時間：2023-05-30 10:44:22
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇周期函數，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
關鍵詞： 周期函數 題解 應用 周期性
設f（x）是定義在某一數集D上的函數，若存在一常數T（T≠0），具有性質：（1）?坌x∈D，有x±T∈D;（2）?坌x∈D，有f（x±T）=f（x）.那么稱T為f（x）的一個周期.如果所有正周期中有一個最小的，稱它為函數f（x）的最小正周期.
一、求函數的周期
引理1：若周期函數f（x）有最小正周期T，則kf（x）+c（k≠0），1/f（x）也有最小正周期T；函數f（ax+b）（a≠0）有最小正周期T/|a|.
例1.求y=tgx+ctg2x的最小正周期
分析：將函數解析式化為只含有一個三角函數式的形式，再求最小正周期.
解：y=tgx+ctg2x=sinx/cosx+cos2x/sin2x=cos（x-2x）/cosxsin2x=1/sin2x
函數y=sinx的最小正周期為2π
函數y=sin2x的最小正周期為π
函數y=1/sin2x的最小正周期為π
故函數y=tgx+ctg2x的最小正周期為π
由例1可知解這類問題的一般方法是將解析式化為只含有一個三角函數的形式，通過三角函數的周期，求所給函數的周期.
二、求函數的定義域
引理2：若f（x）有最小正周期T，則f（x）的任何正周期T一定是T的整數倍.
例2.求函數y=1/（1+tgx）的定義域
分析：分式有意義的條件是分母不為零，還要注意正切函數本身要有意義.
解：要使函數y=1/（1+tgx）有意義，則1+tgx≠0且x≠kπ+π/2（k∈Z）
要使1+tgx≠0即tgx≠-1，
又函數y=tgx的周期是π
在（-π/2，π/2）內，x≠π/4
x≠kπ+π/4（K∈Z）
故函數y=1/（1+tgx）的定義域為{x|x∈R，且x≠kπ+π/4，x≠kπ+π/2，k∈Z}.
因為周期函數在定義域內形態呈周期變化，所以研究這種函數時，不必分析其整個定義域內的情況，而只需在一個定義域內討論特解.
引理3：如果f（x）是g（x）定義在同一個集合M上的周期函數，周期分別為T和T，且T/T=a，而a是有理數，則它們的和、差、積也是周期函數，且T和T的公倍數為其一個周期.
三、求函數的極值
例3.求函數y=1+sinx+cosx+sinxcosx的最大值
解：設函數y=sinx+cosx，y=sinxcosx
y=sinx+cosx=cos（x-π/4）
y的周期是T=2π
當x=2kπ+π/4（k∈Z）時，y有最大值
有y=sinxcosx=sin2x/2，y的周期T=π
當x=kπ（k∈Z）時，y有最大值1/2
又T與T的公倍數為2π
由上述定理可知，2π是函數y=1+y+y的一個周期，而在［0，2π］內，y、y都只有一個最大值點x=π/4
當x=2kπ+π/4（k∈Z）時，y=1+y+y=（3+2）/2
四、解方程
例4.解方程tg10x+tg2x=0
解:設y=tg10x，y=tg2x，則他們的最小正周期分別為T=π/10、T=π/2
由上述引理可知，它們的最小公倍數π/2就是函數y=tg10x+tg2x的一個周期.在［0，π/2］內，方程無意義的點的集合是M={π/20，3π/20，π/4，7π/20，9π/20}
將方程改寫為tg10x=tg（-2x）
10x=k-2x，即x=kπ/12（k∈Z）
當k取0，1，2，3，4，5，6時，x在［0，π/2］上的值分別為0，π/12，π/6，π/4，π/3，5π/12，π/2，但π/4∈M，故不能是方程的根.
原方程的根是x=nπ/2+kπ（0≤k≤6，k≠3，k∈Z，n∈Z）
五、解不等式
例5.解不等式cos3x+2cosx≤0
解：cos3x+2cosx=2cos2xcosx+cosx=cosx（2cos2x+1）≤0
由cosx=0，得x=kπ+π/2（k∈Z）
由（2cos2x+1）=0得x=kπ±π/3（k∈Z）
又y=cosx的周期T=2π，y=2cos2x+1的周期T=π，它們的最小公倍數2π，故在［0，2π］上，cosx=0的根為π/2，3π/2；（2cos2x+1）=0的根為π/3，，2π/3，4π/3，5π/3，所以cos3x+2cosx=0在［0，2π］有6個根，它們分別為π/2，3π/2，π/3，2π/3，4π/3，5π/3故不等式的解集為：
M={x|2kπ+π/3≤x≤2kπ+π/2}∪{x|2kπ+2π/3≤x≤2kπ+4π/3}∪{x|2kπ+3π/2≤x≤2kπ+5π/3}（k∈Z）
從以上幾類可以知道，從三角形的周期性解決數學問題，借助三角形周期性這一特殊性質可以解決相關數學問題并且使之簡單化，所以當我們利用三角形函數周期性解決這些問題時，前提是必須理解和掌握三角形的周期性.
參考文獻：
［1］姚偉國.用圖像法巧求三角函數的周期［J］.職業技術教育，1999，（04）.
