時間：2023-05-31 08:57:07
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇平均數課件，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
教學內容：教材第122―123頁
教學目標：
1、使學生理解眾數在統計學中的意義，會確定一組數據的眾數。
2、使學生初步了解平均數，中位數和眾數的聯系與區別。能初步根據數據的具體情況合理選擇統計量。
3、使學生體會眾數在生活中的應用，并能運用所學知識合理地解決簡單的實際問題。
教學重點：理解眾數的意義，會確定一組數據的眾數
教學難點：體會平均數、眾數、中位數三者的差別，并能在具體情境中選擇恰當的數據代表對數據做出自己的評判。
教具、學具準備
1、課件
2、統計表、計算器
教學設計：
1 情境引入
1、課件出示升國旗的場面，
師：孩子們，你們看到了什么？
生：（答）
師：戰士們的身高如何？
生（答）
師：對，國旗班的戰士是經過挑選來的，他們不但五官端正，而且身材都非常高大，勻稱，一般都在1米85左右。那么這些隊員是用什么方法挑選出來的呢？我們過去已經學習過一些這方面的知識。請同學們先看下面的練習。
2、 課件出示練習題（兩題逐一出示）
（1） 請算出這組同學的平均成績
98 87 80 94 76
（2）找出下列同學跳遠成績的中位數
1.70 1.85 1.68 1.80 2.10
師：這是我們以前學過的用平均數和中位數的方法反映一組數據的一般水平，今天我們還要學習一種新的方法，請看：
2 學習新知
1 課件出示主題圖
師：五年級二班準備挑選10名同學參加學校的集體舞比賽，現在已經挑選出20名舞姿比較好的同學，他們的身高情況如下：
生觀察數據
師：請仔細觀察他們的身高數據，你想用什么方法選出這10名同學呢？
2、分析處理數據
師：下面就請同學們選出這10名隊員，并把他們的身高記錄在你的練習本上。然后把找到的數據與同桌的同學交流，討論。
生挑選，師尋視
3、全班交流匯報
師：選好了嗎？誰來說一說，你是怎么選的？
生（1）：我采用的是求平均數的方法，算出這組數據的平均數是1.475m，我們認為應選和1.475m接近的10名同學，他們的身高是……
師：是這10名同學嗎？
課件在原始數據上閃爍和平均數接近的10名同學的身高數據
師：老師把它們寫到下面來
課件出示用平均選數選出的10名同學的身高數據
1.45 1.46 1.46 1.47 1.47 1.48 1.48 1.49 1.50 1.51
師：還有其它的方法嗎？
生（2）我是用的找中位數的方法，先找出這組數據的中位數是1。485，我認為身高接近1。485的比較合適，我選的是這10名同學
師：是這10名同學嗎？
課件在原始數據上閃爍與中位數接近的10名同學的身高
師：老師也把它們寫到下面來
課件出示用中位數選出的10名同學的身高數據
1.46 1.47 1.47 1.48 1.48 1.49 1.50 1.51 1.52 1.52
師：還有和上面兩種方法不同的嗎?
生（3）：我們小組選的是和1.52m接近的10名同學，他們的身高是…………
師：是這10名同學嗎
課件在原始數據上閃爍和1。52米接近的10名同學的身高數據
師：老師也把你說的這組數據寫到下面來
課件出示數據
1.49 1.50 1.51 1.52 1.52 1.52 1.52 1.52 1.52 1.52
師：還有和他一樣想法的嗎？
生（答）
師：到底用哪種方法選出來的10名同學最合適呢？
生（答）
師：看來大家的意見一致了，都認為選1.52m左右的比較合適，因為這個方案選出的隊員身高均勻些。
4、揭示課題
師：上面這組數據中， 1.52出現的次數最多。
課件閃爍1.52
師：像這樣出現次數最多的數，你知道是什么數嗎？
生：是眾數
師：了不起，你說對了，它叫眾數，1.52就是這組數據的眾數，眾數能夠反映一組數據的集中水平。
（板書：眾數：出現次數最多）
5、找眾數
師：學習了眾數，下面我們一起來找一找眾數。
課件出示找一找
找一找，請找出下面各組數據的眾數（課件逐一出示四個題）
（1）2 5 3 2 2 7 2
（2）3.7 8.5 3.7 8.0 3.7 3.7
（3）0 1 2 3 4 5 6 7 8
（4）8 3 5 3 8 6 7
師：請看第一組，誰來說？
師：為什么是2呢？
生（答）
師：下一個
生（答）
師：接著看
生（答）
師：最后一組
生：（答）
師：剛才我們學習了眾數，會找出一組數據的眾數，關于眾數你了解了些什么知識？
生小結
師：的確，眾數和平均數，中位數一樣，都能反映一組數據的一般水平，只是眾數更能反映一組數據的集中水平。
3 平均數、中位數與眾數的聯系與區別
師：上課之前，老師特意到檔案室去調查了你們班部分同學的體重情況，我們一起來看一看。
1、課件出示練習題
請你用合適的數據反映出學生體重一般水平（單位：千克）（課件一下出示此題）
（1） 30 32 32 32 32 35 36
（2） 22 27 35 40 45 47 60
（3） 30 31 32 33 34 35 36
師：第一組，你用什么數？為什么？
生（答）
師：第二組呢？為什么？
生（答）
師：為什么要用找中位數的方法？而不用找平均數和眾數的方法呢？
生（答）
師：第三組
生（答）
師：學到這兒，老師有個問題想問大家了
如果要反映一組數據的一般水平，平均數、中位數、眾數分別在什么情況下最合適呢？
生（答）
師小結：同學們說得非常好，的確，平均數、中位數、眾數都能反映一組數據的一般水平。數據特點不同，選擇的數就不同
下面我們再來選 一選 （課件出示選一選，一道題一張）
選一選
1.要表示同學們最喜歡的動畫片，應該選取（ ）。
A 平均數 B中位數 C眾數
2.五年一班有40人，五年二班有42人，要比較期末考試時哪個班的成績高一些，應該選取（ ）。
A 平均數 B中位數 C眾數
3.在青年歌手比賽中，某個選手想知道自己到底處于什么水平，應該選取（ ）。
A 平均數 B中位數 C眾數
4 面包店的老板想知道哪種面包賣得最好，應選取（ ）
A 平均數 B中位數 C眾數
師：通過上面的學習，我們知道了平均數、中位數，眾數在統計學上都是用來表示集中趨勢的量數，平均數反映的是一組數據的整體平均水平，中位數反映的是一組數據的中等水平，眾數反映的是一組數據的集中水平。在具體的統計工作中，到底用哪種統計量，要根據具體的問題和數據的特點來決定。
上面我們了解了同學們的體重情況，下面我們再來看一看同學們的視力情況
4 解決生活中的問題
完成書上123面“做一做”
師：請看（課件出示做一做的數據）
師：你能找出這組數據的中位數嗎?怎么找？
生答
課件按從小到大的順序排列做一做的數據
師：這組數據的中位數是多少？
生答
師：請同學們打開書完成書上123頁的“做一做”
生做完后匯報
師：第一小題，誰來說？
生答
……….
