時間：2023-05-30 10:17:35
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇雙曲線的定義，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
新的數學課程標準是在以學生發展為本的理念下，要求學生轉變學習方式，教師積極探索，轉變教與學觀念，加深對課本內容的拓展理解和應用。所以，在數學教學中，教師應善于引領學生對課本的一些重要問題進行進一步的探索與研究，以提高學生的數學素質與應試能力。雙曲線的定義和焦點弦是圓錐曲線中非常重要的幾何概念，同時也是各類考試的重點和熱點，角度常變，常考不衰。但在普通高中課程標準實驗教科書中，僅僅介紹了雙曲線的第一定義及其直接的、簡單的應用，對于雙曲線的焦點弦問題，幾乎未作出任何探討，教師在教學過程中，也往往局限于新課程標準的教學目標和要求，沒有對這些知識做出進一步的拓展補充。因此，學生往往不能對該類知識點做到透徹理解，巧妙應用。為此，針對雙曲線的兩個定義及焦點弦問題，結合具體事例，做一些簡單探討。
1 雙曲線的兩個定義
定義1：我們把平面內與兩個定點F1，F2的距離的差的絕對值等于常數（小于F1F2）的點的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距。
定義2：平面上與一個定點（焦點F）的距離和一條定直線（準線l）的距離的比等于常數e的點的軌跡，當0
例1 (2008湖南）若雙曲線(a>0,b>0)的右支上存在一點，它到右焦點及左準線的距離相等，則雙曲線離心率的取值范圍是（）
A．(1，)；B．(，+∞)；
C．(1，)；D．(，+∞)
分析：本題是圓錐曲線中的計算問題，設雙曲線的右支上一點為P(x1,y1)，x1≥a，則點P到左準線的距離為，到右準線的距離為，由雙曲線的第二定義得點P到右焦點的距離為，所以=，解得，由x1≥a，得≥a，整理得c2-2ac-a2≤0，即e2-2e-1≤0(e>1)，解得1
2 焦點弦問題
2.1 焦點弦的一個性質
設雙曲線方程為，離心率為e，直線l經過雙曲線焦點F且與該雙曲線交于A，B兩點， 傾斜角為α，則有
當直線l與雙曲線的兩個交點A，B在雙曲線的同支上時，|cosα|
當直線l與雙曲線的兩個交點A，B在雙曲線的異支上時， |cosα|>1-e （2）
當直線l與雙曲線只有一個交點時，|cosα|=1-e （3）
證明：由對稱性，不妨設F為有焦點(c,0)
（1）由漸近線與弦AB斜率的關系知
⇒1+tan2α>e2⇒sec2α>e2
⇒|cosα|>1-e 。
（2）首先A，B在雙曲異支上時，由漸近線與弦AB斜率的關系知
，
，
⇒1+tan2α
（3）由于直線l與雙曲線有且只有一個交點，依題意則直線l與該雙曲線的漸近線平行，即 ，
，
。
2.2 弦長公式
設雙曲線離心率為e，直線l經過雙曲線焦點F且與該雙曲線交于A，B兩點， 傾斜角為θ，焦點F到相應準線的距離為d，則有
當雙曲線方程為，弦AB的長。
當雙曲線方程為，弦AB的長。
證明：當焦點在X軸上時，設雙曲線方程為，焦點F(c,0)到相應準線的距離為，離心率為。
先推導弦AB所在直線的參數方程，首先AB所在直線的一般方程為y=tanθ(x-c)，此直線方程可看做是直線y=tanθ?x按向量(c,0)平移得到的，而對直線y=tanθ?x，設x=tcosθ，則y=tsinθ，即可得上述直線的參數方程為
x=tcosθ+c
{y=tsinθ（t為參數），
事實上，令
=|t1-t2|。
可發現參數t的幾何意義為直線AB上的某段弦長。
將弦AB所在直線的參數方程與雙曲線方程聯立，并整理得
(b2cos2θ-a2sin2θ)t2+2b2ccosθt+b4=0，
于是，由上述t的幾何意義，
。
如果直線l斜率為k， 。
2.3 應用舉例
例2已知雙曲線的左焦點是F，過F且傾斜角為45°的直線與橢圓的兩個焦點在y軸的不同側，求橢圓離心率e的取值范圍。
解：由題意及上述性質1(1)得|cosα|=1-e ，所以，即。
參考文獻：
[1]數學課程標準解讀（實驗）[M].北京師范大學出版社，2002
[2]普通高中課程標準實驗教科書（選修1-1）[M].北京：人民教育出版社，2004
雙曲線不在必修系列中的，是高中的選修2-1里的內容。
在數學中，雙曲線是定義為平面交截直角圓錐面的兩半的一類圓錐曲線。它還可以定義為與兩個固定的點（叫做焦點）的距離差是常數的點的軌跡。這個固定的距離差是a的兩倍，這里的a是從雙曲線的中心到雙曲線最近的分支的頂點的距離。a還叫做雙曲線的半實軸。焦點位于貫穿軸上它們的中間點叫做中心。從代數上說，雙曲線是在笛卡爾平面上由如下方程定義的曲線使得，這里的所有系數都是實數，并存在定義在雙曲線上的點對（x,y）的多于一個的解。注意在笛卡爾坐標平面上兩個互為倒數的變量的圖像是雙曲線。，雙曲線的圖像無限接近漸近線，但永不相交。
（來源：文章屋網 ）
注意到橢圓與雙曲線在定義與標準方程的差別僅在“和”與“差”上，因此表現在性質的差異上可能就是矛盾的兩個方面。抓住這一點，可以先研究橢圓的幾何性質，然后再類比到雙曲線上。為便于討論，只以焦點在x軸上的圓錐曲線的標準方程進行討論。
一、內外之分
1.設橢圓 （a，b＞0）兩焦點為F1，F2，點Q為橢圓上除頂點外的任一點，過橢圓的一個焦點作∠F1QF2的一個外角平分線的垂線，垂足為P，則P點軌跡是圓的一部分。
證明：如圖1，QP為∠F1QF2的一個外角平分線，過F2作QP的垂線，垂足為P。延長F2P與F1Q的延長線交于點N，則QP為F2N的垂直平分線，|QF2|=|QN|，又|QF1|+|QF2|=2a，|F1N|=2a，又OP為F1F2N的中位線,所以OP∥F1N且OP=a，所以P在以O為圓心，半徑為a的圓上。
上述性質類比到雙曲線上，即可得到：
設雙曲線 （a，b＞0）兩焦點為F1，F2，點Q為雙曲線上除頂點外的任一點，過雙曲線的一個焦點作∠F1QF2的平分線的垂線，垂足為P，則P點軌跡是圓的一部分。
本題結論本身也許并不重要，但解題依據卻是最基本的定義，題目條件中的外角平分線與內角平分線的差別恰好就是橢圓與雙曲線在定義上區別的體現。
二、正余有別
1.設橢圓a，b＞0）兩焦點為F1，F2，點Q為雙曲線上
除頂點外的任一點，∠F1QF2=θ，則三角形F1QF2的面積 證明：如圖2，由橢圓定義得：|QF1|+|QF2|=2a （1）QF1F2中，由余弦定理可得：|QF1|2+|QF2|2-2|QF1|?|QF2|
cosθ=4c2 （2）
（1）式平方-（2）式得2|QF1|?|QF2|（1+cosθ）=4a2-4c2，
上述性質類比到雙曲線上，即可得到：
設雙曲線 （a，b＞0）兩焦點為F1，F2，點Q為雙曲線上除頂點外的任一點，∠F1QF2=θ，則三角形F1QF2的面積
本題結論中，兩個面積公式的不同之處僅在正切與余切的區別上，這種形式的類似既是曲線性質規律性的反映，也是運用類比方法的典型案例。
三、對立統一
1.直線y=kx+b與橢圓（a，b＞0）交于A，B兩點（圖3），設AB中點為M，O為坐標原點，則有
（其中e為離心率）。
證明：設A（x1，y1），B（x2，y2），中點M（x0，y0），則有：
整理得， ，所以有上述性質類比到雙曲線上，即可得到：直線y=kx+b與雙曲線
交于A，B兩點，設AB中點為M，O為坐標原點，則有（其中e為離心率）。
在學習圓錐曲線中，首先要抓住定義，只有真正理解和掌握了定義，才能找到解題思路，避免走入死胡同.
一、選擇題中定義的利用
例1 橢圓x26+y22=1和雙曲線x23-y2=1的公共焦點為F1，F2，P是兩曲線的一個交點，那么cos∠F1PF2的值是（ ）.
