時間：2023-05-31 09:46:22
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇數學概括，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
[關鍵詞]探尋規律；拓展思路；強化聯系；概括能力
[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2017）08-0075-01
概括能力是數學核心素養的重要組成部分。概括的過程是學生提煉和獲取數學知識的過程，也是學生提升數學技能、靈活運用知識、提高綜合素質的重要途徑。正因如此，學生一旦擁有了抽象概括能力，數學這門由易到難階梯上行的學科就不再遙不可及。那么，應如何培養學生的概括能力呢？
一、依托典型素材，在概括中探尋規律
概括是使感性認知上升到理性認知的過程。小學生正處于形象思維向抽象思維的過渡階段，他們的思維在很大程度上仍然以感性認識和實踐操作為主。因此，典型材料是促成學生概括能力生成和發展的重要元素。在教學中，教師要為學生提供與事物本質相關聯的典型材料，并引導他們對典型材料進行深入的感知和理解。
如，學習“分數乘法”后，教師補充了幾組算式練習：先進行計算，并觀察每組的結果，找出規律。
1. -=（ ），×=（ ）；
2. -=（ ），×=（ ）；
3. -=（ ），×=（ ）。
以上每組中的兩個算式雖然不同，但計算結算是相同的。針對這一發現，教師引導學生進行了抽象概括：分母是相鄰的非零自然數，而分子都是1的兩個分數，它們相減和相乘的結果相同。教師追問：“誰能舉出一組有同樣規律的算式？”
W生充分對比觀察題目的核心本質，在發現中探究，在探究中提煉，得出抽象化的結論，隨后教師又從事物的本質屬性出發，引領學生在規律的再運用中獲得充分的感知和體驗。
二、借助類型遷移，在概括中拓展思路
在數學教學中，遷移包括了已掌握的知識與新知識存在的本質聯系，依托本質規律可將已有知識與新知識進行相應的勾連，以及對學生認知結構中的已有知識進行重組。因此，教師要引導學生聯通知識間的內在聯系，關注知識間的本質特征，從而實現數學知識的正遷移。
如，學習“長方體表面積”后，教師出示練習：一個長方體，長和寬都是4厘米，高是8厘米，求這個長方體的表面積？大多數學生都能利用長方體相對面的面積相等的特征，先算出其中3個面的面積，再乘以2就得到長方體的表面積，算式為（4×4+4×8+4×8）×2=160（平方厘米）。也有學生利用底面和頂面相等，且相加等于1個立面，因此只要算出5個立面面積就得到長方體的表面積，算式為4×8×5=160（平方厘米）。還有學生把4個立面分別看成2個底面，又因為底面和頂面相等，那么10個底面面積之和就是這個長方體的表面積，算式為4×4×10=160（平方厘米）。學生借助對長方體概念的理解和遷移，運用多種不同的方法，最終得出相同的答案。
數學知識是一個有機的整體，各部分知識并不是孤立存在的，同樣的問題從不同的視角分析，所得出的方法也不一樣。在實踐應用中，學生將已有認知靈活運用，并在有效重組中優化了數學認知結構，實現了結構重組性遷移。
三、強化梳理意識，在概括中強化聯系
梳理能力是一種數學習慣，更是一種數學素養，它可以幫助學生將所學知識系統化、清晰化。教師應該注重培養學生的梳理意識，為數學核心能力的提升奠基。
如，教學“異分母分數加減法”時，教師出示一道計算題：-。學生對異分母分數的加減法還比較陌生，教師引導學生對所學知識進行了相應的梳理，學生在對知識的回顧中，相機進行了同分母分數相加減的練習和異分母之間的通分訓練。這時教師提示：“既然這兩種題目都會做了，那可不可以運用通分的方法，使計算題中分數的分母相同呢？”新的知識順著教師的有序梳理，已經清晰地展現在學生面前，并串起了通分知識和同分母分數相加減之間的有效聯系。
學生對原有經驗和知識的開發、提煉，是建立在充分理解和真正掌握數學知識、運用數學知識基礎上的，是學生歷練抽象概括能力的重要途徑。
1．在數學概念教學中培養概括能力
數學概念是人腦對現實對象的數量關系和空間形式的本質特征的一
種反映形式，即一種數學的思維形式。在數學中，作為一般的思維形式的判斷與推理，以定理、法則、公式的方式表現出來，而數學概念則是構成它們的基礎。正確理解并靈活運用數學概念，是掌握數學基礎知識和運算技能、發展邏輯論證和空間想象能力的前提。數學概念具有高度的概括性，通過對概念的教學，對培養學生的抽象概括能力有很大的作用。數學概念的教學應當是一個過程問題，不應是一個簡單的結論問題。先通過實例、圖形對概念獲得感性認識，有一個具體形象，然后觀察這些實例、圖形進行分析、比較，抽象概括出概念的本質屬性。
如在引入異面直線所成角和距離概念時，先復習平面幾何中相交直線的位置關系由角的大小確定、距離是由平行直線的公垂線段長短確定這一知識，再通過旋轉和平移兩根竹針或直尺，使學生在視覺上形成角度大小和距離遠近的變化直觀形象，然后把空間的角的度量問題轉化到同一平面的角的度量問題，就比較利于學生掌握這個概念了，這對后面的二面角的大小度量的教學也能產生啟發作用。
再如說，學習棱柱概念的時候，可以設計這樣一個流程：
1．1 先舉出一些物體，如磚頭、三棱鏡、教室等，引導學生通過觀察找出這些物體的共同點（兩面平行，其余平面相鄰四邊形的公共邊平行等）。
1．2 通過抽象，提出物體本質屬性的各種猜想和疑問，運用轉化、舉反例（如棱臺）和特例（如方磚被一個平面斜截后仍然是棱柱）等方法對于題設進行證明和推斷，肯定或否定某些共同屬性，以確認其本質屬性。
1．3 讓學生舉出實例，將上述本質屬性類比推廣到同類事物，概括形成棱柱的概念，并用定義表示。在這個過程中，可將零散的、雜亂的知識系統化、條理化，概括成帶有規律性的結論，以促進學生概括能力的提高。
1．4 再運用概念得到棱柱的一個判定方法：（1）選定一組平行平面作為底面；（2）按概念考察其他平面，若符合則是；若不合，可再選另一組平面重新用定義驗證，直到最后得出結論。這樣對學生認識和運用概念都會達到比較理想的效果。
可見，恰當的概念的教學是培養學生抽象概括能力的重要途徑。
2．在解題教學中培養概括能力
有些學生盲目地陷入題海，僅滿足于解出某道題，而沒有透過這道題，總結、歸納出這類題的解決方法，揭示其規律，結果題目做得不少，但解決問題的能力未得到應有的提高。教學的最終目的是為了不教，為了學生學會學，教師在教學教程中，結合教學內容，適當設置變式問題，引導學生由特殊到一般的去歸納解題方法規律，實現從能解一道題到能解一類題的能力遷移，提高教學的有效性。如有限制條件的排列、組合問題。若剔除表面形式不同的題設，概括整理為幾種常見的數學模型，靈活地選用直接解法與間接解法，將有效地解決這類問題。又如對組合性質的拓展教學中這樣設計例題和訓練題目。
例1.計算
變式訓練（1）
（2）
歸納猜想：（1）
（2） 比較容易得出帶有規律性的結論：
在運用平均值不等式求最值中，如何構造和或積為定值時，也可以對具體的每道題的解法進行概括為一類題的方法
例2.（1）由求 的最小值，
分析：
，進而引導學生自主思考發現形如
這樣一類題的解法：
（2）由
， 啟發學生歸類得出形如
， 這一類題的解法。
再如用構造法求遞推數列通項公式時，也可能由特殊到一般的去歸納解法：
例3.（1）在數列 中，
，求通項公式 。
解：原遞推式可化為：
①
比較系數得 ，
①式即是：
則數列 是一個等比數列，其首項 ，公比是2.
