開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創(chuàng)造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇求值域的方法，希望這些內(nèi)容能成為您創(chuàng)作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。

第1篇

高中數(shù)學所有章節(jié)中，函數(shù)作為學習的核心內(nèi)容，也是高中數(shù)學的靈魂，函數(shù)的內(nèi)容輻射面廣，其蘊涵的思想方法對其它章節(jié)的學習影響深遠。而作為函數(shù)三要素中的值域，在高考中非常重要，求值域的方法之多，若能夠掌握幾種典型的求值域問題，由此解決類似問題，便可輕松駕馭求值域問題。函數(shù)求值域常以幾個重要的函數(shù)作為模型，以幾種不同思想方法為工具，操作起來便捷有效。本人在長期的教學工作中對反比例函數(shù)進行了不斷認識，本文通過以反比例函數(shù)為模型的實例展現(xiàn)給讀者，希望能與大家共同學習與探討。

一、反比例函數(shù)與反比例型函數(shù)的圖像與值域

反比例函數(shù)一般形式為，圖像如下：

由圖知函數(shù)的值域為。

反比例型函數(shù)本身不是反比例函數(shù)，形式上類似反比例函數(shù)，圖像可由反比例函數(shù)圖像變換得到，如：。故其圖像如下：

1

-1

故此函數(shù)的值域為。

反比例型函數(shù)一般形式為

，

而，設(shè)，則，故值域為

注：（1）上述過程中，圖像是由反比例函數(shù)的圖像通過“左加右減，上加下減”平移得到。（2）上述化簡方法使用了換元法與分離常數(shù)法。（3）上述函數(shù)定義域為自然定義，沒有限制。

二、反比例型函數(shù)在限定范圍上的值域

例題：求的值域。

應(yīng)對策略一

【解】設(shè)代入原題得，而，

①當時，值域為。②當時，如右圖知在時函數(shù)單調(diào)遞增，當時故函數(shù)的值域為。

1

-1

③當時，如右圖知在時函數(shù)單調(diào)遞減，當 時，故函數(shù)的值域為。

1

-1

綜上所述：當時，值域為 。當時，值域為。當時值域為。

【注】：此種解法是以反比例函數(shù)為模型，以換元法、圖像法和分離常數(shù)法為工具。換元法必須寫清楚換元后變量的范圍，然后再找出圖像上變量所在范圍上的圖像，既而求出值域，此種方法是部分換元，另外還可以設(shè)，則函數(shù)可變?yōu)椋缓笤儆蓤D像法求解。應(yīng)對策略二

【另解】（1）當時，。

（2）當時，，故，得，然后，故得，由，所以，即，所以所以當時，;當時，。

當綜上所述：當 時，值域為 。當 時，值域為。當時值域為。

【注】：本題本身不是反比例型函數(shù)，但通過簡單換元后變成了限定范圍上的反比例型函數(shù)，采用“逆求法”或“反解法”求解，由題目中反解出自變量關(guān)于函數(shù)值的函數(shù)。根據(jù)自變量的范圍建立關(guān)于函數(shù)值y的不等式去解函數(shù)值的范圍。

第2篇

一、相關(guān)概念

函數(shù)y＝f(x)中，函數(shù)值是與自變量x的值對應(yīng)的y值。函數(shù)的值域是函數(shù)值的集合，是指圖象在y軸上的投影所覆蓋的實數(shù)y的集合。函數(shù)的值域由函數(shù)的定義域及其對應(yīng)法則唯一確定；當函數(shù)由實際問題給出時，函數(shù)的值域由問題的實際意義確定。分式函數(shù)是解析式為分式形式的函數(shù)。

二、分式函數(shù)的類型及值域解法

（一）一次分式型

一次分式型是指分子與分母都是關(guān)于自變量x（或參數(shù)）的一次函數(shù)的分式函數(shù)。

1.y=cx+dax+b (a≠0)型

例1求函數(shù)y=2－3x2x－1的值域。

解析一：常數(shù)分離法。將y=cx+dax+b轉(zhuǎn)化為y=k1+k2ax+b（k1,k2為常數(shù)），則y≠k1。y=2－3x2x－1=－32+12(2x－1)，y≠－32。

解析二：反函數(shù)法。利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系，通過求反函數(shù)的定義域，得到原函數(shù)的值域。值域為y≠－32（詳解略）。

2.y=csinx+dasinx+b (a≠0)型

例2 求函數(shù)y=sinx+22－sinx的值域。

分析：這是一道含三角函數(shù)的一次分式函數(shù)，由于含三角函數(shù)，不易直接解出x，但其有一個特點：只出現(xiàn)一種三角函數(shù)名。可以考慮借助三角函數(shù)值域解題，其實質(zhì)與y=ct+dat+b（t=sinx）在t的指定區(qū)間上求值域類似。13≤y≤3。（詳解略）

3.y=csinx+dacosx+b或y=ccosx+dasinx+b (a≠0)型

例3 求函數(shù)y=3sinx－32cosx+10的值域。

分析：這道題不僅含有三角函數(shù)，且三角函數(shù)不同，例2解法行不通，但反解之后會出現(xiàn)正、余弦的和、差形式，故可考慮用疊加法。去分母以后，利用疊加公式和|sinx|≤1解題。

［－58，0］（詳解略）。

（二）二次分式型

二次分式型是指分子與分母的最高次項至少有一項是關(guān)于x的二次函數(shù)。由于出現(xiàn)了x2項，直接反解x的方法行不通。但我們知道，不等式、函數(shù)、方程三者相互聯(lián)系，可以相互轉(zhuǎn)化，所以可考慮將其轉(zhuǎn)化為不等式或方程來解題。

1.y=dx2+ex+fax2+bx+c (a、d不同時為0)，x∈[WTHZ]R型

例4 求函數(shù)y=3xx2+4的值域。

分析：去分母后，可將方程看做是含參數(shù)y的二次方程f(x)=0。由于函數(shù)的定義域并非空集，所以方程一定有解，Δ≥0(f(y)≥0),解該不等式便可求出原函數(shù)的值域。用判別式法，先去分母，得到含參數(shù)y的二次方程f(x)=0,根據(jù)判別式Δ≥0（Δ=f(y)）,即可求出值域。（詳解略）

