時(shí)間：2023-06-02 09:59:00
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創(chuàng)造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇平行線分線段成比例定理，希望這些內(nèi)容能成為您創(chuàng)作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進(jìn)步。
知識(shí)結(jié)構(gòu)
，全國(guó)公務(wù)員共同天地
重難點(diǎn)分析
本節(jié)的重點(diǎn)是平行線分線段成比例定理.平行線分線段成比例定理是研究相似形的最重要和最基本的理論，它一方面可以直接判定線段成比例，另一方面，當(dāng)不能直接證明要證的比例成立時(shí)，常用這個(gè)定理把兩條線段的比“轉(zhuǎn)移”成另兩條線段的比.
本節(jié)的難點(diǎn)也是平行線分線段成比例定理.平行線分線段成比例定理變式較多，學(xué)生在找對(duì)應(yīng)線段時(shí)常常出現(xiàn)錯(cuò)誤；另外在研究平行線分線段成比例時(shí)，常用到代數(shù)中列方程度方法，利用已知比例式或等式列出關(guān)于未知數(shù)的方程，求出未知數(shù)，這種運(yùn)用代數(shù)方法研究幾何問題，學(xué)生接觸不多，也常常出現(xiàn)錯(cuò)誤.
教法建議
1.平行線分線段成比例定理的引入可考慮從舊知識(shí)引入，先復(fù)習(xí)平行線等分線段定理，再改變其中的條件引出平行線分線段成比例定理
2.也可考慮探究式引入，對(duì)給定幾組圖形由學(xué)生測(cè)量得出各直線與線段的關(guān)系，從而得到平行線分線段成比例定理，并加以證明，較附和學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律
（第一課時(shí)）
一、教學(xué)目標(biāo)
1．使學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上掌握平行線分線段成比例定理及其推論，并會(huì)靈活應(yīng)用.
2．使學(xué)生掌握三角形一邊平行線的判定定理.
3．已知線的成已知比的作圖問題.
4．通過應(yīng)用，培養(yǎng)識(shí)圖能力和推理論證能力.
5．通過定理的教學(xué)，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生類比的數(shù)學(xué)思想.
二、教學(xué)設(shè)計(jì)
觀察、猜想、歸納、講解
三、重點(diǎn)、難點(diǎn)
l．教學(xué)重點(diǎn)：是平行線分線段成比例定理和推論及其應(yīng)用．
2．教學(xué)難點(diǎn)：是平行線分線段成比例定理的正確性的說明及推論應(yīng)用．
四、課時(shí)安排
1課時(shí)
五、教具學(xué)具準(zhǔn)備
投影儀、膠片、常用畫圖工具．
六、教學(xué)步驟
【復(fù)習(xí)提問】
找學(xué)生敘述平行線等分線段定理．
【講解新課】
在四邊形一章里，我們學(xué)過平行線等分線段定理，今天，在此基礎(chǔ)上，我們來研究平行線平分線段成比例定理．首先復(fù)習(xí)一下平行線等分線段定理，如圖：
，且，
由于
問題：如果，那么是否還與相等呢？
教師可帶領(lǐng)學(xué)生閱讀教材P211的說明，然后強(qiáng)調(diào)：
（該定理是用舉例的方法引入的，沒有給出證明，嚴(yán)格的證明要用到我們還未學(xué)到的知識(shí)，通過舉例證明，讓同學(xué)們承認(rèn)這個(gè)定理就可以了，重要的是要求同學(xué)們正確地使用它）
因此：對(duì)于是任何正實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，都可得到：
由比例性質(zhì)，還可得到：
為了便于記憶，上述6個(gè)比例可使用一些簡(jiǎn)單的形象化的語(yǔ)言
“”.
另外，根據(jù)比例性質(zhì)，還可得到，即同一比中的兩條線段不在同一直線上，也就是“”，這里不要讓學(xué)生死記硬背，要讓學(xué)生會(huì)看圖，達(dá)到根據(jù)圖作出正確的比例即可，可多找?guī)讉€(gè)同學(xué)口答練習(xí).
平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.平行線等分線段定理可看作是這個(gè)定理的特例.
根據(jù)此定理，我們可以寫出六個(gè)比例，為了便于應(yīng)用，在以后的論證和計(jì)算中，可根據(jù)情況選用其中任何一個(gè)，參見下圖.
，
.
其中后兩種情況，為下一節(jié)學(xué)習(xí)推論作了準(zhǔn)備.
例1已知：如圖所示，.
求：BC.
解：讓學(xué)生來完成.
注：在列比例式求某線段長(zhǎng)時(shí)，盡可能將要求的線段寫成比例的第一項(xiàng)，以減少錯(cuò)誤，如例1可列比例式為：，全國(guó)公務(wù)員共同天地
例2已知：如圖所示，
求證：.
有了5.1節(jié)例4的教學(xué)，學(xué)生作此例題不會(huì)有困難，建議讓學(xué)生來完成.
【小結(jié)】
1．平行線分線段成比例定理正確性的的說明.
2．熟練掌握由定理得出的六個(gè)比例式.（對(duì)照?qǐng)D形，并注意變化）
1.兩全等三角形中對(duì)應(yīng)邊相等。
2.同一三角形中等角對(duì)等邊。
3.等腰三角形頂角的平分線或底邊的高平分底邊。
4.平行四邊形的對(duì)邊或?qū)蔷€被交點(diǎn)分成的兩段相等。
5.直角三角形斜邊的中點(diǎn)到三頂點(diǎn)距離相等。
6.線段垂直平分線上任意一點(diǎn)到線段兩段距離相等。
7.角平分線上任一點(diǎn)到角的兩邊距離相等。
8.過三角形一邊的中點(diǎn)且平行于第三邊的直線分第二邊所成的線段相等。
9.同圓（或等圓）中等弧所對(duì)的弦或與圓心等距的兩弦或等圓心角、圓周角所對(duì)的弦相等。
10.圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線的切線長(zhǎng)相等或圓內(nèi)垂直于直徑的弦被直徑分成的兩段相等。
11.兩前項(xiàng)（或兩后項(xiàng)）相等的比例式中的兩后項(xiàng)（或兩前項(xiàng)）相等。
*12.兩圓的內(nèi)（外）公切線的長(zhǎng)相等。
13.等于同一線段的兩條線段相等。
2、證明兩個(gè)角相等
1.兩全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等。
2.同一三角形中等邊對(duì)等角。
3.等腰三角形中，底邊上的中線（或高）平分頂角。
4.兩條平行線的同位角、內(nèi)錯(cuò)角或平行四邊形的對(duì)角相等。
5.同角（或等角）的余角（或補(bǔ)角）相等。
6.同圓（或圓）中，等弦（或弧）所對(duì)的圓心角相等，圓周角相等，弦切角等于它所夾的弧對(duì)的圓周角。
7.圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。
8.相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等。
9.圓的內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對(duì)角。
10.等于同一角的兩個(gè)角相等。
3、證明兩條直線互相垂直
1.等腰三角形的頂角平分線或底邊的中線垂直于底邊。
2.三角形中一邊的中線若等于這邊一半，則這一邊所對(duì)的角是直角。
3.在一個(gè)三角形中，若有兩個(gè)角互余，則第三個(gè)角是直角。
4.鄰補(bǔ)角的平分線互相垂直。
5.一條直線垂直于平行線中的一條，則必垂直于另一條。
6.兩條直線相交成直角則兩直線垂直。
7.利用到一線段兩端的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上。
8.利用勾股定理的逆定理。
9.利用菱形的對(duì)角線互相垂直。
10.在圓中平分弦（或弧）的直徑垂直于弦。
11.利用半圓上的圓周角是直角。
4、證明兩直線平行
1.垂直于同一直線的各直線平行。
2.同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等或同旁內(nèi)角互補(bǔ)的兩直線平行。
3.平行四邊形的對(duì)邊平行。
4.三角形的中位線平行于第三邊。
5.梯形的中位線平行于兩底。
6.平行于同一直線的兩直線平行。
7.一條直線截三角形的兩邊（或延長(zhǎng)線）所得的線段對(duì)應(yīng)成比例，則這條直線平行于第三邊。
5、證明線段的和差倍分
1.作兩條線段的和，證明與第三條線段相等。
2.在第三條線段上截取一段等于第一條線段，證明余下部分等于第二條線段。
3.延長(zhǎng)短線段為其二倍，再證明它與較長(zhǎng)的線段相等。
4.取長(zhǎng)線段的中點(diǎn)，再證其一半等于短線段。
5.利用一些定理（三角形的中位線、含30度的直角三角形、直角三角形斜邊上的中線、三角形的重心、相似三角形的性質(zhì)等）。
6、證明 角的和差倍分
1.與證明線段的和、差、倍、分思路相同。
2.利用角平分線的定義。
3.三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。
7、證明線段不等
1.同一三角形中，大角對(duì)大邊。
2.垂線段最短。
3.三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。