關鍵詞：函數周期性；設計；說明
1.教學目標
（1）知識目標。理解周期函數的概念，會判斷一些簡單的周期函數的圖象；并會用定義法、圖象法及先求后驗法求三角函數的周期。
（2）能力目標。①培養學生從特殊到一般的歸納猜想的能力；②培養學生的看圖識圖能力。
（3）情感目標。①培養學生專注的學習態度，提高觀察、抽象能力；②激勵學生敢于嘗試，獨立思考，勇于探索創新，提高學生的數學素養。
2.教學重點
周期函數的定義和三角函數的周期性。
3.教學難點
周期函數的概念是本節的難點，通過實例分析來認識周期和周期函數。
4.方法與手段
采用“引導發現法”：結合一些具體事例，引導學生發現周期性的特征，概括周期函數的概念；學習周期函數定義后，引導學生認真觀察和識別周期函數的圖象特征；通過實例分析引導學生逐步發現其規律，進而抽象歸納出三角函數周期公式。
5.教學過程
（1）創設情境，引入新課。周期函數是描述現實世界“周而復始”與“因果關系” 的一種數學模型。
（2）嘗試定義，鞏固深化。問1：三角函數線的定義。若記f（x）=sinx，則對于任意x∈R，都有f（x+2kπ）=f（x）。總結：正弦函數、余弦函數所具有的這種性質稱為周期性。問2：請同學們給周期函數下個定義。
（3）周期函數的定義。①鞏固概念。x=―時，sin（x+―π）≠sinx， 則x=― 一定不是y=sinx的周期。②深化概念。問題：單位圓中三角函數線說明2π是f（x）=sinx（x∈R）周期，周期唯一嗎？sin（x+2kπ）=sinx， （k∈Z）。③知識遷移，學以致用。例：見課本上的鐘擺例題。問：是否每個周期函數都有最小正周期？④猜想與探究。引例： 求函數的周期。變題1： f（x）=cos（x+
―）+2。變題2：f（x）=cos（2x）。變題3：自變類題。變題4： f（x）= |cosx|。變題5： f（x）=|cosx|+|sinx|。⑤課堂小結。A.兩個定義：周期函數、最小正周期。B.四個方法： 定義法、公式法、圖象法 及先求后證法求周期。C.三個思想：數形結合、特殊到一般、先猜后證。
6.教學設計說明
（1）指導思想。遵循“教師為主導，學生為主體，訓練為主線，培養能力為核心”的原則設計本節課，教學中強調以學生為主，以學生探索和實踐為主要形式，鼓勵學生積極參與。
（2）教材分析。函數周期性是函數不可或缺的部分，首先，函數的周期性有著較為廣泛的實際應用，較能體現“數學來源于實際，又服務于實際”的辯證唯物主義觀點；其次，函數的周期性是函數的重要性質之一，很多知識都與周期性有著密切的聯系，可以強化數學知識的內在溝通與聯系，可以培養學生綜合運用知識解決問題的能力。
（3）學習目標的確定。本節課的教學目標是根據教學大綱的要求，結合學生的實際情況，從知識教學、能力培養、情感教育三方面來確定的，力求提高學生能力，促進思維的發展。
（4）教學方法。為了調動學生學習的積極性，變被動學習為主動學習，我采用了“引導發現法”，通過一些具體事例，通過“觀察―分析―抽象―歸納”的思維途徑，鍛煉和發展學生思維。
（5）過程分析。著重講三方面：首先，重點突破周期函數的概念。第一步，我通過引入情境1讓學生了解周期性，通過引入情境2，引導學生探究數學問題，利用幾何動畫使學生發現三角函數線呈周期變化，激發學生強烈的好奇心，讓學生進入一種積極狀態。第二步，是通過辨析情境1與情境2分別從數和形兩個角度來舉例，讓學生對定義的關鍵詞如“任意”“存在”等加以理解，以及通過圖象求周期、周期個數、最小正周期；通過分析，讓學生加深對定義的理解和把握。
參考文獻：
1.f(x)=f(x+T)型
若f（x+a）=f(x+T)，則f(x)的周期為T。若對于x取定義域內的任意一個值，都有f(x)=f(x+T)，則f(x)是周期函數，T為函數f(x)的周期。這是函數具有周期性的定義。
2.f(x+a)=－f(x)型
若f（x+a）=-f（x），則f(x)為周期函數，且周期為2a。證明：f(x+2a)=f［(x+a)+a］=－f(x+a)=－［－f(x)］=f(x)。
3.f(x+a)=f(x+b)型
若f（x+a）=f（x+b），則f(x)為周期函數，且周期為|b－a|。證明：f(x)=f［(x－a)+a］=f［(x－a)+b］=f［x+(b－a)］。
4、f(x+a)=－1f(x)型
若f(x+a)=－1f(x)，則 f(x)為周期函數，且周期為2a。證明：f(x+2a)=f［(x+a)+a］=－1f(x+a)
=－1－1f(x)=f(x)。
5.f(x+a)=1f(x)型
若f(x+a)=1f(x)，則f(x)為周期函數，且周期為2a。
證明：f(x+2a)=f［(x+a)+a］=1f(x+a)
=11f(x)=f(x)。
6.f(x+a)=1+f(x)1－f(x)型
若f(x+a)=1+f(x)1－f(x)，則f(x)的周期為4a。
證明：f(x+2a)=f［(x+a)+a］=1+f(x+a)1－f(x+a)
=1+1+f(x)1－f(x)1－1+f(x)1－f(x)=－1f(x)，
f(x+4a)=f［(x+2a)+2a］=－1f(x+2a)
=－1－1f(x)=f(x)。
7.關于兩線對稱型
若函數f(x)關于直線x=a,x=b對稱，則函數f(x)為周期函數，且周期是2|a－b|。
證明：由f(x)關于x=a對稱，則f(2a－x)=f(x),由f(x)關于x=b對稱，則f(2b－x)=f(x),
f(x)=f(2a－x)=f［2b－(2a－x)］=f［(2b－2a)+x］。
8.關于一點一線對稱型
若函數f(x)關于直線x=a及點(b,0)對稱，則函數f(x)為周期函數，且周期是4|a－b|。
證明：由f(x)關于x=a對稱，則f(2a－x)=f(x),由f(x)關于點(b，0）對稱，則f(2b－x)=－f(x),
f(x)=f(2a－x)=－f［2b－(2a－x)］,
即f［(2b－2a)+x］=－f(x)。
由f(x+a)=－f(x)型的證明過程可知，函數f(x)的周期是4|a－b|。
9.關于兩點對稱型
若函數f(x)關于點(a,0)及點(b,0)對稱，則函數f(x)為周期函數，且周期是2|a－b|。
證明：由f(x)關于點(a，0）對稱，
則f(2a－x)=－f(x),
由f(x)關于點(b，0）對稱，
則f(2b－x)=－f(x),
一、函數的對稱性
1.函數滿足時,函數的圖像關于直線對稱。
二、周期性
1.一般的,對于函數f(x),如果存在一個非零常數T,使得當x取定義域內的每一個值時,都有f(x+T)=f(x),那么函數f(x)就叫做周期函數,非零常數T叫做這個函數的周期。
三、對稱性和周期性之間的聯系
1.函數y=f(x)有兩條對稱軸x=a,x=b時,那么該函數必是周期函數,且對稱軸之間距離的兩倍必是函數的一個周期。
(函數y=f(x)滿足f(a+x)=f(a-x),f(b+x)=f(b-x)(a≠b),則函數y=f(x)是周期函數。)
2.函數y=f(x)滿足f(a+x)+f(a-x)=c和f(b+x)+f(b-x)=c(a≠b)時,函數y=f(x)是周期函數。
倍,是函數的一個周期。特別當c=0時,函數在x軸上有兩個對稱點(a,0)、(b,0),此時函數為周期函數)。
四、知識運用
例1.(2009全國Ⅰ)函數f(x)的定義域為R,若f(x+1)與f(x-1)都是奇函數,則(?搖?搖?搖?搖)
(A)f(x)是偶函數?搖(B)f(x)是奇函數?搖(C)f(x)=f(x+2)?搖(D)f(x+3)是奇函數
解:f(x+1)與f(x-1)都是奇函數,f(-x+1)=-f(x+1),f(-x-1)=-f(x-1),