解 由條件知，|PF1|+|PF2|=26，|PF1|-|PF2|=23（不妨設|PF1|>|PF2|），
|PF1|=6+3，|PF2|=6-3.
又 |F1F2|=4，cos∠F1PF2=13.
答案 A.
分析 直接計算|PF1|，|PF2|，思路混亂，而且計算量較大.如果用橢圓和雙曲線的定義，解題過程會大大簡化.
例2 F1，F2為橢圓兩個焦點，Q為橢圓上任一點，以任一焦點作∠F1QF2的外角平分線的垂線，垂足為P，則P點軌跡為（ ）.
A圓
B橢圓
C雙曲線
D拋物線
解 延長F2P交F1Q的延長線于M，得|F1Q|+|F2Q|=2a，|F2Q|=|MQ|.而|F1Q|+|MQ|=|F1M|=2a，則點M（x0，y0）的軌跡方程為
（x0+c）2+y20=4a2.①
設P點坐標為（x，y），P為F2M中點，
x=c+x02，y=0+y02，x0=2x-c，y0=2y.
代入①，得（2x-c+c）2+（2y）2=4a2，x2+y2=a2.
分析 仔細作圖觀察，利用橢圓定義及角平分線，難題就不難了.
二、填空題中定義的利用
例3 拋物線y2=12x上與焦點的距離等于9的點的坐標.
解 設待求點的坐標為（x0，y0），由拋物線的定義，得x0+3=9，解得x0=6.代入拋物線方程得y0=±62，所以滿足條件的點為（6，-62），（6，62）.
答案 （6，-62），（6，62）.
分析 利用拋物線的定義，轉化條件，可以減少運算量.
例4 雙曲線的虛軸長為4，離心率e=62，F1，F2分別是它的左、右焦點，若過F1的直線與雙曲線的左支交于A，B兩點，且|AB|是|AF2|與|BF2|的等差中項，則|AB|=.
解 |AF2|-|AF1|=2a，|BF2|-|BF1|=2a，
|AF2|+|BF2|-（|AF1|+|BF1|）=4a.
又 2|AB|=|AF2|+|BF2|，|AF1|+|BF1|=|AB|，
2|AB|-|AB|=4a，|AB|=4a，而2b=4，ca=62，c2=a2+b2，
|AB|=82.
分析 此題兩次應用雙曲線的定義，步驟清楚簡單，何樂而不為.
三、解答題中定義的利用
例5 設點F（2，0），動點P到y軸的距離為d，求滿足條件|PF|-d=2的點P的軌跡方程.
解 由題意，得|PF|=2+d.
當P在y軸右側時，為|PF|=x+2，
點P在拋物線y2=8x上.
當P在y軸左側時，|PF|=2-x，
有y=0（x
所求軌跡方程為y2=8x（x≥0）和y=0（x
變式 一動圓與圓x2+y2+6x+5=0外切，同時過點（3，0），求動圓圓心M的軌跡方程.
解 由已知，得（x+3）2+y2=4.
設圓心為A，A點坐標為（-3，0），B（3，0），動圓半徑為R，
得|MB|=R，|MA|=R+2.
因此|MA|-|MB|=2
故M點軌跡為雙曲線的右支，且2a=2，2c=6，
即a=1，c=3，b=22.
因此其方程為x2-y28=1（x≥1）.
例5和變式題都是用定義得出軌跡方程的，從這兩道題可以深深體會到定義的重要性.
例6 設橢圓與雙曲線有共同的焦點F1（-4，0），F2（4，0），并且橢圓的長軸長是雙曲線實軸長的2倍，求橢圓與雙曲線交點的軌跡.
解 設橢圓與雙曲線的交點P（x，y），得
|PF1|+|PF2|=2||PF1|-|PF2||.
即|PF1|=3|PF2|或|PF2|=3|PF1|.
將點P（x，y）代入，得
（x+5）2+y2=9或（x-5）2+y2=9.
故所求軌跡為圓心在（5，0），半徑為3的圓，除去（2，0）和（8，0）兩點；或圓心在（-5，0），半徑為3的圓，除去（-2，0）和（-8，0）兩點.
[HTH]一、加強定義、標準方程、幾何性質的對比[HT]
圓錐曲線的定義、圖形、標準方程、幾何性質是全面深入理解圓錐曲線的基礎.對其進行全面的探討，對易混淆的概念加以對比、甄別，對帶有共性的概念加以概括，可以為解題打下堅實的根基.
1.全面理解橢圓與雙曲線的定義
對于橢圓與雙曲線的定義、方程，教材已給出了明確的說明與推導，但是有一些“隱言”，我們還需全面挖掘.
[HTH]例1[HT] 已知兩定點F1,F2和一動點M,則“|MF1|+|MF2|=2a(2a為正常數)”是“點M的軌跡是以F1,F2為焦點的橢圓”的( ).
(A)充分不必要條件
(B)必要不充分條件
(C)充要條件
(D)非充分非必要條件
[HTH]解[HT]：當2a=|F1F2|時，點M的軌跡為線段F1F2；當2a＞|F1F2|時，點M的軌跡為橢圓;當2a＜|F1F2|時，[JP3]點M的軌跡不存在.故|MF1|+|MF2|=2a[KG-*3/4]/[KG*2]點M的軌跡為橢圓.由橢圓定義可知，反之可行.故選B.[JP]
[HTH]評注[HT]：本題易錯選C，這不是粗心大意的問題，而是對基本概念認識不全面、不到位.對于雙曲線的定義也需作類似的深入理解.
2.局部甄別橢圓與雙曲線的異同
高考中，與橢圓、雙曲線有關的三個常考點為：離心率，a,b,c的關系，雙曲線的漸近線.前者在橢圓與雙曲線中的表達形式同為e=ca，而后兩者卻相異，在橢圓中有c2=a2－b2，在雙曲線中有c2=a2+b2，且只有雙曲線有漸近線，橢圓沒有.
[HTH]例2[HT] 已知橢圓x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)與雙曲線x2m2－y2n2=1(m＞0,n＞0)有相同的焦點F1，F2，且一個交點為P，PF1•PF2=0.
(Ⅰ)求橢圓的離心率的取值范圍；
(Ⅱ)若橢圓的離心率為32，求雙曲線的離心率與漸近線方程.
[HTH]解[HT]：(Ⅰ)設橢圓與雙曲線的半焦距均為c，由題意知，|PF1|+|PF2|=2a，|PF1|－|PF2|=2m.(不妨設|PF1|＞|PF2|)解之，得|PF1|=a+m，|PF2|=a－m.
又PF1•PF2=0，
|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，
(a+m)2+(a－m)2=(2c)2，
即a2+m2=2c2，故(ac)2+(mc)2=2.
設橢圓與雙曲線的離心率分別為e1,e2，則
1e21+1e22=2，1e22=2－1e21.
由0＜1e22＜1,得0＜2－1e21＜1，
解之，得22＜e1＜1.
(Ⅱ)當e1=32時，代入1e22=2－1e21，得e2=62，即cm=62，故m=63c.
又c2=m2+n2， n=33c，于是雙曲線的漸近線為y=±mnx，即y=±2x.
[HTH]評注[HT]：解決本題需要對橢圓與雙曲線的定義、標準方程、離心率及雙曲線的漸近線等概念非常清晰，否則解題思路易混亂.
3.高度概括拋物線的標準方程與圖形的關系
相對于橢圓與雙曲線，拋物線的形式更為多樣化，而且易引起圖形、標準方程、焦點與準線之間的混淆.其實經對比分析，可概括為如下兩點：
(1)對稱軸由一次項決定，開口方向由一次項的系數決定；
(2)焦點與p2相關，準線與焦點對應，結合圖形可確定.
[TPSX3.tif,Y#][TS(1][JZ][HT6H]圖1[TS)][HT]
[HTH]例3[HT] 已知拋物線y=－x2上一點P到其焦點F的距離為54，則點P的坐標為.
[HTH]解[HT]：拋物線標準方程為x2=－y，故其對稱軸為y軸，且開口方向向下，其圖象如圖1所示，又2p=1，p2=14，由圖1知，F(0,－14)，拋物線的準線方程為y=14.
設P(x0,y0)，則14－y0=|PF|=54，
y0=－1.
又y0=－x20，故x0=±1，
點P的坐標為(－1,－1)或(1,－1).
[HTH]評注[HT]：本題從方程回歸到圖形，借助圖形直觀快捷地解決了問題.這得益于從整體上對拋物線的圖形、標準方程、焦點與準線的高度概括與把握.
