時間：2023-05-30 10:54:50
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇矩形練習題，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
【教材題1】如圖1，ABCD是正方形。點G是BC上任意一點，DEAG于E，BF∥DE，交AG于F。求證AF-BF=EF。 （人教版?數學?八年級下冊）
【中考題1】（2010年云南紅河哈尼族彝族自治州）如圖1，在正方形ABCD中，G是BC上的任意一點（G與B、C兩點不重合），E、F是AG上的兩點（E、F與A、G兩點不重合），若AF=BF+EF，∠1=∠2，請判斷線段DE與BF有怎樣的位置關系，并證明你的結論。
【點評】此題是將教材題1中的結論變為條件而改編成的一道探索結論型的中考題。因此，兩道試題的解題思路是互逆的，旨在考查正方形、全等三角形、平行線、垂直等知識及學生的探究力和推理能力。
【感悟一】上述中考試題都源于教材，學生有似曾相識的感覺，上手比較容易，且有新意，能較好地考查學生應用知識的能力，這給我們的中考復習有如下啟示：
1.緊扣教材，夯實“三基”
教材是考試內容的載體，是命題的依據，是最有參考價值的資料。縱觀各地的中考試題，有很多試題是在教材練習題的基礎上通過類比加以改造、變式或延伸或拓展而成。而正確的解題思路源于對所學基礎知識、基本技能、基本思想方法的掌握。因此，在中考復習時要引導學生對基礎知識和基本思想方法進行梳理、歸納，并達到熟練掌握的程度。對典型的例題做到舉一反三、觸類旁通，對平時容易出錯的地方應進行辨析確認，找到防范措施，做到準確無誤。
2.注意細節，規范答題
細節決定成敗。數學命題邏輯性強，思維嚴謹，要求步步有根有據，逐層推進，書寫規范，格式簡明。所以在教學時要注重培養學生用數學語言準確、簡潔地表達自己的觀點和思想，養成審題認真、答題規范的好習慣，這樣才能有效地提高數學成績。
【教材題2】如圖2，用一段長為30m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長為18m，這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少？（人教版?數學?九年級下冊）
【中考題2】（2011年湖北武漢市）星光中學課外活動小組準備圍建一個矩形生物苗圃園，其中一邊靠墻，另外三邊用長為30米的籬笆圍成。已知墻長為18米（如圖2），設這個苗圃園垂直于墻的一邊的長為x米。
（1）若平行于墻的一邊的長為y米，直接寫出y與x之間的函數關系式及其自變量x的取值范圍；
（2）垂直于墻的一邊長為多少米時，這個苗圃園的面積最大，并求出這個最大值；
（3）當這個苗圃園的面積不小于88平方米時，試結合函數圖象，直接寫出x的取值范圍。
【點評】中考試題的前兩問直接引用教材題2，第3問是對教材題2的延伸。試題旨是在考查二次函數、不等式等知識以及轉化思想、數形結合思想、應用能力等。 此題貼近學生生活，讓學生在“解決問題”的過程中，充分體會數學與生活的聯系，了解數學的價值，增進對數學的理解。
【感悟二】重視聯系現實生活，加強對應用能力的考察是近年來各地中考數學試題的一大特點。因此，在中考復習時要做到：
1.注重培養學生把實際問題轉化成數學問題（數學建模）的能力
引導學生學會從具體問題情境出發建立模型，尋求結論，應用與推廣。創設學生所熟悉的、感興趣的問題情境，引導學生動手操作，積極思考，逐步發展應用意識，形成基本的實踐應用能力。
2.引導學生關注生活中的數學
數學源于生活。教師要引導學生學會用“數學”思考生活，使數學生活化、生活數學化，讓學生從周圍熟悉的事物中學習數學、理解數學和應用數學，從而使學生真正體會到數學的實用價值。
關鍵詞： 初中數學總復習 復習計劃 基礎知識
初中數學總復習是初中數學教學的一個至關重要的環節。重視并認真完成這個階段的教學任務，一是有利于初三學生鞏固、消化、歸納數學基礎知識；二是對基礎較差的學生做到了查缺補漏，中等生有所提高，優等生再上一步，達到培優補差的目的；三是提高學生分析、解決問題的能力，以便應對中考，同時也能夠使學生將所學的知識運用到現實生活中，達到學以致用。下面我結合多年來的教學實踐與經驗談談看法。
一、根據大綱和考綱，制訂復習計劃
初中數學內容多而雜，其基礎知識和基本技能又比較分散，學生掌握起來很困難。因此，教師必須依據大綱規定的內容和知識要點，近幾年的中考精神及試題的考點，精心擬訂復習計劃。計劃的擬訂要結合學生的實際情況。可采用基礎知識習題化的方法，根據在平時教學中掌握的學生應用知識的情況，編制滲透主要知識點的測試題，讓學生在規定時間內獨立完成。然后根據測試中學生出現的問題確定復習的重點、難點及關鍵處。制訂復習計劃后，要做好復習課例題的選擇、練習題的篩選。教師制訂的復習計劃要明確告之學生，讓其制訂個人具體復習規劃。這樣使每位學生都能在雙重計劃的督促下去學習、去努力。
二、理解、掌握、夯實基礎知識
總復習開始的第一階段，首先必須強調學生系統掌握課本上的基礎知識和基本技能，吃透課本。對學生提出明確的要求：①對概念性的知識（法則、公式、定理等），不但要準確敘述，而且要靈活應用。例如，圓周角定理的推論：在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等。如果把“同圓或等圓”這一條件忽略，后一部分即是一假命題，那么利用其作為依據就會得出錯誤的結果。因此一定要準確理解掌握概念性知識。②對課本上的練習題必須逐題過關。因為每章后的復習題具有代表性、典型性、綜合性，要求學生必須獨立完成或小組討論完成。尤其是近些年來的一些中考試題，是按課本上題的題型或是原題拓展延伸進行變形而命題的。所以在總復習時教師和學生都應注重課本知識。
三、整理、歸納、分類，培養學生能力
在總復習的第二階段，要特別體現教師的主導作用。對初中數學知識加以系統整理、歸納、分類，弄清數學知識間的內在聯系及相互轉化，從而形成知識網絡。這樣便于學生理解和掌握所學的知識。例如，初中函數部分主要分為一次函數、反比例函數、二次函數。四邊形主要分為平行四邊形、矩形、菱形、正方形。方程有一元一次方程、一元二次方程、分式方程。這種歸納總結在程度高的班級可由學生自行完成，在程度低的班級師生共同完成，其主要目的是鍛煉學生的歸納概括總結能力。通過對特殊四邊形的性質、幾種方程的解法的復習，學生能更進一步地了解數學知識間內在聯系及相互轉化關系，同時掌握轉化思想。如解分式方程應轉化成整式方程，一元二次方程應轉化成一元一次方程。又如，利用圖示表示幾種四邊形的關系，從而激發學生學習數學的興趣。這樣的知識歸納、整理便于學生理解和掌握。
四、精選練習題，提高復習成效
除了重視課本中的重點章節之外，主要以反復練習為主，充分發揮學生的主體作用。以綜合練習題為主，適當加大模擬題的分量。對教師來說，這時的主要任務是根據近幾年的中考試題精選習題，刪減復習資料中沒有價值的題目，免得浪費學生過多的時間。精選綜合練習題要注意兩個方面：第一，選擇的習題要有目的性、典型性和規律性。近些年的中考都涉及較多基礎性的題目。另外，選些聯系生活實際，比較熱點的開放性問題。在試卷講評中充分發揮學生的主體作用，讓學生自己評析，這樣能大幅度提高學生學習積極性，從而培養學生的實踐能力。第二，習題要有啟發性、靈活性和綜合性。如，角平分線定理的證明及應用；圓中圓周角、圓心角的關系推導及應用、垂徑定理的證明及應用都是綜合性強且是應重點掌握的內容，要抓住不放，抓出成效，收到舉一反三，觸類旁通的效果。練習題的精選是很重要的，不可忽視。教師出題測試時，低、中、高檔題的比例要恰當，同時也要結合學生實際。講評時要有針對性，不面面俱到。
總之，搞好初中數學總復習不是一件容易的事，是一項重大的工程。教師要不斷刻苦鉆研，嚴格要求自己，上好每一節復習課。
根據本節內容的特點和與平行四邊形的關系,建議教師在教學過程中注重以下問題:
1.正方形的知識,學生在小學時接觸過一些,可由小學學過的知識作為引入。
2.正方形在現實中的實例較多,在講解正方形的性質和判定時,教師可自行預備或由學生預備一些生活實例來進行判別應用了哪些性質和判定,既增加了學生的參與感又鞏固了所學的知識.
