時間：2023-05-30 10:44:48
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇分式方程的應用，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
我認為在實際方程應用題教學中，教師在強化題型體現具體算法的同時應有意識地滲透模型教學的思路，在歸納題型的基礎上，進一步抽象提升不同題型的共同思路模型，進而達成方程模型教學的目標。
方程模型要根據方程不同類別的具體特征，思路的著重點顯然也應有所不同，因而不同類別方程的模型也應有所不同的側重，某類方程模型教學目標的達成，正是要靠幾個典型題型教學的基礎上予以抽象概括。因此，我認為題型教學正是由具體而微的千資百態的具體數學應用題到方程模型教學目標的中間過渡的教學形態。
僅僅依靠模型教學在每一個具體數學應用題的應用而達成方程模型教學目標，我認為不是高效的教學，學生往往會有無所適從的感覺，抽象的跨度偏大。當我們一提到分式方程模型的時候，學生如果有列分式方程解工程問題的題型教學的具體過渡形態浮現在腦海中，我想比直接浮現抽象的方程模型流程更容易些吧。
我國古代數學的主要特征之一就是“算法化數學思想”。算法不只是單純的計算，而是指為了解決一整類實際問題而設計或概括出來的、帶有一般性的、更廣泛的一類操作方法。算法又有特殊算法和通用算法之分。針對某一具體問題而設計的算法稱為特殊算法，針對一類問題而設計的算法稱為通用算法。通常我們說算法能解決一類問題，并能重復使用，是對通用算法而言。我國數學教師所普遍采用的數學應用題題型教學某種程度上正是對“算法化數學思想”的實際應用，實踐證明也是高效的，是我國扎實的“雙基教學”的一部分，不能、也不應該給予徹底否定！
但是，題型過多過濫，缺乏典型性、代表性等問題在數學教學實踐中確實大量存在，造成了過度的課業負擔。
解決這個難題，我認為是一個系統工程，不能單純依靠數學教師改變教學方法。我國一線數學教師的代表、數學課程專家和應用數學領域的數學家等應借鑒“要素主義”教育哲學觀點和德國“范例教學”的思路，針對中學數學方程模型教學的具體內容和目標，精選代表題型，在教科書中通過典型范例和習題體現通用算法。在此基礎上再進一步在單元復習中歸納抽象方程模型。同時，還要用好考試指揮棒，引導廣大一線數學教師重視基礎性、代表性和典型性，抓住幾個典型題型的教學形成幾種通用算法，首先體現數學的應用，其次再進一步提升抽象出方程模型思路能夠解決更多的相關問題。
以下教學設計是我在數學應用題教學實踐中的一點嘗試，重點在分式方程模型教學中的審題環節采用了列表分析法，使這類問題的審題找等量關系列分式方程有了可操作的模式。但在教學實踐中，總感覺對有些分式方程應用題并不總是能適用，對有些題型還是應該有不同的或特殊的分析模式，以此作為方程題型教學是達成方程模型教學目標的不可或缺的過程的一個例證。
教學目標：
1.會將實際問題轉化為數學模型，能用列表法分析問題，尋找等量關系、恰當選設未知數、確定主要等量關系、用含未知數的分式或整式表示數量關系等；
2.掌握列分式方程解應用題的一般步驟
教學重點、難點：
掌握列表分析問題的方法，恰當選設未知數，確定主要等量關系，列出分式方程并進行解答，解釋解的合理性，把實際問題轉化為數學模型是教學重點；
尋找等量關系、恰當選設未知數、確定主要等量關系、列出分式方程是教學難點。
教學準備：
課件準備、學案準備
教學過程設計：
一、做一做（出示課件）
某單位將沿街的一部分房屋出租.每間房屋的租金第二年比第一年多500元,所有房屋的租金第一年為9.6萬元,第二年為10. 2萬元.
分析：
⑴你能找出這一情境中的等量關系嗎?
⑵根據這一情境你能提出哪些問題?
（根據上述列表讓學生提出求解的問題）
①第一年每間房屋租金是多少？
②第二年每間房屋租金是多少？
③每年的租房數是多少？
（恰當選設未知數，根據與未知數直接相關的等量關系寫“設… ，則… ”，另一個等量關系確定為主要等量關系列方程。出示課件，完整展示列分式方程解應用題的一般步驟）
（改變未知數設法，列出分式方程，對比解法1、解法2和解法3三種選設未知數的方法解題的優劣，選擇最優化解法，體會恰當選設未知數的作用）
小結：（先讓學生總結思路過程，再出示課件予以規范）
解分式方程應用題的一般思路過程：
分析過程：
（一）審
(1)讀題找基本關系
(2)劃分幾個不同事件過程
(3)分別在每一事件中明確已知和未知
(4)聯系關系量和題意理解找等量關系
（二）設 1.直接設法；2.間接設法
一般根據與求解未知數直接相關的等量關系寫“設… ，則… ”;
（三）列 根據另一個等量關系列方程
解答過程：
（四）解解方程過程要注意解答正確
（五）驗1.檢驗計算是否正確
2. 分式方程要檢驗是否是增根
3.檢驗方程的解是否符合實際題意
（六）答 怎么問就怎么答，答案要寫完整。
反思過程：
1.問題解決的關鍵在哪里？要注意哪些細節？
2.問題解決還有其他方法嗎？哪種方法更簡潔？
3.可劃歸為哪一類問題？能進一步聯系拓展嗎？…
三、課堂練習：
小明和同學一起去書店買書，他們先用15元買了一種科普書，又用15元買了一種文學書。科普書的價格比文學書高出一半，因此他們所買的科普書比所買的文學書少一本。這種科普書和這種文學書的價格各是多少？
（學生在練習題紙上完成，一生板書，教師巡視指導，出示課件糾錯）
（引導學生反思解題過程：關鍵步驟；簡便解法；題型歸類等）
四、當堂檢測：
甲乙兩地相距360千米，新修的高速公路開通后，在甲、乙兩地間行駛的長途客運車平均車速提高了50%，而從甲地到乙地的時間縮短了2小時.試確定原來的平均車速.
分析:（學生在練習題紙上完成，一生板書，教師巡視指導，出示課件，回顧列分式方程解應用題的一般思路過程和一般解題步驟）
五、課堂總結：
分式方程應用題的解題思路
分析過程：
（一）審：1.已知；2.求解；3.等量關系
（二）設：（1）直接設法（2）間接設法
（三）列：根據主要等量關系列分式方程
解答過程：
（四）解：規范、正確、熟練
（五）驗：計算正確；排除增根；符合實際題意
（六）答：回答完整
反思過程：關鍵步驟；簡便解法；題型歸類等
六、作業：
A層：課本：
P94習題3.8問題解決1、2、3
新課堂：P641、2
B層：新課堂：P66走進生活
板書設計：
（1）“做一做”的解法1教師一邊分析講解一邊完整板書列分式方程解應用題的解題格式步驟
一、預習導學,呈現問題導入新課
思考:你能正確識別分式方程嗎?
下列關于x的方程,其中是分式方程的有______.(填序號)
問題1 什么是分式方程?
問題2 為什么方程(4)不是分式方程?它是什么方程?如何看待其分母中的字母?
引導學生思考并歸納總結,分式方程的特點是:①含分母;②分母中含有未知數,分母中是否含有未知數是區別分式方程與整式方程的標志.本例中的(4)是關于x的方程,其他字母皆為字母系數,通過本例辨析分式方程與含有字母已知數方程的區別.
設計意圖 在設疑解惑中引導學生關注分式方程形式上的定義,不是簡單讓學生重復概念,而是展示一組方程讓學生識別,在答疑辨析中調動學生對分式方程概念的理解,加深理解分式方程概念的關鍵點——分母中含有未知數,設計的方程(3)(4)(6)用意深刻,是對學生思考提出的發展性目標.
二、合作探究,問在知識發生處,點撥釋疑
·你會解分式方程嗎?
教師出示問題,學生動手解題,探究體驗:
比較方程(1)(2)的結果有差異嗎?為什么?
·為什么x=2不是原方程(2)的根?
·產生x=2不是原方程(2)的根的原因是什么?你能用數學語言說明嗎?
解(2):方程兩邊同乘以3(x-2),得3(5x-4)=4x+10-3(x-2),x=2.檢驗:把x=2代入最簡公分母3(x-2)中,3(x-2)=0,x=2稱為原方程的增根.
·引導學生進一步思考:
(1)解分式方程的一般步驟?要求學生自己歸納總結,然后討論交流.
①去分母,方程兩邊同乘以最簡公分母,把分式方程轉化為整式方程;②解這個整式方程;③驗根.使得最簡公分母為0的根為原方程的增根,必須舍去.
學生提出問題,小組合作探究討論:驗根有幾種方法?如何檢驗?
