時間：2023-05-30 10:17:50
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇一次函數，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
考點1 一次函數的圖象
例1 （山東德州卷）甲、乙兩人在一次百米賽跑中，路程s（米）與賽跑時間t（秒）的關系如圖所示，則下列說法正確的是（ ）
A. 甲、乙兩人的速度相同 B. 甲先到達終點
C. 乙用的時間短 D. 乙比甲跑的路程多
分析 從圖上看甲、乙兩人同時從百米的端點出發，運動開始后乙就落到甲的后面，用的時間比甲長.于是，容易知道甲先到達終點.
解 依題意，結合圖象可知甲先到達終點，故應選B.
說明 求解函數圖象題，一定要善于從圖象中捕捉信息，從而使問題快速、準確地得解.
考點2 一次函數的性質
例2 （遼寧鞍山卷）在一次函數y=kx+2中，若y隨x的增大而增大，則它的圖象不經過第 象限.
分析 已知的一次函數y隨x的增大而增大，即知k>0，而b=2>0，由此可以判定圖象所經過的象限，進而求解.
解 依題意，得k>0，而b>0，所以函數圖象所經過的象限是第一、二、三象限，所以它的圖象不經過第四象限.
說明 注意在正確地運用一次函數性質的同時，還必須注意題目中的關鍵性字眼，如“不經過”，從而避免出現錯誤.
考點3 確定一次函數的解析式
說明 本題既考查了直線的平移知識，又考查一次函數與二元一次方程、不等式的關系，求解時要善于從條件出發，及時將問題轉化，從而正確求解.
考點5 一次函數的應用
例5 （浙江紹興卷）某市出租車計費方法如圖所示，x（km）表示行駛里程，y（元）表示車費，請根據圖象回答下面的問題：
（1） 出租車的起步價是多少元？當x>3時，求y與x的函數解析式.
（2） 若某乘客有一次乘出租車的車費為32元，求這位乘客乘車的里程.
分析 （1） 由圖象可知，出租車在3km以內（含3km）車費保持不變，這說明出租車的起步價是8元. 而當x>3時，圖象經過點（3，8）和（5，12），此時若設出該段直線的解析式，將這兩個點的坐標代入，構造二元一次方程組即可求解. （2） 由求出的解析式，當y=32時，構造一元一次方程即可得解.
一、行程問題
例1（2013年湖北省宜昌市中考題）A、B兩地相距1 100米，甲從A地出發，乙從B地出發，相向而行，甲比乙先出發2分鐘，乙出發7分鐘后與甲相遇，設甲、乙兩人相距y米，甲行進的時間為t分鐘，y與t之間的函數關系如圖1所示。請你結合圖像探究：
（1）甲的行進速度為每分鐘＿＿＿米，m＝＿＿＿分鐘。
（2）求直線PQ對應的函數表達式。
（3）求乙的行進速度。
■
分析（1）由圖像知，2分鐘時，甲的行進路程為1 100－980＝120（米），可得甲的行進速度為60（米/分鐘），由圖像再結合題意可知，相遇時y＝0，此時m＝2+7＝9（分鐘）；（2）根據P、Q兩點坐標，用待定系數法求直線PQ對應的函數表達式；（3）應用相遇時路程和為1 100米列方程，即可求乙的行進速度。
解（1）甲的行進速度＝■＝60（米/分鐘），m＝2+7＝9（分鐘）。
（2）設PQ所在直線的解析式為y＝kt+b。因為P（0，1 100），Q（2，980）在直線PQ上，所以b=1 100,2k+b=980,解得k=-60,b=1100。所以直線PQ的函數關系式為
y＝－60t+1 100。
（3）設乙的行進速度為x米/分鐘，由題意得60×9+7x＝1 100，解得x＝80（米／分鐘），所以乙的行進速度為80米/分鐘。
二、方案選擇
例2（2013年湖北省襄陽市中考題）某社區活動中心為鼓勵居民加強體育鍛煉，準備購買10副某種品牌的羽毛球拍，每副球拍配x（x≥2）個羽毛球，供社區居民免費借用。該社區附近A、B兩家超市都有這種品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的標價均為30元，每個羽毛球的標價均為3元，目前兩家超市同時在做促銷活動。
A超市：所有商品均打九折（按標價的90%）銷售；
B超市：買一副羽毛球拍送2個羽毛球。
設在A超市購買羽毛球拍和羽毛球的費用為yA（元），在B超市購買羽毛球拍和羽毛球的費用為yB（元）。請解答下列問題：
（1）分別寫出yA和yB與x之間的關系式；
（2）若該活動中心只在一家超市購買，你認為在哪家超市購買更劃算？
（3）若每副球拍配15個羽毛球，請你幫助該活動中心設計出最省錢的購買方案。
分析（1）根據題意，直接寫出yA和yB與x之間的關系式。（2）問在第（1）問的基礎上，分類討論，得到對應的自變量x的取值范圍。（3）問須在（2）問的基礎上再次分類討論，特別需要提醒的是，這里不再限制“只在一家超市購買”，所以要考慮到B超市免費送羽毛球的情況，經過計算、比較，得到最佳的購買方案。
解（1）依題意，得yA＝27x+270，yB＝30×10+3×（x-2）×10=30x+240。
（2）當yA＝yB時，27x+270＝30x+240，解得x＝10；當yA＞yB時，27x+270＞30x+240，解得x＜10；當yA＜yB時，27x+270＜30x+240，解得x＞10。
所以當2≤x＜10時，到B超市購買劃算；當x＝10時，兩家超市都一樣；當x＞10時，到A超市購買劃算。
（3）因為x＝15＞10，所以①選擇在A超市購買，yA＝27×15+270＝675（元）；②可先在B超市購買10副羽毛球拍，送20個羽毛球，后在A超市購買剩下的羽毛球（10×15－20＝130個），則共需費用：10×30+130×3×0.9＝651（元）。而651＜675，所以最省錢的購買方案是：先在B超市購買10副羽毛球拍，后在A超市購買130個羽毛球。
三、產品銷售
例3（2013年湖北省荊州市中考題）某個體戶購進一批時令水果，20天銷售完畢。他將本次銷售情況進行了跟蹤記錄，根據所記錄的數據可繪制如圖2所示的函數圖像，其中日銷售量y（千克）與銷售時間x（天）之間的函數關系如圖2-甲所示，銷售單價p（元/千克）與銷售時間x（天）之間的函數關系如圖2-乙所示。
（1）直接寫出y與x之間的函數關系式；
（2）分別求出第10天和第15天的銷售金額。
■
分析（1）從圖像不難看出，y與x之間屬于分段函數關系，一段是正比例函數，一段是一次函數，根據圖像上的點(15，30)、(20，0)，運用待定系數法即可求解。（2）需要從圖2-甲中獲取第10天和第15天的日銷售量信息，從圖2-乙中計算這兩天的銷售單價，兩者之積即為銷售金額。
解（1）依題意得，當0≤x≤15時，設其解析式為y＝kx，則有30＝15k，解得k＝2，所以y＝2x；當15＜x≤20時，設其解析式為y＝kx+b，則有30=15k+b，0=20k+b。解得k=-6,b=120。
所以y與x之間的函數關系式為y＝2x（0≤x≤15），-6x+120（15＜x≤20）。
二輪專題匯編：一次函數
一、選擇題
1.
(2019陜西)若正比例函數的圖象經過點O(a–1，4)，則a的值為
A．–1
B．0
C．1
D．2
2.
(2019上海)下列函數中，函數值隨自變量x的值增大而增大的是
A．
B．
C．
D．
3.
在直角坐標系中，點M，N在同一個正比例函數圖象上的是(
)
A.
M(2，－3)，N(－4，6)
B.
M(－2，3)，N(4，6)
C.
M(－2，－3)，N(4，－6)
D.
M(2，3)，N(－4，6)
4.
已知函數y＝kx＋b的圖象如圖，則y＝2kx＋b的圖象可能是(
)
5.
如圖，直線y＝ax＋b過點A(0，2)和點B(－3，0)，則方程ax＋b＝0的解是(
)
A.
x＝2
B.
x＝0
C.
x＝－1
D.
x＝－3
6.
已知一次函數y＝kx＋b－x的圖象與x軸的正半軸相交，且函數值y隨自變量x的增大而增大，則k，b的取值情況為(
)
A.
k＞1，b＜0
B.
k＞1，b＞0
C.
k＞0，b＞0
D.
k＞0，b＜0
7.
