時間：2023-06-02 09:20:26
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇乘法分配律教學反思，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
乘法分配律是繼乘法交換律、乘法結合律之后新的運算定律，在算術理論中又叫乘法對加法的分配性質。由于它不同于乘法交換律和結合律是單一的運算，從某種程度上來說，其抽象程度要高一些，因此，對學生而言難度偏大，特別是對乘法結合律與乘法分配律極容易混淆。所以在教學過程中我有坡度地讓學生在不斷的感悟、體驗中理解，從而自己概括出乘法分配律。我是這樣設計的：
一、讓學生從生活實例去理解乘法分配律
全校有25個小組參加體育活動，每組里8人跳長繩，4人跳短繩。學校有多少人？通過引入解決問題讓學生得到兩個算式，先領會其意義，再突顯其表現的形式。如（8+4）×25其意義就是12個25，8×25+4×25所表示的是8個25再加4個25也就是12個25，它們的表示意義一樣，因此得數也一樣，故成等量關系。然后觀察它們的形式變化特點，兩個數的和乘以一個數可以寫成兩個積相加的形式，再抓住因數的特點進行分析。在此基礎上，我并沒有急于讓學生說出規律，而是繼續為學生提供具有挑戰性的研究機會，借助對同一實際問題的不同解決方法讓學生體會乘法分配律的合理性。這是生活中遇到過的，學生能夠理解兩個算式表達的意思，也能順利地解決兩個算式相等的問題。
二、注意區分乘法結合律與乘法分配律的特點，要進行對比練習
乘法結合律的特征是幾個數連乘，而乘法分配律的特征是兩數的和乘一個數或兩個積的和。在練習中，（8+4）×25與（8×4）×25這種題學生特別容易出現錯誤，為了學生更好地掌握，可以多進行一些對比練習，如進行題組對比：20×（8×4）和20×（8+4）；25×125×25×8和25×125+25×8。練習中可以提問：每組算式有什么特征和區別？符合什么運算定律的特征？應用運算定律可以使計算簡便嗎？為什么要這樣算？繼續練習：125×88，101×89，99×67+67，你能用幾種方法？大多數同學用豎式計算。誰能用口算的方法算出來？125×88，我們把88變成8×11的形式，就變成了125×8×11，這樣算就簡便了，這就用了乘法結合律了。101×89，我們變成（100+1）×89，用乘法分配律就很容易計算出來了。99×67+67，我們可以看成99個67加上一個67是100個67，根據乘法分配律我們可以寫成（99+1）×67了。
三、讓學生進行一題多解的練習，經歷解題策略多樣性的過程，優化算法，加深學生對乘法結合律與乘法分配律的理解
25×44：①豎式計算；②25×4×11；③25×（40+4）。
101×79：①豎式計算；②（100+1）×79；③101×（70+9），101×（100-21），101×（80-1）……
對不同的解題方法，要引導學生對比分析什么時候用乘法結合律簡便、什么時候用乘法分配律簡便，明確利用乘法結合律與乘法分配律進行運算的條件是不一樣的。乘法分配律適用于連乘的算式，而乘法分配律一般針對有兩種運算的算式。要力爭達到“用簡便算法進行計算”成為學生的一種自主行為，并能根據題目的特點，靈活選擇適當的算法。
四、多練，針對典型題目多次進行練習
練習時要注意練習量和練習時間的安排。剛開始可以天天練，過段時間以后可以過1-2天練習一次，再到1周練習一次。典型題型可選擇（40+4）×25、（40×4）×25、86×25+86×75、65×107-65×7、76×99+76、125×88、59×102、47×99等。對于比較特殊的題目可間斷性練習，對優生提出掌握的要求，如36×98+72、68×25+68+68×74、32×125×25等。
師：課件出示、一個長方形的長是36米，寬是14米，這個長方形的周長是多少？
師：你能用幾種方法解答？
生：（36+14）×2。
生：36×2+14×2。
生：長方形的周長是200米。
師：通過大家的計算，這兩算式的結果相同。
板書：（36+14）×2=36×2+14×2。
n件出示：和平街小學校要換校服，上衣每件64元，褲子每件36元，四年級一班共40人，一共需要多少元？
生：我是這樣列算式的，是64×40+36×40，得數是4000元。
生：（64+36）×40，得數也是4000元。
板書：（64+36）×40=64×40+36×40。
這樣的教學設計我覺得比較符合實際，學生完全能夠接受和理解了。可是當我讓學生描述乘法分配律的意義時，學生說的是相當費勁了。后來利用分配律解決簡算問題時，也是狀況頻出。我很無語，弄不清楚是哪里出現了問題，這個問題直到我去北師大學習。
在北師大學習的過程中，我有幸聆聽了柏繼明老師的講座。她說：“數學是思維的科學，數學知識是從社會實踐中抽象出來的，它的理解需要積累豐富的感性經驗，對于成人來說很好理解的東西，他們卻怎么也聽不懂。所以我們要為孩子跨越提供臺階，臺階搭的位置合適、高度合適，才能起到最好的輔助。其實也就是在學生有難度，不好理解的地方設置臺階，幫助她理解和掌握”。我聽了柏繼明老師講的學習乘法分配律時，如何讓學生突破難點理解“分別”之后很受啟發。學生學習乘法分配律，怎么也沒法說出“分別”去乘，或者老師告訴她，也不能完全理解分別的意思。
于是柏繼明老師舉了這樣的例子：老師的學生大學畢業后，到家里來看我，我很高興，我要表示歡迎和他們握手，我能不能只和其中一人握手代表一下？學生很快說不行，應該公平，和每個人都握一下這就是怎樣握？學生脫口而出“分別握”。就這樣通過一個簡單的生活事例，形象地解釋出分別的意思，學生很容易就理解了，后面的公式推導學生很順利就完成了。
柏繼明老師的講座讓我們如沐春風，也讓我如夢初醒：原來我當初的教學是差在沒有讓學生很好的理解“分別”這個關鍵詞！
于是，當我在一次教學乘法分配律時，受柏繼明老師的啟發，調整了教學設計。我也利用握手的原理讓孩子重點理解分配律中的“分別”一詞，再利用分配律簡算時，先讓學生弄清楚，誰是主人，誰是客人。解決了主人與客人，就知道誰在括號里面，誰在括號外面的問題。接下來的應用就不是問題了。我設計了幾組基本題型：
1.判斷
56×（19+28）=56×19+28
64×64+36×64=（64+36）×64
32×（3×7）=32×7+32×3
2.連一連
①（42+25+33）×26 ①20×25+4×25
②36×15-26×15 ②（66+34）×66
③66×66+66×34 ③42×26+25×26+33×26
④38×99+38×1 ④（36-26）×15
⑤（20+4）×25 ⑤38×（99+1）
這種練習題的設計綜合性、層次性強，特別是第2題設計的非常巧妙，既對乘法分配律的基本形式進行了練習，又對乘法分配律可以使計算簡便和乘法分配律的拓展形式，讓學生有了初步感知，把學生引入更廣闊的數學探索空間。
課后，我進行了反思：在這節課教學設計上我第一次的設計只注重了教師的教，忽略了學生的學。所以學生并沒有完全理解乘法分配律的意義，只是機械的照搬，第二次設計我在柏繼明老師的啟發下，從“分別”這個詞語入手，讓學生感悟到了乘法分配律的關鍵。注重了從學生的實際出發，把數學知識和實際生活緊密聯系起來，讓學生在不斷的感悟和體驗中學習知識。
[教材簡析]乘法分配律是蘇教版小學數學四年級下冊的教學內容，本課是在學生已經學習掌握了乘法交換律、結合律，并能初步應用這些定律進行一些簡便計算的基礎上進行學習的。乘法分配律是本單元的教學重點，也是本節課的難點，教材是按照分析題意、列式解答、講述思路、觀察比較、總結規律等層次進行的。然而乘法分配律又不是單一的乘法運算，還涉及到加法的運算，是學生學習的難點。
因此本節課不僅使學生學會什么是乘法分配律，更要讓學生經歷探索規律的過程，進而培養學生的分析、推理、抽象、概括的思維能力。同時，學好乘法分配律是學生以后進行簡便計算的前提和依據，對提高學生的計算能力有著重要的作用。
[教學目標]
使學生結合具體的問題情境經歷探索乘法分配律的過程，理解并掌握乘法分配律。
使學生在觀察、比較、猜測、分析和概括的過程中，培養簡單的推理能力，增強用符號表達數學規律的意識，體會用字母式子表示乘法分配律的嚴謹與簡潔。