說明：判別式法求二次函數(shù)的值域只適用于在整個定義域內(nèi)，但不能用其在指定的區(qū)間上求二次函數(shù)的值域，否則就會放大值域。

2.y=dx2+ex+fax2+bx+c (a、d不同時為0)，指定的區(qū)間上求值域型

例5 求y=16x2－21x+55－4x（x

分析：因為x

三、提煉知識，總結(jié)分式函數(shù)值域解法

求函數(shù)的值域是高中數(shù)學的難點之一，它沒有固定的方法和模式。但我們可以針對不同的題型進行歸類總結(jié)，盡最大可能地尋找不同類型分式函數(shù)求值域的通解通法。常用的方法有：

1.反函數(shù)法。這是求一次分式函數(shù)的基本方法，利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系，通過求反函數(shù)的定義域，得到原函數(shù)的值域。但要注意看清楚是在整個定義域內(nèi)，還是在指定區(qū)間上求值域。

2.判別式法。這也是求二次分式函數(shù)的基本方法之一，即先去分母，把函數(shù)轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的二次方程f(x，y)＝0，因為方程有實根，所以判別式Δ≥0，通過解不等式求得原函數(shù)的值域。需注意的是判別式法求二次函數(shù)的值域只適用于在整個定義域內(nèi)。

3.不等式法。不等式法是利用基本不等式：a＋b≥2ab (a、b∈R＋)，在指定區(qū)間上求二次分式函數(shù)的基本方法之一，當二次分式函數(shù)在指定區(qū)間上求值域時可考慮不等式法。用不等式法求值域，應(yīng)注意均值不等式的使用條件“一正、二定、三相等”。

4.換元法。換元法是求復合型分式函數(shù)值域的常用方法。當分式函數(shù)的分子或分母出現(xiàn)子函數(shù)（如三角函數(shù)）時，可考慮用換元法，將所給函數(shù)化成值域容易確定的另一函數(shù)，從而求得原函數(shù)的值域。要注意換元后自變量的取值范圍。

5.單調(diào)性法。單調(diào)性法是通過確定函數(shù)在定義域(或某個定義域的子集)上的單調(diào)性求出函數(shù)的值域的方法。

第3篇

關(guān)鍵字：反函數(shù)法、值域、復合函數(shù)

通訊地址：仲允，湛江市坡頭區(qū)雞咀山路湛江二中海東中學，524057

手機：13659744331，郵箱：

函數(shù)值域的求解是中學數(shù)學的一個難點，也是一個重點。求函數(shù)值域的方法有很多，反函數(shù)法是常用的方法之一，在一些刊物、叢書，甚至中學教師使用的《教學參考書》中也頗常見。但該法一直以來存在很多爭議。本文就反函數(shù)法求函數(shù)值域發(fā)表個人的一些看法。

在這之前先給出反函數(shù)的定義：

一般地，設(shè)函數(shù) 的值域是C，根據(jù)這個函數(shù)中x,y的關(guān)系，用y把x表示出，得到 。若對于y在C中的任何一個值，通過 ，x在A中都有唯一的值和它對應(yīng)，那么， 就表示y是自變量，x是因變量的函數(shù)，這樣的函數(shù) 叫做函數(shù) 的反函數(shù)，記作 。反函數(shù) 的定義域、值域分別是函數(shù) 的值域、定義域。

注：函數(shù)存在反函數(shù)的充要條件是，定義域與值域之間的映射是一一映射。

一、反函數(shù)法合理嗎？

反函數(shù)法的合理性一直遭到質(zhì)疑，首先我們看個例子：

例1、 求函數(shù) 的值域。

解：去分母，得

即(1)

(2)

再由 得(3)

所以函數(shù)的值域為 的實數(shù)。

對于例1，文[1]認為由(1)式到(2)式的推導并不充分，所以其推導“缺乏依據(jù)”；只有(1)式和(3)式合起來才能推出(2)式這樣又“導致循環(huán)推理”。對于這個問題，文[2]中已經(jīng)給出了一種合理的解釋。在此，筆者也發(fā)表自己的一點看法，反函數(shù)的定義域是由原函數(shù)的值域確定的，由于反函數(shù)與原函數(shù)的互相依賴的關(guān)系，反過來，在滿足一定條件的情況下，當然可以由反函數(shù)的定義域來確定原函數(shù)的值域了。因此，筆者認為反函數(shù)法在理論上是毋庸質(zhì)疑的。

二、這是反函數(shù)法嗎？

例2、 求 的值域。

解：為了求值域，由原式解出 ,

得

由此得

所以函數(shù)的值域是 。

例2在解題過程中符合反函數(shù)法的一般步驟，最后的結(jié)果也是正確的。但是我們可以發(fā)現(xiàn)在反解的過程中得到的x關(guān)于y的表達式 中變量y所對應(yīng)的x并不唯一，即反解得到的解析式不是中學范疇內(nèi)的函數(shù)解析式，所以不存在反函數(shù)。例2的結(jié)果雖然正確，但只是一種巧合。既然不存在反函數(shù)，當然不能用反函數(shù)法。

三、存在反函數(shù)就一定可以用反函數(shù)法嗎？

例3、求函數(shù) 的值域。

解1：用配方法

由于

，且y在 上為u的增函數(shù)

時， 。

解2：用類似于例1、例2的反函數(shù)法

由原函數(shù)式解出x，得

由此得

函數(shù)的值域是 。

易驗證，函數(shù) 存在反函數(shù)，反函數(shù)解析式即為 ，由解析式我們只能得到 ，事實上反函數(shù)的定義域為 （解1得出的結(jié)果是正確的）。由此我們可以看出，并不是只要原函數(shù)存在反函數(shù)就一定能用反函數(shù)法求值域。

四、什么情況可以用反函數(shù)法

由上面的討論我們可以看出，反函數(shù)法在理論上是毋容置疑的，但是又受到種種限制，很容易造成錯誤的使用。因此在什么情況下可以使用反函數(shù)法就變得很有意義。

用反函數(shù)法求函數(shù)值域需滿足兩個條件：1題目給出的函數(shù)應(yīng)該存在反函數(shù)，2 與 同解。

在中學數(shù)學所學的初等函數(shù)中滿足這兩個條件的很多，例如指數(shù)函數(shù) 的反函數(shù)是對數(shù)函數(shù) ，一次函數(shù) 的反函數(shù)還是一次函數(shù) ，反比例函數(shù) 的反函數(shù)是其本身，所有的奇次冪函數(shù) （其中n為奇數(shù)）與對應(yīng)的冪函數(shù) （其中n為奇數(shù)）互為反函數(shù)。因此它們都可以用反函數(shù)法求函數(shù)值域。當然他們的值域教材中都已經(jīng)作為結(jié)論給了出來。

