時間：2023-05-30 10:07:39
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇排列組合練習題，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
關鍵詞：考試；高中數學；排列組合
■引言
排列組合作為代數課中一個分支內容，與其他教學模塊有著十分緊密的聯系，然而對于高中學生來說這卻一直是學習的難點，教師也普遍反映在教學排列組合的時候很難用簡潔明了的語言把要點闡釋清楚，因此學生在考試的時候往往會失分很多. 學生在學習排列組合時遇到的學習障礙不僅在這一模塊失分，還會嚴重影響到學生的學習數學的信心. 因此教師必須對學生學習排列組合時遇到的各種問題加以整理，并針對性提出解決策略，幫助學生克服這一學習難點.
■契機
筆者所在學校數學調研組為了解學生對排列組合的學習掌握情況進行了一次摸底考試，此次考試的內容包含了高中階段排列組合的所有知識點和題型，尤其是將各班數學教師整理出來的錯誤率較高的題目類型包含在內. 為了節省學生們的時間，此次摸底考試，學校力求以最少的題目囊括最多的題型和知識點. 由于此次摸底考試主要考查學生在學習排列組合中遇到的思維性問題或知識性問題，故考試題型全部設定為應用題，要求學生把解題過程都明確寫明.
經過任課教師和調研組教師再三商討，最終此次摸底考試共設置9個題目. 題目的背景和學生們日常生活都緊密關聯，例如獻血問題、排隊問題、分書問題等等. 這幾個題目盡可能多包含了排列組合中知識點，例如對于特殊元素和位置的排列問題、元素相鄰（或不相鄰）問題、某些元素固定排列問題、正難則反問題等等. 對這次摸底考試答題結果進行統計和分析，我們看到了學生在學習排列組合時出現的一些集中性問題.
■問題
對學生答題結果進行統計以后我們發現學生產生錯誤的地方相對集中.
例如：“班上某小組共有5位男生和3位女生，現在要求對他們進行排序，要求男生A不能站在隊首，男生B不能站在隊尾，請問一共有多少種方法.” 此次摸底考試中該題的正確率只有39.9%. 這題的答題結果能清楚反映出學生對排列組合中關于特殊元素和特殊位置的這一類型的問題掌握力度還不夠.
在深入對學生錯誤進行分析以后，我們發現，做錯該題的原因有多種.
1. 這其中有一部分學生是因為沒有正確理解題目的意思，所以在解題的時候根本無法下手，答題區域沒有涂涂改改，甚至一片空白，沒有任何解題頭緒. 這反映出學生們的數學閱讀理解能力較差，缺乏信心，不敢作答.
2. 有38%的學生沒有答對是因為沒有正確的列式. 這其中一部分學生是因為過于粗心，沒有認真仔細讀題就將數學公式帶入計算；除了粗心以外絕大部分學生是對這一類特殊元素和特殊位置的題目缺乏正確的解題思路. 有的學生簡單地認為A同學不站在隊首共有7種情況，B同學不站在隊尾也有7種情況，除去A、B兩位同學以后，只要將剩下6位同學進行排列組合看看共有多少種排列方法即可. 這樣做的學生不在少數，原因是他們僅僅考慮了一種A不在隊首的站法，而事實上，A同學不站在隊首必須分為在隊尾和不在隊尾兩種情況，如果A同學站在隊尾，那么B同學就可以有7種站法；如果A同學沒有站在隊尾，那么B同學就有6種站法. 這兩種情況的計算結果是不一樣的，絕大多數的學生都沒有考慮到這一特殊情況，說明對特殊元素和特殊位置題目掌握還不夠好.
3. 從一部分學生的答題結果來看，他們有基本的解題思路也考慮到了應該將A同學的情況進行分類，但是卻在分類的時候陷入了混亂. 有的學生不知道應該按照什么標準來進行分類. 有的學生在分類的時候出現了遺漏和重復的現象，例如某位學生把該事件分為三類：分別是①B站在隊首，A站在隊尾；②B站在隊首，A在中間；③B站在中間，A站在隊尾. 這樣的分類方法得出來結果必然是不完整的，他沒有考慮當B站在中間的時候A既可以站在隊尾，也可以站在中間的情況. 這一錯誤原因反映出來學生們在考慮這一類型題目的時候還不夠全面細致.
除了上述這一小題存在問題以外，類似的問題還存在于“將9本書平均分成3組”這樣的平均分配問題；“將6個歌唱節目和4個舞蹈節目進行排列，要求任何兩個舞蹈節目不得相鄰”這樣的元素不相鄰問題；“8本中文書和2本英語書任選5本，要求至少有一本英語書”這樣的“至少”或“至多”的排列組合問題.從此次摸底考試的結果分析中，我們可以總結出學生在學習排列組合時遇到的問題.
首先是對題目概念理解存在障礙，很多學生還不能明確區分排列和組合以及分配這三個完全不同的概念. 在實際做題的時候有的學生往往把要求排列的問題當做是組合問題去解決，把組合問題當做是分配問題去解決.
其次是有的學生在數學閱讀理解上存在障礙. 由于高中排列組合問題與生活都有一定的關系，學習排列組合實際上就是讓學生們運用所學知識去解決實際問題. 因此，在排列組合中往往會遇到很多問題情境，有的學生對這些問題情境如果較為陌生，就會產生數學閱讀理解障礙. 高中生的數學閱讀理解障礙主要表現為對題目的意思無法理解從而不會列式或是隨意列式，也有些學生不會正確使用排列組合的符號. 這些問題都說明了學生的數學語言轉換能力還十分低.
在排列組合中學生最常見的問題是無法找到正確的解題方法. 排列組合的題目是十分靈活的，題型也十分豐富，很多學生面對變幻復雜的題目找不到正確的解決策略，區分不了有序排列、無序組合，也不了解分類用加、分步用乘這一基本問題. 這必定導致學生無法正確選擇解決方法或是在解決方法的運用上存在明顯錯誤.
