時間：2023-05-30 10:36:56
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創(chuàng)造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇數(shù)學試題，希望這些內容能成為您創(chuàng)作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
一、在趣味中挑戰(zhàn)學生的綜合知識
【例】謎語是中華文化的瑰寶之一，請聯(lián)系生活經(jīng)驗仔細琢磨，猜一猜：
（1）1000×10=10000 （打一四字成語）；
（2）七天七夜 （打一兩字數(shù)學名詞）；
（3）老爺爺參加賽跑 （打一我國古代數(shù)學家人名）；
（4）黑頭發(fā)飄起來 （打一兩字計量單位）。
賞析：這是一組巧借“謎語”外衣的趣味題，答案分別是“成千上萬、周長、祖沖之和毫升”。學生看到這樣的趣味題，似乎不覺是在考試，而是在進行游戲，做題的興致會很高。這樣的趣味題融入了日常生活百科知識，既需要學生將生活與數(shù)學進行有效“鏈接”，更需要學生對數(shù)學知識的本意及潛在的寓意有深度的理解，完全在挑戰(zhàn)學生的綜合應用知識的能力，
導向：數(shù)學試題不僅應規(guī)避“繁、難、偏、舊”，而且要切實改變數(shù)學試題本身的“冷面孔”（當然并不是所有試題都要改的）。相信以上這組“一點即破”式試題，“猜”的背后其實是對學生綜合知識活用的挑戰(zhàn)，讓學生不覺數(shù)學枯燥，反覺學習數(shù)學知識很有趣，很有用。
二、在閱讀中挑戰(zhàn)學生的鉆研能力
導向：“書本書本，教學之本”。此類試題意在導向教師對課本做合理的“二次開發(fā)”，將靜態(tài)的教材資源動態(tài)地呈現(xiàn)在學生面前，讓學生在有限的文字表達之下探尋其所蘊藏的數(shù)學元素，提高學生鉆研數(shù)學教材的能力。
三、在推理中挑戰(zhàn)學生的思辨功底
（：80分） 姓名_________成績________
一、填空。
1、 五百零三萬七千寫作（ ），7295300省略“萬”后面的尾數(shù)約是（ ）萬。
2、 1小時15分＝（ ）小時 5.05公頃＝（ ）平方米
3、 在1.66，1.6，1.7%和3/4中，的數(shù)是（ ），最小的數(shù)是（ ）。
4、 在比例尺1：30000000的地圖上，量得A地到B地的距離是3.5厘米，則A地到B地的實際距離是（ ）。
5、 甲乙兩數(shù)的和是28，甲與乙的比是3：4，乙數(shù)是（ ），甲乙兩數(shù)的差是（ ）。
6、 一個兩位小數(shù)，若去掉它的小數(shù)點，得到的新數(shù)比原數(shù)多47.52。這個兩位小數(shù)是（ ）。
7、 A、B兩個數(shù)是互質數(shù)，它們的公因數(shù)是（ ），最小公倍數(shù)是（ ）。
8、 小紅把2000元存入銀行，存期一年，年利率為2.68%，利息稅是5%，那么到期時可得利息（ ）元。
9、 在邊長為a厘米的正方形上剪下一個的圓，這個圓與正方形的周長比是（ ）。
10、 一種鐵絲1/2米重1/3千克，這種鐵絲1米重（ ）千克，1千克長（ ）米。
11、 一個圓柱與一個圓錐體積相等，底面積也相等。已知圓柱的高是12厘米，圓錐的高是（ ）。
12、 已知一個比例中兩個外項的積是最小的合數(shù)，一個內項是5/6，另一個內項是（ ）。
13、 一輛汽車從A城到B城，去時每小時行30千米，返回時每小時行25千米。去時和返回時的速度比是（ ），在相同的時間里，行的路程比是（ ），往返AB兩城所需要的時間比是（ ）。
二、判斷。
1、小數(shù)都比整數(shù)小。（ ）
2、把一根長為1米的繩子分成5段，每段長1/5米。（ ）
3、甲數(shù)的1/4等于乙數(shù)的1/6，則甲乙兩數(shù)之比為2：3。（ ）
4、任何一個質數(shù)加上1，必定是合數(shù)。（ ）
5、半徑為2厘米的加，圓的周長和面積相等。（ ）
三、選擇。
1、2009年第一季度與第二季度的天數(shù)相比是（ ）
A、第一季度多一天 B、天數(shù)相等 C、第二季度多1天
2、一個三角形最小的銳角是50度，這個三角形一定是（ ）三角形。
A、鈍角 B、直角 C、銳角
3、一件商品先漲價5%，后又降價5%，則（ ）
A、現(xiàn)價比原價低 B、現(xiàn)價比原價高 C、現(xiàn)價和原價一樣
4、把12.5%后的%去掉，這個數(shù)（ ）
A、擴大到原來的100倍 B、縮小原來的1/100 C、大小不變
5、孫爺爺今年a歲，張伯伯今年（a－20）歲，過X年后，他們相差（ ）歲。
A、20 B、X+20 C、X－20
6、在一條線段中間另有6個點，則這8個點可以構成（ ）條線段。
A、21 B、28 C、36
四、計算。
1、直接寫出得數(shù)。
< src=szxuexiao.com/uploadimages/2014/0220/2014220155235.jpg?m=0.5926356699783355 border=0>
4、求陰影部分的面積（單位：厘米）。
< src=szxuexiao.com/uploadimages/2014/0220/2014220155325.jpg?m=0.8787940696347505 border=0>
五、 綜合運用。
1、甲乙兩個商場出售洗衣機，一月份甲商場共售出980臺，比乙商場多售出1/6，甲商場比乙商場多售出多少臺？
2、農機廠計劃生產(chǎn)800臺，平均每天生產(chǎn)44臺，生產(chǎn)了10天，余下的任務要求8天完成，平均每天要生產(chǎn)多少臺？
3、一間教室要用方磚鋪地。用邊長是3分米的正方形方磚，需要960塊，如果改用邊長為2分米的正方形方磚，需要多少塊？（用比例解）
4、一個長為12厘米的長方形的面積比邊長是12厘米的正方形面積少36平方厘米。這個長方形的寬是多少厘米？
5、六年級三個班植樹，任務分配是：甲班要植三個班植樹總棵樹的40%，乙、丙兩班植樹的棵樹的比是4：3，當甲班植樹200棵時，正好完成三個班植樹總棵樹的2/7。丙班植樹多少棵？
6、請根據(jù)下面的統(tǒng)計圖回答下列問題。
< src=szxuexiao.com/uploadimages/2014/0220/2014220155444.jpg?m=0.24772450421005487 border=0>
⑴（ ）月份收入和支出相差最小。
⑵9月份收入和支出相差（ ）萬元。
⑶全年實際收入（ ）萬元。
【導語】功能技成，庖丁解牛久練而技進乎道;路在腳下，荀子勸學博學則青出于藍。2018年內蒙古高考數(shù)學考試已結束，同時2018年內蒙古高考數(shù)學試題已公布，