函數f(x)關于點(1,0)及點(-1,0)對稱,函數f(x)是周期T=2[1-(-1)]=4的周期函數,f(-x-1+4)=-f(x-1+4),f(-x+3)=-f(x+3),即f(x+3)是奇函數。故選D。
例2.(2009山東理)已知定義在R上的奇函數f(x),滿足f(x-4)=-f(x),且在區間[0,2]上是增函數,若【解析】:因為定義在R上的奇函數滿足f(x-4)=-f(x),所以f(x-4)=f(-x),所以函數圖像關于直線x=2對稱。又函數f(x)為奇函數,且x=0是定義域內的一個值,因此f(0)=0。又由于f(x)在區間[0,2]上是增函數,因此f(x)在區間[-2,0]上也是增函數。又由于f(x-4)=-f(x)知f(x-8)=f(x),因此函數是以8答案為-8。
1. 函數的奇偶性
(1)若f(x)是偶函數，那么f(x)=f(-x) ;
(2)若f(x)是奇函數，0在其定義域內，則 f(0)=0(可用于求參數);
(3)判斷函數奇偶性可用定義的等價形式：f(x)±f(-x)=0或 (f(x)≠0);
(4)若所給函數的解析式較為復雜，應先化簡，再判斷其奇偶性;
(5)奇函數在對稱的單調區間內有相同的單調性;偶函數在對稱的單調區間內有相反的單調性;
2. 復合函數的有關問題
(1)復合函數定義域求法：若已知 的定義域為[a，b],其復合函數f[g(x)]的定義域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定義域為[a,b],求 f(x)的定義域，相當于x∈[a,b]時，求g(x)的值域(即 f(x)的定義域);研究函數的問題一定要注意定義域優先的原則。
(2)復合函數的單調性由“同增異減”判定;
3.函數圖像(或方程曲線的對稱性)
(1)證明函數圖像的對稱性，即證明圖像上任意點關于對稱中心(對稱軸)的對稱點仍在圖像上;
(2)證明圖像C1與C2的對稱性，即證明C1上任意點關于對稱中心(對稱軸)的對稱點仍在C2上，反之亦然;
(3)曲線C1：f(x,y)=0,關于y=x+a(y=-x+a)的對稱曲線C2的方程為f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);
(4)曲線C1:f(x,y)=0關于點(a,b)的對稱曲線C2方程為：f(2a-x,2b-y)=0;
(5)若函數y=f(x)對x∈R時，f(a+x)=f(a-x)恒成立，則y=f(x)圖像關于直線x=a對稱;
(6)函數y=f(x-a)與y=f(b-x)的圖像關于直線x= 對稱;
4.函數的周期性
(1)y=f(x)對x∈R時，f(x +a)=f(x-a) 或f(x-2a )=f(x) (a0)恒成立,則y=f(x)是周期為2a的周期函數;
(2)若y=f(x)是偶函數，其圖像又關于直線x=a對稱，則f(x)是周期為2︱a︱的周期函數;
(3)若y=f(x)奇函數，其圖像又關于直線x=a對稱，則f(x)是周期為4︱a︱的周期函數;
(4)若y=f(x)關于點(a,0),(b,0)對稱，則f(x)是周期為2 的周期函數;
(5)y=f(x)的圖象關于直線x=a,x=b(a≠b)對稱，則函數y=f(x)是周期為2 的周期函數;
(6)y=f(x)對x∈R時，f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)= ，則y=f(x)是周期為2 的周期函數;
5.
方程k=f(x)有解 k∈D(D為f(x)的值域);
6.
a≥f(x) 恒成立 a≥[f(x)]max,; a≤f(x) 恒成立 a≤[f(x)]min;
7.
(1) (a0,a≠1,b0,n∈R+);
(2) l og a N= ( a0,a≠1,b0,b≠1);
(3) l og a b的符號由口訣“同正異負”記憶;
(4) a log a N= N ( a0,a≠1,N
8. 判斷對應是否為映射時，抓住兩點：
(1)A中元素必須都有象且唯一;
(2)B中元素不一定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象;
9. 能熟練地用定義證明函數的單調性，求反函數，判斷函數的奇偶性。
10.對于反函數，應掌握以下一些結論：
(1)定義域上的單調函數必有反函數;
(2)奇函數的反函數也是奇函數;
(3)定義域為非單元素集的偶函數不存在反函數;
(4)周期函數不存在反函數;
(5)互為反函數的兩個函數具有相同的單調性;
(5) y=f(x)與y=f-1(x)互為反函數，設f(x)的定義域為A，值域為B，則有f[f--1(x)]=x(x∈B),f--1[f(x)]=x(x∈A).
11.處理二次函數的問題勿忘數形結合;二次函數在閉區間上必有最值，求最值問題用“兩看法”：一看開口方向;二看對稱軸與所給區間的相對位置關系;
關鍵詞：數學教學 中學生 發展思維 探索
中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1003-9082（2016）02-0100-02
函數是中學數學的重點內容，而抽象函數因其解析式的不具體而成為函數內容的難點之一，但因其又能很好地考查學生對函數概念的理解與抽象思維能力，因而在進幾年的高考和各類競賽中經常出現抽象函數方面的題目，本文就抽象函數的周期存在條件作一點探討，從而得出一種簡捷的求抽象函數周期的方法，以期能在這方面給大家一點啟示。
定義：對于函數f（x），如果存在非零常數T，使得當x取定義域內的每一值時，都有f（x+T）=f（x）成立，那么函數f（x）是周期函數，并且周期為T。
定理1.對于函數f（x），如果存在一個非零的常數a，使得當x取定義域內的每一值時，都有下列條件之一成立時，那么f（x）是周期函數，并且周期為2a，即：
條件1：f（x+a）= -f（x）
條件2：f（x+a）=f（x-a）
條件3：f（a+x）=f（a-x）且f（x）是偶函數
條件4：f（a+x）=
證明：①由條件1及已知，對函數f（x）定義域內的任意x都有f（x+a）= -f（x）
所以f[（x+a）+a]= -f（x+a） =f（x） 即f（x+2a）=f（x）
所以函數f（x）的一個周期為2a
②由條件2 及已知，對函數f（x）定上域內的任意x都有f（x+a）=f（x-a）
所以f[（x+a）+a]=f[（x+a）-a]=f（x） 即f（x+2a）=f（x）
所以函數f（x）的一個周期為2a
③由條件3及已知，對函數f（x）定義域內的任意x都有f（a+x）=f（a-x），且f（x）是偶數
所以f[a+（x+a）]=f[a-（x+a）]=f（-x）=f（x）
即f（x+2a）=f（x） 所以函數f（x）的一個周期為2a
④由4可知，對f（x）定義域內的任意x都有f（a+x）=
所以f（x+2a）=f[（a+x）+a]= =f （x）
即f（x+2a）=f（x） 所以函數f（x）的一個周期為2a
定理2.對于函數f（x），若存在一個非零常數a，使得當x取定義域內的每一值時都有下列條件之一成立時，函數f（x）是周期函數，并且周期為4a。即：
條件5：f（x+a）= -f（x-a）
條件6：f（a+x）= -f（a-x）且f（x）為偶函數
證明：⑤由條件5及已知
因為f（x+a）= -f（x-a）
所以f（x+2a）=f[（x+a）+a]= -f[（x+a）-a]= -f（x）
所以f（x+4a）=f[（x+2a）+2a]= -f[（x+2a）= f（x）
所以函數f（x）的一個周期為4a
⑥由條件6及已知
因為f（a+x）= -f（a-x）且f（x）為偶函數