[HTH]二、關注與圓錐曲線相關典型結論的收集[HT]
過程繁雜，結果簡潔，是解幾問題的特色.長期以來吸引著眾多數學愛好者投身其中，使得一些新結果層出不窮，不少高考題就是以這些結果為背景編擬的，所以我們平時多收集一些典型的結論，對提高解題效率大有裨益.
1.與橢圓相關的一些典型結論
(1)形狀：離心率e1，橢圓越扁.
(2)同焦點：與橢圓x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)有相同焦點的橢圓方程為x2a2+k+y2b2+k=1(a＞b＞0,b2+k＞0).
(3)距離：①過焦點F2的弦長中,以垂直F1F2的弦(通徑)最短；
②直線l過焦點F1,與橢圓交于兩點A,B,則ABF2的周長為定長4a(兩次用定義可得)；
[JP3]③弦長公式:斜率為k的直線與橢圓交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,則|AB|=1+k2|x2－x1|=1+1k2|y2－y1|.[JP]
(4)面積：①點M在橢圓上,則焦點三角形F1F2M的面積SF1F2M=b2tan∠F1MF22(可由定義及余弦定理推導)；
②直線l過橢圓的左焦點F1,與橢圓交于兩點A,B,則當lF1F2時，ABF2的面積的最大值為2b2e(可由SABF2=SOF2A+SOF2B推導).
(5)直線的方程：①直線l過橢圓x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)內一點P(x0,y0)(非中心),與橢圓交于A，B兩點,且點P平分弦AB,則直線l的方程為x0xa2+y0yb2=x20a2+y20b2(設出A，B的坐標,代入橢圓方程后,兩式相減,代入P的坐標,可求斜率,進而可求)；
②直線l與橢圓x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)切于點P(x0,y0),則直線l的方程為x0xa2+y0yb2=1(由方程組法可得).
以上結論請讀者根據提示自行推導，這里不再詳述，對于雙曲線、拋物線的結論亦然.
[HTH]例4[HT][HTK](2011年全國卷Ⅰ)[HT]橢圓C的中心為原點，焦點F1,F2在x軸上，離心率為[SX(][KF(]2[KF)][]2[SX)].過F1的直線l交C于A,B兩點，且ABF2的周長為16，那么C的方程為.
[HTH]解[HT]：由結論(3)的②知，4a=16，即a=4，而ca=22，則c=2[]2，得b2=8，
故C的方程為x216+y28=1.
評注：熟悉一些典型結論便于直截了當地處理問題.
2.與雙曲線相關的一些典型結論
(1)形狀：離心率e1，雙曲線越扁.
(2)同焦點:與雙曲線x2a2－y2b2=1(a＞0,b＞0)有相同焦點的雙曲線方程為x2a2+k－y2b2－k=1(a,b,a2+k,b2－k＞0).
(3)距離：①過右焦點F2的弦長中,以垂直F1F2的弦(通徑)最短；
②直線l過焦點F1,與雙曲線左(下)支交于兩點A,B,則|AF2|+|BF2|－|AB|=4a.
(4)面積：①點M在雙曲線上,則焦點三角形F1F2M的面積SF1F2M=b2tan∠F1MF22；
②直線l過雙曲線的左焦點F1,與雙曲線交于兩點A,B,則當lF1F2時，ABF2的面積的最小值為2b2e.
(5)漸近線：①兩條漸近線互相垂直兩條漸近線為y=±x等軸雙曲線e=2；
②以直線y=±kx為漸近線的雙曲線方程為y2－(kx)2=λ(λ≠0)；
③與雙曲線x2a2－y2b2=1(a＞0,b＞0)有相同漸近線的雙曲線方程為x2a2－y2b2=λ(a＞0,b＞0,λ≠0).
[HTH]例5[HT] 已知雙曲線x2a2－y2b2=1(a＞0,b＞0)的兩條漸近線互相垂直,則直線l1:ax+by+a=0與直線l2:x+y+k=0(k＞1)的位置關系是.
[HTH]解[HT]：由（5）中的結論①知，該雙曲線為等軸雙曲線，即a=b, l1:x+y+1=0.
又k＞1,于是l1∥l2.
評注：本題省去了(ba)•(－ba)=－1a2=b2a=b的推導過程，直接得到了答案.
3.與拋物線相關的一些典型結論
(1)形狀：p(p＞0)的值越小，拋物線越扁.
(2)距離：過焦點F的弦長中,以垂直對稱軸的弦(通徑)最短.
(3)焦點弦：直線l過焦點F,與拋物線y2=2px(p＞0)交于兩點A(x1,y1),B(x2,y2),則
①|AB|=x1+x2+p;
②以AB為直徑的圓與準線相切；
③x1x2=p24,y1y2=－p2；
④∠AOB為鈍角；
⑤設F′(－p2,0)，則當lF′F時，ABF′的面積的最小值為p2.
[HTH]例6[HT] 直線l過拋物線y2=4x的焦點F,且與拋物線交于A,B兩點,O為原點，則OAB的面積的最小值為.
[HTH]解[HT]：由結論（3）中的⑤知，設F′(－1,0)，則SABF′=2SOAB，當ABx軸時，(SABF′)min=p2=22=4，故(SOAB)min=2.
（1）你知道橢圓、雙曲線、拋物線的第一定義嗎？
作答：______________________
（2）橢圓、雙曲線、拋物線的第二定義你掌握了嗎？
作答：______________________
（1）平面內與兩個定點F1，F2的距離之和等于常數（大于F1F2）的點的軌跡叫做橢圓；與兩個定點F1，F2的距離之差的絕對值等于常數（小于F1F2）的點的軌跡叫做雙曲線；與一個定點F和一條定直線l（l不經過點F）距離相等的點的軌跡叫做拋物線.
（2）已知點F是平面上的一個定點，l是平面上不過點F的一條定直線，動點P到點F的距離和它到直線l的距離之比是一個常數e． 當0
橢圓的幾何性質
（1）你知道橢圓的焦半徑公式嗎？焦點弦公式還記得嗎？
作答：______________________
（2）如何計算橢圓的焦點三角形的面積？
作答：______________________
（3）你知道如何求解橢圓的切線方程嗎？
作答：______________________
雙曲線的幾何性質
（1）雙曲線的焦半徑公式還會用嗎？
作答：______________________
（2）如何計算雙曲線的焦點三角形的面積？
作答：______________________
（3）與已知雙曲線有同一條漸近線的雙曲線方程如何表示？
作答：______________________
（4）你知道如何求解雙曲線的切線方程嗎？
作答：______________________
拋物線的幾何性質
（1）與拋物線的焦點弦相關的四條性質，你還記得嗎？
作答：______________________
（2）你知道如何求解拋物線的切線方程嗎？
作答：______________________
以y2=2px（p>0）為例．
（2）過拋物線y2=2px（p>0）上一點P（x0，y0）處的切線方程是y0y=p（x+x0）；過拋物線y2=2px（p>0）外一點P（x0，y0）所引兩條切線的切點弦方程是y0y=p（x+x0）．
直線與圓錐曲線的位置關系
（1）如何判斷直線與圓錐曲線的交點？
作答：______________________
（2）圓錐曲線與直線的弦長公式你還記得嗎？
作答：______________________
（3）求軌跡方程的常用方法有哪些？
作答：______________________
從雙曲線－=1（a＞0，b＞0）的左焦點F引圓x2+y2=a2的切線，切點為T，延長FT交雙曲線右支于點P，若M線段FP的中點，O為坐標原點，則MO－MT與b－a的關系為（ ）
A． MO-MT＞b－a
B． MO－MT=b－a
C． MO－MT＜b－a
D． 不確定
圖1
錯解 設雙曲線的右焦點為F2，連結OM和PF2，由M為線段FP的中點和O為兩焦點FF2的中點得MO=PF2 ． 由FP的中點M在切點T的右側得MT=MF-FT=PF-FT，故MO－MT=PF2-PF-FT=（PF2-PF）+FT． 由雙曲線的定義和P在右支上知PF2-PF=－2a，由相切得在直角三角形FTO中，FT===b，所以MO-MT=（－2a）+b=b-a. 故此題選B．
剖析 上面的思路是：由中點M想到O是兩焦點的中點，利用三角形中位線這一平面幾何性質和雙曲線的定義求解，這樣做確實很簡單，幾乎沒有計算量． 這可能是許多高中數學教師的想法，也可能是命題人的意圖． 但是我們注意到這個選擇題中有答案D：不確定，所以我們自然會提出問題：由給出的圖知線段FP的中點M在切點T的右側，那么一定在右側嗎？可不可以在左側？可不可以重合？結果又會怎樣呢？
①當線段FP的中點M在切點T的右側時，如圖1所示：上面已求得MO-MT=b-a.
