時間：2023-05-30 10:26:03
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇同底數冪的乘法，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
一．教學引入語言的銜接
上這節課之前我一直在想，怎樣充分利用教材中現有教學內容來挖掘教材中隱含的知識點，于是對教學內容進行了重新整合。用自然巧妙的語言進行新的銜接，使知識的形成有水到渠成的感覺。
因為《同底數冪的乘法》是在學習了有理數乘方和整式加減之后，為了學習整式乘法而學習的關于冪的一個基本性質（法則），從學生的知識情況來看，一是指數概念早已學過，
但由于時間和自身的原因，對乘方概念中所含名稱：底數，指數，冪的含義并不十分明確。
師：同學們都玩過撲克，我這里有一些撲克。讓一位同學隨意抽取兩張。
（學生踴躍參與）
師：一張是2，一張是3.下面老師有個要求：請同學們用我們學過的運算符號把這兩個數結合在一起，使所得結果最大，你覺得怎樣運算？
生：23，32
師：這里用到了乘方。下面老師考考你對乘方知識掌握的情況。
（出示課件an表示的意義是什么？其中a ,n, an分別叫什么？）
教學反思：通過做游戲的引入，增強了學生學習興趣，起到了集中學生的注意力，幫助學生復習了冪的底數和指數的概念。這部分的設計是比較成功的。因為這些概念在研究同底數冪的乘法的時候是十分重要的，同時通過復習使學生在這之后的新課探索環節更加清晰明白，從而為新課教學起到鋪墊作用。
二．知識要點的銜接
師：同學們喜歡玩電腦嗎？喜歡玩電腦的同學舉手，（許多同學舉手）有這么多同學喜歡玩電腦！你知道決定計算機性能的指標是什么嗎？（學生搖頭）是計算速度，你知道計算機的計算速度有多大嗎?
請看下面題目
問題：一種電子計算機每秒可進行104次運算，它工作103秒可進行多少次運算？
師：你們能列算式嗎？
生：104×103
師:我們觀察這兩個冪有何特點？
生：底數都是10，底數是一樣的。
師：像這樣底數相同的兩個冪相乘的運算，我們把它叫做同底數冪的乘法。
（揭示課題，教師板書）
教學反思：本例題的內容是以計算機為載體，讓學生學會列算式，根據特點，引出課題。因此，在知識上是獨立的。以學生喜歡玩電腦，將學生的注意力集中到電腦知識方面，再用例題就比較自然順暢了！教學內容以適當的語言進行有效的銜接，培養了學生運用已有知識探索新知識的熱情，既導出新課，又為學生構建本課知識提供支撐。讓學生不僅學會了相應的知識，更重要的是讓學生明白各個知識之間存在的聯系。
三．教學內容學習上的銜接
師：前面我們練習了兩個同底數冪相乘的情況，想一想：當三個或三個以上同底數冪相乘時，這一結論還成立嗎？
生：成立
師：你會計算am×an×ap等于多少嗎？
生：amanap=am+n+p(m,n,p都是正整數)
師：你是怎么計算的？
生：表示由(m+n+p)個a相乘
生：從左到右運用結合律轉化成兩個同底數冪相乘的情況。
生：從右到左運用結合律轉化成兩個同底數冪相乘的情況。
師：你們的思路都非常清晰;由三個同底數冪相乘成立，你又能想到多少個同底數冪相乘?
生：四個或更多個同底數冪相乘結論都成立。
教學反思：以通俗易懂的語言闡述了多個同底數冪相乘的規律，以及計算的方法。這樣既能啟發學生進行深入的思考，又能引導學生體會到數學知識的推廣和拓展，感受到數學的整體美。
總體來說，在學習本課時，我深刻體會到新教材以學生為本的教學理念貫穿始終，學生學習積極性有較大的提高，學習效果很好，原本枯燥抽象的純數學東西，通過學生熟悉的實際問題相聯系，變得有趣易懂。這種以學生為主體，教師為主導的教學思想，真正提高到培養學生能力的層面上來了。學生的思維空間需要我們去開拓，學生身上閃耀出的智慧也令我們倍受鼓舞。所以對我自身素質的要求也大大提高了，只有不斷的學習，充實自己，才能把新教材運用好，才能適應學生發展的需要。
二、重點、難點分析
本節教學的重點是冪的乘方與積的乘方法則的理解與掌握，難點是法則的靈活運用.
1.冪的乘方
冪的乘方，底數不變，指數相乘，即
(都是正整數)
冪的乘方
的推導是根據乘方的意義和同底數冪的乘法性質.
冪的乘方不能和同底數冪的乘法相混淆，例如不能把的結果錯誤地寫成，也不能把的計算結果寫成.
冪的乘方是變乘方為(底數不變，指數相乘的)乘法，如;而同底數冪的乘法是變(同底數的冪)乘為(冪指數)加，如.
2.積和乘方
積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘.即
(為正整數).
三個或三個以上的積的乘方，也具有這一性質.例如：
3.不要把冪的乘方性質與同底數冪的乘法性質混淆.冪的乘方運算，是轉化為指數的乘法運算(底數不變);同底數冪的乘法，是轉化為指數的加法運算(底數不變).
4.同底數冪的乘法、冪的乘方、積的乘方的三個運算性質是整式乘法的基礎，也是整式乘法的主要依據.對三個性質的數學表達式和語言表述，不僅要記住，更重要的是理解.在這三個冪的運算中，要防止符號錯誤：例如，;還要防止運算性質發生混淆：等等.
三、教法建議
1.冪的乘方導出的根據是乘方的意義和同底數冪的乘法性質.教學時，也要注意導出這一性質的過程.可先以具體指數為例，明確幕的乘方的意義，導出性質，如
對于從指數連加得到指數相乘，要根據學生情況多作一些說明.以為例，再一次說明
可以寫成.這一點是導出冪的乘方性質的關鍵，務必使學生真正理解.在此基礎上再導出性質.
2.使學生要嚴格區分同底數冪乘法性質與冪的乘方性質的不同，不能混淆.具體講解可從下面兩點來說明：
(1)牢記不同的運算要使用不同的性質，運算的意義決定了運算的性質.
(2)記清冪的運算與指數運算的關系：
(同底)冪相乘指數相加(“乘”變“加”，降一級運算);
冪乘方指數相乘(“乘方”變“乘法”，降一級運算).