如圖，一直線與兩坐標軸的正半軸分別交于A、B兩點，P是線段AB上任意一點(不包括端點)，過P分別作兩坐標軸的垂線與兩坐標軸圍成的矩形的周長為10，則該直線的函數表達式是(
)
A.
y＝x＋5
B.
y＝x＋10
C.
y＝－x＋5
D.
y＝－x＋10
8.
一次函數y＝x－b與y＝x－1的圖象之間的距離等于3，則b的值為(
)
A.
－2或4
B.
2或－4
C.
4或－6
D.
－4或6
二、填空題
9.
直線y=2x-1與x軸的交點坐標為
.
10.
將正比例函數y＝2x的圖象向上平移3個單位，所得的直線不經過第________象限．
11.
若一次函數y＝－2x＋b(b為常數)的圖象經過第二、三、四象限，則b的值可以是________(寫出一個即可)．
12.
如圖，直線y=kx+b(k
.
13.
將直線y＝2x＋1向下平移3個單位長度后所得直線的解析式是____________．
14.
已知二元一次方程組的解為，則在同一平面直角坐標系中，直線l1：y＝x＋5與直線l2：y＝－x－1的交點坐標為________．
15.
如圖，點A的坐標為(－4，0)，直線y＝x＋n與坐標軸交于點B，C，連接AC，如果∠ACD＝90°，則n的值為________．
16.
已知點A(1,5)，B(3，－1)，點M在x軸上，當AM－BM最大時，點M的坐標為____________．
三、解答題
17.
如圖，一次函數y1＝k1x＋b與反比例函數y2＝(x＜0)的圖象相交于A，B兩點，且與坐標軸的交點為(－6，0)，(0，6)，點B的縱坐標為2.
(1)試確定反比例函數的解析式；
(2)求AOB的面積；
(3)直接寫出不等式k1x＋b
18.
根據衛生防疫部門要求，游泳池必須定期換水、清洗．某游泳池周五早上8∶00打開排水孔開始排水，排水孔的排水速度保持不變，期間因清洗游泳池需要暫停排水，游泳池的水在11∶30全部排完，游泳池內的水量Q(m3)和開始排水后的時間t(h)之間的函數圖象如圖所示，根據圖象解答下列問題：
(1)暫停排水需要多少時間？排水孔的排水速度是多少？
(2)當2≤t≤3.5時，求Q關于t的函數表達式．
19.
如圖所示，已知正比例函數和，過點作軸的垂線，與這兩個正比例函數的圖象分別交與兩點，求三角形的面積（其中為坐標原點）。
20.
如圖，過點A(2，0)的兩條直線l1，l2分別交y軸于點B，C，其中點B在原點上方，點C在原點下方，已知AB＝.
(1)求點B的坐標；
(2)若ABC的面積為4，求直線l2的解析式．
21.
如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，菱形OABC的頂點A在x軸的正半軸上，頂點C的坐標為(1，)．
(1)求圖象過點B的反比例函數的解析式；
(2)求圖象過點A、B的一次函數的解析式；
(3)在第一象限內，當以上所求一次函數的圖象在所求反比例函數的圖象下方時，請直接寫出自變量x的取值范圍．
22.
已知某種水果的批發單價與批發量的函數關系如圖①所示．
(1)請說明圖中①、②兩段函數圖象的實際意義．
圖①
(2)寫出批發該種水果的資金金額w(元)與批發量n(kg)之間的函數關系式；在上圖的坐標系中畫出該函數圖象；指出金額在什么范圍內，以同樣的資金可以批發到較多數量的該種水果．
(3)經調查，某經銷商銷售該種水果的日最高銷量與零售價之間的函數關系如圖②所示．該經銷商擬每日售出60
kg以上該種水果，且當日零售價不變，請你幫助該經銷商設計進貨和銷售的方案，使得當日獲得的利潤最大．
圖②
23.
如圖，直線l經過點A(1，0)，且與雙曲線(x＞0)交于點B(2，1)．過點(p＞1)作x軸的平行線分別交曲線(x＞0)和(x＜0)于M、N兩點．
（1）求m的值及直線l的解析式；
（2）若點P在直線y＝2上，求證：PMB∽PNA；
（3）是否存在實數p，使得SAMN＝4SAMP？若存在，請求出所有滿足條件的p的值；若不存在，請說明理由．
24.
在平面直角坐標系xOy中，直線l:y=kx+1(k≠0)與直線x=k，直線y=-k分別交于點A，B，直線x=k與直線y=-k交于點C.
(1)求直線l與y軸的交點坐標.
(2)橫、縱坐標都是整數的點叫做整點.記線段AB，BC，CA圍成的區域(不含邊界)為W.
當k=2時，結合函數圖象，求區域W內的整點個數.
2021中考數學
二輪專題匯編：一次函數-答案
一、選擇題
1.
【答案】A
【解析】函數過O(a–1，4)，，，故選A．
2.
【答案】A
【解析】A、該函數圖象是直線，位于第一、三象限，隨增大而增大，故本選項正確；
B、該函數圖象是直線，位于第二、四象限，隨增大而減小，故本選項錯誤；
C、該函數圖象是雙曲線，位于第一、三象限，在每一象限內，隨增大而減小，故本選項錯誤；
D、該函數圖象是雙曲線，位于第二、四象限，在每一象限內，隨增大而增大，故本選項錯誤．
故選A．
3.
【答案】A 【解析】判斷兩個點是否在同一個正比例函數圖象上，只需看它們的橫、縱坐標比值是否相等．＝，只有A選項的兩個點的縱坐標與橫坐標的比值相等，因此選A.
4.
【答案】C 【解析】由已知一次函數經過(0，1)，可求得k>0，b＝1，則畫出圖象草圖，故選C.
5.
【答案】D 【解析】方程ax＋b＝0的解就是一元一次函數y＝ax＋b的圖象與x軸交點的橫坐標，即x＝－3.
6.
【答案】A 【解析】原解析式可變形為y＝(k－1)x＋b，函數值y隨自變量x的增大而增大，k－1>0，k>1，圖象與x軸正半軸相交，b1，b
7.
【答案】C 【解析】設P(x，y)，則由題意得2(x＋y)＝10，x＋y＝5，過點P的直線函數表達式為y＝－x＋5，故選C.
8.
【答案】D 【解析】直線y＝x－1
與x軸的交點A的坐標為(
，0)，與y軸的交點C的坐標為(0，－1)，OA＝，OC＝1，直線y＝x－b與直線y＝x－1的距離為3，可分為兩種情況：(1)如解圖①，點B的坐標為(0，－b)，則OB＝－b，BC＝－b＋1，易證OAC∽DBC，則＝
，即＝，解得b＝－4；(2)如解圖②，點F的坐標為(0，－b)，則CF＝b－1，易證OAC∽ECF，則＝
，即＝，解得b＝6，故b＝－4或6.
二、填空題
9.
【答案】，0
10.
【答案】四 【解析】根據平移規律“上加下減，左加右減”，將直線y＝2x向上平移3個單位，得到的直線解析式為y＝2x＋3，因為2>0，3>0，所以圖象過第一、第二和第三象限，故不經過第四象限．
11.
【答案】－1(答案不唯一，滿足b＜0即可) 【解析】一次函數y＝－2x＋b的圖象經過第二、三、四象限，b＜0，故b的值可以是－1.
12.
【答案】x>3 [解析]當x=3時，x=×3=1，
點A在一次函數y=x的圖象上，且一次函數y=x的圖象經過第一、三象限，當x>3時，一次函數y=x的圖象在y=kx+b的圖象上方，即kx+b
13.
【答案】y＝2x－2 【解析】根據直線的平移規律：上加下減，可得到平移后的解析式為y＝2x＋1－3＝2x－2.
14.
【答案】(－4，1)
【解析】二元一次方程x－y＝－5對應一次函數y＝x＋5，即直線l1；二元一次方程x＋2y＝－2對應一次函數y＝－x－1，即直線l2.原方程組的解即是直線l1與l2的交點坐標，交點坐標為(－4，1)．
15.
【答案】－ 【解析】直線y＝x＋n與坐標軸交于點B，C，B點的坐標為(－n，0)，C點的坐標為(0，n)，A點的坐標為(－4，0)，∠ACD＝90°，在RtACB中，AB2＝AC2＋BC2，AC2＝AO2＋OC2，BC2＝OB2＋OC2，AB2＝AO2＋OC2＋OB2＋OC2，即(－n＋4)2＝42＋n2＋(－n)2＋n2，解得n1＝－，n2＝0(舍去)．
16.