所以f（2a+x）=f[a+（a+x）]= - f[a-（a+x）]= -f（-x）= -f（x）
所以f（4a+x）=f[2a+（2a+x）]= - f（2a+x）= f（x）
所以函數f（x）的一個周期為4a
推論1.對于函數f（x），若存在兩個非零常數a，b（a≠b）使得當x取定義域內的每一個值時，都有下列條件之一成立時，那么函數f（x）是以2（a-b）為周期的函數，即：
條件7：f（a+x）=f（a-x）且f（b+x）=f（b-x）
條件8：f（a+x）= -f（a-x）且f（b+x）= -f（b-x）
簡證：⑦由條件7及已知
f[x+（a-b）]=f[a+（x-b）]=f[a-（x-b）]=f[b+（a-x）]=f[b-（a-x）]=f[x-（a-b）]
由定理1的條件2知，f（x）是以2（a-b）為周期的函數
⑧由條件8及已知
f[x+（a-b）=f[a+（x-b）]= -f[a-（x-b）]= -f[b+（a-x）=f[b-（a-x）]=f[x-（a-b）]
由定理1條件2知，f（x）是以2（a-b）為周期的函數
推論2對于函數f（x），若存在兩個非零常數a，b（b≠a）使得當x取定義域內的每一值時，都有下列條件之一成立時，則f（x）是以4（a-b）為周期的函數，即：
條件9.f（a+x）=f（a-x）且f（b+x）= -f（b-x）
條件10.f（x+a）=f（x-a）且f（x+b）= -f（x-b）
間證：⑨由條件9及已知
f[x+（a-b）]=f[a+（x-b）=f[a-（x-b）]=f[b-（x-a）] Cf[b+（x-a）]= -f[x-（a-b）]
由定理2條件5知，f（x）是以4（a-b）為周期的函數
⑩由條件10及已知
f[x+（a-b）]=f[（x+a）-b]= -f[（x+a）+b]= -f[（x+b）-a]= -f[（x+b）-a]= -f[x-（a-b）]
由定理2條件5知，f（x）是以4（a-b）為周期的函數。
例1.設f（x）是R上的奇函數，且f（x+3）= -f（x）求f（2016）
解：由定理1的條件1知函數f（x）的周期
為T=2×3=6 所以有f（6k+x）=f（x） （k為非零整數）
又f（x）為R上的奇函數 所以f（0）=0
所以f（2016）=f（6×336）=f（0）=0
例2.設f（x）是實數集R為定義域的函數且滿足：
f（x+10）=f（10-x） f（20-x）=-f（20+x）
則f（x）是（ ） （1992年全國高考中聯賽題）
A.偶函數又是周期函數 B.偶函數不是周期函數
C.奇函數又是周期函數 D.奇函數不是周期函數
解：由推論2條件9可知，函數f（x）的周期為
T=4×（20-10）=40
又f（20-x）=-f（20+x）
所以f（-x）=f[20-（x+20）]=-f[20+（x+20）]=-f（40+x）=-f（x）
即：f（-x）=-f（x），所以函數f（x）是奇函數 故選（C）
例3：設f（x）是定義在R上的偶函數，其圖像關于直線x=1對稱，對任意x1、x2：∈[0， ]都有f（x1+ x2）=f（x1）?f（x2）且f（1）=a>0
（1）、求f（ ）及f（ ）
（2）、證明f（x）是周期函數（2001年全國高考題）
解（1）（略）
（2）依題設y=f（x）關于直線x=1對稱
由定義的條件3可知：f（1+x）=f（1-x）
用x-1代x得：f（x）=f[1-（x-1）]
故 f（x）=f（1+1-x） 即f（x）=f（2-x）， x∈R
由f（x）是偶函數知f（-x）= f（x） x∈R
f（-x）=f（2-x） x∈R
關鍵詞：起點；理解；遷移；文思；原形
中圖分類號：G427文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2014）18-092-1蘇教版高中數學教材中，函數的周期性這一概念出現在必修四《三角函數》中，《江蘇省普通高中課程標準教學要求》指出：了解三角函數的周期性，知道三角函數y=Asin（ωx+φ），y=Acos（ωx+φ）的周期為T=2π|ω|。關于三角函數的教學，應注意要根據學生的生活經驗，創設豐富的情境，使學生體會三角函數模型的意義。面對各地模擬試卷中經常出現難度較大的關于函數周期性的試題，學生解決起來頗有困難。因此，高三的數學概念復習中一定要把握文思，超越原形。把握文思就是要立足起點，加強理解，超越原形就是要巧妙遷移，拓展延伸，使學生的能力得到提升。
一、立足起點，加強理解――把握文思
結合新授課的教學與課前的預習，學生會對函數周期性有如下理解：
感知層面：①對于值域中的每一個函數值總會不斷重復出現；②函數值重復出現的“跨度”就是函數的周期；③函數的周期可能不止一個。
理解層面：①對定義域中只需存在一個值x不滿足f（x+T）=f（x），就不能說f（x）是周期函數；②周期性是函數的一個整體性質；③周期函數的周期不止一個，若T是周期，則kT（k∈Z，k≠0）一定也是周期，周期中最小的正數稱為最小正周期；④并不是所有的周期函數都有最小正周期。
在教學過程中，教師要抓住概念表述中的文思“函數值等距離重復出現”，進行剖析：函數值重復出現能否用另一種形式表達，把學生的理解進一步引向深入。
加強理解①（以相反數的形式重復出現）：一般地，對于函數f（x），如果存在一個不為零的常數T，使得定義域內的每一個x值，都滿足f（x+T）=-f（x），則f（x+2T）=f[（x+T）+T]=-f（x+T）=f（x），函數f（x）為周期函數。
加強理解②（以倒數的形式重復出現）：一般地，對于函數f（x），如果存在一個不為零的常數T，使得定義域內的每一個x值，都滿足f（x+T）=1f（x），則f（x+2T）=f[（x+T）+T]=1f（x+T）=f（x），函數f（x）為周期函數。
當然可以將兩者結合在一起，已是水到渠成的事。
二、巧妙遷移，拓展延伸――超越原形
在高三數學復習的教學實踐中，學生若對周期性的理解止于此的話，那么函數周期性的概念復習才算完成了一半，甚至是一小半！我們必須讓學生思考：函數周期性，在求畫函數圖像、研究函數性質等方面有什么效用？使學生明白：因為每一個周期的圖像特征是一致的，因此只需研究一個特殊周期的圖像和性質即可。這也點明了周期性的本質功能是實現了圖像在不同區間上的轉移。再進一步思考：函數周期性體現出來圖像轉移的方式是“橫向的平移”、圖像的基本形狀不改變。從這一點上來講，對數學概念的理解一定要超越原形
若改變圖像轉移的方式，函數周期性的概念就可以進一步拓展遷移。基于這種理解，筆者與學生研究了如下兩種性質并給出相應的練習：
1.一般地，對于函數f（x），如果存在一個不為零的常數T，使得定義域內的每一個x值，都滿足f（x+T）=f（x）+A，那么函數f（x）可以理解成雙等差周期函數，非零的常數T叫做這個函數的周期。練習（略）。
2.一般地，對于函數f（x），如果存在一個不為零的常數T，使得定義域內的每一個x值，都滿足f（x+T）=Af（x），那么函數f（x）可以理解成橫等差縱等比周期函數，非零的常數T叫做這個函數的周期。練習（略）。
通過兩個新概念的引入，學生會了解到函數圖像的“轉移”不僅可以沿x軸水平的“移”，還可以沿著x軸、y軸同時變化的移：橫向等差移，縱向等差移；橫向等差移，縱向等比移。學生自然就會提問：橫向是否可以等比移呢？在函數周期性概念學習的基礎上，學生的思維一下子打開了，筆者連同學生接著研究下面兩道習題：
3.設函數f（x）=1-|x-1|，x
12f（x-2），x≥2，則方程xf（x）-1=0的根的個數為。
4.定義在[1，+∞）上的函數f（x）滿足①f（2x）=cf（x）（c為正常數）；②當2≤x≤4時f（x）=1-|x-3|。若函數所有的極大值點均落在通一條直線上，則c=。