5 拓展練習
6 師生情感交流
師：通過這節課的學習，你有什么收獲？
生（答）
7 生活中的統計
師：在日常生活中哪些問題可以用到今天所學的知識？
生答
師總結：的確，生活中有很多地方都能用到我們今天所學的知識。數學來源于生活，生活離不開數學，數學是為我們生活服務的，同學們，學好數學對我們的生活有很大的幫助。
1．進一步加深對統計工作重要性的認識．
2．進一步加深對求平均數問題數量關系的理解，熟練掌握解答方法．
3．學會分析統計表中包括的內容及各部分之間的關系，進一步掌握編制和檢查一個統計表的方法．
教學重點
本節課整理和復習平均數、統計表、統計圖三項內容．通過學習掌握平均數的數量關系、解題關鍵和方法，進一步明確統計表包括的內容及數量關系，掌握編制、填充、檢查統計表的方法．
教學難點
綜合運用已學過的知識，分析解答有關求平均數問題的應用題，編制和檢查統計表．
教學步驟
一、鋪墊孕伏．【演示課件“簡單的統計”】
1、教師提問導入．
同學們，記憶是智慧之母，你們誰的記憶最好呢？提個問題考考大家：在小學階段都學了哪些統計知識？都是在哪冊書上學的？
2、學生匯報．
在第十冊的第一單元學習了數據的收集和整理，求平均數；
在第十二冊的第四單元學習了統計表和統計圖．
二、歸納整理．
（一）加深對統計工作重要性的認識．
1、學生討論匯報．
2、教師說明：統計知識在生產、工作、科學研究等方面的應用非常廣泛．我們要認真學好統計知識，提高統計能力．
（二）整理復習求平均數．【繼續演示課件“簡單的統計”】
例1．某初級中學七個班的學生人數如下：
初中一年級：一班40人，二班38人；
初中二年級：一班40人，二班40人；
初中三年級：一班41人，二班38人，三班36人．
1、學生讀題，分析條件和問題．
2、獨立解答．
3、教師提問：在求一組數據的平均數時，必須先求出什么？
例1的平均數是按什么平均？
如果已知七個班的平均人數，求這七個班的總人數該怎樣計算？
4、啟發思考：求平均數的關鍵是什么？
關鍵：先求出一組數的總數量，再知道平均分成幾份．用總數量除以要分的總份數就等于平均數．
5、練習．
在一堆小麥中取樣五次，每次測得小麥的千粒重是：32克、34克、36克、35克、38克．這五次測得的小麥千粒重平均數是多少？
6、學生獨立解答例2．
振華小學六年級學生做玩具小熊．一班48人，共做267個；二班50人，共做292個；三班47人，每人做6個．六年級學生平均每人做多少個？
7、思考：結合兩道例題的解答過程，能試著概括出一個關系式嗎？
總數量÷總份數＝平均數
（三）整理和復習統計表．
1、指導看書．
2、教師提問：統計表中橫向有幾欄，縱向有幾欄，分別表示什么？
制作一個統計表，一般包括哪些內容？
3、分析統計表中各數據之間的關系，根據已填的數據，把空缺的數據填滿．
4、教師說明：統計表的內容是根據統計的實際需要而確定的．在編制和分析統計表時關鍵要弄清各欄目、各數量之間的關系．
5、練習．
（1）下面記錄的是某班女生1分鐘仰臥起坐測驗的成績（單位：次）
25333128133630293221
32292530192731352628
根據上面的成績填寫下表，再算出這班女生測驗的平均次數．
參加測驗人數：總次數：平均次數：
（2）下面是育新小學六年級兩個班學生上學期體育成績統計表．
①根據上表中的數據，回答下面的問題：
②兩個班各有多少人？（百分號前面保留一位小數）
（四）整理和復習統計圖．
1、指導看書．
下面的兩幅統計圖，反映了某市電子儀器一廠、二廠兩個方面的情況，請你看圖回答下面的問題．
（1）從折線統計圖中可以看出，哪個廠的產值增長的快？
（2）從條形統計圖中可以看出，哪個廠的工人人數多？哪個廠的技術人員多？
（3）你認為哪個廠的生產搞得好？為什么？
2、比較【繼續演示課件“簡單的統計”】
3、練習．下面是某班上學期美術成績統計表．
根據表中的數據制成條形統計圖．
三、全課小結．
這節課我們整理和復習了哪些內容？解答求平均數問題和編制統計圖表的關鍵是什么？
四、隨堂練習．
1、口述解答求平均數問題的關鍵和方法．
2、口述統計表包括的內容，檢驗統計表的方法．
3、口述統計圖的特點和作用．
五、布置作業．
1、甲乙兩港相距140千米．一艘輪船從甲港駛往乙港用了4.5小時，返回時因為逆水比去時多用了1小時，求這艘輪船往返的平均速度．
教學內容：四年級下冊第八單元第90、第91頁的內容。
教學目標：
1.在具體情境中，通過實踐操作和思考體會平均數的意義。
2.探索掌握求平均數的方法，體會解決問題策略的多樣化。
3.密切數學與生活的聯系，增強學生的應用意識，培養學生分析數據、發現問題的能力。
教學重點：理解平均數的實際意義，掌握求平均數的方法。
教學難點：理解平均數的實際意義。靈活運用平均數的相關知識解決簡單的實際問題?。
教學過程：
一、游戲激趣，引入新知
1.夾球比賽
舉行筷子夾球比賽，分男女兩隊，每隊3名隊員，在30秒內哪一隊得球總數最多，則那一組獲勝。
預設:
①男隊勝，老師加入女隊，繼續比賽，將進球個數計入女隊總數，讓女隊反敗為勝。
②女隊勝，再選一名男生加入男隊，繼續比賽，進球個數計入男隊總數，讓男隊反敗為勝。
2.引出“平均數”
人數不同，比總數不夠公平。
師：既然在人數不同的情況下，比總數不公平，那你們認為比什么比較公平呢？
引出“平均數”。（板書課題：平均數）
二、探究新知
（一）理解平均數的意義
1.體會“移多補少”的意義
黑板展示:小明、小紅、小芳、小麗的套圈數據統計圖
（1）提取信息
小明套中了6個，小紅套中了3個，小芳套中了5個，小麗套中了2個。
（2）合作探究，展示匯報
怎樣操作可以使每個人投中的個數都相等呢？
利用學習單，小組合作，動手操作。
（3）總結方法
師總結：在總數不變的前提下，把幾個原來不相同的數，通過移多的，補少的，得到了一個相同的數，這種方法叫做“移多補少”（取長補短）。（板書：移多補少）
師：那得到的這個相同的數，就叫做“平均數”，那這個4是哪幾個數的平均數呢？
預設生：4是6
、
5
、3
、2的平均數。
2．探究求“平均數”的計算方法（求和平分法）
（1）列式解答：
如果不用移多補少的方法，你能求出這個平均數嗎？
生自主列式，師巡視。
生匯報，師板書：（6+5+3+2）÷4
=16÷4
=4（個）
（2）提出疑問：
這個括號里面的式子求得是什么？除以的4又是什么？最后得到的4呢？
（3）總結方法
總數量除以總份數，就求出了它們的平均數。這種方法就叫做“求和平分法”。
3．理解平均數大小范圍
平均數4是不是表示他們4個人每人都套中了四個？
拿平均數與最大數和最小數進行比較，得出：平均數比最大數小、比最小數大。
（二）運用方法，解決問題
解決夾球比賽的問題
你能求出男隊和女隊的平均數各是多少嗎？（請生板演）
宣布獲勝隊伍。
三、應用拓展，鞏固提高
挑戰第一關：“判一判”
1.李強所在的小學籃球隊，隊員的平均身高是160厘米，所以李強的身高一定是160厘米。（
）
2.男生平均體重32千克，女生平均體重28千克。每個男生一定比每個女生重。
（
）
3.一個池塘的平均深度是130厘米，我身高135厘米，下水游泳一定不會有危險。（
）
（出示生活中有關平均數的知識，讓生體會生活中的數學，并聯系課堂給予安全提示）
挑戰第二關：“算一算”
平均數是多少？
4
5
6
4
4
7
1
12
2
師提問：你們有什么發現嗎？
挑戰第三關：“做一做”
下面是5位同學為災區小朋友的捐書情況。
姓名
楊欣宇
王波
劉真堯
馬麗
唐小東
本數
8
6
9
8
4
平均每人捐了幾本？
四、生活中的數學
課件出示：
1.一次數學測試，四年級的平均分是88.3分。
2.某校老師的平均年齡是33歲。。
3.我校四年級學生的平均年齡是10周歲。
4.某校四（1）班學生的平均身高是135cm。
5.張老師家去年平均每月用電85千瓦時。
6.富陽地區六月份最高平均氣溫30攝氏度。
五、課堂總結
師：今天我們學習了—-平均數，你對平均數有什么收獲？
你想用平均數做點什么？
六、作業、
完成練十二1、
2、3題。
七、板書設計：
平均數
移多補少
相同的數
求和平分法
總數量÷總份數=平均數
（
6+3+5+2）÷4
2.用有價值的數學——多樣化
在多樣化中學，在體現個性中學。從“算法多樣化”到“群體多樣化”到“算法個性化”。
教學目標： 知識與能力：
(1)認識“平均數”的意義，理解“平均數”的概念，能對數據分析結果作出簡單的推斷和預測。
過程與方法：
(2)探索求“平均數”的多種方法，鼓勵解決問題策略的多樣化。
情感、態度與價值觀：
(3)體會“平均數”在現實生活中的實際意義及廣泛應用，感受自主探索的樂趣，培養合作交流的積極情感。
教學準備： (1)學習了簡單的統計初步知識后，小組成員分工調查，收集數據。(小組成員的體重，家庭近幾個月用電、電話費支出情況，一周氣溫變化情況等)
(2)教具、學具準備：多媒體課件、小棒、計算器。
教學重難點 (1)重點：平均數的計算方法。
(2)難點：引導學生概括平均數的意義與計算方法的特點。
教學過程：
(1)講述：同學們，這兒有3個玻璃杯，分別裝有2，4，9枝小棒。
(2)問：在不增加或減少小棒的前提下，你們有辦法使每個杯子里的小棒同樣多嗎?先動手移移看，再在小組內介紹你的做法，比比看，哪個小組想出的方法多?
