時間：2023-05-30 10:45:40
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇圓柱體積，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
2、論證。設第一個圓柱的半徑和高為2，1，圓柱的表面積=2πr(r+h)=12π，則它的體積=πr^2*h=4π；設第二個圓柱的半徑和高為1，5,圓柱的表面積=12π，它的體積=πr^2*h=5π。所以兩個圓柱的表面積相等，它們的體積不一定相等。
3、圓柱（cylinder）是由兩個大小相等、相互平行的圓形（底面）以及連接兩個底面的一個曲面（側面）圍成的幾何體。
（來源：文章屋網 ）
1教學內容
圓柱和圓錐的整理與練習。
1.1教學目標
(1)通過對圓柱和圓錐知識的復習，進一步熟練解答基本的數學問題。
(2)通過猜想、估算、驗證等數學活動，運用圓柱圓錐之間的內在聯系解決生活中的問題，同時培養學生的估算能力。
(3)通過整理、交流、合作、探究，體驗探究的樂趣，感受數學的價值，培養學生“學數學、用數學”的意識和創新精神。
(4)使學生進一步體會圖形與實際生活的聯系，感受立體圖形學習的價值，提高數學學習的興趣和學好數學的自信心。
1.2教學重難點
靈活計算圓柱體的表面積，圓柱體和圓錐的體積，解決實際問題。
2回顧梳理形成網絡
師：這單元學習了哪些內容？4人一組進行回顧梳理知識。
教師反饋并把學生整理的知識用展示儀進行展示。
設計意圖：放手讓學生自己去收集、整理、交流知識，通過這樣的學習方式，充分發揮學生學習的自主性，把課堂還給學生，同時還可以培養學生自主學習和發展創新的意識，以及提高學生自行設計的能力與自主獲取知識的能力。
師生交流并完成教師提前設計的表格，見表1。
師:請同學認真觀察,你發現了什么?你知道有關圓柱和圓錐有哪些計算公式呢?
生邊說師邊完成板書，如圖1所示。
設計意圖：復習并非只是重復昨天的知識。本環節在引導學生通過回憶已學過的知識之后，再通過交流、對比、補充，異中求同，使學生的知識真正實現內化，從而形成良好的認知結構。
3內化理解拓展應用
師：剛才我們對圓柱和圓錐的知識進行了整理和復習，那么大家掌握得怎么樣？現在小博士出題考考大家，有沒有信心接受挑戰？現在我們來闖第一關。
3.1基本練習
3.1.1復習知識
出示表1，說明要求，讓學生計算并填在表格里。學生口述結果，教師板書填寫。
3.1.2應用題(只列式不計算)
(1)一個圓柱的側面積是12.56 cm2，底面積半徑是2 cm，那么這個圓柱的體積是多少m3？
（2）把一個底面周長為80 m的圓柱體切拼成長方體后，表面積比圓柱體增加112 m2。這個圓柱體的體積是多少？
(3)一根圓柱形木材長20 dm，把它截成4段相等的圓柱，表面積增加了18.84 dm2。截后每段圓柱體積是多少？
設計意圖：培養學生的問題意識，讓學生綜合應用本單元的計算公式。培養學生的綜合應用能力，拓展學生的思維能力。
3.2判斷題
(1)圓柱兩個底面之間的距離是圓柱的高，并且有無數條。（）
(2)如果一個正方體和一個圓柱體底面周長相等，高也相等，則它們的體積也相等。（）
(3)圓柱的底面半徑擴大2倍，高縮小2倍，它的體積不變。（）
(4)一個圓柱體直徑擴大3倍，體積也擴大3倍。（）
(5)圓柱體的體積和它的容積一樣大。（）
(6)圓柱的高是3 cm，與它等底、等體積的圓錐體高是9 cm。（）
(7)圓錐體比與它等底、等高的圓柱體體積小。（）
(8)一個圓柱體比和它等底、等高的圓錐體的體積大。（）
(9)圓柱的高是6 cm，和它體積相等，底面半徑相等的圓錐的高是18 cm。（）
(10)圓錐體的體積總是比圓柱體的體積小。（）
3.3選擇題
(1)一個圓柱形水桶的容積（）體積。
A.相等B.大于
C.小于D.無法確定
（2）一個圓錐體的底面半徑是2 cm，高是3 cm，則體積是（）dm3。
A.37.68B.0.03768
C.12.56D.0.01256
(3)一個圓柱體，底面周長是37.68 cm，高是2 cm，它的體積是（）。
A.74.36 cm3B.226.08 cm3
C.76.36 cm3
(4)一個正方體的棱長是6 dm，表面積為（）dm2。
A.36B.216
C.72D.108
(5)一個圓錐體與一個圓柱體，底面積和體積相等，圓錐體的高是9 dm，圓柱體的高是（）。
A.3 dmB.27 dm
C.9 dmD.34 dm
(6)兩個底面半徑相等的圓錐體和圓柱體，它們的體積比是1∶4，已知圓柱的高是8 cm，那么圓錐的高是（）。
A.2 cmB.6 cm
C.18 cmD.5 cm
(7)一個無蓋的圓柱形水桶可以裝水多少L？就是求它的（）。
A.表面積B.體積
C.容積D.既可以說體積也可以說容積
(8)把一個圓柱形木棒削成一個最大的圓錐，削去部分的體積是原圓柱形木棒體積的（）。
A.1/3B.1/2
C.2/3D.3/4
(9)兩個圓錐體的高相等，甲圓錐體的底面半徑是乙圓錐體底面半徑的2倍。那么甲圓錐體的體積是乙圓錐體體積的（）。
A.2倍 B.4倍
C.6倍D.8倍
(10)一個圓柱的高不變，底面半徑擴大2倍，它的體積擴大（）倍。
A.2B.3
C.4D.8
師：學知識是為了用知識，學了圓柱和圓錐的有關知識，我們可以解決生活中許多問題，請看最后一關。
4實踐與拓展
(1)某工廠買來一塊長3 m，寬2 m的鐵皮準備做一個煙囪，(接頭處忽略不計)，①請你設計一下煙囪的形狀，你能設計幾種款式？②需要的鐵皮相等嗎？③它們一次排煙的體積各是多少？④如果你是廠長，你會選擇哪種款式的煙囪？為什么？
(2)用這塊鐵皮做成水桶，你會選擇哪種款式？為什么？給這個水桶配個底，你會怎么選擇？為什么？
(3)一個養魚專業戶用這個圓柱形水桶存了一些魚，你能算出這些魚的體積嗎？如果是放入布做的玩具魚你還能用剛才的方法嗎？為什么？
設計意圖：讓學生感到生活中有數學，生活中處處需要數學，提高學生應用數學知識的意識。同時也激發學生的學習興趣。體現了“人人學習有價值的數學，人人都獲得必需的數學，不同的人在數學上得到不同發展的新理念。
5小結
(1)通過這節課的學習，你有什么收獲？
(2)這節課你認為該給自己的學習表現打多少分？
(3)這節課你對哪位同學的表現感到滿意？為什么？
設計意圖：總結是對本節課所學內容的回顧和梳理，不僅要讓學生回故本節課所學的主要數學知識和思想方法，還要給學生提出質疑和表達不同意見的機會，進而幫助學生形成及時自我反思的意識。鼓勵學生大膽發表自己的意見，增強學生的自信心。一方面培養學生的評價的能力；另一方面在培養學生評價他人發言內容的同時，也培養了學生的傾聽能力。
6課后反思
一、指導學生認真觀察