了解到有關冪的兩個重要性質都有“使原運算僅降一級運算”的規律，可使自己更好掌握有關性質.
3.在教學的各個環節中，注意啟發學生，不僅掌握法則，還要明確為什么.三種運算法則全講完之后，學生最易產生法則間的混淆，為了解決這個問題除叫學生熟記法則之外，在學生回答問題和寫作業時，注意解題步驟，或及時發現問題，說明出現問題的原因;要注意防止兩個錯誤：
(1)(-2xy)4=-24x4y4.
(2)(x+y)3=x3+y3.
冪的乘方與積的乘方(一)
一、教學目標
1.理解冪的乘方性質并能應用它進行有關計算.
2.通過推導性質培養學生的抽象思維能力.
3.通過運用性質，培養學生綜合運用知識的能力.
4.培養學生嚴謹的學習態度以及勇于創新的精神.
5.滲透數學公式的結構美、和諧美.
二、學法引導
1.教學方法：引導發現法、嘗試指導法.
2.學生學法：關鍵是準確理解冪的乘方公式的意義，只有準確地判別出其適用的條件，才可以較容易地應用公式解題.
三、重點·難點及解決辦法
(-)重點
準確掌握冪的乘方法則及其應用.
(二)難點
同底數冪的乘法和冪的乘方的綜合應用.
(三)解決辦法
在解題的過程中，運用對比的方法讓學生感受、理解公式的聯系與區別.
四、課時安排
一課時.
五、教具學具準備
投影儀、膠片.
六、師生互動活動設計
1.復習同底數冪乘法法則并進行、的計算，從而引入新課，在探究規律的過程中，得出冪的乘方公式，并加以充分的理解.
2.教師舉例進行示范，師生共練以熟悉冪的乘方性質.
3.設計錯例辨析和練習，通過不同的題型，從不同的角度加深對公式的理解.
七、教學步驟
(-)明確目標
本節課重點是掌握冪的乘方運算性質并能進行較靈活的應用
(二)整體感知
冪的乘方法則的應用關鍵是判斷準其適用的條件和形式.
(三)教學過程
1.復習引入
(1)敘述同底數冪乘法法則并用字母表示.
(2)計算：①②
2.探索新知，講授新課
(1)引入新課：計算和和
提問學生式子、的意義，啟發學生把冪的乘方轉化為同底數暴的乘法.計算過程按課本，并注明每步計算的根據.
觀察題目和結論：
推測冪的乘方的一般結論：
(2)冪的乘方法則
語言敘述：冪的乘方，底數不變，指數相乘.
字母表示：.(，都是正整數)
推導過程按課本，讓學生說出每一步變形的根據.
(3)范例講解
例1計算：
①②
③④
解：①
②
③
④
例2計算：
①
②
解：①原式
②原式
練習：①P971，2
②錯例辨析：下列各式的計算中，正確的是()
A.B.
C.D.
(四)總結、擴展
同底數冪的乘法與冪的乘方性質比較：
冪運算種類指數運算種類
同底冪乘法乘法加法
冪的乘方乘方乘法
八、布置作業
P101A組1～3;B組1.
考點一 冪的有關運算
例1 （重慶卷）計算（ab）2的結果是（ ）
A. 2ab B. a2b C. a2b2 D. ab2
解析 本題考查的是積的乘方法則，根據該法則有（ab）2=a2b2. 故答案為C.
點評 同底數冪相乘的法則、積的乘方法則、冪的乘方法則等等，這些法則容易混淆，要認真辨認，平時多加練習.
例2 （浙江紹興卷）下列運算正確的是（ ）
A. x+x=x2 B. x2÷x2=x2 C. x2?x2=x4 D. （2x2）2=6x6
解析 合并同類項，系數相加而字母和字母的指數不變；同底數冪的除法，底數不變而指數相減；同底數冪的乘法，底數不變而指數相加；冪的乘方，底數不變而指數相乘. 對各選擇項分別運用相應法則計算后，利用排除法求解可知答案為C.
點評 本題考查合并同類項，同底數冪的除法，同底數冪的乘法，冪的乘方，很容易混淆，一定要記準法則才能做題.
考點二 整式的乘法運算
例3 （安徽卷）計算：（a+3）（a-1）+a（a-2）.
解析 根據整式的乘法法則，多項式乘多項式時，用其中一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加；單項式乘多項式，可以按照乘法分配率進行，再根據合并同類項法則進行整式加減運算.
原式=a2-a+3a-3+a2-2a=2a2-3.
點評 本題考查整式的乘法運算和整式的加減運算. 要準確解答此類題目，首先要掌握運算法則，再仔細計算，防止漏乘、符號等方面的錯誤.
考點三 利用整式運算求代數式的值
點評 本題考查整式的化簡求值，應先按運算順序把整式化簡，再把對應字母的值代入求值. 在有乘方、乘除的混合運算中，要按照先乘方后乘除的順序進行運算，其運算順序和有理數的混合運算順序相似.
考點四 乘法公式
例5 （江蘇鹽城卷）化簡：（a-b）2+b（2a+b）.
解析 本題考查整式的化簡與計算，掌握單項式乘以多項式的法則與完全平方公式是關鍵. 根據完全平方公式和單項式乘以多項式的法則得
原式=a2-2ab+b2+2ab+b2=a2+2b2.
點評 本題考查完全平方公式和整式乘法的法則，考查學生基本的運算能力，解題的關鍵是熟練掌握整式的運算法則和熟記相關公式.
例6 （貴州遵義卷）已知x+y=-5，xy=6，則x2+y2= .
解析 先把x+y=-5兩邊平方，根據完全平方公式和已知條件即可求出x2+y2的值.
點評 本題主要考查完全平方公式的應用. 完全平方公式有以下幾個特征：①左邊是兩個數的和的平方；②右邊是一個三項式，其中首末兩項分別是兩項的平方，都為正，中間一項是兩項積的2倍，且其符號與左邊項的運算符號相同.
考點五 整式的除法運算
解析 本題是一道綜合計算題，要先算中括號內的部分，注意乘法公式的使用，然后再進行整式的除法運算.
點評 做整式的除法題時要注意運算順序和符號，特別注意不能漏項.