②當線段FP的中點M在切點T的左側時，如圖2所示：
MO=PF2不變，FT=b不變，發現MT=FT-MF=FT-PF變了，此時MO- MT=PF2-FT-PF=（PF2+PF）-FT=（PF2+PF）-b，由雙曲線的定義和P在右支上知PF=PF2+2a，此時MO-MT=（PF2+PF2+2a）-b=PF2+a-b，無法確定和b-a的大小關系． 好像進入了死胡同，但是當我們回過來看一下此種情形時，MO=PF2，MT=b-PF，我們感覺要想利用雙曲線的定義，計算MO-MT肯定不好，最好計算MO+MT，此時MO+MT=b+（PF2-PF）=b+（－2a）=b-a，到此結果水落石處，顯然所求的MO-MT＜MO+MT，即MO-MT＜b-a．
③當線段FP的中點M和切點T重合時，如圖3所示：結果如何呢？
我們可能會犯習慣性思維的錯誤，認為MO-MT＞b-a，果真如此嗎？我們來看一下，MO=OT=a，MT=0，此時MO-MT=a． 由M為線段FP的中點和O為FF2的中點得MO=PF2，即PF2=2a． 又PF=2FM=2b，由雙曲線的定義和P在右支上知PF-PF2=2a，即2b-2a=2a，即b-a=a，所以此時MO-MT=b-a．
綜上，此題選D．
點評 1. 由中點M想到O是兩焦點的中點，利用三角形中位線這一平面幾何性質和雙曲線的定義求解，這確實是一個好的解題思路，但容易漏掉后面兩種情形，特別是處理第2種情形時其思維跨度比較大．
2. 因為這是一個選擇題，所以有另一種解法：
看到MO-MT，易想到三角形MTO中兩邊之差的絕對值小于第三邊，從而有MO-MT≤TO，即MO-MT≤a（當且僅當M和T重合時取“=”）． 我們可以先看M和T重合時，易得b=2a，MO-MT=b-a；因為答案D為不確定，所以還得再看M和T不重合的情形，b≠2a，即b＞2a或b＜2a，而當b＞2a時，b-a＞a，因為MO－MT＜a，所以此時MO-MT＜b-a． 到此顯然選D．
拓展1 從雙曲線－=1（a＞0，b＞0）的左焦點F引圓x2+y2=a2的切線，切點為T，延長FT交雙曲線右支于點P，若M為線段FP的中點，O為坐標原點，則MO－MT的值是____．
分析一 由中點M想到O是兩焦點的中點，利用三角形中位線這一平面幾何性質和雙曲線的定義進行求解．
解法一 ①當線段FP的中點M在切點T的右側時，上面已求得MO-MT=b-a. （直角三角形中，斜邊MO＞直角邊MT，得MO-MT＞0，即b＞a；由三角形中兩邊之差的絕對值小于第三邊得MO-MT＜TO，即b-a＜a，即b＜2a，故此時a＜b＜2a）
②當線段FP的中點M和切點T重合時，上面已求得MO-MT=b-a.（b=2a）
③當線段FP的中點M在切點T的左側時，由上面得到MO+MT=b-a，發現在直角三角形MTO中MO2－MT2=TO2=a2，從而MO-MT==． （由直角三角形中斜邊MO＞直角邊MT得MO-MT＞0，即＞0，即b＞a；由三角形中兩邊之差的絕對值小于第三邊得MO-MT＜TO，即＜a，即b＞2a，所以此時b＞2a）
綜上：當線段FP的中點M在切點T的左側，即b＞2a時，MO-MT=；當線段FP的中點M在切點T的右側，即a＜b＜2a時，MO-MT=b-a；當線段FP的中點M和切點T重合，即b=2a時，MO-MT=b-a．
分析二 在直角三角形MTO中，已知一直角邊TO=a，要求的是斜邊MO減去另一直角邊MT，只要求出其中一個，另一個由勾股定理求之． 求MO，就是求PF2，可在PF2F中由余弦定理求解．
解法二 在RtFTO中，cos∠TFO==． 在PF2F中，設PF2=x，則PF=x+2a，FF2=2c，由余弦定理得cos∠PFF2==，化簡得（b-a）x=a2+c2－2ab，將c2=a2+b2代入得（b-a）x=2a2+b2－2ab=a2+（b－a）2（顯然b-a>0，若b-a≤0，上述方程無解），故x==b－a+． MO=PF2=x=b－a+，在RtMTO 中，TO=a，由勾股定理得MT=====（b－a）－=（b－a）－（b>2a），－（b－a）（a
綜上，當b＞2a時，MO-MT=；當a＜b≤2a時，MO-MT=b-a．
點評 解法一雖然簡單，但容易漏掉其他情形且點M在左側時的處理方法很難想到；解法二雖然計算量相對大一點，但比較保險、全面．另外由上面的兩種解法容易得到以下兩個命題．
拓展2 從雙曲線－=1（a＞0，b＞0）的左焦點F引圓x2+y2=a2的切線，切點為T，延長FT交雙曲線右支于點P，若M為線段FP的中點，O為坐標原點，則MO+MT與b－a的關系為（ ）
A． MO+MT＞b－a
B． MO+MT=b－a
C． MO+MT＜b－a
D． 不確定
提示 參考上面測試題的兩種解法均可得答案D． 具體大小關系如下：當線段FP的中點M和切點T重合或在左側時：MO+MT=b-a；當線段FP的中點M在切點T的右側時：MO+MT＞b-a．
拓展3 從雙曲線－=1（a＞0，b＞0）的左焦點F引圓x2+y2=a2的切線，切點為T，延長FT交雙曲線右支于點P，若M為線段FP的中點，O為坐標原點，則MO+MT的值是____．
求與離心率e有關的問題是近幾年江蘇高考解析幾何題常常考查的一類題，它涉及的知識面廣，綜合性強，所以難度也較大，且能很好地考查學生的綜合能力和數學素養，但是學生往往因為建立不了不等式關系，或理不清思路感到無從下手.由離心率e=c[]a，則要求離心率e,就要求a,b,c的關系.所以要在題目條件中尋找a,b,c的關系.
本文通過幾個例題談談幾類常見的求離心率e的解題策略.
一、利用圓錐曲線的定義求離心率
例1 （2009年全國卷Ⅱ理）已知雙曲線C:x2[]a2-y2[]b2=1(a>0,b>0)的右焦點為F,過F且斜率為3的直線交雙曲線于A,B兩點，若AF=4FB,則雙曲線的離心率為( ).
A.6[]5 B.7[]5 C.5[]8 D.9[]5
解 設雙曲線C:x2[]a2-y2[]b2=1的右準線為l,過A,B分別作AMl于M,BNl于N,BDAM于D,由直線AB的斜率為3,知直線AB的傾斜角為60°,∠BAD=60°,|AD|=1[]2|AB|.
由雙曲線的第二定義有
|AM|-|BN|=|AD|=1[]e(|AF|-|FB|)=1[]2|AB|=1[]2（|AF|+|FB|）.
又 AF=4FB,1[]e?3|FB|=5[]2|FB|,e=6[]5.故選A.
二、利用圓錐曲線的范圍
例2 （2009年重慶卷理）已知雙曲線x2[]a2-y2[]b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1(-c,0),F2(c,0)，若雙曲線上存在一點P使sinPF1F2[]sinPF2F1=a[]c，則該雙曲線的離心率的取值范圍是．
解 因為在PF1F2中，由正弦定理得
PF2[]sinPF1F2=PF1[]sinPF2F1.
則由已知，得a[]P1F2=c[]P1F1，即aPF1=cPF2，且知點P在雙曲線的右支上.
設點(x0,y0)，由焦點半徑公式，得PF1=a+ex0,PF2=ex0-a，則a(a+ex0)=c(ex0-a).
解得x0=a(c+a)[]e(c-a)=a(e+1)[]e(e-1).由雙曲線的幾何性質知x0>a,則a(e+1)[]e(e-1)>a，整理得e2-2e-1
三、利用三角函數的有界性
例3 橢圓x2[]a2＋y2[]b2＝1(a>b>0)與x軸正方向交于點A，如果在這個橢圓上總存在點P使OPOA，O為原點，求橢圓離心率e的范圍.
解 設P（acosθ,bsinθ）θ≠kπ[]2,k∈Z.