3.假如條件答應,教師在講授這節內容前,可指導學生按照教材145頁圖430所示,制作一個平行四邊形作為教學過程中的道具,既增強了學生的動手能力和參與感,有在教學中有切實的體例,使學生對知識的把握更輕松些.
4.在對性質的講解中,教師可將學生分成若干組,每個學生分別對事先預備后的圖形進行邊、角、對角線的測量,然后在組內進行整理、歸納.
5.由于正方形的性質定理證實比較簡單,教師可引導學生分析思路,由學生來進行具體的證實.
6.在正方形性質應用講解中,為便于理解把握,教師要注重題目的層次安排。
教學引入
師:前面我們已經學習過平行四邊形、矩形和菱形,知道矩形和菱形都是非凡的平行四邊形,他們都具有平行四邊形的性質,同時又都具有各自獨特的性質。
師:現在我們來學習一種新的非凡的平行四邊形正方形。
講授新課
師:正方形我們在小學就已經接觸過,首先我們來看正方形的定義。
動畫演示:
場景一:正方形定義
師:正方形的定義我們可以分成倆部分來理解:
(1)有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形。
(2)有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做正方形。
師:根據這兩部分我們會想起什么?
[學生活動:積極思考,回想學過定義,大部分學生會想起矩形和菱形,小聲議論甚至搶答。]
生:有一個角是直角的平行四邊形是矩形,(1)說的是矩形;有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形,(2)說的是菱形。
生:正方形既是矩形又是菱形。
生:正方形還是平行四邊形。
師:大家想得都不錯。正方形既是矩形又是菱形,根據定義,他還是平行四邊形。
師:正方形是非凡的平行四邊形、矩形、菱形。
動畫演示:
場景二:正方形與平行四邊形、矩形、菱形的關系
師:正方形、平行四邊形、矩形、菱形他們之間的關系還可以用圖1來表示:
圖1
師:請同學們回想一下,我們在學習矩形、菱形時,知道矩形和菱形都是非凡的平行四邊形,他們都具有平行四邊形的性質,同時又都具有各自獨特的性質。
師:那么,根據正方形與平行四邊形、矩形、菱形的關系,正方形應具有什么樣的性質?
[學生活動:回憶矩形、菱形的性質,并逐個驗證在正方形上。]
師在學生活動時要注重觀察學生的情況,有迷惑時要注重及時反饋。
師:我們來歸納總結正方形的性質。
動畫演示:
場景三:矩形的性質
場景四:菱形的性質
?場景五:正方形的性質
例題講解
例1在已知銳角三角形ABC外邊作正方形ABDE和正方形ACFG,求證:BG=CE
分析:據已知條件畫出圖形,如圖2所示,要證實線段相等,與圖形可以證實二個三角形全等,即只需證實ABG≌AEC.
證實:四邊形ABDE和ACFG都是正方形
AB=AE,AG=AC
∠BAE=∠CAG=90°
∠BAE∠BAC=∠CAG∠BAC
即∠BAG=∠EAC
ABG≌AECBG=CE
圖2
說明:應用正方形的性質,可以為證實全等提供條件,要注重等式性質的應用,這與向銳角三角形ABC外作等邊三角形的結論完全相同,證法是可以借鑒的。
鞏固練習
鞏固練習題目可有教師根據學生情況自主選擇。
講解新課
師:正方形是非凡的平行四邊形、矩形、菱形,那么根據平行四邊形、矩形、菱形和正方形它們之間的關系,怎么判定一個矩形是正方形?
生:證一組鄰邊相等。
師:怎么判定一個菱形是正方形?
生:證有一個角是直角。
師:怎么判定一個平行四邊形是正方形?
生:根據定義,證有一組鄰邊相等且有一個角是直角。
師:那么,剛才的結論假如用圖來表示,是不是如圖3所示?
師:圖3表現出由平行四邊形、矩形、菱形分別得到正方形的三種方法。這是我們根據平行四邊形、矩形、菱形和正方形它們之間的關系得到的,但似乎有缺憾,能不能同樣根據平行四邊形、矩形、菱形和正方形它們之間的關系把圖3補全?
[學生活動:積極思考,部分學生迷惑不解。]
師點取上等學生回答問題,根據回答得圖4。
生恍然大悟。
學生思路得到啟發,中上等及上等學生意猶未盡,鼓勵他們根據矩形、菱形的判定方法直接得到正方形的判定思路,并要求其舉出簡單示例。
就勢跟進,要求學生思考,給定四邊形,有什么樣的邊、角、對角線條件可判定四邊形是正方形?要求給出簡單圖例,并說出相應證實思路。
為進一步理解正方形的判定方法,可研究以下幾個問題:
(3)對角線相等的菱形是正方形嗎?
(4)對角線互相垂直的矩形是正方形嗎?
(5)對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形嗎?若不是,還需增加什么條件?
(6)能說“四條便都相等的四邊形是正方形嗎?”
(7)四個角都相等的四邊形是正方形嗎?
