時間：2023-06-05 10:15:12
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇四則運算法則，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
1、知識范圍
(1)數列極限的概念
數列、數列極限的定義
(2)數列極限的性質
性、有界性、四則運算法則、夾通定理、單調有界數列極限存在定理
(3)函數極限的概念
函數在一點處極限的定義、左、右極限及其與極限的關系趨于無窮時函數的極限、函數極限的幾何意義
(4)函數極限的性質
性、四則運算法則、夾通定理
(5)無窮小量與無窮大量
無窮小量與無窮大量的定義、無窮小量與無窮大量的關系、無窮小量的性質、無窮小量的階
(6)兩個重要極限
2、要求
(1)理解極限的概念，會求函數在一點處的左極限與右極限，了解函數在一點處極限存在的充分必要條件。
這篇關于《如何提高小升初數學計算水平》，是
小學數學計算水平如何提高呢？計算是數學學習的基礎，計算水平不高小學數學就很難學好，我們下面就來教您如何提高小學數學計算水平吧。
第一，要對計算引起足夠的重視。
很多同學總以為計算式題比分析應用題容易得多，對一些法則、定律等知識學得比較扎實，計算是件輕而易舉的事情，因而在計算時或過于自信，或注意力不能集中，結果錯誤百出。其實，計算正確并不是一件很容易的事。例如計算一道像37×54這樣簡單的式題，要用到乘法、加法的運算法則，經過四次表內乘法和四次一位數加法才能完成。至于計算一道分數、小數四則混合運算式題，需要用到運算順序、運算定律和四則運算的法則等大量的知識，經過數十次基本計算。在這個復雜的過程中，稍有粗心大意就會使全題計算錯誤。因此，計算時來不得半點馬虎。
第二，要按照計算的一般順序進行。
首先，弄清題意，看看有沒有簡單方法、得數保留幾位小數等特別要求；其次，觀察題目特點，看看幾步運算，有無簡便算法；再次，確定運算順序。在此基礎上利用有關法則、定律進行計算(高年級動筆計算前要轉化數的形式，如帶分數化成假分數，小數與分數互化等)。最后，要仔細檢查，看有無錯抄、漏抄、算錯現象。
小學數學計算水平如何提高呢？計算是數學學習的基礎，計算水平不高小學數學就很難學好，我們下面就來教您如何提高小學數學計算水平吧。
第一，要對計算引起足夠的重視。
很多同學總以為計算式題比分析應用題容易得多，對一些法則、定律等知識學得比較扎實，計算是件輕而易舉的事情，因而在計算時或過于自信，或注意力不能集中，結果錯誤百出。其實，計算正確并不是一件很容易的事。例如計算一道像37×54這樣簡單的式題，要用到乘法、加法的運算法則，經過四次表內乘法和四次一位數加法才能完成。至于計算一道分數、小數四則混合運算式題，需要用到運算順序、運算定律和四則運算的法則等大量的知識，經過數十次基本計算。在這個復雜的過程中，稍有粗心大意就會使全題計算錯誤。因此，計算時來不得半點馬虎。
第二，要按照計算的一般順序進行。
首先，弄清題意，看看有沒有簡單方法、得數保留幾位小數等特別要求；其次，觀察題目特點，看看幾步運算，有無簡便算法；再次，確定運算順序。在此基礎上利用有關法則、定律進行計算(高年級動筆計算前要轉化數的形式，如帶分數化成假分數，小數與分數互化等)。最后，要仔細檢查，看有無錯抄、漏抄、算錯現象。
計算題是根據運算法則，進行數字間的加減乘除等運算。脫式計算題是指一種需要用遞等式計算的題目，每行計算必須要等號在前，結果在后。必須由左到右，且按照“先乘除后加減”的法則運算，同時依次按先算小括號、中括號、大括號里的數。可以運用各種運算法則使其計算更簡便與準確。
加法、減法、乘法、除法，統稱為四則運算。其中，加法和減法叫做第一級運算；乘法和除法叫做第二級運算。同級運算時，從左到右依次計算；兩級運算時，先算乘除，后算加減。有括號時，先算括號里面的，再算括號外面的；有多層括號時，先算小括號里的，再算中括號里面的，再算大括號里面的，最后算括號外面的。要是有乘方，最先算乘方。在混合運算中，先算括號內的數，括號從小到大，如有乘方先算乘方，然后從高級到低級。
（來源：文章屋網 ）
一個人的數學計算能力主要包含三個方面：即計算結果的準確性，計算方法的技巧性和計算速度的快捷性，要想提高小學生數學計算能力，我認為要從下面四個方面下功夫：
一、讓學生熟練掌握運算法規：
在小學階段，學生要學到三類數——整數（自然數）、小數和分數，這三類數都要進行四則運算——加、減、乘、除，每一類數的每一種運算都有自己特定的運算法則，熟練掌握各類運算法則是全面提高小學生數學計算能力的立足點和出發點。
怎樣讓學生熟練掌握各種運算的運算法則呢？我想教師在教學活動中應做好以下三個環節：
1、搞清算理，學生在教師指導下，通過合作討論，互相交流的方式，按照運算意義一步一步地歸納出運算法則。
2、多加練習，充分利用課內外的恰當機會，對學生進行大量的計算練習，并對學生的計算過程多加指導和評議，讓他們熟練地掌握運算法則。
3、注重糾錯，教師要注意收集學生在各類計算中出現的各種錯誤，加以分類剖析，可精心制作出一定數量的、帶有各種計算錯誤的試題卡，分發給每位學生，讓他們把題卡上的錯誤逐一更正，同時向全班說明每道試題的錯誤所在和產生錯誤的具體原因，有時學生犯的錯誤經老師指正后，再過一段時間他們又犯同樣的錯誤，遇到這種情況時，教師千萬不能急躁，要耐心疏導他們，幫助他們克服學習中的各種困擾。
二、注意培養學生估算能力
新課程把培養學生的估算能力列入其中，充分反映出估算在數學計算和實際生活中的重要性，估算能力也是一個人計算能力中相當重要的一個方面，具備良好的估算能力，實踐證明有四個好處：
1、幫助我們預知計算結果；
2、可以提高數學分析能力；
3、可以解決實際生活問題；
4、檢查結果是否基本正確。
三、切實加強學生口算訓練
在課堂中，一般采取下列步驟進行口算訓練；
1、先讓學生先口算出結果。
2、再讓學生說說自己的口算方法，對良好的口算方法及時給予肯定，有時對同一題目，還可問問學生有無別的口算方法。