使學生在數學活動中獲得成功的體驗，進一步增強學習數學的興趣和自信心。
[教學重點]理解乘法分配律的意義，并歸納出運算律。
[教學難點]抓住等號左右兩邊算式的特征和聯系，理解乘法分配律的意義。
[教學關鍵]引導學生自主發現規律。
[教學過程]
一、復習引入，激發興趣。
1.口算：5×2 4×25 125×8 2×3×50 你是怎么算的？有沒有不同的算法？
25×6×4你是怎么算的？這里運用了什么運算律？用字母怎樣表示？還學過哪些乘法運算律？用字母怎樣表示？
2.算一算，比一比。
（1）（2+8）×5 2×5+8×5
（2）（2+10）×3 2×3+10×3
觀察這兩組題口算結果怎樣？可以用什么符號連接？等號左右兩邊的算式一樣嗎？
教師設疑：為什么算式不同而結果相等呢？結果相等的兩個算式又有什么聯系？這節
課我們一起來研究這個問題。（板書課題）
【設計說明：從學生已有的認知起點出發，激發學生主動學習的需要，為學生進行數學活動創造了良好的氛圍。通過兩個算式的觀察比較，喚醒了學生已有的知識經驗，使學生初步感知乘法分配律。】
二、聯系實際，探究規律。
（一）解決問題，寫出等式。
出示教科書第54頁的情境圖。張阿姨買5件夾克衫和5條褲子，一共要付多少元？
談話：商場正在開展服裝促銷活動。你能從圖上獲得哪些信息？
你能自己列式解答嗎？試試看。
匯報交流。65×5+45×5=325+225=550（元）
表示什么意思？ 求的是什么？
還有不同的解法嗎？（65+45）×5=110×5=550（元）表示什么意思？
對比：這兩種方法從解題思路上看，有什么不同的地方？有什么相同的地方？
啟發：這兩道算式可以寫成一個等式嗎？（65+45）×5=65×5+45×5
【設計說明：從學生的生活實際出發，引用生活中的購物情境，激發學生探究的興趣，學生在用兩種不同的方法解決這一問題的過程中，感受到了兩種方法之間的聯系與區別，體會到乘法分配律的合理性，為下面進一步研究理解乘法分配律提供了現實材料。】
（二）尋找聯系，提出猜想。
1.提問：觀察這三組等號兩邊的算式，等號的左邊有什么共同的特點？等號的右邊呢？等號左右兩邊又有什么聯系？
2.同桌交流后匯報。教師可以啟發：等號左邊先算什么？再算什么？右邊呢？
3.引導后得出：等號左邊都是“兩個加數的和與一個數相乘”，等號右邊都是“這兩個加數分別與一個數相乘，再把所得的積相加”。結果不變。
（三）舉出實例，驗證猜想。
1.談話：是不是所有像這樣寫的兩個算式就有這樣的規律呢？你能照樣子寫出兩個這樣的算式并驗證一下嗎？
2.學生嘗試寫算式驗證。
3.匯報結果：用展臺演示學生的算式，并讓學生具體地說出等式兩邊的得數。
4.提問：像這樣的例子能舉得完嗎？
（四）觀察等式，發現規律。
1.觀察這些算式，等號左邊有什么共同點？右邊呢？等號左右兩邊有什么聯系？
2.把你的發現與同桌分享，可以用語言、文字、符號、字母等你所喜歡的方式來表達。
3.匯報交流：
①用語言描述：兩個數的和同一個數相乘，可以把兩個加數分別同這個數相乘，再把兩個積相加，結果不變。這就是我們今天學習的乘法分配律。
①用文字表示：（甲數+乙數）×丙數=甲數×丙數+乙數×丙數
③用符號表示：（+ ）×=×+×
④用字母a、b、c表示：（a+b）×c= a×c+ b×c，這就是乘法分配律。
引導反思：這里的a、b、c除了能表示上面等式中的這些數，還能表示哪些數？
4.比較：乘法分配律與乘法交換律、結合律相比有什么不同？
【設計說明：規律揭示的過程分兩條線組織學生探究，一條是明線，從教學流程上按照分析題意、列式解答、理清思路、觀察比較、總結規律等步驟來進行；另一條是暗線，在數學思考方面讓學生經歷探索規律的過程，進而培養學生分析、推理、抽象、概括的思維能力。】
三、鞏固練習，理解規律。
1.在里填上合適的數，在里填上運算符號。
（42+35）×2=42×+35×
27×12+43×12=（27+）× 你是怎樣想的？把2個12合并成1個12。這是乘法分配律的逆向應用。
15×26+15×14=（）
教學思考：
數學是思維的體操，“幫助學生學會思維”歷來是數學教學的應有之義。如何以具體數學知識內容的學習為載體幫助學生學會思維呢？就“乘法分配律”的教學而言，需要我們從學生已有的經驗出發，通過數學思維方法的分析，帶動、促進乘法分配律的教學，既讓學生掌握具體的數學知識，又幫助學生深刻領會并逐步掌握內在的思維方法。
第一，抓住內在不變的“理”來理解外在變化的“形”。
乘法分配律溝通了乘法與加減法的聯系，是一種重要的數學模型，也是學生最難理解和掌握的“運算律”。有些學生在學習時就糊里糊涂，始終弄不明白乘法分配律為什么會有形式上的變化；有些學生雖然在初學時會機械地模仿，但很快就遺忘了，更談不上自覺、靈活地運用……筆者分析，其中最主要的原因是教師在教學時，只重視引導學生對規律的“外形”進行研究，忽視了對規律“內在”的本質進行探究；只是借助不完全歸納法“發現”它“是什么”，至于“為什么”卻懸而未決，導致學生對規律的實質體驗得不夠，領悟得不深。
乘法分配律的實質是“c組（a+b）分成c個a加c個b”和“c個a加c個b配成c組（a+b）”，要讓學生充分感知和深入理解，必須始終抓住內在不變的“理”來理解外在變化的“形”。首先，從現實情境引出數學問題，并通過比較計算結果或乘法的意義，把解決問題的兩種解法建立一個等式，利用學生熟悉的實際問題幫助他們在首次感知乘法分配律時體驗它的合理性；再從個案的等式關系類推到若干同類現象的等式關系，不斷豐富學生的感性材料，也體現了科學的認知方法和態度；接著，在學生充分感悟左、右兩邊算式特點的基礎上，引導學生提出猜想，繼而舉例驗證，形成自己的發現；然后，讓學生采用語言、文字、符號等各種方式來表達自己的發現，師生合作形成統一范式“（a+b）×c=a×c+b×c”，教師再以“乘法分配律中‘分’‘配’‘律’體現于何處”，引發學生深度思考，形成“c組（a+b）分成c個a加c個b”和“c個a加c個b配成c組（a+b）”的觀念，從而真正理解乘法分配律。特別地，在探究新知的過程中，注意滲透“數形結合”的思想方法，讓學生結合“形”來研究“數”的運算律，借助豐富的直觀表象去感悟乘法分配律的內涵。
第二，關注科學探究方法的指導。
“規律探究”過程中對猜想的驗證，采用不完全歸納法，通過大量舉例的方式進行驗證，這是小學數學教學的特點之一。但舉例驗證絕不是簡單地讓學生隨意舉幾個例子。教學中，既要注重引導學生正確地舉例，即舉的例子要符合“兩個數之和乘第三個數”以及“兩個數分別乘第三個數然后相加”這樣的特征，又引導學生用多種方法正確地驗證。同時強調結論的得出必須通過列舉大量的例子，只有找不到反例，才能進行歸納，獲得結論。當舉例驗證不能窮盡所有的例子時，引導學生不僅僅關注例子的“量”的增加，還應注意所舉例子的典型性和代表性，適時滲透“分類舉例驗證”的思想，指導學生經歷科學的驗證過程。使學生舉例驗證的過程更符合數學思維的要求，也為今后探索乘法分配律在小數、分數范疇內是否成立留下思考空間。
第三，在“說理”中感悟演繹論證的思想方法。
限于小學生的認知水平，在小學數學教學中，較多地使用了舉例驗證等歸納論證的方式，但有時也可以根據所學數學內容的特點，適時引導學生嘗試通過“說理”，體悟演繹論證的方法，促進學生數學思維的發展。在規律猜想、規律驗證、規律概括等教學環節結束后，適時引導學生回顧反思，共同歸納、總結研究方法，形成方法結構。在引導學生由“（a+b）×c=a×c+b×c”聯想到“（a-b）×c=a×c-b×c”后，適時啟發學生：“這樣的聯想究竟對不對？你能用剛才我們研究乘法分配律的方法，嘗試著自己來研究嗎？”讓學生把學到的數學思維方法自覺進行遷移運用。在學生通過猜想、驗證、歸納得出乘法分配律后，沒有馬上進入練習環節，而是引導學生回顧“一位數乘兩位數的算理”及“長方形周長的兩種算法”等知識，進一步說明為什么乘法分配律左、右兩邊的式子是相等的。這樣的“說理”讓學生經歷了演繹論證的思維過程，既溝通了新舊知識的聯系，又使數學思維再一次得以提升。
教學目標：
1.經歷觀察、類比、猜想、驗證、歸納等數學活動，進一步體驗探索規律的過程，理解掌握乘法分配律并會用字母表示。
