時間：2023-06-06 09:30:40
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇統計與概率，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
1. 能根據具體的實際問題或者提供的資料，運用統計的思想收集、整理和處理一些數據，并從中發現有價值的信息，在中考中多以圖表閱讀題的形式出現.
2. 了解總體、個體、樣本、平均數、加權平均數、中位數、眾數、極差、方差、頻數、頻率等概念，并能進行有效的解答或計算.
3. 能夠對扇形統計圖、頻數分布表、頻數分布直方圖和頻數折線圖等幾種統計圖表進行具體運用，并會根據實際情況對統計圖表進行取舍.
4. 在具體情境中了解概率的意義，能夠運用列舉法（包括列表、畫樹狀圖）求簡單事件發生的概率，能夠準確區分確定事件與不確定事件.
5. 加強統計與概率之間的聯系，這方面的題型以綜合題為主，將逐漸成為新課標下中考的熱點問題.
下面舉例對本部分內容所涉及的概念進行辨析：
一、 總體、個體、樣本和樣本容量的概念辨析
例1 為了了解某地區初一年級7 000名學生的體重情況，從中抽取了500名學生的體重，就這個問題來說，下面說法中正確的是（ ）.
A. 7 000名學生是總體 B. 每個學生是個體
C. 500名學生是所抽取的一個樣本 D. 樣本容量是500
【辨析】總體是考察的對象的全體，個體是組成總體的每一個考察對象，樣本是從總體中抽取的一部分個體，樣本容量是樣本中個體的數目，主要關注“考察對象”，本題應該選D.
二、 平均數、中位數、眾數的概念辨析
例2 某班第二組男生參加體育測試，引體向上成績（單位：個）如下：4，6， 9， 11， 13， 11， 7， 9， 8， 12，這組男生成績的平均數是_______，中位數是_______，眾數是_______.
【辨析】相同點：都是為了描述一組數據的集中趨勢.不同點：所有數的總和除以總個數是平均數（所有數都參與計算），一組數據先按大小順序排列，中間位置上的那個數據（如果中間有兩個則求它們的平均數）是中位數（可能是原數據中的數，也可能不是原數據中的數），眾數是出現的次數最多的數據（一組數據可以有不止一個眾數，也可以沒有眾數，如果有眾數，一定是原數據中的數）.本題答案分別為9 ，9 ，9和11.
三、 極差、方差、標準差的概念辨析
例3 甲、乙兩人各射靶5次，已知甲所中環數是8、7、9、7、9，乙所中的環數的平均數為8，方差s2乙=0.4，那么，對甲、乙的射擊成績的正確判斷是（ ）.
根據上述信息完成下列問題：
（1） 求這次抽取的樣本的容量；
（2） 請在圖②中把條形統計圖補充完整；
（3） 已知該校這次活動共收到參賽作品750份，請你估計參賽作品達到B級以上（即A級和B級）有多少份？
【分析】條形統計圖和扇形統計圖是一種基本的統計圖表，通過條形統計圖可以看到各個對象或多個因素的絕對統計數據，能反應具體的數據；通過扇形統計圖可清楚地表示出各部分數量占總量的百分比.本題背景新穎，首先考查了同學們的“圖表”閱讀能力，其次考查同學們根據圖表中反映出的數據解答有關問題的能力.要注意兩幅圖之間的對應關系，首先由A級24人對應20%，可求得樣本容量為24÷20%=120（人），所以C級為120×30%=36（人），D級為120-24-48-36=12（人），則可把圖②中條形統計圖補充完整. 由A、B兩級所占的比例（24+48）÷120=60%，可知750份的參賽作品中B級以上的作品為750×60%=450（人）.該題在中考中還經常出現像求D級（圖①中）所占的圓心角一類的問題，要學會分析和轉化.
例2 （2012·江蘇常州）在一個不透明的口袋里裝有白、紅、黑三種顏色的小球，其中白球2只，紅球1只，黑球1只，它們除了顏色之外沒有其他區別.從袋中隨機地摸出1只球，記錄下顏色后放回攪勻，再摸出第二個球并記錄顏色.求兩次都摸出白球的概率.
【分析】本題是典型的概率計算題，同學們在做該類型摸球的題目時首先要明確是否有放回，其次要用序號來區分相同顏色的球，這樣就不容易重復和遺漏.畫樹狀圖或列表如下：
例3 （2008·湖北天門）如圖，有兩個可以自由轉動的均勻轉盤A、B. 轉盤A被均勻地分成3等份，每份分別標有1，2，3這三個數字；轉盤B被均勻地分成4等份，每份分別標有4，5，6，7這四個數字.有人為小明，小飛設計了一個游戲，其規則如下：① 同時自由轉動轉盤A和B；② 轉盤停止后，指針各指向一個數字（如果指針恰好指在分格線上，那么重轉一次，直到指針指向某一數字為止），用所指的兩個數字相乘，如果積為偶數，小明勝，否則小飛勝.
（1） 請你用列表或樹形圖求出小明勝和小飛勝的概率；
考點1 全面調查（普查）、抽樣調查
例1 （2011年桂林卷）下面調查中，適合采用全面調查的事件是（ ）?郾
A?郾 對全國中學生心理健康狀況的調查
B?郾 對我市食品合格情況的調查
C?郾 對桂林電視臺《桂林板路》收視率的調查
D?郾 對你班同學身高情況的調查
解：選D?郾
溫馨小提示：當調查的對象很多又不是每個數據都有很大的意義（如全國學生的心理健康情況），或者調查的對象不多，但帶有破壞性（如食品的合格率、炮彈的殺傷力），應采用抽查方式；如果調查對象不需要花費太多的時間又不具有破壞性，或者生產生活中有關安全隱患的問題，就必須采用普查的方式進行?郾
考點2 總體、個體、樣本、樣本容量
例2 （2011年內江卷）為了解某市參加中考的32 000名學生的體重情況，抽查了其中1 600名學生的體重進行統計分析?郾 下面敘述正確的是（ ）?郾
A?郾 32 000名學生是總體
B?郾 1 600名學生的體重是總體的一個樣本
C?郾 每名學生是總體的一個個體
D?郾 以上調查是普查
解：本次調查是抽樣調查，總體是32 000名學生的體重，個體是每名學生的體重，樣本是抽取的1 600名學生的體重，樣本容量是1 600?郾 選B?郾
溫馨小提示：總體、個體、樣本都是針對考察對象而言的，是一種“數量指標”（如身高、體重、使用壽命等），而總體強調“全體”，樣本強調“部分”，個體強調“每個”?郾 另外，樣本容量是數目，是不帶單位的?郾
考點3 平均數、中位數、眾數
例3 （2011年威海卷）2011年體育學業考試增加了跳繩測試項目，有一組（10名）同學的測試成績（單位：個/分鐘）如下：
176 180 184 180 170 176 172 164 186 180
該組數據的眾數、中位數、平均數分別為（ ）?郾
A?郾 180，180，178?搖?搖 B?郾 180，178，178
C?郾 180，178，176?郾8?搖?搖 D?郾 178，180，176?郾8
解：將數據從小到大整理如下表：
從表中可以看出180出現3次，因此眾數為180；中位數是■=178；平均數為：■=176?郾8 ?郾 選C ?郾
溫馨小提示：眾數是一組數據中出現次數最多的數；中位數是把一組數據中的數由小到大排列后，處在最中間位置的一個數（數據總個數是奇數個時）或兩個數的平均數（數據總個數是偶數個時）；把一組數據先求和，再除以總個數就是平均數?郾
考點4 極差、方差
例4 （1）（2011年龍巖卷）一組數據10，14，20，24，19，16的極差是 ?郾
（2） （2011年衡陽卷）甲乙兩臺機床生產同一種零件，并且每天產量相等，在6天中每天生產零件中的次品數依次是：甲：3、0、0、2、0、1；乙：1、0、2、1、0、2 ?郾 甲、乙兩臺機床中性能較穩定的是 ?郾
解：（1）在這組數據中，最大的數是24，最小的是10，