2018年內蒙古高考數(shù)學理試卷采用全國Ⅱ卷，全國卷Ⅱ適用地區(qū)包括：隴、青、蒙、黑、吉、遼、寧、新、陜、渝、瓊。廣大考生可點擊下面文字鏈接查看。
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【導語】駕馭命運的舵是奮斗。不抱有一絲幻想，不放棄一點機會，不停止一日努力。2018年黑龍江高考數(shù)學考試已結束，同時2018年黑龍江高考數(shù)學試題已公布，
2018年黑龍江高考數(shù)學理試卷采用全國Ⅱ卷，全國卷Ⅱ適用地區(qū)包括：隴、青、蒙、黑、吉、遼、寧、新、陜、渝、瓊。廣大考生可點擊下面文字鏈接查看。
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考生可點擊進入甘肅高考頻道《2019年甘肅高考數(shù)學試題及答案欄目》查看甘肅高考數(shù)學試題及答案信息。
高考時間
全國統(tǒng)考于6月7日開始舉行，具體科目考試時間安排為:6月7日9:00至11:30語文；15:00至17:00數(shù)學。6月8日9:00至11:30文科綜合/理科綜合;15:00至17:00外語,有外語聽力測試內容的應安排在外語筆試考試開始前進行。
各省(區(qū)、市)考試科目名稱與全國統(tǒng)考科目名稱相同的必須與全國統(tǒng)考時間安排一致。具體考試科目時間安排報教育部考試中心備案后。
全國統(tǒng)考科目中的外語分英語、俄語、日語、法語、德語、西班牙語等6個語種，由考生任選其中一個語種參加考試。
.customers1{border-collapse:collapse; width:100%;}.customers1 tr td {background-color:#fff; color:#666; border:1px solid #dbdbdb; padding:8px 0px; text-align:center;}時間6月7日6月8日上午語文(09:00:00-11:30:00)文科綜合/理科綜合(09:00:00-11:30:00)下午數(shù)學(15:00:00-17:00:00)外語(15:00:00-17:00:00)答題規(guī)范
選擇題：必須用2B鉛筆按填涂示例將答題卡上對應的選項涂滿、涂黑；修改答題時，應使用橡皮輕擦干凈并不留痕跡，注意不要擦破答題卡。
非選擇題：必須用0.5毫米黑色墨水簽字筆在各題規(guī)定的答題區(qū)域內答題，切不可答題錯位、答題題號順序顛倒、超出本題答題區(qū)域（超出答題卡黑色邊框線）作答，否則答案無效。如修改答案，就用筆將廢棄內容劃去，然后在劃去內容上方或下方寫出新的答案；或使用橡皮擦掉廢棄內容后，再書寫新的內容。
作圖：須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條及符號等須加黑、加粗。
選考題：先用2B鉛筆將所選考試題的題號涂黑，然后用0.5毫米黑色墨水簽字筆在該題規(guī)定的答題區(qū)域內對應作答，切不可選涂題號與所答內容不一致，或不填涂、多填涂題號。
特別提醒：考生不要將答題卡折疊、弄破；嚴禁在答題卡的條形碼和圖像定位點（黑方塊）周圍做任何涂寫和標記，禁止涂劃條形碼；不得在答題卡上任意涂畫或作標記。
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各省(區(qū)、市)考試科目名稱與全國統(tǒng)考科目名稱相同的必須與全國統(tǒng)考時間安排一致。具體考試科目時間安排報教育部考試中心備案后。
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.customers1{border-collapse:collapse; width:100%;}.customers1 tr td {background-color:#fff; color:#666; border:1px solid #dbdbdb; padding:8px 0px; text-align:center;}時間6月7日6月8日上午語文(09:00:00-11:30:00)文科綜合/理科綜合(09:00:00-11:30:00)下午數(shù)學(15:00:00-17:00:00)外語(15:00:00-17:00:00)答題規(guī)范
選擇題：必須用2B鉛筆按填涂示例將答題卡上對應的選項涂滿、涂黑；修改答題時，應使用橡皮輕擦干凈并不留痕跡，注意不要擦破答題卡。
非選擇題：必須用0.5毫米黑色墨水簽字筆在各題規(guī)定的答題區(qū)域內答題，切不可答題錯位、答題題號順序顛倒、超出本題答題區(qū)域（超出答題卡黑色邊框線）作答，否則答案無效。如修改答案，就用筆將廢棄內容劃去，然后在劃去內容上方或下方寫出新的答案；或使用橡皮擦掉廢棄內容后，再書寫新的內容。
作圖：須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條及符號等須加黑、加粗。
選考題：先用2B鉛筆將所選考試題的題號涂黑，然后用0.5毫米黑色墨水簽字筆在該題規(guī)定的答題區(qū)域內對應作答，切不可選涂題號與所答內容不一致，或不填涂、多填涂題號。
特別提醒：考生不要將答題卡折疊、弄破；嚴禁在答題卡的條形碼和圖像定位點（黑方塊）周圍做任何涂寫和標記，禁止涂劃條形碼；不得在答題卡上任意涂畫或作標記。
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全國統(tǒng)考于6月7日開始舉行，具體科目考試時間安排為:6月7日9:00至11:30語文；15:00至17:00數(shù)學。6月8日9:00至11:30文科綜合/理科綜合;15:00至17:00外語,有外語聽力測試內容的應安排在外語筆試考試開始前進行。
各省(區(qū)、市)考試科目名稱與全國統(tǒng)考科目名稱相同的必須與全國統(tǒng)考時間安排一致。具體考試科目時間安排報教育部考試中心備案后。
全國統(tǒng)考科目中的外語分英語、俄語、日語、法語、德語、西班牙語等6個語種，由考生任選其中一個語種參加考試。
.customers1{border-collapse:collapse; width:100%;}.customers1 tr td {background-color:#fff; color:#666; border:1px solid #dbdbdb; padding:8px 0px; text-align:center;}時間6月7日6月8日上午語文(09:00:00-11:30:00)文科綜合/理科綜合(09:00:00-11:30:00)下午數(shù)學(15:00:00-17:00:00)外語(15:00:00-17:00:00)答題規(guī)范
選擇題：必須用2B鉛筆按填涂示例將答題卡上對應的選項涂滿、涂黑；修改答題時，應使用橡皮輕擦干凈并不留痕跡，注意不要擦破答題卡。