3、最后教師對口算方法給予解釋和強調。
除教材中的口算題目外，教師應該再精心編制一定數量的涉及多種口算方法的練習題，在自習課上讓學生反復練習，我們要把口算訓練穿插于整個數學教學的全過程之中，使口算訓練經常化、長期化，逐步提高學生數學計算的快捷性。
四、善于采取簡便算法
本大綱適用于經濟學、 管理學以及職業教育類、 生物科學類、 地理科學類、 環境科學類、 心理學類、藥學類(除中藥學類外)六個一級學科的考生。
總要求
本大綱內容包括“高等數學”及“概率論初步”兩部分，考生應按本大綱的要求了解或 理解“高等數學”中極限和連續、一元函數微分學、一元函數積分學和多元函數微分學的基 本概念與基本理論;了解或理解“概率論”中古典概型、離散型隨機變量及其數字特征的基 本概念與基本國際要聞 學會、掌握或熟練掌握上述各部分的基本方法，應注意各部分知識 的結構及知識的內在聯系;應具有一定的抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力;能運用 基本概念、基本理論和基本方法正確地判斷和證明，準確地計算;能綜合運用所學知識分析 并解決簡單的實際問題。 本大綱對內容的要求由低到高，對概念和理論分為“了解”和“理解”兩個層次;對方 法和運算分為“會”“掌握”和“熟練”三個層次。 、
復習考試內容
一、極限和連續
(1)極限
1.知識范圍 數列極限的概念和性質
(1)數列數列極限的定義性有界性四則運算法則夾逼定理，單調有界數列極限存在定理
(2)函數極限的概念和性質 函數在一點處極限的定義，左、右極限及其與極限的關系 χ趨于無窮(χ∞，χ+∞， χ-∞)時函數的極限函數極限的幾何意義 性 四則運算法則 夾逼定理
(3)無窮小量與無窮大量無窮小量與無窮大量的定義無窮小量與無窮大量的關系，無窮小量的性質，無窮小量的比較。
(4)兩個重要極限
sin x lim x = 1 x 0
1 lim 1 + x = e x ∞x
2.要求
(1)了解極限的概念(對極限定義中“ε—N”“ε—δ”“ε—M”的描述不作要求)。掌握函數在一點處的左極限與右極限以及函數在一點處極限存在的充分必要條件。
(2)了解極限的有關性質，掌握極限的四則運算法則。
(3)理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的性質、無窮小量與無窮大量的關系， 會進行無窮小量階的比較(高階、低階、同階和等價) 。會運用等價無窮小量代換求極限。
(4)熟練掌握用兩個重要極限求極限的方法。
(2)連續
1.知識范圍
(1)函數連續的概念 函數在一點處連續的定義 左連續和右連續 函數在一點處連續的充分必要條件 函數的 間斷點
(2)函數在一點處連續的性質 連續函數的四則運算 復合函數的連續性
(3)閉區間上連續函數的性質 有界性定理 值與最小值定理 介值定理(包括零點定理)
(4)初等函數的連續性
2.要求
(1) 理解函數在一點處連續與間斷的概念， 理解函數在一點處連續與極限存在之間的關系， 掌握函數(含分段函數)在一點處的連續性的判斷方法。
(2)會求函數的間斷點。
(3)掌握在閉區間上連續函數的性質，會用它們證明一些簡單命題。
(4)理解初等函數在其定義區間上的連續性，會利用函數的連續性求極限。
二、一元函數微分學
(一)導數與微分
1.知識范圍
(1)導數概念導數的定義左導數與右導數函數在一點處可導的充分必要條件導數的幾何意義可導與連續的關系
(2)導數的四則運算法則與導數的基本公式
(3)求導方法 復合函數的求導法 隱函數的求導法 對數求導法
(4)高階導數 高階導數的定義 高階導數的計算
(5)微分 微分的定義 微分與導數的關系 微分法則 一階微分形式不變性
2.要求
(1)理解導數的概念及其幾何意義，了解可導性與連續性的關系，會用定義求函數在一點 處的導數。
(2)會求曲線上一點處的切線方程與法線方程。
(3)熟練掌握導數的基本公式、四則運算法則以及復合函數的求導方法。
(4)掌握隱函數的求導法與對數求導法。會求分段函數的導數。
(5)了解高階導數的概念，會求簡單函數的高階導數。
(6)理解微分的概念，掌握微分法則，了解可微與可導的關系，會求函數的一階微分。
(二)導數的應用
1.知識范圍
(1) 洛必達(L′Hospital)法則
(2) 函數增減性的判定法
(3) 函數極值與極值點值與最小值
(4) 曲線的凹凸性、拐點
(5) 曲線的水平漸近線與鉛直漸近線
2.要求
(1)熟練掌握用洛必達法則求“
0 ∞ ” “ ” “0∞” “∞—∞”型未定式的極限的方法。 0 ∞
(2)掌握利用導數判定函數的單調性及求函數的單調增、減區間的方法，會利用函數的增 減性證明簡單的不等式。
(3)理解函數極值的概念，掌握求函數的駐點、極值點、極值、值與最小值的方法， 會求解簡單的應用問題。
(4)會判定曲線凹凸性，會求曲線的拐點。
(5)會求曲線的水平漸近線與鉛直漸近線。
三、一元函數積分學
(一)不定積分
1.知識范圍
(1)不定積分 原函數與不定積分的定義 不定積分的性質
(2)基本積分公式
(3)換元積分法 第一換元法(湊微分法) 第二換元法
(4)分部積分法
(5)一些簡單有理函數的積分
2.要求
(1)理解原函數與不定積分的概念及其關系，掌握不定積分的性質。
(2)熟練掌握不定積分的基本公式。
(3)熟練掌握不定積分第一換元法，掌握第二換元法(僅限形如
2 2 2 2 。 ∫ a x dx、 a + x dx 的三角代換與簡單的根式代換) ∫
(4)熟練掌握不定積分的分部積分法
(5)掌握簡單有理函數不定積分的計算。
(二)定積分
1.知識范圍
(1)定積分的概念 定積分的定義及其幾何意義可積條件
(2)定積分的性質
(3)定積分的計算 變上限的定積分牛頓—萊布尼茨(Newton—Leibniz)公式換元積分法分部積分法
(4)無窮區間的廣義積分、收斂、發散、計算方法
(5)定積分的應用 平面圖形的面積、旋轉體的體積
2.要求
