：需要注意的幾個問題
一、素質教育目標
（一）知識教學點
會列二元一次方程組解簡單的應用題，并能檢查結果是否正確、合理．，全國公務員共同天地
（二）能力訓練點
培養學生分析問題、解決問題的能力．
（三）德育滲透點
1．體會代數方法的優越性．
2．向學生進一步滲透把未知轉化為已知的思想．
3．向學生進行理論聯系實際的教育．
（四）美育滲透點
學習列方程組解應用題時，若能在錯綜復雜的關系中抓住問題的關鍵，就能迅速通過相等求解，從而滲透解題的簡捷性的數學美，以及解題的奇異美．
二、學法引導
1．教學方法：嘗試指導法、觀察法、講練結合法．
2．學生學法：本節主要學習列二元一次方程組和三元一次方程組解應用題的方法，尤其重點要掌握列出二元一次方程組解應用題，其分析方法和解題步驟都與前面學過的列一元一次方程解應用題類似，可在學習中進行類比從而加強理解．
三、重點·難點·疑點及解決辦法
（一）重點與難點
根據簡單應用題的題意列出二元一次方程組．
（二）疑點
正確找出表示應用題全部含義的兩個相等關系，并把它們表示成兩個方程．
（三）解決辦法
通過反復讀題、審題，分析出題目中存在的兩個相等關系是列方程組的關鍵．
四、課時安排
一課時．
五、教學具學具準備
投影儀、自制膠片．
六、師生互動活動設計
1．通過提問，復習列一元一次方程解應用題的步驟，尤其相等關系的尋找問題．
2．師生共同探索新知識—列二元一次方程組解應用題的一般步驟．
3．通過反饋練習，檢查學生掌握知識的情況，以便有針對性地進行差漏補缺．
七、教學步驟
（一）明確目標
本節課主要學習列二元一次方程組解應用題．
（二）整體感知
列二元一次方程組解應用題的關鍵在于通過準確的審題迅速尋找出兩個正確的相等關系來列二元一次方程組．
（三）教學過程
1．創設情境、導入新課
（1）根據下列條件設適當的未知數，列出二元一次方程．
①甲、乙兩數的和是10．
②甲地的人數比乙地的人數的2倍還多70．
③買4支鉛筆、3支圓珠筆共花了1.6元．
（2）甲、乙兩工人師傅制作某種工件，每天共制作12件．已知甲每天比乙多制作2件，求甲、乙每人每天可制作幾件？
①列出一元一次方程和二元一次方程組解題．
②比較一下，兩種方法得到的結果是否相同？是列一元一次方程容易，還是列二元一次方程組容易？
學生活動：第（1）題口答，第（2）題在練習本上完成．
【教法說明】第（1）題為根據相等關系列二元一次方程打下了基礎；第（2）題通過兩種解法的比較，讓學生體會列方程組的優越性，這樣引入課題，可以引起學生學習新知識的興趣．
2．探索新知，講授新課
例1小華買了80分與2元的郵票共16枚，共花了18元8角，80分與2元的郵票各買了多少枚？
分析：（1）題中有幾個未知數？分別是什么？
（2）題中有幾個相等關系？分別是什么？
學生活動：觀察、分析后回答．，全國公務員共同天地
未知數：80分郵票枚數與2元的郵票枚數．
相等關系（1）80分郵票枚數＋2元郵票枚數＝總枚數．
（2）80分郵票總價＋2元郵票總價＝全部郵票總價．
學生活動：設未知數、根據相等關系列方程．
解：設共買枚80分郵票，枚2元郵票，根據題意得
解這個方程組，得
答：80分郵票買了11枚，2元郵票買了5枚．
強調：（1）選定幾個未知數，根據問題中的條件找幾個相等關系，這幾個相等關系正好表示了應用題的全部含義．
（2）列方程組解應用題時，解方程組過程在練習本上完成．
（3）得到結果后，要檢驗是不是原方程組的解，是不是符合應用題的實際意義，然后再寫答句．
反饋練習：P351，2．（只列不解）
例2小蘭在玩具工廠勞動，做4個小狗、7個小汽車用去3小時42分；做5個小狗、6個小汽車用去3小時37分．平均每1個小狗與1個汽車各用多少時間？
仿照剛才分析例1的方法，分析問題．
學生活動：擬題、自由提問，其他學生搶答．
教師根據學生的擬題板書．
兩個未知數：平均做1個小狗的時間與1個小汽車的時間
（1）做4個小狗的時間＋做7個小汽車的時間＝3時42分
（2）做5個小狗的時間＋做6個小汽車的時間＝3時37分
解題過程由學生完成，一個學生板演．
解：設平均做1個小狗用分，做1個小汽車有分，根據題意，得
解這個方程組，得
答：平均做一個小狗用17分，做1個小汽車用22分．
【教法說明】例2用擬題訓練的方法讓學生自己去嘗試分析問題，不但能活躍課堂氣氛，而且能促進學生積極思維，培養學生分析問題、解決問題的能力．
反饋練習：P353，4．
學生活動：口答、設未知數、列方程組．
3．變式訓練，培養能力
用白鐵皮做罐頭盒，每張鐵皮可制盒身16個或制盒底43個，一個盒身與兩個盒底配成一套罐頭盒，現有150張白鐵皮，用多少張制盒身、多少張制盒底，可以正好制成整套罐頭盒？
分析：此題的相等關系不明顯，應啟發學生認真思考，找到第二個相等關系．
相等關系：（1）制盒身鐵皮張數＋制盒底鐵皮張數＝150張．
（2）盒底總數＝2×盒身總數．
解：設用張鐵皮制盒身，張鐵皮制盒底，可以制成整套缺頭盒．根據題意，得
（四）總結、擴展
我們這節課學習了二元一次方程組的應用，你能簡單歸納出列二元一次方程組解應用題的步驟嗎？
學生發言后，老師適當補充、糾正．
八、布置作業
（一）必做題：P391，2，3．
（二）選做題：P41B組2．
（三）補充題：給定兩數5和3，編一道列出二元一次方程組求解的應用題，使得這個方程組的解就是給定的兩數．
參考答案
（一）1．到甲地130人，到乙地70人．
2．有28個隊參加籃球賽，20個隊參加排球賽．
3．長38㎝，寬16㎝．
（二）解：設一輛大車、一輛小車一次分別可運貨噸、噸，根據題意，得
解得
4×3＋2.5×5＝24.5（噸）
九、板書設計
投影幕
例1例2練習
關鍵詞：初中；數學；概念認知能力培養
引言：在傳統的初中數學教學中，對概念認知能力的把握是一個弱項。尤其是在應試教育的大環境下，對學生進行抽象的概念指導和深入闡述解讀是一個非常浪費時間的事情，比較耗費精力。而在考試中又很少有直接的對概念認知能力的考察，這就造成概念認知能力的教學一直不受重視。不過在初中進行概念認知能力培養對學生后續的學習深造有重要意義，在當前開展教學成果改革的環境下，對初中生開展更加切實有效的概念認知能力培養也就勢在必行。
一、初中概念認知能力培養面臨的幾個問題
1.初中生的抽象思維能力不強，理解不了
數學概念的抽象性是一個共性，也是影響初中生概念認知能力的關鍵問題。在小學階段接觸的數學概念都非常簡單，可以通過直觀的數學概念和教學案例演示來引導思維，引導學生理解。學生在小學沒有接觸過抽象的概念，而在初中，貿然接觸抽象性的概念，學生的思維觀念還沒有適應，不能從直觀學習中改換思路，就會遭遇抽象思維能力不強，理解緩慢，理解能力弱的問題，影響了概念認知能力培養的進度。
2.初中生的學習興趣不濃厚，主動性差
初中數學課堂普遍不受學生的歡迎，其主要原因在于學生的學習壓力、學習觀念、學習習慣尚未養成。在遭遇較為艱深難以理解的數學問題之后，學生的學習興趣更加被動、消極，上課不認真聽課，課后不注意復習，對數學概念的理解混亂，這種情況普遍存在。在初中數學課堂上，學生的學習動力嚴重不足，被動接受數學教育，影響了抽象概念的吸收理解，容易引起后續概念混亂和成績差等一系列消極問題。