首先，在觀察之前，我做到給學生提出明確而又具體的目的、任務和要求。其次，不僅要指導學生根據觀察的對象有順序地進行觀察，還要指導學生選擇適當的觀察方法等。第三，科學地運用直觀教具及現代教學技術，以支持學生對研究的問題做仔細、深入的觀察。第四，努力培養學生濃厚的觀察興趣。例如：在教學“圓柱體的體積”時，我引導學生進行動手實踐，將圓柱體拼割成一個近似長方體，先將圓柱沿底面平分割成8等份，對拼成一個近似長方體，學生則觀察割拼過程。我向學生提出問題：“這個圓柱體拼成了一個近似的什么立體圖形？為什么說它是近似的？它的哪一部分不是長方體的組成部分？”學生回答后，我接著再進行演示實驗2：將圓柱體沿底面平分16等份，再拼成近似的長方體。再問：“這次是不是更像長方體了？”這時我啟發學生想象；“把它平分成很多等份，這樣拼成的圖形將會怎樣？”在學生回答的基礎上，我再總結：“將會無限趨近于長方體，并且最終會得到一個長方體。”然后我再及時引導學生觀察這個長方體，并把它與圓柱體進行比較，提問：“這個長方體的哪部分與圓柱體相同？”因為模型各面的顏色不同，所以學生會很快回答出來：“底面積與高。”“那么這個長方體體積與圓柱體體積有什么關系？”學生回答：“相同。”我再問：“這個長方體同原來的圓柱體相比什么發生了變化？”學生經過觀察，很快回答：“這個長方體的表面積同原來圓柱體的表面積相比發生了變化。”我再問學生：“這個長方體的表面積同原來圓柱體的表面積相比較是增加的還是減少的？增加或者減少了哪幾個面？”學生很快能回答：“長方體比圓柱體增加了兩個側面，每個側面的長和寬是圓柱體的高和底面半徑。”
在學生掌握了圓柱體的體積計算公式后，我出示了這樣一題：“一個圓柱體的高是5厘米，將這個圓柱體割拼成一個長方體后，表面積比原來增加了20平方厘米，求這個圓柱體的體積。”學生因為剛才經過觀察，很快能求出這個圓柱體的底面半徑為：20??＝2（厘米），體積則為：3.14???＝62.8（立方厘米）。
這樣引導觀察，使學生不但掌握了知識，而且還提高了學生的觀察能力和學習能力。
二、引導學生數學想象
教學實踐中，我們培養學生的想象力，首先要使學生學好有關的基礎知識。其次，新知識的產生除去推理外，常常包含前人的想象因素，因此在教學中應根據教材潛在的因素，創設想象情境，提供想象材料，誘發學生的創造性想象。例如，在教學“圓的認識”時，就有這么一個片斷。
師問：在一塊草地上修建一個圓形花壇，如果你是施工人員，怎樣畫出這個圓？
學生紛紛說出各種各樣的方法（如竹竿、繩子等）。
又繼續引導想象問：要給座城市周圍建一條圓形的環城公路，如果你是設計工程師，怎樣來畫這個圓？學生議論紛紛地說：竹竿、繩子都利用不起來的怎么辦呢？有的說：用無線電控制坦克繞城市周圍跑一圈。老師引導：如果，遇到河流與建筑物怎么辦呢？有的說：用直升飛機在空中繞周圍一圈撒白灰畫圓。老師說撒白灰會污染環境，而且白灰到了地面也看不清了。最后經過老師的引導，終于有位學生說：在這座城市的地圖上用圓規畫一個圓，碰到河流就就架橋，碰到建筑物寫上“拆”字。這就是一個培養學生想象力，創新能力的范例。
三、鼓勵學生求異思維
求異思維是創造性思維發展的基礎。它具有流暢性、變通性和創造性的特征。求異思維是指從不同角度，不同方向，去想別人沒想到，去找別人沒有找到的方法和竅門。要求異必須富有聯想，好于假設、懷疑、幻想，追求盡可能新，盡可能獨特，即與眾不同的思路。課堂教學要鼓勵學生去大膽嘗試，勇于求異，激發學生創新欲望。例如：教學“分數應用題”時，我出示了這么一道習題：“修路隊修一條3600米的公路，前4天修了全長的1/9，照這樣的速度，修完余下的工程還要多少天？”我引導學生從不同角度去思考，用不同方法去解答。
解一：3600鰨?600?/9?）－4
解二：（3600－3600?/9）鰨?600?/9?）
解三：4譡（3600－3600?/9）鰨?600?/9）]
思維較好的同學將本題與工程問題聯系起來，拋開3600米這個具體量，將全程看作單位“1”：
解四：1鰨?/9?）－4
解五：（1－1/9）鰨?/9?）
解六：4祝??/9－1）；
此時學生思維處于高度活躍狀態，又有同學想出：
解七：4?/9－4
解八：4祝??/9）－4
《課程標準》在闡述“空間與圖形”內容時，提出許多“探索”性的要求：“探索并掌握長方形，正方形的面積公式”，“探索并掌握圓的周長和面積公式”。“探索某些實物體積的測量方法”等。這些“過程性”目標需要運用探究性活動。因此我在引導學生探索圓柱體積計算公式的過程中，組織學生實實在在地把圓柱體轉化成長方體，通過觀察、猜測、驗證、推理、交流，使學生深刻體驗到了“圓柱是怎樣轉化成近似的長方體的？”、“轉化后的近似長方體與圓柱體有什么樣的關系？”再通過討論、復述等形式，再現了公式的形成過程，喚起學生頭腦中的表象，既發展學生的空間觀念，又培養學生抽象、概括能力。
六年級學生已經學習了一些空間與圖形的方面的知識，平面圖形有長方形、正方形、三角形、梯形、圓的面積計算，立體圖形有長方體、正方體表面積和體積的計算，在這些形體的學習中，學生已經認識到了每個圖形之間有著一定的聯系。這些形體面積和體積的推導中，都引用了轉化的數學思想，所以在學習圓柱的過程中，轉化思想的滲透是本節課引導學習的一個重點。
在教學圓柱的體積前，我讓學生課前準備一些用蘿卜切成的圓柱帶來學校，課堂上我先和學生一起復習了長方體和正方體的體積公式，重點引導學生認識到長方體和正方體的體積都可以用底面積乘高來進行計算的（長方體和正方體=底面積×高）。
根據理解教材的角度出發，我按照了書上的例題直接展開教學。出示了長方體和正方體，問：（1）長方體與正方體的體積是怎樣計算？怎樣推導出來的？（學生說：長方體和正方體=長×寬×高；正方體=棱長×棱長×棱長）（2）長方體和正方體還有一個統一求體積的計算公式？（學生說：長方體和正方體=底面積×高）通過這樣的引導學生進一步鞏固了長方體和正方體的體積都可以用底面積乘高來計算的道理。
接著我出示了一個與長方體大小接近的圓柱，問：（3）這個圓柱的體積與長方體的體積相等嗎？用什么方法可以驗證？學生通過討論，有的說：可以用以前學過的“溢水法”，還有的說能不能把圓柱體不改變大小切成長方體（分割）來算？這時我及時的表揚了這位同學，這就是我們數學的轉化，把未學過的知識轉化為已經學過的知識來進行思考，并提示他們：圓可以轉化成長方形進行面積的計算，圓柱可以轉化成長方體計算體積嗎？這時，請學生將準備好的蘿卜（近圓柱形）進行分割，拼接，將圓柱轉化成了一個近似的長方體。
學生在探究新知識的時候，我給予學生充分的思考空間，創設實踐操作的條件，營造出思考的環境氛圍。引導學生先用小刀把蘿卜切成一個圓柱體把圓柱的底面分成若干份（例如，分成4等、份8等份），然后把圓柱切開，再拼起來，圓柱體就轉化成一個近似的長方體，學生初步了解了圓柱與長方體之間的關系，就把學生帶人探索的領域：學生一下子展開了豐富的想象，接著讓學生找一找：這個長方體的長相當于圓柱的什么，寬是圓柱的什么，高是圓柱的什么？通過小組交流指出圓柱體變成了近似的長方體，得到了形狀發生了變化，但是體積并沒有變化，拼成的近似長方體的體積等于這個圓柱的體積。
引導學生匯報：在轉化的過程中，拼成的近似長方體的體積、高與圓柱體體積、高之間的關系，通過討論和交流，讓學生充分談談，在轉化中，哪些量發生了變化，哪些沒有發生變化，最后歸納出圓柱的體積公式（圓柱的體積=底面積×高），這節活動課氛圍挺好，學生的學習欲望高漲，讓我也嘗到了成功的喜悅，它也帶給我了一種重來未有的活動體驗。整個課堂生動、活潑，學生思維活躍，在動、論、看等過程中學生輕松的掌握了圓柱體積公式。