(1) 理解定積分的概念與幾何意義，了解可積的條件。
(2) 掌握定積分的基本性質
(3) 理解變上限的定積分是上限的函數，掌握對變上限定積分求導數的方法。
(4) 熟練掌握牛頓—萊布尼茨公式
(5) 掌握定積分的換元積分法與分部積分法。
(6) 理解無窮區間廣義積分的概念，掌握其計算方法。
(7) 掌握直角坐標系下用定積分計算平面圖形的面積以及平面圖形繞坐標軸旋轉所生成 旋轉體的體積。
四、多元函數微分學
1.知識范圍
(1)多元函數 多元函數的定義 二元函數的定義域 二元函數的幾何意義
(2)二元函數的極限與連續的概念
(3)偏導數與全微分 一階偏導數 二階偏導數 全微分
(4)復合函數的偏導數 隱函數的偏導數
(5)二元函數的無條件極值和條件極值
2.要求
(1)了解多元函數的概念，會求二元函數的定義域。了解二元函數的幾何意義。
(2)了解二元函數的極限與連續的概念。
(3)理解二元函數一階偏導數和全微分的概念，掌握二元函數的一階偏導數的求法。掌握 二元函數的二階偏導數的求法，掌握二元函數全微分的求法。
(4)掌握復合函數與隱函數的一階偏導數的求法。
(5)會求二元函數的無條件極值和條件極值。
(6)會用二元函數的無條件極值及條件極值求解簡單的實際問題。
五、概率論初步
1.知識范圍
(1)事件及其概率 隨機事件 事件的關系及其運算 概率的古典型定義 概率的性質 條件概率事件的獨立性
(2)隨機變量及其概率分布 隨機變量的概念 隨機變量的分布函數 離散型隨機變量及其概率分布 (3)隨機變量的數字特征 離散型隨機變量的數學期望 方差 標準差
2.要求
(1) 了解隨機現象、隨機試驗的基本特點;理解基本事件、樣本空間、隨機事件的概念。
(2) 掌握事件之間的關系：包含關系、相等關系、互不相容(或互斥)關系及對立關系。
(3) 理解事件之間并(和) 、交(積) 、差運算的定義，掌握其運算規律。
(4) 理解概率的古典型定義;掌握事件概率的基本性質及事件概率的計算。
(5) 會求事件的條件概念;掌握概率的乘法公式及事件的獨立性。
(6) 了解隨機變量的概念及其分布函數。
(7) 理解離散型隨機變量的定義及其概率分布，掌握概率分布的計算方法。
(8) 會求離散型隨機變量的數學期望、方差和標準差。
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難點34 導數的運算法則及基本公式應用
導數是中學限選內容中較為重要的知識，本節內容主要是在導數的定義，常用求等公式.四則運算求導法則和復合函數求導法則等問題上對考生進行訓練與指導.
難點磁場
【關鍵詞】高等數學；極限；運算方法
在高等數學中，極限是最基本、最重要的內容之一，由于極限的產生解決了數學中量的均勻變化與非均勻變化的矛盾；同時也解決了有限量與無限量的矛盾，從而使微積分中的一些基本概念有了更為確切的定義，因此成為研究高等數學的基本方法.本文根據電大的教學要求，談談極限的基本運算方法.
一、利用極限四則運算法則及初等函數的連續性求極限
1.當分母不為零時，可根據初等函數的連續性，用直接代入法求極限
例1 limx12x2-x+53x+1=2-1+53+1=32.
2.當出現“00”型時，可用分解因式法或有理化方法消去零因子，然后求極限
例2 limx3x2-5x+6x2-9=limx3（x-2）（x-3）（x-3）（x+3）=limx3x-2x+3=16.
例3 limx01+x-1x=limx0（1+x-1）（1+x+1）x（1+x+1）=limx0xx（1+x）=limx011+x+1=12.
3.當出現“∞∞”型時，可用分子分母同除以x的最高次方，然后求極限
例4 limx∞3x2-2x+1x2+6x+5=limx∞3-2x+1x21+6x+5x2=3.
4.當出現“∞-∞”型時，可轉換成“00”或“∞∞”型，然后求極限
例5 limx12x2-1-1x-1=limx12-（x+1）x2-1=limx11-xx2-1=limx1-1x+1=-12.
5.當出現數列求和時，可先利用數列的求和公式將其變形，然后求極限
例6 limx∞1+2+…+nn+2-n2=limx∞n（n+1）2（n+2）-n2=limx∞-n2（n+2）=limx∞-n2n+4=-12.
二、利用兩個重要極限求極限
例7 limx4sin（x-4）x2-16=limx4sin（x-4）（x+4）（x-4）=limx4sin（x-4）x-4·limx41x+4=1×18=18.
例8 limx0ln（1+x）x=limx0ln1+x1x=lnlimx01+x1x=lne=1.
三、利用無窮小量與有界變量的乘積仍為無窮小量這一性質求極限
例9 limx0x3sin1x.
解 因為limx0sin1x不存在，故不能直接用極限的四則運算法則求極限，注意到limx0x3=0，
且sin1x≤1，所以limx0x3sin1x=0.
例10 limx∞x-1x2+x-5（2+cosx）.
解 因limx∞x-1x2+x-5=0，且2+cosx≤3，所以limx∞x-1x2+x-5（2+cosx）=0.
四、利用變量代換求極限
例11 limx0arctanxx.
解 令t=arctanx，當x0時，t0，
所以limx0arctanxx=limt0ttant=1.
例12 limx0xex-1.
解 令t=ex-1，則x=ln（t+1），當x0時，t0，
所以limx0xex-1=limt0ln（1+t）t=limt0ln（1+t）1t=lne=1.
五、利用等價無窮小求極限
例13 limx0ln（1+sinx）3arctanx.
解 當x0時，有arctanx～x，ln（1+sinx）～sinx，
所以limx0ln（1+sinx）3arctanx=limx0sinx3x=13.
例14 limx0sin6xsin3x.
解 當x0時，有sin6x～6x，sin3x～3x，
所以limx0sin6xsin3x=limx06x3x=63=2.
