時間：2023-05-31 09:21:39
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇圓柱圓錐，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
一、填空題。（2×20=40分）
1. 1.2升＝（ ）立方厘米； 6.25平方米＝（ ）平方米（ ）平方分米。
2.一個圓柱的底面半徑是5cm，高是10cm，它的底面積是（ ）cm2，側面積是（ ）cm2，體積是（ ）cm3。
3.圓柱的體積＝（ ），用字母表示是v＝（ ）。
4.圓錐體的體積等于和它同底等高的圓柱體體積的（ ），它的字母公式是v＝（ ）。
5.一個圓柱體，把它削成一個與圓柱等底等高的圓錐體，圓錐體的體積是削去部分的（ ）。
6.一個圓柱體，底面積是19平方厘米，高是12厘米，與這個圓柱體等底等高的圓錐體的體積是（ ）。
7.圓柱的側面展開可得到一個（ ），它的長等于圓柱的（ ），寬等于圓柱的（ ）。
8.一個圓錐的體積是24立方厘米，底面積是8平方厘米，它的高是（ ）。
9.一個圓柱的側面積是12.56平方分米，高是2分米，它的體積是（ ）。
10.一個圓柱和一個圓錐同底等高，它們的體積之和是48立方分米，那么圓錐的體積是（ ）立方分米。
11.一個圓錐的底面直徑和高都是6cm，它的體積是（ ）cm3。
12.把一個圓錐體浸沒在底面積是30平方厘米的盛有水的圓柱形容器里，水面升高了4厘米，這個圓錐體的體積是（ ）立方厘米。
二、判斷題。（1×10=10分）
1.圓錐體積是圓柱體積的■。（ ）
2. “做圓柱形通風管需要多少鐵皮”是求這個圓柱的側面積。（ ）
3.一個圓柱體的體積比和它同底等高的圓錐體的體積大。（ ）
4.一個圓錐體的高不變，底面半徑擴大到原來的2倍，這個圓錐的體積也擴大到原來的2倍。（ ）
5.一個正方體和一個圓錐體的底面積和高都相等，則正方體的體積是圓錐體體積的3倍。
（ ）
6.長方體、正方體、圓柱體和圓錐體的體積公式都可以用v=sh。（ ）
7.圓柱的體積一般比它的表面積大。（ ）
8.底面積相等的兩個圓錐，體積也相等。
（ ）
9.把圓錐的側面展開，得到的是一個長方形。（ ）
10.一個圓柱形的玻璃杯盛水1立方分米，我們就說玻璃杯的容積是1升。（ ）
三、選擇題。（1×10=10分）
1.一根圓木鋸成三段，一共增加（ ）個面。
A. 3 B. 4 C. 6
2.把一段圓柱形鋼塊切削成一個最大的圓錐體，切削掉的部分重12千克，這段圓柱形鋼塊重（ ）千克。
A. 24 B. 16 C. 18
3.一個圓柱體體積比一個與它同底等高的圓錐體的體積大（ ）。
A. ■ B. 2倍 C. 3倍
4.一個底面直徑是2厘米，高9厘米的圓錐體木塊，分成形狀大小完全相同的兩個木塊后，表面積比原來增加（ ）平方厘米。
A. 9 B. 18 C. 20
5.把一個棱長是4分米的立方體鋼坯切削成一個最大的圓柱，這個圓柱的體積是（ ）立方分米。
A. 50.24 B. 64 C. 12.56
6.一個圓錐的體積是12.56立方厘米，比同底等高的圓柱體積少（ ）立方厘米。
A. 6.28 B. 12.56 C. 25.12
7.“做一只圓柱形的柴油桶，至少用多少鐵皮？”是求油桶的（ ）。
A.表面積 B.側面積 C.體積
8.用一個高6厘米的圓錐形容器盛滿水，倒入和它同底等高的圓柱形容器中，水的高度是（ ）厘米。
A. 18 B. 16 C. 2
9.如右圖，這個杯子（ ）裝下3000ml牛奶。
A.能
B.不能
C.無法判斷
10.下面（ ）圖形是圓柱的展開圖。（單位：cm）
四、求體積。(單位：分米) （8分）
五、解決問題。（8×4=32分）
1.挖一個圓柱形蓄水池，底面半徑是5米，深4米，這個蓄水池可蓄水多少立方米？
2.一個無蓋的圓柱形鐵皮桶，高是30厘米，底面半徑是7厘米，做這個水桶至少要用鐵皮多少平方分米？（得數保留一位小數）
每當學到圓柱與圓錐這一單元時，學生就會出現各種問題，而且測試成績往往不夠理想。雖然很多人認為圓柱與圓錐這一單元結合實際演示與操作，應該比較容易理解，但是從理解到綜合應用還有很多路要走。根據多年的教學經驗，特總結出本單元八個易錯點：（1）計算始終是學生的弱點，特別是本單元有“3.14”參與的大量小數計算。（2）圓柱側面積與體積公式混淆。（3）圓柱與圓錐的三種關系混淆。（4）圓錐體積公式及逆運算不易理解（漏掉三分之一）。（5）圓柱表面積計算（有蓋無蓋的區分）。（6）圓柱底面積、側面積、表面積與體積的區分。（7）單位轉化問題。（8）等積變形問題。
二、解決的辦法
1.在上個學期學習圓的周長和面積的時候，就讓學生在反復的計算中記住3.14乘某個數字所得的得數。這一點在學習圓柱和圓錐時尤為重要，并且每天堅持做一些類似于：3.14×1.5，3.14×2.52，3.14×25×40的題目，提高學生的計算能力，讓學生熟能生巧。
2.結合實際操作幫學生區分圓柱的側面積與體積公式。圓柱側面積公式演示：讓學生想象手里拿著一個圓柱，然后用食指尖繞圓柱底面一周，再做火箭發射狀，表示底面周長乘高。圓柱體積公式演示：讓學生用手面做出摸圓柱底面狀再做火箭發射的動作，表示用底面積乘高。
3.數形結合解決圓柱與圓錐的三種關系問題。
（1）等底等體積：因為等底，所以圓錐要想和圓柱等體積，就不能長胖，只能長高，讓學生想象在等底等高的基礎上，圓錐像竹筍一樣“長高”到原來的三倍。
（2）等高等體積：因為等高，所以圓錐要想和圓柱等體積不能長高，只能長胖，讓學生想象在等底等高的基礎上，圓錐底面積“長胖”到原來的三倍。
4.學生在初步計算圓錐體積時，應嚴格按照先寫公式，后列式的格式書寫，而且列式時一定要按照公式的順序，即先寫三分之一，再寫乘底面積，最后寫乘高，避免學生漏乘三分之一。在已知圓錐體積求高時，一定讓學生先寫出原來的公式，看著原來的體積公式進行逆運算，即用體積先乘三再除以底面積。
5.應多出一些綜合性的題目，提高學生對圓柱不同知識點的區分運用能力。如，一個圓柱形鐵皮盒有蓋，底面半徑2分米，高5分米。
（1）如果在盒子側面貼一圈商標紙，至少需多少紙？（求側面積）
（2）某工廠要做1000個這樣的盒子，至少需多少鐵皮？（求表面積）
（3）如果用一個鐵皮盒裝水，最多能裝多少毫升？（求體積）
6.多練習上題中第三小題這樣的問題，讓學生養成做題前先檢查單位是否統一的習慣。
7.借助橡皮泥幫助學生理解等積變形問題。先讓學生捏出圓柱的形狀并測量底面直徑和高求出體積，再把剛才的圓柱捏成圓錐，測量底面直徑和高求出體積，比較圓柱和圓錐的體積是否相等。在做此練習時，可以順便復習圓柱與圓錐的三種關系問題。
三、取得的效果
第三單元圓柱與圓錐
單元卷（2）
姓名:________
班級:________
成績:________
小朋友，帶上你一段時間的學習成果，一起來做個自我檢測吧，相信你一定是最棒的!
一、填空題。
(共10題；共10分)
1.
（1分）8050毫升＝_______升_______毫升
5.8平方分米＝_______平方厘米
立方米＝_______立方分米
5平方米4平方分米＝_______平方米
2.
（1分）一個圓柱的側面展開圖是一個正方形，高是25.12
cm，這個圓柱的底面半徑是_______cm。
3.