3.教師對抽象概念的解讀能力不強，缺乏有效性
初中數學老師在教學方法上的單一和枯燥性問題較為突出，這導致在進行概念認知能力培養的過程中，對抽象的數學概念缺乏深入和有效的解讀，學生依然聽的云里霧里，不知所云。尤其是傳統的課堂上通過反復做題來提高數學成績的做法，有一定道理但并不全面。數學老師需要考慮更多新的嘗試來提高對抽象數學概念的解讀能力。
二、初中概念認知能力培養的幾個嘗試
1.培養學生的數學學習興趣與觀念
初中生普遍尚未接觸到嚴峻的就業形勢和升學考試的壓力，他們在進行數學學習的時候缺乏學習動力，對課堂規范也缺乏正確的認知。要做好概念認知能力的培養，首先需要學生對數學課堂有一個正確的認知，教師要注意灌輸一定的數學學習的壓力，灌輸關于數學概念認知重要性的內容，讓學生能夠在一定的緊迫感下積極主動的進行數學概念的學習，配合老師做好概念認知能力培養的嘗試。
讓學生建立對數學概念的研究興趣是初中學習興趣培養的重點。鑒于初中數學的概念眾多，不妨考慮以鼓勵學生了解各種數學概念的不同點為目標，在課堂教學和課下作業中加入關于數學概念比較分析的內容。比如一元一次方程和一元二次方程、有理數、合并同類項、平方差等，將近似的概念或相關性較強的概念進行比較分析，讓學生通過口述或回答試卷的形式了解其中的異同。
2.學生邏輯思維和聯想能力的訓練
抽象的數學概念認知能力培訓，需要以提高學生的聯想能力和邏輯思維能力為重點。比如二元一次方程組的解題過程，每一個“元”的概念，每一個解題的思路和步驟，每一個步驟之中的邏輯思維都需要在課堂上進行深入的講解。考慮到學生的主動思維能力的培養，不妨在老師講解一遍之后，讓學生自己深入的解析一遍，以解題的形式羅列出來。
對于聯想能力的培養，也是可以遵循這樣的思路。比如一元一次方程和一元二次方程，他們之間存在邏輯等方面的聯系。那就可以通過講解一元一次方程的解題過程來引導學生聯想一元二次方程的解題過程。通過互相關聯的方式來提高學生對兩種或多種概念的理解。
3.教師的教學觀念要大膽、創新，有所突破
傳統的初中數學教學普遍較為死板，僅限于同專業老師之間的一些探討或者對教案中教學方法的照搬照抄。其實，對初中數學概念認知能力培養的方式要最大限度的突破傳統思路的局限，可以考慮找一些初中數學速成培訓教材做參考，也可以通過網絡找一些數學高效課堂或我國知名學校的初中數學教學方法來做參考。隨著目前初中學校多媒體教學系統的普及，通過多媒體來進行更加多樣的培訓成為一種新的嘗試。不妨通過多媒體設備將國內外一些先進的數學概念認知能力培訓課程的相關資料比如圖片、視頻、音頻文件等應用到實際教學中，讓學生更加直觀的了解各種數學概念。
三、總結
在初中數學中進行數學概念認知能力的培養是一個新的嘗試，有很多問題需要解決。這就要求數學老師盡量突破原有的教學理念，嘗試新的方法，針對性的解決數學概念認知培訓中存在的問題，這樣才能促進學生對數學概念認知能力的提高。
參考文獻：
[1] 伍春蘭，吳京濤，王靜偉. 北京市初中生數學學習情況的調查與分析[J]. 北京教育學院學報（自然科學版）. 2008（01）
關鍵詞： 初中數學 培優 教學策略 教學案例
數學不僅是一門必修的基礎課，更是學生學習其他科目、發展各項能力的工具，學生只有學好了數學才能學好其他科目，實現自身的全面發展。學生在初中數學學習中，知識面得到快速拓展，對學生的邏輯能力、抽象能力提出更高的要求。學習難度的加大會使學生出現兩極分化的情況，教師為提高班級的平均成績只能在課堂上講授中等難度的知識，學習能力強的學生往往無法得到更好的發展。因此，教師應當采取適當的策略進行班級培優工作，為優秀學生提供更好、更多的發展機會。
一、數學培優現狀及問題分析
（一）教師準備不夠充分，課堂教學效率較低。
在應試觀的影響下，教師將滿足大多數學生的學習要求作為課堂目標，從而忽略對優秀學生的培養。雖然偶爾做一定的課堂拓展或者對某一方面的知識加以深入，但是缺乏一定的系統性和明確的目標、策略。優秀學生的余力難以使用、潛力得不到挖掘，學習欲望得不到滿足，因此課堂教學效率降低，學生的學習熱情逐漸淡化，不利于學生的全面發展。
（二）教學內容不適用。
優秀的學生往往擁有更開闊的思路和更強的邏輯性，因此數學培優的教學內容要基于教材更要高于教材。有些教師盲目地認為培優就是加大難度，因此往往教給學生一些與課本內容相關程度低但是難度高的內容。有的教師則受到教材的限制，沒有做出相應的拓展。學生學不會難度大的內容，學習積極性受到打擊，或者教學內容缺乏新意，易失去學習興趣。
（三）缺乏學習方法的教授。
優秀學生對基礎知識的掌握往往非常好，數學培優應當注重數學思想、數學方法的傳授，使學生產生解決數學問題的獨有的思想和策略，提高基礎知識的綜合運用能力。然而很多教師沒有認識到這一點，更多的是對學生采用灌輸式的教學方法和題海戰術。學生只能被動地接受和機械地使用，無法體會到運用數學解決問題的邏輯美和思想美，在數學方面難以取得較高的成就。
二、提高數學培優的方法策略
（一）利用知識遷移舉一反三。
知識遷移一般分為兩類：一種是運用后來的知識對前面的學習產生影響，另一種是運用前面所學的知識影響后面的學習，即為正遷移和負遷移。知識遷移是一種常用的教學方法，其能夠幫助學生整體地把握所學知識，將前后所學的知識建立聯系，進而形成知識系統，對解決問題提供更多更有效的方法。知識遷移主要通過相同題型的舉一反三實現。
例如在蘇教版八年級《一元一次不等式》的學習中，教師可以將七年級的《一元一次方程》引入課程教學中，通過方程式與不等式之間的聯系和運算方法的遷移進行教學。如教師先向學生呈現一元一次方程“3-x=2x+6”，要求學生一步一步地解方程，并且說一說每一步的原理或者規則（移項要變號、合并同類項、去括號等）。然后教師呈現一元一次不等式，要求學生說一說不等式和等式的區別，它們的運算規則是否相同？然后在帶領學生一同運用解決等式的運算規則解不等式。最后，將兩個式子的結果進行比較，觀察相同點和不同點。
數學作為一門基礎學科，其中所涵蓋的知識點非常廣，但是知識點之間的聯系非常緊密，可以說是環環相扣的。運用知識遷移可以使學生對數學知識產生新的發現，通過簡單理論的結合和交叉解決更復雜的問題，提高學生的整體思維能力。因此，在日常教學過程中，教師不僅要注意知識遷移的運用，而且要注意帶領學生對所學知識點進行總結歸納，更要建立知識系統。
（二）基于教材，高于教材的教學內容。
數學培優不是簡單基礎知識的強化，而是數學思想的傳輸和數學方法的教導，是基于基礎的拓展和延伸；數學培優不是無關知識的強硬灌輸，而是對教材內容的統籌把握，是對教學大綱的深化。因此，數學培優的教學內容應當做到基于教材，高于教材。
例如在教學完一元方程之后，教師可以向學生呈現此題進行拓展訓練：“如圖，在矩形ABCD中，AB=12，BC=24，點P從點A向點B以1/s的速度運動，同時，點Q從點B沿著BC以2/s的速度移動，問幾秒后三角形PBQ的面積等于8？”這個題目是一元一次方程與圖形面積計算的巧妙結合。學生不僅要使用到學習過的三角形面積求解公式，還要將此公式與方程思想相結合，找出相應的未知數，利用公式建立方程，這就使這個題目的解答有了一定的難度。