【參考文獻】
數學教學學習興趣情境
興趣，是指一個人經常趨向于認識、掌握某種事物，力求參與某項活動并且帶有積極情緒色彩的心理傾向。人對他所感興趣的事物總是使他不知不覺地心向神往，表現出注意的傾向。興趣可以孕育愿望，可以滋生動力。偉大的科學家愛因斯坦說過：“興趣是最好的老師。”這就是說，一個人一旦對某事物有了濃厚的興趣，就會主動去求知、去探索、去實踐，并在求知、探索、實踐中產生愉快的情緒和體驗，所以古今中外的教育家無不重視興趣教育教學中的巨大作用。因此，在數學教學中，如何培養和激發學生的學習興趣，是我們廣大數學教師必須十分重視的一個問題，對于學習興趣的培養應當滲透到每個教學環節，貫穿于數學教學的全過程。下面就興趣的培養和激發來談我在教學中的體會。
一、愛護學生，建立和諧的師生關系
數學作為一門講理的學科，具有很強的邏輯性，數學概念和定理相比其他學科也有相當的抽象性，推理過程也要求有相當的嚴密性。正因為數學自身的學科特點，如果一名數學教師任教課時少，師生交流機會不多，這樣就會很容易在學生心中形成固板、嚴厲的印象，如果學生感覺老師很可怕，就很難喜歡他上的課，因此，數學教師在平時要多找學生談心，了解學生的思想動態，有可能的話，經常與學生進行一些集體活動，讓學生對教師產生一種親和力，這樣學生才能喜歡這位教師，進而喜歡數學這門課程。特別是對于高職學校的學生來說，通常他們都是一些數學“學困生”，對他們的態度，教師尤其不能動輒訓斥，應該循循善誘，特別注意愛護他們的自尊心，要經常運用表揚、獎勵的手段鼓勵學生，特別是那些基礎較差成績落后的學生，只要有進步，那怕是微小的進步，教師也要及時表揚，這樣才能使他們從怕上數學課直至愛上數學課，對數學這門課程產生濃厚的學習興趣。
二、創設情境，激發學生的學習興趣
在新知識教學之初，創設情境，能有效地激起學生的學習興趣，提高學習效率。例如，在講解對數函數時，我首先向學生介紹了考古學上的一個重大發現——長沙馬王堆女尸，我簡單介紹后提出問題：“有沒有哪位同學知道考古學家是憑什么推斷出女尸是屬于2000多年前的漢代的呢？”這時候，學生就會不約而同地想知道為什么，此時教師再把話鋒一轉，進入新課，同學們一定會興趣盎然地進入新知的學習。因為此時大家“胃口”都已經被吊起來了。
三、聯系舊知識，注重知識的遷移
在數學教學中，注重新知識和舊知識之間的聯系，讓學生在對比聯系中掌握新知識可以取得事半功倍的效果。例如，本學期《復數的四則運算》這節課中，我并沒有直接按照書本所羅列的復數的四則運算法則直接向學生灌輸，而是首先和學生一起復習回顧的實數的四則運算法則以及虛數單位i的簡單性質，在黑板的左邊寫下了：
學生對于這類實數早已是熟悉于心，很快就得出了正確答案。這時候，我提示學生如果將左邊式子中所有的3都換成虛數單位i的話，即是變成：
讓學生自己動手結合剛才自己做題的步驟和虛數單位i性質，能不能得出復數運算的結果。這樣學生迅速投入到新知識的探索之中，并很快得出了正確結果。這樣在不知不覺之中學生已經掌握了復數的四則運算法則，整節課輕松而愉快，教學效果極佳。
四、加強直觀，引導動手操作
在課堂教學中，采用直觀教具、投影儀等生動形象的教學手段，能使靜態的數學知識動態化，不但能激發學生學習的積極性，而且學生學到的知識也能印象深刻，永久不忘。例如，在講解正弦型函數y=Asin（ωx+φ）的圖像和性質時，我利用幾何畫板向學生展示當A、ω、φ取不同值時，對比y=sinx它們的圖像變化，在對比觀察中讓學生得出正弦型函數y=Asin（ωx+φ）的圖像和性質，取得了良好的學習效果。
五、練習多樣，重視實踐活動
在數學課堂教學中，通過多樣化的練習，是幫學生掌握知識、提高運用知識的能力，培養學習興趣，發展邏輯思維的有效途徑。在數學練習中要采用多樣的題型，使練習內容靈活多樣，富有趣味性。另外，在課外實踐中有意識地引導學生運用數學知識解決實際問題，同樣能培養學生的濃厚學習興趣。例如，在學了正弦定理和余弦定理后，結合學生的測量課，測量學校教學樓和鐘樓的高度，等等，通過數學知識的實際應用，不但能鞏固書本知識，而且能有效地激發學生學好數學的興趣。
總而言之，學習興趣對高職數學的學習非是常重要，是學好數學的重要前提。只有培養學生濃厚的學習興趣，激發他們強烈的學習愿望，才能真正讓學生成為教學的主體，才能使教師教的輕松，學生學的快樂、主動，才能有效提高課堂教學效率，提高教學質量。
參考文獻：
[1]趙玉萍.芻議職業學校數學教學[J].職教天地，2012，（3）.
[2]程德勝.基于“學習過程”的教學設計之探討[J].江蘇教育研究，2008，（12）.
[3]陳國輝.如何有效實施數學教學評價[J].江西教育，2009，（12）.
[4]黨文博.淺談中等職業學校數學教學改革[J].科技創新導報，2011，（14）.
[5]黎國光.試論職業學校數學教學的幾個關系[J].中等職業教育，2010，（11）.
寒假即將到來，你是否已經為自己做好了規劃。充實地過好這個假期，會讓你的考研復習有一個質的飛躍，相信領先教育，一定是一個正確的選擇。下面為考研學子打造的高數復習計劃。如果你能按照這個計劃做，一定可以達到理想的效果。但是面對一個很實際的問題就是，學生們放假回家了，是否能充分利用好假期，是否真的可以按計劃完成學習任務呢?因此領先在寒假期間推出一個“贏”計劃之數學集訓營，幫助大家以下面的計劃作為大綱，結合大量的練習題，科學的測試及講解，對高等數學進行知識分類，講授解題技巧。此外，還會提前開始線性代數的導學。
首先，先將寒假分為幾個階段，然后按下面計劃進行，完成高等數學(上)的復習內容。
1 第一階段復習計劃：
復習高數書上冊第一章，需要達到以下目標：
1.理解函數的概念，掌握函數的表示法，會建立應用問題的函數關系.