(3)學生活動，小組討論，學生匯報。
(4)小結學生發言：
A：在這位同學移動小棒的過程中，是從個數多的9根小棒中，拿出幾根，移到個數少的杯子，這種方法誰能給它取個名字?(板書：移多補少)
B：這位同學先把所有的小棒合并起來，數數共有15根，再把它們平均分成三份，每個杯子里放入了5根。這種方法叫做“先合并，再平分”。(板書“先合并再平分”)
教材的準備題是讓學生移動“3，5，7”根小棒，在以往的教學中，學生很快就能將“7根”中的兩根移到“3根”中去，對“先合并再平分”不是很能理解，同時就有這樣的潛意識，“平均數就是中間的哪個數”。改成“2，4，9”后，學生想出的方法多了，對平均數的概念也有了較深的體悟。
討論理解含義：
(1)小練習：2，4，9的平均數是 ;3，5，7的平均數是 ;6，14， 7的平均數是 ;4，8，6，10的平均數是 。
(2)討論：
A：不要動手操作，你能很快算出他們的平均數?
B：剛才求出的平均數都是用什么方法做的?前三組與第四組有什么不同?
C：觀察第一組，它的平均數是5，這個平均數與這組這組中的三個數比較一下，你發現了什么?
D小結：
平均數都比這組數據中的最大數(小)，比最小數(大)。
我們來驗證一下其它三組，是不是有這樣的特點?
(3)小結：我們可以說平均數一定介于最大數與最小數之間。 教學設計應從學生的角度出發而不是從教師自身的角度出發。平均數的概念雖然學生能夠直觀地理解，但要是清清楚楚地表達出平均數的特點學生就困難較大。在教學中，教者只要求學生通過具體的例子明白平均數的意義即可。
讓學生通過“2，4，9的平均數”這個例子發現 “平均數介于最大數與最小數”之間這個特點，再用其他例子來驗證結論，使學生直觀地理解。
初
步
應用
，
內化拓展 教 學 流 程 設 計 意 圖
(1)導入：學了平均數后，你想解決生活中的哪些平均數問題嗎?(引導求體重、身高等問題)
(2)出示例2：
A：先估計一下平均體重大約是多少?同學們的估計都在哪個范圍?(比21大，比41小)對，平均數一定介于最大數與最小數之間。
B：算一算，比較一下估計準不準，誰先算好自己上來寫到黑板上。(學生板演)
C：你們是采用什么方法算出平均體重的?
(3)完成教材中的練習。
讓學生自己完成教材例2的學習，同時再次驗證平均數的特點。進行一些相應的鞏固練習，強化求平均數的一般方法。自學是在學生已有的能力基礎上進行的，有利于學生自主地進行探究學習，培養了學生發現、解決問題的能力。
1.應用一
(1)導入：課前，老師讓大家做了一些調查，
制作了一些統計表。從這些表中你們獲得了哪些信息?學了今天的內容，你能給這張統計表中再增加一項嗎?(平均～)
A 小組活動：拿出準備好的調查表，先用計算器求出平均數，再互相交流看法與觀點。
B 交流反饋。
師：看了兩(三)組平均體重數據有何啟發?
師：請同學們預測下個月電話費、用電費情況，預測下周氣溫情況。并說明理由。
(2)小結：日常生活中處處都有數學，只要我們多留意，我們的數學本領就會越來越棒。
將統計表的運用引入到本課的教學中，通過讓學生先觀察表格找到獲得的信息，再聯系今天學習的內容，延伸到平均數，使學生的思維連貫起來。同時對統計和計算的結果進行預測，體現了數學來于
生活，用于生活的理念。
2.應用二
講述：看，一匹小馬要到河對岸去，來到河邊，沒有小橋過河，看來只能淌水過河。它能安全地到達河對岸嗎?(出示條件：小馬身高200厘米，平均水深180厘米)我們就來開個小小爭辯會，看看最終小馬能過河嗎?
小結：經過激烈的爭辯，大家都明白了其中的道理。平均數180厘米并不代表實際每個地方都是一樣的，我們在對待實際問題時就應該根據實際情況分別對待。 本題是為了強化學生對平均數特點的理解。問題設計具有開放性，答案是多樣的，使學生的思維得以拓展。
教 學 流 程 設 計 意 圖
3.應用三
(1)導入：：這是某小學“校園小歌星”歌唱比賽中某位同學的得分情況。出示請用計算器幫這位小選手算算最后得分。
(2)大部分學生：最后得分(84+70+88+94+82+86)÷ 6=84(分)。(表示贊同)
(3)電腦報答案：85分 學生產生疑問，動腦筋想這是為什么?
(4)師：這種求平均數的方法，你有沒有在哪里見過?(奧運會、電視比賽等)為了使比賽更公平，通常在比賽中采用這種方法求平均數。
鼓勵學生積極思考，互相交流，互相說服;而且強調了求平均數時要注意“份數”要隨著具體情況來確定。
簡要評析：
一、注重生活情境創設
精彩的課堂離不開精巧開放的預設，如果沒有需要學生跳一跳才能摘到的果子的開放性設計，就不利于學生探究精神和合作精神的培養。內化拓展中三個系列應用的設計，不斷向學生提供現實且富有挑戰的學習內容，培養了學生從身邊的生活中發現問題的能力，讓學生在相互啟發中拓展思維，激發不同層面學生的成功體驗。
二、注重開發課程資源
“用教材教”，而不是“教教材”。“教材內容能否達成教學目標?哪些數學知識的素材不夠充分需要補充?”這些都是我們在教學前需要思考的問題，一味地“教教材”，不僅完成不了教學任務，還混淆了學生的認知。準備題的適當調整，平均數概念的引入，我都大膽地做了“改革”，這也使課堂教學內容真正為學生的學習服務。
三、注重引導自主探究
“從學生的實際情況看怎樣定位比較恰當?怎樣讓學生輕松體悟數學概念?”我在教學前比較多的思考了這兩個問題，是過分強調概念的教學，還是讓學生自主掌握概念的內涵，是我在教學設計中比較多花了心思。教學設計應從學生的角度出發而不是從教師自身的角度出發，給學生自主探索的空間，為學生營造寬松和諧的氛圍，讓他們學的更輕松、更主動。
認知負荷理論要求教學設計充分考慮到工作記憶的容量限制，以降低學生的外在認知負荷并適當增加相關認知負荷[45].我國當前有關教學設計的研究大多從教師的“教”入手，致力于“有效地教”的理論建構與現實踐行，卻在一定程度上有意或無意地忽視了“有效地學”[6].課堂的教學效果體現在學生學得怎么樣，而不是教師教得多精彩.教師在進行教學設計時忽略了學生的認知能力，在對知識的整體把握和呈現方式等方面增加了學生的認知負荷.在已有研究的基礎上，以不等式鏈為例，基于認知負荷理論進行教學設計，以最大程度降低學生的認知負荷，幫助學生加深對不等式鏈的理解，建構知識體系.
1 認知負荷理論
人類只能監控工作記憶中的內容，其他所有認知內容除非進入工作記憶，否則均是隱形的，但工作記憶容量十分有限，大概一次能保存七項信息.由于工作記憶常用于處理信息，導致其只能同時處理兩到三個信息項[7].為保證學習效果，需要加工的信息總量應控制在記憶系統的容量內.當解決①α=30°|sinα；②α=15°|sinα兩個問題時，在工作記憶中需要加工和存儲的信息總量存在差異.Sweller等人將工作記憶在完成任務過程中需要加工和存儲信息的全部數量稱為認知負荷[8].
在信息加工和存儲過程中，施加的認知負荷取決于材料的內在本質（內在認知負荷）、材料的呈現方式（外在認知負荷）以及工作記憶在對學習任務進行建構或自動化的過程中承受的負荷（相關認知負荷）[45].由于內在認知負荷是被處理材料的固有屬性，它不能通過教學設計進行修改.良好的教學設計應考慮降低學生的外在認知負荷并適當增加學生的相關認知負荷.
2 “二元均值不等式鏈”教學設計
不等式鏈是“人教版”高中數學選修45中基本不等式的拓展內容，作為正數的調和平均數、幾何平均數、算術平均數與平方平均數的大小關系，對學生不等式的學習具有重要意義，有助于學生形成良好的知識體系.但不等式鏈的形式復雜，是學生學習的難點.在進行教學設計時，新舊知識是否建立聯系、課件中教學內容的呈現是否簡潔、教師的教學言語是否恰當等都會影響學生的認知負荷.在充分考慮以上因素的情況下，進行如下的不等式鏈教學設計.
2.1 教學內容處理設計
將不等式鏈的代數形式（如圖1）與幾何形式（如圖2）相結合，考慮到新舊知識之間的聯系，選用切割線定理模型，進行教學設計.采用合作探究，建構模型的教學方式，培養學生分析問題和解決問題的能力.
在不等式鏈的教學設計中，通過幾何表征和代數表征講解不等式鏈可以使學習者更深入地理解其復雜的結構特征，并促進學生將該知識應用于幾何領域，因為每種表征方式都為學生提供了獨特的視角.
2.2 教學過程設計
⑴ 在復習基本不等式與切割線定理的基礎上，教師引導學生進行小組合作探究建構不等式ab
當講授不等式鏈這個內容時，學生需要理解不等式鏈涉及的四個平均數之間的復雜關系，學生的內在認知負荷較高.在這種情況下，建立新舊知識間的聯系是降低學生認知負荷總量的前提，否則，認知負荷總量可能超過工作記憶的容量，阻礙學生學習.教師引導學生建構簡單模型，使不等式鏈與基本不等式的知識聯系起來，培養學生合作探究，數學建模的能力.