小結:證實正方形的思路,總體講三種思路,如圖4所示;碰到具體條件要學會具體分析,規定條件和隱含條件不外乎邊、角、對角線,或者把他們攪和在一起。這是一定要都要冷靜,學會去分析。
動畫演示:
場景六:正方形的判定
F例題講解
例2如圖所示,在正方形ABCD中,E、F分別是BC、AB的中點,DE、CF相交于M,
求證:AD=AM。
分析:欲證AD=AM,只需證實∠1=∠2,但要根據題目條件直接證實∠1=∠2比較困難,考慮到E、F是正方形的兩邊中點,輕易證實得:BCF≌CDF,得∠3=∠4,而∠4∠BCF=90°.由此DECF,這是要證AD=AM,是否想到與直角有關的等腰三角形?只需延長CF、DA交于N,即可出現直角三角形MND,只要證實A是ND中點即可。這是是否發現BCF≌ANF?由AN=BC=AD,從而A是ND中點,MA是直角三角形MND的斜邊ND上的中線。問題得證。
證實:略。
[關鍵詞] 設計 分析 鞏固 提高 跟蹤
數學測驗、講評是教學過程的重要一環。目前,數學考試后的講評課大多被上成教師一講到底的錯題訂正課,這種缺乏學生主體活動的注入式教法,很難收到應有的效果。怎樣才能上好數學講評課呢?幾年來,我摸索并踐行了“設計分析鞏固提高跟蹤”五步講評法,取得了較好效果。
一、評前設計,不可忽視
上數學講評課時,不少老師思想不夠重視,忽視講評課教案的書寫,將試卷從頭到尾逐條講解,面面俱到,既浪費學生的時間,又容易使學生產生厭煩心理,收效甚微。因此,做好評前設計,顯得尤為重要。評前設計可包含統計表、鞏固練習、拓展習題等內容。用如圖所示的雙向細目表:
可將每題的得分情況一覽無余,從而了解答題情況,知道哪些題答得好,哪些題答得差。對答得差的題,在試卷上注明:答對的同學有哪些(講評時便于表揚激勵);出現的錯誤有哪幾處;產生錯誤的癥結;避免犯錯的方法。對錯誤較多的共性問題,精心設計一份有針對性的練習題或對原題作適當改變,作為評后的矯正練習,對學有余力的學生,將某些題設計成開放性題,供其探索研究,拓展其思維。做好了評前設計,在講評時就能真正做到評不足、評誤解、評進步、評亮點、評出方向,評出信心。
二、錯題分析,對癥下藥
講評時,不能“頭疼醫頭,腳疼醫腳”。否則,學生的收獲往往只會解一道題,不能解一類題,未能很好地體現學生的主動性和積極性。新課程標準指出:“學生是學習的主人,教師是學習的組織者、引導者與合作者。”講評課也要遵循教師為主導,學生為主體的啟發式原則。通過評前的統計,從學生出錯的題目中尋找發生錯誤的根源,對癥下藥,才能從根本上解決問題,做到糾正一題,明白一理,從而舉一反三,掌握一類型。
[例]下列命題中正確的個數有( )個
①一組對邊平行,另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形;
②一組鄰邊相等的菱形是正方形;
③每條對角線分別平分每組對角的四邊形是菱形;
④兩條對角線相等的四邊形是矩形。
A.1B.2C.3D.4
這道題是考查學生對平行四邊形、正方形、菱形、矩形的判定的掌握程度,學生難以選擇。講評時,第一步:引導學生發表不同見解,多向交流,先判斷每個命題的真假,讓判斷真命題的學生說出理由,對假命題舉出反例加以說明。根據前面統計情況由做錯的同學先回答,再由做對的同學加以糾正,并對這一題做對的同學予以表揚。通過討論達成共識:這道題應選A。因為:①一組對邊平行,另一組對邊相等的四邊形可以為等腰梯形;②一組鄰邊相等的菱形可能為一般菱形;④兩條對角線相等的四邊形可以為等腰梯形。
第二步:要求學生把上述假命題訂正成真命題,可以得到:
①一組對邊平行(相等),另一組對邊也平行(相等)的四邊形是平行四邊形;
②有一組鄰邊相等的矩形是正方形;
④兩條對角線相等的平行四邊形是矩形。
第三步:分組討論,怎樣的四邊形是平行四邊形、矩形、菱形、正方形。
第四步:制作知識網絡圖。
這樣,學生不僅透徹理解了這道題,而且完善了對平行四邊形、矩形、菱形、正方形的認識。
三、強化練習,鞏固知識
對于學生錯漏較多的共性問題,分析理解后,教師可以及時進行強化練習,作為評講后的矯正補償學習,讓易錯易混淆的問題多次在練習中出現,達到鞏固的目的。如在講完剛才那一題后,可補充如下練習:
1.給出下列命題,其中錯誤命題的個數有( )
①四條邊相等的四邊形是正方形
②兩組鄰邊分別相等的四邊形是平行四邊形
③有一個角是直角的平行四邊形是矩形
④矩形、線段都是軸對稱圖形
A.1個B.2個C.3個D.4個
2.有一個角是直角的叫做矩形,對角線的平行四邊形是矩形,有三個角是直角的是矩形;一組鄰邊相等的是菱形,對角線的四邊形是菱形;的菱形是正方形,的矩形是正方形,對角線的四邊形是正方形。
這樣,通過講、練,學生對平行四邊形、矩形、菱形、正方形有了進一步認識,再次碰到類似問題,就能迎刃而解了。
四、因材施教,全面提高
新課標“著眼于全體學生的全面發展”的目標理念。因此,對測試中較難的題目,講評時要結合學生實際,面向全體,針對中層,顧及兩端,可以就同一道題對不同程度的學生提出不同的要求。
[例]已知:如圖,以ABC的三邊為邊在BC的同側分別作三個等邊三角形,即ABD、BCE、ACF。求證:四邊形ADEF是平行四邊形。
部分學生不能找到證平行四邊形的條件,講評時可引導學生有針對性地發現將ABC分別繞點B、C旋轉60。可得到DBE、FEC,因而可知ABC≌DBE≌FEC,從而有DE=AC=AF,FE=AB=AD,根據兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形,命題得證。
對學有余力的同學,可提出下列問題:
(1)當ABC滿足什么條件時,四邊形ADEF是矩形?
(2)當ABC滿足什么條件時,四邊形ADEF是菱形?
(3)當ABC滿足什么條件時,四邊形ADEF是正方形?
(4)當ABC滿足什么條件時,以A、D、E、F為頂點的四邊形不存在?
這樣,不同的人在數學上得到不同的發展,優等生可以“錦上添花”,中等生可以“更上一層樓”,后進生可力爭“趕上隊伍”。
五、跟蹤輔導,深化效果
命題：等腰三角形底邊上（或其延長線上）的任意一點，到兩腰上的距離之和（或差）等于一腰上的高.
已知：如圖1，在ABC中，AB=AC，D是底邊BC上的任意一點，DEAB于E點，DFAC于F點，BG是腰AC上的高.
求證：BG=DE＋DF.
證明：連接AD.
SABC =SABD ＋SACD，
AC•BG= AB•DE＋ AC•DF.
AB=AC，
AC•BG= AC•DE＋ AC•DF.
即AC•BG=AC•（DE+DF）.
BG=DE＋DF.
即DE＋DF是一個定值，它等于腰上高的長.
如圖2，在ABC中，已知AB=AC，D是底邊BC延長線上的任意一點，DEAB于E點，DFAC的延長線于F點，CG是腰AB上的高，則有DE－DF=CG.（請同學們完成證明）
即DE－DF是一個定值，它等于腰上高的長.
例1 如圖3，在矩形ABCD中，O是對角線AC，BD的交點，AB=3，AD=4，P是AD邊上的一個動點，且PEAC于E點，PFBD于F點，則PE＋PF=.
分析： 因為四邊形ABCD是矩形，所以OAD是等腰三角形，P點恰好是底邊AD上的任意一點，且PEAC于E點，PFBD于F點，根據命題，可得PE＋PF等于腰OD上的高AG.在RtABD中，利用面積就能求出AG的長.
解：作AGBD于G點.
在RtABD中，BD= = =5.
ABD是直角三角形，且AG是斜邊BD上的高，
SABD = AB•AD= BD•AG，AG= = .
由四邊形ABCD為矩形，可知OA=OD，即OAD為等腰三角形.
P是底邊AD上的任意一點，且PEAC于E點，PFBD于F點，
PE＋PF=AG.即PE＋PF= .故填 .
例2 如圖4，在ABC中，已知∠A=90°，D是AB上一點，且BD=CD，過CB延長線上的任意一點P，作PEAB的延長線于E點，PFCD的延長線于F點.已知AD∶DB=1∶3，BC=4 ，求PF-PE的值.
分析： 顯然CDB為等腰三角形，P恰好是底邊CB延長線上的任意一點，且PEDB的延長線于E點，PFCD的延長線于F點.根據命題，可得PF－PE等于腰BD上的高AC.在RtACD中，利用勾股定理表示出AC與AD的關系，再在RtACB中利用勾股定理，即可求AC的長.
解：設AD=x，則BD=CD=3x.
在RtACD中，AC2=CD2-AD2=9x2-x2=8x2.
在RtACB中，AB2＋AC2=BC2，即（4x）2＋8x2=（4 ）2.
解得x=2（負值已舍去）.所以AC=2 x=4 .
由BD=CD，知CDB為等腰三角形.
根據命題，可得PF-PE等于AC的長，即PF－PE=4 .