2.了解函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性.
3.理解復合函數及分段函數的概念，了解反函數及隱函數的概念.
4.掌握基本初等函數的性質及其圖形，了解初等函數的概念.
5.理解極限的概念，理解函數左極限與右極限的概念以及函數極限存在與左、右極限之間的關系.
6.掌握極限的性質及四則運算法則.
7.掌握極限存在的兩個準則，并會利用它們求極限，掌握利用兩個重要極限求極限的方法.
8.理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的比較方法，會用等價無窮小量求極限.
9.理解函數連續性的概念(含左連續與右連續)，會判別函數間斷點的類型.
10.了解連續函數的性質和初等函數的連續性，理解閉區間上連續函數的性質(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并會應用這些性質.
本階段主要任務是掌握函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性;基本初等函數的性質及其圖形;數列極限與函數極限的定義及其性質;無窮小量的比較;兩個重要極限;函數連續的概念、函數間斷點的類型;閉區間上連續函數的性質。
2 第二階段復習計劃：
復習高數書上冊第二章1-3節，需達到以下目標：
1.理解導數和微分的概念，理解導數與微分的關系，理解導數的幾何意義，會求平面曲線的切線方程和法線方程，了解導數的物理意義，會用導數描述一些物理量，理解函數的可導性與連續性之間的關系.
2.掌握導數的四則運算法則和復合函數的求導法則，掌握基本初等函數的導數公式.了解微分的四則運算法則和一階微分形式的不變性，會求函數的微分.
3.了解高階導數的概念，會求簡單函數的高階導數.
本周主要任務是掌握導數的幾何意義;函數的可導性與連續性之間的關系;平面曲線的切線和法線;牢記 基本初等函數的導數公式;會用遞推法計算高階導數。
3 第三階段復習計劃：
復習高數書上冊第二章 4-5節，第三章1-5節。需達到以下目標：
1.會求分段函數的導數，會求隱函數和由參數方程所確定的函數以及反函數的導數.
2.理解并會用羅爾(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和柯西(Cauchy)中值定理.
3.掌握用洛必達法則求未定式極限的方法.
4.理解函數的極值概念，掌握用導數判斷函數的單調性和求函數極值的方法，掌握函數最大值和最小值的求法及其應用.
5.會用導數判斷函數圖形的凹凸性。(注：在區間[a,b]內，設函數具有二階導數。當 時，圖形是凹的;當 時，圖形是凸的)，會求函數圖形的拐點以及水平、鉛直和斜漸近線，會描繪函數的圖形.
本周主要任務是掌握分段函數，反函數，隱函數，由參數方程確定函數的導數。會根據函數在一點的導數判斷函數的增減性。會應用微分中值定理證明。會根據洛比達法則的幾種情況應用法則求極限。掌握極值存在的必要條件，第一和第二充分條件。會計算函數的極值和最值以及函數的凸凹性。會計算函數的漸近線。會計算與導數有關的應用題[邊際問題、彈性問題、經濟問題和幾何問題的最值]。
4 第四階段復習計劃
復習高數書上冊第四章 第1-3節。需達到以下目標：
1.理解原函數的概念，理解不定積分的概念.
2.掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分的性質，掌握不定積分換元積分法與分部積分法.會求簡單函數的不定積分。
本周主要任務是掌握不定積分的性質，不定積分的公式[牢記一個函數的原函數有無窮多個，注意+C]，會運用第一，第二換元法求函數的不定積分。掌握不定積分分部積分公式并應用。
5 第五階段復習計劃
復習高數書上冊第五章第1-3節。達到以下目標：
1.理解定積分的幾何意義。
2.掌握定積分的性質及定積分中值定理。
3.掌握定積分換元積分法與定積分廣義換元法.
本周的主要任務是掌握不定積分的性質，會根據不定積分的性質做題。尤其注意積分上下限互換后積分值變為其相反數，定積分與變量無關，可根據函數奇偶性計算定積分等性質。
6 第六階段復習計劃
復習高數書上冊第五章第4節，第六章第2節。達到以下目標：
1.掌握積分上限的函數，會求它的導數，掌握牛頓-萊布尼茨公式.
2.掌握定積分換元法與定積分廣義換元法. 會求分段函數的定積分。
關鍵詞：數學課程標準 微積分 內容標準 國際比較研究
一、問題的提出
自20世紀80年代后期以來，在不少主要國家的基礎教育改革中，課程標準或教育標準幾乎不約而同地被放到了一個突出位置上；“標準”一詞一時間成了基礎教育改革，尤其是課程改革的關鍵詞[1]。其中，數學學科作為基礎教育階段的核心學科之一，在國際課程改革中常常首當其沖。數學本身的社會地位以及數學作為一門學科的自身特點，為關于數學的國際比較研究提供了內在的必要條件，數學教育國際比較也因此成為教育國際比較研究的重要領域[2]。
微積分在高中數學課程中有著重要的地位和作用。微積分的創立是數學發展中的里程碑，它的發展及廣泛應用開創了向近代數學過渡的新時期，它為研究變量與函數提供了重要的方法和手段[3]。本文將中、新、韓、日四個國家高中數學課程標準文本中微積分內容標準作為研究對象，深入分析四國高中數學課程中微積分內容標準的異同，從而得出一定結論和啟示，以期為我國已經啟動的高中數學課程標準修訂工作提供一定的參考。
二、研究設計
1.研究對象的選取
考慮到文化背景的相似性以及同為數學教育優質國家[4]，本文選取中國大陸、新加坡、韓國、日本四個國家現行的高中數學課程標準為研究對象。
其中，四國課程標準文本的選取如下：中國：2003年教育部制訂的《普通高中數學課程標準（實驗）》[3][5]。新加坡：2011年教育部的《數學教學大綱》[6]。韓國：2011年教育科學技術部的《數學教育課程》（高中部分）[7]。日本：2009年文部科學省的《高中數學學習指導要領》[8]。