即
類型概括抽象： 型，可化為 的形式求解.
（2） 若數列 中， 是數列 的前 項之和，且 ，求數列 的通項公式是 .
解:遞推式 可變形為
（1）,設（1）式可化為
（2）,比較（1）式與（2）式的系數可得 ，則有 。故數列 是以 為首項，3為公比的等比數列。 。所以 。
當 ，
。
數列 的通項公式是
。
類型概括抽象： （A、B為常數）型，可化為 的形式。
通過預設情境，引導學生概括方法，發現一般規律從而培養學生的抽象思維能力。因此，抓好解法的歸納、總結，非常利于學生概括能力的提高，促進學生的思維向更縱深的方向發展。
3．在公式和定理原理的教學應用中培養概括能力
公式的應用是對學生將具體的抽象到解題中的一個應用，對公式的概括能力也是非常重要的。在教學中不免存在學生記不住公式或記住公式不會應用的現象。為此可以幫助學生概括一些公式定理運用的方法步驟，使學生對公式定理、原理的運用更加熟練準確。
如三垂線定理應用步驟可以概括為：一定二找三證明；平均值不等式運用可以概括為：一正二定三相等。立體幾何計算題解題步驟可以概括為作、證、算等等。
又如在“學習三角函數”的時候，對誘導公式的記憶就使很多學生感到困難。有一句在高中數學教育界流行的話：“奇變偶不變，符號看象限”對誘導公式進行了高度的概括。在三角函數求周期、最值、單調區間時常常要用到化同名同角這一方法，化同名同角的各種技巧可以概括為四句要訣：高次就降冪，見積化和差，見和差化積，化了再分析。
又如學習排列組合、二項式定理時：加法原理、乘法原理各適用于什么情形？有什么特點？可以歸納為：“加法分類，類類獨立；乘法分步，步步相牽”。
這種對相應知識的歸納、概括能力不僅是學習的需要，在今后的生活和工作中也是非常重要的，教師在教學中要逐步培養學生的這種歸納概括能力。
4．在類比和聯想中，培養學生的抽象概括能力
數學的完整性和嚴密性，使得數學結論和方法都具有相關性和相似性，在課堂教學中教師要充分利用這些相關性和相似性，采用類比和聯想的方法，才能讓學生自己探索和發現許多新的結論或新的方法。在教學中教師常常讓學生根據已有的公式、性質，類比、猜想未知的公式和性質。先類比，然后提出問題，最后給予證明。這樣得出的結論不僅便于學生記憶，學生通過這些活動，不僅挖掘了自己的潛能，增強了學習的自信心，提高了學習數學的興趣，更享受到了成功的喜悅，為今后的創造性學習打下了良好的基礎。在解析幾何解題中，可以進行曲線之間的類比，如橢圓與雙曲線類比：
例4.已知橢圓具有性質：若M、N是橢圓C上關于原點對稱的兩個點，點P是橢圓上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為 、 時，那么 與 之積是與點P的位置無關的定值；試對雙曲線 寫出具有類似特性的性質，并加以證明.
分析： 類似的性質為：若M、N是雙曲線 上關于原點對稱的兩個點，點P是雙曲線上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為 、 時，那么 與 之積是與點P的位置無關的定值。
證明：設點M、P的坐標為（ ）、（ ），則N（ ）。
因為點M（ ）在已知雙曲線上，所以 ，
同理 ，
則 （定值）。
本題以橢圓、雙曲線為載體，可以通過類比推理求解。
例5.已知偶函數 在區間 上單調遞增，則滿足 的 的取值范圍是 。
我們可以作如下分解：
問題1. 已知函數 在區間 上單調遞增，若則滿足 的 的取值范圍是 ；
問題2. 已知函數 在區間 上單調遞減，若 則滿足 的 的取值范圍是 ；
這樣，把問題分解成更簡單、更基礎的問題，然后歸納到一起解決問題，便于尋找解題思路。
例6.在推導二項式 的展開式時，可以叫學生先展開二項式 、 、 ，并將展開式按 的次數進行降冪排列，觀察各項系數的變化規律，然后讓學生通過類比歸納概括出二項式 的展開式。
上面從幾個方面對怎樣培養學生的數學概括能力作了一些探討。概括能力就是抓住問題本質的能力，掌握解決問題規律的能力。只要長期努力，常抓不懈，學生的概括能力必定能提高，學生應用數學知識解決問題的能力也必將提高。
在教學中，教師應當根據學生主體性的原則，在解題后引導學生概括出每題的解題過程中涉及的常用思想和方法，對解題過程有個反思，學會抽象地概括。
概括的過程具有螺旋上升、逐步抽象的特點。在學生通過概括獲得初步結論后，教師還應當引導學生把概括的抽象結論具體化。這是一個應用新獲得的知識去解決問題的過程，是對新知識進行正面強化的過程。在這個過程中，學生的原有認知結構與新結論之間的適應與不適應之間的矛盾最容易暴露，也最容易引起學生形成適應的刺激。
一、強化數學概念教學，提高抽象概括能力
學生在數學概念的學習過程中便是一個抽象概括能力培養的過程，學生抽象概括能力的培養對其數學成績的提高有著莫大的幫助，高中數學知識由紛繁復雜的抽象知識點組合而成，在高考中也對學生抽象邏輯思維能力進行考查。因此，在高中數學教育中，教師要重點從數學概念出發對學生的抽象概括能力進行強化，包括概念產生的背景、產生的過程等方面的教學工作。
例如，在學習“空間直線與直線間的位置關系”這一概念時，教師可從以下幾個方面對學生的抽象概括能力進行培養：第一，直觀感知法。教師可以引導學生進行自主實踐，拿出兩根筆在空中進行任意方向的擺放讓學生自己感受空間直線之間位置的關系是什么樣的[1]。之后，教師還需要讓學生將這一抽象概念與日常生活中常見的事物聯系在一起，如立交橋、電視塔和建筑物等事物，通過這些邊角的對比來更進一步了解空間直線中存在的位置關系，這樣不僅提高了學生的抽象概括能力，更?學生的空間想象能力得到了強化。第二，分析綜合。在現實世界不同直線位置的關系和共同點進行分析綜合，可以通過是否存在著公共點來判定它們是平行還是相交關系。第三，思辨認識。教師在對概念進行教學時要讓學生自主組織語言對概念進行確認，從而建立空間直線的圖形，并形成綜合的概念。
二、課后知識點概括教學，提高學生抽象概括能力
高中知識點抽象復雜系數較高，在每一章節新的知識點教學時都會產生各種各樣的問題，教師在課堂教學完畢后需要對學生課上所反映出來的問題進行總結分析，并做出具體的概括報告。值得強調的是，這里教師對教學問題的概括不僅是對課本知識點的概括，還需要幫助學生解決問題，并利用淺顯易懂的方式讓學生進行消化理解。
例如，教師在講解“比較法證明不等式”的知識點時，通常情況下可以運用“作商法”“作差法”進行比較，此外，這兩種方法往往也可以在抽象函數單調性知識點的證明中進行使用，但是學生在學習時很難在頭腦中產生這樣的思想意識。為此，教師可以很快解釋清楚，并將兩種思路講授完進行歸納[2]。
1.如函數f（x+y）=f（x）?f（y）中，當x>0， f（x）
2.如函數f（x?y）=f（x）+f（y）中，當x>1， f（x）
通過上訴的概括之后，學生便對基本抽象函數的兩種形式進行了掌握以及學以致用，在之后的應用中也能夠讓學生的抽象概括能力得到強化。
三、強化習題訓練教學，提高學生抽象概括能力