考點六 有關整式乘除的創新型問題
例8 （貴州遵義卷）如圖，從邊長為（a+1） cm的正方形紙片中剪去一個邊長為（a-1） cm的正方形（a>1），剩余部分沿虛線又剪拼成一個矩形（不重疊無縫隙），則該矩形的面積是（ ）
解析 根據題意得出矩形的面積是（a+1）2-（a-1）2，求出即可.
（a+1）2-（a-1）2=a2+2a+1-（a2-2a+1）=4a（cm2）.
關鍵詞：初中數學 自主學習 研究
學習數學的重要目標之一就是提高學生利用數學知識分析問題、解決問題的能力，那么在具體教學中，如何進行自主學習的教學和指導，提高學生的自主學習能力呢？
一、做好課前設計，提高學生自主探究能力
在學生們的思維中，學習數學只要上課聽懂課后會做數學題，就是會學數學。其實不然，現在的中高考，都堅持以能力立意的命題思想，主張考查學生的自主學習和探究能力，這更利于學生將來的發展。因此老師第一步就是要精心設計預習問題，讓學生通過自主學習探究后，帶著問題進課堂，不斷提升預習能力。
如“同底數冪的乘法”的課前預習設計，首先要讓學生懂得冪的概念，分清楚底數和冪，把教材上的“做一做”1稍微變化一些指數，探究得出“做一做”的2和3，通過學生自己的探究，得出同底數冪相乘的法則，整理出字母表達式和文字表述。預習的第二塊是法則的簡單運用：（1）指數為正整數，底數為正整數、負整數、字母的兩個同底數冪相乘；（2）底數為正整數，指數為字母的兩個同底數冪相乘；（3）指數底數都是字母的兩個同底數冪相乘等等的例題的變化，讓學生懂得如何運用法則來解決相關問題。第三塊預習內容，則讓學生去思考教材“議一議”，并配有相關習題供學生練習。因此預習題的設計，特別是新課預習題，要讓學生能從教材上找到相關內容，模仿著能解決，再稍加提高。題量要少而精，控制好難度，能吸引學生自學的興趣和愿望。
二、通過檢查題，督促學生主動探究練習
在平時的課中，要設計一個教學環節，既要提升學生預習的質量，又要能檢查學生預習效果的教學環節。那就是在學生活動之后，教師收集他們的錯誤信息后，編寫幾道有針對性的習題，再次讓學生討論。
如“同底數冪的乘法”中，同底數冪相乘，底數的變化問題,指數的變化問題,底數為負數、指數為正偶數時結果怎樣表達，底數為負數、指數為正奇數時結果又如何表
達，超過兩個同底數冪相乘如何運算等等，讓各層次的學生來點評。讓學生在有限的時間內，在自然和諧的教學氛圍中，通過回顧概念，掌握要求，了解有關的注意事項之后來反思錯誤。用批評的眼光去看待自己的解題過程，看看思路是否有問題，概念使用是否正確，計算是否有失誤，思考是否周密等等。然后再動手做作業，就心中有數，練中學，學中練，練中評，達到鞏固目的，強化了知識，提高了能力。
三、拓展延伸，指導學生探究
著名的數學教育家波利亞曾形象地指出：“好問題同某種蘑菇有些相像，它們都成堆地生長，找到一個以后，你應當在周圍找一找，很可能附近就有好幾個。”研究性學習已經進入中高考，提高探究創新能力已經刻不容緩，因此對它進行改進也是情理之中。我們的課堂教學，就是在傳授學生基本知識和基本技能之后，對已學數學問題進行反思和變化，讓學生解一題會一類，并訓練探究、創新能力，較大限度提高了解題的效益。能使師生雙方及時接受正確的信息，加快信息反饋的速度，教師不妨設計幾組探究題：（1）底數由同底數冪相乘到不是同底數冪相乘的探究：如底數為a或（-a），指數為正偶數或負偶數的兩個同底數冪相乘；底數為多項式（a-b）或（b-a），指數為正偶數或負偶數的兩個同底數冪相乘，探究底數符號變化規律；（2）同底數冪相乘底數不變，指數相乘法則的逆用等等。它能夠充分調動學生的主觀能動性，使多向性、多層次的交互作用引進數學教學過程，教師通過變式教學，不但使學生能舉一反三，而且能使教學結構發生質的變化，使學生成為創造的主人。
四、當堂檢測，促使學生主動解決問題
一堂數學課的成功與否，不能僅憑課堂中學生活動次數多少、氛圍的熱烈程度來評判，歸根到底是以學生是否真正掌握知識的程度和運用知識的能力為評價標準。而實際上，在許多數學課中，都缺少這樣一個檢測評價環節，大部分都把這個環節放在課后進行。然而這樣處理，學生只是根據老師的作業批閱，由批改符號只能知道哪個題錯了，但不知道錯在哪里？得到的只是百思不解的信息。因此，為了更好地促使學生掌握當堂所學知識，最好當堂檢測，促使學生主動解決問題。
如“同底數冪的乘法”教學中，教師應在拓展延伸活動結束后，老師可根據本節課的重點難點，中考要求，編制一些問題，立即進行當堂檢測。檢測題要少而精，也要考慮各個層次學生的實際情況。同時要注意檢測時間的控制，留有時間當堂借助小助手的幫助進行批閱、點評。這樣，學生進一步鞏固了本節課的知識，又當堂解決了學習中的問題，不帶問題下課，進入良性學習的軌道。教師也能通過學生檢測信息的反饋，能不斷調整教學內容和教學方法，來適應學生不斷變化的需求。
總之，課改在不斷推進，我們一線的老師在實踐中，不妨?；仡^看看、想想、改改，少些形式的東西，多讓學生自主探究學習。我想我們的數學教學適應了學生，學生會主動參與課堂教學，會喜歡數學的。
參考文獻：
［1］梁立士.新課程理念與初中數學課堂教學［J］.遼寧教育.2005.3.
［2］鄧友祥.對新課程理念下數學教學的審視［J］.內蒙古師范大學學報（教育科學版）.2003.8.
［3］張奠宙.數學教育研究導引［M］.江蘇教育出版社，1998.
一、 解題方法
解法一：（課本提供的解法）
【解析】教科書上的解法中首先運用了冪的乘方公式（am）n=amn，然后應用了同底數冪的乘法公式am?an=am+n.