【答案】 解析：如下圖，取B(3，－1)關于x軸的對稱點為B′，則B′的坐標為(3,1)．作直線AB，它與x軸的交點即為所求的點M.使用待定系數法求得直線AB的解析式為y＝－2x＋7，令y＝0，得－2x＋7＝0，解得x＝，所以點M的坐標為.
三、解答題
17.
【答案】
(1)一次函數與坐標軸的交點為(－6，0)，(0，6)，
，解得，
一次函數的解析式為y1＝x＋6，
點B的縱坐標為2，B(－4，2)，
將B(－4，2)代入y2＝，得k2=－4×2=－8，
反比例函數的解析式為y＝
－；
(2)點A與點B是反比例函數與一次函數的交點，
x＋6＝－，解得x＝－2或x＝－4，
A(－2，4)，
SAOB＝＝6；
(3)觀察圖象知，k1x＋b
x＜－4或－2＜x＜0.
18.
【答案】
解：(1)暫停排水時間為30分鐘(半小時)；排水孔的排水速度為900÷(3.5－0.5)＝300
(m3/h)．(3分)
(2)由圖可知排水1.5
h后暫停排水，此時游泳池的水量為900－300×1.5＝450
(m3)，
設當2≤t≤3.5時，Q關于t的函數表達式為Q＝kt＋b(k≠0)，
把(2，450)，(3.5，0)代入得(6分)
解得.
函數表達式為Q＝－300t＋1050.(8分)
19.
【答案】
4
【解析】由題意，，軸
將分別代入得，
20.
【答案】
解：(1)點A的坐標為(2，0)，
AO＝2.
在RtAOB中，OA2＋OB2＝AB2，即22＋OB2＝()2，
OB＝3，
B(0，3)．(2分)
(2)SABC＝BC·OA，即4＝BC×2，
BC＝4，
OC＝BC－OB＝4－3＝1，
C(0，－1)．(4分)
設直線l2的解析式為y＝kx＋b(k≠0)，
直線l2經過點A(2，0)，C(0，－1)，
，
解得.
直線l2的解析式為y＝x－1.(6分)
21.
【答案】
(1)如解圖，過點C作CDOA于點D，則OD＝1，CD＝，
在RtOCD中，由勾股定理得OC＝＝2，
四邊形OABC為菱形，
BC＝AB＝OA＝OC＝2，
則點B的坐標為(3，)，
設反比例函數的解析式為y＝(k≠0)，
其圖象經過點B，
將B(3，)代入，得＝，
解得k＝3，
該反比例函數的解析式為y＝；
(2)OA＝2，
點A的坐標為(2，0)，
由(1)得B(3，)，
設圖象經過點A、B的一次函數的解析式為y＝k′x＋b(k′≠0)，
將A(2，0)，B(3，)分別代入，
得，解得，
該一次函數的解析式為y＝x－2；
(3)由圖象可得，滿足條件的自變量x的取值范圍是2＜x＜3.
22.
【答案】
本題考查了分段函數的意義及構建二次函數求解利潤最大問題．解題關鍵是確定水果資金額w與批發量n之間的函數關系式，以及構建銷售利潤y與批發量n之間的函數關系式．利用二次函數求最大利潤問題時，需注意①分類討論．(漲價與降價)②分清每件的利潤與每周的銷售量，理清價格與它們之間的關系．
解圖
③自變量的取值范圍的確定．保證實際問題有意義．④一般是利用二次函數的頂點坐標求最大值，但有時頂點坐標不在取值范圍內，注意畫圖分析．注意所學的思想方法是建立函數關系，用函數的觀點、思想去分析實際問題．
解：(1)圖①表示批發量不少于20
kg且不多于60
kg的該種水果，可按5元/kg批發；圖②表示批發量高于60
kg的該種水果，可按4元/kg批發.
(2)由題意得
w＝
圖象如圖所示．
由圖可知，資金金額滿足240＜w≤300時，以同樣的資金可批發到較多數量的該種水果.
(3)解法一：設當日零售價為x元，
由圖可得日最高銷量n＝320－40x，當n＞60時，x＜6.5.
由題意，銷售利潤為y＝(x－4)(320－40x)＝40(x－4)(8－x)＝40[－(x－6)2＋4].
從而x＝6時，y最大值＝160，此時n＝80.
即經銷商應批發80
kg該種水果，日零售價定為6元/kg，當日可得最大利潤160元.
解法二：設日最高銷量為x
kg(x＞60)．
則由題圖②日零售價p滿足x＝320－40p.于是p＝，銷售利潤y＝x(－4)＝x(160－x)＝－(x－80)2＋160.
從而x＝80時，y最大值＝160.
此時，p＝6，即經銷商應批發80
kg
該種水果，日零售價定為6元/kg，當日可得最大利潤160元.
23.
【答案】
（1）因為點B(2，1)在雙曲線上，所以m＝2．設直線l的解析式為，代入點A(1，0)和點B(2，1)，得
解得
所以直線l的解析式為．
（2）由點(p＞1)的坐標可知，點P在直線上x軸的上方．如圖2，當y＝2時，點P的坐標為(3，2)．此時點M的坐標為(1，2)，點N的坐標為(－1，2)．
由P(3，2)、M(1，2)、B(2，1)三點的位置關系，可知PMB為等腰直角三角形．
由P(3，2)、N(－1，2)、A(1，0)三點的位置關系，可知PNA為等腰直角三角形．
所以PMB∽PNA．
圖2
圖3
圖4
（3）AMN和AMP是兩個同高的三角形，底邊MN和MP在同一條直線上．
當SAMN＝4SAMP時，MN＝4MP．
①如圖3，當M在NP上時，xM－xN＝4(xP－xM)．因此．解得或（此時點P在x軸下方，舍去）．此時．
②如圖4，當M在NP的延長線上時，xM－xN＝4(xM－xP)．因此．解得或（此時點P在x軸下方，舍去）．此時．
考點伸展
在本題情景下，AMN能否成為直角三角形？
情形一，如圖5，∠AMN＝90°，此時點M的坐標為（1，2），點P的坐標為（3，2）．
情形二，如圖6，∠MAN＝90°，此時斜邊MN上的中線等于斜邊的一半．
不存在∠ANM＝90°的情況．
圖5
圖6
24.
【答案】
解:(1)令x=0，則y=1，
直線l與y軸交點坐標為(0，1).
(2)當k=2時，直線l:y=2x+1，
把x=2代入直線l，則y=5，A(2，5).
把y=-2代入直線l得:-2=2x+1，
x=-，
[關鍵詞]初中數學一次函數教學策略
[中圖分類號]G633.6[文獻標識碼]A[文章編號]16746058（2016）290011
函數涉及的知識范圍廣、研究程度深、觀察視角多，在數學學習中占據重要的地位.而函數概念中的一次函數又是整個函數學習的基礎，跟生活緊密聯系.因此，學好一次函數是學習函數的前提條件.初中數學教師在函數教學中應重視一次函數的教學.
一、初中一次函數教學研究的重要意義
函數概念在初中數學概念學習中占據重要地位，通過對數學發展史的分析研究可以看出，在數學知識中很多數學理念和概念的提出都是基于函數，可以說沒有函數概念奠定理論基礎，就沒有后續的數學知識.初中數學知識中占據比例最多的一部分是函數知識點的學習，初中學生學習函數時不僅要掌握函數的基本知識，還要學會不等式、方程等其他知識并進行知識的整合，從數形結合的角度探索變量之間的關系.
二、初中一次函數有效教學策略及其實施探究
1.聯系實際生活，引入概念.
數學的概念來源于生活，一次函數更是跟生活密切聯系.對此，教師在講解一次函數時要緊密聯系生活，設計一些具有趣味性、生活性的問題來激發學生學習一次函數的興趣.例如一次函數問題：如果一輛汽車在加油之前油箱已經沒有油了，現在以每分鐘25L的速度往郵箱中注油，要學生試寫出加油時間與油箱內油量之間的函數關系式.汽車加油在現在生活中十分常見，學生可以聯系日常生活中的一些常識或者親身經驗更好地理解題目意思，進而在腦海中形成一次函數的構建模式.