難度適宜的拓展題目能夠增強學生的自信心，使學生敢于嘗試和挑戰，不斷體驗到成功的喜悅，從而提高學習興趣。
（三）注意數學思想和數學方法的傳授。
“授之以魚，不如授之以漁”。只有將解決數學問題的思想和方法傳授給學生，學生才能有所新的發現和嘗試。教師在課堂教學中要注意數學思想和方法的總結和講授。例如教師可以在二次函數的教學中向學生介紹數形結合方法。如：已知二次函數y=ax+bx+c的圖像如圖所示，若關于x的方程ax+bx+c-k=0有兩個不相等的實數根，求k的取值范圍。如果使用b-4ac解答問題，那么這道題就解不出來。但是，可以通過變形將原方程變為兩個方程：y=ax+bx+cy=k，則此題就變成兩個函數的交點問題。通過觀察圖像可以非常容易地判斷出只要y=k
三、結語
初中數學培優是初中數學教學的重要任務，教師應當及時更新教學觀念，豐富教學方法，針對學生的實際情況進行教案設計，使初中數學培優取得良好的效果。
參考文獻：
[關鍵詞]更新觀念；明確目標；分析引申
一、轉變觀念，調整教學策略
受片面追求升學率的影響，教學過程中有些教師有意無意地偏愛優生，對中等生關心不夠，致使中等生失去了學好數學的信心。鑒于此，我加強了對教育理論的學習，轉變了教學觀念，特別是“羅森塔爾”效應給了我很大啟示。我認識到，提高全體學生的數學學習質量，不僅要抓好優生，更要抓好中等生，要真心誠意地增加對中等生的情感投入，使他們感受到教師的誠心和愛心，從而產生了學好數學的強烈愿望。
我過去上課多“滿堂灌”，學生聽得昏昏沉沉，教學效果不好。轉變觀念后，我注重發揮學生學習的主體作用，嘗試采用“自學、精講、勤練”的教學方法。先指導學生按提綱預習自學，把不懂的問題記下來；在巡視中收集學生自學中的問題，多關注有問題的學生，鼓勵他們大膽提出問題并自主解決問題；重點講解學生難以理解的知識點；把部分課外作業改為當堂練習，及時發現學生學習中存在的問題并解決問題。這種與學生近距離的接觸，使教與學能夠保持同步，也使學生掌握了學習數學的方法，增強了學習信心，從而提高了課堂學習效果。
二、明確教學目標，加強基本概念教學
教學目標是教學活動的指針，課堂教學活動是圍繞教學目標展開的，所以針對教材的知識點、重點、難點和中等生的實際水平，恰當地制定教學目標是教學中十分重要的一環。教案的設計要圍繞目標，不能過高或過低。如教學簡單二元一次方程組的解法時，我先出示教學目標“掌握轉化的數學思想，能夠把兩個二元一次方程組成的方程組轉化為一個一元一次方程”，使學生心中有數，而后讓學生解答兩個已學過的兩個一元一次方程3（y+3）-8y=14和3x+2(2x-3)=8，并說明他們的解題思路，最后，教師提出兩個方程組 和 完成轉化。
課堂教學中，教師要兼顧到中等生的認知發展規律和心理活動規律，這部分學生上課注意力易分散，較難掌握抽象的知識，因此教學必須具體化、直觀化。我在概念教學中盡量聯系生活實際，把枯燥的概念形象化、趣味化。新課導入時，根據不同課型的內容采用發現法、聯想法、類比法、懸念法、問題法、游戲法、故事法等，把學生的思維引導到教學氛圍中。如三角形的穩定性教學，我出示了準備好的四邊形，然后將其折成三角形，以此來揭示三角形的穩定性，在我的啟發下，學生聯想到很多生活中的實例，這樣就很容易掌握這一概念。又如教學函數概念時，我是這樣導入的：我今天早晨上街買青菜，0.5元一斤，買了4斤，問花了多少錢？如果買6.5斤，買x斤呢？學生能一一回答。我告訴學生，你別怕函數，“函”就是“隱含”，如果把買x斤花的錢設為y元，那么能得到怎樣的等式？學生回答：y=0.5x。我又問：花錢的多少怎樣變化的呢？在學生弄清楚是隨買菜的多少而變化，即y隨x的變化而變化后，我再引入書上的概念：在某一變化過程中，兩個變量x、y，對于x的每一個值，y都有唯一的值和它對應，y就是x的函數；這種關系式是y=f(x),x是自變量，y叫因變量。這樣的教學設計能使中等生輕松掌握概念，取得良好的課堂教學效果。
三、注意問題的分析引申，培養思維能力
解題過程可分為分析題意、探尋解題方法、實施解題方案、驗證答案等步驟。中等生沒有良好的審題習慣和技能，容易出現因性格浮躁、審題不嚴而“漏題”，因意志薄弱、心慌意亂而“怯題”，因情緒激動、轉換印象而“走題”。我在教學中注意培養中等生分析問題的能力。如列方程解應用題時，引導學生列出提綱，找出已知條件、未知條件、隱含條件以及已知和未知的關系（等量關系），培養學生的審題能力。又如解題“已知ABC中AB=10, BC=5, AC=8，求ABC的內切圓半徑R”時，我啟發學生聯想已做過的類似題目“已知RtABC中斜邊AB=5，BC=3,求RtABC內切圓半徑R”，該題的解法為連接圓心與切點，易得R=（AC+BC-AB）/2=（4+3-5）/2=1。這種解法中，直角三角形面積為兩直角邊乘積的一半，那么能否利用內切圓半徑表示直角三角形的面積呢？通過這樣的引導，中等生就能利用等積法求出斜三角形內切圓的半徑。
一、素質教育目標
（一）知識教學點：
1．熟練運用判別式判別一元二次方程根的情況．
2．學會運用判別式求符合題意的字母的取值范圍和進行有關的證明．
（二）能力訓練點：
1．培養學生思維的嚴密性，邏輯性和靈活性．
2．培養學生的推理論證能力．
（三）德育滲透點：通過例題教學，滲透分類的思想．
二、教學重點、難點、疑點及解決方法
1．教學重點：運用判別式求出符合題意的字母的取值范圍．
2．教學難點：教科書上的黑體字“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），當＞0時，有兩個不相等的實數根；當=0時，有兩個相等的實數根；當＜0時，沒有實數根”可看作一個定理，書上的“反過來也成立”，實際上是指它的逆命題也成立．對此的正確理解是本節課的難點．可以把這個逆命題作為逆定理．
三、教學步驟
（一）明確目標
上節課學習了一元二次方程根的判別式，得出結論：“一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），當＞0時，有兩個不相等的實數根；當=0時，有兩個相等的實數根；當＜0時，沒有實數根．”這個結論可以看作是一個定理．在這個判別方法中，包含了所有各種情況，所以反過來也成立，也就是說上述結論的逆命題是成立的，可作為定理用．本節課的目標就是利用其逆定理，求符合題意的字母的取值范圍，以及進行有關的證明．
（二）整體感知
本節課是上節課的延續和深化，主要是在“明確目標”中所提的逆定理的應用．通過本節課的內容的學習，更加深刻體會到“定理”與“逆定理”的靈活應用．不但不求根就可以知道根的情況，而且知道根的情況，還可以確定待定的未知數系數的取值，本節課內容對學生嚴密的邏輯思維及思維全面性進行恰如其分的訓練．
（三）重點、難點的學習及目標完成過程
1．復習提問
