時間：2023-05-31 09:53:38
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇函數的表示法，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
概念是一種思維形式。函數是數學中最主要的概念之一，函數理論是高等數學的主要組成部分，是近代科學技術不可缺少的工具。由于自然界的一切事物總是在不停地運動、變化著，因此數學中也必須研究變量和變量間的相互關系。函數就是應此而產生的數學概念。中學階段，學生學習函數及其圖像、集合的簡單知識，從而通過集合元素的對應關系來加深對函數概念的理解；在此基礎上，引入函數的單調性與奇偶性；進而借助于單調函數及其圖像的學習，又從單值對應引出一一對應，從一一對應引出逆對應；同時由逆對應引出反函數的概念。這對于培養學生的辯證思維能力和進一步學習高等數學，起到很大的作用。
函數概念的教學目的是：（一）要求學生對函數概念有正確清晰的認識；（二）要求學生熟練掌握函數的表示法；（三）通過函數概念教學，培養學生辨證思維方面的能力。下面談談本人的一點粗淺認識。
一、函數概念的形成
函數的實例：在客觀世界中，事物的種類繁多，現象的形態各異，它們都按照各自的固有規律運動變化著。某一事物或現象的運動變化總表現為多個不同量的變化，而這些量的變化又不是孤立的，它們常常是按照該事物固有的規律互相聯系、對應著，即給定某量的一個值，依照規律都對應另一個量的唯一一個值。粗略地說，“兩個量（或兩個數）之間的對應規律”就是數學中所說的“函數”。函數概念產生于在同一個研究過程里變量間的相互關系之中，因此，建立函數概念必須以研究常量和變量作為起點。例如，把一個密閉容器內的氣體加熱時，氣體的體積和氣體的分子數保持一定，所以是常量；而氣體的溫度與壓力則是變量。一個量是常量還是變量，要根據具體問題具體條件來分析，而且要辨證地看問題，這一點，教學時應提出注意。例如，火車行駛時的速度，在開始階段或剎車階段是變化的，因而在該過程中是變量；在正常行駛階段變化很小，相對地可看作不變，因而是常量。
在同一個確定的過程中，往往會同時出現幾個變量。例如，一個物體作自由落體運動的過程中，重力加速度（g）是常量，物體經過的路程（s）與時間（t）是兩個變量，而且這兩個變量不是孤立無關的，而是緊密聯系的：物體運動的時間變了，其相應的路程也隨之而變；當確定了物體經過的時間后，相應的路程也隨之而確定，它們間符合的關系。變量s和t之間存在著這種相依關系的確定性，這樣就稱s和t構成了函數關系。其中t叫自變量，s叫自變量t的函數。由此可總結出，在某個研究過程中，存在函數關系的三條標準：（一）是否存在兩個變量（技校教材只限于一元函數）；（二）當一個變量變化時，另一個變量是否也隨之而變化；（三）當一個變量取確定值時，另一個變量是否也隨之取得唯一的確定值。
在許多問題中，自變量的允許取值范圍是有一定限制的，我們把自變量允許取值的范圍叫做函數的定義域。從數學角度看，要使表示函數關系的解析式有意義，自變量是需要有一定條件的；從應用問題的實際內容看，變量允許取值的范圍也是有一定限制的。這就是確定函數定義域的根據。求函數的定義域可參考以下幾個準則：
（1） 若f（x）是整式，則f（x）的定義域是全體實數的集合R；
（2） 若f（x）是分式，則分式的分母應該不為零；
（3） 若給出式子 （k為正整數），則應有f（x）≥0；
（4） 若給出式子log ，則應有f（x）＞0；
（5） 若給出式子arcsin f（x）、arccos f（x），則應有｜f（x）｜≤1；
（6） 若上述情況同時出現，可分別找出它們的定義域，取公共部分為所求的定義域。
函數值以及記號f（x）是函數概念教學的重點，學生開始學習函數時，往往不容易理解f（x）和f（a）的意義，有的認為f（x）是x的一次函數，f（ ）是x的二次函數，這說明對記號f（x）的教學不能忽視。
在函數概念的教學中可以指出，函數符號f（x）按其實質來說就是指對應法則，例如 f（x）=3x + x－1，那么對應法則f就是指這個式子中所給的一系列運算，而f（x）就是指下面括號中自變量的某一數值應作3（ ） +（）－1這樣的一系列的運算以求函數值。因此當x=1時有f（1）=3（1） +（1）－1=3 。
一般來說，記號f（a）代表一個數，它等于函數f（x）在變數值等于a時的值。用幾何術語說：f（a）是函數f（x）在a點的值。如果a不屬于定義域，則f（a）就無意義了。
二、函數的表示法
通過對函數各種表示法的學習，可以加深對函數概念的理解。用公式或分析表達式直接給出自變量與因變量之間的關系是函數的分析表示法，在自然科學或實際問題中是經常遇到的，在微積分中，這種表示法也便于進行運算。
但是要防止學生產生函數關系一定能用公式表示的誤解。許多生產過程和科研實踐中，由觀察得到的一系列變量間對應的數據，不見得都能概括成這兩個變量間確定的解析表達式，但它們之間應該說構成函數關系，這種函數關系可用列表法來表示。通常用的各種數學用表，有的寫不出一般表達式（例如質數），有的寫出了表達式（例y=logx），但也不能揭示由x經過怎樣的代數運算步驟而得到y。采用列表法，就可彌補上述的不足。
公式法和列表法都可以表示函數關系，但它們都存在著表示因變量隨自變量的變化而變化的趨勢的直觀性差的缺點。而函數的圖示法具有直觀性、明顯性，并且便于研究函數的幾何性質。
在講授圖示法表示函數關系時，應注意：
（一）函數圖像存在的范圍是以函數定義域為依據的。
例1作函數 的圖像。
解： 定義域:是（-∞，+∞），
其圖像為（圖1）
例2作出函數y=x（其中x取整數）的圖像（圖2）。
（二）作函數圖像時，應把列出的點用平滑的曲線連結起來，而不能畫成折線。為此可舉函數 的圖像為例，先畫幾個點，連結成折線，再補進幾個點，讓學生看這些點并不在折線上，從而指出畫成折線是不對的。
在函數概念教學中，應注意挖掘教學內容中的教育因素，注意在教學過程中滲透一些辯證唯物主義的思想，這樣，不僅有利于學生學好數學基礎知識，也有助于對學生進行辯證唯物主義的教育。例如，常量和變量的相對性實際上蘊含著矛盾的對立統一這一法則；研究存在某種相依關系的兩個變量的過程，就是用運動、聯系的觀點來研究數學內容……教師如能把觀點蘊含于內容之中，通過內容滲透觀點，就會使函數概念的教學效果有所提高。
參考文獻：
［1］劉玉璉，傅沛仁.數學分析講義（上冊）――函數.北京：高等教育出版社，1992.