2.巧妙設置懸念，探求概念
如果在數學教學設計中巧妙地設置一些懸疑，以此來調動學生學習的積極性和好奇心，可以引導學生的心理向求解的方向發展.例如教師在設置問題懸念時可以創設情境：如張老師去水果市場買10斤蘋果，當他將蘋果稱好放入重0.5斤的籃子時發現買的蘋果個數比之前買相同重量的蘋果個數少了很多，張老師讓水果小販將籃子和蘋果一起稱得到10.55斤，于是他要求小販退回他0.5斤蘋果的錢，你們知道其中的奧秘嗎？這樣設置懸念，讓學生在自愿和愉悅的心態下去探索一次函數的知識.
3.數形結合，理解一次函數的圖像性質.
一次函數的學習主要是要掌握一次函數的基本性質，一次函數的性質不僅體現在方程式上，還體現在圖像上.但是調查顯示要學生在學習一次函數時將“數”轉化為“形”是存在一定困難的.但是數學知識特別是函數的學習是離不開圖形的，因此教師在制訂一次函數教學計劃時要將圖形考慮在內，采取一些應對措施讓學生在學習中能夠做到數形結合.
例如，右圖中，一次函數圖像在y軸上經過點A，并與函數y=-x相交于B點，求一次函數y=kx+b的正確方程式.此題讓學生通過對圖形的觀察可以得出A點的坐標為（0，2），B點是橫坐標為-1且在函數y=-x上，因此縱坐標為1，得出B點坐標為（-1，1）.借助A，B兩點的坐標代入到一次函數y=kx+b中可以算出k與b的值進而求出函數的解析式.數形結合的方式能夠更加直觀地讓學生加深對一次函數的性質理解.
4.借助問題情境，增強學生的應用意識.
一次函數與生活息息相關，生活中很多實際問題都可以借助一次函數的圖形模式來解決.教師在教學設計中運用一些生活情境與一次函數相聯系引導學生在學習中聯想到生活例子，將生活中的實際問題轉變為數學思想并采取有效措施解決.例如超市中正在進行購買茶壺、茶杯的優惠活動，但是有兩種優惠方案：（1）買一送一（買一只茶壺送一只茶杯）；（2）打九折，其中購買茶壺3只以上茶20元1個，茶杯5元一個.這兩種優惠方式之間有何區別，哪種更加的優惠.利用一次函數的數學知識對其進行解析第一種優惠方案用一次函數表示為y1=4×20+（x-4）×5=5x+60，第二種為y2=（20×4+5x）×0.9=4.5x+72.經過計算得出當買的茶杯超過24只時選擇方案2；當在4～23時則選擇方案1較省錢.通過生活中經常遇到的一些現實問題設問，加強學生平時生活中的數學知識應用能力.
[參考文獻]
[1]李淑平.初中數學與信息技術的有效整合淺析[J].學周刊.2015（17）
關鍵詞： 函數圖像 教學設計 數形結合思想 抽象思維能力
一、設計說明
不少學生認為《函數及其圖像》一章難學。我通過對學生的調查及反思發現，克服學生畏難情緒的關鍵在于：充分讓學生動手畫圖，增加感性認識；重視階段歸納小結，使學生條理清楚；注重數形結合思想在函數問題中的運用，體現數學學科的特點。本設計的目的是通過“觀察—動手—比較—總結”的學習過程，增加學生自己探索的力度，在探究性學習中培養學生的數形結合思想，進一步培養學生的抽象思維能力。
二、教學目標
1.知識與技能目標：
（1）理解一次函數的圖像是一條直線，并能熟練用“兩點法”畫出一次函數的圖像。
（2）理解一次函數y=kx+b（k≠0）中，k，b符號變化對圖像的影響。
2.過程目標：
通過學習動手畫圖，感受一次函數y=kx+b（k≠0）中k，b的不同數值與圖像的內在聯系，從中體會數形結合思想。
3.情感與態度目標：
尊重學生個體差異，關照與幫助學習較困難學生，鼓勵他們動手畫圖，及時肯定他們的進步（或互幫互學），從而增強他們學習數學的信心。對一些學有余力的學生，可適當提出較高的要求。
三、教學重點
（1）熟練掌握一次函數圖像的畫法。
（2）理解y=kx+b（k≠0），k，b的不同取值對其圖像影響的規律。
四、教學難點
y=kx+b（k≠0）中，k，b的不同取值與其圖像位置的內在聯系。揭示一次函數解析式中待定常數的不同與函數圖像性質變化的“形數”轉化思想。
五、課前準備
1 考查一次函數的圖象
例1 (2008年襄樊市)我國是世界上嚴重缺水的國家之一，為了增強居民節水意識，某市自來水公司對居民用水采用以戶為單位分段計費辦法收費，即一月用水10噸以內(包括10噸)的用戶，每噸收水費a元；一月用水超過10噸的用戶，10噸水仍按每噸a元收費，超過10噸的部分，按每噸b元(b>a)收費.設一戶居民月用水x噸，應收水費y元，y與x之間的函數關系如圖1所示.
(1)求a的值；若某戶居民上月用水8噸，應收水費多少元?
(2)求b的值，并寫出當x>10時，y與x之間的關系式.
分析 通過圖象發現：當x≤10時，y與x之間是正比例函數關系，其比例系數即為每噸水的價格a；當x>10時，y與x之間是一次函數關系，其比例系數即為每噸水的價格b.
解 (1)當x≤10時，有y=ax.將x=10，y=15代入，得a=1.5，即每噸按1.5元收費. 所以用8噸水應收水費8×1.5=12(元).
(2)當x>10時，有y=b(x-10)+15. 將x=20，y=35代入得b=2.所以y=2x-5.
點評 以函數圖象呈現信息的問題主要體現兩個變量間的數量關系，考查學生對函數思想和數形結合思想的把握. 解決此類問題的關鍵是把蘊含的“圖象信息”化為“數學信息”.
2 考查一次函數的性質
例2 (2008年天津市)已知關于x的函數同時滿足下列三個條件：①函數的圖象不經過第二象限；②當x
分析 本題是一道條件開放性試題，答案不唯一，只要所寫的函數能同時滿足題目中的三個條件即可，聯想一次函數的性質可解決本題.
解 設所寫的函數為y=kx+b，由條件①知，k>0，b>0；由條件②知，圖象過(2，0)點. 因此所寫的函數可以是y=x-2，顯然它滿足條件③. 故本題可填y=x-2.
點評 本題需要執果索因，重在考查學生的發散思維和逆向思維能力. 由于考場上時間寶貴，且要保證解題的正確率，故在開放性題目中，最好填寫易思考、有把握的答案.
3 考查一次函數的解析式的確定
例3 (2008年黃石市)已知y是x的一次函數，下表列出了部分對應值，則m=.
分析 從表格中可以得到自變量x和函數值y的兩組對應值：當x=1時，y=3；當x=2時，y=5. 利用待定系數法即可確定出函數關系式，進而求出m的值.
解 設函數關系式為y=kx+b. 由題意，得k+b=3
2k+b=5，解得k=2
b=1.
所以y=2x+1. 當x=0時，y=1. 故填1.
點評 本題主要考查同學們是否會從表格中找出兩組相關數據作為兩個點的坐標，運用待定系數法確定一次函數關系式的能力.
4 考查建立一次函數模型解決實際問題
例4 (2008年自貢市)抗震救災中，某縣糧食局為了保證庫存糧食的安全，決定將甲、乙兩個倉庫的糧食，全部轉移到具有較強抗震功能的A、B兩倉庫. 已知甲庫有糧食100噸，乙庫有糧食80噸，而A庫的容量為70噸，B庫的容量為110噸. 從甲、乙兩庫到A、B兩庫的路程和運費如下表(表中“元/噸?千米”表示每噸糧食運送1千米所需人民幣)
路程(千米)運費(元/噸?千米)甲庫乙庫甲庫乙庫A庫20151212B庫2520108 (1)若甲庫運往A庫糧食x噸，請寫出將糧食運往A、B兩庫的總運費y(元)與x(噸)的函數關系式
(2)當甲、乙兩庫各運往A、B兩庫多少噸糧食時，總運費最省，最省的總運費是多少?
分析 (1)由于從甲庫運往A庫糧食x噸，則甲庫余下的糧食(100-x)噸需運往B庫；因此乙庫運往A庫的糧食只能是(70-x)噸，乙庫余下的糧食[80-(100-x)]噸需運往B庫.根據表格即可求出總運費y與x的函數關系式；(2)依據自變量的取值范圍及函數的增減性即可求出總運費的最小值.
