時間：2023-06-01 09:30:45
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創(chuàng)造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇正方體的體積，希望這些內(nèi)容能成為您創(chuàng)作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
教學目標：1. 通過操作和實踐使學生發(fā)現(xiàn)并理解掌握長方體和正方體體積的計算方法。
2. 能運用長方體、正方體的體積計算方法解決一些簡單的實際問題。
3. 培養(yǎng)學生觀察分析、歸納推理、抽象概括的能力，發(fā)展學生空間觀念。
教學重點：理解掌握長方體和正方體的計算方法。
教學難點：長方體和正方體體積公式的推導。
教學用具：長方體、正方體模型 、多媒體課件。
學生用具：1立方厘米的小正方體若干
教學過程：
一、復習導入
1、 復習體積概念和體積單位
提問：什么是體積？常用的體積單位有哪些？
2、直觀感知體積，引出課題。（出示課件）
指出下列長方體和正方體的長、寬、高各是多少？正方體的棱長是多少厘米？并數(shù)一數(shù)分別包含幾個體積是 1 立方厘米的小正方體？它的體積分別是多少立方厘米？
二、探究新知
這節(jié)課我們一起來研究長方體和正方體的體積是怎樣計算的？（板書課題）
1、長方體體積計算方法。
（1）實踐操作：用一個蘿卜切成一個長3厘米、寬2厘米、高1厘米的長方體。再把這個長方體切成棱長1厘米的小正方體。數(shù)一數(shù)這個長方體是由多少個棱長1厘米的小正方體組成的？
說明：計量一個長方體的體積，就要看這個長方體含有多少個體積單位。
啟發(fā)：再測量物體體積時，有些物體是不能切開，像上述方法那樣計量體積的，因此必須找到一個計算長方體體積的方法。
（2）公式推導
A、分組拼擺，得出數(shù)據(jù)。（出示課件）
要求： 第一組 長4厘米 寬3厘米 高2厘米
第二組 長5厘米 寬3厘米 高2厘米
第三組 長4 厘米 寬2厘米 高2厘米
第四組 長5厘米 寬3厘米 高4厘米
問： 1、每行有幾塊？每層有幾行？擺幾層？怎樣算出共幾塊？
2、它的體積是多少？
體積（立方厘米） 總塊數(shù) 每行塊數(shù) 行數(shù) 層數(shù)
B、觀察數(shù)據(jù)，探究規(guī)律，推導出長方體的體積公式。
結(jié)合擺成的圖形觀察從實際操作中得出的數(shù)據(jù)，想一想這些數(shù)據(jù)與長方體的長、寬、高、體積有什么關(guān)系？你發(fā)現(xiàn)了什么？
概括：長方體所含體積單位數(shù)，正好等于長、寬、高長度單位數(shù)相乘的積。
小結(jié)：長方體的體積等于長乘寬乘高。板書：
長方體的體積=長×寬×高
如果用v表示體積，用a、b、h分別表示長方體的長、寬、高，上面的公式可以寫成： V=abh
C、自學例1.
學生根據(jù)題目條件和要求獨立計算，并完成課本空白處的填空，注意格式及單位名稱。
2、正方體的體積的計算方法
（1）組織學生討論：根據(jù)正方體長方體的關(guān)系，想一想正方體的體積應怎樣計算？
啟發(fā)：因為正方體是長、寬、高都相等的長方體。
所以 正方體的體積=棱長×棱長×棱長（板書）
如果用v表示體積，用a表示棱長，上面的公式可以寫成：
V=aaa
aaa也可以寫作“a? ” 讀做“a的立方”，表示三個a相乘。所以正方體的體積公式寫成：V= a?
（2）自學例2.，學生獨立完成，核對檢查。
三、看書質(zhì)疑 學生自己看書40-42 頁質(zhì)疑
四、鞏固練習。
1、填空
2、判斷正誤并說明理由
（1） 6?=18 （ ）
（2）一個長方體長5分米、寬4分米、高3 厘米，體積是
60立方分米。 （ ）
（3）一個正方體的棱長擴大2倍，它的體積也擴大2倍
（ ）
（4）一個棱長為6厘米的正方體，它的表面積和體積相等。（ ）
3、解決問題
（1）一根鋼材長3米，寬4厘米，高5厘米，已知每立方分米的鋼材重7.8千克，這根鋼材一共重多少千克 ？
（2）一個棱長和是84分米的正方體，它的體積是多少？
（3）把9立方米的黃砂鋪在長50米，寬3米的馬路上，黃砂的平均厚度是多少厘米？
（4）把一塊棱長10厘米的正方體鋼坯，鍛造成高和寬都是5厘米的長方體鋼材，這塊鋼材長多少厘米？
五、課堂總結(jié)，學生談收獲。
提問：“今天學了什么內(nèi)容？”“長方體正方體體積是怎樣計算的？”“計算公式怎樣”“計算時必須知道那些條件？”“必須注意那些問題？”
六、布置作業(yè)
課本練習七第5、6、7題
板書設計：
長方體和正方體的體積
長方體的體積=長×寬×高 正方體的體積=棱長×棱長×棱長
V=abh V= a?
五
長方體和正方體的體積
同步訓練
姓名:________
班級:________
成績:________
小朋友，帶上你一段時間的學習成果，一起來做個自我檢測吧，相信你一定是最棒的!
一、單選題
(共4題；共8分)
1.
（2分）一個茶杯的容積大約是（
）
A
.
B
.
C
.
2.
（2分）如圖，一根長2
m的長方體木料沿虛線鋸成兩段后，表面積增加100
cm2
，
它的體積是（
）。
A
.
200
cm3
B
.
10000
cm3
C
.
2
dm3
D
.
1
m3
3.
（2分）一個正方體的體積是125
，它的棱長是（
）cm。
A
.
5
B
.
15
C
.
25
4.
（2分）表面積是96
的正方體，它的體積是（
）
A
.
16
B
.
32
C
.
64
二、填空題
(共3題；共10分)
5.
（4分）單位換算
=_______
=_______
=_______
_______
6.
（4分）在橫線上填上合適的單位。
一盒牛奶大約有250_______。
一個書包的容積大約是40_______。
一盒水彩筆的體積大約是40_______。
一個微波爐的體積大約是46_______。
7.
（2分）一張正方形硬紙皮，邊長是24厘米；從四個角各切掉一邊長為4厘米的正方形（如圖），然后做成盒子。
（1）.這個盒子用了_______硬皮紙。
（2）.這個盒子的容積是_______。
三、解答題
(共3題；共25分)
8.
（15分）挖一個長10
、寬8
、深2
的蓄水池。（只列式不計算）
（1）.這個蓄水池占地多少平方米？
（2）.給這個蓄水池的四周和底部抹上水泥，抹水泥部分的面積是多少平方米？
（3）.這個蓄水池最多蓄水多少立方米？
9.
（5分）養(yǎng)路工人要把19.2
m3的沙子鋪在一條長40
m，寬4
m的路上，沙子的厚度是多少厘米？
10.
（5分）某果汁飲料廠原來用棱長是10cm的正方體包裝盒包裝果汁。改進生產(chǎn)工藝后，把原包裝改成了棱長是5cm正方體包裝盒，請你幫忙算一算，原來200盒果汁飲料，現(xiàn)在要裝多少盒？（包裝盒厚度忽略不計）。
參考答案
一、單選題
(共4題；共8分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
二、填空題
(共3題；共10分)
5-1、
6-1、
7-1、
7-2、
三、解答題
(共3題；共25分)
8-1、
8-2、
8-3、
一、重視情境的創(chuàng)設
《課標》指出：“教學中應當努力創(chuàng)設源于學生生活的現(xiàn)實情境。好的現(xiàn)實情境，應當是學生熟悉的、簡明的、有利于引向數(shù)學本質(zhì)的、真實或合理的。
在教學《長方體和正方體》這一單元的知識時，我們給學生提供生活中隨處可見的包裝盒。在這種真實的、簡明的、熟悉的素材中研究長、正方體的特征、體積，表面積、研究如何為長方體和正方體的物體設計包裝盒，構(gòu)成了一系列的情境串，讓學生感受到學習長、正方體是現(xiàn)實生活的需要，是解決問題所必需的，從而產(chǎn)生濃厚的學習興趣。
課例:情景串理念下的教學片段:
情境引入:
師:母親節(jié)就要到了，老師到商店選了兩盒禮物想送給自己的母親，瞧:盒子形狀是長方體的，老師想把這個盒子用精美的包裝紙包起來。你們有什么問題要問嗎？
生1：選用多大的紙合適呢?