［2］齊建華.現代數學教育――數學學習論.鄭州：大象出版社，2001.
教材直接解答如下：
解：過水池的中心任意選取一個截面，如圖所示，由物理學知識可知，噴出的水注軌跡是拋物線型，建立如圖所示的直角坐標系，由已知條件知，水柱上任意一個點距中心的水平距離 與此點的高度 之間的函數關系是
所以裝飾物的高度為103m。這是一個應用性極強的函數解析式與函數圖像互化的一個應用問題，高一的學生大部分對這種應用問題，尤其是抽象函數的圖像再通過圖像來擬合函數解析式，通過解析式來解決實際問題的問題。學生首先是感覺特別抽象，其次是感覺特別牽強。經過本人長期的教學研究發現，如果教師不注重這種問題的降階處理，學生在學習過程中感覺知識的形成過程特別生硬并無法理解，無形的給學生造成學習障礙及學習壓力，并且這種學習障礙多了以后會挫傷學生的學習積極性，給學生的數學學習造成負面影響。
結合本人近年來的教學實際及對教材的深刻研究，本人是這樣處理的，在引領學生學習完函數的三種表示法后，插入一節《函數的解析表示法與函數的圖像表示法互化》的習題課。通過回憶初中學習的正比例、反比例、一次函數、二次函數的圖像實際例子，再來求函數的解析式等問題，搭建學生認知階梯，如本人在我校B層次班教學中設計了如下問題。
例 畫出函數y=x2-2|x|的圖像。
先板演引領學生分析完成
（1）列表
（2）描點，（3）連線：如下圖
另外。可以通過初中學習的二次函數圖像的畫法畫出y=x2+2 ； 與y=x2-2x；的圖像在定義域上截取得到，找對稱軸x=-22=-1，找頂點（-1，-1），交點（0，0），（-2，0）定開口（向上）得到左邊的圖像，同理得到右邊的圖像，在本人引領學生做完圖像后，在黑板上擦掉前面的函數解析式及所列表格，只剩下圖像。
師：同學們，你們能夠根據左邊的函數圖像寫出函數的解析式嗎？
生：能，y=x2-2|x|；
師：（又重新將剛才學生寫出的解析式寫在黑板上）
師：那么，現在要是請你們說出是怎樣求出函數的解析式，能嗎？
（學生陷入了一片沉思，有學生講是二次函數？）
師：是二次函數嗎？那么又怎么求這函數的解析式呢？
生1：先設f（x）=ax2+bx+c；（因為他們比較熟悉二次函數的一般表示式）
師：根據你們的假設求解一下解析式試試；同學們迅速算出了a=1；b=2；c=0或a=1；b=-2；c=0；
師：還有其他的解決方式嗎？
生2：二次函數的表示式還有頂點式、兩點式；
那么現在要你來選擇求解這個問題的方式，你喜歡選擇那一種表達方式呢？你選擇試試看：
有學生選擇頂點式，因為
當x≥0；知道頂點是（1，-1），圖像過（2，0）解得y=x2-2x；
當x≤0；知道頂點是（-1，-1），圖像過（-2，0）解得y=x2+2x；
有學生選擇兩點式，因為
結合以上學生學習的經驗，我在處理課本例題，21世紀游樂園要建造一個直徑為20m的圓形噴水池。計劃在噴水池的周邊靠近水面的位置安裝一圈噴水頭，使噴出的水注在離池中心4處達到最高，高度為6，另外還要在噴水池的中心設計一個裝飾物。使各個方向噴來的水柱在此匯合，這個裝飾物的高度如何設計？
時是這樣做的。先閱讀題目分析由物理學知識知道是拋物線，選取一個縱截面得出圖形。
一、新課導入――習題設計要以學情為重點
高中數學知識前后章節有著密切的聯系，在新課導入時，教師應設計適當的習題，引導學生進行溫故知新。這樣的習題應以教材為中心，承上啟下，淺顯易答，以不斷增強學生的學習信心。
例如，在講解“函數的表示法”一節時，初中已經接觸過函數的三種表示法：解析法、列表法和圖像法。高中階段重點是讓學生在了解三種表示法各自優點的基礎上，使學生會根據實際情境的需要選擇恰當的表示方法。因此，在導課環節，教師可設計一些作業讓學生在比較、選擇函數模型表示方式的過程中，加深對函數概念的整體理解，而不再誤以為函數都是可以寫出解析式的。
課堂練習：
某種筆記本的單價是5元，買x（x∈{1，2，3，4，5}）本筆記本需要y元。試用函數的三種表示法表示函數y=f（x）。
（設計意圖：進一步讓學生感受到，函數概念中的對應關系、定義域、值域是一個整體.函數y=5x不同于函數y=5x （x∈{1，2，3，4，5}），前者的圖像是（連續的）直線，而后者是5個離散的點。由此認識到：“函數圖像既可以是連續的曲線，也可以是直線、折線、離散的點，等等。”）
二、課內自學――習題設計要以教材為中心
在設定教學目標的基礎之上，教師可引導學生開展課內自學，為配合學生的學習效果，教師可嘗試讓學生主動的解決一些問題。這些問題應以教材為中心，以教材內的例題或習題為重點，也可適當拓展變換條件，體現基礎性與思想性。
例如，在講解“向量的加法與減法”一節時，為了能引導學生準確理解向量的有關的概念，靈活地應用向量加法的運算律解決較簡單的實際問題，筆者設計了如下習題：
例1.已知向量a、b，則在下列命題中，正確的是（ ）
（A） 若|a|>|b|，則a>b；
（B）若|a|=|b|，則a=b；
（C）若a=b，則a∥b；
（D）若a≠b，則a與b一定不共線；
例2.在ABCD中，=（ ）
三、交流反饋――習題設計要以易錯題為主
通過學生自學，對教師呈現的問題進行解決交流，中下游學生講解、分析，優生點評、拓展，學會把問題理解透徹。學生交流評價時，其他學生暴露的問題是矯正補救的核心，也是教學的關鍵，教師要在此基礎上設計一些較為淺顯的易錯題，以突出教學重點、難點。
如在講解“不等式及其性質”一節時，有的學生存在對充分不必要條件的概念理解不清或不等式的轉化考慮不全等問題，容易解題出錯，因此筆者設計了如下習題供學生討論。
1.設則使成立的充分不必要條件是：
部分學生錯選B，對充分不必要條件的概念理解不清，“或”與“且”概念不清，正確答案為D。
2.不等式的解集是：
部分學生錯選B，不等式的等價轉化出現錯誤，沒考慮x=-2的情形。正確答案為D。