（1分）用一個長20
cm，寬12
cm的硬紙板圍成一個圓柱，這個圓柱的側面積是_______cm2。
4.
（1分）一個圓柱的底面直徑是15
cm，高是8
cm，這個圓柱的側面積是_______cm2。
5.
（1分）如圖，以長方形10
cm長的邊所在直線為軸旋轉一周，會得到一個_______，它的表面積是_______cm2
，
體積是_______cm3。
6.
（1分）把一個圓錐沿底面直徑縱切開，切面是一個_______形。
7.
（1分）如圖是一個直角三角形，以6
cm的直角邊所在直線為軸旋轉一周，所得到的圖形是_______，它的體積是_______cm3。
8.
（1分）一個圓柱和一個圓錐等底等高，如果圓柱比圓錐的體積多42
dm3
，
則圓柱的體積是_______，圓錐的體積是_______。
9.
（1分）一個圓柱的體積是100.48
dm3
，
它的底面半徑是2
dm，高是_______dm。
10.
（1分）把一根2.5
m長的圓木鋸成三段小圓木，表面積增加了24
dm2
，
這根圓木的體積是_______dm3。
二、判斷題。
(共5題；共5分)
11.
（1分）圓錐的體積比圓柱的體積少
。
12.
（1分）圓錐的底面積不變，高擴大為原來的6倍，則體積擴大為原來的2倍。
13.
（1分）圓柱的側面展開圖一定是長方形。
14.
（1分）圓柱的底面直徑是3
cm，高是9.42
cm，它的側面沿高展開后是一個正方形。
15.
（1分）圓柱有無數條高，而圓錐只有一條高。
三、選擇題。
(共5題；共5分)
16.
（1分）如果把圓柱體的底面半徑和高都擴大為原來的2倍，則它的體積將擴大為原來的（
）。
A
.
2倍
B
.
4倍
C
.
6倍
D
.
8倍
17.
（1分）做一個無蓋的圓柱形水桶，求至少需要多少鐵皮，就是求水桶的（
）。
A
.
底面積
B
.
側面積
C
.
表面積
D
.
側面積＋一個底面積
18.
（1分）一根圓柱形木料，底面半徑是6
dm，高是4
dm，把這根木料沿底面直徑鋸成兩個相等的半圓柱，表面積比原來增加（
）dm2。
A
.
226.08
B
.
24
C
.
48
D
.
96
19.
（1分）一個圓柱的底面半徑是5
dm，若高增加2
dm，則側面積增加（
）dm2。
A
.
20
B
.
31.4
C
.
62.8
D
.
109.9
20.
（1分）圖中圓錐的體積與圓柱（
）的體積相等。
A
.
B
.
C
.
D
.
四、按要求計算。
(共3題；共3分)
21.
（1分）一個糧倉如圖，如果每立方米糧食的質量為700kg，這個糧倉最多能裝多少千克糧食？
22.
（1分）計算下面圓柱的表面積和圓錐的體積。
23.
（1分）求下面立體圖形的體積。(單位：cm)
五、按要求完成下列各題。
(共2題；共2分)
24.
（1分）一個圓柱和圓錐等底等體積，那么圓柱的高是圓錐高的_______，圓錐的高是圓柱高的_______。
25.
（1分）一個圓柱和圓錐等體積等高，那么圓柱的底面積是圓錐底面積的_______，圓錐的底面積是圓柱底面積的_______。
六、解決問題。
(共7題；共7分)
26.
（1分）用玻璃做一個圓柱形魚缸，底面半徑是2.5
dm，高是4
dm，做這個魚缸至少需要多少平方分米的玻璃？這個魚缸最多能裝水多少升？
27.
（1分）一個圓柱形紙筒的底面半徑是4
cm，它的側面展開后是一個正方形，這個圓柱形紙筒的側面積是多少平方厘米？
28.
（1分）一堆圓錐形黃沙，底面周長是12.56
m，高是1.2
m，將它鋪在一個長8
m，寬2.5
m的沙坑里，可以鋪多少厘米厚？
29.
（1分）一個圓柱形玻璃容器里裝有水，在水里浸沒一個底面半徑是3
cm，高是10
cm的圓錐形鐵塊(如圖)，如果把鐵塊從圓柱形容器里取出，那么容器里的水面要下降多少厘米？
30.
（1分）學校教學樓大廳里有4根立柱，每根立柱的底面半徑是2
dm，高是4.5
m。現要給立柱的側面包上裝飾板，包好這些立柱共需裝飾板多少平方米？
31.
（1分）兩個底面積相等的圓錐，一個高為6
cm，體積是72
cm3
，
另一個高為9
cm，它的體積是多少立方厘米？
32.
（1分）一個內直徑是8
cm的瓶子里，水的高度是7
cm，把瓶蓋擰緊倒置放平，無水部分是圓柱形，高度是18
cm。這個瓶子的容積是多少毫升？
參考答案
一、填空題。
(共10題；共10分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
二、判斷題。
(共5題；共5分)
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
15-1、
三、選擇題。
(共5題；共5分)
16-1、
17-1、
18-1、
19-1、
20-1、
四、按要求計算。
(共3題；共3分)
21-1、
22-1、
23-1、
五、按要求完成下列各題。
(共2題；共2分)
24-1、
25-1、
六、解決問題。
(共7題；共7分)
26-1、
27-1、
28-1、
29-1、
30-1、
[關鍵詞]直觀 操作 實驗 觀察 思維 發散 促進 激發
[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2016）05-022
數學學習是從感性認識開始的，所以在數學課堂中，教師應加強直觀演示的教學，引導學生對學習素材進行多層面、多角度、多維度的觀察、比較、選擇與歸納。下面，以“圓柱與圓錐”單元教學為例，談談如何通過直觀教學，培養學生的數學思維。
一、操作，激發學生的思維
“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行。”課堂教學中，教師可通過動手操作，激活學生的思維，引導他們深入探究，真正理解所學知識。
師：圓柱的體積計算公式是什么？
生1：圓柱的體積=底面積×高。
師：我們是怎樣推導圓柱的體積計算公式的？
生2：我們把圓柱轉化成等底等高的長方體，通過長方體的體積計算公式推導出圓柱的體積計算公式。
師：今天，我們探究圓錐的體積計算方法。猜一猜，圓錐的體積可以怎樣求？它與哪些條件有關？
生3：只要把圓柱上面的一個圓縮成點就變成了圓錐，說明圓錐的體積和圓柱是有聯系的。
生4：可以把圓錐轉化成已經學過的立體圖形——圓柱，由于圓柱體積=底面積×高，那么圓錐的體積計算可能與它的底面積和高有關系。
……
