時間：2023-05-30 10:43:39
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創(chuàng)造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇方程的意義，希望這些內(nèi)容能成為您創(chuàng)作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進(jìn)步。
關(guān)鍵詞：方程的含義；等式與方程的關(guān)系
中圖分類號：G622.479 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B 文章編號：1002-7661（2014）07-270-01
教學(xué)內(nèi)容：
人教版《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書?數(shù)學(xué)》五年級上冊第53～54頁。
設(shè)計理念：
數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人，教師是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者。教師要從知識的傳遞者、灌輸者轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生主動構(gòu)建意義的幫助者、促進(jìn)者，應(yīng)當(dāng)在教學(xué)中采取全新的教學(xué)模式、教學(xué)方法和教學(xué)設(shè)計思想，徹底摒棄以教師為中心、強(qiáng)調(diào)知識傳授、把學(xué)生當(dāng)作知識灌輸對象的傳統(tǒng)教學(xué)模式。基于以上認(rèn)識，教者沒有停留在引導(dǎo)學(xué)生簡單的識記方程表面層次上的意義，而是從學(xué)生的預(yù)習(xí)入手，深入挖掘已知量與未知數(shù)之間的關(guān)系，一步步走近方程，理解方程，運(yùn)用方程，超越方程。
一、教學(xué)目標(biāo)
1、使學(xué)生在具體的情境中，理解方程的含義，初步體會等式與方程的關(guān)系；
2、使學(xué)生在觀察、分析、分類、抽象、概括和交流的過程中，經(jīng)歷將現(xiàn)實(shí)問題抽象成式與方程的過程，積累將現(xiàn)實(shí)問題數(shù)學(xué)化的經(jīng)驗(yàn)，感受方程的思想方法及價值，發(fā)展抽象思維能力和符號感。
3、讓學(xué)生獲得一些成功的體驗(yàn)，進(jìn)一步樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，產(chǎn)生對數(shù)學(xué)的興趣。
教學(xué)重點(diǎn)：在具體的情境中，理解方程的含義。
教學(xué)難點(diǎn)：體會等式與方程的關(guān)系。
教學(xué)方法：從知識的生長點(diǎn)引入，在反饋交流中理解方程的意義。
教學(xué)過程：學(xué)生預(yù)習(xí)課本第53、54頁“方程的意義”。
師：同學(xué)們，通過預(yù)習(xí)你們知道這節(jié)課要學(xué)習(xí)什么知識嗎？生1：方程。生2：什么是方程。生3：方程的意義。師：關(guān)于方程，你們已經(jīng)了解到了哪些內(nèi)容？
學(xué)生談?wù)剬Ψ匠痰牧私狻煟航裉欤蠋熞步o同學(xué)們帶來了一些關(guān)于方程的資料，同學(xué)們請看！課件出示有關(guān)方程的歷史的閱讀資料，指名朗讀，要求其他學(xué)生注意傾聽。
二、探究新知，構(gòu)建概念
師：什么是方程呢？生：含有未知數(shù)的等式叫方程。師：從這句話中，你知道構(gòu)成方程的要素是什么嗎？生1：未知數(shù)。
生2：等式。師：什么是未知數(shù)？生1：未知數(shù)就是不知道的數(shù)。生2：未知數(shù)就是未知的數(shù)。師：我們可以用什么來表示未知數(shù)？生：可以用字母來表示。師：比如？生：a、b、c、-、x、y、z，也就是26個字母都可以。師：什么是等式呢？生：像1+1=2這樣的式子就是等式。師：這個同學(xué)采用了舉例子的方式來說明問題，真厲害！舉例子也是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要方法，誰還能再舉幾個例子？生1：50+50=100。生2：100+200=300。生3：75+63=138。師：難道等式只在加法算式中成立嗎？生4：我能舉出不一樣的例子：120-35=85。生5：60×7=420。生6：120÷3=40。師：仔細(xì)觀察這些等式，它們有什么共同的特點(diǎn)？生：它們都用等于號來連接。師：表示什么？生：表示等式左右兩邊相等。師：同學(xué)們已經(jīng)了解了“未知數(shù)”與“等式”的特點(diǎn)，又知道“含有未知數(shù)的等式叫方程”，那方程到底是什么樣子？你能從眾多的式子中把它找出來嗎？出示：下面哪些是方程？哪些不是方程？①150=χ-15 ②Y+24 ③5χ+32=47 ④2872⑨χ=3 ⑩χ+y=70師：請同學(xué)們小組討論，說說判斷的理由，最后總結(jié)出判斷方程的方法。學(xué)生小組討論，集體匯報。生：①③⑤⑥⑨⑩是方程，②④⑦⑧不是方程，因?yàn)棰佗邰茛蔻幄舛际呛形粗獢?shù)的等式，而②④⑧不是等式，第⑦題雖然是等式，但它不含有未知數(shù)。師：可第⑦題是等式啊！生：等式不一定是方程，還要含有未知數(shù)才是方程。師：那方程是等式嗎？生：是！師：一定是嗎？生：一定是！師：為什么？生：因?yàn)楹形粗獢?shù)的等式叫方程，方程的前提條件是等式。師：所以，判斷方程的方法是。生：一看有沒有未知數(shù)，二看是否是等式。師：同學(xué)們已經(jīng)掌握判斷方程的方法了，那你們能試著寫出一個方程來嗎？
學(xué)生在練習(xí)本上試寫方程，指名部分學(xué)生板演。師：同桌間互相檢查一下，看大家列的都是方程嗎？再看黑板上這幾個同學(xué)寫的，也都是方程嗎？
師引導(dǎo)學(xué)生一一進(jìn)行判斷。（評析：根據(jù)小學(xué)生的思維水平，驗(yàn)證的策略往往是列舉多種多樣的例子，這樣的驗(yàn)證方式形成了真實(shí)豐富的學(xué)習(xí)資源，本環(huán)節(jié)重視學(xué)生原有的知識基礎(chǔ)，用直觀手法向抽象過渡，用遞進(jìn)形式層層推進(jìn)，通過舉例驗(yàn)證，讓學(xué)生經(jīng)歷一個知識形成的過程，并盡可能讓他們用語言表達(dá)描述出自己對學(xué)習(xí)過程中的理解，最后形成新的知識脈絡(luò)。）
三、闖關(guān)游戲
學(xué)生獨(dú)立判斷，指名回答，并說明判斷的理由。
第三關(guān)：
一只鵝重5千克，x只鵝重100千克 。
一本書x元，5本書100元。
你能編出也能列出方程5X=100的實(shí)際問題嗎？
質(zhì)量守恒定律
第2課時
化學(xué)方程式
（導(dǎo)學(xué)案）
學(xué)校
班級
姓名
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1、通過化學(xué)反應(yīng)的文字表達(dá)式與化學(xué)方程式對比，能認(rèn)識到化學(xué)方程式不僅能表示出反應(yīng)物、生成物和反應(yīng)條件，還能表示出各物質(zhì)之間的量的關(guān)系。
2、知道化學(xué)方程式的定義。
3、通過閱讀教材、示范、討論，知道化學(xué)方程式的意義及讀法，能求出化學(xué)方程式中各物質(zhì)的質(zhì)量比。
【學(xué)習(xí)重點(diǎn)、難點(diǎn)】
重點(diǎn)：化學(xué)方程式的意義。
難點(diǎn)：化學(xué)方程式中各物質(zhì)的質(zhì)量比計算。
【使用說明及學(xué)法指導(dǎo)】
采用“提出問題—探究方法—得出結(jié)論—解釋和應(yīng)用“的方式學(xué)習(xí)。
【知識準(zhǔn)備】
知識回顧(閱讀教材P94、P95相關(guān)內(nèi)容，完成以下內(nèi)容。)
1、質(zhì)量守恒定律的內(nèi)容：
無數(shù)實(shí)驗(yàn)證明，
化學(xué)反應(yīng)的各物質(zhì)的
，等于反應(yīng)后生成的各物質(zhì)的
。這個規(guī)律叫做質(zhì)量守恒定律。
2、用分子、原子知識解釋質(zhì)量守恒的原因：
在化學(xué)反應(yīng)前后，原子的
沒有改變，原子的
沒有增減，原子的
也沒有改變。
【自主學(xué)習(xí)】
探究點(diǎn)一：化學(xué)方程式的定義
思考：化學(xué)方程式和文字表達(dá)式相比，不僅能
，而且還能直觀反映
。
【總結(jié)】這種用
來表示化學(xué)反應(yīng)的式子叫做化學(xué)方程式
探究點(diǎn)二：化學(xué)方程式的意義
教材輔讀（閱讀教材P96內(nèi)容，完成以下內(nèi)容。）
點(diǎn)燃
【思考】：
化學(xué)方程式C+O2==CO2能提供哪些信息？你是從哪幾方面考慮的？
1、表示：該反應(yīng)中反應(yīng)物是
，生成物是
，反應(yīng)條件是
。
2、表示：該反應(yīng)中碳原子、氧分子、二氧化碳分子的個數(shù)比為
。
3、表示：該反應(yīng)中碳、氧氣、二氧化碳的質(zhì)量比為
，即
。
【總結(jié)】化學(xué)方程式的意義
（1）宏觀意義
。
（2）微觀意義
。
（3）質(zhì)量意義
。
【練一練】你能計算出各物質(zhì)的質(zhì)量比嗎？
點(diǎn)燃
4P
+
5
O2
====
2P2O5
【注意】計算反應(yīng)物與生成物質(zhì)量比時，應(yīng)將
。
點(diǎn)燃
【鞏固練習(xí)】說出化學(xué)方程式4P
+
5
O2
====
2P2O5的意義？
（1）表示
。
（2）表示
。
（3）表示
。
探究點(diǎn)三：化學(xué)方程式的讀法
點(diǎn)燃
【思考】：化學(xué)方程式C+O2==CO2如何讀？你應(yīng)從哪幾方面讀？
【注意】“+”讀“
”；“=”讀“
”；化學(xué)式讀成物質(zhì)的
，
也要讀出。
【總結(jié)】化學(xué)方程式的讀法
（1）讀物質(zhì)：
和
在
條件下反應(yīng)生成
。
（2）讀微粒：每
和
反應(yīng)生成
。
（3）讀質(zhì)量：每
份質(zhì)量的
和
份質(zhì)量的
完全反應(yīng)生成
份質(zhì)量的
。
點(diǎn)燃
【鞏固練習(xí)】化學(xué)方程式4P
+
5
O2
====
2P2O5的讀法？
（1）
。
（2）
。
（3）
。
【我的收獲】（交流、展示及歸納）
【針對訓(xùn)練】
討論：下列反應(yīng)的化學(xué)方程式能提供給你哪些信息？如何讀？
點(diǎn)燃
1、硫在氧氣中燃燒的反應(yīng)：S+O2===SO2
不過，無論如何，有一點(diǎn)是肯定的：“方程”與“方程的解”雖有聯(lián)系，但畢竟是兩個不同的概念，x=3不可能既是方程，又是方程的解.之所以作出是方程的判斷，那是因?yàn)槲覀儼褁=3看成了含未知數(shù)的等式，而作出是方程的解的判斷，是因?yàn)閤=3讓我們知道未知數(shù)x的值是3.同樣，判斷x=3是等式則是因?yàn)槲覀冋J(rèn)為字母x與數(shù)值3具有相等關(guān)系.所以，對同一個問題，不同的視角會產(chǎn)生不同的判斷.