解：（a3）3?（a4）3=a3×3?a4×3=a9?a12=a9+12=a21.
解法二：（學習完積的乘方后可以使用）
【解析】積的乘方公式為（ab）n=anbn，觀察題干發現兩部分都含有3次方，逆用公式anbn=（ab）n得：（a3）3?（a4）3=（a3?a4）3，再應用同底數冪的乘法公式和冪的乘方公式即可得到結果.
解：（a3）3?（a4）3=（a3?a4）3
=（a3+4）3=（a7）3=a21.
二、 整體代入法
對課本例題稍加變化有下面例題：
例1 若已知a3=2，求（a3）3?（a4）3的值.
【解析】以現有知識，已知a3=2，無法求出a的具體值，但式子化簡的結果為a21，逆用冪的乘方公式（am）n=amn可得a21=a3×7=（a3）7，此時可以把a3看作一個整體，代入后即可得到結果.
解：（a3）3?（a4）3=a21=（a3）7=27=128.
除此之外本題還有其他的處理方式：
我們知道（am）n=amn，而（an）m=amn，所以（am）n=（an）m，因而（a4）3=（a3）4，原式可以變化成（a3）3?（a3）4，此時把a3看作一個整體進行同底數冪的運算可得：
（a3）3?（a3）4=（a3）3+4=（a3）7，此時再把a3=2代入即可得到答案.
解：（a3）3?（a4）3=（a3）3?（a3）4
=（a3）3+4=（a3）7=27=128.
無論用哪種方法處理例1，最終都是把a3看作一個整體進行代入求值. 像這種把一個式子看作一個整體代入求值的方法，我們稱之為整體代入法.
三、 變式訓練
通過第二部分的閱讀，我們已經知道了什么是整體代入法，并對整體代入法有了初步的了解，下面通過變式訓練來鞏固對這種方法的應用.
例2 若ax=2，ay=3，求ax+y的值.
【解析】同底數冪的乘法公式為am?an=am+n，逆用公式可得：ax+y=ax?ay，把ax=2，ay=3整體代入即可得到答案6.
變式1：若ax=2，ay=3，求ax-y的值.
解：ax-y=ax÷ay=2÷3=.
變式2：若ax=2，ay=3，求a2x+3y的值.
【解析】逆用同底數冪的乘法公式可得：a2x+3y=a2x?a3y，如果求出a2x與a3y的值，問題就迎刃而解了. 逆用冪的乘方公式可得a2x=（ax）2=22=4，a3y=（ay）3=33=27，所以a2x+3y=4×27=108.
變式3：若ax=2，ay=3，求a2x-3y的值.
解：a2x-3y=a2x÷a3y=（ax）2÷（ay）3=22÷33=.
變式1與變式2是關于冪的運算的綜合運用，其中不僅涉及整體代入法的處理，也考查大家對公式的熟練程度，特別是公式的逆用，要常記心頭.
四、 拓展提高
例3 已知2x+3y=7，a=2，求a2x+3y的值.
【解析】有了前面的整體代入法的鋪墊，同學們再解決這個問題就比較容易了，把2x+3y看作一個整體，a2x+3y=27=128.
拓展1：已知2x+3y-7=0，a=2，求a2x+3y的值.
拓展2：已知4x+6y-14=0，a=2，求a2x+3y的值.
【解析】對于拓展1，由2x+3y-7=0可以得出2x+3y=7，即轉化成例3.
對于拓展2，在等式4x+6y-14=0的兩邊同時除以2得到2x+3y-7=0，可以得出2x+
3y=7.
如果直接呈現拓展2，題目的難度是比較大的，難題只不過是從最簡單的題目變化而來，學會把復雜的題目轉化為簡單題目是解決問題的關鍵.
拓展3：已知m+n-1=0，x=5，求x2m+3n的值.
解：因為m+n-1=0，等式兩邊同時乘2得：2m+3n-2=0，所以2m+3n=2，所以x2m+3n=
52=25.
考點1 冪的運算
例1 （江蘇泰州）下列運算正確的是（ ）.
A.a3?a2＝a6B.（－a2）3＝－a6
C.（ab）3＝ab3 D.a8÷a2＝a4
分析：根據冪的運算法則，逐一計算.由同底數冪相乘，底數不變，指數相加，得a3?a2＝a3＋2 ＝a5，選項A不正確；積的乘方，把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘，得（ab）3＝a3?b3＝a3b3，選項C不正確；同底數冪相除，底數不變，指數相減，得a8÷a2＝a6，選項D也不正確.只有選項B正確.
解：（－a2）3＝（－1）3?（a2）3＝－a6.故選B.
點評：理解、熟記冪的運算法則是解題的關鍵.
考點2 整式的乘除
例2 （福建廈門）計算：[（x＋3）2＋（x＋3）?（x－3）]÷2x.
分析：先利用完全平方公式和平方差公式將式子展開，然后再根據多項式除以單項式法則進行計算.
解：[（x＋3）2＋（x＋3）（x－3）]÷2x
＝（x2＋6x＋9＋x2－9）÷2x＝（2x2＋6x）÷2x
＝x＋3.
點評：本題主要考查同學們對整式的乘除法則的掌握及乘法公式的運用情況，計算時要細心，以防出錯.
考點3因式分解
例3（安徽蕪湖）因式分解9x2－y2－4y－4＝ ．
分析：本題既沒有公因式可提，也不能直接套用公式，可采用分組分解法.把第1項作為一組，后3項作為一組，先運用完全平方公式，然后再運用平方差公式進行分解．
解：9x2－y2－4y－4＝9x2－（y2＋4y＋4）＝（3x＋y＋2）（3x－y－2）.
點評：因式分解是整式里的重要內容，也是分式和二次根式運算的基礎.因式分解的步驟是一提，即提公因式；二套，即套公式，主要是平方差公式和完全平方公式；三分組，即對于不能直接提公因式和套公式的題目，可先將多項式適當分組，然后再提公因式或套用公式.
考點4 驗證公式
例4（四川達州）如圖1，在邊長為a的正方形中，剪去一個邊長為b的小正方形（a＞b），將余下部分拼成一個梯形，如圖2，根據兩個圖形陰影部分面積的關系，可以得到一個關于a、b的恒等式為（ ）.