生2：怎樣裁紙呢?
師：是呀，怎么辦呢？
生1:找一張很大的紙包包看，然后將多余的剪掉。
生2：我看還是先側(cè)測這個盒子每個面的面積再決定吧。
生3：我認為把這個禮品盒拆開看看，照著拆開的樣子選紙和裁紙比較好。
……
師：小組同學商量一下，哪種方法可行？然后利用手中的紙和長、正方體包裝盒做一下實驗。
學生動手實驗，教師巡視。
……
我們在教學中應盡量給學生創(chuàng)設一種現(xiàn)實的情境，提供學生熟悉的素材，以使學生感受到學習數(shù)學的價值和趣味．
二、重視實物、學具和教具的使用
小學階段的學生基本以直觀加想像為主，因此測量部分的教學均要建立在學生大量操作感知的基礎上。學具操作，能幫助學生形成空間觀念，學具操作能促動創(chuàng)新意識的生成。
如：信息窗3《體積和體積單位》的教學。
第二個紅點 體積單位
1．長方體和正方體都有()個面，()條棱、()個頂點。
2．長方體或正方體的()叫做它的表面積。
3．物體所占()叫做物體的體積。
4．4是28的()，28是4的()。
5．一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是()其中最小的倍數(shù)是()。
6．一個自然數(shù)不是()，就是()。
7．把60分解質(zhì)因數(shù)是()。
8．長方體（或正方體）的體積=()。
9．5080毫升=()升=()立方分米
0.05立方米=()立方分米=()升
10．能同時被2、5整除的數(shù)的特征是()。
11．一個合數(shù)至少有()個約數(shù)。
12．一根方木長3米，底面為邊長3分米的正方形，它的體積是()立方分米。
13．大正方體的棱長是小正方體棱長的2倍，小正方體的體積是大正方體的體積() /()。
二、判斷（對的打“√”，錯的打“×”，共10分）
1．正方體是由6個正方形圍成的立體圖形。 ()
2．長、寬、高相等的長方體是一個正方體。()
3．用四個同樣大小的小正方體，可以拼成一個大正方體。()
4．一個自然數(shù)不是質(zhì)數(shù)，就是合數(shù)。 ()
5．一個數(shù)的約數(shù)的個數(shù)是有限的。()
三、整理數(shù)據(jù)并填空（共20分）
下面的數(shù)據(jù)記錄了某體育夏令營一組男生一次立足跳遠的成績：
（1）根據(jù)上面的成績填寫下表
（2）參加立足跳遠的一共有()人。
（3）成績在()段的人數(shù)最多，是()人。
（4）成績超過1.29的共有()人。
四、應用題（每題6分，共48分）
1．小明讀一本書，前4天平均每天看6.25頁，后3天共看24頁，小明這一星期平均每天看多少頁？
2．下面是某地一天四個時刻的氣溫，算一算這一天的平均氣溫
3．一種木箱，長1.2米，寬0.8米，高1米，如果外面四周都刷上油漆，刷油漆的面積是多少？
4．有一種長方體鋼材，長2米，橫截面是邊長為5厘米的正方形，每立方分米鋼重7.8千克，這根方鋼材重多少千克？
5．有一個養(yǎng)魚池長18米，寬12米，深3.5米，要在養(yǎng)魚池各個面上抹一層水泥，防止?jié)B水，如果每平方米用水泥5千克，一共需要水泥多少千克？
6．從一個長為6厘米長方體上截下一個體積是64立方厘米的正方體，原來這個長方體的表面積是多少平方厘米？
7．既能被6整除，又能被9整除的數(shù)，最小的是多少？
8．一張長方形紙，長48厘米，寬36厘米。要把這張紙裁成大小相等的正方形紙，而無剩余，正方形的邊長最長是多少？
一、1．6、12、8
2．6個面的總面積
3．空間的大小
4．約數(shù) 倍數(shù)
5．無限的 它本身
6．偶數(shù)、奇數(shù)
7．60=2×2×3×5
8．底面積×高
9．5.08 5.08 50 50
10．個位上是0
11．3
二、1．×
2．√
3．×
4．×
5．√
三、（1）0、1、4、11、7、2
（2）25
（3）1.30～1.39 11
（4）20
四、1．7
2．13
3．4平方米
4．39千克
5．2130千克
6．128平方厘米
現(xiàn)以“四川省2013年小學數(shù)學青年教師優(yōu)質(zhì)課觀摩活動”榮獲一等獎的自流井區(qū)塘坎上小學黃際老師執(zhí)教的“長方體和正方體的體積計算”一課為例進行分析。
一、問題引入時感悟“再創(chuàng)造”的思想
【片段一】
師：同學們，喜歡玩積木嗎？
生：喜歡。
教師課件出示：1cm3的正方體積木搭成的2個長方體和一個不規(guī)則的立體圖形。
師：老師用這種體積為1cm3的正方體積木搭成的圖形，你知道它們的體積是多少嗎？
教師和學生一起回顧舊知：要想知道一個物體的體積是多少，就看它含有多少個單位體積。
師：要知道這個長方體橡皮泥的體積（課件出示一個長方體橡皮泥），你有什么辦法？
生1：將橡皮泥切成1cm3的正方體，數(shù)數(shù)有幾個正方體就知道它的體積了。
生2：把長方體沉入裝有水的燒杯里，水上漲的體積就是它的體積。
師：如果要知道一個長方體粉筆盒或一摞作業(yè)本的體積，怎么辦？
生：可以用算的方法。
師：為什么？
生：因為粉筆盒和作業(yè)本切碎或者到浸沒到水中以后就弄壞了，用計算的方法就不會弄壞，而且還更簡便，不用去切或浸沒。
師：很好，你真不錯！知道解決問題要契合實際，找簡便，適用的好方法。你們也會這樣嗎？
師：看來用“切”和“浸沒”這兩種方法求長方體的體積都有一定的局限。這里我們得用一種既不損壞長方體，還能簡便求出長方體體積的方法――計算。可怎樣算呢？
【導引一】在問題引入中，我們不難看出老師在從學生熟悉的搭積木出發(fā)，喚起學生已有知識和活動經(jīng)驗，溝通新舊知識的鏈接點，在放手讓學生想辦法求長方體的體積。橡皮泥是一個可切，可浸沒的長方體，學生利用已有的認知基礎“要想知道一個物體的體積是多少，就看它里面含有多少個單位體積”易于解決，但不能切、不能浸沒于水中的粉筆盒和作業(yè)本，怎樣求出其體積？
這種情形對學生來講是一種挑戰(zhàn)，能很好地激發(fā)學生探索新方法的欲望。同時，我們應該看到教師在這個過程中，讓學生充分體驗和感悟了解決問題要聯(lián)系實際，要在已有經(jīng)驗和方法的基礎上改進和研究新方法的“再創(chuàng)造”的基本數(shù)學思想。
二、探究過程中感悟“建模”的思想
【片段二】
師：現(xiàn)在一起來探究長方體體積計算方法。同桌合作，用12個1cm3的正方體擺出一個長方體，并把相關(guān)數(shù)據(jù)記錄于下表中。
學生交流分享了6種不同的擺法，教師根據(jù)學生交流的情況將相應的數(shù)據(jù)記錄于上表中。
師：現(xiàn)在仔細觀察這個表，你有什么發(fā)現(xiàn)？
生1：我發(fā)現(xiàn)每排的排數(shù)、個數(shù)和層數(shù)有不同的擺法，但是擺出的長方體體積都是12cm3。
生2：因為用的1cm3的正方體總個數(shù)都是12個，所以無論怎么擺，擺出的長方體體積都是12cm3。
生3：我發(fā)現(xiàn)長方體的體積=長×寬×高。
生4：我發(fā)現(xiàn)每個長方體每排個數(shù)、排數(shù)、層數(shù)相乘，都等于長方體的體積。
師：是嗎？（課件出示用1cm3的正方體擺出的3×2×2形狀的長方體）以這個長方體為例，請你說給大家聽聽。
生：這個長方體每排個數(shù)是3，2排，2層。一層3乘2，用了6個小正方體；兩層，6乘2，用了12小正方體。所以正方體的總個數(shù)是12，這個長方體的體積就是12立方厘米。因此，每排的個數(shù)乘排數(shù)再乘層數(shù)，等于長方體的體積。