為了行文方便，本文中用到以上文本時均簡稱為“某國標準”。
2.研究思路與方法
本文研究主要基于四國高中數學課程標準文本，針對其中微積分內容標準進行比較分析，尋找共性與差異，在國際視野下審視我國高中微積分內容的特點以及不足之處，進而在保持我國特色的基礎上，借鑒經濟發達國家以及數學教育高成就國家的優勢，更好地認知自己，進而反思自己，促進我國數學教育的發展；主要采用文獻、比較、內容分析等教育研究方法。
三、四國高中數學課程中微積分內容標準的比較與分析
1.內容設置的比較與分析
我國標準中將微積分內容設置在選修1-1的“導數及其應用”以及選修2-2的“導數及其應用”中。選修系列1是為那些希望在人文、社會科學方面發展的學生而設置的，選修系列2則是為那些希望在理工、經濟等方面發展的學生而設置的。系列1、系列2內容是選修系列課程中的基本內容。其中，選修1-1“導數及其應用”包括：導數概念及其幾何意義、導數的運算、導數在研究函數中的應用、生活中的優化問題距離以及數學文化共5個主題；選修2-2“導數及其應用”在此基礎上增加了“定積分與微積分基本定理”主題。
新加坡的大部分初等學院或中心學院都采用A-水平課程，學生可以靈活自主地進行課程選擇。A-水平課程中的數學科目分為Higher1（H1）、Higher2（H2）和Higher3（H3）三個層次。H1教學大綱為希望學習諸如商業、經濟和社會科學等大學課程的學生提供數學基礎；H2教學大綱為學生學習包括數學、物理和工程的大學課程做好充分準備，要求更多的數學內容；H3數學教學大綱提供給在追求學科更好水平和更深程度方面具有天資和激情的學生一個機會。H1層次“微積分”包括：微分學、積分學；H2層次包括：微分學、邁克勞林級數、積分法、定積分以及微分方程；H3層次包括H2層次中的“微積分”以及“微分方程模型”。
韓國數學課程包括兩個部分：第一部分是共同課程（從一年級到九年級），要求所有的學生必須學習相同的必修課程；第二部分是選擇課程（高中一年級到三年級），可以學習有“基本、一般、深化”層次的課程內容，建立有區別的數學課程體系。每個選修科目相對獨立。其中，微積分內容作為兩個單獨科目“微積分Ⅰ”、“微積分Ⅱ”設置在“一般科目”模塊中，微積分Ⅰ是理解數學Ⅰ和數學Ⅱ課程內容的學生可以選修的模塊；微積分Ⅱ是理解了微積分Ⅰ課程內容的學生可以選修的模塊，適合于想升入大學學習以微積分內容為基礎的自然系列（理科）或工學系列（工科）的領域的學生。另有部分內容設置在“深化課程”模塊的“高級數學Ⅱ”中。
日本高中數學課程設置為：數學Ⅰ、數學Ⅱ、數學Ⅲ、數學A、數學B、數學應用。其中，微積分內容數學Ⅱ、數學Ⅲ科目中，數學Ⅱ是用來學習高中數學核心內容和培養廣泛的數學資質和能力，在發展和擴充數學Ⅰ的內容的同時，又考慮進一步學習數學Ⅲ。數學Ⅲ是針對那些對數學有濃厚興趣、欲進一步深入學習數學的學生以及將來從事需要數學專業的學生而開設。
綜上所述，四個國家高中數學課程中微積分的內容設置大致都是分為兩個層次：基礎和深化層次。基礎層次主要是針對今后準備在人文、社會科學方面發展的學生而設置的，例如我國的選修系列1-1、新加坡的H1課程、韓國的微積分Ⅰ課程以及日本的數學Ⅱ課程中的微積分內容；深化層次則主要是針對今后準備在理工等方面發展的學生而設置的，例如我國的選修系列2-2、新加坡的H2課程、韓國的微積分Ⅱ課程以及日本的數學Ⅲ課程中的微積分內容。值得一提的是，新加坡還專門針對“有數學天賦并對數學懷有熱情的學生”而設置了H3課程。
2.基本內容的比較與分析
（1）基本內容分布概況
本文以各國標準文本中內容標準最小整句（內容條目）作為基本單位進行編碼，從微積分內容在整個高中數學課程中的比重以及微積分內容在微分學、積分學以及其他三個方面的比重分別進行統計與分析。
一方面，四國標準中微積分內容在整個高中數學課程中的比重各不相同。
我國文科數學課程內容標準共有內容條目144條，其中微積分內容9條，占高中全部課程內容的6%；理科數學課程內容標準共有內容條目159條，其中微積分內容11條，占高中全部課程內容的7%。而其他三國中微積分內容比重最高的是新加坡H3課程，高達44%；比重最低的是日本課程，也達19%。由此可見，我國微積分內容在四國高中數學課程中比重明顯偏少。
另一方面，四國標準中微積分內容在三個子內容領域（微分學、積分學、其他）中分布也各不相同。
可以發現：我國文科微積分內容中微分學比重最高（89%），同時也是唯一不包含積分學內容的；我國理科微分學比重僅次于文科比重（73%），積分學比重相比于其他三國也是最低的（9%）。對于其他三國而言，微分學比重最高的是韓國（68%），比重最低的是新加坡H3（19%）；積分學比重最高的是新加坡H1（44%），比重最低的是韓國（23%）。
進一步分析，我國微積分內容明顯傾向于微分學，文科甚至不涉及積分學；而理科的積分學相比其他國家也為最少，雖然涉及到“其他”，也僅僅是有關微積分歷史的數學文化類內容以及微積分基本定理。
（2）微分學的基本內容
導數的概念是微積分的核心概念之一，它有著極其豐富的實際背景和廣泛的應用。我國標準選修1-1、2-2中的微積分內容均是以“導數及其應用”主題呈現的，包括導數概念及其幾何意義、導數的運算、導數在研究函數中的應用以及生活中的優化問題舉例四個部分。但是2-2要求比1-1要求高。比如，在“導數的運算”中，1-1僅要求“能根據導數定義，求函數y=c，y=x，y=x2，y=■的導數”，2-2除了要求上述四類函數，還要求簡單三次函數y=x3以及無理函數y=■的導數。又如，在“導數在研究函數中的應用”中，2-2在1-1內容的基礎上還增加了“體會導數方法在研究函數性質中的一般性和有效性”。