⑵以學生小組探究建構的不等式ab
教學內容上，對已得到的幾何模型進行深入探究，避免由于引入新模型，增加學生額外的工作記憶負荷.呈現形式上，采用①②③④標識線段，改變以往利用大寫字母標識線段的方式，避免在圖形搜索過程中，學生的工作記憶系統需要保持的文字或符號信息過多，引起較大的外在認知負荷，降低學習效率.
⑶在得知線段①②數學表達式分別為ab、a+b2的情況下，教師引導學生探究線段③④的表達式.首先簡化已有模型，只呈現與目標線段直接相關的內容，其余內容隱去.其次將已知線段的表達式標記在圖形中，學生通過觀察，利用射影定理可得出線段③的數學表達式為aba+b2.教師引導學生對aba+b2進行變形，并指出21a+1b為正數a、b的調和平均數，線段④的表達式a2+b22為正數a、b的平方平均數.
在已知線段①②表達式的基礎上，欲求線段③④的數學表達式.學生已經了解原模型的形狀，在計算線段③④的過程中，將原模型中的圓形、部分線段隱去，簡化成三角形，以降低學生的外在認知負荷.此時，學生很容易發現三角形中蘊含的解決問題的信息，提高課堂教學的效率.
圖10⑷在得出不等式鏈的基礎上（圖10），教師進行語言表述“基本不等式滿足當且僅當a=b時，③=①=②=④.”
設計意圖 通過簡單的課件呈現輔助語言表述，可以避免屏幕上顯示文本與語言表述的重復，否則，學生將在工作記憶中對相同內容進行兩次處理.這種重復處理的過程可能中斷工作記憶中有益的認知過程.利用基本不等式的典型特征類比不等式鏈，引導學生從代數角度進一步猜想并證明，培養學生分析問題、解決問題的能力.
3 “不等式鏈”教學設計中體現的設計策略
為降低學生的認知負荷，在二元均值不等式鏈教學設計中，體現了以下教學設計策略：
3.1 多元表征教學內容
在講解某數學知識時，嘗試以幾何、代數、函數、向量、統計、方程等不同的形式進行處理.這體現了認知負荷理論的多元表征原則，即自然科學的大多數領域中，信息可以通過圖形、表格、文本或公式等不同的表示形式來呈現，以增加相關認知負荷，有助于學生理解知識.
教師在進行教學設計時，要以多種方式表征同一知識點，使知識成為學習者思維導圖中的一點，而不是單獨的知識片段，幫助學生形成良好的知識體系.同時，將知識以不同的形式表達，可以使學生從不同角度認識知識，深入理解其內涵.
3.2 建立新舊知識的聯系
在講解某數學知識時，要設法將其與已有知識聯系起來進行教學設計，以防止給學生施加過高的認知負荷.這體現出認知負荷理論的相鄰性原則，即在時間或空間上呈現意義相鄰的內容，以增加相關認知負荷，提高教學的有效性.
教師在進行教學設計處理教學內容時，要設法在學生已有知識的基礎上架起通向新知的橋梁，達到知識的同化與順應，以幫助學生形成良好的知識體系.
3.3 減少全新信息源的引入
教學設計中各信息源之間要具有聯系，減少全新信息源的引入，避免認知負荷的提高.這體現了認知負荷理論的分散注意原則，即在進行教學設計時，要避免學習者將注意力分散在多個信息源上，減少學習者在心理上對不必要內容的整合，以降低外在認知負荷，提高學習效率.
教師在進行教學設計時，要避免過多地引入新問題，可以就一個問題由淺入深地進行探究，這樣可以減少學生對新問題的再整合過程，降低外在認知負荷.
3.4 減少圖形搜索過程
在進行幾何圖形相關的教學設計時，要減少字母的應用，盡量采用“符號標識+語言引導”的形式組織教學.這體現認知負荷理論的形式化原則，即當借助多媒體解釋問題時，信息應以聽覺材料輔助直觀的視覺材料進行呈現，以降低外在認知負荷，提高課堂學習效率.
圖12例如在不等式鏈的教學設計中，同一問題可以有多種呈現方式.圖11，學生對線段（AD、DN等）的搜索時間是影響學生學習效率的一個重要因素.圖形搜索過程中工作記憶系統需要保持文字或符號信息，從而引起較大的外在認知負荷.而圖12的呈現方式，教師利用簡單的言語表述就可以引導學生對四條線段進行計算.
3.5 簡潔呈現教學內容
在對課件進行設計時，將無關內容隱去，簡潔呈現，突出重點.例如在均值不等式鏈的教學設計中，將原模型簡化為三角形進行講解體現這一策略.這體現出認知負荷理論的相干性原則，即在借助多媒體解釋內容時，應當包含較少的無關文本和聲音，降低外在認知負荷，有利于學生理解教學內容.
在進行教學設計時，不相干的圖片、聲音或音樂等內容，都會增加學生的認知負荷，進而影響學生的學習.簡單地說，在設計利用多媒體呈現教學內容時，簡單的材料比復雜的修飾材料學習效果好.
3.6 注重語言引導
一、精挑細選“種子”，進行教材選擇加工
哪怕勒緊腰帶，哪怕走痛雙腳，農民也要千方百計地挑選良種。教師也應像農民精選種子那樣精選復習內容，從學生的視角對教材進行選擇、加工、制造，令孩子們難忘，讓孩子們受用。
例如在教學“平均數的整理和復習”一課時，我設計了符合學生生活實際的求平均身高的情境，對小學階段的平均數知識進行了系統整理。
第一步：考考學生的眼力，估計班級中兩位同學的身高，并計算出他們的平均身高。引出求平均數的一般方法，即：平均數＝總數÷總份數。
第二步：老師加入兩位同學中間，讓學生估計三個人的平均身高的范圍。引出平均數的范圍在最大數和最小數之間，即：最小數＜平均數＜最大數。
第三步：事先選定身高分別是140厘米、150厘米和160厘米的三個人，讓學生計算他們的平均身高，并思考計算以外的其他方法，學生在觀察數據的特點后，很容易就想到了“移多補少”的方法。
第四步：比較兩個算式，同樣是求平均身高，在計算方法上有什么不同？在比較中，學生進一步明確：總數和總份數必須是對應的。
這樣，從學生熟悉的生活實際入手，精心又創造性地組織教材，引導學生進入探索的空間。從估計身高到求兩位同學的平均身高，又到估計加入老師以后三個人的平均數的范圍，乃至求三個人的平均身高，引起了學生極大的探究欲望，他們置身于積極主動參與學習的氛圍中，對平均數的相關知識點的整理和復習一氣呵成，構建了完整的知識體系，為小學階段的平均數知識畫上了完整的句號。
二、精耕細作“土地”，喚起學生挑戰熱情
再優良的種子，在未經耕作的土地里也難以生長。我們應像農民精耕細翻那樣精心設計問題情境，喚起學生挑戰自我的激情。
例如在復習“圓”這一內容時，我打破了書本安排的復習步驟，進行了這樣的教學：
（出示了一個半徑是3厘米和一個直徑是4厘米的圓）
師：看了這兩個圓，你們獲取了什么信息？能計算出它們的周長和面積嗎？
（請男、女生分別計算大圓和小圓的周長和面積。）男生：大圓的周長是3.14×3×2=18.84cm，面積是3.14×3×3=28.26cm2；女生：小圓的周長是3.14×2×2=12.56cm，面積是3.14×2×2=12.56 cm2。
師：如果把這兩個圓合并，（課件出示環形圖）認識這個圖形嗎？會計算陰影部分的面積嗎？
生1：我知道環形的面積計算公式為3.14×（R2-r2）列式為：3.14×（32-22）=15.7cm2。
生2：我用大圓面積減去小圓面積，列式為：3.14×3×3-3.14×2×2=15.7cm2。
師：第一位同學直接利用環形面積計算公式來算，第二位同學用大圓面積減去小圓面積，實際上這兩種方法的本質是一樣的，都是用大圓面積減去小圓面積。還有別的方法嗎？
生3：28.26-12.56=15.7cm2。
師：在這些方法中，哪一種最為簡單，為什么？（生表示第3種）
小結：我們應該具體問題具體分析，而不能死套公式，像這一題，可以用已知的知識來解決。
師出示第3幅圖：
師：現在陰影部分的面積又是多少呢？
生：還是15.7cm2，因為跟剛才陰影部分一樣大。
再次出示：那現在呢？
生：還是不變。
師小結：也就是說，只要小圓在大圓里面，無論小圓的位置怎么變，陰影部分雖然形狀變了，但大小不變。