點評：這類從習題中總結出來的命題，考試中可能不能當定理使用，但對于分析圖形作用很大.等腰三角形還有其他性質，比如，等腰三角形兩底角的平分線相等，兩腰上的高相等，兩腰上的中線相等，底邊中點到兩腰上的垂線段相等，等等.
練習題
1. 如圖5，在ABC中，已知∠BAC=150°，AB=AC=4 cm，D是底邊BC延長線上的任意一點，且DEBA的延長線于E點，DFAC的延長線于F點，則DE－DF=.
（答案：2 cm）
一、習題課的概念
習題課是指教師根據教材的內容和學生掌握知識的要求，在課堂上所進行的以講解練習題為主的一種課型。它是鞏固基礎知識、深入理解概念，進一步掌握基本規律的環節，是培養學生分析問題、解決問題、實現知識飛躍的主要途徑。
二、習題課在教學過程中的作用
1、深化與活化作用；通過習題教學及練習，學生可以進一步深化、活化基本知識與基本技能，并能達到牢固的掌握概念，深刻地理解規律的目的。
2、反饋與補償作用；通過習題教學和練習，教師可以隨時得到有關學習情況的反饋信息，借以調整教學內容、方法和進程。另外，已經理解的基礎知識并不一定達到能靈活運用的程度。因此就要借助習題課來達到補償。
3、鞏固與提高作用；為了牢固地掌握基礎知識，就需要通過習題教學來鞏固。與此同時，在已經鞏固的基礎上，再通過習題教學，達到提高運用知識，分析問題和解決問題能力的目的。
三、習題課實施過程中的基本要求
（一）合理的選題
著名數學家波利亞也曾說過“掌握數學就是意味著擅于解題”。 習題課作為一種重要的教學補償手段，精選一些與教材內容相聯系的習題展開分析和討論，提高學生運用所學知識分析和解決較為復雜的具有靈活性和綜合性問題的能力。一節習題課的質量很大程度上取決于教者對習題的選擇。在選題時教師首先要根據自己教學情況確定選題依據，對各知識點的要求做到心中有數，從而避免在選擇習題時出現“偏、怪、難”題；其次，選題一定要在對自己學生實際情況有深刻了解和認識的基礎上，把握學生的弱點，從而進行有針對性的訓練和培養。這樣選題才能有針對性、有明確的目的。才能更好地達成教學目標；第三，習題的設計必須有一定的關聯，比如，可以是同一個知識點的層層深化，也可以是一個知識點與不同知識在不同背景下的組合。要能夠通過知識的縱向延伸，橫向發展，系統擴充來發揮習題的補償與提高作用，大幅度地提高習題課的效率和質量；最后，選題要做到新穎靈活，鼓勵學生打破常規銳意創新，使學生在多思多變中提高思維的靈活性和創造性。
（二）構建完整體系
一堂習題課往往安排在幾個知識點后甚至一章內容之后，因為知識點較多因而必須適當整理，使學生對已學知識進行再認識，并進一步從數學思想方法的高度認識知識的本質和內在的聯系，從而使所學的知識融會貫通，運用自如。而通過平時的作業批改或學生輔導能使教師了解哪些知識學生掌握的不夠，習題課時可以回顧這些概念形成的過程，通過變式設問來加深對概念的理解，使學生思維由淺入深，有利于培養學生準確概括的思維能力。
例如：在上四邊形習題課時，針對學生概念模糊預先設計如下“問題鏈”：①順次連結任意四邊形各邊中點所得的四邊形是什么圖形？②如果把“順次連結任意四邊形各邊中點所得四邊形”定義為這個四邊形的“中點四邊形”，試分別說出平形四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形的中點四邊形是什么圖形。③分別說出對角線互相垂直、對角線相等的四邊形的中點四邊形是什么圖形。學生比較容易得到上述問題的結論，然后引導學生進行逆向提問：④如果中點四邊形分別是矩形、菱形、正方形，那么原四邊形的對角線有什么特征？ 通過上述多角度的提問，學生獲得了多角度的理解。在弄清“中點四邊形”概念內涵和外延的基礎上，真正掌握了概念的本質屬性，提高了綜合概括的能力，培養了思維的準確性。
（三）做好鞏固練習及反饋處理
[關鍵詞] 數學復習課教學；反思
初中數學教學任務完成之后，進行全面而深入的系統復習是鞏固、深化和繼續生成所學內容的關鍵環節. 恰當、有效地復習，不僅可以達到查漏補缺、掌握教材內容再學習的目的，還有利于學生歸納數學基礎知識，提高分析、解決問題的能力，促進學生對所學知識的實際運用. 成功的復習能幫助學生建立自信，在解決數學問題時能正常發揮甚至超常發揮.
然而，很多教師抱怨：“這道題我反復講了很多次，也讓學生練過不知多少遍了，可他們就是不會做！”學生埋怨：“復習題做了千萬遍，數學成績卻不見長進.”究其原因，他們的復習（包括做題）只停留在重復的層面，教師沒有對教材知識進行梳理和歸納，沒有達成學生運用能力的內化和提升，教師只是試圖通過不斷重復來鞏固復習的效果，忽視了知識技能的積累、遷移與延伸.
傳統數學復習課的主要弊端
1. 拿來主義，對試題無優選，而是簡單重復的題海戰術. 俗話說，熟能生巧，多做題能使部分學生的數學成績有不同程度的提高，但題海戰術的缺點也是不容忽略的，主要體現在以下四點：一是針對性差. 不同情況的學生做同樣的題，效果肯定參差不齊，很難達到因材施教、各取所需的目的. 中上成績的學生甚至會引發思維厭倦，成績不升反降. 二是浪費時間和精力. 為了練習個別沒有掌握的知識點，浪費大量的時間去練習一些已經被很多同學掌握的知識點，影響了其他內容的復習與鞏固. 三是注重知識掌握，忽視答題技巧的積累. 題海戰術的目的主要是鞏固知識點和強化部分題的解題技巧，其操作仍停留在輸入層面的檢查，忽視了學生的輸出層面. 四是注重結果，忽略過程. 每次檢測之后，老師、學生、家長最關心的都是成績，很少有人深層次地探討每個錯誤的根源. 上述種種缺點恰恰與減輕學生負擔、打造高效課堂相違背.
2. “填鴨式”的講解，缺少調動學生主動參與的意識. 復習課，尤其是試卷評講，教師習慣于包攬課堂，雖然偶爾也喊學生回答問題，但僅僅是因為該同學上課走神. “填鴨式”的講解，雖然“效率高”，但不利于學生學習興趣和求知欲望的激發，也不利于開展“探索性”學習所需創設的環境氛圍.
3. 限制了相當一部分學生的“表現欲”和“成就感”（如性格內向的中等生），也會造成一部分學生（如學困生）“被邊緣化”，不利于學生人格發展和個性發展，也不利于培養良好的班級學風.
4. 教師忙于尋找習題和批改作業，錯過了典型例題的研究和示范性的推進，不利于培優. 由于尋找習題和批改作業耗費了大量的精力和時間，導致對典型例題的發現和研究不夠，最為重要的是課堂因教師的精力不足而顯得平淡和枯燥. 課堂氣氛的沉悶必然導致學生注意力的難以維持、數學學習興趣的減退，那些自覺性較差或接受能力弱的學生因得不到應有的幫助而更加落伍，不利于均衡發展.
如何克服上述弊端，使不同層次學習水平的學生有效地提高復習效率呢？對初中數學復習課的課程教學組織形式由靜態結構向不斷創新、靈活多變進行改革，是非常必要的. “行成于思而毀于隨”，對數學復習課的各個環節進行反思是提高數學復習課效率和效果的前提與基礎.