運算的錯誤在排列組合中表現得也較為集中，一部分學生是因為在運用公式進行運算的時候出現錯誤，另一部分學生是用排列組合公式化簡的時候出現錯誤.
以上這幾類問題，是高中生在學習排列組合時最常見的問題，因此必須采用有效的策略加以解決.
■反思
針對上述問題，筆者及時采用正確的解決策略來提高對排列組合理解和掌握程度.
1. 深化學生對概念的理解
對題目中所涉及的概念加以理解是解題的首要步驟，也是正確解答的根本保證. 因此筆者在復習加強課上首要就是幫助學生加深對概念的理解. 筆者為了消減學生對概念的陌生感，將一些日常生活中常見的情境引入了課堂教學當中，例如，在復習課上給學生創設了下列情境：“某列火車從本市出發，目的為北京，途經多站”，然后再把排列組合的問題添加進去. 這樣的情境練習可以幫助學生深入理解排列組合的意義，避免死記硬背. 在深化概念的過程中，筆者還增設了易混淆問題的辨析教學.例如分組問題和分配問題，筆者就進行了這樣的題目訓練：“將6個蘋果分給三個同學，第一個同學有3個蘋果，第二個同學有2個，第三個同學有1個”讓學生明確這樣的問題就是分組問題，而“將3個蘋果分給A同學，將2個蘋果分給B同學，將1個蘋果分給C同學”這樣的問題就是分配問題.
2. 重視學生思維訓練
排列組合問題解決除了要對概念進行正確理解之外，同時還要求學生有較強的思維能力. 筆者在以后教學中要求學生在解題的時候要有清晰的解題步驟，在每一步都要思考“我為什么要這么做”、“我這樣做符合題意么”、“我這樣的分類完整嗎”，讓學生自己用這樣引導性的問題訓練自己的思維，在解題過程中及時找到正確的解題思路，克服自己思維的不嚴謹，提高自己的邏輯水平. 因為排列組合題是一種思維的組合，這類題通常與實際生活相關，所以在排列組合的學習過程中，應該注重學生思維的訓練，將生活問題抽象為排列組合數學模型，再應用排列組合知識去解答.
3. 進行科學的專題訓練
排列組合問題雖然靈活多變，但是有著基本的題目類型和解題套路. 如果學生扎實掌握這些題目類型，則能大大提高自己的解題能力. 這些基本題目類型包括“分類與分布問題”. 分類問題要用分類計數原理，而分布問題要用分布計數原理；“特殊元素與特殊位置問題”應當以元素分析為主，全面考慮特殊元素的位置，在此基礎上再處理其他元素；“元素相鄰問題”可用捆綁法進行，將若干元素當做一個整體來進行排列；“相離問題”的主要做法是先解決其他元素，再把題目要求不能相鄰的元素進行排列. 此外，還有“正難則反”問題、“定序問題”等等.
■小結
在數學教學中開展研究性學習是指在教學過程中，為學生創設一種類似于科學研究的情景和途徑，讓學生以類似科學研究的方式去主動探索，合作學習，獨立獲取知識。
一、創設研究情境，激發研究欲望
創設一定的教學情境是實施“研究性學習”的基礎。蘇霍姆林斯基說：“人的內心深處，都有一種根深蒂固的需要，就是希望自己是一個發現者、研究者、探索者”，因此教師在教學中必須注重學生的這種“根深蒂固”的心理需求，為研究性學習打下堅實的情感基礎。然而，對于低年級學生來說，由于其生活經驗有限，所以更應該用學生熟悉的且比較容易引入課堂的內容、材料或生活情境來創設一定的研究情境，以激發學生的“研究”欲望。如在教學“平均分”一課時，教師創設故事情境“兩只笨熊分餅”。通過教師生動形象的故事講述來激發學生積極主動地探索問題，“為什么兩只笨熊最后都沒有吃到餅？”從而聯系生活探索“平均分”的概念和生活中的“平均分”現象。再如，在教學“三角形內角和”的時候，教師可以從兩副三角板入手，讓學生提出猜想“是不是所有的三角形的內角和都是180O呢？”然后，學生可通過親自動手畫任意的三角形進行測量驗證，也可以任意剪一個三角形通過折一折，或剪掉三個角拼一拼來驗證。在此動手操作的過程中，學生不僅興趣高漲，且讓學生經歷了知識形成的過程。
二、提供研究材料，體現研究價值
讓學生進行“研究性學習”，必須有一定的載體，而開放性的學習材料則是實施“研究性學習”的有效保證。當然，開放性的學習材料有很多，但對低年級數學教學中實施“研究性學習”來說，主要是向學生提供一些開放性的練習題。因為數學開放題的條件可以是多余的，答案可以不是唯一的，解題的策略和方法也比較靈活，即它有開放性的特點，發揮各自想象力，展開數學思維和方法交流的機會，并且大部分學生都能參與，都樂于參與，這樣學生的主動性才能得到充分發揮，從而也就體現了“研究性學習”的根本宗旨。如在教學“排列組合”一課后，我上了一節數學活動課，主題內容是“我是小小研究者”，將數學課上學的知識進行拓展延伸。教師根據學習內容出示問題：（1）四人握手每兩人握一次，能握幾次？5人、6人、7人、100人呢？（2）3個數字可以排列成幾個兩位數？4個數、5個數、6個數……各能排列多少個兩位數？教師提供出有價值的探索問題后，學生通過動手、合作、實踐，自主探索出了排列組合的規律，學會了用式子計算，使得復雜問題變得簡單化。
三、倡導合作學習，培養研究能力