A. （a－b）2＝a2－2ab＋b2
B. （a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
一、 整式的乘法
整式的乘法是在前面學習了整式加減運算后的另一種整式運算. 前一章所學習的冪的運算性質：同底數冪的乘法、冪的乘方和積的乘方是整式乘法的基礎.整式乘法具體內容包括單項式乘單項式、單項式乘多項式以及多項式乘多項式.
單項式與單項式相乘 原則：結果還是單項式；方法：把單項式中能乘的進行乘法運算（把系數相乘，相同字母分別相乘），不能乘的照搬（對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數作為積的一個因式）.
單項式乘多項式 根據數字計算中乘法分配律，將單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積（單項式）相加.實質是單項式與單項式乘法.
多項式與多項式相乘 用多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積（單項式）相加. 其實質也是轉化為單項式與單項式相乘. 在沒有合并同類項之前，所得多項式項數為各多項式項數之積.
二、 乘法公式
乘法公式是多項式乘多項式的簡便運算方法.當多項式乘多項式出現特殊形式時，運用乘法公式能迅速而簡潔地進行一些整式相乘的運算.
平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2
公式的特征：平方差公式的左邊是兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數. 平方差公式右邊是兩項平方差的形式.
完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2
公式的特征：完全平方公式的左邊是括號內兩個式子和（差）的平方（完全平方），完全平方公式的右邊是一個二次三項式，首尾是這兩個式子平方和，中間是這兩個式子積的2倍，符號和左邊括號內一個樣.
三、 因式分解
分解因式是處理代數式的一種手段，不是目的. 分解因式的思路和方法始終貫穿在數學變換中，通過分解因式將多項式合理變形，是求代數式的值的常用的解題方法，許多有關整式、分式以及二次根式的化簡與計算都離不開分解因式. 因式分解和整式乘法是互逆的關系. 因式分解是否正確可以用整式乘法去檢查. 同學們在學習時必須能夠弄清兩者的區別和聯系. 因式分解的方法一般包括提公因式法、公式法.
分解因式基本概念：
1. 把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫作把這個多項式分解因式. 其關鍵詞是：多項式、整式、積.
2. 因式分解和整式乘法是互逆的關系. 整式乘法是積化和差；因式分解是和差化積.
因式分解的解題步驟與注意點：
1. 看各項有沒有公因式，若有，先提取公因式；
2. 再看能否使用公式法；
3. 因式分解的最后結果必須是幾個整式的乘積，否則不是因式分解；
4. 因式分解的結果必須進行到每個因式在有理數范圍內不能再分解為止.
因式分解的基本方法
1. 提公因式法
概念：如果一個多項式的各項含有公因式，那么就可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式.這種分解因式的方法叫作提公因式法. 例如：ab+ac=a（b+c）.
概念內涵：
（1） 因式分解的最后結果應當是“積”，n項式=公因式×新的n項式；
（2） 公因式可能是單項式，也可能是多項式；
方法：
（1） 找多項式中的公因式方法：公因式的構成一般情況下有三部分：①系數――各項系數的最大公約數；②字母――各項含有的相同字母；③指數――相同字母的最低次數；
（2） 提公因式法的方法：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并確定另一因式. 需注意的是，提取完公因式后，另一個因式的項數與原多項式的項數一致，這一點可用來檢驗是否漏項.
2. 公式法
概念內涵：
（1） 運用公式法分解因式的實質是：把乘法公式反過來使用.常用的公式：
①平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）
（兩項都是一個整式的平方，且兩項是異號）
②完全平方公式：a2+2ab+b2=（a+b）2、a2-
2ab+b2=（a-b）2
（有三項，兩個平方項符號相同，另一項是前兩項冪的底數乘積的2倍，符號可正可負）
方法：
（1） 把多項式寫成為平方差及完全平方公式的形式；
（2） 熟悉公式的結構特點，找出公式中a、b所代表的數和代數式；
（3） 根據公式寫出積的形式.
因式分解中需要注意的幾個問題
1. 分解因式是在多項式范圍內進行. 而對于a2+-2=a
-2的變形過程，是利用了因式分解的方法，而不能叫因式分解.
2. 要把整個多項式化為幾個整式的積，而不是把部分化為積的形式.
如：a2-6a+9=a（a-6）+9這不是因式分解的答案，正確的應該是：a2-6a+9=（a-3）2.
3. 多項式中某一項恰為公因式，提出后，括號中這一項為1，不能漏掉.
【關鍵詞】負遷移 表現 成因 防治 自信 興趣
【中圖分類號】G632 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2013）13-0141-02
負遷移，指一種學習對另一種學習的干擾或抑制作用，是初中生經常出現的一種學習障礙。本文結合在數學教學過程中出現的一些典型案例，以初中生數學學習為研究對象，試探數學知識負遷移的表現類型、產生原因以及防治對策。
一 數學知識負遷移的表現類型
數學知識負遷移一般可表現為下列三種類型：
1.順向負遷移
即先前的學習對后繼學習的干擾，舊知識技能阻礙學生對新知識技能的理解、鞏固和應用。如學生先學習解方程x2=9，解得x=±3，再學習解不等式x2
2.逆向負遷移
即后繼的學習對先前學習的消極影響，新學習的知識、技能反過來也會干擾舊知識、技能的鞏固和應用，也就是學了后面，忘了前面。如學生學習了三角形中位線概念，就把前面學習過的三角形中線也說成是三角形中位線。
3.混合負遷移
即在一個學習活動中，既有順向負遷移的存在，又發生了逆向負遷移，這種混合負遷移在學生綜合練習中出現較多。如學生證明一道復雜幾何題時，想用全等三角形、平行四邊形以及圓等多種知識來證，然而各種知識互相干擾，使得幾何題無法得證。
以上三種類型數學知識負遷移，學生在學習數學過程中常有存在。筆者曾對數學作業、單元測試卷作過統計，在學生負遷移錯誤中，屬順向負遷移的約占60%；屬逆向負遷移的約占30%；屬混合負遷移的約占10%，僅出現在幾個特困生作業及單元測試卷中。
二 數學知識負遷移產生的原因
數學知識負遷移產生的原因是多方面的，既有客觀原因，又有主觀因素。現就教學過程中發現學生出現負遷移的主要因素作一簡要分析。
1.教材因素
教材的某些知識結構，本身就存在能引起學生產生負遷移的現實因素。一般來說，新舊知識技能之間，既有相同或類似之處，又具有不同之處，對學生既有共同要求，又有各自特殊要求，面對這樣的教材內容，學生就有可能出現負遷移。