（1）一元二次方程的一般形式？說出二次項系數，一次項系數及常數項．
（2）一元二次方程的根的判別式是什么？用它怎樣判別根的情況？
2．將復習提問中的問題（2）的正確答案板書，反之，即此命題的逆命題也成立，即“一元二次方程ax2+bx+c＝0，如果方程有兩個不相等的實數根，則＞0；如果方程有兩個相等的實數根，則=0；如果方程沒有實數根，則＜0．”即根據方程的根的情況，可以決定值的符號，‘’的符號，可以確定待定的字母的取值范圍．請看下面的例題：
例1已知關于x的方程2x2-（4k+1）x+2k2-1＝0，k取什么值時
（1）方程有兩個不相等的實數根；
（2）方程有兩個相等的實數根；
（1）方程無實數根．
解：a＝2，b＝-4k-1，c＝2k2-1，
b2-4ac＝（-4k-1）2-4×2×（2k2-1）
＝8k+9．
方程有兩個不相等的實數根．
方程有兩個相等的實數根．
方程無實數根．
本題應先算出“”的值，再進行判別．注意書寫步驟的簡練清楚．
練習1．已知關于x的方程x2＋（2t＋1）x＋（t-2）2＝0．
t取什么值時，（1）方程有兩個不相等的實數根？（2）方程有兩個相等的實數根？（3）方程沒有實數根？
學生模仿例題步驟板書、筆答、體會．
教師評價，糾正不精練的步驟．
假設二項系數不是2，也不是1，而是k，還需考慮什么呢？如何作答？
練習2．已知：關于x的一元二次方程：
kx2+2（k+1）x+k=0有兩個實數根，求k的取值范圍．
和學生一起審題（1）“關于x的一元二次方程”應考慮到k≠0．（2）“方程有兩個實數根”應是有兩個相等的實數根或有兩個不相等的實數根，可得到≥0．由k≠0且≥0確定k的取值范圍．
解：＝[2（k＋1）]2-4k2＝8k＋4．
原方程有兩個實數根．
學生板書、筆答，教師點撥、評價．
例求證：方程（m2＋1）x2-2mx＋（m2＋4）＝0沒有實數根．
分析：將算出，論證＜0即可得證．
證明：＝（-2m）2-4（m2+1）（m2+4）
＝4m2-4m4-20m2-16
＝-4（m4＋4m2＋4）
＝-4（m2＋2）2．
不論m為任何實數，（m2＋2）2＞0．
-4（m2＋2）2＜0，即＜0．
（m2＋1）x2-2mx＋（m2-4）＝0，沒有實根．
本題結論論證的依據是“當＜0，方程無實數根”，在論證＜0時，先將恒等變形，得到判斷．一般情況都是配方后變形為：a2，a2＋2，（a2＋2）2，-a2，-（a2＋2）2，-（a＋2）2，……從而得到判斷．
本題是一道代數證明題，和幾何類似，一定要做到步步有據，推理嚴謹．
此種題型的步驟可歸納如下：
（1）計算；（2）用配方法將恒等變形；
（3）判斷的符號；（4）結論．
練習：證明（x-1）（x-2）=k2有兩個不相等的實數根．
提示：將括號打開，整理成一般形式．
學生板書、筆答、評價、教師點撥．
（四）總結、擴展
1．本節課的主要內容是教科書上黑體字的應用，求符合題意的字母的取值范圍以及進行有關的證明．須注意以下幾點：
（1）要用b2-4ac，要特別注意二次項系數不為零這一條件．
（2）認真審題，嚴格區分條件和結論，譬如是已知＞0，還是要證明＞0．
（3）要證明≥0或＜0，需將恒等變形為a2＋2，-（a＋2）2……從而得到判斷．
2．提高分析問題、解決問題的能力，提高推理嚴密性和思維全面性的能力．
四、布置作業
1．教材P．29中B1，2，3．
2．當方程x2+2（a+1）x+a2+4a-5=0有實數根時，求a的正整數解．
（2、3學有余力的學生做．）
五、板書設計
12．3一元二次方程根的判別式（二）
一、判別式的意義：……三、例1……四、例2……
=b2-4ac…………
二、方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
（1）當＞0，……練習1……練習2……
（2）當＝0，……
（3）當＜0，……
反之也成立．
六、作業參考答案
方程沒有實數根．
B3．證明：＝（2k＋1）2－4（k－1）＝4k2＋5
當k無論取何實數，4k2≥0，則4k2＋5＞0
＞0
方程x2+（2k+1）x+k-1=0有兩個不相等的實數根．
2．解：方程有實根，
＝[2（a＋1）]-4（a2＋4a-5）≥0
即：a≤3，a的正整數解為1，2，3
當a＝1，2，3時，方程x2＋2（a＋1）x＋a2＋4a-5＝0有實根．
3．分析：“方程”是一元一次方程，還是一元二次方程，需分情況討論：
（2）當2m-1≠0時，
【關鍵詞】初中數學；分層教學；有效性；運用
一、前言
對于初中學生來說，13～16歲的年紀是求知欲和思維最活躍的階段，學好初中知識，可以為高中打下好基礎.而數學作為一門邏輯性極強的學科，對未來生活中的各方面發揮著重要作用.但值得提出的是，和小學數學相比，初中數學更加抽象、理論性強、難度大，學生需要投入更多的精力更多的時間才能學好.面對這樣一門如此復雜的學科，不同的學生投入學習的時間精力不同，獲取的知識量也不同，所以每名學生的數學水平也不同.筆者從事中學數學教學多年，根據前人提供的教學方法結合自身的教學經驗，總結出了分層教學在初中數學教學中的有效運用.
所謂分層教學，最先開始于20世紀初美國，后來流行于歐美中學，到了20世紀80年代開始被引進中國，并逐漸普及開來.分層教學至今沒有統一的定義，但各國對它的解釋統歸為“教師根據學生的不同學習水平，采用不同方法進行任教的一種教學方式”.新一輪課程改革下要求教師注重學生的個性化差異化發展，而分層教學推廣的本意就在于根據學生的差異化學習水平使用不同的教學方法，以讓學生在學習方面得到相應的提高.從這來看，分層教學順應了時代潮流，符合新課改下的教學要求.
分層教學最初使用的模式是分班授課，隨著時間的推移和實踐經驗的積累，后人又提出了知識分層教學模式和分組分層教學模式，筆者就個人經驗，圍繞分班分層、知識分層、分組分層教學模式這三個方面，簡要分析其在初中數學教學中發揮的效用.
二、分層教學在初中數學課堂上的有效運用
（一）班級分層教學能針對性提高學生數學水平
上面已述分詠萄ё畛踉諉攔課堂上使用，當時采用的分層教學模式是將不同學習程度的學生進行分班授課.分班作為最原始的分層教學模式，即使在發展的過程中被發現了種種弊端（比如因分班導致學生自卑，分班導致學生父母反對等弊端），但今人在取其精華去其糟粕之后，順應時代不斷更新改善，班級分層教學模式依然適用.班級分層教學模式簡單來說就是分班，根據不同學習水平層，不同接受能力層的學生進行A、B、C、D班級分布，教師根據每一個班級的能力水平，制訂不同的教學方案.分班的一個有益之處在于，它根據每個班級學生的現有知識水平，制訂合理的授課方案，以讓學生都能接受聽懂知識.比如在初二上學期開學之時，學校根據任課教師提交上來的每名學生的學習水平，根據學生的學習水平高低將學生分成A、B、C、D班級，教師在任課時，對于學習能力較強的班級，可稍微加快講課進度，添加課外知識豐富學生知識面；對于學習能力較弱的班級，教師可以放慢講課速度，在備課教案上添加更多的例子，以讓學生記憶深刻.