新加坡標準H1課程中，微分學內容主要包括導數概念及其幾何意義，函數y=xn、y=ex、y=lnx以及它們與常數的乘積、和、差的導數，求復合函數的導數，導數在研究函數中的應用，利用圖形計算器求給定點處導數的數值解，導數的實際應用等。H2課程中，微分學內容要求比H1要高，較之H1增加了二次導函數大于0（小于0）的圖釋，導函數與原函數圖像的關系；隱函數和含參數函數的求導等。H3中微分學內容由H2中相關內容組成，但是要求和嚴密性比H2更高一個層次。
韓國標準中微分學內容主要包括微積分Ⅰ中的數列的極限、函數的極限與連續、多項函數的微分法（導數、導數的應用）等，微積分Ⅱ中的指數函數與對數函數、三角函數的微分、微分法（各種微分法、導數的應用）等，高級數學Ⅱ中的微分的應用（柯西中值定理）、二元函數的極限和連續、偏微分及其偏微分的應用等。
日本標準中微分學內容主要包括數學Ⅱ中的微分系數與導數、導數的應用，數學Ⅲ中的極限（數列的極限、函數的極限）、導數（函數的四則運算的導數、復合函數的導數、三角函數?指數函數?對數函數的導數）、導數的應用等。
綜上所述，四國均提及的基本知識包括：導數概念及其幾何意義、基本初等函數的導數公式、導數的四則運算法則、簡單復合函數的導數、導數在研究函數中的應用等，都是圍繞微分學核心概念“導數”的基礎知識。我國微分學課程比較注重導數在生活中的應用，四國中僅有我國和新加坡在標準中有明文顯示。然而，就內容廣度、深度來說，我國微分學內容都不及其他三個國家。
（3）積分學的基本內容
我國標準中選修1-1沒有積分學的相關內容；選修2-2提出“初步了解定積分的概念，為以后進一步學習微積分打下基礎”，進一步要求“通過實例（如求曲邊梯形的面積、變力做功等），從問題情境中了解定積分的實際背景；借助幾何直觀體會定積分的基本思想，初步了解定積分的概念”。
新加坡標準中H1課程積分學內容主要包括：冪函數、指數函數、對數函數的積分，積分的四則運算法則；簡單復合函數的積分；定積分；定積分的計算；利用圖形計算器求定積分的數值解等。H2、H3課程積分學內容主要包括：一些特殊形式的函數積分，積分方法（換元積分法、分部積分法）；定積分的概念；定積分的計算；含參數曲線所圍面積的計算；旋轉立體圖形體積的計算；使用圖形計算器求解定積分的數值解等。
韓國標準中積分學內容主要包括：不定積分的含義，積分的四則運算法則，窮竭法計算面積和體積，定積分的含義，不定積分與定積分的關系，定積分的應用（曲邊圖形的面積）；積分方法，定積分的應用（立體圖形的體積）；極坐標方程表示的由曲線圍成的領域的面積；旋轉體的體積；旋轉面的面積；瞬間、質量中心等。
日本標準中積分學內容主要包括：不定積分與定積分的含義、積分的四則運算法則、利用定積分求面積；積分方法；求曲線圖形的面積和立體圖形的體積以及曲線的長度等。
綜上所述，我國文科沒有積分學內容要求，理科要求僅僅在于“初步了解定積分的概念”。而其他三國均有的微分學基本內容包括：積分的四則運算法則，簡單函數的積分，積分方法，定積分的概念及其幾何意義，定積分的計算，旋轉立體圖形體積的計算等。就內容的廣度和深度而言，我國積分學內容均不及其他三個國家。例如，新加坡標準還要求含參數曲線所圍區域面積的計算，重視圖形計算器的使用。韓國標準還要求極坐標方程表示的曲線圍成的面積、旋轉曲面的面積等內容。
【關鍵詞】微分 直觀 近似計算
第一部分:課程設置分析
課程的地位 《微積分》是我院機電工程系、信息技術系、車輛工程系、電子電氣系各專業的一門必修公共課,是學生提高文化素質和學習有關專業知識、專門技術及獲取新知識能力的重要基礎。主要講授極限與連續,導數、微分及其應用,積分及其應用等一元函數微積分的內容。要注意引導學生在其他課程和實踐中使用數學,使學生認識數學的實用價值和經濟價值,逐步形成數學意識,提高學生分析和解決實際問題的能力。
本次課的地位 本次課的主要內容是微分。微分是《微積分》的一個重要的基本概念,它與導數概念既密切相關又有本質區別。導數反映函數變化的快慢程度,而微分則是函數增量的一種近似表達,在實際問題中經常利用微分作近似計算。微分概念的正確理解和掌握是學習后續積分知識的基礎,關于導數和微分兩者關系的處理,突出微分的地位更有意義。
教學設計理念與思路 學院以突出職業能力培養為導向,在加強實踐性教學、壓縮基礎課教學的實踐中做出了大膽的嘗試,各專業新的培養方案要求在高職的數學教育中,把培養數學素質作為教學過程的主線,加強對學生進行數學知識應用能力的培養,從而使學生的數學知識、能力、素質得到協調發展。根據教學大綱要求和當前職業教育改革的先進理念,本次課運用啟發式教學,精講多練,突出重點與難點,重視利用微分作近似計算在實際問題中的應用。
第二部:教學設計分析
一、教學目標
1.理解微分的概念及其幾何意義。
2.了解微分的四則運算法則,能運用。
3.能運用一階微分形式不變性求復合函數的微分。
4.能利用微分作近似計算。
二、教學重點和難點
重點:1.一階微分形式不變性的理解和運用;2. 在實際問題中利用微分作近似計算。
難點:微分概念及其幾何意義的理解。
三、教學方法
根據教學大綱要求和當前職業教育改革的先進理念,本次課運用啟發式教學,突出重點與難點;對于微分概念可采取由個別到一般、由具體到抽象等分析方法讓學生深入領悟其思想方法;通過典型例題的分析講解和一定數量的練習,精講多練,讓學生掌握好計算微分的方法與技巧;重視利用微分作近似計算在實際問題中的應用。
四、教學設計
[板書設計]將黑板劃分為左中右三塊,中塊和右塊主要用來書寫即寫即擦的內容,如舊課復習、新課引入、例題示范、練習講評等。新課知識要點寫在左邊,如微分定義的幾個表達式、微分形式的不變性、計算微分的方法小結、4個近似計算公式等。
[舊課復習] 通過實例或課堂練習復習復合函數求導。
[新課引入] 正方形鐵皮熱脹冷縮,其面積會隨邊長的絕對值意義上的微小改變而改變,利用這個經典例子直觀引入微分概念。
[新課講授] 微分
1. 定義:或.
.因此有.