如學生在學習解一元一次方程與一元一次不等式時，這兩種學習材料之間有許多共同因素，即解一元一次不等式的前幾個步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項等，與解一元一次方程的解題步驟相同；而解一元一次不等式的最后一個步驟：不等式的兩邊同除以未知數的系數時，與解一元一次方程又不完全相同，因而學生在學習過程中容易產生負遷移。特別是不等式兩邊同除以一個負數，學生常常不去改變不等號，這就是由于學習一元一次方程干擾造成的負遷移。
在分析3-2x≥9+4x這一不等式的學生作業進行錯誤統計時，發現有接近60%的錯誤是由于不等式兩邊同時除以一個負數，學生沒有改變不等號方向產生的。
2.學生因素
第一，思維定勢的消極影響，思維定勢是一種思維的趨向性，即總是按照某種習慣的思維去考慮問題，按照某種習慣的思維去尋找解決問題的方法。初中生的思維定勢往往具有消極的一面，給學習產生一定干擾。一般來說，如果先學的內容先入為主，定勢強于后學內容，就有可能產生順向負遷移；要是后學的內容印象深刻后來居上，定勢超過先學內容，就會出現逆向負遷移的可能。例如，學生初學冪的乘方，常出現類似于（a3）4=a3+4=a7的錯誤，這是在同底數冪的乘法較強定勢作用下產生的順向負遷移現象，因為同底數冪的乘法再現多次，印象深刻，形成認識和應用同底數冪乘法法則的思維習慣，而冪的乘方法則剛剛接觸，印象較淺，同底數冪的乘法法則認識和應用的走勢較強，這樣難免會出現計算冪的乘方用指數相加的錯誤。再如，學生開始沒有學好三角形中線概念，印象不深，而后來中位線概念掌握得較好，形成較強的學習定勢，后發制人使中位線代替了中線，產生了逆向負遷移的錯誤。
第二，缺乏一定的概括能力。數學知識負遷移的產生與學生缺乏概括能力有很大的關系。如學生多次遇到 、 這樣的式子認為它們是二次根式，但不認為 、 也是二次根式。這是因為學生的認識僅僅停留在被開方數應是一個具體的數的水平，則沒有把被開方數擴展到一切非負數a的高度。
第三，認知結構的因素。學生頭腦里的認知結構與學習的遷移息息相關，特別是認知結構變量中可利用性小，可辨性差，穩定性低，學生對新的內容與同化它的原有觀念不能很好地分離，容易產生數學知識負遷移，如學生開始學習函數概念，總是把變量當常量，如對圓的面積公式S=πr2，不能把面積S理解為半徑r的函數。
第四，師源因素。有位數學家曾說：“學生學習的問題，就是教師的過失?！睂W生產生負遷移的根源也在教師平日的教學上。如概念教學，教師不注意新舊知識的比較，缺少一定數量的強化練習，勢必造成學生概念不清，認識模糊。如學生出現的 之類的錯誤，最終原因還是教師沒有把平方根與算術平方根進行辨析，導致學生產生順向負遷移。又如平時教學新課，教師不注意幫助學生復習舊知識，盡管后面的內容強化了，但以前學習的內容學生印象淡化，可能就會產生數學知識逆向負遷移。
三 數學知識負遷移的預防對策
數學知識負遷移一旦產生，就是一種學習障礙。為了應對學生產生數學知識負遷移的現象，教師在數學教學過程中應采取一些必要的措施。
1.注重新舊知識之間的遷移、比較
加強數學知識聯系教學，揭示前后知識之間的共同因素與不同因素，注重讓學生對數學知識點多對比、辨別，分清異同。如教學算術平方根，要把 與 區別開來，前者是a2的算術平方根，a可為任意實數； 是a的算術平方根的平方，a只能取非負數。如果不揭示這一區別，學生就會得出 ，從而產生數學知識負遷移。
2.科學地組織練習
量要適度，不宜搞題海戰術的重復訓練，少布置“題型+方法”之類的作業，別讓學生的一些不正確的思維方法形成定勢。注意培養學生思維的靈活性，遇見新問題，應啟發學生從多角度、多方面去考慮，尋找解決問題的方法。
3.加強學生數學學習的學法指導
注意幫助學生提高對數學知識的概括能力和應用水平，要順應學生數學學習的過程，促進學生認識結構的完善和發展，把培養學生的能力作為應對數學知識負遷移的一條重要措施。
參考文獻
[1]鄭金洲.基于新課程的課堂教學案例[M].福州：福建教育出版社，2003
[2]傅道春.新課程中教師行為的變化[M].北京：首都師范大學出版社，2002
1.1 正數與負數
①正數：大于0的數叫正數。(根據需要，有時在正數前面也加上“+”)
②負數：在以前學過的0以外的數前面加上負號“—”的數叫負數。與正數具有相反意義。
③0既不是正數也不是負數。0是正數和負數的分界，是的中性數。
注意：搞清相反意義的量：南北;東西;上下;左右;上升下降;高低;增長減少等
1.2 有理數
1.有理數(1)整數:正整數、0、負整數統稱整數(integer)，
(2)分數;正分數和負分數統稱分數(fraction)。
(3)有理數;整數和分數統稱有理數(rational number). 以用m/n(其中m,n是整數，n≠0)表示有理數。
2.數軸
(1)定義 ：通常用一條直線上的點表示數，這條直線叫數軸(number axis)。
(2)數軸三要素：原點、正方向、單位長度。
(3)原點：在直線上任取一個點表示數0，這個點叫做原點(origin)。
(4)數軸上的點和有理數的關系：
所有的有理數都可以用數軸上的點表示出來，但數軸上的點，不都是表示有理數。
只有符號不同的兩個數叫做互為相反數(opposite number)。(例：2的相反數是-2;0的相反數是0)
數軸上表示數a的點與原點的距離叫做數a的絕對值(absolute value),記作|a|。從幾何意義上講，數的絕對值是兩點間的距離。
一個正數的絕對值是它本身;一個負數的絕對值是它的相反數;0的絕對值是0。兩個負數，絕對值大的反而小。
1.3 有理數的加減法
①有理數加法法則：
1.同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加。
2.絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值?；橄喾磾档膬蓚€數相加得0。
3.一個數同0相加，仍得這個數。
加法的交換律和結合律
②有理數減法法則：減去一個數，等于加這個數的相反數。
1.4 有理數的乘除法
①有理數乘法法則：兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘。任何數同0相乘，都得0。
乘積是1的兩個數互為倒數。乘法交換律/結合律/分配律
②有理數除法法則：除以一個不等于0的數，等于乘這個數的倒數。
兩數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。
0除以任何一個不等于0的數，都得0。
1.5 有理數的乘方
求n個相同因數的積的運算，叫乘方，乘方的結果叫冪(power)。在a的n次方中，a叫做底數(base number)，n叫做指數(exponent)。負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數。正數的任何次冪都是正數，0的任何次冪都是0。
【關鍵詞】基礎知識；基本技能；基本思想；基本活動經驗
一、背景介紹
《義務教育數學課程標準（2011年版）》中將2001年提出的“雙基”改為了“四基”： 即學生通過學習，獲得必需的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗.“四基”符合學以致用和改革創新的時代潮流，培養學生掌握數學基礎知識，訓練數學基本技能，領悟數學基本思想，積累數學基本活動經驗，最終達到貫通與創新.“四基”理念在數學教學中應該要如何落實？筆者試通過“同底數冪的乘法”第一課時進行探索，下面就結合教學情況談談一些認識和反思.