四、課內探究――習題設計要以實踐為主體
教師在充分理解科學探究的目標內容的前提下，組織好學生進行探究，重視開發學生的智力，發展學生的創造性思維。教師的角色應該是課堂探究的組織者與實施者，要以作業為載體，調動學生學習數學的積極性與主動性。
數學中的基本概念和規律既是探究教學的起點和基礎，又是探究的對象。在教與學中，教師如果在基本概念和規律的學習過程中滲透探究思想，就會使學生加深對概念和規律的理解與掌握。例如，在進行橢圓概念的教學，可分以下幾個步驟進行：
（1）實驗――要求學生用事先準備的兩個小圖釘和一根長度為定長的細線，將細線的兩端固定，用鉛筆把細線拉緊，使筆尖在紙上慢慢移動，所得圖形為橢圓。
（2）提出問題，思考討論。
①橢圓上的點有何特點？
②當細線的長等于兩定點之間的距離時，其軌跡是什么？
③當細線的長小于兩定點之間的距離時，其軌跡是什么？
④你能給橢圓下一個定義嗎？
（3）揭示本質，給出定義。通過上述的自主探究活動，使學生體驗從生活實例中，抽象出數學概念的方法，進一步探究它們之間具有的內在聯系和各自特征，完成了對新知識的主動建構過程。
五、達標檢測――習題設計以查缺補漏為主
【關鍵詞】拋物線型；函數解析式；函數圖像；深刻研究
本人在教授人民教育出版社全日制普通高中教科書（必修）數學第一冊上第二章《函數的表示方法》課本例題3時遇到學生無法理解的牽強尷尬境地。例題如下：21世紀游樂園要建造一個直徑為20m的圓形噴水池。計劃在噴水池的周邊靠近水面的位置安裝一圈噴水頭，使噴出的水注在離池中心4m處達到最高，高度為6m，另外還要在噴水池的中心設計一個裝飾物。使各個方向噴來的水柱在此匯合，這個裝飾物的高度如何設計？
教材直接解答如下：
解：過水池的中心任意選取一個截面，如圖所示，由物理學知識可知，噴出的水注軌跡是拋物線型，建立如圖所示的直角坐標系，由已知條件知，水柱上任意一個點距中心的水平距離 與此點的高度 之間的函數關系是
所以裝飾物的高度為103m。這是一個應用性極強的函數解析式與函數圖像互化的一個應用問題，高一的學生大部分對這種應用問題，尤其是抽象函數的圖像再通過圖像來擬合函數解析式，通過解析式來解決實際問題的問題。學生首先是感覺特別抽象，其次是感覺特別牽強。經過本人長期的教學研究發現，如果教師不注重這種問題的降階處理，學生在學習過程中感覺知識的形成過程特別生硬并無法理解，無形的給學生造成學習障礙及學習壓力，并且這種學習障礙多了以后會挫傷學生的學習積極性，給學生的數學學習造成負面影響。
結合本人近年來的教學實際及對教材的深刻研究，本人是這樣處理的，在引領學生學習完函數的三種表示法后，插入一節《函數的解析表示法與函數的圖像表示法互化》的習題課。通過回憶初中學習的正比例、反比例、一次函數、二次函數的圖像實際例子，再來求函數的解析式等問題，搭建學生認知階梯，如本人在我校B層次班教學中設計了如下問題。
例 畫出函數y=x2-2|x|的圖像。
先板演引領學生分析完成
（1）列表
（2）描點，（3）連線：如下圖
另外。可以通過初中學習的二次函數圖像的畫法畫出y=x2+2 ； 與y=x2-2x；的圖像在定義域上截取得到，找對稱軸x=-22=-1，找頂點（-1，-1），交點（0，0），（-2，0）定開口（向上）得到左邊的圖像，同理得到右邊的圖像，在本人引領學生做完圖像后，在黑板上擦掉前面的函數解析式及所列表格，只剩下圖像。
師：同學們，你們能夠根據左邊的函數圖像寫出函數的解析式嗎？
生：能，y=x2-2|x|；
師：（又重新將剛才學生寫出的解析式寫在黑板上）
師：那么，現在要是請你們說出是怎樣求出函數的解析式，能嗎？
（學生陷入了一片沉思，有學生講是二次函數？）
師：是二次函數嗎？那么又怎么求這函數的解析式呢？
生1：先設f（x）=ax2+bx+c；（因為他們比較熟悉二次函數的一般表示式）
師：根據你們的假設求解一下解析式試試；同學們迅速算出了a=1；b=2；c=0或a=1；b=-2；c=0；
師：還有其他的解決方式嗎？
生2：二次函數的表示式還有頂點式、兩點式；
那么現在要你來選擇求解這個問題的方式，你喜歡選擇那一種表達方式呢？你選擇試試看：
有學生選擇頂點式，因為
當x≥0；知道頂點是（1，-1），圖像過（2，0）解得y=x2-2x；
當x≤0；知道頂點是（-1，-1），圖像過（-2，0）解得y=x2+2x；
有學生選擇兩點式，因為
結合以上學生學習的經驗，我在處理課本例題，21世紀游樂園要建造一個直徑為20m的圓形噴水池。計劃在噴水池的周邊靠近水面的位置安裝一圈噴水頭，使噴出的水注在離池中心4處達到最高，高度為6，另外還要在噴水池的中心設計一個裝飾物。使各個方向噴來的水柱在此匯合，這個裝飾物的高度如何設計？
時是這樣做的。先閱讀題目分析由物理學知識知道是拋物線，選取一個縱截面得出圖形。
考研數學三的考試范圍如下：
1、微積分、函數、極限、連續考試內容函數的概念及表示法、函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性、反函數、復合函數、隱函數、分段函數基本初等函數的性質及圖形初等函數等。
2、一元函數微分學考試內容導數的概念、函數的可導性與連續性之間的關系、導數的四則運算、基本初等函數的導數、復合函數、反函數和隱函數的導數等。
3、一元函數積分學考試內容原函數與不定積分的概念、不定積分的基本性質、基本積分公式、不定積分的換元等。
4、多元函數微積分學考試內容多元函數的概念、二元函數的幾何意義、二元函數的極限與連續性、有界閉區域上二元連續函數的性質偏導數的概念等。
5、無窮級數考試內容常數項級數收斂與發散的概念、收斂級數的和的概念級數的基本性質與收斂的必要條件、幾何級數與戶級數的收斂性、正項級數收斂性的判別等。
（來源：文章屋網 ）
1.理解等差數列的概念，掌握等差數列的通項公式，并能運用通項公式解決簡單的問題.