兩道習題的順利解決促使學生思考對函數周期性定義的理解不應僅僅停留在“函數值周而復始重復出現”這樣簡單的理解水平上，對數學概念的理解應重點在于對其本質的理解、遷移與拓展。
解決抽象函數的問題要求學生基礎知識扎實、抽象思維能力、綜合應用數學能力較高．所以近幾年來高考題中不斷出現，在2009年的全國各地高考試題中，抽象函數遍地開花．但學生在解決這類問題時常常感到束手無策、力不從心．下面通過例題全面探討抽象函數主要考查的內容及其解法．
一、抽象函數的定義域
例1已知函數f(x)的定義域為[1,3]，求出函數g(x)=f(x+a)+f(x-a) （a＞0）的定義域．
解析：由由a＞0 知只有當0＜a＜1時，不等式組才有解，具體為{x|1+a＜x≤3-a；否則不等式組的解集為空集，這說明當且僅當0＜a＜1時，g(x)才能是x的函數，且其定義域為（1+a,3-a]．
點評：1.已知f(x)的定義域為[a,b]，則f[g(x)]的定義域由a≤g(x)≤b，解出x即可得解；
2.已知f[g(x)]的定義域為[a,b]，則f(x)的定義域即是g(x)在x [a,b]上的值域． 二、抽象函數的值域
解決抽象函數的值域問題——由定義域與對應法則決定．
例2若函數y=f(x+1)的值域為[-1，1]求y=(3x+2)的值域．
解析：因為函數y=f(3x+2)中的定義域與對應法則與函數y=f(x+1)的定義域與對應法則 完全相同，故函數y=f(3x+2)的值域也為[-1，1]．
三、抽象函數的奇偶性
例3若y=f(x)是偶函數,y= f(x-1)是奇函數，求 f(2007)=?
解析：因為y=f(x-1)是奇函數,所以y=f(-x-1)=-f(x-1){為什么？}；因為 y=f(x)是偶函數，所以f(-x-1)=f(x+1){為什么？}；因為f(x+1)=-f(x-1), 所以f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=f(x);因為y=f(x-1)是奇函數,所以f(0)=0=f(-1)=f(2007)
四、抽象函數的對稱性
例4已知函數y=f(2x+1)是定義在r上的奇函數，函數y=g(x)的圖像與函數y=f(x)的圖像關于y=x對稱,則g(x)+ g(-x)的值為（ ）
a、 2 b、 0 c、 1 d、不能確定
解析：由y=f(2x+1)求得其反函數為y=[f （x）-1]/2， y=f(2x+1) 是奇函數，
y=[f （x）-1]/2也是奇函數，[f （x）-1]/2+[f （-x）-1]/2=0 f （x）+f （-x）=2，而函數y=g(x)的圖像與函數y=f(x)的圖像關于y=x對稱，g(x)+ g(-x)= f （x）+f （-x）故選a ．
五、抽象函數的周期性
例5、（2009全國卷ⅰ理）函數的定義域為r，若f(x+1)與f(x-1)都是奇函數，則( )
(a) f(x)是偶函數 (b) f(x)是奇函數
(c) f(x)= f(x+2) (d) f(x+3)是奇函數
解: f(x+1)與f(x-1)都是奇函數，，
函數關于(-1,0)點，及點(1,0)對稱，函數是周期為4的周期函數.，所以f(x+3)= f(x-1)，即f(x+3)是奇函數．故選d
關于抽象函數的周期性有如下的幾個定理和性質，由于篇幅問題，推導就省略了．
定理1.若函數y=f (x) 定義域為r，且滿足條件f (x＋a)=f (x－b)，則y=f (x) 是以t=a＋b為周期的周期函數．
關鍵詞：函數形態；作圖；方法步驟
一、函數現代概念
若對集合M的任意元素x，總有集合N確定的元素y與之對應，則稱在集合M上定義一個函數，記為y=f（x）。元素x稱為自變量，元素y稱為因變量。
二、函數的形態
1.單調性
設函數f（x）的定義域為D，區間I包含于D。如果對于區間上任意兩點x1及x2，當x1
2.奇偶性
設f（x）為一個實變量實值函數，若下列的方程對所有實數x都成立：f（x）=-f（-x）則f（x）為奇函數。幾何上，一個奇函數關于原點對稱。
設f（x）為一實變量實值函數，則f（x）為偶函數，若下列的方程對所有實數x都成立：f（x）=f（-x）。幾何上，一個偶函數關于y軸對稱。
3.周期性
設函數f（x）的定義域為D。如果存在一個正數T，使得對于任意x∈D有（x±T）∈D，且f（x+T）=f（x）恒成立，則稱f（x）為周期函數，T稱為f（x）的周期，通常我們說周期函數的周期是指最小正周期。周期函數的定義域D為至少一邊的無界區間，若D為有界的，則該函數不具周期性。并非每個周期函數都有最小正周期，例如狄利克雷（Dirichlet）函數。
4.有界性
設I為函數f（x）的定義域內的某一區間，若存在正數M，使得對一切x∈I，都有f（x）≤M，則稱f（x）為區間I上有界，否則稱f（x）為區間I上無界。
5.連續性
在數學中，連續是函數的一種屬性。直觀圖象上說，連續的函數是連綿不斷的一條線，也就是一筆可以畫完無需間斷的曲線。
不用極限的概念，也可以這樣表達：對任意給定的ε>0，總存在δ>0，當x-x0
6.凹凸性
三、函數的基本作圖方法
討論了函數的各種形態，綜合討論就可以做出函數圖象的一般步驟如下：
（1）確定函數的定義域，找出間斷點。
（2）求出曲線和坐標軸的交點。
（3）確定曲線關于坐標軸的對稱性。
（4）令一階導數等于0，求出函數的駐點，并算出各駐點的函數值。判斷函數的單調區間并求出極值。
（5）確定函數的凹向區間和拐點。
（6）求出曲線的漸近線。
（8）根據關系圖和函數的相關性質，描繪函數大致圖象。
四、實例解析
解：（1）定義域為（-∞，0）∪（0，+∞）。
（2）函數不具有奇偶性，因此曲線無對稱性。
（4）令y′=0得x=-2
y″（-2）>0所以x=-2為極小值點，f（-2）=3為極小值。
（5）令y″=0，得x=-3，在x=-3的左側有y″0，而f（-3）=-2，所以，（-3，-2）是拐點。
（6）漸近線x=0。
（7）將上面的結果列表如下：
（8）描繪圖象如下：
根據作圖的步驟可以作出函數的大致圖象，如果已知函數的圖象，不但可以從函數得到精確的性質，也可以從函數的圖象得出函數的大致性質。
例2：已知函數y=3x2-x3的圖象如下，描述該函數性態。
解：（1）定義域為（-∞，+∞）。
（2）函數不具有奇偶性，曲線無對稱性。
（3）f（x）=0曲線與x軸有兩個交點，一個是x=0，一個是x=3。
（4）函數有兩個駐點x=0，x=2
x=0為極小值點，f（0）=0為極小值。
x=3為極大值點，f（2）=4為極大值。
（5）（1，2）是拐點。
（6）無漸近線。
五、總結
函數的形態對作圖起到很大的指導作用，而函數的圖形也能一目了然地反映該函數的各種形態。學好函數的相關知識，靈活解題，方法至關重要，準確畫出函數的圖形可以使我們進一步提高解題興趣，激活思維，開拓思路，提高綜合運用多種方法解題的能力，從而提高分析、判斷、猜想、推理、決策的能力，真正提高數學素質、創新精神和創新能力。平時應注重培養這種思想意識，爭取見數想形，使抽象思維與形象思維結合起來，發揮數與形兩種信息的轉換及其優勢互補與整合。
參考文獻：
【關鍵詞】抽象函數問題；類比聯想；“原型”破題法
所謂原型，就是符合題目給出的抽象函數性質的我們熟知的函數，譬如：抽象函數具有這樣的性質：f(xy)=f(x)+f(y)(x>0)，那么它的一個原型就是對數函數f(x)=logax.對原型主要性質嘗試遷移到當前的抽象函數，就可以啟發我們有針對性地賦值和變換，從而有了破題思路.對于客觀題而言，只要找到原型，就等于得到正確答案了，直接破題.