適當的練習加強學生對解分式方程的理解,幫助學生深刻理解化分式方程為整式方程的數學思想.
(2)呈現錯例,分析錯誤原因.(組織學生開展糾錯討論)
①確定最簡公分母失誤;②去分母時漏乘整式項;③去分母時忽略符號的變化;④忘記驗根.
設計意圖 分解因式是要求學生掌握的基本技能,引導學生獨立思考,總結歸納解題步驟,對錯例進行剖析,加深對知識的理解.糾錯是數學解題教學的一種重要學習形式.
(3)增根從哪里來?為什么要舍去?
(4)下面分式方程的解法是否正確?談談你的想法?
引導學生議一議,深入思考:你對上述解法有什么看法?還有其他解法嗎?通過解題表象再深入思考解分式方程的本質.
分式方程的增根是它變形后整式方程的根,但不是原方程的根,產生增根的原因是在分式方程的左右兩邊乘以為0的最簡公分母造成的,所以使最簡公分母為0的未知數的值均有可能為增根.著名教學者李鎮西說過:“能讓學生自己完成的,教師絕不幫忙.”教師引路設問,創設質疑討論的空間,深化對解分式方程本質的理解,拓寬學生的視野.
三、靈活應用,拓展思維
思考 “無解”與該分式方程有“增根”的意義一樣嗎?
分析 方程兩邊乘以(x+2)(x-2),可得2(x+2)+ax=3(x-2),(a-1)x=-10.顯然a=1時原方程無解.當(x+2)(x-2)=0,即x=2或x=-2時,原方程亦無解,當x=2時,a=-4;當x=-2時,a=6.所以當a=1,-4,6時,原方程無解.
設計意圖 分式方程的增根問題是學生理解的難點,部分學生解題過程中存有疑惑,還會與無解相混淆.本課例設計直擊難點,幫助學生梳理如何討論增根問題,并能利用其解決方程無解的相關問題.教師運用問題串形式組織學生解分式方程不是表面上培養細心,明確算理,而是像幾何推理那樣步步有據,啟發學生經過自己的獨立思考去尋求解決問題方案.
本課設計嘗試從數學的角度提出問題,理解問題.引導學生理解解分式方程的途徑是通過轉化為整式方程來求解.在解分式方程的過程中體驗增根的由來.總結出解分式方程的一般步驟和驗根的方法,通過靈活應用實例分析把方程的相關知識融會貫通,在富有挑戰性問題的引導下,學生在探究、答疑、辨別中體會到,提出一個有價值的問題有時比解決一個問題更重要,本課例的設計讓學生學會質疑,學會思考,真正在思維的層面上學會數學解題.
分式方程
備課時間:上課時間
主備:
審核:備課組
班級
姓名
學習目標
1．知識目標：理解解分式方程的一般步驟及解分式方程驗根的必要性.
2．能力目標：通過對分式方程轉化為整式方程的過程，了解數學思想中的“轉化”思想.
重點
分式方程的解法
難點
分式方程的解法
【溫故知新】
如何解一元一次方程？經過哪些步驟？
解方程+=2－
【新知探究】
1．解方程：=
思考：方程兩邊同乘以什么樣的整式，可以去掉分母呢？發現方程兩邊同乘以各分母的最簡公分母，去分母比較簡單.
2．解方程：－=4
3、觀察上面方程的解法，歸納出一般步驟，并與同學進行交流。
【歸納】
解分式方程一般需要經過哪幾個步驟
（1）方程兩邊都乘以最簡公分母，約去分母，化分式方程為整式方程（一去分母）；
（2）解這個整式方程；（二解整式方程）
（3）把整式方程的根代入最簡公分母，看結果是否為零，使最簡公分母為零的根是原方程的增根，應舍去；使最簡公分母不為零的根才是原方程的根.
（三驗根）
【應用鞏固】
（1）
解方程：
①=;
（2）
②+=2.
2觀察：在解方程=－2時，小亮同學的解法如下：
=－2
解：方程兩邊同乘以x－3,得
2－x=－1－2（x－3）
解這個方程，得
x=3.
x=3是原方程的根嗎？如果是，請你說明理由，如果不是，請你說明為什么？
（3）解上節課的方程
=（a,h常數）
教學檢測
一．請你選一選
1．方程1+=0有增根，則增根是(
)
A.1
B.－1
C.±1
D.0
2．沿河兩地相距s千米，船在靜水中的速度為a千米/時，水流速度為b千米/時，此船一次往返所需時間為(
)
A.小時
B.小時
C.()小時
D.()小時
3．方程=0的根是(
)
A.x=2
B.x=－2
C.x=±2
D.方程無解
4．分式方程若有增根，則增根可能是(
)
A.x=1
B.x=－1
C.x=1或x=－1
D.x=0
二．請你填一填
1．當a=________時，關于x的方程的根為1.
2．當x=________時，分式的值等于1.
3．方程+4的解為________.
4．當m________時，關于x的方程有增根.
5．已知,則=_____________.
三．解下列方程：
【關鍵詞】變式練習 突破重難點 辨別混淆 把握數學實質 數形結合
【課題項目】甘肅省教育科學‘十二五’規劃2014年度“創設初中數學實驗課的探究”成果，課題申報號：LZ-930，課題負責人：陳麗英。
【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2014）10-0122-02
在初中數學課堂教學中，根據教材內容及學生學習情況合理設置一些變式練習，對提高課堂教學效果及培養學生探究問題的能力和數學素養有很大幫助，本文將從以下幾個方面闡述。
一、變式練習符合學生認知規律，有助于突破教學內容的重難點
在課堂教學中，設計由淺入深，由特殊到一般的變式練習，一方面能將本節課的重難點分成幾個步驟，由簡到難展現出來，另一方面學生也更容易理解和掌握課堂所學知識，符合學生的認知規律。如：在學習提公因式法分解因式第2課時中，公因式為多項式時，如何找公因式是這節課的重點和難點。為了突破本節課重、難點，我在課堂教學中設計如下例題和變式訓練：
例1.分解因式：2am-3m
變式（1）：2a（b+c）-3（b+c）
變式（2）：2a（b+c）2-3（b+c）3
變式（3）：2a（c-b）2-3（b-c）3
變式（4）：2a（c-b）2n-3（b-c）2n+1 （n為正整數）
設計意圖：例1中，學生很容易找到公因式為m。變式（1）中，將例題中的m變為多項式：b+c，有了例題的鋪墊，這一問學生通過類比較容易得到多項式為b+c；變式（2）中，將（1）中b+c，分別變為（b+c）2和（b+c）3，引導學生取較低次冪（b+c）2作為公因式；變式（3）中，將（2）中的（b+c）2變為（c-d）2，（b+c）3變為（b-c）3，這時底數雖不同，但是互為相反數，引導學生先將（c-b）2變為（b-c）2再找出公因式（b-c）2；變式（4）中將（3）中（c-b）2變為（c-b）2n，（b-c）3變為（b-c）2n+1，這樣指數更為一般化，由于兩個底數互為相反數，而且一個指數2n表示偶數，另一個指數2n+1表示奇數，有了（3）的思考，學生很快想到將（c-b）2n變為（b-c）2n， 從而找到公因式（b-c）2n。通過這種變式練習，這節課的重難點很容易被學生接受和理解。
二、變式練習有助于學生辨別教學中容易混淆的知識點，從而更好的把握數學知識的實質
在教學中，有一些定理和概念容易混淆，通過設置變式練習可以幫助學生加以區別。如：在學習分式方程時，學生對分式方程的增根和無解這兩個概念容易混淆，為此，我設置了如下例題和變式訓練：
例2.解方程： ■-■=■
變式（1）：關于x的分式方程■-■=■ （k為常數）有增根，則k的值是多少？
變式（2）：關于x的分式方程■-■=■（k為常數）無解，則k的值是多少？
設計意圖：例題2考查學生對可化為一元一次分式方程的解法及對其根的合理性的檢驗。由于這個分式方程產生增根使得該分式方程無解，大部分學生誤認為分式方程有增根等同于分式方程無解。因此教學中很有必要設置變式訓練，引導學生區別這兩個概念。變式（1）中含有字母k，首先將分式方程轉化為整式方程：（k-1）x=-10 ，由題目知道分式方程有增根，則增根可能是x=2或x=-2，將增根x=2或x=-2代入整式方程（k-1）x=-10 ，解得，k=-4或k=6。通過變式（1）的練習讓學生進一步理解，增根是分式方程轉化成的整式方程的解，但是它使得原分式方程的分母為零，因此不是原分式方程的解。變式（2）將變式（1）中的增根改為無解，此時要考慮兩種情況（1）：如果分式方程轉化成的整式方程的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程無解；（2）分式方程轉化后的整式方程（k-1）x=-10本身無解的情況，即當a-1=0，即a=1時此整式方程無解，所以原方程無解。通過變式（2）的練習讓學生進一步理解，分式方程無解包含兩層含義，（一）原分式方程轉化后的整式方程無解；（二）原分式方程轉化的整式方程有解，但這個解卻使得原分式方程的分母為0，它是原方程的增根，從而原方程無解。通過這種變式練習，加強了學生對數學概念的理解和辨別，從而更好的把握數學本質。