我國數學家徐利治曾說過：“直觀就是借助于經驗觀察、測試或類比聯想，所產生的對事物關系直接的感知與認識。”教學“圓柱的體積”時，把圓柱的體積轉化成已學過的長方體體積，這樣能有效喚醒學生的學習潛能，使學生去觀察、反思、梳理，為后續推導圓錐的體積計算埋下伏筆。由圓柱體積的推導過程，學生能想到圓錐的體積是不是能轉化成已學過的立體圖形進行計算，這樣就會產生一種學習新知識的需求。學生由于生活經驗和認知水平的局限，更易于接受直觀的事物。因此，直觀演示更利于學生進行觀察、比較、分析和想象，并在此基礎上展開更加豐富多彩的直觀推理，進而洞察相關聯物體之間的聯系與區別，獲得必要的結論。
二、實驗，促進學生的思維
學生的感悟因經歷而豐富，視野因思維更拓展。因此，課堂教學中，教師應以實驗為媒介，促進學生的數學學習與數學活動有機融合。
師（出示許多大小不等的圓柱和圓錐形容器）：你打算將圓柱與圓錐如何轉化？如果讓你在這么多的圓柱與圓錐中選擇兩個來探究，你打算選擇什么樣的圓柱和圓錐？說說你選擇的理由。
生1：剛才把圓柱的一個底面縮成點就變成了圓錐，其中圓錐與圓柱的底面積相等，高也相等，所以應選擇底面積相等、高相等的圓柱和圓錐進行探究。
師：為了便于我們研究圓錐體積，每個組都準備了一個圓柱和一個圓錐，比一比，它們有什么相同的地方？（生操作演示，如下圖）
師：你發現了什么？底面積相等，高也相等，用數學語言來說就叫等底等高。既然圓錐與圓柱等底等高，能不能直接用圓柱的體積計算公式求出圓錐的體積呢？
生2：不行，把圓錐放入圓柱形容器中，發現圓錐比圓柱的體積小。
師：這位同學真了不起。請你再猜一猜，圓錐與它等底等高的圓柱體積有什么樣的關系呢？
生3：圓錐體積可能是它等底等高圓柱體積的1/2。
師：還有其他的猜想嗎？
生4：圓錐體積可能是它等底等高圓柱體積的1/3。
師：有什么好辦法驗證自己的猜想是正確的呢？先在小組里交流，再做實驗驗證你的猜想。（生動手操作）
師：誰來匯報一下？
生5：我選擇等底等高的圓錐和圓柱，發現把圓錐裝滿水倒入圓柱里，倒滿了三次，說明圓錐體積是它等底等高圓柱體積的1/3。
師：其他組實驗的情況也和他們一樣嗎？
生：一樣。
師（出示兩組大小不同的圓柱和圓錐，如下圖）：這兩組圓柱和圓錐，圓錐的體積還是圓柱體積的1/3嗎？為什么？
生6：這里的圓錐體積不是圓柱體積的1/3，因為它們不是等底等高。
師：這說明了什么？
生7：不是任何一個圓錐的體積都是圓柱體積的1/3。
師：什么樣的圓錐與圓柱體積才有1/3的關系呢？
生8：等底等高的圓錐和圓柱。
……
數學抽象地反映了客觀世界。在數學學習過程中，學生由于受知識經驗和思維水平的限制，經常會遇到一些很難用語言解釋清楚的數學問題，這時候直觀圖形或者直觀模型就能夠給學生提供形象的思考和表達的機會，幫助學生把頭腦里的數學事實外顯化。學生通過操作、實驗去驗證自己的想法是否正確，不知不覺中，學生的認識變得更豐富了，理解變得更深刻了，思維變得更靈活了，體驗變得更強烈了。這樣教學，順應了學生的思維發展，使他們真正掌握了解決問題的策略。
三、觀察，發散學生的思維
系統的發散訓練，能適當降低思維的難度，給學生的自主學習搭建一個“腳手架”，有利于學生內化數學思想方法，提升思維能力。
例1 如右圖，正方形OABC的面積是10平方厘米，O是圓心，求圓的面積。
由圖可知，正方形的面積就是r 2，圓的面積就是πr 2=3.14×10=31.4（平方厘米）。
例2 如右圖，正方形ABCD的面積是40平方厘米，求圓的面積。
由于有了例1的鋪墊，學生能把例2轉化為例1——畫兩條與正方形鄰邊互相垂直的直徑（如右圖），這樣就把大正方形平均分成了四個小正方形，可以先求出每個小正方形的面積，也就是求出r 2的值，再用r 2的值求出圓的面積，所以圓的面積πr 2=3.14×（40÷4）=31.4（平方厘米）。
例3 如右圖，求大正方形、圓、小正方形的面積比。
由圖可知，先求出大正方形與小正方形的面積比是多少，再求大正方形、圓、小正方形的面積比。有了上面的坡度練習和推理，學生很快能得出結論：大正方形、圓、小正方形的面積比為4∶π∶2。
1.從圓錐的( )到( )的距離是圓錐的高，圓錐有( )條高。
2.圓柱的體積是( )的圓錐體積的3倍，所以圓錐體積的公式是( )。
3.把4個同樣大小的圓柱，熔鑄成等底等高的圓錐，能熔鑄( )個。
4.一個圓柱的體積是60立方厘米，和它等底等高的圓錐的體積是( )。
5.把一段圓柱形圓木，加工成等底等高的圓錐體，削去部分體積是圓柱體積的( )，是圓錐的( )。
6.用一張長是25.12厘米，寬3.14厘米的長方形厚紙板圍成直圓柱，有( )種圍法;其中一種圍成的圓柱的高是( )厘米，直徑是( )厘米;另一種圍的圓柱的高是( )厘米，直徑是( )厘米。
二、觀察思考下面的解題過程和結果，是否正確?
1.一根圓柱形水管，內直徑20厘米，水流的速度是每秒4米，這個水管1分鐘可以流過多少立方米的水?
解：(1)圓柱形水管的底面積
(2)圓柱形水管的容積(4米相當圓柱的高)
314×400=125600(立方厘米)
(3)1分鐘可以流過多少水
125600×60=7536000(立方厘米)
7536000立方厘米=7.536立方米
答：這個水管1分鐘可以流過7.536立方米水。
2.有一根長20厘米，半徑為2厘米的圓鋼，在它的兩端各鉆了一個深為4厘米，底面半徑為2厘米的圓錐形小孔做成一個零件，如圖這個零件的體積是多少立方厘米?
解：
(1)圓柱的底面積
2×2×3.14=12.56(平方厘米)
(2)圓柱的體積
12.56×20=251.2(立方厘米)
(3)圓錐形小孔的體積
12.56×4=50.24(立方厘米)
(4)零件的體積
251.2-50.24=200.96(立方厘米)
答：這個零件的體積是200.96立方厘米。
3.一個高3分米，底面直徑為20厘米的圓柱形水桶里裝滿水，水中放著一個底面直徑為18厘米，高為15厘米的鐵質圓錐體，當這個鐵質圓錐體取出后，會發生怎樣的變化?結果如何?
解：當這個鐵質圓錐體取出后，桶內水面要降低，因為這個物體原來占據了一些空間，結果怎樣，就要先求圓錐體的體積，再求變化的結果。
(1)圓錐的底面積
(2)圓柱的底面積
(3)圓錐的體積
(4)水面降低的米數
1271.7÷314=4.05(厘米)
三、綜合運用知識解決實際問題。
1.有A、B兩個容器，如圖，先把A容器裝滿水，然后將水倒入B容器，B容器中水的深度是多少厘米?
*2.如右圖，是一個棱長為4分米的正方體零件，它的上、下、左、右面上各有一個半徑為2厘米的圓孔，孔深為1分米，這個零件的表面積是多少?體積是多少?
*3.把一個直徑是2分米的圓柱的底面分成許多相等的扇形，然后沿直徑把圓切開，拼成一個和它體積相等的長方體，這個長方體表面積比原來圓柱的表面積增加8平方分米，這個長方體的體積是多少?