OPOA,bsinθ[]acosθ?bsinθ[]acosθ-a=-1.化簡，得
a2[]b2=cosθ(1-cosθ)[]1-cos2θ=cosθ[]1+cosθ=a2-c2[]a2=1-e2.
e2=1[]1+cosθ.e2∈1[]2,1,e∈2[]2,1.
點評 本題關鍵在于建立e和三角函數的關系式，再利用三角函數的取值范圍求出e的范圍，是一種常見的求e的方法.
一、 考綱要求
1. 掌握橢圓的定義、標準方程和橢圓的簡單幾何性質，了解橢圓的參數方程；
2. 掌握雙曲線的定義、標準方程和雙曲線的簡單幾何性質；
3. 掌握拋物線的定義、標準方程和拋物線的簡單幾何性質。
二、 難點疑點
1. 圓錐曲線的定義及標準方程；
2. 圓錐曲線的離心率；
3. 與圓錐曲線有關的軌跡問題；
4. 與圓錐曲線有關的最值、定值問題；
5. 與平面向量、數列及導數等知識相結合的交匯試題。
三、 經典練習回顧
1. 已知橢圓的離心率為12，焦點是（-3，0），（3，0），則橢圓方程為.
2. 設雙曲線x2-y2=1的兩條漸近線與直線x=22圍成的三角形區域（包含邊界）為E，P（x，y）為該區域內的一個動點，則目標函數z=3x-2y的取值范圍為.
3. 短軸長為2，離心率e=3的雙曲線兩焦點為F1，F2，過F1作直線交雙曲線于A、B兩點，且|AB|=8，則ABF2的周長為.
4. 已知F1，F2是橢圓的兩個焦點，過F1且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于A，B兩點，若ABF2是正三角形，則這個橢圓的離心率是.
5. 已知拋物線x=2my2（m
6. 已知F是拋物線C：y2=4x的焦點，過F且斜率為3的直線交C于A，B兩點.設|FA|>|FB|，則|FA||FB|的值等于.
四、 例題精析
題型一利用定義解題
涉及橢圓、雙曲線上的點到兩個焦點的距離問題，常常要注意運用第一定義，而涉及曲線上的點到某一焦點的距離，常常用圓錐曲線的統一定義。對于后者，需要注意焦點與準線要同側，不能弄錯。
【例1】方程（x-2）2+（y-2）2=|x-y+3|表示的曲線是.
分析方程的兩邊直接平方展開比較麻煩，聯想方程左邊到定點的距離，而如果將右邊轉化為到定直線的距離，那問題就迎刃而解了。
解已知方程就是（x-2）2+（y-2）2=2·|x-y+3|2，由雙曲線的第二定義，可知動點P（x，y）到定點（2，2）的距離與到定直線x-y+3=0的距離比為2，因為2>1，所以方程所表示的曲線是雙曲線.
點撥從已知方程的結構特征聯想到兩點距離公式與點線距離公式，發現方程表示的曲線是到定點（2，2）的距離與到定直線x-y+3=0的距離之比為2的動點（x，y）的軌跡，根據雙曲線定義得方程所表示的曲線是雙曲線。顯然通過對方程的發現與聯想利用定義來解簡潔明了。
【例2】橢圓x2a2+y2b2=1（a>0，b>0）的左焦點為F，若過點F且傾斜角為45°的直線與橢圓交于A、B兩點且F分向量BA的比為2/3，求橢圓的離心率e。
分析本題通法是設直線方程，將其與橢圓方程聯立，借助韋達定理將向量比轉化為橫坐標的比。思路簡單，運算繁瑣。下面介紹兩種簡單解法。
解法一：設點A（xA，yA），B（xB，yB），由焦半徑公式可得a+exAa+exB=32，
則2（a+exA）=3（a+exB），
變形2（a+exA-a-exB）=a+exB，
所以2e（xA-xB）=a+exB.
因為直線傾斜角為45°，
所以有2e·22|AB|=25|AB|，所以e=25.
提示本解法主要運用了圓錐曲線焦半徑公式，借助焦半徑公式將向量比轉化為橫坐標的關系。焦半徑是圓錐曲線中的重要線段，巧妙地運用它解題，可以化繁為簡，提高解題效率。一般來說，如果題目中涉及的弦如果為焦點弦，應優先考慮焦半徑公式。
解法二：|BE|=1e|BF|=1e·25|AB|，|AD|=1e|AF|=1e·35|AB|，
|AC|=22|AB|，|AD|-|BE|=|AC|，
1e·35|AB|-1e·25|AB|=22|AB|
e=25.
點撥本解法巧妙運用了幾何性質，運算簡潔直觀。需要注意的是解析幾何和平面幾何都是研究圖形性質的，只不過平面幾何只限于研究直線和圓。因此，在題設條件中有關圓、直線的問題，或題目中構造出直線與圓，可以利用平面幾何的性質簡化計算。
題型二直線與圓錐曲線的位置關系
直線與圓錐曲線的位置關系主要考查三種題型：一是判斷已知直線與已知曲線的位置關系；二是根據直線與圓錐曲線的位置關系，求直線或曲線方程的參數問題；三是求直線與圓錐曲線相交時所得弦長、弦的中點及軌跡問題等。解答此類題型的一般方法化為二次方程，利用判別式與韋達定理來求解。
【例2】已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為（2，0），實軸長為23.（Ⅰ）求雙曲線C的方程；（Ⅱ）若直線l：y=kx+2與雙曲線C左支交于A、B兩點，求k的取值范圍；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，線段AB的垂直平分線l0與y軸交于M（0，b），求b的取值范圍.
分析第（Ⅰ）小題利用直接法求解；第（Ⅱ）小題將直線與雙曲線方程聯立消去y，然后利用判別式及韋達定理求解；第（Ⅲ）小題需利用“垂直”與“平分”聯系兩條直線斜率間的關系及中點坐標公式建立b關于斜率k的表達式，結合第（Ⅱ）小題k的范圍求解。
解（Ⅰ） 設雙曲線方程為x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），
由已知，得a=3，c=2，b2=c2-a2=1，故雙曲線方程為x23-y2=1.
（Ⅱ） 設A（xA，yA），B（xB，yB ），將y=kx+2代入x23-y2=1，得（1-3k2）x2-62kx-9=0.
由題意知1-3k2≠0
Δ=36（1-k2）>0
xA+xB=62k1-3k2
xAxB=-91-3k2>0，
解得，33
當33
（Ⅲ） 由（Ⅱ）得：xA+xB =62k1-3k2，yA+yB=kxA+2+（kxB+2）=k（xA+xB）+22=221-3k2.
AB中點P的坐標為32k1-3k2，21-3k2.
設l0方程為：y=-1kx+b，將P點坐標代入l0方程，得b=421-3k2.
33
b
b的取值范圍為：（-∞，-22）.
點撥本題主要考查利用直接法求雙曲線標準方程、直線與圓錐曲線位置關系不等式的解法等知識，以及考查函數與方程的思想、轉化與化歸的思想，考查邏輯思維能力及運算能力。直線與圓錐曲線位置關系主要涉及交點個數問題、中點問題、弦長問題、最值與定值問題等，解答時往往通過消元最終歸結為一元二次方程來進行解決。特別地：（1）如果遇到弦的中點與斜率問題則考慮利用“點差法”較為簡單，但須注意對結果進行檢驗；（2）求最值與參數的范圍時注意確定自變量的范圍；（3）過焦點的弦長問題一般利用圓錐曲線的統一定義進行轉化可大大減少運算量。
題型三定值問題
定值問題是近幾年我們江蘇高考的一個熱點和難點，從08年到現在年年考。而求解這類問題的方法有兩種，其一是特值探路，方向明確根據特殊性與普遍性（個性與共性）的辨證關系，以特例探路，從特例中求出幾何量的定值，得到啟示，從而將問題化歸為解幾何證明問題，再利用定義、焦半徑公式等對一般情形進行證明；其二是轉化為多項式恒為零，對應的系數都為零來解。【例3】如圖，在直角坐標系xOy中，已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的離心率為32，過點A（a，0）與B（0，-b）的直線與原點的距離為 2105.又有直線y=12x與橢圓C交于D，E兩點，過D點作斜率為k的直線l1.直線l1與橢圓C的另一個交點為P，與直線x=4的交點為Q，過Q點作直線EP的垂線l2.
（1）求橢圓的方程；
（2）求證：直線l2恒過一定點.
分析第（1）小題利用解方程來求解；第（2）小題將直線與橢圓方程聯立消去y，然后利用韋達定理求出P點的坐標，代入斜率公式得到EP的斜率，然后再求出Q點坐標，再轉化為關于k的一次多項式恒為零來解。
解（1） 因為橢圓C的離心率e=32，
故設a=2m，c=3m，則b=m.
