時間：2023-05-30 10:54:35
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇定積分公式，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
不定積分是高等數學的核心內容之一，直接積分法、換元積分法、分部積分法是計算不定積分的基本方法，第一類換元積分法（也稱為湊微分法）是最基礎的，也是應用最廣泛的積分方法，因此，熟練掌握第一類換元積分法是后繼學習第二類換元積分法和分部積分法的基石.筆者就怎樣巧用第一類換元積分公式快速計算不定積分談談自己的認識和體會，供初學者借鑒.
1.深入解析第一類換元積分公式.
設函數f（u）具有原函數，u=φ（x）可導，則有換元積分公式[1]
？蘩f[？準（x）]？準′（x）dx=？蘩f[？準（x）]d？準（x）=[？蘩f（u）du]■.
（1）題設中的條件，函數f（u）具有原函數，即f（u）可積，其實f（u）一定是基本積分公式表中某一類型的函數.
（2）由？蘩f[？準（x）]d？準（x）可以看出，被積函數無論多么復雜，也只能看做二重復合函數的積分.
（3）若不定積分？蘩g（x）dx可以用此公式計算，則一定可化成？蘩g（x）dx=k？蘩f[？準（x）]d？準（x）（k是非零常數）的形式.
2.將基本積分公式表中的變量x全部換成一般的初等函數？準（x），得到下列廣義基本積分公式表.下面只列舉一部分.
①？蘩x■dx=■x■+c（u≠-1）？蘩？準（x）■d？準（x）=■？準（x）■+C（u≠-1）；
②？蘩■dx=ln|x|+C？蘩■d？準（x）==ln|？準（x）|+C；
③？蘩a■dx=■+C？蘩a■d？準（x）=■+C；
④？蘩e■dx=e■+C？蘩e■d？準（x）=e■+C；
⑤？蘩cosxdx=sinx+C？蘩cos？準（x）d？準（x）=sin？準（x）+C；
⑥？蘩■dx=arctanx+C？蘩■d？準（x）=arctam？準（x）+C；
3.怎樣巧用第一類換元積分公式計算不定積分？蘩g（x）dx？
（1）分析被積函數g（x）的結構特點，根據基本積分公式表中被積函數的類型，確定復合函數f[？準（x）]，將g（x）化成g（x）=h（x）f[？準（x）]；
（2）直接計算d？準（x）=t（x）dx，比較t（x）和h（x）得到常數k，k=■，于是得到？蘩g（x）dx=k？蘩f[？準（x）]d？準（x）；
（3）利用廣義基本積分公式表直接寫出結果.
注：第（2）步如果將t（x）和h（x）作比較，得到的不是常數k，而是關于x的函數，此時不能直接用第一類換元積分公式計算，需要對被積函數g（x）先做恒等變形，然后作分析.
4.舉例說明.
例1：計算？蘩xe■dx.
解：被積函數直接就是h（x）f[？準（x）]的形式，直接計算d（x■）=2xdx，比較2x和x得常數k=■=■，于是有廣義基本積分公式④得：
？蘩xe■dx=■？蘩e■d（x■）=■e■+C.
例2：計算？蘩（1+2x）■dx.
解：被積函數直接就是h（x）f[？準（x）]的形式，h（x）=1，？準（x）=1+2x，d？準（x）=2dx，比較得k=■，于是有廣義基本積分公式①得：
？蘩（1+2x）■dx=■？蘩f（1+2x）■d（1+2x）=■?■（1+2x）■+C=■（1+2x）■+C.
例3：計算？蘩■dx.
解：？蘩■dx=？蘩■■dx，h（x）=■，d（■）=■dx，比較得k=1，于是？蘩■dx=？蘩■d（■）=arcsin■+C.
例4：計算？蘩cos■xdx.
解：cos■x可以看成u■和u=cosx的復合，d（cosx）=sinxdx，但是經比較k=■不是常數，因此？蘩cos■xdx不能直接用第一類換元積分公式計算.此時可用三角公式將被積函數變形為：cos■x=■.
即？蘩cos■xdx=？蘩■dx=■？蘩dx+？蘩cos■xdx，
而？蘩cos2xdx可巧用公式求解得？蘩cos2xdx=■？蘩cos2xd（2x）=■sin2x+C，
于是？蘩cos■xdx=■x+■sin2x+C.
總之，第一類換元積分法主要是計算復合函數的不定積分，積分運算是微分運算的逆運算，因此，初學者只要熟練掌握復合函數和微分運算的基本知識，就可以運用本文所給出的方法快速計算不定積分.
for Graduate School
Shi Weiguo
（Ankang University，Ankang 725000，China）
摘要： 對多元函數積分學在歷年數學考研中知識點的回顧及統計分析，探究其試題來源，通過對未來試題的預測，提出備考建議。
Abstract: The article retrospected and statistically analyzed the points about multivariable differential calculus in test for graduate schools, discussed its origin, forecasted and put forward suggestion on preparing for the test.