上課了，孩子們都很興奮，我展示了一下透明的圓錐體和圓柱體，孩子們確認這兩件透明容器的底和高相等后，（展示與確認必不可少，這是本節教學的必要步驟）提出一個問題：“圓錐的體積是否和長方體、正方體、圓柱體的體積計算方法一樣，也能用“底面積×高”來計算呢？”
經過觀察和思考，孩子們很快得出結論：不能。“那么，圓錐的體積和同它等底等高的圓柱體的體積有沒有關系，是什么關系？”我再次提出問題，（把探究的權利還給孩子，教師不可越俎代皰）教室里頓時安靜下來。顯然，孩子們都在思索。我微笑著鼓勵他們：“不要急，咱們做個實驗。”（在探索過程中，教師是鼓勵者，加油者）一位細心的女孩子在我的指導下，將半瓶紅墨水倒進盆里，盆里的水馬上變得殷紅，然后，她又小心地用透明圓錐體容器從盆子里舀滿紅水倒進透明圓柱體內。“啊，一樣粗一樣高，圓錐體果然沒有圓柱體大呀。”孩子們為驗證了他們剛才的結論而興奮不已。（初嘗探索與研究的快樂）我又問：“圓錐體占到圓柱體的幾分之幾呀？”（適時的提問，將探索研究引向深入）孩子們伸長脖子朝前看，用心估算著。做實驗的女孩子朝圓柱體上的刻度一看，馬上說：“是三分之一！”當她又舀滿一圓錐體紅水倒進圓柱體后，再將一滿圓錐體紅水倒進圓柱體后，圓柱體里的紅水就滿了。這一下，全班孩子掩飾不住心中的興奮，幾乎同時快活地喊了起來：“老師，老師，我知道圓錐體和圓柱體的體積是什么關系啦！”（再嘗探索與研究的快樂）
“圓錐體體積等于和它等底等高的圓柱體體積的三分之一！”（結論水到渠成）
“這真是一個不錯的結論”我笑著對發言的孩子豎起了大拇指，（賞識是對成功者的獎勵，更是進一步探索與研究的動力）并把期待的目光投向更多的孩子。（期待預示著還有更大的思維空間）
孩子們顯然知道我的用意，個個躍躍欲試，在紙上畫著，算著，很快就有了這么幾個答案：
“老師，我發現圓錐的體積比和它等底等高的圓柱體體積少三分之二。”（用了一個‘少’字，孩子們的思維空間拓寬了）
“圓柱的體積比等底等高的圓錐的體積多2倍。”（上述結論的又一種詮釋，思維的空間再一次拓寬了）
我由衷地為這些孩子的精彩回答一次次鼓掌。（不要吝嗇對孩子們的賞識）在鼓掌聲中，我把圓錐體的計算公式認真地寫在黑板上：V錐=1/3V柱（在強調等底等高的條件下，我故意做出了上述板書）
接下來，我又一次啟發道：“還能有新的發現嗎？”（再一次點燃探索研究的熱情之火，讓孩子們的思維提速）
“好，這一次我們都來動手做，看看在還能發現什么？”（人人都是學習的主人，探索研究的主角）
孩子們紛紛拿出準備好的圓柱體（修理后的黃瓜、胡蘿卜等），我讓他們把這些圓柱體的體積算出來，記在本子上，然后再動手削成圓錐體，并且明確提出一個要求：“削圓錐體時不要改變圓柱體的底面積。”（明確要求，教師的課堂主導作用不能忽略）
孩子們馬上動手。不一會兒，一個個高低不等的圓錐體就呈現在課桌上了。有的削成了一個大的，有的削成了兩個或三個小的。我就問：“由原來的圓柱體變成現在的圓錐體，誰得到的圓錐體體積最大呀？”（教師要問得巧妙，使孩子們的思維沿著既定的方向發展）
“我的”“我的”幾個孩子晃一晃手里的圓錐體。
“何以見得呢？”我笑著問道。
其中一個說：“我保留了圓柱體的底和高。”
另一個說得更具體：“我算了一下，我的圓錐體體積正好是圓柱體體積的三分之一。”
嘿，這小家伙剛學會計算就用上了。我拍手稱贊。（不要吝嗇贊美）
“有沒有超過三分之一的呢？”
“沒有，三分之一是最大的了。”
數學片段：
學生獨立思考解答后，全班交流：
生1：這個零件是由一個圓柱體和一個圓錐體組合而成的。可以這樣解答：V零件＝V圓柱＋V圓錐＝3.14×（）2×6＋×3.14×（）2×3＝18.84＋3.14＝21.98(立方厘米)。
師：他把零件想象成一個組合體，用圓柱的體積加上圓錐的體積來求零件的體積，思路清晰。還有不同的方法嗎？
生2：我把零件想象成是以圓柱體積為單位“1”的一個整體，那么圓錐的體積是圓柱體積的×。 零件的體積是V零件＝V圓柱×（1＋×）＝3.14×（）2×6×（1＋×）＝21.98（立方厘米）。
（受生2的啟發，多數學生踴躍舉手，老師示意生3說說自己的想法。）
生3：把零件想象成是以圓錐體積為單位“1”的一個整體，那么圓柱的體積是圓錐體積的÷。零件的體積是V零件＝V圓錐×（1＋÷）＝×3.14×（）2×3×（1＋÷）＝21.98（立方厘米）。
師：生2和生3是把圓柱或圓錐的體積看成單位“1”，然后根據這個零件中圓柱與圓錐的關系，把零件的體積想象成一個整體來思考，思路靈活。還有別的解法嗎？
生4：我把零件想象成一個9厘米高的大圓柱，那么圓錐的體積比原來多算了與它等底等高的圓柱體積的（1－）。因此，可這樣解答：V零件＝V大圓柱－V小圓柱×（1－）＝3.14×（）2×9－3.14×）2×3×（1－）＝28.26－6.28＝21.98（立方厘米）。
師：真會想！他將零件進行了變形，想象成一個高9厘米的大圓柱，然后再減去多出的部分。
未等老師說完，生5迫不及待地站起來表達自己的想法：把圓錐想象成一個高3×＝1厘米的小圓柱，那么這個零件就成了一個高為6＋1＝7厘米的大圓柱。因此可以這樣解答：V零件＝V大圓柱＝3.14×（）2×7＝21.98（立方厘米）。
聽完生5的發言，老師微笑地點點頭，轉而面向大家：聽明白了嗎？片刻后，教室內響起熱烈的掌聲。老師示意其他學生再說說這樣解答的思路。
過后，課堂陷入短暫沉默。就在老師準備進入下一環節教學時，生6舉起了手。
生6：我將7厘米高的圓柱想象成一個近似的長方體，可以這樣解答：V零件＝V長方體＝長（圓柱底面周長的一半）×寬（半徑）×高（圓柱高）＝（3.14×2÷2）×（2÷2）×7＝21.98（立方厘米）
師：真了不起，他受到在推導圓柱體積計算公式時，將一個圓柱體切開后拼成一個近似的長方體的啟發，把零件想象成一個近似的長方體，得出一種新穎的解法。
老師帶頭為他鼓起掌來。
臨近下課了，老師準備進行課堂總結，這時教室內傳來一聲情不自禁的喊聲：“我還有一種解法。”大家不約而同地把眼光投向了生7。
生7：我們可以將零件想象成7個小圓錐。因為3厘米高的圓柱體積相當于3個等底等高的圓錐的體積，那么兩個3厘米高的圓柱就相當于3×2＝6個這樣的圓錐，再加上圖中右端的一個圓錐，一共7個圓錐，那么零件的體積就是：V零件＝V圓錐×7＝×3.14×（）2×3×7＝21.98（立方厘米）。
教室內再次響起熱烈的掌 聲。
是什么讓課堂靈動精彩，欲罷不能呢？靈活的空間想象力給思維插上了翅膀。在數學教學中，發展和豐富學生的想象力，對培養思維的靈活性、深刻性和創造性起著十分重要的作用。
想象力是指在知覺材料的基礎上，經過新的配合而創造出新的形象的能力。如何發展學生的想象力呢？從這則教學案例我們可以得到如下啟示：
一、夯實基礎，溝通知識前后聯系是發展學生想象力的前提
課堂的精彩其關鍵的因素源自于學生扎實的基礎，倘若學生沒有對用分數乘除法解決實際問題、圓柱和圓錐體積計算的熟練掌握，沒有對等底等高圓柱與圓錐關系的清晰認識，課堂上是不可能出現將分數乘除法解決實際問題與圓柱、圓錐體積計算的思維進行有效溝通的，也就不可能出現把圓柱或圓錐看作單位“1”，然后把零件看作一個整體來求體積的整體想象，更不可能出現把零件看作高是7厘米的大圓柱和把零件看作7個小圓錐的變形想象。因此，發展學生想象力不是憑空想象的，而是以夯實基礎，有效溝通知識的前后聯系為前提的。
二、豐富表象，加強動手操作為發展學生想象力提供支撐