直線AB的方程為bx-ay-ab=0，
代入得mx-2my-2m2=0，
即x-2y-2m=0.
所以2m1+4=2105，解得m=2.
所以a=22，b=2，
從而橢圓方程為x28+y22=1.
（2） 由題意可得D（-2，-1），E（2，1），則直線l1的方程為y+1=k（x+2）.
聯立y+1=k（x+2），
x28+y22=1，得（1+4k2）x2+8k（2k-1）x+4（2k-1）2-8=0.
設P（x1，y1），則x1=-8k（2k-1）1+4k2+2.
直線EP的斜率為k1=y1-1x1-2=k（x1+2）-2x1-2=4k-21+4k2-8k（2k-1）1+4k2=-14k.
因為l2EP，所以直線l2的斜率k2=4k.
又由y+1=k（x+2），
x=4得Q點的坐標為（4，6k-1）.
所以直線l2的方程為y-6k+1=4k（x-4），整理得（4x-10）k=y+1.
所以直線l2恒過定點52，-1.
點撥本題主要考查圓的性質、橢圓的定義、標準方程及其幾何性質、直線方程求解、直線與橢圓的關系。本題綜合性較強，是求定值問題較好的典范。
題型四圓錐曲線與向量的綜合
圓錐曲線與向量知識的綜合題，常以復雜多變、綜合性強、解法靈活，知識覆蓋面廣，注重考查邏輯推理能力、解題實踐能力和數學思想方法應用能力。在解題中需要把握住知識間的聯系，注意借助轉化的思想、方程思想等。
【例4】在直角坐標平面中，ABC的兩個頂點A、B的坐標分別為A（-1，0）、B（1，0），平面內兩點G，M同時滿足下列條件：①GA+GB+GC=0；②|MA|=|MB|=|MC|；③GM∥AB.（Ⅰ） 求ABC的頂點C的軌跡方程；
（Ⅱ） 過點P（3，0）的直線l與（Ⅰ）中軌跡交于E，F兩點，求PE·PF的取值范圍.
分析由于涉及的動點有三個，因此采用設而不求思想先設C、G、M三點的坐標，然后將坐標代入①②中的兩個等式，同時利用向量平行的條件進行轉化，第（Ⅰ）小題就可求解。第（Ⅱ）小題則需利用判別式確定直線與所求軌跡相交的條件，即直線斜率k的范圍，然后利用向量的數量積公式及韋達定理建立PE·PF關于k的函數式，最后根據求函數值域的方法即可求得結果。
解（Ⅰ） 設C（x，y），G（x0，y0），M（xM，yM），
|MA|=|MB|，M點在線段AB的中垂線上.
由已知A（-1，0），B（1，0），xM=0，
又GM∥AB，yM=y0，
又GA+GB+GC=0，（-1-x0，y0）+（1-x0，-y0）+（x-x0，x-y0）=（0，0），
x0=x3，y0=y3，yM=y3，
|MB|=|MC|，（0-1）2+y3-02
=（0-x）2+y3-y2，
x2+y23=1（y≠0），頂點C的軌跡方程為x2+y23=1（y≠0）.
（Ⅱ） 設直線l方程為：y=k（x-3），E（x1，y1），F（x2，y2），
由y=k（x-3）
x2+y23=1，消去y得：（k2+3）x2-6k2x+9k2-3=0①，
x1+x2=6k2k2+3，x1x2=9k2-3k2+3，
而PE·PF=|PE|·|PF|·cos0°=|PE|·|PF|=1+k2|3-x1|·1+k2|3-x2|=（1+k2）|9-3（x1+x2）+x1x2|=（1+k2）9k2+27-18k2+9k2-3k2+3=24（k2+1）k2+3=24-48k2+3，
由方程①知Δ=（6k2）2-4（k2+3）（9k2-3）>0，k2
點撥本題主要考查向量的坐標運算及幾何意義、軌跡的直接求法、不等式的解法，考查“設而不求法”結合二次方程的判別式及韋達定理在解決直線與圓錐曲線位置關系中的應用，同時考查函數與方程的思想、轉化的思想以及邏輯推理能力、解題實踐能力和數學思想方法應用能力。本題解答有兩個關鍵：（1）對條件中的向量關系的轉化；（2）建立PE·PF關于直線斜率k的函數。解答本題還有一個易錯點：忽視直線與圓錐曲線相交的條件限制，造成所求范圍擴大。
牛刀小試
1. 已知橢圓E的離心率為e，兩焦點為F1，F2，拋物線C以F1為頂點，F2為焦點，P為兩曲線的一個交點，若|PF1||PF2|=e，則e的值為.
2. 如圖一圓形紙片的圓心為O，F是圓內一定點，M是圓周上一動點，把紙片折疊使M與F重合，然后抹平紙片，折痕為CD，設CD與OM交于P，則點P形成的圖形是.
2. 如圖，P是橢圓x225+y29=1上的一點，F是橢圓的左焦點，且OQ=12（OP+OF），|OQ|=4，則點P到該橢圓左準線的距離為.
3. 在平面直線坐標系xOy中，已知ABC的頂點A（-4，0）和C（4，0），頂點B在橢圓x225+y29=1上，則sinA+sinCsinB=.
4. 在直角坐標系中，過雙曲線x2-y29=1的左焦點F作圓x2+y2=1的一條切線（切點為T）交雙曲線右支于P，若M為線段FP的中點，求OM-MT的值.
5. 已知拋物線、橢圓和雙曲線都經過點M（1，2），它們在x軸上有共同焦點，橢圓和雙曲線的對稱軸是坐標軸，拋物線的頂點是坐標原點.（1） 求這三條曲線的方程；（2） 已知動直線l過點P（3，0），交拋物線于A、B兩點，是否存在垂直于x軸的直線l′被以AP為直徑的圓截得的弦長為定值？若存在，求出l′的方程；若不存在，說明理由.
6. 橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的兩個焦點為F1、F2，短軸兩端點B1、B2，已知F1、F2、B1、B2四點共圓，且點N（0，3）到橢圓上的點最遠距離為52.（Ⅰ） 求此時橢圓C的方程；（Ⅱ） 設斜率為k（k≠0）的直線m與橢圓C相交于不同的兩點E、F，Q為EF的中點，問E、F兩點能否關于過點P0，33、Q的直線對稱？若能，求出k的取值范圍；若不能，請說明理由.
7. 設橢圓E：x2a2+y2b2=1（a，b>0）過M（2，2），N（6，1）兩點，O為坐標原點.
（1） 求橢圓E的方程；
（2） 是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且OAOB？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB |的取值范圍，若不存在說明理由.
8. 如圖，在直角坐標系xOy中，已知橢圓C：x24+y23=1上一點P1，32，過點P的直線l1，l2與橢圓C分別交于點A，B（不同于P），且它們的斜率k1，k2滿足k1k2=-34.
（1）求證：直線AB過定點；
雙曲線：你是誰呀，走路不長眼！把我撞疼了。
橢圓：哦，對不起！怎么你長得這么古怪，簡直是怪物！我們橢圓可不是你這幅怪模樣！
雙曲線：我可不是怪物，我叫雙曲線！我覺得你才是怪物呢！大熱的天把自己包得密不透風的。
橢圓：這可是我們橢圓的特別之處！我們家族的成員都是平面內與兩個定點F1、F2的距離的和等于常數（大于|F1F2|）的點的軌跡。
雙曲線：我們雙曲線的定義是平面內與兩個定點F1、F2的距離之差的絕對值等于常數（小于|F1F2|）的點的軌跡。記住了，以后別再班門弄斧了！
橢圓：我有標準方程x2a2+y2b2=1或y2a2+x2b2=1，其中a>b>0，你有嗎？
雙曲線：誰稀罕你那破方程，我又不是沒有，x2a2-y2b2=1或y2a2-x2b2=1（a>0，b>0）就是我的標準方程！ 我還有焦距，實軸、虛軸呢！方程中的a就表示實半軸，b表示虛半軸，半焦距用c表示并且c2=a2+b2。你有嗎？
橢圓：喲，肚子里沒貨了就拿虛軸來充數呀！沒有就是沒有，干嘛還取那么好的一個名字，還“虛軸”呢，真是糟踏字！張大耳朵聽著吧！我不但有焦距，還有長軸、短軸呢！標準方程中的a表示長半軸，b表示短半軸，半焦距也用c來表示，但是它們三者之間的關系是a2=b2+c2。這些軸可都是實實在在的軸！我還有離心率e呢！e=ca，并且e∈（0，1）。虛偽的家伙，你有嗎？
雙曲線：唉喲，你的離心率才那么點范圍呀？我可比你大方多了，我的離心率e可屬于（1，+∞）！
橢圓：我還有準線呢！焦點在x軸上的橢圓的準線方程為x=±a2c，焦點在y軸上的橢圓的準線方程為y=±a2c.