如在初二上冊《數學》第十四章14.1節“變量與函數”中，這一章節作為重點內容，教師在準備教案時就需要格外注重.在給接受能力水平較高的班級上課時，學生接受知識能力快，消化知識的能力也快，教師可以減少例子的講解，注重理論知識的落實，在課本知識已經講授完結的情況下，給學生科普課外知識，增加學生的知識面.或者讓學生提前預習下一節課的內容，提前自主學習.而在給接受水平較低的班級授課時，教師應將學案設計得簡單易懂，更加地詳細解釋，增加講解變量和函數的例子，以讓學生明白什么叫變量，什么叫常量，通過反復提醒訓練，加深學生的記憶力.
（二）知識分層教學能由淺至深地豐富學生數學知識
分班是分層教學最初提出的一個教學模式，分層教學在后期發展中，又衍生出了知識分層教學模式.所謂知識分層教學模式，它不需要按照學生的知識水平能力的高低和接受知識能力的高低去進行分班，而是將所授課本知識內容進行由淺入深的劃分，給學生授課時亦選擇由淺入深地授課，以逐漸填補、逐漸豐富學生的課本知識的一種教學方法.知識分層教學模式比較于分班分層教學模式，一個是對課本知識進行劃分，另一個是對學生進行劃分，前者減少了學生因為分班而產生的厭惡自卑心理，更降低了學生家長的抱怨投訴心理.比如教師在給學生講授初一上冊《數學》第一章“有理數”和第二章“整式的加減”之時，這兩章節是基礎章節，為后面的數學知識做鋪墊作用，內容比較簡單，教師可以加快進程，而在講述第三章“一元一次方程”之時，學生逐漸接受未知量，為后面的“兩元一次方程”做鋪墊，教師要詳細講述第三章節，便于為后面所學做鋪墊.等到教師在講述七年級下冊《數學》第八章的“二元一次方程”之時，教師可給學生回顧七年級上冊《數學》第三章節“一元一次方程”內容，先扎實學生的基礎知識，再進行對較難知識的講解推進.
由淺至深的教學方法除了被使用在授課過程中，在考試時教師也會讓學生先選擇簡單的問題再選擇有難度的問題進行答題，這樣的做法除了能讓學生在考試中拿到基礎分數，更是因為容易得分會讓學生產生自信心理，在回答難題時更加積極面對，保持冷靜心態.知識分層教學法也不外乎如此，由簡單到較難再到很難的授課方式給了學生一個緩沖帶，簡單帶來的成就感也會讓學生更加有信心積極地面對后面的難點知識.
（三）分組分層教學能全面綜合地提高全班學生數學水平
如果說上面提及的分班分層教學模式和知識分層教學模式是單一方向且早已被使用熟練的，那么分組分層教學模式是針對21世紀培養合作型人才提出的一種雙向教學模式.所謂分組分層教學模式，指的是不將學生分班級，統一對待學生，卻又差別化對待學生，將全班學生進行分組討論合作學習的一種教學模式.而它的雙向性體現在，學生通過教師授課可以獲取知識；學生通過學生之間的討論也可以獲取知識.在分組分層教學模式下，教師講授完一個知識點之后，將學生進行分組討論，小組成員之間可以分享自己收獲的知識，將不同的知識點提出來一起討論，組別之間也可以交流知識的難點、重點.通過分組分層教學模式，可以極大化地促進知識的傳播，極大化地照顧到每一位學生，更統一地提高全班學生的數學水平.比如教師在講授完七年級下冊《數學》第八章“二元一次方程”之后，將學生分組討論，讓組員之間自行解決個人的疑惑，不懂的地方可以跨組詢問，最后，由每個組提出最終的大家都認為不懂的難點知識，教師再根據各組提出的問題，進行講解.
分組分層教學模式更加地注重學生的合作交流能力.新課改下雖然要注重學生的個性化發展，但中國課堂往往是一位教師對幾十名學生的局面，在這樣的情況下，教師不可能兼顧到每一名學生，也沒有那么多時間精力解決每一名學生提出的問題，學生之間能夠合作交流，分享知識就尤為重要.分組分層教學模式不僅減輕了教師的負擔，更能培養學生的合作能力，除此之外，更能極大化地全面提高全班學生的數學水平，促進全班學生的數學水平平衡發展.
三、結語
分班分層教學模式、知識分層教學模式和分組分層教學模式是現今初中數學教學課堂上最為通用的三種教學模式，在前人積累的經驗和后人的完善改進下，這三個模式在初中數學教學中發揮著重大作用.而和分班、知識分層教學模式相比，分組教學模式更加地符合當代課堂，其能極大化地促進全班學生提高數學水平，更能培養學生的合作交流能力.除此，分組分層教學模式給學生提供了一個輕松活躍的課堂氛圍，學生通過合作討論思想的碰撞能產生新理論新觀點，有益于培養學生的創新思維能力.
【參考文獻】
[1]張衛華.“分層遞進”教學法在初中數學課堂教學中的嘗試[J].內江科技，2010（9）：208.
【關鍵詞】數學教學 教后記 探索 創新
在教師教案中，有一欄是寫“后記”，他越來越引起教育工作者的重視。由“教后記”引發的教研課題，成為教研教改的一個新的切入點，有力的推動了教學改革。現就以下幾點談談自己的看法，愿與大家商榷。
1 “教后記”是教學的反思
在每一節課前，教師教案中都確定了本課難點、重點，板書設計及教學方法等，但在上課前，并沒有得到有效的檢驗、實踐。我們只有通過具體的實踐、教學，才能對自己本課所設定的教學目標得到檢驗。一節課后，我們反思，才發現自己原先設計的各環節可能并不完美，甚至失敗。這就要求我們及時記錄下本節教學中的得與失、成功與不足，甚至幾經反復，又會發現新的問題，它促使我們不斷適應學生，吃透教材，盡力找到一種更佳的教學方略。
譬如，初一數學第一冊中“絕對值”是較抽象、較難理解的一個概念，我原以為只要弄清楚了絕對值定義，一切有關的問題就會迎刃而解。可在具體教學之后，發現問題并沒有那么簡單。當a>0，a
2 “教后記”是教訓
每一節課后，我們都有一種體會，當自己備好的教案，在課堂四十分鐘得到有效地實施，學生課堂氣氛活躍，順利完成教學任務時，教授者就渾身輕松，有一種如釋重負的感覺。但有時一節課下來，自己也有壓抑，沉悶的感覺，原因在哪？究其原因，很大程度上我們預先設置的教學思路和過程，可能在某環節出了問題，這正是教授者靜下心來面對“教后記”地時候，留下自己的教訓。例如，我在教授解一元一次方程“去分母”一課中，預先設置的例題，學生已經弄懂，但真正課堂練習的時候，效果并不理想，班上十幾個同學做的一塌糊涂。一堂課下來，自己隱隱有一種不爽快的感覺，面對“教后記”，自己留下了這樣的字跡“例題地講解應適當拓寬思路，增強做題的靈活性”。多么有益地教訓。
3 “教后記”是經驗
我們面對的總是接受能力參差不齊的學生，每一節課都有新內容。我們可能找不到最佳的教學方略，但可以做到更好。在教學中我們有時對某一定義或概念的闡述，并沒有按預定的教案進行，而是瞬間的靈機一動，采用了具有創新意識的新方法，而且效果更好，這就要求我們課外及時記錄下這來之不易的靈感。在今后的教學中，為自己積累更多經驗，爭取少走彎路。
引入不是獨立的教學環節。而應依據具體的教學內容，教學情緒而定，使學生感到有思考，有回答的必要性和緊迫感。激發學生的求知欲，因此引入的“巧”，應巧在具針對性、啟發性、趣味性、知識人性上，其基本做法有：
