時間：2023-05-30 10:28:35
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇簡單的線性規劃，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
線性規劃是利用數學為工具，來研究在一定的人、財、物、時、空等資源條件下，如何安排，達到用最少的資源取得最大的效益。目前所學的線性規劃只是規劃論中極小的一部分，但這部分內容，也能體現數學的工具性、應用性，為學生今后解決實際問題提供了一種重要的解題方法――數學建模法。重點是介紹線性規劃的有關概念和利用圖解法求解。難點是圖解法求最優解的探索過程。
二、教學背景分析
1.教學內容分析
本課時是本節內容的第二課時，是本節的核心內容。第一課時即二元一次不等式表示平面區域，為本課時的學習做好了知識上的準備。第三課時線性規劃的應用更是以本課時內容為基礎展開的。
2.學生情況分析
本節課是對二元一次不等式的深化和再認識、再理解，進一步了解二元一次不等式組在解決實際問題中的應用。如果直接向學生介紹目標函數的幾何意義，考慮到他們的接受能力，用數學游戲來滲透，設置一系列問題，激發學生的探索欲望。
3.教學方式：自主探究、合作探究及教師引導相結合。
4.教學手段：計算機輔助教學。
三、教學目標設計
1.知識與技能：了解線性規劃的意義以及約束條件、目標函數、可行解、可行域、最優解等基本概念；會用圖解法求線性目標函數的最大值、最小值。
2.情感、態度與價值觀：培養學生觀察、聯想、作圖和滲透化歸，用數學的意識和解決實際問題的能力。通過對“線性規劃”的歷史及應用的大致介紹，使學生感受數學的文化價值。
四、教學過程設計
（一）引入：組織學生做選盒子的游戲活動
師：在下圖的方格中，每列（x）與每行（y）的交匯處都放有一個盒子，每次你只能選其中的一個盒子，每個盒子對應一個分值，即為你的得分，而且該分值與盒子所在的行數和列數有關，且每次的關系式在變化，你會選哪個盒子分值最高？
第一次：分值=x+y（即：列數+行數）
第二次：分值=y-2x（即：行數-列數×2）
師：出圖3，在圖中找出函數b=2x+y的最大值？
學生沿用上面計算的方法顯然很復雜，于是學生的思維產生“結點”，引出課題，提出何為線性（即為一次的），怎么規劃（即求函數的最值），這是本節課的研究重點。
（二）獨思共議，引導探究方法
引導學生由特殊到一般，分析目標函數的函數值。
師：出圖4，學生合作探究討論如下問題：
問題1：點（1，1）所對應的b值為多少？還有哪些點所對應的b值與之相同？
問題2.哪些點所對應的b值為6？
問題3.有沒有點對應的b值為200？
問題4.b的取值應滿足什么條件？
問題5.哪個點所對應的b值最大？為什么？
問題6.如何求出b的最大值？
b的幾何意義是什么？
學生：b實質上為與陰影區域有公共點的這些斜率為-2的直線在y軸上的截距。
師：如果這個問題重新給你，還用不用再找一個點試一試呢？（不用）那解決該題的方法是什么呢？
（三）變式思考，深化探究思路
已知x-4y≤-33x+5y≤25x≥1，求z=2x+y的最大值和最小值.
（設計意圖：由特殊到一般，利用數形結合，尋求解題思路。）
通過學生將直線化成斜截式的直線形式，做直線并平移，觀察縱截距的最大值的回答過程。
由圖3找出最大值的鋪墊，學生就很自然地得到了解決線性規劃問題的圖解法。
一般的，已知某個二元一次不等式組，如何求目標函數z=Ax+By（B≠0）的最值？
（四）形成一般方法
1.畫；2.移；3.求；4.答。
思考題：學生的午餐和晚餐關系著學生的身心健康，某校高一年級，一個單位的營養配餐中有如下成分：
午餐（個/單位）：碳水化合物12，蛋白質6，維生素C為6。
晚餐（個/單位）：碳水化合物8，蛋白質6，維生素C為10。
午餐和晚餐中至少含有碳水化合物、蛋白質和維生素C分別為64個單位、42個單位和54個單位才能滿足學生正常成長的營養需要。一份午餐為10元，晚餐為16元，求預定多少單位午餐和晚餐所用費用最節省的情況下滿足營養要求。
師生活動，建立數學模型
（五）回顧歷史，感受文化
《全日制普通高中數學課程標準（實驗）》中關于線性規劃內容提到：線性規劃是最優化的具體模型之一.在高中數學中，線性規劃問題都是最簡單的線性規劃 （Linear Programming，簡稱LP） 問題，即線性約束條件下線性（目標）函數最優化問題.其數學思想在高考解題中具有很強的現實意義，核心是運用數形結合的思想方法，借助平面圖形，求目標函數的最值問題[1].
綜觀最近幾年高考約束條件下目標函數最值考題，其內容都是對簡單的線性規劃問題的引申與深化.這涉及應用數學中最優化（Optimization）問題，其模型一般包括變量、約束條件和目標函數三要素.根據目標函數和約束條件性質，對最優化問題作進一步分類：當目標函數和約束條件都是線性的，則稱線性規劃；當目標函數或約束中有一非線性函數時，則稱非線性規劃；當目標函數是二次的，而約束是線性時，則稱為二次規劃.
筆者基于當前高考有關考題與命題趨勢，從最優化視角對高考有關最值考題的約束條件與目標函數作表1所示分類，嘗試對高中數學教材有關線性規劃內容拓展.其中線性約束條件一般是指二元一次不等式組；非線性約束條件一般是指一個二元非一次不等式（組）（有時也可能是表示曲線或圓的函數）；線性函數關系是指直線，而非線性函數關系是指非直線，包括各種曲線、折線、不連續的線等.適當對線性（非線性）約束條件下線性（非線性）目標函數問題“模型構建”，利用其函數的幾何意義，借助作圖解決高考最值問題，這是從一個新的角度對求最值問題的理解.