筆者認(rèn)為，要回答“x=3是什么”的問題，不能簡單地依據(jù)某一定義或某種書面表述或某種習(xí)慣行為來進(jìn)行――而這恰恰是引起爭論的誘因，關(guān)鍵是要弄清“=”的作用或意義.
一個概念的內(nèi)涵往往是豐富的、多重的，但其所要表達(dá)的真正涵義一定蘊(yùn)含于其特定的情境之中，而不在于我們彼此的視角.對“=”的理解同樣如此.筆者以為，在目前的實(shí)際應(yīng)用中，“=”主要有以下四個方面的意義表達(dá)：
1表示相等的邏輯關(guān)系
據(jù)數(shù)學(xué)史料記載，“=”起源于1557年出版的《礪智石》[1]一書.作者――英國數(shù)學(xué)家、牛津大學(xué)教授雷科德在書中有這樣一段描述：“為避免多次繁瑣重復(fù)使用‘等于’這個詞，在日常工作中，我規(guī)定用一對平行線段或幾對來表達(dá)‘等于’，因?yàn)闆]有兩件東西能比兩根平行線更相等了.”[2]“=”以及同時期出現(xiàn)的其它表示相等關(guān)系的符號，它們都是隨著代數(shù)（方程）的發(fā)展而逐步產(chǎn)生的，表達(dá)著“相等”（be equal to）的基本含義，意即“=”兩邊具有相等關(guān)系.其基本前提是“=”的兩邊同時存在.“=”在方程中的應(yīng)用是相等關(guān)系最初、最基本的符號表達(dá).除此之外，數(shù)學(xué)中其它的相等關(guān)系基本上都用“=”表達(dá).
例如，比較5+3與8、14與4×3+2的大小，所得5+3=8、14=4×3+2中的“=”均表示相等關(guān)系.
如平方差公式（a2-b2=（a+b）（a-b））等諸多數(shù)學(xué)公式中的“=”亦表示相（恒）等關(guān)系.
對于方程2x-6=0求解過程中的2x=6和x=3，“=”所表示的相等關(guān)系的含義并沒有因?yàn)榈仁叫问降牟煌兴淖儯鼈兯哂械摹胺匠獭保ê形粗獢?shù)的等式）的基本要件（含有未知數(shù)，等式）也沒有因形式的簡化而有任何的缺失.所以，在方程2x-6=0的解答過程中，x=3并沒有改變其方程的屬性.
值得注意的是，在相等的關(guān)系之下，因?yàn)椤?”的連接，使得“=”的兩邊（2x-6，0）與等號共同構(gòu)成了一個相等關(guān)系的整體，缺少了等號兩邊的任何一方，相等關(guān)系就不復(fù)存在.
2表示運(yùn)算的進(jìn)程
盡管“=”的產(chǎn)生源于等式、方程式表達(dá)的簡便之需，但隨著其應(yīng)用的廣泛，人們對于“=”的認(rèn)識基本上是從數(shù)的運(yùn)算的學(xué)習(xí)開始的.比如，①計算：5+3②分解因式：x2-1，其解答表述一般為①5+3=8②由平方差公式，得x2-1=（x+1）（x-1）.在這里，“=”將運(yùn)算的前后數(shù)、式連接起來，表示邏輯運(yùn)算的進(jìn)程，“表達(dá)著‘……得（得到）……’的含義，與推導(dǎo)符號有一定的相似性，指引著相關(guān)規(guī)則下數(shù)學(xué)對象運(yùn)算的遞推過程及結(jié)果”[3].
再如：（1）計算14÷3
解之，得14÷3=4……2
（2）計算：（x+1）（x-1）
解之，得（x+1）（x-1）=x2-x+x-1=x2-1.
以上兩題解答過程中的“=”皆表示運(yùn)算遞推過程及結(jié)果，并不表示“=”兩邊相等的關(guān)系.因?yàn)椤?”的右邊是“=”左邊運(yùn)算后的所得，兩邊數(shù)或式并不同時存在.況且，沒有意義賦予而獨(dú)立存在的4……2無法與14÷3建立起相等關(guān)系.
3表示一種賦值
在日常數(shù)學(xué)問題的呈現(xiàn)過程中，“=”除了表示相等的邏輯關(guān)系、運(yùn)算的進(jìn)程之外，還廣泛應(yīng)用于對未知變量賦值的表示.
如：（1）求整式4y2-（x2+y）+（x2-4y2）的值，其中x=-28，y=18；（2）四條線段a，b，c，d成比例，其中b=3cm，c=2cm，d=6cm，求線段a的長.兩題中五個用“=”連接起來的式子，實(shí)則是給未知數(shù)賦予了一個確定的值，如果將它們理解成相等的關(guān)系，顯然沒有什么實(shí)際意義，且與題意不符.此處的“x=-28”實(shí)際意義應(yīng)理解為“x的值是-28”.
4表示“等于”的替代符號
在人們?nèi)粘５脑捳Z體系中，“等于”一詞屬常用詞匯.商務(wù)印書館2014年1月出版的《現(xiàn)代漢語詞典》對“等于”作了如下解釋：①某數(shù)量跟另一數(shù)量相等.如，三加二等于五；②差不多就是，跟……沒有區(qū)別.如，不識字就等于睜眼瞎子.這里，①所指為數(shù)學(xué)中的相等關(guān)系，其數(shù)學(xué)符號表示“3+2=5”（三加二的值與五相等）亦為大家所熟悉.此處，以“=”代替“等于”在數(shù)學(xué)中已極為普遍.②為人們一般的語言表達(dá)，所反映出的并非數(shù)學(xué)問題，但在表述時亦常以“=”代替“等于”.類似“不識字=睜眼瞎子”、“教師成長=經(jīng)驗(yàn)+反思”、“全面發(fā)展=全科發(fā)展”，等等，這些只是根據(jù)數(shù)學(xué)表達(dá)式簡潔、形象、直觀的特點(diǎn)，用數(shù)學(xué)的形式來表達(dá)所反映的內(nèi)容，反映出事物具有某種相同或相關(guān)的屬性.對此，基本上不會有人把它們理解成數(shù)學(xué)中的等式或數(shù)量關(guān)系.
綜上，要回答x=3是什么，必須要了解它所在的現(xiàn)實(shí)情境.脫離于具體的情境進(jìn)行判斷，無論結(jié)果是等式，是方程，是方程的解，還是其它，都是片面的，不科學(xué)的.
在此，筆者就x=3與方程2x-6=0的關(guān)系提出自己的觀點(diǎn).
如上所述，解方程時，對2x-6=0進(jìn)行同解變形，最后得出的x=3仍為方程.因?yàn)椋庾冃螞]有改變方程兩邊“相等”的關(guān)系，亦即“=”在解方程的過程中“相等”關(guān)系的含義沒有改變.
但各類教材及相關(guān)資料在解答方程之后，都會出現(xiàn)“x=3是方程2x-6=0的解”的表述，由此，引起了“x=3是方程還是方程的解”（“方程的解”的表述，必須就某一特定方程而言才有意義，僅表述為“x=3是方程的解”沒有意義）的爭論.
首先可以肯定的是，此時（x=3是方程2x-6=0的解）的x=3中的“=”顯然不表示計算的進(jìn)程與結(jié)果，也不表示給字母賦值，因?yàn)樽帜竫的值不是賦予的，而是通過運(yùn)算得到的.當(dāng)然也不能表示為相等關(guān)系，即x=3不能視為方程.因?yàn)楦鶕?jù)“使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解”的概念，方程2x-6=0的解是3，而不是表示相等關(guān)系的表達(dá)式x=3.因此，這里的x=3應(yīng)理解為“x等于3”或“x的值是3”等語句的數(shù)學(xué)化形式.也只有如此，如方程x2=25的解表示成x=±5或x1=5、x2=-5才有意義.