這組數據的極差是24-10=14?郾
（2）■甲=■=1，■乙=■=1，
S2甲=■=■，
S2乙=■=■，
■>■， 乙機床的性能較穩定?郾
溫馨小提示：極差=最大值-最小值，極差反映了一組數據的變化范圍；一般情況下，在平均數接近的情況下，方差越小，波動越小，穩定性越好?郾
考點5 頻數、頻率及頻數分布直方圖
例5 （2011年湘潭卷）2011年我市體衛站對某校九年級學生體育測試情況進行調研，從360名學生中抽取了部分學生的成績（成績分為A、B、C三個層次）進行分析，繪制了頻數分布表與頻數分布直方圖（如圖1），請根據圖表信息解答下列問題：
（1）補全頻數分布表與頻數分布直方圖；
（2）如果成績為A等級的同學屬于優秀，請你估計該校九年級約有多少人達到優秀水平？
解：（1）根據頻數分布表中C組的頻數與頻率可知，總人數=10÷0?郾10=100（人），則B組的頻數=0?郾50×100=50（人）；A組的頻率=40÷100=0?郾40 ?郾 補全頻數分布表與頻數分布直方圖略?郾
（2） 0?郾40×360=144（人），
該校九年級約有144人達到優秀水平?郾
溫馨小提示：解答這類問題要注意兩點：（1）每個對象出現的次數叫做頻數，各個對象的頻數之和等于數據總數；（2）頻率=■，所有對象的頻率之和等于1?郾
考點6 必然事件、隨機事件與不可能事件
例6 （2011年徐州卷）下列事件中，屬于隨機事件的是（ ）?郾
A?郾 拋出的籃球會下落
B?郾 從裝有黑球、白球的袋里摸出紅球
C?郾 367人中有2人是同年同月同日出生
D?郾 買1張彩票，中500萬大獎
解：選D?郾
溫馨小提示：確定性事件包括必然事件和不可能事件，隨機事件是指事先無法肯定會不會發生的事件，也就是該事件可能發生，也可能不會發生?郾
考點7 直接用P （A）=■求簡單事件的概率
例7 （2011年淄博卷）在1，2，3，-4這四個數中，任選兩個數的積作為k的值，使反比例函數y=■的圖像在第二、四象限的概率是（ ）?郾
A?郾 ■?搖?搖 B?郾 ■ C?郾 ■?搖?搖 D?郾 ■
解：由反比例函數的圖像在第二、四象限，得k＜0?郾 而任選兩個數相乘，共6種不同的結果，分別是2，3，-4，6，-8，-12?郾 其中使得k＜0的有3種結果， 概率是■=■?郾 選B?郾
溫馨小提示：在一次試驗中，有n種可能的結果，并且它們發生的可能性都相等，事件A包含其中的m種結果，我們可以用P（A）=■求事件A發生的概率?郾
考點8 用列表法或樹形圖法求概率
例8 （2011年內江卷）小英和小明姐弟二人準備一起去觀看端午節龍舟賽，因家中臨時有事，必須留下一人在家，于是姐弟二人采用游戲的方式來確定誰去看龍舟賽?郾 游戲規則是：在不透明的口袋中分別放入2個白色和1個黃色的乒乓球，它們除顏色外其余都相同?郾 游戲時先由小英從口袋中任意摸出1個乒乓球記下顏色后放回并搖勻，再由小明從口袋中摸出1個乒乓球，記下顏色?郾 如果摸到的乒乓球顏色相同，則小英贏，否則小明贏?郾
（1）請用樹形圖或列表法表示游戲中所有可能出現的結果；
（2）這個游戲規則公平嗎？請說明理由?郾
解：（1）列表格如下：
（2）由上表可知，游戲中所有可能出現的結果共9種，小英贏的概率為■，小明贏的概率為■，所以不公平?郾
溫馨小提示：一般地，求兩步的隨機事件的概率，既可以用列表法，也可以用畫樹形圖法，求三步或三步以上的隨機事件的概率，通常用畫樹形圖法?郾 游戲是否公平，就是看游戲雙方獲勝的概率是否相等?郾
考點9 統計圖表的綜合應用
例9 （2011年福州卷）在結束了380課時初中階段數學內容的教學后，唐老師計劃安排60課時用于總復習，根據教學內容所占課時比例，繪制如下統計圖表（圖2～圖4），請根據圖表提供的信息，回答下列問題：
（1）圖2中“統計與概率”所在扇形的圓心角為 度；
（2）圖3、4中的a= ，b= ；
（3）在60課時的總復習中，唐老師應安排多少課時復習“數與代數”內容？
解：（1） 1-（40%＋45%＋5%）=10%，
“統計與概率”所在扇形占圓的面積的10%.
“統計與概率”所在扇形的圓心角度數為：360×10%=36?郾
（2）由圖3可知，“數與代數”包括“數與式、方程（組）與不等式（組）、函數”?郾
“數與代數”所在扇形占圓的面積的45%，
“數與代數”在初中階段380課時的數學內容中占的課時數為380×45%=171（課時），
即67＋a＋44=171， a=60?郾
由圖4可知，“方程（組）與不等式（組）”包括“A一次方程，B一次方程組，C不等式與不等式組，D二次方程，E分式方程”.
a=18＋13＋12＋b＋3=60. b=14 ?郾
1. 在一次學校舉行的演講比賽中，10位評委給其中一位選手打分如下：9.5，9.6，9.3，9.8，9.4，8.8，9.6，9.2，9.5，9.6，則這組數據的眾數和中位數分別是（）.
A. 9.45，9.6 B. 9.5，9.6
C. 9.6，9.5 D. 9.55，9.6
2. 一組數據從小到大排列為：1，2，4，x，6，9，這組數據的中位數為5，那么這組數據的眾數為（）.
A. 4 B. 5
C. 5.5 D. 6
3. 圖1是某班學生外出時乘車、步行、騎車的人數分布直方圖和扇形分布圖（兩圖都不完整），則下列結論中錯誤的是（）.
A. 該班總人數為50人
B. 步行人數為30人
C. 騎車人數占總人數的20%
D. 乘車人數是騎車人數的2.5倍
4. 某學習小組共有8人，在一次數學測驗中，得100分的1人，得90分的2人，得74分的4人，得64分的1人，那么這個小組的平均成績是（）.
A. 82分B. 80分C. 74分D. 90分
5. 有下列事件：① 拋擲一枚硬幣100次，第100次正面向上；② 兩次拋擲正方體骰子，拋擲得的數字之和小于13；③ 煮熟的鴨子飛了；④ 打開電視機，正在播出廣告.其中為可能事件的是（）.
A. ①②B. ①④C. ②③D. ②④
6. 隨機投擲兩枚硬幣，落地后全部正面朝上的概率是（）.
A. 1B.C.D.
7. 如圖2所示的兩個圓盤中，指針落在每一個數字所屬區域的機會相等，那么兩個指針同時指向奇數的概率為（）.
A.B.C.D.
8. “從一個口袋里隨機摸出1枚圍棋子，恰好是黑子的機會是 ”，這句話的意思是（）.
A. 摸25次一定能摸到7次黑子
B. 摸25次其中18次一定是白子
C. 如果摸足夠多次，平均每25次有7次摸到黑子
D. 口袋里一定有18枚白子和7枚黑子
二、填空題
9. 在航天知識競賽中，包括甲同學在內的6名同學的平均分為74分，其中甲同學得了89分，則除甲以外的5名同學的平均分為______.
10. 已知在一個樣本中，50個數據分別落在五個組內，第一、二、三、五組數據的個數分別為2，8，15，5，則第四組的頻數為______，頻率為______.
11. 下表是一個文具店6~12月份某種鉛筆銷售情況統計表：
觀察表中數據可知，眾數是______，中位數是______.
12. 若事件A發生的概率為P，則事件A不發生的概率為______.
13. 一只袋內裝有2個紅球，3個白球，5個黃球（這些球除顏色外沒有其他區別），從中隨機取出1球，則取得紅球的概率為______.
14. 小紅、小明、小芳在一起做游戲時需要確定先后順序，他們約定用“剪刀、石頭、布”的方式確定，則在某一回合中三個人都出“剪刀”的概率是______.
15. 甲、乙兩臺機器分別灌裝每瓶質量為500 g的礦泉水，從甲、乙灌裝的礦泉水中分別隨機抽取了30瓶，測得它們實際質量的方差是 =4.8， =3.6，那么______（填“甲”或“乙”）灌裝的礦泉水質量比較穩定.