（1）了解公差的概念，明確一個數列是等差數列的限定條件，能根據定義判斷一個數列是等差數列，了解等差中項的概念；
（2）正確認識使用等差數列的各種表示法，能靈活運用通項公式求等差數列的首項、公差、項數、指定的項；
（3）能通過通項公式與圖像認識等差數列的性質，能用圖像與通項公式的關系解決某些問題.
2.通過等差數列的圖像的應用，進一步滲透數形結合思想、函數思想；通過等差數列通項公式的運用，滲透方程思想.
3.通過等差數列概念的歸納概括，培養學生的觀察、分析資料的能力，積極思維，追求新知的創新意識；通過對等差數列的研究，使學生明確等差數列與一般數列的內在聯系，從而滲透特殊與一般的辯證唯物主義觀點.
關于等差數列的教學建議
（1）知識結構
（2）重點、難點分析
①教學重點是等差數列的定義和對通項公式的認識與應用，等差數列是特殊的數列，定義恰恰是其特殊性、也是本質屬性的準確反映和高度概括，準確把握定義是正確認識等差數列，解決相關問題的前提條件.通項公式是項與項數的函數關系，是研究一個數列的重要工具，等差數列的通項公式的結構與一次函數的解析式密切相關，通過函數圖象研究數列性質成為可能.
②通過不完全歸納法得出等差數列的通項公式，所以是教學中的一個難點；另外，出現在一個等式中，運用方程的思想，已知三個量可以求出第四個量.由于一個公式中字母較多，學生應用時會有一定的困難，通項公式的靈活運用是教學的有一難點.
（3）教法建議
①本節內容分為兩課時，一節為等差數列的定義與表示法，一節為等差數列通項公式的應用．
②等差數列定義的引出可先給出幾組等差數列，讓學生觀察、比較，概括共同規律，再由學生嘗試說出等差數列的定義，對程度差的學生可以提示定義的結構：“……的數列叫做等差數列”，由學生把限定條件一一列舉出來，為等比數列的定義作準備．如果學生給出的定義不準確，可讓學生研究討論，用符合學生的定義但不是等差數列的數列作為反例，再由學生修改其定義，逐步完善定義．
③等差數列的定義歸納出來后，由學生舉一些等差數列的例子，以此讓學生思考確定一個等差數列的條件．
④由學生根據一般數列的表示法嘗試表示等差數列，前提條件是已知數列的首項與公差．明確指出其圖像是一條直線上的一些點，根據圖像觀察項隨項數的變化規律；再看通項公式，項可看作項數的一次型（）函數，這與其圖像的形狀相對應．
⑤有窮等差數列的末項與通項是有區別的，數列的通項公式是數列第項與項數之間的函數關系式，有窮等差數列的項數未必是，即其末項未必是該數列的第項，在教學中一定要強調這一點．
⑥等差數列前項和的公式推導離不開等差數列的性質，所以在本節課應補充一些重要的性質；另外可讓學生研究等差數列的子數列，有規律的子數列會引起學生的興趣．
⑦等差數列是現實生活中廣泛存在的數列的數學模型，如教材中的例題、習題等，還可讓學生去搜集，然后彼此交流，提出相關問題，自己嘗試解決，為學生提供相互學習的機會，創設相互研討的課堂環境．
等差數列通項公式的教學設計示例
教學目標
1.通過教與學的互動，使學生加深對等差數列通項公式的認識，能參與編擬一些簡單的問題，并解決這些問題；
2.利用通項公式求等差數列的項、項數、公差、首項，使學生進一步體會方程思想；
3.通過參與編題解題，激發學生學習的興趣.
教學重點，難點
教學重點是通項公式的認識；教學難點是對公式的靈活運用．
教學用具
實物投影儀，多媒體軟件，電腦.
教學方法
研探式.
教學過程
一.復習提問
前一節課我們學習了等差數列的概念、表示法，請同學們回憶等差數列的定義，其表示法都有哪些？
等差數列的概念是從相鄰兩項的關系加以定義的，這個關系用遞推公式來表示比較簡單，但我們要圍繞通項公式作進一步的理解與應用.
二.主體設計
通項公式反映了項與項數之間的函數關系，當等差數列的首項與公差確定后，數列的每一項便確定了，可以求指定的項（即已知求）.找學生試舉一例如：“已知等差數列中，首項，公差，求.”這是通項公式的簡單應用，由學生解答后，要求每個學生出一些運用等差數列通項公式的題目，包括正用、反用與變用，簡單、復雜，定量、定性的均可，教師巡視將好題搜集起來，分類投影在屏幕上.
1.方程思想的運用
（1）已知等差數列中，首項，公差，則－397是該數列的第______項.
（2）已知等差數列中，首項，則公差
（3）已知等差數列中，公差，則首項
這一類問題先由學生解決，之后教師點評，四個量，在一個等式中，運用方程的思想方法，已知其中三個量的值，可以求得第四個量.
2.基本量方法的使用
（1）已知等差數列中，，求的值.
（2）已知等差數列中，，求.
若學生的題目只有這兩種類型，教師可以小結（最好請出題者、解題者概括）：因為已知條件可以化為關于和的二元方程組，所以這些等差數列是確定的，由和寫出通項公式，便可歸結為前一類問題.解決這類問題只需把兩個條件（等式）化為關于和的二元方程組，以求得和，和稱作基本量.