顯然，由上述這些類型的函數(shù)復合而成的函數(shù)的值域都可以用反函數(shù)法來求。例如形如 類的分式函數(shù)就是由一次函數(shù)和反比例函數(shù)復合而成。再如：

例4、求 的值域

解：由已知函數(shù)得

，

解得： 或 ，故函數(shù)的值域為 。

五、小結(jié)

反函數(shù)法作為一種常用的求函數(shù)值域的方法在理論上是毋庸質(zhì)疑的，它有自身的優(yōu)勢也有很大的局限性，因此在采用某種方法之前，我們應(yīng)當首先確定題目滿不滿足使用這種方法的條件。

參考文獻

[1]孟德酉.反函數(shù)法求函數(shù)值域質(zhì)疑[J].數(shù)學通報.1990.4

第4篇

一、基本理論1

根據(jù)對稱性知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c，若對稱軸為x=x0，則f（x0-t）=f（x0+t）（其中t為常數(shù)）.

推論：對于f（x）=ax2+bx+c，若對稱軸為x=x0，則

（1）當a>0時，若|t1-t0|>|t2-x0|，則f（t1）>f（t2）；

（2）當a|t2-x0|，則f（t1）

【例1】已知f（x）=ax2+bx+c，且f（-3）=f（2），求a與b的關(guān)系.

解：f（-3）=f（2），

|-3-b12a|=|2-b12a|且-3

b12a=-3+212.

b1a=-1，即b=-a.

【例2】已知函數(shù)f（x）=3x2+2x+b，試比較5+b與b+1的大小關(guān)系.

解：由題意可知5+b=f（1），b+1=f（-1）.

又f（x）=3x2+2x+b的對稱軸為x=-213，

顯然有|1-213|

故由理論可知f（1）

二、基本理論2

若f（x）為[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，且f（a）?f（b）

推論：若f（x）=0為一元二次方程，且x=x1根的范圍是a

【例3】若方程ax2-2x+1=0的兩根滿足條件：較小的根小于1，較大的根在1和3之間，求a的取值范圍.

解：設(shè)f（x）=ax2-2x+1，則f（x）在（-∞，+∞）上連續(xù)，當然在（-∞，1），及（1，3）上也連續(xù)，由基本理論2知，必有f（1）?f（3）

評析：本題的解法避免了用判別式的繁雜計算，使解題過程大大簡化.

【例4】若方程x2-mx-m+3=0的兩根滿足條件：一根在0與1之間，另一根在1與2之間，求m的集合.

分析：由上述理論可知，應(yīng)有f（0）?f（1）

f（1）?f（2）

即（3-m）?（4-2m）

（4-2m）?（7-3m）

解得2

三、利用二次函數(shù)圖象的對稱性特征還可求一些可化為二次函數(shù)型的函數(shù)的值域

【例5】求函數(shù)y=3cos2x-4cosx+1的值域.

分析：若令cosx=t，則y=3t2-4t+1，這是一個關(guān)于t的二次函數(shù)，從而可求值域.

解：令cosx=t，則-1≤x≤1，y=3t2-4t+1，這是一個關(guān)于t的二次函數(shù)，從而可利用圖象求值域.

由前述理論可知，當t=-1時，ymax=3×（-1）2-4×（-1）+1=8；

當t=213時，ymin=-113.

第5篇

1. 觀察法

對于一些比較簡單的函數(shù)，其值域可通過觀察得到。

例1.求函數(shù)y= 的值域。

解：x≠0， ≠0

顯然函數(shù)的值域是：（-∞，0）∪（0，+∞）。

2. 二次函數(shù)法

例2.已知函數(shù)f(x)=lg［(a －1)x +(a+1)x+1］。

(1)若f(x)的定義域為(－∞，+∞)，求實數(shù)a的取值范圍；

(2)若f(x)的值域為(－∞，+∞)，求實數(shù)a的取值范圍。

解：（1）依題意(a －1）x +(a+1)x+1＞0對一切x∈R恒成立，

當a －1≠0時，其充要條件是

a -1＞0=(a+1) -4(a -1)＜0

即a＞1或a＜-1a＞ 或a＜-1

a＜-1或a＞ 。

又a=－1時，f(x)=0滿足題意，a=1時不合題意。

故a≤－1或a＞ 為所求。

(2)依題意只要t=(a －1)x +(a+1)x+1能取到(0，+∞）上的任何值，則f(x)的值域為R，故有a -1＞0≥0，解得1＜a≤ ，又當a －1=0即a=1時t=2x+1符合題意，而a=-1時不合題意，1≤a≤ 為所求。

3. 配方法

配方法是求二次函數(shù)值域最基本的方法之一。

例3.求函數(shù)y=x -2x+5，x∈［-1，2］的值域。

解：將函數(shù)配方得：y=（x-1） +4，x∈［-1，2］，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：

當x=1時，y =4

當x=-1時，y =8

故函數(shù)的值域是［4，8］。

4. 反函數(shù)法

直接求函數(shù)的值域困難時，可以通過求其原函數(shù)的定義域來確定原函數(shù)的值域。

例4.求函數(shù)y= 值域。

解：由原函數(shù)式可得：x=

則其反函數(shù)為：y=

其定義域為x≠

故所求函數(shù)的值域為（-∞， ）。

5. 函數(shù)有界性法

直接求函數(shù)的值域困難時，可以利用已學過函數(shù)的有界性，反客為主來確定函數(shù)的值域。

例5.求函數(shù)y= 的值域。

解：由原函數(shù)式可得e =

e ＞0， ＞0，

解得-1＜y＜1。

故所求函數(shù)的值域為(-1，1)。

6. 換元法

通過簡單的換元把一個函數(shù)變?yōu)楹唵魏瘮?shù)，其題型特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型。換元法是數(shù)學方法中幾種最主要方法之一，在求函數(shù)的值域中同樣發(fā)揮作用。

例6.函數(shù)y=x+ 的值域是( )。

A. (－∞，1］

B. (－∞，－1］

C. R

D .［1，+∞）

解：令 =t(t≥0)，則x= 。

y= +t=－ (t－1) +1≤1

值域為(－∞，1］。

答案：A。

總之，在具體求某個函數(shù)的值域時，首先要仔細、認真觀察其題型特征，然后選擇恰當?shù)姆椒ǎ话銉?yōu)先考慮直接法、函數(shù)單調(diào)性法和基本不等式法，然后才考慮用其他各種特殊方法。

第6篇

參數(shù)方程化為標準參數(shù)方程：

1、利用三角恒等式進行消參。消參過程中都應(yīng)注意等價性，即應(yīng)考慮變量的取值范圍，一般來說應(yīng)分別給出x,?y的范圍。在這過程中實際上是求函數(shù)值域的過程，因而可以綜合運用求值域的各種方法。?