16. 一個口袋中有12個白球和若干個黑球（除顏色外，其他完全相同），在不允許將球倒出數的前提下，小亮為估計口袋中黑球的個數，采用了如下的方法：先從口袋里每次摸出10個球，求出其中白球與10的比值，再把球放回口袋里搖勻，不斷重復上述過程5次，得到白球與10的比值分別為：0.4，0.1，0.2，0.1，0.2.根據上述數據，小亮可估計口袋里大約有______個黑球.
三、解答題
17. 某公司人事部準備從內部招聘一名管理人員，對甲、乙、丙三名候選人進行專業知識測試，成績如下表所示.依據錄用的程序，還要組織200名職工對三人進行民主評議投票，三人得票率如圖3所示.（沒有棄權票，每位職工只能投1票，每得1票記作1分）
（1） 請計算出三人的民主評議得分.
（2） 根據招聘簡章，人事部將專業知識、民主評議兩項得分按6 ∶ 4的比例確定各人成績，成績優秀者將被錄用，請通過計算說明誰將被錄用.
18. 為了備戰運動會，某射擊隊對甲、乙兩名隊員進行了10次測試，成績如圖4所示.
（1） 根據圖中提供的信息填寫下表：
（2） 如果你是教練，你會選擇哪位運動員參加比賽？請說明理由.
19. 將正面分別標有數字1，2，3并且背面花色相同的3張卡片洗勻后，背面朝上放在桌上.
（1） 隨機抽取1張，求抽出的卡片上的數字是奇數的概率.
（2） 隨機抽取1張作為十位上的數字（不放回），再抽取1張作為個位上的數字，能組成哪些兩位數？恰好為23的概率是多少？
20. 如圖5，甲轉盤被分成3個面積相等的扇形，乙轉盤被分成兩個面積相等的半圓，小明和小紅用這兩個轉盤決定誰能獲勝.游戲規定：將兩個轉盤各轉1次為1次游戲（指針指在邊界線上視為無效，重轉）
（1） 小明說：“如果兩個指針所指的數字之和為6或7，我獲勝，其他情況你獲勝.”請你用列表或畫樹狀圖說明兩人獲勝的可能性各是多少.
（2） 小明定的規則是否公平？如果不公平，請你設計一種公平的游戲規則.
參考答案
一、1. C 2. D 3. B 4. B 5. B 6. D 7. B 8. C
二、9. 71分 10. 20 0.4 11. 200 300 12. 1-P 13. 0.2 14. 15. 乙
16. 48
三、17. （1） 甲、乙、丙的民主評議得分分別為70，68，62.
（2） 甲被錄取.甲的最后成績為71.8；乙的最后成績為71.6；丙的最后成績為65.
18. （1） 甲的眾數為6，方差為1.2；乙的平均數為7，眾數為8.
（2） 從平均數來看甲、乙一樣；從眾數來看乙優秀的次數多；從穩定性來看，甲成績較穩定；從發展的角度來看乙的成績在不斷提高.選乙.
19. （1）. （2） 12，13，21，23，31，32.能組成23的概率為 .
20. （1） 小明獲勝的可能性為 ，小紅獲勝的可能性為 .
1 直接考察有關概念的意義
例1（南安市）下列調查方式，你認為正確的是()
（A）了解一批炮彈的殺傷半徑，采用普查方式
（B）了解南安市每天的流動人口數，采用抽查方式
（C）要保證“神舟6號”載人飛船成功發射，對重要零部件采用抽查方式檢查
（D）了解南安市居民日平均用水量，采用普查方式
分析 學習統計的目的應能通過實驗“收集數據描述數據分析數據”，并根據這些數據作出合理的決策，因此我們必須對為了獲得實驗數據而進行的各種調查有明確的判斷. 這樣的題目可培養學生的分析判斷能力，養成嚴肅認真、一絲不茍的良好習慣.
本題中，正確的調查方式應為B.
例2 （福建泉州市）在一個不透明的箱子里放有除顏色外，其余都相同的4個小球，其中紅球3個、白球1個. 攪勻后，從中同時摸出2個小球，請你寫出這個實驗中的一個可能事件:________
分析 學習概率的有關知識，必須了解隨機現象，根據事件發生可能性的大小正確判定出給定的事件到底是確定事件、不確定事件及可能發生的事件. 這樣的題目對于培養學生分類討論的思想意識有著積極的意義.可能事件有兩個：（1）摸出2個紅球；（2）摸出的2個球中有一個紅球和1個白球.
2 關于基本統計量的計算與應用
例3 (江蘇揚州市）某校九年級(1)班積極響應校團委的號召,每位同學都向“希望工程”捐獻圖書,全班40名同學共捐圖書320冊. 特別值得一提的是李揚、王州兩位同學在父母的支持下各捐獻了50冊圖書. 班長統計了全班捐書情況如下表(被粗心的馬小虎用墨水污染了一部分)：
（1）分別求出該班級捐獻7冊圖書和8冊圖書的人數；
（2）請算出捐書冊數的平均數、中位數和眾數,并判斷其中哪些統計量不能反映該班同學捐書冊數的一般狀況，說明理由.
分析 本題主要考查平均數、中位數和眾數的意義、計算及應用. 要求同學們能掌握這些概念和計算方法，正確理解樣本數據的特征，能根據計算結果作出準確的判斷.
（2）捐書冊數的平均數是8，中位數是15，眾數是6. 顯然中位數和眾數不能反映該班同學捐書冊數的一般狀況. 原因省略.
3 概率的計算與運用
例4 （福建泉州市）甲乙兩人在玩轉盤游戲時，把轉盤A、B分別分成4等份、3等份，并在每一份內標上數字，如下圖所示. 游戲規定，轉動兩個轉盤停止后，指針所指的兩個數字之和為奇數時，甲獲勝；為偶數時，乙獲勝.
（1）用列表法（或畫樹狀圖）求甲獲勝的概率；
（2）你認為這個游戲規則對雙方公平嗎？請簡要說明理由.
分析 此題關注問題情境的趣味性，體現了課標的精神和要求. 著重考察概率的求法和運用概率的意義解答生活中的實際問題. 這種讓學生在輕松愉快而又現實的背景中解答趣味問題的做法有利于促進學生良好數學觀的形成.
解 （1）（法1）畫樹狀圖（見下圖）：
由上圖可知，所有等可能的結果共有12種，指針所指的兩個數字之和為奇數的結果有6種. 所以P（和為奇數）=0.5.
（法2）列表如下：
由上表可知，所有等可能的結果共有12種，指針所指的兩個數字之和為奇數的結果有6種. 所以P（和為奇數）=0.5.
（2）因為P（和為奇數）=0.5，所以P（和為偶數）=0.5，所以這個游戲規則對雙方是公平的.
4 利用統計圖表提供的信息解決生活中的實際問題
由于這樣的問題是考察學生的綜合能力，所以類似下面的例題隨處可見，它們涉及到我們生活的方方面面.
例7 （山東棗莊市）某單位欲從內部招聘管理人員一名，對甲、乙、丙三名候選人進行了筆試和面試兩項測試，三人的測試成績如下表所示：根據錄用程序，組織200名職工對三人利用投票推薦的方式進行民主評議，三人得票率（沒有棄權票，每位職工只能推薦1人）如上圖所示，每得一票記作1分.
(1）請算出三人的民主評議得分；
(2）如果根據三項測試的平均成績確定錄用人選，那么誰將被錄用（精確到0.01)?
(3）根據實際需要，單位將筆試、面試、民主評議三項測試得分按4∶3∶3的比例確定個人成績，那么誰將被錄用？
考點明晰
1. 能通過具體實際問題辨認總體､個體､樣本､樣本容量這4個基本概念.
2. 理解平均數､樣本方差､樣本標準差､中位數､眾數本身所反映的實際意義,并且要掌握它們的計算方法,會用樣本估計總體的思想方法解決此類實際應用題.
3.能夠整理一組數據列出頻率分布表,會畫頻率分布直方圖,能根據所提供的信息補全頻率分布表和頻率分布直方圖.
4. 掌握扇形､條形､折線統計圖的畫法,明確它們之間的關系,掌握它們各自的優點,特別要掌握如何從這些統計圖中獲取信息,再將所獲得的信息應用到具體問題中.
5.能夠利用概率知識解決現實中的實際問題.
考題精講
例1(2006年山東考題)某單位欲從單位內部招聘管理人員一名,對甲､乙､丙3名候選人進行了筆試和面試兩項測試,3人的測試成績如下表所示:
根據錄用程序,組織200名職工對3人利用投票選舉的方式進行民主評議,3人得票率(沒有棄權票,每位職工只能推薦1人)如圖1所示,每得1票記1分.