數學教學課標明確指出，思維能力主要是指：會觀察、實驗、比較、猜想、分析、綜合、抽象和概括；會用歸納、演繹和類比進行推理；會合乎邏輯地、準確地闡述自己的思想和觀點；能運用數學概念、思想和方法，辨明數學關系，形成良好的思維品質。那么，在數學課堂教學中應當如何貫徹教學思想，更加有效地培養學生的數學思維能力呢？以下從發展心理學、教育心理學的角度談談看法。
一、數學概括能力的培養
在數學概念、原理的教學中，教師應創設教學情境，為學生提供具有典型性的、數量適當的具體材料，并要給學生的概括活動提供適當的臺階，做好恰當的鋪墊，以引導學生猜想、發現并歸納出抽象結論。這里，教師鋪設的臺階是否適當，教師設計教學情境時，首先，應當在分析新舊知識間的本質聯系與區別的基礎上，緊密圍繞揭示知識間本質聯系這個目的，安排猜想過程，促使學生發現內在規律；其次，應當分析學生已有數學認知結構與新知識之間的關系，并確定同化（順應）模式，從而確定猜想的主要內容；再次，要盡量設計多種啟發路線，在關鍵步驟上放手讓學生猜想，使學生的思維真正經歷概括過程。
概括的過程具有螺旋上升、逐步抽象的特點。在學生通過概括獲得初步結論后，教師應當引導學生把概括的結論具體化。這是一個應用新獲得的知識去解決問題的過程，是對新知識進行正面強化的過程。在這個過程中，學生的認知結構與新結論之間的適應與不適應之間的矛盾最容易暴露，也最容易引起學生形成適應的刺激。
在概括過程中，要重視變式訓練的作用，通過變式，使學生達到對新知識認識的全面性；還要重視反思、系統化的作用，通過反思，引導學生回顧數學結論概括的整個思維過程，檢查得失，從而加深對數學原理、通性通法的認識；通過系統化，使新知識與已有認知結構中的相關知識建立橫向聯系，并概括出帶有普遍性的規律，從而推動同化、順應的深入。
數學的表現方式是形式化的邏輯體系，數學理論的最后確立依賴于根據假定進行抽象概括的能力。因此，教師應當引導學生學會形式抽象，實際上這是一個高層次的概括過程，在這個過程中，學生的邏輯推理能力可以得到很好的培養。
必須指出的是，概括能力的培養，不論采取何種教學方法（發現法或講授法），關鍵是要有正確的教學思想，使學生真正成為學習的主體，把教學真正建立在學生自己的獨立探索、思考、理解的基礎上，真正給學生以獨立探索的機會，使他們在學習過程中有充分的自由思想空間，使學生有機會經歷數學概括的全過程。但是，在教學實踐中，要做到這些并不容易，教師對學生的學習能力往往并不完全信任，他們總怕學生出錯，總怕學生會浪費時間，總想攙扶著學生，甚至不惜去代替學生思維。而這些做法與培養學生的數學概括能力的要求是背道而馳的，也是與數學學習的本來面目不相符合的。
因此，在數學教學中，我們應當從數學概括的自身特點出發，在使用抽象的數學語言和符號表述數學定義、定理或原理之前，通過可觀察的（實物、圖形、圖表等等）、描述性的、可親身體驗的形式來傳播新的思想，從而引起學生的學習興趣，促使他們自己去試驗、構造，用他們自己的語言去闡述和解釋，通過自己的獨立思維活動來學習知識。要為學生創造一種環境，使他們在其中扮演自主活動的角色，有發揮自己的聰明才智進行創造性學習的機會，能自己去尋找需要的證據，獲得能夠反映自身特點的對數學原理的解釋，在他們自己的水平上完成對數學原理的概括過程。我們應當把數學當作一種科學探索的過程（當然，它是在教師的指導下進行的），而不要把它當成是一種語言、一種高度抽象的理論。應當努力促使學生形成自己對數學的理解，并能用自己的語言來表達這種理解，而不要只是追求所謂的精確性。因為在學生的數學學習中，精確而沒有理解，理解但不精確的現象都不少見。通過死記硬背而一字不差地重述一個定理，在任何時候都不能與理解一個定理劃上等號。
二、重點培養學生的思維品質
數學的性質決定了數學教學既要以學生思維的深刻性為基礎，又要培養學生的思維深刻性。數學思維的深刻性品質的差異集中體現了學生數學能力的差異，教學中培養學生數學思維的深刻性，實際上就是培養學生的數學能力。數學教學中應當教育學生學會透過現象看本質，學會全面地思考問題，養成追根究底的習慣。對于那些容易混淆的概念，可以引導學生通過辨別對比，認清概念之間的聯系與區別，在同化概念的同時，使新舊概念分化，從而深刻理解數學概念。通過變式教學揭示并使學生理解數學概念、方法的本質與核心。在解題教學中，引導學生認真審題，發現隱蔽關系，優化解題過程，尋找最佳解法等等。
數學思維的敏捷性，主要反映了正確前提下的速度問題。因此，數學教學中，一方面可以考慮訓練學生的運算速度，另一方面要盡量使學生掌握數學概念、原理的本質，提高所掌握的數學知識的抽象程度。因為所掌握的知識越本質、抽象程度越高，其適應的范圍就越廣泛，檢索的速度也就越快。另外，運算速度不僅僅是對數學知識理解程度的差異，而且還有運算習慣以及思維概括能力的差異。因此，數學教學中，應當時刻向學生提出速度方面的要求，另外還要使學生掌握速算的要領。例如，每次上課時都可以選擇一些數學習題，讓學生計時演算；結合教學內容教給學生一定的速算要領和方法；常用的數字，如20以內自然數的平方數、10以內自然數的立方數、特殊角的三角函數值、無理數、π、е、lg2、lg3的近似值都要做到“一口清”；常用的數學公式如平方和、平方差、立方和、立方差、一元二次方程的有關公式、對數和指數的有關公式、三角函數的有關公式、各種面積、體積公式、基本不等式、排列數和組合數公式、二項式定理、復數的有關公式、斜率公式、直線、二次曲線的標準方程等等，都要做到應用自如。實際上，速算要領的掌握和熟記一些數據、公式等，在思維活動中是一個概括的過程，同時也訓練了學生的數學技能，培養學生的能力。
關鍵詞：高中數學；創新發展；學生思維；新方法
中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2015）01-178-01
培養學生思維力的途徑有很多，但對在高中階段的學生來說，學習課程門類多，學習任務重，而高中的數學教學無疑是發展學生思維的重要途徑。對高中的數學學科教學來說，發展學生的思維能力就是它的一個重要內容與任務。然而在傳統的高中數學教學上往往忽略了這一方面的內容。在以前應試教育的大背景下，和學生一切為了高考的目標以及“題海”戰術的壓迫下，高中發展學生思維的數學教學方法常常被忽視。數學除了能為我們解決實際問題提供方法外，更為重要的是提供一種數學的想問題的思維，這種思維不僅僅只在與數學有關的學科會體現到，在語文、歷史、政治、英語等學科也會體現。一旦掌握了這種思維，對于學生今后的學習工作有非常重要的意義。所以，學校要重視培養學生思維的數學教學，要積極有效地組織高中發展學生思維的數學教學方法的探究。下面主要就高中發展學生思維的數學教學新方法淺談一下自己的見解。
一、高中在發展學生思維的數學教學中要營造積極的思維情境，讓學生在潛移默化中得到思維的鍛煉
思維的概念是指人腦對客觀現實概括的和間接的反映，它反映的是事物的本質和事物間規律性的聯系。思維是人腦對客觀現實的反映。思維所反映的是一類事物共同的、本質的屬性和事物間內在的、必然的聯系，同時思維又是一種復雜的心理過程，是由人們的認識需要引起的。