二、教學過程簡錄
1.問題情境，引入課題
（1）把下列各式寫成冪的形式：
三、筆者課后的若干思考
“四基”是在 “雙基”教學基礎上增加了基本數學思想和基本活動經驗的教學，那么，教學中如何把握“四基”呢？
（1）基礎知識重在“理解和掌握”.課程標準指出：“學生掌握數學知識，不能依賴死記硬背，而應以理解為基礎，并在知識的應用中不斷鞏固和深化.”在本節課中，探討同底數冪的乘法法則，筆者設置了具有層次的三組問題，將知識的形成過程呈現給學生，讓學生理解數學知識的背景及來龍去脈，并且理清與相關知識之間的區別和聯系，使學生理解、記憶.
【關鍵詞】 初中數學； 沉默； 互動； 教學； 實踐
隨著課堂教學改革的不斷深化，傳統的一言堂式教學模式已經逐漸被互動式教學模式所替代，學生們在互動教學中提高了合作探究能力，課堂教學的效率得到很大提高. 提高學生課堂學習的主動性和積極性勢在必行，面對課堂沉默的問題必須有針對性地拿出解決策略來解決，從而增進師生互動. 下面筆者結合自己課堂教學實際案例從四個方面進行論述.
一、針對學生的特點運用多種策略提高學生發言的主動性
要激發學生發言的主動性首先要培養學生的學習興趣，對于理論性較強的數學課而言，要結合學生的特點來開展教學. 例如，在學習“探索三角形全等的條件”這一內容時，教學目標要求學生在教師引導下，積極主動地經歷探索三角形全等的條件的過程，體會利用操作、歸納獲得數學結論的過程. 課堂教學設計必須要學生參與其中. 筆者的課堂設計如下：先讓學生甲在黑板上畫一個三角形，然后提出問題，讓學生思考怎樣才能畫一個三角形與甲同學的三角形全等. 之后安排學生進行分組討論，并且每個小組出兩個代表來回答問題. 學生們紛紛開始嘗試，并且回憶了上一節課學習的內容，從最少條件開始考慮，一個條件、兩個條件、三個條件……經過學生逐步分析，各種情況漸漸明朗，進行交流予以匯總，歸納得出三角形全等的三個條件：（1）一角、一邊；（2）兩角、兩邊，一角一邊；（3）三角、三邊；（4）兩角一邊；（5）兩邊一角. 經過對各種情況的分析、歸納、總結，對學生滲透分類討論的數學思想，教學效果良好.
二、突出學生課堂主體地位，引導學生主動發言
要打破課堂沉默，一方面要在數學課上培養學生對學習數學的興趣，讓學生感受數學思維的樂趣，另一方面則要把學生作為課堂教學的主體，通過教學設計給學生安排“任務”，讓學生在解決問題的過程中學習，即讓學生成為課堂教學的主體進行探究式的學習. 例如，在進行“同底數冪的乘法”一課教學時，教學目標要求學生能夠在一定的情境中經歷探索同底數冪的乘法運算性質的過程，進一步體會冪的意義，發展推理能力和有條理的表達能力. 首先，筆者在黑板布置了練習題目：同學們請用學過的知識做下面的習題，在做題的過程中認真觀察、積極思考、互相研究，看看能發現什么.
學生開始做題，互相研究、討論，氣氛熱烈，教師巡視、指點，待學生充分討論并有所發現后，提問有何發現. 很快，幾名學生得出了自己的答案. 學生A：根據乘方的意義，可以得到：（1）22 × 23 = 25；（2） 54 × 53 =57；（3） （-3）2 × （-3）2 = （-3）5；…筆者在此基礎上進行了提問：“剛才A 同學說出了根據乘方的意義計算上面各題所得結果，計算是否準確？各名同學通過剛才的計算和研究，發現什么規律性的結論了嗎？”學生紛紛開始回答：“不管底數是什么數，只要底數相同，結果就是指數相加. ”并且有學生舉例進行了說明：“22 × 23 = （2 × 2） × （2 × 2 × 2） = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 25.”還有學生更為主動地到前邊黑板上寫出：2m × 2n =
全班學生的參與積極性都被調動起來了，筆者進一步問道：“那么，大家一起來看更一般的形式am?an（m，n 都是正整數），運用剛才得到的規律如何來計算呢？”（學生舉手，踴躍板演）整堂課下來，通過一個個提問讓學生們不但對同底數冪的乘法有了深刻印象，而且也享受到師生互動、探索知識、建構知識的學習樂趣.