數學復習課各個環節的思考和
推敲
1. 課前做好數學復習方法的選擇
上好每一節復習課，是做好復習工作的關鍵，而復習方法的選擇，取決于教師對班級學情的掌握程度. 數學復習方法要實用且有變化，要針對學生的具體情況，靈活地采用恰當的方法，才能取得好的效果，選擇復習方法要遵循以學生為主、不脫離課本、以練促能的原則.
復習應該是信息交流和互動的過程，應明確學生是主體，教材是載體，教師起著溝通教材與學生的橋梁作用. 復習時應扎扎實實地抓好基礎知識和基本技能的復習，在此基礎上，把課本與資料有機地結合起來，使之互為補充，相得益彰. 有些教師丟下課本，以資料為主，漸漸地就將學生帶入題海之中而不知覺. 課本基本是考試的范圍，好的資料可以起到對教學內容的充實和補充延伸的作用，但目前，資料泛濫，相互抄襲的現象比比皆是，有的資料制作者不能準確地把握教材和教學要求，粗制濫造，失去了參考的價值. 以課本為主，就是要緊扣教材，有些資料僅僅只能作為教材的補充和延伸使用. 復習中，教師應盡量在課堂上解決問題，因為課堂的群體效應比較明顯. 教師還應在課前認真備課，主動了解學生掌握知識的情況，精心設計教學程序，選擇合適的輔助資料. 練，要練出新花樣，做一題，學一法，會一類，通一片. 復習課應充分認識到知識的增長是能力產生和發展的必要條件，復習中要體現“有講有練，精講精練，以講導練，以練促能”的原則，最終實現復習的最大效能.
在數學復習教學中，同樣要重視學法的指導，視具體情況引導學生靈活運用公式、定理，善于化未知為已知，如運用換元法、配方法、待定系數法、分類討論法等，引導學生靈活運用多種方法解決不同的問題.
2. 例題選擇要富有示范性和典型性
對于概念定義法則的復習，選例題時應突出概念的本質屬性，緊扣定義、定理、法則，選擇有針對性和代表性的例題和練習題來感性認知和鞏固深化. 例如，當m為何值時，函數y=（m+3）x2m+1+4x-5是一個一次函數？講練此題時，要求學生呈現一元一次方程滿足的兩個條件――最高次項的系數為1，一次項系數不為零. 通過這樣的方式講題、做題，能有目的地復習一元一次方程的相關知識.
為了讓學生形成一個完整的知識體系，對于技能、技巧的訓練和典型題目的復習，可通過專題把它們集中起來總結，如在梯形問題的復習中常需要添加輔助線. 作輔助線時應提醒學生注意，輔助線的作法通常是平移對角線、平移一腰、過上底的頂點作下底的垂線和延長兩腰，再請學生關注輔助線的作法如何與題目中的條件配合使用. 對于綜合運用型題目的復習，應選擇包含多個知識點的題目，這樣能把平時分散的知識集中起來，系統地加以梳理和溝通，如已知一次函數與反比例函數的圖象交于點m（-3，1）和點n（1，a）.（1）求這兩個函數的解析式；（2）在同一直角坐標系內畫出圖象，并根據圖象回答：當x為何值時一次函數的值大于反比例函數的值. 此題既鞏固了函數的基本知識，又訓練了學生運用數形結合的數學思想.
例題選擇要有一定的拓展性和變通性，如將“一般四邊形”分別改為矩形、菱形，結論有什么變化？為什么？讓學生通過畫圖觀察探究，推出三組問題：①順次連結平行四邊形、等腰梯形、正方形各邊中點，得到的四邊形分別是________、 ________、 _________；②當一般四邊形兩對角線分別滿足什么條件時，順次連結各邊中點所得的四邊形是矩形、菱形、正方形？會是梯形嗎？為什么？③一般四邊形對邊中點的連線段有什么特點？平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形呢？為什么？
練習題的設計要有針對性，由單一到綜合，由簡單到復雜，因材施教分層練習，使學生不感到特別困難為宜，讓學生做完后能增強成就感，以便提高學生學習的積極性和自信心，且每次練習后都要進行適當的綜合訓練. 學習是一個由“量變”到“質變”的過程，溫故一定要達到知新，每一次循環都要上一個臺階，達到解題過程中體現對能力的培養和轉化.
3. 試卷講評時重視知識點的整合
試卷講評課要擺脫“學生不會做的到會做的”思維定式，要向“會做的提高、不會做的弄會”的轉變. 一份試卷，除了滿分的，或多或少都會出現這樣或那樣的問題，教師要對學生的錯題進行歸類，哪些是會做的卻搞錯了，哪些本來就沒有弄懂，似是而非的，再通過學生當堂訂正、鞏固和強化，達到講評的預設效果.
對于一份由精心挑選的習題形成的試卷，在學生獨立完成后，教師要認真批改，統計出各題的得分率，這樣就可以發現本章試卷學生哪些知識點掌握得較好或沒有理解透徹，然后根據錯誤的類型和原因對學生沒有很好掌握的知識點進行歸納、整合，并對易錯題回答很好的同學及時給予表揚. 如發現學生這類習題錯誤較多，就得引起重視：直角三角形的兩條邊長分別為和，則斜邊上的高等于________；等腰三角形的一條邊為4，周長為10，則它的面積為________. 上述題，有人做錯了，分析錯誤原因后知道學生對直角三角形的知識掌握還不到位，課上教師就應將學生沒有完全掌握透徹的知識點進行梳理、歸納并整合：直角三角形要考慮是直角邊還是斜邊，等腰三角形要思考它有兩邊相等.
另外，教師應把所有歸納、整合的知識點形成學案與批改過的試卷同時使用，強化學生沒有掌握和理解的內容，講攻破此類習題的方法和策略，學生則會根據學案鞏固和提高原來沒有學會的知識和內容. 教師還應還學生主動學習的空間，大膽放手讓學生自己去研究、去探索、去思考、去克服困難，教師做學生堅強的后盾，指導學生大膽地去嘗試，真正鍛煉學生的能力，發揮學生的學習主動性. 學生手里有了學案，學習起來就會“有理有據”，這會彌補學生“聽時似是而非、聽后什么也沒有留下來”的不足.
4. 注意對學生學習習慣的培養
我們在復習知識幫助學生建立新的知識結構的同時，還應重視對學生良好學習習慣的培養. 從大量的試卷分析來看，造成學生考試失分的原因雖然主要是由于所學知識的缺陷，但不良的學習習慣也是重要原因之一，如字跡潦草，作圖能力弱、粗心漏題等，其中最常見的是由于不仔細審題而造成條件不清、思路混亂、答非所問. 因此，復習階段，應特別注重學生審題能力的培養和識圖、作圖能力的訓練，在編制復習題時，可選擇一些有附加要求，學生容易疏忽而產生錯誤的題型，讓學生比較異同，訓練學生的審題能力，使學生養成仔細審題再答題的習慣.