4.在兩個(gè)三角形中有兩邊分別相等而夾角不等，則夾角大的第三邊大。
5.同圓或等圓中，弧大弦大，弦心距小。
6.全量大于它的任何一部分。
8、證明兩角的不等
1.同一三角形中，大邊對(duì)大角。
2.三角形的外角大于和它不相鄰的任一內(nèi)角。
3.在兩個(gè)三角形中有兩邊分別相等，第三邊不等，第三邊大的，兩邊的夾角也大。
*4.同圓或等圓中，弧大則圓周角、圓心角大。
5.全量大于它的任何一部分。
9、證明比例式或等積式
1.利用相似三角形對(duì)應(yīng)線段成比例。
2.利用內(nèi)外角平分線定理。
3.平行線截線段成比例。
4.直角三角形中的比例中項(xiàng)定理即射影定理。
5.與圓有關(guān)的比例定理---相交弦定理、切割線定理及其推論。
6.利用比利式或等積式化得。
10、證明四點(diǎn)共圓
1.對(duì)角互補(bǔ)的四邊形的頂點(diǎn)共圓。
2.外角等于內(nèi)對(duì)角的四邊形內(nèi)接于圓。
3.同底邊等頂角的三角形的頂點(diǎn)共圓（頂角在底邊的同側(cè)）。
4.同斜邊的直角三角形的頂點(diǎn)共圓。
關(guān)鍵詞 相似三角形 問答式教學(xué) 定理
中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A
相似三角形的判定是在學(xué)生認(rèn)識(shí)相似圖形，了解相似多邊形的性質(zhì)及判定的基礎(chǔ)上才開始進(jìn)行學(xué)習(xí)的，是教材上本章的重點(diǎn)內(nèi)容。對(duì)學(xué)生的能力培養(yǎng)與訓(xùn)練，有著重要的地位。同時(shí)，新的課改教材綜合性增強(qiáng)，實(shí)踐、操作性的內(nèi)容增多，教師們也要隨之開始注重培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維。應(yīng)用新教材，如何引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)成為關(guān)鍵。新課程改革要求我們的課堂教學(xué)模式要有所改進(jìn)，充分考慮學(xué)生的好奇心和榮譽(yù)感，鼓勵(lì)學(xué)生多討論多參與，讓學(xué)生有機(jī)會(huì)講述自己的見解，教師有“度”的進(jìn)行課堂管理。
基于這種情況，筆者對(duì)相似三角形判定這章內(nèi)容的教學(xué)效果進(jìn)行了一定的總結(jié)歸納。從中發(fā)現(xiàn)了我們目前數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的一些問題和不足。同時(shí)，也總結(jié)出了一些可以提高數(shù)學(xué)課堂效率的有效方法。
1相似三角形判定的教學(xué)中存在的弊端
對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)，從導(dǎo)入部分開始到中間的講解、討論，再到最后的總結(jié)、練習(xí)，需要我們教師一氣呵成的完成。但是目前在數(shù)學(xué)相似三角形判定這一環(huán)節(jié)的教學(xué)上，我們?cè)S多教師還是存在一些問題。第一，在時(shí)間的安排上有所欠缺。第二，教師在課件教案的制作上還是不夠精練完美，甚至有的教師還不能夠完全掌握制作課件的技能。第三，很多教師在本章節(jié)中制定的自己的教學(xué)設(shè)計(jì)超出了學(xué)生的認(rèn)知接受能力。以上都是存在于我們課堂中的一些問題，其中課堂氣氛的調(diào)動(dòng)方面是我們最需要注意的一個(gè)因素，許多教師在講課的時(shí)候，只顧自己講解一些判定理論，并沒有將學(xué)生真正的帶入到數(shù)學(xué)世界中去，沒有讓所有的學(xué)生沉浸在數(shù)學(xué)的思考中，使部分學(xué)生有所顧忌，而被事物影響。
2提高教學(xué)效率的策略
教學(xué)環(huán)節(jié)中新的教育理念是：“教師要由過去單一的指導(dǎo)者變成了引導(dǎo)者、參與者、組織者、合作者”，所以教師不僅要注重培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，更要尊重學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，不能扼殺學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。通過對(duì)相似三角形判定本章內(nèi)容的教學(xué)的分析，以下從四方面進(jìn)行闡述反思的總結(jié)以及對(duì)教學(xué)工作提出的要求和目標(biāo)：
2.1教師教案課件設(shè)計(jì)要精細(xì)
拿相似三角形的判定一來說，對(duì)于本節(jié)課的教案課件部分，教師應(yīng)該在實(shí)際設(shè)計(jì)過中非常用心。我們可以從“利用練習(xí)本分線段成比例”的問題切入，看似平常卻另有深意。拿它作為情境引入時(shí)可以緩解學(xué)生上課的緊張感，幫忙他們快速進(jìn)行學(xué)習(xí)狀態(tài)，而且還可以讓他們帶著疑問學(xué)習(xí)，同時(shí)它貼合生活實(shí)際，來源于生活。然后讓學(xué)生通過小組合作交流，實(shí)驗(yàn)操作探究得出“平行線分線段成比例”的定理。接著，教師可以通過多媒體放映改變平行線的位置，讓學(xué)生了解“平行線分線段成比例”的定理在實(shí)際解題過程中可能出現(xiàn)的變化的。同時(shí)發(fā)現(xiàn)兩種特殊的位置關(guān)系，進(jìn)一步探究得到“平行線分線段成比例”的推論。最后用課后練習(xí)讓學(xué)生鞏固所學(xué)的定理，為學(xué)生后邊進(jìn)行相似三角形判定的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。
2.2考慮學(xué)生的個(gè)別差異性
處于初中階段的學(xué)生，思維與表達(dá)都各有差異，教師在課堂上應(yīng)該允許思維慢的學(xué)生有更多思考的空間，允許表達(dá)不清晰不流暢的學(xué)生有重復(fù)和改過的時(shí)間，教師應(yīng)該充分關(guān)注學(xué)生的個(gè)別差異性，做到因材施教。教師應(yīng)該使學(xué)生處在民主、平等、寬容的教學(xué)環(huán)境中，確保他們擁有自由支配的時(shí)間和主動(dòng)探究的心態(tài)，常常品嘗到成功的喜悅，從而使產(chǎn)生他們創(chuàng)新的欲望。
2.3在教學(xué)過程中善用情境
很多人會(huì)認(rèn)為，教學(xué)情境只有在語(yǔ)文、歷史那類學(xué)科中使用才會(huì)有效果，數(shù)學(xué)沒多大效果。其實(shí)這種觀點(diǎn)是錯(cuò)誤的，數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，也可以很好地運(yùn)用教學(xué)情境。為什么要?jiǎng)?chuàng)設(shè)一定的教學(xué)情境呢？引用德國(guó)一位學(xué)者的話：“將15克鹽放在你的面前，無論如何你難以下咽。但當(dāng)將15克鹽放入一碗美味可口的湯中，你早就在享用佳肴時(shí)將15克鹽全部吸收了。情境之于知識(shí)，猶如湯之于鹽。鹽需溶入湯中，才能被吸收；知識(shí)需要溶入情境之中，才能顯示出活力和美感。”
因此，在進(jìn)行相似三角形的判定教學(xué)時(shí)，教師有必要根據(jù)學(xué)生的特點(diǎn)、知識(shí)內(nèi)容的特點(diǎn)和教學(xué)目的，多方面創(chuàng)設(shè)形象、生動(dòng)、感人、直觀的教學(xué)情境，使學(xué)生身臨其境或如臨其境，做到以境導(dǎo)情、情境交融。
2.4尊重學(xué)生的意愿，挖掘?qū)W生潛力
教師要把學(xué)生從知識(shí)為中心的傳統(tǒng)教學(xué)的體系中解放出來，讓學(xué)生參與生活實(shí)踐，在課堂上將數(shù)學(xué)知識(shí)與學(xué)生生活中的認(rèn)知結(jié)合起來，不妨講講一些課外知識(shí)，比如歷史、時(shí)事、自然、科學(xué)等等方面的知識(shí)，與學(xué)生共同討論分享，增長(zhǎng)學(xué)生的知識(shí)。又或者說教師可以和學(xué)生一起進(jìn)行討論研究發(fā)現(xiàn)問題，比如在探究“平行線分線段成比例的定理和推論”的時(shí)候，教師可以與學(xué)生們一起在發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的細(xì)節(jié)上，比如請(qǐng)學(xué)生利用合比、等比、更比、反比的性質(zhì)得出所有的比例式，又比如移動(dòng)L1、L2時(shí)候的比例式是怎樣？這樣有節(jié)奏的教學(xué)，我們數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)效率自然會(huì)提高上去。
參考文獻(xiàn)
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課堂教學(xué)中，教師根據(jù)教材內(nèi)容，設(shè)計(jì)一種“問題情境”，使學(xué)生感到神秘、好奇、疑惑，點(diǎn)燃起思維火花，激起學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)目標(biāo)的認(rèn)識(shí)需要，產(chǎn)生急不可待想獲得有關(guān)知識(shí)或嘗試一下自己能力的愿望，調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，活躍了課堂氣氛，在教學(xué)中可以得到事半功倍的效果。數(shù)學(xué)教學(xué)中創(chuàng)設(shè)“問題情境”、是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的有效做法。