2、所指定參數(shù)不同，方程所表示的曲線也各不相同。從而給出參數(shù)方程一般應(yīng)指明所取參數(shù)。

3、在某些特殊情況，消參之后給出x,y的范圍也不能說明原曲線的軌跡，這時應(yīng)用語言作補充說明。

（來源：文章屋網(wǎng) ）

第7篇

關(guān)鍵詞：函數(shù)；值域；教學方法

中圖分類號：G623 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）22-0100-02

一、求二次函數(shù)式在自然定義域上的值域，一般將函數(shù)式y(tǒng)=ax2+bx+c（a≠0）化為y=a（x-m）2+n的形式，這里m=-■，n=■。化成這種形式體現(xiàn)兩個優(yōu)點：①知道圖象的頂點坐標（m，n）、對稱軸及函數(shù)最值；②函數(shù)的兩個單調(diào)區(qū)間為（-∞，m]、[m，+∞）。這樣，若a>0，其值域為[m，+∞）；若a

求二次函數(shù)式在限定區(qū)間D上的值域，先考察頂點橫坐標m與區(qū)間D的關(guān)系。如果m∈D，那么一個最值就是n，再通過考察區(qū)間D的兩個端點對應(yīng)的函數(shù)值就能確定值域；如果m？埸D，那么D必是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用單調(diào)性就能求出值域。

二、化歸思想――通過替換或變形等方法把函數(shù)轉(zhuǎn)化為基本函數(shù)式或基本函數(shù)有聯(lián)系的形式，進而利用基本函數(shù)的圖象和性質(zhì)確定出值域

【例1】：求函數(shù)y=■的值域。

分析：此函數(shù)式分母變化，分子為常數(shù)，其外形就是冪函數(shù)y=■，

因此，可通過替換化歸為冪函數(shù)后就可求出值域。

解：設(shè)x2-3x+2=t，則y=■

因t=（x-■）2-■≥-■且t≠0，

如圖可知y≤-4或y>0，函數(shù)的值域為（-∞，-4]∪（0，+∞）。

【例2】：求函數(shù)y=（■）-x■-4x+5的值域。

分析：此函數(shù)式底數(shù)為常數(shù)，指數(shù)變化，外形就是指數(shù)函數(shù)y=（■）x。因此，可化歸為指數(shù)函數(shù)后，就能求出值域。

解：設(shè)-x2-4x+5=t，則y=（■）t。因t=-（x+2）2+9≤9，而y=（■）t是減函數(shù)，y>（■）9=■，即函數(shù)的值域是[■，+∞）。

三、方程思想――一個函數(shù)式實際上就是關(guān)于自變量x與函數(shù)值y的方程，而根據(jù)函數(shù)的定義可知，這個方程必關(guān)于x有解，因此有時我們把函數(shù)式變形為關(guān)于x的方程后，利用方程有解的條件建立關(guān)于y的不等式關(guān)系，從而求出值域

【例3】：求函數(shù)y=log2ax+2logax+2的值域。

分析：把函數(shù)式視為關(guān)于x的方程，則這個方程關(guān)于x有解，因為x∈（0，+∞），所以logax∈R，這樣把函數(shù)式看作關(guān)于logax的一元二次方程，那么這個方程恒有解，利用一元二次方程有解的條件就能求出值域。

解：因x>0，logax∈R，設(shè)logax=t，則函數(shù)式可變形為t2+2t+（2-y）=0 由Δ=4-4（2-y）≥0解得y≥1，故函數(shù)的值域是[1，+∞）。

四、制約思想――自變量x與函數(shù)值y相互依存又相互制約。

【例4】：求函數(shù)y=■的值域。

分析：由于y受sinx的制約，而sinx∈（-1，1），因此從函數(shù)式解出sinx=f（y），通過-1≤f（y）≤1可求得值域。

【例5】：求函數(shù)y=■的值域。

分析：由于y受x2的制約，而x2≥0，因此從函數(shù)式解出x2=f（y），通過f（y）≥0能確定值域。

五、幾何思想――幾何思想即數(shù)形結(jié)合思想，通過作出函數(shù)的圖象或根據(jù)函數(shù)式所表示的意義畫出相應(yīng)圖形，進而求出值域

思路一：畫出函數(shù)的圖象，可觀察出值域。思路二：由于|x-3|-|x+1|表示數(shù)軸上的點到3的距離與到-1的距離之差，因此，通過數(shù)軸可知值域是[-4，4]。

【例6】：求函數(shù)y=■的值域。

分析：因為函數(shù)y=■的幾何意義為兩點P（-2，0），Q（cosx，sinx）連線的斜率k，而點Q在單位圓x2+y2=1上（如圖），

易求得-■≤k≤■值域是[-■，■]。

六、注意留意基本不等式即函數(shù)的單調(diào)性

【例7】：求函數(shù)y=x（3-2x），0

解：把函數(shù)式變形為y=■（2x）（3-2x），因為2x，3-2x均為正值，所以y=■（2x）（3-2x）≤■[■]2=■，（x=■時取等號），又y>0

故函數(shù)的值域是（0，■]。

除以上基本思想方法外，要注意考察奇偶性與周期性。如果是奇函數(shù)或偶函數(shù)，我們只求正區(qū)間或負區(qū)間上函數(shù)值的范圍，根據(jù)對稱性就能確定值域；如果是周期函數(shù)，只求一周期區(qū)間上的值域。

總之，求值域是個較困難且較為靈活的問題，需靈活運用所學，靈活解決。

參考文獻：

[1]史海平.一類函數(shù)值域的新求法[J].數(shù)學教學通訊，1989（05）.