非選擇題：必須用0.5毫米黑色墨水簽字筆在各題規(guī)定的答題區(qū)域內答題，切不可答題錯位、答題題號順序顛倒、超出本題答題區(qū)域（超出答題卡黑色邊框線）作答，否則答案無效。如修改答案，就用筆將廢棄內容劃去，然后在劃去內容上方或下方寫出新的答案；或使用橡皮擦掉廢棄內容后，再書寫新的內容。
作圖：須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條及符號等須加黑、加粗。
選考題：先用2B鉛筆將所選考試題的題號涂黑，然后用0.5毫米黑色墨水簽字筆在該題規(guī)定的答題區(qū)域內對應作答，切不可選涂題號與所答內容不一致，或不填涂、多填涂題號。
特別提醒：考生不要將答題卡折疊、弄破；嚴禁在答題卡的條形碼和圖像定位點（黑方塊）周圍做任何涂寫和標記，禁止涂劃條形碼；不得在答題卡上任意涂畫或作標記。
關鍵詞： 江蘇高考 數(shù)學試題 特點
縱觀近年江蘇高考數(shù)學試題，專家學者都有這樣的共識：試卷較好地遵循了新課程理念，試卷結構漸趨科學，試題難度更顯合理，整體測試注重基礎，凸顯能力，題型布局與占比相對固定，知識分布與考查靈活多變，看似簡單實非容易，欲拿高分也不是易事。一線師生更有同感：走進考場看到試題覺得平時復習搞難了，但走出考場對照答案又后悔考試狀態(tài)并不最佳。這些值得我們全面審視與深刻反思，對此，筆者從近年高考實際出發(fā)，結合平時教學實踐，談談對江蘇高考數(shù)學試題的體會。
一、重基礎，高考一貫遵循的基本原則
基礎知識、基本技能和通性通法等基礎是平時教育的第一步，也是最終考查的主要內容，江蘇高考同樣一貫遵循重基礎的基本原則，自2008年至今，數(shù)學學科高考試卷模式基本保持不變，試題總分為160分，I卷為14個填空題，每題5分，共計70分，II卷為6個解答題，分別為14分或16分，共計90分。根據(jù)考試說明，其中容易題、中等題和難題所占比例大致為4：4：2，充分體現(xiàn)了以基礎考查為主的原則。理科附加題總分為40分，4個解答題，每題10分，難度比例大致為5：4：1，依舊遵循重基礎的基本原則。與往年相比，近幾年重基礎的趨勢愈發(fā)明顯，試題更突出對基本概念和基礎知識的理解，更突出對常規(guī)方法和基本技能的直接運用，I卷仍舊以基礎考查為主，從近3年高考真題來看，1至8題均比較容易，不少考生可以將答題平均速度控制在每題1分鐘以內，平均得分也能控制在35以上，I卷的壓軸題13、14題較往年也明顯降低了要求。II卷以能力考查為主，但前三題依舊是基礎題，其中三角函數(shù)和立體幾何的運算量明顯減少，特別是立幾，近幾年大都以柱體等簡單幾何體為命題背景，圍繞點、線、面的基本位置關系，考查方式以基本定性或定量為主，II卷的中檔題也慢慢趨向于相關知識的運用和基本技能的應用，而傳統(tǒng)意義上的壓軸題由以往的幾乎無人問津的高檔題，慢慢變?yōu)槿缃裨絹碓健坝H民化”的靈活考查，如2015年的壓軸題就很親民，第一問是平時常用的一個結論，所以其證明也比較容易，第二問屬中檔題，并非很難，考生只要沉著應戰(zhàn)就能得到該得的分數(shù)。
二、促規(guī)范，高考始終強化的基本要素
規(guī)范答題是培養(yǎng)學生做事嚴謹?shù)闹匾緩剑虼私忸}規(guī)范一直有著嚴格的要求，特別是隨著以學生綜合能力考查為核心的江蘇新高考的不斷推進，規(guī)范作答作為一個不可小視的問題，正受到越來越多師生的高度重視。2015年第7題就是近年高考中經(jīng)常出現(xiàn)的不等式的解集問題，不少考生辛辛苦苦算到了正確結果，但由于沒有寫成集合形式最終“會而不得分”，這就是典型的不規(guī)范導致的失分，實屬可惜。還有一個不容忽視的問題就是“跳步”現(xiàn)象，如在立體幾何和證明過程中，欲證線面平行，若有如下寫法：AB∥CD，AB∥EF?AB∥平面CDEF，則顯得不規(guī)范。直線CD與EF是什么關系呢？若相交，則結論正確；若異面或平行，則結論錯誤?？梢?，如果平時不加以提醒和加強訓練，就很容易出現(xiàn)漏寫單位、表達不全、標注不對、應用題漏答等不規(guī)范問題，最終導致失分。所以，解題規(guī)范關鍵在于平時的嚴格要求與認真訓練，解答的表述要符合邏輯要求，不能因果順序顛倒，過程的書寫要符合規(guī)范標準，不能隨心所欲圖方便。輔助線的添加要正確，實線與虛線要分清，大小寫字母運用要標準，旁邊所作輔助圖形都要交代清楚，且要保持前后一致，應用題的坐標系要根據(jù)實際意義正確建立，橫、縱坐標要按照實際需要科學標注，方程化簡要避免類似于多項式化簡過程中出現(xiàn)的連續(xù)等下去的錯誤現(xiàn)象，答案要符合實際意義，最后一定要進行文字作答，引入?yún)?shù)一定要交代其取值范圍，最終答案要回歸到題目原本要求。因此，我們在平時就要加強針對性訓練，真正做到審題仔細、數(shù)學語言準確、解題過程完整、書寫表述規(guī)范，演繹要有理有據(jù)，步驟清晰，表達準確到位，真正形成良好的解題規(guī)范。
三、強能力，高考不斷凸顯的根本核心
高考作為最具權威的選拔性考試，注重對學生能力的培養(yǎng)與考查是其導向所在，也是其實施的重心所在，更是江蘇新高考不斷凸顯的根本核心。B級與C級考點是每年高考的能力題之命題“原材料”，一般出現(xiàn)在I卷的第10題往后，II卷通常以能力考查為主，特別是第18題至20題，能力要求相對較高，往往是對學生綜合能力的集中考查?！俺橄蟾爬芰Α⒖臻g想象能力、數(shù)據(jù)處理能力、運算求解能力和推理論證能力”，對這“五大能力”的考查看起來就不簡單，而又著實神秘，只有在每年的6月8日才揭開其面紗，真真切切地以每個真題在高考試卷中亮相，卻又每年穿著不同的外衣、演著不同的角色、起著不同的作用，面對每年的實際試題，大家是仁智各見，褒貶不一。但是，筆者認為萬變不離其宗，只是考查的側重不同而已，且近年的高考試題特別是從2013年開始，確實是“穩(wěn)中求變，亮點頻出，精彩紛呈”。以2015年試題為例，第10題考查知識很基礎，能力要求不算高，但呈現(xiàn)方式卻很靈活。再如第13題，題設兩個函數(shù)比較熟悉，目標方程也不復雜，定性不定量、利用數(shù)形結合及分類討論思想解決問題的解題策略容易確立，但綜合能力要求明顯較高，需要考生具備相應的數(shù)學思想與方法。相比之下，第17題的第2小題對運算求解能力和數(shù)據(jù)處理能力的要求就顯得直接而給力。作為壓軸的第19、20題仍然以高次函數(shù)和數(shù)列為命題背景，讓考生既心里有數(shù)又有心理準備，題目層次分明，區(qū)分度明顯，能力要求高，充分發(fā)揮了把關功能?？梢?，“五大基本能力”確是高考考查的重點所在，理應也成為我們平時教學、訓練與考查的關鍵所在。
四、提素質，高考不懈追求的重要目標
一、2013年全國各地中考數(shù)學試卷大致結構
分析2013年百余份中考數(shù)學試卷，可以發(fā)現(xiàn)各部分知識在考題中的分布情況.