師：前面有同學說“長方體的體積等于長乘寬乘高”，怎樣想的？請說一說。
生：每排的個數(shù)乘排數(shù)再乘層數(shù)，等于正方體的總個數(shù)，正方體的總個數(shù)就是長方體的體積。這里，每排個數(shù)相當于擺出的長方體的長，排數(shù)相當于寬，層數(shù)相當于高。所以，長乘寬乘高等于長方體的體積。
師：我還不太明白，誰能結(jié)合這個長方體再說一說。
生：這個長方體每排個數(shù)相當于它的長，排數(shù)相當于寬，層數(shù)相當于高，每排個數(shù)、排數(shù)、層數(shù)相乘等于正方體的總個數(shù)，也就是長方體的體積。所以長方體的體積=長×寬×高。
師：這個每排個數(shù)是3個，排數(shù)是2排，層數(shù)是2層的長方體，它的長、寬、高各是多少？
生：長是3cm，寬是2cm，高是2cm。
師：為什么？。
生：因一個正方體的棱長是1cm，每排3個，長就是3個1cm，也就是3cm。排數(shù)是2排，寬就是兩個1cm，也就是2cm，層數(shù)是2層，高就是2cm。
師：那么它的長乘寬乘高等于？
生：3乘2乘2等于12cm3。
師：與這個長方體體積――？
生：相等。
師：這么說你們都發(fā)現(xiàn)了：長方體的體積=長×寬×高？
【導引二】在這個探究過程中，學生通過同桌合作產(chǎn)生多種擺法，并借助實物和多媒體課件，交流、觀察、比較、分析，活躍了思維，達到了對每排個數(shù)、排數(shù)、層數(shù)與正方體總個數(shù)的直觀理解；溝通了每排個數(shù)、排數(shù)、層數(shù)、正方體總個數(shù)與擺出的長方體的長、寬、高、長方體體積之間的對應關(guān)系。
這個過程在數(shù)學上稱為建模過程。學生通過拼擺和對比，將拼擺中的每排數(shù)、排數(shù)和層數(shù)與長方體的長寬高進行對應比較，將信息整理與思維聚焦融合起來，使學習經(jīng)驗和認識成果逐步歸納提煉為一個數(shù)學模型，即“長方體的體積=長×寬×高”。
【片段三】
師：同學們通過對“用12個1cm3的正方體擺出一個長方體”進行研究，發(fā)現(xiàn)這些長方體的體積等于長乘寬乘高的積。其它長方體的體積也等于長乘寬乘高的積嗎？猜一猜。
生：我猜想其它長方體的體積也等于長乘寬乘高的積。
師：猜想的結(jié)果是否正確，是需要驗證的。你們能驗證嗎？誰知道怎么驗證？
生：我們用不同個數(shù)的正方體任意擺出一個長方體，看它的體積與長乘寬乘高的積是否相等來驗證。
師：好主意。那就分小組合作驗證吧。
師：用若干個1cm3的正方體任意擺出一個長方體，看它的體積與長乘寬乘高的積是否相等。把你們驗證過程中的相關(guān)數(shù)據(jù)記錄于下表中。
學生小組合作驗證，然后向全班匯報。最后得出結(jié)論：長方體的體積=長×寬×高。
師：你們中有擺出的長方體體積與長乘寬乘高的積不相等的嗎？
生：沒有。
師：這下我們是用不同個數(shù)的1cm3的正方體任意擺出一個長方體，它的體積都等于長乘寬乘高的積了，那我們是不是可以說所有長方體的體積都等于長乘寬乘高的積呢？
生：可以。
【導引三】通過學生對“其它長方體的體積也等于長乘寬乘高的積嗎”這個問題的研究，放飛了學生的思維。學生大膽猜想，分組探究，舉例驗證了“長方體體積=長×寬×高”。
這個研究過程就叫做數(shù)學模型的推廣。因為我們通過一個或幾個例子得到的結(jié)論，在數(shù)學上叫做不完全歸納法。這樣得出的數(shù)學模型的可靠性值得懷疑。因此，教師通過組織學生進行任意舉例驗證，再度實施研究，進一步解釋了本數(shù)學模型的正確性和合理性。雖然我們現(xiàn)在的解釋還是處于低級階段，但是給學生提供了深入進行數(shù)學研究的思路，就是不斷地將已經(jīng)形成的初步數(shù)學模型進行推廣驗證的思想方法。
三、討論交流中感悟“演繹”的思想
【片段四】
師：每個小組舉了2個例子，全班一共才舉了10幾個例子，驗證了“長方體體積=長×寬×高”，其中還有些例子是重復的。就能說明所有長方體的體積都等于長乘寬乘高嗎？
生：不能，但我們還可以繼續(xù)舉出很多這樣的例子來驗證。
師：就這樣一直舉下去？能舉完嗎？你打算怎么舉例？
學生思考交流討論形成共識：例子很多，舉不完，但為了不重復和遺漏，要按照一定的順序――從小到大的舉例驗證。
師：這個辦法不錯，很好！我們就用這個方法一起來驗證：
師：就從第四組已經(jīng)驗證的這個長方體起，（課件展示長是5cm、寬2cm、高1cm的長方體。）由小變大依次進行驗證。
師：這個長方體我們讓它的長、寬不變，只讓它的高變化。向高的方向增加一層（課件展示相應的長方體），看看現(xiàn)在這個長方體的情況。
生：這個長方體中1cm3正方體總個數(shù)是20個，它的體積就是20cm3，它的長、寬沒有變化，所以長是5cm、寬2cm；這個長方體加高了一層的，也就是高增加了1cm，所以高變?yōu)榱?cm變。這樣，長乘寬乘高就是5乘2乘2等于20cm3。
師：這說明什么？
生：說明現(xiàn)在這個長方體的體積也等于長乘寬乘高的積。
師：好！如果長、寬繼續(xù)保持不變，高再增加一層呢？
學生驗證得出：高再增加一層得到的長方體的體積也等于它的長乘寬乘高的積。
師：那如果照這樣依次增加到第四層，五層、六層、七層、八層、九層、十層能驗證嗎？試試看。
有學生通過計算驗證，有學生借助課件，觀察計算比較發(fā)現(xiàn)：長方體增加一層，他的體積就增加10cm3，高增加1cm，長乘寬乘高的積也增加10cm3于是驗證了“長方體的體積=長×寬×高。”
師：不錯！居然在驗證過程中，還找到了他們的變化規(guī)律，利用這個變化規(guī)律來驗證，就省事多了，你們真聰明！照這樣依次增加到一百層、一千層，一萬層……還能驗證嗎？閉眼，想像思考一下。
生：能驗證。只要能擺出來，就都可以驗證。
師：那我們現(xiàn)在還有必要再一一計算驗證下去嗎？為什么？
通過討論，大家認為，不論那種情況我們都有驗證，現(xiàn)在可以說所有的長方體的體積都能用長乘寬乘高來計算了。接著，教師和學生一起總結(jié)，并板書：“發(fā)現(xiàn)―猜想―驗證―結(jié)果”。
【導引四】在這個交流討論和共同驗證的過程中，老師用“其中還有些例子是重復的。就能說明所有長方體的體積都等于長乘寬乘高嗎？”“就這樣一直舉下去？能舉完嗎？”這樣的問題，讓學生在討論交流的過程中，認識到前面的擺長方體進行的舉例驗證，雖然打破了總體積12cm3的局限，但自己在舉例時，思維是無序的，信息是有限的。同時，老師這樣的追問，把問題步步引向深入，把學生置于不能不去、不得不去解決的問題情境中，促使學生的思考不斷深入。進而想出了在一個長方體的基礎上由小到大依次添加一層，也就是長方體的長、寬不變的情況下，高依次增加一個單位長度，來驗證所發(fā)現(xiàn)的“長方體的體積=長×寬×高”。
關(guān)鍵詞：巧解;外接球;問題
【中圖分類號】G633.6
有關(guān)多面體外接球的問題，是立體幾何的一個重點，也是近年高考考查的一個熱點.而正方體模型和長方體模型是學習立體幾何的基礎，掌握這兩種模型，對于學生理解立體幾何的有關(guān)問題起著非常重要的作用，本文通過近年來部分高考試題中外接球的問題談幾種解法。
一、以正方體為載體的外接球的有關(guān)問題
例1:（2006年廣東高考題）若棱長為3的正方體的頂點都在同一球面上，則該
球的表面積為____________.