例1 （2008重慶理科卷）若定義在R上的函數f(x)滿足：對任意x1,x2∈R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,則下列說法一定正確的是( ).
A.f(x)為奇函數 B.f(x)為偶函數
C.f(x)+1為奇函數D.f(x)+1為偶函數
原型法 依題意知f(x)=x-1滿足題設，從而對照選項很快知道只有選項C是符合的.
例2 （2009全國Ⅰ卷理科）函數f(x)的定義域為R，若f(x+1)與f(x-1)都是奇函數，則( ).
A.f(x)是偶函數B.f(x)是奇函數
C.f(x)=f(x+2)D.f(x+3)是奇函數
原型法 符合條件的原型函數有cosπx[]2和sin(πx)，對照選項顯然只有選項D是符合的.
例3 （2010重慶15題）已知函數f(x)滿足:f(1)=1[]4,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)，(x,y∈R)，則f(2010)=.
原型法 由4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y),
聯想到余弦的積化和公式：cosxcosy=1[]2［cos(x+y)+cos(x-y)］，
只需相關系數略作調整，最后可構造f(x)=1[]2cosπ[]3x是符合題目條件的.所以f(2010)=1[]2cos2010[]3π=1[]2.
當然以上諸例可以用常規解法解之，但就客觀題而言對比常規解法和原型法，原型法以短平快之勢，省去思維容量和寶貴時間迅捷得到正確答案了，直接破題.如果是解答題呢，再看兩例：
例4 （1） 已知函數f(x)，x∈R，常數a≠0，且f(x+a)=1-f(x)[]1+f(x)，求證：f(x)是周期函數，且2a是它的一個周期；
（2） 已知函數f(x)，x∈R，常數a≠0,且f(x+a)=1+f(x)[]1-f(x)，求證：f(x)是周期函數.
解析 (1) 用周期函數的定義易于證明.
(2) 由于沒有給出具體的周期，仿照（1）的思路有：
f(x+2a)=1+f(x+a)[]1-f(x+a)=1+1+f(x)[]1-f(x)[]1-1+f(x)[]1-f(x)=-1[]f(x).
但是很多同學就到此卡殼了，此時若能聯想我們學習過的公式在三角函數里有tanx+π[]4=1+tanx[]1-tanx，π[]4相當于a，于是猜想f(x)的周期為4a，現在利用周期的定義就有接下來的思路：f(x+4a)=-1[]f(x+2a)=-1[]-1[]f(x)=f(x).
所以f(x)為周期函數，且周期為4a.
例5 定義在(0,+∞)上的函數f(x)，對任意正實數x,y都滿足:f(xy)=f(x)+f(y)，且x>1時，f(x)>0，f(4)=1.試解不等式f(x)+f(x-3)≤0.
解析 根據題意及f(xy)=f(x)+f(y)知該抽象函數的一個原型為f(x)=log4x，盡管不能像選擇題直接得到答案，但給我們提供了破題思路和方向：要證明f(x)是單調遞增的，不等式f(x)+f(x-3)≤0中的0要換算為f(1)，于是就有了針對性的變換和賦值了：
令x>0，y=1,則f(x)=f(x)+f(1)得到f(1)=0；令x1>x2>0，則x1[]x2>1，得fx1[]x2>0.
所以f(x1)=fx1[]x2x2=fx1[]x2+f(x2)>f(x2).
從而f(x)在(0,+∞)是增函數.下面解答過程就水到渠成了：
f(x)+f(x-3)≤0，
即f(x2-3x)≤f(1).即x>0,
x-3>0,
知識的確是天空中偉大的太陽，它那萬道光芒投下了生命，投下了力量。下面小編給大家分享一些高中數學函數知識點，希望能夠幫助大家，歡迎閱讀!