1.數(shù)與代數(shù)、空間與圖形、統(tǒng)計與概率三大領域的分布.
滿分數(shù)與代數(shù)空間與圖形統(tǒng)計與概率分值比例分值比例分值比例120
～
1509
～
7240.8%
～
48%50
～
6441.3%
～
42.7%12
～
2210%
～
14.7%可見，數(shù)與代數(shù)、空間與圖形、統(tǒng)計與概率平均百分比大致分別為46%，42%，12%，成23∶21∶6的比例分布.
2.“數(shù)與代數(shù)”領域各知識板塊的分布.
滿
分數(shù)與式方程與
不等式函數(shù)合計120
~
150分值比例分值比例分值比例百分比12
～
2910%
～
19%9
～
218%
～
18%12
～
3210%
～
27%28%
~
53%可見，數(shù)與式、方程與不等式、函數(shù)在試卷中所占比例分別為16%，12%，18%，三者成8∶6∶9的比例分布.
3.“空間與圖形”領域各知識板塊的分布.
滿
分圖形的
認識圖形與
變換圖形與
坐標圖形與
證明120
~
150分值比例分值比例分值比例分值比例8
～
427%
～
35%8
~
207%
～
17%2
～
101%
～
8%2
~
101%
~
8%圖形的認識、圖形與變換、圖形與坐標、圖形與證明四個板塊在試卷中所占分值百分比平均分別為21%，12%，4%，4%，四個板塊試題在試卷中成21∶12∶4∶4的比例分布.
4.“統(tǒng)計與概率”領域各知識板塊的分布.
滿分統(tǒng)計概率合計120
~
150分值比例分值比例百分比3～
123%～
10%3~
103%～
8%6%～
20%可見，統(tǒng)計與概率兩個板塊的平均分值百分比分別為7%，5%，成7∶5的比例分布.
另外，試卷中各種題型呈現(xiàn)比例分析如下：
滿分選擇題填空題解答題120
～
150題數(shù)分值比例題數(shù)分值比例題數(shù)分值比例6
～
1518
～
6024%
～
40%4
～
1212
～
4810%
～
32%8
～
1260
～
9650%
～
64%由以上統(tǒng)計表可以看出，選擇題平均題數(shù)為8道，平均分值為24分，占總分的20%；填空題平均題數(shù)為8道，平均分值為24分，占總分的20%；解答題平均題數(shù)為10道，平均分值為80分，占總分的60%.
二、2013年全國各地中考數(shù)學試卷大致特點
1.重視基礎知識
翻閱2013年的中考數(shù)學試卷，不難發(fā)現(xiàn)試題充分體現(xiàn)了“考查基礎知識”的命題指導思想，試題設置上特別重視對基礎知識的考查，且占很大比重.試卷的起點題以及每種題型的起點題都屬基礎知識.
例1（2013年，江蘇省蘇州市）|－2|等于（）
A.2B.－2
C.±2D.±12
例2（2013年，廣東省湛江市）拋物線y＝x2+1的最小值是.
圖1例3（2013年，四川省宜賓市）如圖1：已知D，E分別在AB，AC上，AB＝AC，∠B＝∠C.求證：BE＝CD.
點評：這些題目涉及的內容學生非常熟悉，容易上手，運算也非常簡單，屬于基礎試題，只要學生掌握了基本概念或基本運算就可得到答案.這樣的命題思想，既能保持數(shù)學中考的穩(wěn)定性和連續(xù)性，又能引導好初中數(shù)學教學的良性發(fā)展.
2.貼近現(xiàn)實生活
今年中考試卷中加強了對應用性問題的考查力度，這種做法有利于引導學生關注生活中的數(shù)學，關注身邊的數(shù)學，不僅考查了他們從實際問題中抽象出數(shù)學模型的能力，促進學生形成學數(shù)學、用數(shù)學、做數(shù)學的意識，而且還讓學生體驗從不同情景、不同角度運用知識解決問題的過程，逐步培養(yǎng)學生的數(shù)學觀念和應用知識以及解決問題的能力.
例4（2013年，山東省濰坊市）為增強市民的節(jié)能意識，我市試行階梯電價.從2013年開始，按照每戶每年的用電量分三個檔次計費，具體規(guī)定見圖2.小明統(tǒng)計了自家2013年前5個月的實際用電量為1300度.請幫助小明分析下面問題.
