時間：2023-05-30 10:56:03
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇平面直角坐標系習題，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
例1 如圖（一），已知
O1，O2，O3，O4是正方形ABEF，BCGH，CDPQ，DARS的中心，
求證：O1O3O2O4.
證明 在圖（一）上（按上
坐標系，然后過E，H 作x軸
的平行線分別交y軸于E1，H1，過 Q，D，R，作y軸的平行線分別交
x軸于Q1，D1，R1，設點：A（a，0），B（0，b），C（c，0），D（d，e），于是我們由AB=BE，∠ABO=∠BEE1推出RtABO≌RtBEE1（注：本文推出全等的過程都略而不寫的理由附記于后），再由全等（注：點坐標與線段的聯系其正負符號的選用存在訣竅，隨后亦有自行體驗的說明）推出：
AO=BE1=-a，BO=EE1=-b
綜合（13）、（14）給出的信息（此即確定欲求點的條件），我們立刻可求得下列各欲求點的坐標：D（a-6b，-a），F（a+6b，a-4b），設DF的中點為R1（x，y），由中點公式于是可求得：R1（a，-2b），因已求得R（a，-2b）的情形存在，故知R和R1重合，此即D， R，F三點共線，且同時由此而知R必平分DF.證明完畢.
特別說明：該證明過程所建立的直角坐標系分別與正方形的邊垂直和平行，這也是最合適的建標方式中的一種，在這一操作之下，同一正方形共有三個頂點落在了坐標軸上，這樣的頂點坐標使整個圖形最為簡潔，以這些頂點為頂點的輔助三角形們又通過套路證全等的途徑將設定點（本題中我們要注意OA=4b的設定有一定特色，這也是簡化運算過程的一種設定，且很多情況下都可以這樣操作）的信息傳遞給了欲求點，從而為下一步操作做出貢獻.
本章將在上章學習了直線與方程的基礎上，學習在平面直角坐標系中建立圓的代數方程，運用代數方法研究直線與圓，圓與圓的位置關系，了解空間直角坐標系，在這個過程中進一步體會數形結合的思想，形成用代數方法解決幾何問題的能力。
二、教學目標
1、知識目標：使學生掌握圓的標準方程并依據不同條件求得圓的方程。
2、能力目標：
（1）使學生初步熟悉圓的標準方程的用途和用法。
（2）體會數形結合思想，形成代數方法處理幾何問題能力。
（3）培養學生觀察、比較、分析、概括的思維能力。
三、重點、難點、疑點及解決辦法
1、重點：
圓的標準方程的推導過程和圓的標準方程特點的明確。
2、難點：
圓的方程的應用。
3、解決辦法
充分利用課本提供的2個例題，通過例題的解決使學生初步熟悉圓的標準方程的用途和用法。
四、學法
在課前必須先做好充分的預習，讓學生帶著疑問聽課，以提高聽課效率。采取學生共同探究問題的學習方法。
五、教法
先讓學生帶著問題預習課文，對圓的方程有個初步的認識，在教學過程中，主要采用啟發性原則，發揮學生的思維能力、空間想象能力。在教學中，還不時補充練習題，以鞏固學生對新知識的理解，并緊緊與考試相結合。
六、教學步驟
一、導入新課
首先讓學生回顧上一章的直線的方程是怎么樣求出的。
二、講授新課
1、新知識學習
在學生回顧確定直線的要素――兩點（或者一點和斜率）確定一條直線的基礎上，回顧確定圓的幾何要素――圓心位置與半徑大小，即圓是這樣的一個點的集合
在平面直角坐標系中，圓心 可以用坐標 表示出來，半徑長 是圓上任意一點與圓心的距離，根據兩點間的距離公式，得到圓上任意一點 的坐標 滿足的關系式。
經過化簡，得到圓的標準方程
2、知識鞏固
學生口答下面問題
1、求下列各圓的標準方程。
①圓心坐標為（-4，-3）半徑長度為6；
②圓心坐標為（2，5）半徑長度為3；
2、求下列各圓的圓心坐標和半徑。
①
②
3、知識的延伸
根據“曲線與方程”的意義可知，坐標滿足方程的點在曲線上，坐標不滿足方程的點不在曲線上，為了使學生體驗曲線和方程的思想，加深對圓的標準方程的理解，教科書配置了例1。
例1要求首先根據坐標與半徑大小寫出圓的標準方程，然后給一個點，判斷該點與圓的關系，這里體現了坐標法的思想，根據圓的坐標及半徑寫方程――從幾何到代數；根據坐標滿足方程來看在不在圓上――從代數到幾何。
三、知識的運用
例2給出不在同一直線上的三點，可以畫出一個三角形，三角形有唯一的外接圓，因此可以求出他的標準方程。
由于圓的標準方程含有三個參數，因此必須具備三個獨立條件才能確定一個圓。引導學生找出求三個參數的方法，讓學生初步體驗用“待定系數法”求曲線方程這一數學方法的使用過程。
四、小結
一、知識概括
1、圓心為 ，半徑長度為 的圓的標準方程為。
2、判斷給出一個點，這個點與圓什么關系。
3、怎樣建立一個坐標系，然后求出圓的標準方程。
二、思想方法
（1）建立平面直角坐標系，將曲線用方程來表示，然后用方程來研究曲線的性質，這是解析幾何研究平面圖形的基本思路，本節課的學習對于研究其他圓錐曲線有示范作用。
（2）曲線與方程之間對立與統一的關系正是“對立統一”的哲學觀點在教學中的體現。
關鍵詞： 一題多解；討論研究；全能力
所謂“全能力”，從數學角度看，包括洞察玄機的觀察力、新舊知識整合的融通力、細致縝密的思考力、路徑選擇的調整力以及克難攻堅的驅動力、不言放棄的堅持力、踏踏實實的執行力……進入初三復習階段后，對于一些綜合性較強的題目學生不太適應，但是綜合性的題目是中考考查學生數學能力的必有考題。這樣的考題不僅考查的知識點多、知識面廣，而且往往將代數和幾何知識緊密結合，對學生而言是個很大的考驗，要求學生有較高的基礎知識水平和較強的運算能力、邏輯思維能力及空間想象能力。鑒于此，本人通過創新，在復習開始有意識地每過一段時期布置一道“研究題”，讓全班廣泛交流，對一題多解的研究收到了不錯的效果。下面，我就一道改編的中考題展示學生解決這道題的成果，并談談在實施過程中的想法。
習題：如圖1，直線y=x+3與x軸、y軸分別交于點A、B，點C（0，n）是y軸上一點，把坐標平面面積沿直線AC折疊，使點B剛好落在x軸上，請求出點C的坐標。
分析：（1）這道題是在平面直角坐標系背景下的問題，考查學生一次函數和相似、勾股定理，軸對稱變換等的綜合解題能力，是一道典型的代數和幾何的綜合題。這又是一道近幾年來比較熱點的操作變換題，要求學生能運用數學中觀察、試驗、歸納、演繹、類比、分析、綜合、抽象、概括等常用的思維方法，并能結合題目選擇恰當的解題思路，使用有效的解題方法。
（2）平面直角坐標系中常見著眼點是求解出函數與圖像的關系、直線與x軸、y軸的交點及題中的特殊點，因此根據直線解析式首先求出了點A 、B的坐標A（4，0）、B（0，3），并通過解直角三角形RtAOB求得AB=5。
（3）根據折疊（軸對稱變換）中的變與不變找到線段之間的聯系，求得關鍵點和線段的長度，假設折疊后點B剛好落在x軸上的點B處，要求得的關鍵點和線段的長度即為點B'的坐標和線段B'O的長度。易得B'（-1，0），B'O=1。