三、變式練習有助于開闊學生思維，并提高學生解決數學問題的能力
在數學課堂教學中，將考查同一個知識點的不同類型題目由簡到難設置變式練習，引導學生開闊思維，并提高解決數學問題的能力。如：在學習反比例函數圖像及其性質時，設計如下例題和變式訓練：
例3.如圖1所示，點p為反比例函數y=■圖像上一點，PMx軸，PNy軸，垂足分別為M、N，（1）求長方形PMON的面積，（2）求PMO的面積。
圖1 圖2 圖3
變式（1）：如圖1所示，點P為反比例函數y=■圖像上一點，PMx軸，PNy軸，垂足分別為M、N，若長方形PMON面積為2，則k為多少？
變式（2）：如圖2所示，P為反比例函數y=■圖像上一點，求PMx軸，垂足為M，則PMQ1和PMQ2面積分別是多少？
變式（3）：如圖3所示，A、C兩點均在反比例函數y=■的圖像上，且A、C兩點關于O點中心對稱，ABx軸，CDy軸，垂足分別為B，D，則四邊形ABCD面積為多少？
設計意圖：
例3是對反比例函數比例系數k的幾何意義的直接應用。變式（1）則將例題中的題設和結論反過來，這樣能激發學生逆向思考問題的能力；變式（2）中，將例題中PMO的一個頂點O移到Q1或Q2位置，此時PMQ1和PMQ2都與PMO等底等高，因此面積也相等，這樣的設計可以幫助學生加深對知識的理解，從而提高學生解決數學問題的能力。變式（3）中，將平行四邊形知識與反比例函數性質巧妙的結合起來，學生通過分析得到：S四邊形ABCD=2SABD=4SABO=4×1=4。通過這樣的設置，不但開闊了學生的思維能力，同時也提高了學生綜合分析問題的能力。
四、通過變式練習滲透數形結合思想，實現數量關系與圖形性質的相互轉化
函數與方程及其不等式都是刻畫現實世界中量與量之間變化規律的重要模型，通過變式練習，滲透這三者之間的聯系，幫助學生從整體上認識不等式，感受函數方程不等式的作用，從而使所學知識融匯貫通。 在學習一次函數與一元一次不等式時，設計如下例題和變式練習：
例4.如圖4，一次函數y1=kx+b（k≠0）與反比例函數y2=■（n≠0）交于點A（1，m），B（-3，n），問：x取何值時，y1y2？x取何值時，y1
變式（1）：解方程：kx+b-■=0（請直接寫出答案）
變式（2）：解不等式：kx+b-■≥0 （請直接寫出答案）
變式（3）：求一元二次方程kx2+bx-n=0的解
（根據函數圖像簡單說明理由）
設計意圖：
上學期期末考試的成績不及格，總體來看，成績比較不理想。在學生所學知識的掌握程度上，大部分學生能夠透徹理解知識，知識間的內在聯系也較為清楚，但個別學生連簡單的基礎知識還不能有效的掌握，成績較差。在學習能力上，一些學生課外主動獲取知識的能力較差，向深處學習知識的能力沒有得到培養，學生的邏輯推理、邏輯思維能力，計算能力需要進一步加強，以提升學生的整體成績；在學習態度上，絕大部分學生上課能全神貫注，積極的投入到學習中去。
二、本學期教學內容（概念、法則、原理等）和目的要求：
本學期教學內容，共計六章，第一章《一元一次不等式和一元一次不等式組》本章通過具體實例建立不等式，探索不等式的基本性質，了解一般不等式的解、解集、解集在數軸上的表示，一元一次不等式的解法及應用；通過具體實例滲透一元一次不等式、一元一次方程和一次函數的內在聯系．最后研究一元一次不等式組的解集和應用．第二章《分解因式》本章通過具體實例分析分解因式與整式的乘法之間的關系揭示分解因式的實質，最后學習分解因式的幾種基本方法．第三章《分式》本章通過分數的有關性質的回顧建立了分式的概念、性質和運算法則，并在此基礎上學習分式的化簡求值、解分式方程及列分式方程解應用題．第四章《相似圖形》本章通過對兩條線段的比和成比例線段等概念的學習，全面探索相似三角形、相似多邊形的性質與識別方法．第五章《數據的收集與處理》主要是概念的理解與運用．第六章《證明一》本章主要內容是命題的相關概念、分類及應用．
重點（1）掌握不等式的基本性質，一元一次不等式（組）的解法及應用．（2）掌握分解因式的兩種基本方法（提公因式法與公式法）．（3）掌握分式的基本性質、四則運算、分式方程的解法及列分式方程解應用題．（4）成比例線段的概念及應用和相似三角形的性質和判定．（5）調查方法的應用．（6）命題的推理論證．
難點（1）對不等式的基本性質的理解和熟練運用，一元一次不等式（組）的應用．（2）提公因式法與公式法的靈活運用．（3）分式的四則混合運算和列分式方程解應用題．（4）靈活運用比例線段和相似三角形知識能力的培養．（5）幾個概念的理解、區別和應用．（6）命題的推理論證．
三、為了達到本學期教學目的要求將采取的具體措施是什么？教學方法上做哪些改革？
1、認真研讀新課程標準，鉆研新教材，根據新課程標準，擴充教材內容，認真上課，批改作業，認真輔導，認真制作測試試卷，也讓學生學會認真學習。
2、興趣是最好的老師，激發學生的興趣，給學生介紹數學家，數學史，介紹相應的數學趣題，給出數學課外思考題，激發學生的興趣。
3、引導學生積極參與知識的構建，營造民主、和諧、平等、自主、探究、合作、交流、分享發現快樂的學習課堂氛圍，讓學生體會學習的快樂，享受學習。
4、運用新課程標準的理念指導教學，積極更新自己腦海中固有的教育理念，不同的教育理念將帶來不同的教育效果。
5、培養學生良好的學習習慣，陶行知說：教育就是培養習慣，有助于學生穩步提高學習成績，發展學生的非智力因素，彌補智力上的不足。
四、本學期教學進度安排表：
單元章節教材內容課時預計上課日期
一元一次不等式與一次函數2 第2周2.28－3.1
一元一次不等式組3 第2周3.2－3.4
復習小結2 第3周3.7－3.8
第二章《分解因式》分解因式1 第3周3.9
提公因式法2 第3周3.10－3.11
運用公式法2 第4周3.14－3.15
復習小結1 第4周3.16
第三章《分式》分式2 第4周3.17－3.18
分式的加減法2 第5周3.22－3.23
復習小結2 第6周3.29－3.30
第四章《相似圖形》線段的比2 第6周3.31－4.1
黃金分割1 第7周4.4
形狀相同的圖形1 第7周4.5
相似多邊形1 第7周4.6
相似三角形1 第7周4.7
探索三角形相似形的條件2 第8周4.11－4.12
測量旗桿的高度1 第8周4.13
相似多邊形的性質2 第8周4.14－4.15
頻數與頻率2 第12周5.9－5.10
數據的波動2 第12周5.11－5.12
第六章《證明一》你能肯定嗎1 第13周5.16
定義與命題2 第13周5.17－5.18
為什么它們平行1 第13周5.19
要：本文先用實例說明什么是常規思維和創造性思維以及它們之間的關系；其次，論述了用創造性思維解測量井深與繩長的“古代問題”，并引出互逆思維的創造性思維方法；最后，用“雞兔同籠”問題的創造性思維來說明創造想象在創造性思維中的特殊、重要的作用.
關鍵詞：常規思維；創造性思維；互逆思維；聯想；想象
波利亞說：“中學數學教學的首要任務就是加強解題訓練.” 本文提出的是要加強解應用題的思維訓練.
■常規解與創造性思維解的比較
例1 甲、乙兩地相距36千米，某人騎自行車去時是一段上坡路與另一段坡度相同的下坡路，去時用2小時40分鐘，回來時只用了2小時20分鐘，并知走下坡路比走上坡路每小時快6千米，問上坡路每小時多少千米？
筆者把小黑板的例1往上一放，全班學生正拿草稿紙作，小芳與小華在黑板兩邊也開始板書.