這樣學生通過實踐、自主、合作、探索、發現，完成把未知的知識利用已有的知識經驗轉化為熟悉的知識，這樣得到的知識是“活”的，這樣的知識對學生自身智力和創造力發展會起到積極的推動作用，是學生在自己艱苦的學習中發現并從學生的口里說出來的這樣的知識具有個人意義，理解更深刻。在今后的教學中我們要特別關注學生的思考和探究過程，培養他們獨立思考的能力。
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在課堂教學中，常常會遇到突如其來的情況，教師若不能當機立斷，及時妥善處理，就會產生負面影響，妨礙教學工作的正常進行。如何處理好課堂偶發事件？這需要教師運用自己的聰明才智。
一、機智巧妙。教育機智是處理偶發事件必需的心理條件，教師要善于運用機智的語言或措施處理偶發事件。如：一節數學課上，全班同學都在靜靜地思考老師提出的問題。不知是誰難以控制，突然放出一聲響屁，那聲音在靜靜的課堂上格外清晰，還有點悠長、婉轉。頓時，同學們都被這聲音逗樂了。這時老師笑著說：“同學們，剛才我們意外地欣賞了一段音樂，我看大家又添了精神，想來我出的思考題很快就會有答案了吧！”同學們會心一笑，又恢復了剛才的思考狀態。
二、轉移回避。課堂上，學生會提一些與教學聯系不大或毫無相干的問題。教師這個時候最好不要正面回答，不然就會糾纏在毫無意義的爭論中，沖淡甚至破壞課堂教學氛圍；而如果不理會，又會挫傷學生的學習積極性，這時，教師最好是轉移話題，或巧妙地回避學生的話題。
三、因勢利導。例如：一次，我在教學“圓柱體的體積”時，接受昨天學生提出的“只學不會”的學習方式，在黑板上出示：長方體的體積怎樣計算？圓的面積計算公式是怎樣推導出來的呢？重點研究：圓柱體的體積怎樣計算？面對復習的問題，學生回答的很好：長方體的體積=長×寬×高。當我指著長方體的底面時，學生就說：長方體的體積=底面積×高。學生對于圓的面積計算公式的推導記憶猶新，這是很值得我高興的。面對本課的重點問題，我滿懷信心（兩個復習問題的鋪墊，學生會首先想起來把圓柱體按照圓的面積推導過程一樣，來等分圓柱體），開始引導學生獨立思考：怎樣計算圓柱體的體積？正當大家苦思冥想的時候，一位學生把手舉得高高的：“老師，我想出來一種方法。我是這樣想的，這是一個火腿腸，我想把它橫著切成一個個圓片，分給你們吃。”霎時間，下面的同學都笑了，過了一會兒，一個學生提問：切火腿腸，和圓柱體的體積有什么關系啊？“有啊，這個圓柱體的火腿腸的體積就是每一個圓片的面積乘上圓片的個數。”這樣解釋完，下面的學生有的在笑，有的在議論，還有的在思考。我想，這是我該出手的時候了：“吳優， 給大家解釋一下，圓片是什么？圓片的個數又是什么？”“圓片就是圓柱的底面積，圓片的個數就是圓柱的高。”話音剛落，掌聲響了起來……這既順應了學生的好奇心，又發揮了學生的聰明才智，收到了良好的教學效果。
這星期上了圓柱圓錐這一單元，通過實踐操作、小組合作，學生對公式的推導過程掌握的還不錯。
在實際教學時，我先復習了長方體（正方體）的體積計算方法，再由課件演示配合圓柱體積的演示器，學生興趣很濃厚，很容易就推到出了圓柱的體積公式。然后做了書上的課后習題。這個內容，我沒有根據書本進行教學，依照課件的演示逐漸推導出公式的。
在等底等高的條件下，圓錐的體積正好是圓柱體積的1/3？對于這一結論的得到。我在教學時準備好學具：一個圓錐和圓柱（等底等高的），水適量。通過老師的演示試驗，我們很快得到了圓錐里的水要往圓柱里倒3次，才能把圓柱倒滿，從而很輕松的記住了1/3。
從學生的練習看，單獨求圓柱圓錐的體積，完成好；如果其中添加了要求圓柱的表面積，存在了幾個問題。
1、單位，少部分學生老是忘記區分面積和體積單位，有的干脆一個也不寫。
2、求圓柱表面積要計算圓柱的兩個底面積，求完表面積之后再計算圓柱體積，有的學生就直接拿兩個底面積之和去乘以高了。
3、雖然學生記住了圓錐是它等底等高圓柱體積的1/3，但再計算中仍有一部分學生忘記把1/3乘進去。
在學生練習時，我們老師一定要提醒學生答題細心，每一步想清楚了再動筆。
例1如圖1所示,O為杠桿AB的支點,OA∶OB=2∶3。物塊甲和乙分別掛在杠桿AB兩端,杠桿平衡。已知物塊甲、乙的體積之比是2 ∶1,物塊甲的密度ρ甲=6×103千克/米3,則物塊乙的密度ρ乙=
千克/米3。
解析:設甲物塊質量為m甲、體積為V甲;乙物塊的質量為m乙、體積為V乙。根據杠桿平衡條件有
m甲•g•OA=m乙•g•OB, ①
由①式可得== 。 ②
根據密度的計算公式有
ρ甲= , ③
ρ乙=,④
由③與④式有
=•=•=,
ρ乙=ρ甲=×6×103千克/米3
=8×103千克/米3。
點撥:解答本題時,一方面要從杠桿的平衡條件入手列出相關等式,另一方面還應抓住密度的公式進行計算。
二、壓強與杠桿的綜合
例2圖2為鍋爐保險閥門的示意圖,已知OA=10cm,AB=14cm,為保持鍋爐內的蒸汽壓強是最大值,B處所掛物體重25N,則閥門S承受的最大壓力是()。
A. 60N B. 35N C. 30N D. 20N
解析:作用在杠桿上的兩個力,一個是B處所掛物體的重力,它的力臂為OB=OA+AB=10cm+14cm
=24cm。一個是蒸汽對閥門S的最大壓力,它的力臂為OA=10cm。由杠桿平衡條件得F壓•OA=G物•OB,所以
F壓===60N。答案為A。
點撥:我們在面對實際問題時,應能從實際裝置中抽象出杠桿的模型,確定支點、動力、動力臂、阻力、阻力臂等要素,然后應用相關知識解題。
三、浮力與杠桿的綜合
例3如圖3所示, 杠桿每小格的長度相等, 質量不計, 以O 點為支點,杠桿的右端掛有重物M。支點左邊的A處掛鉤碼時, 杠桿平衡。 將重物M 浸沒在水中,再將鉤碼移到B 處,杠桿又平衡。 則重物與鉤碼的質量之比為 ,重物M 的密度是千克/ 米3 。
解析:此題可分重物 M 浸入水中前后兩種情況來分析。在M 浸入水中前,設鉤碼質量為m,鉤碼掛在A處,由杠桿的平衡條件得
4mg=5Mg ,所以=,
即m=M。 ①
當重物M浸沒在水中時,鉤碼移到B處,杠桿平衡,有3mg=5(Mg-F浮),
整理得 F浮=(M-m)g ,②
將①代入②得,F浮=Mg ,③
當重物M浸沒在水中時,由阿基米德原理可得
F浮=ρ水gV排=ρ水gV物=ρ水g, ④
將③、④聯立得,Mg=ρ水g,
所以 ρ物=4ρ水=4×103kg/m3。
點撥:本題中杠桿平衡的環境發生了改變,所以我們要分清改變前和改變后各物理量的具體情況,然后利用杠桿平衡條件和浮力的計算方法列式解答。
四、密度、浮力、壓強之間的綜合
例4如圖4所示,在粗細均勻的盛水容器中,將一粗細均勻的圓柱體A放入水中靜止時,圓柱體有的長度浮在水面上,這時容器內的B處受到水的壓強增大了58.8帕斯卡,問:
(1)圓柱體A的密度有多大?
(2)如果將圓柱體全部壓入水中和全部拿出水
面相比較,B處受到水的壓強增大了多少?