下面給大家展示學生的四種解題方法：
解法一：如圖2，易求點A、B的坐標A（4，0）、B（0，3）。
在RtAOB中由勾股定理求得AB==5。
設折疊后點B與B'重合，則AB'=AB=5，B'O=1=1。
又沿直線AC折疊后B'C=BC=3-n，在RtB'OC中由勾股定理得B'O2+CO2=B'C2，12+n2=（3-n）2，解得n=，C（0，）。
生自述：這是一道有關平面直角坐標系內的問題，我想可以構造直角三角形求解點的坐標，按照這樣的想法一步步演算、證明得到了解法。從這道題給出的已知條件，先求出圖中標示的點A、B的坐標，和折疊后落在x軸上點B'的坐標。因為是在平面直角坐標系中，一定會構造出直角三角形。連接CB'，則構造了RtB'OC，再根據折疊的軸對稱的性質可得到B'C=BC=3-n，這樣就可以解RtB'OC，由勾股定理得出方程解，從求出了點C的坐標。
解法二：如圖3，由折疊知AC為∠BAO的角平分線，過點C作CHAB，垂足為H，COAO，CH=CO=n。
由直線解析式：y=x+3易求點A、B的坐標A（4，0）、B（0，3），在RtAOB中由勾股定理求得AB==5。
SABO=SABC+SACO，AO·BO=CO·AO+CH·AB。
4×3=4n+5n，解得n=， C（0，）。
生自述：我是從折疊的軸對稱變換角度去尋求答案的，由軸對稱的性質重疊的部分數量相等，所以重疊角角相等，那么折痕AC為∠BAO的角平分線，由點C恰在角平分線上構造角平分線的基本圖形，過點C作CHAB，這樣利用三角形的等面積變換求解出高CO的長，從而求出了點C的坐標。
解法三：如圖4，求點A、B的坐標A（4，0）、B（0，3）。
在RtAOB中，由勾股定理求得AB==5，設折疊后點B與B'重合，則AB'=AB=5，B'O=1。
在RtAOB中，由勾股定理求得BB'==，接BB'，則由折疊知直線AC為線段BB'的垂直平分線。
BG=BB'=，∠BGC=∠B'OB=90°。
∠GBC=∠B'BO（公共角），BGC∽BOB'，=，即=，解得n=，C（0，）。
生自述：我是從折疊中折痕是對應點所連線段的垂直平分線角度去思考這個問題的。連接BB'，則直線AC為線段BB'的垂直平分線，構造出了一對相似三角形BGC∽BOB'，然后想辦法求解出比例式中兩對對應邊中三條邊的長度，因為已知了直線解析式，所以容易求解兩個直角三角形，從而求出了點C的坐標。
解法四：如圖5，設折疊后點B與B'重合，則AB'=AB=5，
連接B'C，由折疊知B'C=BC=3-n，∠CB'O=∠OBA。
在平面直角坐標系內∠B'OC=∠BOA=90°，B'OC∽BOA。
=，即=，解得n=，C（0，）。
生自述：學習了《相似三角形》后，很多時候用相似三角形的知識解題會減化計算，特別在平面直角坐標系中構造相似的直角三角形比較簡單。所以連接B'C后，構造了直角三角形由折疊知對應角相等∠CB'O=∠OBA，對應邊相等B'C=BC=3-n，又∠B'OC=∠BOA=90°，易證B'OC∽BOA，由直線解析式易求點A、B及點B'的坐標。
學生在展示了各自的解法后展開了熱烈的探討，一致認為從最優化的角度來說顯然解法二和解法四較簡單靈活。在此契機上師生之間、生生之間做了一次深度的探討，對每種解法都做了深刻的分析，并對各種解法取長補短，把勾股定理、軸對稱、相似和一次函數的綜合應用做了歸納總結。從學生展示的這四種方法來看，學生已熟悉了平面直角坐標系中一類解題的基本規則和常用的方法，掌握了這類折疊題的著眼點，并能有創造性地整合勾股定理、相似、垂直平分線和函數的知識，訓練這類題目的主要目的是要讓學生在解題過程中相互學習，積極研究探討找到解決一類問題的最優化的解題策略。
經過一段時間的試驗后，本人覺得提高學生“全能力”要注意以下幾點：
（1）訓練學生熟練掌握數學基礎知識，不斷積累數學解題技巧；
（2）引導學生熟悉常見的特征圖形，多發現函數圖像中的幾何圖形或可以構造的幾何圖形；
（3）幫助學生熟悉解題的常見著眼點，常用輔助線作法，把問題化大為小，各個擊破，從而解決問題；
關鍵詞：高中數學；數學概念教學；教學情境
G633.6
一、問題的提出
學生對數學基本概念的掌握是深入理解學習數學知識的關鍵，數學概念的在教師教學和學生學習的過程中都起到不可或缺的作用，加強對概念的教學迫在眉睫。但觀察現在的高中數學教學，發現教師對于概念的教學幾乎都存在忽視的現象，這十分不利于學生對數學整體的把握和數學學習水平的提高。因此，作為高中數學教師，必須加強對數學概念的教學，采取靈活多變的方式，創新教學設計，使學生在準確理解數學概念的基礎上更好的完成其他部分的學習。筆者結合自身的教學經驗，以高中數學中的基本概念――任意角的三角函數為例，談談數學中重要概念的構建。
二、教學實例
問題1：回顧一下任意角的概念。角是三角函數中的自變量，自變量的取值范圍是研究函數問題的重要起點。因此，回顧任意角的概念很有必要。
問題2：從平面直角坐標系的角度再研究銳角的三角函數。本章研究的問題是三角函數，而函數的研究離不開平面直角坐標系。回憶初中學過的銳角三角函數的定義，并思考一個問題：如果將銳角置于平面直角坐標系中，如何用直角坐標系中角的終邊上的點的坐標表示銳角三角函數呢？
情境預設：先引導學生回憶以往學過的銳角三角函數的定義，但部分學生會對坐標語言表述部分不熟悉，即使將角置于坐標系中學生仍然習慣用三角形邊的比值表示銳角三角函數，因此教師要引導學生用終邊上的點的坐標表示銳角三角函數。
設計意圖：在學生已有知識經驗上通過坐標系的學習再次對已有知識進行認識，把學生已有知識和本節課將要講授的新知識進行聯系，降低認知的起點。
解答過程：
問題3：三角函數的比值與具體的點是否有關系。
情境預設：學生在得出的結論中看到x，y，α，會因為缺乏對數學的整體把握而誤以為函數值的大小與具體的x，y的值有關，從而與點P的位置有關。
設計意圖：啟發學生從數和形兩個角度再認識三角函數。從幾何的角度直觀觀察三角形相似，比值與具體的點的位置沒有關系。再從函數的角度闡述三角函數值的大小只與自變量α的大小有關，與點P 的位置無關。
問題4：與單位圓結合簡化三角函數值。引導學生從代數的角度對上述定義化簡，使得分母為1，之后通過分母的幾何意義將之與單位圓結合起來。
回憶弧度制中1弧度角的幾何解釋，它是借助于單位圓給出的，能否從中得到啟示將上述定義的形式化簡，化簡的依據是什么？寫出最簡單的形式。
設計意圖：引入單位圓。深化對單位圓作用的認識，用數學的簡潔美引導學生進行研究，為定義的拓展奠定基礎。
解答：單位圓中定義銳角三角函數：如圖3，線段OP=1，點P的坐標為（x，y），那么銳角α的三角函數可以用坐標表示為：
問題5：上述三個問題的結論適用于任意角嗎？
情境預設：學生對終邊不在第一象限的角α的三角函數不確定。