雙曲線：老兄，那不值得你驕傲！我也有準線，并且和你的一模一樣！
橢圓：我有四個頂點，你有嗎？我看你那樣子也弄不出四個頂點來.
雙曲線：要那么多頂點把自己框得死死的干嘛！你瞧我，只有兩個頂點，而我的范圍卻是x≤-a或x≥a，多輕松。再瞧瞧你，嘖嘖，我真同情你，到死了你上面的點也只能在x=±a與y=±b圍成的矩形內活動。我差點忘了十分重要的一點，我還有兩條漸近線，焦點在x軸上的雙曲線的漸近線方程是y=±bax，焦點在y軸上的雙曲線的漸近線方程是y=±abx。漸近線的特點是它十分靠近雙曲線卻又永遠不與雙曲線相交，它們就像我們雙曲線的保鏢。你有嗎？
橢圓：哦，老弟，我不跟你比了，我總覺得咱倆有好多地方相似甚至相同，你家住何處？
有人說，這不是明擺著的嘛，“雙”曲線當然是指“兩條曲線”了，錯！雙曲線的兩支合并為一個整體，構成的應認為是“一條曲線”.那么為什么要叫“雙”曲線呢？因為它有兩支啊，繁瑣的叫法則應是“由兩支曲線合成的一條曲線”.數學中這種“名不副實”的稱謂很多哩！上次我們說到“橢圓非圓”，明明是橢“圓”，但它根本就不是圓.再如，直線方程y=kx+b中的“b”叫什么？叫做“在y軸上的截距”，它可為正，可為負，也可為0，所以它是直線y=kx+b與y軸交點的縱坐標，而決不是距離，所以有“截距非距”之說.這下該明白了吧？還不服！再看，什么叫做函數y=f（x）的“零點”？原來“零點”是“使函數f（x）的值為零的x的值”，呵呵，“零點非點”啊！學過復數的都知道，虛數單位是“i”，那么a＋bi（a，b∈R，且b≠0）被稱為“虛數”，但它是“虛無縹緲”的嗎？不是，它是實實在在存在著的.想當初，有數學家首先提出虛數單位和復數的理論，卻受到許多人的質疑，都認為虛數太“虛”了.后來雖發現復數理論有著廣泛的應用，對數學的發展具有重要的推動作用，但“虛數”這個稱謂卻延續下來了，也好，留著這個“歷史的足跡”，也會讓后人感到回味無窮.但還有人想不通，筆者在你們的“逼迫”下，思維不禁變得十分亢奮，請看函數y=|tanx|的圖象（如圖1），它是由無數條曲線組成的，你叫它“幾曲線”好？從整體上講，它仍是“一條曲線”.“雙”曲線非“兩條曲線”啊！
圖1
數學中的這些所謂“歪理悖論”表明的恰恰是數學家的智慧，給與我們深深的啟迪，那就是視野開闊、思維活躍.
二、 由雙曲線的漸近線想到的
提起雙曲線，人們立即想到的是雙曲線“獨具”的漸近線.雙曲線有漸近線，說是它的“特色”，可以；但說“獨具”，不恰當，圖1中的曲線竟有無數條漸近線：x=nπ+π2（n∈Z），所以說漸近線不是雙曲線的“專利”.初中研究過的反比例函數y=xk（k≠0），其圖象也是雙曲線，它有兩條漸近線，即x軸和y軸.指數函數y=ax（a＞0，且a≠1）的圖象只有一條漸近線，即x軸.對于指數函數圖象的漸近線，當時只有通過直觀來理解，不可能作嚴格的邏輯證明.但對于雙曲線的漸近線，我們還是可以有作為的.如雙曲線x2a2－y2b2=1（a＞0，b＞0），取其漸近線l：xa－yb=0，即bx－ay=0，在雙曲線第一象限內的半支上任取一點P（x0，y0），作PQl于Q（如圖2），則P點到直線l的距離PQ=|bx0－ay0|a2+b2.又x20a2－y20b2=1，解得y0=bx20－a2a，代入可化得PQ=b|x0－x20－a2|a2+b2=a2ba2+b2·1x0+x20－a2.請觀察其中的1x0+x20－a2，因為在第一象限，所以x0值的變化趨勢是無限增大，那么此式的變化趨勢就是無限接近于0. 在教材后面一章《導數》中，我們會學到，由于a2ba2+b2是一個固定的值，而1x0+x20－a2無限接近于0，那么P到直線l的距離PQ也無限接近于0，將直線l稱為雙曲線的漸近線，當之無愧吧！由于圖形的對稱性，用哪個象限內的點都可以.這里反映了數學的一種極其重要的思想方法，今后還要多次研究和應用.
圖2
還有個有趣的事實，不管是雙曲線x2a2－y2b2=1（a＞0，b＞0），還是雙曲線x2b2－y2a2=1（a＞0，b＞0），將等號右邊的“1”換成“0”，就得到它們的漸近線方程，即x2a2－y2b2=0和x2b2－y2a2=0.你說這個方程是幾次的？表面上看來是二次的，但它們是兩個一次方程的“合成”，即分別為y=±bax，y=±abx.
三、 雙曲線的“個性”
橢圓、雙曲線和拋物線統稱圓錐曲線，當然它們有一些共性，但在這里我們最感興趣的當然是雙曲線的“個性”.前面已述，它有漸近線，另外它的離心率屬于區間（1，∞），還有別的嗎？有哇！
（1） 包圍橢圓的是一個矩形，此矩形被稱為橢圓的輔助矩形.雙曲線也有輔助矩形，但夾在兩支曲線的內部；橢圓的輔助矩形永遠不會是正方形，但雙曲線的輔助矩形有可能是正方形，下面還要說到.輔助矩形的兩條對角線就是雙曲線的漸近線.
（2） 請看著圖3，將思緒放開，用一種浪漫情懷展開遐想，成語“亭亭玉立”不禁闖入心懷，那么偉岸，那么挺拔，那么俊秀，讓人心醉，讓人動容！但不是所有雙曲線都能取得如此優美的視覺效果，這大概與矩形鄰邊之比的取值有關吧？不錯，后面將進一步來研究.
圖3
（3） 在x軸右半軸上取點F2，使OF2=OC，則F2是雙曲線的右焦點.太簡單了，OA2=a，A2C=b，則OF2=OC=c.這是用幾何方法找焦點的好方法.現在過F2作垂直于漸近線的直線，垂足為E，RtOEF2是一個很奇特、很有趣的三角形.漸近線的方程為y=bax，直線EF2的方程為y=－ab（x－c），兩個方程聯立，解得x=a2c.此值可不是一般的數值哦，此直線正是我們接觸不久的準線.
其實不解方程組也可以得解，易知RtOEF2≌RtOA2C，則OE=a，EF2=b.過E作x軸的垂線，垂足為G，則由平面幾何知識，得OG=a2c.有人可能不熟悉這個知識，不要緊，換一個“武器”，設∠EOG=α，可得cosα=OEOF2=ac，則OG=OE·cosα=acosα=a2c.三角函數與平面幾何同源同根，只是表現形式不同，熟練掌握兩種武器，屆時用哪個方便就用哪個.這就叫做四通八達、左右逢源.這八個字對于數學學習的意義和作用就太大了，請大家在積極鉆研的過程中逐步揣摩吧.
（4） 當a=b時，得雙曲線x2a2－y2a2=1（a＞0）或y2a2－x2a2=1（a＞0），它們的實軸和虛軸相等，這樣的雙曲線被稱為等軸雙曲線.那么有沒有等軸橢圓呢？別引誘人上當了，等軸橢圓是不存在的.將圓稱為等軸橢圓不行嗎？不行，我們說了都不算，數學的理性精神不允許這樣說.
等軸雙曲線又有一些奇妙的特性，“等軸”，雖是廢話，但這些特性卻都是由“等軸”衍生出來的.圖4中有個正方形，是雙曲線的輔助矩形.反比例函數y=xk（k≠0）的圖象也是等軸雙曲線.