高中數學函數知識點11.函數的奇偶性
(1)若f(x)是偶函數，那么f(x)=f(-x);
(2)若f(x)是奇函數，0在其定義域內，則f(0)=0(可用于求參數);
(3)判斷函數奇偶性可用定義的等價形式：f(x)±f(-x)=0或(f(x)≠0);
(4)若所給函數的解析式較為復雜，應先化簡，再判斷其奇偶性;
(5)奇函數在對稱的單調區間內有相同的單調性;偶函數在對稱的單調區間內有相反的單調性;
2.復合函數
(1)復合函數定義域求法：若已知的定義域為[a，b],其復合函數f[g(x)]的定義域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定義域為[a,b],求f(x)的定義域，相當于x∈[a,b]時，求g(x)的值域(即f(x)的定義域);研究函數的問題一定要注意定義域優先的原則。
(2)復合函數的單調性由“同增異減”判定;
3.函數圖像(或方程曲線的對稱性)
(1)證明函數圖像的對稱性，即證明圖像上任意點關于對稱中心(對稱軸)的對稱點仍在圖像上;
(2)證明圖像C1與C2的對稱性，即證明C1上任意點關于對稱中心(對稱軸)的對稱點仍在C2上，反之亦然;
(3)曲線C1：f(x,y)=0,關于y=x+a(y=-x+a)的對稱曲線C2的方程為f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);
(4)曲線C1:f(x,y)=0關于點(a,b)的對稱曲線C2方程為：f(2a-x,2b-y)=0;
(5)若函數y=f(x)對x∈R時，f(a+x)=f(a-x)恒成立，則y=f(x)圖像關于直線x=a對稱;
(6)函數y=f(x-a)與y=f(b-x)的圖像關于直線x=對稱;
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4.函數的周期性
(1)y=f(x)對x∈R時，f(x+a)=f(x-a)或f(x-2a)=f(x)(a>0)恒成立,則y=f(x)是周期為2a的周期函數;
(2)若y=f(x)是偶函數，其圖像又關于直線x=a對稱，則f(x)是周期為2︱a︱的周期函數;
(3)若y=f(x)奇函數，其圖像又關于直線x=a對稱，則f(x)是周期為4︱a︱的周期函數;
(4)若y=f(x)關于點(a,0),(b,0)對稱，則f(x)是周期為2的周期函數;
(5)y=f(x)的圖象關于直線x=a,x=b(a≠b)對稱，則函數y=f(x)是周期為2的周期函數;
(6)y=f(x)對x∈R時，f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)=，則y=f(x)是周期為2的周期函數;
5.方程k=f(x)有解k∈D(D為f(x)的值域);
6.a≥f(x)恒成立a≥[f(x)]max,;a≤f(x)恒成立a≤[f(x)]min;
7.(1)(a>0,a≠1,b>0,n∈R+);
(2)logaN=(a>0,a≠1,b>0,b≠1);
(3)logab的符號由口訣“同正異負”記憶;
(4)alogaN=N(a>0,a≠1,N>0);
8.判斷對應是否為映射時，抓住兩點：
(1)A中元素必須都有象且唯一;
(2)B中元素不一定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象;
9.能熟練地用定義證明函數的單調性，求反函數，判斷函數的奇偶性。
10.對于反函數，應掌握以下一些結論：
(1)定義域上的單調函數必有反函數;
(2)奇函數的反函數也是奇函數;
(3)定義域為非單元素集的偶函數不存在反函數;
(4)周期函數不存在反函數;
(5)互為反函數的兩個函數具有相同的單調性;
(6)y=f(x)與y=f-1(x)互為反函數，設f(x)的定義域為A，值域為B，則有f[f--1(x)]=x(x∈B),f--1[f(x)]=x(x∈A);
11.處理二次函數的問題勿忘數形結合;二次函數在閉區間上必有最值，求最值問題用“兩看法”：一看開口方向;二看對稱軸與所給區間的相對位置關系;
12.依據單調性，利用一次函數在區間上的保號性可解決求一類參數的范圍問題;
13.恒成立問題的處理方法：(1)分離參數法;
(2)轉化為一元二次方程的根的分布列不等式(組)求解。
高中數學函數知識點2奇偶性
注圖：(1)為奇函數(2)為偶函數
1.定義
一般地，對于函數f(x)
(1)如果對于函數定義域內的任意一個x，都有f(-x)=-f(x)，那么函數f(x)就叫做奇函數。
(2)如果對于函數定義域內的任意一個x，都有f(-x)=f(x)，那么函數f(x)就叫做偶函數。
(3)如果對于函數定義域內的任意一個x，f(-x)=-f(x)與f(-x)=f(x)同時成立，那么函數f(x)既是奇函數又是偶函數，稱為既奇又偶函數。
(4)如果對于函數定義域內的任意一個x，f(-x)=-f(x)與f(-x)=f(x)都不能成立，那么函數f(x)既不是奇函數又不是偶函數，稱為非奇非偶函數。
說明：①奇、偶性是函數的整體性質，對整個定義域而言
②奇、偶函數的定義域一定關于原點對稱，如果一個函數的定義域不關于原點對稱，則這個函數一定不是奇(或偶)函數。
(分析：判斷函數的奇偶性，首先是檢驗其定義域是否關于原點對稱，然后再嚴格按照奇、偶性的定義經過化簡、整理、再與f(x)比較得出結論)
③判斷或證明函數是否具有奇偶性的根據是定義
2.奇偶函數圖像的特征：
定理 奇函數的圖像關于原點成中心對稱圖表，偶函數的圖象關于y軸或軸對稱圖形。
f(x)為奇函數《==》f(x)的圖像關于原點對稱
點(x,y)(-x,-y)
奇函數在某一區間上單調遞增，則在它的對稱區間上也是單調遞增。
偶函數 在某一區間上單調遞增，則在它的對稱區間上單調遞減。
3.奇偶函數運算
(1) .兩個偶函數相加所得的和為偶函數.
(2) .兩個奇函數相加所得的和為奇函數.
(3) .一個偶函數與一個奇函數相加所得的和為非奇函數與非偶函數.
(4) .兩個偶函數相乘所得的積為偶函數.
(5) .兩個奇函數相乘所得的積為偶函數.
(6) .一個偶函數與一個奇函數相乘所得的積為奇函數.
定義域
(高中函數定義)設A,B是兩個非空的數集，如果按某個確定的對應關系f,使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱f:A--B為集合A到集合B的一個函數，記作y=f(x),x屬于集合A。其中，x叫作自變量，x的取值范圍A叫作函數的定義域;
值域
名稱定義
函數中，應變量的取值范圍叫做這個函數的值域函數的值域,在數學中是函數在定義域中應變量所有值的集合
常用的求值域的方法
(1)化歸法;(2)圖象法(數形結合)，
(3)函數單調性法，
(4)配方法，(5)換元法，(6)反函數法(逆求法)，(7)判別式法，(8)復合函數法，(9)三角代換法，(10)基本不等式法等
高中數學函數知識點3對數函數
對數函數的一般形式為 ，它實際上就是指數函數 的反函數。因此指數函數里對于a的規定，同樣適用于對數函數。
右圖給出對于不同大小a所表示的函數圖形：
可以看到對數函數的圖形只不過的指數函數的圖形的關于直線y=x的對稱圖形，因為它們互為反函數。
(1)對數函數的定義域為大于0的實數集合。
(2)對數函數的值域為全部實數集合。
(3)函數總是通過(1，0)這點。
(4)a大于1時，為單調遞增函數，并且上凸;a小于1大于0時，函數為單調遞減函數，并且下凹。
(5)顯然對數函數無界。
指數函數
指數函數的一般形式為 ，從上面我們對于冪函數的討論就可以知道，要想使得x能夠取整個實數集合為定義域，則只有使得
如圖所示為a的不同大小影響函數圖形的情況。
可以看到：
(1)指數函數的定義域為所有實數的集合，這里的前提是a大于0，對于a不大于0的情況，則必然使得函數的定義域不存在連續的區間，因此我們不予考慮。
(2) 指數函數的值域為大于0的實數集合。
(3) 函數圖形都是下凹的。
(4) a大于1，則指數函數單調遞增;a小于1大于0，則為單調遞減的。
(5)可以看到一個顯然的規律，就是當a從0趨向于無窮大的過程中(當然不能等于0)，函數的曲線從分別接近于Y軸與X軸的正半軸的單調遞減函數的位置，趨向分別接近于Y軸的正半軸與X軸的負半軸的單調遞增函數的位置。其中水平直線y=1是從遞減到遞增的一個過渡位置。
(6) 函數總是在某一個方向上無限趨向于X軸,永不相交。
關鍵詞：數學教學;解題
在今年的高三復習備考中，筆者在函數的二輪復習中碰到了一道試題：2009年山東數學理科卷16題. 為了提高高三數學課堂復習的效率，對題目進行深入的挖掘是一種很好的途徑，特別是歷年的高考試題. 本文將對該題目的探究歷程以試題解析、探究拓展、反思回顧等環節展現出來，供同仁參考.