2.通過變換、聯想等方法深化和豐富學生對乘法分配律的認識，提高學生的數學思維能力。
教學過程：
一、創設情境
1.（出示）學校為一（1）班30名同學定做校服，每件上衣65元，每條褲子45元。每人一套，全班一共需要多少元？
學生默讀題目。怎樣列式？讓學生講清楚列式的理由。
方法一：65×30+45×30（30件上衣的錢加30條褲子的錢，就是一共要付的錢。）
方法二：（65+45）×30（一套衣服的錢乘以30，就是一共要付的錢。）
隨著學生口述列式，引導學生“圖文對照”，借助具體圖形進一步理解算理。
2.在工人師傅成批制作之前，他們會先做出一件樣品，讓學校負責買衣服的老師看一看是否滿意。下面請同學們幫工人師傅一個忙，看看他做一套校服得用一塊多大面積的布料。
出示：
[100厘米][上衣110厘米][褲子90厘米]
獨立完成，全班交流：
（90+110）×100（布料的總長度×寬度=布料的總面積。）
110×100+90×100（做上衣用的布料面積+做褲子用的布料面積=一套校服需要的布料面積。）
隨著學生口述列式，圖文結合，引導學生借助具體圖進一步理解算理。
二、探究新知
1.觀察特征
師：同學們，看看這些算式，老師發現左邊的兩道算式感覺蠻像的，你們覺得呢？（學生紛紛點頭表示贊同）那你能說說它們像在哪些地方呢？
生1：左邊的算式都有小括號。
生2：左邊的算式小括號外面都乘上一個數。
師：左邊的算式都是先算兩個數的和，然后再乘一個數。讓我們再來看看右邊的兩道算式，它們有相同的地方嗎？
生1：它們都是先算出兩個數的乘積，再相加。
生2：我想補充一點，在相乘的兩個數中有一個數是相同的。
師：確實是這樣的！
2.引導學生驗證，將左右兩邊的算式組成等式
師：兩邊算式的結果相等不相等，我們怎樣才能知道？
生：計算。（師生共同口算第一組算式）
師：通過計算，第一組算式左右兩邊都等于3300，在數學上我們可以用等號連接。（師用等號連接第一組算式）接著我們來看第二組算式，咱們提高點要求，誰有本領不用經過精確的計算也能作出判斷？可以互相討論討論。
（學生討論）
生：右邊算式中的90×100是90個100，110×100是110個100，合起來是200個100；左邊的算式正好也是200個100，所以是相等的。
師：非常精彩！從乘法的意義著手，同樣說明了問題。現在我們可以放心地在兩道算式之間寫上等號了。（師用等號連接第二組算式）
師：這兩道算式結果是相等了，那算式之間究竟有沒有什么聯系呢？讓我們再輕聲地讀一下每一道等式，看看有什么發現？
（生輕聲讀算式）
生：第一道等式左邊是65和45的和與30相乘，右邊是65和45分別與30相乘，再把兩個乘積相加。
師：問題的關鍵是這樣變化后，計算的結果是——
生（齊）：相等的。
師：是呀，帶著這樣的想法一起看看第二道等式。
生：左邊算式是110和90的和與100相乘，右邊算式是110和90分別與100相乘，再相加，結果一樣。
師：同學們，這兩道等式左邊的算式先算加法后算乘法，右邊的算式先分別相乘再相加，改變了運算的順序，結果卻不變，這樣的現象是巧合嗎？
生：不是！
師：既然大家都這么肯定，那現在老師寫一道算式，你能很快寫出一道與它得數相等的算式嗎？（板書：（15+10）×4）
生：15×4+10×4。（對應先前算式板書）
師：結果究竟相等不相等？
生1：我們可以分別計算，左邊的算式計算結果等于100，右邊的算式結果也等于100，所以相等。
生2：我不用算也能發現它們相等。左邊算式表示25個4，右邊算式是15個4加上10個4，也是25個4，正好相等。
師：哎！看來你們還真發現了一些名堂。那具備這種規律的等式就這三個？
生：無數個。
師：口說無憑，下面就請同學們在練習本上寫出兩個例子吧。要求先寫兩道符合這種規律的算式，再驗證兩邊是否相等，最后在小組內交流自己寫的式子。
（學生舉例并小組交流）
師：誰愿意將你的例子說給大家聽聽？
生1：我的第一個例子是（1+2）×3=1×3+2×3。
師：怎樣證明相等呢？
生1：我是計算的，兩個算式都等于9。
生2：我寫的是（100+50）×20=100×20+50×20，左邊算式等于3000，右邊算式也等于3000。
師：這個例子計算起來要麻煩一些，能利用乘法的意義來驗證嗎？
生：左邊算式表示150個20，右邊算式是100個20加上50個20，正好也是150個20。
師：老師知道，還有很多同學想和大家分享自己的例子，但有限的時間不允許每個同學都上來展示自己的例子。現在請大家想一想，假設我們班每人寫的2個例子都不一樣，咱們班35人，共70個例子，再加黑板上的4個例子，一共有了74個例子，舉完了嗎？
生：沒有！
師：既然沒有，那么如何保證猜想是正確的呢？（學生面露困惑之色）數學上常用的方法是進行適當分類。例如，先在一位數范圍內驗證，再向兩位數、三位數、四位數的范圍拓展，還要重點看看“0”這個特例是否成立，這種驗證方法能保證猜想是正確的。另外，還可以用舉反例的辦法來驗證，有沒有哪位同學舉出符合特征的算式卻不相等的例子？
生：沒有！
師：確實，凡是符合這樣規律的兩個式子結果都是相等的。現在問題來了，都說有無數個這樣的例子（在先前板書下面板書：……），那如果非要你寫出一個等式就能包含所有的例子，你會嗎？在練習本上試著寫一寫。
學生獨立思考，全班交流：
生1：（a+b）×c=a×c+b×c。
生2：（+）×=×+×。
生3：（甲+乙）×丙=甲×丙+乙×丙。
……
師：這些方法都能概括我們發現的規律嗎？（能）你認為哪種方法更好？說說理由。
師：數學上常用的是字母表達式（板書：a×c+b×c=（a+b）×c），簡潔明了，說起來就方便多了。這一規律還有個名字——
生：乘法分配律。（板書：乘法分配律）
師：對！兩個數的和與一個數相乘，等于兩個數分別與這個數相乘，再把兩個積相加。數學家們給這一規律起的名字叫——乘法分配律。它還可以用圖形語言表達：
（出示）
[a][c][b]
師：想一想，乘法分配律中“分”“配”“律”體現在哪呢？
歸納：c組（a+b）“分成”c個a加c個b；c個a加c個b“配成”c組（a+b）；“律”即規律。
師：現在我們一起回顧一下剛才的學習過程，我們是怎樣得到“乘法分配律”這個規律的。（歸納：猜想—驗證—結論）
三、回顧舊知，深化學生對乘法分配律的認識
1.回顧兩位數乘一位數的口算
師：其實說起乘法分配律，大家并不陌生，在我們以前的學習中就已經接觸過，現在讓我們一起回顧一下。
二年級時我們學過“兩位數乘一位數”：14×2是怎么算的？你能找到乘法分配律的影子嗎？
生：14可以分成10和4，2個10和2個4加起來正好是28，所以14×2=28。
師：將這種想法用等式表示出來就是14×2=10×2+4×2，這樣的想法不正符合我們剛學的乘法分配律嗎？
2.回顧長方形周長的計算方法
[籃球場長28米，寬15米。][籃球場的周長是多少米？]
師：怎樣求出籃球場的周長？
生1：28×2+15×2。
生2：（28+15）×2。
師：這兩道算式自然是相等的（出示：28×2+15×2=（28+15）×2），你再仔細看看這道等式，想到了什么？
生（齊）：乘法分配律！
師：看來，咱們數學學習前后有著非常密切的聯系，這就告訴我們要扎扎實實地上好每節課。
四、鞏固練習
在里填上合適的數，在里填上運算符號。（課件逐一出示）
（42+35）×2=42×+35×
15×26+15×14=（）
15×26+15×14=（）
72×（30+6）=
2.出示：（20-8）×5=
師：感覺有些不一樣了吧，你覺得可能等于什么？
生：25×5-8×5。
師：怎樣才能確認呢？
生1：可以算一算。左邊的算式等于60，右邊的算式也等于60。
生2：也可以直接想，左邊算式是12個5，右邊算式是20個5減去8個5，也是12個5。
師：面對這道等式，回想我們剛學的乘法分配律，你能聯想到什么？
生：（a-b）×c=a×c-b×c。（課件出示）
師：這樣的聯想究竟對不對？你能用剛才我們研究乘法分配律的方法，嘗試著自己來研究嗎？
學生舉例驗證，全班交流。
師：同學們，剛才通過聯想，我們將乘法分配律由“兩個數的和”拓展到了“兩個數的差”。這是一種很有價值的思考。你還能聯想到別的嗎？（引導：如果把乘法分配律中“兩個數的和”換成“三個數的和”“四個數的和”或“更多個數的和”，結果還會不會不變？怎樣驗證？）