一、“LC - LF”最值類
“LC - LF”最值類問題，即指線性約束條件下線性函數的最值問題.一般這類考題線性約束條件是一個二元一次不等式組，目標函數是一個二元一次函數，可行域就是線性約束條件中不等式所對應的方程組所表示的直線所圍成的區域，在可行域解中的使得目標函數取得最大值和最小值的點的坐標即簡單線性規劃的最優解.
【解題本質】這類考題的解決，重要在于能夠正確理解線性約束條件所表示的幾何意義，并畫出其圖形， 通過目標函數[z=ax+by（a≠0）]中直線[l：ax+by=0]的平移法，利用直線[y=-abx+zb]的縱截距[zb]解決最值問題（當[b]為正值時將直線[l：ax+by=0]向上平移使目標函數取得最大值，反之[b]為負值時向下移動使目標函數取得最小值）；當線性目標直線的斜率與約束條件的邊界相等時，最優解有無數多個.解題過程中關鍵是突破“畫”（畫出線性約束條件所表示的可行域）、 “移”（作平行直線）、“求”（解方程組求出最優解）.這種求最值的方法也稱“角點法”[2].
二、“LC-NLF” 最值類
一、平面區域的意義
能夠根據x，y的約束條件準確畫出平面區域是線性規劃解題中的重要步驟，它直接關系到能否正確進行下一步，畫圖時要對一些重要數據進行標注，通過對有關封閉區域的面積計算和相關點的位置判斷可進一步強化對平面區域意義的理解.
例1在平面直角坐標系中，不等式組y≥0，
x-2y≥0，
x+y-3≤0表示的區域為M，t≤x≤t+1表示的區域為N，若1
圖1解：由于1
【評析】公共部分的面積隨著t在所給范圍內的變化而變化，可以估計到t的特殊位置，從而可列出關于t的函數關系，此處得到正確的相關區域的面積的表達式是解題的關鍵.
例2若方程|x-1|=k（x-2a）+a，對任意實數k都有解，求實數a的取值范圍.
圖2解：設y=|x-1|，如圖2，陰影部分為不等式組y≥x-1，
y≥-x+1表示的區域，而y=k（x-2a）+a是恒過點（2a，a）的直線，若不論k為任何實數方程都有解，即直線與陰影部分恒有交點，則必有（2a，a）∈（x，y）|y≥x-1，
y≥-x+1，于是a≥2a-1，
a≥-2a+1.
解之，得113≤a≤1.
【評析】由二元一次不等式組，我們可以畫出對應的平面區域，同時如果給出了平面區域，我們也必須能熟練地寫出對應的不等式組，只有熟練地掌握了平面區域的意義才能為下一步解題打下堅實的基礎.
二、簡單的線性規劃
給出線性約束條件，求線性目標函數的最值是最基本、最主要的題型，也是各類高考試卷中的主要題型.求解此類問題一般分兩步：（1）根據條件畫出可行域；（2）將目標函數轉化成直線方程形式，利用平移法找到取最大值點和最小值點，然后把坐標代入目標函數求出最值即可.
例3拋物線y=x2在x=1處的切線與兩坐標軸圍成三角形區域為D（包含三角形內部和邊界）.若點P（x，y）是區域D內的任意一點，求z=x+2y的取值范圍.圖3
關鍵詞：線性規劃 最值 數形結合 平移
線性規劃是運籌學的一個重要分支，而簡單的線性規劃已編入高中新教材，作為一個新增知識點，它不僅只是對直線內容的深化，更多的是與其它知識的交匯，同時也是增加學生對數學在生活中應用的理解。它能解決一些線性約束條件下求線性約束條件的最值問題，其基本思想即在一定線性約束條件下，通^數形結合的思想求線性目標函數的最值，整個過程主要借助于平面圖形，運用這一思想能夠比較有效的解決線性規劃問題。近些年來線性規劃問題是解析幾何的重點，每年高考必有一道小題，分值在5分左右。
在實際的教學中，本校對數學教材的教學順序是：必修1―必修4―必修5―必修2―必修3。而我們要完成的教學任務《簡單線性規劃》在必修5第三章第3小節，在教學過程中會利用到必修3第三章《直線與方程》的相關概念（斜率、交點坐標、截距）。這又受教材教學先后順序的影響，要求我們在學習線性規劃問題時，必須要考慮回避直線與方程對教學和學生認知的影響。本人在實際教學中，對求線性目標函數最值的方法進行一些嘗試。
現舉例加以說明。
一、前期鋪墊，總結經驗
為了更好的回避必修2《直線與方程》相關知識對線性規劃的影響，在二元一次不等式（組）表示平面區域學習的時候進行升華與總結。
例1、畫出下列不等式表示的平面區域
指導學生自主完成：①建立直角坐標系；②畫出等式圖像；③確定區域。
解析如下：
總結方法：確定二元一次不等式表示平面區域方法是“線定界，點定域”，定邊界時需分清虛實，定區域時常選原點（C≠0）。
拋出問題：能否在畫出等式圖像時，快速確定不等式表示的區域呢？指導學生繼續觀察圖像。
從上面例子，我們知道一條直線就能瓜分平面了，而不等式組就是不斷確定你想要的那個平面，由此可以發現對于不等式 （A>0）表示直線 （A>0）的右上（下）方區域，越往右偏離直線的點坐標（x，y）代入式子
所得值越大；不等式 （A>0）表示直線
（A>0）的左下（上）方區域，越往左偏離直線的點坐標（x，y）代入 所得值越小。這對于解決線性規劃問題，做了很大的埋伏，為后續教學做了很好的鋪墊。
二、單點解析，檢驗成果
例2、（2012年山東高考）設變量x，y滿足約束條件
則目標函數 的取值范圍是（ ）
分析：求取值范圍，實質就是求 的最大值與最小值。
解：先畫出滿足不等式的可行域. 如圖陰影部分不妨令z=0，作參考直線 ： 。
通過平移，由圖可知，當直線 過點A時z取得最大值，當直線 過點B時z取得最小值。
由 得A（2，0），
因此zmax=6，
由 得 ，
因此 。故選A。
我們可以知道用圖解法解決線性規劃問題的一般步驟：
①畫出可行域；
②作參考直線 ；
③通過平移以及數形結合，確定目標函數最值位置 ；
④解二元一次方程組，求出點的坐標；
⑤計算線性目標函數的最值。