原題呈現：（09山東數學理科卷16）已知定義在R上的奇函數f（x），滿足f（x-4）=-f（x），且在區間[0，2]上是增函數，若方程f（x）=m（m>0）在區間[-8，8]上有四個不同的根x1，x2，x3，x4，則x1+x2+x3+x4=___________.
試題解析
f（x）是定義在R上的奇函數，滿足f（x-4）=-f（x），此式隱含如下條件：函數圖象關于直線x=-2對稱且f（0）=0;又由f（x-4）=-f（x）可得f（x-8）=f（x），所以函數f（x）是以8為周期的周期函數，這是從條件得到的另一個隱含條件. 這時函數f（x）具有的性質就都暴露出來了，圖象也就很容易畫出來. 如圖1所示，方程f（x）=m（m>0）在區間[-8，8]上有四個不同的根x1，x2，x3，x4，不妨設x1<x2<x3<x4.
由對稱性知x1+x2=-12，x3+x4=4，所以x1+x2+x3+x4=-12+4=-8.
【命題立意】 本題綜合考查了函數的奇偶性、單調性、對稱性、周期性，以及由函數圖象解答方程問題，運用數形結合的思想和函數與方程的思想解答問題.
探究拓展
探究一：改變條件，鞏固相關知識
將試題中的“奇函數”改成“偶函數”，“f（x-4）=-f（x）”改成“f（x-4）=f（x）”，問題改成：則方程f（x）=m（m>0）在區間[-8，8]上實根的個數為：________.
分析：根據條件變化可畫出函數f（x）的圖象如下：
圖2
此時不難得到方程f（x）=m（m>0）在區間[-8，8]上實根的個數情況：0個、4個或8個.
探究二：弱化條件，提高問題難度
在問題中若將條件m>0去掉，則x1+x2+x3+x4的值會不會改變，如果會，答案又是什么？
分析：當m>0時同上;
當m=0時，方程f（x）=m在區間[-8，8]上有五個不同的根，不合題意;
當m<0時，方程f（x）=m（m>0）在區間[-8，8]上的四個不同根分別關于直線x=-2與直線x=6對稱，所以x1+x2+x3+x4=-4+12=8.
綜上得x1+x2+x3+x4=-8或8.
說明：去掉條件m>0后，題目不僅考查了函數的相關性質，還涉及分類討論的思想，思維量增加，難度加深，更能考查學生運用數學知識的能力.
探究三：增加條件，命制新題
將問題增加一個條件，就可以改變問題的提問方式. 將問題改造為：
變式1：已知定義在R上的奇函數f（x）滿足f（x-4）=-f（x），在區間[0，2]上是增函數且f（2）=3，若方程f（x）=m在區間[-8，8]上恒有四個不同的根，則實數m的取值范圍是________.
分析：結合問題的圖形不難得到實數m的取值范圍為（-3，0）∪（0，3）.
說明：通過改造本題不僅綜合考查了抽象函數的性質，以及由函數圖象解答方程問題，還涉及數形結合思想、函數與方程思想和轉化與化歸思想.
探究四：反思解法，拓展創新
變式2：已知定義在R上的奇函數f（x），滿足f（x-4）=-f（x），且在區間[0，2]上是增函數，若方程f（x）=m（m>0）在區間[-100，100]上的根從左向右依次記為a1，a2，a3，a4，…，則數列{an}的項數為________，所有項的和Sn為________.
圖3
分析：結合圖象及函數的周期性（T=8）不難得到數列{an}的項數為50，并且數列{an}的前兩項之和a1+a2，次兩項之和a3+a4，再兩項之和a5+a6，…，構成等差數列，
所以S50=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a49+a50）
=2?（-94）+2?（-86）+…+2?98
=2?（-94-86-78-…+98）
=100.
說明：通過改編，變式2涉及的知識面更廣，不僅有抽象函數的性質，還與數列的分組求和緊密聯系起來，這就對學生分析問題、解決問題的能力提出了更高的要求，同時還考查了學生運算求解能力.
反思回顧，透析本質
從問題的解答過程可以看到，由題目的已知條件：奇函數和關系式f（x-4）= -f（x）得到函數關于直線x=-2對稱是非常關鍵的一步. 而關系式f（x-4）=-f（x）實際上隱含著周期性，也就是由函數的奇偶性、周期性可以得到函數具有對稱性，因此可以得到一般情況下的結論：
性質1 若f（x）為定義在R上的偶函數，且滿足f（x+a）=f（x-a），a∈R+，則f（x）的圖象關于直線x=a對稱，即f（x+a）=f（a-x）.
證明：f（x+a）=f（x-a）=f[-（a-x）]
=f[（a-x）]，
所以f（x）的圖象關于直線x=a對稱.
性質2 若f（x）為定義在R上的偶函數，且滿足f（x+a）=f（a-x），a∈R+，則函數f（x）為周期函數，即f（x+2a）=f（x）.
證明：f（x）=f[a-（a-x）]=f[a+（a-x）]
=f（2a-x）
=f[-（x-2a）]
=f（x-2a），
所以f（x+2a）=f（x），即f（x）為周期函數.
性質3 若f（x）為定義在R上的函數，關于直線x=a對稱，即f（x+a）=f（a-x），且滿足f（x+a）=f（x-a），a∈R+，則函數f（x）為偶函數，即f（-x）=f（x）.
證明：因為f（x+a）=f（a-x），f（x+a）=f（x-a），a∈R+，
所以f（a-x）=f（x-a），
所以f（-x）=f[a-（x+a）]=f[（x+a）-a]=f（x），
即函數f（x）為偶函數.
性質4 若f（x）為定義在R上的奇函數，且滿足f（x+a）=-f（x），a∈R+，則f（x）的圖象關于直線x=對稱，即f+x=f-x.
性質5 若f（x）為定義在R上的奇函數，且滿足f+x=f-x，a∈R+，則函數f（x）是以2a為周期的周期函數，即f（x+2a）=f（x）.
性質6 若f（x）為定義在R上的函數，關于直線x=（a∈R+）對稱，即f+x=f-x，且滿足f（x+a）=-f（x），則函數f（x）為奇函數，即f（-x）=-f（x）.
說明：從上面我們可以發現如果一個函數具有：奇偶性、周期性、對稱性中的兩個，那就可以推出它具有第三個性質. 這就是題目的隱含條件，能否找出隱含條件經常是解決問題的突破口. 對于以上性質我們只要知道有這么一種情況就可以，不需要去死記硬背，但關鍵要掌握推導方法.