《數學課程標準》指出：數學學習內容應當是現實的、有意義、富有挑戰性的，這些內容要有利于學生主動地進行觀察、實驗、猜測、推理與交流等數學活動。這就要求教師在教學中必須引導、鼓勵學生進行猜想、驗證。鼓勵學生猜想有著重要的意義--有利于激發學生的學習興趣；有利于理解和掌握數學知識；有利于培養學生的創造性思維和創新意識。因此，教學時我們應提供給學生猜想的機會，以促進學生思維的發展。
一、在"導入"中引發猜想
猜想，通常運用于導入新課階段，因為這個階段的猜想能夠很快地扣住學生的心弦，使其情緒高漲，思維活躍，產生良好的學習動機，從而步入學習的最佳境地，使課堂煥發出生命的活力。在新課伊始引發猜想不僅可以激發求知欲望，而且可以發現一些新的結論。
如一位教師在教學"噸的認識"這節課時，創設了這樣的情境：牛、熊、馬、鹿一起云參加動物運動會，當它們走到一座小橋邊的時候發現橋頭立著一塊牌子，上面寫著"限重1噸"。這時讓學生猜一猜，它們能過橋嗎？該怎么過橋呢？這樣教學，教師引導學生將注意力轉向"噸"這個新的知識點，激發起學生學習了解有關噸的知識的欲望。這樣在"導入"中引發猜想，既體現了趣味性，激發起學生學習的興趣，又展示了其中的數學味，達到做數學的目的。通過猜想，達到數學的目的。通過猜想，啟動學生思維的閘門，使其思維處于亢奮狀態。
二、在"新授"中萌發猜想
學生進行數學猜想是對數學問題的主動探索，這一主動性在新知探究環工中尤為珍貴！教師要積極鼓勵學生開闊思維，給學生營造一種寬松和諧的良好猜想氛圍，不限制學生思維疆域，鼓勵學生積極地尋找猜想的依據，調動學生的學習積極性、主動性，通過自己的實踐來檢驗猜想的真偽。
如教學"兩位數加一位數的進位加法"時，有一位教師創設了這樣的情境：（多媒體課件出示）森林公園要舉行一次隆重的聯歡會，小動物們都忙著做準備工作，小豬也高興地接到了一個任務：算一算給客人的飼料夠不夠。可是到了那里，小豬卻哇哇大哭起來，這是怎么回事呢？我們一起云看看吧。（多媒體課件出示）桌上放著9瓶礦泉水，地上有一箱礦泉水。來了33個客人，每人一瓶夠嗎？先讓學生猜一猜是否夠分，再引導學生進行解答，若一箱是12瓶裝的礦泉水，就不夠分。還應該怎么辦？若一箱是24瓶裝的礦泉水，就夠分。這樣教學，在"新授"中萌發猜想，能使學生的大腦思維置于"覺醒狀態"，學生的各種感官被充分激活，他們的注意力更集中，思維更敏捷、高效。
三、在"活動"中誘發猜想
在學生學習數學知識過程中輥入"猜想"這一催化劑，可以促進學生多角度思維，通過學生一系列的自主猜想，誘發了踴躍思維，加快大腦中表象形成的速度，從而抓信事物的本質特征，加快知識形成的進程。
如在教學"可能性大小"時，先出示課本主題圖（裝有4個黃球、1個白球。）問：若從中摸出一個球，猜一猜可能是什么顏色的球。然后以小組形式開展活動，一人摸球，一人記錄，4人監督。并出示活動要求；每人每次任意摸出1個球，記錄員記錄摸的顏色，再把球放回口袋搖一搖，再繼續摸，摸球時不能偷看，要誠實。每個小組共摸20次（用"正）字法記錄。活動后，各組進行匯報，教師進行匯總后再制成表格，最后引導學生進行觀察、分析、比較，發現可能性大小的規律。這樣通過組織學生開展摸球活動，逐步讓學生體驗到因為口袋里的黃球多，所以摸出黃球的可能性就大，因為口袋里的白球少，所以摸出乒乓球的可能性就小。這樣教學，讓學生在動手操作中體驗知識的形成過程，從而理解與掌握所學知識。
四、在"鞏固"中激發猜想
充分發揮學生潛能是當今教育研究的重點，因此教師要采取多種手段激活學生學習的內驅力，疏通學生潛能涌動的渠道，以求迸出創新的火花，而知識鞏固階段無穎是學生潛能發揮的最佳環節。此時，有效利用猜想，讓學生用猜想的結論去解決實際問題，使學生已有的知識得到鞏固、深化和發展，也培養學生運用知識的能力。
如一位教師在教學"平均數"一節課時，能進行""幾個數的平均數"的計算，但對平均數的認識還停留在感性的水平，特別是對平均數的性質認識，需要進一步的探究活動。于是，教師提出了一個挑戰性的問題："一條小河平均深1.米，一位身高1.7米的年輕人能夠順利通過這條小河嗎？"讓學生先猜一猜是否會有危險，再說一說為什么。生1：若這個人會游泳，過河是沒有危險的。生2：若這個人不會游泳，過河是有危險的，河度有的較深有的較淺。生3：若這個人不會游泳，過河可能也沒有危險，河底較平，大約深1.2米等等。然后引導學生用一些數據來說明，最后把平均數與這些數據進行比較，從中又發現了什么？這樣教學，學生在獨立思考、小組合作交流之后，對平均數的概念有了進一步的理解，許多學生能夠發現"平均數一定小于這組數中的最大數，一定大于這組數中的最小數"這一規律。
五、在"總結"中拓展猜想
關鍵詞：小學數學；應用題教學；新課程
數學教學改革是課程改革系統工程中的中心環節之一。隨著全國新一輪基礎教育課程改革的推進，如何在新課程理念的指導下改革小學數學課堂教學，把先進的教學理念融入到日常的教學行為之中，已日益成為廣大小學數學教師和教學研究人員關注和探討的熱點問題。《數學課程標準》（實驗稿）（以下簡稱《標準》）在總體目標中指出：要使學生體會數學與自然及人類社會的密切聯系，了解數學的價值，增進對數學的理解和學好數學的信心。這是進行應用題教學改革的指導思想。
一、當前小學數學應用題教學中存在的問題及原因分析
當前應用題教學，許多老師在教育教學方式上追求“花樣百出”，尤其是一些作為樣板，起著示范作用的公開課，注重課堂的形式，忽視數學的實質。
（一）情境創設過度
“創設情境”成為當前數學教師煞費苦心的一件事。老師們在賽課或上公開課時，如果沒有創設情境，都會擔心聽課者會怎么評價這節課，總是挖空心思去思考。創設生動有趣的情境，使得課堂更有活力了，但有的老師忽視情境創設的目的，不管是什么內容，片面追求情境，甚至把購物作為必不可少的情景，脫離了教學內容和教學的目標。
（二）教材把握不準
新教材常將應用題作為第一情境，但在實際教學中，有些老師僅僅把“第一情境”作為一種“導入”手段，或作為一塊“敲門磚”。不能很好地把握應用題在學生構建數學模型過程中的作用，有些老師只要活動的過程，不去引導學生構建數學模型，其結果是學生的每一次活動都只是一個孤立的“個案”，沒有及時加以必要的 “梳理”與“整合”，沒有通過問題情境，引導學生探索并構建數學模型。
（三）對傳統的全盤否定
新課程實施后，教師的教學的理念發生了重大的轉變，但對傳統教學的精華,許多老師全盤否定，教學往往另起爐灶。有些老師在研讀教材，設計方案時目標把握不準；有些老師不敢把傳統課堂中的精華運用到自己的課中，特別是上公開課，怕別人說自己理念落后，在實踐中失去自我，這實際上是對新課改的褻瀆。
反思應用題教學，傳統應用題教學有許多值得繼承的亮點。強調學生認真審題，重視應用題數量關系的分析；特別注意訓練學生分析應用題中已知量與未知量，已知量與未知量之間存在的相依關系，把數量關系從應用題中抽象出來。在傳統應用題教學中以指導思考方法為重點，讓學生掌握解答應用題的基本規律，形成正確的解題思路。如采用對應的思想方法、比較、逆向思考、變式等，都是值得繼承的。正如現代教育學家波利亞說：“學習任何知識最佳的途徑都是由自己去發現，因為這種發現最深刻，也最容易掌握其中內在規律性質和聯系。”
當然，傳統的小學數學應用題課堂教學也存在的不少問題。在處理教材上，教師的主導作用沒有得到充分發揮，教師過分地迷信教材。受凱洛夫《教育學》的影響，課堂教學環節固定。往往是單向的靜聽式，過分強調教師的主導作用和學生之間的競爭性，學生的學習方式主要體現個體性，信息交流處在一種不暢通的狀態。學生缺乏自主探索，合作學習，獨立獲取知識的機會；在問題的設計上，缺乏思考價值，阻礙了學生思維獨立性與創造性。
二、新課標對應用題的要求
《標準》的“實踐與綜合應用”領域（筆者用“應用題”這個詞表述），是《標準》的一個特色。對這部分內容的總體要求是：幫助學生綜合運用已有的知識和經驗，經過自主探索和合作交流，解決與生活經驗密切聯系的、具有一定挑戰性和綜合性的問題，以發展他們解決問題的能力，加深對“數與代數”、“空間與圖形”、“統計與概率”內容的理解，體會各部分內容之間的聯系。