采用合作學習形式是實施“研究性學習”的途徑。學生有了研究的目標，就要積極地收集資料進行研究。研究性學習的基本組織形式是小組合作學習，通過組員之間的研究、交流，找到解決問題的方法，從而提高學生的創新意識和合作精神，培養研究能力。如：在教學“能被3整除的數的特征”一課時，教師采用“提出問題——猜想假設——論證猜想——解決問題”的教學模式。考慮到學生個人研究力量的薄弱，教師可采取小組合作的學習模式并鼓勵小組間展開競爭，比一比看哪個小組最先找到能被3整除的數的特征。每個小組的研究氣氛都很濃，積極性都很高漲。經過大家大膽的猜想、驗證，學生找出了能被3整除的數的特征。
“研究性學習”充分體現了學生的自主性，在實踐中學生不僅學會了學習，經歷了知識形成的過程，而且培養了研究能力。因此，在小學數學教學過程中，教師要引導學生及時發現問題、積極思考問題、主動探究問題，讓學生真正成為學習的主人，使他們在研究性學習中體驗成功、體驗快樂。同時，使他們在動手、動口、動腦等各方面的能力得到發展，健康成長，快樂成才。
一、引起中學生數學應用意識和能力差的原因
1、對數學的價值認識不足。
“科學技術是第一生產力”，“科學技術的基礎是應用科學，而應用科學的基礎是數學”。這一論述揭示了數學在生產力中的巨大作用。數學作為從量的方面處理現實世界中各種關系的科學，當然也要處理有關生產關系的問題。這就是數學的價值。但由于歷史的影響，教師們在過去的教學中過份強調數學的邏輯性、嚴謹性、系統性和理論性，寧可一遍遍地去重復那些嚴謹的數學概念、講授那些主要為解題服務的技巧，卻很少去講數學的精神、數學的價值、數學結論的形成與發現過程、數學對科學進步所起的作用等等內容。這使學生對數學的認識片面化、狹隘化，比如許多學生就認為“數學不過是一些邏輯證明和計算，”甚至認為“數學只是一個考試科目。”
2、用數學的意識差
用數學的意識，簡言之就是用數學的眼光，從數學的角度觀察事物、闡釋現象、分析問題。
意識是一個思想認識問題，也是一種心理傾向，其重在自覺性、自主選擇性，它需要在較長時間中通過一定量的實踐才能形成。
3、數學的能力弱（不善于建立數學模型）
數學課中要培養學生數學應用意識和能力，數學的建模是關鍵。我們面對的是學生，首先應從學生的實際情況分析，學生的閱歷有限，對應用問題的背景不熟，難以從中構建出數學模型，阻礙了對實際問題的解決。
二、 培養應用意識以數學教材中的應用問題為切入點
1、教材貼近現實，每一章的序言都編排了一個現實中的應用問題，引入該章的知識內容，以突出知識的實際背景。如在第三章《數列》以趣味話題：“國王對國際象棋棋盤發明者獎勵的麥粒數”的計算作為章頭序言，激發學習欲望，增加教材內容的趣味性。
2、以實際例子引入“具體問題”的研究。高中數學的十章內容中，分別就概念引入、實例說明、數學表示等方面有三十一處都恰當地運用了實際問題和具體情景。如用“不同重量信件的郵資問題”表示分段函數，用功和位移的關系引入向量數量積的概念等。實例引入增強了問題的實際背景，為順利解決問題作了鋪墊。
3、例題中的應用問題。例題中安排應用問題，一方面可以培養學生閱讀能力、分析問題、解決問題的能力，培養學生的應用意識，而且通過范例講解，使學生掌握解決應用問題的一般思想和方法。
4、練習、習題、復習題中增加了應用問題的分量。為使學生鞏固所學知識，逐步提高分析問題、解決問題的能力，新教材在練習題、習題、復習題中增加了大量的應用問題，量大面寬，情景新穎，融知識性、趣味性、自主實踐性于一體。
三、以數學應用題問題的教學實踐為著力點
1、注重培養學生基本方法和解題思路。只有在教學中結合具體問題，教給學生解答應用題的基本方法、步驟和建模過程、建模思想，才能為培養學生的應用意識，提高學生分析問題、解決問題的能力打下堅實的基礎。
教學應用題的常規思路是：將實際問題抽象、概括、轉化――數學問題――解決數學問題――回答實際問題。具體可按以下程序進行：
（1）審題：由于數學應用的廣泛性及實際問題非數學情景的多樣性，往往需要在陌生的情景中去理解、分析給出的問題，舍棄與數學無關的因素，抽象轉化成數學問題，分清條件和結論，理順數量關系。為此，引導學生從粗讀到細研，冷靜、縝密地閱讀題目，明確問題中所含的量及相關量的數學關系。
（2）建模：明白題意后，再進一步引導學生分析題目中各量的特點，哪些是已知的，哪些是未知的。是否可用字母或字母的代數式表示，它們之間存在著怎樣的聯系？將文字語言轉化成數學語言或圖形語言，找到與此相聯系的數學知識，建成數學模型。
（3）求解數學問題，得出數學結論。
（4）還原：將得到的結論，根據實際意義適當增刪，還原為實際問題。
2、引導學生養成善于歸納總結的良好習慣。為了增強學生的建模能力，在應用問題的教學中，及時結合所學章節，引導學生將應用問題進行歸類使學生掌握熟悉的實際原型，發揮“定勢思維”的積極作用，可順利解決數學建模的困難，如將高中的應用題歸為：①增長率（或減少率）問題；②行程問題；③合力的問題；④排列組合問題；⑤最值問題；⑥概率問題等。這樣，學生遇到應用問題時，針對問題情景，就可以通過類比尋找記憶中與題目相類似的實際事件，利用聯想建立數學模型。
3、選擇合適的教學方法。高中新教材的數學應用問題遍及教材的各個方面，教學時針對不同內容，有的放矢，各有側重，就會取得較好的效果。
（1）章頭序言，指導閱讀，留下懸念。對圖文并茂的章頭序言，由教師簡單提出或由學生閱讀，使學生稍作碰壁，留下解題懸念，增強解決問題的欲望。