(1)請計算出3人的民主評議得分.
(2)如果根據3項測試的平均成績錄用人選,那么誰將被錄用(精確到0.01)?
(3)根據實際需要,單位將筆試､面試､民主評議3項測試得分按4:3:3的比例確定個人成績,那么誰將被錄用?
分析:本題需要同學們運用所學統計知識,收集準確信息,結合實際要求,綜合處理社會生活中的實際問題,作出合理判斷.
解:依圖形得甲:200×25%=50; 同理乙:200×40%=80; 丙:200×35%=70.
(2)甲的平均成績為:(75+93+50)/3=72.67(分);
乙的平均成績為:(80+70+80)/3=76.67(分);
丙的平均成績為:(90+68+70)/3=76.00(分);
由于76.67＞76.00＞72.67,所以,候選人乙將被錄用.
(3)如果將筆試､面試､民主評議3項測試成績按4:3:3的比例確定個人成績,那么甲的個人成績為:（4×75+3×93+3×50）/（4+3+3）=72.9(分);
乙的個人成績為:（4×80+3×70+3×80）/（4+3+3）=77(分);
丙的個人成績為:（4×90+3×68+3×70）/（4+3+3）=77.4(分).
77.4＞77＞72.9,即丙的個人成績最高,所以候選人丙將被單位錄用.
例2(2006年重慶考題)學習了統計知識后,班主任王老師讓班長就本班同學的上學方式進行了一次調查統計.圖2和圖3是班長收集數據后,繪制的兩幅不完整的統計圖,請你根據圖中提供的信息,解答以下問題:
(1)在扇形統計圖中,計算“步行”部分所對應的圓心角的度數.
(2)該班共有多少學生?
(3)在圖2中,將表示“乘車”的部分補充完整.
分析:本題是扇形統計圖和條形統計圖共同反映的一個現實問題,兩個圖形所收集的信息可以互補.
解:(1)(1-20%-50%)×360°=108°.
(2)20÷50%=40(人).
(3)如圖4所示,根據計算得出乘車人數為40-20-12=8(人).
例3(2006年上海考題)某市在中心城市范圍內,選取重點示范路口進行交通文明狀況滿意度調查,將調查結果的滿意度分為:不滿意､一般､較滿意､滿意和非常滿意,依次以紅､橙､黃､藍､綠5色標識.今年5月的調查結果中,橙色和黃色標識路口之和占被調查總數的15%,結合未畫完整的圖5所示信息,回答下列問題:
(1)此次被調查的路口總數是___________.
(2)將圖中綠色標識部分補畫完整,并標上相應的路口數.
(3)此次被調查路口的滿意度能夠作為該市所有路通文明狀況滿意度的一個隨機樣本嗎?
解:(1)因為調查結果中橙色與黃色標識路口數之和占被調查總數的15%,所以,結合圖形提供的信息:(1+8)÷15%=60,即被調查路口總數為60.
(2)又根據圖形所示綠色標識的路口數為:60-(1+8+41)=10,即可將圖形補充完整.補圖略.
(3)不可以,因為此次調查的都是重點示范路口,不具有代表性.
例4(2006年南京考題)學校有A､B兩個餐廳,甲､乙､丙3名學生各自隨機選擇其中一個餐廳用餐:
(1)求甲､乙､丙3名學生在同一餐廳用餐的概率;
(2)求甲､乙､丙3名學生中至少有一個在B餐廳用餐的概率.
分析:所有可能出現的情況如右表:
(1)從上表中可以得出甲､乙､丙3名學生在同一個餐廳用餐的概率為1/4.
(2)甲､乙､丙3名學生中至少有一人在B餐廳用餐的概率是7/8.
例5(2006年鹽城考題)某中學為了了解某年級1200名學生每學期參加社會實踐活動的時間,隨機對該年級50名學生進行調查,結果如下表與圖6:
(1)在這個統計中,眾數是__________,中位數是_________.
(2)補全頻率分布表和頻率分布直方圖.
(3)請你估算這所學校該年級的學生中,每學期參加實踐活動時間不少于9天的人數約有多少人?
分析:此題考查同學們對中位數､眾數的理解與求法以及用樣本估計總體的思想方法.同時要知道各小組的頻率之和為1,各小長方形面積等于該小組的頻率,它們的和也是1,并能夠根據所給的一些信息來補全頻率分布表和頻率分布圖.
解:(1)根據定義可知,眾數為11,中位數為11.
(2)頻數:18, 因為50-6-14-9-3=18.
頻率:0.28,因為1-0.06-0.18-0.36-0.12=0.28.
補全的頻率分布直方圖如圖7所示.
(3)1200×(0.28+0.12)=480(人)
答:不少于9天的有大約480人.
例6 (2006年蘇州考題)如圖8,電路圖上有4個開關A､B､C､D和一個小燈泡,閉合開關D或同時閉合開關A､B､C都可使小燈泡發光.
(1)任意閉合其中一個開關,小燈泡的發光概率為多少?
(2)任意閉合其中兩個開關,請用樹狀圖或列表法求出小燈泡發光的概率.
分析:本題就是利用概率知識,解決現實生活中的具體問題.
解:(1)很明顯,任意閉合電路中的一個開關,小燈泡發光的概率為1/4.
(2)正確畫出樹狀圖如圖9所示.
所以,任意閉合其中兩個開關的情況共有12種,其中能使燈泡發光的情況有6種,小燈泡發光的概率為1/2.
例7(2006年安徽考題)方案決策:兩人要去某風景區游玩,每天某一時刻有3輛汽車開往該風景區(票價相同),但是他們不知道這些車的舒適程度,也不知道汽車開過來的順序,兩人采用了不同的乘車方案:甲無論如何總是上開來的第一輛車,而乙則是先觀察后上車.當第一輛車開過來時,乙不上車,而是仔細觀察車的舒適狀況,如果第二輛車的狀況比第一輛好,他就上第二輛;如果第二輛不比第一輛好,他就上第三輛.如果把這3輛車的舒適程度分為上､中､下三等,請嘗試著解決下面的問題:(1)3輛車按出現的先后順序共有哪幾種不同的可能?(2)你認為甲､乙兩人采用的方案,哪一種方案使自已乘坐上等車的可能性大?為什么?
解:(1)3輛車開過來的先后順序有6種可能:(上､中､下),(上､下､中),(中､上､下),(中､下､上),(下､上､中),(下､中､上).
(2)由于不知道任何信息,所以只能假定6種順序出現的可能性相同,我們來研究在各種可能性的順序下,甲､乙二人分別會上哪一輛車.(列表如下)
通過觀察表格不難得出:甲乘上､中､下3輛車的概率都是1/3,而乙乘上等車的概率是1/2,乘中等車的概率是1/3,乘下等車的概率是1/6,所以乙采用的方案乘坐上等車的可能性大.
分析:這是一道概率應用題,第(1)小題通過羅列出3種不同順序的所有可能結果不難求得;第(2)小題在第(1)小題的基礎上借助于概率的定義來解決,假定6種順序出現的可能性相同,通過列表得出甲乘坐上等車的概率為1/3,乙乘坐上等車的概率為1/2,從而得出結論:用乙采取的方案乘坐上等車的可能性大.解題關鍵是將乘坐上等車可能性的大小轉化為比較概率的大小.
備考方略
統計與概率中的解題方法較多,有些是以公式出現的,如平均數､方差等,有些是以圖表表現的,例如列表法､畫頻率分布直方圖､條形圖､扇形圖､折線統計圖､樹狀圖等.在運用以上方法時,要理解各自的概念､定義,在運用這些概念､定義解決問題時,回歸定義是統計初步的一種重要方法,如計算一組數據的中位數､方差､平均數等.
在具體的統計題中,往往是多個概念的組合體,因此,同學們在運用統計方法解題時,不僅要準確把握各個概念的定義,而且要準確把握這些概念之間的區別和聯系.
當計算一組數據的平均數或方差時,由于數據太多或太大,計算時比較麻煩,應根據數據特點選擇計算公式,這樣,不僅節約時間,更能提高準確率.