可以看出應用題教學的教育價值定位應更加準確，教育理念應更加明確，呈現形式應更加靈活。更側重于培養學生的應用意識、問題意識、探索能力和創新能力，從而使知識和能力，情感和態度的教育目標溶于一體，相得益彰，為個性化的的人格教育創造良好的環境。新課程對應用題的編排（要求）有如下特點：
（一）應用題學習的目的主要不再是學會解題，而更多地體現出作為數學學習的一種方式和工具。
應用題教學功能的轉變決定了它在新課程體系中會有全新的面貌。《標準》倡導的“問題情境——建立模型——解釋、應用與拓展”的“問題解決”式學習模式，數學知識的呈現形式更多地以“原型——模型——應用”的方式出現，“應用題”將成為其中“原型”和“應用”的主要角色。這意味著應用題在數學中的角色將發生變化。
（二）題材范圍從四則運算應用轉向多種知識融合
應用題的內容涉及到“數與代數”、“空間與圖形”、“統計與概率”的每一個方面，涉及到概念建立、計算應用、法則推導、性質理解等等，成為各部分知識有機聯系的融合劑，改變了過去應用題相對獨立的知識體系和相對孤立的教學過程。
（三）題型從純文字、標準格式變得更豐富生動
呈現方式除了文字式的，還有情景性的，拓寬了問題的結構空間。如：王大爺在菜場買了2千克雞蛋，如果剩下的錢還夠他買3.5千克茄子，他一共帶了多少錢？如果他帶了22元錢，那么剩下的錢還夠他買多少千克扁豆？（情境圖中呈現雞蛋、茄子、扁豆的價錢）題目不一定是結構良好的，情景可能是復雜的，數據需要取舍，解決模式可能不唯一，答案可以不相同。如：全球通月租費50元,通話費0.4元∕分；神州行通話費0.6元∕分，不付月租費。入什么網經濟實惠？為什么？
（四）教學模式從重視結果到重視過程
將“應用題”教學納入一般“問題解決”教學模式，形成由學生自主探索、嘗試、發現與建構的過程，真正體現“應用”性。尤其要重視培養學生對信息材料的處理能力和數學模型建立。同時允許學生個性化地學習，學同一道應用題，可以是一個問題解決的過程，也可以僅僅是一種習題的練習；解題的過程可以是探索性的嘗試、發現與解決的活動，也可以只是同一種策略、方法、思考，甚至是手段的重復活動；鼓勵直覺、猜想、預測、合情推理。
三、課標下小學數學應用題教學新策略
“應用題”這種題型不可能從小學數學中消亡，教師更不應該不敢提“應用題”這一名稱。應用題教學的許多優良傳統依然必須繼承。比如，引導學生認真分析生活情境中的數學因素，發現數學問題的主要矛盾，分析數學問題中的內在聯系，以及學會一些構建數學模型的具體方法等等，這些都可以成為小學數學課改時，老師引導學生去“自主地從實際問題情境中探索隱含的數學模型，然后試圖去解決的學習過程，體現數學化的過程”值得繼承的好辦法。“問題情境――建立模型――解釋應用與拓展”。恰恰是“建立模型”這個重要階段，在課堂教學過程中被“弱化”，甚至忽視了引導學生構建數學模型。筆者結合新課程人教版教材談談在今后的應用題教學中應當注意幾點。
（一）情境創設要實用
新課程實施過程中，有不少專家呼吁數學課堂要扎實、有效，不能一味的追求情境的新奇，片面的追求出奇制勝。“實用”既指素材在教學中實用，又指素材要讓學生感受到數學與生活的聯系，是現實的、有意義的。在教學時，可以根據實際情況，給學生提供一些反映周圍世界真實情況的問題情境。讓學生通過討論，怎樣比較兩組的口算成績，知道人數不同不好直接比總數，產生該怎么比的問題，切入新課。學生很快進入學習狀態，從學生身邊熟悉的事例作導入，學生容易理解，時間省，效果好。
（二）教材把握要準確
新課程教材把應用題分散編排，不同年段有不同要求，不同內容下的應用題又有不同的編排意圖。比如三年級的“平均數”是編排在“統計”這一節，作為統計中的一個重要概念。改變傳統的平均數教學的模式化的要求，不再片面強調“總數量÷總份數＝平均數”，而是強調平均數的應用價值，體現平均數在統計學上的意義和作用。平均數作為反映一組數據的集中趨勢的量數，是統計中應用最普遍的概念，它既可以描述一組數據本身的總體情況，也可以作為不同組數據比較的一個指標，教學時要注意體現這一點。在教學中可以這樣處理：
教師讓學生說說對“本屆國家青年男子籃球隊隊員平均身高2米，最高的隊員蘇偉身高2.12米。姚明04～05賽季平均每場得分18.5分，05～06賽季平均每場得分21.8分。……”的理解。特別是“姚明04～05賽季平均每場得分18.5分。05～06賽季平均每場得分21.8分。”說明什么？學生回答姚明并不是每場都得18.5分或21.8分；姚明今年的平均成績比去年好，球越打越好了。教師適時的指出：姚明今年的平均成績比去年好，這個“平均數” 可以反映一組數據的總體情況。在對不同的生活事例的解釋中，讓學生感悟“平均數”，利用探究的知識，解決生活中的實際事例的過程，加深對“平均數”的理解。
（三）優良傳統要繼承
引導學生認真分析生活情境中的數學因素，發現數學問題的主要矛盾，分析數學問題中的內在聯系，以及學會一些構建數學模型的具體方法等等，都可以成為小學數學課改時，老師引導學生去“自主地從實際問題情境中探索隱含的數學模型，然后試圖去解決的學習過程，體現數學化的過程”值得傳承的好辦法。應用題的傳統教學的線段圖法，分析法，綜合法等，在具體的問題解決過程中，各種方法是相互滲透，相互儲存的，借助于圖形、圖表、多媒體演示等策略，來幫助解題。合理運用聯系、分析、想象等基本解題策略有助于培養學生的解題能力，是一種具有廣泛遷移性的解任何題都需具備的能力，是一種終生受用的本領。
比如：“平均數”教學中，學生對平均數的理解，可以這樣展開：教師課件出示三堆不等的積木（2塊、7塊、3塊），問：要使每堆的積木相等，你有哪些辦法？學生展開討論后，回答：把多的移到少的地方，也可以把三堆合起來再分。教師根據學生回答課件演示，方法一是把第2堆移2塊到第一堆，移1塊到第3堆，每堆 4塊。讓學生仔細觀察移的過程，然后指出這個4就是2、7、3這三個數的平均數。再讓學生說說7、8、9的平均數是多少，你是怎么想的。暴露學生的思維，體現“平均數”移多補少的本源；同時數形結合，把“形”的操作過程過度到“數”的思考過程。方法二也根據學生的回答進行操作，再讓學生用式子把過程表示出來，體會平均數的作用，理解平均數的計算方法。
參考文獻：
1．【美】波利亞：《怎樣解題——數學教學法的新面貌》，上海科技教育出版社，2002年版。
2．朱小蔓：《對策與建議：2004-2005年度教育熱點、難點問題分析》，教育科學出版社，2005年10月。
3．竇盼英：《新課程小學數學教學法的研究與實施》，國防工業出版社，2006年1月。
隨著科學技術和數學的不斷發展，小學教學內容的不斷更新，比較先進的教學內容代替了陳舊的教學內容，這是自然科學發展的客觀規律。而先進的教學內容，表現在比原來的教學內容能解決更廣泛的實際問題，且解決實際問題的方法更為簡捷。主要表現在以下幾點：
1由重知識傳授向重學生發展轉變
如在教學《求平均數問題》這一內容時，教師首先讓學生評價自己的表現，給老師打分，讓學生自主建構知識解決問題。更妙的是教師營造了一個寬松的學習場，放手讓學生對教師“品頭論足”評價形式來求平均數。這樣，使學生在現實、直觀中輕松、愉快的理解求平均數的含義。
2關注個性差異，滿足不同學生的學習要求
在一個班集體中，幾十個學生的數學思維水平是參差不齊的。在教學“兩位數減一位數的退位減法”一課時，如12-9，先組織學生獨立思考，用自己的方法計算結果。對略有困難的學生，允許他們用學具擺一擺，再計算。為了使學生掌握十幾減幾的一般計算方法，教師制作的教學課件，設計學生用的學具是別具匠心的。在教學12-9時，教師給學生準備的學具是10張紅旗。2張白旗。當學生要計算出12-9的結果時，由于受顏色的誘導，很自然從10張紅旗中拿出9張，剩下1張紅旗和2張白旗合起來為12-9的結果。通過學生操作有結構特點的，能幫助學生解題的學具，使學生能很快理解用"破十法"的計算算理，并能應用它來正確計算十幾減幾的減法。