從上面的例子，我們知道，在線性約束條件下，求線性目標函數z=Ax+By（A>0）這種形式的最值問題，是高中線性規劃中常見的問題，這類問題的解決，關鍵在于能夠正確理解二元一次不等式組所表示的區域，利用參考直線，尋找可行域內最左（右）的點，即利用圖形及平移求最優解及線性目標函數的最值。
三、跨越障礙，思想升華
為了加深學生對數形結合思想及平移方法的理解，特舉更具有代表性的一類問題：已知目標函數的最值求參數的問題。
例3、若實數x，y滿足不等式組 目標函數 的最大值為2，則實數 的值是_____________。
分析：解答此類問題必須明確線性目標函數的最值一般在可行域的定點或邊界取得，運用數形結合的思想、平移方法求解，同時需要注意目標函數的幾何意義。
解：先畫出滿足不等式的可行域。 如圖陰影部分。
作參考直線 ： ，由圖可知，
當直線 過點A時，t取得最大值。
由 得 代入 中，解得 =2。
從上面例子可以看出今后我們在遇到此類問題時，首先想到用數形結合思想，以及平移方法去解決，因為它更直觀、形象。 在高考時，能夠讓學生做得更快、更準。
線性規劃思想不僅與函數或不等式有交匯，而且在實際生活中求最值問題時，也有交匯。如在教科書中利用線性規劃解決物資問題、產品安排問題與下料問題，引導學生應用數學知識解決實際問題，使學生體驗數學在解決實際問題中的作用，在整個的學習過程中，著重培養學生的數形結合思想。雖然解決此類問題的方法不是唯一的，但我們在教學中，需要考慮培養學生學會思考的習慣，以及數學思想的建立。
綜上所述，線性規劃是直線方程的繼續，是直線方程知識的應用，但受教材教學順序的影響，我們在教學過程中，必須要面對這樣的事實，這就要求我們在教學中必須有一些創新，在創新的過程中還不能丟失數學的思想。本人在教學中，從宏觀的角度來把握，先期借鑒數軸上數的大小特點，升華了二元一次不等式（組）表示的區域的意義，借助參考直線，學會尋找可行域內最左（右）的點，利用數形結合思想及平移的方法很容易在可行域內找到最值。通過課堂及課后的反饋來看，學生不僅解決了簡單線性規劃問題，還對數形結合思想有更進一步的思考。在教學中教師不為方法而講方法，而在此方法的啟發下，學生發現了新方法。因此，本人在教學中的嘗試，可以算是成功的，并且在解決交匯知識模塊時，思想也具有通用性。
以≤符號表示的函數約束稱為資源約束，因為這些限制要求使用的資源必須小于或等于所能提供的資源的數量。資源分配問題的共性就是它們的函數約束全部為資源約束。以≥符號表示的函數約束為收益約束，因為它們的形式為收益取得的水平必須大于或等于最低可接受水平。收益約束反映了管理層所規定的目標。以=符號表示的函數約束稱為確定需要的約束，因為它們表示了一定數量的確定的需求的約束，提供的數量等于要求的數量。而許多線性規劃問題并不能直接歸入三類中的某一類，一些問題勉強歸入一類，另一些問題卻沒有一類占主導地位的函數約束，不能歸于這三類的任何線性規劃的問題稱為混合問題。混合問題的線性規劃的建模過程與其他三類線性規劃問題類似。但是，其他三種線性規劃問題僅僅涉及到三類函數約束(資源約束、收益約束、確定需要的約束)的一種，并以之為特色，而混合問題可以同時包含三類約束，因此有必要探討三種不同的函數約束是如何在同一個問題中產生的。
2 建立混合線性規劃問題的數學模型
統利公司經營一個回收中心，專門從事四種固體廢棄物的回收，并將回收物處理，混合成為可銷售的產品。根據混合時各種材料的比例，可將該產品分成不同的等級(表1)。盡管在混合各種等級產品時允許一定的機動性，但每一等級產品中各種材料的最大值和最小值都必須符合下面質量標準的規定。這些規定與混合的成本以及每一等級產品的售價都在表1中給出。
表1(單位：元)
回收中心可以從一些渠道定期收集到所需的固體廢棄物，因此，可以獲得維持穩定作業的處理量。
表2
管理層決定在表1和表2所列的約束之內，有效的將各種材料分配到各等級的產品中去，以實現每周的總利潤最大。這便是一個混合線性規劃問題，因為資源有限，收益受到限制，以及確定的需求，該問題就有了相當多的約束，歸納如下：①有限的資源，表2的第2欄所示。此外，表1的第2欄還表明材料1與材料3的用量有限，這些有限的資源都將形成資源的約束條件。②規定的收益：表2的右邊顯示最低可接受的收益水平是可獲得的材料的一半，而表1規定材料2的最低可接受的使用量，這些都是收益約束。③確定需求的約束：如表1第2欄所示的材料4的固定用量。表2右邊所示的處理固體廢棄物的固定開銷。
建模的具體過程如下：
假定有12個決策變量：
3 建立和分析混合線性規劃模型的標準體系
處理混合的線性規劃問題是沒有惟一正確的線性規劃模型的，在整個研究的問題中，模型往往會被不斷修改和擴展。許多實際的線性規劃建模往往包含上百甚至上千個決策與約束。在這些情形中，常常會有要不要考慮進模型的許多模棱兩可的問題，對于如此復雜的線性規劃問題，管理層的投入與支持是至關重要的。如果最初的模型一旦被檢驗有效，就可以使用它的許多變異的模型。究竟使用哪一種變異的模型必須依賴于許多因素，包括問題最合理的假設、模型最可靠的參數的估計以及模型所需要的精確度。在研究混合線性規劃問題時，一個很好的方法是，先建立一個相對簡單的模型，而后運用從這個模型中獲得的經驗來擴展模型，使其更接近復雜的實際問題。只要一個問題還是能夠合理求解，那么就可以繼續將該模型擴展。當管理科學小組實施系統化的考察時，要按照下列步驟展開：
⑴提出問題且收集與問題相關的數據。
⑵建立模型，引入決策變量，確定目標函數(約束條件)。建模是一個演進過程，從一開始的模型往往需要不斷地完善，漸漸演化成一個完整的數學模型。
⑶從模型中形成一個對問題進行求解的基于計算機的程序。
⑷測試模型并在必要時進行修正。現在模型能夠求解了，管理科學小組需要對模型進行仔細檢驗和測試以保證對實際問題進行了充分精確的表達。所有相關的因素和相互關系是否已被精確地編制進了模型?模型提供合理的解了嗎?模型在過去的情形下應用時，模型的解比實際發生的有改善嗎?