關鍵詞： 重積分 曲線積分 曲面積分 考研數學
Key words: multiple integral；line integral；surface integral；mathematics for test for graduate school
中圖分類號：G42文獻標識碼：A文章編號：1006-4311（2011）27-0173-01
1考研題的特點比照：（以數學一試題為例）
2000年至2011年考研數學一的12年試題中，均涉及多元函數積分學的試題，具體的試題特點呈現如下：
從上述統計不難看出，考題熱門話題是利用①重積分、線面積分對稱性；②格林公式、高斯公式、斯托克斯公式；③重積分的坐標變換（極坐標變換，柱面坐標變換，球面坐標變換）；④曲線積分與路徑無關的四個等價條件的解答題或計算題。
2試題探源
多元函數積分學試題，一般都有它的原形，探索和尋找考題的命題背景，有利于猜透命題人的原始意圖，對高備考復習的針對性和有效性是有益的。
如：2000數學一（六）題：
計算曲線積分■■，其中L是以點（1，0）為中心，R為半徑的圓周（R>1）的連續曲線，取逆時針方向。
2009數學一（19）題：
計算曲面積分I=■■，其中∑是曲面2x2+2y2+z2=4的外側。
這兩考題為封閉曲線（面）的曲線（面）積分，易想到用格林（高斯）公式，但在原點處被積函數不連續，不能直接用（格林）高斯公式，一般采用挖洞法來解，通過挖洞，對復連通區域應用格林(高斯)公式，從而計算出結果，它和[1]P175例4：
計算■■，其中L為一條無重點，分段光滑且不經過原點的連續曲線，L的方向為逆時針。
十分相似，考題可看成是對此例題的解題思路、方法的掌握，這說明教材中的經典題可能是考題的生長點。又如：應用格林公式或加、減弧段的格林公式法，高斯公式或加、減曲面片的高斯公式法幾乎每年都有這種類型的考題，而這種類型的問題在高等數學或數學分析教材中均有大量的例題或習題,這說明教材中的重點定理及應用重點定理解題的方法往往是必考類型。
數學一：2011（12）題，此題考察斯托克斯公式,兩類曲面積分的聯系，如果你留心的話，就會發現此題與十多年前（1997（三（2）），2001（六））的考題類型完全一樣，這表明考題可能源于過去考試真題。
3考題預測
多元函數積分學是高等數學的重要內容，在數學其它分支有著廣泛的應用，也是進一步學習和研究其它與數學有關課題的基礎，在數學一中的地位也至關重要，考分占總分的■左右，考題主要是計算題與綜合題，試題類型源于教材中的經典例題、習題，歷年數學考研真題，重點定理及應用重點定理解題的方法所涉及的題型或題型的變形，而綜合題考查的是知識之間的有機結合，故此類題難度一般為中等難度。
多元函數積分學試題所考查的類型主要是：①二重積分：交換積分次序，利用二重積分的對稱性，極坐標替換化簡計算。②三重積分：利用三重積分的對稱性，柱面坐標替換、球面坐標替換化簡計算。③曲線積分（主要是第二類曲線積分)：利用參數式計算，利用格林公式或加、減弧段的格林公式法計算，利用曲線積分與路徑無關的等價條件計算與此有關的問題。④曲面積分（主要是第二類曲面積分）：利用高斯公式或加、減曲面片的高斯公式法計算，利用斯托克斯公式及兩類曲面積分的關系化為第一類曲面積分計算等。
4備考建議
熟練掌握重積分、線面積分的概念、定理、性質、公式及基本計算方法，這是解題的基礎；熟練掌握并靈活應用①重積分、線面積分對稱性；②格林公式、高斯公式；③重積分的坐標變換（極坐標變換，柱面坐標變換，球面坐標變換）；④曲線積分與路徑無關的四個等價條件等知識，及這些知識常見的題型，使用的技巧，這會使你快速找到解題思路并解答問題；以歷年數學（一）考研真題及各考研研究機構的考研預測題作為考前訓練題，研究真題并總結試題規律，這會使你在考試時見到不少熟悉的考題。另外，要注意“冷”題，如2011（12）題，此題考察斯托克斯公式，兩類曲面積分的聯系，已十年未涉及此類型，故切記，復習時對大綱有要求但考的較少的“冷”題型，不可放棄。
參考文獻：
不定積分是高等數學---微積分中的重要內容之一，本文從不定積分的定義入手，剖析定義，歸納和總結了不定積分的直接積分法、第一類換元積分法、第二類換元積分法、分部積分法。
【關鍵詞】
不定積分；高等數學；積分法
正確理解高等數學---微積分中的不定積分的概念，淺談不定積分的幾種求法以便于學生能靈活應用這幾種方法解題，有利于學生提高學習不定積分的興趣， 將為學好高等數學打下堅實的基礎。
1 不定積分的概念
1.1定義
設是函數的一個原函數（即：），則的全體原函數稱為的不定積分，記作，即.
注：⑴上式中的“”稱為積分號，稱為被積函數，稱為被積表達式，稱為積分變量，稱為積分常數。
⑵積分號“”是一種運算符號，它表示對已知函數求其全部原函數，所以在不定積分的結果中必須加上任意常數。
⑶求積分和求導數互為逆運算。
1.2不定積分的性質
⑴性質1 。
⑵性質2 。
注：性質2 可推廣到有限個函數的和差。
1.3不定積分的幾何意義
在直角坐標系中，的任意一個原函數的圖形是一條曲線，這條曲線上任意點處的切線的斜率恰為函數值，稱這條曲線為的一條積分曲線。的不定積分則是一個曲線族，稱為積分曲線族。
平行于軸的直線與族中每一條曲線的交點處的切線斜率都等于，因此積分曲線族可以由一條積分曲線通過上下平移得到。（圖1）
2 直接積分法
求不定積分時，常常要將被積函數通過恒等變形并進行化簡，轉化為基本積分公式中的被積函數的代數和的形式，再運用基本積分公式直接求出。
例1：求
分析：被積函數恒等變形，化為基本積分公式中的情形（化為冪函數），再利用性質逐項積分。
例2：求⑴
分析：被積函數恒等變形（分子的各項除以分母），化為冪函數的代數和的形式，再利用性質逐項積分。
例3：求
分析：當被積函數是分式有理數時，常常將它拆成分母較簡單、易于積分的分式之和。
例4：求
分析：用三角恒等式把被積函數化為基本積分公式中的情形。
3 第一類換元積分法（即湊微分法）
3.1定理
設具有原函數，是連續函數，則。
簡單證明：
這種先“湊”微分，再作變量代換的方法，稱為第一類換元積分法，也稱為湊微分法；它分為四步：湊微分，換元，積分，代回；關鍵是第一步湊微分。
3.2在教學中歸納總結一些類型為
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
⑹
例5：
熟記常用的微分公式，能夠加快解題速度。
4 第二類換元積分法
4.1定理
函數有連續的導數且，又有原函數，則。
這種方法稱為第二類換元積分法。
注：使用第二類換元積分法的關鍵是恰當地選擇變換函數。對于，要求其導數連續，，且其反函數存在。
4.2第二類換元積分法可分為
⑴當被積函數中含有時，可令，消除根號，從而求得積分。這種代換稱為根式代換。
例6：求
⑵被積函數含有被開方因式為二次根式的情況，一般地，當被積函數含有①，可作代換； ②，可作代換； ③，可作代換；這種代換稱為三角代換。
⑶當被積函數分母中自變量的冪較高于分子中的自變量的冪時，且積分還不能直接用公式積出時，令，這種方法稱倒代換法。
5 分部積分法
（1）設函數，具有連續的導數，根據乘積微分公式有
，
兩邊積分得，該公式稱為分部積分公式。
在求不定積分前要充分理解不定積分的定義和性質，不能把在極限計算和求導計算中學過的函數乘積的極限和求導計算公式遷移到不定積分計算中來，否則會得到錯誤的結果，解題時具體問題具體對待，靈活選用積分法，所以平時要多思、多記、多做、多總結。這樣才能為學好高等數學打下堅實的基礎，才能在浩瀚的數學知識海洋中自由的遨游。
【參考文獻】
[1]同濟大學數學系編.《高等數學》.同濟第六版.高等教育出版社.2007-4-1.