[2]方亞娜.函數(shù)值域的求法[J].甘肅教育，1998（11）.

第8篇

一、函數(shù)定義域問題

點評：函數(shù)定義域是高考的常考內(nèi)容之一，一般情況下，函數(shù)的定義域就是指使函數(shù)解析式有意義的所有實數(shù)x的集合，但實際問題的定義域必須具有實際意義，對含參數(shù)的函數(shù)定義域必須對字母參數(shù)分類討論.在一些具體函數(shù)綜合問題中，函數(shù)定義域往往具有隱蔽性，所以在研究這些問題時，必須遵循“定義域優(yōu)先”的原則.

二、函數(shù)圖象問題

點評：由于近年來高考試題加強了數(shù)形結(jié)合思想的考查，最明顯的是高考試卷中函數(shù)圖象考題的增多.要掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，在此基礎(chǔ)上，理解掌握常見的圖象平移、對稱及伸縮變換，通過對圖象的識別來考查函數(shù)的性質(zhì).

三、函數(shù)求值問題

點評：函數(shù)求值問題一直是高考常考不衰的題型，它在高考中的突出地位應(yīng)引起高度重視，有關(guān)函數(shù)求值問題大多是通過利用函數(shù)的奇偶性或周期性，將未知值轉(zhuǎn)化為已知值問題.

四、函數(shù)單調(diào)性問題

（1）當01；

（2）是否存在實數(shù)a、b（a

（3）若存在實數(shù)a、b（a

（2）不存在滿足條件的實數(shù)a、b.

若存在滿足條件的實數(shù)a、b，使得函數(shù)f（x）的定義域、值域都是[a，b]，

與a

②當a、b∈[1，+∞）時，f（x）=1-1x在[1，+∞）上為增函數(shù)，

故此時不存在適合條件的實數(shù)a、b.

③當a∈（0，1），b∈[1，+∞）時，由于1∈[a，b]，而f（1）=0[a，b]，

故此時不存在適合條件的實數(shù)a、b.

綜上可知，不存在滿足條件的實數(shù)a、b.

（3）若存在實數(shù)a、b（a0，m>0.

①當a、b∈（0，1）時，f（x）=1x-1在（0，1）上為減函數(shù)，值域為[ma，mb]，

與a

②當a∈（0，1），b∈[1，+∞）時，由于1∈[a，b]，而f（1）=0[ma，mb]，

故此時不存在適合條件的實數(shù)a、b.

③當a、b∈[1，+∞）時，f（x）=1-1x在[1，+∞）上為增函數(shù)，

點評：函數(shù)單調(diào)性是高考熱點問題之一，在歷年的高考試題中，考查利用函數(shù)單調(diào)性的試題屢見不鮮，既可以考查用定義判斷函數(shù)的單調(diào)性，用反例說明函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)，求單調(diào)區(qū)間等問題，又可以考查利用函數(shù)的單調(diào)性求應(yīng)用題中的最值問題.函數(shù)的單調(diào)性是探索函數(shù)值域或最值的常用工具，是函數(shù)思想在解題中的具體體現(xiàn)，應(yīng)當引起重視.解存在性問題的常用方法是先對結(jié)論做肯定存在的假設(shè)，然后由此肯定的假設(shè)出發(fā)，結(jié)合已知條件進行探索，由探索結(jié)果是否出現(xiàn)矛盾來作出正確判斷.

五、三個二次問題

例5 已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點，且|AB|=4，它在y軸上的截距為-3.又對任意的x都有f（x+1）=f（1-x）.

（1）求二次函數(shù)的表達式；

（2）若二次函數(shù)的圖象都在直線l：y=x+m的上方，求實數(shù)m的取值范圍.

（2）由條件知，x2-2x-3>x+m，即x2-3x-3-m>0對于x∈R恒成立，

點評：二次函數(shù)、二次不等式、二次方程是高中數(shù)學的重要內(nèi)容，它把中學數(shù)學各個分支緊緊地聯(lián)系在一起.以“三個二次”為載體，綜合二次函數(shù)、二次不等式、二次方程交叉匯合處為主干，構(gòu)筑成知識網(wǎng)絡(luò)型代數(shù)推理題，在高考試題出現(xiàn)的頻率相當高，占據(jù)著令人矚目的地位.

六、函數(shù)應(yīng)用問題

例6 某公司是一家專做產(chǎn)品A銷售的企業(yè)，第一批產(chǎn)品A上市銷售40天內(nèi)全部售完.該公司對第一批產(chǎn)品A上市后的國內(nèi)外市場銷售情況進行了跟蹤調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如圖一、二、三所示，其中圖一中的折線表示的是國外市場的日銷售量與上市時間的關(guān)系；圖二中的拋物線表示的是國內(nèi)市場的日銷售量與上市時間的關(guān)系；圖三中的折線表示的是每件產(chǎn)品A的銷售利潤與上市時間的關(guān)系（國內(nèi)外市場相同）.

（1）分別寫出國外市場的日銷售量f（t）、國內(nèi)市場的日銷售量g（t）與第一批產(chǎn)品A上市時間t的關(guān)系式；

第9篇

函數(shù)的概念：設(shè)A，B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對應(yīng)，那么就稱f：AB為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y=f（x），x∈A. 其中x叫作自變量，x的取值范圍A叫作函數(shù)的定義域；與x對應(yīng)的y值叫作函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f（x）x∈A}叫作函數(shù)的值域. 注意：函數(shù)是映射的特例（對應(yīng)集合為非空數(shù)集）.

函數(shù)三要素：定義域、對應(yīng)法則、值域

如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則相同，則這兩個函數(shù)是同一個函數(shù).

函數(shù)定義域的求法

由整體到局部，列出使函數(shù)有意義的自變量的不等關(guān)系式（組）并求解.常見依據(jù)為：

①分式中分母不為0；

②偶次根式（n為偶數(shù)）中被開方數(shù)x≥0；

③對數(shù)logax的真數(shù)x>0，底數(shù)a>0且a≠1；

④零指數(shù)冪x0的底數(shù)x≠0；

⑤求抽象函數(shù)定義域要認準自變量，如： f（x-1）的定義域為：x∈[2，3），則f（t）的定義域為：t∈[1，2）；

⑥應(yīng)用題要考慮實際意義等.