解 (1)由題意，得y=12×20x+10×25×(100-x)+12×15×(70-x)+8×20×(x+10)整理，得y=-30x+39200. 由于A庫的容量為70噸，所以自變量x的范圍：0≤x≤70.
(2)在上述一次函數中，由于k=-30
由于A庫的容量為70噸，所以自變量的取值范圍是0≤x≤70.
所以當x=70時，總運費最小.ymin=-30×70+39200=37100 (元).
點評 由復雜表格提供信息，這就要求同學們能將“表格語言”轉化成數學語言，因此要具有多維度觀察、多角度思考的能力.本題主要考查學生建立函數模型進行求解的能力.
5 考查一次函數的的綜合應用
圖2例5 (2008年南昌市)如圖2，在平面直角坐標系中，有A(0，1)，B(-1，0)，C(1，0)三點坐標.
(1)若點D與A，B，C三點構成平行四邊形，請寫出所有符合條件的點D的坐標；
(2)選擇(1)中符合條件的一點D，求直線BD的解析式.
分析 (1)由于ABCD的三點A、B、C固定，可分別過點A作BC的平行線，過點B作AC的平行線，過點C作AB的平行線，顯然它們共有三個交點，故點D的位置有三種可能.(2)這是一道結論開放題，共有三種不同的選擇方式，選擇的點不同，求得的結果不同，但只要求解結果正確即可.
解 (1)符合條件的點D的坐標分別是D1(2，1)，D2(-2，1)，D3(0，-1).
(2)①若選擇點D3(0，-1)，設直線BD3的解析式為y=kx+b.
由題意得-k+b=0，
b=-1.解得k=-1，
b=-1. 所以直線BD3的解析式為y=-x-1.
②若選擇點D2(-2，1)，可得直線BD2的解析式為y=-x-1.
③若選擇點D1(2，1)，可得直線BD1的解析式為y=13x+13.
點評 由于考場上時間寶貴，且要保證解題的正確率. 故在一些自主選擇性題目中，最好選擇易解決、有把握、不宜出差錯的問題求解，本題選擇點D3較簡便.
6 考查一次函數的的創新應用
例6 (2008年深圳市)要在街道旁修建一個奶站，向居民區A、B提供牛奶，奶站應建在什么地方，才能使從A、B到它的距離之和最短?小聰根據實際情況，以街道旁為x軸，建立了如圖3所示的平面直角坐標系，測得A點的坐標為(0，3)，B點的坐標為(6，5)，則奶站的坐標為.
分析 取A(或B)關于x軸的對稱點A′(或B′)，連結A′B(或B′A)，與x軸交于一點P，則點P就是準備修建的奶站，且PA+PB即為最短路線.
解 由于點A′與點A(0，3)關于x軸對稱，所以點A′坐標為(0，-3).
設直線A′B的解析式為y=kx+b. 把點A′(0，-3)，B(6，5)分別代入上述關系式，解得k=43，b=-3. 所以直線AB′的解析式為y=43x-3.
令y=0，則43x-3=0，解得x=94.所以奶站的坐標為(94，0).
蘇科版八年級上冊第6.2～6.3節后的階段復習課.
二、教材分析
1.函數的重要性
函數是中學數學最重要的概念之一，也是學生學習的難點.中學代數課程到了函數階段，是前面所學知識的一次集成，函數把多項式、變量、坐標系和方程等內容進行了有機的整合，函數知識是發展學生的數感、符號感、空間觀念、統計觀念以及應用意識與推理能力的良好素材.所以本階段的學習對學生后續的發展起著至關重要的作用.
2.教材的特點
教材6.2節“一次函數”和6.3節“一次函數的圖像”其實是一個整體，分別從不同的角度來研究一次函數.通過6.2節的學習，學生理解了一次函數和正比例函數的意義，能根據已知條件確定一次函數關系式，這是從代數的角度研究；在6.3節中，學生會選取兩個適當的點畫一次函數的圖像，并能根據圖像和關系式探索并理解了一次函數的性質，這是從幾何角度研究.
本節課是繼6.2節和6.3節之后的一節階段復習課，接下來的6.4和6.5節將學習一次函數在數學內部和外部的應用，屬于更高層次的要求，所以本節課起著承上啟下的作用.本節課的定位不能只是重現前面的諸多結論，也不能只是為了教會學生解題，應是基于基礎之上的提升、零散之上的系統、模糊之上的清晰.因此本節課的標題叫“又見一次函數”.
3.教學目標
（1）知識與能力：體會一次函數和正比例函數的意義，根據已知條件確定一次函數的表達式；會畫一次函數的圖像，能根據一次函數的圖像和表達式y=kx+b（k≠0）探索并理解其性質；
（2）過程與方法：經歷運用類比思想比較一次函數y=kx+b（k≠0）和正比例函數y=kx（k≠0）的異同點的過程，感受兩者之間的關系；進一步體會待定系數法和數形結合的數學思想方法.
（3）情感、態度與價值觀：通過對兩個函數的比較和解
決一個綜合問題的過程，培養學生歸納總結的能力.
三、教法與學法分析
下面是我從《一次函數》這節課的教學反思中得到的幾點體會。
一、備課要關注學生差異，重視基礎知識
新課程指出，課堂教學要面向全體學生，目的是促進學生的全面發展。心理學表明，學生的發展是存在差異的。教師要關注學生的差異，在備課的時候根據學生的認知水平，要有針對性。
在引入一次函數的時候，我展示了一個學生熟悉的生活實例，讓學生更好地找出兩個變量的關系。比如，某彈簧的自然長度是3厘米。在彈性限度內，所掛物體的質量x每增加1千克，彈簧長度y增加0.5厘米。（1）計算所掛物體的質量分別為1千克、2千克、3千克、4千克、5千克時彈簧的長度。（2）你能寫出x與y之間的關系式嗎？對于問題（1），學生已有比較豐富的生活經驗，很快就可以得出結果；對于問題（2），學生因為比較陌生，要求學生先思考，再與其他同學討論，我也參與了學生的討論，適當引導。教師不能一味追求結論，而忽略學生的差異，對接受能力較差的學生要適當進行引導，降低難度，幫助學生找出兩個變量的關系式。同時，為了讓學生找出一次函數中兩個變量的特點，我在教學中展示了幾個與生活聯系緊密的實例。讓學生分析從幾個實例得到的關系式的共同點，再引導學生歸納出一次函數的定義。這樣既滿足了學生的求知欲，提高了學生分析的能力，又大大提高了課堂的教學質量。
在學習了一次函數的定義后，為了加深學生對一次函數的理解，我讓學生完成了以下的練習。判斷下列函數哪些是一次函數？哪些是正比例函數？（1）y=2x；（2）y=3x+1；（3）y=2x-3；（4）y=■x。在這一教學環節中，其實還可以添加一些形如（5）y=■和（6）y=x2+1類型的函數。在學生完成這幾道練習題后，再讓學生分析一次函數與其他函數的不同之處，明確一次函數的特點。這里要給學生充足的時間思考和討論，因為這是學生形成知識的重要環節。新課程指出，學生是學習的主體，所有的新知識只有通過學生自身的“再創造”活動，才能納入其認知結構中，才能成為有效的知識。
二、創設問題情境，激發學生學習的積極性
第一，打破沉悶的課堂氣氛，讓課堂教學變得更有生機
美國心理學家布魯納指出：“學習的刺激乃是對所學材料的興趣，要想使學生上好課，就得千方百計點燃學生心靈上的興趣之火。”所以在教學時，不一定要完全按照課本的引入去設計教學環節。在引入兩個變量的關系的時候，我們可以設計一個學生在生活中遇到的問題情境，讓數學與生活聯系，學生就會認識到數學就在我們身邊，萌發探究數學問題的好奇心。例如，小明現有5元，他想存錢買一本價值30元的數學興趣書，假如他每月存5元。（1）請你幫他算算1個月、2個月、3個月、4個月后一共有多少錢？（2）經過x個月后，小明一共有多少錢？這樣設計可以激發學生學習的積極性，促使學生主動參與教學活動。實踐表明，學生的主動學習是獲得知識的最有效的方法。
第二，引導學生主動地參與課堂教學