（2）重視例題的示范作用。例題是連接理論知識與問題之間的橋梁，示范性強。因此在講解例題時應在分析題目各個量的特點關系、建模、解決數學問題、還原為實際問題諸環節都應很好地起示范作用，教師應重視例題的分析與講解，積極進行啟發式教學，培養學生分析問題、解決問題、尋求基本實際模型的能力，重視數學理論知識與實際應用的聯系。
（3）指導練習，鞏固方法。充分運用課本的練習題、習題、復習題，讓學生自己動手、動腦，運用所學的知識解決實際問題。練習題位于具體的理論知識后面，建模方向性強，教師只需稍作指導；而習題則更多利用教師批改作業的機會，主要糾正數學語言轉化過程及解題的規范過程；復習題由于綜合性強，學生解決有困難，教師要給予必要的指導、提示。
一、訓練問題解題法
為培養學生的應用意識，提高學生分析問題解決問題的能力，教學中首先應結合具體問題，教給學生解答應用題的基本方法、步驟和建模過程、建模思想。
教學應用題的常規思路是：將實際問題抽象、概括、轉化——數學問題、解決數學問題、 回答實際問題。具體可按以下程序進行：
（1）審題：由于數學應用的廣泛性及實際問題的多樣性，往往需要在陌生的情景中去理解、分析給出的問題，舍棄與數學無關的因素，抽象轉化成數學問題，分清條件和結論，理順數量關系。為此，引導學生從粗讀到細研，冷靜、慎密的閱讀題目，明確問題中所含的量及相關量的數學關系。對生疏情景、名詞、概念作必要的解釋和提示，以幫助學生將實際問題數學化。
（2）建模：明白題意后，再進一步引導學生分析題目中各量的特點，哪些是已知的，哪些是未知的。是否可用字母或字母的代數式表示，它們之間存在著怎樣的聯系？將文字語言轉化成數學語言或圖形語言，找到與此相聯系的數學知識，建成數學模型。
（3）求解：解出數學問題，得出數學結論。
（4）還原：將得到的結論，根據實際意義適當增刪，還原為實際問題。
例：某城市現有人口總數100萬人，如果年自然增長率為1.2％，寫出該城市人口總數y(人)與年份x(年)的函數關系式。
這是一道人口增長率問題，教學時為幫助學生審題，我在指導學生閱讀題時，提出了以下要求：
——粗讀，題目中涉及到哪些關鍵語句，哪些有用信息？解釋“年自然增長率”的詞義，指出：城市現有人口、年份、增長率，城市變化后的人口數等關鍵量。
——細想，問題中各量哪些是已知的，哪些是未知的，存在怎樣的關系？
——建模，啟發學生分析這道題與學過的、見過的哪些問題有聯系，它們是如何解決的？對此有何幫助？
學生討論后，從特殊的1年、2年…抽象歸納，尋找規律，探討x年的城市總人口問題： y=100·(1+1.2%)x。
二、引導學生將應用問題進行歸類
為了增強學生的建模能力，在應用問題的教學中，及時結合所學章節，引導學生將應用問題進行歸類使學生掌握熟悉的實際原型，發揮“定勢思維”的積極作用，可順利解決數學建模的困難，如將高中的應用題歸為：①增長率（或減少率）問題②行程問題③合力的問題④排列組合問題⑤最值問題⑥概率問題等。這樣，學生遇到應用問題時，針對問題情景，就可以，通過類比尋找記憶中與題目相類似的實際事件，利用聯想，建立數學模型。
三、針對不同內容采取不同教法
高中新教材的數學應用問題遍及教材的各個方面，教學時只要針對不同內容，有的放矢，各有側重，就會取得較好的效果。
1.章頭序言，指導閱讀，留下懸念。對圖文并茂的章頭序言，由教師簡單提出或由學生閱讀，使學生稍作碰壁，留下解題懸念，增強解決問題的欲望。
2.重視例題的示范作用。例題是連接理論知識，與問題之間的橋梁，示范性強。因此在講解例題時應在分析題目各個量的特點關系，建模，解決數學問題、還原為實際問題的諸多環節都應很好的起示范作用，教師應重視例題的分析與講解，積極進行啟發式教學，培養學生分析問題、解決問題、尋求基本實際模型的能力，重視數學理論知識與實際應用的聯系。
3.指導練習，鞏固方法。充分運用課本的練習題、習題、復習題，讓學生自己動手、動腦，應用所學的知識解決實際問題。練習題位于具體的理論知識后面，建模方向性強，教師只需稍作指導；而習題則更多利用教師批改作業的機會，主要糾正數學語言轉化過程，及解題的規范過程；復習題由于綜合性強，學生獨自解決有困難，教師要給予必要的指導、提示。
4.課外閱讀，補充提高。對于不作教學要求的閱讀材料，根據教學進度提出閱讀要求，布置學生進行課外閱讀，培養學生的閱讀能力，擴大知識面，激發學生的學習興趣。
5.實習作業，重視實際操作與團結協作。完成實習作業，可以打破單一沉寂的課堂教學氛圍，激發學生的探索精神，培養學生的實踐能力，進一步培養學生應用數學的意識和創新能力。但實際問題的因素是錯綜復雜的，這就要求學生在調查、分析、研究的基礎上，抓住本質，通過篩選，去粗取精，結合數學知識，進行建模解決實際問題。如第五章《三角函數》中的實習作業，對不能直接測量的兩點的距離，教師選定符合要求的地點，組織學生實際測量，通過計算器進行計算，學生興致很高，特別是對“已知兩邊和一對角”解三角形的三種情況，通過動手操作，實地測量，加深影響，激發了學生的探索精神，增強了學生的感性認識。
6.研究性課題，重視自主探究。“研究性課題”是新教材中的一個專題性欄目，具有探究性和應用性的特點，它既是所學內容的實際綜合應用，又對學生探究和解決問題具有較好的訓練價值。