教師提出新的問題，已知等差數列的一個條件（等式），能否確定一個等差數列？學生回答后，教師再啟發，由這一個條件可得到關于和的二元方程，這是一個和的制約關系，從這個關系可以得到什么結論？舉例說明（例題可由學生或教師給出，視具體情況而定）.
如：已知等差數列中，…
由條件可得即，可知，這是比較顯然的，與之相關的還能有什么結論？若學生答不出可提示，一定得某一項的值么？能否與兩項有關？多項有關？由學生發現規律，完善問題
（3）已知等差數列中，求；；；；….
類似的還有
（4）已知等差數列中，求的值.
以上屬于對數列的項進行定量的研究，有無定性的判斷？引出
3.研究等差數列的單調性
，考察隨項數的變化規律.著重考慮的情況.此時是的一次函數，其單調性取決于的符號，由學生敘述結果.這個結果與考察相鄰兩項的差所得結果是一致的.
4.研究項的符號
這是為研究等差數列前項和的最值所做的準備工作.可配備的題目如
（1）已知數列的通項公式為，問數列從第幾項開始小于0？
（2）等差數列從第________項起以后每項均為負數.
三.小結
1.用方程思想認識等差數列通項公式；
2.用函數思想解決等差數列問題.
四.板書設計
等差數列通項公式1.方程思想的運用
2.基本量方法的使用
坐標系背景下的函數與圖形形狀結合問題往往是學生最頭疼的問題，也是教師教學中最困惑的問題.許多教師缺少對此類問題一般方法的分析、概括和提煉.很多時候單靠大量的練習來訓練學生的解題能力，就好比“摸著石頭過河”，缺乏思想方法的指導.學生怕，老師累.數學教學最重要的是在數學思想方法上給學生以點撥、指導和訓練.本文以中考專題復習課“函數與圖形形狀結合問題的解決”的幾個片段為例，擬探究這類問題的一般方法，供讀者商榷.
片段一：模式的概括
例如圖1，拋物線y=-x2向上移動，與y軸交于點A，與x軸交于B，C兩點，若ABC為等腰直角三角形，求移動后的拋物線的解析式.變式1：ABC為等邊三角形，求移動后的拋物線的解析式.
設計意圖：利用簡單而常見的函數、圖形為題材，讓學生感覺熟悉又有親切感，但綜合在一起，難度驟然加大.通過變式，讓學生覺得圖形的形狀、位置雖然變了，但題目的模式并未發生變化，體會到找到解決此類問題的一般方法才是問題解決的關鍵，進而體會到解題方法的重要性.
上課開始時老師展示例題，并讓學生先嘗試性地做幾分鐘.46名同學中僅有7名同學做對，其中有5名學生是用特殊值湊出來的.然后老師變式：（如變式1）將ABC變為等邊三角形.師：題目簡簡單單，但又覺得難，原因在于方法的缺失.師：先把題中的條件按數學形式分分類.經學生七嘴八舌，老師點撥、概括，題中條件可分為函數類條件（y=-x2等）和圖形形狀類條件（等腰直角三角形、等邊三角形）.師：對此類問題能否用一個簡單的模式進行概括？經老師引導，學生熱烈的討論，大家形成一個共識，用下列模式：函數―圖形形狀.
片段二：“題眼”的提煉
師：剛才我們只是對題型進行了分析與討論，解題的方法和思路還不清楚.生：老師，我覺得剛才這個模式中，在函數和圖形之間肯定有一種聯系的要點或方法.師：有道理，在函數和圖形間需要一條紐帶，學生表示認可.師：那么聯結這條紐帶的最主要因素是什么？學生討論激烈.生：這條紐帶應該是點的坐標.因為題中ABC的三個頂點既是三角形的頂點，又是函數圖像上的點.老師加以肯定，并分析點的坐標就如這個模式的眼睛，這條通道的窗口.然后對模式又做了一次修改補充.
片段三：點的表示法的探求
師：如何打開這個突破口呢？生：把點的坐標求出來.師：能否直接求出點的坐標？生：不能！師：怎么辦？學生又一次激烈的討論.生：用未知數把點的坐標表示出來.師：對.今天我們解這類問題的最關鍵之處就是怎樣表示這些點的坐標.師：如果單考慮函數條件，如圖1，拋開ABC為等腰直角三角形這一條件，A，B，C的坐標可以怎樣表示？生：可設A的坐標為（0，m），拋物線的解析式y=-x2+m，B，C又是拋物線與x軸的交點，通過代入A的坐標（0，m）得0=-x2+m， x=±m，所以B，C的坐標分別可表示為（-m，0），（m，0）.師：接下來你能求出m的值嗎？生：可以求的，因為ABC為等腰直角三角形，且AOBC，所以OA=OB=OC，可得m=±m，解出來m1=1或0，0舍去，所以m=1.師：做得很好，完全正確.反之是否可行呢？即：單考慮幾何條件，拋開A，B，C都是y=-x2上的點這一條件，A，B，C的點又怎么表示？生：設A的坐標為（0，m），因為ABC是等腰直角三角形，且AOBC，所以OA=OB=OC，所以B的坐標為（-m，0），C的坐標為（m，0）.師：怎么求？生：因為移動后的拋物線的解析式為y=-x2+m，把B（-m，0）代入解析式得0=-m2+m，解之得m1=1，m2=0（舍去）.師：剛才大家能順利解題是因為找到了解題的突破口，抓住了“怎樣表示點的坐標”這一關鍵.接下來我們把剛才兩種解法進行對比，對點的表示方法作進一步的概括，對解題模式再作提煉.經過師生互動和深入討論，對點的表示法概括出兩點：（1）數設形代法.數設：通過函數、坐標系等代數條件，表示出點的坐標.如：A，B，C分別為拋物線的頂點、與兩軸的交點，由此A，B，C三點的坐標分別可表示為A（0，m），B（-m，0），C（m，0）.形代：然后把點的坐標代入反映形的關系式中.如：OA=OB=OC，得m=±m.（2）形設數代法.形設：通過形的關系式表示出點的坐標.如可由關系式OA=OB=OC反映ABC是等腰直角三角形的形狀，進而設出A（0，m），B（-m，0），C（m，0）.數代：再把A，B，C三點坐標代入反映數的關系式.如拋物線的解析式y=-x2+m，得0=-（±m）2+m.最后又把解題模式進行了完善.