【關鍵詞】高斯公式 封閉曲面 曲面法向量 曲面的側 方向余弦
高斯公式:設Ω是一空間中的有界閉域,其邊界面分片光滑,函數、、在Ω上具有一階連續偏導數,則有 其中是Ω的正向邊界曲面,當是簡單封閉區間外側時為正(內側為負)。
1.封閉曲面存在直接計算。如果空間有向曲面S是封閉的,那么,直接運用高斯公式計算。
例1、計算曲面積分,其中∑為柱面及平面、所圍成的空間閉區域Ω的整個邊界曲面的外側。
解:因
,,
利用高斯公式把所給曲面積分化為三重積分,再利用柱面坐標計算三重積分
得:
2.構造封閉曲面再計算。如果空間有向曲面S不是封閉的,那么需添加輔助的有向曲面S0,使S與S0構成定向的封閉曲面,再運用高斯公式進行計算。
注:添補的輔助曲面S0的法線矢量的方向應選為使封閉曲面S+S0的法線方向或者都向外,或者都向內。
例2、計算,∑為曲面,夾在z=1及z=2的下側部分。
解:構造輔助平面∑1:z=2取上側,∑2:z=1取下側。
則由高斯公式得
在∑1:z=2,dz=0,則8
在∑2:z=1,dz=0,則
所以原式
例3、設S是以xoy平面上橢圓L:為邊界曲線的任意光滑凸曲面的上側,且位于xoy平面的上方,求。
解:根據高斯公式構造有向輔助曲面
顯然,S0在xoy平面上的投影區域Dxy就是本身,且,引入廣義極坐標,,則,且有
然后,利用高斯公式,計算封閉曲面S+S0上的曲面積分
于是,所求的曲面積分
3.封閉曲面存在的特殊情形。如果所給的有向曲面是封閉的,但是不滿足高斯公式所要求的函數、、在S所包圍的有界閉區域V上連續,且具有連續的一階偏導數的條件,那么,可以先把S的方程代入該曲面積分,若后者曲面積分已滿足高斯公式條件,則用高斯公式把它化為三重積分計算。
例4、設曲面S為夾于z=0與z=1之間部分,其法線向內,求第二類曲面積分
解:把曲面S的方程代入積分I,得
現構造輔助平面,取上側,易求得0
構造輔助平面,取下側,得:= ==
由高斯公式得
其中,因V分別關于面yoz,xoz對稱,故=0,=0
則所求的積分。
如果封閉空間曲面S的方程代入某曲面積分后。在S所圍的區域V內仍然存在某些點或子區域使其不滿足高斯公式條件,而在其它地方P,Q,R都連續,且具有連續的一階偏導數,又有,則構造一個有規則的封閉曲面使其偏導數不連續的那些點或區域包含在S0內部,且S0的法矢量與S的法矢量一致,于是在S上的曲面積分等于在S0上的曲面積分,即有
例5、計算積分,其中∑是橢球面的外側。
解:作以原點為球心,()為半徑的球面∑1:,使其位于橢球面內,則有
(令,此時∑1的方向余弦,,由兩類曲面積分的聯系,有)
則=4π
4.運用高斯公式時有關曲面側的問題。運用高斯公式計算曲面積分的時候,曲面的有向性是至關重要的,而往往封閉曲面側的判斷正誤與否也決定了解題過程是否正確。
注:(1)當曲面光滑且具有雙側時,有向曲面側“上側、前側、右側”取“”,“下側、后側、左側”取“-”
(2)高斯公式中的“Ω”是整個邊界閉區域的外側
例6、計算曲面積分,∑:,其法向量與OZ軸正向夾角為銳角。
解:取輔助平面,使曲面構成封閉曲面
:,方向向下
則
(注:此封閉曲面是整個閉域的內側,運用高斯公式時添“-”號,有向曲面方向向下,計算積分時也應添“-”號)
參考文獻
1 劍、李大侃.高等數學專題梳理與解讀[M].同濟大學出版社,2008
2 王式安、蔡燧林、胡金德、程杞元.考研數學標準全書[M].對外經貿大學出版社,2008
3 馬菊霞、吳云天.高等數學[M].國防工業出版社,2007
[關鍵詞]積分 復化牛頓-科特斯積分 誤差
[中圖分類號] G642 [文獻標識碼] A [文章編號] 2095-3437（2013）18-0152-02
一、引言
我們知道利用插值多項式來構造數值求積公式是最常用的一種方法，為了便于計算與應用，常將積分區間n等分，其中的每個節點作為求積節點，這樣構造出來的插值型求積公式就稱為牛頓-科特斯（Newton-Cotes）求積公式，這里的n稱為牛頓-科特斯公式的階數。當n=1時，該公式即為梯形求積公式；當n=2時，為辛普森求積公式；當n=3時，為3/8辛普森求積公式；當n=4時，為布爾求積公式。
由文[1]我們知道，當 n≤7 時，牛頓-布爾公式是穩定的。而當 n≥8 時，出現負數，穩定性得不到保證。而且當n較大時，由于Runge現象，收斂性也無法保證。[2]故一般不采用高階的牛頓-科特斯求積公式。為了提高精度我們通常把積分區間分成若干子區間，然后在每個子區間上應用低階牛頓-科特斯求積公式求積分，即為復化求積法。[3]
本文借助Matlab[4][5]符號計算系統，首先討論不同的方法（即階數的不同）對積分的精度與速度的影響，其次，討論復化的子區間段數對積分誤差的影響。
二、復化的牛頓科特斯求積算法實現
在積分區間[a，b]上取n+1個等距節點xk=a+kn（k=0，1，…，n），其中h= ，利用n次拉格朗日插值函數代替被積函數即得牛頓-科特斯求積公式：
f（x）dx≈（b-a） Ck（n）f（xk）
其中Ck（n）= t（t-1）…[t-（k-1）]×[t-（k+1）]…t（t-n）dt
為科特斯系數。表1列舉了階數n
表1 在n
這樣，我們較為容易給出復化的牛頓科特斯公式的算法步驟：
（1） 給定子區間數N及牛頓科特斯公式的階數n.