一、直觀引入，吸引注意
在學習多邊形內角和這一小節中，可開篇點題：談談如何鋪設地面磚？這是在住房裝修中會遇到的，也是學生們非常熟悉的問題，美麗的地磚鋪就出美麗的圖案，這些美麗的圖案揭示了什么數學原理？是否所有的同一形狀的多邊形地磚都能鋪成平整、無空隙的地面？問題提出，學生被深深吸引，但是口欲言而不能，心欲求而未通，學生們帶著疑惑，開始了思維、探索的學習過程。
二、遷移引入、突破新知
在講解不等式組解意義這節課時，首先讓學生們做一個當今世界上很流行的檢測學生創新能力與開放性思維的智力題，學生精神為之一振，一艘海輪上載著80頭羊，50頭牛，試問船長年齡。問題提出，老師遭到圍玫，幾乎所有學生懷疑題目的不完整性與不合理性，有回答80歲的，有回答50歲的，30歲的甚至有130歲的（很好笑，超級老船長！）顯然，學生在蠻橫無理地將牛、羊數據與船長年齡牽扯到一起，只有少數同學認為年齡與牛、羊數目無關，經提示后，根據實際經驗，船長年齡歸結三十歲至六十歲之間，這是一道打破常規的思維訓練題，該問題還是要回到課堂里來，年齡在三十到六十之間如何表示，這就涉及到了要講的不等式組解集的公共部分問題，這道測試題，既是一次對常規思維的挑戰，又起到了與新知識掛鉤的遷移作用。
三、類比引入，自解新知
上代數第一章用公式解決簡單實際問題這節前，教師可故意設疑，給學生布置一道家庭作業，問父母打聽自己出生時的身長以及測量現在的身高，現在的學生普遍強調以自我為中心，因此學生特別好奇。第二天帶著疑問走進課堂，老師發問，你們能否寫出用年齡a與身高h表示的公式？假設每年長高的尺寸相等，每個學生疑中生趣，認為與自己切切相關，動手操作，很快列出了公式，并且每個學生的具體數據不一樣，也體現了客觀世界的個體性，特殊性。很自然，對書上出售瓜子的售價的實例，同學們觸類旁通。這個引入，激發了學生動手嘗試，探究新知識的欲望與興趣，也培養了學生的歸納推理能力。 轉貼于
四、設疑上入，激發思維
學習數學的目的，在于能運用數學。在學習全等三角形的判定中，可這樣來引入，有一塊三角形玻璃打碎成如圖兩塊“ 1 11 ”照樣配一塊，是否兩塊都帶去？這一問題來源于生活，立即像磁鐵吸引了學生的注意力，學生議論紛紛，有說帶一塊去的，有的說兩塊都帶去。教師說：其實只需帶一塊，要么帶“Ⅰ”，要么帶“Ⅱ”？還是隨便帶哪一塊都行呢？這個問題再次引起學生的興趣與思考，學生的思維進入活躍狀態，再問：一個三角形有幾個元素？答：六個、三邊、三內角；問：帶去，帶走了原三角形的幾個元素？帶去，帶走幾個元素?這時學生思路被打開，全等三角形判定的意義和目的從教師的口中、教案中“搬到”學生的頭腦中去了，該問題突出了生活中的“數學”二字，讓學生用數學的眼光觀察事物；用數學的思維思考問題；用數學的方法解決問題，體驗到數學的價值與無窮魅力。
學習興趣是學習動機外化的表現，數學教師只有深入鉆研教材，在課堂中提出與教學內容有關的能引起學生好奇與思考的問題，造成懸念，才能使學生產生探索的欲望，在學習一元一次方程解應用題時，可設計這樣一個故事：小明放學路過一人家窗外，聽到屋內有人爭吵，一人說：“每人分500元，還多240元”；另一人說：“每人分600元，結果少360元……”，機靈的小明意識到這是一批強盜在分贓，他運用一元一次方程很快算出了盜賊人數與被盜現金，馬上報警并逮住了強盜。你知道小明是怎樣計算的嗎？很明顯該題不能再利用小學的列算式，必須采納新知識，故事緊貼教材，激發了學習動機。
在學習有理數的知識交換律與結合律一課中，也可用“高斯童年的故事”引入，講完后可問：如何快速算出1+2+3+……99+100？奧秘何在，同學們躍躍欲試，該故事為新課講授做了良好鋪墊；而且該問題解決后，一系列如等差數列的和的運算均可迎刃而解了。
六、游戲引入，激趣
關鍵詞：初中數學課改備課方法
古人云“兵馬未動，糧草先行"備課重要，不言而喻。如何備好數學課呢?對于這個問題，不得不值得我們每一位教師深思熟慮。老師不能再把課堂當演練陣容的戰場，要力求做教練，不做講師。法國教育學家曾說過2”21世紀最困難也是最有價值的事，是讓老師閉上他的 嘴要想出色地完成教師的角色，使學生形成技能，老師就必須吃透課程標準，認真備課，精心設計教學過程，備課這一環節是重要的。
備課，要明確教學目的、任務;把握教學內容重點、難點、課堂教學形式、內容結構等等。備課的目的是為了更好地教學，教學的目的是為了學生掌握知識、技能，掌握的目的是為了更行之有效地運用。由此可見，備課時要注意以下幾點:
一、了解知識體系，因材施教
這里所說的了解知識體系，并非讓我們掰著手指數這塊知識是哪冊、哪章、哪節內容，而是要認真研究數學發展的歷史，反復考查現有教材的知識體系。主要是指各知識點在整個知識體系中的地位、作用及彼此間的內在聯系。
數學教材和其他各科相比，章節之間具有很緊密的聯系，公式、法則的推導，定理的引入，數與形的結合等，無一不是普遍聯系的經典之作，就"一元二次方程的解法"這一節知識點，前后涉及到的知識面就較多，需要有初一解簡單的一元一次方程，完全平方公式的應用和初二的因式分解作為基礎前提。同時，為后面學習的方程組及其應用，以及函數也起著啟后的作用，所以在備課時要有所側重。
全面實施因材施教方略，每個學生有每個學生的特點，想用一個教案來將所有的學生"九九歸一"，顯然是不切實際的。教案必須要面向全體學生，這就要求教案內容要具有相當的"梯度"。這種度最好就是讓基礎差的學生能"吃得香、不肯走"，讓基礎好的學生"吃得好，兜著走"，給他們留一些思考性的有新意的問題，以作為課堂內容的延續，不能讓授課內容一味的平淡或坎坷。應盡量在一些簡單的問題中，讓學生找回自信心，擁有成就感。同時，讓尖子生在一些有價值的問題中探索、討論、創新，以尋求更好的發展，"因材施教"，也是能否備好數學課的前提條件。
二、內容與方法的有機統一
(一)合理安排授課內容，優化重組。有道是"書是死的，人是活的"從教育的最終目的來看，學生學的是知識體系的某些方面，而非何種版本的教材，因此備課時，要根據學生的具體情況，將課本中的內容合理安排。例如，在講四邊形的知識時，可以把菱形、矩形的圖形、定義、性質、判定組合在一起，通過觀察、類比、發現、總結，從而得出結論。
(二)愉快教育，按需分配。學習的過程，是對原有的知識進行整合、更新的過程，更是一個能動的，無法替代的艱苦的心路歷程。孔子曾說過"知之者不如好之者，好之者不如樂之者。"所以，為了達到較好的教學效果，在備課時一定要找準"教"與"學"的切入點，能讓學生分析的、總結的、思考的，盡量讓他們思考，一味地"填鴨式"只能讓學生成為一個裝知識的容器。
三、正確處理"訓"與"練"的關系