【提醒】

①對于函數(shù)定義域中的任意一個數(shù)x，在值域中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對應(yīng).

②解定義域不等式組時注意利用圖象和數(shù)軸等幾何工具，確保不疏不漏，且定義域和值域都應(yīng)寫成集合或區(qū)間的形式.

③定義域是一個基本且重要的概念，不能只機械地掌握以上所列定義域的求解方法，要深刻理解定義域在函數(shù)問題中的作用，把對函數(shù)定義域的認識深化到任何與字母范圍有關(guān)的問題中去，形成求定義域的意識.

易錯情景有：解方程忽略方程本身要有意義；求函數(shù)解析式、函數(shù)值域、函數(shù)最值時忽視定義域；判斷函數(shù)單調(diào)性、奇偶性時忽視定義域的影響；代數(shù)變形中擴大或縮小了定義域；換元過程忽視換元變量與原變量之間的關(guān)系，導致擴大或縮小變量取值范圍；忽視新引入變量的取值范圍等.

【自查題組】

（1） 已知函數(shù)f（x），x∈F，那么集合{（x，y）y=f（x），x∈F}∩{（x，y）x=1}中所含元素的個數(shù)有 個.

（2） 若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同，但定義域不同，則稱這些函數(shù)為“孿生函數(shù)”. 那么函數(shù)解析式為y=2x2+1、值域為{5，19}的“孿生函數(shù)”共有 .

（A） 10個 （B） 9個 （C） 8個 （D） 7個

（3） 下列四組中，函數(shù)f（x），g（x）表示同一函數(shù)的是 .

（A） f（x）=（）2，g（x）=x （B） f（x）=（）2，g（x）=x

（C） f（x）=x0，g（x）= （D） f（x）=，g（x）=x-1

（4） 若函數(shù)y= f（x）的定義域是[0，2]，則函數(shù)g（x）=的定義域是 .

知識要點：函數(shù)值域的求法

單調(diào)函數(shù)直接法：直接判斷函數(shù)在給定區(qū)間范圍內(nèi)的單調(diào)性，常用于求定義在閉區(qū)間上函數(shù)的值域. 如：函數(shù)f（x）=2x-，x∈[1，3]在給定區(qū)間[1，3]上單調(diào)遞增，所以值域為[f（1），f（3）]，即1，.

復合函數(shù)換元法： 將函數(shù)中的變量單元看作整體，轉(zhuǎn)化為求常用基本函數(shù)的值域.這個過程重在對基本初等函數(shù)的模式識別以及換元后變量取值范圍的求解和使用.

常見基本函數(shù)類型有：二次函數(shù)型、冪函數(shù)型、指數(shù)函數(shù)型、對數(shù)函數(shù)型、三角函數(shù)型、雙勾函數(shù)型.要結(jié)合各自的函數(shù)圖象來幫助記憶函數(shù)的性質(zhì)、特點.

其他常用方法：

①利用導數(shù)求高次多項式等非基本函數(shù)類型的最值（極值）.（必修不作要求）

②利用函數(shù)與方程的思想，把函數(shù)轉(zhuǎn)換為方程求解. 如二次函數(shù)型可利用一元二次方程求解、三角函數(shù)可利用其有界性求值域等.

③利用基本不等式或聯(lián)系幾何意義求解. 如利用均值不等式或根據(jù)題意聯(lián)想斜率、距離等幾何意義，含二元變量的問題也可作為線性規(guī)劃問題來解決.

【提醒】

①求基本函數(shù)及其復合函數(shù)的值域是很重要的考查類型，采用換元法求值域時注意通過換元所設(shè)變量與原變量之間的函數(shù)關(guān)系，應(yīng)求出所設(shè)變量的取值范圍，在此范圍內(nèi)求解.

②求特定范圍內(nèi)的函數(shù)值域問題，在不清楚所求范圍內(nèi)的函數(shù)單調(diào)性情況時，切不可盲目代值求解，應(yīng)結(jié)合函數(shù)圖象，找出圖象的最低點（最小值）和最高點（最大值）.

③形如y=（分式型函數(shù)）的最值是高考解析幾何等綜合問題常考的類型，求解時常常先轉(zhuǎn)化為雙勾型函數(shù)、反比例型函數(shù)或二次函數(shù)的形式，再求最值.

【自查題組】

（5） y=2x-5+log3，x∈[2，10]的值域為 .

（6） y=2x+1-的值域是 .

（7） 若函數(shù)f（x）=2+log3 x（1≤x≤9），則函數(shù)y=[f（x）]2+f（x2）的最大值為 .

（8） 用min{a，b，c}表示a，b，c三個數(shù)中的最小值，設(shè)f（x）=min{2x，x+2，10-x} （x≥0），則f（x）的最大值為 .

（9） 函數(shù)y=+的值域是 .

（10） 函數(shù)y=的值域是 .

知識要點：函數(shù)圖象

兩類易混淆的函數(shù)圖象

①對稱函數(shù)：若對于一切x∈R，都有f（a-x）=f（b+x），那么函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x==對稱，稱為“自身對稱”；

函數(shù)y=f（a-x）與y=f（b+x）的圖象關(guān)于直線x=（由a-x=b+x求得）對稱，稱為“相互對稱”.

②周期函數(shù)：若函數(shù)y=f（x）對于一切x∈R，都有f（x+a）=f（x+b），那么函數(shù)y=f（x）是周期函數(shù)，a-b是它的一個周期.

常用圖象變換方法

①平移：函數(shù)y=f（x+a）的圖象可由y=f（x）的圖象沿x軸向左（a>0時）或向右（a

函數(shù)y=f（x）+a的圖象可由y=f（x）的圖象沿y軸向上（a>0時）或向下（a

②伸縮：函數(shù)y=f（ax）（a>0）的圖象可由函數(shù)y=f（x）的圖象的橫坐標長度伸長或縮短為原來的得到；

函數(shù)y=af（x）（a>0）的圖象可由函數(shù)y=f（x）的圖象的縱坐標長度伸長或縮短為原來的a倍得到.

③翻折：y=f（x）的圖象可以看作y=f（x）的圖象在x軸上方部分不變，把x軸下方部分沿x軸向上翻折后所得；

y=f（x）的圖象可以看作y=f（x）的圖象在y軸右側(cè)部分沿y軸向左翻折覆蓋y軸左側(cè)圖象，并保留y軸右側(cè)圖象所得.