很多時候，教材對知識的編排與學生的現實并不一致，教師不能忽視、回避這種“不一致”，而需要在教學設計中，看懂所教學生已有些什么、想要些什么，以此決定教學內容的詳略和取舍，使教學功能達到最大和教學效果達到最佳。
一、整體感知，建構知識的體系
例如，蘇教版“三位數加法”分三次教學：不進位加、只需一次進位和連續進位。可事實上幾乎所有的學生都已會進行計算，可見教學內容已超出學生的“最近發展區”。于是我嘗試在復習兩位數加法后，進行三位數加法的整體教學。
推測：在兩位數加法中，存在不進位和進位的情況。和有時是兩位數，有時是三位數。那么，在三位數加法中可能會現什么情況？
1．不進位加法
“435＋（ ）”，讓這道算式成為不進位加法。
師：說說你是怎樣算的，用到了以前的哪些計算經驗。（交流時有學生提出“從個位算起”這條經驗不起作用）
師（過渡）：請大家編一道進位加法題，來驗證你的觀點。
2．進位加法
學生編題，教師巡視，尋找教學資源。先分別出示幾種不同類型的算式，再讓學生算一算。
師：比一比，每一題有什么不同？分別用到了以前的哪些計算經驗？
通過計算、討論，學生不僅認識到“從個位算起”的必要性，也進一步體會到三位數加法和兩位數加法方法相同。
師（拓展）：那在四位數加法或五位數加法的計算中，這些計算經驗也同樣適用嗎？
這節課中，讓學生自己結合已有的計算經驗，探索并理解三位數加法的算法和算理，學生學習積極性高，參與面廣；把各種類型的例題擺在一起進行對比，使學生感受到新舊知識之間的聯系，進而從整體上建構了加法的知識體系。
二、深入探究，觸碰知識的本質
蘇教版教材對線段是這樣定義的：“把線拉直，兩手之間的一段可以看成線段。” 在教學中，我讓學生動手拉毛線并觀察比較，充分展現了各種形態的線段，從而剔除了線段長短、方位等非本質屬性，突出了“線段是直的且有兩個端點”的本質屬性。然而在后續畫線段的環節中，有很多學生漏畫端點。反思課堂，我發現學生僅僅是將端點視為形式的存在，而對端點有何作用并沒有體會。于是我重新調整教學。
這一次我給學生準備了幾根跳繩讓學生動手拉繩，拉繩時果然有學生“上鉤”了：“老師，這跟跳繩太長了，我拉不過來。”“那你能不能想想辦法，或者尋求一些幫助呢！”不一會兒，有的學生兩人合作一起將跳繩拉直，有的一腳踩住繩的一端再將繩拉直，還有學生兩手捏住繩的中間一段拉直，使繩兩邊自然垂下……學生的展示不光突出了“線段是直的且有兩個端點”的本質屬性，而且還出現了“兩手捏住繩的中間一段”這種更觸及概念內容的變式，于是我抓住這一契機引導學生展開更深入的研究。1．請捏住跳繩中間一段拉繩的學生上講臺前展示，問：你們發現線段了嗎？2．指著繩兩邊垂下的部分，問：這一段是線段嗎？為什么？（突出線段直的特征）你有辦法把這兩段也變成線段嗎？3．師：老師也來幫幫忙，（在第一位學生兩手外側捏住）老師拉出的這條線段和剛才這位同學拉出的線段比，怎么樣？（體會線段的長短）
得出：兩個端點的位置不同，線段的長短就不同。
適時強調：改變兩個端點的位置就能改變線段的長短，所以這兩個端點非常重要，我們在畫線段時都要畫出它的兩個端點。
經過這樣幾個環節，不僅是“漏畫端點”的現象大有改善，學生對線段“有限長”的特征也有了更為深刻的體驗。
三、架設橋梁，貫通知識的聯系
乘法分配律是運算律中學生最難理解、運用時最易出錯的一條規律。如何讓學生很好地理解乘法分配律呢？我選擇從乘法的意義入手。
1．初步感知
（1）豎式計算：14×27、134×98，說說你是怎樣算的？
師對應板書：
14×7 7個14
14×20
20個14
14×27 27個14
（2）改寫：我們計算時，是把27拆成（7＋20）的和乘14，然后分別算出7×14＋20×14。板書：（7＋20）×14=7×14＋20×14。那134×98呢？得出：（90＋8）×134=90×134＋8×134。
這一過程引導學生從對豎式計算的意義理解，形成對乘法分配律意義和結構特點的初步感知。
2．深入探究
（1） 追問：為什么這樣拆著算，得數還會相等？（它們都表示幾個幾相加）
（2）設疑：那還能拆成幾個幾加幾個幾呢？我們以14×27為例，請你選一個數拆一拆。
在拆數過程中，引導學生從含義不變的角度來理解乘法分配律，并通過拆數形式的變化，逐步完善對乘法分配律的意義理解，明確用兩個加數分別相乘的道理和基本方法。
3．歸納概括
這樣的例子說得完嗎？你能用一個式子表示這兒所有的等式嗎？
由乘法豎式引入，貫通了數學知識的聯系，讓學生體會了規律的合理性。通過一系列的拆數活動，學生不僅發現了乘法分配律的“外貌”，而且真正把握了乘法分配律的“內質”。從對學生的后測來看，因為注重了對乘法分配律本質內涵的挖掘，學生對乘法分配律理解得更深刻了。
一、留點時間，體會特征
筆者曾聽過一位骨干教師上基于預習基礎上的有效教學，執教的是蘇教版小學數學四年級下冊的《乘法分配律》一課。由于教師的教學，是在學生課前認真預習的基礎上進行，教師將課堂結構作了適當的調整，在最后的練習中，安排兩組習題，讓男女生進行計算比賽，從而鞏固本課學習的新知，應用新知，提高學生計算的速度和正確率。
第一組，男生題目：64×18+36×18，（100+3）×24;
第二組，女生題目：（64+36）×18，100×24+3×24。
作業反饋時，教師并沒有校對一下答案后，直接轉到下面的習題練習中，而是在學生講述答案后，留點時間，讓學生講述自己的做法。
生女：先算括號里面的，得100，再用100乘以18得1800。
生男：64乘以18加上36乘以18，等于64加上36的和乘以18，即100乘以18，得1800。
師：你為什么沒有直接計算64乘18和36乘18的積，再將它們的乘積相加，而選擇這樣的做法，說說你的想法？
生男：64個18加上36個18，兩端求的都是多少個18相加的和是多少，可以將它們合成一共是多少個18，而64與36相加正好得到整百數100，100個18的和是1800，用的正好是乘法的分配律。
師：后面的一題，你又為什么沒有直接將100和3相加，得103，再乘以24呢？
生男：因為將100和3相加，得103，用103去和24相乘，不能口算，要筆算出結果，使計算不簡便。
生男：用24分別去乘100和3，再將所得的積相加，可以簡便。
生男：24乘100，3乘100，計算時，都可以進行口算，這樣展開好算，這是乘法分配律的逆應用。
教師無意間的練習講評，使學生較好的體會到從正反兩方面感知乘法分配律的應算特征，學生的思維產生碰撞，體會到乘法分配律的逆運算有時也能達到計算簡便，學生智慧的火花得到綻放。
二、留點時間，優化方法
小學數學課程標準指出：學生是課堂學習的主人，教師是課堂教學的組織者、引導者。這就要求教師在課堂教學時，要精講、少講，不需要講的內容盡量不講，留點時間，讓學生去獨立思考，講述自己的思路，闡述自己的方法解法。如在教學蘇教版小學數學第十冊能被2、3、5整除的數的特征后，筆者出示這樣一道習題：在中填上合適的數，使這個數能被3整除。
25 143 45
在組織交流反饋時，筆者讓學生講述自己的想法，把自己的想法在大家的面前曬一曬。下面是學生想法的互動交流。
生1：我是一個一個想的。25，中可以填的數有10個，從0到9，被3整除的數各個數位上數字的和應是3的倍數，所以0、1、3、4、6、7、9都不行，只有2、5、8可以。
生2：可以這樣想：2加5得7，滿足是3的倍數，最小是9，所以7要加上2，即里可以填上2。9后面應是12，所以在2上面再加上3得到5，再加3得8，所以可填2、5、8。
生3：45，因為4和5相加得9，9是3的倍數，所以中應填的數是3的倍數，因為0不能在最高位，所以只能填3、6、9三個數。
三、留點時間，自我梳理