生6將7厘米高的圓柱想象成一個近似的長方體，用V零件＝V長方體＝長（圓柱底面周長的一半）×寬（半徑）×高（圓柱高）來求零件的體積，是受到在推導圓柱體積計算公式時，將一個圓柱體切開后拼成一個近似的長方體的啟發，從而得出一種新穎的解法。引導學生親歷動手操作的過程，給學生留下清晰的表象。長此以往，不斷豐富學生的各種表象，日后在相似的問題情境中，學生就有可能自動提取儲備的表象，想象并建構解題的模型，奇思妙解也就水到渠成了。
[摘要]進行探究性學習，促進整體發展。老師應在教學中設計探究性與開放型的教學活動和問題，給學生提供自主探究的機會，使學生積極主動地參與學習的全過程。
[關鍵詞]探究；活動；解決問題
在課堂教學中，教師應充分發揮學生的主觀能動性，要依據學生的年齡特征和認知水平，涉及探究性與開放性的教學活動和問題，給學生提供自主探究的機會，使他們積極主動地參與學習的全過程。
1 教法靈活多樣
在這幾年教學圓錐的體積計算時，經常是我進行實驗演示，直接拿出等底等高的圓錐容器的教具，讓學生觀察倒沙實驗，然后說明“圓錐體積是與它等底等高圓柱體積的三分之一”。從而推導出圓錐體積的計算公式，這樣的教學禁錮了學生的思維，扼殺了學生的實踐能力，為此，我進行了探索性的教學實踐活動。例如，在這學期教學圓錐的體積計算時，首先，讓孩子在課下分工合作，有人做等底等高的圓柱和圓錐，有人帶沙土，并在第二天上課時，提出問題：“老師為什么要你們制作圓柱又制作圓錐呢?”這時，教室里鴉雀無聲，我便引導學生把已學過的圓柱體積的計算方法，用實踐手段轉化為圓錐體積的計算方法，此時，學生突然頓悟，興趣盎然迫不及待的動手操作。在實驗時，讓學生分組合作，這時，只看見個小組在圓錐內裝滿沙土，然后把沙土倒入圓柱內，每組的記錄員記錄下的結果都是倒三次剛好裝滿，學生立刻活躍起來，“老師，圓錐的體積等于和它等底等高的圓柱體積的1/3，又因為圓柱體積的公式是v=sh，所以圓錐的體積公式是v=1/3sh。”這樣的探究活動，學生學得活，記得牢，既發揮教師的主導作用，又體現了學生的主體地位，學生在學習的過程中始終是一個探究者、研究者、發現者，并獲得了富有成效的學習體驗，同時又培養了學生的合作精神。
2 激勵學生自主地嘗試解決問題
把解決問題作為學校數學教育的核心，是美國數學教師協會于1980年正式提出的，激勵學生自主地嘗試解決問題和探究的能力，對數學其他內容的學習具有重大作用，因此，在課堂上對于學生提出的問題，我從不過早的下結論，過多的限制，允許有不同的意見，允許爭辯使學生真正成為學習的主人。如：學完圓錐的體積后，有這樣一道判斷題，“一個圓錐的體積比它等底等高的圓柱體積少2倍”。同學們意見不一致，我沒有表態，而是讓他們講解各自對錯的理由，其中認為錯誤的理由是“因為圓錐體積是與它等底等高圓柱體積的1/3，也就是圓柱體積是與它等底等高的圓錐體積的3倍，圓柱體積是1倍，圓柱體積就是它的3倍，所以圓錐體積比它等底等高的圓柱體積少2倍。”緊接著，認為正確的同學馬上反駁“你把圓錐的體積看成1倍，而這道題是把圓柱體積看成1倍，因為圓錐的體積是與它等底等高的圓柱體積的1/3，把圓柱體積看成1倍圓錐體積是它的1/3，所以圓錐體積比它等底等高圓柱體積少2/3。”做錯的同學恍然大悟，原來是沒有搞清單位1，雖然課堂紀律看起來有點亂，但氣氛達到了，問題得到了解決，使學生對問題有自己獨特見解，充分發揮了學生主體的作用。
總之，探究性學習旨在將學習更多的看作獨立的獲得問題的解決，讓學生掌握思考的方法，由對知識的接受過程轉化為對問題的探索過程，由對知識的認識掌握轉化為對問題的探究解決。這樣才能使學生學會在復雜的社會環境中不斷地用科學的探究態度與方法去認識、發現、改變與創新，真正是今天的學習成為明天適應、參與和改造社會的基礎，從而獲得發展的。
【關鍵詞】GeoGebra；數學實驗；空間與圖形
小學數學中最難的就是“空間與圖形”內容的教學，而空間觀念的形成則強調學生多種感官的參與，且依賴于空間想象能力的發展水平，如果在沒有有效的教學手段輔助的情況下，學生很難理解教學內容.小學生的幾何觀念屬于直觀幾何，是一種經驗幾何或實驗幾何，僅憑黑板+粉筆很難讓學生理解.因此，動手操作和觀察比較是小學生獲得幾何知識、認識幾何性質的主要途徑和形式.而GeoGebra具有色彩豐富、能化靜為動、化抽象為直觀、可演示、可探究等優點，若能適當地運用其進行數學演示實驗、探究實驗或驗證試驗，用動畫來展現知識的生成過程，教師在動中講，學生在動中學，并且學生還可以進行探究，在拖動圖形中觀察圖形，通過“做”來增加對各種圖形的感性認識，非常有利于學生抽象思維能力的形成.
一、動態展現立體圖形的生成
長方體、正方體是由幾個平面圖形圍成的，而圓柱是由平面和曲面圍成的，對于這幾種圖形的形成，學生不能理解“面”旋轉后與所形成的圖形之間的關系，從而形成了認知障礙.這時運用GeoGebra進行動態展示，學生直觀地感受到了圓柱、圓錐的形成過程（如圖1、2所示）.以長方形的一條邊為軸旋轉360°后形成了圓柱，然后探究長方形和旋轉后圓柱之間的關系，通過觀察旋轉的長方形，找出了長方形的長就是圓柱的高，長方形的寬就是圓柱的底面半徑，很快掌握了圓柱的形成和體積的計算方法.接著以長方形的寬作為軸旋轉360°，很快找出了長方形的寬就是圓柱的高，長方形的長就是圓柱的底面半徑，在頭腦中建立了面與體的關系，計算圓柱的體積就變得輕而易舉.以直角三角形的直角邊為軸旋轉360°后形成了圓錐，通過觀察動態演示發現，直角三角形的直角邊就是圓錐的高，直角三角形的另一條直角邊是圓錐的底面半徑.通過觀察面動成體的過程，學生頭腦中有了圓柱、圓錐的動畫映像，直觀地反映了圓柱、圓錐的形成，圓柱、圓錐的特點就深深地刻在了學生頭腦中，發展了學生的空間思維能力.
二、模擬體積探究實驗
在“圓錐的體積”這一節教學中，用傳統的演示實驗法推導圓錐的體積公式時，由于圓柱和圓錐都比較小，學生只能看見大概的實驗過程但很難看清楚圓柱、圓柱上面的刻度，不利于學生發現它們體積之間的關系，整個實驗過程很難給學生留下深刻的印象.用GeoGebra進行模擬實驗（如圖3所示），投影到電子白板或幕布上，進行形象化的演示，全班的學生都能清晰地看見當把圓錐里面的水倒進圓柱時正好占了圓柱體積的三分之一，立刻會聯想到：在圓柱和圓錐同底等高的情況下，圓錐的體積是圓柱體積的三分之一，立馬能用數學表達式表示出圓錐的體積公式.與傳統的教具展示相比，更能引起學生思想的撞擊，掃清了空間識別障礙和視覺直覺障礙，找到了思維發展的突破口，能讓學生對所學知識理解得更加透徹，更能準確地把握其中“不變”的規律，從而學得更好更快.
三、模擬解決生活中的實際問題
“長方體和正方體”是人教版五年級數學下冊第三單元的教學內容.它是在學生已經學習了長方體、正方體、圓柱和球的基礎上，進一步研究長方體、正方體的特征，這是由平面圖形研究擴展到立體圖形的研究和學生比較深入地研究立體幾何的開始.通過學習長方體和正方體，可以使學生對生活中常見的物體形成初步的空間觀念，是學習其他空間幾何圖形的基礎.另外，長方體和正方體體積的計算，也是W生形成體積的概念.掌握體積的計量單位和計算各種幾何形體體積的基礎.本單元很多認知難點的出現，歸根結底是學生對長方體和正方體的結構認識不清.特征沒有掌握，另一方面是缺少生活經驗.要解決這類實際問題，先要從不同的角度觀察同一物體，感受局部與整體的關系，深刻地認識這些物體的特征后，通過聯想、遷移與長方體和正方體的知識建立起聯系，再根據長方體和正方體的特征計算出面積.
GeoGebra做出的三維視圖課件能全方位地展示正方體和長方體任意角度的側面，學生能從不同的位置多方面、多角度觀察同一物體，有利于全面了解正方體和長方體的特征，如圖4、5所示.