課中又安排了一些適應性的練習.如例1的變式1、變式2、練習題等.變式1：解法一（數設形代法）：設A的坐標為A（0，m），則拋物線的解析式為y=-x2+m，B，C的坐標分別為B（-m，0），C（m，0），又因為ABC為等邊三角形，且AOBC，所以AO=3BO=3CO，得m=±3m，
實踐表明，用這種方法來指導學生解函數與圖形形狀結合問題，學生的思路就會清晰許多.就好比找到“題眼”，總覺得有點可抓，有口可破，有路可走，學生的畏難情緒就會大大減少.老師在指導學生解題時，就好比抓到“衣領”，有提領而頓、百毛皆順之感.在數學教學工作中，老師若對各類題型能在數學思想與方法上不斷地創新、提煉，并給予學生有效的指導，學生的學習效率將會大幅度調高，達到“做一題，通一類，會一片”的效果，能體驗到“會當凌絕頂，一覽眾山小”的解題意境，數學的魅力也將會得到更充分的彰顯.
重點：掌握映射的概念、函數的概念，掌握分段函數的概念，會求函數的定義域，掌握函數的三種表示法――圖象法、列表法、解析法，會求函數的解析式.
難點：函數的概念，求函數的解析式.
1. 理解映射的概念，應注意以下幾點
（1）集合A，B及對應法則“f ”是確定的，是一個整體系統.
（2）對應法則有“方向性”，即強調從集合A到集合B的對應，這與從集合B到集合A的對應關系一般是不同的.
（3）集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的，這是映射區別于一般對應關系的本質特征.
（4）集合A中的不同元素，在集合B中對應的象可以是同一個.
（5）不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象.
2. 理解函數的概念，應注意以下幾點
（1）函數是從非空數集A到非空數集B的映射關系.
（2）數集A是函數的定義域，函數的值域是數集B的子集.
3. 求函數定義域的基本思路
如果沒有標明定義域，則認為定義域為使得函數解析式有意義的x的取值范圍，實際操作時要注意以下幾點：
（1）分母不能為0.
（2）對數的真數必須為正.
（3）偶次根式中被開方數應為非負數.
（4）零指數冪中，底數不等于0.
（5）負分數指數冪中，底數應大于0.
（6）若解析式由幾個部分組成，則定義域為各個部分相應集合的交集.
（7）如果涉及實際問題，還應使得實際問題有意義.
如求復合函數的定義域，已知函數f（x）的定義域為[a，b]，則函數f[g（x）]的定義域是滿足不等式a≤g（x）≤b的x的取值范圍；一般地，若函數f[g（x）]的定義域是[a，b]，指的是x∈[a，b]，要求f（x）的定義域就是求x∈[a，b]時g（x）的值域.
注意：研究函數的有關問題時一定要注意定義域優先原則，實際問題的定義域不要漏寫.
4. 求函數解析式的基本策略
函數的解析式是函數與自變量之間建立聯系的橋梁，許多和函數有關的問題的解決都離不開解析式，因而求解函數解析式是高考中的熱點. 解決這類問題的關鍵在于抓住函數對應法則“f ”的本質. 下面介紹幾種求函數解析式的主要方法.
（1）湊配法：把形如f（g（x））內的g（x）當做整體，在解析式的右端整理成只含有g（x）的形式，再把g（x）用x代替，可得f（x）的解析式.
（2）換元法：已知f（g（x）），求f（x）的解析式，一般可用換元法. 具體為：令t=g（x），再求出f（t），可得f（x）的解析式，換元后要確定新元t的取值范圍.
（3）解方程組法：若已知抽象函數的表達式，往往通過變換變量構造一個方程，組成方程組，然后利用消元法求出f（x）的表達式.
（4）待定系數法：若已知函數的類型（如一次函數、二次函數）求解析式，首先設出函數解析式，根據已知條件代入相關值求出系數.
（5）賦值法：已知一個關于x，y的抽象函數，利用特殊值去掉一個未知數y，得出關于x的函數解析式.
【中圖分類號】 G633.6 【文獻標識碼】 A
【文章編號】 1004―0463（2016）07―0055―01
初中學生從初二開始接觸函數，從內容上看，函數完全不同于學生先前所學的數學內容。如果將先前所學的內容稱為“靜態”數學的話，函數則可以被稱為“動態”數學。因為它所表達的是“一個運動過程中（兩個）不同變量之間的變化關系”。因此，這個主題的學習對學生而言更有新意。課程標準中函數的學習目標有：通過簡單實例，了解常量、變量的意義；能結合實例，了解函數的概念和三種表示方法，能舉出函數的實例；能結合圖象對簡單實際問題中的函數關系進行分析；能確定簡單的整式、分式和簡單實際問題中的函數的自變量取值范圍，并會求出函數值；能用適當的函數表示法刻畫某些實際問題中變量之間的關系；結合對函數關系的分析，嘗試對變量的變化規律進行初步預測。因此，函數的學習要點可概括為：函數模型、函數性質研究、函數思想方法、函數運用。下面，筆者結合教學實踐，分別對上述四點進行闡述。
一、數學模型
突出現實生活中可以用函數模型表達的各種“變化現象”。例如，王先生存人銀行2萬元，先存一個一年定期，一年后銀行將本息自動轉存為又一個一年定期。設一年定期的年存款利率為x，兩年后王先生共得本息y元。這些問題的特點是其中存在的“不同變量之間的對象關系”。教學過程中應當讓學生嘗試分析具有不同背景的現實問題中所蘊含的“變化規律”；通過反思上述活動過程去總結變化規律的基本方法，同時也讓學生體會其中所蘊含的數學思想方法，如抽象化、模型化、數形結合等思想方法。
二、函數性質的研究