（2） 將區間[a，b]分成N個子區間，h= 且xk=a+kh（k=0，1…，N）；
（3） 由給定的n求出牛頓科特斯系數；
（4） 在每個子區間[xk，xk+1]中，利用n次牛頓科特斯公式求出積分結果 ；
（5） 將每個子區間的積分結果求和即得近似的積分結果。
將上述算法用流程圖表示，如圖1所示。
圖1 復化的牛頓科-特斯求積算法
三、對比分析
影響牛頓科特斯公式的誤差的有兩方面因素：階數及復化時子區間個數。為研究二者對誤差的影響，選取三類積分進行比較研究：（1） e-xsin xdx（2） dx（3） dx。誤差采用積分結果與真值的差的絕對值。
（一）牛頓科特斯公式的階數對誤差的影響
考慮一般的牛頓科特斯公式的階數對誤差的影響，由于階數大于7穩定性得不到保證，故取階數n=1，...7，得出表2。
表2不同階數的牛頓科特斯積分計算
觀察表1中的誤差行，發現誤差呈遞減趨勢，故易知階數越高誤差越小；由表1中各耗時行可以看出隨著階數增加，耗時增加。因此當牛頓科特斯公式階數增加時，誤差減小，同時耗時增加。
特別地觀察不同階數下的誤差階，注意到當階數小于4時，誤差相對較大；階數大于4時，誤差相對較小，但隨著階數的增加，誤差減小速度變慢。
觀察三個函數當階數高于4時的誤差值發現，階數取4、5時誤差基本接近，階數取6，7時誤差基本接近；考慮到耗時隨階數數的增加而增加，故牛頓科特斯公式的階數取4（即使用布爾求積公式）能得到比較理想的結果。
綜上，在使用牛頓科特斯公式時，建議使用階數為4。
（二） 子區間個數對誤差的影響
由3.2我們知道，牛頓科特斯公式的階數取4（使用布爾求積公式）較為理想，故在研究復化子區間個數對誤差的影響時，取階數為4。我們將區間段數分別取1、11、21、……、151，利用布爾求積公式計算復化的牛頓-科特斯求積結果及誤差，結果顯示為圖2。
圖2 誤差隨子區間個數變化曲線
由上圖可以看出，隨著子區間個數的增加，誤差越來越小，然而當子區間個數達到90后，誤差的減小速度減慢，這表明用復化的方法降低牛頓科特斯算法的誤差時，當達到一定精度后再想使誤差減小付出的代價較大，即運算量很大且耗時增加，不適宜再使用牛頓科特斯法。
[ 參 考 文 獻 ]
[1] 《現代應用數學手冊》編委會編.現代應用數學手冊.計算與數值分析卷[M].北京：清華大學出版社，2005.
[2] 黃云清等編著.數值計算方法[M].北京：科學出版社，2009.
[3] （美）里德（Leader，J.J.）張威等譯.數值分析與科學計算[M].北京：清華大學出版社，2008.
關鍵詞：三角函數；有理式積分；萬能公式；留數定理
三角函數有理式積分的求解是數學分析中一個典型的積分計算問題，往往利用萬能公式、組合積分法以及換元法等進行求值。這些定積分還可以運用復變函數中的留數定理進行計算，特別是對那些原函數不易求得的積分，是一個非常有效的方法。已有許多文獻總結求解三角函數有理式的思路方法[1-8]，大部分利用實積分中的萬能公式求解。本文為了比較分析三角函數有理式積分在數學分析和復變函數中的兩種計算方法，在學習中進行總結，整理知識點，選取了一個典型積分 為例，探究并比較兩種方法的區別與聯系，對比了兩種不同的解題思路。
一、預備知識
定義1[9] 設函數 定義在 ，而在 的任一左鄰域內 無界（此時 為 的瑕點），若 在任意 上可積，我們稱積分形式 為 在 上的瑕積分。
定理1[10] 設 在周線或復周線 所圍的區域 內，除 外解析，在閉區域 上除 外連續，則（“大范圍”積分）
利用復變函數中留數定理計算三角函數有理式積分
下面討論利用留數定理計算上述積分，對比計算方法與上節中方法的異同。
四.結論
本文主要討論了計算三角函數有理式積分不同的兩種方法：分別用萬能公式換元求解和留數定理兩種不同的解題思路。通過對比分析，我們可以知道，利用萬能公式計算三角函數積分時，優點在于思路清晰簡單，但仍有不足之處，計算量較大，不易獲得原函數，但如果利用復變函數中的留數定理，則可以更加有效地計算出很難獲得原函數的三角函數積分，運用較為廣泛，通過總結我們可以得出兩種方法各有利弊，在今后求解三角函數積分的過程中，要根據三角函數的結構特點來確定合適的方法，從而進行有效的計算。
參考文獻：
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關鍵詞：橫截面積；礦井巷道；復化梯形公式
DOI：10.16640/ki.37-1222/t.2017.13.210
煤炭工業是國民經濟中的基礎，它為經濟生產提供原料和能源。煤炭工業生產的順利進行，一定程度上取決于煤炭工業基本建設及開拓延伸工作能否及時、持續地提供生產煤炭的場地。為了將煤從地下采出，需從地表開始，開鑿一系列的井筒、硐室及巷道以便到達煤層，這便是礦山基本建設的主體工程。其中涉及到大量的巷道斷面的設計，包括巷道尺寸和橫截面積的計算。設計的巷道斷面直接作為井下巷道施工的依據，也是進行巷道工程概預算的依據。我國煤礦井下使用的巷道斷面形狀，按其構成的輪廓線可分為圓形類、拱形類、矩形類和梯形類共四大類，在此選擇底板水平、兩幫垂直、頂板為弧形的半圓拱斷面進行數學建模并求其橫截面積。
1 問題分析及模型
礦井巷道分為梯形巷道，三心拱巷道，半圓拱巷道等，本案例選擇半圓拱巷道模型并求解其面積。
但實際使用這種方法往往有困y，因為大量的被積函數，找不到用初等函數表示的原函數，此時Newton-Leibniz公式不能直接運用，需要用其他有效的數值積分方法求解。在此，運用數值積分方法中的復化梯形求積公式進行求解。
2 復化梯形求積公式原理
在使用牛頓-柯特斯公式時，通過提高階的途徑并不總能取得滿意的效果，為了改善求積公式的精度，一種行之有效的方法是復化求積。將積分區間分割為n等份，步長，各節點為。所謂復化求積公式，就是先用低階的求積公式求得每個子段上的積分值，然后用作為積的近似值。在子區間上使用Newton-Cotes公式，將分割為等份，步長為，節點為記為 ，在上作的階Newton-Cotes求積公式
3 算法的Matlab實現
3.1 實驗數據
半圓拱巷道截面積求法可用數值積分中復化梯形求積公式
求得。用上述的的公式來計算半圓拱巷道截面積，（其中，矩形長，矩形寬）；同時公式（1）中的積分區間，然后將積分區間進行等分，用表示二分次數，即區間等分數，得到個小區間，，每個小區間的長度為，其中。并且按
進行計算。
3.2 Matlab程序代碼
function FHQJ
k=2；