一、“統計與概率”課程標準設計特點
小學數學中的統計和概率既有普通特點，又有其特殊性，與小學生的認識規律有關。
1. 它強調“統計與概率”過程性目標。讓學生全身心投入到統計過程中，在統計過程中發現問題，運用數據處理方法處理問題（統計圖表或統計圖形），用圖表或圖形分析數據，發現規律，從而得到結果。與同學分享，取長補短優化個人處理方法，這種處理過程是學生形成數據觀最有效的方法。
2. 它強調對統計表特征和統計量實際意義的理解，并且注意與現代信息技術結合。小學生已經開始計算機課程，計算機和計算器的普及，為統計和概率學習提供了方便。計算機可以大大提高數據整理和顯示的效果，在建立、記錄和研究信息方面，為學生提供一個良好的工具，可以使學全有充足的時間來探究統計的實質。將計算機模擬應用到學生實驗中，讓學生的實驗結果得到充分的印證。因此，復雜的數據通過工具完成，避免過多精力用到數據處理上，從而使學生更多的掌握方法和思路。
二、“統計與概率”教學中應注意的幾個原則
在小學階段，“統計與概率”的教學應注意從兒童的認知特點出發應該強調以下原則：
1. 實踐性原則。統計和概率的研究對象是生活常見的東西或事件。如學生喜愛的對象：花草樹木、水果，比較熟悉的一些動物的奔跑速度；瀕臨滅絕的物種及數學的出生年月，戴眼鏡的人數，一天的體溫變化記錄。
2. 過程性原則。一些著名的河流的長度；班級同人的身高、體重、臂長等，氣溫、雨量記在教小學階段的各個概念計的結果。在經歷收集數據、應該注重形成概念的全過程，而不是統的方法處理數據的過程中學習收集同時也培養以隨機的觀點來理解世界的觀念、處理及描述。
3. 趣味性原則。因為是在小學階段乏味的、繁瑣的數據處理，我們不能把“概率與統計”的教學變成枯燥無味，而應以有趣的方式呈現。
為了比較好地體現上面的三個原則，我們在對統計表統計量的學習時，可參照竺可楨日常生活中各種各樣的實例，在經歷收集、整理、描述、分析數據的過程中加深對有關概念的理解。另外，由他們收集或在教科書上數據信息必須與學生的日常生活相聯系，以有利于他們對數據近行分析和解釋、發表對數據信息的理解、推理和判斷。
三、“統計與概率”學習活動中的應用
1. 指導學生設計統計活動，檢驗某些預測。設計統計活動是統計知識的綜合運用，它包括設計的主題，實施的方法以及數據的整理、分析等。在指導學生進行這一活動時，要注意以下兩點：
（1）設計統計活動的主題要與學生的生活密切聯系。調查的范圍也在同一個班內，學生容易實施。在調查前，以小組為單位，先設計一個調查表，就能實施調查。在生活中這樣的實例很多，例如，調查班內某個同學上學在路上所用的時間，上學所用的交通工具，每天做家庭作業所用的時間等。教師在組織學生進行設計時，經常運用他們身邊的實例作為主題，學生就比較容易掌握統計活動的設計方法。
（2）設計統計活動應與預側相結合。預測是判斷某一事物，判斷是否精確，他與判斷中的知識和掌握的數據有密切關系。學生預測能力的提升，對于以后的學習有著重要的作用。為了達到提高學生預測能力的目的，教學中需要設計統計活動，先進行預測，再統計論證。以生活中常見的白色污染（塑料袋）調查為例，在學生調查活動開始之前，先預判一下調查結果，然后再公布調查數據，從而驗證調查結果。預測結果出來后，讓學生分析預測對于錯的原因，從而得到預測應該注意的幾個問題。
【關鍵詞】 數學課 統計 概率 方法
一、內容呈現形式上要強調數據統計的過程
對事件發生概率的體驗與刻畫學生只有投入到數據統計的過程中，才能更好地體會和理解數據統計的思想和有關概念，因此，這部分內容在呈現形式上要強調數據統計的過程，加強數學活動過程的展現，在活動過程中，自然地引入概念，使學生認識相應概念的意義和作用。例如，頻數分布圖的制作不應只給出程序化的步驟，而要提供具有現實意義的背景，使學生在解決問題的過程中熟練頻數分布圖的制作方法。例，針對本市14歲學生最喜歡看的電影，一家報紙開展調查活動。為什么以下的樣本不能較好地代表全體14歲學生的意見？⑴全市合唱團中所有14歲成員；⑵某一學校全體14歲學生；⑶周末14：00～15：00到某家影院訪問所有遇到的14歲兒童。教學設計中可以在適當的地方提出一些問題來促使學生投入數據統計的全過程。例如，解決這個問題需要收集數據嗎？需要抽樣嗎？如何選擇合適的圖表來展示數據？從這些數據中你能得到什么結論？你能證實和反駁這個結論嗎？教學設計的呈現方式要有利于學生對概率意義的進一步體會。因此，教學設計應當提供機會讓學生利用列表，作樹狀圖，制作面積模型，做實驗，或者應用簡單的計算等多種方法來獲得事件發生的概率，在多樣化的活動中，使學生體會概率的意義及其刻畫方法。
二、選擇具有現實意義、體現統計與概率思想方法的素材
統計與概率的內容具有非常豐富的實際背景，在現實世界中有著廣泛的應用。因此，教學設計中應提供足夠的生活實例，著重于對現實問題的探索，理解概念的實際意義，解決一些實際問題。現實生活中有多種渠道可以提供有意義的問題，我們要充分挖掘適合學生學習的材料，既可以從報刊雜志、電視廣播、計算機數據庫等許多方面尋找素材，也可以從學生的生活實際中選取。例如，有關學校周圍道路交通 （運輸量、車輛數、堵塞情況、交通事故等）狀況的調查，本地資源與環境的調查，對自己所喜愛的體育比賽的研究，討論有獎銷售等問題。這樣的素材能使學生更好地認識現實世界，對現實世界中的許多事情形成自己的看法，滿足學生了解這個世界的好奇心。例，調查學校附近一個人行橫道的人流情況，就這個人行橫道的安全和便利你能提出改進意見嗎？分小組設計一個調查方案，然后以小組形式調查，并將調查和分析結果寫成一個調查報告，在全班進行交流。編寫教學設計時，應當注意選取具有一定數學價值、能體現統計與概率思想的素材。第三學段中一個重要的方面是出現了樣本的概念，通過對樣本的分析來推斷總體的特性。對這一思想學生比較陌生，教學設計中一定要選擇來源于現實生活的、反映這一思想的素材，使學生在熟悉的情境中逐步體會和理解抽樣的必要性。
三、教學設計要留給學生充分探索和交流的空間
初中階段學生獨立思考和探索的愿望逐漸強烈，并能在探索的過程中形成自己的觀點，能在傾聽別人意見的過程中逐漸完善自己的想法。教學設計時要注意體現這個特點，要留給學生充分思考的空間。所選題材和呈現方式要使學生能親身參與對有關數據的收集、處理、分析、解釋以及對可能性的探索和體驗的活動，以此培養學生的參與意識和探索精神。教學設計可以提供一系列開放性的問題，用多種多樣的嘗試與想法，提供大量供學生思考討論的材料，使學生在探索的過程中進一步理解有關概念的意義。教學設計可以通過安排課外活動、社會調查等為學生拓展探索的空間。例如，可以收集報紙、雜志、電視中公布的數據，分析它們是否是由抽樣得到的，有沒有提供數據的來源，是否可靠；全班合作，分別統計一本文學書和科普書一章中出現的最常見的10個字的次數；查閱資料，請教專家，了解降雨概率的情況；等等。這樣，學生就能將數學與社會相聯系，把統計與概率當作了解社會的一個重要手段，并提高自己處理問題、解決問題的能力。
四、對專業化的術語要提供豐富的背景
避免單純的計算這部分內容中出現了一些專業性術語 （如樣本、頻數分布、樣本方差等），教學設計應為這些術語提供豐富的背景，使學生體會它們的意義，而不要給出形式化的定義。初中階段還要通過一些實例，豐富學生對概率的認識，這些例子可能會涉及幾何概型、互斥事件、獨立事件等方面知識，但引入實例的目的在于開闊學生的視野，至于術語本身則無須出現。計算樣本方差、作頻數分布圖等都是重要的活動，但是要把它們放到問題情境中去，不能處理成純計算和記憶公式的內容。在教學設計中，要盡量避免在沒有實際背景的情況下給出已知數據，然后借助這些數據進行計算和作圖表等內容。
五、重視與其他領域的聯系以及統計與概率之間的聯系
【關鍵詞】 等可能性；機會；概率；隨機；變量數學
信息社會，人們每天都面對著大量的數據和信息，常常需要在不確定情景中，根據大量無組織的數據，作出合理的決策，如票、降雨概率、買賣股票的收益、統計部門大量的數據統計及決策等. 概率與統計正是通過對數據的收集、整理、描述和分析以及對不確定現象和事件發生可能性的刻畫，來為人們更好地制定決策提供依據和建議.