在高中數學的教學當中，要從思維的概念和特性出發，首先就要創設一種積極的學習氛圍，使學生自覺產生一種持續學習的意愿，從而引起他們在認識上的主動需要。學生只有有了強烈的求知欲望，才會積極主動地思考。然后通過設置有關問題和傳授過程，讓學生自己能利用舊有的知識經驗和認知結構，能引起與舊有知識的認知沖突。正是通過這種沖突方式引起學生思維上的觸動，久而久之，學生對某一問題的沖突越大，其探索求知欲也就更大。在心理學科上認為，認知沖突是學生的已接受到的知識與新學到的知識之間的沖突式差別，這種沖突會引起學生的興趣和吸引他們的注意力，使其更加地投入到高中數學課堂的學習當中，并促使學生們注意和探索的行為本身。課堂教學中有了這樣的認知沖突和學習氣氛，就有了積極的思維情境，學生也就有了展開思維的動因、時間和空間，從而有助于學生在潛移默化中思維能力得到培養和提高。
二、高中在發展學生思維的數學教學中要注重培養學生的數學概括能力
許多人覺得，數學作為一門思維抽象的學科，不同于語文、歷史等學科可以進行文字上的概括。其實不然，高中在發展學生思維的數學教學中要注重學生的數學概括能力的培養。百度百科上對人的概括能力的解釋是，從心理學的角度講，概括就是把不同事物的共同屬性（本質的或非本質的）抽象出來后加以綜合，從而形成一個日常概念或者科學概念。例如，各種植物的果實、形狀、顏色、味道都不同，但是，它們都長在植物上，內部都有種子，通過概括把這兩個基本屬性綜合起來，就形成了果實的概念。概括是在抽象的基礎上進行的綜合。概括在智力活動中的作用非常重要。沒有概括就沒有概念，沒有概念就無法進行邏輯思維。所以魯賓斯坦說：“思維是在概括中完成的。”思維的最顯著特征是概括性。
培養學生的對數學的概括能力是培養學生思維能力的必然要求。培養學生數學的概括能力，就是要學生把知識點進行歸類總結，引導學生對數學問題進行歸類，對數學的解題方法進行歸類，這樣不僅有助于學生的理解知識內容，有益于加強記憶，還可以起到舉一反三，觸類旁通的效果。
三、高中在發展學生思維的數學教學中要重視數學閱讀能力的培養
大多數人會認為，閱讀能力是語文學科上才講到的，一般就是指語文的閱讀能力，或頂多算加上歷史、政治等人文學科才會注重閱讀能力的培養。這種觀點和一開始對培養學生的數學概括能力一樣也是錯誤的。思維能力也不僅僅只表現為邏輯思維等能力，它還可以是語言、閱讀、寫作上的，思維能力是一個人的綜合方面，從而在發展學生的思維能力時也不應該是單一方面的。數學的閱讀能力又了對數學概念的理解能力，對公式的掌握能力，除此之外，還包括了數學問題的審題能力、理解題意的深層涵義的能力以及答題的能力。由此可見，數學的閱讀能力對學生思維的培養起到重要的作用，只有有了理解數學知識點、數學問題的思維能力，才會有進一步對數學問題進行深入探究的能力。
四、高中在發展學生思維的數學教學中要注重數學思想方法的教學
高中在發展學生思維的數學教學中要注重數學思想方法的教學，從思想的高度上引導學生提高數學的意識。在高中階段，隨著學生身體和心理的進一步發展，這一時期也是他們形成初步的世界觀、人生觀的時期。他們對數學的學習也不像初中時期僅僅停留在數學知識的學習上，而是可以對一些數學思想作為補充、興趣式的學習。這也是新課改下的高中數學教學的要求，不再只是要求學生掌握單純的數學知識點。學生通過數學思想方法的學習，可以讓他們換一種方式來看對世界的看法，其實這也是高中發展學生思維的一種方式方法。
注重學生數學思想方法的教學，就要像語文學科那樣，老師要拓寬學生對數學的知識面，可以通過介紹一些世界著名思想家的思想方法，來幫助學生形成自己的數學思維，乃至其它的思維能力；還可以閱讀一些數學名著，學生在不知不覺的潛移默化中也會有許多的收獲。
參考文獻：
[1] 馬C能.培養數學思維能力的途徑[J].廣西教育，2004（2）
對于小學數學概念的有效教學，不少教師都進行了探討、歸納，形成了許多行之有效的措施，這自然值得我們借鑒。但在教學中，數學概念、原理是極其抽象概括的，要形成概念、揭示原理，把研究部分對象所得到的結論整理推廣到同類全體對象，就必須在積累感性認識、掌握本質屬性的基礎上，及時引導學生運用完整、簡潔、準確、嚴密的語言或公式來表達。那么，如何引導學生用準確、完整、簡潔、嚴密的語言來理解概念呢？
1.運用填空法，培養概括的扼要性
有些概念單純用語言表達，語言元素較多，句子較長，對小學生來說，領會和運用起來不太便利。教學時，我們可以只要求學生理解，學會用語言完整表達，教者可以抓住要害，設計填空練習，讓學生突出地填寫部分關鍵性詞語，明白概念中的核心成分。
例如，教學乘法分配律時，可設計成填空的形式：“兩個數的和與一個數相乘，可以先把兩個加數（ ）相乘，再把兩個積（ ），這就叫做乘法分配律。”學生在真正弄懂了意思的基礎上，填成兩個加數“各自與這個乘數相乘”也好，“分別（單獨）乘這（一）個數”也好，都是不用計較的，不必強求一字不差的所謂“規范”表達。這樣做，既減少了冗長的敘述，降低學生概括表達的難度，又突出其中運算方法和順序變化這一核心內涵。教者設計的填空練習法，有利于引導學生對數學概念、規律和原理的快速理解，促進其概括能力的形成。
2.運用選詞法，培養概括的準確性
語言是思維的外殼。要正確領會數學概念，敘述的語言就必須準確。在引導學生學習數學概念時，教者要十分注重引導學生像學習語文那樣善于“咬文嚼字”“推敲詞句”。數學教師可以通過組織對相近詞多重選用的方法，來訓練學生把握數學概念、法則等結語的真切含義。選詞中不講百里挑一，起碼也得幾者挑一，求得準確用詞，培養學生概括思維的準確性。
例如，教學三角形概念，引導學生嘗試揭示概念本質時，可這樣板書：由三條線段（ ）成的圖形，叫做三角形。讓學生七嘴八舌地分別提出“組”“圍”“拼”“連”等幾個詞，然后再讓大家說說各自的理解，從中確認、選填一個合適的詞。這樣做，就能把三條線段的分離狀態、折線狀態、花束狀態、不等號形的交叉狀態與首尾依次相連的封閉狀態相區別。這樣既能準確概括，又能幫助學生學會運用概括思維中的比較、推敲，養成用詞審慎，務求形象與抽象相統一的確切思考表達。
3.運用比較法，培養概括的嚴密性
概念的限定是很嚴密的，稍有疏漏，就可能偏離本來的概念而成為另一個概念。比如，正方形與長方形、平行四邊形，正方體與立方體，等腰梯形與直角梯形等等。為了培養學生概括的嚴密性，可以把兩個或幾個相似的概念放在一起，引導學生填空或選詞，作比較理解，加強認識。這種比較有利于學生同時掌握多個概念。
其實，選詞法本質上也是比較，只不過不是比較不同的概念，而是比較提供給同一概念的不同詞語。如，教學小數的性質，教師引導學生概括概念時，可以出示類似語文、美術教學的留空（布白）式板書：小數的（ ）添上或去掉“0”，小數的大小不變。讓學生各自從“后面”“末尾”“中間”和“最后”等幾個詞中選填一個，這就是在詞語的比較中使學生正確地概括和理解小數性質精確的意義，體會可以變動的“0”的確定位置，明確地否定與“末尾”相近的其他表達的具體形態，在思想上劃清界限，提高概括思維的清晰程度，加強思維的嚴密性。