“一元一次方程”的學(xué)習(xí)一定是基于“有理數(shù)的運(yùn)算”及“整式的加減”，即初一的學(xué)生在學(xué)習(xí)了這兩章內(nèi)容之后才學(xué)習(xí)“一元一次方程”。在“一元一次方程”這一章中，首先要介紹其概念，接著要學(xué)習(xí)等式的性質(zhì)（或方程變形的性質(zhì)）。
等式（或方程）兩邊都加上或減去同一個數(shù)或同一個整式，等式（或方程的解）不變。
等式（或方程）兩邊都乘以或除以同一個不為零的數(shù)，等式（或方程的解）不變。
在具體到求方程的解時，不論是否明確給出解法的名稱，都是按照由易到難的順序安排，即系數(shù)化為1，合并同類項(xiàng)與移項(xiàng)，去括號，去分母。因此在傳統(tǒng)的教材中一元一次方程的編排結(jié)構(gòu)如圖1所示。
在學(xué)習(xí)解方程的過程中，先學(xué)習(xí)最簡單的，即系數(shù)化為1，然后由易到難。而學(xué)生在解復(fù)雜的一元一次方程時，則反其道而行之，先去分母，再去括號，再移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，最后將系數(shù)化為1。這種轉(zhuǎn)化的過程，體現(xiàn)了化難為易、化繁為簡的策略。這樣的學(xué)習(xí)程序及對應(yīng)的解題順序是經(jīng)典的、傳統(tǒng)的、良構(gòu)的，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡潔美和邏輯美。
但是這種嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕Y(jié)構(gòu)制約了項(xiàng)目化學(xué)習(xí)的實(shí)現(xiàn)。能不能有所改變呢？
打破上述研究的結(jié)構(gòu)，基于乘法的意義解“一元一次方程”，這是與一位五年級學(xué)生的實(shí)驗(yàn)。五年級學(xué)生具備的與“一元一次方程”對應(yīng)的基礎(chǔ)是：乘法、除法、分?jǐn)?shù)的意義，分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，簡單的字母表示數(shù)，分式的簡單運(yùn)算，簡單的一元一次方程的解法等。
基于這樣的基礎(chǔ)，在解復(fù)雜的一元一次方程時，如何分析轉(zhuǎn)化，理解每一步的合理性呢？下面以具體事例解釋。
如圖2 ，這是一個源自初中教材中的題目。圖中的解法是五年級的同學(xué)給出的。在解這個題目時，該同學(xué)已經(jīng)練習(xí)解過多道題目，所以解此題時已經(jīng)比較順利。從圖中可以看得出，步驟間距比較小，所以比較長，這是五年級學(xué)生的思維決定的。
該方程兩邊的分母不一致，所以首先要通分，這是五年級學(xué)生會做的。第二步，去分母，但該生還沒有學(xué)過去分母，因此她依據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，將分式先轉(zhuǎn)化為除法，再依據(jù)她學(xué)習(xí)過的等式的性質(zhì)，兩邊同乘以一個數(shù)，最終達(dá)成去分母的目標(biāo)。第三步，移項(xiàng)，五年級學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過，而且比較熟練，因此，此處她省略掉一步，即14x-10+10=3+10，而直接得到14x=3+10。第四步，合并，本題中只涉及到數(shù)的合并，所以輕而易舉地完成。第五步，系數(shù)化為1，這是小學(xué)學(xué)習(xí)過的。
對于合并，還會遇到不同類型的問題。比如圖3中的6x+10.5x，圖4中的16x-30x，要回到乘法的意義，然后利用加法對乘法的分配律求解。根據(jù)乘法的意義，“6x”即6個x，其他同理。因此“6個x”加“10.5個x”就是（6+10.5）個x，于是就有了6x+10.5x=（6+10.5）x，事實(shí)上就是加法對乘法的分配律的逆用，并且是在代數(shù)式中的應(yīng)用，從具體數(shù)字運(yùn)算的分配律到式的運(yùn)算的分配律，并且是逆用，這都是基于對乘法意義的理解和靈活應(yīng)用，這是一個難點(diǎn)，也是一個突破。
至于16x-30x=（16-30）x，五年級學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了負(fù)數(shù)的初步知識，稍加引導(dǎo)即可求解。
在該同學(xué)學(xué)習(xí)解一元一次方程的過程中，并沒有按照由易到難的順序安排，而是直接進(jìn)入復(fù)雜問題。在轉(zhuǎn)化策略的指導(dǎo)下，依據(jù)她的已有知識和經(jīng)驗(yàn)，不斷地將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題求解。
在前期學(xué)習(xí)過程中，還遇到過非常有趣的方程，但是都能用她所學(xué)過的知識加以解釋，并最終解決。這樣做最大的益處是提高了學(xué)生分析問題的能力。
該實(shí)驗(yàn)打破了圖1的教學(xué)結(jié)構(gòu)，但是看得出在求解過程中，該生的心理過程與結(jié)構(gòu)是高度一致的。這說明，傳統(tǒng)教材中的編排結(jié)構(gòu)是符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律的，是經(jīng)典的。但是這種經(jīng)典的結(jié)構(gòu)是否要用與之對應(yīng)的經(jīng)典的過程轉(zhuǎn)移給學(xué)生呢？該實(shí)驗(yàn)表明，換一種方式也可以達(dá)成同樣的目標(biāo)。
項(xiàng)目學(xué)習(xí)實(shí)驗(yàn)教材的編寫依據(jù)首先是課程標(biāo)準(zhǔn)。2011版《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對“一元一次方程”的要求是：
1.能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出方程，體會方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型。
2.經(jīng)歷估計方程解的過程。
3.掌握等式的基本性質(zhì)。
4.能解一元一次方程、可化為一元一次方程的分式方程。
對課標(biāo)這樣的要求，如何通過項(xiàng)目化學(xué)習(xí)實(shí)現(xiàn)呢？可以通過如下三步實(shí)現(xiàn)。
第一，將實(shí)際問題（即項(xiàng)目中的驅(qū)動問題）轉(zhuǎn)化為方程問題，體會方程中蘊(yùn)含的模型思想，并解釋解方程的必要性。
第二，學(xué)生基于已有的知識經(jīng)驗(yàn)自主探究解方程（一元一次方程），從而達(dá)到對具體問題的解決，完成關(guān)于實(shí)際問題的項(xiàng)目。
第三，提煉該項(xiàng)目中的數(shù)學(xué)元素，包括給出一元一次方程的概念，明確其定義，并歸納、概括求解策略和求解步驟，梳理求解依據(jù)，并進(jìn)行適量訓(xùn)練，以鞏固基本知識，熟練基本技能。
于是項(xiàng)目化學(xué)習(xí)中“一元一次方程”的編排結(jié)構(gòu)應(yīng)該如圖5所示。
圖5與圖1相比，有如下特點(diǎn)。
第一，學(xué)生探究的空間較大，沒有固定的規(guī)則與程式，學(xué)生的活動是基于基本知識進(jìn)行分析轉(zhuǎn)化，因此有利于學(xué)生進(jìn)行相對完整的活動。對教材編寫的要求設(shè)計好問題串，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究。
第二，整體輸入和輸出，以解決問題為主，注重策略的指導(dǎo)，但是不削弱數(shù)學(xué)的基本知識和技能。
第三，具有“雙項(xiàng)目化”的功能，學(xué)生完成了一個實(shí)際問題的項(xiàng)目，在此基礎(chǔ)上提出數(shù)學(xué)問題，通過抽象概括，梳理數(shù)學(xué)知識，并鞏固應(yīng)用，又是一個純數(shù)學(xué)的項(xiàng)目實(shí)施過程。但這個純數(shù)學(xué)的項(xiàng)目不是抽象的，有實(shí)際問題的項(xiàng)目奠基，學(xué)生在此處學(xué)習(xí)時，對其必要性和重要性的認(rèn)識更深刻，因此有助于激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情。
第四，能有效地提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力。
第五，能實(shí)現(xiàn)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求。
一個實(shí)驗(yàn)似乎有些單薄，證據(jù)不足，但是這個案例也說明這種方法的可行性。囿于傳統(tǒng)的經(jīng)典的知識結(jié)構(gòu)，是難以做出真正的項(xiàng)目的，所以編寫項(xiàng)目學(xué)習(xí)實(shí)驗(yàn)教材關(guān)鍵是要“破”，破其外殼，存其內(nèi)涵，以項(xiàng)目承載，以科學(xué)思想主宰。
基于意義的學(xué)習(xí)，是指基于概念的基本意義進(jìn)行學(xué)習(xí)。從上述案例的分析可見，樹立基于意義的學(xué)習(xí)的理念才能突破傳統(tǒng)觀念的束縛，才能實(shí)現(xiàn)項(xiàng)目學(xué)習(xí)。
基于意義的學(xué)習(xí)與基于規(guī)則的學(xué)習(xí)有什么異同呢？
傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)對應(yīng)的學(xué)習(xí)順序，是先學(xué)規(guī)則，如等式的性質(zhì)等，再應(yīng)用規(guī)則解決問題，這是基于規(guī)則的學(xué)習(xí)。基于意義的學(xué)習(xí)，則跳過規(guī)則，直接根據(jù)概念的意義進(jìn)行分析。
概念是基本的思維單位，是思維的起點(diǎn)，規(guī)則是由概念推演得出的。基于規(guī)則學(xué)習(xí)的優(yōu)勢是簡潔，不足是其學(xué)習(xí)過程是“執(zhí)行”命令。基于意義學(xué)習(xí)的優(yōu)勢是創(chuàng)新，不足是費(fèi)時較多，但這樣的學(xué)習(xí)正符合《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011版）提出的學(xué)生“應(yīng)有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測、計算、推理、驗(yàn)證等活動過程”，特別是十大核心素養(yǎng)中指出的“創(chuàng)新意識的培養(yǎng)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的基本任務(wù)，應(yīng)體現(xiàn)在數(shù)學(xué)教與學(xué)的過程之中。學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)和提出問題是創(chuàng)新的基礎(chǔ)；獨(dú)立思考、學(xué)會思考是創(chuàng)新的核心；歸納概括得到猜想和規(guī)律，并加以驗(yàn)證，是創(chuàng)新的重要方法。創(chuàng)新意識的培養(yǎng)應(yīng)該從義務(wù)教育階段做起，貫穿數(shù)學(xué)教育的始終”。