部分中小學生會對概率統計產生某些錯誤概念，概率概念高度抽象，隨機現象很難把握，尤其是概率說理有一個特殊的問題，那就是它有時會與因果的、邏輯的、確定性的思維形成沖突. 如，在教“三角形任意兩邊中點的連線平行于第三邊且等于第三邊的一半”時，只需作圖，并稍作推理，學生就能接受這一事實，但若教“拋擲一枚勻稱的骰子，擲得一點的概率為”時，教師卻不能在數次或幾十次實驗后，保證學生能觀察到這一事實. 而且要讓學生接受，要用大數次觀察的頻率作為一次試驗概率的估計值這一觀點更非易事，這正是造成概率概念難教難學的原因之一.
李俊博士對中小學概率統計的研究為我們制定教學策略提供了寶貴的依據和深刻的啟示：
分析產生錯誤認識的原因盡管是多方面的，比如，每名學生的數學現實與生活經驗不同，不同文化的影響，題目中的數據和背景，等等，但更重要的一點還在于學生從小學到中學學習常量數學所形成的片面地、孤立靜止地看問題的思維方式和習慣，不適應于隨機變量數學的學習. 為此，相應的概率概念的教學策略應是：
第一，引導學生用全面的、聯系的、運動變化的觀點看問題，學會辯證思維.
概率與統計和微積分等變量數學進入中小學，徹底打破了以往常量數學長期獨占天下的格局，片面地、孤立靜止地分析和解決問題的思維方式與習慣已完全不能適應新數學課程的學習. 學生必須學會用全面的、聯系的、運動變化的觀點分析和解決問題，在學會概率思維的同時學會辯證思維，教師要引導幫助學生逐步樹立辯證唯物主義的世界觀和方法論.
比如，“比例數”是靜態概念，“概率”是動態概念，古典概率計算體現了“動”與“靜”的辯證觀. 例如，“靜態”地看，一顆骰子奇數點所占的比例數為■；“動態”地講，任意擲一次出現奇點的概率為■. 不難看出，在“靜態”向“隨機”轉化時，“比例數”相應于“概率”. 然而，概率思維與比例推導卻是基于兩種截然不同的心智模式.
第二，以具體直觀教學活動把握隨機性理解抽象概念，培養學生的隨機性數學意識.
數學思維活動建立在直接感知具體形式的基礎上才能形成生動的直觀和活潑的想象，概率概念教學應通過真實的活動、真實的數據和直觀模擬，讓學生在做中學. 教師要創造問題情境鼓勵學生檢查、修改和更正他們對概率的信念和常發生的錯誤認識，幫助學生分析和發現產生錯誤認識的原因，采取探究式的學習策略學習概率概念知識，結合實驗教學，讓學生通過實例認識到機會可以被量化，大量重復試驗會使頻率趨于穩定，接受用頻率估計概率的思想，逐步引入概率的公理化定義.
關于隨機性數學意識的培養，我們可以從以下三個方面著手：（1）改進教學方式. 我們應注重確定性數學與不確定數學的聯系，統計與概率的聯系，概率統計知識與日常生活、自然、社會和科學技術領域的聯系；注重學生的實踐，使教學的視野延伸到廣闊的社會中去；還應該注重學生的合情推理和邏輯推理.（2）轉變思維方式. 概率可以用頻率近似代替，但頻率是變數，而概率是定值，這里有變與不變的辯證關系；小概率事件雖然有發生的可能性，但概率太小，我們就認為是不可能事件，這又體現了可能與不可能的辯證關系. 當然，思維方式的轉變絕非一朝一夕之事，在此過程中，應首先學會學會“返璞歸真”，即當所學的新知識在原認知結構中沒有恰當的知識與之同化時，就必須以原始的初級的思維方式重建認知結構，以形成順應. 其次是學會“合理利用”，即當思維回到原始狀態時，認知結構中一些看似已沒有價值的經驗卻是可供利用的最好的工具，因為它已塑造了個人的數學修養，而數學修養是從“原始”走向“文明”的催化劑. （3）改進學習方式. 學生在學習中應該逐漸形成“用數學”的意識. 在學習中，一方面要不斷地豐富“模式庫”，另一方面還要不斷提高創建模式的能力. 如果在學習的過程中不斷地努力創建模式來解決新問題，就能在豐富模式庫的同時，不斷提高解題能力.
第三，培養模型意識和應用能力.
見于有些錯誤的發生常與題目中的數據和背景有關，因此，概率教學中要有意識地訓練學生用不同的替代物來模擬同一個概率問題，使學生認識到怎樣由現實隨機問題抽象出概率模型，并能舉例說明某一概率模型的若干現實原型.
總 結
在教學中根據學生的各種錯誤概念，科學地設計實例實驗，就等于為學生搭起了腳手架，提供了有利的學習環境，才可以保證學習活動的有效性. 如何更好地實施教學實現2001版《標準》中的要求，給出以下幾點建議：
（1）突出統計思維的特點和作用；
（2）統計教學應通過案例來進行；
（3）注重從數據中提取信息；
（4）重視對概率模型的理解和應用，淡化繁雜的計算；
（5）注重對隨機現象與概率的意義的理解；
關鍵詞：概率統計；教學；分析能力
“概率統計”作為現代數學的重要分支，在自然科學、社會科學和工程技術的各個領域都具有極為廣泛的應用，特別是隨著計算機的迅速普及，概率統計在經濟、管理、金融、保險、生物、醫學等方面的應用更是得到長足發展。通過這門課的學習可以培養學生的抽象思維和推理的能力，由于此門課程的概念較多，公式推導也比較復雜，要記住的東西較多，學生掌握起來較困難，有的學生對學習失去興趣，學習效果不是很理想。所以提高概率統計的教學質量，使學生對概率統計這門課感興趣是至關重要的。本文就提高概率統計課程的教學質量談幾點認識。
1. 盡量使用較少的數學知識，避免過于數學化的論證
近年來，正是概率統計的這種廣泛應用，使得它今天成為各類專業大學生的重要的數學必修課之一，概率統計有別于其他數學分支的重要一點在于，初學者往往對一些重要的概率統計概念的實質的領會感到困難。考慮到這個原因以及概統計應用很強的特點，所以我建議盡量少的數學知識（只限于微積分）避免過于數學化的論證。但保持敘述的嚴謹性。用較多的篇幅對基本概念特別是統計概念的理論或處的解釋，來幫助學生正確領會概念內涵。特別注意舉例的多樣性，如：工業、農業、醫療、保險等各領域的許多例子，以便幫助同學們從不同的側面理解概念，掌握方法。這樣可以進一步啟發學生的學習思想和學習熱情，激發學生學習概率統計學的積極性，而且還進一步加強了學生理論聯手實際的能力。
2.抓難點、重點，多做練
課堂教學時，抓住難點、重點，多做例題，特別是說服力很強的練習。注意歸納總結。特別是一些邏輯性性、抽象性很強的內容。要精講多練，注重應用。注意學生對于內容及其敘述的可接受性。比如，某人進行射擊，設每次射擊命中的概念為0.02，獨立射擊400次，試求至少擊中2次的概念。我認為將一次射擊看作是一次伯努力試驗，所以400次射擊命中的概率為X。即（X≥2）為所求概率。讓學生們知道每次射擊是相互獨立的，射擊的下一格與上一槍沒關系，不要把題目考慮的太復雜。
對于概率論學中某些內容，特別是一些抽象的概念、結論和證明，要直觀地解釋入手，多舉例題，進行分析討論，比如，連續型隨機變量與離散型隨機變量如何判斷，區別是什么要舉實例說明，使學生非常明白如何判斷兩類隨機變量的題目。即，其分布律為P{X=XR}=PR R=1，2，… 隨機變量Y=g（X）于是，Y的所有可能值為YK=g（xk），則Y是離散型隨機變量，而分布函數和密度函數分別為FX（X）和fx（X）隨機變量Y=g（x）為連續型隨機變量，讓學生自己去比較思考它們的區別，是用哪種方法，老師可以對學生進行引導，通過對學生的從抽象到實際的教學過程，學生對學習概率也有了 更進一步的明確目標，學生的學習效果也達到了。
3. 典型習題啟發學生