5. 營造數學復習課靈動的氣氛
一、數學課堂練習設計應有目的性
每道練習題練什么，教師要有具體的要求和明確的目的性;不同程度的學生要分別達到什么目標，教師要心中有數。
如在“字母表示數”這一節中，“學會如何用字母表示數”是本節課的一個重要的教學目標。因此，我在教學這一課時，設計了這樣的課堂練習：
小明在學習了用字母表示數后，做了老師布置的課堂練習。現請你做一回老師，把小明寫得不好的地方找出來，并加以修改。（1）父親的年齡比兒子大28歲。如果用表示兒子現在的年齡，那么父親現在的年齡為歲;（2）設奶粉每聽元，橘子每聽元，則買10聽奶粉、6聽橘子共需元……通過這一組改錯練習，把學生在書寫用字母表示數時出現的幾種不規范的表示方法加以匯總，讓學生經歷判斷、修改后，教師加以歸納總結，從而進一步鞏固了“如何用字母表示數”這一教學目標的達成。
二、數學課堂練習設計應有層次性
教師必須從整體角度設計練習，注意練習內容的層次性。對于有些較為復雜的習題，可以設置幾個子問題，作為階梯，讓學生一步一步地解答，最終解決整個復雜的問題。例如在教“列方程解應用題”時，我設計了如下的課堂練習：
學校數學課外興趣小組共有學生84人，其中男生人數是女生人數的2倍，則數學課外興趣小組的男生和女生分別是多少人？
①畫線段圖表示題意; ②根據圖意寫出等量關系式; ③如果設女生人數為人，那么男生人數是多少？④根據等量關系式列方程是：_____________。
以上的課堂練習就是借助線段圖的直觀性這一學生已掌握的知識作為階梯，著重引導學生在理解題意的基礎上找出題中的等量關系，把知識轉化成技能。
三、數學課堂練習設計應有針對性
要使課堂練習真正起作用，首先要摒除一些已經出現的不良傾向，針對學生認知中的誤區和解題中的“常見病”、“多發病”，設計一些學生易錯或易混的知識點練習，讓學生的練習練到點子上，練在易混易錯處，使練習的針對性強，以期通過練習，達到“藥到病除”之功效。
如在復習“四邊形”一章時，為了使學生正確區分用對角線判定特殊四邊形的方法，我設計下面的一組對比強烈的練習：（1）對角線 的四邊形是平行四邊形;（2）對角線 的四邊形是矩形;（3）對角線 的四邊形是菱形;（4）對角線 的四邊形是正方形;（5）對角線 的平行四邊形是矩形……通過以上一組對比強烈、易于混淆的練習，使學生在比較、辨別中明確了用對角線判定一個四邊形是平行四邊形、矩形、菱形、正方形的條件。
四、數學課堂練習設計應有趣味性
心理學的研究表明：如果一個人對某項活動有濃厚興趣，活動的效率就會大大提高，教師要讓課堂練習富有趣味性，具有吸引力，使學生在練習活動中產生愉快的情感體驗。 如去年我有幸參加了縣青年教師優質課評比，執教的是一個初三的班級。考慮到初三的學生由于種種原因在課堂上的發言不是很積極，所以我在課堂練習這一環節中設計了一個“掃雷行動”的游戲。通過教學課件把課堂練習溶入于游戲之中，這大大的調動了學生的積極性，收到了較好的教學效果。
五、數學課堂練習設計應有多樣性
數學教學的核心是培養學生的思維能力，在課堂練習中，經常設計一些一題多解、一題多變等解法靈活的練習，不僅能開拓學生的視野，而且能培養學生思維的靈活性、發散性和創造性，使學生在練習的同時，能力也得到相應的提高。另外，學生也不需要大量、重復地做同一樣類型的題目，切實從題海中走出來，實現真正的減負與增效。
六、數學課堂練習設計應有差異性
蘇霍姆林斯基肯定了這樣一個事實：各個學生的智力發展水平是不相等的。為此，教師在設計課堂練習時要面對每一個有差異的個體，適應每一個學生不同的發展需要，最大限度地滿足每一個學生的數學需要。例如，在鞏固數學知識的教學時，為了體現練習內容的差異性，鞏固練習的設計可按照以下三類來設計：
（一）基礎性練習，主要使學生掌握“雙基”。這一類練習應是類似例解，難度不大的問題，使全班學生在獨立或半獨立作業的過程中加以消化新知。
（二）提高性練習，主要使學生強化“雙基”。這一類練習應是新舊知識混合，有一定的難度，靈活性強，用于防止舊知的干擾，強化新知。
（三）應用性練習，主要是發展學生智力。這一類練習應是難度較大，思考性較強的題目，目的在于訓練優等生。
總之，在初中數學課堂教學中，課堂練習設計的實效性值得探討和研究。美國著名數學教育家G.波利亞指出：“一個專心的認真備課的教師，能拿出一個有意義但又不太復雜的題目，去幫助學生發掘問題的各個方面，使得通過這道題，就好象通過一道門戶，把學生引入一個完整的理論領域。”因此，只要我們教師在備課過程中精心設計好每一個課堂練習，精心組織好每一次課堂教學活動， 初中數學課堂教學質量定能提高。學生在這樣的教學中，也一定能夠獲益非淺，更加喜歡數學，數學學習的能力和水平也定能提高。
參考文獻：
關鍵詞：新課程、初中生、數學實踐能力
【中圖分類號】G633.6
一.我國初中學生數學實踐能力的現狀闡述
我國知名教育實踐家陶行知曾經在其著作當中提出過“教學合一”這一觀念，并在其中說明了生活與教育相結合這一教學方式的種種好處，這些學者所提出的理論及觀點對于我國學生探究能力及實踐能力的培養明確了具體的方向。而在我國新實施的初中數學課程標準中同時要求：“好奇和質疑是學生的本質特征，因此必須通過數學教學并充分利用學生這些特征來培養并調動學生的實踐能力及創新能力。”知識經濟環境之下，我國對于實踐型人才具有迫切需求，但現階段的教育模式并無法與這一需求進行充分匹配，教師在關注理論知識灌輸的同時忽略了對學生動手實踐能力的培養。在課堂中，教師習慣于使用“教師講解，學生記錄”這一教學方式來進行授課，沒有給學生提供充分的探索機會與實踐機會，使學生的實踐能力逐漸下降，當在生活中真正遇到困難時，并不能通過課堂所學到的知識進行解決。
因此，新課改環境之下，初中數學教師應創新原有的教學理念，建立一套“以培養學生探究與實踐能力為核心”的教學方式，提高對學生實踐能力培養的重視度，在日常教學設計過程中注重實踐活動部分，強化指導過程，培養學生勇于探索樂于發現的學習習慣，培養出更多的技能型人才，確保現階段的教育模式能夠與社會需求相匹配。接下來，筆者就根據自己在初中數學教學過程中的一些經驗，對新課程理念下應該如何培養初中學生的數學能力這一問題提出一些自己的見解。
二.基于新課程理念的初中生數學實踐能力培養策略
1.為初中學生建立豐富的實踐活動平臺
試問傳統的教學模式為何會導致初中生缺乏良好的探究能力及實踐能力？歸根究底是因為傳統的教學理念下學生缺乏充分的實踐活動平臺，而教師又十分注重自己在授課過程中的主導地位，對于學生的主動性培養就更為忽略了。因此，在新課程理念下，教師首先應邁出的第一步便是如何舍棄自己在課堂上的主導地位，為學生創造有效的實踐機會和平臺，為學生創造更豐富的探究與實踐機會，幫助學生在實際的實踐之路上不斷更新原有的知識，使自己的數學實踐能力得到快速提高。
例如在“相似三角形判定”這一堂課上，教師可以根據這一知識點中涉及的重點內容及難點內容，并結合相關基礎理論知識進行以下練習題的設計，以此來提高學生對該章節的掌握程度。“如圖1所示，在ABCD這一矩形當中，AD=3，DC=9，AG：AD=1：4，DG=4，CE與DG交叉于E點，與AB交叉于F點，請求出三角形CDE的周長。”這一類練習題屬于探究式問題，不僅可以讓學生在解答的過程中掌握三角形判定的相關知識，還可以提高他們自我探索及實踐能力。