伴隨著課程改革的不斷深入，各式各樣的優質課、觀摩課、示范課盡情展現，在名師與新穎的演繹下讓人陶醉，回到現實卻很難有這樣的教學效果，現實教學中，教師采用的授課形式大都是常態課。筆者最近有幸聽了幾位教師的常態課，發現教學即將完成時，教師往往采用做作業的形式作為一課的結束，而忽視了課堂小結。一節課的學習中，為了讓學生掌握新知，教師在講授中，還加入了大量與新知相關的內容。學生接受了大量信息，這些往往是不穩定的，不牢固的。因此，教師有必要采取措施幫助學生對知識進行簡單的梳理，理清其內在聯系，形成系統的知識網絡。課堂小結無疑就是其中一種高效率的方法。教師可以在每節課的最后，留點時間，讓學生對本節課的學習進行回顧與整理，梳理知識，促進知識內化，透過現象看本質，找到知識內在聯系，達到思維的升華。
閱讀是自學的一種主要形式，自學能力的核心是閱讀能力。未來科學越來越數學化，社會越來越數學化。現代及未來社會要求人們具有的閱讀能力已不再只是語文閱讀能力，而是一種以語文閱讀能力為基礎，包括外語閱讀能力、數學閱讀能力、科技閱讀能力在內的綜合閱讀能力。
在今天，養成良好的數學閱讀習慣比什么都顯得重要。數學閱讀有助于數學語言水平的提高及數學交流能力的培養，有助于數學教科書作用的充分發揮，符合現代“終身教育、終身學習”的教育思想，有助于個別化學習，使每個學生能通過自身的努力達到各自可能達到的水平，實現素質教育的目標。數學閱讀過程同一般閱讀過程一樣，是一個完整的心理活動過程，包含語言符號（文字、數學符號、術語、公式、圖表等）的感知和認讀、新概念的同化和順應、閱讀材料的理解和記憶等各種心理活動因素。同時，它也是一個不斷假設、證明、想象、推理的積極能動的認知過程。數學閱讀需要較強的邏輯思維能力，精確的數學語言，數學閱讀要求認真細致，讀寫結合，過程中要頻繁轉換語意，思維靈活。
數學教師在數學教學活動中，可以引導學生從以下四點培養數學閱讀的習慣。
一、以“疑”導讀
讓學生帶著問題讀，在閱讀中發現問題、提出問題。指導閱讀時，教師的設疑要有層次性和啟發性，鼓勵學生“標新立異”，引導學生從不同角度思考、質疑，養成愛問、好問、會問的好習慣。如，“什么樣的分數能化成有限小數？”強調的是“一個最簡分數，如果分母中除了2和5以外，不含有其他質因數……”
二、以“動”帶讀
學生邊讀邊讓做一做、畫一面、寫一寫。如，“畫平行線”的教學，學生可以先自學，看一遍書上的畫圖的步驟，以求對平行線的畫法能初步感知，再按書上的步驟，邊看邊依葫蘆畫瓢，試畫一組平行線，比一比自己畫的和書上畫的有什么不同，對在試畫時出現的問題還可以提出來，大家共同解決。
三、以“議”促讀
學生在數學教學活動中讀讀議議，對知識的內容、形式和形成過程，從多個不同的側面，用不同的角度開展思考、討論，內化知識、深化知識，從而培養思維的深刻性、多樣性和創造性。如，“乘法分配律”的教學，教學時學生通過操作、研究初步得出規律后，再仔細看看書，交流一下對“乘法分配律”的認識和看法。有的學生提出：“乘法分配律”一定要是“兩個數的和同一個數相乘”嗎？抓住這個思維靈感的閃現，我馬上組織學生進行討論研究，結果大家發現：不僅三個數、四個數……的和同一個數相乘能適合“乘法分配律”，而且幾個數的差同一個數相乘也適合。后來還有學生提出：是不是也可以發明一個“除法分配律”？我及時通過舉例法加以引導：要求是除數是一個數的情況。
四、以“比”引讀
通過比較知識的縱橫聯系、差別，來掌握課本知識，把知識內化。如，“分數與除法”例題：把3塊餅平均分給4個孩子，每個孩子分得多少塊？受分數意義的影響，很多學生不理解為什么每個孩子分得的是■塊而不是■塊。于是我讓學生比一比“每個孩子分得3塊餅的幾分之幾？每個孩子分得多少塊？”這兩個問題有什么不同，它們分別求的是什么？它們在意義和敘述上有什么區別？通過比較，學生對“分數和除法”的意義、區別、聯系就有進一步理解了，以后如果再遇到這類題，學生就能正確區分，靈活運用。
（1）掌握復數乘法與除法的運算法則，并能熟練地進行乘、除法的運算；
（2）能應用i和的周期性、共軛復數性質、模的性質熟練地進行解題；
（3）讓學生領悟到“轉化”這一重要數學思想方法；
（4）通過學習復數乘法與除法的運算法則，培養學生探索問題、分析問題、解決問題的能力。
教學建議
一、知識結構
二、重點、難點分析
本節的重點和難點是復數乘除法運算法則及復數的有關性質．復數的代數形式相乘，與加減法一樣，可以按多項式的乘法進行，但必須在所得的結果中把換成－1，并且把實部與虛部分合并．很明顯，兩個復數的積仍然是一個復數，即在復數集內，乘法是永遠可以實施的，同時它滿足并換律、結合律及乘法對加法的分配律．規定復數的除法是乘法的逆運算，它同多項式除法類似，當兩個多項式相除，可以寫成分式，若分母含有理式時，要進行分母有理化，而兩個復數相除時，要使分母實數化，即分式的分子和分母都乘以分母的共軛復數，使分母變成實數．
三、教學建議
1．在學習復數的代數形式相乘時，復數的乘法法則規定按照如下法則進行．設是任意兩個復數，那么它們的積：
也就是說．復數的乘法與多項式乘法是類似的，注意有一點不同即必須在所得結果中把換成一1，再把實部，虛部分別合并，而不必去記公式．
2．復數的乘法不僅滿換律與結合律，實數集R中整數指數冪的運算律，在復數集C中仍然成立，即對任何，，及，有：
，，；
對于復數只有在整數指數冪的范圍內才能成立．由于我們尚未對復數的分數指數冪進行定義，因此如果把上述法則擴展到分數指數冪內運用，就會得到荒謬的結果。如，若由，就會得到的錯誤結論，對此一定要重視。
3．講解復數的除法，可以按照教材規定它是乘法的逆運算，即求一個復數，使它滿足（這里，是已知的復數）．列出上式后，由乘法法則及兩個復數相等的條件得：
，
由此
，
于是
得出商以后，還應當著重向學生指出：如果根據除法的定義，每次都按上述做來法逆運算的辦法來求商，這將是很麻煩的．分析一下商的結構，從形式上可以得出兩個復數相除的較為簡捷的求商方法，就是先把它們的商寫成分式的形式，然后把分子與分母都乘以分母的共軛復數，再把結果化簡即可．
4．這道例題的目的之一是訓練我們對于復數乘法運算、乘方運算及乘法公式的操作，要求我們做到熟練和準確。從這道例題的運算結果，我們應該看出，也是-1的一個立方根。因此，我們應該修正過去關于“-1的立方根是-1”的認識，想到-1至少還有一個虛數根。然后再回顧例2的解題過程，發現其中所有的“-”號都可以改成“±”。這樣就能找出-1的另一個虛數根。所以-1在復數集C內至少有三個根：-1，，。以上對于一道例題或練習題的反思過程，看起來并不難，但對我們學習知識和提高能力卻十分重要。它可以有效地鍛煉我們的逆向思維，拓寬和加深我們的知識，使我們對一個問題的認識更加全面。
5．教材194頁第6題這是關于復數模的一個重要不等式，在研究復數模的最值問題中有著廣泛的應用。在應用上述絕對值不等式過程中，要特別注意等號成立的條件。
教學設計示例
復數的乘法
教學目標
1．掌握復數的代數形式的乘法運算法則，能熟練地進行復數代數形式的乘法運算；
2．理解復數的乘法滿換律、結合律以及分配律；
3．知道復數的乘法是同復數的積，理解復數集C中正整數冪的運算律，掌握i的乘法運算性質．
教學重點難點
復數乘法運算法則及復數的有關性質．
難點是復數乘法運算律的理解．
教學過程設計
1．引入新課
前面學習了復數的代數形式的加減法，其運算法則與兩個多項式相加減的辦法一致．那么兩個復數的乘法運算是否仍可與兩個多項式相乘類似的辦法進行呢？
教學中，可讓學生先按此辦法計算，然后將同學們運算所得結果與教科書的規定對照，從而引入新課．
2．提出復數的代數形式的運算法則：
．
指出這一法則也是一種規定，由于它與多項式乘法運算法則一致，因此，不需要記憶這個公式．
3．引導學生證明復數的乘法滿換律、結合律以及分配律．
4．講解例1、例2
例1求．
此例的解答可由學生自己完成．然后，組織討論，由學生自己歸納總結出共軛復數的一個重要性質：．
教學過程中，也可以引導學生用以上公式來證明：
．
例2計算．
教學中，可將學生分成三組分別按不同的運算順序進行計算．比如說第一組按進行計算；第二組按進行計算．討論其計算結果一致說明了什么問題？
5．引導學生得出復數集中正整數冪的運算律以及i的乘方性質
教學過程中，可根據學生的情況，考慮是否將這些結論推廣到自然數冪或整數冪．
6．講解例3
例3設，求證：（1）；（2）
講此例時，應向學生指出：（1）實數集中的乘法公式在復數集中仍然成立；（2）復數的混合運算也是乘方，乘除，最后加減，有括號應先處括號里面的．