基于意義的學(xué)習(xí)過程，由于沒有既定的規(guī)則和程序要求，因此是“一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程”，學(xué)生能更多地“獲得分析問題和解決問題的一些基本方法，體驗(yàn)解決問題方法的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識” 。
如何實(shí)現(xiàn)基于意義的學(xué)習(xí)呢？
首先，要改變學(xué)生的學(xué)習(xí)價值觀，學(xué)生的學(xué)習(xí)更重要的是成長，而不是收集裝載知識技能。知識技能是載體，但不是最后的目標(biāo)。
其次，要通過實(shí)驗(yàn)，尋求基于意義的數(shù)學(xué)教材“新結(jié)構(gòu)”，在這個過程中，要勇于否定自我。
再次，尋找到適合項(xiàng)目學(xué)習(xí)的結(jié)構(gòu)之后，要設(shè)計“任務(wù)群”，將“新結(jié)構(gòu)”付諸現(xiàn)實(shí)，而且是面對學(xué)生群體學(xué)習(xí)的現(xiàn)實(shí)。
[關(guān)鍵詞] 思想實(shí)驗(yàn) 麥克斯韋方程組 磁場
麥克斯韋方程組(Maxwell's equations)(積分、微分表達(dá)見右下圖)是英國物理學(xué)家麥克斯韋(James Clerk Maxwell 1831 - 1879)在19世紀(jì)建立的描述電場與磁場的四個基本方程:電荷是如何產(chǎn)生電場的(高斯定理);驗(yàn)證了磁單極子的不存在(高斯磁場定律);電流和變化的電場是怎樣產(chǎn)生磁場的(安培定律);變化的磁場如何產(chǎn)生電場的(法拉第電磁感應(yīng)定律),人類從此走進(jìn)了電磁波時代。對麥克斯韋方程組的科學(xué)意義、哲學(xué)思想、蘊(yùn)涵的物理簡單美、對稱美、和諧美與統(tǒng)一美,相關(guān)論文都有全面系統(tǒng)的探討,而我們常常忽略“思想實(shí)驗(yàn)”在麥克斯韋方程組誕生中的重要作用。
實(shí)驗(yàn)室條件下不能看到或不能直接感受的物理“現(xiàn)象”,只能通過人類的思想間接地“想象”它們,通過間接方法去捕捉它,這就是“思想實(shí)驗(yàn)”,麥克斯韋的思想實(shí)驗(yàn)就是一個最成功的例子。
一、特殊性
麥克斯韋方程組的特殊性在許多場合被廣泛引以為據(jù),同時,麥克斯韋方程組可以看作是物理學(xué)一個特殊的分界標(biāo)志。一方面,它與經(jīng)典物理學(xué)(牛頓力學(xué)、光學(xué)、熱力學(xué)等)完全不同,它給現(xiàn)代社會帶來的成果有目共睹;另一方面,它又被看成是古典意義的,以區(qū)別于相對論、量子力學(xué)等全新的現(xiàn)代物理學(xué),這種特殊的地位使它具有一種歷史性意義,需要文化意義的闡釋。事實(shí)上,許多具有重要意義的物理概念總是在一種更廣泛的文化意義上被重新闡釋而被運(yùn)用,比如,物理學(xué)中“場”的概念己滲透到人們的思想觀念中,并在許多領(lǐng)域得到應(yīng)用,格式塔心理學(xué)(Gestalt Psychology)的心理場(Psychological field)就是一例。
二、創(chuàng)造性
麥克斯韋工作的關(guān)鍵是著名的“位移電流(Displacement current)”的思想圖像,即把變化的電場也看成為一種(以太)電流。在這以前,安培定律己表明,電流可以產(chǎn)生磁場,法拉第定律則表明,變化的磁場可以產(chǎn)生電場,但是受當(dāng)時實(shí)驗(yàn)條件所限,實(shí)驗(yàn)物理學(xué)家都沒有發(fā)現(xiàn)變化的電場可以產(chǎn)生磁場這樣的事實(shí)。麥克斯韋不是實(shí)驗(yàn)物理學(xué)家,他在理論物理領(lǐng)域內(nèi)工作,他的實(shí)驗(yàn)室是思想,他只須做思想實(shí)驗(yàn)。“位移電流”的思想實(shí)驗(yàn)脫離了具體實(shí)驗(yàn)環(huán)境的限制,讓麥克斯韋在以前的安培公式中添加電場的變化率一項(xiàng),完成了麥克斯韋方程組物理本質(zhì)化的關(guān)鍵。由此我們可知,并不是麥克斯韋完全依靠數(shù)學(xué)演繹方法直接從庫倉定律、安培定律、法拉第定律等數(shù)學(xué)表達(dá)式中推導(dǎo)得到了麥克斯韋方程組,而是首先用思想實(shí)驗(yàn)方法補(bǔ)充了安培公式,從而使以前幾個相互沒有內(nèi)在統(tǒng)一性的電磁公式成為了具有本質(zhì)性意義的麥克斯斯韋方程,成為了可以表達(dá)一種全新的物理對象的數(shù)學(xué)形式。在這個意義上,他是先于愛因斯坦和玻爾等人而創(chuàng)造性的進(jìn)行縝密的思想實(shí)驗(yàn)的科學(xué)家。有關(guān)這方而的介紹可以參看列昂.庫珀(L.N.Cooper 1972年諾貝爾物理學(xué)獎獲得者)的《物理世界》(An introduction to the meaning and structure of physics)一書。
三、開拓性
當(dāng)牛頓定律以一個簡潔的方程式(F=Ma)表達(dá)了經(jīng)典力的核心概念的時候,物理對象之間的關(guān)系是明白的、感性直觀的――力就是物理對象之間的時空關(guān)系。比如氣體中的分子雖然是肉眼看不見的,但人們?nèi)匀话阉鼈儺?dāng)作可以看見的小粒狀物體,就象在顯微鏡下可以看到的灰塵一樣,但是場卻是一種人類感官無法直接或(在感官感覺的意義上)間接感受的對象,但是人們?nèi)匀幌嘈潘拇嬖?除了人們在它的間接的物理效應(yīng)中被證實(shí)以外,另一個主要的原因就是麥克斯韋方程組以優(yōu)美的數(shù)學(xué)組合方式表達(dá)了電磁場,這是一種對事物的本質(zhì)的表達(dá),這表明,人類的理性思維和表達(dá)方式已經(jīng)進(jìn)入了了一個新的階段,當(dāng)然這種進(jìn)步是最艱難的,量子力學(xué)的歷史就充分說明了這一點(diǎn),直到今天人們?nèi)栽跉椌邞]地去想象由波函數(shù)表達(dá)的“量子態(tài)”究竟是“什么”。
麥克斯韋方程組所具有的重要的物理學(xué)史的意義是,它開拓性的擴(kuò)展了人們對物質(zhì)的認(rèn)識,形成了新的物質(zhì)概念和世界觀。
四、類似性
麥克斯韋的“位移電流”思想圖像,使我們領(lǐng)悟到了西方科學(xué)思想中的“以太流”,雖然人們無法在現(xiàn)實(shí)事物中找到它,但在有效的思想實(shí)驗(yàn)中卻無法沒有它,這與中國古老的“氣”的觀念有著本質(zhì)上的類似性。不同的是,“以太流”是數(shù)學(xué)與物理的統(tǒng)一本質(zhì),而“氣”是人文意義的,是人與世界統(tǒng)一的觀念形態(tài),因此它們在自己適用的領(lǐng)域里都具有重要的文化價值,中文里“電氣”一詞的廣泛使用,就是中西文化結(jié)合下對“氣”這一詞的最恰當(dāng)?shù)氖褂玫睦印Ｎ覀兒茈y相象,如果沒有“以太流”的思想形象,大量的最基本的現(xiàn)代數(shù)學(xué)物理概念,如矢量場、勢、散度、張量……如何能夠建立起來,又如何能被人們學(xué)習(xí)和得到真正的理解。至于“氣”在中國文化中的意義就無須在此說了。
五、統(tǒng)一性
雖然我們現(xiàn)在已無法追蹤麥克斯韋當(dāng)時的具體思想過程,但是我們?nèi)钥梢灶I(lǐng)悟到,一個成熟的物理思想與采用何種表達(dá)方式是無必然性,然而,我們不可否認(rèn)麥克斯韋方程組揭示了電場與磁場相互轉(zhuǎn)化中產(chǎn)生的對稱性優(yōu)美,這種優(yōu)美以現(xiàn)代數(shù)學(xué)形式得到了充分的表達(dá)。這說明,真正的創(chuàng)造力來自于“思想實(shí)驗(yàn)”的性質(zhì)和選擇其表達(dá)方式的統(tǒng)一性。
麥克斯韋方程組以一種公理關(guān)系的方程組形式表達(dá)了電磁場的本質(zhì),其誕生的關(guān)鍵是“位移電流”的“思想實(shí)驗(yàn)”,這使我們領(lǐng)悟到思想形象與表達(dá)形式之間本質(zhì)性的統(tǒng)一性在人類理性思想中的作用和它們的文化影響,突出表現(xiàn)了物理學(xué)進(jìn)步的真正特征,同時給“思想實(shí)驗(yàn)”闡釋提供了一個最適用的案例。
參考文獻(xiàn):
[1]列昂.庫珀著.楊其方等譯.物理世界.海洋出版社,1981.
[2]麥克斯韋著.戈革譯.電磁通論.武漢出版社,1991.
關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué) 列方程 教學(xué)
方程作為一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，它對豐富學(xué)生解決問題的策略，提高解決問題的能力，發(fā)展學(xué)術(shù)素養(yǎng)有著非常重要的意義。
六年級(上冊)“方程”單元教學(xué)內(nèi)容的安排和數(shù)學(xué)的設(shè)計是在繼承傳統(tǒng)優(yōu)勢的基礎(chǔ)上，從便教利學(xué)出發(fā)，著眼于學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)，加強(qiáng)了學(xué)生的自主探索，注重學(xué)生對方程思想方法和價值的感受和體驗(yàn)。突破了傳統(tǒng)教材先學(xué)解方程。再利用解方程來解決實(shí)際問題的做法，把列方程解決實(shí)際問題和解方程安排在一起進(jìn)行教學(xué)，使學(xué)生在列方程解決實(shí)際問題的過程中學(xué)習(xí)解方程。教師在解讀教材，研究教法，學(xué)法，具體教學(xué)中可從以下幾個方面認(rèn)真把握。
一、從促進(jìn)學(xué)生有效地參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，提高學(xué)習(xí)效率出發(fā)，科學(xué)合理安排教學(xué)內(nèi)容
六年級(上冊)教科書“方程”單元安排了兩個例題，通過這部分內(nèi)容的教學(xué)，一方面可以使學(xué)生進(jìn)一步感受方程的思想和方法，增強(qiáng)用方程方法解決問題的意識和能力，另一方面，也能使學(xué)生進(jìn)一步積累解方程的經(jīng)驗(yàn)，從而為后續(xù)學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。
教材為了讓學(xué)生更好地參與數(shù)學(xué)活動，提高學(xué)習(xí)效率，把解方程和列方程解決實(shí)際問題的教學(xué)融為一體。同步進(jìn)行，這是和以前教材不同的編排。這兩道例題即教學(xué)解方程的思路和方法，和教學(xué)列方程的相等關(guān)系和技巧。這樣編排，能較好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)容和現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系。一方面分析實(shí)際問題里的數(shù)量關(guān)系，抽象成方程，形成知識與技能的教學(xué)內(nèi)容，提高了學(xué)生的求知欲望，觸動他們好奇心，為了解決實(shí)際問題，還必須解這道方程，促使學(xué)生主動學(xué)習(xí)解方程。提供了學(xué)習(xí)的內(nèi)容，也提供了學(xué)生自主探索的空間和進(jìn)行數(shù)學(xué)活動的機(jī)會。另一方面，利用方程解決實(shí)際問題，使知識技能的教學(xué)具有現(xiàn)實(shí)意義，成為數(shù)學(xué)思考、解決問題、情感態(tài)度有效發(fā)展的載體。在解決問題的過程中，學(xué)生充分體會到列方程和解方程的實(shí)際意義，感受到解方程是解決問題的途徑和必經(jīng)過程，枯燥的知識技能教學(xué)變得有意義、有情趣、有價值。