設計意圖：具體認識任意角的三角函數，凸顯本課時的研究重點。如果問題太一般化，如設計為：上述定義可以推廣到任意角的三角函數，請寫出任意角的三角函數的定義。那么學生不知道“上述定義”是指哪個，而且不明白任意角該如何取。所以在問題設計中再次強調要借助于單位圓，利用坐標，限定學生的思維，以免太發散。再者在一般要求“寫出任意角的三角函數”之后，又提出具體的活動方式。
三、教學反思
在本次課程教學過程中，教師帶領學生回顧復習了任意角的概念，明確了函數的自變量；隨后引導學生建立直角坐標系，以原點為中心畫出圓，觀察其圓周上的點的坐標隨著銳角α的變化而變化，從而讓學生對“任意給定一個銳角α，圓周上就有唯一的一個點P（x，y）與之對應”有直觀的體會與感受；接下來探究當角α為銳角時，sinα= y 及 y 的值與角α終邊的位置關系，得出“y 的值只與角的大小（終邊的位置）有關，而與點P在角的終邊上的位置無關”這樣一個重要結論；最終，在上述銳角的函數概念的基礎上，再由特殊到一般，把定義推廣到任意角，通過學生分組活動得出任意角的三角函數的概念，進而繼續探究該函數的各種性質。
四、小結
在以往的數學概念教學中，很多教師往往對概念教學的認識不到位，偏重數學習題的訓練而忽視了概念的講解和教授，使學生在應用時概念與計算不能很好地聯系到一起。新課程的實施強調了概念教學的重要性，本文根據其要求探討了高中數學概念的有效構建方法，以任意角的三角函數為實例，從問題的提出、情境預設、設計意圖、解答過程進行探討，并且通過畫圖分析使學生能更直觀形象的理解三角函數的概念。因此，高中數學教師必須要加強歲概念的講解，注重激發學生的發散思維，聯系以往相關知識進行知識遷移，避免理論概念和實際計算相脫節的情況。
⒖嘉南祝
[1]胡繼東.對數學概念教學的幾點思考[J]. 高中數理化. 2012（08）
[2]俞湖紅.例談高中數學概念教學的有效策略[J]. 中等職業教育. 2012（06）
一、設計導入問題要有梯度，以拓展學生思維
人們的認識遵循由具體到抽象，由感性認識上升至理性認識的規律，為此，教師在設計問題時，應按照該認識規律以及學生原本所具備的知識、認知程度設計具備層次性、梯度性的問題，進而充分激發學生的思維，提高其探索欲望，并且使不同程度的學生通過對問題探究，體會成功的喜悅，收獲成就感，進而使其更加積極主動地加入到數學課堂的學習之中.在新課程改革的背景之下，教師應從“知識與能力”、“過程與方法”以及“價值觀與情感態度”這三個角度出發對課程進行設計，對問題進行合理安排，確保其具有梯度性.
例如在學習《二元一次方程組》這一課時，教師可創設如下問題.問題一，由貼近生活的案例引發學生的思考，如“籃球比賽中，勝一場獲2分，負一場獲1分，某球隊為了能夠在22場比賽中獲40分，則該隊勝負的場數分別為幾場？”問題二，分析題中包含的關系式，將題中涉及到的兩個必須要滿足的條件列出來.問題三，指導學生將兩個方程進行合并，呈現二元一次方程組，由此引出課程主題，使學生更易入門.值得注意的是，教師在設計問題的過程中，要根據學生對相關知識的把握情況來把握問題的梯度，從而促進學生對知識的理解，推動“梯田式”導學案的實施.
二、導學案課堂練習題的設計應具有層次性
因初中階段學生所處的家庭環境、學習環境各異，加上知識水平方面的差異，使其在數學能力的發展方面也具有不同程度的差異性.為了能夠讓每位學生都能得到一定的發展，教在設計導學案課堂練習題的內容時應將數學的層次性特征充分體現出來，具體而言，就是要求教師依據學生在知識能力方面的差異性來設計課堂訓練，并且訓練內容要體現層次性以及梯度性，從而讓各個層次的學生都能夠獲得逐步地、合理地提升.
例如在學習正負數、相反數與絕對值的定義時，教師可運用直觀的對比案例、肯定與否定例證來對具有類似本質特點的變式練習題進行設計，從而進一步加深學生對數學知識的認識，并且在理解方面不會出現較大的困難.教師可以運用例題的變式題來設計具有一定綜合性與靈活性的綜合訓練題，從而使學生對數學知識的綜合運用能力得到有效地提升.
三、將學習內容進行級別劃分
將學習內容按照難度劃分為四個等級，分別為A、B、C、D.各個級別的學習內容應呈現循序漸進、逐漸深入的特點.其中A級為識記內容，B級為理解內容，C級為應用級別的內容，D級為拓展內容.在對各個級別進行設計與學習時應注重梯度，保證學習內容面向全體學生.滿足各個學習程度的學生的認知規律.
例如在學習《坐標方法的簡單應用》時，A級為學生能夠運用平面直角坐標系將區域各地點的位置繪制出來，B級則為理解地理位置與坐標間的關系，能夠用坐標表示地理位置.C級則為自主繪圖，運用坐標系進行平面圖形的平移.D級為運用平面直角坐標系解決生活中的實際問題.從而將教材單元的重點、難點進行合理地劃分，按次序設置梯度，增強教學的有效性.
四、課后練習題型層次化，梯度區別明顯化
代數與幾何的綜合問題是指代數知識與幾何知識相互交融渾然一體的一類綜合題.這類問題通常以幾何圖形（或將圖形坐標化）及函數圖象為背景，輔助于圖形的運動與變換（平移、旋轉、對稱）手段，融人函數（包括銳角三角函數）、方程、不等式等代數的核心知識，來綜合考查學生運用所學的基礎知識和基本技能、掌握的數學思想方法進行分析問題、解決問題的能力.題型大致可分為：（1）數、式與幾何圖形的綜合問題；（2）平面直角坐標系中的幾何運算問題；（3）方程、不等式與幾何圖形的綜合問題；（4）函數與幾何圖形的綜合問題，
解決代數與幾何綜合問題的基本思路：第一，要認真審題弄清問題的條件與結論.盡可能分析轉化問題中的顯性條件，挖掘問題中的隱含條件.第二，充分關注幾何圖形的結構特征，發揮幾何直觀的導航作用.對復雜圖形我們要學會識圖，從中發現并分離出能夠幫助解決問題的基本圖形，或添加適當的輔助線構造基本圖形，以便聯想基本圖形的性質去解決問題.第三，根據綜合題設計的結論分步探究的特點，我們要學會從題目中尋找代數與幾何這兩部分知識的結合點，進行“肢解”.轉化為簡單的代數或幾何問題，發現解決問題的突破口.從而“化整為零，各個擊破”.最后，要充分發揮數學思想和方法的引領作用.分析與綜合、分類討論、函數、方程、數形結合、歸納與猜想等都是解決這類問題有效的數學思想和方法，特別是數形結合思想――由形導數、以數促形，可以架起連接代數與幾何的橋梁，實現數與形之間的相互轉化，幫助我們另辟蹊徑，曲徑通幽.
歷年來，全國多數地區中考試卷的“代數與幾何的綜合問題”大部分是以“解答題”的形式出現在最后三、四道題，難度較大，從河南省的近三年試卷來看更是如此.2015年我們既要注意通過探究線段長度滿足的數量關系判斷構成的特殊形狀的幾何圖形（如等腰三角形、矩形、菱形、正方形）的開放性問題或解決有關幾何圖形的周長與面積的計算問題，更要關注平面直角坐標系中幾何圖形的有關計算問題以及以三種函數圖象為背景與幾何圖形融合于一體，判斷點、等腰三角形、特殊四邊形的存在性問題.