“研究性課題”，一個有關分期付款的問題，因為很多人一次性地支付售價較高的商品款額有一定困難，另一方面不少商家也不斷改進營銷策略，方便顧客購物和付款，它與每個家庭的日常生活密切相關，在今天的商業活動中應用日益廣泛。對它的探究將會引起學生極大的興趣，教學這一課題時，應突出以學生探究為主，教師點拔、介紹為輔，教師不斷提出問題，介紹情況，啟發誘導。鼓勵學生研究和探索。
第一步，讓學生閱讀教材中的方案表，明確每個付款方案的次數、方式。
第二步，引導學生探究第二種方案，即分6次付清，購買后第2個月第一次付款，再過2個月第2次付款……購買后12個月第6次付款，月利率為0.89％，每月利息按復數計算。
首先，學生根據要求試做，不少學生得出每期付款多少元，也有學生得出每期付款多少元。這時教師不必指出對錯，進一步分析、調整學生思維，這兩種方式對誰有利？學生計算后，自然得出前者對顧客有利，商家吃虧，而后者對商家有利，顧客吃虧，都不符合買賣公平的原則。
【關鍵詞】 有序思考 滲透 數學思想方法
“滲透”就是把某些抽象的數學思想逐漸“融進”具體的、實在的數學知識中，使學生對這些思想有一些初步的感知或直覺，但還沒有從理性上開始認識它們。數學思想方法是數學知識的精髓，又是把知識轉化為能力的橋梁。一個充滿教育智慧的教師，不僅要教給學生前臺的基礎知識，更要教給學生后臺的數學思想方法，讓學生真真地學會數學思考。讓學生獲得基本的數學思想方法，是小學數學新課程教學改革的新視角之一，課標還在關于“數學思考”的目標中提出“在解決問題的過程中能進行簡單的，有條理的思考”。那么，怎樣培養學生進行有序思考？怎樣的學習內容和學習方式對培養學生問題解決利用“有序性”思考的效果好些呢？筆者進行了一一梳理。
1 培養學生“有序性”思考能力是可行的也是必要的
有序思考是學生按照一定的順序，使其不遺漏又不重復的一種思維方法。學生的有序思考能力不是與生俱來的，也不是在哪天突然間就會了的。而是通過數學內容的學習和課堂教學中有意識的培養逐步形成的。北師大版實驗教材中，有序性思考的教學內容，在各個領域的教學中都有滲透，幾乎每個年級都滲透“有序思考”的方法，（如下表）這使學生在解決問題的過程中自覺地運用了這一思想方法。
以一年級的學生為例，由于年齡小，他們的思考常常是無序的，想到哪兒就說到哪兒。這更需要教師在平時的教學中逐步的滲透，培養學生養成有序思考的習慣，使學生在潛移默化中學會學習和有序的思考。
例如：小學數學北師大版一下的數學書上第60頁中有這樣一道題：下面（ ）里可以填什么數？10+30>（ ）、20+（ ）
在做這道練習時，我還是多留了個心眼。我先讓學生獨立思考，自己嘗試。正如同事所言，我發現大部分同學只寫了一種方法。但學生真的只是這么想的嗎？在討論交流10+30>（ ）的時候，學生爭先恐后地發言，說出了很多的答案，結果括號里寫不下了。我故意把問題拋給學生：“怎么想，不重復，也不漏掉，能一下子說出所有的答案。有什么好辦法嗎？”學生陷入了沉思，馬上有一個同學首先舉手了：“括號里的數只要小于40就行了。”真的如此嗎？我讓學生討論一下，大家興奮地發現，果然可以按照這樣的規律寫，一下子寫出所有的數了。完成第2題就簡單了。經過思考，學生發現，20+（ ）（ ）、60+（ ）
總之，只要我們教師細心地觀察、積極地引導和訓練，一年級的學生也會在我們的數學課堂上張開有序思考的翅膀。在開放練習中，學生有序思考的能力得到提高，學生發現了規律，提升了思維的層次。只要我們能做個有心人，能持之以恒，學生就能逐步形成有序地、全面地思考問題的意識，進而達到《課標》要求，使學生在現實生活、社會實踐中觀察事物、發現問題、分析問題等各方面形成有序思考的能力。
2 在探究中滲透“有序性”思想，培養學生的有序思考習慣
邏輯思維能力應該從小抓起，通過各個教育環節，潛移默化地、循序漸進地、不間斷地進行。首先要從培養學生潛在的有序性思考入手，經過發展潛創造力，培養良好的創造情境動機，然后轉變為現實創造力，實現了對學生邏輯思維能力的培養。在有序性的教學過程中，我們用創造學理論指導教學，注重對學生創造性思維的人格特征的培養。
例如：北師大版五上《旅游費用》一課的教學中，學生在計算這樣一道題：某小學四年級155人去秋游，大客車40個座位，車費1000元；面包車25個座位，車費650元，有哪些租車方案？哪種方案最省錢？結果在全班匯報時發現，學生的思考都是無序的，想到一種方案就算一種，出現了重復和遺漏。生1：我有兩種方案。第一種全租大客車4輛，共4000元，第二種全租面包車7輛共4550元，所以全租大客車省錢。生2：我還有補充。還可以租3輛大客車，2輛面包車，共4300元……
在這樣的情況下，教師有意設置認知沖突，促使顯示另辟蹊徑，進行數學思考。于是引導學生進行反思：怎樣才能做到不重復又不遺漏呢？在引導學生有序的思考后，得出所有的方案，并列成表格。（如下表）
最后得出：租2輛大客車，3輛面包車最省錢。