解析：要求球的表面積，只要知道球的半徑即可.因為正方體內(nèi)接于球，所以它的體對角線正好為球的直徑，因此，求球的半徑可轉(zhuǎn)化為先求正方體的體對角線長，再計算半徑.故表面積為27π.
例2：(2008 天津理) 一個正方體的各頂點均在同一球的球面上，若該球的體
積為 ，則該正方體的表面積為____________．
解析：要求正方體的表面積，先得求出正方體的棱長，而球的直徑正好是正方體的體對角線，因此，由球的體積可求出球的半徑是 ，從而求出正方體的體對角線是 ，所以正方體的棱長為2，故該正方體的表面積為24.
例3： (2012 遼寧理) 已知正三棱錐P-ABC，點P,A,B,C都在半徑為 的球面上，若PA,PB,PC兩兩互相垂直，則球心到截面ABC的距離為.
解析：因為PA,PB,PC兩兩互相垂直，故正三棱錐
P-ABC的外接球即是以PA,PB,PC為棱的正方體的外接
球.所以球心到截面ABC的距離即為球半徑減去正三棱錐
的高.設PA=PB=PC=a，則3a2=4R2=12,所以a=2.設正三棱錐P-ABC的高為h，
則 ，解得 = ，故圓心到截面ABC的距離為 .
例4：（2003年全國卷）一個四面體的所有棱長都為 ，四個頂點在同一球面
上，則此球的表面積為（ ）
A. 3πB. 4πC.D.6π
解析：四面體S-ABC中，SA=SB=SC=AB=BC=AC= ，由此可以聯(lián)想到正方體這個載體，可求得正方體的棱長為1，體對角線為 ，從而外接球的直徑也為 ，所以此球的表面積便可求得，故選A.
例5：（2008年浙江高考題）已知球O的面上四點A、B、C、D，DA平面ABC，ABBC， ，則球O的體積等于 .
解析：由于DA平面ABC，ABBC，聯(lián)想長方體中的相應線段關(guān)系，構(gòu)造如圖所示的長方體，又因為 ，則此長方體為正方體，所以CD長即為外接球的直徑，利用直角三角形解出CD=3.故球O的體積等于 .
例4圖例5圖例6圖
例6：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABBC，AA1=AB=BC=2,三棱柱的頂點都在同一個球面上，則該球的表面積為______________.
解析：由已知可構(gòu)造一個正方體，則球的半徑等于正方體體對角線的一半，即半徑等于 ，球的表面積等12π。
二、以長方體為載體的外接球的有關(guān)問題
例7:（2007年天津高考題）一個長方體的各頂點均在同一球面上，且一個頂點
上的三條棱長分別為1，2，3，則此球的表面積為_______.
解析：關(guān)鍵是求出球的半徑，因為長方體內(nèi)接于球，所以它的體對角線正好為球的直徑。長方體體對角線長為 ，故球的表面積為14π.
例8:（2006年全國卷I）已知各頂點都在一個球面上的正四棱柱高為4，體積為
16，則這個球的表面積為（ ）.
A. 16πB. 20πC. 24π D. 32π
解析：正四棱柱也是長方體。由長方體的體積16及高4可以求出長方體的底面邊長為2，因此，長方體的長、寬、高分別為2，2，4，于是等同于例7，故選C.
例9:（2008年安徽高考題）已知點A、B、C、D在同一個球面上，AB平面BCD，
BCDC，若 ，則B、C兩點間的球面距離是______.
解析：首先可聯(lián)想到例5，構(gòu)造右圖的長方體，于是AD為球的直徑，O為球心，OB=OC=4為半徑，要求B、C兩點間的球面距離，只要求出∠BOC即可，在RtΔABC中，求出BC=4，所以∠BOC=60°，故B、C兩點間的球面距離是 .
例10：(2012 遼寧文) 已知點P,A,B,C,D是球O表面上的點，PA平面ABCD，四邊形ABCD是邊長為2 的正方形。若PA=2 ,則ΔOAB的面積為_____________.
解析：因為PA平面ABCD,四邊形ABCD是邊長為2 的正方形,所以可
以構(gòu)造長方體。由已知可得PC2=PA2+AB2 ，所以故 .球心O
九年義務教育小學數(shù)學教學大綱指出：“使學生逐步形成簡單幾何形體的形狀、大小和相互位置關(guān)系的表 象，能夠識別所學的幾何形體并能根據(jù)幾何形體的名稱再現(xiàn)它們的表象，培養(yǎng)初步的空間觀念。”由此可見， “表象”在兒童的認知活動和空間觀念的形成過程中，都具有十分重要的作用。因此，本單元的教學要盡量讓 學生主動參與學習活動，通過眼、耳、口、手等多種感官去感知事物，借助實物直觀、圖像直觀和語言啟迪獲 得有關(guān)形體及特征認識的表象，并逐步抽象、概括出有關(guān)概念，以發(fā)展學生的空間觀念，培養(yǎng)他們思維的廣闊 性。
（一）緊密聯(lián)系生活實際，通過觀察、操作、實驗，幫助學生建立有關(guān)形體的表象。
1. 立體圖形的認識要建立在對平面圖形認識的基礎上。本單元是學生比較深入地學習立體圖形的開始，也 是學生空間觀念由二維空間向三維空間的一次飛躍，教學時要注意幫助學生逐步建立有關(guān)立體圖形的表象。有 的教師作過這樣的教學嘗試：首先，教師拿出一根小棒引導學生思考：我們可以把它看作一條什么？（線段） 然后讓學生拿出3 根同樣長的小棒，首尾順次相連圍成一個平面圖形（三角形），認識線段可以圍成平面圖形 。緊接著復習我們學過的平面圖形還有哪些（長方形、正方形、平行四邊形和梯形）。最后讓學生拿出6 根小棒 圍成4 個三角形，教師指出像這樣的圖形就是立體圖形。教師還可以邊講解邊板書：線——面——體。并聯(lián)系實際讓學生說一說，日常生活中哪些物體的形狀是立體圖形，把學生頭腦中形成的立體圖形的表象由 特殊推向一般，從而發(fā)展學生的空間觀念。
2. 長方體和正方體的表象要建立在觀察和操作的基礎上。教師可用切蘿卜的直觀演示幫助學生認識長方體 。第一步，教師在一個蘿卜上橫切一刀，得到一個橫截面，讓學生觀察并摸一摸，直觀感知面，獲得“面”的 表象。在此基礎上引導學生觀察長方體有幾個面，每個面是什么形狀，哪些面完全相同。第二步，在切得的半 塊蘿卜上垂直于橫截面縱切一刀，得到兩個面，并指出兩個面相交的邊叫做“棱”。緊接著讓學生摸一摸棱， 獲得“棱”的表象。
然后引導學生觀察長方體有多少條棱，量一量每條棱的長度，思考哪些棱的長度相等。第 三步，在切得的蘿卜上垂直于橫截面和縱截面再切一刀，得到三個面、三條棱，指出三條棱相交的點叫“頂點 ”，并讓學生數(shù)一數(shù)，長方體有多少個頂點，最后系統(tǒng)歸納出長方體的特征。正方體的認識，其教學過程與長方體的教學過程類似，但要注意加強與長方體的聯(lián)系。
3. 表面積與體積的概念、計算方法和公式，要建立在學生感知的基礎上。長方體和正方體的表面積，在日 常生活中有廣泛的應用。理解表面積的意義，不僅可以加深學生對長方體和正方體特征的理解，而且可以發(fā)展 學生的空間觀念。教學時要通過操作活動（把長方體或正方體紙盒的6 個面展開），幫助學生理解表面積的概念 。 在此基礎上結(jié)合具體例題教學有關(guān)形體表面積的計算方法。教材中沒有給出計算表面積的公式，目的在于讓 學生靈活運用所學知識解決簡單的實際問題。