一、 置懸設(shè)境
思維從疑問中來，古人云：“學(xué)起于思，思源于疑。”學(xué)習(xí)中如果有疑問，就會(huì)引起學(xué)生的求知欲望。因此，在教學(xué)中要有意識(shí)地設(shè)置一些與本節(jié)有關(guān)的懸念，創(chuàng)設(shè)“情境問題”，使學(xué)生產(chǎn)生疑問，有效地激發(fā)起學(xué)生在獲取知識(shí)過程中，強(qiáng)烈地探求問題奧妙的積極性。
如講相似三角形判定定理一節(jié)時(shí)，授課前，先給同學(xué)們講一個(gè)故事：古希臘有一個(gè)哲學(xué)家泰勒斯旅行到埃及，在一個(gè)晴朗的日子里，埃及伊西達(dá)神殿的司祭長(zhǎng)陪同他去參觀胡夫金字塔，泰勒斯問司祭長(zhǎng)：“有誰知道金字塔有多高嗎？”司祭長(zhǎng)告訴他：“沒有，我的孩子，古代草片文字沒有告訴這個(gè)，而我們今天的知識(shí)使我們甚至不可能大概地判定這金字塔究竟有多高。”泰勒斯說：“可是，這是馬上可以測(cè)出來的，我可以根據(jù)我的身高測(cè)得金字塔的高度。”說完，泰勒斯隨即從白長(zhǎng)袍下取出一條結(jié)繩，在他的助手幫助下，測(cè)得塔高是131米。古事講完了，在學(xué)生們還沉浸在故事之中時(shí)，問：“誰能說出泰勒斯是如何測(cè)出塔高的？”學(xué)生們面面向視，回答不出，我告訴學(xué)生：“下面將要學(xué)習(xí)的相似三角形的判定定理就能幫助你回答。”這一懸念的設(shè)置，使學(xué)生產(chǎn)生好奇心和濃厚的興趣，急于釋疑，很自然地把學(xué)生引入到生機(jī)盎然的學(xué)習(xí)情況中去。
二、 猜想設(shè)境
在習(xí)題的教學(xué)中，一些習(xí)題難度較大學(xué)生思路受阻，往往喪失學(xué)習(xí)興趣。如果能在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生通過對(duì)比、觀察、分析和綜合，對(duì)問題產(chǎn)生猜想，則能開通學(xué)生的思路，激發(fā)起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。
要對(duì)
a4+a2b2+b4分解因式，學(xué)生感到困難，可先讓學(xué)生用兩種方法將a6-b6分解因式：
略解1
a6-b6=（a2）3-（b2）3
=（a+b）（a-b）（a4+a2b2+b4）
略解2
a6-b6=（a3）2-（b3）2
=（a+b）（a-b）
（a2+ab+b2）
（a2-ab+b2）
兩種方法，解出兩種結(jié)果，學(xué)生通過對(duì)比、觀察便可自然產(chǎn)生猜想：
a4+a2b2+b4=(a2-ab+b2)(a2+ab+b2).
至此，學(xué)生情緒激昂，信心十足，就象發(fā)現(xiàn)了新大陸，幾乎不費(fèi)力地得出拆項(xiàng)法分解++的方法。
三、 觀直設(shè)境
初中學(xué)生處于形象思維向抽象思維過渡的階段，過分抽象的內(nèi)容他們往往會(huì)感到枯燥乏味，難于理解。如果能把抽象的內(nèi)容通過直觀教具來演示，加強(qiáng)直觀教學(xué)，則有助于興趣的激發(fā)。
垂徑定理及其推論是平幾中的一個(gè)重要定理，在講授這一節(jié)時(shí)，教師用硬紙板做了一個(gè)如圖所示的教具。白教具沿對(duì)稱軸折疊演示，使學(xué)生從直觀上了解到：當(dāng)直徑CD與弦AB垂直時(shí)，直徑CD就平分弦AB所對(duì)的兩段弧。在感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，再?gòu)睦碚撋霞右宰C明，這樣有助于學(xué)生理解掌握。
四、 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)
“愛動(dòng)”是初中生的一大心理特征，在教學(xué)中如果想方法設(shè)計(jì)，順應(yīng)其心理需要，使學(xué)生通過實(shí)際操作，動(dòng)手動(dòng)腦，自己發(fā)現(xiàn)真理和論證思路，則會(huì)活躍課堂氣氛，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，促進(jìn)智力的開發(fā)。
在學(xué)習(xí)勾股定理時(shí)，先讓學(xué)生做出紙正方形（如圖）模型（6*6），并回答下列問題：圖上陰影部分的面積是多少？學(xué)生通過品拼拼湊湊，發(fā)現(xiàn)了勾股定理，撥動(dòng)起學(xué)生探求新知識(shí)的心弦，激起了濃厚的學(xué)習(xí)興趣。
五、 類比設(shè)境
不少數(shù)學(xué)知識(shí)在內(nèi)容和形式上有類似之處，它們之間既有聯(lián)系又有區(qū)別。對(duì)于這樣的教學(xué)內(nèi)容，如果能引導(dǎo)學(xué)生對(duì)新舊知識(shí)進(jìn)行比較，以期觸類旁通，則能把學(xué)生已獲得的知識(shí)和技能從已知的對(duì)象遷移到未知的對(duì)象上去，促使他們迫不及待地學(xué)習(xí)和研究。
學(xué)習(xí)三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理時(shí)，為了證明線段成比例，必須添輔助，創(chuàng)造平行條見，在三角形的外部作內(nèi)角平分線的平行線。及至要證明三角形的外角平分線性質(zhì)定理，對(duì)比三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理的處理，提出問題：
1 如何創(chuàng)造線段平行的條件，從而推出線段在比例的結(jié)論呢？
2 在三角形的內(nèi)部還是外部作平行線？如何作？
這樣通過對(duì)比提問，學(xué)生會(huì)類比已證題目順利添上輔助線。這兩題做完后，還可引導(dǎo)學(xué)生思考這一類題添輔助線的規(guī)律：根據(jù)平行線分線段成比例定理，添上輔助平行線，作出第四比例線段。
六、 變異設(shè)境
初中生往往只能集中精力學(xué)習(xí)30分鐘，在這以后的時(shí)間里，如果題目沒有吸引力，注意力就容易分散。因此，我們可以采取一題多問，一題多變，一題多解以及變換問題的條件或結(jié)論等形式，改變問題的情趣，創(chuàng)設(shè)出問題的情境，來集中學(xué)生的注意力。
初二學(xué)生學(xué)過全等三角形后，對(duì)解下題可能滿不在乎：
已知（如圖）AD與BC相交于E,BE=EC,AE=ED。求證：ABEDCE。
【關(guān)鍵詞】多媒體技術(shù) 優(yōu)化 數(shù)學(xué) 幾何教學(xué)
【中圖分類號(hào)】G427 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)l 1006-5962（2012）12（a）-0246-01
下面把本人的心得體會(huì)總結(jié)為以下幾個(gè)方面：
1 演示圖形運(yùn)動(dòng)過程。降低理論教學(xué)難度，使學(xué)生易于接受。
許多概念化教學(xué)都比較抽象，學(xué)生難以更好理解，不少教師會(huì)借助于小黑板或投影儀，試圖降低對(duì)概念理解難度，但借助干這些東西過于靜態(tài)，不能詳細(xì)講清其演變過程，學(xué)生接受上仍會(huì)死記硬背，而借助多媒體則可讓這一靜止過程動(dòng)起來。
例如，在講授平行線分線段成比例定理過程中，
我先由平行線等分線段講起，（見圖1）
在復(fù)習(xí)這一定理后，我拖動(dòng)鼠標(biāo)，移動(dòng)c
為了便于講授，我特地使b、c之間距離（圖1）
擴(kuò)大2倍，（見圖2）
告訴AB：BC=I：2，讓學(xué)生去猜測(cè)DE：EF的值，由于過程比較明顯，學(xué)生很容易回答出DE：EF=I：2，而后帶領(lǐng)學(xué)生去證明這一定理。為了便于讓學(xué)生更好理解對(duì)應(yīng)線段成比例這一問題，由圖2變動(dòng)DF位置，使DF發(fā)生平移，運(yùn)動(dòng)過程讓學(xué)生看到，但用虛線表示（見圖3、圖4、圖5）
在圖2中，學(xué)生已經(jīng)了解了對(duì)應(yīng)線段，在具體的演變過程中，他們知道了對(duì)應(yīng)線段是如何得到的，對(duì)于圖3、圖4、圖5的對(duì)應(yīng)線段有了深刻印象。接下來的練習(xí)也驗(yàn)證了這一點(diǎn)。這樣，在運(yùn)動(dòng)中化解了死記硬背或呆板教學(xué)的難度，學(xué)生很愉快的掌握了這一概念。
2 運(yùn)用多媒體演示圖形的分離。拼接。閃爍。培養(yǎng)空間想象能力
初二的學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何時(shí)一個(gè)很大障礙就是沒有形成良好的抽象思維能力，當(dāng)把幾個(gè)基本圖形疊加在一起時(shí)，他便無從入手，不知相關(guān)的等量關(guān)系在哪里，證明思路在哪里。而用多媒體進(jìn)行圖形的分解、拼接會(huì)使隱藏的條件明顯，復(fù)雜的圖形簡(jiǎn)化。