④對稱：函數(shù)y=f（x）與y=f（-x）的圖象關(guān)于直線x=0對稱；

函數(shù)y=f（x）與y=-f（x）的圖象關(guān)于直線y=0對稱；

函數(shù)y=f（x）與y=-f（-x）的圖象關(guān)于坐標原點對稱.

【提醒】

①識圖、辨圖類題目，應(yīng)先找出選項的差異，然后結(jié)合函數(shù)性質(zhì)和特征，如單調(diào)、對稱、特殊點、函數(shù)值的正負等來解決.

②在進行函數(shù)圖象變換時，一定要準確確認變換過程和步驟，尤其是針對自變量多重變換的問題，切記“要變只變自變量”. 如函數(shù)y=sin（2x+1）的圖象右移1個單位的過程是：y=sin[2（x-1）+1].

③數(shù)形結(jié)合是解決函數(shù)問題的重要思想方法，利用數(shù)形結(jié)合思想解題時要注意把握所畫函數(shù)圖象的特征點、對稱軸（點）、漸近線等關(guān)鍵特征，必要時需要通過運算比較，提高準確性.

【自查題組】

（11） 函數(shù)y=的圖象大致為 .

（12） 已知函數(shù)y=f（x）的圖象如圖1所示，則函數(shù)y=f（x）的圖象為

（13） 已知函數(shù)f（x）的圖象如圖2所示，那么f（x）的解析式可以是 .

（A） f（x）=x2-1

（B） f（x）=x2-2x

（C） f（x）=x2-2x

（D） f（x）=

（14） 為了得到函數(shù)y=sin（x+1）的圖象，只需把函數(shù)y=sinx的圖象上所有的點 .

（A） 向左平行移動1個單位長度

（B） 向右平行移動1個單位長度

（C） 向左平行移動π個單位長度

（D） 向右平行移動π個單位長度

（15） 如圖3所示，函數(shù)y=f（x）的圖象由兩條射線和三條線段組成.若對于所有的x∈R， f（x）>f（x-1），則正實數(shù)a的取值范圍為 .

【參考答案】

（1） 0或1

（2） B 【x的取值必須滿足從{-，}中至少選擇一個元素，且從{-3，3}中也至少選擇一個元素，組合方法共9種】

（3） C 【關(guān)鍵是分析各函數(shù)的定義域】

（4） （0，1）

（5） ，33 【 f（x）=2x-5和 g（x）=log3在x∈[2，10]上均為增函數(shù)】

（6） ，+∞ 【令t=，則t≥0，y=2（x-1）-+3=2t2-t+3=2t-2+】

（7） 13 【y=（2+log3x）2+（2+log3x2）=（log3x+3）2-3，f（x）的定義域為1≤x≤9，則在y中應(yīng)有x>0且1≤x2≤9，即1≤x≤3，因為log3x為增函數(shù)，故當x=3時，y的最大值為13】

（8） 6 【在同一坐標系中分別畫出當x≥0時函數(shù)y=2x，y=x+2，y=10-x的圖象，如圖4所示.相關(guān)區(qū)域內(nèi)不滿足題意的部分函數(shù)圖象，在圖中用虛線表示】

（9） [10，+∞）

（10） -， 【原式等價于y（x2+4）=3x，整理得：yx2-3x+4y=0.當y=0時，得x=0；當y≠0時，關(guān)于x的一元二次方程有解，則Δ=（-3）2-4×4y2≥0，解得y∈-，0∪0，.綜上可得，y∈-，】

（11） B 【由f（-x）=f（x）可知y是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，當x∞時函數(shù)值趨近于1】

（12） B

（13） B 【由圖象知f（0）=0，排除選項A； f（1）>0，排除選項C、D】

第10篇

一、追問

例如，在高一數(shù)學復習中，將必修5第91頁習題3（2）改編為求函數(shù)y=x2+3x 2+2的值域.

學生1：由基本不等式知，y=x2+3x 2+2=x2+2+1x 2+2≥2.所以函數(shù)的值域為［2,+∞).

問：解法正確嗎？

學生2：解法不對.因為x2+2=1x 2+2不成立，所以不等式不能取等號.

追問:這里不能使用基本不等式，如何求其值域呢？誰能試一試？

學生3：先證這個函數(shù)在［2,+∞)上為增函數(shù)，再由函數(shù)的單調(diào)性求值域.于是得出正確結(jié)果：函數(shù)y=x2+3x 2+2的值域為322,+∞.

點評：學生3善于觀察，聯(lián)想合理，能把問題化歸到函數(shù)的單調(diào)性這一基本性質(zhì)中去求解.

追問：還有其他解法嗎？

學生4：令t=x2+2，可得t≥2.y=x2+3x 2+2=x2+22+1x2+2-0=t2+1t-0.

這可看成定點A﹙0，-1﹚到動點P﹙t，t2﹚的斜率k，而點P在拋物線s=t2上，注意到這里,t∈［2，+∞).由圖可知，k≥322,從而函數(shù)y=x2+3x2+2的值域為322，+∞.

點評：學生4想象豐富，巧變斜率；運用數(shù)形結(jié)合思想解答此題，更加直觀明了.

在數(shù)學教學中，探究一題多解，就是引導學生從多角度去認識這個問題，全面考慮這個問題，比較各種方法的作用與優(yōu)劣，引導學生認識解題的核心問題與共同本質(zhì)，從而達到培養(yǎng)思維的深刻性與廣闊性的目的.

二、反問

例如，已知：α，β是銳角，且sinα=55,sinβ=1010，求α+β.

學生1：α+β=π4.

學生2：α+β=π4或α+β=3π4.

反問：為什么兩人所得答案不同？

學生3：得到這兩種不同的答案，是因為對相同的范圍(0,π)，余弦是單調(diào)函數(shù),滿足條件的解只有一個，而正弦函數(shù)則不然.

追問：正、余弦函數(shù)的單調(diào)性與自變量的取值范圍緊密相關(guān).誰能進一步考查α+β的范圍？

學生4：事實上，α，β為銳角，由sinα=55

追問：問題得到解決，我們有何啟發(fā)？

學生4：①要挖掘隱含條件，準確確定函數(shù)定義域非常重要.②若角的范圍在(0,π)，取余弦函數(shù)比正弦函數(shù)好.