m=4；
a=0； % a，b 為區間
b=2；
epsilon=1e-3； % 精確度
fun=@（x.）sqrt（-x.^2+k*x）+m；
n =1；
h=（b-a）/2；
y0=h*（feval（fun，a）+feval（fun，b））；
yiter=y0；
while 1
step =2^（n-1）；
f=sum（feval（fun，a+（1：2：2*step-1）*h））；
y=y0/2+h*f；
if abs（y-y0）
break；
end
h=h/2；
y0=y；
yiter=[yiter，y0]；
n=n+1；
end
yiter
disp（y）；
Error=double（int（'sqrt（-x^2+2*x）+4'，'x'，0，2）-y）； %%與真值誤差
disp（Error）；
4 計算結果及分析
4.1 計算結果
本案例設定誤差不超過10-3，在Matlab下運行程序后的結果如下（k表示二分次數）：
當運行到k=8， 即時就能滿足與真實值誤差不超過10-3，此時誤差為0.0011。
4.2 結果分析
復化梯形求積公式能夠較準確的得到實驗結果yiter=9.5696，用在較少的計算量便能夠達到預定精度，得到準確值與近似值的絕對誤差Error=0.0011，較好的完成了巷道面積的計算問題。
5 總 結
本文建立了礦井巷道截面積的計算模型，根據半圓拱形截面積函數，運用復化梯形求積公式進行計算，并編制基于Matlab的計算程序。根據復化梯形求積公式的原理將所求函數的積分區間分為若干個小的積分區間，先求出每個小積分區間上的積分近似值，然后再將這些近似值加起來就是我們所要求的橫截面積的近似值，函數區間所分的小區間的個數越多，計算結果就越精確，其原因就是所分的區間數越多，計算時每個小區所帶來的誤差就越小，對其求和所帶來的總的誤差也就越小，所以最后的結果精度就越高。本文算例結果表明該方法具有較高精度、操作簡單等優點，且便于程序化。
參考文獻：
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不定積分在高職階段的解題方法大概可以分為以下幾種：直接積分法、第一類換元積分法、第二類換元積分法，分部積分法等。
1、直接積分法
利用不定積分以及原函數的定義：f（x）的所有原函數稱為f（x）的不定積分。也就是說，只要能知道哪個函數的導數等于被積函數，不定積分也就求出來了。例如：求∫ dx。
因為知道arctanx的導數等于 ，只要在后面加上任意常數C就可以得到被積函數的全體原函數，所以∫ dx=arctanx+C。這里必須注意一點，用這種方法求積分一定要求出被積函數所有的原函數，而并不是在某一個原函數后直接加上任意一個常數C就代表所有原函數。例如：求∫ dx。考慮到（Inx）'= ，如果簡單的認為∫ dx=Inx+C就錯了，因為In（-x）'= •（-1）= ，因此In（-x）也是 的一個原函數，而In（-x）是Inx加上任意常數所得不到的，所以∫ dx=Inx+C。有的教材上說檢驗一個不定積分結果求的是否正確只要對結果求導就行，如果求導以后得到的是被積函數，則正確。其實這種說法并不嚴格，上述例子就是一個反例。因此，并不能說對結果求導就能驗證一定正確，只能夠說如果對結果求導得到被積函數并不一定正確，而如果得不到被積函數卻一定是錯誤的。對結果求導這種方法不能來驗證正確，只能判斷是否錯誤。
2、第一類換元積分法
第一類換元積分法又稱為“湊微分”法。顧名思義，關鍵在于一個“湊”字，如果能想到如何“湊”，則題目會迎刃而解，若想不到方法，則會無法動手。下面看一個例子：
求∫ dx。
本題如果不用“湊微分”的方法，幾乎是無法解出來的，即使是知道用“湊微分”的方法，但不知道該如何去“湊”，仍然無濟于事。使用此方法必須對常用的“湊微分”公式非常熟悉。就此題而言，由于被積函數分母中有x2項，而分子中有x項，聯想到“湊微分”公式中xdx= d（x2），會出現x2項，所以可以考慮此思路。但此題與一般的“湊微分”又有所不同，由于分子和分母都是多項式，如果要“湊微分”必須分子或者分母整體“湊”，對被積函數的分子參照分母進行“湊微分”：因（x2+x+1）=（2x+1）dx，所以原式可以寫成：∫ dx= ∫ dx= ∫ =∫ = In（x2+x+1）+ arctan +C
從上例中可以看出，用“湊微分”法必須要對“湊微分”公式非常熟悉。
3、第二類換元積分法
第二類換元積分法又分為根號換元法和三角換元法兩類，對于被積函數中有根號而又無法用“湊微分”法解決的題目，可以考慮用根號換元，例如：若被積函數含有 ，5 等等，這類題目可以令根號下的因式為t，再用其他積分方法來解決。而三角換元則是利用sin2x+cos2x=1或者1+tan2x=sec2x這兩個三角恒等式來變化。例如被積函數中含有 , 等的積分都能利用上述兩三角恒等式來進行換元。此類題目最后計算結果往往都較為復雜，使用此種換元法要牢記最后結果中要將變量用換回來。
4、分部積分法
分部積分法是根據兩個函數乘積的導數的公式推倒而來，公式為：∫udv=uv-∫vdu。用分部積分法解題時，公式中的u和v并不是隨意選取的，而要遵照以下兩個原則：
（1）v要容易求出；（2）∫vdu要比∫udv更容易求出。而在實際的使用過程中，分部積分法通常都是和換元積分法結合起來使用的。
上面介紹了不定積分的多種求法，只有熟悉了這些基本的求法，才能夠比較熟練的求出其他技巧性更強的積分。另外，需要指出的是：由于初等函數在其定義區間內連續，因而其原函數一定存在，但是原函數并不一定就是初等函數，例如 ， ， 等，他們的原函數都不是初等函數，因此不能用上述的幾種求積分的方法來求它們的不定積分。
參考文獻：
[1]吳紀姚 漆毅 .高等數學（工專）.北京：北京大學出版社，2006年
（作者單位：江西南昌贛江職業技術學院）
【關鍵詞】教學設計；微視頻；高等數學
一、緒 論
互聯網的快速發展特別是移動互聯網技術的發展無時無刻不影響我們的生活方式、生活習慣、思維方式等方方面面.在教育方面，對教育理念、教學方法、教學模式等的影響巨大，由教育部教育管理信息中心、百度文庫和北京師范大學聯合的《2015中國互聯網學習白皮書》的結果顯示，互聯網教育產品用戶主要集中在19至24歲、25至34歲兩個年齡段.19至24歲階段多是大學生，從中可以看出我們的高等教育必須適應互聯網的發展和學生的行為習慣，利用互聯網和科技帶來的效率優勢，提高學生的學習效率[1].