3 節(jié)省時(shí)間，提高課堂效率，培養(yǎng)一題多解思想，開發(fā)思維訓(xùn)練
初中幾何是初中數(shù)學(xué)的重要組成部分，它對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、分析能力以及邏輯思維能力和推理論證能力都是十分重要的。而在它的學(xué)習(xí)中，一直是大多數(shù)學(xué)生的難題，那么學(xué)習(xí)幾何到底有沒有捷徑呢？我們又該怎樣學(xué)習(xí)呢？這里我就如何學(xué)好初中幾何談一點(diǎn)看法。
一、牢固掌握幾何基礎(chǔ)知識(shí)是學(xué)好幾何的前提
定義、定理、公理等幾何基礎(chǔ)知識(shí)是進(jìn)行幾何證明的理論依據(jù)，務(wù)必切實(shí)掌握。學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中不僅要記住定義、定理、公理等幾何知識(shí)，而且還要揭示獲取這些知識(shí)的思維過程，要立足于把自己的思維活動(dòng)展開，輔之以必要的探討，啟發(fā)和總結(jié)，使自己從幾何定義、定理、公理等的產(chǎn)生、發(fā)展、推出的過程中認(rèn)識(shí)、理解它，從而達(dá)到能應(yīng)用定義、定理、公理等，發(fā)展了自己的能力，培養(yǎng)自己的品質(zhì)。比如：我們?cè)谧C三角形全等的問題上，你連三角形全等的判定定理都不記得，又或者記得而不會(huì)找邊、角，那又如何下手分析呢？再比如：解決平行四邊形的問題上，已知平行四邊形ABCD中…..，而你記得平行四邊形的性質(zhì)，但不會(huì)與圖形聯(lián)系，題也無從分析了。所以平時(shí)要牢固識(shí)記并理解基礎(chǔ)知識(shí)，只有這樣才是學(xué)好幾何的前提。
二、善于歸納總結(jié)
歸納總結(jié)是為了條理知識(shí)，發(fā)現(xiàn)、掌握規(guī)律，積累解題經(jīng)驗(yàn)，分析解題的能力有所提高。如：在中位線學(xué)習(xí)時(shí)有這樣一個(gè)問題，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，順次連接EFGH，求證：四邊形EFGH是平行四邊形。變式：①當(dāng)AC=BD時(shí)求證：四邊形EFGH是菱形。②當(dāng)ACBD時(shí)四邊形EFGH是矩形。通過這一問題的解決總結(jié)歸納出以下結(jié)論：①順次連接四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是平行四邊形②順次連接對(duì)角線相等的四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是菱形③順次連接對(duì)角線互相垂直的四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是矩形，有了以上這些結(jié)論在解決有關(guān)填空題、選擇題時(shí)可達(dá)到事半功倍的效果。因此善于歸納總結(jié)也是學(xué)好幾何的一大捷徑。
三、熟悉解題的常做輔助線
在初中數(shù)學(xué)幾何學(xué)習(xí)中，正確分析和判斷是學(xué)會(huì)解題的關(guān)鍵，添加輔助線是解題的鑰匙。解決幾何題如何添加輔助線是許多同學(xué)感到頭疼的問題，許多同學(xué)常因輔助線的添加方法不當(dāng)，造成解題困難。所以熟悉解題的常做輔助線可以解決這一難題。如：遇到中點(diǎn)時(shí)常常使用“倍長(zhǎng)中線”法或構(gòu)造中位線；證明兩線段之和等于第三條線段時(shí)，常使用“截長(zhǎng)”或“補(bǔ)短”的輔助線方法；遇到梯形問題時(shí)可作腰的平行線，對(duì)角線的平行線，作高等。
現(xiàn)將做輔助線的部分口訣與你分享：題中有角平分線，可向兩邊作垂線。線段垂直平分線，可向兩端把線連。三角形中兩中點(diǎn)，連結(jié)則成中位線。三角形中有中線，延長(zhǎng)中線同樣長(zhǎng)。成比例，證相似，經(jīng)常要作平行線。圓外若有一切線，切點(diǎn)圓心把線連。如果兩圓內(nèi)外切，經(jīng)過切點(diǎn)作切線。兩圓相交于兩點(diǎn)，一般作它公共弦。是直徑，成半圓，想做直角把線連。作等角，添個(gè)圓，證明題目少困難。輔助線，是虛線，畫圖注意勿改變。
四、富于聯(lián)想，全面考慮問題
富于聯(lián)想，全面考慮問題也是幾何學(xué)習(xí)的重要方法之一。如：在正方形ABCD中，以AB邊作等邊三角形ABE，求∠EDC的度數(shù)。在這個(gè)問題上若沒給定圖形時(shí)ABE就有兩種情況，一是在正方形內(nèi)部，另一種在正方形外部。若不全面考慮問題就得不到完美解決。再比如：解決等腰三角形問題中，說到角就要考慮是頂角還是底角，說到邊就要考慮是腰還是底邊。象這樣的問題在幾何的學(xué)習(xí)中是非常多見的，你要做到全面考慮就得平時(shí)富于聯(lián)想、多積累，問題自然就迎刃而解了。
五、學(xué)會(huì)幾何題的分析方法
幾何題的方法猶如語(yǔ)文中的散文，散文雖散但它形散而神不散，所以不管幾何題有多靈活都有一般分析方法。平時(shí)許多同學(xué)感到幾何題不好做，把有關(guān)定理都能背下來，這就是我們常說的在老師那兒拿“幾袋干糧”，題上的已知條件都放在那里，但往往用不上，主要是分析方法不對(duì)。當(dāng)我們拿到一道題后，一般有三個(gè)思路：一是從結(jié)論入手，看要得到這結(jié)論需要知道什么，然后逐步向已知靠攏，這就是數(shù)學(xué)中的分析法。二是發(fā)展已知，由已知聯(lián)想得到的結(jié)論，逐步推向求證；三是前兩個(gè)方法一起用，當(dāng)兩個(gè)思路在中間“接通”時(shí)，便可找到證題的思路。這就是數(shù)學(xué)中的綜合法。
例如，如圖已知AB∥CD，∠DAB=∠BCD，
求證：AD∥BC
分析欲證AD∥BC，需證∠1=∠2
要證∠1=∠2，因?yàn)椤螪AB=∠BCD（已知）
故需證∠3=∠4
要證∠3=∠4，就要證AB∥CD，
而這正是已知條件，至此，思路已通，再用綜合法書寫證明過程。
證明：AB∥CD（已知）
∠3=∠4（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）
又∠DAB=∠BCD（已知）
∠1=∠2（等式的性質(zhì)）
例1 如圖1，已知∠1=∠2=∠3=59°，則∠4=_______.
【考點(diǎn)與要求】會(huì)找出同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角、對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角，掌握平行線的判定和性質(zhì).
【解析】因?yàn)椤?=∠3，所以圖中l(wèi)1與l2平行，所以∠2=∠5=59°，因?yàn)椤?+∠5=180°，得∠4=121°.
例2 等腰三角形的兩邊長(zhǎng)是3和5，它的周長(zhǎng)是 _______.
【考點(diǎn)與要求】理解等腰三角形的概念和三角形的三邊關(guān)系，會(huì)用分類討論解答問題.
【解析】題中給出了等腰三角形的兩邊長(zhǎng)，因沒給出具體哪邊是底，故需分類討論：① 當(dāng)3是底邊長(zhǎng)時(shí)，周長(zhǎng)為5+5+3=13；② 當(dāng)5是底邊長(zhǎng)時(shí)，周長(zhǎng)為3+3+5=11.本題難點(diǎn)是求出答案后要用“三角形的任意兩邊和大于第三邊”作檢查看是否符合題意.如果將條件中的兩邊長(zhǎng)改為2和5，答案又是多少呢？
例3 如圖2，在ABC中，已知∠A=80°，∠B=60°，DE∥BC，那么∠CED的大小是_______.
【考點(diǎn)與要求】會(huì)用三角形內(nèi)角和定理、平行線的性質(zhì)，并體會(huì)轉(zhuǎn)化的思想.
【解析】要求∠CED的大小先求出∠C的度數(shù)，即∠C=180°-∠A-∠B=40°.再利用“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”求出∠CED=180°-40°=140°. 思考的重點(diǎn)是確定∠CED與哪一個(gè)角有數(shù)量上的關(guān)系.
例4 如圖3，在ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分線交AB于E，垂足為D. 若ED=5，則CE的長(zhǎng)為_______.
【考點(diǎn)與要求】會(huì)用線段垂直平分線的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)，能熟練找相等線段作代換.
【解析】根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得出BE=CE，再根據(jù)“直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半”求出BE的長(zhǎng)（BE=2DE=10），即求出CE的長(zhǎng).當(dāng)然也可以證出∠DCE=30°后，在DCE中直接求CE的長(zhǎng).
例5 已知平行四邊形ABCD中，∠B=4∠A，則∠C=_______.
【考點(diǎn)與要求】要掌握平行四邊形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，也要熟練運(yùn)用等量代換的方法.
【解析】根據(jù)平行四邊形性質(zhì)求出∠C=∠A，BC∥AD，推出∠A+∠B=180°，求出∠A的度數(shù)，即可求出∠C. ∠C=∠A=36°.