圖4
等軸雙曲線x2a2－y2a2=1（a＞0）和y2a2－x2a2=1（a＞0）有共同的漸近線，即輔助正方形的對角線y=±x；
（5） 等軸雙曲線的半焦距為2a，所以等軸雙曲線的離心率為2.數學中有個最優美的數，那就是“黃金數”5－12≈0.618，與黃金分割有關，本文不可能作詳細討論，只是“斗膽”提出2這個數也是非常優美的，可以說僅次于“黃金數”，聯系太廣泛了，這里不作討論.
圖4與圖3中的雙曲線，哪個更優美？圖4中的雙曲線“不胖不瘦”，雖不算“丑陋”，但比不上圖3中的雙曲線那么挺拔.前面問到什么樣雙曲線最漂亮？現在可以告訴大家的是，筆者認為，當圖3中的矩形短邊與長邊之比為“黃金數”時，這樣的雙曲線最漂亮.
四、 雙曲線趣題賞析
趣在何處？在上期《“玩”心太重的橢圓》中有過闡述，這里只重復八個字：風光無限，還是“好玩”！
例1 設雙曲線C與雙曲線E：x29－y216=1.
（1） 若雙曲線C和E有共同的漸進線，且C過點A（－3，23），則雙曲線C的方程為 ；
（2） 若雙曲線C和E有共同的漸進線，則雙曲線C的離心率為 .
解 析 （1） 的最佳解法為，設C：x29－y216=k，將點A的坐標代入，解得k=14，則雙曲線C的方程為4x29－y24=1.
（2） 由（1），知雙曲線C的離心率為53.
作為填空題，（1）可得滿分，可是（2）卻只能得0分.這可奇了怪了！滿足（1）的條件的雙曲線只有一個，可是滿足（2）的條件的雙曲線卻有無數個，可分為兩組，一組的焦點在x軸上，一組的焦點在y軸上，前者的離心率當然是53，后者的離心率為54.
點 睛 方程x29－y216=k對于簡化題解的作用不可忽視；只因題（2）“過于”簡單，就迅速輕率地導致“全軍覆沒”.這里的兩組雙曲線過去曾被稱為“共軛雙曲線”，若它們的離心率分別為e1，e2，則不難得1e21+1e22=1，道理很簡單，由a2+b2=c2，得a2c2+b2c2=1，即1c2a2+1c2b2=1.沒想到，一道簡單的題目涉及的幾個字母，做起“游戲”來還這么有趣，發人深省.
例2 若方程x22－|m|+y2m－3=1表示雙曲線，則m的取值范圍是 .
解 析 俗話說得好，“吃一塹，長一智”，這里可要小心了.由題意，得不等式（2－|m|）（m－3）＜0.1°若m≥0，則（2－m）（m－3）＜0，即（m－2）（m－3）＞0，得0≤m＜2，或m＞3；2°若m＜0，則（m＋2）（m－3）＜0，得－2＜m＜0.
綜上，m的取值范圍是（-2，2）∪（3，+∞）.
點 睛 題目雖小，卻飽含知識和思維的豐富營養哩！
例3 設焦點在x軸上，中心在原點O的雙曲線C的漸近線與以點A（0，2）為圓心，1為半徑的圓相切，雙曲線的一個焦點與點A關于直線y=x對稱. （1） 求雙曲線C的方程；
（2） 若P是雙曲線C上不在x軸上的動點，F1，F2分別為雙曲線的左、右焦點，從F1作∠F1PF2的角平分線的垂線，垂足為點N，試求點N的軌跡方程，并指出點N的軌跡是何曲線.
解 析 （1） 如圖5，因為點A（0，2）與F2關于直線y=x對稱，所以雙曲線的半焦距c=2，則雙曲線的方程可設為x2a2－y22－a2=1.
圖5
由已知，點A（0，2）到漸近線xa－y2－a2=0的距離為1，則2a2－a2+a2=1，解得a=1.
故雙曲線的方程為x2－y2=1.
（2） 設F1N與PF2的延長線交于Q點，由角平分線的性質，知PF1=PQ.
則由雙曲線的定義，知F2Q=PQ－PF2=PF1－PF2=2.
圓錐曲線的統一定義：平面內與一個定點的距離和一條定直線的距離的比是常數e的點的軌跡，當0
從以上定義可知，只要給出一個定點、一條定直線和離心率e的值，就可以確定相應的圓錐曲線.那么，怎么由一個定點、一條定直線和離心率e的值畫出圓錐曲線并能方便地演示給學生看呢？利用《幾何畫板》這個工具就能很好地實現這個目的，現介紹如下.
打開幾何畫板5.03迷你增強版，點擊編輯按鈕點參數選項選擇角度為弧度，精確度調為十萬分之一；畫一直線標簽為“定直線（準線）”，在直線右方取一點F并標簽為“定點（焦點）”.
取點A、B，標記B為中心，讓點A關于B旋轉180°得A′，構造線段AA′，在線段AA′上取點C；度量點C、A間的距離及點C、A′間的距離，計算|CA|與|CA′|的比值，標簽為離心率e，左右滑動點C可以調節離心率e的大小，將點C的標簽改為“左右滑動此點調節離心率”，隱藏點A、B、A′，隱藏距離|CA|與|CA′|的度量值，度量點F到直線l的距離并標簽為p（拋物線的焦半徑，對于橢圓和雙曲線，它的值等于|a21c-c|）.
調節離心率小于1（將會畫出橢圓），計算pe1|1-e2|并標簽為a（橢圓和雙曲線通用），計算a與e的積并標簽為c（半焦距，橢圓和雙曲線通用），計算a2-c2標簽為b（橢圓專用）.
因為定點F在定直線l的右方，所以定點F和定直線l分別為橢圓的左焦點和左準線.將點F向右平移c個單位得一點標簽為O，并將此點定義為原點建立坐標系，以點O為圓心作單位圓，在該圓上取點P，單位圓與x軸的交點標簽為Z，度量∠ZOP的值，因為橢圓的參數方程為x=acosα
y=bsinα，所以，計算acos∠ZOP和bsin∠ZOP的值，分別以這兩個值為橫、縱坐標繪制點M，以點M、P構造軌跡便可以得到橢圓；生成點P的動畫并設置按鈕，標簽為“橢圓動畫”.隱藏坐標系等.
將離心率調節為1，使橢圓的畫面消失.計算-|1-e|+p12并標簽為“拋物線調節量”，設計這個調節量是本文的獨到之處，目的是當調節離心率小于或大于1時拋物線不會出現.在定直線l任取一點G，度量點G的橫坐標XG，計算“拋物線調節量”與XG的和，并以這個值為橫坐標、0為縱坐標繪制一點H，過H作一直線與過點F且垂直于準線l的直線垂直，設垂足為N，將點N定義為原點建立新的坐標系.在準線l上任取一點J，度量點J的縱坐標yJ，計算y2j12p的值，以y2j12p的值為橫坐標，yJ為縱坐標繪制點M，選擇點M、J構造軌跡便可得到拋物線.生成點J的動畫并設置按鈕，標簽該按鈕為“拋物線動畫”.度量點M、F間的距離及點M到準線l的距離，計算這兩個距離的比值，該比值即為拋物線的離心率（值正好為1），按下“拋物線動畫”按鈕時，盡管點M、F間的距離及點M到準線l的距離在不斷變化，但是它們始終相等，即離心率的值始終為1.隱藏坐標系、點G、J、H等.
調節離心率大于1（小于1時只出現橢圓，等于1時只出現拋物線）時拋物線消失，此時c>a，計算c2-a2的值記為b雙，計算a21c的值，過點F作準線l的垂線，垂足為L，因為此時點F為雙曲線的右焦點，所以要將點L向左平移a21c個單位得到點O，將O標記為原點建立新的坐標系，以O和K構造圓，在該圓上取一點P，度量∠KOP的值.因為雙曲線的參數方程為x=asecα
y=btanα，所以，計算a1cos∠KOP、b雙?tan∠KOP的值，分別以這兩個值作為橫坐標和縱坐標繪制點M，以點M、P構造軌跡便可得到雙曲線.生成點P的動畫，并設置按鈕，標簽為“雙曲線動畫”，度量MF及M到準線l的距離，計算它們的比值（等于離心率的值），隱藏以上過程中的坐標系和輔助點等.
至此，整個課件制作完成.演示時，拖動調節點調節離心率小于1時得到橢圓，按下動畫按鈕，讓學生觀察動點到定點和定直線的距離的比有何變化.調節離心率等于1時得到拋物線，調節離心率大于1時得到雙曲線.通過以上的演示，加深學生對圓錐曲線統一定義的理解.