重點題型例析
一、數、式與幾何圖形的綜合問題
這類問題通過給出一組具有某種特定關系的數、式、幾何圖形或給出與圖形有關的操作變化過程，要求通過觀察、分析、推理發現其中蘊涵的數學規律，進而歸納或猜想出一般性的結論.
解決與幾何圖形有關規律的問題，我們應從分析圖形結構的形成過程人手，從特殊到一般、從簡單到復雜進行歸納猜想從而獲得隱含的數學規律，并用代數式描述出來，進而解決相關的問題.
例1 （2014.荊門）如圖1，在第1個A1BC中，∠B=300，A 1 B=CB；在邊A1B上任取一點D，延長CA1到
二、坐標系中的幾何運算
由于新課標對邏輯推理能力的要求有所削弱，一些高難度的純幾何問題被命題專家摒棄，取而代之出現了一類“坐標幾何問題”，這類題目巧妙地將幾何圖形置于平面直角坐標系中，將圖形坐標化，通過點的坐標來體現圖形中線段的長度，或給出圖形中線段的長度來確定圖形頂點的坐標或滿足某種條件的特征點的坐標，并輔助于圖形的折疊、平移、旋轉等變換手段，巧妙地將幾何和代數知識糅合在一起.解決這類問題要掌握圖形變換的基本特征，關注動點與靜點之間形成的特殊關系，挖掘幾何圖形的性質，進而利用直角三角形的勾股定理、銳角三角函數進行計算，或運用三角形的全等、相似構造方程求解.
例2（2014.攀枝花）如圖2，以點P（-l，0）為圓心的圓，交x軸于B、C兩點（B在C的左側），交y軸于A、D兩點（A在D的下方），A D=2、/3，將ABC繞點P旋轉1800，得到MCB.
（1）求B、C兩點的坐標.
（2）請在圖中畫出線段MB、MC，并判斷四邊形ACMB的形狀（并說明理由），求出點M的坐標.
（3）動直線l從與BM重合的位置開始繞點B順時針旋轉，到與BC重合時停止，設直線2與CM的交點為E，點Q為BE的中點，過點E作EG BC于G，連接MQ、QC.在旋轉過程中∠MQG的大小是否變化？若不變，求出∠MQG的度數：若變化，請說明理由.
反思：本題是將人教版九年級數學教材第24章“圓”復習題第122頁第1題垂徑定理的基本圖形與第80頁的例題1巧妙融合在一起，然后放到平面直角坐標系中，并通過給出圓心的坐標與弦長，改編成探究直徑端點的坐標及中心對稱圖形頂點的坐標.第（3）問則是命題專家為考查同學們在運動變化的過程中探究問題的思維能力而利用直線旋轉設計的一個角度“變與不變”的問題.
本題考查了垂徑定理、勾股定理、全等三角形的判定與性質、直角三角形的性質、矩形的判定與性質、圓周角定理、特殊角的銳角三角函數、圖形的旋轉等知識點，其中滲透了中心對稱的思想，證明四點共圓的方法.
解決本題的關鍵是能在較復雜的圖形中識圖，發現解決問題所需要的基本圖形，如本題第（1）問垂徑定理的基本圖形及由圓心到弦的垂線段、半弦、圓的半徑組成的RtPOA.
第（3）問探究∠MQG的大小是否變化，是本題的難點，難在直線l旋轉導致∠MQG的頂點的位置始終在變化，干擾了同學們的解題視線，為突破這一難點我們應抓住變化中的不變量――兩個直角三角形且有公共的斜邊BE，從而利用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”獲得點E、M、B、G到點Q的距離相等，進而發現圓心角∠MQC與圓周角∠MBG的關系，為定值的發現掃清了障礙.
三、方程、不等式與幾何的綜合問題
以幾何圖形為背景融人點的運動與圖形變換的一類問題，巧妙把代數中的方程與不等式“鑲嵌”其中構成了中考壓軸題的另一道風景線.解決此類問題要學會辯證看待“運動”與“靜止”的相互關系，利用運動過程中某一瞬間靜止的位置，動中窺靜，以靜制動，抓住圖形的特殊位置，明晰圖形之間的內在聯系.當探究有關圖形中變量之間的關系時，可建立函數模型或不等式模型求解；當探究特殊位置關系或數值時，可建立方程模型求解.其中直角三角形的勾股定理、相似三角形中的比例線段、等腰三角形、特殊四邊形的邊之間的相等關系都為我們構建方程提供了有效的等量關系.
例3 （2013.蘇州）如圖6，點0為矩形ABCD的對稱中心，AB=10 cm，BC=12 cm，點E.F、G分別從A、B、C三點同時出發，沿矩形的邊按逆時針方向勻速運動，點E的運動速度為l cm/s，點F的運動速度為3 cm/s，點G的運動速度為1.5 cm/s，當點F到達點C（即點F與點C重合）時，三個點隨之停止運動.在運動過程中，EBF關于直線EF的對稱圖形是EB’F設點E.F、G運動的時間為t（單位：s）.
（1）當t=______ s時，四邊形EBFB’為正方形.
（2）若以點E、B、F為頂點的三角形與以點F.C.G為頂點的三角形相似，求t的值.
（3）是否存在實數t，使得點B'與點0重合？若存在，求出￡的值；若不存在，請說明理由.
反思：本題以矩形為載體設計了三個質點在三邊上運動的情形，其中滲透了軸對稱的思想、方程思想，融合了相似三角形的判定與性質、勾股定理、一元一次方程、一元二次方程的解法等知識點.第（1）問需要應試者實現從三角形到正方形的思維跨越，即只有等腰直角三角形沿斜邊翻折才能構成正方形，從而順利發現蘊涵的棚等關系.第（2）問由于給出的相似三角形的對應點頂點小確定，應分類求解，更應引起同學們注意的是動點運動的時問的取值范圍不可忽視，這也是解決這類問題對求的結果進行取舍的一個重要依據，否則將會導致錯誤的結果，第（3）問是探索存在型問題，解決這類問題一般先假設滿足條件的實數、圖形（點、線等）存在，然后結合題目提供的條件與圖形的性質，進行計算與推理，如果導出互相矛盾的結論，就可判定不存在，反之則成立.
四、函數與幾何的綜合問題
幾何圖形與函數巧妙地融合滲透的學科內綜合問題，把“形”與“數”達到了完美結合，被推向中考壓軸題的位置.
這種題型命制方向有兩個：
其一，兇為幾何圖形中一些量可以度量，線段的長度之問、線段與圖形的周長或面積的大小之間隱含著內在的對應變化關系，這個關系可用函數的解析式來表示.解決此類問題的關鍵是能夠洞察圖形特有的結構特征，充分挖掘幾何圖形所具有的性質，列出包含兩個變量的相等關系式，再變形為相應的一次函數、二次函數及反比例函數，進而利用函數的性質求得問題的答案.
其二，幾何圖形常以函數圖象間的交點、圖象與橫、縱坐標軸的交點、原點為頂點所構成，隱蔽性、迷惑性較強，但其幾何圖形所反映出的性質卻對解決問題具有至關重要的作用，解決此類問題我們要學會識圖適當添線使隱含的特殊三角形、四邊形、圓等撥“云”見“日”，充分發揮兒何的直觀作用，利用數形結合思想溝通函數與圖形的性質，并輔助于方程思想，準確計算與推理、分析判斷與取舍，進而達到問題的最終獲解.