解析: (1)該圓柱體此時所受浮力應等于排開同體積水的重,在計算中要注意,排開水的體積應為 V。
因為圓柱體懸浮,則浮力=重力, ρ圓柱體gV=ρ水gV排,即 ρ圓柱體gSh=ρ水gSh排。
所以 ρ圓柱體==0.8×103(千克/米3)。
(2)題目在敘述圓柱體時特意指出它是“粗細均勻”的。“粗細均勻”的含義是,當其浸入水中時,排開液體的體積應和其下浸的深度成正比。題目中還提到盛水的容器也是“粗細均勻”的,應理解為如果向該容器內注入一定體積的液體,其液面高度應與液體的體積成正比。由以上分析可以得出,圓柱體浸入水中使容器水面升高的高度與圓柱體浸入水中的體積成正比。
設圓柱體懸浮于水面時,使水面升高的高度為h1,全部壓入水中時,使水面升高的高度為h2,則
p1=ρ水gh1,
h1===6×10-3(米)。
又因為 h2∶h1=5∶4,
所以h2=h1=7.5×10-3(米),
p2=ρ水gh2
=1.0×103×9.8×7.5×10-3=73.5(帕)。
點撥:在對待綜合性問題時,一定要做好審題工作,找出題中的隱含條件。
五、密度與數學知識的綜合
例5A、B、C三種物質的質量m與體積V的關系圖像如圖5所示。三種物質的密度和水的密度之間的關系是()。
A. ρA>ρB>ρC且 ρA>ρ水
B. ρA>ρB>ρC且 ρA
C. ρA
D. ρA
解析:整個圖像表示了物質的質量與體積的變化關系。從體積為10 cm3處作縱軸m的平行線,如圖6所示,與A、B、C三條直線交于點C1、C2和C3,再分別過這三點作橫軸V的平行線。從圖中可以看出, ρA>ρB>ρC。因為ρ水=1g/cm3,而圖中ρA約為2g/ cm3, ρB約為1g/ cm3, ρC則小于1g/ cm3。答案為A。
點撥:數學是工具,在解答此類問題時,應從正比例函數圖像上發掘信息、尋找條件。然而,尋找條件也是有技巧的,并不是在圖像上胡亂找數據。
六、密度、壓強、浮力與化學知識的綜合
例6根據圖7所示的裝置回答下列問題:
(1)如圖7甲所示,在盛水的試管中放一根潔凈的鐵釘,用帶U型管的膠塞塞上,U型管內水面處于同一高度,數天后觀察到U型管內的a側液面 (填“上升”、“下降”或“不變”),產生此現象的原因是 。
(2)如圖7乙所示,水槽中盛有水,燒杯中盛有硝酸鈉的飽和溶液(底部留有一些未溶解的硝酸鈉固體),現向水槽中加入足量的生石灰,燒杯中的小木塊將 (填“上浮”、“下沉”或“不變”);若將生石灰換成,也會產生相同的現象。
解析:解答(1)時應抓住兩點,①鐵釘生銹要消耗試管內的氧氣,造成試管內氣壓減小;②U型管與大氣連通,內外壓強差的變化使U型管內液面高度發生變化。解答(2)的關鍵是,①硝酸鈉的溶解度隨著溫度的升高而增大;②生石灰溶于水時放熱,使水溫升高,固體硝酸鈉繼續溶解;③硝酸鈉溶解后導致燒杯內液體密度增大;④液體密度增大又導致木塊所受浮力增大,木塊上浮。由此可見,只要往水槽中放入遇到水時放熱的物質(如固體氫氧化鈉、濃硫酸等)均可產生相同的效果。
溫度分別為40、50 ℃和60 ℃。通過分析樣品半徑方向上不同點的水分含量以及體積收縮系數與時間和（無因次）水分含量之間的關系得出：豬通脊肉在脫水過程中，內部水分遷移連續進行，中心水分含量最高，從里到外，水分含量依次降低。豬通脊肉非各向同性，樣品同一半徑上各處水分含量不相等。風速是影響體積收縮的主要因素，體積收縮系數與水分含量線性相關。在溫度40 ℃時，風速對體積收縮系數的影響非單調，風速為1.0 m/s的體積收縮系數最大，風速為1.5 m/s時體積收縮系數最小，即S1.0>S2.0>S1.5。
關鍵詞：豬通脊肉；水分含量；體積收縮；收縮系數
Volumetric Shrinkage and Moisture Content Distribution of Dehydrated Pork Tenderloin
ZHANG Hou-jun1， CUI Jian-yun2，*， CHENG Xiao-yu3， ZHANG Shun-liang3， ZHANG Rei-mei3， WANG Shou-wei3， ZHANG Li-ping4
（1. COFCO Wuhan Meat Product Co. Ltd.， Wuhan 430200， China； 2. College of Food Science & Nutritional Engineering，
China Agricultural University， Beijing 100083， China； 3. China Meat Research Center， Beijing 100068， China；
4. COFCO Maverickfood Co. Ltd.， Wuhan 430200， China）
Abstract： The volumetric shrinkage and moisture content distribution of pork tenderloin in different drying conditions were investigated. The air was passed through the column chamber at variety of flow rates （1.0， 1.5 and 2.0 m/s） and temperatures （ 40， 50 and 60 ℃）. Shrinkage factor as a function of time and moisture content （dimensionless） was analyzed， as well as moisture content at different locations in the radial direction. The results showed that during the dehydration process of pork tenderloin， moisture migration was continuous， and the moisture content was maximum at the center， and then decreased gradually along the radial direction. The anisotropy of pork tenderloin resulted in differences in moisture content at the same radius. The volumetric shrinkage of the sample was affected mainly by air velocity， whilst effect of air temperature was negligible， moreover， the relationships between the shrinkage factor and moisture content appeared linear. The effect of air velocity on volumetric shrinkage exhibited non-monotonic behavior at 40 ℃， and the maximum volumetric shrinkage factor occurred at air velocity of 1.0 m/s， meanwhile the minimum at 1.5 m/s， which means S1.0 > S2.0 > S1.5.
Key words： pork tenderloin； moisture content； volumetric shrinkage； shrinkage factor
中圖分類號：TS202.3 文獻標志碼：A 文章編號：1001-8123（2014）05-0006-05
食品干制時常出現的物理變化有干燥、干裂、表面硬化和多孔性形成等。一般而言，細胞失去活力后，仍能不同程度地保持原有的彈性；但是，如果受力過大，超過彈性極限，即使外力消失，也難以恢復原來的狀態。干縮正是物料失去彈性時出現的一種變化，這也是不論有無細胞結構的食品干制時最常見的、最顯著的變化之一。干縮影響食品成品的外觀品質，在一定程度上也會影響干燥速率。
熱風干燥的銀耳干品收縮率較小，但干燥能耗大，平衡持水能力差，組織結構發生明顯的變形和皺縮[1]。毛豆熱風干燥的收縮程度明顯大于冷凍干燥和真空微波干燥[2]；熱風干燥柑橘皮收縮程度大于膨化干燥和冷凍干燥[3]；而蓮藕脆片真空微波干燥收縮程度較大，熱風干燥相對較小[4]。丁媛媛等[5]研究了不同干燥方式對甘薯產品品質的影響，得出熱風干燥的產品硬度最大，色澤最好，而且結構緊密。于靜靜等[6]在研究不同干燥方式對紅棗品質特性的影響時，發現熱風干燥產品嚴重收縮，結構緊密。蔡林林等[7]在研究熱風干燥溫度對凡納濱對蝦蝦仁質構的影響時，發現熱風溫度是影響整個凡納濱對蝦蝦仁干燥效果的重要因素，隨著干燥溫度的升高，蝦仁硬度越大，彈性相對穩定。
食品干制過程中，物料內部水分分布不斷變化。在干制初期，物料內部水分分布基本均勻；隨著脫水過程的進行，表面水分蒸發，內部水分向外遷移，導致物料從內到外形成水分梯度，水分梯度反過來又作為內部水分向外遷移的推動力，保證干燥連續進行；在干制末期，物料水分含量較低，內部水分又趨于均勻分布。
由于食品物料各向異性、非均一，故脫水時收縮不均勻，物料形狀會發生改變。體積收縮有雙重重要性：首先，影響產品質構和其他質量因子；其次，模擬脫水時物料內部傳質過程需要這方面資料。
Arnosti等[8]報道了梨、胡蘿卜、馬鈴薯、甜馬鈴薯和大蒜脫水時表觀密度與水分含量線性相關。Ramallo等[9]報道，“yerba maté”的收縮系數及表觀密度與水分含量線性相關，與溫度無關。Orzo等[10]研究了不同含水量的沙丁魚片滲透脫水時體積收縮的情況，發現體積收縮因子與水分含量線性相關；收縮體積與失水體積也線性相關。Lozano等[11]報道了蘋果組織不同水分含量時的體積收縮以及孔隙度的變化。水果滲透脫水時，其體積收縮取決于食品失水和溶質的增加[12]。龐文燕等[13]研究不同干燥方式對青魚片鮮度的影響時發現，干燥溫度越高，干制品體積收縮越大，復水性越差。