2.在初中數學實踐課程中加強指導
如圖2所示，在AECD這一四邊形當中，DE將∠AEC平分，∠ADC =120° ，∠C=60°，∠DEC=30°；將CE延長至點B，與AB連接之后，∠ABC= 1/2∠BCD。（1）求證：四邊形ABED是平行四邊形；（2）若EC=9，計算出AE的長度。
在對該題進行解答時，教師首先應引導學生對此問題給出的所有條件進行分析和判斷，在學生明確所有條件之后，很容易得出這道問題所涵蓋的知識點無非就送 “平行線的判定、等腰梯形的判定及直角三角形的判定”等幾個方面。隨后，教師應要求學生聯系以往所學習的相關知識點，通過自己的努力一步步探索出對于此題的解題方式。對于第一小題，學生在探究過程中可以很容易根據給出條件證明AD與BD平行，AB與ED平行，從而求證出四邊形ABED為平行四邊形。而第二小題較第一小題難度稍高一些，學生可以根據已知條件及第一小題中求證的結果來判斷出ADCE為等腰梯形，從而證明DCE是直角三角形，最后根據直角三角形中30°角對應的直角邊為斜邊長度一般這一性質來計算出AE的長度。最后，在教師的帶領之下，與學生共同總結出此類問題的解答方式和技巧。通過對此題的解答過程可以發現，初中數學教師在強化初中生數學實踐能力的同時，不能忽視自己所充當的引導角色，應給予學生適當的引導，并指導學生怎樣才能夠快速、有效地掌握解題技巧，提高學生的數學實踐能力。
3.加強學生解題策略的培養
在初中生對數學題目進行分析和解答的過程當中，必須基于各類有效的解題策略和技巧才能實現最終的解答，并掌握一定的解題規律。筆者通過多年的教學經歷總結出以下結論：初中數學解題策略主要由數形結合策略、分類分析策略、化歸轉化策略及函數方程策略所構成。初中數學教師在日常教學過程中，要想有效提高學生的數學實踐能力，必須基于基礎理論知識點，并充分結合數學教學中一些常見的典型問題，向學生介紹解題過程中常見的一些解題策略及使用場所、使用方法及使用技巧。隨后再分別針對每一種解題策略，來進行具有針對性的介紹，教師可以通過具體案例的講解讓學生深入了解到每一種解題策略，并在學生對各種解題策略的內涵及本質進行初步了解的基礎之上，逐漸布置一些練習來提高學生對這些解題策略的實際應用能力，鞏固相關知識。從而為探究實踐活動的開展進一步提供思想和方針上的指導。例如在對“一次函數的圖像和性質”這一知識點進行講述的過程中，教師可以在學生對練習題進行解答的同時，抓住機會向學生介紹該題的解答正是使用了數形結合策略，最后在講解解題思路時結合數形結合解題策略來進行講解，學生在此過程中可以較好地感知到解題策略的實際應用方式，今后如遇到類似問題，也能有效運用該解題策略來進行解答，在潛移默化中使得初中生的數學實踐能力得到了質的飛越。
參考文獻：
我曾經參加了縣教育局教研室組織的初中數學教師聽課評課活動。這次活動我受益頗多，下面就和大家一起分享一下。
第一階段是聽課。本次活動上課教師是兩河中學的數學教師劉老師和我們三汲中學數學教師梁老師。對比課的課題為九年級“特殊四邊形”的復習課。兩河中學劉老師第一個上課，首先引導學生回顧幾種特殊四邊形的關系——四邊形、平行四邊形、矩形、菱形和正方形。通過列表的方式，復習幾種特殊四邊形的性質和常用的判別方法及對稱性。根據學生的回答，逐一填入表格。接著設計了一些簡單的問題，讓學生作答，并給予及時的評價。最后設置了一道綜合性練習題，并給出了一些變式，把題目的條件改變后進行推廣。
三汲中學梁老師首先幫助學生建立知識網絡結構，在整體上思考，曾經學習過哪些特殊的四邊形，在基本確定后，給出它們之間的關系。接著復習幾種特殊四邊形的性質：邊、角的性質和對稱性。在復習完性質后，馬上給出三道簡單的問題，針對性質進行練習。然后復習特殊四邊形的判定方法，這里是讓學生填寫課前準備好的一些練習，在學生填寫后，帶領學生進行歸納和總結。在練習階段，設置的問題為一道題目和它的三種變換，即一個母題和三個子題的形式。先進行仔細分析和引導，然后由學生進行回答，最后對本節課進行總結。
第二階段我們聽課教師進行了評課和議課活動。上課教師首先介紹了自己的設計思路：劉老師說：“這個是該內容的第一節復習課，讓學生回顧基礎知識，結合例題，思考如何用這些知識點。然后利用中考題，加以變化，并結合學生的特點進行練習。總體感覺自己設置的題目有些多，原因是知識點多，回顧起來不容易，特別是正方形是最難的。”梁老師說：“學校在九年級復習時都是集體備課，今天自己上課的材料是集體努力的結果。中考更多的是基礎性題目，復習的重點是梳理知識脈絡。自己感覺前面知識點的復習時間過多了，后面練習時間有點倉促，希望大家多進行交流、指導。”接著，大家暢所欲言，繼續評課活動。現將參與教師的評議簡單摘錄如下：張楠老師說：“數學有文字、圖形和符號語言，兩位老師都沒有使用符號語言，應該把性質和判定用符號語言表示出來。梁老師很好地調動了學生的學習積極性，在例題的引申方面做得很充實。劉老師對‘幾何畫板’使用很熟悉，值得學習。在講解特殊四邊形時，講解過快，學生沒有時間思考。梁老師的語言特別好，能夠讓學生去思考，鼓勵學生參與進來、大膽發言，效果明顯，并且態度很親切，將性質和判定分開來講，更為清晰，講解與練習相結合的方法，讓學生更容易融入課堂，不斷給學生自信，讓學生繼續做下去。題目設置得也很好。”王洪波老師說：“感覺梁老師的內容銜接設置的特別好，值得學習，特別是變式訓練的方式，是印象最深刻的。”吳忠老師說：“如果時間允許的話，習題最好讓學生自己解答，通過學生口述的方式，可能得到更多的解法。”孫小梅老師說：“應該把知識的層次性分析的更為清晰。”周珠老師說：“兩位老師復習的都很好，利用式子的變化，效果良好。例題設置上需要一定的基礎，如果題目太難了，學生就難以接受。”王業芳老師說：“上課的老師，講解的內容過多了。分析問題時，需要讓學生進行思考，分析的過程很重要。”最后，縣教研室指導老師總結說：“兩位老師的課都是很成功的，在課堂結構上，都是首先對知識點網絡進行分析和總結，然后進行簡單練習和變式訓練，只是在細節處理上略有不同；劉老師在‘幾何畫板’的使用上，能夠根據課堂實際情況，調整自己的課件，可見十分熟練和沉穩，這個值得大家學習；梁老師在調動學生積極性方面表現得很突出，特別是語言的激勵，在練習前給予學生思考的時間，并且照顧到大多數的學生，這個是值得提倡的。”
上述聽課、評課過程啟發我們：要讓每個學生都要參與到課堂中來，都經歷思考的過程，教師的引導，能夠啟迪學生進行思考，這個很重要；在對知識點的梳理過程中，采取多樣的方式，更能調動學生的積極性，過于單一的方式，容易造成學生思考疲倦，特別是在知識點多的情況下，更不容易喚起學生的記憶。
可見，聽課、評課活動對我們一線數學教師業務素質的提高意義重大。
（責編 張宇）
一、抓學習
不斷加強新課程理念及有效教學有關理論的學習，用先進的教學理念指導自己的教學實踐。通過對新課程的理念透徹、深刻的理解，可以為課堂教學取得良好的教學效果，奠定堅實的基礎。