新課程指出，好的教學能夠促進學生進行有效地學習。而教師的主要作用在于組織教學活動，激發學生主動從事數學活動。有時候，教師的一個微笑，可以給學生很大的鼓舞，讓學生主動去學習。如上面小明買數學興趣書的問題中，在提問一個學生的時候，他可能還沒想出來，有點著急，我笑了笑說：“別急，慢慢想，你可以做得到的。”這位學生感受到老師對他的信任，更加積極地去思考問題，雖然他花了很長時間才回答出來，但是我覺得這是值得的。我們在教學時還可以通過設計一些有趣的問題情境，引導學生主動參與課堂教學了。例如，果農李大叔養的一只猴子幫李大叔摘了8個桃子，假如它從現在開始每分鐘摘2個，求x分鐘后這只猴子一共摘的桃子數y與時間x的關系式？在這里如果能用上多媒體的動畫設計就更能吸引學生的注意力，讓學生在輕松愉快的課堂氣氛中學習、掌握新知識，這樣他們對新知識更加樂于接受。
第三，多給學生創造機會，讓學生得到更好地發展
每個學生都有分析問題、解決問題和創造的潛能，關鍵是如何為學生提供機會，讓學生發掘自己的潛能。學生總是喜歡把自己當成探索者、研究者、發現者，并且往往是當自己的觀點與其他人的觀點不一致的時候，會產生要證實自己思想的欲望。這里要注意，讓學生挑戰自己，不是要難倒學生。不要出太難的習題，否則會挫傷學生學習的積極性。從而激勵學生在學習的過程中不斷獲得成功的體驗，提高自主學習的能力。如，寫出下列各題中y與x之間的關系式，并判斷y是否為x的一次函數？是否為正比例函數？（1）汽車以60千米/時的速度勻速行駛，行駛路程y（千米）與行駛時間x（時）之間的關系；（2）圓的面積y（平方厘米）與它的半徑x（厘米）之間的關系；（3）一棵樹現在高50厘米，每個月長高2厘米，x月后這棵樹的高度為y（厘米）。在教學中，我特意讓幾個基礎不太好的學生上黑板演練，這幾個題目的背景都是和生活聯系比較緊密的，只要給學生足夠的時間，他們基本能自己解決。所以，在教學中教師不要一味地追求教學進度，抹殺了學生體驗成功的機會。特別是基礎比較差的學生，更應該給他們一些這樣的機會去提高他們學習的積極性和學習的自信心，進一步減少差距，讓他們學得更有動力。
三、學有所用，培養學生掌握、運用知識的能力
例1某電信公司開設了甲、乙兩種市內移動通信業務，甲種使用者每月需繳15元月租費，然后每通話1分鐘再付費0.3元；乙種使用者不繳月租費，每通話1分鐘付費0.6元.若一個月內通話時間為x分鐘，使用甲、乙兩種業務的費用分別為y1元和y2元.
（1）試分別寫出y1y2運用函數知識解決簡單的實際問題，體會函數是解決實際問題的數學模型和數學方法，是新課程標準的要求.現就如何運用一次函數知識解決實際問題，精選幾例進行分析.
例1某電信公司開設了甲、乙兩種市內移動通信業務，甲種使用者每月需繳15元月租費，然后每通話1分鐘再付費0.3元；乙種使用者不繳月租費，每通話1分鐘付費0.6元.若一個月內通話時間為x分鐘，使用甲、乙兩種業務的費用分別為y1元和y2元.
（1）試分別寫出y1、y2與x之間的函數關系式.
（2）在同一坐標系中畫出y1、y2的圖象.
（3）根據一個月的通話時間，你認為選用哪種通信業務更優惠？
解析：本題是一個緊密聯系實際的方案優選問題.根據題給信息，建立變量之間的一次函數關系，再結合一次函數的圖象，可使問題得以解決.
（1）由題意可知，y1=0.3x+15 （x≥0），y2=0.6x （x≥0）.
（2） y1、 y2在同一坐標系中的圖象如圖1所示.
（3）由圖象可知：
當一個月的通話時間為50分鐘時，兩種業務的使用費相同；
當一個月的通話時間少于50分鐘時，乙種業務更優惠；
當一個月的通話時間多于50分鐘時，甲種業務更優惠.
例2湖南省長沙市某鄉A、B兩村盛產柑橘，A村有柑橘200噸，B村有柑橘300噸，現將這些柑橘運到C、D兩個冷藏倉庫.已知C倉庫可儲存240噸，D倉庫可儲存260噸，從A村運往C、D兩處的費用分別為20元/噸、25元/噸，從B村運往C、D兩處的費用分別為15元/噸、18元/噸.設從A村運往C倉庫的柑橘為x噸，A、B兩村的運費分別為yA元、yB元.
（1）請填寫表1，并求出yA、yB與x之間的函數關系.
（2）試討論A、B兩村哪個村的運費較少？
（3）考慮到B村的經濟承受能力，B村的運費不得超過4830元.在這種情況下，請問怎樣調運，才能使兩村的運費之和最小？最小是多少？
解析：本題以經濟活動中的調運安排為背景，具有較強的時代氣息.把實際的運費問題抽象成數學問題，建立變量之間的一次函數關系，再應用函數知識進行分析，從而使實際問題得以解決.
（1）將表1填寫完整，結果如表2所示.
yA與x的函數關系為：yA=20x+25（200-x）=-5x+5000（0≤x≤200）.
yB與x的函數關系為： yB= 15（240-x） +
18（60+x）=3x+4680（0≤x≤200）.
（2）當yA＝yB時，-5x+5000=3x+4680，解得x=40，則：
當x=40時，yA=yB ，兩村的運費相等；
當0≤x＜40時，yA＞yB，B村的運費較少；
當40＜x≤200時，yA＜yB，A村的運費較少.
（3）由yB≤4830，即3x＋4680≤4830，解得x≤50.
設兩村運費之和為z元，即z=yA+yB，得到z=-2x+9680.因為當0≤x≤50時，z隨x的增大而減小，所以當x=50時，z有最小值為9580.即運費之和最小為9580元.
例3如圖2，在大連到煙臺的160千米航線上，某輪船公司每天上午8點（坐標軸上的O點）到下午16點，每隔2小時有一艘輪船從大連開往煙臺，同時也有一艘輪船從煙臺開往大連，輪船在途中花費8小時.
（1）求上午8點從大連開往煙臺的輪船在途中（不包括大連和煙臺）遇到幾艘從對面開來的本公司的輪船.
（2）求上午8點從大連開往煙臺的輪船甲在途中遇到第三艘從對面開來的本公司的輪船乙的時間，和此時甲船到大連的距離.
解析：本題的信息通過文字和圖象兩種方式提供，解答時，需要圖文結合，提取有用信息，建立一次函數關系.
（1）由圖象可知，上午8點從大連開往煙臺的輪船，在途中遇到4艘從對面開來的本公司的輪船.
（2）由圖象可知，A點的坐標為（8，160），B點的坐標為（4，160），C點的坐標為（12，0）.
設直線OA的解析式為y=kx.由160=8k，解得k=20，所以直線OA的解析式為y=20x.
設直線BC的解析式為y=mx+n，則由
所以，上午8點從大連開往煙臺的輪船甲航行6小時，即14點時，遇到第三艘從對面開來的本公司輪船乙，此時甲船到大連的距離為120千米.
[練習]
某校科技夏令營的學生在3名老師的帶領下，準備赴北京大學參觀，體驗大學生活.現有兩家旅行社前來承包，報價均為每人2000元，他們都表示可以優惠，希望社表示帶隊老師免費，學生按8折收費，青春社表示師生一律按7折收費.經核算，參加兩家旅行社的實際費用正好相等.
（1）該校參加科技夏令營的學生共有多少人？
（2）如果又增加了部分學生，學校應選擇哪家旅行社？
例1甲、乙兩個工程隊分別同時開挖兩段河渠，所挖河渠的長度y（m）與挖掘時間x(h)之間的關系如圖1所示，請根據圖象所提供的信息解答下列問題：
（1） 乙隊開挖到30m時，用了__________h，開挖6h時甲隊比乙隊多挖了__________m；
（2） 請你求出：
① 甲隊在0≤x≤6的時段內，y與x之間的函數關系式；
② 乙隊在2≤x≤6的時段內，y與x之間的函數關系式；
（3） 當x為何值時，甲、乙兩隊在施工過程中所挖河渠的長度相等？
解：（1） 2，10；
y=5x+20
（3） 由題意，得10x=5x+20，解得x=4（h）。
當x為4h時，甲、乙兩隊所挖的河渠長度相等.