例6 如圖4，在四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn).若EF=2，BC=5，CD=3，則tanC等于_______.
【考點(diǎn)與要求】能靈活運(yùn)用三角形中位線定理、勾股定理逆定理； 熟悉銳角三角函數(shù)的定義，能用幾何直觀的思想去探索問題.
【解析】要求tanC就需獲得∠C所在的三角形（如果直接得到直角三角形那就更好），同時(shí)使用三角形中位線定理需要一個(gè)三角形，基于以上兩點(diǎn)思考，可作輔助線連接BD. 在例7 如圖5，在ABC中，EF∥BC，交AB、AC于點(diǎn)E、F，AE ∶ EB=3∶2，則AF ∶ FC=_______；SAEF ∶ SABC=_______.
【考點(diǎn)與要求】會(huì)用平行線分線段成比例性質(zhì)；掌握相似三角形的判定、性質(zhì).
【解析】EF∥BC，直接可推得AF∶FC=AE∶EB=3∶2.EF∥BC，AEF∽ABC，AF∶AC=AE∶AB. AE∶EB=3∶2，AE∶AB=3∶5.又相似三角形面積的比等于相似比的平方，SAEF ∶SABC=AE2∶AB2=9∶25.
例8 如圖6，當(dāng)寬為3 cm的刻度尺的一邊與圓相切時(shí)，另一邊與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處的讀數(shù)如圖所示（單位：cm），那么該圓的半徑為_______cm.
【考點(diǎn)與要求】能靈活運(yùn)用垂徑定理、勾股定理；會(huì)建方程模型去解決問題.
例9 如圖7，若AB是O的直徑，CD是O的弦，∠ABD=55°，則∠BCD的度數(shù)為_______.
【考點(diǎn)與要求】能熟練運(yùn)用圓周角定理的推論、直徑所對(duì)圓周角為直角、直角三角形兩銳角互余，并能用轉(zhuǎn)化的思想解題.
【解析】連接AC，得∠ACD =∠ABD=55°，AB是O的直徑，∠ACB=90°，∠BCD=90°-∠ACD=35°.
例10 O的半徑為2，直線l上有一點(diǎn)P滿足PO=2，則直線l與O的位置關(guān)系是（ ）.
A. 相切 B. 相離 C. 相離或相切 D. 相切或相交
【考點(diǎn)與要求】會(huì)利用圓心到直線距離d與圓半徑大小關(guān)系判定直線與圓的3種位置關(guān)系，能用分類討論的思想解題.
【解析】分OP垂直于直線l、OP不垂直直線l兩種情況討論.
當(dāng)OP垂直于直線l時(shí)，即圓心O到直線l的距離d=2=r，O與l相切；
當(dāng)OP不垂直于直線l時(shí)，即圓心O到直線l的距離d
故直線l與O的位置關(guān)系是相切或相交.故選D.難點(diǎn)是理解“PO”不一定是垂線段.
例11 如圖8，O中，半徑OA=4，∠AOB=120°，用陰影部分的扇形圍成的圓錐底面圓的半徑長(zhǎng)為_______.
【考點(diǎn)與要求】掌握扇形弧長(zhǎng)公式，理解陰影部分的扇形弧長(zhǎng)等于圍成圓錐底面圓的周長(zhǎng)，能用列方程的思想求出半徑長(zhǎng).
二、 圖形證明
例12 如圖9，已知點(diǎn)E、C在線段BF上，BE=CF，請(qǐng)?jiān)谙铝?個(gè)等式中，① AB=DE，② ∠ACB=∠F，③ ∠A=∠D，④ AC=DF選出兩個(gè)作為條件，推出ABC≌DEF.并予以證明.（寫出一種即可）
已知：_______，_______.求證：ABC≌DEF.
【考點(diǎn)與要求】掌握各種判定全等三角形的方法，會(huì)舉適當(dāng)?shù)姆蠢卸ㄒ粋€(gè)命題為假命題.
【解析】①④或②③或②④（選一種情況自己完成證明過程）.難點(diǎn)是對(duì)條件進(jìn)行組合時(shí)不能遺漏.
例13 如圖10，D為BC上的一點(diǎn)，AD平分∠EDC，且∠E=∠B，DE=DC. 求證：AB=AC.
【考點(diǎn)與要求】 能靈活運(yùn)用全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定，并會(huì)利用中間等量解答問題.
【解析】要證AB=AC，只要證∠B=∠C，由于∠E=∠B，而∠C和∠E是AED和ACD的對(duì)應(yīng)角（易證AED≌ACD），經(jīng)過代換得∠B=∠C，AB=AC.
例14 如圖11，在正方形ABCD中，等邊三角形AEF的頂點(diǎn)E、F分別在BC和CD上.（1） 求證：CE=CF；（2） 若等邊三角形AEF的邊長(zhǎng)為2，求正方形ABCD的周長(zhǎng).
【考點(diǎn)與要求】能靈活運(yùn)用正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理，能選擇適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)x，列出方程解決問題，體會(huì)如何借“數(shù)”來解決“形”的問題.
【解析】（1） 要證CE=CF，需證出∠CEF =∠CFE，再用“等角對(duì)等邊”證出，或先證明BE=DF，后利用等式性質(zhì)證出.
RtABE≌RtADF（HL），BE=DF，∠AEB =∠AFD，接下去可以選擇兩條思路去解決問題.
第一種思路：BC=CD ，利用等式性質(zhì)得CE=CF；
第二種思路：∠AEB =∠AFD，又∠AEF =∠AFE=60°，∠CEF =∠CFE，利用等角對(duì)等邊得CE=CF.
（2） 要求正方形ABCD的周長(zhǎng)，只要求出它的邊長(zhǎng).
第（2）小題的難點(diǎn)在于選擇好未知量以后，如何用含x的代數(shù)式表示其他線段的長(zhǎng).（如果設(shè)BE為x，那么你又該如何去解答？）
例15 如圖12，在四邊形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線AC的中點(diǎn)為O，過點(diǎn)O作AC的垂直平分線分別與AD、BC相交于點(diǎn)E、F，連接AF.
求證：AE=AF.
【考點(diǎn)與要求】本題以常用的2種證明方法解說考點(diǎn)和要求：
（1） 在三角形中，掌握等腰三角形的判定和“三線合一”性質(zhì)；
（2） 在四邊形中掌握平行四邊形的判定及菱形的判定和性質(zhì)，在三角形中掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，學(xué)會(huì)從不同的角度去思考論證，體會(huì)證明方法的靈活性.
【解析】（1） 如果在AEF中證明AE=AF，那么只要證出∠AEF =∠AFE，再利用等角對(duì)等邊就可證出結(jié)論.AD∥BC，∠AEF=∠CFE.又EF垂直平分線段AC， AF=FC.
EFAC，∠AFE=∠CFE（三線合一）.∠AEF=∠AFE， AE=AF.
（2） 如果在四邊形AECF中證出AE=AF，那么只要證明四邊形AECF是菱形.
連接CE，AD∥BC，∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO.
又AO=CO，AEO≌CFO（AAS）.
AE=CF，四邊形AECF是平行四邊形.
又EFAC，平行四邊形AECF是菱形.AE=AF.
本題的難點(diǎn)是對(duì)“過點(diǎn)O作AC的垂直平分線”這句話的理解，只表示EF垂直平分線AC，不表示AC平分線EF，垂直一定是互相的，平分不一定是互相的.
例16 如圖13，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD邊于點(diǎn)E，將BCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到DCF的位置，并延長(zhǎng)BE交DF于點(diǎn)G.
（1） 求證：BDG∽DEG；
（2） 若EG·BG=4，求BE的長(zhǎng).
【考點(diǎn)與要求】掌握相似三角形的判定及性質(zhì)，理解圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，能運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想.
【解析】（1） 由旋轉(zhuǎn)得BE=DF，∠EBC=∠CDF，∠DGE=90°.
因?yàn)椤螪GE為公共角，BE平分∠DBC，所以∠CBG=∠DBG，代換得∠DBG=∠CDF. 所以BDG∽DEG.
（2） 用第（1） 小題的結(jié)論可得DG2=EG·BG，得DG=2.又因?yàn)椤螪GE=90°，BE平分∠DBC，可得DF=2DG=4，所以BE=4.本題難點(diǎn)是將要求的BE長(zhǎng)轉(zhuǎn)化到DF長(zhǎng).
例17 如圖14，在ABC中，點(diǎn)D是AC邊上一點(diǎn)，AD=10，DC=4.以AD為直徑的O與邊BC切于點(diǎn)E，且AB=BE.
（1） 求證：AB是O的切線；
（2） 過D點(diǎn)作DF∥BC交O與點(diǎn)F ，求線段DF的長(zhǎng).