要正確處理"訓"與"練"的關系，教師必須吃透大綱精神，認真備課，精心設計，了解學生的數學學習實際，對教學環節的安排，教師要弄清每一個教學環節是為了訓練大綱規定的哪種能力要求，如何完成這些要求，在練習中可能出現什么問題，如何誘導、解決等。只有這樣，學生才能"練"有目的，"練"有興趣，"練"有提高。知識的掌握固然重要，但獲取知識的過程更為重要。要想提高學生的思維能力及創新能力，有計劃、有步驟地進行各方面的練習是很重要的。訓練并非無目的、無計劃的練習。數學題很多，要注重從題中獲取更多信息，掌握更多知識，形成更多技能。否則，盲目地練習，就勞而無功。例如:平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形，這部分知識內容多，判定、性質多，易混淆，學生到底如何掌握并能靈活應用呢?多做題并非不是一件好事，平時講題、練題時，不要局限于結果，明白就行了，要盡量從多角度、多方面去考慮，要注重學生能力的培養。例如"梯形ABCD， AD // BC， AB = CD，∠B=45°，梯形的高是2m， 中位線長是5m，求梯形的面積及上、下底邊長。"這道題雖是小的練習題，但教師不要急于講解，先讓各組討論或自己思考，這道題應如何求解。在學生上臺講完后，在鼓勵的同時，要讓其他學生再自由發言，結果這道題一共有了三四種方法，對梯形的幾種輔助線添加方法加深了理解，訓練了學生的思維能力，所以并非題做得越多越好，授課時要精講巧練，注重一題多解，一題多變，多題一解，因為教無定法，思維更無定法，思維不能僵化。
四、課后反思要及時
一、忌把“簡單”變“復雜”
新人教版九年級教材在公式法解一元二次方程一節的練習中安排了這樣一題：解方程X2+4X+8=4X+11，整理，得X2=3.此時，若讓學生自主去求解，則大多數學生想到的是運用直接開平方.可是某教師在教學時卻一律要求用公式法解.于是所有學生的解法都為: a=1,b=0,c=－3,b2－4ac=02－4×1×(－3)=12>0,x =±
從這位教師的教學中，至少可以發現其觀念上的兩點偏差：一是違背了數學的“精髓”――求簡，結果使簡單問題復雜化。二是沒有以學生的原有認知作為自己施教的基礎，對一元二次方程解法的本質沒有領會透。
在數學教學中教師首先要領悟透所授知識，然后想辦法讓學生自主探求解決問題的途徑和方法。我們的課堂教學需要求簡，需要簡單問題復雜化，忌用機械的“模式”去束縛學生。只有這樣，學生才能保留個性，課堂教學才有活力、才會真實自然、簡單有效。
二、忌把“懂的”變“不懂”
在數學教學中應考慮怎樣組織教學才符合學生自然的認知規律。在“有理數減法”一節數學中，由于教師忽視了學生小學的基礎，沒有站在原有的認知角度去設計教學，只是孤立地強化有理數減法法則：減去一個數等于加上這個數的相反數，從而使法則機械化，結果造成學生9－8也不會算了，原來懂的知識卻變得不懂了。因為按法則：9－8＝9＋（－8），然后，再用有理數加法法則，異號兩數相加……
教師應在學生原有的知識結構基礎上進行教學。根據認知心理學的有意義學習理論，一切新的有意義的學習都是在原有的學習基礎上產生的，不受學習者原有認知結構影響的有意義學習是不存在的。數學教學活動必須建立在學生的認知發展水平和已有的知識經驗基礎之上，數學學科的知識結構呈螺旋形、往復遞進、非封閉的上升結構。教師的教學應與學生的實際生活和原有的知識點相聯系，確保自己的數學能夠從已知到未知。讓后一步的學習建立在前一步的基礎上，前面所學習的知識能為后一步學習打好基礎。
三、忌把“通法”變“笨法”
在數學教學中，不能一味地、機械地強化某一個問題的解題方法，教師要注意引導學生進行靈活運用。因為數學思想才是對數學知識的最高層次的概括與提煉，才是適用于數學教學的通法。因此，教師應該站在“數學思想”的高度，把“通法”教活，不可使“通法”變成“笨法”。
例如，在“一元一次方程”的教學中（下面是一個片斷）：
師：誰能解方程3x－3＝－6（x－1）？
生A：老師，我還沒有開始計算，就已看出來了，x=1（A有點“情不自禁”了，還得意地環視周圍的同學）。
師：光看不行，要按要求算出來才算對（老師示意該學生坐下算）。
生B：先兩邊同時除以3，再……（生B興趣很濃，正要繼續說，被老師打斷了）。
師：你的想法是對的，但以后要注意，剛學新知識時，記住一定要按課本的格式和要求來解，這樣才能打好基礎。
生C（課代表）：先移項，可得3（x－1）+6（x－1）＝0……（感覺到老師并不喜歡這一方法，學生C遲疑了，老師請該生坐下）
看到學生“這個樣子”，老師只好親自板演示范，并特別提醒學生。
師：今天我再講一遍，別忘了，一定要養成按規定解題的習慣。解方程3x－3＝－6（x－1）時，先去括號，得3x－3＝－6x＋6，要注意符號；再移項，得3x＋6x＝6＋3……所以x＝1。
數學教學強調“通法”和訓練扎實的基本功是必要的。在技能形成的初級階段，讓學生套用程式，模仿練習，以熟悉技能也是應該的，但要達到熟練水平，不是每一個學生都需要完成同樣多的基礎訓練，熟練也不一定就能生巧，關鍵在于領會“通法”的實質，靈活運用。解方程3x－3＝－6（x－1），去括號、移項、合并只是手段而已，目的在于使x的系數變為1，所以學生A和C的解法都是“通法”的活用。一味強調機械套用“通法”，那么，“通法”可能會成為“笨法”，但也不能片面的為了追求“巧法”而放棄對“通法”基礎的掌握。
四、忌把“教材”變“教案”
眾所周之,教學過程的優化是提高課堂教學質量的關鍵。那么,如何優化教學過程?我認為重點在于教師對課堂生成的合理調控。對于課堂生成的“非預設思路”采取有效的策略,挖掘和利用學生的“非預設思路”中所具有的價值,從而提高課堂教學的有效性。
一、 發現問題―― “學貴有疑,疑而出新”
課堂教學中教師要善于鼓勵學生發現問題,“學貴有疑,疑而出新”。學生有了疑問才會去思考,才會有所發展、有所創造。而在傳統的教學中,學生被束縛在教師的教案和課堂的圈子中,其創造性受到壓抑和扼制。因此,在教學中我們要鼓勵學生自主質疑,大膽發問,創造質疑情境,讓學生由過去被動接受知識轉為主動探索。
如在學習一元二次方程之時,我設計了這樣一個實踐活動:請學生用28cm長的細鐵絲圍成一個正方形,那么能否圍出面積等于30cm2的正方形呢?若將這根28cm長的細鐵絲剪成相同長度的兩段做成兩個正方形,那么這兩個正方形的面積和能否等于30cm2呢?
師問:如果這根28cm長的細鐵絲全部用來圍成一個正方形,那么圍成的正方形面積是多少呢?
學生集體回答:49cm2。
師問:如果現在面積等于30cm2,請大家列方程解出這個正方形的邊長?(引出方程問題)
學生馬上列出方程,解出正方形的邊長是30cm。
師問:如果圍成兩個正方形那么每個正方形的邊長是xcm,面積是30cm2,你能解出這個x的值嗎?
一會兒就有同學回答是:15cm。
師問:能否圍出這兩個正方形呢?為什么?