體積對學生來說是一個新概念，從面積到體積也是學生空間觀念的一次飛躍，因此，學生在理解和應用上 都有一定的難度。教學時我們可以通過實驗分三步幫助學生認識：第一步，感知物體所占的空間。先把一塊石 頭放入有水的玻璃杯中，觀察水面的上升變化，并組織學生討論水面上升的道理；再取一只裝滿細沙的杯子， 把沙倒出來，放入一塊長方體木塊，然后再裝沙，讓學生觀察實驗現(xiàn)象，并討論為什么不能把倒出的沙全部裝 回去的道理。在此基礎上教師小結(jié)出；任何物體都占有一定的空間。第二步，比較物體所占空間大小。教師可 出示實物或掛圖，讓學生比較大小不同的幾個物體，哪一個物體所占的空間大，使學生感知物體所占的空間有 大有小。第三步，歸納體積的意義，讓學生明確物體所占空間的大小叫做“物體的體積”。
長方體的體積計算 公式要通過擺小木塊的實驗，引導學生發(fā)現(xiàn)長方體的體積與它的長、寬、高的積的關(guān)系，從而直觀地推導出體積計算公式，并用字母表示。根據(jù)正方體與長方體的關(guān)系，可以直接由長方體的體積計算公式導出正方體的體 積計算公式，最后把長方體和正方體的體積計算方法統(tǒng)一成用底面積乘以高。 轉(zhuǎn)貼于
（二）重視抽象和概括，發(fā)展學生的空間觀念。
表象只是從感知到抽象的中介和橋梁，而教學的最終目的是要幫助學生把感性認識上升為理性認識。因此 ，教學過程中及時的抽象和概括，不僅有利于學生理性地掌握所學知識，而且在本單元還有利于發(fā)展他們的空 間觀念。
例如：在引導學生初步感知長方體和正方體的特征后，還應抽象概括出長方體一般是由6 個長方形（ 也可能有兩個相對的面是正方形）圍成的立體圖形，正方體是由6 個完全相同的正方形圍成的立體圖形，這樣 便于學生系統(tǒng)掌握所學知識。在此基礎上，還要抽象出長方體和正方體的直觀圖（見下圖），讓學生識記。而 直觀圖去掉了長方體和正方體的非本質(zhì)屬性，保留其本質(zhì)屬性，有利于發(fā)展學生的空間觀念。
二、加強比較，促進學生掌握易混知識的聯(lián)系和區(qū)別，培養(yǎng)思維的深刻性。
（一）長方體和正方體特征的比較。教學時要通過實物的對比觀察，引導學生說出長方體和正方體有哪些相同點和不同點，使學生明確正方體 是長、寬、高都相等的長方體（特殊的長方體），會用集合圖表示出正方體和長方體之間的關(guān)系。學生掌握了 正方體和長方體的聯(lián)系與區(qū)別，有利于較簡捷地計算正方體的表面積與體積。
（二）表面積和體積的比較。
學習了長方體和正方體的表面積和體積后，有的學生可能會對表面積和體積這兩個概念發(fā)生混淆。因此， 教師應結(jié)合實物（或圖形）進行對比，使學生從這兩個概念的含義、計量單位、所需數(shù)據(jù)的測量和計算方法等 方面進行區(qū)分，以加深對這兩個概念的理解。
（三）容積和體積的比較。
容積和體積這兩個概念既有聯(lián)系又有區(qū)別。體積是指一個物體自身所占多大的空間，容積是指一物體中間 所能容納多大體積的其它物品。容積和體積的計算方法雖然相同，但測量所需數(shù)據(jù)的方法卻不同。計量容積一 般用體積單位，但計算液體的容積常用單位是升和毫升。容積和體積這些細微的差異，在教學中都要加以認真 的對比和區(qū)分，以便學生能夠正確運用所學知識解決一些簡單的實際問題。
（四）長度單位、面積單位、體積單位的比較。
在引導學生推導出相鄰兩個體積單位之間的進率后，應把長度單位、面積單位和體積單位列表進行對比， 以加深學生對體積單位及相鄰兩個體積單位間的進率的認識，使學生能正確使用體積單位和進行有關(guān)體積單位 間的換算。
三、進行變式訓練，培養(yǎng)學生思維的靈活性。
（一）結(jié)合表面積的教學，進行變式訓練。
本單元教材第2 節(jié)例1 的教學，教師可以啟發(fā)學生變換思維的角度，進行一題多解的訓練。通過這樣的訓練 ，既為學生解決一些簡單的實際問題（有蓋和無蓋物體的表面積計算）奠定了思維方法的基礎，又培養(yǎng)了學生 思維的靈活性，發(fā)展了他們的空間觀念。
[關(guān)鍵詞]善于提問 融會貫通 獨立思考
[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2016）11-049
“導而弗牽”取自《禮記?學記》，原文是：“故君子之教喻也，道（導）而弗牽，強而弗抑，開而弗達。”即要求教師要善于引導學生，而不是硬牽著學生走。課堂教學除了向?qū)W生提供接觸知識的機會外，更要為學生的自主學習起到引導和督促的作用。那么，怎樣才能做到“導而弗牽”呢？我從以下三個方面進行了研究與實踐。
一、引導學生善于提問
1.先預習后提問。
上課前，我讓學生先預習一下本章節(jié)的內(nèi)容，然后再介紹學習本章的目的。如在教學“角的度量”時，先要認識直線、射線和角的關(guān)系。預習后讓學生提問，生1問：“直線、射線與線段有什么聯(lián)系和區(qū)別？”停了一會兒，眾生答：“直線和射線都可以無限延伸，線段可以量出長度。”生2問：“線段和直線有什么區(qū)別？”生3答：“線段有兩個端點，直線沒有端點。”先預習后提問，學生注意力更集中，課堂氣氛更活躍。
2.先操作后提問。
量角的大小，要用量角器。開始上課時，我先讓學生用量角器去量銳角、鈍角、直角、平角和周角。在操作中學生發(fā)現(xiàn)問題，生1問：“這些角有什么區(qū)別？”這時學生互相搶答。生2說：“銳角小于90°。”生3說：“直角等于90°。”生4說：“平角等于180°”。眾生答：“鈍角大于90°而小于180°。”此時，全體學生興趣盎然、精力充足。接著我順手在黑板上畫出相交的兩條線段（如右圖），問全班學生：“看一看，想一想，你們發(fā)現(xiàn)了什么？”停一會兒，生5站起來說：“∠1和∠3、∠2和∠4的度數(shù)分別相等。”這樣一問一答，提高了全部學生思維的敏捷性。
3.先比較后提問。
我在教筆算乘法時，先讓學生做下列兩組題：
8×4= 60×5=
8×40= 50×5=
8×400= 30×5=
當學生計算完后，我讓學生仔細比較這兩組計算結(jié)果，講一講你發(fā)現(xiàn)了什么？學生很快異口同聲地說：“第一組題的第一個因數(shù)不變，第二個因數(shù)逐漸變大，積也隨著變大；第二組題的第一個因數(shù)逐漸變小，第二個因數(shù)不變，積也隨著變小。”這樣先比較后提問不僅拓展思維，也使學生思維更活躍。
4.先觀察后提問。
在日常生活中，許多物體的形狀呈現(xiàn)為長方體或正方體。在教學中，我拿了幾個長方體和正方體的物體讓學生觀察，然后提問：“長方體和正方體各有幾個面？有哪些面的形狀是相同的？”生1搶答：“長方體和正方體各有六個面，相對的兩個面形狀相同，面積相等。”生2補充說：“正方體的六個面都是形狀相同的正方形，面積都相等。”這樣先觀察后提問，全班學生聚精會神，學習起來輕松愉快。