【關(guān)鍵詞】教學(xué)；轉(zhuǎn)化；培養(yǎng)；總結(jié)
著名數(shù)學(xué)家笛卡爾說，要善于把“所考察的每一個(gè)難題，都盡可能地分成細(xì)小的部分，直到可以圓滿解決的程度為止”。因此，教師在自己的教學(xué)活動(dòng)中應(yīng)充分運(yùn)用由簡(jiǎn)到繁，由易到難，由已知到未知，由特殊到一般，由具體到抽象的原則來組織和講解教材。把大問題變成小問題，把新問題變成舊問題，一個(gè)接一個(gè)，步步為營(yíng)。
我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)中，應(yīng)該重視培養(yǎng)學(xué)生自我反思自我總結(jié)的良好習(xí)慣，提高學(xué)習(xí)的自覺性。初中數(shù)學(xué)概括性較強(qiáng)，題目靈活多變，只靠課上聽懂是不夠的，需要課后進(jìn)行認(rèn)真消化，認(rèn)真總結(jié)歸納，這就要求學(xué)生具備善于自我反思和自我總結(jié)的能力。為此，我們?cè)诮虒W(xué)中，抓住時(shí)機(jī)積極培養(yǎng)。在單元結(jié)束時(shí)，幫助學(xué)生進(jìn)行自我章節(jié)小結(jié)，在解題后，積極引導(dǎo)學(xué)生反思：思解題思路和步驟，思一題多解和一題多變，思解題方法和解題規(guī)律的總結(jié)。由此培養(yǎng)學(xué)生善于進(jìn)行自我反思的習(xí)慣，擴(kuò)大知識(shí)和方法的應(yīng)用范圍，提高學(xué)習(xí)效率。
我們還應(yīng)該重視專題教學(xué)。利用專題教學(xué)，集中精力攻克難點(diǎn)，強(qiáng)化重點(diǎn)和彌補(bǔ)弱點(diǎn)，系統(tǒng)歸納某一類問題的前后知識(shí)、應(yīng)用形式、解題方法和解題規(guī)律。并借此機(jī)會(huì)對(duì)學(xué)生進(jìn)行學(xué)法的指點(diǎn)，有意滲透數(shù)學(xué)思想方法。
記得在上三角形相似時(shí)，我們會(huì)想到平行線分線段成比例，它是研究相似三角形的最重要最基本的理論，它一方面可以直接判斷線段是否成比例，另一方面，當(dāng)它不能直接判斷要證的比例成立時(shí)，常用這個(gè)定理把兩條線段的比轉(zhuǎn)化為另外兩條線段的比。對(duì)于沒出現(xiàn)線段比的等式，利用等式的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化。
現(xiàn)在我們就來看看這理論在證明題中的應(yīng)用。
我想，我們應(yīng)該在課前認(rèn)認(rèn)真真?zhèn)湔n，備學(xué)生，努力做到精講精練，提高課堂教學(xué)質(zhì)量，減輕學(xué)生學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)，不搞題海戰(zhàn)術(shù)。給予學(xué)生更多的自由支配時(shí)間，閱讀課外書籍，讓學(xué)生全面發(fā)展。
參考文獻(xiàn)：
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[2]五年中考三年模擬[M].科學(xué)教育出版社.
[3]《初中數(shù)學(xué)教與學(xué)》.
【關(guān)鍵詞】數(shù)（式）中 幾何圖形中 數(shù)學(xué)定理中 解題中
對(duì)稱的含義比較廣泛，從狹義上說，是指通常意義上的幾何對(duì)稱和代數(shù)對(duì)稱；在廣義上講，還包括對(duì)偶、勻稱、均衡、平衡、不變性、和諧統(tǒng)一等方面的內(nèi)容。從這樣的角度認(rèn)識(shí)對(duì)稱，才能領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的美――它是高度嚴(yán)謹(jǐn)和合理而達(dá)到的和諧，那是一種令人神怡的內(nèi)在和諧――這種合理與和諧，是作為數(shù)學(xué)科學(xué)的廣義對(duì)稱。
在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中，體現(xiàn)了豐富的形與數(shù)的形象對(duì)稱與抽象對(duì)稱。中學(xué)數(shù)學(xué)解題方法中也滲透了對(duì)稱的思想。對(duì)稱性是數(shù)學(xué)美的最重要的特征。在教學(xué)中，如果能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)審美能力，必能進(jìn)一步激發(fā)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，變苦學(xué)為樂學(xué)，達(dá)到事半功倍的效果。下面簡(jiǎn)要談一談對(duì)稱性在中學(xué)數(shù)學(xué)中的體現(xiàn)和應(yīng)用。
1.數(shù)（式）中體現(xiàn)出的對(duì)稱美
數(shù)（式）中體現(xiàn)出的對(duì)稱美，主要體現(xiàn)在數(shù)（式）的結(jié)構(gòu)上。例如下列公式中，a+b=b+a，ab=ba，a2-b2=（a+b）（a-b），（a±b）2 = a2±2ab+ b2 ，a3+b3 = （a+b）（a2-ab+b2） a與b的位置都具有對(duì)稱關(guān)系，它們?cè)诠街械牡匚皇且粯拥模斤@得對(duì)稱而美觀。如果學(xué)生能領(lǐng)悟到這點(diǎn)，則有助于他們記憶和運(yùn)用公式，降低學(xué)習(xí)難度。再比如輪換對(duì)稱式a3+b3+c3-3abc中，a、b、c是對(duì)稱的，并不是說它們各占30%，也是指它們的地位是平等的，但如果改為a3-b3+c3-3abc，a、b、c就不再對(duì)稱，但a和c仍是對(duì)稱的，這些需要我們仔細(xì)體會(huì)才能領(lǐng)悟。
2.幾何圖形中的對(duì)稱美
中學(xué)數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)的兩個(gè)圖形關(guān)于某一條直線成軸對(duì)稱以及軸對(duì)稱圖形、中心對(duì)稱圖形等，是數(shù)學(xué)對(duì)稱美的一種極富特色的表現(xiàn)形式。這些圖形勻稱美觀，所以在日常生活中用途非常廣泛。中外許多著名的建筑物，如北京中國(guó)美術(shù)館、廣州中山紀(jì)念堂、克里姆林宮、吉隆坡石油雙塔、巴黎圣母院、印度泰姬陵等，都是建筑師根據(jù)數(shù)學(xué)上軸對(duì)稱圖形的特點(diǎn)設(shè)計(jì)出來的。通過向?qū)W生介紹這些中外著名的對(duì)稱建筑，使學(xué)生拉近生活與數(shù)學(xué)的距離，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)中的美在生活中的指導(dǎo)作用，從而激發(fā)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情。
3.對(duì)稱在中學(xué)數(shù)學(xué)定理中有充分體現(xiàn)
從廣義的角度來說，中學(xué)數(shù)學(xué)中許多定理都蘊(yùn)藏了對(duì)稱的思想。比如三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理與三角形外角平分線性質(zhì)定理及其證明就是這樣：
三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理：三角形內(nèi)角平分線內(nèi)分對(duì)邊所得兩條線段和這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例。這個(gè)性質(zhì)定理的證明用符號(hào)語(yǔ)言可譯為：如圖1，ABC中，AD平分∠BAC， 求證：DBDC=ABAC
圖1
事實(shí)上，在圖1中過點(diǎn)D作DE∥AC交AB于E，可得DBDC=BEEA，易證ED=EA， BEED=BAAC，于是得到BDDC=ABAC
三角形外角平分線性質(zhì)定理：三角形一個(gè)外角的平分線如果與對(duì)邊的延長(zhǎng)線相交，那么該交點(diǎn)外分對(duì)邊所得兩條線段和這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例。這個(gè)性質(zhì)定理的證明用符號(hào)語(yǔ)言可譯為：如圖2，∠EAC為ABC的外角，AD′平分∠EAC交BC延長(zhǎng)線于D′，求證：D′BD′C= ABAC
圖2
分析：如圖1中，如果稱D為BC的內(nèi)分點(diǎn)的話，從廣義對(duì)稱的角度，則可稱圖2中的D′為BC的外分點(diǎn)。從對(duì)稱的思想來看，同一頂點(diǎn)A處的內(nèi)、外角平分線地位平等，因此得出的結(jié)論也應(yīng)相同。事實(shí)上，與三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理的證法完全一樣，在圖2中過點(diǎn)D′引AC的平行線即可得證。
從上可看到，由“內(nèi)”到“外”對(duì)稱地思考問題，給我們帶來的意外驚喜和發(fā)現(xiàn)。