這樣的探究才是學生最迫切需要的，是在學生的最近發展區，才能最充分地調動學生的內部動機，而探究的結果也將成為學生記憶最深刻的知識。通過引導學生進行反思，比較其前后兩種方法的異同，有利于學生發現其中的規律，學會有序思考，從而提高學生思維的質量，培養學生高水平的數學思維。“有序性”數學思想方法也得到了滲透，培養學生養成了有序思考的習慣，使學生在潛移默化中學會學習和思考。
又如：《搭配中的學問》一課，課中出現的搭配衣褲的情境，我們如何幫助學生從這些生活現象中提取數學信息，使學生學會簡單、易行的有序性思考方法，從而培養學生的數學能力，這是我們應該重點關注的。從事件現象到數學符號，這個產生過程非常重要。教學中，教師盡可能請學生根據要求，用卡片動手擺一擺。之后設置了衣服卡片不夠用的情況，師問：“沒有卡片怎么解決？”學生就可能會用許多符號來表示這些實物、字母、數字、幾何圖形等，在反饋時，發現學生已經有了多種表示方法，我就讓學生展示這些方法。
方法1：
方法4：3×3=9（套）。生：第一件上衣分別搭配三條褲子有三套，一共有三件上衣和三條褲子，是3個3，就是9套。
生：上衣有三件，只寫一個字不能分出是哪件，寫多了字又太麻煩，所以，我用衣1、衣2、衣3來表示，褲子有三條，同樣用褲1、褲2、褲3來表示，這樣連線搭配后，也是3個3，就是9套……
這樣，可以充分暴露學生個性化的思維習慣方式，且他們主動參與的熱情也將會更高。學生可以從上衣出發考慮，也可以從褲子出發，滲透有序思考的意識，思維層次就更高了。“排列與組合”是一種思維有序性的教學。這部分知識有許多生活原型，縱觀“創設問題情境――建立數學模型――解釋與應用”的過程，讓學生充分經歷“排列與組合”這一數學知識再發現、再創造的過程，激勵和尊重學生多樣化的獨立思維方式，實現個性化的學習。由此想到，教學有三重境界：一是教知識；二是教方法；三是教思想。新課程下的小學數學比以往更加重視了數學思想方法的蘊涵，我們在平時的教學中也應該及時地對數學思想、方法進行提煉、歸納和概括，應該引導學生靈活地運用數學思想方法解決數學問題，讓數學思想方法逐步深入人心，最終內化為學生的數學素養。
3 在練習中滲透“有序性”思想，提高學生的解題策略能力
練習題是小學數學教材的重要組成部分，是學生進行有效學習的重要載體。在課改實踐中，有些教師比較重視例題的教學，卻不屑對課本習題作精細化的研究，以致習題的功能被弱化，習題中隱含的一些有價值的因素未能被充分開發與利用，教材的意圖不能凸顯。其實，只要我們多思考它對提升學生思維、促進學生發展的價值，則看似簡單的習題背后蘊藏著豐富、深刻和生動，一些練習題還大有文章可做。
3.1 善于運用針對性練習。幾乎每個年級都安排了不少“有序思考”的練習，如（以北師大教材為例）一年級上冊書上的+=6，7-=；三年級上冊“搭配中的學問”；四年級下冊“數圖形中的學問”、“圖形中的規律”等等。教師應善于發現這部分針對性練習，做到心中有數。例如有這樣一道練習題：給一本書編頁碼，一共用去732個數字，這本書一共有多少頁？按照每個頁碼所用數字的個數分類：①只用一個數字的有1～9頁，共用了9個數字；②用兩個數字的有10～99頁，共用了2×（99-9）=180（個）數字；③余下的（732-180-9）個數字用來編三位數的頁碼，可以編（732-180-9）÷3=181（個）頁碼。于是可以求出這本書一共有9+90+181=280（頁）。有些數學問題，由于條件與問題之間的聯系不是單一的，情況比較復雜，為了解決問題的方便，需要對各種情況加以分類，有序的逐類求解，然后綜合得解。
通過一些針對性練習，使學生能按照一定的條理，朝著有利于解題的思維方向去思考。教師對教材中練習的深入思考，對自己閱讀教材的能力是一種提升，教師有意識的引導學生有序地思考，學生的學習會更加的有效。一次小練習，對教師和學生來說都是一次思考的提升，有思有得，在不斷的思考中教學相長。
3.2 充分挖掘練習的內在價值。我們平時在做練習時往往滿足于得到正確答案，而忽略了答案背后所隱含著的更為深刻的思維引導價值。學生的有序思考能力正是通過數學內容的學習和課堂教學中有意識的培養逐步形成的。因此，教師要走出“為練而練”的誤區，合理地對習題進行深度挖掘，舉一反三。像上面的20+（ ）
3.3 對一題多解合理優化。一題多解，有利于挖掘題目信息，聯貫所學知識，培養學生發散思維；改變問題背景，多題一解，建模歸類，有利于培養學生的收斂思維，從而加深學生對數學知識的深刻理解，更重要的是它擴大了學生的認知空間，激發學生創造靈感，培養學生的創新欲望，訓練學生思維的變通和求異性。但我們要引導學生（特別是中下學生）從多種解法中比較出方法的優劣。
例如：前面《搭配中的學問》搭配衣褲的情境，學生展示了5種比較典型的方法，教師組織比較，問：“這些方法你喜歡哪一個，為什么？”生1：第1種方法好。因為他用表示上衣，用表示褲子，看起來很清楚。生2：第5種方法好。因為他有文字又有數字，每一件衣服的編號都不一樣，一看就知道有三件。生3：第4種方法最好。因為一件衣服分別搭配三條褲子有三套，一共有三件衣服，就是3個3，列式就是3×3=9（套）……
方法本身沒有好壞，但在具體題目中有運算繁簡之分，思維上有難易之別，書寫上有長短之分，不同的同學，元認知起點不同，選擇也不一樣，但我們要學會去選擇。因此，我們要通過引導學生進行反思，比較其異同，有利于學生發現其中的規律，學會有序思考，使多種多樣的算法不再僅僅是某些學生的突發奇想，而成為按照一定方法有序思考的必然產物，從而提高思維質量，培養高水平的數學思維。