二、從引導(dǎo)學(xué)生主動學(xué)習(xí)方程解法考慮，讓學(xué)生在解決問題的過程中自主探索并掌握有關(guān)方程的解法
教材沒有把解方程作為教學(xué)的重點(diǎn)，而是把列方程解決實(shí)際問題作為教學(xué)的主線，讓學(xué)生在解決問題的過程中自主探索并掌握有關(guān)方程的解法。化復(fù)雜為簡單、變未知為已知是人們解決新穎問題的常用策略。教師要鼓勵學(xué)生自主解釋并理解運(yùn)算的依據(jù)，找出方法，從而初步掌握解法。突出轉(zhuǎn)化的過程，鼓勵學(xué)生獨(dú)立求解，復(fù)雜方程轉(zhuǎn)化成簡單方程，使新知識植根于已有的經(jīng)驗(yàn)和能力的基礎(chǔ)上，啟發(fā)學(xué)生結(jié)合題意檢驗(yàn)方程。進(jìn)一步理解并掌握解方程的完整過程。
練習(xí)過程中要先讓學(xué)生說說解每道方程的第一步要怎樣做，以及這樣做的根據(jù)是什么，然后讓學(xué)生獨(dú)立完成。交流時，除了關(guān)注學(xué)生是否求得了正確的解，還要關(guān)注學(xué)生解方程的過程是否進(jìn)行了檢驗(yàn)。這樣及時的練習(xí)使解方程的思路和方法得到了進(jìn)一步鞏固，也更好達(dá)成了解方程這個重要的教學(xué)目標(biāo)。
三、從學(xué)生的實(shí)際思維和有利于學(xué)生發(fā)展的角度，正確看待解方程的不同思路和不同解法
能解方程和會解方程是學(xué)生的基本技能，也是學(xué)習(xí)能力。教師在幫助學(xué)生掌握教材提供的利用等式的性質(zhì)解方程的基礎(chǔ)上，教師要尊重學(xué)生解決問題的實(shí)際情況，尊重他們所看好的策略和方法，從有利于學(xué)生思維、有利于學(xué)生解決問題和有利于學(xué)生發(fā)展的角度出發(fā)，正確地對待學(xué)生不同的思考和運(yùn)用不同的方法解方程。
既然讓學(xué)生在列方程解決實(shí)際問題的過程中學(xué)習(xí)解方程，那么，解方程的學(xué)習(xí)也應(yīng)該和數(shù)量關(guān)系的分析聯(lián)系起來。學(xué)生根據(jù)不同的數(shù)量關(guān)系可以列出不同的方程，也反映出學(xué)生在解方程時也會有各自獨(dú)到的思考過程，我們應(yīng)該尊重不同的思考。并幫助他們理清思路。同時也讓學(xué)生感受到解方程在解決實(shí)際問題過程中的價值。教學(xué)中，我們要充分尊重教材，領(lǐng)會教材的意圖，幫助學(xué)生完成必需的學(xué)習(xí)任務(wù)。在此基礎(chǔ)上，我們就要結(jié)合學(xué)生學(xué)習(xí)實(shí)際，從利于學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、利于發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思考，促進(jìn)學(xué)生有效發(fā)展的角度，科學(xué)地、綜合地、全面地考慮，通過創(chuàng)新教學(xué)，使教學(xué)真正扎實(shí)、有效和有可持續(xù)發(fā)展性。
四、從學(xué)生的數(shù)學(xué)體驗(yàn)和數(shù)學(xué)思想的滲透的高度思考，讓學(xué)生在解方程和列方程解決實(shí)際問題的過程中感受方程的思想方法和價值
本冊教材包括小數(shù)乘法、小數(shù)除法、小數(shù)四則混合運(yùn)算和應(yīng)用題、土地面積計算和簡易方程。本冊教材的重點(diǎn)是小數(shù)乘除法計算和簡易方程，難點(diǎn)是小數(shù)除法和列方程解應(yīng)用題。
小數(shù)乘法是整數(shù)乘法的擴(kuò)展和延伸。當(dāng)?shù)诙€因數(shù)是整數(shù)時，小數(shù)乘法的意義和整數(shù)乘法的意義相同；當(dāng)?shù)诙€因數(shù)是純小數(shù)時，小數(shù)乘法的意義有了擴(kuò)展，就是求一個數(shù)的十分之幾，百分之幾，千分之幾…….小數(shù)乘法的計算方法與整數(shù)乘法的計***算方法類似，只要掌握了積的小數(shù)點(diǎn)的定位方法，小數(shù)乘法的計算方法，應(yīng)刃而解，為此教材應(yīng)用積的變化規(guī)律，把小數(shù)乘法轉(zhuǎn)化為整數(shù)乘法進(jìn)行計算。
小數(shù)除法的意義與整數(shù)除法的意義相同，都是已知兩個因數(shù)的積和其中的一個因數(shù)，求另一個因數(shù)的運(yùn)算，小數(shù)除法的計算方法相對于小數(shù)乘法的計算方法則較為復(fù)雜。教材安排了兩個層次進(jìn)行教學(xué)：一是當(dāng)除數(shù)是整數(shù)時，計算方法與整數(shù)計算方法相同，只要弄清商里小數(shù)點(diǎn)的定位問題即可。二是當(dāng)除數(shù)是小數(shù)時，則根據(jù)商不變的性質(zhì)，把它轉(zhuǎn)化為除數(shù)是、整數(shù)的除法進(jìn)行計算。
小數(shù)四則混合運(yùn)算的運(yùn)算順序與整數(shù)四則混合運(yùn)算的運(yùn)算順序相同，通過教學(xué)和訓(xùn)練，提高學(xué)生計算的準(zhǔn)確性和熟練程度，培養(yǎng)學(xué)生靈活***應(yīng)用規(guī)律，簡便合理的進(jìn)行計算的能力。本冊教材的應(yīng)用題主要是整、小數(shù)的三步計算應(yīng)用題。通過教學(xué)，讓學(xué)生掌握分析應(yīng)用題數(shù)量關(guān)系的基本方法，學(xué)會列綜合式解答應(yīng)用題，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。
土地面積計算，教材主要安排了直線的測定、測量和土地面積單位的認(rèn)識、土地面積的計算等內(nèi)容。通過實(shí)踐操作，使學(xué)生掌握測量和的方法。
簡易方程是讓學(xué)生掌握一些簡單的代數(shù)知識，學(xué)會用字母表示數(shù)，表示常見的數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算定律、平面圖形的面積和周長計算公式等，理解方程的意義，學(xué)會接需兩、三不計算的 方程，并能列方程解應(yīng)用題。通過兩種方法的比較，體會到用方程解應(yīng)用題的優(yōu)越性，滲透數(shù)學(xué)思想。
二、學(xué)生情況的分析
本年級有300名學(xué)生。從能力上看，大部分學(xué)生能夠較好的接受課本上的新知識，勇于發(fā)表自己的意見，聽取和尊重別人的意見，獨(dú)立思考，掌握學(xué)法，大膽實(shí)踐，并能自評、自檢和自改。也有少數(shù)同學(xué)在解法上表現(xiàn)出自己獨(dú)到的見解，但存在的問題也有不少，如個別同學(xué)接受能力差或主動性不強(qiáng)，需要在教學(xué)中加以引導(dǎo)。還有個別學(xué)生比較聰明，但學(xué)習(xí)不勤奮，成績不理想。此外，在創(chuàng)造性方面也還需要進(jìn)一步加強(qiáng)。
三、教學(xué)目標(biāo)G
1、掌握小數(shù)乘除法的計算方法，能比較熟練地進(jìn)行計算。會用四舍五入法取積和商的近似數(shù)。
2、掌握小數(shù)四則混合運(yùn)算的運(yùn)算順序，并能正確地進(jìn)行計算。
3、會用分步列式或列綜合式解答整數(shù)、小數(shù)的三步計算應(yīng)用題。
4、會用簡單的測量工具或步測、目測測定直線，認(rèn)識土地面積單位，并能進(jìn)行簡單的土地面積計算。
5、能夠用字母表示數(shù)，表示常見的數(shù)量關(guān)系，運(yùn)算定律和公式，初步理解方程的意義，會解簡易方程，會列方程解應(yīng)用題。
6、會使用計算器。
四、教學(xué)措施
在教學(xué)中不僅要使學(xué)生扎實(shí)的掌握每一個知識點(diǎn)，同時還要注重學(xué)生情感的發(fā)展，把數(shù)學(xué)自身的特點(diǎn)和學(xué)生的學(xué)習(xí)規(guī)律有機(jī)的結(jié)合起來，必須做到以下幾點(diǎn)：
1、加強(qiáng)學(xué)習(xí)目的性教育，充分挖掘?qū)W生的潛能，發(fā)揮學(xué)生的主體作用。
2、增強(qiáng)學(xué)生的動手實(shí)踐能力，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念。
3、加強(qiáng)個別輔導(dǎo)，提高學(xué)困生的成績。對學(xué)困生要付出更多的關(guān)心和愛心，作業(yè)適當(dāng)降低要求。
4、多創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情景，大膽放手讓學(xué)生自學(xué)，解疑問難，發(fā)展學(xué)生的個性特長。
5、注意加強(qiáng)數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的聯(lián)系，讓學(xué)生在生活中解決數(shù)學(xué)問題，感受、體驗(yàn)、理解數(shù)學(xué)。
五、教學(xué)進(jìn)度表
周次起訖
江蘇“課程標(biāo)準(zhǔn)”中對導(dǎo)數(shù)部分的要求是：一、了解導(dǎo)數(shù)的概念及幾何意義；二、理解導(dǎo)數(shù)的定義，了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，包括求函數(shù)的極值、單調(diào)區(qū)間及判定函數(shù)的單調(diào)性等；三、導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用.根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)要求及本人在教學(xué)中了解的學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，提出在復(fù)習(xí)過程中的幾點(diǎn)想法：
一、注重導(dǎo)數(shù)的幾何意義
導(dǎo)數(shù)的幾何意義是高考涉及導(dǎo)數(shù)知識時經(jīng)常考查的一個知識點(diǎn)，如求切線的斜率、求切線的方程等，難點(diǎn)在于對其幾何意義的正確理解.
例1 （2008江蘇8）直線y=1[]2x+b是曲線y=lnx(x>0)的一條切線，則實(shí)數(shù)b＝.
解析 求曲線的切線（包括給出的點(diǎn)在或不在已知曲線上兩類情況）為主要內(nèi)容，求切線方程的難點(diǎn)在于分清“過點(diǎn)(x0,y0)的切線”與“點(diǎn)(x0,y0)處的切線”的差異.突破這個難點(diǎn)的關(guān)鍵是理解這兩種切線的不同之處在哪里：在過點(diǎn)(x0,y0)的切線中，點(diǎn)(x0,y0)不一定是切點(diǎn)，點(diǎn)(x0,y0)也不一定不在切線上；而點(diǎn)(x0,y0)處的切線，必以點(diǎn)(x0,y0)為切點(diǎn)，則此時切線的方程才是y-y0=f′(x0)(x-x0).求切線方程的常見方法有：①數(shù)形結(jié)合.②將直線方程代入曲線方程利用判別式.③利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義.