二、在溫故知新中融會貫通
溫故知新，通過鞏固舊知識和擴大新知識，并融會貫通，開發(fā)學生的創(chuàng)新思維。
1.通過理解來解答基本題。
例如：求長方體和正方體的表面積。課堂上，我在長方體或正方體紙盒上分別標明“上”“下”“前”“后”“左”“右”六個面，再延長方體或正方體的棱剪開紙盒展示，讓學生認真看清楚長方體和正方體的長、寬、高有什么關(guān)系？不久，生1舉手答道：“上、下兩個面，前、后兩個面，左、右兩個面的面積分別相等，六個面面積的和是這個長方體或正方體的總面積。”生2補充說：“正方體六個面的面積都相等。”最后我用字母表示長、寬、高，寫出求長方體（正方體）體積的公式：V=abh（V=a3）或V=Sh。
2.運用公式來進行運算。
例如：我讓學生動手測量出圖書柜的長、寬、高，并計算出書柜的表面積。再要求每個學生回家后，測算出家中書柜（高柜或矮柜）以及電冰箱的表面積。通過實踐操作，不僅鞏固知識，而且擴大了學生的知識面，培養(yǎng)學生思維的靈活性和深刻性。
3.設計新試題檢驗。
例如：現(xiàn)有一根木條長320厘米，王師傅用它做了一個正方體的框架，還剩8厘米，問這個正方體的棱長是多少厘米？（注：鋸口處損失忽略不計）解題時，學生都去翻書復習有關(guān)知識，知道正方體有12條棱，木條總長度320厘米分成12份，還剩8厘米，經(jīng)過分析，列式計算：
（320-8）÷12=26（厘米）
答：這個正方體的棱長是26厘米。
三、在獨立思考中學會善于思考
1.問題觸發(fā)思考。
學習了等腰三角形，讓學生懂得等腰三角形具有穩(wěn)定性，就引導他們?nèi)为毸伎肌⑷パ芯俊⑷グl(fā)現(xiàn)。上課時，我提問：“誰能舉出等腰三角形具有穩(wěn)定性的例子？”過了一會兒，生1站起來說：“我們村里的老式瓦房蓋屋頂面時，屋梁都做成等腰三角形，大等腰三角形中又有小等腰三角形。”生2說：“建高樓大廈時，都要搭竹架、鐵手架，除了搭橫架、直架外，還要再搭三腳架來穩(wěn)定。”我問：“你們再想想，還有嗎？”生3補充說：“自行車的三角架也是等腰三角形。”
2.任務驅(qū)動思考。
學習“位置與方向”這一課后，學生已懂得了教室的座位列（直）、行（橫）的叫法，就能指出自己座位的位置，或表示某個同學的位置。我宣布：“今天的作業(yè)，請你們用‘位置與方向’的知識來標出我們學校的辦公樓、教學樓、宿舍樓、食堂、運動場等的位置。”學生通過思考、分析、作圖，先確定學校大門口的位置，再用方格紙畫圖，標出各建筑物的位置，完成我校校園示意圖。
3.設計新試題檢驗。
例如：將棱長分別為6厘米和8厘米的兩個正方體鐵塊熔鑄成一個長方體，已知這個長方體的長是13厘米，高是8厘米，求它的寬是多少厘米？
解題時，學生會這樣思考：正方體的棱是相等的，兩個正方體的體積之和等于熔鑄成的長方體的體積。應先求出長方體的體積，再求長方體的寬。
解：分別求出兩個正方體的體積，
6×6×6=216（立方厘米）
8×8×8=512（立方厘米）
再求熔鑄成的長方體的體積，
216+512=728（立方厘米）
再根據(jù)求長方體的體積公式V=abh，
728÷13÷8=7（厘米）
答：長方體的寬是7厘米。
關(guān)鍵詞：空間觀念；實物觀察；動手操作；作圖能力
從平面圖形的學習到立體圖形的認知，在思維上是一次質(zhì)的飛躍，盡管學生在以前的教學中和實際生活中對長方體和正方體已有所接觸，但受思維水平的限制，這些認識還處在表層階段。同時，幾何形體知識的教學重在豐富學生的空間表象，發(fā)展空間觀念。因此，在本單元的教學中需要注重長方體和正方體幾何模型的抽象和建立，促進空間觀念的有效發(fā)展。通過對照相關(guān)教學理論和結(jié)合對自己實際教學的反思，我覺得對本單元的教學應注意以下幾個方面。
一、發(fā)展學生的空間觀念和空間想象力是教學的主線
新課標指出，數(shù)學思考等目標的實現(xiàn)離不開知識和技能的學習，但知識與技能的學習必須以有利于數(shù)學思考、解決問題等目標的實現(xiàn)為前提。因此，本單元的教學要圍繞學生對長方體、正方體的建模展開，所有的知識學習和技能訓練都要以發(fā)展學生的空間觀念為前提。長方體特征、表面積、體積計算方法的理解和掌握不是我們教學的唯一目的，更重要的是通過這些知識的學習來促進學生空間觀念的發(fā)展。
六年級學生的思維處在由具體形象思維向抽象思維發(fā)展的過渡期，空間想象力的發(fā)展還不能脫離具體實物和圖形的支持。教學中要以長方體和正方體表象的建立為重點，要讓學生經(jīng)過對大量實物或模型的觀察、操作、猜測，抽取出長方體、正方體的本質(zhì)特征，從而能由實物的形狀想象出長方體、正方體的三視圖，由長方體、正方體的三視圖“還原”出實物的形狀，能進行幾何體與其三視圖、展開圖之間的轉(zhuǎn)化。如果我們只關(guān)注具體特征的抽象教學，只注重長方體、正方體表面積、體積計算公式的識記，而忽視模型的建立過程，忽視空間想象力的發(fā)展，就會制約學生的能力發(fā)展，降低教學質(zhì)量。如學習長方體表面積或體積時，如果學生沒能對長方體在頭腦中建立豐富的表象，不能進行空間臆想，在解決一些基礎的表面積、體積問題時反映不出問題，但對于一些變式問題，如計算通風管的用料、教室粉刷面積、測量不規(guī)則物體體積、等積轉(zhuǎn)化等實際問題的解決就更顯得困難重重了。而如果學生一旦建立了長方體和正方體的豐富表象，溝通了具體實物與三視圖、展開圖之間的聯(lián)系，能夠進行有效的空間臆想，這些特殊、復雜的實際問題就能迎刃而解了。
二、觀察比較、動手操作是發(fā)展空間觀念的基石
小學生學習的空間與圖形多是直觀性幾何知識，他們獲得直觀幾何知識并形成空間觀念更多的是依賴于他們的動手操作，對實物、模型、三視圖的觀察、操作是建立表象、抽象模型、發(fā)展空間觀念的基石。學生在學習空間與圖形的過程中，是通過觀察、拼擺、搭建、分類、組合、分解等實踐活動來增加、積累自己的幾何形體知識的學習經(jīng)驗，豐富自己的空間想象。
本單元的教學中，實物的觀察、操作應貫穿整個教學過程。首先在抽象長方體、正方體特征時，要通過對不同的具體實物看看、摸摸、比比、想想來進行，通過對大量具體長方體實物的對比、交流，在頭腦中歸納出長方體、正方體的本質(zhì)特征，建立長方體、正方體的幾何模型。
其次，在表面積計算方法的探討中，讓學生通過看一看、想一想、剪一剪、比一比，在進一步認識長方體特征的基礎上建立表面積完整、清晰的概念和一般的計算方法，并利用這些概念和方法去解決實際問題，從而進一步發(fā)展學生的空間觀念。
而在體積相關(guān)知識的學習中，那就更離不開具體實例的觀察與操作。特別是在探究長方體體積計算方法時，只有讓學生通過動手擺放和觀察比較，才能真正地理解長方體體積為什么可以用長×寬×高來計算，即長方體長、寬、高的數(shù)據(jù)不僅可以表示三條棱的長度，同時也能表示所包含體積單位的個數(shù)，長多少就表示長里包含幾個相應的體積單位，寬多少就能表示有這樣的幾排體積單位，高多少就能表示有這樣的幾層體積單位，所以長、寬、高的乘積就表示長方體所包含了多少個相應的體積單位，即這個長方體的體積。