圖2（1）若小明家計劃2013年全年的用電量不超過2520度，則6至12月份小明家平均每月用電量最多為多少度？（保留整數(shù)）
（2）若小明家2013年6至12月份平均每月用電量等于前5個月的平均每月用電量，則小明家2013年應交總電費多少元？
例5（2013年，遼寧省鞍山市）某商場購進一批單價為4元的日用品，若按每件5元的價格銷售，每月能賣出3萬件；若按每件6元的價格銷售，每月能賣出2萬件.假定每月銷售件數(shù)y（件）與價格x（元/件）之間滿足一次函數(shù)關系.
（1）試求y與x之間的函數(shù)關系式；
（2）當銷售價格定為多少時，才能使每月的利潤最大？每月的最大利潤是多少？
點評：透過中考試題，我們不難發(fā)現(xiàn)命題專家們在刻意培養(yǎng)學生的數(shù)學意識以及運用數(shù)學知識解決實際問題的能力，事實上，這既是數(shù)學學習目標之一，又是提高學生數(shù)學素質的需要.在學習中，同學們一定要多接觸實際，了解生活，明白生活中充滿了數(shù)學，數(shù)學就在你的身邊.
3.關注數(shù)學思想方法
在2013年的中考數(shù)學試題中，命題專家們加大了數(shù)學思想方法的考查力度，透過試題，考查了方程思想、數(shù)形結合思想、轉化思想、整體思想、分類思想、統(tǒng)計思想、變換思想、建模思想、運動思想、換元法、配方法、待定系數(shù)法、歸納與猜想等等.
例6（2013年浙江省臺州市）若實數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對應點的位置如圖3所示，則下列不等式成立的是（）
圖3A.ac＞bc
B.ab＞cb
C.a+c＞b+c
D.a+b＞c+b
例7（2013年，江蘇省蘇州市）已知x－1x＝3，則4－12x2+32x的值為（）
A.1B.32C.52D.72
例8（2013年，江蘇省南京市）解方程：2xx－2＝1－12－x.
點評：歷年各地的中考試題中應用數(shù)學思想方法去解決問題的舉不勝舉，希望大家通過解題用心體會.
4.回歸教材，貼近作業(yè)
讓學生回歸教材、貼時的數(shù)學作業(yè)，是今年中考命題的一個亮點，它要求考生能從具體情境中抽象出數(shù)學材料，并將獲得的材料符號化.
例9（2013年，浙江省湖州市）一節(jié)數(shù)學課后，老師布置了一道課后練習：
如圖4，已知在RtABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，BOAC于點O，點P，D分別在AO和BC上，PB＝PD，DEAC于點E.求證：BPO≌PDE.
圖4（1）理清思路，完成解答.
本題證明的思路可以用下列框圖表示：
圖5根據(jù)上述思路，請你完整地書寫本題的證明過程.
（2）特殊位置，證明結論.
若BP平分∠ABO，其余條件不變，求證：AP＝CD.
（3）知識遷移，探索新知.
若點P是一個動點，當點P運動到OC的中點P′時，滿足題中條件的點D也隨之在直線BC上運動到點D′，請直接寫出CD′與AP′的數(shù)量關系（不必寫解答過程）.
點評：新課程標準下的中考與以往傳統(tǒng)的中考在形式上最大的不同就是出現(xiàn)了許多的新型題目，這些嶄新題型的出現(xiàn)，要求我們能靈活處理好課本與習題的關系.習題與課本，在復習的任何階段，都應該兼顧，習題往往解決知識的深度問題，而課本則解決的是知識的廣度問題.
5.加強開放創(chuàng)新
中考數(shù)學開放題是指那些條件不完整，結論不確定，解法不限制的數(shù)學問題，它的顯著特點：正確答案不唯一.
圖6例10（2013年，江西省南昌市）若一個一元二次方程的兩個根分別是RtABC的兩條直角邊長，且SABC＝3，請寫出一個符合題意的一元二次方程.
例11（2013年，浙江省杭州市）如圖6，四邊形ABCD是矩形，用直尺和圓規(guī)作∠A的平分線與BC邊的垂直平分線的交點Q（不寫作法，保留作圖痕跡）.連結QD，在新圖形中，你發(fā)現(xiàn)了什么？請寫出一條.
點評：開放創(chuàng)新性試題是近幾年中考數(shù)學的熱點問題，考題的形式靈活多樣，值得大家重視.由于開放性試題主要考查大家的探究能力和思維的靈活性，我們在平時的學習中要重視數(shù)學知識間的聯(lián)系，加強一些必要的綜合知識的訓練，不能只注重結果，更要注重學習過程，要能獨立思考，自主探索，發(fā)現(xiàn)問題，這樣才能逐漸養(yǎng)成自覺思考、直覺探索的習慣.
6.注重閱讀理解
閱讀理解是學好一切課程的基礎，學習任何一門課程都有對文本的閱讀的過程，如果連基本的文字意思都看不懂，怎么做題？怎么提高成績？閱讀解答題是我們拿分的重要陣地，也是失分的重點位置，同學們一定要高度重視.
例12（2013年，四川省達州市）選取二次三項式ax2+bx+c（a≠0）中的兩項，配成完全平方式的過程叫配方.例如：
①選取二次項和一次項配方：x2－4x+2＝(x－2)2－2；
②選取二次項和常數(shù)項配方：x2－4x+2＝(x－2)2+(22－4)x，或x2－4x+2＝(x+2)2－(4+22)x；
③選取一次項和常數(shù)項配方：x2－4x+2＝(2x－2)2－x2.
根據(jù)上述材料，解決下面問題：
（1）寫出x2－8x+4的兩種不同形式的配方；
（2）已知x2+y2+xy－3y+3＝0，求xy的值.
點評：閱讀理解題的常用解題思路：一是明主旨，明確問題提出的背景，通過閱讀明確問題的解決方法或涉及的新知識；二是抓要點，通過閱讀理解，收集有用信息，理順已知與未知的關系；三是尋突破，通過閱讀，找準突破口，尋求解決問題的方法.
7.引入課題研究
課題研究型題是新課標全面實施之后呈現(xiàn)的嶄新題型.“課題研究型”題目既考查了同學們的理解能力、探究能力、操作能力等，又將所學的知識適當與高中的知識銜接，有利于考查同學們的綜合能力，并具有一定的選拔性.課標版修訂后的實驗教材中，一般每個單元都安排了課題研究，目的是更加關注同學們在數(shù)學活動中獲得與積累的數(shù)學活動經(jīng)驗，所以“課題研究”再次進入中考，對今后的教學有方向性引導作用.
例13（2013年，山東省日照市）問題背景:
如圖7-a，點A，B在直線l的同側，要在直線l上找一點C，使AC與BC的距離之和最小，我們可以作點B關于l的對稱點B′，連接AB′與直線l交于點C，則點C即為所求.