此后引導學生思考：（1）課本中關于（2）小題的注解；（2）如果，則與還成立嗎？
7．課堂練習
課本練習第1、2、3題．
8．歸納總結
（1）學生填空：
；＝＝．
設，則＝，＝，＝，＝．
設（或），則，．
（2）對復數乘法、乘方的有關運算進行小結．
關鍵詞： 小學數學 錯誤資源 促進成長
心理學家蓋耶指出：“誰不考慮嘗試錯誤，不允許學生犯錯誤，就將錯過最富有成效的學習時刻。”放棄錯誤也就意味著放棄經歷的復雜性，遠離錯誤實際上就是遠離創造性，作為教師，我們絕不能以成人的眼光去要求學生，更不該去追求學生的絕對正確。犯錯誤是孩子的“天性”，學生的“錯誤”往往蘊含著他們的獨特想法和創新意識，變錯誤為資源，化腐朽為神奇，這是一種教學機智，教師要借助學生在課堂上出現的錯誤，喚醒他們沉睡的潛能，激活封存的記憶，開啟幽閉的心智，放飛囚禁的情愫。
一、要善于搜集錯誤，讓學生在比較中成長
課堂中出現差錯是在所難免的，但是，如何避免不必要的錯誤，不讓錯誤的信息先入為主，這也是教師工作的魅力所在。
在教學簡便運算后，學生往往會出現這樣的解題錯誤：÷（+）=÷+÷，因為他們認為這樣計算比較簡便。從以往的教學經驗來看，犯了這樣的錯誤之后，再來糾正他們的錯誤，講算理，雖費了很多口舌，但效果并不好。
因此，在簡便運算的練習課中，我特別安排了這樣一道題：（+）÷。我發現大部分學生都能運用“乘法分配律”將這道題進行簡便計算，繼而出這道題：÷（+），大部分學生也像上一題那樣很快地將它計算出來：÷（+）=÷+÷=。
師：再看一下，這道題如果按運算順序，應該是這樣算的：÷（+）=÷=。怎么結果會不一樣呢？這說明了什么？
（說明了這道題的簡便運算是錯的。）
師：有什么疑問嗎？
生1：為什么（+）÷可以運用乘法分配律簡便運算，而÷（+）就不能運用乘法分配律簡便運算呢？
生2：因為（+）÷可以改成乘法算式（+）×42，這樣就可以運用乘法分配律了，而÷（+）不能馬上改成乘法算式，就不能用乘法分配律了。
學生們一下子明白了，在今后的練習中，幾乎沒有再出現過這種類似的錯誤。在課前搜集以往學生容易出現的錯誤，讓學生從兩個算式的比較中，不斷提出自己的質疑，自覺運用分數除法的計算方法。在這一過程中學生提高了認識，避免了今后的計算錯誤，讓正確的信息先入為主，從而培養了嚴謹認真的態度。
二、要巧于捕捉錯誤，讓學生在爭議中成長
在課堂教學中，學生不可能不出現錯誤，教師要能慧眼識真金，善于捕捉錯誤中的“閃光點”，給予肯定和欣賞，并順著學生的思路，促進課堂的精彩生成。讓學生在“嘗試錯誤中”比較、分析，甚至引發爭議，提高學習積極性，揚長補短，拓寬學生的思維，是培養學生創造性思維的有效手段。
例如，在教學“平行四邊形的面積計算”時，我首先讓學生回憶已經學過的平面圖形（長方形和正方形）的面積計算方法，然后讓學生猜想：平行四邊形的面積怎樣計算？由于受負遷移的影響，不少學生認為是兩邊相乘，也就是底邊乘底邊。這時，我將錯就錯，因勢利導，出示高各不相同，兩組對邊分別為5厘米和8厘米的3個平行四邊形，讓學生運用猜想計算平行四邊形的面積。結果，學生通過計算得到3個平行四邊形的面積都是8×5=40（平方厘米）。再引導學生觀察，發現這3個圖形的面積各不相同。這時，再用課件展示，使學生進一步理解和明白底邊乘底邊不是求平行四邊形面積的方法。最后，學生通過直觀圖，加上動手操作、自主探索，自然就得出了平行四邊形的面積計算方法。
教師巧妙利用錯誤，因勢利導，讓學生在探討、嘗試中溝通新舊知識的聯系和區別，發現規律、掌握方法，這樣不但能保護學生的自尊心和學習數學的積極性，而且能培養學生的思維能力和創新精神。
三、要學會等待錯誤，讓學生在反省中成長
愛因斯坦說過：沒有時間就沒有空間。老師要善于等待，還要留給學生足夠的思考時間。在課堂中，當學生的回答和預設的答案有所出入的時候，我們應學會耐心等待，允許學生在課堂上出錯，允許學生把話說完整，這樣學生在我們的啟發引導下，會表現得更好，進而提高自信心。當我們以等待的心情聽完學生的表達以后，我們會發現原來學生的經歷和體驗也如此豐富，學生的思維也如此具有創造性，會讓我們產生一種享受的憐憫感和幸福感。
下面我們來看看特級教師潘小明是如何通過等待促進學生成長的。以下是他在執教“質數與合數”一課中的一個片斷：
師：同學們再想一下，如果有12個小正方形，你能拼出幾個不同的長方形？我看到許多同學不用畫就已經知道了。
生1：能拼出三個不同的長方形。“長是12，寬是1的”、“長是6，寬是2的”和“長是4，寬是3的”三個不同的長方形。
師：你們能想象出拼成的這些長方形嗎？
生2：第一種是把這12個正方形擺成了1排；第二種是每排6個，擺2排；第三種是每排4個，擺3排。
師：同學們，如果給出的正方形的個數越多，那拼出的不同的長方形的個數會怎么樣呢？
學生幾乎是異口同聲地說：會越多。
師：你們是說，給出的正方形的個數越多，拼出的長方形的個數……
（學生再次清楚又響亮地回答：“越多。”）
（此時，老師一聲不吭，保持著沉默。課堂一下子安靜了下來，學生認真地思考著……又過了一會，學生中開始有點“騷動”，漸漸的，一些學生高舉起手……）
生1：不一定的。
師：他說不一定，對嗎？
其他一些學生更加堅定而響亮地回答：對！
師：說話得要有根據呀！
生：剛才4個正方形能排出2個，如果用5個正方形只能排出1個。如果按潘老師的說法，5個正方形排出的不同的長方形應該不止2個，所以這話是錯的。
……
師：一個例子就把你們剛才的結論給否定了。多有說服力的反例！
師：同學們，用小正方形拼長方形，有時只能拼出一種，有時拼出的長方形不止一種。你覺得當小正方形的個數是什么數的時候，只能拼一種？
（學生思考著，之后相互之間展開了熱烈的討論。）
我們看到潘老師在學生草率地回答“越多”之后，并沒有急于評價，而是裝作沒聽見，等待學生的自我反思和深入思考。學生冷靜思考，果然沒有辜負老師的期望，經過短暫的沉默，學生開始產生懷疑：“不一定的”，并且有的學生舉出了反例，而這一過程中老師并沒有提示，只是在安靜地等待，從中我們也可以看到“等待”的力量。
[關鍵詞]小學笛В蛔肺剩輝慫懵山萄
[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2017）14-0055-01
“追問”是學生回答基本的問題以后，教師進行的“二度提問”，是對上一個問題的延伸和拓展。追問的目的是通過窮追不舍的方式，幫助學生徹底理解某一內容或某一問題，使其思維得以升華，能力得到發展。這是一種綜合性的教學技巧，是師生課堂對話的重要方式。
一、運用啟發式追問，追出“思路”
數學探究要的不僅是結果，更要讓學生經歷知識的形成過程。在學習新知時，由于知識基礎和能力的限制，學生容易出現思維障礙，此時教師應關注學生思維出現暫時性“短路”的原因，進行啟發式的追問，使學生的思路清晰化、明朗化。
在教學乘法分配律時，先出示例題：學校四年級有6個班，五年級有4個班，每個班要領跳繩24根，一共要領多少根跳繩？學生列式：⑴24×6+24×4；⑵24×（6+4）。通過計算，學生發現這兩道算式的結果是一樣的。
師（追問）：這兩個算式之間可以用什么符號來連接？
生（齊）：等號。
師（追問）：用字母可以怎樣表示？
生（齊）：（a+b）×c= a×c+b×c。
生1：（a-b）×c=a×c-b×c成立嗎？
師（追問）：你覺得剛才的問題怎樣改就可以進行減法運算？
生1：四年級比五年級多領了多少根跳繩？可以列式為24×6-24×4=48（根）。
生2：先求四年級比五年級多了幾個班，再求多的根數，可以列式為（6-4）×24=48（根）。
生3：將生1和生2的算式換成字母，就是（a-b）×c=a×c-b×c。
教師在學生思維遇到阻礙時，運用啟發式追問，打開學生的思路，讓學生對知識點的理解水到渠成。
二、運用質疑式追問，追出“真偽”
學生在學習過程中由于生活經驗、學習經驗和慣性思維的影響，對數學知識的認識往往容易出現偏差。教師要分析錯因，鼓勵學生大膽質疑，促使學生進行深入而周密的思考，培養學生思維的靈活性、嚴密性。
在教學乘法分配律后，教師給出題目：120÷8+120÷2。學生得出不同的結果。生1：120÷8+120÷2=120÷（8+2）=12；生2：120÷8+120÷2=15+60=78。