著名發展心理學教授林崇德在其所著《教育與發展》中指出：“思維過程的發展是思維過程的不斷完整化、簡約化和優質化的過程，即思維過程的‘完善化’過程。”小學數學概念的教學，要破除傳統的“知識至上”的教學觀，著眼于活化、遷移和生發學生的經驗和知識，進而發展學生抽象概括思維的優質化品質，努力促成他們思維的完善化。
人教版課標實驗教材《數學》七年級上冊“合并同類項”這節課,為如何培養學生的概括能力提供了很好的范例。
這節課共安排四個環節。第一個環節是情境創設,教師指著講桌上凌亂的幾本書、幾本本子、幾支筆,說:“誰能幫助老師把講桌整理一下?”在兩個學生按不同方式摞放好后,教師接著問:“哪種方法比較科學,為什么?”引導學生初步感知“分類”概念。第二環節是游戲引入。教師給八位同學每人分發一張紙片,正面是形狀大小不同的幾何圖形,有圓、橢圓、四邊形、三角形等;反面是不同的代數式,有-5n、6xy、8n、-7a2b、-xy、2a2b、0.2x2y3、-3y3x2。游戲規則是請拿著紙片的同學分別根據正反面的內容找朋友。第三環節是概念歸納。結合游戲中的幾對代數式,引導學生觀察、分析、比較,得出同類項的概念,并通過例題訓練加深對概念的理解。第四環節是法則生成。通過計算長方形的周長之和,類比分配律得出合并同類項的法則,并作例題鞏固。
概括是指人們感知事物獲得相關信息,通過分析、抽象、綜合,將其本質、非本質屬性歸結為概念的邏輯思維過程。概括能力是較高層次的學科能力,它包含再認再現、閱讀理解、分析與綜合、歸納與抽象等學科能力。下面結合本節課的內容談談培養概括能力的基本方法。
1.運用類比法,培養概括的敏感性。為了提高學生對同類項概念的敏感度,教師首先設計了一個分類的情境,讓學生給日常生活中經常見到的物體進行分類,使他們懂得相同用途的物品可以分為一類,初步感知“同類”的概念。然后通過游戲環節,讓學生進一步掌握類化的方法,再引導學生把課本、本子、筆、幾何圖形等具體物體的名稱(這些非本質屬性)去掉,把四對代數式共同的本質屬性“字母和字母指數”抽象出來,再通過“三個相同”把本質屬性明確下來,于是就形成了“同類項”的概念,即“所含字母相同,并且相同字母的指數也相同的幾個單項式”。
2.運用整合法,培養概括的完整(系統)性。為了讓學生概括準確完整,教學時,教師設計了兩組習題,即含有字母的代數式和不含字母的常數,通過訓練先后得出兩個結論,即“所含字母相同,相同字母的指數相同”;“幾個常數也是同類項。”在此基礎上,引導學生把“幾個常數也是同類項”這個結論整合到同類項概念中,從而使概念要點全面,順序合理,內涵完整。
3.運用問題法,培養概括的條理(邏輯)性。數學概念和原理是嚴謹且具有一定的邏輯結構和順序的。要使概括出的概念和原理準確、合乎邏輯,就得有正確合理的問題作指引,引導學生避開思維盲點,找到準確的概括角度和明晰的概括線索,避免概括出一些片斷的、零散的或者想當然的結論。例如,本節課教師就設計了這樣三個問題引導學生思考:(1)6xy的“朋友”是- xy,為什么?(2)0.2x2y3與-3y3x2是不是“朋友”?(3)-125和3是不是同類項?三個問題指向明確,能夠啟發學生弄清歸納推理的思路,使零散分布的素材從無序變為有序,形成完整的概念體系。
4.運用填詞法,培養概括的簡潔(針對)性。填詞法是數學概括的基本方法,也是數學概括的典型形式。數學語言是數學概括的體現。數學概念要表述流暢,敘述的語言就必須精練恰當。為培養概括的準確性,在引導學生概括時,通常采用填關鍵詞的方式。例如,推導合并同類項法則時,教師提問:觀察上述計算過程,你能得出合并同類項的方法嗎?學生討論以后,屏顯:合并同類項法則,把______相加,所得的結果作為______,______不變。這樣做,既使概念簡潔精練、清楚明了,又突出運算方法,加深了學生對法則的領悟。
5.運用反例法,培養概括的縝密(嚴密)性。概括是依存于每個學生文化心理結構的邏輯思維,要使概括過程科學、穩定、嚴密,就需要激起學生內在的認知沖突,就需要進行反例訓練。教學過程中教師設計三個有代表性的例子:(1)x3y2與0.2x2y3是不是“朋友”呢?(2)6xy和0.2x2y3所含的字母也相同,它們是不是“朋友”呢?為什么?(3)能否用乘法分配律計算代數式2a+3;2a+3a+1?為什么?通過學生討論得出:第一、二個代數式不是。第三個代數式中2a和3a可以合并為5a,不能和1合并。因為它們不是同類項。這樣的反例設計,讓其本質屬性充分展示出來,使學生能夠關注“必須是相同字母的指數相同”“只有同類項才能進行合并”,提高概括的嚴密性。
數學概括是數學思維的核心。要形成概念、揭示原理,就必須有概括。訓練學生在整理材料、獲取有效信息、積累感性認識、掌握本質屬性的基礎上,用準確、完整、簡潔、嚴密的語言或公式來歸納概括的能力,對提高學生數學思維能力,完善知識結構,都有著極其重要的作用。(作者單位:江西省余干縣第二中學)■
關鍵詞：培養 應用 剖析 能力
在數學教學中，扎實地掌握好數學概念，是學好數學的基礎，關鍵是把數學概念應用到實際生活中去，在生活中體現數學的美，數學與我們生活息息相關。因此，在概念教學中培養學生的應用能力是一個重要環節，也是培養學生思維能力的重要手段，可使學生終生受益。
長期以來，我在概念教學中十分重視概念的應用能力的培養，引導學生進行探索、分析、抽象概括和“剖析概念的定義”及加深對概念的理解，下面就這三方面淺談教學的體會。
一、引導學生進行探索、分析、抽象概括歸納定義，如概括梯形概念
利用多媒體要學生在許多大小、形狀、位置不相同的梯形中進行比較分析，找出它們的共同屬性，即它們都是四邊形，并且只有一組對邊是互相平行的，引導學生概括時，可提出如下問題。
1.這幾個圖形都是幾邊形？
2.四條邊可以分為幾組？
3.這兩組對邊各有什么特點？
在此基礎上，進一步引導學生用準確的數學語言把梯形的定義概括出來。在概括過程中，學生難免出現語言表達不規范，這是正常現象，教師再引導他們做適當的調整或補充改進，即做必要的指導，就有可能使之達到概括目的。
數學概念是用科學的、精練的數學語言概括而成的，它具有抽象性和嚴密性，而小學生的思維又是具體的，形象的，雖然所獲概念是通過自己主動地概括出來，但畢竟是教師指導下進行的，為了讓學生提高概括水平，培養他們概括的自覺性，在概念教學中，還要對概念進行剖析，講清概念中每個詞或每句話的意思，來不得半點含糊，這樣做不僅能使學生真正理解概念。
二、對概念進行剖析
當學生概括出方程時，必須對它進行剖析。剖析的方法可用提問的方法。
1.2+3是不是方程？
2.x+1是不是方程？
3.x+1=2是不是方程？
這樣學生對方程中每個詞或每句話的真正含義理解比較深刻，是在理解概念的基礎上培養他們的應用能力。
三、在實際運用中加深對概念的理解