高等數學是大學教育中的一門基礎學科，是絕大多數大學生必須掌握的一門基礎課，是學生綜合素質的重要組成部分.高等數學有其固有的特點：高度的抽象性、嚴密的邏輯性和廣泛的應用性.抽象性和計算性是數學最基本、最顯著的特點，有了高度抽象和統一，我們才能深入地揭示其本質規律，才能使之得到更廣泛的應用.嚴密的邏輯性是指在數學理論的歸納和整理中，無論是概念的表述，還是判斷和推理，都要運用邏輯的規則，遵循思維的規律.所以說，數學也是一種思想方法，學習數學的過程就是思維訓練的過程[2].因此，在教學中，如何讓學生在掌握知識和計算的過程中，更好地體會數學思想方法，從而提高他們的綜合能力，對于高等數學的教育是一個很值得思考的問題，這需要我們在教學設計上下功夫，利用科技，特別是信息技術，把高度抽象的數學理論以比較“形象化”的技術手段進行展示，在此過程中把數學思想和方法展示給學生.同時，注意到當代大學生的學情特點，他們思維活躍，但是有時思維方式比較形象化，對抽象的事物掌握規律比較困難；特別喜歡移動互聯網，甚至一天不用手機，他們已經不能忍受；他們對新鮮的事物抱有足夠的好奇.
綜合學情和已有的技術儲備，利用微課和翻轉課堂的教學理念和模式，我們可以在某種程度上利用信息技術合理設計教學視頻，把高等數學教學中抽象概念包含的數序思想更好地展示出來，從而提高學生們學習高等數學的興趣，激發他們學習的動力.
我們以高等數學中“牛頓-萊布尼茨公式及其證明”這一小節以微視頻來進行教學設計，讓學生體會動態的微積分的定義、變上限積分的定義、牛頓-萊布尼茨公式的證明.從中體會“以直代曲”的線性化方法、數形結合方法.進而更好地理解不定積分和定積分之間的聯系.
二、基于微頻的教學設計
微視頻通常值指的是時長不超過20分鐘的視頻短片，特別適合在移動互聯網上播放和傳播.本小節的教學設計要利用MATLAB計算軟件、幾何畫板軟件來制作微視頻.具體教學設計如下：
牛頓-萊布尼茨公式及其證明教學設計方案
使用的教材為同濟的《高等數學》上冊，第六版.
一、教材的地位與作用
牛頓-萊布尼茨公式不僅為定積分計算提供一個有效地方法，而且在理論上把定積分與不定積分聯系起來，是微積分學中最重要的公式.
二、學生知識結構分析
在牛頓-萊布尼茨公式學習以前，學生已經學習了導數、微分、原函數、不定積分、定積分的概念和性質的相關知識.
二、教學目標
1.知識與技能：熟練掌握牛頓-萊布尼茨公式，培養學生觀察、分析、抽象、概括的能力，體會知識間的聯系.
2.過程與方法：根據大學生的心理素質，利用啟發式教學，始終從問題出發，層層設疑，引導學生在不斷思考中獲取知識.
3.情感與態度：提高觀察、分析、抽象、概括的能力，體會數學解決問題的方法和過程，進一步滲透類比、轉化的思維方法，激發學習興趣.
三、教學重點
掌握牛頓-萊布尼茨公式.
四、教學難點
理解牛頓-萊布尼茨公式的證明過程，體會其背后的數學思想和方法.
五、教學過程
1.復習舊知識，以微積分的定義的動態視頻展示引入課題――創設情境.
首先，利用Matlab軟件設計一個程序完成對定積分定義的動態展示，即定積分中的分割-近似求和-取極限的過程動態地展示出來.以在區間[0，1]上的定積分為例，把每一次分割所對應的所有的小矩形的圖形通過Matlab畫出來，然后拼接成動畫，做成視頻[3].實現上述過程，中間過程的一個靜態展示如下：
隨著分割的加細，所有小矩形的圖形逐漸穩定，即它們的面積和趨向穩定，這個極限值就是在區間[0，1]上的定積分.
定積分定義的動態視頻展示，可以讓學生更好地理解定積分的思想.同時，體會到按照定義來求解定積分是不容易的，即使是非常簡單的函數.從而引出牛頓-來不尼茨公式――高效的計算定積分的方法，且使得定積分成為一種科學的方法.
2.得到猜想――驗證猜想
我們要利用數學常用的解決問題的方法：猜測結論――驗證結論，得到一般的規律[4].利用這種方式給出牛頓萊布尼茨公式.