二、強(qiáng)化導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算及簡單應(yīng)用
導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用（單調(diào)性、極值、最值）的基礎(chǔ)，是高考重點(diǎn)考查的對象，考查的方式以填空題為主.
例2 （2009江蘇3）函數(shù)f(x)=x3-15x2-33x+6的單調(diào)減區(qū)間為.
解析 對于導(dǎo)數(shù)的復(fù)習(xí)，應(yīng)該立足基礎(chǔ)知識和基本方法，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：
（1）在求導(dǎo)過程中要緊扣求導(dǎo)法則，聯(lián)系基本函數(shù)求導(dǎo)公式，對于不具備求導(dǎo)法則結(jié)構(gòu)形式的要注意適當(dāng)恒等變形.（2）用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性、極值及最值時要特別注意函數(shù)的定義域，因?yàn)橐粋€函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的定義域可能和這個函數(shù)的定義域不相同.（3）近年高考中經(jīng)常出現(xiàn)以三次函數(shù)為背景的問題，復(fù)習(xí)中應(yīng)加以重視.
三、加強(qiáng)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)問題的研究
運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識，研究函數(shù)的性質(zhì)是歷年高考的熱點(diǎn)問題.高考試題常以解答題形式出現(xiàn)，主要考查利用導(dǎo)數(shù)為工具解決函數(shù)、方程及不等式有關(guān)的綜合問題，題目較難.
例3 （2011江蘇19）已知a，b是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=x3+ax,g(x)=x2+bx,f′(x)和g′(x)分別是f(x),g(x)的導(dǎo)函數(shù)，若f′(x)g′(x)≥0在區(qū)間Ⅰ上恒成立，則稱f(x)和g(x)在區(qū)間Ⅰ上單調(diào)性一致.
（1）設(shè)a>0，若函數(shù)f(x)和g(x)在區(qū)間［-1,+∞)上單調(diào)性一致,求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（2）設(shè)a
解析 這類問題常常涉及求函數(shù)解析式、求參數(shù)值或取值范圍問題.解決極值、極值點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的單調(diào)性，參數(shù)的取值范圍轉(zhuǎn)化為解不等式的問題，有時須要借助于方程的理論來解決，從而達(dá)到考查函數(shù)與方程、分類與整合的數(shù)學(xué)思想.
四、運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題
近幾年，高考越來越注重對實(shí)際問題的考查，因此要學(xué)會應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決有關(guān)最優(yōu)化的問題及即時速度、邊際成本等問題，學(xué)生要有運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識解決實(shí)際問題的意識、思想方法以及能力.實(shí)際應(yīng)用問題的考查將是高考的又一熱點(diǎn).
例4 （2010江蘇）將邊長為1 m的正三角形薄片，沿一條平行于底邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記S=(梯形的周長）2[]梯形的面積,則S的最小值是.
解析 解決實(shí)際應(yīng)用問題關(guān)鍵在于建立數(shù)學(xué)模型和目標(biāo)函數(shù).把“問題情景”譯為數(shù)學(xué)語言，找出問題的主要關(guān)系，并把問題的主要關(guān)系近似化、形式化，抽象成數(shù)學(xué)問題，再化歸為常規(guī)問題，選擇合適的教學(xué)方法求解（尤其要注意使用導(dǎo)數(shù)解決最優(yōu)化的問題）.
通過以上考點(diǎn)回顧和熱點(diǎn)分析，我們在導(dǎo)數(shù)的復(fù)習(xí)備考中須要注意以下幾個問題：
1.要把導(dǎo)數(shù)的復(fù)習(xí)放在函數(shù)大背景下來復(fù)習(xí).同時注意定義域優(yōu)先、函數(shù)方程的思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、恒不等式問題常見處理方法，等等.
2.要用好導(dǎo)數(shù)工具.要對已知函數(shù)進(jìn)行正確求導(dǎo)，特別注意的是分式、對數(shù)式、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，一定要對求導(dǎo)的結(jié)果進(jìn)行演算之后再進(jìn)行下一步的運(yùn)算.
關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué)物理方程 教學(xué)實(shí)踐 教學(xué)方法 教學(xué)效果
中圖分類號：G424 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A
Abstract "Mathematical physics equations" many science and engineering is an important foundation for professional courses to enhance students' scientific quality has far-reaching significance. In teaching practice， the authors focus on mobilizing the enthusiasm of students， improve the quality of teaching students the ability to continuously explore teaching teachings， lessons learned. In this article， the terms of teaching content， teaching methods and teaching methods， etc. Some experience summarized.
Key words Mathematical Physics Equations； teaching practice； teaching methods； teaching effects
數(shù)學(xué)物理方程是從物理問題中導(dǎo)出的反映客觀物理量在空間和時間上相互制約關(guān)系的偏微分方程（有時也包括常微分方程和積分方程），是物理過程的數(shù)學(xué)表達(dá)式。①眾多理工學(xué)科的本質(zhì)問題都可歸屬于對相應(yīng)的數(shù)學(xué)物理方程的研究，因此，數(shù)學(xué)物理方程是理工專業(yè)的一門重要的基礎(chǔ)課和必修課。該課程以偏微分方程作為研究對象，把數(shù)學(xué)理論、求解方法和物理實(shí)際緊密融合在一起。通過應(yīng)用物理定律對實(shí)際的物理問題建立數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言描述物理問題的能力；通過學(xué)習(xí)典型的數(shù)學(xué)物理方程的求解，為學(xué)生儲備解決實(shí)際物理問題的數(shù)學(xué)技能；通過對數(shù)學(xué)過程和物理意義的深入剖析，讓學(xué)生體會到形式與內(nèi)容的統(tǒng)一、科學(xué)內(nèi)在的美。因而，這門課程的開設(shè)，不僅為后續(xù)專業(yè)課的學(xué)習(xí)奠定了必要的數(shù)學(xué)知識，而且提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)物理素質(zhì)，對學(xué)生將來進(jìn)一步開展科學(xué)研究具有重要而深遠(yuǎn)的意義。然而，由于課程不僅涉及知識面廣，包含了高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、復(fù)變函數(shù)、常微分方程、積分變換、和物理學(xué)中力熱光電等知識，而且有大量的繁瑣數(shù)學(xué)推導(dǎo)，求解結(jié)果通常又是復(fù)雜的級數(shù)或者積分形式，其中又使用了三角函數(shù)或者特殊函數(shù)來表示，往往讓學(xué)生倍感枯燥、產(chǎn)生畏懼情緒，是一門公認(rèn)的較難課程。尤其對我們電信院學(xué)生來說，這門難學(xué)課程又是學(xué)習(xí)后續(xù)的電波傳播、電磁場理論、微波技術(shù)等其它幾門公認(rèn)難學(xué)課程的起點(diǎn)和基石，教師教好這門課程、學(xué)生學(xué)好這門課程顯得尤為重要。如何改進(jìn)教學(xué)教法，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的能動性，是教師所面臨的一項(xiàng)重要課題。筆者借鑒他人的教改經(jīng)驗(yàn)，在教學(xué)實(shí)踐中，從教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法和教學(xué)手段等多方面進(jìn)行了一些有益探索，并取得了良好的教學(xué)效果。
1 突出教學(xué)重點(diǎn)和注意教學(xué)方法
數(shù)學(xué)物理方程這門課程具有內(nèi)容多、難度大，而課時較少的特點(diǎn)，這就需要教師根據(jù)教學(xué)目的和教學(xué)要求全面把握教學(xué)內(nèi)容、突出教學(xué)重點(diǎn)。該課程的主要內(nèi)容是具有典型意義的三類偏微分方程的建立，以及分離變量法、行波法、積分變換法和格林函數(shù)法幾種典型的求解方法，因此，教師教學(xué)需要圍繞這些內(nèi)容展開，突出教學(xué)重點(diǎn)，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)三類方程建立和求解的過程中來逐漸掌握偏微分方程的基本理論。
注意循序漸進(jìn)安排教學(xué)內(nèi)容，便于學(xué)生對知識的理解和掌握，可以取得事半功倍的效果。例如，講解利用分離變量法求解兩端固定弦的自由振動方程后，可以引導(dǎo)學(xué)生思考，這種方法是否也能求解熱傳導(dǎo)方程和拉普拉斯方程？通過適當(dāng)練習(xí)，學(xué)生能夠掌握具有第一類其次邊界條件的偏微分方程的分離變量解法。再進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考，如果是第二類和第三類邊界條件，利用分離變量法求解，解的形式會是怎樣？經(jīng)過分析和練習(xí)，學(xué)生能夠舉一反三，熟練掌握分離變量法，并能深刻理解本征函數(shù)。在此基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)非齊次方程求解時，學(xué)生很容易地聯(lián)想到本征值和本征函數(shù)，培養(yǎng)了學(xué)生應(yīng)用知識的能力。