要想提高教學質量，應該上好習題課是重要的環節。概率論這門課程學生不多做習題是無法掌握的，這些題不論數量上和質量上都要合理的選擇。習題數量要做到少而精，精講多練，對于實際的應用要切合實際，對于選取的題目，要有明確的目的。而且難易合適，要讓大多數同學掌握所學的內容，我們還要看學生反映的情況選擇針對性的題目進行研究解答，讓學生對題目真正的理解和掌握，例如，關于極大似然估計法，有以下直觀想法：固定樣本觀察值X1、X2、……Xn，在θ 的可能取值范圍內挑選似然函數L（X1、X2、……Xn；θ）達到最大的參數值，作為θ的估計值。這種方法重點突出所學內容的重點，達到收到更好的教學效果。
要讓學生學會舉一反三，在課堂上不斷地提出問題，從不同的角度對每一個例題闡述個人觀點，使學生自己感覺對解題的思路是否已經清晰。例如，有事件 A1、A2、A3 相互獨立，
現求P（A1UA2UA3）可有兩種方法，使學生自己體會哪種方法容易即①P（A1UA2UA3）=P（A1）+P（A2）+P（A3）-P（A1）P（A2）-P（A1）P（A3）-P（A2）P（A3）+ P（A1）P（A2）P（A3）②P（A1UA2UA3）=1-P（1）P）2）P（3）使學生明白后者的計算量更小，通過比較后對二者看似不相干的內容，通過找它們的內在聯系，達到了掌握所學公式的目的。
4. 精講，多練，當堂消化
成人大學生工作比較忙，抽出業余時間學習是一件非常辛苦的事情，他們課下很難安心地做作業，特別是概率這門課是非常抽象地需要極強地思維能力。這樣教師在教的過程中一定要多舉實例，與他們工作有關的例子，使他們容易接受。教師在講課過程中，要精講，不要過多地追求理論，用通俗易懂的方法，讓學生明白，盡量在課堂上多出例題，多做練習，及時發現問題，當堂講解。也可以讓學生到黑板上做題及時發現問題，開展討論，討論時要鼓勵他們進行獨立思考，各抒己見，引導他們逐步深入，深入淺出地對問題進行實質性分析。然后教師繼續出練習，讓學生趁熱打鐵，及時消化，不要讓他們帶著問題回家，爭取在課堂上當時解決。
總之，成人大學生學習概率論是一件不容易的事，教師在教的過程中要針對學生的特點備好課，他們基礎差，底子溥，工作時間長，教師在教的過程中要善于舉一反三，啟發式教學，決不能“填鴨”式教學，對本堂課的內容要多取其精華，要通俗易懂，讓學生接受起來較容易，目的是要學生喜歡這門課，培養學生學習的方法和動力。
[參考文獻]
[1]韓明. 概率論與數理統計（第二版）. 同濟大學出版社
[2]楊惠元 教學的理論與實踐北京語言大學出版社
1中學與大學內容銜接的思考
通過高中教學大綱及新課標教材中有關概率部分的要求，與大學現行課本的主要內容對比發現，中學教學中的隨機事件與概率、古典概型與幾何概型、條件概率與事件的獨立性等內容和大學概率中第一章的部分內容有所重復，而且這些內容在高中教學的過程中學生已經學習的比較深了。因此，在大學的本科教學中，對于第一章的教學中完全可以有輕有重的進行教學。比如，對于古典概型的教學只需淺舉幾例，作為復習高中的知識來學習，不必花費過多的學時；再如，有關離散型數學期望的知識也可以略講，而對于連續的數學期望以及方差作為重點講解。在統計中，中學教學過程中重在對抽樣的實際問題的解決，對于總體和個體以及樣本的相關概念，學生已經有所了解，而在大學的統計部分教學中，參數的估計已作要求，而且要求較高，那么在大學教學過程中，便應將此部分作為教學的重點與難點。因此在大學本科教學中，如何做好與中學教學的銜接，對于大學概率論的教學具有極其重要的意義。
2寓教于樂，注重教學實例的引入
在概率與數理統計的教學過程中，學生經過高中部分的重復知識學習后，慢慢就進入枯燥，乏味的學習時期，此時，作為教師要積極調動學生學習的積極性，調節課堂氣氛，否則將會出現不想學不愿學，越來越退縮的狀況。比如在學習條件概率公式、乘法公式、全概率公式和貝葉斯公式的時候，由于是大學概率論的新知識，部分學生便出現不愿思考的苗頭，這個時候一定要扼制住這種苗頭。一方面，強調此部分的重要性；另一方面，據實際的例子來說明理論。筆者在這部分教學中恰當舉了“吃西瓜”的例子，取得了不錯的教學效果。在講全概率公式的之前先講解了劃分的概念，此時開始舉例：把一個西瓜分成若干份，每位同學一份，這樣就很實際的把劃分的兩個條件講清楚了；接下來每名同學開始“吃”一口，讓大家思考整個西瓜“被吃”的那部分占整個西瓜的比例，這個比例應該如何求解呢？這個時候就可以恰當的引出全概率的公式；然后又給大家一個問題：這個西瓜“被吃”的這部分來源于我們同學的力量，那么現在思考一下由張三（其中一名同學）吃的那一口占整個“被吃”西瓜的比例，這個時候就可以完整的推出貝葉斯公式。通過這個實際的例子，學生不僅記住了公式，還了解了這些公式在實際中的作用。
3適時補充知識，及時對比歸納總結
在概率論的教學過程中，連續性隨機變量的知識點要用到定積分、變限積分、二重積分等知識，由于學生在整個高等數學的學習過程中，學習不夠扎實或者有些知識已經有所遺忘，這個時候適時補充高等數學的相關知識，對概率論的教學會有重要作用。作為學生在學習知識，作為一個社會人在社會上生存，都是在不斷總結前面的經驗，不斷對比過去的人，過去的事，過去的自己的一個過程。而在整個概率論的教學過程中，運用對比教學手段，將會使學生對知識有一個前后系統的認識。進行對比學習，同時給學生點播人生的一點哲學，這將對學生的一生都會受益。比如，在多維隨機變量的數學期望的教學過程中，采用縱向一維離散與連續型隨機變量數學期望求法的對比、橫向一維與多維隨機變量數學期望求法的對比。通過這些對比不僅能很好的掌握本節知識，還能更好的復習了前面所學的知識。
4注重實際應用，多元化教學
時代的發展需要更多的高素質人才，他們除了要學好豐富的理論知識之外，還必須學以致用，這樣才能推動時代的發展，我們學數學的目的是為了應用它去解決實際問題。因此，增強數學應用意識，培養學生數學應用能力，是素質教育的重要內容，也是數學教學的任務之一，因此培養學生的數學應用能力刻不容緩。
由于教學場地和實際教學操作的限制，對于概率與數理統計的教學依舊采取的是理論教學為主，實際應用為輔的教學方法。但是與日俱增的社會需求，要求本科教學中必須轉變的態度，而與此同時，概率論與數理統計這門課程又是一門既有較深的理論，又同時有很強的實用用途。因此，作為本科教育工作者，應更加注重實際應用，而適當降低理論證明，這樣才能達到本科教學目的。比如，在對經濟專業的學生教學過程中，筆者適時補充一些有關經濟應用方面的內容，以股票中數據為例，把這些數據通過一些模型的分析，做出一定的預測，并結合預測的結果，進行修正，再次預測，這樣使得學生對統計中的估計理論又有了新的認識。培養學生數學應用能力解決實際問題，單純依賴課堂是不行的。
課內還需結合課外，才能更好地促進學生應用能力的提高。可以是教師布置些課外實踐活動要求，或是教師將學生帶出校門，讓他們面對實際問題，學會解決方法，增強能力。在概率與數理統計的教學中，充分利用多媒體教學，比如加入部分科學家的頭像，一些分布圖形的示意，一些統計數據的展示，這些都能使得教學內容的多樣化。
作者：丁箭飛李旭紅單位：中原工學院理學院
大家好！我是來自初中數學知識板塊中的“統計與概率”解題策略與方法，“統計與概率”在中考數學的考查中約占15%的分值，可不能忽視我哦！今天，我們就來聊一聊“統計與概率”這部分解題的策略與方法.