GeoGebra給學生創造了形象、逼真的學習情境，解決了一些用傳統教學手段不易實現的教學過程，真正幫助學生突破了空間識別障礙和視覺直覺障礙，有效地建立正確的空間表象，促進了空間思維能力的形成，發展了學生的空間觀念；教學的重難點也被輕而易舉地突破，從而能大大提高教學效率；同時，學生的積極性、主動性和創造性也被激發了出來.
一、動手實踐，深化數學體驗表象
數學的學習應是兒童自己的實踐活動，學習的過程是一個探索與發現過程，同時也是讓學生真正理解數學在自己社會生活中的意義和價值的過程。小學生學習數學與具體實踐活動分不開。重視實踐活動，是發展學生思維，培養學生數學能力最有效途徑之一。
如“認識千米”的教學中，由于三年級學生缺乏感性的認識，所以千米的認識成了長度單位教學中的難點。突破這個難點的關鍵就是創設體驗過程，引導體驗生成。我在教學時適當調整，把“了解千米”和“認識千米”兩課時作了整合：第一課時，在學生初步認識千米后，馬上進行實踐體驗，我帶領學生到校后口，往西望，大約到文博園就是1千米，感知1千米的直線距離大約有多遠。然后，我帶領學生到學校的跑道上行走并記時，學校的跑道一圈是400米，跑兩圈半就是1千米。走完1千米大約用時12分。通過走一走，每個學生對1千米的實際長度又有了進一步的體驗。我還引導讓學生算了走一步大約50厘米，那么走100米大約走幾步，走1000米呢？課后到跑道上走一個直道來回（100米）看看走了幾步。回家路上數一數大約走幾步就是1000米，再回頭望望有多遠。這些活動，學生對千米就有了感性的認識。有了這些活動的鋪墊，讓學生說說對千米有什么感覺，學生都很有體會。
二、利用對比活動，矯正數學體驗偏差
學生在感知或操作中常受到事物非本質特征的影響，產生體驗偏差。對此，教師應有意識地通過對比活動讓學生放大體驗，從而更好的區分出“此”與“彼”，獲得鮮明而準確的體驗。
如教學圓錐的體積時，部分教師只讓學生探究等底等高的圓錐和圓柱體積之間的關系，導致學生對1/3產生深刻的體驗，而對等底等高這一前提的必要性缺少體驗。而設計對比活動就可以糾正學生的這種體驗偏差。
活動一：探究等底等高的圓錐與圓柱的體積關系。教師出示一組等底等高的圓錐與圓柱，讓學生觀察并猜測圓錐的體積是圓柱體積的幾分之幾。接著，教師讓學生用圓錐容器裝滿水并倒入 圓柱形容器中。當學生倒一次水后，教師引導學生觀察水在容器中所占空間的大小，再次猜測圓錐的體積是圓柱體積的幾分之幾。在學生得出“圓錐的體積是圓柱體積的1/3”后，教師再追問“怎樣證明”引導學生進一步通過操作驗證結論。
活動二：探究等高不等底的圓錐與圓柱的體積關系。教師出示一組憑觀察不容易看出底的差異等高不等底的圓錐與圓柱，問“圓柱的體積是圓錐體積的幾倍？”多數學生答3倍。教師再追問如何證明，并讓學生上臺操作驗證。結果顯示，圓柱的體積不是圓錐體積的3倍。教師引導學生思考為什么兩次得到的體積關系不同，觀察、分析它們的底面積、高之間的關系，得出“只有在等底等高的前期下，圓柱的體積才是圓錐體積的3倍”。
活動三；探究等底不等高的圓錐與圓柱的體積關系。教師問“一個圓柱和一個圓錐的體積相等，底面積也相等，圓柱的高是6厘米，圓錐的高是多少厘米？”學生有猜2厘米、6厘米的，有猜18厘米的，還有猜其他答案的。教師引導學生在畫圖、分析、討論中認識到：如果圓錐的高是6厘米，圓錐的體積只有圓柱的1/3，二者的體積不可能相等。要體積相等，圓錐的高必定是6×3=18厘米。
這三個活動，讓學生經歷了圓錐體積是圓柱的“1/3”到“不是1/3”的對比，體驗到“等底等高”與“1/3”的高度相關性，認識了圓錐和圓柱的聯系、二者體積之間的關系，較好地防止了體驗偏差和認知錯誤。
三、利用間接經驗，拓展數學體驗的資源
體驗是以親身經歷為基礎的。目前與體驗有關的課堂多注重讓學生獲得直接的感受和經驗，而忽略了間接經驗的開發。學生不能也不可能完全通過直接體驗獲得知識，更多的是靠間接經驗來豐富認知。在引導學生直接體驗的同時，教師還應引入間接經驗，讓學生感同身受，拓展體驗資源。
如“用分數表示可能性”中體驗等可能性既是重點又是難點。教師出示一枚硬幣，問：“拋擲一次，正面朝上的可能性是多少？”學生答到是1/2。教師問：如果拋30次，正面朝上的次數會有幾次？”學生答15次，接著，學生拋擲，很少有學生剛好得到正反面歌出現15次的。該怎么辦？繼續增加試驗次數，讓學生拋擲無疑是最直接的體驗方式。但這樣的體驗在課堂中是不現實也沒有必要的。這時，教師可直接引入數學家拋硬幣的實驗結果，通過分享他們的結果，豐富體驗，并得出規律。這樣，學生通過直接體驗，感受到等可能具有隨機性、偶然性的一面，即拋若干次硬幣出現正反面的次數并不總是一樣多；通過分享數學家的經驗，體會到等可能性具有規律性的一面。
四、利用生活資源，體驗數學與生活密切聯系
學生是生活中的人,學生的數學體驗同樣也離不開生活,我們的教學設計近可能讓學生體驗到數學與生活的密切聯系,體會數學的內在價值。比如教學三角形具有穩定性的性質后，我設計了這樣的一個問題，出示一把搖搖晃晃的椅子，我們教室有幾把這樣的椅子，利用今天學習的知識想一想應該怎樣修，學生興趣一下調動了起來，用手紛紛比畫，在凳子上斜著釘一個木棍，為什么？這樣就形成一個三角形，三角形具有穩定性，凳子也就牢固了。順勢提問，為什么學校的伸拉門上有許多平行四邊形呢？（因為大門經常開關，正好利用了平行四邊形容易變形的性質）。凳子、大門對學生來說是再熟悉不過了，通過這樣的設計，既鞏固了所學的知識，又讓學生感到生活與數學的聯系，體驗了數學的價值。
【作者單位：武平縣實驗小學 福建】
數學體驗是學生對于數學的自我建構，是在數學活動中發生、生成和發展的。在教學實踐中，如何引導學生獲得有效的數學體驗，從而提升學生的數學素養呢？筆者結合自己的教學經驗，從動手實踐，利用對比活動，利用間接經驗，生活體驗等幾個方面進行研究，就如何引導學生獲得有效的數學體驗提出個人的見解。
一、動手實踐，深化數學體驗表象
數學的學習應是兒童自己的實踐活動，學習的過程是一個探索與發現過程，同時也是讓學生真正理解數學在自己社會生活中的意義和價值的過程。小學生學習數學與具體實踐活動分不開。重視實踐活動，是發展學生思維，培養學生數學能力最有效途徑之一。
如“認識千米”的教學中，由于三年級學生缺乏感性的認識，所以千米的認識成了長度單位教學中的難點。突破這個難點的關鍵就是創設體驗過程，引導體驗生成。我在教學時適當調整，把“了解千米”和“認識千米”兩課時作了整合：第一課時，在學生初步認識千米后，馬上進行實踐體驗，我帶領學生到校后口，往西望，大約到文博園就是1千米，感知1千米的直線距離大約有多遠。然后，我帶領學生到學校的跑道上行走并記時，學校的跑道一圈是400米，跑兩圈半就是1千米。走完1千米大約用時12分。通過走一走，每個學生對1千米的實際長度又有了進一步的體驗。我還引導讓學生算了走一步大約50厘米，那么走100米大約走幾步，走1000米呢？課后到跑道上走一個直道來回（100米）看看走了幾步。回家路上數一數大約走幾步就是1000米，再回頭望望有多遠。這些活動，學生對千米就有了感性的認識。有了這些活動的鋪墊，讓學生說說對千米有什么感覺，學生都很有體會。