在腌臘肉制品的生產中，成熟過程是很重要的一步。在此階段，通過脫水降低水分活度，增加產品穩定性；產品內部發生一些物理、微生物和生化反應，形成特征外形、特征風味或香味。腌臘肉制品加工過程中一般采用熱風干燥方式[14]。本實驗研究不同熱風干燥條件，豬通脊肉脫水后干縮程度以及內部水分分布的變化。
1 材料與方法
1.1 材料
豬通脊肉 市售；
干縮試驗原料：豬通脊肉圓柱體樣品：ф19 mm×70 mm。
水分分布試驗原料：豬通脊肉圓柱體樣品：ф19mm×70 mm、ф40 mm×170 mm。
1.2 儀器與設備
DHG-9076A型電熱恒溫鼓風干燥箱 上海精密實驗設備有限公司；SUNON DP200A型風扇 北京神通電器廠；D60-2F型電動攪拌機調速器 杭州儀表電機廠；QDF-5D型熱球式電風速計 北京環境保護儀器廠；MP502B型電子天平 上海精密實驗設備有限公司。
1.3 方法
在不銹鋼圓柱風管頂端固定一個軸流風機（ф120 mm×308mm），將其置于電熱恒溫鼓風干燥箱內。樣品用網孔規格為10 mm×10 mm不銹鋼絲網固定于風管內。風速用調速器和熱球式電風速計進行調節和控制。
1.3.1 水分分布
對于ф19 mm×70 mm的圓柱體樣品：用ф20 mm×100 mm的取樣器在整條豬通脊肉上取出所需肉樣品，用氰基丙稀酸乙酯將鋁箔粘貼在圓柱體兩端面，以防止水分從端面蒸發，保證內部水分只在半徑方向上遷移。用鐵網固定樣品后，置于金屬筐內，一并移入干燥箱內金屬圓筒進行脫水干燥。在溫度40 ℃、50 ℃，風速1.5 m/s、2.0 m/s，相對濕度為30%的條件下，脫水不同時間后測定圓柱體半徑方向不同點的水分含量，包括中心點，距中心5 mm點，距中心10 mm點即圓柱體邊緣。
對于ф40 mm×170 mm的圓柱體樣品：用ф40 mm×100 mm的取樣器在整條豬通脊肉上取出ф40 mm×70 mm樣品，再取出2個ф40 mm×50 mm的圓柱體，分別加至ф40 mm×70 mm圓柱體兩端，連接處用氰基丙稀酸乙酯粘貼。這樣使得圓柱體長度遠大于其半徑，可近似認為樣品為無限長圓柱體，那么內部水分軸向遷移相對于半徑方向遷移可忽略不計。然后在圓柱體兩端貼上鋁箔紙，進一步確保內部水分遷移只發生在半徑方向上。用鐵網輕微固定后，置于金屬筐內，一并移入干燥箱內金屬圓筒進行脫水干燥。在溫度40 ℃，相對濕度30%，風速1.5 m/s 條件下，脫水4、6、8 h 后測定不同點水分含量，包括中心點、距中心10 mm點、距中心20 mm點五個點的水分含量。對于ф40 mm×170 mm的圓柱體樣品，在橫縱2個方向取樣，分別實驗。
1.3.2 體積收縮
選取ф19 mm×70 mm的圓柱體。在脫水前，在樣品上包裹一層保鮮膜，用量筒根據排水法測定其體積，記為V0。然后在不同溫度、風速條件下，脫水0、2、4、6、8、10 h后取出，測定體積，記為V。
脫水后體積變化為ΔV=V-V0；體積收縮系數S=V/V0[10]。
脫水試驗控制因子及水平見表1。
1.4 數據分析
數據統計分析采用SPSS 12.0完成；圖形、圖像處理采用Origin 6.0完成。
2 結果與分析
2.1 水分分布
三條水分分布曲線，是不同干基水分含量樣品的水分分布。d.b為干基（dry basis）。下同。
圖 1 溫度40℃、風速1.5m/s脫水2h后豬通脊肉圓柱體樣品水分分布
Fig.1 Moisture content distribution after hot air dehydration for
2 h at 40 ℃， 1.5 m/s
從圖1可發現，總體干基水分含量為208.9%的樣品，其內部各處水分都相應比總體干基水分含量為194.5%和185.9%的高。圖2～4均能得出類似的結論，樣品內部各點的水分含量高低與總體水分含量一致，即如果樣品整體水分含量較低，那么樣品內部各處水分含量都較低。這點充分說明，豬通脊肉在脫水過程中，內部水分遷移連續進行，中心水分含量最高，從里到外，水分含量依次降低，不會出現跳躍。
圖 2 溫度40 ℃，風速1.5 m/s脫水4 h后豬通脊肉圓柱體樣品水分分布
Fig.2 Moisture content distribution after hot air dehydration for 4 h at 40 ℃， 1.5 m/s
圖 3 溫度40 ℃、風速2 m/s脫水4 h后豬通脊肉圓柱體樣品水分分布
Fig.3 Moisture content distribution after hot air dehydration for 4 h at 40 ℃， 2 m/s
由圖2、3可知，兩種條件下樣品總體干基水分含量基本相當，進一步證實了由前面實驗得到的結論，脫水速率主要受溫度影響，風速影響很小。
圖 4 溫度50 ℃、風速1.5 m/s脫水4 h后豬通脊肉圓柱體樣品水分分布
Fig.4 Moisture content distribution after hot air dehydration for 4 h at 50 ℃， 1.5 m/s
從圖1～4脫水強度依次增大，樣品內部水分不斷降低，外部邊緣水分含量降低到一定程度后就不再繼續下降。這樣隨著干燥過程的進行，樣品里外水分含量差異變小，水分分布趨于均勻，曲線越來越平滑。有人報道水分均勻分布會加快干燥速率[15]。
圖 5 溫度40 ℃風速1.5m/s下分別脫水4、6、8 h后豬
通脊肉圓柱體樣品水分分布
Fig.5 Moisture content distribution after hot air dehydration for 4， 6 and 8 h at 40 ℃， 1.5 m/s
由圖5可知，隨著脫水時間的延長，樣品內部各點水分含量逐漸降低。從圖5還可看出，內部水分分布曲線并非中心對稱，離中心等距離點處水分含量不絕對相等。所以，雖然樣品取為圓柱軸對稱體，但是由于豬通脊肉各向異性，結構及性質非均一，樣品同一半徑上各處水分遷移阻力、脫水速率不相等，水分含量因此也不相等。
2.2 體積收縮
2.2.1 體積收縮系數的變化
從圖6、7中可知，體積收縮系數隨時間推移而降低；風速為2.0 m/s時，體積收縮系數隨溫度升高而降低，即溫度越高，體積收縮越快；但在溫度40℃時，風速對體積收縮系數的影響非單調，風速為1.0 m/s的體積收縮系數最大，風速為1.5 m/s時體積收縮系數最小，即S1.0>S2.0>S1.5。因為隨著脫水過程進行，水分不斷蒸發，導致體積不斷收縮；溫度越高，水分蒸發越快，體積收縮越大；而溫度為40 ℃時，風速為1.5 m/s時體積收縮最快，可能是因為在此溫度下，風速為1.5 m/s時，表面水分蒸發速度與內部水分遷移速度最接衡，樣品脫水速率最快；而風速為1.0 m/s
時，表面水分蒸發速度可能小于內部水分遷移速率；風速為2.0 m/s時，表面水分蒸發速度大于內部水分遷移速率，這2種情況都使得脫水效率下降，導致能源浪費。
圖 6 風速2.0 m/s溫度、時間與體積收縮系數的關系
Fig.6 Shrinkage factor as a function of drying time at an air flow rate of 2.0 m/s
圖 7 溫度40 ℃風速、時間與體積收縮系數的關系
Fig.7 Shrinkage factor as a function of drying time at 40 ℃
圖 8 風速2.0m/s溫度、體積收縮系數與水分含量的關系
Fig.8 Shrinkage factor as a function of moisture content at an air flow rate of 2.0 m/s
圖 9 溫度40 ℃風速、體積收縮系數與水分含量的關系
Fig.9 Shrinkage factor as a function of moisture content at a drying temperature of 40 ℃
如圖8、9所示，由于樣品之間的初始水分含量不同，風速與水分含量對體積收縮系數的影響無明顯規律。為了消除因初始水分含量不同給分析樣品水分含量與體積收縮之間的關系帶來影響，轉而研究體積收縮系數（S）與無因次水分含量（X/X0）的關系，如圖10、11。
由圖11知，風速對體積收縮系數的影響要明顯大于溫度對體積收縮系數的影響。當溫度恒定為40 ℃時，無因次水分含量一定，風速對體積收縮系數存在一個臨界點，當無因次水分含量（X/X0）大于0.63時，S2.0>S1.0>S1.5；當無因次水分含量（X/X0）小于0.63時，S1.0>S2.0>S1.5。前面已經論述了風速為1.5 m/s時體積收縮系數小于風速為2.0、1.0 m/s的原因。對于S2.0與S1.0之間的大小關系在無因次水分含量等于0.63處存在變化，這可能是因為在高水分含量區，豬通脊肉彈性完好并呈飽滿狀態，增加風速至2.0 m/s時，豬通脊肉能夠全面均勻失水，豬通脊肉隨著水分消失均衡地進行線性收縮，即圓柱體大小（長度、面積和容積）均勻地按比例縮小，這樣比不均勻縮小時的表觀體積的變化小。
2.2.2 模擬體積收縮系數
由線性回歸結果可知，公式（1）、（2）能夠在置信水平為95%上，解釋95%～99%體積收縮系數的變異性，相關系數R都大于0.99，標準誤差均很小。從上述兩表還可以看出，公式（1）、（2）線性回歸的相關系數及標準誤差相等，而且直線的截距相等。截距相等的意義就是當水分含量小到趨于0的時候，兩種模型計算的體積收縮系數相等。
3 結 論
3.1 對于脫水時樣品內部水分分布得出以下結論：1）豬通脊肉在脫水過程中，內部水分遷移連續進行，中心水分含量最高，從里到外，水分含量依次降低；2）隨著干燥過程的進行，樣品里外水分含量差異變小，水分分布趨于均勻；3）豬通脊肉非各向同性，結構及性質非均一，樣品同一半徑上各處水分遷移阻力、脫水速率不相等，水分含量均不相等。
3.2 對于體積收縮得出了以下結論：1）體積收縮系數隨時間推移而降低；體積收縮系數隨溫度升高而降低；2）風速對體積收縮系數的影響非單調，風速為1.0 m/s的體積收縮系數最小，風速為1.0 m/s時體積收縮系數最大，即S1.0>S2.0>S1.5；3）溫度對體積收縮系數的影響相對于風速對體積收縮系數的影響可以忽略不計；4）溫度一定時，體積收縮系數與（無因次）水分含量線性相關；5）實驗涉及的2個線性模型都能很好的模擬體積收縮系數與（無因次）水分含量之間的關系。
參考文獻：
[1] 黃立行， 黃艷， 鄭寶東， 等. 不同干燥方式對銀耳品質的影響[J]. 中國食品學報， 2010， 10（2）： 167-173.