這些內容是研究一般意義上的具體函數的基本性質，包括彼此的異同。例如，正比例函數的性質：1.定義域：R（實數集）；2值域：R（實數集）；3.奇偶性：奇函數；4.單調性：當k>0時，圖象位于第一、三象限，y隨x的增大而增大（單調遞增）；當k
三、思想方法
這些內容主要是強調從函數的角度認識相關的現實或者數學中的現象，用運動、變化的觀點尋求解決問題的思想，在教學過程中要積極地為學生創設學習情境。同時，要求學生從運動與變化、對應等角度認識變化過程中的變量之間的關系。除此之外，要盡量讓學生自己去探究，要注意引導學生用嚴謹的數學思維來思考問題，用準確的數學語言來表達自己的結論。
四、函數的應用
【關鍵詞】R語言；箱須圖；星相圖；臉譜圖；氣泡圖
數據可視化主要旨在借助于圖形化手段，清晰有效地傳達與溝通信息。數據可視化與信息圖形、信息可視化、科學可視化以及統計圖形密切相關，尤其統計圖形更為重要，統計圖形是對資料進行探索性研究的重要工具，當人們在運用其他統計方法對所得資料進行分析之前，往往習慣于把各資料在一張圖上畫出來，以直觀地反映資料的分布情況及各變量之間的相關關系。當只有一個或兩個變量時，可以使用通常的直角坐標系在平面上作圖。當有三維數據時，雖然可以在三維坐標系里作圖，但已很不方便。而當數據大于三時，用通常的方法已不能制圖。許多多元統計分析問題，數據的維度都大于三，所以自20世紀70年代以來，多元數據的圖示法一直是人們所關注的問題。
一、基于R語言的箱須圖
箱須圖（Box-whisker Plot）也稱箱線圖（Boxplot），于1977年由美國著名統計學家約翰·圖基（John Tukey）發明。它能顯示出一組數據的最大值、最小值、中位數、下四分位數及上四分位數。是一種用作顯示一組數據分散情況資料的統計圖。因型狀如箱子而得名。在R軟件中，用boxplot（）函數作箱線圖，具體函數參數如下：
Boxplot（x， ，range=1.5，width=NULL，varwidth=FALSE，notch= FALSE，outline=TRUE，Names，plot=TRUE，col=NULL，log=””，horizontal=FALSE，add=FALSE，at=NULL）
二、基于R語言的星相圖
星相圖是雷達圖的多元表示形式，它將每個變量的各個觀察單位的數值表示為一個圖形，n個觀察單位就有n個圖，每個圖的每個角表示每個變量，雷達圖用于同時對多個指標的對比分析和對同一個指標在不同時期的變化進行分析。在R軟件中，用Stars（）函數作星相圖，具體函數參數如下：
Stars（x，full=TRUE，draw.segments=FALSE，…），x為數值矩陣或數據框；full為圖形形狀：full=TRUE為圓形，full=FALSE為半圓；draw.segments為分支形狀：draw.segments=T為圓形，draw.segments=F為半圓。
三、基于R語言的臉譜圖
臉譜圖是用臉譜來表達多變量的樣品，由美國統計學家H.Chernoff于1970年首先提出，該方法是將觀測的個變量（指針）分別用臉的某一部位的形狀或大小來表示，一個樣品（觀測）可以畫成一張臉譜。他首先將該方法用于聚類分析，引起了各國統計學家的極大興趣，并對他的畫法作出了改進，一些統計軟件也收入了臉譜圖分析法，國內也有很多研究工作者將該方法應用于多元統計分析中。臉譜圖分析法的基本思想是由15—18個指針決定臉部特征，若實際資料變量更多將被忽略 ，若實際資料變量較少則臉部有些特征將被自動固定。統計學曾給出了幾種不同的臉譜圖的畫法，而對于同一種臉譜圖的畫法，將變量次序重新排列，得到的臉譜的形狀也會有很大不同。按照切爾諾夫于1973年提出的畫法，采用15個指標，各指標代表的面部特征為：1表示臉的范圍，2表示臉的形狀，3表示鼻子的長度，4表示嘴的位置，5表示笑容曲線，6表示嘴的寬度，7—11分別表示眼睛的位置，分開程度，角度，形狀和寬度，12表示瞳孔的位置，13—15分別表示眼眉的位置，角度及寬度。這樣，按照各變量的取值，根據一定的數學函數關系，就可以確定臉的輪廓、形狀及五官的部位、形狀，每一個樣本點都用一張臉譜來表示。而臉譜容易給人們留下較為深刻的印象，通過對臉譜的分析，就可以直觀地對原始資料進行歸類或比較研究。在R軟件中，用aplpack包中的faces（）函數作臉譜圖，具體函數參數如下：
faces（xy，which.row，fill=FALSE，nrow，ncol，scale = TRUE，byrow =FALSE，main，labels）
四、基于R語言的氣泡圖
氣泡圖是一個將點表示為氣泡（或圓圈）的散點圖，與XY散點圖類似，但可表現的數據信息量更多，最多可以表示五維（x位置、y位置、大小、顏色和時間），通過更改氣泡的大小和顏色，按時間變化將氣泡制成動畫視覺效果，能使數據探索更加方便。在R軟件中，用symbols（）函數作氣泡圖，具體函數參數如下：
Symbols（x，y=NULL，circles，squares，rectangles，stars，thermometers，boxplots，inches=TRUE，add=FALSE，fg=par（“col”），bg=NA，xlab=NULL，ylab=NULL，main=NULL，
xlim=NULL，ylim=NULL，...）
參 考 文 獻
[1]莊作欽.Boxplot——描述統計的一個簡便工具[J].統計教育.