4.對(duì)稱思想也是我們解題時(shí)探索思路，發(fā)現(xiàn)解法的一個(gè)源泉
在中學(xué)數(shù)學(xué)習(xí)題中，有很大一部分題目是從對(duì)稱性的角度提出來的，如等式兩邊成分相同，式中已知元素的地位等同等等。善于發(fā)現(xiàn)已知條件的對(duì)稱性，由此獲得解題思路，并迅速做出工整、正確的解答，是中學(xué)數(shù)學(xué)習(xí)題解答中經(jīng)常使用且行之有效的方法。
例1：分解因式a3（b-c）+b3（c-a）+c3（a-b）
解：該題給出的多項(xiàng)式對(duì)a、b、c循環(huán)對(duì)稱。若將a替換為b，則式子為0，故式
子有因式（a-b）。同理，式子也有因式（b-c）和（c-a），因此可設(shè)
a3（b-c）+b3（c-a）+c3（a-b）=k（a+b+c）（a-b）（b-c）（c-a），
k為待定系數(shù)，易算得k=-1
a3（b-c）+b3（c-a）+c3（a-b）=-（a+b+c）（a-b）（b-c）（c-a）
例2：如圖3，AH是銳角ABC的高，AB+BH=HC。求證：∠B=2∠C。
證明：作線段AB關(guān)于AH的對(duì)稱線段AB′，得AB=AB′，
等腰ABB′中，AHBB′，BH= B′H
AB+BH=HC， AB= B′C
∠C=∠B′AC
又∠A B′B=∠B， 且∠A B′B=∠C+∠B′AC
∠A B′B=2∠C， 即∠B=2∠C。
一、平面圖形的翻折問題
所謂平面圖形翻折問題，就是沿著平面圖形中的某條或幾條線段將平面圖形翻折，使之成為空間幾何體，再以此為載體考查線線、線面、面面等位置關(guān)系或數(shù)量關(guān)系的問題。平面圖形翻折前后，有些元素之間的關(guān)系已經(jīng)發(fā)生了變化，有些則沒有發(fā)生任何變化，因此圖形翻折前后相關(guān)元素之間的關(guān)系的變與不變則成為解題的關(guān)鍵。一般的規(guī)律是這樣的：翻折后還在同一個(gè)平面上的元素，性質(zhì)不發(fā)生變化；不在同一個(gè)平面上的，性質(zhì)可能會(huì)發(fā)生變化。研究翻折以后的空間圖形中的線面關(guān)系和幾何量的度量值，成為解決這類問題的關(guān)鍵性依據(jù)，這也是解決翻折問題的通性通法。
在圖形的折疊過程中，平面圖形中某些幾何元素的幾何量保持不變，或幾何元素間的某些幾何性質(zhì)或位置關(guān)系不變，這些定值問題是立體幾何中的重要問題，同時(shí)更是我們?nèi)菀缀鲆暤牡胤剑虼藨?yīng)重視分析不變的關(guān)系。在解決這類問題的過程中，常常會(huì)因?yàn)榻忸}的方法選擇不當(dāng)，再加上不斷變化的圖形，幾何元素間的關(guān)系錯(cuò)綜復(fù)雜，使得解題過程變得繁難，增大了運(yùn)算量，甚至于半途而廢。如果借助坐標(biāo)，能在變化莫測(cè)的圖形中，運(yùn)用代數(shù)方法加以解決。
二、立體幾何的綜合問題
立體幾何綜合問題（解答題）一般考查元素間的位置關(guān)系和數(shù)量，如證明線線平行或垂直、線面平行或垂直、面面所成角等，以此來考查學(xué)生對(duì)立體幾何的掌握情況。綜合試題的解答一般有兩種思路：傳統(tǒng)法和向量法。
傳統(tǒng)法是借助立體幾何的相關(guān)定義、定理（判定和性質(zhì)）、公理，通過嚴(yán)格的邏輯推理來完成。線線平行（垂直）、線面平行（垂直）、面面平行（垂直）的相互轉(zhuǎn)化是解決與平行（垂直）有關(guān)證明題的指導(dǎo)思想，解題中既要注意一般的轉(zhuǎn)化規(guī)律，又要看清題目的具體條件，選擇正確的轉(zhuǎn)化方向。平面幾何中一些平行（垂直）的判斷和性質(zhì)的靈活應(yīng)用，如中點(diǎn)、中位線（有中點(diǎn)就予以考慮）、平行線分線段成比例、勾股定理證明直角等，這些性質(zhì)也是空間線面平行（垂直）關(guān)系證明的基礎(chǔ)。
向量法是通過建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)的坐標(biāo)，結(jié)合有關(guān)公式，利用向量的計(jì)算完成證明或求解，主要解決角和距離及其相關(guān)的問題，如線線角、線面角、面面角、點(diǎn)到面的距離、多面體的體積等。
（1）證明：PQ∥平面BCD；
（2）若二面角C-BM-D的大小為60°，求∠BDC的大小.
解：（1）如圖2，取MC中點(diǎn)R，AC中點(diǎn)S，則RQ∥SM，因?yàn)镾M//CD，所以RQ//CD，
又因?yàn)镻R是MBC的中位線，所以PR//BC，又因?yàn)镻R∩RQ=R，BC∩CD=C，從而平面PQR//平面BCD，因?yàn)镻Q？奐平面PQR，所以PQ//平面BCD.
（2）如圖3，作CGBD于點(diǎn)G，作GHBM于點(diǎn)H，聯(lián)結(jié)CH.因?yàn)锳D平面BCD，CG平面BCD，所以ADCG.又CGBD，AD∩BD=D，故CG平面ABD，BM？奐平面ABD，所以CGBM。又GHBM，CG∩GH=-G，故BM平面CGH，所以GHBM，CHBM.故∠CHG為二面角C-BM-D的平面角，即∠CHG=60°。
著名教育家陶行知說：“興趣是最好的老師.”如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)習(xí)成績(jī)呢？筆者從巧編數(shù)學(xué)口訣入手，談?wù)劥譁\的認(rèn)識(shí).
優(yōu)美的語(yǔ)言表達(dá)無疑能激起人們的愉悅之感，朗朗上口的口訣或歌謠，妙趣橫生，更使人記憶深刻.數(shù)學(xué)教師在教學(xué)過程中，除了規(guī)范而又準(zhǔn)確，流暢而又不失優(yōu)美，生動(dòng)而又風(fēng)趣的語(yǔ)言表達(dá)外，對(duì)枯燥乏味、深?yuàn)W難學(xué)的數(shù)學(xué)內(nèi)容編出一些七言詩(shī)形式的口訣或歌謠，會(huì)韻味十足，能創(chuàng)造出一種愉快的教學(xué)情景，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.
在教學(xué)列方程解應(yīng)用題時(shí)，一般有以下步驟：畫草圖審題、設(shè)未知數(shù)、找等量關(guān)系、列方程、解方程、檢驗(yàn)、作答等.為了使學(xué)生加深理解，編口訣如下：“數(shù)形結(jié)合畫草圖，一審二設(shè)三找量，四列五解六檢驗(yàn)，七寫答案不能忘.”這樣一來，學(xué)生興趣大增，解題步驟非常明確，丟掉解題步驟的現(xiàn)象大大減少.
在教學(xué)一元一次不等式組和它的解法時(shí)，學(xué)生常常對(duì)求各個(gè)不等式解集的公共部分感到困惑，經(jīng)常寫錯(cuò)解集，關(guān)鍵是抓不住公共部分.于是編一段求不等式組解集的口訣：“數(shù)形結(jié)合畫數(shù)軸，各個(gè)解集排排座.大于大于取大的，小于小于取小的.大小小大取中間，沒有公共是無解.”通過數(shù)軸形象直觀地畫出各個(gè)不等式的解集，求出各解集的公共部分，并把公共部分畫上陰影，抽象的不等式解集很快就確定下來了，學(xué)生學(xué)起來也就不感到吃力了.
在教學(xué)梯形的有關(guān)內(nèi)容時(shí)，學(xué)生對(duì)梯形的的常用輔助線難以把握.于是編一段口訣：“有時(shí)應(yīng)該平移腰，有時(shí)應(yīng)該作出高.有時(shí)平移對(duì)角線，有時(shí)延腰到相交.”這段口訣起到先聲奪人的作用，學(xué)生聽得有滋有味，用起來得心應(yīng)手，增強(qiáng)了學(xué)習(xí)梯形的興趣.
在教學(xué)直角三角形中四種三角函數(shù)時(shí)，特殊角的三角函數(shù)值是重點(diǎn)內(nèi)容，然而有時(shí)卻會(huì)突然忘記.這就要求學(xué)生對(duì)三角函數(shù)定義要理解準(zhǔn)確，那么在關(guān)鍵時(shí)候可臨時(shí)推導(dǎo)，即sinα＝α對(duì)邊／斜邊，cosα＝α鄰邊／斜邊，tanα＝α對(duì)邊/鄰邊，cotα＝α鄰邊/對(duì)邊.先讓學(xué)生在一副三角板上做上標(biāo)記，即在30度角對(duì)邊刻上單位長(zhǎng)1，斜邊為2，根據(jù)勾股定理，60度角對(duì)邊為；45度角對(duì)邊各為1，斜邊為.通過三角函數(shù)定義再化簡(jiǎn)即可導(dǎo)出特殊值.編口訣一首：“正弦余弦正余切，對(duì)鄰斜邊要分清.四大定義特殊值，牢記心上不放松！”學(xué)生對(duì)枯燥無味的數(shù)據(jù)頓時(shí)來了興趣.
在教學(xué)函數(shù)內(nèi)容時(shí)，涉及到四種初等函數(shù)，即一次函數(shù)、正比例函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù).很多情況下要通過函數(shù)圖象去解題，分清楚各個(gè)字母的含義，用待定系數(shù)法求解析式，學(xué)生對(duì)函數(shù)這一章內(nèi)容深感抽象，乏味得很.于是編一段口訣概括如下：“一正二反四函數(shù)，升降增減坐標(biāo)圖.待定系數(shù)解析式，字母范圍分清楚.”口訣簡(jiǎn)單明了，學(xué)生通過函數(shù)圖象去分析，收到良好的效果.