小華用的是常規思維的解法：設上坡路每小時x千米， 下坡路y千米， 則依題意有下列分式方程組
■+■=2■，（1）■+■=2■，（2）
教師：你這個分式方程組是怎么來的？你的方程組如何以語言信息的形式來表達呢？
小華：第一個分式方程是去時一段上坡路某人騎自行車去時所花的時間加上他下坡路所走的時間和是2小時40分鐘；第二個分式方程是他下坡路所花時間加上他上坡路所走的時間和是2小時20分鐘.
小芳用創造性思維的解法：設上坡路速度為每小時x千米， 并把一去一回視為一個整體. 一去一回上坡與下坡路程都是36千米，依題意得分式方程■+■=5，（3）
教師：你這個分式方程是怎么來的？用語言敘述方程組是如何轉化而來的？
小芳：把一去一回視為一個整體. 去時的上坡路與回來時的上坡路之和是36千米，所用時間是■；回來時的下坡路與去時的下坡路之和也是36千米， 所用時間是路程除以速度得下坡路所用時間是■，一去一回的總時間是2小時40分鐘，加2小時20分鐘，剛好是5小時.
教師（問全班學生）：如何解分式方程組呢？小華與小芳分別列出的分式方方程組、分式方程有什么聯系呢？
小慧：（1）+（2）？圯（3），換句話說， 只要解出（3）來，分式方程組不就解出來了嗎？
這幾句“言簡意賅”的話迎得一陣熱烈的撐聲.
教師（總結）：什么是創造性思維呢？是新穎的、獨特的、有價值的（智力價值、理論價值、經濟價值）的思維. 對學生來說，一般不是對某種新東西的發現、發明與創造的成就， 而只是對已知東西的再發現，如上面的小芳的解題方法是創造性思維.
創造性思維是思維活動的一種，它對問題的思考不是直接從頭腦中已有的思維形式和思維方法去找答案，而是從問題的本身去進行分析，進行一系列探索性思維活動，將已有的思維形式和思維方法大跨度地遷移，從可供選擇的途徑中篩選出解決問題的新辦法. 小慧“一針見血”地指出了常規思維的解法與創造性思維解法的內在與外在的聯系.
如何解（3）的分式方程呢？只要把分式方程轉化為整式方程，但要注意增根與減根即可.
例2
2000年入夏以后，湖北地區旱情嚴重，為緩解甲、乙兩地旱情，某水庫計劃向甲、乙兩地送水，甲地需水量為180萬立方米，乙地需水量為120萬立方米，現已兩次送水，往甲地送水3天，往乙地送水2天，共送水84萬立方米；往甲地送水2天，往乙地送水3天，共送水81萬立方米；問完成向甲、乙兩地送水任務還各需多少天？
為了讓學生自主探索、自主思維、自主尋找思路、自主總結經驗，擺脫“教師講，學生聽”的傳統講解模式，筆者讓學生通過自己的思維來學習數學.
設完成往甲地送水任務還需x天， 完成往乙地送水任務還需y天. 用代數式表示每天往甲地運水，已運送5天如何表示？■. 用代數式表示每天往乙地運水，已運送5天如何表示？■. 這時有兩種列方程組的方案：
以小芳為首的學生列出方程組
■×3+■×2=84，（1）■×2+■×3=81，（2）
以小慧為首的學生用換元法列出方程組3t+2z=84，2t+3z=81 ？圯5t+5z=165，2t+3z=81？圯t+z=33，2t+3z=81？圯z=15，t=18.
當小芳還在列完分式方程組， 正考慮如何解時， 小慧已經完成第一次解方程組， 而正要代入求另一方程組的解：■=18，■=15？圯18x+18×5=180，15y+15×5=120？圯x=5，y=3.
小華又在小慧的解答基礎上改進成了如下更先進、簡潔、漂亮的好方法：
3t+2z=84，（3）2t+3z=81，（4）？圯5t+5z=165，2t+3z=81？圯t+z=33，（5）2t+3z=81，（6）？圯（6）-（5），t+2z=48，（7）t+z=33，（8）？圯z=15，t=18.
筆者善于通過“對比”來評價兩種解應用題方法的優劣：小慧的創新之處在于她觀察到（3）與（4）的系數與常數項系數之和的特殊性——它們都能被5整除，從而巧妙地得出（5）式，小華在小慧的解答基礎上改進了什么呢？（當全班學生看到（7）、（8）式時，不由得引起一陣熱烈的撐聲）小芳是常規思維的解法，小慧與小華是屬于創造性思維的解法.
筆者又說：“眾里尋他千百度， 驀然回首，那人卻在燈火闌珊處.” （又迎來一陣熱烈的掌聲）
最后筆者用波利亞的話來引導出換元法：“原來的問題是我們要達到的目的，而輔助問題只是我們試圖達到的目的的手段. 一只飛蟲企圖穿過窗戶玻璃逃出去，它在同一扇窗戶上試了又試，而不去試試附近打開的窗戶，而那扇窗戶就是它進來的那扇. 人能夠或者至少能夠行動得更聰明些. 人的高明之處就在于當他碰到一個不能直接克服的障礙時，他會繞過去；當原來的問題看起來似乎不好解時，就想出一個合適的輔助問題. 構造一個輔助問題是一項重要的思維活動. 舉出一個有助于另一問題的清晰的新問題，能夠清楚地把達到另一目標的手段設想成一個新目標，這都是運用智慧的卓越成就.”
這段話是用變量替換作手段來解方程（方程組）的. 當然變量替換還可以分解因式，如將x2y2－5x2y－3xy2+15xy－14x2+5y2+57x－25y－70分解因式. 初看起來“雜亂無章”，“理不出頭緒”和無法下手；若用創造性思維，并先用“分解與重新組合”的方法，再視為關于y的二次三項式，則看起來井然有序，條理清楚，主次分明.
（x2－3x+5）y2－5（x2－3x+5）y－14（x2－3x+5）=（x2－3x+5）（y2－5y－14）=（x2－3x+5）·（y+2）（y－7）.
要培養學生創造性思維的解法，必須分三歩走：扎實的基礎知識是創造性思維的解法的基礎，分式方程式解法的基礎知識是轉化成整式方程，區分増根，要學會驗根；其次是了解整式方程的代入消元法與加減消元法，以及將二者結合起來的“既加再除”的新穎方法. 第二，敏銳的觀察力是訓練創造性思維的前提，如例1的（1）+（2）（3）就需要敏銳的觀察力. 第三，豐富的想象力是創造性思維的設計師，在例1中，把一去一回視為一個整體就是發揮豐富的想象力，并將去的上坡路與回的上坡路視為36里，又將回的下坡路與去的下坡路也視為36里，都是發揮豐富的想象力. 愛因斯坦說：“提出新問題，新的可能性，從新的角度看舊的問題，卻需要有創造性的想象力，而且標志著科學的真正進步”. 第四，發散思維是培養創造性思維的源泉.
■古代問題的創造性思維的解法
數學教師從講故亊開始，引出互逆思維. 逆向思維是創造性思維的一種，舉個有趣的生活中有發現意義的實例：你們吃獼猴桃是如何剝皮呢？
吃獼猴桃要剝皮是眾所周知的事，如何剝皮呢？從外往里剝皮既臟又不衛生，若想到逆向思維， 從里面往外去剝皮——即用金屬勺子在“一刀切斷”的獼猴桃中從里邊往外一勺一勺地挖獼猴桃肉，這種采用逆向思維的方法，既衛生又高質量完成任務. 這個方法對解“古代問題”是有啟發的.
例3 “用繩子測量井深，把繩子三折來量，井外余4尺，把繩子四折來量，井外余1尺，求井深與繩長各幾何？”
能用互為逆向思維的創造性方法來解答嗎？
在筆者的啟發下，小慧和小華分別得出了創造性思維解法1與創造性思維解法2.
解法1：（進的方法）把繩子三折來量，井外余4尺，4×3=12，這時可想象把井外的12尺再量井深，那么根據第二個條件， 把繩子四折來量，井外余1尺，12-4=8，可知井深為8尺.繩長為36尺.
解法2：（退的方法）把繩子四折來量，井外余1尺，這時，若想象出用井內的一折到井外來量，根據把繩子三折來量，井外余4尺，（4-1）·3-1=8，可知井深還為8尺. 繩長為36尺.
可見，互為逆向思維的方法是創造性思維的一種.
創造性思維解法1與創造性思維解法2的共同點是創設情境，使兩種用繩子測量井深的方法既產生聯系，又產生思維碰撞，既要引出新舊亊物之間的聯系，又要引出新舊亊物之間的矛盾，新舊亊物之間的聯系是啟發學生思維的基礎；新舊亊物之間的矛盾是啟發學生思維的核心.