要使學生真正理解概念，有效的途徑之一就是強化概念的運用。因此，每教完一個新的概念，我都注意從不同角度，不同方面安排學生運用概念、解決問題的練習。
1.加強“變式”練習
“變式”是指從不同角度、方面和方式變換事物呈現的形式，以便揭示其本質屬性。如在學習了三角形的“高”后，我讓學生依據高的定義畫銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形的高線。
這三種不同三角形的高，有的在三角形內，有的卻在三角形外，有的就是三角形的兩條邊。盡管高的位置不同，但每條高都是從角的頂點向對邊作垂線長。學生在反復作高的過程中，明白了高的真正含義，提高了自己的作圖技能，為進一步學習三角形的性質奠定了基礎。
2.利用概念進行說理練習
關鍵詞：數學教學 思維能力 邏輯能力
中圖分類號：G623 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）01（b）-0000-00
1 問題的提出
中學數學教學，不僅要傳授知識，更要培養學生邏輯思維，還要培養學生分析問題、解決問題的能力，在眾多能力中，我認為，思維能力是核心。
錢學森教授指出：“教育工作的最終機智在于人腦的思維過程。”思維活動的研究，是教學研究的基礎，數學教學與思維的關系十分密切，數學教學就是思維活動能力的教學，是發展學生思維，使學生思維結構有著轉化的過程。
2 數學思維能力概述
1.數學思維能力
數學能力是一項綜合能力，其中，數學思維能力是其核心。
2.數學思維能力因素
蘇聯著名心理學家克魯捷茨基在專著《中小學生數學能力心理學》一書中曾研究提出了數學能力包括一系列從最一般到非常特殊的因素：
最一般的能力，包括勤奮、堅韌的意志、品質和工作能力等個性心理特征；
數學能力的一般因素，即廣泛范圍活動所必需的思維特征，如思維的條理性、靈活性等；
數學能力的特殊因素，主要有：
①把數學材料形式化，把形式從內容中分離出來，從具體的數值關系和空間形式中抽象出它們，以及用形式的結構來進行運算的能力；
②用數字或其他符號來進行運算的能力；
③概括數學材料，以及在外表不同的對象中發現共同點的能力；
④逆轉心理過程（從順向的思維系列轉到逆向的思維系列的能力）；
⑤數學記憶力，這是一種對于概括，形式化結構和邏輯模式的記憶力。
⑥思維的靈活性，即從一種心理運算轉到另一種心理運算的能力；
3 數學教學中培養學生的數學思維能力
對抽象概括能力的培養
數學抽象概括能力是數學思維能力，也是數學能力的核心。它具體表現為對概括的獨特的熱情，發現在普遍現象中存在著差異的能力，在各類現象間建立聯系的能力；由特殊到一般的能力，善于把具體問題抽象為數學模型的能力等方面。
在數學教學中如何培養學生的抽象概括能力呢？我們從以下幾方面入手：
（1）教學中將數學材料中反映的數與形的關系從具體的材料中抽象出來，概括為特定的一般關系和結構，要特別注意重視“分析”和“綜合”的教學。
如求證：等腰三角形的兩個底角相等。一般情況下，我們要證明一個幾何命題的步驟，使學生明確命題中的已知和求證，再根據題意，畫出圖形，并用數學符號表示已知和求證，最后經過分析，找出由已知推出要證明的結論的途徑，寫出證明的過程。
本題是一道文字命題，需要學生在理解題意的前提下，畫出正確圖形，并結合圖形，寫出已知和求證，再加以證明。但是學生在學習本題時，不理解本題的特殊性，基本上能夠寫出已知和求證，即寫出了已知：在ABC中，CA=CB，求證：∠A=∠B。可證明時卻直接運用了定理“等邊對等角”，即CA=CB ∠A=∠B 。如何使學生理解本題的題意呢？做到一點帶面呢？在教學中，我們培養學生在解題中要注意發掘隱藏在各種特殊細節后面的普遍性，找出其內在本質，善于抓住主要的、基本的和一般的東西，即教會學生善于運用直覺抽象和上升型概括的方法。正確的做法是在作出頂角的角平分線或底邊上的高后通過證明全等而得到。
總之，數學教學能力與其他學科相比具有其特殊性，思維性較強，因此，發展數學教學能力是一項重要任務，在發展數學中，我們不僅要考慮一般能力，也要深入研究數學學科，尋找數學思維能力，尋找數學活動規律，培養學生的邏輯能力。
參考文獻
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[2] 李素貞.數學教學中培養學生邏輯思維能力的途徑[J].珠江教育論壇，2010（2）.
關鍵詞:數學教學 數學思維能力 數學思想 解題反思
現代數學論認為,數學教學是數學思維活動的教學。思維活動的強弱,決定一個人的思維品質。在數學課堂教學中,探求問題的思考、推理論證的過程等一系列數學活動都以邏輯思維為主線。數學教學的核心是促進學生思維的發展。教學中,教師要千方百計地通過學生學習數學知識,全面揭示數學思維過程,啟迪和發展學生思維,將知識發生、發展過程與學生學習知識的心理活動統一起來。課堂教學中充分有效地進行思維訓練,是數學教學的核心,它不僅符合素質教育的要求,也符合知識的形成與發展以及人的認知過程,體現了數學教育的實質性價值。那么,在數學課堂中,如何正確有效地培養學生的數學思維能力呢?
一、創設問題情境,激發思維動機
孔子曰:“學而不思則罔,思而不學則殆”。恰當地表明了學與思之間的關系。在學習中要使學生進入主動學習的狀態,首先就是要創設貼近生活的問題情境。教師巧設問題,就在學習內容和學生的求知心理之間創設了一種“不協調”,把學生引入與所提問題有關的情境中,觸發學生產生弄清求知事物的迫切愿望,誘發出學生的思維活動。在數學課中想方設法地創設問題情境,讓學生處在問題情境中,從而保持認真、主動的學習態度,激發學生學習的興趣。
創設問題情境就其內容形式來說,有故事法、生活事例法、實驗操作法、聯系舊知法等。心理學的研究表明:學生的思維是否活躍,除了與他們對學習某些知識的目的、興趣等有關外,主要取決于他們是否有解決問題的需要。“不憤不啟,不悱不發”,“憤”和“悱”就是學生對于知識的“心求通而未得”“口欲言而不能”的急需狀態。在這種情境下,教師所講授的原理、論證,所提出的問題,都能引起學生高度的注意,積極地思維,并產生克服困難探求知識的愿望和動力。因此,在教學中教師若能給學生創設這種“憤”和“悱”的情境,就能使學生的思維活躍起來,從而能生動活潑地、主動地去探求和掌握知識。例如在講授等比數列的前n項和時,可以用有關國際象棋的故事引入,激發起學生思維的積極性,引導他們在親身體驗中探求新知,開發智力潛能。
二、對比求異,開拓學生的思維
為了激發學生的思維興趣,在教學中對學生掌握的知識適當地進行對比求異,利用知識之間的區別和聯系,啟發學生去發現問題,從而尋求解決問題的辦法。
例如:在講完等差數列和等比數列的求和公式后,要對一些特殊的數列進行求和,我先讓學生練習下面的題目:
1.(4+1)+(42+2)+(43+3)+…+(4n+n)
4.1×3+2×32+3×33+4×34+…+n×3n
5.設Sn=1-2+3-4+…+(-1)n-1?n,求S50,S53,Sn.