2. 微分幾何意義:當自變量發生絕對值意義上的微小改變時函數在其切線方向上的改變量,這就是函數的微分.
3. 基本初等函數微分公式,微分運算法則,微分形式不變性.(表)
例 求函數的微分。
解一 用微分的定義求微分, 有
.
解二 利用一階微分形式不變性和微分運算法則求微分,得
.
本例小結 求函數微分的方法:利用微分的定義,利用微分的運算法則,利用一階微分形式不變性,各方法的綜合運用等。
4. 應用微分進行近似計算的4個公式。
例 有一批半徑為1cm的球,為減少表面粗糙度,要鍍上一層銅,厚度為0.01cm,估計每只球需要用銅多少克?(銅的密度為8.9g/cm3)
解 所鍍銅的體積為球半徑從1cm增加0.01cm時,球體的
增量。故由πr3知,所鍍銅的體積為
·Δr=4π×0.01=0.04π,質量為m=0.04π·8.9g=1.2g 。
本例思考 利用公式f (x0+Δx)≈ f (x0)+f ′ (x0)Δx計算函數近似值時,關鍵是選取函數f (x)的形式及正確選取x0、Δx。一般要求 f (x0)、 f ′ (x0)便于計算,|Δx|越小,計算出的函數值精確度越高。另外,在計算三角函數的近似值時,Δx必須換成弧度。
[課堂練習及講評] (略)
[本課小結]
1.微分概念及其幾何意義
2.基本初等函數微分公式
3.微分運算法則、微分形式不變性
4.微分在近似計算中的應用——四個公式
【參考文獻】
[1]孫薇榮等.微積分[M].高等教育出版社,2004.
一般認為.影響學生學習質量與學習效率的因素有兩個，一個是先天的智商因子，一個是日常的學習情緒，這兩個影響因素都可以通過后期有方向性、有目的性地去塑造與培養，進而達到提到學習能力的目的。在眾多驅動方式中，激勵性評價就是一種頗為有效的方式，特別是對于還處于啟蒙期與基礎期的低年級小學生來講，科學合理的激勵性評價會幫助他們更好更快地學習數學。
一、多維激勵覆蓋所有
以蘇教版小學數學一年級上冊《10以內的加法和減法》為例，這是學生第一次學習四則運算。在課堂上，有的學生計算得很快且答案很準確，有的學生則需要較長的時間才能得m答案，那么，對于前者，筆者傾向于從“反應性”（解答速度快可以認為是反應速度快）這個點來運用激勵性評價。對于后者，筆者傾向于從“嚴謹性”（解題速度慢可以理解為學生需要仔細認真地多番思考，避免出錯）這個點來運用激勵性評價，對于其他暫時未能解答正確的學生，筆者首先確保學生對10以內的加法和減法的運算法則認知無誤，再從“理解力”“記憶力”等角度去運用激勵性評價。總的來說，就是盡可能地針對學生在課堂上的學習表現來找到與之匹配的激勵點，讓每一名學生都可以在被激勵中提高學習的信心與熱情。
二、精準激勵強化優勢
以蘇教版小學數學二年級上冊《表內乘法》與《表內除法》為例，對于四則運算，我們一般會有口訣識記與特殊識記兩種方式。前者指的是嚴格地按照運算法則，通過識記口訣來進行運算。后者指的是對于有特殊運算規律的數字，通過巧妙的“捷徑”來進行運算。表現在學生的學習特征上就是前者的邏輯縝密能力更強，后者的靈活觀察能力更強，對此，筆者在課堂上抓住這兩種不同學生來進行激勵性評價，比如前者更多用“口訣識記得非常準確，記憶力很棒！”后者更多用“腦子轉得很快，很靈活！”這兩種不同的激勵性評價就是在對學生進行精準激勵，學生在接收到來自教師的激勵時，他們也會意識到自己的強項在哪里，長此以往，這種暗示就會幫助學生有意識地強化自己的優勢，在慢慢地鞏固過程中成為自己的學習特點。
三、適時激勵水到渠成
以蘇教版二年級下冊《角的初步認識》為例，在課堂上，筆者觀察到有的學生對于“角的大小與邊的長短沒有關系”以及“角的大小與兩邊張開的大小有關”這組關系還不是很理解，這個時候，筆者就主動鼓勵學生提問，當有學生主動舉手提問后，筆者就適時地對學生這種勇于提出疑問，勇于表達不解的態度和行為進行了肯定與表揚，很明顯的是，這位學生在舉手提問前還略顯猶豫與遲疑，但經過筆者的激勵后，明顯情緒放松了很多，而且在被激勵的狀態下，當筆者用實物來演示與說明這兩組關系時，該名學生也很快表現出聽懂的模樣并滿懷高興地做好筆記。不難看出，采用激勵性評價的好處在于這種激勵是伴隨著學生的狀態，因學生需要而產生的，這種水到渠成的方式不僅有利于放大激勵性評價的效果，而且也柔化了整堂課堂，無形中消除了很多學生可能存在的不安、緊張等負面情緒。
四、過程激勵關注成長
以蘇教版小學數學一年級上冊為例，第八單元學習的是《10以內的加法和減法》，第十單元學習的是《20以內的進位加法》，第五單元學習的是《認識10以內的數》，第九單元學習的是《認識11-20》各數，兩者之間都是遞進上升的過程。因此，學生在這兩個單元的表現就可以反映出對前面兩個單元的學習積累情況。有的學生經過比較簡單的加減法學習后，在稍微提升難度的20以內的加法時，就表現得更加嫻熟，速度更快，準確率更高，為此，筆者就會對學生的這種進步進行激勵，表揚學生的這種自我提升。過程激勵的好處與價值在于它的落腳點與關注點是動態發展的，是學生整個學習的過程，它會通過這種激勵來幫助學生一步步，一點點，一個階段一個階段地去提升與成長，最終實現能力積累升華的效果。
笛雖然是一門以科學嚴謹與縝密邏輯著稱的學科，但這并不意味著數學知識就是僵化死板的，恰恰相反，數學“靈動”之處所呈現的魅力才是真正讓人為之迷戀與傾倒的地方。從教育的角度上看，對于低年級的小學生而言，他們尚未對數學有清楚明確的認知，這時候，如果教師可以通過多維激勵、精準激勵、適時激勵、過程激勵這四種方式來鼓舞學生，則會更好地幫助學生在積極的情緒與狀態下去學習數學，掌握數學。