反問：若角的范圍在(-π,π)，取余弦函數(shù)與正弦函數(shù)哪個好？

學生4：正弦函數(shù)好.

追問:選擇的根本原因是什么？

學生4:是函數(shù)的單調(diào)性.更準確地說是在所給區(qū)間內(nèi)函數(shù)是否是一一對應(yīng)的.

第11篇

關(guān)鍵詞：數(shù)學；解析幾何；求線段最值；曲化直

中圖分類號：G633.6 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）07-0241-01

解析幾何中的最值問題是高考中的熱點問題，既有選擇題又有填空題、解答題，難度中等偏高.考查上述問題時，通常考查函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸及分類討論等思想方法.這就要求同學們對最值問題要做到心中有數(shù)，運算準確，爭取在此類問題上能夠脫穎而出.下面，就常常出現(xiàn)的幾類題型介紹一下自己的看法.

例1 已知點A（-3，8），B（2，2），點P是x軸上的點，求當|AP|+|PB|最小時點P的坐標.

【解析】設(shè)點B關(guān)于x軸的對稱點為B1，連AB1交x軸于點P，則易知點P滿足|AP|+|PB|最小.可求得直線AB1的方程2x+y-2=0.令y=0，則x=1.故所求點P的坐標為（1，0）.

點評：此題考查直線上一點到直線同側(cè)的兩點距離和的最小值，往往轉(zhuǎn)化為對稱問題，用直線方程的方法求解.很好地把直線問題與幾何問題結(jié)合到了一起，難度不大，屬于易得分題.

例2 若實數(shù)x，y滿足x2+y2+8x-6y+16=0，則x+y+1的最大值為________.

【解析】解法一：令x+y+1=t，則依題設(shè)圓C：（x+4）2+（y-3）2=9與直線l：x+y+1-t=0有公共點，從而■≤r=3？圯-3■≤t≤3■.故所求最大值為3■.

解法二：因為x，y滿足C：（x+4）2+（y-3）2=9，所以可設(shè)x=-4+3cosθy=3+3sinθ（θ為參數(shù)）.所以x+y+1=3cosθ+3sinθ=3■sin（θ+■）.故所求最大值為3■.

點評：此題考查直線與圓位置關(guān)系問題.解法一考慮用圓心到直線距離與半徑比較大小，同學們?nèi)菀紫氲降⒁庥嬎銣蚀_.解法二則巧妙地運用了三角代換方法，簡化了運算步驟，是較好的選擇.

例3 如圖，已知B，C為橢圓■+■=1的兩個焦點，A（-2，■）為定點，M是橢圓上一動點，求|MA|+|MC|的最小值.

【解析】根據(jù)橢圓定義，有|MA|+|MC|=|MA|+（8-|MB|） =8-（|MB|-|MA|）.為使|MA|+|MC|取得最小值，只需|MB|-|MA|取得最大值，A、B、M三點共線時才可以取得，此時|MB|-|MA|≤|AB|=■，故所求最小值為8-■.

點評：此題考查橢圓第一定義的靈活運用，要熟練掌握轉(zhuǎn)化變形，同時應(yīng)用了三點共線原理，難度稍大，屬于拉分題.

例4 P為雙曲線■-■=1的右支上一點，M、N分別是圓（x+5）2+y2=4和（x-5）2+y2=4上的點，求|PM|-|PN|的最大值.

【解析】根據(jù)題意，作出右圖.顯然，O1，O2為雙曲線的兩個焦點.要使|PM|-|PN|最大，即要使|PM|最大，|PN|最小，以此作出M，N具置如右圖，則容易得出|PM|-|PN|最大值為：|PM|-|PN|=（|PO1|+2）-（|PO2|-1）=3+|PO1|-|PO2=3+6=9.

點評：此題屬于綜合性較強的題型，既考查了圓的方程，又考查了雙曲線的性質(zhì).但最終還是回歸到雙曲線的定義上，充分體現(xiàn)了回歸課本的指導思想.

例5 點A（3，2）為定點，點F是拋物線y2=4x的焦點，點P在拋物線y2=4x上移動，則當|PA|+|PF|取得最小值時，點P的坐標是 .

【解析】拋物線y2=4x的準線方程為x=-1，設(shè)P到準線的距離為d，則|PA|+|PF|=|PA|+d.要使|PA|+|PF|取得最小值，由右圖可知過A點的直線與準線垂直時，|PA|+|PF|取得最小值，把y=2代入y2=4x，得P（1，2）.

第12篇

1、分式的分母不等于零;

2、偶次方根的被開方數(shù)大于等于零;

3、對數(shù)的真數(shù)大于零;

4、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于零且不等于1;

5、三角函數(shù)正切函數(shù)y=tanx中x≠kπ+π/2;

6、如果函數(shù)是由實際意義確定的解析式，應(yīng)依據(jù)自變量的實際意義確定其取值范圍。

二、函數(shù)的解析式的常用求法：

1、定義法;2、換元法;3、待定系數(shù)法;4、函數(shù)方程法;5、參數(shù)法;6、配方法

三、函數(shù)的值域的常用求法：

1、換元法;2、配方法;3、判別式法;4、幾何法;5、不等式法;6、單調(diào)性法;7、直接法

四、函數(shù)的最值的常用求法：

1、配方法;2、換元法;3、不等式法;4、幾何法;5、單調(diào)性法

五、函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論：

1、若f(x),g(x)均為某區(qū)間上的增(減)函數(shù)，則f(x)+g(x)在這個區(qū)間上也為增(減)函數(shù)

2、若f(x)為增(減)函數(shù)，則-f(x)為減(增)函數(shù)

3、若f(x)與g(x)的單調(diào)性相同，則f[g(x)]是增函數(shù);若f(x)與g(x)的單調(diào)性不同，則f[g(x)]是減函數(shù)。

4、奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反。

5、常用函數(shù)的單調(diào)性解答：比較大小、求值域、求最值、解不等式、證不等式、作函數(shù)圖象。

六、函數(shù)奇偶性的常用結(jié)論：

1、如果一個奇函數(shù)在x=0處有定義，則f(0)=0，如果一個函數(shù)y=f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則f(x)=0(反之不成立)

2、兩個奇(偶)函數(shù)之和(差)為奇(偶)函數(shù);之積(商)為偶函數(shù)。

3、一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的積(商)為奇函數(shù)。