師（追問生1）：為什么你這么算？
生1：因為120×8+120×2=120×（8+2），所以120÷8+120÷2=120÷（8+2）。不知道為什么計算結果和生2的不一樣。
師：生1很愛思考。大家覺得什么情況下除法也可以用這樣的簡便計算？
生3：除數相同的時候可以用，被除數相同時不可以用。
師：為什么乘法可以，除法不行呢？
生3：因為乘法有交換律，除法沒有分配律。
學生的想法出現偏差時，教師沒有直接指出，而是通過追問讓學生發現錯誤、辨析錯誤，從而加深學生對知識本質的理解，讓學生的思維能力在反思中得到提升。
三、運用拓展式追問，追出“深度”
學習是學生主動完成建構的過程，但學生對新知的掌握往往只停留在淺層次的重組和改造上，缺乏深度。這時，就需要教師進行深層次的追問，引領學生探索，培養學生思維的全面性和創造性。
在教學乘法結合律后，教師給出題目：14×35。
生1：可以把14分成2×7，35分成5×7，14×35就等于2×7×5×7，等于10×49，得到490。
師（追問）：大家覺得這樣算可以嗎？
生2：可以。我用豎式計算進行驗證，發現結果和生1的一樣。
師（追問）：把兩個數相乘，拆成四個數相乘，過程煩瑣了一些，有沒有比這個方法更簡潔的呢？
生3：把14拆成2×7，再算2×35得70，最后算70×7等于490。
生4：把14拆成10+4，再算10×35得350，然后算4×35得140，最后算350+140等于490。
教師緊緊抓住學生的生成，通過拓展式追問，啟發學生再思考，使學生對知識的理解更加深刻。
關鍵詞：數學活動；經驗積累；價值
中圖分類號：G622 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2015）03-150-02
學生的成長總離不開“經驗”的積累，俗話說：“一份經歷一份收獲”。數學基本活動經驗，指在數學活動中學生親自參與數學活動所獲得的直接的感受、經歷和體驗。開展數學活動，最終目的是學習數學知識，而數學知識中隱含著只能意會的隱性知識，如對數學概念、公式的理解，數學思想和方法，知識的聯系和區別，解題能力等。所以在課堂教學實施過程中，對于“只可意會，不可言傳”的隱性知識，需要學生在經歷、體驗、感受中獲得，并從中積累數學基本活動經驗。
《義務教育數學課程標準》（2011版）提出了新的課程目標：要求學生獲得適應社會生活和進一步發展所必需的數學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗。它實現了從“雙基目標”到 “四基目標”的轉化，并把“基本思想、基本活動經驗”提升了一個高度，這就要求我們教師不僅要關注“四基目標”相互之間的關系，而且在課堂教學中要有意識地引導學生積累數學活動經驗。以下是筆者的幾點思考。
一、明確數學活動要求
數學活動經驗是在數學學習活動中得到的，在組織學生開展數學活動的過程中，為保證活動的有效開展，必須提出明確的數學活動要求，這樣的活動有目的性、組織性，確保數學活動的高效有序。
上次有幸參加千課萬人研討觀摩會，聽了吳冬冬老師執教的“長方形和正方形的認識”一課。課始，吳老師很巧妙的由一個“土豆”導入新課，吳老師在組織學生開展數學活動之前，向學生提出了明確的活動要求，幫助學生積累有關長方形和正方形的相關活動經驗，從而掌握長方形和正方形的特性。
案例1：“長方形和正方形的認識”教學片斷
學生動手切土豆，認識“面”、“棱”、“頂點”
師：先切一刀。摸一摸新切的面，比較和切之前有什么變化？
生：變平了。
師：這個就是一個面。
師：再接著切一刀，觀察又發生了什么？指一指新增的邊，并想一想它是怎么形成的。
揭示：兩個面相交的線叫做棱。
師：切第三刀，觀察又有什么新變化？指一指新增的點，并數一數它是由幾條棱相交而成的？
揭示：三條棱相交的點叫做頂點。
學生帶著明確的要求開展數學活動，在活動中經歷數學知識形成的過程，利用動手操作為認識長方形和正方形積累必要的活動經驗。
二、注重過程性目標
數學活動中教師要注重過程性目標，這是學生積累基本活動經驗的重要保證。任何活動經驗的積累都離不開一個“過程”，因此，在組織學生開展數學活動的過程中，教師要注意過程性目標的落實，不要使過程性目標可有可無，毫無實質性的作用。而學習的本質就是一個過程，是一個循序漸進的過程，是一個不斷積累經驗的過程。
案例2：“乘法分配律”教學片斷
出示兩組題目：第一組： 第二組：
（62+38）× 7 62×7+38×7
（2+8）× 6 2×6+8×6
25×（4+8） 25×4+25×8
師：請一二大組同學做第一組，請三四大組同學做第二組。（生在本上做，二生板演）請大家觀察兩組題目，橫著看，豎著看，各有什么規律？
生1：第一組的題目都是先加后乘，第二組的題目都是先乘后加。
師：很會觀察，從運算順序上給予區別 。
生2：第一組是兩個數的和與第三個數相乘，第二組是先算出兩個積，再把兩個積相加。
生3：我發現，第一組前兩個算式是兩個數的和乘一個數，第三個算式是一個數乘兩個數的和。
生4：我發現左邊是3個數，右邊是4個數。
生5：不對，右邊也是三個數，不過有一個數出現了兩次。
師：哪個數出現了兩次？
生6：7、6、25，括號外的數出現了兩次。
師：括號外的數乘兩次，括號外的數分別與括號里兩個加數相乘。從這兩組等式中，你發現了什么規律？
（學生用自己的話表述后，教師將學生發言歸結為：兩個數的和與一個數相乘，等于這兩個數分別同這個數相乘，再把兩個積相加，我們把這一規律叫做乘法分配律。）
師：如果用字母表示：（a+b）×c，它等于什么呢？
生：（a+b）×c=a×c+b×c
師：等號左面表示什么？右面表示什么？
生：左邊表示兩個數的和與一個數相乘，右邊表示兩個積相加。
反饋揭示：
兩個數的和與一個數相乘，可以把兩個加數分別與這個數相乘，再把兩個積相加，所得的結果不變。這叫做乘法分配律。字母表達式：（a+b）×c = a×c +b×c
以上環節是讓學生主動參與探索、發現和概括規律的學習活動，感受數學規律的確定性和普遍適用性。乘法分配律的過程性目標是讓學生經歷自主探索乘法分配律的過程，通過觀察、分析、交流討論，總結歸納出規律。從上述案例中可以看出，在教學活動中教師非常重視過程性目標的落實，為學生探究規律提供了充分的時間與空間，為學生后續學習運算規律積累了必要的活動經驗。
三、挖掘數學活動價值
數學來源于生活，生活中處處有數學。新課程標準強調數學與現實生活的聯系，不僅要求選材必須密切聯系學生生活實際，而且要求“數學教學必須從學生熟悉的生活情景和感興趣的事物出發，為他們提供觀察和操作的機會”， 使他們有更多的機會從周圍熟悉的事物中學習數學、體驗數學，從中獲得數學基本活動經驗。
案例3：“周長的認識”教學片斷
師：請同學們選擇一片最喜歡的樹葉圖形，用筆沿著樹葉的邊線用一筆描出它的輪廓來。
生描輪廓。
師：誰愿意來給大家演示一下是怎么描的？（實物投影展示） 請用筆指著，說清楚是從哪里開始，又到哪里結束。
生：我是從樹葉的一頭開始描，沿著邊線描了一周。
師：誰能說清楚你所畫樹葉圖案的起點在哪，終點在哪？你有什么發現？
生：從起點開始，又回到起點。起點和終點重合了。
師：兩點重合形成的圖形是封閉的圖形。看來封閉圖形一周的長度，叫做它的周長。
上述案例從實物樹葉出發，通過“描一描、指一指、說一說”等有效數學活動讓學生動手、動腦、動口，架起學生生活周長和數學周長的橋梁，從而幫助學生獲得周長這一概念的基本數學活動經驗。
四、注重鞏固與反思
數學學習是一個不斷積累的過程，經驗也重在積累，在開展數學活動的過程中，當學生經歷了充分的活動過程，積累了較為豐富的活動經驗之后，需要教師幫助學生進行鞏固和反思，使感性認知上升為理性認知，真正把數學活動經驗提升為數學修養、數學創造力等。
案例4：“三角形內角和”教學片斷
師：同學們通過合作研究得出了一個了不起的結論：三角形的三個內角之和等于180°。那剛剛我們是怎么研究的？在研究的過程中有沒有遇到什么困難？你又是怎么解決的呢？
生1：我們是把三個內角用量角器分別量出來的，再把它們加起來剛好是180°。
生2：剛開始想把三個內角撕下來拼在一起，但在拼的時候沒有拼好，出現了空隙，不過最后我還是把它拼好了，而且剛好拼成了一個平角180°。