[2] 胡慶國， 張， 杜衛華， 等. 不同干燥方式對顆粒狀果蔬品質變化的影響[J]. 食品與生物技術學報， 2006， 25（2）： 28-32.
[3] 黃壽恩， 李忠海， 何新益， 等. 干燥方法對脫水柑橘皮品質特性的影響[J]. 中國食品學報， 2011， 11（3）： 118-122.
[4] 李麗娟， 劉春泉， 李大婧， 等. 不同干燥方式對蓮藕脆片品質的影響[J]. 核農學報， 2013， 27（11）： 1697-1703.
[5] 丁媛媛， 畢金峰， 木泰華， 等. 不同干燥方式對甘薯產品品質的影響[J]. 食品科學， 2011， 32（16）： 108-112.
[6] 于靜靜， 畢金峰， 丁媛媛. 不同干燥方式對紅棗品質特性的影響[J]. 現代食品科技， 2011， 27（6）： 610-614.
[7] 蔡林林， 吳冬梅， 李小禹. 熱風干燥溫度對凡納濱對蝦蝦仁質構的影響[J]. 食品工業， 2013， 34（11）： 108-110.
[8] ARNOSTI S， FREIRE J T， SARTOTRI D J M. Analysis of shrinkage phenomenon in Bachiaria brizantha seeds[J]. Drying Technology， 2000， 18（6）： 1339-1348.
[9] RAMALLO L A， POKOLENKO J J， BALAMACEDA G Z， et al. Moisture diffusivity， shrinkage and apparent density variation during drying of leaves at high temperatures[J]. International Journal of Food Properties， 2001， 4（1）： 163-170.
[10] CORZO O， BRACHO N. Shrinkage of osmotically dehydrated sardine sheets at changing moisture contents[J]. Journal of Food Engineering， 2004， 65（3）： 333-339.
[11] LOZANO J E， ROTSTEIN E， URBICAIN M J. Total porosity and open porosity in the drying of fruit[J]. Journal of Food Science， 1980， 45（5）： 1403-1407.
[12] VIBERG U， FREULER S， GEKAS V， et al. Osmotic pretreatment of strawberries and shrinkage effects[J]. Journal of Food Engineering， 1998， 35（2）： 135-145.
[13] 龐文燕， 萬金慶， 姚志勇， 等. 不同干燥方式對青魚片鮮度的影響[J]. 廣東農業科學， 2013（15）： 124-126.
關鍵詞： 交互電子白板小學數學課堂有效整合
曾經，教師一支粉筆一塊黑板，整個課堂是整齊劃一的，而如今，我們的課堂形式多樣、聲光俱全，這一切的改變自然要歸功于信息技術日新月異的發展，身為一線教師的我們深感多媒體課堂教學是何等的重要。可是與此同時，小學數學課堂的教學模式也在悄然發生著改變，一些小數界的專家和普通教師發現傳統的多媒體課堂有這樣的問題：通常的多媒體演示文稿都是課前準備好的，如果課堂上根據學生的回答做相應調整就比較困難，一些操作多媒體課件還不嫻熟的老師往往會忽略學生的課堂實際生成，把課前制作好的幻燈片一張張放映，使得媒體的使用效果大打折扣。所以，如何更好、更合理地使用多媒體成了近年來課堂教學的焦點之一。我參加了本校開展的有關電子白板的課題研究，對電子白板和數學學科的整合有了一定的心得體會。
一、運用交互電子白板，融合生成性和預設性，靈活組織教學。
交互式電子白板支持的課堂教學有利于日常課堂教學回歸生動靈活的教學過程，改變常見的展示講解課件的教學過程，同時也使教學資源從“預制”轉向“彈性”調用，有利于把預設性課堂轉變成生成性課堂。
例如《圓錐體體積計算公式的推導》課中，老師為學生準備了一堆沙子，要求學生自制一批等底等高的圓柱體和圓錐體，讓大家動手實驗，用實驗教學法推出圓錐體體積計算公式。學生在掌握圓柱體體積計算公式的基礎上，紛紛以圓柱體為參照物，用沙子做流通物，通過沙子在圓錐體和圓柱體之間的流通，很快得出三個結論：（1）圓錐體體積是圓柱體體積的■；（2）圓錐體體積比圓柱體體積的■多一點；（3）圓錐體體積比圓柱體體積的■少一點。三個結論，誰對誰錯？同組學生、異組學生爭論不休，反復實驗，現象依舊，結論不明。老師觀察后，發現學生自制的圓錐體和圓柱體不規范，存在高度和底面積不相等的現象，因此得出三種不同的結論。對此老師沒有簡單地去肯定和否定，而是適時推出交互式電子白板這項新技術，要求學生帶著自己制作的圓柱體和圓錐體在白板上“畫”出它們的高度和底的周長，再利用交互式電子白板的“直線”功能和“平移”功能，對學生“畫”出的線段進行比較。學生很快發現，在圓錐體和圓柱體的高度和底的周長都相等的情況下，圓錐體體積等于圓柱體體積的■；隨即根據圓周長計算公式很快推導出：只有在底面積和高度相同的時候，它們的體積存在1∶3的關系，進而推出圓錐體體積是等底等高圓柱體體積的■。學生經歷這樣一種獲得知識的過程，不僅得到了“魚”，而且得到了“漁”，更引起了對學習的“欲”。
二、運用交互電子白板，將抽象內容變得形象生動，有效建構知識。
傳統的教學往往在突出重點、突破教學難點上花費大量的時間和精力，即便如此，學生有時仍然感觸不深，易產生疲勞感甚至厭煩情緒。恰當運用交互式電子白板互動技術，可以變抽象為具體，調動學生的各種感官，從而有效地實現精講，突出重點，解決難點，取得傳統教學方法無法比擬的教學效果。
小學幾何圖形的教學，要幫助學生建立空間觀念，而空間觀念的形成有賴于想象。例如：在教學《線段、射線、直線》一課中：先利用白板的繪畫功能，畫出一個點，然后從點一端畫出一條水平線，學生看后馬上就能悟出“射線”是怎樣形成的；接著通過這一端的伸縮讓學生認識射線的特性。然后，在它下面畫出一個點，它的兩端分別射出一條水平線，自由地伸縮，以此來讓學生理解直線的生成和“無限延長、不可度量、沒有端點”的特點。接下來，在白板上畫出兩個點，再用一條水平線把這兩個點連接起來。學生認識到這就是線段，它有兩個端點，不可伸縮，有長度、可度量。繪圖的過程根據學生的需求，可利用電子白板的回放頁面功能，來進行有效的知識回顧。
三、運用交互電子白板，擴大課堂容量，節約課堂時間。
多媒體技術能任意把文本、圖形、圖表、語言、音樂、靜止圖像、動態圖像有機地結合在一起，運用多媒體輔助教學，能夠打破時間和空間的制約，延伸和拓寬教學時空，通過圖像、聲音、色彩和動畫，傳遞教學信息，解決由于時間和空間的限制造成的教學難點。
如在講授連加、連減、加減混合的一些具體數學問題時就可以從教師的資源庫中拖出有關物體的圖片，例如小鳥、蝴蝶、小汽車等。當教學本來有2只小鳥，又飛來3只時就可以在白板上先呈現2只小鳥，教師現場拖動3只小鳥，并陳述又來3只小鳥，這時學生對3+2的問題就會有清晰的理解，然后拖動其中1只拖走，陳述又飛走了1只，本來抽象的加減混合問題，學生馬上就可以理解，同時一些復雜的過程也可以做成Flas，在白板上重復播放出來，不讓抽象性的過程變成數學中的難點。
事實證明，交互式電子白板技術與小數教學有效整合，有利于激發學生的學習興趣，有利于從被動教育向主動教育轉變，有利于從知識教育向智能教育轉變，有利于從應試教育向素質教育轉變。只要在使用白板教學時，根據小學數學的教學目標，結合學生實際，著眼于學生的發展，就能將電子白板使用得恰到好處，真正發揮它的優勢。我們應憑“交互式電子白板”這雙翅膀，飛向理想的數學課堂，努力營造民主、平等、和諧、融洽的教學氛圍，創設身心解放、思維開放、個性奔放的教學場景，使學生樂在其中，令數學課堂其樂無窮。
參考文獻：
［1］丁興富，蔣國珍.白板終將替代黑板成為課堂教學的主流技術.首都師范大學遠程教育研究所，北京100037.