這些題目,直接求和有一定的困難,但是經過拆項分組、分母有理化,裂項相消,錯位相減,并項求和,便很容易解決,而且每個題目都有各自的特點,不能用同一模式去解。所以,通過觀察、分析、對比后,同學們發現了各類題的求解規律。既復習了學過的知識,又拓展了學生的思維,讓學生掌握了新知識、新方法。
三、滲透數學思想,提高思維策略水平
數學在發展過程中,形成了一系列反映自身特點的數學思想方法,這些方法一旦為學生所掌握和運用,將會長久地發揮作用。數學的這種文化價值,在提倡素質教育的今天,有著獨特的作用。因此,教師在雙基教學中,應根據數學知識的內在聯系和規律,有計劃、有目的地滲透相應的數學思想。比如類比的思想,由于事物之間具有諸多的相同或相似,所以我們可以用其中的一個或一類問題的研究去推知另一個或另一類問題所具有的相似特殊性。這種思想的滲透,不僅可以提高學生的解題能力,而且能大幅度提高學生思維的廣度。比如把高次方程轉化為低次方程,分式方程轉化為整式方程、將復雜圖形轉化為簡單圖形等,都體現了轉化與化歸思想。在教學中,根據學生的認知結構,滲透轉化與化歸思想,逐步培養學生化難為易,化未知為已知的思維品質,久而久之必能達到潤物細無聲的效果。在解題教學中,以數學思想為指導,尋求解題的途徑與方法,強化數學思想方法,提高學生的思維策略水平。
四、提高概括水平,發展思維能力
數學思維的第一特征就是概括性,學習和運用數學知識的過程都是概括的過程,遷移的實質就是概括。沒有概括,學生就不可能形成數學概念,因而也不能理解和掌握由數學概念所引申的定義、定理、公式、法則等知識,也不可能運用數學知識去解決各種問題;沒有概括,學生的數學認知結構就無法形成;沒有概括,學生的數學能力就難以形成,這是因為數學能力是以概括為基礎的,數學能力最主要地表現在將現實中的問題概括成為數學問題,再概括出其中的數量關系,再概括到某個數學模式上去,進而使問題獲得解決。
在概括能力培養的過程中,教師應設計教學情境,明確概括路線,引導學生猜想,發現。教師設計教學情境時,首先應當在分析新舊知識之間的本質聯系與區別的基礎上,緊密圍繞揭示知識間本質聯系這個目的,安排猜想過程,促使學生發現內在規律;其次應當分析學生已有數學認知結構與新知識之間的關系,并確定同化模式,從而確定猜想的主要內容;再次應設計多種啟發路線,在關鍵步驟上放手讓學生猜想,使學生的思維真正經歷概括過程。數學方法及思維模式的形成與獲得是數學概括性的結果,所以提高學生主體的概括水平,發展思維能力,是提高解決問題效率的一種重要途徑。
五、堅持解題反思,優化思維品質
數學是真與美的統一,這里的美指的是在解題思想、解題方法、解題技巧上所體現的數學內在的統一美、對稱美、簡潔美與對稱美等。教學中培養學生堅持解題反思,將有利于學生掌握解題思想、方法和技巧,優化思維品質。如在解題后鼓勵學生通過類比、聯想等方法,尋求新的解法,培養學生的創新意識與創新精神;在解題后啟發學生對解題過程進行分析,減少不必要的環節等,培養學生嚴謹的思維習慣和追求至善至美的科學精神。
總之,培養學生思維能力的方法是多種多樣的,要使學生思維活躍,最根本的一條,就是要調動學生學習數學的積極性,教師要精心設計教學中的每一環節,使學生積極參與到課堂教學中,從而促進學生思維能力的發展。
參考文獻:
[1]熊昌明.《在數學教學中培養學生發散思維能力》.四川教育學院學報.2005年10月.
[2]朱孟偉,馬士杰.《數學教學中培養學生思維能力訓練嘗試》.數理化解題研究.2005年第8期.
關鍵詞：數學思想 教學功能 數學活動
“數學思想”作為數學課程論的一個重要概念，我們完全有必要對它的內涵與外延形成較為明確的認識。關于這個概念的內涵，我們認為：數學思想是人們對數學科學研究的本質及規律的理性認識。可見，這些思想是歷代與當代數學家研究成果的結晶，它們蘊涵于數學材料之中，有著豐富的內容。
一、對中學數學思想的基本認識
通常認為數學思想包括方程思想、函數思想、數形結合思想、轉化思想、分類討論思想和公理化思想等。這些都是對數學活動經驗通過概括而獲得的認識成果。有人認為中學數學教材可以用集合思想作主線來編寫，有人認為以函數思想貫穿中學數學內容更有利于提高數學教學效果，還有人認為中學數學內容應運用數學結構思想來處理等等。盡管看法各異，但只要在充分分析、歸納概括數學材料的基礎上來論述數學思想，那么所得的結論總是可能做到并行不悖、互為補充的，總是能在中學數學教材中起到積極的促進作用的。
二、數學思想的特性和作用
數學思想是在數學的發展史上形成和發展的，它是人類對數學及其研究對象，對數學知識以及數學方法的本質性的認識。它表現在對數學對象的開拓之中，表現在對數學概念、命題和數學模型的分析與概括之中，還表現在新的數學方法的產生過程中。它具有如下的突出特性和作用。
（一）數學思想凝聚成數學概念和命題，原則和方法
我們知道，不同層次的思想，凝聚成不同層次的數學模型和數學結構，從而構成數學的知識系統與結構。在這個系統與結構中，數學思想起著統帥的作用。
（二）數學思想深刻而概括，富有哲理性
各種各樣的具體的數學思想，是從眾多的具體的個性中抽取出來且對個性具有普遍指導意義的共性。它比某個具體的數學問題（定理法則等）更具有一般性，其概括程度相對較高。現實生活中普遍存在的運動和變化、對立統一等都可作為數學思想進行哲學概括的材料，這樣的概括能促使人們形成科學的世界觀和方法論。
（三）數學思想富有創造性
借助于分析與歸納、類比與聯想、猜想與驗證等手段，可以使本來較抽象的結構獲得相對直觀形象的解釋，能使一些看似無處著手的問題轉化成極具規律的數學模型。從而將一種關系結構變成或映射成另一種關系結構，又可反演回來，于是復雜問題被簡單化了，不能解的問題的解找到了。如將著名的哥尼斯堡七橋問題轉化成一筆畫問題，便是典型的一例。有時為了一個模型的建立，一種思想的概括，要付出畢生精力才能得到，這使后人能從中得到真知灼見，體會到創造的艱辛，發展頑強奮戰的個性，培養創造的精神。
三、數學思想的教學功能
我國《九年義務教育全日制初級中學數學教學大綱（試用修訂版）》明確指出：“初中數學的基礎知識主要是初中代數、幾何中的概念、法則、性質、公式、公理、定理以及由其內容所反映出來的數學思想和方法”。根據這一要求，在中學數學教學中必須大力加強對數學思想和方法的教學與研究。
（一）數學思想是教材體系的靈魂