3.4 重視方法的具體指導。教學時，教師不能孤立地教學其中的某種策略，而應了解編者的意圖，有機地將前后策略聯系起來，提高策略教學的有效性。？要培養學生的有序思考能力，特別是對于低年級的孩子來說，方法的具體指導是十分重要的。例如：在數的組成這一練習中，為了幫助學生有序化地思考，教師需要借用一種簡便易行的方法幫助學生分析。如圖： 可以先打框，問學生怎么排比較好。有了這個模式，學生的思維更有序了。
同時，我們需要對學生已有的認知經驗作必要的了解，從而來修正自己的教學設計。比如，學生在學習《排列組合》之前是否接觸過類似的數學問題。在二年級的《直線和線段》這一課中，教師教學數線段方法并使之優化時，就曾經講過通過計算的方法。如：下圖里有幾條線段？
這實際上已經蘊涵著組合的思想，即點與點的組合。用“4+3+2+1=10”的方法計算，很快地就可以算出結果。這為數三角形、長方形奠定基礎。不過小學生學習的重點還是經歷這種探究過程，不能急于概括算法。我們如何有效地利用學生的認知起點為學生的思維能力發展服務，這是一個永遠值得研究的課題。
總之，要抓住每次練習機會，給學生充足的思考時間，并給學生一些具體的指導，讓他們漸漸養成并學會有序思考。有序思考的步驟一般如下：①有序地思考的第一步：提取信息，瞄準目標。②有序地思考的第二步：觀察聯想，盤點家底。③有序地思考的第三步：關聯利用，擇決途徑。④有序地思考的第四步：鑒別優劣，規范表述。
4 及時總結梳理所滲透的數學思想及方法，深化學生的思維
對本節課所滲透的數學思想及方法進行總結梳理。這是深化學生思維的重要內容。學生對所學知識有無深刻的理解和認識，就要看他對整節課堂學習中知識發生、發展過程中所體現的數學思想方法的認識程度。對學生的發展而言，學習的價值不只是記住幾個數學結論，解決幾個習題而已，而是讓學生在解決問題的過程中體會到解決問題是可以有不同策略的，這些解決問題的策略，滲透著數學的思想方法在里面。當學生能用自己的語言表達對問題的理解，對常見的數學思想方法有一定認識的時候，學生的思維才能真正得到升華。
例如：“用0、3、5、6能組成哪些四位數？”這一練習題，學生看完題目就開始寫了，有些學生的思考是無序的，寫出的數字都是雜亂無章的，如3560、6530、5036等，但有些學生的思考是有序的，在匯報時，根據學生匯報板書：
生1：3056、3560、6530、6053、5630、6035
生2：3056、3065、3506、3560、3605、3650
5036、5063、5306、5360、5603、5630
6035、6053、6305、6350、6503、6530
引導學生對兩種方法進行比較，師問：為什么兩組數字相差這么多？你能比較出兩種方法的不同嗎？學生討論后，教師進行總結：用一些給定的數字組成多位數時，先確定最高位上的數字，然后依次往下排列，這樣可以使得到的數比較完整，而且易于比較。這是一種有序思考問題的方法，有了這種有序思想，就有了思維的方向，也就有了行動的方向。
在小結時都應該引導學生結合過程知識進行高度概括。讓學生深刻體會到數學思想這個“隱身人”在解決問題中的作用。在小結中不斷讓學生體會常見的數學思想方法，如：函數與方程思想，數形結合思想，分類討論思想，化歸與轉化思想。等等，能讓學生的思維能達到一個較高的思維水平，能讓學生用數學來思考問題，分析問題，解決問題，從而提高學生的整體數學水平。
總之，有序性思考是最有利于培養學生的右腦智力，使左右腦協調發展，把抽象思維和形象思維有機的結合起來的一種教學模式。作為小學教育工作者，要在課堂上有意識的引導學生，滲透有序思考的數學思想，來解決一些有序性思考的問題，逐步培養學生的邏輯思維能力。只有經過邏輯思維，人們才能達到對具體對象本質規定的把握，進而認識客觀世界。因此，我們的課堂應該是學生感受數學思想的啟迪課、運用數學方法的訓練課。它對學生今后的數學知識建構、其他學科的探究學習乃至終身學習的能力發展都將大有裨益。
參考文獻
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關鍵詞：活用教材；直觀教學；抽象思維
新課標提出，把抽象的數學知識直觀形象化，使學生容易接受，同時又要正確處理好直觀與抽象的關系。可在實際教學中，發現很多教師只注重“生活化”與“情境化”，卻忽視學生抽象思維能力的發展。學生學到的只是一些零碎的、沒有系統的知識，不能把已學知識整合到原有的知識結構中，學生的抽象概括能力得不到很好的發展。筆者認為，可以以活用教材為突破口，處理好直觀教學和抽象思維的關系，充分發揮直觀教學為抽象思維服務的效能。
一、借直觀來想象，便于清晰地抽象
三角形三邊的關系是教學中的難點。教材中給出10 cm、6 cm、5 cm、4 cm的小棒各一根，讓學生分別選三根小棒圍一圍，從而發現三角形兩條邊長度的和大于第三邊。備課時我就思考，每次選用三根小棒，學生要圍4次，怎么圍還要用到排列組合的知識。對于學生來說研究的情況比較多，并且對發現規律沒有太大的幫助。感覺教材的設計過于復雜，結論的得出又比較困難，如何讓學生理解呢？