先一起看統計部分的內容，想要攻破y計的題，需要會計算一組數據的平均數、中位數、眾數、加權平均數，會計算簡單數據的方差，還要能分析統計表中的數據，我們通過例題來分析.
例1 已知一組數據0，1，2，3，x的平均數是2，求這組數據的極差、方差.
【剖析】本題考查的是數據的平均數、數據的極差與方差.
[平均數：[x]=[x1+x2+…+xnn]；
極差：最大值與最小值的差；
方差：s2=[1n][（x1-[x]）+（x2-[x]）2+…+（xn-[x]）2].]
因此，本題應先利用平均數求出x，得到一組完整的數據即0，1，2，3，4，想要求極差，找出數據中的最大值是4，最小值是0，所以極差=4-0=4，方差s2=[15]×[（0-2）2+（1-2）2+（2-2）2+（3-2）2+（4-2）2]=[15]×（4+1+0+1+4）=2.
例2 （2016?鹽城）甲、乙兩位同學參加數學綜合素質測試，各項成績如下.（單位：分）
（1）分別計算甲、乙成績的中位數；
（2）如果數與代數、空間與圖形、統計與概率、綜合與實踐的成績按3∶3∶2∶2計算，那么甲、乙的數學綜合素質成績分別為多少分？
【剖析】本題考查的是計算甲、乙成績的中位數以及加權平均數.從本題中的“中位數”“3∶3∶2∶2”“甲、乙的數學綜合素質成績分別為多少分”這三個關鍵字段回顧中位數和加權平均數的概念.
[中位數：將一組數據按大小順序排列，如果數據的個數是奇數，那么處于中間位置的數是這組數據的中位數；如果數據的個數是偶數，那么中間位置的兩個數的平均數是這組數據的中位數.
加權平均數：衡量各個數據的“重要程度”的數值叫做權.]
（1）中求一組數據的中位數，由上表可將學生甲的成績排序為：89，90，90，93，一共有四個數，因此取[90+902]=90作為學生甲成績的中位數.
（2）中數與代數、空間與圖形、統計與概率、綜合與實踐的成績按3∶3∶2∶2計算，說明數與代數、空間與圖形、統計與概率、綜合與實踐的“重要程度”不一樣，它們在總成績中各占[33+3+2+2]，[33+3+2+2]，[23+3+2+2]，[23+3+2+2].因此甲的成績=90×[33+3+2+2]+93×[33+3+2+2]+89×[23+3+2+2]+90×[23+3+2+2]=90.7（分）.
【答案】（1）90分，93分；（2）90.7分，91.8分.
【總結】例1與例2計算了算術平均數、極差、方差、中位數、加權平均數，除此之外還有眾數（一組數據中出現次數最多的數），其實我們只要理清概念，熟記知識點，問題就能迎刃而解.
例3 （2016?揚州）從今年起，我市生物和地理會考實施改革，考試結果以等級形式呈現，分A、B、C、D四個等級.某校八年級為了迎接會考，進行了一次模擬考試，隨機抽取部分學生的生物成績進行統計，繪制成如下兩幅不完整的統計圖.
（1）這次抽樣調查共抽取了 名學生的生物成績，扇形統計圖中，D等級所對應的扇形圓心角度數為 °；
（2）將條形統計圖補充完整；
（3）如果該校八年級共有600名學生，請估計這次模擬考試有多少名學生的生物成績等級為D.
【剖析】本題考查了從統計圖中分析數據的能力，要求計算樣本容量、扇形圓心角的度數、用樣本估計總體.（1）根據A等級的人數為15人及A等級所占的比例為30%，即可求出總人數，進而可得出扇形統計圖中D等級所在的扇形的圓心角的度數.（2）根據D等級的人數=總數-A等級的人數-B等級的人數-C等級的人數，補全條形統計圖即可.（3）先求出D等級人數所占的百分比，然后即可估計出總體中等級為D的人數.
【答案】（1）50，36；（2）5，補全統計圖略；（3）60名.
【總結】我們要具備從統計圖中分析處理數據的能力，要能讀懂統計圖中蘊涵的數據信息，提取出信息來解決問題.在解決統計問題的過程中，體會用樣本估計總體的模型思想，理解數形結合的數學思想，提升邏輯推理的數學素養.
看完統計部分的內容，我們繼續來看概率部分的內容，我們要能從數據中提取信息并進行簡單的推斷；能通過列表、畫樹狀圖等方法，列出簡單隨機事件的所有可能的結果，以及指定事件發生的所有可能結果，了解事情發生的概率，會求簡單隨機事件及其發生的概率.下面通過例題來分析.
例4 將分別標有數字1、2、3的三張卡片洗勻后，背面朝上放在桌上.
（1）隨機地抽取一張，求抽到奇數的概率；
（2）隨機地抽取一張作為十位上的數字（不放回），再抽取一張作為個位上的數字，恰好是“32”的概率為多少？
【剖析】本題考查了通過列舉法列出簡單隨機事件所有可能的結果，了解事件的概率.（1）隨機地抽取一張，可以理解為實驗一次，要求抽出奇數的概率，可用P（A）=[mn]（n表示所有等可能出現的結果數，m表示事件A發生可能出現的結果數.）直接解決.（2）隨機地抽取一張作為十位上的數字，再抽取一張作為個位上的數字，可以理解為實驗兩次，可通過列表、畫樹狀圖列出所有等可能的結果以及事件A發生的所有可能的結果，求出恰好是“32”的概率.一定要注意的是題目中的關鍵詞“不放回”.
【答案】（1）[23]；（2）[16].
【總結】畫樹狀圖或者列表分析是求概率的常用方法，列舉的結果看起來一目了然，清晰明了.利用列表、畫樹狀圖可以幫助我們不重復、不遺漏地列出所有等可能的結果，既直觀又條理分明.
例5 （2016?徐州）某乳品公司最新推出一款果味酸奶，共有紅棗、木瓜兩種口味.若送奶員連續三天，每天從中任選一瓶某種口味的酸奶贈送給某住戶品嘗，則該住戶收到的三瓶酸奶中，至少有兩瓶為紅棗口味的概率是多少？（請用“畫樹狀圖”的方法給出分析過程，并求出結果.）
【剖析】本題考查了通過畫樹狀圖列出簡單隨機事件所有可能的結果，了解事件的概率.題目中“若送奶員連續三天”可理解為實驗三次，因此可以借助樹狀圖列出所有等可能的結果.
可能出現的結果有8種，并且它們出現的可能性相等.至少有兩瓶為紅棗口味（記為事件A）的結果有4種，所以P（A）=[12].
【總結】當一次試驗要涉及兩個因素（兩組量，或者1組量操作兩次），并且可能出現的結果數目較多時，可以采用列表法；當一次試驗中涉及3個因素或更多因素時，通常采用畫樹狀圖不重不漏地列出所有等可能的結果.
例6 一套書共有上、中、下三冊，將它們任意擺放到書架的同一層上，這三本書從左到右或從右到左，恰好成上、中、下順序的概率是多少？
【剖析】想要把共有上、中、下三冊的一套書任意擺放到書架的同一層上，可以借助枚舉法列出所有等可能的結果.
【答案】將一套書上、中、下三冊任意擺放到書架同一層上所有可能出現的結果有：（上，中，下），（上，下，中），（中，上，下），（中，下，上），（下，上，中），（下，中，上），共有6種，它們出現的可能性相同.所有的結果中，滿足“從左到右或從右到左，恰好成上、中、下順序”（記為事件A）的結果只有2種，所以P（A）=[13].
【總結】對于本題可以直接用枚舉法列出所有可能的結果，求出概率.列表、畫樹狀圖的目的都是為了列出所有等可能的結果，有時我們也可以通過枚舉法直接列出所有的可能的結果.
好了，看了這么多典型的例題，相信同學們對“統計與概率”這個部分的題目，可以更加從容自信了吧！找到解決“統計與概率”典型題的策略與方法了嗎？
此致
敬禮
“統計與概率”解題策略與方法