生:不能,因為28cm分成八條邊每條只有3.5cm,小于15cm。
就在師生基本上認可了他的回答時,我班的數學課代表突然站了起來說:“老師,我好像能夠圍出來”,他的發現讓大家都很驚訝,我也奇怪(因為備課時我沒有考慮到)。于是就請他把他的方法講解一下,其實他的方法很簡單只要讓兩個正方形有一條公共邊,那么每個正方形的邊長就有4cm(大于15cm),就能圍出來了。我當場就表揚了他,同時讓大家把他的方法計算一遍,最后鼓勵大家尋找另外的圍法……師生沉浸在發現的愉悅之中,紛紛動筆開始列方程、解方程。
這個事例說明課堂上教師可以有自己新的獨特的發現,但更多時候是學生自己有獨特的發現,提出意想不到的問題,打破教師預先設定的教學思想。如果我們在數學教學中能經常鼓勵學生大膽生疑,深入生疑,引導學生進入自主學習狀態,這樣的課堂必定會充滿活力和魅力。
二、 順應出格―― “見風使舵,順水推舟”
馬卡連柯說:教學技巧的必要特征之一就是隨機應變的能力。有了這種品質,教師才能避免刻板的公式,才能估量此時此刻的情況特點,從而找到適當的方法并加以正確運用。教學應該是真實自然的,不必刻意追求完美。一旦出現非預設現象,我們應該見風使舵,順水推舟,合理解決問題,只有這樣課堂才是活的。
如在上“概率”這一節課前,課間我發現有一位學生在玩撲克牌。作為班主任的我并未批評他,因為我更明白我同時也是一位數學教師。我即刻順應學情,改變教學預設,讓學生們在他的這些紙牌中做文章(導入新課)。
學生們通過抽牌游戲感受到從一副牌中,任抽一張是紅色與抽出一張是黑色的可能性一樣大。進而引入本節課的內容:隨機事件發生的可能性究竟有多大?如何從數量上去刻畫它的大小呢?這些正是本節課要研究的問題。借助抽牌游戲,引入抽象的數學概念,學生學習的興趣高漲,思考問題變得敏銳而深刻,收到了意想不到的效果。
三、 貼近生活―― “聯系實際,創設情境”
在學習代數前,學生可能會以為代數是空洞的符號和繁復的計算。為了糾正學生這種不正確的想法,真正了解代數具有豐富意義且與現實世界有著密切聯系的一門基礎學科。經過實踐我發覺聯系學生的實際生活、創設教學情境、生成課程資源對激發學生對代數學習的興趣有著顯著的效果。
短斤缺兩的問題在我們生活中時常出現,在學習一元一次方程時,我就選擇了這樣一個事例:小明和他媽媽拿著菜籃(菜籃重0.25千克)想去市場買5千克雞蛋,當往菜籃里放秤好的雞蛋時,媽媽發現這次買的雞蛋比上次買的5千克要少一些,于是把雞蛋裝進菜籃再秤了一次,秤得雞蛋和籃共重5.275千克,問你能幫小明算出應向攤主補多少雞蛋?假如仍然用他的秤來秤的話應再補多少千克雞蛋?
問題的生成貼近學生的生活實際,更能激發學生學習新知識的欲望,讓學生不由自主的參與到解決問題的過程中去,課堂氣氛活躍。
又如在學習打折銷售問題時,我展示2006年報紙上的一則新聞:“滿200減80”顧客損失49元,京城華堂商場被告欺詐(原價618元的羽絨服是打完九五折后才減價的)。展示了這則新聞后,我設計了兩個問題:(1)你知道顧客損失的49元是怎么算出來的嗎?(618×0.95-2×80)-(618-3×80)=49.1,(2)你認為顧客與商場誰更有理?
數學教學中教師有意識的展示類似的生活情景,從而生成問題,讓學生潛移默化地感受到數學是人們生活、勞動和學習中必不可少的工具,從而深刻體驗學好數學的必要性。
四、 妙用錯誤―― “將錯就錯,變廢為寶”
富蘭克林有句名言:垃圾是放錯了地方的寶貝。因此,從某種意義上說,錯誤有時也是一種有效的生成性課程資源。教師、學生、教材出錯,都有可能是一種寶貴的課堂教學資源。倘若教師能巧妙利用錯誤,選用有效策略,努力挖掘錯誤的潛在資源,就能獲得事半功倍的效果。
在數學學習的過程中,學生難免會出錯,教師應該積極引導,讓學生在不斷嘗試與犯錯誤的過程中掌握知識。如在講授a2-b2=(a+b)(a-b)這個公式后,讓學生去分解x4-y4。當我在教室里巡視一遍后,宣布只有一半做對時,同學都感到非常吃驚。做對同學的答案是(x2+y2)(x+y)(x-y),兩相對照之后,做錯的學生發現原來x2-y2還應該繼續分解。于是,分解因式要進行到每個因式都不能再分解為止給每個同學都留下了深刻的印象。由此也可以看出,利用學生典型錯誤進行正確誘導會收到良好的教學效果。
事實上,錯誤是正確的先導,成功的開始。學生在發生錯誤、糾正錯誤的過程中,獲得知識、提高能力、增進對數學知識的情感體驗。因而,捕捉學生學習過程中出現的錯誤、發現錯誤背后隱藏的教學價值,是提高教學有效性的主要途徑。
五、 把握學情―― “因生制宜,因時而化”
把握學情,就是要了解學生的生活經驗、學習環境和智能發展。課前盡量地預測學情,做到有的放失;課中,根據學情,及時捕捉不斷生成的課程資源,為學生的探究架設新的平臺,課堂就會變得更加鮮活。
華師版九年級上的“用公式法解一元二次方程”這一節新授課時,按照書本順序我一開始就提出“如何解一元二次方程ax2+bx+c=0”的問題(部分學生的反應是茫然、不知所措的),接下來我就用配方程推導出了一元二次方程的求根公式。我講的很順利也很輕松,但從學生的眼神和表情上,我卻發現大部分對我的講解聽不懂,怎么辦呢?課堂教學不能再按我預設的計劃進行下去了。這時,我意識到學生跟不上公式的推倒過程,是因為那樣的推導步子大了些,與學生的基礎不相適應。我及時調整原來的教學設計方案,采用縮小步伐的策略,生成了一個過渡性的問題(如何將x2+2ax=b 變形為形如x2=m的方程?)。由于這一階梯設計適當,引起了學生學習的興趣,激發了學生學習的積極性。
可見,有效的數學課堂教學,不僅要使教學活動的設計符合新課標理念下的新的教學目標與要求,而且要充分體現“以學生為中心”的教學思想。把課堂還給學生,根據學生掌握知識的情況來組織課堂,隨時隨地的調整教學思路,從而營造出一個人性化的教學環境。
課堂之所以是充滿生命活力的,就因為我們面對的是一個個鮮活的生命體。課堂教學的價值就在于每一節課都是不可預設、不可復制的生命歷程。追求生命的意義應成為數學教學的起點和歸宿。作為教師要勇于直面學生的非預設生成,積極地對待,冷靜地處理,把學生的這些非預設生成盡可能轉化為自己的教學資源,化尷尬為精彩。
首先,教師要重視課前的備課。不能錯誤地認為,既然課堂是生成的,課程改革以后應該簡化備課,甚至不要備課。殊不知,沒有備課時的全面考慮與周密設計,哪有課堂上的有效引導;沒有上課前的胸有成竹,哪有課堂中的游刃有余。所以,課程改革以后不是不要備課,而是給備課提出了更高的要求。在備課中既要關注教材,更要關注學生。要考慮不同的學生會有哪些不同的思考,可能會出現哪些解決的方法。使自己的教學設計更符合學生的認知能力。
其次,教師要轉變教學觀念,樹立正確的學生觀。理念決定行為,教師要更新教學觀念,樹立以學生為主體的意識,要學會尊重和欣賞學生,舍得放棄自己的權威。教師要學會傾聽,善于傾聽學生的回答。學生會說了,也就得到發展了,這也是課堂教學的最終落腳點。教師還要沉得住起,舍得讓學生說,要讓學生把話說完,在學生尚未闡述清楚觀點時,切莫隨便發表自己的看法,這體現了對學生的尊重。更重要的是,要傾聽學生發言的背后,他在想些什么,為什么這么想。即使學生說錯了,也要分析一下為什么錯了,為錯找出病因,然后對癥下藥。