■雞兔同籠問題的創造性思維解法
例4
今有雞兔若干，它們共有50個頭和140只腳，問雞兔各有若干只？
解法1：發揮豐富的想象，假設出現下面奇特的現象，所有的雞都抬起一只腳，所有的兔子都抬起兩只腳，只用兩只后腳站立，這時雞的頭數與腳數相等，而兔的腳數是頭數的2倍，腳的總數是原來腳的總數的一半，故腳的總數70減去50所得的差20，即為兔的數目，進而易得雞為30只.
解法2：發揮豐富的想象，假設出現下面奇特的現象，所有的雞都沒有抬起一只腳，所有的兔子都抬起兩只腳，只用兩只后腳站立，這時，頭數還是50個，雞與兔子的總腿數是總頭數的2倍，即為100，原來的總腿數140減去現在的總腿數100剛好是兔數的2倍，40÷2=20剛好是兔數，雞數為50-20=30只.
這類問題所涉及的知識點包括四邊形、三角形和圓等初中基本平面幾何圖形的性質，以及這些圖形的變換（包括折疊問題，最短路徑問題等）.下面我們繼續邊看題邊分析.
1.（2016，防城港）如圖，已知正方形ABCD邊長為1，∠EAF=45°，AE=AF，則有下列結論：
①∠1=∠2=22.5°；②點C到EF的距離是[2]-1；③ECF的周長為2；④BE+DF>EF.
其中正確的結論是 .（寫出所有正確結論的序號）
本題主要考查正方形的性質和角平分線的性質定理.解決本題的關鍵是證明AC垂直平分EF.
答案：①②③
2.（2016，北海）如圖，四邊形ABCD為矩形紙片，對折紙片，使得AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平后，再把紙片沿著BM折疊，使得點A與EF上的點N重合，在折痕BM上取一點P，使得BP=BA，連接NP并延長，交BA的延長線于點Q，若AB=6，則AQ的長為 .
此題主要考查幾何變換，非常考驗同學們的分析推理能力、空間想象能力.它涉及的知識點包括等邊三角形的判定和性質的應用，矩形的性質和應用，以及折疊的性質和應用，特殊角的三角函數值.本題的綜合性很強.
答案：[33]-3
3.（2015，北海）如圖，在矩形OABC中，OA=8，OC=4，沿對角線OB折疊后，點A與點D重合，OD與BC交于點E，則點D的坐標是（ ）
A.（4，8）
B.（5，8）
C.[245，325]
D.[225，365]
此題考查了翻折變換（折疊問題），坐標與圖形性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理等內容，熟練掌握折疊的性質是解本題的關鍵.
答案：C
4.（2014，南）如圖，ABC是等腰直角三角形，AC=BC=[a]，以斜邊AB上的點O為圓心的圓分別與AC，BC相切與點E，F，與AB分別交于點G，H，且EH的延長線和CB的延長線交于點D，則CD的長為 .
本題考查了切線的性質，等腰直角三角形以及相似三角形的性質，同學們需仔細分析題意，結合圖形，利用相似三角形的性質及切線的性質即可解決問題.
答案：[1+22]a
5.（2015，防城港）如圖，已知正方形ABCD邊長為3，點E在AB邊上且BE=1，點P，Q分別是邊BC，CD的動點（均不與頂點重合），當四邊形AEPQ的周長取最小值時，四邊形AEPQ的面積是 .
本題考查了軸對稱-最短路線問題以及正方形的性質.利用軸對稱確定點A，E分別關于CD，BC的對稱點A′，E′，連接A′E′得出P，Q的位置是解題關鍵.相似三角形的判定與性質、圖形分割法是求面積的重要方法.
答案：[92]
幾何圖形綜合題類選擇填空壓軸題復習建議：此類題綜合性強，涉及知識點多，大多數是牽涉到圖形變換，其中以平移、旋轉、翻折等圖形變換為解題思路的題目更是成為近年來出題的熱點.
第四類：閱讀理解型
閱讀理解型問題近年在全國各地中考數學試題中頻頻“亮相”，特別值得我們注意.
1.（2015，欽州）對于任意的正數m，n定義運算為：mn=[m-n （mn）m+n （m
A.[2-46] B. 2 C.[25] D. 20
此題是閱讀理解型問題，定義了新運算，其實主要考查的是二次根式的混合運算，解答本題的關鍵是根據題目所給的運算法則求解.
【解答】解：3>2，
3×2=[3]-[2]，
8
8×12=[8]+[12]=2×（[2]+[3]），
（3×2）×（8×12）=（[3]-[2]）×2×（[2]+[3]）=2.
故選B.
2.（2015，南寧）對于兩個不相等的實數a，b，我們規定符號Max{a，b}表示a，b中的較大值，如：Max{2，4}=4，按照這個規定，方程[Maxx，-x=2x+1x]的解為（ ）
A.[1-2]
B.[2-2]
C.[1+2或1-2]
D.[1+2或-1]
此題同樣是定義了新運算，主要考查分式方程，解分式方程的基本思想是“轉化思想”，把分式方程轉化為整式方程求解.最后，解分式方程一定注意要驗根.
【解答】解：當x
去分母得：x2+2x+1=0，即x=-1；
當x>-x，即x>0時，所求方程變形得：x=[2x+1x]，即x2-2x=1，
解得：x=1+[2]或x=1-[2]（舍去），
經檢驗x=-1與x=1+[2]都為分式方程的解.
故選D.
九年義務教育全日制初級中學數學《新課程標準》中指出：教師應激發學生的學習積極性，向學生提供充分從事數學活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想和方法，獲得廣泛的數學活動經驗．學生是數學學習的主人，教師是數學學習的組織者、引導者與合作者．
新課程把數學思想、方法作為基礎知識的重要組成部分，在數學《新課程標準》中明確提出來，這不僅是課標體現義務教育性質的重要表現，也是對學生實施創新教育、培訓創新思維的重要保證．
一、 了解《數學新課標》要求，把握教學方法
所謂數學思想，就是對數學知識和方法的本質認識，是對數學規律的理性認識．所謂數學方法，就是解決數學問題的根本程序，是數學思想的具體反映．數學思想是數學的靈魂，數學方法是數學的行為．運用數學方法解決問題的過程就是感性認識不斷積累的過程，當這種量的積累達到一定程序時就產生了質的飛躍，從而上升為數學思想．若把數學知識看作一幅構思巧妙的藍圖而建筑起來的一座宏偉大廈，那么數學方法相當于建筑施工的手段，而這張藍圖就相當于數學思想．
1．新課標要求，滲透“層次”教學．
《數學新課標》對初中數學中滲透的數學思想、方法劃分為三個層次，即“了解”、“理解”和“會應用”．在教學中，要求學生“了解”數學思想有：數形結合的思想、分類的思想、化歸的思想、類比的思想和函數的思想等．這里需要說明的是，有些數學思想在《數學新課標》中并沒有明確提出來，比如：化歸思想是滲透在學習新知識和運用新知識解決問題的過程中的，方程（組）的解法中，就貫穿了由“一般化”向“特殊化”轉化的思想方法．如初中數學三年級上冊中明確提出“反證法”的教學思想，且揭示了運用“反證法”的一般步驟，但《數學新課標》只是把“反證法”定位在通過實例，“體會”反證法的含義的層次上，我們在教學中，應牢牢地把握住這個“度”，千萬不能隨意拔高、加深．否則，教學效果將是得不償失．
2．從“方法”了解“思想”，用“思想”指導“方法”．
關于初中數學中的數學思想和方法內涵與外延，目前尚無公認的定義．其實，在初中數學中，許多數學思想和方法是一致的，兩者之間很難分割．它們既相輔相成，又相互蘊含．只是方法較具體，是實施有關思想的技術手段，而思想是屬于數學觀念一類的東西，比較抽象．因此，在初中數學教學中，加強學生對數學方法的理解和應用，以達到對數學思想的了解，使數學思想與方法得到交融的有效方法．比如化歸思想，可以說是貫穿于整個初中階段的教學，具體表現為從未知到已知的轉化、一般到特殊的轉化、局部與整體的轉化，課本引入了許多數學方法，比如換元法，消元降次法、圖象法、待定系數法、配方法等．在數學教學中，通過對具體數學方法的學習，使學生逐步領略內含于方法的數學思想；同時，數學思想的指導，又深化了數學方法的運用．這樣處置，使“方法”與“思想”珠聯璧合，將創新思維和創新精神寓于教學之中，教學才能卓有成效．
二、遵循認識規律，把握教學原則
實施創新教育要達到《數學新課標》的基本要求，教學中應遵循以下幾項原則：