二、抓備課
備好課是上好課的基礎和前提。目前我們使用的北師大版數學教材中“開天窗”的地方比比皆是，這為我們留有充足的發揮空間，彈性很大，如果教師不動腦去思考、去研究、去探索，就可能會感到教材上的內容過簡，從而感到有的課無內容可教，或不知從何下手。在學校組織的聽課中，我們的教師對教材內容不熟悉，理解不透徹，囫圇吞棗，對教材的處理就像蜻蜓點水，雨過地皮濕，對有些知識點一知半解，甚至在數學課的講授過程中竟然也有照本宣科的現象，給學生講錯的現象更是屢見不鮮。
三、抓課堂教學
課堂教學是教學的關鍵環節。新課程倡導探究性學習，強調學生的主體性，要把學習的主動權還給學生。我們的部分教師在引導學生探索知識的過程中，往往只是只要有疑問，無論難易，甚至是一些毫無探究價值的問題都要讓學生去探索，在探索過程中，沒有具體的要求、提示和指導，在時間的調控上也是隨心所欲，一旦發現時間很多，就讓學生“充分”探索來拖延時間，一旦發現時間不夠，就草草收場，往往是學生還沒有進入狀態，探索就已終止……這是一種隨意的、毫無意義的探究，展現的是學生虛假的主體性。俗話說：細節決定成敗，落實決定質量。
四、抓作業
數學作業是學生鞏固、消化知識的重要組成部分。然而在平時學校工作的檢查中發現，作業中存在的問題還是比較普遍。(1)教師布置作業時隨意性大(甚至在一次聽課中還出現過老師給學生布置的作業下一節課上了之后才能做)；(2)教師批閱不認真，粗枝大葉，只看最后結果，不看學生的運算過程；(3)部分學生有抄襲作業的壞習慣。七年級上冊《有理數的加法》這一節，例題、練習題中的數據都是整數，只是在總復習題中才出現了小數、分數形式的有理數加法，這不利于學生后面學習《一元一次方程》，因此，在練習或作業中要有意識地補充幾個比較簡單的形如(-0.5)＋0.5的題目，對分數有理數的加法可補充一兩道題目，供學有余力的學生選作。在給學生布置當天的書面作業時，就不能完全選用習題，例如第一題的9道計算題，2、3、5、8是同一個類型，1、6、7是同一個類型，會其中的一個，其他的就都會，沒有必要全做，每個類型選一兩道，共選其中的五、六道就行了，并補充兩三道與一個負分數相加、互為相反數的兩個分數相加的習題就行了。
五、抓課堂檢測
課堂檢測是檢查教學效果的重要手段，是反饋教學信息的重要依據，部分教師為了追求分數和所謂的成績，往往側重于結果，而忽視其過程。如一次聽課老師給學生布置了這么一道題：“用5個邊長1厘米的正方形卡片拼成―個矩形，求其周長。”當時有一位學生列出的算式是：4×5－4＝16(厘米)。教師根本沒有分析學生的解題思路，就毫不猶豫地否定了學生的做法，并告訴他可以通過拼成的長方形的長和寬，運用公式來計算，學生依此訂正，算出正確結果是(5＋1)×2＝12(厘米)。當時我問那位學生的原始想法時，他解釋說：“我先把每一個正方形的周長乘以5，把求出的5個正方形的周長和減去重合部分的4個1厘米。”其實他的解法是完全可行的，只是這個學生在計算時考慮得不夠周密，重合部分應該是8個1厘米。真可惜，離正確答案只有一步之遙，就被老師簡單武斷地“判處了死刑”，這個“×”猶如雙面剪刀，無情地剪去了學生創新思維的萌芽，對題判錯的現象更是很普遍。課堂檢測時要注意對重點知識的考查，既要側重基礎，又要適當的進行拓展和延伸，難度要與課程標準要求保持一致。
一、確立多元復習目標，切合學生實際
在數學復習教學中，要根據學生的實際，確定多元化的復習目標.按照多元智能理論，學生的復習目標要建立在三維標準的基礎上.何謂三維標準？首先是數學基礎知識和基本技能根據新課標的要求，教師針對基礎知識和基本技能要講究方式方法，重點關注學生的深層次理解和靈活運用.其次是學生解決問題的能力.這是新課標提出的關鍵要求，在對數字、圖形及統計等知識的教學過程中，培養學生的數感、空間感，以及分析問題、解決問題的能力.再次是有關學生情感、態度和價值觀的目標.蘇霍姆林斯基指出，教育的成敗很大程度上取決于學生的心理狀態和精神狀態，教師要重視對學生的情感、態度及價值觀的目標引導，確保學生能夠以健康、積極的狀態投入到學習和復習中.另外在復習中還要關注學生的多元智能發展，如空間運動智能、數理邏輯智能等.
如在復習三角形時，我這樣設計復習練習：關于RtABC，你知道些什么？學生根據以往學習，基本知識和基本技能重現并得以鞏固：A■+B■=C■；∠A+∠B=90°；若∠A=30°，那么∠B=60°，BC=■AB，反之也成立.在鞏固之后，我繼續設置疑問：如果COAB于O，則CO■=AO·BO，還有什么可能？學生進行綜合分析，得到結論：AC■=AO·AB；BC■=BO·AB.
二、構建探究框架，發展多元智能
在復習教學中，教師在帶領學生進行習題訓練之前，先要構建一個整體的探究框架，發展學生的多元智能.如在復習《一元二次方程》時，我列出方程10（x+4）■=10×4■+100，引導學生觀察確定方程的特點并明確其一般形式.通過不同方法的解答，既幫助學生梳理數學知識，檢驗學生的基本技能，又發展學生的語言智能和邏輯智能.又如在《動點問題》的復習中，我出示圖（如圖1）：在直角坐標系中，點A（1，2）在經過原點的直線上，過A作直線OA的垂線交x軸于點B，你能得出什么結論？”
學生經過獨立探究，產生疑問：B點坐標為何是（5，0）？讓學生集體交流解答，發展學生的語言智能.這是在復習課堂教學中培養能力的最佳途徑.學生在探究和交流的同時，思維不斷碰撞出火花.
然后我繼續引導學生探索（如圖2）：直角坐標系中，點A（1，2）在經過原點的直線上，過A作直線OA的垂線交x軸于點B，點M是線段OA上的一個動點，過M作x軸的平行線，交y軸于E，交AB于F，過F作x軸的垂線，交x軸于G.我提出問題：運動點M時，哪些量也在變？根據引導探究，學生發現線段EM，MF，FG的長度在變，矩形EOGF的面積在變.通過探究，學生空間智能獲得發展.我繼續引導：抓住某兩個變量關系提出一個問題并嘗試解決，借此學生發展數理邏輯智能，提出的問題層出不窮，如：不論M如何運動AF·GF=GB·AM始終成立；設M的橫坐標為X，S■=Y，求Y與X的關系式。
在多元智能的復習框架下，學生可以獲得多元化的思維發展，通過與舊知建立鏈接引發新知的思考，這對于培養學生舉一反三的能力尤為重要.
三、多層次分類，加強思維拓展
在初中數學教學中，我進行多層次分類，根據已有的起點題進行系列改編或變式，組成題組或者提鏈，進行有系統有針對性的考查和訓練，培養學生的數學思維能力.
我采用的方法有：其一，變換題設.從多角度研究問題，加深學生對知識的系統理解，培養學生思維的靈活性和想象力；其二，改變圖形.如將三角形變為四邊形，數形結合等，圖形的改變能使思維角度、解決方法、涉及知識及能力的要求發生變化，但不會改變所要考查的數學本質；其三，變換題型.將封閉性問題改為開放性的探索題，靜態題變為動態題等.題型的變換會導致思維方式的變換，活躍思維，強化思想方法.
如在對RtABC的復習中，我設置了如下練習題組：
題一：如圖3，以AB所在直線為x軸，以CO所在直線為y軸，建立直角坐標系，若CB=2■，AC=■，請寫出ABC三點的坐標.
圖3 圖4