例2某市推出電腦上網包月制，每月收取費用y（元）與上網時間x(小時)的函數關系如下圖所示，其中BA是線段，且BA∥x軸，AC是射線。
（1） 當x≥30，求y與x之間的函數關系式；
（2） 若小李4月份上網20小時，他應付多少元的上網費用？
（3） 若小李5月份上網費用為75元，則他在該月份的上網時間是多少？
解：（1） 當x≥30時，設函數關系式為y=kx+b
則30k+b=6040k+b=90
解得k=3b=30
所以y=3x-30
（2） 4月份上網20小時，應付上網費60元
（3） 由75=3x-30 解得x=35，所以5月份上網35個小時。
例3某電信公司開設了甲、乙兩種市內移動通信業務。甲種使用者每月需繳15元月租費，然后每通話1分鐘，再付話費0.3元；乙種使用者不繳月租費，每通話1分鐘，付話費0.6元。若一個月內通話時間為x分鐘，甲、乙兩種的費用分別為
（3） 由圖像知：
當一個月通話時間為50分鐘時，兩種業務一樣優惠
當一個月通話時間少于50分鐘時，乙種業務更優惠
1、注意激發學生的興趣
良好的開端是成功的一半，與學生建立良好的師生情誼，學生就會喜歡你，喜歡你上的課，從而認真去聽去學，成績就會逐步提高。在上課過程中，注意學生的心理表現，認知能力，從學生的思維角度去發現問題，找出問題的癥結所在，輕松解決問題。
2、培養學生的閱讀能力、閱讀興趣
閱讀不僅能增加學生的知識面，而且還能增強學生的分析、理解能力，教師有目的適時指導學生讀一些閱讀材料，由淺入深，逐步提高他們的閱讀能力，提高他們的興趣，當學生獲得一次次成功之后，就會充滿信心，滿腔熱情去閱讀更多的材料，思考更多的問題，增強學習信心，提高學習興趣。
閱讀材料1：A、B兩地相距7.5km，甲、乙二人同時從A地出發前往B地，已知乙每小時比甲多走0.5km，結果比甲早到半小時，問甲、乙二人的速度各是多少?
閱讀材料2：A、B兩地相距7.5km，甲、乙二人從A地出發前往B地，甲先出發25分鐘后，乙才騎摩托車前往，結果二人同時到達B地，已知乙每小時比甲多行0.5kin時，乙發現甲丟了東西，立即騎車前往，在距B地1.5km處追上甲，已知乙每小時比甲多行0.5kin，問甲、乙二人的速度各是多少?
閱讀材料3：A、B兩地相距7.5km，甲從A地前往B地，走了0.5km時，乙發現甲丟了東西，立即騎車前往，在距B地1.5kin處追上甲，已知乙每小時比甲多行0.5km，問甲、乙二人的速度各是多少?
閱讀材料4：A、B兩地相距7.5km，甲從A地前往B地走了0.5km時，乙發現甲丟了東西，立即騎車前往，追上甲后立即返回，當乙回到A地時，甲也剛好到達B地，已知乙每小時比甲多行0.5km，求甲、乙二人的速度各是多少?
3、引導學生思考，提高學生分析問題的能力
如何引導學生思考，進一步提高學生分析問題的能力?以初中一次函數的一堂課為例加以說明：如圖，從圖中的你看到什么? (讓學生觀察圖形，教師再加以引導)。以圖中多數學生自然得到：①圖中有兩條相交直線；②兩直線有唯一公共點，此時，若有學生還能得到更多的信息更好，若不能，教師可再進一步引導：兩直線位置如何?在交點處兩直線情況又怎樣?
進一步得出在交點處即x=a時，y1=y2；當x>a時yl>y2，當x
4、注意一題多解
例題：我市某中學要印刷本校高中招生的錄取通知書，有兩個印刷廠前來聯系制作業務，甲廠的優惠條件是：按每份定價1.5元的八折收費，另收900元的制版費；乙廠的優惠條件是：每份定價1.5元的價格不變，而制版費900元則六折優惠，且甲、乙兩家都規定一次印刷數量至少是500份。求：(1)兩個印刷廠收費Y元(元)與印刷數量x(紛)的函數關系，并指出自變量x的取值范圍；(2)根據印刷數量選擇比較合算的方案；(3)若要印刷2000份錄取通知書，應選擇哪一個廠?需要多少費用?
分析：
(1)題目給出的條件是：
a、甲收費：每份定價1.5元的八折收費，另收900元的制版費。
b、乙收費：每份定價1.5元不變，另收900元的制版費并六折優惠。
c、一次印刷份數至少是500份。
(2)題目的問題：
a、兩印刷廠收費Y(元)與印刷數量x(份)之間的函數關系，并指出x的取值范圍。
b、根據印刷的份數選擇比較合算的方案。
c、若要印刷2000份錄取通知書，應選擇哪一個廠?需要多少費用?
(3)、隱含的條件：
a、甲廠的費用=1.5Xx80％+900
b、乙廠的費用=1.5X+900x60％
解：①由已知
條件得：Y甲＝1.5Xx80％+900
Y乙＝1.5Xx80％+900
自變量x的取值范圍是[500，+00]
②利用圖像比較設甲廠的費用y1＝1.5Xx80％+900；設乙廠的費用y2=l.5X+900x60％。
由圖像知：兩函數的交點坐標為(1200，2300)
即：
a、500≤X
b、當X=1200時，兩廠的收費相同。
c、當X>1200時，選擇甲廠較合算。
③當這個中學要印刷2000份錄取通知書，由于2000>1200，故選擇甲廠，則需要的費用為：Y甲＝1.2～2000+900＝3300元，即要印2000份錄取通知書，應選擇甲廠，需要費用是3300元。
5、注重一題多思
通過多思，不斷調動學生的積極性，啟發學生的思維，進一步提高學生的解題能，通過多思進一步提高學生發現問題的能力。
關鍵詞：分類討論思想；一次函數；應用
當前，數學思想和數學思想方法多種多樣。一個好的數學思想能輕松的解決生活中的實際問題，一種好的數學思想方法能便捷的使我們學習理解一個數學思想。本篇論文主要論述分類討論思想和一次函數及分類討論思想在一次函數中的應用。目前國內外論述分類討論思想在一次函數中的應用的論文不勝枚舉，大多都是從函數的概念、性質、圖像、實際應用和解題需求這五個方面分類。首先，分類討論思想是基本數學思想方法之一。它是一種解決生活中的實際問題的邏輯方法。合理地使用分類討論思想，我們可以使繁瑣的問題簡單化，使解決問題的思路更有條理。分類討論思想在教學中的應用實際就是“化整為零，各個擊破”的教學策略。這也是為什么教材每個章節需要分各個小節。同時，分類討論思想應用到數學教學中，有助于提高學生的邏輯性、條理性、概括性，對于培養學生嚴謹的科學態度和邏輯的數學思維有重要意義。使學生掌握分類討論的思想方法有助于提高學生解題能力和分析問題的效績。其次，一次函數是重要的幾類函數之一，合理的利用好一次函數可以便捷的解決生產和生活中的諸多問題。近年來的考綱都有應用書本知識解決實際問題的考點，諸如成本最小化、經濟效益最大化、方案最優化等等。可見掌握函數思想的重要性，因此學生應該學好一次函數。最后，學習一次函數常用到分類討論的思想方法。分類討論思想應用到一次函數中使教學思路更有條理，教學方案更清晰明了。
一、淺談分類討論思想
（一）分類討論思想的起源
大家都知道數學思想方法的兩大源頭分別是中國的《九章算術》和古希臘的《幾何原本》。隨著古今學者的研究發展，數學思想方法已經出現了很多種。分類討論思想方法就是眾多的基本數學思想方法之一。
分類現象自古就存在。遠古時期，人們收集到的食物會分類保存。能長時間保存的和不能長時間保存的、可以播種的和不能播種的植物，能圈養和不能圈養的動物。一個狩獵團體根據體質差異也有分工，行動敏捷的成員負責吸引獵物的注意力，身體壯實的負責對獵物造成傷害，臂力大的負責投擲標槍等等。現在分類現象隨處可見，各種各樣的職業共同推動社會發展，大小不一的零件使機器正常運行。正是因為分類思想，人們有條理的生活著，避免了很多的差錯與混亂現象。分類思想是古老文明的基本思想。