第三，在解決相關(guān)體積的問題時，如黃沙填坑、筑路問題、等積轉(zhuǎn)化，也要相應地借助模擬操作與空間臆想相結(jié)合，使學生比較清晰地認識到黃沙入坑后的形狀，花壇中泥土的形狀，水在長方體容器中的形狀，從而使問題的解決變得順暢，同時又豐富了學生的空間印象。如有這樣一類問題：一個長4分米，寬3分米的長方體容器中盛有一些水，水中浸沒著一個棱長2分米的正方體，當把正方體從水中取出后，水面會下降多少厘米？對此類問題的解決，學生必須清楚兩點：（1）下降水的體積等于正方體的體積；（2）下降水面與原水面之間的空間形狀是一個長方體。對于第一點，學生有實踐經(jīng)驗的支持理解相對沒有問題；對于第二點，就難于理解，如果不通過具體模擬操作加以觀察比較，學生就無法想象和理解，但一旦通過具體操作和觀察，就非常清晰地建立了水在長方體容器中的變化模型，從而使問題迎刃而解。
最后，看圖能力和作圖能力的培養(yǎng)是空間觀念發(fā)展的關(guān)鍵。盡管六年級學生的抽象思維有了一定的發(fā)展，但還不能像成人一樣隨心所欲地進行空間表象的再現(xiàn)和臆想，對立體圖形問題的解決還要依賴于具體圖像。同時，由于在平面內(nèi)畫立體幾何圖形，其角度、尺寸不可能與實物一致，會受到平面圖形知識的負遷移。因此，在本單元教學中，特別是起始階段，一定要注意學生識圖能力和作圖能力的培養(yǎng)，以便豐富學生的空間表象思維，發(fā)展學生的空間觀念。
在識圖訓練初期，盡量利用實物模型和直觀圖多角度地觀察、比較、對照、想象和識別，如讓學生從不同角度觀察長方體模型，分析各個面的形狀，同時對三視圖與實物模型進行比較，明確長方體的基本構(gòu)造。通過對大量實物、模型與直觀圖的觀察、對照，使學生能正確、迅速地看懂三視圖，并能想象出三視圖所反映的真實圖形，為后面離開模型和直觀圖進行空間臆想打下扎實的基礎。
有了一定的識圖能力后，教學中就應注意學生畫長方體、正方體直觀圖能力的培養(yǎng)，要讓學生根據(jù)已知條件想象出實際空間圖形，然后作出相應的三視圖來，以便理解和解決實際問題，同時進一步發(fā)展學生的空間形象力。
如有這樣一類問題：把三個棱長為4厘米的正方體拼成一個長方體，求長方體的表面積或體積。大部分學生能初步想象三個正方體拼成長方體的形狀，但要結(jié)合具體數(shù)據(jù)進行懸想的能力發(fā)展還不是很好，很容易掉鏈子。但如果學生一旦把想象出的拼擺形狀通過作圖再現(xiàn)出來，然后根據(jù)作出的直觀圖進行數(shù)據(jù)確認，問題就容易解決了。通過對一幅幅三視圖的再現(xiàn)，不僅幫助學生解決了實際問題，同時也豐富了學生的空間表象，發(fā)展了學生的空間觀念。
對小學生來講，在平面內(nèi)作出富有立體感的空間圖形是一個難點，不是通過一次兩次訓練就能見效的，需要一個循序漸進的過程和多加練習的過程，教師要在平時的教學中注意通過實物、教具的演示，對照實物畫圖、臨摹三視圖等，同時也要進行必要的空間圖形畫法的指導。同時，根據(jù)條件畫出圖形，能力提升的過程也就是空間觀念不斷發(fā)展的過程，兩者是相輔相成的。
綜上所述，長方體、正方體知識的教學，發(fā)展學生的空間觀念和空間想象力是教學的主線，實物或模型的觀察比較、動手操作是發(fā)展空間觀念的基石，看圖能力和作圖能力的培養(yǎng)是空間觀念發(fā)展的關(guān)鍵，三者相互聯(lián)系、相互制約，也相互促進，只有“虛”與“實”的和諧共生，才能真正提高學生的空間觀念，提高課堂教學的實效。
參考文獻：
［1］彭國慶.對小學空間與圖形教學的兩點思考［J］.現(xiàn)代教育科學，2010（12）.
推理一般包括合情推理和演繹推理，合情推理是從已有的事實出發(fā)，憑借經(jīng)驗和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結(jié)果；演繹推理是從已有的事實（包括定義、公理、定理等）和確定的規(guī)則（包括運算的定義、法則、順序等）出發(fā)，按照邏輯推理的法則證明和計算。小學階段，根據(jù)數(shù)學知識的結(jié)構(gòu)體系和學生的認知水平，小學數(shù)學教學應側(cè)重于培養(yǎng)學生的合情推理能力，同時滲透演繹推理的思想。
筆者認為，在小學數(shù)學教學中，對學生推理能力的培養(yǎng)仍存在著一些教學誤區(qū)，教師應該結(jié)合教學實踐和學生學習數(shù)學的實際情況，實施有效的教學計策，在數(shù)學教學過程中切實培養(yǎng)學生的推理能力，促進學生的全面發(fā)展。
一、忌：盲目式教學；計：立足學生，內(nèi)需驅(qū)動
在教學中，教師往往會陷入這樣的誤區(qū)：為了“學生推理”而設計“推理活動”，學生“活動”了，卻“不推理”了。這是怎么回事呢？究其原因，是學生活動要求不明確，推理需求不強烈。教師在教學中應立足學生，基于學生的生活經(jīng)驗，以情感驅(qū)動、任務驅(qū)動等方式促進學生推理思維的發(fā)展，提高學生的推理能力。
例如，在“圓柱的表面積”（六下）教學中，計算圓柱表面積的難點在于圓柱側(cè)面積的計算。教學時，教師可安排學生進行如下兩個活動。活動一：準備一個圓柱體的薯片盒，讓學生小組合作研究薯片盒的側(cè)面積。由于側(cè)面是一個曲面，學生在活動中會自然而然地把薯片盒剪開、展平，根據(jù)長方形的面積公式得到薯片盒的側(cè)面積。活動二：觀察薯片盒側(cè)面展開圖的長和寬，看看它們分別和圓柱的什么有關(guān)；要求圓柱的側(cè)面積，要知道圓柱的哪些量。學生根據(jù)薯片盒剪開的過程不難發(fā)現(xiàn)展開圖的長，即圓柱的底面周長，寬即圓柱的高，側(cè)面積=底面周長×高。這兩個活動基于學生的知識儲備，活動的可操作性強，激發(fā)了學生的活動需求，促進了學生推理思維的發(fā)展。
二、忌：跳躍式教學；計：把握課堂，順學而推
在小學數(shù)學教學中，教師有時會疏于知識的前后聯(lián)系，將知識點分散地、零碎地讓學生探索，這樣不利于學生建立知識間的聯(lián)系，也影響了學生用已有知識推導新知識。教師在課堂教學中應把握課堂，基于知識的生長點，遵循學生的認知規(guī)律，順學而導，構(gòu)建數(shù)學知識體系，合理發(fā)展學生的推理能力。