3鼓勵算法多樣化
由于學生生活背景和思考角度不同，所使用的方法必然是多樣的，教師應尊重學生的想法，鼓勵學生獨立思考，提倡計算方法的多樣化。如對于計算44+17的問題，學生可以采取多種方法，以下列舉的方法都應當受到鼓勵。
教師不要急于評價算法，應引導學生通過比較各種算法的特點，選擇適合于自己的方法。
4激發學生的學習積極性，選取密切聯系學生生活，生動有趣的素材
教材所選取的素材，要使得學生能比較容易地找到相應的實物或者模型。如，用2個圓片擺一位數或兩位數，有的把2個圓片都放在個位上，就是2；有的把2個圓片都放在十位上，個位上沒有，就是20；有的把1個圓片放在十位上，1個放在個位上，就是11，在這個活動中，教師盡量多給學生留一些活動空間和時間，同時注意面向全體學生，人人動手操作，讓多種感官參與學習，讓學生在自主探索與合作交流的學習中獲取知識，體驗成功的快樂。
總之，世界上的事物，尤其是數學，都存在很多規律。如何去發現和尋找規律，應用這些規律去解決問題，并提高人們的總結歸納能力，抽象思維能力，是數學教學的任務之一。
【教學目標】
【教學內容】
1.能說出中位數與眾數的概念，會根據所給的信息求出一組數據的中位數、眾數；
2.能結合具體的情境理解平均數、中位數和眾數的聯系和區別；
3.能從統計的角度對日常生活中的簡單問題與現象作出判斷。
【教學重點】
體會眾數與中位數的意義。
【教學難點】
眾數與中位數兩概念的形成過程。
【教學準備】
課件、導學案、校服發貨單、評分表。
【教學過程】
一、情境導入
師：每年的12月份是我校比較繁忙的一個月，充實的一個月，也是我們同學們最喜歡的一個月。在這個月里，同學們參加了校園文化藝術節的多項節目的表演，也參加了“學習情況了解”的各項文化測試和競賽，在近期我們初中部的學生都換上了新校服。
今天我們就一起走進生活，一起來看一看繁忙充實的12月。
二、走進生活，探究新知
1.下面有請兩位同學為我們帶來一首好聽的歌曲，各小組組長處有一張評分表。請小組同學按要求給她們打分。
2.師：現在老師這里有10份評分表，你認為誰的分數打得最合理呢？
3.學生分組交流，并說一說。
師：（若學生得出如下答案，師就不說，若無，則作如下說明）在這次評比中，我們去掉一個最高分、再去掉一個最低分，計算其余數據的平均數作為最后的得分。這種方法求的平均數在現實生活中有廣泛的應用。
4.師：在生活中平均數的應用非常廣泛，樂樂同學也用平均數對自己的成績作了解釋。
在上周“數學學習情況了解”的過程中，樂樂所在小組共5位同學得分如下：
100分、85分、84分、10分、71分
樂樂在這個小組，他得了71分。媽媽認為樂樂考得不理想，樂樂卻告訴媽媽，自己這次的成績已超過了組內同學的平均分70分，在小組里已經處于中上水平，算學得不錯了。
如果你是他的同學，你對樂樂的說法認同嗎？請說說你的看法！
5.學生分小組交流，并說說理由。
6.師：有時候，平均數并不能反映一組數據的一般特征。這就需要一些新的統計量來表是一些數據的集中程度。
7.引入中位數的概念。
（1）師：平均數的大小與一組數據中每一個數據都有關系，其中任何一個數據的變動都會引起平均數的變動。如果一組數據中個別數據與其他數據的大小差異很大，那么平均數就不能很準確地反映這組數據的平均水平。
（2）師：我們可以用“中位數”來表示。
（3）樂樂所在小組5人的考試成績：100分、85分、84分、10分、71分。這5個數的中位數是_______；（2）若小亮也加入了他們這個學習小組，他的考試成績是88分，則這6個數的中位數是________。
（4）師：你認為樂樂說的對嗎？你有什么看法？（樂樂說得不對，他欺騙了媽媽，這小組5位同學分數的中位數是84分，他的分數比84分要少，所以他的學習成績不在中上水平。）
8.眾數的概念。
（1）師：在開學初，我校就征訂校服一事，征求了全校師生和家長的意見，本班的意見稿如下：
師：學校是參考了哪一部分家長的意見呢？（大部分人的意見）
（2）我們可以用“眾數”來表示大部分人的意見。
眾數的概念：一般地，一組數據中出現次數最多的那個數據叫做這組數據的眾數。
9.針對性練習。
（1）小明和小穎對自己這一學期5次數學單元測試成績統計如下（單位：分）：
小明：89，96，89，92，96；
小穎：86，62，89，92，91。
小明得分的眾數是：________
小穎得分的眾數是：________
（2）師生交流：一組數據可以有一個眾數，也可以有不止一個眾數，也可以沒有眾數。
友情提醒：平均數、中位數、眾數都有單位。
這幾天我們全校初中部的學生都換上了新校服，老師去服裝廠的工作人員要了一份發貨單。各小組都有一份，請同學當一回廠長，若以這一份數據為依據，哪一種型號的衣服最多？你獲得了哪些信息？
鹽都區教育服裝廠發貨單
（4）師生交流。
三、走進生活，加深理解
1.完成導學案活動一。
師：可以采用哪一種統計量，能比較客觀地反映員工工資的“集中程度”？先小組內計算交流，再指名口答。
2.為籌備班級里的新年晚會，班長對全班同學愛吃哪幾種水果作了民意調查。最終買什么水果，該由調查數據的平均數、中位數還是眾數決定呢？
四、全科總結
1.通過今天的學習，你有哪些收獲？還有哪些疑問？
2.作業：完成書中第178頁1、2。
五、全課總結
學生先說一說學習的收獲和存在的疑問，教師再進行點評。
【教學反思】
生活的豐富多彩，是我們學習的源泉。數學知識的取得也是從生活中來。原本數學因生活的需要而產生，又因學習而加深了對知識的認識，從而改變生活，回歸生活。
在本節課中，我力求讓學生認識到上述觀點，我設計了從校園文化藝術節開始，到做校服、到為元旦晚會做準備的一系列活動。因為這些事情正在發生，或即將發生。所以一開始學生的學習興趣就被調動起來了。
在上課實際過程中，培養學生對知識的感悟能力和應用能力是本節課的一個重點，關鍵是要學生學會從生活中去尋找知識，并且能將所學習的知識去解決一些生活問題。按照新課程的學習觀，學生不是被動的旁觀者，而是自主的參與者，學習的意義不是簡單復制和印入信息，而是主動解釋信息、建構知識。學習觀改變教學觀，怎樣使學生真正成為學習的主人，怎樣尊重學生的自我認識、尊重學生獨特的感受和經驗、引導學生自己去弄清楚？在這一節課中，是我思考并要解決的問題。
在認識“中位數”的過程中，我試著讓學生分小組去討論，交流，讓學生來講一講。一開始設計了“樂樂同學對自己考試分數的錯誤評價”這一情境，引發學生的爭論，從而讓學生能感受到平均數不能夠合理表示出一個學生的成績在班級中所處位置時，依據學生自身經驗引入“中位數”的概念，水到渠成。
由校服制作廠商的發貨單，引導學生討論：作為商家應該關注學生校服測量數據中的哪一部分，直接就引入了“眾數”的概念，并說說在生活中的同類型例子，讓學生認識到生活中數學知識無處不在，無處不有。
在例題之后，安排了文字、表格、圖形等多種類型的練習，緊密聯系生活，題題與學生相關，讓學生體驗到學習知識能夠解決許多實際問題的成就感。
在最后的開放題中，為元旦做準備，我們應該準備哪些節目，準備哪些水果，如果你是班委會成員，你該怎么辦？我放手讓學生分小組去合作，學生有點緊張，但在逐漸熱烈的討論中，不僅將本節課的知識加以應用，也能充分考慮實際情況。通過應用數學知識，對班級的費用情況一一分析，學會了有計劃地去辦好一件事；也能關注到不同學生的喜好，關注眾數，在學生自己思考、分析、交流的過程中，能夠全面考慮問題，不僅提高了解決問題的數學技能，也增強了對數學知識的應用能力。
【案例1】人教版小學數學六年級上冊“圓的認識”教學片段
師：今天我們來玩投沙包的游戲，好嗎？
教師把籃筐放在講桌中央，然后從四個小隊選4名學生代表站成一條直線投擲。
生：（急喊）老師，不公平！
師：怎么啦？為什么？
生：離筐距離不一樣。這樣投不公平。
師：那怎樣投才公平呢？