⑸應用模型分析問題以及提出管理建議。運籌小組對模型求解并分析后，將相應的最優方案提交管理者，由管理者做出決策。這樣模型在不斷發展的基礎上重復應用，指導決策，從而進化成為更趨完美的數學模型(或許是電子表格的形式)。
參考文獻
[1] 韓伯棠.管理運籌學.高等教育出版社，2000.
[2] 鄧成梁.運籌學的原理和方法.華中理工大學出版社，1996.
[3] 楊超.運籌學.科學出版社，2004.
[4] [美]弗雷德里克?S?希利爾，馬克?S?希利爾. 數據、模型與決策.中國財政經濟出版社，2005.
本文分析了農業經濟分析的四種典型模型，通過對四種模型進行理論分析和方法介紹，總結對應的優點和不足，并提出改善農村經濟的建議。
關鍵詞：
農業經濟；分析模型；理論
1計量經濟模型
計量經濟模型通過函數方程衡量經濟形勢，借助于概率分析理論，通常用于宏觀經濟的預測分析。計量經濟模型特點鮮明，首先其將經濟形勢轉化為一種可計量的數字化模型，后借助于統計學和概率學理論知識，進行數據化分析。計量經濟模型兼顧理論和統計資料，通過理論和經驗結合，分析經濟動態中的不確定性因素對經濟形勢的影響，從而得出具有一定概率性的結果。雖然計量經濟模型優點很多，但也表現出一些不足，主要概括為：首先是局限性，計量經濟模型只是將經濟數據進行簡單的函數分析，而面對經濟動態中的非量化因素，卻顯得力不從心；其次是依賴性，計量經濟模型的成功構建需要精確的統計數據以及強大的計算機軟件支持，可見其運用的要求較高，難以施行。鑒于其不足，計量經濟模型在實際運用中主要表現為F或t檢驗在定量分析中缺乏顯著性，其次模型錯誤和統計數據有誤由參數預估值不合理或是不切實際導致。
2線性規劃模型
線性規劃模型通過確定約束條件和目標函數求得最優解，其中目標函數為線性函數，且約束條件表現為線性特征，通常用于企業經濟管理中最優化方案的確定。線性規劃模型優點明顯，通過建立模型分析制造部與經濟動態中各變量間的潛在關聯，為各行業管理提供最優解，從而管理層依據其做出正確決策，同時以基期的統計信息完成自檢，確保模型的合理性。線性規劃模型在實際運用中曝露出諸多的缺點，主要概括為三點：首先是理想性，線性規劃模型本質上是靜態模型，而實際經濟管理中，目標函數中部分因素通常是變化的，同時生產過程也是一個動態的過程，導致約束條件中部分指標表現出不定性，可見線性規劃模型是一個理想化的模型，實際運用中具有一定的局限性；其次是被動型，模型僅可以跟隨外生變量的波動做出斷斷續續的回應；最后是難行性，實際分析中通常缺乏必要數據和信息，僅通過借鑒和假設等手段完成模型的模擬分析，缺乏精確性。
3復合模型
復合模型通過概率預測分析和模擬規劃，綜合考慮實際經濟動態中的各項不確定性因素，從而使分析結果更具說服力。模型的特點顯著，實際運用中表現出極大地靈活性，分析者參照實際目標，構建合理的模型框架，模型既可以進行概率預測分析，也能模擬規劃模型，兼顧以上兩種模型的優點。其典型應用為江蘇省農業區域政策分析模型，模型綜合計量經濟模型以及線性規劃模型，計量經濟模型用于分析居民的消費情況（消費水平、消費需求及通貨膨脹水平），同時預測外生量動態；線性規劃模型通過結合居民需求量信息，并進行多次模擬操作，確定生產結構的最優方案。
4灰色模型
農業經濟受制于諸多不確定性因素，其作用機制等信息模糊，一些常用的經濟分析模型已無法應對，為解決此類問題，灰色模型應運而生。傳統分析模型需要基于準確的統計數據，可用于處理常規發展中的經濟狀態，而對不確定性的經濟現象，難以做出有效分析。灰色模型主要通過灰色參數、函數和矩陣來客觀反映農業經濟的發展形勢，進而提出農業經濟發展的新規劃。灰色模型完美結合了定量分析和定性分析，其中定性分析是模型構建的理論基礎，后通過定量分析進行細化以及規格化處理，其既能定量分析各變量對農業經濟動態發展的不同影響，也可以概率預測農業經濟中各因素變化對農業經濟整體（總產值等）的影響。其典型應用為甘肅農業經濟分析模型。
結束語
四種模型各具特色，隨著我國農業的不斷開發，農業經濟得到快速發展，相應的數據統計和理論分析也更為復雜，對農業經濟分析模型的要求也越來越高，使復合模型與灰色模型的應用更為廣泛。為使我國農業經濟能夠高效健康發展，現提出以下建議：(1)重視農業科技進步和創新。加大農業基礎設施建設，加快農業產業技術革新。(2)加快農業結構產業化。引導農業經濟向集約型方向發展，加強農業與其他產業的聯系，充分利用農村剩余勞動力，整合現有資源，因地制宜。(3)加強農村基礎教育實施力度。農村是教育的薄弱環節，特別是偏遠山區，農民科學意識普遍較弱，制約當地農業技術的普及。
作者：隋娟娟 單位：王連街道辦事處
參考文獻：