生3：我們是想把三個內角折一折，但發現折不成，對折后每兩個角之間都有縫隙，不過我們折了很多遍，終于把它折好了，而且剛好也組成一個平角。
……
師：同學們真會研究，真棒！那如果是四邊形？五邊形？六邊形？它們的內角和又會是怎樣的呢？你又會怎么研究？
幫助學生進行鞏固和反思，不僅是課堂教學的重要環節，也是幫助學生積累數學活動經驗的一個重要渠道。“三角形的內角和等于180°”不少學生已經知道了這個結論，但很有可能是知其然而不知其所以然。通過合作探究，學生獲得了研究三角形內角和的經驗，這時教師請學生回憶探究的過程，并把它延伸到探究四邊形、五邊形、六邊形上，此時學生的數學活動經驗得到了鞏固和反思。
數學活動經驗的積累是學生學習數學知識，提升自身數學素養的一個重要組成部分，也是學生學習生涯中不斷成長的必經渠道。很多時候教師也只注重了學習結果，忽略了學習過程的重要性。所以教師在教學中應該設計更為有效的數學活動，來促進學生數學活動經驗的積累和提升，促使學生不斷成長。
參考文獻：
【教學片段】
板書：■×6×■×6
師：大家看這道題，■×6×■×6，不難吧！猜猜看，老師為什么挑出這道題呢？
生1：因為我們可能會把順序弄錯，算成：（■×6）×（■×6）。
【教師板書】
師：這個順序錯了嗎？兩個算式的計算有什么不同呢？
眾生：沒錯啊！都是16嘛！加上小括號和不加一樣的！
【讀學生、觀課堂】
看來，學生對“錯誤”和“不同”的理解僅限于結果的“錯誤”和“不同”，而沒有意識到運算順序的差異。
師：確實是一樣的嗎？再認真觀察算式，想一想。（等待）
有人發現并舉手。
生2：先算■×6，再算■×6，再算它們的積。
眾生：這不就是第二個算式嘛！
生3：這個算式是先算括號里面的，上面那個要從左到右進行計算。
師：說說看。
生4：第一個算式先算■×6，用它們的積乘■，算出它們的積再乘6。
師：也就是說，第一個算式按照從左到右的順序需要這樣幾步計算。（標運算順序）
那么帶小括號的這道題呢？
眾生：先算小括號里面的，再算它們的積！
師：其實只需要兩步。（標注運算順序）
師：經過觀察，你們還能發現些什么？
生5：在都是乘法的運算中，加小括號和不加小括號結果都是相同的。
師：觀察得好。在連乘的運算中添加小括號只會改變運算的順序，而不會改變結果。如果是連加、連減或者是連除的運算中是不是也有這樣的規律呢？自己先試一試，再和小組內同學交流。（各組探索）
生6：我發現，做連加的時候加上小括號和不加小括號，和乘法一樣，只改變了運算順序，結果都是一樣的。
師：舉例說一說。
生6：■+6+■+6＝13■，（■+6）+（■+6）＝13■
師：其他小組還能舉出連加的例子嗎？
生7：345+156+345+156＝1002，（345+156）+（345+156）＝1002
生8：3.77+9.29+3.77+9.29＝26.12，（3.77+9.29）+（3.77+9.29）＝26.12
師：同學們，你們能總結一下嗎？
生9：無論是整數、分數還是小數連加的計算，增加小括號或去掉小括號只是改變了運算的順序，結果不變。
師：也就是說，連加和連乘運用結合律是不影響計算結果的。那么，連減和連除是不是也有這樣的特點呢？
眾生：不是……
生10：■÷6÷■÷6按照從左到右算結果是■，加上小括號（■÷6）÷（■÷6）結果就變成1了。
師：果真是這樣嗎？？（師板書驗證該題）
4.75÷5÷4.75÷5＝0.04（■），（4.75÷5）÷（4.75÷5）＝1
師：有點意思。再來試試其他情況。
564÷4÷564÷4＝0.0625（■），（564÷4）÷（564÷4）＝1
師：結果真的不一樣了，不過要注意除數，0是不能做除數的。減法還要試試嗎？
眾生：（興趣很高）要！
■-■-■-■＝－■，（■-■）-（■-■）＝0
35-28-35-28＝-56，（35-28）-（35-28）＝0
師：哦，看來連負數都出來了！你們得出了什么結論呢？
生11：連減和連除添上小括號得到的結果會和原題不一樣。
眾生：1÷1÷1÷1呢？
師：呵呵，看來有特殊的情況。不過，剛才第一位同學說的運算順序問題，還真是一個不小的問題呢！如果在做題時把一個算式隨隨便便地加上或去掉小括號，不僅會使運算的順序發生改變，而且還會讓運算的結果發生變化。因此，同學們，適當使用小括號有的時候可以幫忙，使計算簡便，但有些時候也會給我們增加麻煩！
【讀學生、觀課堂】
學生經過自己的觀察、思考、比較和歸類，重新回顧和辨析了整數、小數、分數連加、連減、連乘、連除運算添加或去掉小括號運算順序和結果是否改變的問題，同時也找出了在平時計算時出錯的原因。
【反思】
雖然第一個“猜測”的結果與出示該題的初衷相離甚遠，但順著這種思考繼續地探索卻讓研究這道題的活動有了更豐富的內涵和深刻的意義——學生的自悟自查，師生觀察點、思考落腳點的差異，學生發現問題、探求規律、總結特征，無一不證明學習共同體的成長！
師：除了這種可能以外，老師還會因為什么把這道題寫出來？
生12：我們可能會把算式看成■×6+■×6。
師：是，確實有這個可能。如果看成加號了該怎么算呢？
生12：運用乘法分配律。先算■×6，再算■×6，最后把他們的積加起來。
眾生抗議：沒有運用分配律，只是按照運算順序計算了！
生13：不對，應該是這樣。（■+■）×6……（很猶豫）
師：到底是乘幾呢？
生13：有兩個■所以（■+■），也有兩個6就是（6+6）。
眾生更不同意。
生14：（■+■）×6。因為乘法分配律就是ac+bc＝（a+b）c。
師：也就是說，在這里你把6看成了共有的因數。（師在6的下面畫，追問生13其中的道理。）
生15：還可以這樣算，■×（6+6）。
師：道理呢？
生15：就是將■看成共有的因數，6個■再加上6個■合起來一共有12個■。
掌聲……
師：看來，一道題從不同的角度觀察，會有不同的發現，有不同的思路，解決的方法也會多種多樣。再仔細看一看，想一想，還能找到其他的算法嗎？（沉思 等待）
……
【讀學生、觀課堂】
第二次的猜測才是當初列舉此題的初衷——這是一道典型的易錯題，學生在審題時往往有思維定勢在作怪，大眼一掃就用乘法分配律去解決，就大錯特錯了。同樣一道題，用不同的方法解決，反映了其中蘊含的不同的算理，也反應出學生思維的不同，學生更能在這種思維的碰撞中，迸發出新的火花。
生16：還可以算成■×6×2。
師：為什么呢？
生16：因為是兩個■×6，所以要乘2。
師：你的想法真是與眾不同！再來給大家講一講吧！（還是有部分學生對這種算法有疑慮。）
生16：我們說相同加數和的運算可以用乘法來計算。在以前學習中，相同的加數都是一個數，很奇妙的是，這個相同的加數變成了一個算式，我們可以把它看成一個整體！（隨即圈上■×6）
【讀學生、觀課堂】
看看學生的表情，理解力強的已經明白了其中緣由，較差的學生還有些似懂非懂，等待一下。
師：同學們，如果是■×6+■×6+■×6，該怎么算呢？
生17：那就是■×6×3，有3個■×6。
師：如果是■×6×4呢，這個加法算式該怎樣往后寫呢？（將原算式的3改寫成4）同學們相互討論一下吧！
生18：■×6+■×6+■×6+■×6
師：能解釋一下嗎？
生18：4個■×6就可以用乘法計算。
師：能結合這樣的算式，舉出其他的一些例子嗎？同桌之間說一說。
【讀學生、觀課堂】
學生很坦然，也很誠實。課堂上新生成的事物，學生接受起來有快有慢，這是很正常的，給出時間，讓他們慢慢內化。
師：同學們，俗話說，理不清辨不明，只有經過認真的觀察，發現算式中的奧秘，我們才能找對方向，沿著正確的道路走下去。
師：試試看，如果將這個算式中的加號換成減號和除號又會怎樣呢？
（生自由嘗試討論）
生19：■×6-■×6＝0
生20：■×6÷■×6＝1
師：呵呵！
生21：■×6÷■×6＝36
師：前一位同學為什么會算的和你不一樣呢？
生22：他又給算式加上了小括號，改變了運算的順序。
師：是的，同學們這里可是大家最容易出現錯誤的地方。那么，今天我們每個同學就結合本節課討論的內容，每個人設計一道小數或者分數的口算題，并進行變化，嘗試自己解答。
下課的鈴聲已經響起，同學們，尤其是思考動腦的學生很滿足地離開了座位，走到我面前做出不同的姿態示意。
【反思】