注意前后知識點(diǎn)的內(nèi)在邏輯性、突出知識體系的連續(xù)性和系統(tǒng)性，有利于學(xué)生形成自己的知識結(jié)構(gòu)。學(xué)生在學(xué)習(xí)兩類特殊函數(shù)時，容易迷失在繁瑣的數(shù)學(xué)推導(dǎo)中。授課時，我們結(jié)合簡單的專業(yè)研究現(xiàn)象來引導(dǎo)學(xué)生，對于大家常見的柱狀天線和球形天線，假如它們發(fā)射的電波滿足前面所學(xué)的第一、二或三類邊界條件，該如何進(jìn)行分離變量求解從而知道電波的傳播和分布呢？從而很自然引入球坐標(biāo)系和柱坐標(biāo)系下偏微分方程的表達(dá)形式，并類比前面所學(xué)知識，進(jìn)行變量分離，對每個分離后的微分方程尋找本征函數(shù)，勒讓德多項(xiàng)式和貝塞爾函數(shù)分別是相應(yīng)微分方程的本征函數(shù)而已。這樣，通過分離變量和本征函數(shù)的數(shù)學(xué)和物理思想，把前后知識融為一體，讓學(xué)生把厚書讀薄，牢固掌握。
注意知識的歸納總結(jié)，增強(qiáng)學(xué)生分析和解決問題的能力。盡管該課程教學(xué)課時緊，但是花少許時間對所學(xué)知識進(jìn)行歸納和歸納總結(jié)，會產(chǎn)生良好的教學(xué)效果。在教學(xué)的不同階段，可就三類方程、或者四種求解方法、或者不同的類型邊界條件、或者不同坐標(biāo)系下解的特點(diǎn)的角度，分別進(jìn)行對比總結(jié)，提高學(xué)生的分辨能力和求解技能。再如，在教學(xué)中，我們發(fā)現(xiàn)有部分學(xué)生容易把球坐標(biāo)系中軸對稱靜態(tài)問題和柱坐標(biāo)系中圓域的Dirichlet問題容易混淆，經(jīng)過教學(xué)總結(jié)，考試檢查中幾乎不再有學(xué)生犯這類錯誤了。
2 數(shù)學(xué)過程和物理意義并重
數(shù)學(xué)物理方程的教學(xué)中，肯定避免不了繁多的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和冗長的求解過程，然而，如果教師僅限于清楚講授數(shù)學(xué)過程和數(shù)學(xué)技巧，可能會使學(xué)生感到枯燥，失去對這門課程的好奇心和學(xué)習(xí)的興趣，尤其是在授課的早期階段、學(xué)生剛學(xué)習(xí)這門課程的時候。在教學(xué)過程中，注重從實(shí)際物理問題出發(fā)，利用物理規(guī)律和物理背景建立起數(shù)學(xué)物理方程，而且闡明數(shù)學(xué)過程和數(shù)學(xué)結(jié)果中的物理含義，從而使學(xué)生從數(shù)學(xué)的抽象思維中獲得感性的認(rèn)識，便于學(xué)生理解，讓這門課程真正起到培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際物理問題的能力的作用。
在教學(xué)過程中，我們結(jié)合學(xué)生專業(yè)特點(diǎn)以及可能繼續(xù)攻博的情況，深化了物理過程和物理意義的教學(xué)，注重理論學(xué)習(xí)聯(lián)系實(shí)際應(yīng)用。例如，面對眾多Fourier變化性質(zhì)，我們逐一解釋在電路、電波和通訊領(lǐng)域的應(yīng)用，學(xué)生都表現(xiàn)出濃厚的興趣，能很快理解和掌握這些性質(zhì)。對于包括自然邊界條件在內(nèi)的各類邊界條件，闡明在電磁場研究中的具體形式及其物理含義，并明確告訴學(xué)生，后續(xù)學(xué)習(xí)的電波理論和微波技術(shù)等課程，實(shí)質(zhì)上就是求解Maxwell偏微分方程組在不同初始條件和邊界條件下的解。結(jié)合球形天線和柱形天線，以及電波在大氣中的Mie散射等實(shí)際問題，讓學(xué)生認(rèn)識到為什么要在球坐標(biāo)系下和柱坐標(biāo)系下研究數(shù)學(xué)物理方程以及研究的重要性。對于方程的級數(shù)解和積分解等各種形式解的物理意義，我們都不惜深究，同時，向?qū)W生指明，這種從實(shí)際物理問題到數(shù)學(xué)建模求解，再從方程數(shù)學(xué)解回到實(shí)際的物理世界和物理意義的研究模式，實(shí)際上也是未來大家做學(xué)問的常用模式，不僅要習(xí)慣這種研究模式，而且要善于運(yùn)用這種研究模式。通過這種結(jié)合物理、聯(lián)系實(shí)際的教學(xué)，我們感到學(xué)生沒有被大量的數(shù)學(xué)推導(dǎo)模糊視野，非常熱愛學(xué)習(xí)這門課程，下課后經(jīng)常有大量的學(xué)生圍繞教師饒有興趣地開展討論，久久不愿離去。
在教學(xué)中，我們注重厘清數(shù)學(xué)和物理的內(nèi)在關(guān)系，讓學(xué)生認(rèn)識到該課程所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)和物理的高度統(tǒng)一。例如，客觀上，物理量的演變不僅受到物理規(guī)律的支配，還與物理量在周圍空間分布和上一時刻狀態(tài)有關(guān)，對應(yīng)于數(shù)學(xué)上，描述為偏微分方程和邊界條件、初始條件。再如，對初學(xué)分離變量法求解兩端固定弦自由振動方程獲得的級數(shù)解的深入分析。振動產(chǎn)生波，波是大家熟知的物質(zhì)世界的一種運(yùn)動形式。對于兩端固定的弦，弦的長度、線密度等固有因素，決定了弦振動的快慢即波動周期；同時，波速取決于介質(zhì)屬性，或者說弦的固有因素也決定了波速，這就意味著波長也是確定的；表示波動的數(shù)學(xué)形式是三角函數(shù)，用數(shù)學(xué)語言來說，就是方程的本征值和本征函數(shù)是確定的。那么，對于弦振動方程的求解，實(shí)質(zhì)上就是要確定弦中允許存在的一系列波譜成分的強(qiáng)度，具體由弦初始位移和初始速度中相應(yīng)譜成分決定，換成數(shù)學(xué)語言，解是三角函數(shù)的級數(shù)和，要計算的就是三角函數(shù)的系數(shù)，具體值由兩個初始條件做Fourier級數(shù)展開求得。因此，是客觀世界的運(yùn)動特征決定了解的數(shù)學(xué)表達(dá)形式，或者說，解的數(shù)學(xué)表達(dá)形式是對客觀世界運(yùn)動特征的恰當(dāng)描述。對非齊次邊界條件和非齊次方程的解、達(dá)朗貝爾解、積分解等各種形式的解，做類似的數(shù)學(xué)和物理分析，從而，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到，偏微分方程的求解通常是很困難的，一般很難找到一個較簡單的解析式解，我們的求解過程是物理和數(shù)學(xué)的高度統(tǒng)一，是數(shù)學(xué)和物理的和諧美，培養(yǎng)學(xué)生的鑒賞能力、科學(xué)素養(yǎng)和學(xué)習(xí)激情。
3 傳統(tǒng)和現(xiàn)代教學(xué)手段并用
教學(xué)過程，在傳統(tǒng)的粉筆板書的基礎(chǔ)上，靈活采用多種現(xiàn)代化教學(xué)手段，提高教學(xué)效果。傳統(tǒng)的板書教學(xué)方式，推導(dǎo)過程清楚直觀，便于對重難點(diǎn)進(jìn)行突破。雖然授課速度較慢，但對于接受新知識的學(xué)生來說，留有較充足的時間思考，印象深刻，便于課堂上消化所學(xué)知識。在課堂教學(xué)中，我們?nèi)匀灰詡鹘y(tǒng)的黑板板書為主要教學(xué)方式，繼續(xù)發(fā)揮傳統(tǒng)教學(xué)方式的優(yōu)勢。此外，盡管是大學(xué)教學(xué)，黑板板書也應(yīng)該盡量避免隨意性，對板書內(nèi)容和板書模式、課前根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和要求做好精心設(shè)計，條理清晰，利于學(xué)生學(xué)習(xí)。
同時，靈活應(yīng)用現(xiàn)代化的多媒體手段進(jìn)行輔助教學(xué)。對于一些背景知識、歸納總結(jié)、非重點(diǎn)教學(xué)內(nèi)容的定理和推導(dǎo)、以及部分教師擴(kuò)展的教學(xué)內(nèi)容，適合電子課件教學(xué)。充分利用Matlab和Maple等教學(xué)軟件，②發(fā)揮多媒體聲、圖和動畫視頻等優(yōu)勢，把物理情景和物理過程形象地展示出來，既豐富了課堂，又加深了學(xué)生的理解。而且，我們鼓勵學(xué)生自己動手編程，對物理過程進(jìn)行分和仿真，例如，有學(xué)生用動畫展示和比較了弦振動方程在三類邊界條件下的解，有學(xué)生成功模擬了柱坐標(biāo)系中柱面波的傳播、反射和衍射等現(xiàn)象。現(xiàn)代化的教學(xué)手段，深受學(xué)生歡迎。
總之，充分認(rèn)識到數(shù)學(xué)物理方程這門課程的重要性，根據(jù)課程的特點(diǎn)，在教學(xué)實(shí)踐中，我們始終以夯實(shí)學(xué)生基礎(chǔ)、培養(yǎng)學(xué)生能力為目標(biāo)，在激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、提升教學(xué)質(zhì)量上下足功夫，不斷探索和總結(jié)教學(xué)方法，取得了良好的成績。時代在發(fā)展，社會在進(jìn)步，知識在更新，教學(xué)無止境，需要我們教師相互學(xué)習(xí)、相互探討，堅持教學(xué)改革，為培養(yǎng)優(yōu)秀人才而不斷努力。
注釋
（一） 數(shù)與代數(shù)方面
本冊教材安排了小數(shù)乘法，小數(shù)除法和簡易方程。小數(shù)乘法和除法是在學(xué)生掌握了整數(shù)的四則運(yùn)算、小數(shù)的意義和性質(zhì)以及小數(shù)加減法的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)，繼續(xù)培養(yǎng)學(xué)生小數(shù)的四則運(yùn)算能力。簡易方程中有用字母表示數(shù)、等式的性質(zhì)、解簡單的方程、用方程表示等量關(guān)系進(jìn)而解決簡單的實(shí)際問題等內(nèi)容，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力，提高解決問題的能力。
（二）在空間與圖形方面，安排了觀察物體和多邊形的面積兩個單元。在已有知識和經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，探索并體會各種圖形的特征、圖形之間的關(guān)系，及圖形之間的轉(zhuǎn)化，掌握平行四邊形、三角形、梯形的面積公式及公式之間的關(guān)系，滲透平移、旋轉(zhuǎn)、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，促進(jìn)學(xué)生空間觀念的進(jìn)一步發(fā)展。
（三）在統(tǒng)計與概率方面，本冊教材讓學(xué)生學(xué)習(xí)有關(guān)可能性和中位數(shù)的知識。通過操作與實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生體驗(yàn)事件發(fā)生的等可能性以及游戲規(guī)則的公平性，學(xué)會求一些事件發(fā)生的可能性；在平均數(shù)的基礎(chǔ)上教學(xué)中位數(shù)。
（四）在用數(shù)學(xué)解決問題方面， 教材一方面結(jié)合小數(shù)乘法和除法兩個單元，教學(xué)用所學(xué)的乘除法計算知識解決生活中的簡單問題；另一方面，安排了“數(shù)學(xué)廣角”的教學(xué)內(nèi)容，通過觀察、猜測、實(shí)驗(yàn)、推理等活動，培養(yǎng)他們探索數(shù)學(xué)問題的興趣和發(fā)現(xiàn)、欣賞數(shù)學(xué)美的意識。