例4 （2014.綿陽）如圖8，矩形ABCD中，AB=4，∠AD=3，把矩形沿直線AC折疊，使點B落在點E處，AE
反思：本題來源于人教版數學八年級上冊第3章《軸對稱》“等腰三角形”一節第79頁的一道練習題及人教版九年級數學下冊第27章《相似》“復習鞏固”第58頁“拓廣探索”的第11題，同時將課本中銳角三角形變為直角三角形，將內接正方形拓展為內接矩形，巧妙地將兩道習題拓展后的圖形融合到一個矩形的折疊的情境中，改編成探究內接矩形面積的最值問題，
如圖1-1，點A、B在直線l的同側，點B'是點B關于l的對稱點，AB'交l于點P，
（1） AB'與AP＋PB相等嗎？為什么？
（2） 如圖1-2，在l上任取一點Q，并連接AQ和QB，那么AQ＋QB與AP＋PB哪一個大，為什么？
分析：（1）因為點B'是點B關于直線l的對稱點，所以直線l是線段BB'的垂直平分線，所以PB＝PB'，故有AP＋PB＝AP＋PB'＝AB'.
（2）AQ＋QB＞AP＋PB. 連接QB'，在AQB'中，根據“兩邊之和大于第三邊”，有AQ＋QB'＞AB'. 由（1）的結論可知AP＋PB＝AB'，所以AQ＋QB'＞AP＋PB. 又因為QB＝QB'，從而有AQ＋QB＞AP＋PB.
波利亞說過：“數學問題的解決僅僅只是成功的一半，更重要的是解題后的回顧. ”解題后的反思能揭示問題的本質，發現問題的規律，獲得創新的靈感，提高數學的解題能力.
反思上述問題的分析過程，我們容易發現，當點Q在直線l上運動的時候，不論運動到何處，只要異于點P的位置總有AQ＋QB＞AP＋PB，也就是說只有當點Q與點P重合時，線段AQ＋QB的和才能取得最小值AP＋PB.因此我們可以得到如下的結論：若點A、B是位于直線l同側的兩個定點，作其中一點關于直線l的對稱點，這點與另一點的連線與直線l的交點，到這兩個定點的距離之和最小.
運用與拓廣
課本中有些例題與習題就其使用價值而言，往往不亞于一些重要的定理、法則. 平面直角坐標系的創始人――著名的法國數學家笛卡兒曾經說過：“我所解決的每一個問題都將成為一個范例，以用于解決其他相關的問題.”所以我們要重視課本的基礎性作用.
利用上題的結論我們很容易解決下面這個具有實際背景的數學問題.
如圖甲，直線MN表示一條河流的河岸.在河流的同旁有A、B兩個村莊，現要在河邊修建一個排水站，問這個排水站建在什么地方，可以使所鋪設的管道最短？請在圖中找出表示排水站的點.
分析：要使所鋪設的管道最短，即在直線MN上找到一點，使這個點到A、B兩點的距離之和最小.我們可以假設A、B在直線的異側，根據“兩點之間線段最短”，只要連接AB，則AB和MN的交點就是所要找的點.但是現在A、B在MN的同側，所以可以運用軸對稱的性質，將“同側”化為“異側”，從而解決問題.
解：（1）作點A關于直線MN的對稱點A1；
（2）連結A1B交直線MN于點C，則點C就是所要求的點.
下面我們一起來看看由此引申出來的2008年的中考試題吧！
例1（2008年湖北省咸寧市）如圖，在平面直角坐標系中，直線l是第一、三象限的角平分線.
實驗與探究：
（1） 由圖觀察易知點A（0，2）關于直線l的對稱點A'的坐標為（2，0）. 請在圖中分別標明點B（5，3）、C（－2，5）關于直線l的對稱點B'、C'的位置，并寫出它們的坐標：B'、C'；
（2）結合圖形觀察以上三組點的坐標，你會發現：坐標平面內任一點P（a，b）關于第一、三象限的角平分線l的對稱點P '的坐標為
（不必證明）；
（3）已知兩點D（1，－3）、E（－1，－4），試在直線l上確定一點Q，使點Q到D、E兩點的距離之和最小，并求出Q點的坐標.
分析：（1）觀察網格中點B、C的位置，容易發現其對稱點的坐標為B'（3，5）、C'（5，－2）.
其實，高考題離我們并不遠，很多試題都是“源于教材”的，若平時留心、在意，解題能力定有飛躍.
教材系統地展示了高中數學的知識網絡.教材中許多性質、公式、例題、習題等都體現著知識的形成過程和同學們學習時應達到的能力要求，揭示了相關數學知識的本質屬性，蘊涵著重要的數學思想方法.對教材中出現的例題或習題進行適當的改造、重組形成考試題是高考數學試卷的一個特點.因此在高三復習中加強對教材中的性質、公式推導過程的反思，加強對教材中的例題、習題的研究，能幫助同學們更好地掌握基礎知識，發展數學能力，扎實提高復習的有效性.
一、 原題考查
對于一些應該考查的簡單問題，高考也不會忌諱使用課本原題.
【高考題1】 若將一顆質地均勻的骰子（一種各面上分別標有1，2，3，4，5，6個點的正方體玩具）先后拋擲2次，則出現向上的點數之和為4的概率是 .
【課本題1】 連續拋擲一顆骰子2次，分別求擲出的點數和為2，3，…，12的概率.
二、 小改考查
高考卷中與課本題同類的題舉不勝舉.（以下僅舉兩例.）
【高考題2】 已知向量a與b的夾角為120°，|a|=1，|b|=3，則|5a－b|= .
【課本題2】 已知|a|=2，|b|=3，a與b的夾角為120°，求a?b和|a+b|.
【高考題3】 在平面直角坐標系xOy中，點P在曲線C：y=x3－10x+3上，且在第二象限內，已知曲線C在點P處的切線的斜率為2，則點P的坐標為 .
【課本題3】 曲線y=x2的一條切線的斜率是－4，求切點的坐標.
三、 換貌考查
高考考查同學們的思維能力和思維品質，有些試題“深藏不露”，題面貌似考查某一知識點（塊）（并非不能解決），但用另一知識點（塊）處理會更快捷.
【高考題4】 滿足條件AB=2，AC=2BC的ABC的最大面積是 .
本題乍一看，是三角問題，可以運用三角知識求解.
圖1
【課本題4】 如圖1，已知∠A為定角，點P，Q分別在∠A的兩邊上，PQ為定長.當P，Q處于什么位置時，PAQ的面積最大？
圖2
如圖2，設BC=x，則AC=2x.
由余弦定理得cos B=x2+4-2x24x=4-x24x，于是sin B=-x4+24x2-1616x2，所以ABC的面積SABC=12×2?x?sin B=-(x2-12)2+12816.
由2x+x＞2，
x+2＞2x，得22－2＜x＜22+2.
故當x=23時，ABC面積最大，最大面積為22.
但若細細審，可以發現求最大面積表明面積在變化，而引起面積變化的根本原因是點C的變化（可視A，B為定點），即題中點C是動點.可以聯想到解析幾何中的動點軌跡方程.
【課本題5】 已知點M（x，y）與兩個定點O（0，0），A（3，0）的距離之比為12，那么點M的坐標應滿足什么關系？
【課本題6】 求平面內到兩個定點A，B的距離之比等于2的動點M的軌跡方程.
【課本題7】 已知點M到橢圓x2132+y2122=1的左焦點和右焦點的距離之比為2∶3，求點M的軌跡方程.
以上三道課本題所求的軌跡都是圓，稱為阿波羅尼斯圓（平面內到兩個定點的距離之比為正數λ（λ≠1）的動點的軌跡）.
于是【高考題4】中動點C的軌跡是圓.
建立平面直角坐標系xOy，設A（－1，0），B（1，0），C（x，y）（y≠0）.