例如，在“長方體和正方體的認識“（六上）的教學中，我先讓學生認識一般長方體，知道它的基本特征（8個頂點、12條棱、6個面、相對的2個面相同、相對的4條棱長度相等）；接著利用課件將長方體的長縮短使之與寬相等，再讓學生觀察這個比較特殊的長方體的特征，學生通過對比觀察，推斷出它不僅具有一般長方體的特征，還具有2個相同的正方形面、4個相同的長方形面，有2組棱長度相等；最后利用課件將比較特殊的長方體的高縮短（或延長），使之與長、寬相等，得出正方體模型。學生通過對比觀察發(fā)現(xiàn)，正方體不僅具有長方體的特征，而且它的6個面都相同，3組棱長度都相等。這樣采用“一般長方體比較特殊的長方體正方體”的教學流程比“一般長方體正方體”的教學更加合理，使長方體和正方體之間的聯(lián)系更加緊密，更為重要的是有效提高了學生的推理能力。
三、忌：淺嘗式教學；計：適度訓練，梯度強化
在教學中，教師往往會由于課標的要求、教材的編排來設計學生的推理活動，當學生得出目標知識后，教師就立即用大量的練習來強化知識點。這樣的教學看似也訓練了學生的推理思維，但實際上學生的推理能力的發(fā)展是淺層次的，對知識點的理解也是膚淺的。
例如，教學“長方體和正方體體積”（六上）時，教師讓學生用邊長是1厘米的正方體擺成不同的長方體，觀察長方體的長、寬、高、所用正方體的個數(shù)和長方體體積之間的聯(lián)系，從而推導出“長方體體積=長×寬×高”“正方體體積=棱長×棱長×棱長”的結(jié)論。當知識目標初步達成時，教師往往急于讓學生通過大量的體積計算來強化學生對長方體和正方體體積公式的理解和掌握，這就使學生的推理思維戛然而止，轉(zhuǎn)為對公式的思維定式，這不利于學生推理能力的進一步發(fā)展。
基于深入培養(yǎng)學生推理能力的思考，我在教學中安排了三個層次的練習：1.已知長、寬、高，計算長方體（或正方體）的體積；2.已知長方體的體積、長和寬，求高；3.已知長方體的體積和底面積，求高。第一層次的練習旨在使學生鞏固和運用推導出的體積公式；第二層次的練習旨在讓學生根據(jù)已有的體積公式，推導出求高（或長、或?qū)挘┑淖兪剑箤W生的推理思維更進一步，從而內(nèi)化體積與長、寬、高之間的聯(lián)系；第三個層次旨在讓學生初步感受底面積、 高與體積之間存在某種聯(lián)系，引發(fā)學生進一步推理的需要，激發(fā)學生的探索欲望，為教學下一內(nèi)容做好鋪墊。
小朋友，帶上你一段時間的學習成果，一起來做個自我檢測吧，相信你一定是最棒的!
一、填空。
(共4題；共9分)
1.
（2分）裝滿煤的車廂，_______的體積就是_______的容積。
2.
（3分）長方體或正方體底面的面積叫做_______，所以長方體和正方體的體積也可以用_______×_______來計算。
3.
（1分）下面圖形的體積是_______
4.
（3分）1060cm3=_______L
5.24m3=_______m3_______dm3
二、看圖，計算球一共的體積。
(共1題；共5分)
5.
（5分）兩個完全相同和量杯中盛有一樣多的水，分別浸入一個蘋果和一顆葡萄，兩個量杯中的水位會有什么變化？為什么？
三、判斷。
(共4題；共8分)
6.
（2分）1平方厘米和我們大拇指指甲的面積差不多．
7.
（2分）判斷正誤，在正方體下面畫“T”．
（1）
(2)
(3)
(4)
（
）
(
T
)
（
）
（
）
8.
（2分）把一個石塊放入一個正方體容器里，容器里的水溢出6.28立方厘米，石塊的體積是6.28立方厘米．
．
（判斷對錯）
9.
（2分）兩個體積一樣大的水桶,它們的容積一樣大。
四、應用題
(共4題；共20分)
10.
（5分）一個正方體玻璃魚缸，從里面量棱長0.5米，這個魚缸能裝水多少？
11.
（5分）一個長方體水箱，長10
dm，寬8
dm，水深4.5
dm，當把一塊石塊放入水箱后，水位上升到6
dm。這塊石塊的體積是多少？
12.
（5分）將一塊鐵和15升水一起放入一個長4分米，寬2分米，高3分米的玻璃缸里這時的水面高2分米，這塊鐵塊的體積是多少？
13.
（5分）把一根長2米的方木（底面是正方形）鋸成三段，表面積增加5.76平方分米，原來這根方木的體積是多少立方分米？合多少立方米？
參考答案
一、填空。
(共4題；共9分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
二、看圖，計算球一共的體積。
(共1題；共5分)
5-1、
三、判斷。
(共4題；共8分)
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
四、應用題
(共4題；共20分)
10-1、
11-1、
【思路導航】
一個正方體和一個長方體拼成的新的長方體，其表面積比原來的長方體增加了4個正方形的面積，每個正方形的面積是50÷4=12.5（平方厘米）。正方體有6個這樣的面，所以，原來正方體的表面積是12.5×6=75（平方厘米）。50÷4×6=75（平方厘米）。
練習：一根長80厘米，寬和高都是12厘米的長方體鋼材，從鋼材的一端鋸下一個最大的正方體后，它的表面積減少了多少平方厘米？
一個長方體，前面和上面的面積和是209平方厘米，這個長方體的長、寬、高都是以厘米為單位的質(zhì)數(shù)。這個長方體的體積和表面積各是多少？
【思路導航】
長方體的前面與上面的面積和是長×高+長×寬=長×（高+寬），由于長方體的長、寬、高都是質(zhì)數(shù)，所以有209=11×19=11×（17+2），即長、寬、高分別為11厘米、17厘米、2厘米或11厘米、2厘米、17厘米。知道了長、寬、高，求體積和表面積就容易了。這個長方體的體積是11×17×2=374（立方厘米），表面積是（11×17+11×2+17×2）×2=486（平方厘米）。
練習：一個長方體，它的前面和上面的面積和是110平方厘米，且長、寬、高都是質(zhì)數(shù)，那么這個長方體的體積是多少？
“第三單元綜合測試卷”參考答案：
一、1. 3070 4.5 0.9 6.2 2. 6 立體 3. 一個頂點的三條棱 4. 48 96 64 5. 236 240 6. 6 7. 11 8. 8 9. 9 10. 24 11. 88 二、1.√ 2.√ 3.× 4.× 5.√ 6.× 7.× 8.√ 9.× 10.× 三、1.D 2.D 3.D 4.A 5.D 6.B 7.C 8.A 9.A 10.A 四、1. 14 3.37 0.7 4.5 0.7 1.44 10 20 2. 250 12.7 15.66 1.9 23.9 6 3. 90 20.8 15.85 30 4. 102.9 12.04 五、1. 表面積：216平方厘米，體積：216立方厘米。 2. 表面積：（8×3+8×3+3×3）×2+3×3×4＝150（平方厘米），體積：3×3×3+8×3×3＝99（立方厘米） 六、1. 2016÷28÷12=6（米） 2. 設原來正方形鐵皮的邊長為x厘米，則x-2×2=2，得x=6。所以鐵皮的面積為：6×6=36（平方厘米）。 3. （50×40+50×1.5×2+40×1.5×2）÷0.25＝9080（塊） 4. 24×18×2×850＝734.4（噸） 5. 15×12+15×3.5×2+12×3.5×2－34＝345（平方米），345×0.2＝69（千克）