圖7-a圖7-b圖7-c（1）實踐運用：
如圖7-b，已知，O的直徑CD為4，點A在O上，∠ACD＝30°，B為弧AD的中點，P為直徑CD上一動點，則BP+AP的最小值為.
（2）知識拓展：
如圖7-c，在RtABC中，AB＝10，∠BAC＝45°，∠BAC的平分線交BC于點D，E，F(xiàn)分別是線段AD和AB上的動點，求BE+EF的最小值，并寫出解答過程.
評注：我們在學習數(shù)學的過程中要自覺開展一些課題學習活動，初步學會研究問題的一些方法，提高實踐能力和創(chuàng)新意識.
三、2014年中考數(shù)學試題預測
2013年的中考過后，勢必又要面對2014的中考，眼下要做的事就是搞好復習，復習從何抓起呢？筆者以為：
1.緊扣教材，突出“雙基”.數(shù)學考試離不開基礎知識和基本技能，2014年的中考試題必然會在保持原有試題難度、框架形式相對穩(wěn)定不變的前提下，通過創(chuàng)設新的問題情境，結合實際問題在運用知識過程中考查“雙基”.可以肯定地說，試題不會求繁求難，也不會出偏出怪，只能是源于教材，高于教材.就知識點而言，（1）數(shù)與式：主要考查實數(shù)的有關概念、相反數(shù)，倒數(shù)，絕對值，科學計數(shù)法，冪的運算，分解因式，這些知識以實際生活題材為載體頻頻出現(xiàn)，也肯定會在2014年中考試題中出現(xiàn).（2）方程（組）與不等式（組）：考點在它的解法和應用上，一般綜合性較強.題目的設置往往與社會生活、生產(chǎn)、科技相等相聯(lián)系、貼近現(xiàn)實生活，尤其是商品利潤、價格，利息和增長率等問題已成為命題的熱點.（3）函數(shù)：2014年中考這種情況不會改變，解析式的求法、函數(shù)的圖象與性質仍將是中考的重點和熱點，重點考查函數(shù)解析式的求法和函數(shù)圖象在實際生活中的應用，特別是以和我們息息相關的實際問題為背景，要求學生從中找到函數(shù)模型進而解決問題是中考的熱點，解題時要注意數(shù)形結合.（4）三角形：三角形的有關知識是學習其他圖形的工具和基礎，是中考的重點；四邊形的知識在中考中單獨命題較少，一般都是與三角形全等、相似、特殊的四邊形或圓結合在一起考查；平行四邊形及特殊四邊形的考查在中考占很大比例，是中考的必考內容，考查題型多樣，重點考查學生的分析理解能力和綜合應用能力.（5）圓：圓的垂徑定理及其推論，圓周角與圓心角的關系及切線的性質和判定是近年中考命題的重點和熱點，而且所占分值比較大，預測2014這一命題趨勢還不會改變，圓的基本性質一般結合圓的對稱性及圓內接三角形一起考；而直線與圓的位置關系，圓與圓的位置關系題型可能會以選擇、填空題，也可能以解答題形式出現(xiàn).（6）對于圖形的軸對稱和中心對稱、平移、旋轉考查力度較小，預測2014年中考在此命題的可能性也不大.但必須注意，在幾何綜合題、函數(shù)綜合題、幾何與函數(shù)綜合題中往往會涉及平移和旋轉的性質.（7）圖形相似和直角三角形：對三角函數(shù)的相關考查主要以計算三角函數(shù)為主，解直角三角形以實際應用為主，預測2014年中考可能會在背景設計上有所創(chuàng)新，其余不會有太大變化，主要考查測量高度、距離或角度；相似三角形的判定及其在現(xiàn)實生活中的應用是命題的重點，而題目的載體可以是四邊形、圓、函數(shù)和圖形的運動變化，這也是中考壓軸題出現(xiàn)的形式，還要加強關注與現(xiàn)實生活結合的問題、實踐與探究性問題.（8）統(tǒng)計與概率：中考對統(tǒng)計與概率的考查主要涉及統(tǒng)計思想、收集數(shù)據(jù)、描述數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)的過程、合理決策、隨機思想及能夠解決一些簡單實際問題等，題型涉及選擇、填空和解答.預計2014年的中考中在背景設計時會有所創(chuàng)新.
2.體現(xiàn)新理念，與新課程接軌.在試題立意和形式內容上，尤其是最后三個題和部分客觀性試題，估計會在體現(xiàn)新課程理念等方面做出一些有益的嘗試，可能會出現(xiàn)對教材中一些典型例題、習題的研究，嘗試對基本圖形、基本函數(shù)進行改編，或將典型題中的條件加以限制、改變、拓展，將其改編為探索性問題.
3.注重改變學習方式.每年各地的中考試題，都會在考查考生的創(chuàng)新意識和主動探究能力上做一些嘗試.如，方案決策、閱讀理解、規(guī)律探究、實踐操作、信息處理、課題研究等.另外，中考試題將繼續(xù)關注學科的內在聯(lián)系和知識的綜合，引導學生對所學知識進行適當重組和整合，滲透化歸、方程與函數(shù)、分類討論、轉化、數(shù)形結合等數(shù)學思想，注重掌握待定系數(shù)、消元法、換元法、配方法等基本方法.
4.注重實際，貼近生活，體現(xiàn)人文精神.預計2014年的中考試題中，考查應用能力的試題，將會繼續(xù)結合城市改造（如地鐵建設問題）、環(huán)境保護（如城市綠化、水源污染問題）、節(jié)約能源、食品衛(wèi)生（如禽流感問題）、災害預防（礦難、地震預防、沙塵暴等問題）、決策設計、統(tǒng)籌規(guī)劃等社會熱點問題以及考生熟悉的網(wǎng)絡、體育等問題來設計，突出運用數(shù)學知識和數(shù)學思想方法、構建數(shù)學模型解決問題的能力要求.另外，還要注意加強方程與不等式、方程與函數(shù)、不等式與函數(shù)、一次函數(shù)圖象應用題的專項訓練.