由AC=2BC，可得（x+1）2+y2=2［（x－1）2+y2］，化簡得（x－3）2+y2=8（y≠0），于是|y|max=22.故（SABC）max=12?AB?|y|max=22.
很顯然，該方法遠簡單于三角方法.
【高考題5】 設x，y為實數，滿足3≤xy2≤8，4≤x2y≤9，則x3y4的最大值是 .
本題初看無從入手，但如果聯想積（商）與和（差）的轉化，便不難想到取對數后即轉化為線性規劃問題.
教材中線性規劃題很多，但介紹的解題方法單一.如果掌握通過整體構建目標函數求解的方法，對本題的解答定有益處.
【課本題8】 求z=2x+y的最大值，其中x，y滿足約束條件x－4y≤－3，3x+5y≤25.
本題解法：設2x+y=m（x－4y）+n（3x+5y）=（m+3n）x+（－4m+5n）y，于是m+3n=2，－4m+5n=1，解得m=717，n=917.
所以2x+y=717（x－4y）+917（3x+5y）≤717×（－3）+917×25=12.故z=2x+y的最大值是12.
對于【高考題5】，可以仿照上述解法：設x3y4=（xy2）m?x2yn=xm+2ny2m-n，于是m+2n=3，2m－n=－4，解得m=－1，n=2.
本題為江蘇省某重點中學一次調研數學試題中的一道填空題，學生做完后感覺不太好入手，本人閱卷后也發現正確率不高，仔細品味一下這道題，覺得很值得研究，下面對這道題的解法作一些探討，供大家參考：
1.引入變量，利用函數求最值。設∠A=α，AB=2x，AD=x，則因為ABC的面積是ABD的面積的兩倍，故問題可轉化求ABD面積的最大值即可。
解法1：（以邊變量為主元）在ABD中，由余弦定理有9=4x2+x2-4x2cosα，得 所以x2=5（即ABC的腰長為2√5）時，ABC的面積最大值為6。
【點評】 從函數角度出發，直接從面積公式下手，其中最關鍵的問題是利用三角形成立的條件求出x的范圍，即確定函數的定義域，這一點恰恰是利用函數解題時容易忽略的或較難確定準確的。
解法2：（以角變量為主元）由上式得 ，
其中 可視為點（cosα，sinα）與點 的連線的斜率，由α∈（0，π），可求得t∈[- ，0]，故ABC的面積最大值為6，此時cosα=，x2=5，即ABC的腰長為2√5。
【點評】從形的角度出發，構造兩點間連線的斜率，借助數形結合思想來解決。
解法3：由于 ，令S'= ，得
在（）上單調遞增，在（）上單調遞減，故Smax=6。
【點評】借助導數求三角函數最值，導數也是解決最值常用的方法。
解法4：由思路2知
，當且僅當5cosα=4?1即cos=
時ABC的面積有最大值6。
【點評】此法利用了不等式（a2-b2）（c2-b2）≤（ac-bd）2當且僅當ac=bd時取“=”號。
2.建系設點，利用基本不等式求最值。以底邊BC所在直線為 軸，BC的垂直平分線為x軸建立如圖所示直角坐標系，設出相關點的坐標，對二元最值問題作一些思考。
解法5：設D（m，n），則A（0，2n），C（2m，0），B（-2m，0），
BD=√9m2+n2=3BD，即9m2+n2=9，
9m2+n2≥2?3mn，即mn≤（當且僅當3m=n時取等號）
SABC=BC?AO=4mn≤6
解法6：同上法建立平面直角坐標系，設AO∩BD=G，則點G為ABC的重心，從而 ，
而
又BD=√9m2+n2=3，即9m2+n2=9，
9m2+n2≥2?3mn，即mn≤（當且僅當3m=n時取等號）
SBOG≤1，從而SABC≤6。
【點評】解法5和解法6，用代數的方法來解決有關幾何圖形問題，往往能收到異曲同工的效果，使我們在“山窮水盡疑無路”時，有著“柳暗花明又一村”的感覺。
3.變式探究。如題改為：若等腰三角形ABC的腰AC上的中線BD的長為3，則ABC周長的最大值為 。
解析：本題可采用引入變量，利用函數求最值，如令AD=x，則腰長為2x，由余弦定理知
即得：
故周長C（x）=4x+√18-2x2，其中1＜x＜3
令C'=4+ ，
得1＜x＜2√2
當1＜x＜2√2時，函數C（x）單調遞增;當2√2＜x＜1時，函數C（x）單調遞減；
故當x=2√2時，函數C（x）取得最大值9√2，即ABC的周長最大值為9√2。
4.引申思考。本題欲求ABC的面積的最大值，實際上只需求ABD的面積的最大值，這也就類似于2008年江蘇高考數學卷第13題：滿足條件AB=2，AC=√2BC的三角形ABC的面積的最大值為________。
解法1：設BC＝x，則AC＝√2x，根據面積公式得
SABC= AB?BCsinB=x√1-cos2B
根據余弦定理得：
代入上式得：
由三角形三邊關系有
解得：
故當x=2√2時取得SABC最大值2√2。
1訂正一些題的錯誤答案
1）與《必修2》配套使用的《教師教學用書》（下簡稱《教師用書2》）第15頁給出的《必修2》第29頁第1題的答案“它的表面積和體積分別為”不對，應改為“它的表面積和體積分別為”.
2）《教師用書2》第16頁給出的《必修2》第36頁第9題前四個小題的答案不完整，應改為.
3）《教師用書2》第90頁給出的《必修2》第115頁第10題的答案中的不對，應改為.
4）《教師用書2》第110頁給出的《必修2》第123頁第2（2）題的答案中的“半徑長是1的圓”不對，應改為“半徑長是11的圓”.
5）《必修2》第139頁習題B組的第3題末的問話是“由以上問題，你得到了什么結論？你能證明你的結論嗎？”，而《教師用書2》第135頁并沒有給出此問的答案，筆者認為答案可以是：與兩條異面直線都垂直且都相交的直線（叫做這兩條異面直線的公垂線）被這兩條異面直線所截得的線段（叫做這兩條異面直線的公垂線段）是連結這兩條異面直線上各一點的線段中的最短者，用直角三角形中的斜邊長大于直角邊長可證此結論全日制普通高級中學教科書《數學?第二冊（下B）》（2006年人民教育出版社）第55頁敘述了這一結論.
6）《必修2》第144頁復習參考題B組的第2題中已給出了點M的坐標（x，y），那就說明題中已建立了坐標系，而題中并未建立坐標系，所以建議把此題題目改述為（答案不變）：
2已知點M與兩個定點M1，M2距離的比是已知的正數m，求點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形（提示：應考慮m=1和m≠1兩種情形）.
2建議對一些題目作修改
1）建議把《必修2》第35頁第1題的第（2）小題改為“用鐵絲作一個三角形，在三個頂點上，分別固定一根筷子，把三根筷子的另一端也用鐵絲連成一個三角形，從而獲得一個幾何體模型如果筷子的長度相等且兩個鐵絲連成的三角形所在的平面平行，那么這個幾何體是”（這樣改動后，答案與《教師用書2》第16頁給出的答案是“三棱柱或三棱臺”相同）
2）《必修2》第35頁第5題中的題設“底面直徑與母線長相等，”是多余的，建議刪去.
3）建議把第79頁第1題改述為：
1如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點E，F分別在邊AB，BC上，且BE=BF=14BC，將AED，DCF分別沿DE，DF折起，使A，C兩點重合于點A′.
（1）求證：A′DEF；
（2）求三棱錐A′-EFD的體積.