1．滲透“方法”，了解“思想”．
由于初中學生數學知識比較貧乏，抽象思維能力也較為薄弱，把數學思想、方法作為一門獨立的課程還缺乏應有的基礎．因而只能將數學知識作為載體，把數學思想和方法的教學滲透到數學知識的教學中．教師要把握好滲透的契機，重視數學概念、公式、定理、法則的提出過程，知識的形成、發展過程，解決問題和規律的概括過程，使學生在這些過程中展開思維，從而發展他們的科學精神和創新意識，形成獲取、發展新知識，運用新知識解決問題．忽視或壓縮這些過程，一味灌輸知識的結論，就必然失去滲透數學思想、方法的一次次良機．如北師大版初中數學七年級上冊課本《有理數》這一章，與原來部編教材相比，它少了一節──“有理數大小的比較”，而它的要求則貫穿在整章之中．在數軸教學之后，就引出了“在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數大”，“正數都大于0，負數都小于0，正數大于一切負數”．而兩個負數比較大小的全過程單獨地放在絕對值教學之后解決．教師在教學中應把握住這個逐級滲透的原則，既使這一章節的重點突出，難點分散；又向學生滲透了數形結合的思想，學生易于接受．
2.訓練“方法”，理解“思想”．
數學思想的內容是相當豐富的，方法也有難有易．因此，必須分層次地進行滲透和教學．這就需要教師全面地熟悉初中三個年級的教材，鉆研教材，努力挖掘教材中進行數學思想、方法滲透的各種因素，對這些知識從思想方法的角度作認真分析，按照初中三個年級不同的年齡特征、知識掌握的程度、認知能力、理解能力和可接受性能力由淺入深，由易到難分層次地貫徹數學思想、方法的教學．如在教學同底數冪的乘法時，引導學生先研究底數、指數為具體數的同底數冪的運算方法和運算結果，從而歸納出一般方法，在得出用a表示底數，用m、n表示指數的一般法則以后，再要求學生應用一般法則來指導具體的運算．在整個教學中，教師分層次地滲透了歸納和演繹的數學方法，對學生養成良好的思維習慣起重要作用．
3.掌握“方法”，運用“思想”．
數學知識的學習要經過聽講、復習、做習題等才能掌握和鞏固．數學思想、方法的形成同樣有一個循序漸進的過程．只有經過反復訓練才能使學生真正領會．另外，使學生形成自覺運用數學思想方法的意識，必須建立起學生自我的“數學思想方法系統”，這更需要一個反復訓練、不斷完善的過程．比如 ，運用類比的數學方法，在新概念提出、新知識點的講授過程中，可以使學生易于理解和掌握．學習一次函數的時候，我們可以用乘法公式類比；在學次函數有關性質時，我們可以和一元二次方程的根與系數性質類比．通過多次重復性的演示，使學生真正理解、掌握類比的數學方法．
4.提煉“方法”，完善“思想”．
教學中要適時恰當地對數學方法給予提煉和概括，讓學生有明確的印象．由于數學思想、方法分散在各個不同部分，而同一問題又可以用不同的數學思想、方法來解決．因此，教師的概括、分析是十分重要的．教師還要有意識地培養學生自我提煉、揣摩概括數學思想方法的能力，這樣才能把數學思想、方法的教學落在實處．
三、初中階段常見的幾種數學思想方法舉例說明
1.數形結合思想．
數和式是問題的抽象和概括、圖形和圖像是問題的具體和直觀的反映．初中代數教材列方程解應用題所選很多是采用了圖示法的例題，所以，教學過程中要充分利用圖形的直觀性和具體性，引導學生從圖形上發現數量關系找出解決問題的突破口．學生掌握了這一思想要比掌握一個公式或一種具體方法更有價值，對解決問題更具有指導意義．
2.方程思想．
眾所周知，方程思想是初等代數思想方法的主體，應用十分廣泛，可謂數學大廈基石之一，在眾多的數學思想中顯得十分重要．
3.方程思想．
主要是指建立方程(組)解決實際問題的思想方法．教材中大量出現這種思想方法，如列方程解應用題，求函數解析式，利用根的判別式、根與系數關系求字母系數的值等．
教學時，可有意識的引導學生發現等量關系從而建立方程．如講“利用待定系數法確定二次函數解析式”時，可啟發學生去發現確定解析式的關鍵是求出各項系數，可把他們看成三個“未知量”告訴學生利用方程思想來解決，那學生就會自覺的去找三個等量關系建立方程組．在這里如果單講解題步驟，就會顯得呆板、僵硬，學生只知其然，不知其所以然．與此同時，還要注意滲透其他與方程思想有密切關系的數學思想，諸如換元，消元，降次，函數，化歸，整體，分類等思想，這樣可起到撥亮一盞燈，照亮一大片的作用．
4.辯證思想．
關鍵詞 數學思想 課堂教學
應用
目前對于數學思想的提法很是流行，對其概念的界定也是眾說紛紜。然而據多年的教學實踐，筆者認為數學思想就是學生通過對數學的學習形成自己的觀點和認知規律。數學思想的應用即把這些屬于自己的數學規律用于學習和解題的過程中。從而達到事半功倍的效果。簡言之數學思想主要體現在數學語言、等價轉化、數形結合、類比、分類等規律的總結和運用上。那么我們究竟如何在平時的教學中卓有成效的培養學生的數學思想并促使其學會應用呢？這是值得我們每個教育工作者關注和思考的一個問題。
從教學實踐中可知：數學課的教學，實際上是教給學生數學方法和數學基礎知識。而這兩者之間的關系是顯性與隱性的關系。知識點是獲得數學知識、發展數學思維的動力，是培養學生解決實際問題能力的鑰匙。
眾所周知，中學數學的基本知識主要是代數、幾何和三角中由其內容所反映出來的數學思想和方法，它須教師在課堂上向學生展示獲得知識、技能及解決問題的思考過程和解決問題的方法，力求使學生不斷接觸了解一些重要的數學思想和方法。那么我們怎樣在教學實踐中去落實這一點呢？筆者認為從以下幾個方面入手較好：
一、落實基本概念，培養學生的數學思想
因為對于概念的深刻理解，是提高解題能力的堅實基礎，能力的提高是通過學生對數學語言表達和對數學符號的運用來體現的，數學語言和符號實現了思維的概括性和簡明性。由繁與簡、新與舊之間達到對立的協調和諧的統一。例如在講切線的判定定理時，不僅抓住定理的內涵和外延，更注重數學語言和符號思想的培養。學生既要熟知“過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。”這一定理，還要在頭腦中形成直觀的形象即OAAT;OA是O的半徑則自然推出AT是O的切線，A是切點。如果需證直線AT是O的切線時則（1）如果知道ATOA，必須證明A在O上或OA是O的半徑（2）如果知道A在O上，必須證明OA AT。當學生掌握了以上知識點時，再做練習：“梯形ABCD，AB∥CD，∠A=90?，BC是O的直徑，且BC=AB﹢CD。求證：AD是O的切線”時，大多數學生都會過點O作OEAD，垂足為E，再證明OE是O的半徑。這樣從概念入手，在解題的過程中形成數學意識。
二、注重數形結合，構建學生的數學思想
數學知識盡管來源于生活實踐，但數學最本質的東西是從生活實踐中的知識高度概括和抽象出來的。這就要求在教學中把抽象的知識具體化、形象化，通過直觀的形象來深化教學的實質。為了培養學生的思維能力，教師應該將數形結合思想充分暴露給學生。例如在學習直線與圓的位置關系時，我在教學中構造了直觀數學模型（一個圓面與一條直尺）設O的半徑為R，圓心O到直線L的距離為d，從直線與O相離時慢慢移動，觀察直線與圓的位置關系，通過“數”和“形”的對比，學生很容易認識并掌握直線與的位置的三種關系。能應用這種數量關系去判定直線與圓的位置關系。
三、注重合理分類，梳理學生的數學思想
分類思想是根據所研究的對象相同點和不同點區分不同類型的數學思想方法。分類有兩個性質：第一，同一性；第二，獨立性。同一性是指分類的標準是一致的。獨立性是指每類獨立存在，不重復也不遺漏。例如在教學圓周角定理“一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半”的證明過程時，通過圓心在圓周角外部、一邊上、角的內部三種情況，把此定理的證明過程分成三類進行證明，圓周角一邊過圓心最易證明，其他兩種情況可轉化到第一種情況也容易證明。這樣以來，學生頭腦中思路更為清晰，解起題來就會得心應手！
四、運用“等價轉化和換元”體現數學思想