三、充分利用多媒體課件，增進師生互動
通過多媒體課件開展初中數學課堂互動教學也具有良好的效果. 教師可以用多媒體課件將教學所需材料以圖片、文字、影音文件等形式展示，并且積極引導學生進行思考，以提高學生參與課堂的主動性，進而培養學生的數學創新思維能力與實踐能力等. 比如，在進行“14.2.2一次函數的圖像”的教學中，筆者就利用多媒體課件的超級鏈接功能，將函數圖像的畫圖方法一步一步地為學生畫出來. 在此過程中，教師與學生討論每一步圖像的畫法，以及有什么需要注意的地方. 四、引導小組討論學習，增進生生互動
新課程背景下，我們所理解的生成性資源是在課堂教學情境中通過積極的師生互動、生生互動，在共同思考與共同發展中產生的超出教師教案設計的新問題、新情況，即表現在言語、行為、情緒方式表達中出現的“節外生枝”的情況. 它稍縱即逝，因為它具有動態性. 如我們能準確、及時地捕捉到這些生成性資源并對其加以合理利用，那么我們的課堂會涌現一個個精致、鮮活的畫卷. 作為一名初中數學教師，筆者在長期的教學中有以下幾點感悟：
一、主動構建，做生成性資源的開發者
生成性資源是否能合理地開發和利用生成性資源，取決于開發者——教師的素質，取決于我們在擬定課程目標是能否以教育實際、學生現狀和社會需求等方面為基點，能否正確選擇和篩選課程內容，能否準確地給課堂教學把好脈. 動態生成，有助于教師的專業成長，它激發著教師的創造潛能和教育實踐活動的積極性. 中國畫強調“留白” ，我們提倡教師的預設也要講究“布白藝術”，主要體現在對所提問題的設計和調控上. 教師提出問題后用不著急于找學生回答，而要根據問題的性質給學生騰出足夠的時空去思考. 實踐證明，當我們將等待的時間從1秒增加2-4秒時，課堂上許多有價值的顯著變化將會產生. 此外，從“空間”來說，問題的設計少一些是非性的判別，要容易引發學生的興趣和共鳴，問題要具備一定的挑戰性和爭論性，有了一定的張力，在無形中就能為生成性資源提供了可能. 當然，初中數學課堂教學中的生成性資源的發現和應用來自于對課堂教學的預設，生成，不意味著預設指針的偏轉，而是一種超越，一種提升，因為余生和生成是水融，而不是水火不容的. 有了精致的預設，才會有有效的生成. 只有備課深入，預設知識的內涵與外延，充分把握好學生的已有經驗，備出可能出現問題的彈性，對學生生成的信息快速地進行判斷并納入到所備的“預案”中才變成了可能，與已有的“資源”建立聯系，才能胸有成竹地駕馭課堂. 正如歌德說：“我能看見什么，取決于我已經知道什么”！把握好預設與生成，才可能從一節課的精彩走向每節課的精致.
二、抓住生長點，運用生成性資源深化知識
知識的生長點可以來自于教師、學生、教材或者他們之間的互動，而這里所說的生長點是指學生無意中生成即衍生的，這類資源雖然在教學中要把握和調控是有難度的，但它能增加教學的有效信息，有利于知識深化. 如筆者在教學“同底數冪的除法”時，引入計算：① 25 ÷ 23 = （ ），② 315 ÷ 35 = （ ），③a6 ÷ a3 = （ ）……學生根據自己的計算得出了結果. 筆者問：你是怎樣計算算式①的？ 生1：我是把兩個乘方算出來再相除. 生2：我的方法是利用乘方的定義，寫成分式形式，分子5個2相乘，分母3個2相乘，再通過約分得到的. 這時筆者正準備要進行總結和再提問，發現學生中還有一名學生高高的舉著手，于是讓她發表了自己的觀點. 這名學生說：由乘法和除法互為逆運算，我想到誰和23相乘得25呢，由曾經學過的同底數冪相乘可得出是2的平方. 教室里的空氣凝固了幾秒鐘后，筆者率先鼓起掌來，隨即又利用同底數冪相乘的性質，導出了本節課同底數冪相除的性質. 這個案例中，首先是筆者能做到珍視教學中的細枝末節，其次教能及時的抓住知識的生長點，由學生提供的已學知識出發，將本節課的內容順利的引出. 這個問題的生長點就在于個別學生聯想和逆用了同底數冪相乘的性質，進而在“同底數冪相除”之處產生了新的生成，學生跳出了一般思維的局限，有利于學生將知識納入自己的知識網絡，從而系統的建構和掌握知識.
三、鼓勵創新，有效拓展生成性資源的鏈接點
在課堂教學中，教師對預設的問題一般心中都已經有了框框，有時不免帶有局限性. 學生的思維是很靈活的，可塑性很強，他們能敏銳的發現問題、提出問題，別開生面的見解有時會迸發出來，他們中產生的答案，也許很有創意，有獨到之處，而這無疑就是一筆寶貴的動態資源，作為教師，我們要處處注意抓住機會因勢利導，及時鼓勵，激發學生的創造熱情. 如筆者在教學“三角形全等”中，設計了這么一個例題：A，B兩點分別位于一個池塘的兩端，請你設計方案，測量它們之間的距離，并說出其中的道理. 學生通過分組討論、交流，大部分都能設計出了這樣的方案：取一點可以直接到達A和B點的點C，連接AC并延長到D、使CD = AC，連接BC并延長到E，使CE = CB，連接DE，測量DE的長就得到AB的距離. 對于其中的道理他們也說得頭頭是道，筆者給予了他們及時的鼓勵和贊揚. 但其中也有兩個小組的方法讓人耳目一新. 方法1：找兩點C，D，使AD∥CB，且AD = BC，量出CD的長即得AB的長，依據是：連AC與CD可知ACD和CAB中有兩邊和它們的夾角對應相等，于是ACD≌CAB，因此AB = CD. 方法2：找一點D，使ADBD，延長AD到C，使CD = AD，連BC，量得BC的長得AB的長. 這兩種方法恰恰是筆者在備課時沒有預設到的，筆者肯定了他們可貴的探索精神和創新精神，并倡導其他學生要向他們學習，能多創新，探索不同的策略來解決問題. 全體學生探究與創新的熱情都得到了有效的激發.
總之，學生并非一個容器，他們是一支需要點燃的火把. 學生的知識水平、興趣、愛好、性格特點是不盡相同的，因此，在教學的進程中會產生一些教師預設之外的生成性資源，需要我們去智慧地甄別和合理的運用. 大智慧也許在“歪理”下，良機或許蘊藏在危機中. 我們只要能運用好課堂生成性資源，就必定能精致初中數學課堂.