4）建議把《必修2》第110頁習題A組第6題改為“已知點A（1，2），B（2，0），P（0，3），Q（-1，1），M（1，0），N（-4，0）六點，長度分別為|AB|，|PQ|，|MN|的三條線段首尾順次相接能圍成一個三角形嗎？為什么？”
5）建議把《必修2》第110頁習題B組第8題中的“0
6）建議把《必修2》第128頁練習的第4題改為“已知直線l：y=x+6，圓C：x2+y2-2y-4=0試求直線l與圓C公共點的個數”（答案：0）
7）建議把《必修2》第132頁練習的第2題末的“求這座圓拱橋的拱圓的方程”改為“求這座圓拱橋的圓拱的方程”.
8）建議把《必修2》第132頁習題第1題末的“如果相交，求出交點坐標”改為“如果有公共點，求出公共點坐標”.
9）建議把《必修2》第133頁習題第8題中的“斜邊BC為m”改為“斜邊BC長為m”.
10）因為《必修2》第138頁練習的第3題及第139頁習題B組的第1題有重復，所以建議刪去前者保留后者并且《教師用書2》第134頁中對這兩道題的解答中均出現了線段的長度是“98”，應改成“72”在前者的解答中，需要驗證“7+7>98”（即兩邊之和大于第三邊），而對于后者是不需要驗證這一步的（滿足勾股定理的逆定理即可）.
11）建議把《必修2》第144頁復習參考題B組的第4題改述為：
（1）交點A，B的坐標； （2）AOB的面積
12）第144頁的復習參考題中應添上關于“43空間直角坐標系”的題目.
3一些定理的敘述應作改動
《必修2》第55頁寫道：
“定理平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行”
命題可以寫成“若……則……”或“如果……那么……”的形式，但若寫成“……則……”或“……那么……”的形式筆者認為不妥，建議把它改述為：
“定理若平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行”
《必修2》第57、59、65、71頁的定理都應進行改動.
4對第86頁腳注的異議
《必修2》第86頁的腳注是“我們約定：若沒有特別說明，說‘兩條直線l1和l2’時，一般是指兩條不重合的直線”第87頁又寫道：
對于兩條不重合的直線l1，l2，其斜率分別為k1，k2，有l1∥l2k1=k2.
請注意：若直線l1和l2可能重合時，我們得到k1=k2l1∥l2
或l1與l2重合
由這些敘述，就使我們對腳注的話無所適從：在解題時，應不應當考慮兩條直線是否重合呢？
再來看第87頁的例3：
第89頁練習的第1題是：
1判斷下列各對直線平行還是垂直：
（1）經過兩點A（2，3），B（-1，0）的直線l1，與經過點P（1，0）且斜率為1的直線l2；
（2）經過兩點C（3，1），B（-2，0）的直線l3，與經過點M（1，-4）且斜率為-5的直線l4.
《教師用書2》第40頁給出的答案是：
顯然，這些解法都沒有考慮兩條直線是否重合的情形.
第89頁習題的第6題是：
6判斷下列各小題中的不同直線l1與l2是否平行：
（1）l1的斜率為2，l2經過點A（1，2），B（4，8）；
（2）l1經過點P（3，3），Q（-5，3），l2平行于x軸，但不經過P，Q兩點；
（3）l1經過點M（-1，0），N（-5，-2），l2經過點R（-4，3），N（0，5）.
從此題題干中的“不同直線l1與l2”來看，說明我們以后解答此類題時，應考慮兩條直線是否重合的情形（第（2）小題中的條件“但不經過P，Q兩點”應去掉，因為它與題干中的“不同直線l1與l2”重復）
第94頁的例2是：
從此題的答案來看，說明以后解答此類題時，也應考慮兩條直線是否重合的情形.
第104頁練習的第2題及第109頁習題的第1題中三個小題的答案均有兩直線重合的情形.
所以我們在編擬此種題目時，難以保證兩條直線沒有重合的情形，因而建議去掉第86頁的腳注，且此種題目的處理方法按老教材全日制普通高級中學教科書（必修）《數學?第二冊（上）》（2006年人民教育出版社）中的方式處理：考慮重合的情形，且應當先講述“直線的方程”，再講述“兩條直線平行與垂直的判定”.
5
關于第99頁的腳注
《必修2》第99頁的腳注“法國數學家，解析幾何創始人之一”是對笛卡爾的介紹，雖然該書第111-112頁對笛卡爾有較詳細的介紹，但首次介紹笛卡爾時，還是應當介紹其生卒年建議將此腳注改為“笛卡爾（Descartes，1596～1650），法國數學家，解析幾何創始人之一”.
另外，《必修2》第125頁中的“王浩（1921-1999）”應改為“王浩（1921-1995）”（可見相關網頁或1995年第6期《哲學研究》第79頁的文章《王浩教授在美逝世》）.
6
關于第103頁的“探究”
一、數學思維品質的基本內涵分析
作為新時期的教育工作者，不單單要給學生傳授知識，更重要的是能夠培養學生自主創新、主動思考問題的能力.自主探索可以有效地提高學生的全面素質，學生自主學習、獨立思考、舉一反三能力的培養在教學上顯得尤其重要.在數學課本中，知識的傳授往往是以習題和例題的形式出現的，很少有文字的闡釋.例題往往是知識點的結合，有著明確的示范和導向作用.所以教師就要充分利用課本中的例習題的教學價值，讓學生學習借鑒例習題的方法，自己進行獨立思考，探索研究，這樣有利于培養學生的發散思維，進而學到得到更多新的知識和學方法.
要想促進和深化中學數學課堂教學改革，提升學生的自主學習、思考能力，必須運用現代化數學教學思想和理論，在探索數學課本上例題、習題的基礎上，豐富學生的數學思維品質，逐步培養學生數學思考的能力.
二、引導學生的發散性思維
這種思維模式可以反映出學生在根據題目所給的信息中，是否可以做到信息的各種可能的擴散，不局限在題目所給的限定的條件.也就是說可以根據題目所給的現有的條件來把自己的思路打開，依據書本中現有的定理和數學公式，通過自己發散的思維來找出解此類題目的關鍵因素，并實現對由此問題延伸出的一系列相關問題的正確解答.如果學生的發散性思維得到開發，學生本身就會很樂意自己去學習，并且還會在這種思維變通中，體會到學習的樂趣，以此達到更好的學習效果，這對教師本身來講也是一種教學的成功.
在教學過程中，教師要對課本的例習題進行深入的挖掘和研究，變換其中的條件，把教材中的例習題講得精一點、深一點.
例如，如圖1 ，利用關于原點對稱點的坐標的特點，作出與ABC關于原點對稱的圖形.
圖1 圖2
以此問題為例，分析可知若ABC關于原點對稱的圖形為A′B′C′，要想作出A′B′C′，首先必須引導學生掌握以下關鍵因素：（1）關于原點對稱也就是兩個圖形上任何一點都必須關于原點相互對稱；（2）A′B′C′的形狀由其三個頂點位置來決定，因此作圖過程中，找出ABC三個頂點關于原點對稱的三個點即可確定A′B′C′三個頂點；（3）根據關于原點對稱點的規律，可將ABC關于原點對稱點的三個頂點坐標確定.
經過分析，教師可引導學生找出該類題型的解題規律.通過以上分析，該題作為一道作圖題，學生不難得出該類題型的解題關鍵是根據“兩點關于原點對稱，則它們的橫、縱坐標都互為相反數”的基本規律，以此來確定ABC的三個頂點關于原點對稱點的坐標，進而可方便地畫出ABC關于原點對稱的圖形.
緊接著教師可將此題“變形”來發散學生思維.
變式1：變化通行位置，求出關于原點對稱點的坐標.