司馬遷編撰的《史記》 [1]卷六十五《孫子吳起列傳第五》曾記載“田忌賽馬”的故事，齊王與田忌賽馬，雙方按馬的速度將馬分為三等，齊王同等次的馬的速度均高于田忌。田忌將馬出場次序換位以下等馬對齊王的上等馬，以上等馬對齊王的中等馬，以中等馬對齊王的下等馬贏得比賽。田忌這種根據對方的馬出場次序而相應的對自己的馬出場次序作出調整的思想方法就是分類討論思想。正是因為這一思想，田忌巧妙地贏得了比賽的勝利。為古代人的智慧史添上了絢麗的一筆。通過這個事例我們知道分類討論思想的重要性，分類討論思想其實與我們的生活息息相關。
現在已經有很多的學者專家都有總結分類思想的含義，在《數學思想方法教學研究導論》的第253頁指出：“分類是基本的邏輯方法之一，數學中的分類是按照數學對象的相同點和差異點，將數學對象區分為不同種類的思想方法。分類以比較為基礎，通過比較識別出數學對象之間的異同點，然后根據相同點將數學對象歸并為較大的類，根據差異點將數學對象劃分為較小的類，從而將數學對象區分為具有一定從屬關系的等級系統。”
隨著數學的發展，分類討論思想方法逐漸演化成數學思想方法的主要思想方法之一。同時，也正使得數學這門學科使得分類思想方法更加地深化與細化。如今，分類討論思想方法已經是中高考試中的常考點。
（二）分類討論思想的概念界定
我們先了解分類討論思想的漢語釋義。“分類”一詞在辭海中的釋義為根據事物的特點分別歸類。“討論”一詞在辭海中的釋義為就某一問題進行商量或辯論。“思想”一詞在辭海中指思維活動的結果，屬于理性認識。從分類討論思想的漢語釋義可以知道分類討論思想先分別歸類再逐一商量討論。
分類思想和分類討論有什么區別與聯系呢？按從屬關系劃分，分類討論是一個種概念，分類思想是一個屬概念。分類思想并不專屬于數學領域，它是人們早期認識世界面貌、改善生活條件的一種思維形態，即把復雜的事物依據其種類、性質或品級進行劃分或歸類。分類討論是分類思想實際應用的一種具體形式，它要求把事物進行劃分歸類，把分類的若干個種類進行逐一的研究討論，最后把分類的若干討論結果歸納總結。
在數學領域各學者對于分類討論思想方法的概念界定幾乎大同小異，對于分類討論思想方法的概念幾乎不存在爭議。顧泠沅教授所著的《數學思想方法》有提到分類討論這一思想方法。在解答某些數學問題時，有時會遇到多種情況，需要對各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合得解，這就是分類討論思想，同時也是一種重要的解題策略，它體現化整為零、集零為整的思想與歸類整理的方法。有關分類討論思想的數學問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓練人的思維條理性和概括性，有關分類討論思想的數學問題是比較繁瑣復雜的，通常安排在解答題板塊，所占分值比較高。所以在高考試題中占有重要的位置。
（三）分類討論思想的分類原則與方法
分類討論思想的分類原則：（1）所要分類的對象必須是確定的（2）分類出的各級內容必須是完整的，不能犯遺漏某一級這種錯誤（3）應該按同一標準分類（4）各個集域應當是互斥的，不出現重復的集域（5）分類必須逐級進行，不能越級分類。分類討論思想的分類方法：明確分類討論的對象，確定對象的所有內容，明_分類的標準，將對象正確進行分類；逐級進行討論，獲取階段性結果，歸納小結，綜合結論。
三、分類討論思想在一次函數中的應用
分類討論思想在一次函數中的應用主要體現在一次函數的概念、性質、圖像與實際應用這幾個方面。
（一）分類討論思想在一次函數概念方面的應用
如何來辨別一個函數關系是不是一次函數？前面已經給出了一次函數的概念。一般地。形如y=kx+b（k，b是常數，k≠0）的函數，叫做一次函數（linear function）.當y=kx+b中的k是變量或者x的指數是變量時，該變量取不同的值會有不同的結果，因此就需要是用分類討論的思想方法逐一討論。
那么我們來看這道例題：
例4 已知函數y=（m-5）x2m-1+3x-1，當m為何值時，該函數是一次函數？
分析：根據函數概念，本題應該分為三種情況討論：當m-5=0時，函數是一次函數；當2m-1=1時，函數是一次函數；當2m-1=0時，函數是一次函數。綜上所述，m=5或1或 。
（二）分類討論思想在一次函數性質方面的應用
我們已經知道一次函數具有單調增減性，一次函數的增減性在生活中經常用到。一次函數要么遞增要么遞減，因此又是也需要用到分類討論思想。
例5 一次函數y=kx+b，當2≤ x ≤ 4時，10≤ y ≤ 14。求的值。
分析：此題中一次函數的單調性尚不明確，因此需要分為兩種情況討論：
當函數單調遞增時，即當x=5時，y=10，當x=4時，y=14，因此k=2， b=6
故=3，當函數是單調遞減時，即當x=2時，y=14，當x=4時，y=10，因此k=-2， b=18故=-9。
（三）分類討論在一次函數圖像位置方面的應用
如果一次函數y=kx+b中的k或b不明確那么一次函數圖像在平面直角坐標系中的位置也將不明確，因此很多時候需要用到分類討論思想來解決相關問題。
例6 已知正比例函數y=x和一次函數y=kx+2的函數圖像與x軸圍成了一個面積為1的三角形，求一次函數的解析式。
分析：此題中一次函數的斜率并不明確，因此函數圖像的位置需要分為兩類。因為已經知道兩個函數圖像與x軸圍成的三角形面積是1，且一次函數經過定點（0，2）根據斜率將一次函數分為遞增和遞減兩類：當一次函數單調遞增時，一次函數經過x軸上的點A（-1，0），一次函數解析式為y=2x+2；當一次函數單調遞減時，一次函數經過x軸上的點E（2，0），一次函數的解析式為y=-x+2。所以總結兩類討論，一次函數的解析式為y=2x+2或y=1x+2。作圖如圖3.1和圖3.2。
（四）分類討論在一次函數實際問題方面的應用
一次函數應用到實際問題中已經是常考點，這使數學更貼近生活，培養學生靈活運用知識的能力。而在一些典型題型中常需要用到分類討論思想。
例7 小明準備換電話卡，現在他已經了解了兩種電話卡的套餐。A卡套餐為每月通話不超過100分鐘，則按每分鐘0.2元收費，若每月通話大于100分鐘則超出時長按每分鐘0.16元收費；B卡套餐為每月通話不超過200分鐘按每分鐘0.2元收費，若每月通話超過200分鐘超出時長則按每分鐘0.12元收費。如果小明每月通話 分鐘，請問他該如何選擇套餐最劃算？
分析：此題尚不明確小明每月通話時長，因此需要分三種情況討論：
當0≤ x ≤ 100時，顯然兩種卡消費一樣。
當100≤ x ≤ 200時，A卡有優惠，B卡無優惠，因此選擇A卡。
當x>200時，設A、B兩卡消費分別為y1、y2。A卡消費為y1=0.16x+20，B卡消費為y2=0.12x+40，當y1=y2時，x=500因此又需要分三種情況討論：當x=500時，A、B兩卡消費一樣，當200500時，y1>y2選B卡更劃算。
分類討論思想這是數學基本思想方法之一。學生熟練掌握了這一思想方法，將更有邏輯有條理的分析處理問題。一次函數是最基本的函數，它對于解決實際生活生產需要有重要意義。教師在教學一次函數時應當科學的選取適當的教W方法，務必是學生理解掌握一次函數，并將其遷移到實際問題中去。
參考文獻：
[1]司馬遷，史記，北京聯合出版社，2016.
[2]王鴻鈞，孫宏安，數學思想方法引論，人民教育出版社，1992.
[2]義務教育課程標準教師學習指導，2011.
[3]數學八年級下冊，人民教育出版社，2013.
[4]顧泠沅，數學思想方法，中央廣播電視大學出版社，2004.
[5]潘興偉，初中數學教與學，分類思想在一次函數中的應用，2015.
[6]姬梁飛，科教文匯，論分類討論思想方法，2017.