以數形結合為例,作為高中階段最重要的數學思想方法之一,運用數形結合思想解決問題的地方隨處可見,涉及到的知識點也比較廣泛,比如有函數中的問題、規劃中的問題、圓錐曲線中的問題、三角函數中的問題、幾何概型中的問題等等,學生往往想不到要用數形結合,使得問題的解決不是那么順利。
本人在教學實踐中以“代數式的幾何意義”為題上了一節專題課,收到了比較好的效果。本人將高中內容中具有非常明確的幾何意義的代數式分為以下三種類型:
一、截距型
這種類型的代數式一般形如ax+by,因為只要令z=ax+by,
再將式子變形為直線方程 ,就可以看出此時z和直
線的截距之間的關系。
例如,若x,y滿足下列約束條件,求z=3x+5y的最大值和最小值。
5x+3y≤15
y≤x+1
x-5y≤3
事實上此題就是一個簡單的線性規劃問題,畫出不等式組表示的平面區域,再將目標函數變形成直線形式
(如圖1所示),
z最大(最小)就是直線與平面區域相交時截距最大(最小)。這就是線性規劃問題的圖解法,實際上就是利用代數式的幾何意義通過數形結合達到解題的目的。
二、斜率型
這種類型的代數式一般形如 ,此時可以將式子看成
是點(x,y)和點(a,b)之間連線的斜率的c倍。
例如,求函數 的值域。
上述式子只要變形為 ,則可以將y看成是
點M(cosx,sinx)和點N(2,0)
之間連線的斜率的 倍(如圖2
所示)。我們知道點M(cosx,sinx)
是單位圓上的動點,而N(2,0)是
定點,那么斜率的范圍就很容易求得
了。這里也利用了代數式的幾何意義
通過數形結合解題。
三、距離型
這種類型的代數式一般形如 或(x-a)2+(y-b)2,此時可以將其看成是點(x,y)和點(a,b)之間的距離或者距離的平方。
例如,如果實數滿足約束條件3x+2y-1≥0,那么求u=x2+y2+6x-2y的最小值。
此題要從u的幾何意義出發,將u先變形為u=(x+3)2+(y-1)2-10,再變形為u+10=(x+3)2+(y-1)2。此時式子的右邊顯然可以看成是點M(x,y)和點N(-3,1)之間的距離的平方。點M(x,y)所在范圍即不等式3x+2y-1≥0所表示的平面區域(如圖3所示)。這里只要找到代數式的幾何意義就可以利用數形結合方法又快又準的找到答案。
【例1】 設m,k為整數，方程mx2－kx+2=0在區間(0,1)內有兩個不同的根，則m+k的最小值為 ．
分析 本題首先要從題目得到方程mx2－kx+2=0在區間(0,1)內有兩個不同的根的充要條件即約束條件，然后轉化為線性規劃問題求解。
解 設f(x)=mx2－kx+2，由f(0)=2，知f(x)的圖象恒過定點(0,2)．
因此要使已知方程在區間(0,1)內有兩個不同的根，即f(x)的圖象在區間(0,1)內有兩個不同的交點，必有m>0,f(1)=m－k+2>0,00,k>0,m－k+2>0,2m－k>0,k2－8m>0.
在直角坐標系mOk中作出滿足不等式平面區域，如圖所示，設z=m+k，則直線m+k－z=0經過圖中的陰影中的整點(6,7)時，z=m+k取得最小值，即zmin=13．
點撥 線性規劃問題雖然在高考中的要求比較低，但是在高考中仍然作為一個熱點考查，題目變化比較多，在平時的復習中要引起重視，此題新在表面上并沒有說明一定要用線性規劃去解決，而是通過轉化，變成線性規劃問題去解決，這種類型的問題在2011年高考的解答題中曾有所涉及。
二、 基本不等式
【例2】 設x,y為實數，若4x2+y2+xy=1，則2x+y的最大值是 ．
分析 處理雙變量的問題我們可以考慮線性規劃或基本不等式等方法。
解 4x2+y2+xy=1，
(2x+y)2－3xy=1，即(2x+y)2－32•2xy=1，
(2x+y)2－32•2x+y22≤1，
解之得(2x+y)2≤85，即2x+y≤2105.
【例3】 若實數a,b,c滿足2a+2b=2a+b,2a+2b+2c=2a+b+c，則c的最大值是 ．
分析 此題首先建立關于參數c的目標函數，再進行求解。
解 2a+b=2a+2b≥22a+b，
當且僅當a=b時，2a+b≥4取“＝”．
由2a+2b+2c=2a+b+c得2a+b+2c=2a+b•2c，
2c=2a+b2a+b－1=1+12a+b－1≤1+14－1=43，
故c≤log243=2－log23．
點撥 利用基本不等式解題一定要注意“一正、二定、三相等”，并要注意構造符合基本式的條件以及形式。
三、 不等式的證明
【例4】 設b>0，數列{an}滿足a1=b,an=nban－1an－1+n－1(n≥2)．
(1) 求數列{an}的通項公式；
(2) 證明：對于一切正整數n,2an≤bn+1+1．
分析 本題第1問為已知遞推公式求通項公式，注意分類討論；第2問是不等式的證明，要構造符合基本式的形式，利用基本不等式證明。
解 (1) 由a1=b>0，知an=nban－1an－1+n－1>0，
nan=1b+1b•n－1an－1.