在解方程（組）的教學中，強化消元、降次的思想，就解分式方程來談，解分式方程反映出來的數學方法就是把分式方程轉化為整式方程，其中滲透了“等價轉化”的數學思想。通過分式方程的學習，學生逐步明確和掌握“把分式方程化為整式方程”這一基本的數學方法。更重要的“轉化”是解數學題的重要手段。一位好的數學教師要學生努力保持好的解題胃口，任何一個數學問題都是通過“聯想、構造、轉化”的思維方式有機地進行數形轉化，從而實現未知到已知的過程。滲透轉化和換元思想是引導學生以下幾點：
1、解方程（組） 降次、換元、公式變形。
2、一元二次方程和一元二次函數轉化的思想。
3、幾何輔助線引發第一，幾何習題的條件和結論的變化；第二，對圖形的變化。
4、代數、幾何、三角之間的轉化思想。
一、注重聯系現實原型，對概念作解釋。
數學概念都是從現實生活中抽象出來的，如正負數、數軸、直角坐標系、函數、角、平行線等，都是由于科學與實踐的需要而產生的。講清它們的來源與實物作比較，這樣學生既不會感到抽象，而且容易形成生動活潑的學習氛圍。
（1）注意概念的引出
例如：怎樣用數表示前進3米？后退3米？收入200元與支出200元等這些相反量呢？引出正負數的概念；用溫度計、桿稱這些實物，引出數軸這個概念；由對不同實物的分類，引出同類項概念等。首先從對實物的感受激發學生學習的興趣，再由抽象的特征濃縮成數學概念，學生容易接受。
（2）注意概念的及時整理
對于概念的引出，要把握好時間度，如過早的下定義，等于是索然無味的簡單灌輸，但定義過遲，學生容易失去興趣，同時使已有知識呈現零亂狀態。因此，教師在教學過程中，要及時整理和總結，在學生情緒高漲的時候及時總結出定義。
（3）注意概念的多角度說明
因為教師提供的感性材料往往具有片面性，所以常造成學生錯誤地擴大或縮小概念。因此要從多角度各方面加以補充說明。如“垂線”這個概念，不但要用“”號來表示，而且要用多種特殊圖形和實物來透視概念的含義。
二、注重刻劃概念的本質，對概念進行分析。
一個概念在其形成過程中，往往附帶著許多無關特征。因此教師應抓住重點，善于引導學生，這樣學生便能把握著概念突現出來的實質，盡量減少乃至消除相關不利因素的干擾。
（1）講清概念的意義
例如：“不等式的解集”這一概念，抓住“集”這一特征進行分析，即不等式所有解的集合。更通俗地說，就是把不等式所有的解集合在一起（象學生排隊集合一樣），組成了不等式的解集，最終表示成x>a等形式。只有理解了這個定義，學生在解決問題的時候，就不會有丟解的現象。
（2）抓住概念中的關鍵字眼作分析。
例如：“同類項就是含有相同的字母，并且相同字母的指數也相同的項。”這個概念中，抓住“相同”這一關鍵字作分析，相同的是什么？是字母和它的指數
兩部分;“最簡分式”的概念中，抓住“不含公因式”這一關鍵字眼。只有學生真正理解了概念，那么在解決問題的時候，才能得心應手，不會出現錯誤。
(3)抓住概念間的內在聯系作比較。
對于有內在聯系的概念，要作好比較，加深學生對概念本質的理解。例如：“一元一次方程”的概念，是建立在“元”、“次”、“方程”這三個概念基礎之上的。“元”表示未知數，“次”表示未知數的最高次數，次數是就整式而言的，所以“一元一次方程”是最簡單的整式方程。這樣學生便于抓住“一元一次方程”的本質，并為以后學習其它方程的概念打下基礎。
再如：“乘方”與“冪”之間的關系，“直角”與“90°”之間的關系，“方程的解”與“不等式的解”之間的關系，“最簡分式”與“最簡根式”之間的關系等等。做好有內在聯系的概念、相似概念的比較，學生應用起來才會得心應手。
三、注重實際應用概念，對概念進行升華。
學習數學概念的目的，就是用于實踐。因此要讓學生通過實際操作去掌握概念，升華概念。概念的獲得是由個別到一般，概念的應用則是從一般到個別。學生掌握概念不是靜止的，而是主動在頭腦中進行積極思維的過程，它不僅能使已有知識再一次形象化具體化，而且能使學生對概念的理解更全面、更深刻。
（1）多角度考察分析概念。
例如，對一次函數概念的掌握，可通過下列練習：
①如果Y=（m+3）X-5是關于X的一次函數，則m=______.
②如果Y=（m+3）X-5是關于X的一次函數，則m=______.
③如果Y=（m+3）X+4X-5是關于X的一次函數，則m=______.
④如果Y=是關于X的一次函數，則m=______.
學生通過以上訓練，對一次函數的概念及解析式一定會理解。
（2）對于容易混淆的概念，做比較訓練。
例如學生學習了矩形、菱形、正方形的概念以后，可做以下練習：
下列命題正確的是：
①四條邊相等，并且四個角也相等的四邊形是正方形。
②四個角相等，并且對角線互相垂直的四邊形是正方形。
③對角線互相垂直平分的四邊形是正方形。
④對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形。
⑤對角線互相垂直平分，且相等的四邊形是正方形。
⑥對角線互相垂直，且相等的平行四邊形是正方形。
⑦有一個角是直角，且一組鄰邊相等的四邊形是正方形。
⑧有三個角是直角，且一組鄰邊相等的四邊形是正方形。
⑨有一個角是直角，且一組鄰邊相等的平行四邊形是正方形。
⑩有一個角是直角的菱形是正方形。
教師在設計練習的時候，對相似概念一定要抓住它們的聯系和區別，通過練習使學生真正掌握它們的判定方法和相互關系。
（3）對個別概念，要從產生的根源去考察：
例如“分式方程的增根”的概念。可從產生的根源去考察，教學時設計下列練習，讓學生體會增根的概念：
①分式方程的根是。
②如果分式方程有增根，則增根一定是。
一、概率與方程
例1 有四張正面分別標有數字-3，0，1，5的不透明卡片，它們除數字不同外其余全部相同．現將它們背面朝上，洗勻后從中任取一張，將該卡片上的數學記為a，則使關于x的分式方程1-axx-2+2=0有正整數解的概率為.
分析：本題是等可能條件下的概率和解方程的綜合題.解題思路是將分式方程轉化為整式方程，在此過程中有可能會產生增根，注意剔除增根，然后運用列舉法求出使分式方程有正整數解的概率.
二、概率與不等式
例2 有3張撲克牌，分是紅桃3、紅桃4和黑桃5．把牌洗勻后甲先抽取一張，記下花色和數字后將牌放回，洗勻后乙再抽取一張．
（1）先后兩次抽得的數字分別記為s和t，求|s-t|≥1的概率．
（2）甲、乙兩人做游戲，現有兩種方案．A方案：若兩次抽得相同花色則甲勝，否則乙勝．B方案：若兩次抽得數字的和為奇數則甲勝，否則乙勝．請問甲選擇哪種方案勝率更高？
分析：本題將求概率與不等式知識掛鉤，可用列表或畫樹狀圖法計算概率，解決問題的關鍵在于既不重復也不遺漏地列出或畫出所有可能的結果.（1）通過畫樹狀圖（如圖1）可知，共有9種可能結果.而滿足不等式|s-t|≥1的結果有6種，故P=69=23.（2）由樹狀圖知，A方案：P（甲勝）=59；B方案：P（甲勝）=49.所以選擇A方案甲的勝率更高.
三、概率與函數解析式
例3 有3張不透明的卡片，除正面寫有不同的數字外，其他均相同三張卡片正面的數字分別為-1，-2，3．將這三張卡片背面朝上洗勻后，第一次從中隨機抽取一張，并把這張卡片標有的數字記作一次函數表達式中的k，第二次從余下的兩張卡片中再隨機抽取一張，上面標有的數字記作一次函數表達式中的b．
（1）寫出k為負數的概率.
（2）求一次函數y=kx+b的圖象經過第二、三、四象限的概率．
分析：該題將一次函數的知識與求概率有機結合，它可通過表格或樹狀圖清楚地表示出問題所有的可能性，從而使問題順利解決.
四、概率與代數式的值
例4 小沈準備給小陳打電話，由于保管不善，電話本上的小陳的手機號碼中，有兩個數字已模糊不清．如果用x、y表示這兩個看不清的數字，那么小陳的手機號碼為139x370y580（手機號碼由11個數字組成），小沈記得這11個數字之和是20的整數倍．
（1）求x+y的值.
（2）求小沈一次撥對小陳手機號碼的概率．
分析：本題取材于生活實際，具有現實性和趣味性.準確求出代數式x+y的值是解決（2）的關鍵.
五、概率與幾何圖形
例5 四條線段a，b，c，d，如圖2.a∶b∶c∶d=1∶2∶3∶4.
（1）選擇其中的三條線段為邊作一個三角形（尺規作圖，要求保留作圖痕跡，不必寫出作法）.