通過上述視頻的動態演示，當把[0，1]區間分割成500份，最終的圖形如下：
如何證明該猜想是一個難點，我們采用數形結合，并利用幾何畫板把它用微視頻的方式展示出來，同時也把變上限積分的幾何意義展示出來.具體做法如下：
初始畫面如下，揭示定積分的幾何意義為曲邊梯形的面積.從而只需證明陰影部分的面積和紅色線段長度相等.
這需要一個橋梁和工具：變上限積分.因此要讓陰影部分動起來.視頻的中間一個過程如下圖.
隨著點向左端點運動陰影部分的面積不斷變小，通過該過程讓學生體會變上限積分函數的特點.接著要把變上限積分函數的圖像在坐標系中畫出來，且曲線的出現的過程與陰影部分的面積的變化過程同步.視頻的一個中間的靜態展示如下圖.
從而使得定積分的值――曲邊梯形的面積轉化為變上限積分函數在區間上的增量.再通過比較圖像的位置關系，我們可以得到陰影部分的面積在區間上的增量等于線段長度在區間上的增量.通過移動曲線即可得到，移動的過程的一個靜態展示如下圖.
3.得到定理――總結反思，提煉精華
完成定理證明后，加以練習，并對數學思想方法進行總結，讓同學們體會：
（1）定積分的定義
分割-近似求和-取極限的思想，以及以直代曲思想.
（2）數學解決問題的一般途徑
合理的猜測后進行嚴格的論證從而得到一般的規律是數學解決問題的常用方法.清晰的直覺和嚴謹的邏輯同樣重要.
（3）數形結合的思想
定積分的幾何意義和變上限積分函數的圖形展示.
（4）不定積分和定積分之間的關系：牛頓-萊布尼茨公式給出了求函數定積分的一般方法，把求定積分的問題轉化為求被積函數原函數的問題，這就使得作為積分和數列的極限的定積分與作為微分逆運算的不定積分緊密地聯系在一起，正是這樣的聯系才使得微積分有非常廣泛的理論和應用價值[4].
六、教學方式
采用學生事先預習，n堂上與學生共同討論的方式來進行教學，多媒體、板書等相結合.
三、總 結
隨著互聯網開放教育的深入發展，年青一代學生對互聯網的依賴及他們的行為方式的改變，我們需要利用各種信息技術把數學中的概念形象地展示出來.專業的數學軟件和課件制作軟件是我們必須靈活利用的，如Matlab、幾何畫板等.并制作成視頻，放在網上或者發給學生，充分利用微視頻的優點和學生的行為習慣，幫助學生自學、預習、復習，提高他們的學習效率，讓他們感覺到學習數學是輕松的，且有成就感.從而激發他們學習數學的動力.
我們以“牛頓-萊布尼茨公式及其證明”這一教學內容為例，把通過Matlab和幾何畫板軟件設計的動畫視頻作為教學設計的中間環節.通過這樣的設計把比較抽象的概念，通過數形結合動態地展示出來.有助于學生理解公式背后的數學思想和方法，有助于培養學生綜合數學修養.
【參考文獻】
[1]楊經曉，互聯網數學開放教育發展近況[J].數學文化，2013，4（1）：61-68.
[2]http：///linkurl=8X4aDMNjbXID3rZTQau2RhpS9U3cp2UN_wI8dquy4yuhKVa1Sa8zUm_c7baoyo2aKoIJcnCJ_u2yDFF7fqrZV0Oa4CrTrh0qhLbbdXpneta.
學到微積分部分時，我把牛頓和萊布尼茲及追隨者們的生平故事，他們發現及發展微積分理論的過程，他們在數學及其他領域內所做的研究工作與貢獻，還有關于微積分發明優先權問題的爭論，各個微積分符號的含義、公式的由來，微積分理論在各學科中的廣泛應用等穿插在各部分內容中給學生分散講授.下面是我的一節實驗課：定積分的概念.
定積分的概念非常抽象，很難理解，并且得出概念的方式也與以往有所不同，定積分的計算及其他一些內容是本書的難點.如果這一節講不好，會給以后的學習帶來困惑.俗話說“良好的開端是成功的一半”，為了開好這個頭，我下了很大的工夫，提前查資料，找尋與本節課有關的內容.本節課我是這樣設置的：
大家都喜歡吃蘋果嗎？
同學們都笑了，不知道老師葫蘆里又要賣什么藥，但還是說“喜歡”.
我笑著說：“我也特別喜歡吃.”我又問：“那你們知道與蘋果有關的非常有名的定理是哪一個？又是誰發明的？”
同學們異口同聲地說：“萬有引力定律，牛頓發明的.”這時同學們有些陰陽怪氣了，是啊，大家都是從小聽牛頓的故事長大的，我現在問，他們以為我把他們當小孩了.
我又問：“是啊，同學們都非常熟悉牛頓的兩大成就，萬有引力定律和光的分析，但他還有一個更大的成就，你們不知道吧？”
這時同學們的胃口被我吊起來了，我頓了一下說：“那就是計算定積分的基本公式——微積分基本公式.那什么是定積分？微積分的基本公式又是怎么樣的？又如何運用它計算定積分？這是我們本章所要研究的內容.”我接著講到：
定積分的概念起源于求平面圖形的面積和其他一些實際問題，定積分的思想在古代數學家的工作中就已經有了萌芽，很早以前在許多人的工作中已經形成，但結果都是孤立的和零散的，直到牛頓—萊布尼茲公式，也就是我們剛剛提到的微積分基本公式建立以后，計算問題得以解決，定積分才迅速發展起來并得以廣泛應用.因此牛頓和萊布尼茲被稱為定積分的奠基人.牛頓和萊布尼茲都是數學史上最偉大的科學家，特別是牛頓被譽為近代科學家的開創者，在科學史上做出了巨大的貢獻，他的三大成就——光的分析、萬有引力定律和微積分，對現代科學的發展奠定了基礎，世人給了他很高的評價.曾有一句話是這樣說的：“自然和自然規則在黑暗中躲藏，主說，讓人類有牛頓！于是一切被光照亮.”而牛頓卻非常謙虛，有人問他成功的秘訣，他說：“如果說我有點成就，沒有其他秘訣，唯有勤奮而已.”他又說：“假如我看得遠點，那是我站在巨人的肩膀上.”這些話生動地道出牛頓取得巨大成就的奧秘所在，那就是在前人研究的基礎上，以現身的精神，勤奮地創造科學的新天地.雖然我們不能人人成為偉人，不能人人成為科學家，但我們要學習偉人的這種精神，在學習上孜孜以求，去發現科學、學習科學并應用科學.