令An=nan,A1=1b，
當n≥2時，An=1b+1bAn－1
＝1b＋…＋1bn-1＋1bn-1A1
＝1b＋…＋1bn-1＋1bn.
①當b≠1時，An＝1b1-1bn1-1b＝bn-1bn(b-1);
②當b＝1時，An＝n.
An＝nbn(b-1)bn-1,b≠1，1，b=1.
(2) 當b≠1時，欲證2an＝2nbn(b-1)bn-1≤bn＋1＋1，只需證2nbn≤(bn＋1＋1)bn-1b-1.
(bn＋1＋1)bn-1b-1＝b2n＋b2n－1＋…＋bn＋1＋bn－1＋bn－2＋…＋1
＝bnbn+1bn+bn-1+1bn-1+…+b+1b
>bn(2＋2＋…＋2)
＝2nbn，
2an＝2nbn(b-1)bn-1
當b＝1時，2an＝2＝bn＋1＋1.
綜上所述,2an≤bn＋1＋1.
點撥 不等式的證明，要抓住題目本身的特點，構造出符合基本不等式的條件及形式，利用基本不等式進行證明，注意基本不等式成立的條件。
牛刀小試
1. 已知不等式xy≤ax2+2y2，若對任意x∈［1,2］且y∈［2，3］，該不等式恒成立，則實數a的取值范圍是 ．
2. 證明以下兩個不等式：
(1) 設x≥1，y≥1，證明：x＋y＋1xy≤1x＋1y＋xy.
(2) 1
【參考答案】
1. a≥-1
2. (1)由于x≥1，y≥1，
所以x＋y＋1xy≤1x＋1y＋xy
xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.
將上式中的右式減左式，得
［y＋x＋(xy)2］－［xy(x＋y)＋1］
＝［(xy)2－1］－［xy(x＋y)－(x＋y)］
＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)
＝(xy－1)(xy－x－y＋1)
＝(xy－1)(x－1)(y－1)．
因為x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，從而所要證明的不等式成立．
(2) 設logab＝x，logbc＝y，由對數的換底公式得
logca＝1xy，logba＝1x，logcb＝1y，logac＝xy.
于是，所要證明的不等式即為
x＋y＋1xy≤1x＋1y＋xy.
其中x＝logab≥1，y＝logbc≥1.
【關鍵詞】數形結合 數學教學 以形助數 以數輔形
數形結合思想，通俗講就是根據數與形之間的對應關系，通過數與形的相互轉化來解決數學問題的思想。它不僅是解決數學問題的一種策略和思想，而且也是解決數學問題的一種重要的方法。華羅庚先生曾指出：“數與形本是兩依倚，焉能分作兩邊飛。 數缺形時少直觀， 形少數時難入微。”在解決數學問題時，將抽象的數學語言同直觀的圖形相結合，實現抽象的概念與具體形象的聯系和轉化，使數與形的信息相互滲透，可以開拓我們的解題思路，使許多數學問題簡單化 。因此，數學教學中突出“數形結合”思想才是充分把握住了數學的精髓和靈魂。
數學教學中數形結合思想的應用包括以下兩個方面：①“以形助數”，把某些抽象的數學問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，揭示數學問題的本質；②“以數輔形”把直觀圖形數量化，使形更加精確。下面筆者嘗試從集合、函數、方程與不等式、數列、線性規劃、解析幾何、立體幾何等方面分別例舉“數形結合”思想在數學教學中的應用。
1.以形助數
1.1 數形結合思想在集合中的應用。
對于集合各種運算概念的理解，借助簡單的韋恩圖表示兩集合間的交、并、補等運算，認清集合的特征，把其轉化為圖形關系，就可以借助圖形使問題直觀，具體、準確地得到解決。
例1：有48名大學生， 每人至少參加一項公益活動， 參加鄉村支教、敬老院服務、清掃街道的人數分別為28，24，15，同時參加鄉村支教、敬老院服務的有8人，同時參加鄉村支教、清掃街道的有5人，同時參加敬老院服務、清掃街道的有7人，請問同時參加這三項活動的有多少人？
分析： 一般用圓來表示集合， 兩圓相交則表示兩集合有公共元素，兩圓相離則表示兩個集合沒有公共元素。 利用韋恩圖法能直觀地解答有關集合之間的關系的問題。
1.3 數形結合思想在方程與不等式中的應用。
1.4 數形結合思想在線性規劃問題中的應用。
線性規劃問題是在約束條件下求目標函數的最值的問題。從圖形上找思路恰好就體現了數形結合思想的應用。
1.5 數形結合思想在解決數列問題中的應用。
數列是一種特殊的函數，數列的通項公式以及前n項和公式可以看作關于正整數n的函數。用數形結合的思想研究數列問題是借助函數的圖象進行直觀分析，從而把數列的有關問題轉化為函數的有關問題來解決。
2.以數輔形
2.1 數形結合思想在解決解析幾何問題中的應用。
解析幾何的基本思想就是數形結合，在解題中善于將數形結合的數學思想運用于對點、線、曲線的性質及其相互關系的研究中。
2.2 數形結合思想在解決立體幾何問題中的應用。
立體幾何中用坐標的方法將幾何中的點、線、面的性質及其相互關系進行研究，可將抽象的幾何問題轉化純粹的代數運算。
小結：應用空間向量可以解決的常見問題有空間角中的異面直線所成的角、線面角、二面角；位置關系中的平行、垂直及點的空間位置。其一般思路是：盡量建立空間直角坐標系，將要證、要求的問題轉化為坐標運算。
綜上所述我們可以看出， 數形結合的目的是為了發揮形的生動性和直觀性，發揮數的思路的規范性與嚴密性，兩者相輔相成，能揚長避短。因此在數學教學中只要我們善于運用數形結合思想來解題，就可以將復雜問題簡單化，抽象問題具體化，一定能取得事半功倍的效果。
參考文獻
下面以題目為例，說明“調整估算驗證法”的運用。
例1 要將甲乙兩種長短不同的鋼管截成A,B,C三種規格的短鋼管，一根甲鋼管可同時截得A,B,C三種規格的鋼管數量分別是2，1，4根，一根乙鋼管可同時截得A,B,C三種規格的鋼管數量分別是2，3，1根，今需要A,B,C三種規格的鋼管各13，16，18根，問截甲乙這兩種鋼管各多少根可得所需的三種規格的鋼管，且使用的甲乙鋼管根數之和最小？
令Z＝10，得整數解為x＝0, y＝5；x＝2, y＝2.將這兩組整數解依次代入可行域中檢驗得x＝2, y＝2.