在初中幾何總復(fù)習(xí)時(shí)，學(xué)生常常對(duì)如何添輔助線感到頭痛.一旦遇到要作輔助線，便感到束手無策，不知如何下手.于是，編一段常用輔助線口訣，立即吊起了學(xué)生的胃口，學(xué)習(xí)興趣大增.“輔助線兒如何添，找出規(guī)律有幾點(diǎn)：題中有角平分線，可向兩邊作垂線；線段垂直平分線，可向兩側(cè)把線連；三角形有邊中點(diǎn)，連結(jié)即成中位線；三角形中有中線，延長(zhǎng)中線一樣長(zhǎng)；成比例時(shí)證相似，經(jīng)常要作平行線；作線原則有一條，證題線段別割斷；圓中如有一切線，切點(diǎn)圓心把線連；如果兩圓內(nèi)外切，經(jīng)過切點(diǎn)作切線；兩圓相交得兩點(diǎn)，一般作它公共弦；直徑或者是半圓，想得直角把線連；弦心距兒不可忘，連心線兒也常添；輔助線兒是虛線，畫圖時(shí)候注意點(diǎn).”這一段輔助線口訣，概括了初中幾何的一些常用輔助線，寓教于樂，同學(xué)們?cè)跐撘颇屑鹊玫搅嗣赖南硎埽謱?duì)幾何知識(shí)加深了理解.抽象枯燥的幾何圖形一下子變得生動(dòng)活潑起來，這比干巴巴的定理法則好記多了.同學(xué)們也就樂于去讀，樂于去記.有時(shí)同學(xué)們自己也編出一些口訣或順口溜，真有些熟讀唐詩(shī)三百首，不會(huì)作詩(shī)也會(huì)吟的味道. 轉(zhuǎn)貼于
語(yǔ)言是思維的窗口，數(shù)學(xué)語(yǔ)言要求文字簡(jiǎn)煉，含義確切，邏輯性強(qiáng).這就要求我們平時(shí)要多觀察，多思考，多總結(jié)，用通俗易懂的語(yǔ)言去教學(xué)，使學(xué)生在掌握知識(shí)的同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，開發(fā)學(xué)生的智力，形成一定的技能技巧，提高解題能力.把重要的數(shù)學(xué)思想數(shù)學(xué)方法傳授給學(xué)生，教學(xué)需要勇于創(chuàng)新.“創(chuàng)新是一個(gè)民族的靈魂，是一個(gè)國(guó)家興旺發(fā)達(dá)的不竭動(dòng)力.”創(chuàng)新對(duì)于一個(gè)國(guó)家和民族的發(fā)展 有巨大意義，歷史悠久的中華民族正需要?jiǎng)?chuàng)新的動(dòng)力煥發(fā)青春活力去全面建設(shè)小康社會(huì).
一、滲透“數(shù)形結(jié)合”思想，培養(yǎng)學(xué)生的形象性、創(chuàng)造性
幾何問題可以用代數(shù)方法來求解，一些代數(shù)問題也可以化為幾何問題加以研究，這就是數(shù)形結(jié)合思想。
“數(shù)”和“形”是數(shù)學(xué)研究中既有區(qū)別又有聯(lián)系的兩個(gè)對(duì)象，突出數(shù)形結(jié)合思想，有利于學(xué)生從不同的側(cè)面加深對(duì)問題的理解。數(shù)形結(jié)合能使抽象復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系通過圖形直觀形象地表現(xiàn)出來以幫助問題簡(jiǎn)捷獲解，還能使圖形性質(zhì)通過數(shù)量計(jì)算、處理和分析達(dá)到更完整、嚴(yán)密、準(zhǔn)確，從而自然地展現(xiàn)著數(shù)學(xué)的和諧美。如教材中在列方程（組）解應(yīng)用題的分析中利用了直線型、圓型示意圖；在線段和角的計(jì)算中利用了方程；將勾股定理的內(nèi)容放到代數(shù)中講，黃金分割內(nèi)容卻運(yùn)用代數(shù)知識(shí)等。此外，還借助數(shù)軸這數(shù)形結(jié)合的良好載體，在“有理數(shù)”一節(jié)形象生動(dòng)地介紹了相反數(shù)、絕對(duì)值、有理數(shù)等。前者減少了概念引入的困難，后者把抽象問題變得容易理解。這正是數(shù)形結(jié)合的玄妙之處。
二、滲透“分類思想”，培養(yǎng)學(xué)生思維的條理性、目的性
數(shù)學(xué)中的分類思想是根據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)屬性的異同把數(shù)學(xué)對(duì)象分為不同種類的思想。分類是以比較為基礎(chǔ)的，它能揭示數(shù)學(xué)對(duì)象之間內(nèi)在的規(guī)律，有助于學(xué)生總結(jié)、歸納數(shù)學(xué)知識(shí)，使所學(xué)知識(shí)條理性。分類時(shí)應(yīng)保證分類對(duì)象既不重復(fù)又不遺漏，每次分類都保持同一分類標(biāo)準(zhǔn)。如“整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)”這是根據(jù)“整”和“不整”對(duì)有理數(shù)的外延進(jìn)行分類的定義方法。事實(shí)上有理數(shù)還可以采用別的標(biāo)準(zhǔn)分類。如按數(shù)的性質(zhì)分，有理數(shù)包括正有理數(shù)、負(fù)有理數(shù)、零；按“整”和“不整”及數(shù)的性質(zhì)分，有理數(shù)包括正整數(shù)、正分?jǐn)?shù)、零、負(fù)整數(shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)。這樣學(xué)生懂得研究問題時(shí)，應(yīng)根據(jù)問題的需要采取不同的標(biāo)準(zhǔn)，將討論的對(duì)象不重復(fù)、不遺漏地分成若干情況，逐一加以研究，從
而使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化、條理化。
三、培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、辯證性
化歸思想是根據(jù)主體已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，通過觀察、類比、聯(lián)想等手段把問題進(jìn)行變換、轉(zhuǎn)化直至化為已經(jīng)解決或容易解決的問題的思想。“轉(zhuǎn)化與變換”是化歸思想的實(shí)質(zhì)。如解方程（組）、解不等式就體現(xiàn)了化歸思想：高次方程、分式方程、無理方程等各自使用不同的方法（因式分解、恒等變形、變量代換）使之降次、消元、整式化、有理化最后歸結(jié)為一元一次方程或一元二次方程求解。為實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，相應(yīng)地產(chǎn)生了許多方法如消元法、降次法、換元法、圖像法、待定系數(shù)法、配方法等。通過這些數(shù)學(xué)思想方法的使用，使學(xué)生的辯證思維能力大大加強(qiáng)。
四、滲透“類比思想”，培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性、邏輯性
類比思想是通過聯(lián)想遷移由一個(gè)事務(wù)的性質(zhì)和變化規(guī)律去研究和發(fā)現(xiàn)另一事物相關(guān)內(nèi)容的思想，類比是一種重要的推理方法，它具有猜想的性質(zhì)，類比思想有助于發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新、解決問題。當(dāng)遇到一個(gè)數(shù)學(xué)命題時(shí)，我們往往聯(lián)想起于它類似的問題、類似的條件、類似的形式、類似的解法……并聯(lián)想到與它相關(guān)的概念、定理、公式、法則，從而開闊思路，啟迪思維，起到由此及彼、由表及里、舉一反三、觸類旁通的作用。如整式的除法與整數(shù)的除法類比；分式的定義、性質(zhì)、運(yùn)算與分?jǐn)?shù)的相應(yīng)內(nèi)容類比；平行線分線段成比例定理與平行線等分線段定理類比等，使學(xué)生順利理解新知識(shí)，發(fā)展思維的廣闊性。
五、滲透“函數(shù)思想”，培養(yǎng)學(xué)生思維的指向性、深刻性
函數(shù)思想是指用運(yùn)動(dòng)、變化的觀點(diǎn)去觀察、分析和處理問題的思想。變量變換、數(shù)形結(jié)合及用函數(shù)觀點(diǎn)解題都是函數(shù)思想的表現(xiàn)形式。在教學(xué)過程中要全方位地用運(yùn)動(dòng)、變化的觀點(diǎn)揭示知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系引入解釋數(shù)學(xué)概念，使函數(shù)融進(jìn)學(xué)生的認(rèn)知機(jī)構(gòu)，并引導(dǎo)學(xué)生用函數(shù)思想看待數(shù)學(xué)知識(shí)。如讓學(xué)生明確一次二項(xiàng)ax+b可看作是以x為自變量的一次函數(shù)式；求代數(shù)式ax+b的值就是求函數(shù)ax+b的函數(shù)值；一元一次方程ax+b=0的解就是一次函數(shù)y=ax+b的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；不等式ax+b＞0的解集就是直線y=ax+b之圖形在x軸上方時(shí)x取值范圍等。函數(shù)思想牽動(dòng)著數(shù)學(xué)思維線路的條條神經(jīng)，但函數(shù)思想的建立非一日之功，須在實(shí)踐中挖掘、提煉、領(lǐng)悟。教學(xué)中要激勵(lì)學(xué)生在解題時(shí)隨時(shí)啟動(dòng)這根“杠桿”，增強(qiáng)學(xué)生思維的深刻性。