二、利用對比活動，矯正數學體驗偏差
學生在感知或操作中常受到事物非本質特征的影響，產生體驗偏差。對此，教師應有意識地通過對比活動讓學生放大體驗，從而更好的區分出“此”與“彼”，獲得鮮明而準確的體驗。
如教學圓錐的體積時，部分教師只讓學生探究等底等高的圓錐和圓柱體積之間的關系，導致學生對1/3產生深刻的體驗，而對等底等高這一前提的必要性缺少體驗。而設計對比活動就可以糾正學生的這種體驗偏差。
活動一：探究等底等高的圓錐與圓柱的體積關系。教師出示一組等底等高的圓錐與圓柱，讓學生觀察并猜測圓錐的體積是圓柱體積的幾分之幾。接著，教師讓學生用圓錐容器裝滿水并倒入 圓柱形容器中。當學生倒一次水后，教師引導學生觀察水在容器中所占空間的大小，再次猜測圓錐的體積是圓柱體積的幾分之幾。在學生得出“圓錐的體積是圓柱體積的1/3”后，教師再追問“怎樣證明”引導學生進一步通過操作驗證結論。
活動二：探究等高不等底的圓錐與圓柱的體積關系。教師出示一組憑觀察不容易看出底的差異等高不等底的圓錐與圓柱，問“圓柱的體積是圓錐體積的幾倍？”多數學生答3倍。教師再追問如何證明，并讓學生上臺操作驗證。結果顯示，圓柱的體積不是圓錐體積的3倍。教師引導學生思考為什么兩次得到的體積關系不同，觀察、分析它們的底面積、高之間的關系，得出“只有在等底等高的前期下，圓柱的體積才是圓錐體積的3倍”。
活動三；探究等底不等高的圓錐與圓柱的體積關系。教師問“一個圓柱和一個圓錐的體積相等，底面積也相等，圓柱的高是6厘米，圓錐的高是多少厘米？”學生有猜2厘米、6厘米的，有猜18厘米的，還有猜其他答案的。教師引導學生在畫圖、分析、討論中認識到：如果圓錐的高是6厘米，圓錐的體積只有圓柱的1/3，二者的體積不可能相等。要體積相等，圓錐的高必定是6×3=18厘米。
這三個活動，讓學生經歷了圓錐體積是圓柱的“1/3”到“不是1/3”的對比，體驗到“等底等高”與“1/3”的高度相關性，認識了圓錐和圓柱的聯系、二者體積之間的關系，較好地防止了體驗偏差和認知錯誤。
三、利用間接經驗，拓展數學體驗的資源
體驗是以親身經歷為基礎的。目前與體驗有關的課堂多注重讓學生獲得直接的感受和經驗，而忽略了間接經驗的開發。學生不能也不可能完全通過直接體驗獲得知識，更多的是靠間接經驗來豐富認知。在引導學生直接體驗的同時，教師還應引入間接經驗，讓學生感同身受，拓展體驗資源。
如“用分數表示可能性”中體驗等可能性既是重點又是難點。教師出示一枚硬幣，問：“拋擲一次，正面朝上的可能性是多少？”學生答到是1/2。教師問：如果拋30次，正面朝上的次數會有幾次？”學生答15次，接著，學生拋擲，很少有學生剛好得到正反面歌出現15次的。該怎么辦？繼續增加試驗次數，讓學生拋擲無疑是最直接的體驗方式。但這樣的體驗在課堂中是不現實也沒有必要的。這時，教師可直接引入數學家拋硬幣的實驗結果，通過分享他們的結果，豐富體驗，并得出規律。這樣，學生通過直接體驗，感受到等可能具有隨機性、偶然性的一面，即拋若干次硬幣出現正反面的次數并不總是一樣多；通過分享數學家的經驗，體會到等可能性具有規律性的一面。
四、利用生活資源，體驗數學與生活密切聯系
學生是生活中的人,學生的數學體驗同樣也離不開生活,我們的教學設計近可能讓學生體驗到數學與生活的密切聯系,體會數學的內在價值。比如教學三角形具有穩定性的性質后，我設計了這樣的一個問題，出示一把搖搖晃晃的椅子，我們教室有幾把這樣的椅子，利用今天學習的知識想一想應該怎樣修，學生興趣一下調動了起來，用手紛紛比畫，在凳子上斜著釘一個木棍，為什么？這樣就形成一個三角形，三角形具有穩定性，凳子也就牢固了。順勢提問，為什么學校的伸拉門上有許多平行四邊形呢？（因為大門經常開關，正好利用了平行四邊形容易變形的性質）。凳子、大門對學生來說是再熟悉不過了，通過這樣的設計，既鞏固了所學的知識，又讓學生感到生活與數學的聯系，體驗了數學的價值。
今天，柳老師帶來了一個圓柱與圓錐，我們十分疑惑。柳老師對大家說：“今天，我們學圓柱與圓錐，順便做一個實驗。”“數學課做實驗。”我們百思不得其解，柳老師這葫蘆里賣的是什么藥？
實驗開始了，我與齊思瑜挑了兩個實驗。我們先把一個圓柱里的水裝滿，在用圓錐擠壓。這樣就可以算出圓錐的體積。我拿著裝滿水的杯子，用圓錐擠壓。我們小心翼翼地把水到進圓錐里，正好兩杯，那這就說明圓錐的體積= sh。我們接著做第二個實驗。用圓錐從水里拿了一瓢水放進圓柱里。齊思瑜數著：“一瓢、兩瓢、三瓢。”我們把圓柱裝滿了，這就說明我們成功了。
這堂數學課結束了。數學課真有趣，我們及學到了豐富的知識，又有趣地完成了
實驗。
【教學片段】
新課導入，揭示課題以后。
師：你覺得圓錐的體積可能會跟什么條件有關？（師出示大小不一的圓錐）
生：底面積和高。
師：那你覺得它又會跟我們學過的哪種圖形的體積有關。為什么？
生：圓柱。因為它們的底面都是圓，側面都是曲面。
師：嗯，它們外形上有相似之處。并且我們可以從一個圓柱里得到一個最大的圓錐。那你能大膽猜測一下它們的體積可能存在什么樣的關系嗎？
生：圓柱的體積是圓錐體積的3倍。圓錐的體積是等底等高的圓柱體積的三分之一。
（學生馬上說出了這樣的關系也是在我的意料之中，但我認為學生應該還有其他的想法）
師接著又問：還有誰來說說你的想法？
臺下一片寂靜，沒有學生再表達自己的想法，也許他們已經看過了書上的結論，所以沒有學生再提出其他的想法。
接下環節就是動手實驗，驗證猜想。同學們都選擇了一組等底等高的圓錐和圓柱做實驗。師接著提問，為什么你們選擇這樣一組材料做實驗呢？
當我拋出這個問題的時候，又沒人發表意見。
我就接著追問：為什么不是等底等高的圓錐和圓柱，它們的體積就不是3倍關系了呢？
臺下舉手的學生寥寥無幾。
剖析自己的教學過程，反思自己的教學行為，尤其是教師的課堂教學提問，暴露出以下三個問題。
（一）問題跳躍性太大，前后無太大關聯
在揭示圓錐的體積這一課題后，問學生：“你覺得圓錐的體積會跟什么條件有關？”學生回答到底面積和高。然后接著又問：“那你覺得它又會跟我們學過的哪種圖形的體積有關。”課后，我又對這兩個問題進行反復推敲，發現它們之間的聯系并不是很緊密，跳躍性太大。本來我可以順著第一個問題的答案，把學生引導到圓錐的體積和底面積、高這條思路上來。可我拋出的第二個問題，又把學生帶到了分析圓錐和圓柱之間的關系上來了，兩個問題似乎沒有很好地串聯起來。如果教師設計的問題缺乏系統性，“東一鋤頭，西一棒”，這樣就會導致學生思維混亂，不得要領。因此，教師在設計問題時應注意前后呼應、彼此銜接、環環相扣，促使學生循序漸進地得出正確的結論。
（二）問題過深，不易回答