所以最優整數解為x＝2, y＝2，即用甲種規格的原料2張，乙種規格的原料2張.
例3 某人有樓房一幢，室內面積共180m2，擬分隔成兩類房間作為旅游客房. 大房間每間面積為18m2，可住游客5名，每名游客每天住宿費為40元；小房間每間面積為15m2，可住游客3名，每名游客每天住宿費為50元. 裝修大房間每間需1000元，裝修小房間每間需600元，如果他只能籌款8000元用于裝修，且游客能住滿客房，他應隔出大房間和小房間各多少間，才能獲得最大收益？
所以最優整數解為x＝0, y＝12或x＝3, y＝8，即應隔出大房間和小房間0間、12間或3間、8間.
注：以上3題中，Z的理想值都比較小或者不太大，所以對理想值進行微調可以較便捷地得到最優整數解，若Z的理想值比較大，則不宜采用此法.
例4 某實驗室需購某種化工原料106克，現在市場上該原料有兩種包裝，一種是每袋35千克，價格為140元;另一種是每袋24千克，價格為120元，在滿足需要的條件下，最少花費多少元？
所以最優整數解為x＝1，y ＝3，即購買35千克的原料1袋，24千克的原料3袋，此時花費最少為Z＝500元.
例5 某運輸公司有7輛載重量為6 t的A型卡車與4輛載重量為10 t的B型卡車，有9名駕駛員. 在建筑某段高速公路中，此公司承包了每天至少搬運360 t瀝青的任務，已知每輛卡車每天往返的次數為A型卡車8次，B型卡車6次，每輛卡車每天往返的成本費為A型車160元，B型車252元，每天派出A型車與B型車各多少輛公司所花的成本最低？
解：設每天派出A型車x輛，B型車y輛，則
48x＋60y≥360，x＋y≤9，x≤7，y≤4，x,y∈N.
目標函數Z＝160x＋252y.
所以最優整數解為x=5, y=2，即每天排派出A型車5輛，B型車2輛.
注：在例4、例5中，Z的理想值比較大，此時不宜對Z的理想值進行微調，應采取估算方法得出x 或y的整數取值范圍，從而進一步得到x，y的最優整數解.
關鍵詞：二元一次；不等式；不等式組
中圖分類號：G632 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2013）52-0092-02
人教A版《數學必修5》的3.3二元一次不等式（組）與簡單的線性規劃問題一節中，有兩個概念：把含有兩個未知數，并且未知數的次數是1的不等式稱為二元一次不等式。由幾個二元一次不等式組成的不等式組稱為二元一次不等式組。[1]這兩個概念容易讓學生引起認識上的混亂。
按照上述概念，xy+5x-3y32y+5t-732y
從教材的銜接和思維的嚴謹性來看，教材中的這兩個概念需要進一步完善。最新的湘教版初中教材有這些概念：含有兩個未知數（二元），并且含未知數的項的次數都是1的方程為二元一次方程。把兩個含有相同未知數的二元一次方程（或者一個二元一次方程，一個一元一次方程）聯立起來，組成的方程組，叫做二元一次方程組。[2]含有三個未知數，每個方程中含有未知數的項的次數均為1，并且一共有三個方程，像這樣的方程組叫做三元一次方程組。[3]并且該課本中的三元一次方程組的練習中出現了方程組x+y=72y+z=6x-z=7和 3x-2z=13z+2y=23y-x=-18。既然上述方程組算作三元一次方程組，那么由類比推理，不等式組2y
綜上所述，二元一次不等式的概念可為：把含有兩個未知數，并且含未知數的項的次數是1的不等式稱為二元一次不等式。二元一次不等式組的概念可為：共含兩個未知數且每個不等式中含有未知數的項的次數均為1的幾個不等式組成的不等式組稱為二元一次不等式組。這樣一來，xy+5x-3y32y+5t-732y
由于二元一次不等式（組）在線性規劃問題一節中提出，必須讓學生理解這兩個概念，這樣，他們才能清楚在何種情況下可以運用線性規劃解決問題。教學過程中，在呈現出相關的二元一次不等式（組）的概念后，為了讓學生對概念有清楚地認識和理解，可以設計如下概念辨析題，促進學生對這兩個概念的認識。
例1.判斷以下不等式是否為二元一次不等式？并說明理由。
（1）2x-y27 （3）2x-y
（4）2xy-3x>4 （5）■-3x>4 （6）■>4
例2.判斷以下不等式組是否為二元一次不等式組？并說明理由。
（1）x-3y0y≤2t0y-5t≤2
（5）x-y>0y+■≤2 （6）■>5 y-x≤2
參考文獻：
[1]人民教育出版社，課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心.普通高中課程標準實驗教科書A版數學必修5[M].北京：人民教育出版社，2007：82.