（五）本冊教材還安排了兩個數(shù)學(xué)綜合應(yīng)用的實(shí)踐活動，讓學(xué)生通過小組合作的探索活動，運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，體會探索的樂趣和數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用，感受用數(shù)學(xué)的愉悅，培養(yǎng)數(shù)學(xué)意識和實(shí)踐能力。
二、教學(xué)重點(diǎn)
小數(shù)乘法、除法，簡易方程，多邊形的面積，統(tǒng)計與可能性等是本冊教材的重點(diǎn)教學(xué)內(nèi)容。
三、教學(xué)難點(diǎn)
理解小數(shù)乘、除法的算理，理解用字母表示數(shù)的意義，理解用字母表示數(shù)的公式，理解方程的意義及等式的基本性質(zhì)，根據(jù)題意分析數(shù)量間的相等關(guān)系，理解多邊行面積公式的推導(dǎo)過程。
四、教學(xué)目標(biāo)
1、使學(xué)生在理解小數(shù)的意義和性質(zhì)的基礎(chǔ)上。比較熟練地進(jìn)行小數(shù)乘法和小數(shù)除法的筆算和簡算。
2、使學(xué)生學(xué)會用字母表示數(shù)，表示常見的數(shù)量關(guān)系，初步理解方程的含義，會解簡易方程。3、探索并掌握平行四邊形、三角形和梯形面積的計算公式，會計算它們的面積。
4、能辨認(rèn)從不同方位看到的物體的形狀和相對公式。
5、理解中位數(shù)的意義，會求數(shù)據(jù)的中位數(shù)。
6、體驗(yàn)事件發(fā)生的等可能性以及游戲規(guī)則的公平，會求一些事件發(fā)生的可能性；能對簡單事件發(fā)生的可能性作出預(yù)測，進(jìn)一步體會概率在現(xiàn)實(shí)生活中的作用。培養(yǎng)學(xué)生的環(huán)保意識，爭做環(huán)保小衛(wèi)士，向周邊的居民宣傳有關(guān)禁毒知識，做禁毒宣傳的小能手。
7、經(jīng)歷從實(shí)際生活中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題的過程。體會數(shù)學(xué)在日常生活中的作用，初步形成綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力。
8、初步了解數(shù)字編碼的思想方法，培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)生活中數(shù)學(xué)的意識，初步形成觀察、分析及推理的能力。
關(guān)鍵詞 圓；切線；轉(zhuǎn)化；化歸；參數(shù)；平移
眾所周知過已知圓圓上一點(diǎn)有且只有一條切線，而且可以利用公式直接寫切線方程。那么，過圓x-a■+y-b■=r■ 外一點(diǎn) px■，y■作圓的切線有兩條，如何求切線方程呢？下面以一道習(xí)題來分析：
例：從點(diǎn) p-2，-1向圓x■+y■-4x+2y+1=0引切線，求切點(diǎn)坐標(biāo)與切線方程。
解法一：判別式法。不妨設(shè)切線的斜率存在，記作k ，
那么過點(diǎn) p-2，-1 的直線方程為：y+1=kx+2，
由y+1=kx+2 x■-4x+y+1■=0，得1+k■x■+4k■-1x+4k■=0
由直線與圓相切有，=16k■-1-16k■1+k■=0，解得k=±■
此時切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x=-■=1，將x=1代入圓的方程，解得y=-1+■，
即切點(diǎn)坐標(biāo)為1，-1+■，1，-1-■ 。
將k=±■代入，得兩條切線方程為：x-■y+2-■=0，x+■y+2+■=0。
點(diǎn)評：此法從相切的定義得到（有且只有一個公共點(diǎn)）。但要注意，若求得的k值只有一個，再驗(yàn)證斜率不存在且過點(diǎn)p-2，-1的直線是否為切線。
解法二：幾何法。圓的方程化為x-2■+y+1■=4，圓心C（2，-1）。設(shè)切線的斜率為k （存在時），則過點(diǎn)p-2，-1的直線方程為y+1=kx+2，即y-kx-2k+1=0。由平面幾何知識，圓心 C（2，-1）到切線的距離等于圓半徑，所以d=■=2。解得k=±■。將k=±■代入切線方程，得兩條切線方程為 x-■y+2-■=0，x+■y+2+■=0。將切線方程y+1=±■（x+2） 代入圓的方程，得x-2■+■x+2■=4，解得x=1，再代入切線方程，得y=-1±■ ，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為-1，-1+■，1，-1-■。
點(diǎn)評：利用相切的幾何意義（圓心到直線距離等于半徑）。若求得的 值只有一個，再驗(yàn)證斜率不存在且過點(diǎn) p-2，-1的直線是否為切線。就求切線方程而言，較解法一可減少運(yùn)算量，值得重視。當(dāng)然法一，法二都是我們最容易想到的方法。
解法三：轉(zhuǎn)化與化歸法。設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為A（x1，y1），為圓上一點(diǎn)那么利用公式得過點(diǎn)A的圓的切線方程為：x■x+y■y-2x+x■+y+y■+1=0
因?yàn)榍芯€過點(diǎn)p-2，-1，所以-2x■-y■+4-2x■-1+y■+1=0，解得x1=1，
代入圓的方程，解得y1=-1+■或 y1=-1-■。
所以切點(diǎn)坐標(biāo)為1，-1+■，1，-1-■ ，
所以切線方程為：x-■y+2-■=0或x+■y+2+■=0。
解法四：參數(shù)法。圓的方程化為x-2■+y+1■=4，故可設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為2+2cos？茲，-1+2sin？茲，？茲∈[0，2？仔）， 則切線方程為 x-2·2cos？茲+y+1·2sin？茲=4。因?yàn)榍芯€過點(diǎn)p-2，-1，代入切線方程，得-8cos？茲=4 ，所以cos？茲=-■，sin？茲=±■。所以切點(diǎn)坐標(biāo)為1，-1+■，1，-1-■，切線方程為 x-■y+2-■=0或 x+■y+2+■=0。
點(diǎn)評：若出Acos？茲+Bsin？茲=C 型，可將Acos？茲移到右邊，再兩邊平方求解。
解法五：平移轉(zhuǎn)化法。圓的方程化為x-2■+y+1■=4，將圓和點(diǎn) p-2，-1同時按向量■=（-2，1）平移（x'=x-2，y'=y+1，從而 ，x=x'+2，y=y'-1），得到的圖形所對應(yīng)的方程為 x2+y2=4（改寫后）和點(diǎn)p（-4，0）。設(shè)此時切點(diǎn)坐標(biāo)為（x0，y0），則切線方程為xx■+yy■=4，因其過點(diǎn)p（-4，0），所以-4x■=4，x■=-1 。將x■=-1代入圓的方程 x2+y2=4解得y0=±■，所以切線方程為x±■y+4=0 （即切線方程為x'±■y'+4=0 ），切點(diǎn)為-1，±■。再將所得的切線和切點(diǎn)按向量-■=（2，-1）平移，得到所要求的切點(diǎn)坐標(biāo)為1，-1±■ ，切線方程為x-2 ±■y+1+4=0，即切點(diǎn)坐標(biāo)為1，-1+■，1，-1-■，切線方程為x-■y+2-■=0 或x+■y+2+■=0 。
關(guān)鍵詞：定義解題；拋物線
中圖分類號：G40 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1006-4117（2012）02-0269-02
定義是必須掌握的基礎(chǔ)知識，也是解決問題的重要工具，用定義解題，可以變繁為簡，起到事半功倍的效果。
要靈活運(yùn)用拋物線的定義來解決問題，一般情況下涉及焦點(diǎn)問題則應(yīng)首先考慮定義。利用定義尋找等量關(guān)系使得求拋物線方程簡便易行。
要求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程包括“定位”和“定量”兩個方面。“定位”是指確定它們與坐標(biāo)系的相對位置，在中心是原點(diǎn)的前提下，確定焦點(diǎn)位于哪條坐標(biāo)軸上，開口向哪，以判斷方程的形式；“定量”是指P的具體數(shù)值，常用待定系數(shù)法.
“回歸定義”是一種重要的解題策略，要培養(yǎng)用定義解題的意識，特別在求有關(guān)拋物線的最值問題時，常利用定義把到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，結(jié)合幾何圖形利用幾何意義去解題。
要準(zhǔn)確把握拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的結(jié)構(gòu)特征以及“標(biāo)準(zhǔn)”的含義，能從它的標(biāo)準(zhǔn)方程讀出幾何性質(zhì)，更要能夠利用標(biāo)準(zhǔn)方程解決問題。
“看到準(zhǔn)線想焦點(diǎn)，看到焦點(diǎn)想準(zhǔn)線”從而獲得簡捷直觀的求解，“由數(shù)想形，由形想數(shù)，數(shù)形結(jié)合”是靈活解題的一條捷徑。
一、求最值
例1.已知點(diǎn)P是拋物線y2=2x上的一個動點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)（0，2）的距離與P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為（A）
例2.過拋物線x2=2py(p>0)的焦點(diǎn) 作傾角為30°的直線，與拋物線分別交于A、B兩點(diǎn)（A在y軸左側(cè)），則
例3.設(shè)P是拋物線y2=4x上的一個動點(diǎn)，F(xiàn)是焦點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)P到點(diǎn)A(-1,1)的距離與點(diǎn)P到直線X=-1的距離之和的最小值；
（2）若B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，2），求|PB|+|PF|的最小值．
解析：（1）如圖1，易知拋物線的焦點(diǎn)為 ，準(zhǔn)線是X=-1．由拋物線的定義知：點(diǎn)P到直線X=-1的距離等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離．于是，問題轉(zhuǎn)化為：在曲線上求一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)A(-1,1)的距離與點(diǎn)P到F(1,0)的距離之和最小．顯然，連結(jié) 交拋物線于P點(diǎn)．
點(diǎn)評：此題利用拋物線的定義，使拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離與點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離相互轉(zhuǎn)化，再利用平面幾何中的知識，使問題獲解。
二、求曲線的方程
例1圓心在拋物線 上且與x軸及拋物線的準(zhǔn)線都相切，求該圓的方程．
點(diǎn)評：本題利用拋物線的定義，可知切點(diǎn)與焦點(diǎn)重合，從而確定了點(diǎn)的坐標(biāo)，使問題的求解變的很順暢．定義法是求軌跡問題的重要方法之一.
三、確定方程的曲線
點(diǎn)評：本題若直接化簡方程，再判斷其軌跡較繁雜，根據(jù)方程兩邊所表示的幾何意義，利用拋物線的定義則簡單易行．
四、探究證明
點(diǎn)評：數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法在解析幾何中有很多的應(yīng)用，在學(xué)習(xí)中，學(xué)生要善于把已知條件轉(zhuǎn)化成圖形中量與量的數(shù)量關(guān)系及其位置關(guān)系，再由圖形去研究問題。
作者單位：三門峽市實(shí)驗(yàn)高中
參考文獻(xiàn):