一、試題特點
1.著眼教材,注重基礎,考查靈活
“注重試題的基礎性、綜合性和層次性”,“從學科整體意義和思想含義上立意,注重通性通法,淡化特殊技巧”——這是《2012年湖北高考數(shù)學科考試說明》的要求.在這一導向下,2012年湖北高考數(shù)學理科卷有相當一部分試題對基本概念、定理、性質等基礎知識和通性通法進行了多角度、多層次的考查,如:1~7題都是直接對基礎知識進行考查的中低檔試題,試題設計靈活,對基礎知識的考查呈現(xiàn)多角度性.第1題,沒有按常規(guī)方法給出式子來考查復數(shù)運算,而是以求實系數(shù)的一元二次方程的復根形式呈現(xiàn)來考查復數(shù)概念及運算;第2、3、5題直接考查基礎知識的應用;第6題則是考查取等條件,注重對細節(jié)的考查;第7題考查等比數(shù)列的性質、冪的運算和對數(shù)運算,但是試題是以“保等比數(shù)列函數(shù)”這個新定義為背景的.
很多試題在教材中可以找到原型,如第13題回文數(shù)取材于必修3第51頁的B組第3題;21(I)就是以選修2—1中第41頁中的例2和第50頁B組第1題為背景改編而成的,考查了相關點法求軌跡方程以及分類討論的思想.整套試卷無偏題、怪題,包括壓軸題22(III)“利用數(shù)學歸納法證明推廣了的命題”這一問,解答中最關鍵一步——變形技巧,其能力要求雖然很高,但我們在選修4—5的第52頁的例4中也還可以看到影子.
2.考查全面,重點突出
全卷涵蓋了《考試說明》列出的全部知識板塊,涉及到的知識點達60余個,覆蓋率高.
新課標相比以前的大綱版在教學內容上新增了很多內容(如算法、微積分、三視圖、條件概率、合情推理,不等式選講,幾何證明選講,坐標系與參數(shù)方程等),這些內容很好地展示了對數(shù)學進行深入探究的思想方法、提供了數(shù)學學習的新工具,也豐富、開拓了學生的數(shù)學視野.今年的高考對大部分的新增考點都進行了考查,在整個試題中占了很大的比例,考查難度適中,符合《考試說明》的要求.
從下頁表可以看出考點分布廣泛.今年的試題在考查全面的同時,又突出對支撐整個數(shù)學體系的主干知識(函數(shù)與導數(shù)、三角函數(shù)與解三角形、數(shù)列、概率統(tǒng)計、立體幾何、解析幾何等)的考查.如考查函數(shù)與導數(shù)的題目有:3、9、22題;考查三角的題目有:11、17題;考查數(shù)列的題目有7、18題;考查概率統(tǒng)計的題目有:8、20題;考查解析幾何的題目有14、21題;考查立體幾何的有4、19題.總分值多達一百多分,保持了比較高的分值權重.
3.注重本質,考查思想方法和能力
整個試卷在考查基礎知識和基本技能的前提下,突出試題的能力立意,注重對數(shù)學本質、思想方法、能力的考查.如第1題直接考查復數(shù)的概念,第7、13題直接考查對新定義的理解,突出對數(shù)學本質和理性思維的考查.第15題和17題考查了轉化與化歸的思想;第18題和第21題考查了分類討論的思想;函數(shù)與方程的思想在第9、17、18、19題中得到體現(xiàn);對數(shù)形結合思想的考查更是貫穿整個試卷的始終,第2、4、14、15、19題都涉及到數(shù)形結合的思想.
整個試卷重視圖形語言和幾何直觀,其中第4題直接考查根據(jù)圖形想象直觀形象的能力;第14題雖然是解析幾何的題目但是平面幾何的味道很濃,完全可以不用解析法做出來; 第15、19題是在動態(tài)的幾何過程中設置問題.
第8題也是一個考查對圖形進行分解、組合,區(qū)分有效的好題.一般解法是用比較常規(guī)的方法求兩個圓公共部分的面積的一半——弓形的面積,從而求出非陰影部分的面積,再用對立事件的概率求解,這種解法對思維能力的要求不是很大,但是計算量略大.如果考生的圖形分析能力較強,想到對陰影部分的割補構造規(guī)則圖形求解,則計算量大為減小.
第21題第2問的兩種解法,也體現(xiàn)出對考生的圖形處理能力、計算能力和邏輯推理能力的考查.其中解法一:直接計算,用k,m,x1來表示向量PQ,PH,最后轉化成■=0對任意的k,x1>0恒成立m有沒有解的問題.考查計算能力,邏輯推理能力,轉化能力,同時還利用點在直線上的特點實現(xiàn)設點時減少變量的技巧.而解法二:拋開直線的斜率為k這個干擾量,采用設而不求的方法給出P,Q,H,N的坐標,直接列出兩個變量x2,y2的關系,根據(jù)式子特點計算得
kPQ·kPH=■·■=■·■=-■,而PQPH等價于kPQ·kPH=-1,即-■=-1,又m>0,得m=■.解法二的計算量比解法一要少,但對考生的能力要求如挖掘信息的能力、目標意識、數(shù)據(jù)觀察處理能力都比解法一要高.
第22題為壓軸題,入手容易.該題求證層層鋪墊,難度層層遞進,知識的綜合性強并且能力要求高,對考生推理能力,類比能力及思維的靈活性、創(chuàng)造性提出了很高要求,需要考生具有較強的數(shù)學分析能力.
4.在試題構成上有創(chuàng)新
相比于湖北前幾年大綱版的高考,今年的高考理科數(shù)學增設了選考內容,填空題由5個必考題變成了4個必考題和2個選考題.選考題難度相當,考生兩選一做解答.這種題型的引入,一定程度上擴大了試題的容量,也為不同偏好的學生提供了不同的答題選擇,便于考生展示自己的最好水平.
與其他很多新課標省份將不等式選講設為選考內容不同,湖北根據(jù)自己的實際教育情況將不等式選講歸為必考內容,這樣更便于函數(shù)、導數(shù)、不等式知識的融合,在各板塊交匯處設置試題,尊重了學科知識點的內在聯(lián)系.