一、列分式方程解應用題的步驟
用分式方程解決實際問題的方法與用一元一次方程解決實際問題的方法基本相同。簡單的可分為：設、找、列、解、檢、答六大步驟。具體是：
（1）設：弄清題意中的數量關系，用字母（如x）表示題目中的一個合理未知數；
（2）找：根據題意找到能夠表示題目全部含義的一個等量關系；
（3）列：根據這個等量關系，正確列出方程。并且所列的方程應滿足等號兩邊的量要相等，方程兩邊的代數式的單位要相同；
（4）解：解這個分式方程，求出未知數的值；
（5）檢：檢驗。檢驗應是：檢驗所求出的解既能使方程成立，又能符合實際意義；
（6）答：寫出答案（包括單位名稱）。
這六個步驟的難點是“找”，關鍵是“列”。
二、列方程解應用題中尋找相等關系常用的方法
（1）根據日常事理來確定相等關系
例如：小華買2枝圓珠筆和4本練習本，用去1.96元。每本練習本0.24元，每枝圓珠筆多少元？
相等關系為：買2枝圓珠筆的錢＋買4本練習本的錢＝總金額。
（2）根據常見的數量關系確定相等關系
例如：北京到天津的鐵路長137千米，一列火車從北京出發，平均每小時行68.5千米，多少小時到達天津？
相等關系為：速度×時間=路程
（3）利用題目中的關鍵語句來找相等關系。
例如：某班原分成兩個興趣小組，第一組31人，第二組20人，現根據場地大小，要將第一組的人數調整為第二組人數的2倍，問應從第二組調多少人去第一組?
“第一組的人數調整為第二組人數的2倍”是本題的關鍵語句，根據關鍵句可列相等關系為：調整后第一組的人數＝2×調整后第二組的人數。
（4）利用題目中不變的量來找相等關系。
例如：輪船在兩個碼頭之間航行，順水航行需要4小時，逆水航行需要5小時，水流的速度是2km/h。求輪船在靜水中航行的速度。
兩個碼頭之間的距離是不變的量，則相等關系為：順水航行速度×順水航行時間＝逆水航行速度×逆水航行時間。
（5）利用有關數學計算公式來找相等關系。
例如：一個三角形的面積是28.26平方厘米，已知底是18厘米，求高。
相等關系為：三角形面積=
三、中考熱點問題案例分析
例1（2010江蘇徐州）在5月舉行的“愛心捐款”活動中，某校九（1）班共捐款300元，九（2）班共捐款225元，已知九（1）班的人均捐款額是九（2）班的1.2倍，且九（1）班人數比九（2）班多5人．問兩班各有多少人?
[分析]若以“九（1）班的人均捐款額是九（2）班的1.2倍”建立等量關系，則關系為：九（1）班的人均捐款=1.2×九（1）班的人均捐款。如果設九（2）班有x人，則九（1）班有（x+5）人；若以“九（1）班人數比九（2）班多5人”建立等量關系，則關系為：九（1）班人數=九（2）班人數+5。如果設九（2）班的人均捐款為x元，則九（1）班的人均捐款為1.2x元。
解法一：設九（2）班有x人，則九（1）班有（x+5）人。根據題意，得
解得：x=45
經檢驗：x=45是原方程的根
x+5=50
答：九（1）班有50人，則九（2）班有45人。
解法二：設九（2）班的人均捐款為x元，九（1）班的人均捐款為1.2x元。根據題意，得
解得：x=5
經檢驗：x=5是原方程的根
，45+5=50
答：九（1）班有50人，則九（2）班有45人。
例2某商店經銷一種泰山旅游紀念品，4月營業額為2000元，為擴大銷售量，5月份該商店對該紀念品打9折銷售，結果銷售量增加20件，營業額增加700元。
（1）求該種紀念品4月份的銷售價格；
（2）若4月銷售這種紀念品獲利800元，5月銷售這種紀念品獲利多少元?
[分析]以“銷售量增加20件”建立等量關系為：5月份銷售量=5月份銷售量-20。其中，5月的營業額為（2000+700）元。設該種紀念品4月份的銷售價為x元，則5月份的銷售價為0.9x元。
解：（1）設該種紀念品4月份的銷售價為x元。根據題意，得
解得：x=50
經檢驗：x=50是原方程的根
答：該種紀念品4月份的銷售價格是50元。
（2）由（1）知4月份銷售件數為 =40件，所以四月
份每件盈利 =20元。5月份銷售件數為40+20=60件，
且每件售價為50×0.9=45，每件比4月份少盈利5元，為15元，所以5月份銷售這種紀念品獲利60×15=900元。
答：5月份銷售這種紀念品獲利900元。
例3為迎接揚州煙花三月經貿旅游節，某學校計劃由七年級（1）班的3個小組（每個小組人數都相等）制作240面彩旗。后因一個小組另有任務，改由另外兩個小組完成制作彩旗的任務，這樣這兩個小組的每一名學生就要比原計劃多做4面彩旗。如果每名學生制作彩旗的面數相等，那么每個小組有多少學生？
[分析]以“每一名學生就要比原計劃多做4面彩旗”建立等量關系為：每名學生計劃工作量－每名學生實際工作量=4。設每個小組有x名學生，則原來共有3x名學生，現在共有2x名學生。
解：設每個小組有x名學生。根據題意，得
解得：x=10
經檢驗：x=10是原方程的根
答：每個小組有10名學生。
例4去年入秋以來，云南省發生了百年一遇的旱災，連續8個多月無有效降水，為抗旱救災，某部隊計劃為駐地村民新修水渠3600米，為了水渠能盡快投入使用，實際工作效率是原計劃工作效率的1.8倍，結果提前20天完成修水渠任務。問原計劃每天修水渠多少米？
[分析]若以“提前20天完成修水渠任務”建立等量關系，則關系為：計劃修水渠天數=實際修水渠天數+20。設原計劃每天修水渠x米，則實際每天修水渠1.8x米；若以“實際工作效率是原計劃工作效率的1.8倍”建立等量關系，則關系為：實際每天修水渠長度=1.8×計劃每天修水渠長度。設計劃用x天完成修水渠任務，則實際用了（x-20）天完成修水渠任務。
解法一：設原計劃每天修水渠x米。根據題意，得
解得：x=80
經檢驗：x=80是原方程的根
答：原計劃每天修水渠80米。
解法二：計劃用x天完成修水渠任務。
解得：x=45
經檢驗：x=45是原方程的根
答：原計劃每天修水渠80米。
例5（2010江蘇淮安）玉樹地震后，有一段公路急需搶修，此項工程原計劃由甲工程隊獨立完成，需要20天．在甲工程隊施工4天后，為了加快工程進度，又調來乙工程隊與甲工程隊共同施工，結果比原計劃提前10天，求乙工程隊獨立完成這項工程需要多少天。
[分析]本題中沒有可用的關鍵句來建等量關系，但是卻有一個固有的關系，就是：甲工程隊4天的工作量+甲、乙工程隊合作6（20-10-4=6）天的工作量=工作總量，其中工作總量為1。
解：設乙工程隊獨立完成這項工程需要x天。根據題意，得
解得：x=12
經檢驗：x=12是原方程的根
答：乙工程隊獨立完成這項工程需12天。
例6（2010山東淄博）小明7：20離開家步行去上學，走到距離家500米的商店時，買學習用品用了5分鐘，從商店出來，小明發現要按原來的速度還要用30分鐘才能到校．為了在8：00之前趕到學校，小明加快了速度，每分鐘平均比原來多走25米，最后他到校的時間是7：55．求小明從商店到學校的平均速度。
[分析]本題不能用“每分鐘平均比原來多走25米”這個關鍵句建立等量關系，而是用固有關系：商店到學校路程÷實際速度=實際用時。設小明原來的平均速度為x米/分，則從商店到學校的路程為30x米，實際平均速度
為（x+25）米/分，前500米用時為 分，實際
時間為（55－20－5－ ）分。
解：設小明原來的平均速度為x米/分。根據題意，得
解得：x＝50
經檢驗：x＝50是原方程的根
50＋25＝75
答：小明從商店到學校的平均速度為75米/分．
例7（2010四川綿陽）在5月汛期，重慶某沿江村莊因洪水而淪為弧島．當時洪水流速為10千米/時，張師傅奉命用沖鋒舟去救援，他發現沿洪水順流以最大速度航行2千米所用時間，與以最大速度逆流航行1.2千米所用時間相等。則該沖鋒舟在靜水中的最大航速是多少？
[分析]本題以“時間相等”建立等量關系，關系為：順流航行時間=逆流航行時間。設沖鋒舟在靜水中的最大航速為x千米/時，則沖鋒舟順流最大航速為（x＋10）千米/時，逆流最大航速為（x－10）千米/時。
解：設該沖鋒舟在靜水中的最大航速為x千米/時。根據題意，得
解得：x＝40
經檢驗：x＝40是原方程的根
答：該沖鋒舟在靜水中的最大航速為40千米/時。