例如，參照圖2所示，PQR是ABC經過某種變化得到的圖形.若ABC邊上任意一點M坐標為（a，b），那么M經過這種變化后的對應點N的坐標為
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引導學生解題思路分析：關于原點對稱的兩個圖形也就是指兩個圖形上任何一組對應點均關于原點對稱，然后根據“兩點關于原點對稱，橫、縱坐標均互為相反數”的基本規律我們不難得到，M（a，b）對應點N的坐標為N（-a，-b）.
變式2：變換圖形的位置，作出關于原點對稱的圖形.
例如，ABC在平面直角坐標系中各頂點均在格點上，其位置可參照圖3所示.
（1）作出ABC關于y軸對稱的圖形A1B1C1，同時寫出C1的坐標.
（2）作出ABC關于直角坐標系原點O對稱的A2B2C2，同時寫出點C2的坐標.
圖3
引導學生解題思路分析：（1）由于所求的A1B1C1與ABC關于y軸對稱，所以可結合“兩點關于y軸對稱，它們縱坐標不變，橫坐標相互為相反數”這一規律得出A1、B1、C1三點坐標；（2）由于A2B2C2與ABC關于原點對稱，因此可結合“兩點關于原點對稱，則它們橫、縱坐標均互為相反數”的規律來得出A2、B2、C2三點坐標.由此分析，學生自然可作出如圖4所示的結果，且求得C1的坐標為（-3，2），C2的坐標為（-3，3）.
數學教育家弗賴登塔爾指出：反思是數學活動的核心和動力.通過對例題不斷變式探索，可有效地培養學生對新問題的探索精神，同時也發散了思維，不會再因觸及到新題目，而感到一片茫然.教師作為問題的引導者，一定要充分發揮其應有的積極作用，鼓勵學生積極主動去探索新的問題，解題后要引導學生進行反思，培養他們的發散性思維及發現問題解決問題的能力.尤其是到了初中階段之后，隨著年齡的不斷增長，學生的這種思維也逐步呈現出加速的趨勢.課本例習題作為學生數學學習的基礎，有些例習題的條件含而不露，弦外有音，這就為理解片面，審題馬虎的學生設置了障礙.因此，我們應有效的培養學生多角度思維模式，努力培養學生養成深入研究問題的好習慣.
三、挖掘隱含條件，靈活的將問題進行轉化
初中時期的學生對各種游戲活動往往具有較高的興趣，所以在課堂教學過程中我們能夠按照學生的心理狀況與教學知識來設計合理的數學游戲，把要求學生應當理解和掌握的知識點滲透到游戲活動中來，同時在這一過程中將數學思想滲透給學生，讓他們在潛移默化中培養數學思維方式，擺正學習態度，促進課堂教學效率的不斷提升。與此同時，還能夠借助于數學游戲來調動學生的學習積極性，因為數學游戲可以把抽象的知識內容變得更加形象化，初中數學中常常有很多抽象的知識點，這些知識是要求學生必須掌握的，所以我們在課堂教學中引入游戲，將實際生活中的案例搬到課堂中來引導學生理解知識，讓他們在潛移默化的過程中把抽象的知識點具象化，隨后完成內化的過程。在初中數學課堂教學中，作為教師應當給學生提供更多觀察和分析的機會，進一步培養學生的自學能力，讓他們實現終身學習。
二、游戲教學法在初中數學課堂中的應用
（一）在知識講解中應用數學游戲
初中數學課堂教學中學生往往會碰到很多性質類、定理類的知識概念需要掌握和理解，然而因為部分學生自身理解能力和基礎知識水平不是很高，所以在學習過程中對這部分定理和性質應用不是非常熟練，理解也不夠透徹。所以我們能夠應用合理的數學游戲，充分發揮出游戲活動的作用，如對三角形相關性質與定理的學習過程中，因為三角形性質較多，初中生學習時好奇心較重，不免會提出很多有趣的問題。在教學三角形內角和為180€笆保糠盅崳飾裁矗懇獯鶿塹囊苫笪頤悄芄簧杓埔恍蝸罰縟盟親約憾種譜魅切危蟀蚜礁黿羌糲呂叢俸土磽飭礁黿瞧唇釉諞黃穡岱⑾幟芄黃闖梢桓銎澆牽绱艘煥此塹囊晌示湍芄幌N唐淅斫猓頤且竺懇幻屯瀾醒菔荊傭由疃哉庖歡ɡ淼募且鋄1]。
（二）在思維培養中設置數學游戲
初中數學課堂教學過程中，科學的應用游戲教學法能夠幫助我們更好的培養學生的數學思維，同時在設計數學游戲活動的過程中，教師應當對游戲有更加深入的解讀，同時對游戲的選擇也必須要重視其中蘊含的數學價值和趣味性特點。對數學游戲的深入解讀能夠讓學生逐漸培養和提升數學思維。例如說在教學三視圖的過程中我們能夠設計如下的游戲活動，拿出一個透明的水壺擺放在講臺上，隨后把學生分為幾個不同的小組要求他們對水壺進行觀察，借助于不同角度的觀察，學生所說出的答案和正視圖都存在一定的差別。此時學生會產生疑問，我們順勢把三視圖的基本概念和應用向他們進行詳細的講解，再回頭配合觀察水壺這個游戲，讓學生對三視圖相關知識的理解更加深入。
（三）在講解概念時設置數學游戲
講解數學概念時常常不容易吸引學生的注意力，學生學習起來也較為乏味，因此我們應用數學游戲來讓這部分知識變得有趣起來，調動他們的學習積極性。如在教學平面直角坐標系的各象限中的坐標符號時，我們能夠設置如下的游戲：首先向學生解釋要求兩位學生手牽手，這樣表示有序實數即是平面中的某點坐標，位于左邊的學生代表橫坐標，位于右邊的學生代表縱坐標，面朝大家為正數，背向大家為負數；隨后我們邀請任意兩位同學手牽手站在講臺上，蒙住雙眼，在地上畫出直角坐標系，要求兩名同學不斷變換方向。隨后提問：誰可以根據他們面對的方向帶這兩名同學回到各個象限中？借助于這一游戲讓學生更加深刻的了解了平面直角坐標系的應用，進而強化了他們對知識的理解。
（四）在鞏固新知時應用數學游戲
所謂溫故而知新，鞏固和復習知識是數學學習中非常重要的一部分，在過去的課堂教學過程中，當學生基本掌握新學的知識內容后，教師常常會選擇一些練習題來幫助學生鞏固教學，然而這樣較為傳統的“題海戰術”很難調動學生的學習積極性。在鞏固知識內容的過程中，我們能夠考慮應用游戲活動，讓游戲變為練習，這樣一來往往能夠起到更好的鞏固效果。例如說在教學了概率這部分知識之后，為了進一步加深學生對概率的理解和認識，讓他們感受到概率在實際生活中的應用，我們設計了一個轉盤游戲。事先制作好兩個轉盤，一個分為三部分，標上1、2、3，一個分為兩部分，標上4、5，這時任意邀請兩位學生來轉轉盤，兩人轉完一次為一輪游戲。學生A的獲勝要求是兩個轉盤之和為6、7，否則學生B獲勝。其他同學自己選擇支持的一方。在得到結果后我們要求學生思考這一游戲是否公平，為什么，并計算出概率[2]。
三、結語
總而言之，初中數學課堂教學中設計科學合理的數學游戲來輔助教學活動，能夠讓學生更容易理解和掌握數學知識，充分調動其學習積極性，培養其學習信心。作為一線數學教學，我們更應當進一步深入探索更新更好的教學方法，積極總結經驗教訓，讓數學課堂更加豐富多彩，充滿趣味。
參考文獻：