在引導學生探究圓柱的體積為什么是等底等高的圓錐體積的3倍時，我向學生提出了這樣一個問題：“為什么不是等底等高的圓柱和圓錐，它們的體積就不是3倍關系了呢？”拋出這個問題時，課堂氣氛霎時凝固了。我還連續追問，可學生始終答不上來。現在回想這個問題，確實比較拗口，而且也很難回答，才會導致學生暫時出現教學上的“休克狀態”。維果茨基認為，人的認知水平就在這“已知區”“最近發展區”和“未知區”之間循環往復，螺旋上升的。因此，問題的設計必須準確、清楚，符合學生的認知特點，遵循學生的認知水平。
（三）問題模糊，針對性不強
在得出圓錐體積的計算方法后向學生提問：“我們在計算圓錐的體積時應注意什么？”我的本意是提醒學生在計算的時候不要忘記乘三分之一，而學生的答案有很多，浪費了很多時間。有時教師的提問缺乏準確性和針對性，才會導致學生要么無言以對，要么風馬牛不相及。為此，只有簡潔科學且富有啟發性和探索性的提問，才能激起學生思維的發展，才能“一問激起千層浪”。
在平時的教學中我也一直在思考，綜觀有效的數學課堂，教師的提問一般都關注以下四個點。
一、抓住新舊知識的連接點提問，使教學更順暢
例如，一教師教學“三角形面積的計算”一課，由于學生已經掌握了長方形和平行四邊形面積的計算方法，學會了用割補法得出平行四邊形的面積計算方法，因此可以設計以下幾個問題，讓學生通過動手操作、觀察分析、自主探索、合作交流等方法解決問題：
平行四邊形的面積公式是怎樣推導出來的？推導過程對你有什么啟示？
你能用三角形學具，通過剪、擺、拼得出三角形的面積計算方法嗎？
看似簡單的探究三角形面積的計算方法，但探究的過程目的性非常明確，緊緊抓住新舊知識的連接點提問，充分利用已有的數學思想和方法，解決新的問題，且環環相扣，教學過程清新自然，層層深入，又具有很強的針對性。有張有弛的教學節奏，學生學得興趣盎然，知識的獲得是那樣輕松自如。因此，教師在教學指導中的提問就要把準新舊知識間的銜接點，促使學生的思維由此及彼，由未知轉向已知，使知識的呈現更顯得水到渠成。
二、抓住新知的增長點提問，促進理解
讓我們來看看特級教師黃愛華的《圓的周長》教學片段。
師：同學們，什么是圓的周長？
生：圓一周的長度叫做圓的周長。
師：請同學們閉上眼睛想一想，圓的周長展開后會是什么呢？
生：會是一條線段。
師：我們如何測量圓的周長呢？（板書：圓的周長）
生：我是用滾動法測量出圓的周長的。
師：如果要測量大圓形水池，你能把水池立起來滾動嗎？
師：還有其他方法測量圓的周長嗎？
生：用繩子繞一周，量出繩子的長度也就是圓的周長。
師：你能用繩子測量出這個圓的周長嗎？（師把系著小球的細繩的另一端固定在黑板面上，用力甩動小球，讓學生觀察甩動后形成的圓）
生：不能。
師：用滾動法、繩子測量法來測量圓的周長都有一定的局限性，那么能不能研究出一種求圓周長的方法呢？
師：圓周長的大小是由什么決定的呢？要找到這個規律我們先來做個實驗。（兩球同時甩動，形成大小不同的圓。學生發現：圓周長的大小與半徑、直徑有關）
師：圓的周長到底與它的直徑有什么關系呢？
（學生動手測量得出結論：圓的周長是它直徑的3倍多一些）
黃老師的提問總是在不知不覺中喚起學生的學習熱情，而后根據學生的回答，教師提出相應的問題，讓學生不斷地產生矛盾沖突，再逐漸提高問題的難度。他善于尋找學生的“已知區”與“最近發展區”的結合點，即在知識的“增長點”上設置懸念，在學生可能形成的數學思想、價值觀念等生長點上設計問題，促進學生認知結構的形成，促進學生認知能力的提高，最終使學生的“最近發展區”化為“已知區”。因此，我們教師要根據教學內容的特點，抓住新知的本質，盡可能使設計的問題呈現逐步上升的趨勢，提高學生思維的密度和效度，構建有效的數學課堂。
三、抓住知識的關鍵點提問，突破重難點
華應龍老師在教學《平行四邊形面積的計算》時有這么一個片段。
在學生猜想，動手驗證后，匯報。
生：老師你看，因為平行四邊形很容易變成一個長方形。長方形的面積是長乘寬，這樣就能用相鄰的兩條邊相乘得到平行四邊形的面積。
師：贊成用相鄰兩條邊的長度相乘的，請舉手。（大部分同學舉起了手）。那你們再看（教師順著學生拉動的方向，繼續慢慢拉動平行四邊形的框架，直到幾乎重合），通過剛才的操作，你有什么想法？
生：我發現問題了，兩條邊的長度沒變，乘積也沒變，可是框架里面的面積變了。
生：平行四邊形的面積不是長方形的面積。
……
用相鄰兩條邊的長度相乘，這是學生在探究平行四邊形的面積計算方法時真實的想法。但是這個錯誤的想法要讓學生真正明白，華老師利用將平行四邊形的框架拉成幾乎重合，幫助學生抓住關鍵點，并適時提問，讓學生產生認知沖突，有效地幫助學生糾正錯誤的認識，將學生帶到柳暗花明的境地。
知識的關鍵點也是教學中的重難點，是那些對學生思維有統領作用的知識，理解了關鍵點，教學目標的達成也便顯而易見了。我們知道學生對知識的認知掌握過程，總是要經歷一個由不懂到懂，由淺入深這樣一個認知過程。因此，抓住知識的關鍵點提問，就能很容易地突出重點，突破難點，學生對新知的理解就會輕松很多，進而達到理想的教學效果。
四、抓住知識的疑難點提問，發散思維
如某教師在教學《圓錐的體積》這一課的教學片段。
師：當圓錐的高是圓柱高的3倍時，要使它們的體積相等，它們的底面積之間有什么關系呢？
學生討論作答。
師緊接著追問：老師這里有一組等底等高的圓錐和圓柱，要使它們的體積變成相等，若只能改變其中一個圖形的大小，不改變原有圖形的形狀，你會怎么辦呢？
生1：圓錐的高不變，底面積擴大3倍。
生2：圓錐的底面積不變，高擴大3倍。
生3：圓柱的高不變，底面積縮小到原來的1/3。
生4：圓柱的底面積不變，高縮小到原來的1/3。
教師在教學了等底等高的圓錐和圓柱，圓柱的體積是圓錐體積的3倍后，又提出了富有挑戰性又有探索價值的疑惑，引導學生展開討論。巧妙地提問能給予學生足夠的思維空間，學生能夠利用已有的知識尋求多種答案，有效地促進了學生的思維，促使學生積極地自主學習。
有效的教學提問必須能促進學生分析綜合能力的發展，激起學生強烈的求知欲，達到發展智力，培養能力的目的。教學上的疑難點是最讓學生難以消化的地方，也是教師最關注的地方，也是教學內容的重中之重。因此，在疑難處每一個細節教師都應巧妙地設計提問的內容，這樣，不僅能促進學生的思維，幫助學生更好地理解知識，而且還能讓學生的思維發展到更廣、更深處。
基于上述反思，我又重新修改了我的教學設計。
【教學設計修改稿】
新課導入，揭示課題以后。
出示等底不等高的圓錐，師問：這兩個圓錐哪一個體積大？那這兩個呢？（不等底但等高的圓錐）
師：那你覺得圓錐的體積可能會跟什么條件有關呢？
生：底面積和高。
老師順勢就把V=sh寫在黑板上。
師：那么這樣得到的是不是圓錐的體積呢？
生：不是。是圓柱的體積。
教師出示四組材料：等底等高的圓柱圓錐、不等底但等高的圓柱圓錐、等底但不等高的圓柱圓錐、不等底不等高的圓柱圓錐，但每組的圓錐都是同樣大小的。
生：老師我明白了是與這個圓錐等底等高的圓柱的體積有關。
師：那么請你猜猜看這個圓錐的體積和這個等底等高的圓柱的體積之間存在怎樣的關系呢？
鼓勵學生大膽猜測。
有了猜測，學生就動手操作驗證自己的想法。