同學們被科學家的精神感動了，我順勢一轉，那么課本是如何從兩個實例出發，引出定積分的概念？定積分的概念又是怎樣的？如何應用它來解決實際問題？我們一起來研究一下：
1、知識范圍
(1)不定積分、原函數與不定積分的定義、原函數存在定理不定積分的性質
(2)基本積分公式
(3)換元積分法、第一換元法(湊微分法)、第二換元法
(4)分部積分法
(5)一些簡單有理函數的積分
2、要求
(1)理解原函數與不定積分的概念及其關系，掌握不定積分的性質，了解原函數存在定理。
(2)熟練掌握不定積分的基本公式。
(3)熟練掌握不定積分第一換元法，掌握第二換元法(限于三角代換與簡單的根式代換)。
關鍵詞： 不定積分計算 困難 分析 常用方法
不定積分是大學數學關于計算問題的一個重要內容，是定積分、重積分、線面積分計算、微分方程求解的基礎。因此，熟練掌握不定積分的計算方法與技巧，對于學好高等數學是十分必要的，然而它的計算卻存在著一定的難度。
一、不定積分計算的困難及分析
不定積分計算的困難首先是由其概念本身帶來的，因為從求導的逆運算引進，造成了它的計算是非構造性的一類運算，它與求導相比有著顯著的不同，求導有一定的公式可套，但求不定積分并非如此。
不定積分計算的困難還在于錯誤的思考方法，對于學生來說，解題往往通過“猜”的方式，猜原函數，這顯然相當的困難；在老師方面，不定積分的教學也是一個難點，老師的任務是理出方法，教會學生如何理解方法，而不是憑感覺。現實存在的問題有兩個：一是當在指定讓學生用哪種方法解決時，學生可以做到，但如果把方法混在一起，學生往往不知道用哪種方法；二是在當時學生會解決的題目，時間久了，學生就忘記了。原因都在于學生沒有真正理解透各種方法的本質特點，面對問題時，不知道怎么根據其特征選擇適當的方法。
二、不定積分計算的方法思考
在介紹積分方法時，老師首先應提醒學生注意被積函數的多樣性，而不同類型的被積函數就需要不同的積分方法來解決，對于一個給定的f(x)，要求f(x)dx，這是一個未知的問題，從宏觀上說我們要將未知的問題轉化為已學知識來討論。那么就存在兩個問題：已知的是什么？怎么轉化過去？
課本根據求導與不定積分的關系由基本求導公式給出了積分基本公式，它們可以作為已知的知識，那么不能直接由積分公式解決的問題，就要通過幾種轉化方法轉化到現有的公式上，轉化的依據要根據被積函數的結構和轉化方法的特點。常用方法有以下幾種。
1.基本變形。這個方法是由不定積分的性質線性引出的，只要做恒等變形就可以將要求的不定積分轉化到基本積分公式中去，它的特點就是多個變單個。
2.湊微分法。顧名思義，關鍵在于一個“湊”字，如果能想到如何“湊”，則題目會迎刃而解，若想不到方法，則會無處入手。因此，歸納并熟記常用的湊微分公式是十分必要的。
老師在講解這個方法的時候可以先通過幾個簡單的湊微分的例子引出湊微分這個方法，以形象地觀察出湊微分法的本質、特點，書上給出的定理是比較抽象的，在對其證明中，可以采取比較通俗的方式，如：要驗證f［φ(x)］?φ′（x）dx=f(u)du=F(u)+C=F［φ(x)］+C是否成立，只要驗證（F［φ(x)］+C）′=f［φ(x)］?φ′(x)是否成立。
如果成立，則證明了該定理，也證明了前幾個例子的做法是正確的。再結合例子和定理歸納出湊微分法的特點就是“變元再協同”。
有些例題要“湊”多次，老師可以舉相關例題讓學生充分體會湊微元法的本質特點是變元再協同中的“再”，總的來說湊微元法就是一個“變元再協同”的過程。
3.變量代換法。從被積函數中會發現一些難以處理的因式，使用湊微元怎么也協同不了，在講解這個方法的時候可以先舉幾個這樣的例子，告訴學生思考這個問題的方法，多列幾個學生就會知道想辦法去掉難以處理的因式，當然是有多種代換方法的。在學生接受了這種思路后再給出定理，證明手段類似湊微元的證明。
例1：求.
思路一：被積函數中既有x，又含有x，所以我們想辦法通過變元都協同到x上，然后再觀察，再協同。
解一：===
=d=d
=arctan+C
思路二：考慮被積函數中含有根號，想辦法去掉根號，使用三角代換很容易將其算出。
觀察這兩種方法的各自特點，第一種思路它比較難想到，但計算起來比較簡單，第二種方法它雖然操作起來相對麻煩一些，但指向性非常明確。三角換元法一般是把被積函數中含有的，，，分別用x=asint，x=atant，x=asect做變換去掉根式，沒有太多的技巧，但是有些含有這樣根式的不定積分不需要采取變量代換的方法，例如xdx，dx，被積函數中含有了比較難處理的因式，而變量代換就是起到一個去掉難處理的因式的作用，但在有些題目中只要用湊微元做就可以了，提醒學生不要犯教條。
4.分部積分。其基本公式為udv=uv-vdu，此方法用于求udv不易，而求vdu較易的題目。在運用分部積分法關鍵是u與dv的選取，掌握此方法的一個關鍵在于你要對哪個求導，du是一個局部求導，求導之后要方便運算才有意義。
例2：求xedx.
分析：被積函數是指數函數e與三角函數x的乘積，用分部積分有兩種方案：xedx=edx=ex-xdexde，第一種方案是對e局部求導，而我們知道對它求導還是本身，所以解決不了根本問題，所以學生在做題的時候要思考到底對誰局部求導能達到目的，這題中對x局部求導就可以去掉這個因式，所以選擇第二種方案。
這部分內容的學習要求我們要對各類積分法進行總結比較，分析各類積分方法的特征，達到掌握并熟練運用的目的。
參考文獻：
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