生：可以圍成正方形再投。也就是4個同學站在頂點上投。（全班同學都贊同）
投沙包進行中。
師：如果有五個同學呢？六個呢？……又該怎么站呢？
生：站成五邊形，六邊形……（學生說，教師課件演示）
師：如果全班同學都來參加呢？或更多的人呢？人越來越多，你們想到什么？
生：（齊）圓！
……
數學來源于生活，又服務于生活，把數學問題生活化，可以讓學生從直接的生活經驗與背景中，親身體驗并感受情境中的現實問題，不僅有利于學生理解情境中的數學問題，而且有利于學生體驗到生活中的數學是無處不在的。在小學階段的數學學習中，空間觀念的培養是幾何教學中最重要的任務之一。“圓”是學生接觸的第一個由曲線圍成的平面圖形，與之前學的由線段圍成的平面圖形不一樣。在這個環節中，教師巧妙創設投擲沙包這個生活游戲情境，從游戲的不公平漸漸到游戲公平，學生感受到了投擲人到籃子的距離要相等才是公平的，當老師問：如果有更多人參加投擲，你們想到了什么？這個問題時，學生在頭腦中展開想象，由點到線，形成了圓的軌跡，圓的圖形就順利形成了，并感受到了圓的特性，圓上的點到圓心的距離相等。
【案例2】人教版小學數學三年級下冊“平均數”教學片段
師：同學們，前幾天我們學校舉行了校運會，我們班的運動員表現太棒了。你們想當裁判員嗎？我們來看一場男生、女生投籃比賽吧。（出示投籃畫面）
師：每人各投了幾個球？
男生：雨翔7個，博顥4個，昊琦5個，一鑫8個。
女生：若楠10個，鄭好6個，子言3個，思蓉4個。
師：你能判斷哪一方獲勝嗎？為什么？
生：男生贏，男生共投中了24個，女生投中23個。
師：比的是什么？為什么可以這樣比？（人數相同）
師：看來，女生要搬救兵了，我也是女的，我也來投，我投了2個。現在女生贏了，哈哈！（女生高興）
生（男）：不行，人數不同，不能這么比。不公平！
師：為什么？你認為應該比什么？
生：比平均數！
……
師：我們今天就來好好研究一下平均數的知識。
新《課標》指出：對課程內容的選擇反應了社會的需要、數學的特點，要符合學生的認知規律。教師要讀懂教材，讀懂學生，要善于創設貼近學生的實際，有利于學生體驗與理解、思考與探索的情境，讓學生在這樣的情境中經歷觀察、實驗、猜想等學習活動，在活動中不嗟鼗竦彌識、掌握技巧、積累經驗、感悟基本的數學方法。“平均數”是一個生活中常用的統計量，是一個很抽象的存在，因為它并不是一個“真實”的數字，教師要讓學生理解它的意義。這個環節中，教師根據不久前舉辦的校運會創設了投籃比賽的情境，在比賽過程中產生了矛盾沖突，引發學生的猜想，從人數相同的時候可以比總數，人數不同的時候不能比總數，自然而然引出平均數的概念。符合三年級學生的認知規律，并且知道了平均數在生活中的作用，可以代表一些數據的平均水平。
【案例3】人教版小學數學二年級上冊“統計”教學片段
師：孩子們，你們看過馬戲表演嗎？（大屏幕上出示猴子爬桿、小熊滾球、山羊走鋼絲等馬戲表演）
全班學生邊看邊鼓掌，十分開心。
師：小動物的表演精彩嗎？你最喜歡哪個小動物的表演呢？（孩子們紛紛喊著）
師：你們從手中的四張卡片中選出，好嗎？
學生爭先恐后，舉起卡片。
師：現在，我們以小組為單位，進行投票。
投票結束。
師：你們猜猜，我們班喜歡哪個小動物的學生最多？
有學生猜是小熊，有的猜是小山羊，有的猜是小狗……
師：看來，這四種小動物都有人喜歡。那么，我們班到底喜歡哪種小動物的學生最多呢？老師也不知道了，你們說，用什么辦法可以知道呢？
生：統計！
……
一、聯系生活實際，讓學生樂于自主學習
教師通過對教材的深入研究，找準教材的重點、難點后，還要進一步考慮運用什么樣的教學方法，使學生樂學、好學。小學生年齡小，知識少，接受能力有限，生活經驗不足，數學知識在生活中的落腳點難以找到，因此教師在教學時需要講究教法、研究學法。選擇教學方法要從學生的實際出發，不要強求一律，不要照搬他人的經驗及做法，但教師應遵循以下共同的規律。
1.從學生已有的生活經驗引入新知識。
數學是一門嚴謹而系統性很強的學科，各部分知識聯系密切，新知識往往是舊知識的深化和發展。數學來源于生活，根據這一特點，教學時教師要抓住新舊知識的交接點，數學知識在生活中的落腳點，通過課前的搜集、整理，課上提問、發現，把難點化成幾個小問題，順利過渡到新知。如教學五年級下冊《分數的意義》一節時，課前教師可布置學生搜集分數在生活中應用的例子，在具體的實例中，找到產生分數的原因。在教學開始階段可先讓學生匯報，提出有關分數的問題，然后教師適時引導，巧設懸念，探究新知，使學生感到新知不新，難點不難，從而突破教學難點。
2.運用直觀操作，分散教學難點。
學生獲得知識的過程是由感性認識到理性認識的過程。在教學中，教師要注意從實際出發，充分運用直觀教具和學具，使學生的認識建立在大量的感性材料的基礎上，獲得較牢固的知識，并逐步發展抽象思維能力，同時提高學習興趣。如：教學六年級下冊《圓的周長》一節時，教師充分創設時間、空間，讓學生小組合作，動手實踐，探索圓周長和直徑之間比值的規律，展示小組合作成果，通過師生之間、生生之間充分的直觀操作、研究交流，揭示圓周率的意義，使學生體驗到數學學習的樂趣，獲得廣泛的數學活動的經驗。
3.注意引導學生體驗知識的生成過程。
我們今天的教是為了明天不需要教，學生今天的學習是為了將來離開學校在實踐中能夠自學。這就需要我們在教學中注意引導學生體驗知識的生成過程，調動學生學習的積極性，啟發學生打開思路想問題，使他們自覺主動地去獲取知識。如：在教學五年級上冊《可能性》一節時，教師在引導學生充分感知發現的基礎上，要重點讓學生探究、驗證。首先引導學生做實驗前的準備，教師介紹實驗材料，并說明實驗要求―小組商量活動方案―小組匯報活動方案―合作實驗、初步推測―學生匯報。在小組實驗交流匯報的基礎上，教師將各組的意見展示出來。最后師生共同推理、驗證、歸納：打開盒子，看到盒子里的球，聯系剛才的實驗結果，問學生明白了什么？可能性的大小到底和什么有關？如果給你一枚一元錢的硬幣，將它擲出，結果會怎樣……在課堂教學中教師為學生營造主動參與的氛圍，讓學生體驗學習數學知識的快樂，學生會始終保持旺盛的求知欲。
二、抓好雙基，適度訓練――促進數學知識的內化
抓住數學概念的本質教學是數學教育永恒的話題。注重課堂教學的實效性，無疑要對學生的數學基礎知識、基本技能給予重視。數學概念是支撐數學大廈的根基，數學基本能力是建好大廈的保證。因此，知識必須到位，能力必須訓練。
我曾經上過求“平均數”這節課。教學模式：出示例題―分析條件問題―引導列式計算―總結規律：總數÷份數=平均數。一節課下來，學生對數量關系式：總數÷份數=平均數掌握得非常熟練，解題正確率也很高。但是，一次實際測試卻給了我當頭一棒：“某單位招工，月平均工資800元。結果一位員工在開工資時只拿到了600元，他狀告公司老板不遵守承諾。請問，這位員工能贏嗎？”結果學生的正確率只有28%。學生會解答書上的習題，卻不會解決生活中的實際問題呢？為什么被教師一致認為的好課，測試結果正確率只有28%？經過反思，我終于明白：我們重視的是學生學會求平均數的方法這一知識點，急于把規律拋給學生，因此我們教學的“樁”打在了數量關系式上，以為孩子只要掌握了這個數量關系式，就能解決求平均數的所有問題了。
三、選用信息技術輔助教學
在小學數學教學中，教師應適時選用信息技術輔助教學，為師生之間、學生之間提供一個雙向的、平等的交流平臺。信息技術以聲音、文字、圖形、圖像、動畫、視頻等形式使抽象的教學內容具體化、清晰化，有利于激發學生的學習興趣，啟發一系列的思維活動，促進教學目標由“授人以魚”向“授人以漁”的轉變。
1.借助信息技術，創設學習情境。
教育家蘇霍姆林斯基說過：“在人的心靈深處，都有一種根深蒂固的需要，這就是希望自己是一個發現者、研究者、探索者，而在兒童的精神世界中，這種需要特別強烈。”合理利用計算機輔助教學創設出激發學生學習興趣的情境，為學生營造一個色彩繽紛、聲像同步、能動能靜的教學情景，能促使學生積極主動地參與探究活動。