從教材的構成體系來看，整個初中數學教材所涉及的數學知識點匯成了數學結構系統的兩條“河流”。一條是由具體的知識點構成的易于被發現的“明河流”，它是構成數學教材的“骨架”；另一條是由數學思想方法構成的具有潛在價值的“暗河流”，它是構成數學教材的“血脈”靈魂。有了這樣的數學思想作靈魂，各種具體的數學知識點才不再成為孤立的、零散的東西。可見，數學思想是數學的內在形式，是學生獲得數學知識、發展思維能力的動力和工具。
（二）數學思想是我們進行教學設計的指導思想
我認為，數學課堂教學設計應分三個層次進行，這便是宏觀設計、微觀設計和情境設計。無論哪個層次上的設計，其目的都在于為了讓學生“參與”到獲得和發展真理性認識的數學活動過程中去。一個好的教學設計，應當是歷史上數學思想發生、發展過程的模擬和簡縮。例如初中階段的函數概念，便是概括了變量之間關系的簡縮，也應當是滲透現代數學思想、使用現代手段實現的新的認識過程。有了深刻的數學思想作指導，才能做出智慧熠爍的創新設計來，才能引發起學生的創造性的思維活動來。這樣的教學設計，才能適應瞬息萬變的技術革命的要求。靠一貫如此設計的課堂教學培養出來的人才，方能在21世紀的激烈競爭中立于不敗之地。
（三）數學思想是課堂教學質量的重要保證
數學思想性高的教學設計，是高質量進行教學的基本保證。在數學課堂教學中，教師面對的是幾十個學生，這幾十個智慧的頭腦會提出各種各樣的問題。隨著新技術手段的現代化，學生知識面的拓寬，他們提出的許多問題是教師難以解答的。面對這些活潑肯鉆研的學生所提的問題，教師只有達到一定的思想深度，才能保證準確辨別各種各樣問題的癥結，給出中肯的分析；才能恰當適時地運用類比聯想，給出生動的陳述，把抽象的問題形象化，復雜的問題簡單化；才能敏銳地發現學生的思想火花，找到閃光點并及時加以提煉升華，鼓勵學生大膽地進行創造，把眾多學生牢牢地吸引住，并能積極主動地參與到教學活動中來，真正成為教學過程的主體；也才能使有一定思想的教學設計，真正變成高質量的數學教學活動過程。
總之，數學思想是人類思想文化寶庫中的瑰寶，是數學的精髓，它對數學教育具有決定性的指導意義。
參考文獻：
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數學學了具有學生學習的一般特點外，還有以下幾個顯著特點。
一、數學學習是一種科學的公共語言學習
由字、詞以及它們的各種有機組合所構成的文字是一種語言，它可以幫助我們積累經驗、傳遞信息、交流情感。同樣地，由數學符號以及它們的各種有機組合所構成的數學，可以反映存在于現實世界中的一些關系和形式，因此它也是一種語言。
數學語言被廣泛運于各門科學。無論是自然科學，還是社會科學，它們中的不少概念要用數學語言來加以精確定義的，如瞬時速度、人口增長率；它們中的不少法則和規律是用數學語言來加以表述的，如體積、溫度與壓強三者之間的相互關系。對于任何一門科學來說，運用數學語言水平的高低，是這門科學發展水平的一個標志。
由此可見，學生學習數學的過程，其實就是掌握一種科學語言的過程。
二、學生學習數學必須具備較強的抽象概括能力
抽象和概括都是一種思維過程。前者是指將一類對象的某一共同特性與其他特性加以分離；后者是把從部分對象抽象出來的某一屬性推廣到同類對象中去。沒有抽象，就無從談及概括；而不作概括，抽象也根本無需進行。因此，它們是一對互相依存，不可分離的伴侶。
數學的抽象性與概括性表現在它使用的高度形式化的數學語言，和它的逐次抽象概括過程。由抽象的符號化數字，到更抽象的字母；由抽象的數、式、函數的概念，到更抽象的集合的概念，都是一個逐次抽象概括的過程。
數學學科的這一高度抽象概括特性，十分容易造成學生在數學學習中僅掌握形式的數學結論，而不知道結論背后的豐富事實；僅認識數學符號，而不理解它們的真正涵義；僅能夠解答與例題類似的習題，而不會舉一反三，靈活運用解題方法。凡此種種，都說明了學生學習數學必須具備較強的抽象概括能力。
三、數學學習最有利于學生演繹推理能力的發展
推理是人類思維的一種重要表現形式。它的基本結構是判斷（命題）的組合，或者說是由一個或幾個判斷推出另一個判斷的思維形式。這里，作為推理出發點的已知判斷稱為前提，由前提推出的判斷稱為結論。
根據前提與結論之間的關系，推理可以分為演繹推理、歸納推理和類比推理三種。如果前提與結論之間存在蘊涵關系，那么這種推理就稱為演繹推理。它的特征是從一般到特殊，并且只要前提真實，推進過程符合規則，那么結論就必定真實。
三段論是演繹推理的最主要形式。它是由兩個性質判斷作為前提，推出一個性質判斷作為結論的一種演繹推理。因為它是由三個性質判斷所構成，故名為三段論。
數學是一門建立在公理體系基礎上，一切結論都需加以嚴格證明的科學。數學證明所采用的邏輯形式最基本、最主要的就是三段論。學生在整個中學階段的數學學習中，反復學習使用三段論來解答各種數學問題，并且還要求他們能夠達到熟練掌握的程度，這對于他們演繹推理能力的發展無疑是極其有利的。
四、數學學習是能使學習者形成良好心理品質、科學態度、富于創造開拓精神和良好素質的一種學習
數學是一門特別費思考、嚴要求、重訓練的學科。因此，數學學習有助于學生形成愛科學、有頑強意志、良好的思考習慣和勤于探索、追求真理的科學態度。同時，數學具有很大的魅力，例如數與形的完美統一、和諧簡潔，足以把學習者帶入一個五彩繽紛的世界，激發他們的學習興趣，培養他們對科學美、數學美的感受力、鑒賞力以及對美的追求和創新意識；函數與方程的互化思想能使學生體會到數學本身的奧妙。
五、數學學習具有經驗性
與形式主義觀點不同，經驗主義的數學觀認為，數學是來源現實世界的，是對人們經驗的表述。恩格斯在《反杜林論》中說：“純數學的對象是現實世界的空間形式和數量關系。”恩格斯在這里明確地指出，數學是來自現實世界的，是“現實的摹寫”。數學應理解為來源于現實，但又高于現實。這就是恩格斯對數學本體的辯證觀。數學的經驗性就集中地表現在數學是對現實的經驗的表述。離開經驗與現實，就不可能有數學的本體。當然，數學在來自經驗的同時，不能只停留在經驗上，它是對經驗的理性認識。數學的對象是從現實世界中抽象出來的。
數學本體的經驗性對數學教育而言，強調數學概念形成于現實世界，以及數學理論的實際應用。因此，數學學習過程中的概念學習，命題、性質、公式、定律等的學習都應該從實際中抽象。另一方面，又強調通過解決現實中提出的問題過程來學習數學。
數學的經驗觀在我國古代表現為對數學學習以實際(生產、生活)問題為中心的算法學習。例如，在我國古代的數學教科書《九章算術》的246道題幾乎全是應用題。如田畝面積計算、各種糧谷的交換、分配問題、土本工程問題、輸納稅賦問題、盈虧問題、勾股測量問題，等等。這里沒有歐氏幾何的推理，而全是對生產與生活中的實際問題的解決。可以說，我國古代對數學學習的主張是典型的問題解決性的。