2003（1）
教師在教學設計方面，要對“函數”的具體內容進行“四基”分類，明確教學內容的來龍去脈和結構特征，了解該教學內容的學生學習特征，從而設計每個類型知識在學習目標、知識技能、數學思考、問題解決和情感態度方面的教學方案，確定該教學內容的教學方法，確保教學的有效開展。下面談談在“函數”教學方面的策略和注意點。
一、初中數學函數教學的策略
1.對一次函數的理解
一次函數的理解是一個過程與對象交織的立體圖景。既需要具體的實際素材分析，又需要在此基礎上的概括抽象。整個學習活動，既需要教師的精心組織，又需要自己感悟。
例1 世界上大部分國家都使用攝氏度（℃），但英美等國天氣預報仍然使用華氏（F），兩種計量之間有如下對應關系。
試著找攝氏=100時，華氏是多少？
師：從表格中，能否找到攝氏（℃）與華氏（F）之間的數量關系？
生：看不出來。
師：我們把對應變量作為坐標，在數軸上描出來，怎樣？大家討論思考。
生：描出來的圖象好像是一條直線。
師：那什么函數的圖象是一條直線呢？
生：一次函數，我知道怎么做了。
師：華氏溫度的值與攝氏溫度的值在什么時候相等呢？從圖上和解析式來看。
生：從圖象上看，與直線y=x的交點處的值就是華氏溫度的值與攝氏溫度的值相等時候的值。對應于解析式，y=1.8x+32中令x=y即可，解x=1.8x+32的方程。
師：談談這一探究問題的感想。
生：加深了對一次函數的理解。
2.多元表征幫助學生深刻理解函數
例2 某書定價8元，如果一次購買10本以上，超過10本部分打8折。分析并表示購書數量與付款金額之間的函數關系。
這個問題屬于實際應用的分段函數例子，函數的三種表示法可以結合應用于這個例子。第一種情況，x10，如，取x=15時，y=8×10+8×5×80%，類似地y=8×10+80%×8（x-10），作出圖象并考慮自變量的取值范圍。這樣處理，幫助學生經歷了由具體到抽象概括的思考過程，由此就能綜合出分段函數的表達式并理解其意義了。
通過上述過程能幫助學生理解函數的表示（列表、圖象和表達式等）是刻畫變量之間的關系，而不僅僅是簡單的表達式而已。
函數理解離不開多元表征（列表、圖象和表達式等）的相互聯系和轉化，也離不開對函數模式的把握。這些過程的實施，離不開老師的引導，也離不開學生的合作探究和獨立思考。
二、初中數學函數教學的注意點
1.弄清楚函數與代數式、方程的關系
初中數學到了函數階段，是對前面的知識的提煉升華，函數把多項式、變量、坐標系和方程等內容進行了有機整合。因此，弄清概念之間的關系是學習函數的重要基礎。
2.利用數量關系建立函數模型
在教學中，以數量關系的發展作為基礎，引出函數的結構模型，尤其是從實例中尋找函數關系，構造事物變化過程中的具體函數模型。
關鍵詞 函數 概念
回顧函數概念的歷史發展，函數概念是不斷被精煉，深化，豐富的。初中時函數的定義是一個變量對另一個變量的一種依賴關系。在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么我們就說x是自變量，y是x的函數。高中時，是用集合與對應的語言描述了函數概念。函數是一種對應關系，是函數概念的近代定義。
設A，B是非空數集，如果按某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱f:AB為從集合A到集合B的一個函數，記作y=f(x)，x∈A。函數近代定義與傳統定義在實質上是一致的，兩個定義中的定義域與值域的意義完全相同。兩個定義中的對應法則實際上也一樣，只不過敘述的出發點不同，傳統定義是從運動變化的觀點出發，近代定義的對應法則是從集合與對應的觀點出發。
函數的概念這一節課，內容比較抽象，概念性強，思維量大，為了充分調動學生的積極性和主動性，教學中通過典型實例來啟發和幫助學生分析，比較，以達到建構概念之目的。
引出函數的概念，先是舉出了生活中的三個實例。第一個實例是關于物體做斜拋運動的，和初中學習過的二次函數相聯系。第二個實例是關于臭氧空洞的問題，給出了函數的圖像，按照圖中曲線，發現了兩個集合之間的一種特殊的對應關系。第三個實例是關于恩格爾系數的經濟實例。列表給出了恩格爾系數和時間（年）的關系。三個實例共同反映了變量之間的相互依賴的關系，同時反映出兩個非空集合之間的一種特殊的對應關系。這樣，自然而然地給出了函數的概念，并且這三個實例中的函數恰好是用了三種表示方法：解析法，圖像法，列表法。
以實際問題為載體，以信息技術的作圖功能為輔助。通過三個實例的教學，師生共同發現了函數概念中的對應關系。教師在歸納出函數定義后，可以在全班進行交流。結合初中函數的定義，指出兩個定義的區別和聯系。關于“y=f(x)”這一個函數符號的理解，教師可以提問：y=f(x)一定是函數的解析式嗎？回答是不一定，可以舉出實例二和實例三。函數的解析式，圖像，表格都是函數的表示方法。即：y=f(x)表示y是x的函數，但f(x)不一定是解析式。當f(x)是一個解析式時，如果把x，y看作是并列的未知量或者點的坐標，那么y=f(x)也可以看做是一個方程。
函數的核心是對應法則，通常用記號f表示函數的對應法則，在不同的函數中，f的具體含義不一樣。函數記號y=f(x)表明，對于定義域A的任意一個x在“對應法則f”的作用下，即在B中可得唯一的y.當x在定義域中取一個確定的a，對應的函數值即為f(a).集合B中并非所有的元素在定義域A中都有元素和它對應；值域 。教師引導學生歸納并總結，函數的三要素是定義域，值域和對應法則。
然后，教師給出同學們所熟悉的三種函數，一次函數y=ax+b(a≠0)，反比例函數 ，以及二次函數 。教師演示動畫，用幾何畫板顯示這三種函數的動態圖像，啟發學生觀察，分析，并請學生們思考之后，填寫對應關系，定義域和值域。通過三個熟悉的函數加深學生對函數近代定義的理解。教師引導學生歸納總結出：函數的三要素是定義域、值域及對應法則。在函數的三要素中，當其中的兩要素已確定時，則第三個要素也就隨之確定了。如果函數的定義域，對應法則已確定，則函數的值域也就確定了。
連續的實數集合可以用集合表示，也可以用區間表示。利用多媒體課件展示怎樣用區間表示集合。區間可以分為閉區間，開區間，半開半閉區間。特別地，實數集R記作(-∞，+∞)， ∞ 讀作無窮大；-∞ 讀作負無窮大；+∞ 讀作正無窮大;“∞”不是一個數，表示無限大的變化趨勢，因此作為端點，不用方括號。
例1和例2的編排，是為了進一步地加深理解函數的三要素。函數的定義域通常由問題的實際背景確定.對于用解析式表示的函數如果沒有給出定義域，那么就認為函數的定義域是指使函數表達式有意義的自變量取值的集合。在例1中，要注意f(a)與f(x)的聯系與區別：f(a)表示當自變量x=a時函數f(x)的值，它是一個常量；而f(x)是自變量x的函數，在一般情況下，它是一個變量。f(a)是f(x)的一個特殊值。例2是來判斷兩個函數是否相等的。如果兩個函數的定義域相同，并且對應關系完全一致，這兩個函數就是相等的。
數學概念是構建數學理論大廈的基石；是導出數學定理和數學法則的邏輯基礎；是提高解題能力的前提；是數學學科的靈魂和精髓。因此，數學概念教學是高中數學教學的一項重要任務，是“雙基”教學的核心、是數學教學的重要組成部分，應引起足夠重視。正確理解概念是學好數學的基礎，概念不清往往是導致學生數學成績差的最直接的原因。