2012&2013西藏高考文科數學試卷比較分析
劉健禮
（山南地區第二高級中學，西藏 山南 856005）
摘 要：高中新課程改革在西藏已實施三年的時間，三年來，教師們不斷的探索新課程的教學方式和手段，數學學科的教學也在不斷的探索中前進。今年是西藏實行新課程改革以來的首屆高考，新課程改革后的高考試卷與以往的試卷有那些不同，考試的側重點將直接影響教師的課堂教學，本文作者將新課程改革前的高考試卷與新課程改革后的高考試卷進行了較全面的比較，并對高中數學教學提出了一些建議。
關鍵詞：西藏；高考；文科數學；比較
今年是西藏實施高中新課程后的首屆高考，高考試題的類型、知識點、考試的側重點將直接影響著數學的教學，現對文科數學高考試卷進行分析，以期從分析中找出新課程改革后高中數學的培養方向，以便更好的來指導我們的數學課堂教學。
一、試卷類型和結構比較
2012年西藏高考文科數學試題包括三部分內容：選擇題、填空題和解答題。其中選擇題12個小題、填空題4個小題、解答題6個大題，分為第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，其中第Ⅰ卷滿分60分、第Ⅱ卷滿分90分，全卷總分150分。2013年西藏高考文科數學試題也包括三部分內容：選擇題、填空題和解答題。其中選擇題共有12個小題、填空題有4個小題、解答題有6個大題（最后一個解答題是一道三選一的題），該套試卷分為第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，其中第Ⅰ卷滿分60分、第Ⅱ卷滿分90分，全卷總分150分。
通過分析兩套試卷的類型和結構發現，在2013的試卷中，把2012年的22題改為了一道三選一的選做題，題號由以前的22題，增加為22題、23題、24題共24個題。分值上也發生了變化，2012年的試卷第17題為10分，22題為12分；2013年的試卷第17題為12分，22題為10分、23題為10分、24題為10分。
二、兩套試題所考查的知識點比較
2012年西藏高考文科數學試題所考查的內容共有11個，分別是：集合、函數、導函數、數列、排列組合、立體幾何、平面向量及空間向量、圓錐曲線、線性規劃、解三角形、概率等。2013年西藏高考文科數學試題所考查的內容共有15個，分別是：集合、函數、數列、立體幾何、平面向量、復數、框圖、三視圖、線性規劃、圓錐曲線、解三角形、概率、解析幾何、不等式、參數方程等。具體如下：
考查內容 知識點
2012年高考 2013年高考
集合 子集運算 交集運算
函數 反函數、函數大小比較、函數最值 導函數、函數及性質
三角函數關系、三角函數奇偶性 函數平移、三角函數關系
函數單調性及導數運用 函數大小比較
數列 基本運算、數列綜合運用 等差、等比數列運用
排列組合 排列的應用、二項式通項運用
立體幾何
線面距離、異面直線成角 球體
線面垂直、成角、空間向量的運用 線面平行、棱錐體積
向量 向量加減運算 向量乘法運算
線性規劃 線性規劃應用 線性規劃應用
解三角形 數列、正、弦定理應用 正、余弦定理應用
概率 概率應用 概率應用，統計、概率應用
復數 基本運算
框圖 讀程序
三視圖 三視圖判斷
解析幾何 點和圓的軌跡方程
不等式
不等式應用 不等式運算、
不等式證明（選做題）
平面幾何 簡單幾何證明（選做題）
參數方程 參數方程軌跡（選做題）
探究思想 數學知識應用
將兩套試卷考查的知識點進行歸納整理后發現，這兩套試卷都以考查基礎知識為主。在兩套在試卷中，函數相關的知識點在考查中所占的比重仍居首位。同2012年的高考試卷比較發現，2013年的高考試卷中，增加了復數、框圖、三視圖、解析幾何、參數方程五個內容的試題，這些內容也是新課程改革后在文科數學教材中所新增加的內容。這些新增的知識點在高考試卷中也得到了很好的體現。在2013年的高考中沒有單獨考查排列組合的試題，而是在考查概率時運用到了排列組合的相關知識點，也是對排列組合知識的弱化，以此來強調知識間的運用。新課程中將復數知識列為文科學生所必須掌握的知識點，從而擴大了文科學生對數的知識面的掌握，在高考試題中也給予了相應的印證。通過對兩套試卷所考查的內容來看，2012年高考試卷所考查的內容較集中，2013年高考試卷所考查的內容較廣，涉及面較多。
三、試卷難度比較
由于不能得到學生的答卷情況，在此進行的試卷難度比較主要針對兩套試卷中每道題所考查的知識點的多少和做題所需要的步驟來進行比較。
在2012年和2013年的高考試題中，直接套用公式或定理，進行簡單的運算就能得到結果的試題分別為14道試題和12道試題，所占分值分別為82分和67分。運用公式或定理，計算步驟較多才能得到結果的試題都有5道試題，所占分值為39分和46分。通過對試題進行分析和推理，再結合相關的公式或定理，進行較多的計算才能得到結果的試題分別有3道題和4道題，所占分值為29分和27分。2013年的三道選做題都屬于運用公式或定理計算步驟不多就能得到結果的試題。從兩套試卷考查的方式來看，考查基本公式和基本定理的運用所占的比重較大，考查學生綜合能力的試題較少。
通過對兩套試題的能力要求和考查的形式來看，2013年的高考試題在公式和定理的運用方面的考查內容減少了，對數學知識在現實生活中的運用和推理方面的考查增多了，這也正是體現了新課程改革的核心，更加注重知識與技能的培養。