【關鍵詞】 生成資源 課堂 生命活力
【中圖分類號】 G42 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 1006-5962（2012）07（b）-0126-01
在新課程理念下的課堂，教師要關注學生發展，注重課堂生成，構建動態課堂、和諧課堂、使課堂呈現出生機勃勃的氣氛。
1 精心設計問題，預約動態生成
教學是一個有目的有計劃的活動，預設是其基本的要求。
在教學“倒數的認識”前，關于0的倒數的教學，我根據教材編排和學生認識水平，有意將找0的倒數放在“找出下列各數的倒數”的練習中，讓學生試做，引起爭議，再讓學生討論，達成共識。
課堂教學中，學生出現了不同的意見：0的倒數是0、0的倒數是任何數、0沒有倒數。
師：究竟哪一個答案是對的呢？希望通過你們的辯論，準確找出正確的答案。
生1：因為1的倒數是1，所以0的倒數是0。
生2：0乘任何數都得0，所以0的倒數是任何數。
生3：兩個數的乘積必須是1，兩個數才互為倒數，0和什么數相乘能得到1呢？沒有，所以0沒有倒數。
生4：1和0都是特殊的數，1的倒數是它本身，0的倒數也應該是它它本身。
生5：1的倒數雖然是它本身，但是，因為1×1=1，符合兩個數的乘積是1。
學生的爭論更加熱烈了，我沒有叫停。我感到學生們思維異常活躍。他們的想法需要吐露，觀點需要交流。這也正是我的預設所要的效果。
生6：還有，大家看，一個數的倒數就是原來的數的分子分母交換了位置，那0倒數是，沒有這樣的分數呀？
生7：0不能作分母，所以0沒有倒數。
師：有太多的理由都能說明0是沒有倒數的。
片段中，當學生出現三種不同的意見時，盡管教師心里也清楚誰是誰非，但卻沒有發表任何意見，而是以鼓勵的語氣激勵學生自己動腦筋解決問題。
許多教學實踐證明，課前的預設越周密，考慮越詳盡，實現動態生成課堂的可能性就越大。當然，這種預設必須是多維的、靈活的、開放的、動態的立體式設計，使課堂動態生成更具有目的性和方向感。
2 把握學習起點，促進動態生成
盡管我們強調“認真鉆研教材，精心設計教案，以達到教學效果最優化”，但學生個性突出、接受新事物快，他們在進教室之前，很有可能對我們要教授的知識有所了解，甚至有所掌握。我們要根據課堂需要，變預設為“生成建構”，讓學生在“生成”中建構屬于自己的認知結構，促進學生的終身可持續發展。
如：教學乘法口訣的時候，我們教師按照預設去揭示口訣的形成過程。但是學生已經會背很多口訣。和教師的預設就有沖突。教師就拋開預設，放手讓學生自己進行展示證明口訣的形成過程。
我靈活捕捉這一起點資源，通過擺學具、畫圖形、寫算式、說想法等，巧妙地引導學生充分展開探究的過程，動態生成新知，并扎根大腦。教師要有良好的教學態度，才能審時度勢，相機調整教學預設，以保證學生有充分的時間主動學習、積極探究，加深知識理解，促進思維拓展。
3 捕捉思維亮點，調控動態生成
在課堂中，學生的回答往往會不經意地出現一些亮點，所以，我們要給學生說話的機會，并用心傾聽、準確捕捉和充分肯定，讓其智慧閃光。
在教學圓柱體的體積后的練習中，我出示了這樣一個問題：一個圓柱體的側面積是62.8平方厘米，底面半徑是2厘米。求它的體積是多少立方厘米？
62.8÷（3.14×2×2）×（3.14×22）=62.8（立方厘米）。
為了加深學生的理解，我再次把解決這一問題的思路強調了一遍。正當我要出示下一個問題時，一個學生大聲地喊到“老師，向麗還有一種方法。”我讓向麗上黑板寫出了他的解法。
62.8÷12.56×2×（3.14×2×2÷2）=62.8立方厘米。
生：我認為，他這樣是錯的。他并不是緊緊圍繞底面積乘以高在算。
向麗充滿信心地說：“我們在學習圓柱體公式推導時，是把圓柱體沿直徑和高平均切成若干等份，拼成了近似長方體。這樣轉化后的長方體的體積就是圓柱體的體積。在這個長方體中，高是62.8÷12.56，寬是半徑2，長是3.14×2×2÷2，所以長方體的體積62.8÷12.56×2×（3.14×2×2÷2）就是圓柱體的體積。”
顯然，學生的空間思維被激活了。
生：我可以改進一下他的算式。寫出算式：62.8÷12.56×2×（3.14×2），指著“3.14×2”解釋說：“這是半圓弧線的長，成了轉化后長方體的長。”
生：我們把轉化后的長方體睡下來，圓柱體的側面正好有一半成了底面，“62.8÷2”就是底面積，圓柱體的半徑2成了長方體的高。根據“底面積×高”得體積，所以62.8÷2×2=62.8就是圓柱體的體積。
一、 打好鋪墊，促進遷移
數學是一門邏輯性很強的學科，它環環相扣，節節相連。平面立體圖形也不例外。立體圖形都是由平面圖形組成的，同時，先學的立體圖形（長方體、正方體）又是后面立體圖形的基礎。這樣，教師在備課時，必須根據教材內容有計劃的安排復習，為促進新知識的遷移作準備。例如筆者在教學圓柱體的體積時，就安排了這樣三個復習題：①長方體的體積公式是什么？②正方體的體積公式呢？③長方體和正方體的統一公式是什么？
二、激趣，變“苦學”為“樂學”
1、充分利用教具，變抽象為直觀。
形象――表象――抽象是進行小學數學教學的基本過程。表象是中介，是過渡的橋梁。表象既是形象思維的細胞，又是抽象思維的支柱。沒有表象，抽象思維也就成了無源之水。小學生的思維正在以具體形象思維為主，因此，在教學過程中，筆者從這一實際情況出發，充分利用教具，指導學生形象的認識事物、在頭腦中形成表象的基礎上進行概括。例如：筆者在教學圓錐的體積時分三步從形象思維過渡到抽象思維：
⑴具體形象階段
教師拿出兩個等底等高的空心圓錐體和圓柱體形的缸子，把圓錐體的底面和圓柱體的底面重合。觀察后提問：發現了什么？把圓錐體和圓柱體放在水平桌面上，讓學生探究觀察結果。
⑵表象階段
實驗：教師用空心圓錐體盛滿水倒入圓柱形缸內。觀察水的體積大約是圓缸的幾分之幾，繼續倒，正好倒了三次，圓柱形缸內水滿。
⑶抽象概括
回憶剛才這個實驗，說說這個圓錐體的容積與這個圓柱體的容積有什么關系？體積呢？是不是任何圓錐和圓柱的體積都有這種關系？
2、動手、動腦、動口，使學生由“學會”變“會學”
在立體圖形教學中，教師應經常引導學生動手操作，讓學生的多種感官參與到學習概念、理解算理的過程中，使他們不但“學會”，而且“會學”。