二、對高三復習的啟示和建議
1.落實“雙基”,形成系統(tǒng)的知識體系
1 問題的呈現(xiàn)
（2008年江西省高考數(shù)學試題）設點P（x0,y0)在直線x=m (y≠±m(xù),0＜m＜1)上，過點P作雙曲線x2-y2=1的兩條切線PA、PB，切點為A、B，定點M（1m,0)．
（1） 略； （2） 求證：A、M、B三點共線．
證明：設A（x1,y1)、B（x2,y2)，PA斜率為k，
則切線PA方程為：y-y1=k(x-x1),
由 y-y1=k(x-x1)x2-y2=1，消去y得：
(1-k2)x2-2k(y1-kx1)x-(y1-kx1)2-1=0,
因為直線與雙曲線相切，從而 Δ=4k2(y1-kx1)2+4(1-k2)(y1-kx1)2+4(1-k2)=0,
及 x21-y21=1，解得 k=x1y1，
因此PA的方程為：y1y=x1x-1,
同理PB的方程為：y2y=x2x-1，
又P（m,y0)在PA、PB上，
所以 y1y0=x1m-1, y2y0=x2m-1,
即點A（x1,y1),B(x2,y2)都在直線y0y=mx-1，又M（1m,0)也在y0y=mx-1上，所以 A、M、B三點共線．
點評：這是一道以雙曲線的切點弦為載體演繹雙曲線性質的試題，題目設計新穎、背景匠心獨具，揭示了圓錐曲線中蘊涵著許多值得探究的規(guī)律和耐人尋味的內涵．為了能夠更清楚地討論問題，我們可以先把問題進行一般化處理．
2 問題的一般化
性質：設點P（x0,y0)在直線x=m (y≠±m(xù),0＜m＜a2)上，過點P作雙曲線x2a2-y2b2=1 (a＞0,b＞0)的兩條切線PA、PB，切點為A、B，定點M（a2m,0)，那么A、M、B三點共線．
證明：因為點P（x0,y0)，所以易得切點弦AB的方程為 xx0a2-yy0b2=1，又 x0=m，
即直線AB的方程：mxa2-yy0b2=1，
令 y=0, 得 x=a2m， 所以直線AB過定點M（a2m,0), 即A、M、B三點共線．
3 問題的拓展
（1） 橫向類比：該性質對于橢圓或拋物線同樣成立．
引申1：設點P（x0,y0)在直線x=m (0＜m＜a2)上，過點P作橢圓
x2a2+y2b2=1 (a＞b＞0)的兩條切線PA、PB，切點為A、B，定點M（a2m,0)，那么A、M、B三點共線．
（2） 逆向類比：易得原命題的逆命題也成立：
引申2：過定點M（a2m,0) (0＜m＜a2)的直線交雙曲線x2a2-y2b2=1 (a＞0,b＞0)于A、B兩點，以A、B為切點的兩條切線PA、PB交于點P，則點P在定直線x=m上．
證明：設點P（x0,y0)，易得切點弦AB的方程為xx0a2-yy0b2=1，又因為直線AB過定點M（a2m,0)x0=m，所以點P在定直線x=m上．
（3） 縱向類比：
引申3：設點P（x0,y0)在直線x=m (y≠±m(xù),0＜m＜a2)上，過點P作雙曲線x2a2-y2b2=1 (a＞0，b＞0)的兩條切線PA、PB，切點為A、B，定點M（a2m,0)，那么直線PM與AB的斜率乘積為定值b2m2a2(m2-a2)．
證明：因為點P（x0,y0)，所以易得切點弦AB的方程為mxa2-yy0b2=1，
所以AB的斜率kAB=mb2a2y0，
直線PM的斜率kPM=my0m2-a2，
故 kAB?kPM=b2m2a2(m2-a2)．
引申4：設點P（x0,y0)在直線x=m (y≠±m(xù),0＜m＜a2)上，過點P作雙曲線x2a2-y2b2=1 (a＞0，b＞0)的兩條切線PA、PB，切點為A、B，定點M（a2m,0)，那么直徑PA、PM與PB的斜率成等差數(shù)列．
證明：由性質可知，A、M、B三點共線． 又點P（x0,y0)，所以易得切點弦AB的方程為mxa2-yy0b2=1．
因為 A（x1,y1)在直線AB上，又在雙曲線 x2a2-y2b2=1 (a＞0，b＞0)上，所以得到mxa2-yy0b2=1x21a2-y21b2=1x1(x1-m)a2=y1(y1-y0)b2, 即 y1-y0x1-m=b2x1a2y1(1)
設B（x2,y2)，同理可得：y2-y0x2-m=b2x2a2y2(2)
由（1）、（2）可得 kPA+kPB=
y1-y0x1-m+y2-y0x2-m=b2a2(x1y1+x2y2)(3)
由 mxa2-yy0b2=1x2a2-y2b2=1 消去1，可以得到
x2a2-y2b2=（mxa2-yy0b2)2，把這個式子整理得到：m2-a2a4(xy)2-2my0a2b2(xy)+y20+b2b4=0，
由韋達定理得 x1y1+x2y2=a2b2×2my0m2-a2(4)
把（4）代入（3）得
kPA+kPB=b2a2(x1y1+x2y2)=2my0m2-a2，
又因為直線PM的斜率 kPM=my0m2-a2，
從而 kPA+kPB=2kPM，
即直線PA、PM與PB的斜率成等差數(shù)列．
如果我們把性質的切線改為過雙曲線頂點的兩條割線，問題可以再度拓展，又得到如下相類似的雙曲線幾何性質：
引申5：設A1、A2分別為雙曲線x2a2-y2b2=1 (a＞0，b＞0)的左、右頂點，P為直線x=m (0＜m＜a2)上的任意一點，如果PA1、PA2與雙曲線分別交于A、B，定點M（a2m,0)，那么A、M、B三點共線．
證明：設A（x1,y1)、B（x2,y2)，
則直線A1A的方程為：y=k1(x+a)，
代入雙曲線方程得：
(b2-a2k21)x2-2a3k21x-(a4k21+a2b2)=0,
所以 A（ab2+a3k21b2-a2k21,2ab2k1b2-a2k21)(1)
設直線A2B的方程為 y=k2(x-a)，
同理得到 B(-a3k22-ab2b2-a2k22,-2ab2k2b2-a2k22)(2)
又因為P(m,yP)是直線A1A與A2B的公共點，所以滿足yP=k1(m+a），且
yP=k2(m-a)k1-k2k1+k2=-am（3）
由兩點式可以得直線MN的方程為
y-y1y2-y1=x-x1x2-x1，令 y=0x=x2y1-x1y2y1-y2，把（1）（2）（3）代入上式得：x=a2m，證畢．同樣地也可以證明，該命題的逆命題也成立．
參考文獻
1 蘇立標．橢圓的“類準線”性質初探．數(shù)學教學通訊，2007（8）
【導語】2018年甘肅高考數(shù)學已于6月7日5:00結束考試了，
2018年甘肅高考數(shù)學文試卷采用全國Ⅱ卷，全國卷Ⅱ適用地區(qū)包括：隴、青、蒙、黑、吉、遼、寧、新、陜、渝、瓊。廣大考生可點擊下面文字鏈接查看。
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