例如：筆者在教學長方體的體積時，先讓同桌共拿出24個棱長為1厘米的小木塊，擺一擺：⑴每行擺兩個，擺3排；⑵每行擺3個，擺2排，擺3層。學生操作后，再啟發學生動腦想：⑴每個長方體的體積是多少立方厘米；⑵每個長方體的寬和高分別是多少；⑶討論長方體的體積與長方體的長、寬、高的積有什么關系。
這樣的教學讓學生參與到學習活動中來，充分調動了學生學習的積極性，課堂氣氛生動活潑，學生輕松之中就已掌握知識。教師長期這樣教學，也在潛移默化的影響著學生們。當學生碰到很接近生活的難題時，就會親自動手實驗一下，學生理解透徹，印象深刻。
三、 分層次練習，拔尖子，促后進
講完課后，筆者總要根據班內學生的實際情況，精心設計一些練習題。練習共分三層：
⑴基本練習：這一層是求同思維，讓學生內化知識進行基礎練習。一般例題后面的“做一做”和練習題中的前三題都可選用，同時還要讓學生根據例題出一兩練習道，舉一反三。
⑵變式練習：這一層是通過新舊知識對比練習，提高學生思維的深刻性，逐漸培養學生的發散思維。例如：筆者在教學完《圓柱的體積》后，設計了這樣的練習：
①一個圓柱體的體積是56立方分米，高是4分米，求它的底面積。
②一個圓柱體的底面周長是6.28厘米，高是半徑的5倍，求它的體積。
在這兩道題里，既考查了體積公式變形的應用S=V÷h，還考查了學生綜合運用知識解答問題的能力。已知周長C求面積S，再運用體積公式V=Sh
⑶發展性練習。這一層主要是供有余力的學生練。拓展學生的思維空間，發展他們的智力。如筆者在教學完《圓柱體的體積》時，留下這樣一個練習題：一個圓柱體的表面積是18804平方厘米，底面半徑是4厘米，求它的體積。這樣的分層次練習，不但考慮到讓全班學生吃的好，還要讓尖子學生吃飽，既照顧了全體，又發展了個體。
四、 梳理知識，整體提高
復習是小學數學教學中不可缺少的一環，講完一章后進行科學合理的復習，不僅可以鞏固以前學過的知識，溝通新舊知識的聯系，還可以幫學生彌補知識上的缺陷。立體圖形這一部分，學生更易混淆某些公式、概念，通過復習，可以幫助學生更好的去理解。
1、組建知識結構，比較其聯系
系統論告訴我們，任何事物都是由系統構成的。小學數學也不例外。在復習時，從整體入手將各節的知識更新串在一起，將零散的知識匯集成塊，使之條理化、系統化，使學生能直觀形象地看出各知識點的內在聯系。六年級下學年，教學完圓錐體的體積后，立體圖形在小學階段就結束了，教師可以把四種圖形按形體特征、表面積計算、體積計算三大塊進行系統整理知識。
2、有針對性的練習，以鞏固其知識點
數學建模是對某些事物系統的特征或數量依存關系概括或近似表述的數學結構，即將特定問題轉化為數學關系的過程，小學階段中的數學建模表現形式包括一系列的概念系統、算法分析、公式關系、定理公理推斷等。隨著數學學術的不斷完善，數學建模的思想不斷應用在數學的教學和學習中，在小學相對簡單的數學知識教學中亦應用了數學建模的思想，通過探討小學數學教學中的建模思想，提高學生的學習能力，提高教師的教學質量。
一、小學數學模型思想
在整數的運算中，學生掌握的整數四項基本單向運算的方法是小學接觸的數學模型，十進制是表示數的基本模型，是日常生活中使用最多的計數方法。一年級學生接觸的“湊十法”與“破十法”就是以其為基礎“一看（看大數）、二拆（拆小數）、三湊十、四連加”的思考過程，實際上就是學生在教師指導下建立的較為復雜的數學模型。因此，在小學生的數學教學過程中，不可避免地要用到數學建模思想。
二、開展數學建模活動的途徑
數學建模活動的開展是為了培養學生的思維能力以及創新能力，因此，在小學數學教學中要革新思想，用數學建模的思想去進行數學教學。開展數學建模活動需要老師和學生的共同努力，老師要加強對數學建模的重視，在教學過程中滲透建模思想，學生要積極配合老師，團結合作共同完成建模過程。
數學建模的過程離不開資料的收集，因此，教師可以結合教材創造數學情境，讓學生在學習的過程中獲得“搜集資料、建立模型、解答問題”的體驗。例如，西師版教材中三年級上的第九章的總復習――數學文化：中國的四大發明之一――指南針，四面八方，平年、閏年的來歷，可以通過讓學生收集資料，并解答相應的問題，通過合作、收集資料、解答的過程體驗數學建模。
上好實踐活動課程對學生模仿建模有很好的指引作用，老師在教學過程中給學生提供信息資料，引導學生進行問題分析以及資料的收集，提高學生的思維能力。結合教材內容，對教學內容進行整合，并融入生活中。例如，西師版教材中實踐活動――做一個家庭年歷，結合生活實際，同時在要求學生理解年、月、日概念的情況下，考慮當下的問題背景：今年是什么年份，有幾月，一月有幾天，并對年歷進行設計規劃，是一個很好的建模過程。
改編教學習題，使數學建模成為一種自覺行為。例如，在西師版小學數學中關于圓柱體和正方體體積的計算中，通過建立數學關系，探討圓柱與正方體的關系，在體積相同時，圓柱的底面半徑、周長、高與長方體的長寬高的聯系（圓柱的底面半徑等于長方體的高，底面周長等于長方體的長，圓柱的高等于長方體的寬），進而解決練習題中關于圓柱和長方體體積的轉變計算。
三、數學建模思想在小學數學教學中的應用
數學是一門應用性很強的學科，數學建模融入數學教學中，可以幫助學生更好地理解數學知識，利用數學建模的思想解決數學問題，可以簡化問題，利用固有模型進行模型創新，解決一類數學問題；同時數學模型的建立可以得出新的定理，幫助學生理解新的知識，例如，在學習圓柱體積的基礎上，在講解圓錐體積公式的時候（圓錐體積= 圓柱體積），由圓錐的體積公式推導圓柱體積公式，可以利用數學建模思想，先進行圓柱與圓錐的對比分析，讓學生大膽猜想假設兩者之間的關系，并討論用什么辦法比較圓柱與圓錐兩者體積的關系。老師引導學生進行試驗嘗試，在底面積相等、高相等的情況下，將裝入圓錐模具的水倒入圓柱模具中，三次剛好裝滿圓柱模具，說明圓錐的體積等于與之等底等高的圓柱體積的，學生通過實際動手操作得到結論，同時，學生運用到以前學過的圓柱體積的知識，對以前的知識進行鞏固，并理解圓柱與圓錐的關系，提高了學生的學習興趣，提高了教學質量。
在小學數學教學過程中離不開數學建模的過程，小學數學無論是公式的推導還是數學計算的應用，甚至動手實踐環節，都離不開數學建模思想，因此，小學數學教學亟須將數學建模思想融入教學中，提高教學質量，激發學生學習的積極性，在學習理論的基礎上進行實踐應用，加強學生實際動手能力與解決數學問題的能力。通過培養教師的建模意識，培養學生的建模思想，了解建模思想的簡便性和適用性，使學生養成運用模型解決問題的習慣，形成自動化思維。