我在教學中進行了創新，只要學生準備3根小棒：10 cm、5 cm、4 cm，教師示范，把10 cm的小棒放在桌上，5 cm和4 cm的小棒放在它的上面，這時能圍成三角形嗎？學生觀察小棒，發現不能圍成三角形，因為兩個小棒的和都沒有10 cm長，把這兩根小棒往上拉中間的缺口就會越來越大，由此讓學生舉例，像這種情況還有哪3根小棒也不能圍成三角形，學生會說出很多，再讓學生用一句話來概括在什么情況下3根小棒不能圍成三角形。再研究小棒長度為10 cm、6 cm、4 cm的情況，得出兩邊和與第三邊相等也不能圍成三角形。最后討論在什么情況下能圍成三角形。
這一教學過程讓學生在觀察小棒的基礎上進行想象，然后進行類比推理，從而發現結論，雖然觀察的環節很簡單，卻借有形讓學生想無形，由一種推到一類，由特殊想到一般，為學生的抽象搭了一個臺階，學生拾級而上，自然就抽象出三角形三邊的關系了。
二、借情境來操作，降低抽象的難度
教材中有的知識與學生的生活聯系不大，理解起來比較困難，可以設計一定的情境，讓學生借情境來操作，縮小直觀與抽象之間的距離。如“點到直線的距離”這一知識比較抽象，如果如教材所述去教學：從A點向已知直線畫一條垂直的線段和幾條不垂直的線段，量一量這些線段的長度，你有什么發現？直接讓學生量長度，學生不理解研究的目的和價值，就不能靈活運用點到直線的距離這一知識去解決相關問題。
可以對教材內容進行改進，先出示一個點，代表老師的家，再出示一條線，是老師經常并喜歡去的美食街，再任意作幾條線，代表老師家到美食街的路，讓學生依照老師的習慣在自己的本子上
把圖畫出來，量一量你所畫的幾條路分別是多長，并標下來，再多畫幾條量一量，你能畫出從老師家到美食街的最短的一條路嗎？學生興趣盎然，不停地畫、量，最后發現有一條路最短，交流比較同學們畫出的最短的路，說說有什么相同的地方，從而得出點到直線的距離這一概念。
如果這個概念讓老師講，學生的理解很膚淺，但是如果讓學生動手、動腦、動口參與獲取知識的全過程，那么學生的操作、思維、語言將會得到充分的鍛煉，獲得的體驗才會深刻、牢固，從而深刻理解點到直線的距離這一概念。今后遇到類似的練習如從村里鋪一條水管到大街上，怎樣鋪設水管比較合適，學生就很容易理解了。借情境來操作，降低抽象的難度，學生的抽象能力得到了發展和延伸。
三、借練習來抽象，提高思維能力
數學的題型千變萬化，解決的方法也多種多樣，但根本是一樣的，都離不開數學知識結構和數學思維，如何讓學生在多變的練習中看清數學的本質，去偽存真，找到與此相關的數學知識？在平時的教學中要留心訓練，提高學生的抽象思維能力。
例如，在學習長方形的周長和面積之后，教材中與此相關的問題很多，學生經常會搞不清題意，列式錯誤。這時老師要教給學生應用知識解決問題的經驗，學會分析練習題：圍柵欄用到的是周長還是面積的知識？種大白菜用到的是周長還是面積的知識呢？刷油漆與長方形的周長還是它的面積有關？每解決一個問題都要問學生：解決這個問題要用到我們所學的哪個方面的知識或哪幾個方面的知識。經過這樣的分析，學生的抽象思維能力越來越強，解決問題也就更加輕松準確了。
心理學研究表明，學習內容和學生熟悉的生活背景越貼近，學生自覺接納知識的程度就越高。從學生熟悉的生活背景導入，讓學生感受數學無處不在，從而產生濃厚興趣。
1、創造性地使用教材，力求數學問題生活化。
良好的開端是成功的一半，引入階段正處在一堂課的起始階段，處理的是否恰當，直接影響到學生學習的情緒，以及思維的活躍程度，結合學生身邊的實例導入新課，不但可提高學生的學習興趣，激發求知的內驅力，而且可使所要學習的數學問題具體化，形象化。
教學伊始，我以淘氣的生日故事為線索，讓學生為淘氣搭配衣服，給淘氣提建議為契機，以此來喚起學生搭配衣服的已有經驗，使學生感受到生活中需要掌握搭配的學問。簡單的一問激起了學生探究新知的高度熱情，為下面的教學作了很好的心理鋪墊，這時提出探究內容和要求可謂是水到渠成。這堂課的導入，從富于現實意義的數學問題引出課題，使學生感到親切、熟悉，產生學習興趣，也使學生感受了數學與生活的聯系，巧妙地滲透“數學源于生活”的樸素思想。
數學源于生活，應用于生活。現在的學生生活是豐富多彩的，他們可以通過對生活的感悟來探究數學知識。本節課是人教版教材三年級上冊數學廣角的第一節課。因此在教學設計中我選擇學習素材、組織的活動盡量取自于學生的生活，從而激發學生學習興趣。首先我開門見山用握手環節的引入課題，從給露露搭配衣服開始，使學生對本節課的內容有熟悉感，對本節課有濃厚的興趣。根據教材提供的內容，即對衣服的不同搭配，讓學生在學習過程中經歷從簡單到多項，從無序排列到有序思考，從具體到抽象，從圖形搭配到建立數字模式，培養學生的合作精神和創新意識。最后在“練一練”中，通過設計餐點的搭配，讓學生把所學的知識應用到生活中去，解決生活中的問題，一方面引導學生了解生活中處處有數學，另一方面也培養了運用數學知識解決實際問題的習慣。
面對新教材，在鉆研教材的內容、編寫意圖的基礎上，對教材進行適當靈活地處理。例如引導學生探究用多種方法找出一共有幾種搭配的方法。我由淺入深，在搭配衣服時，先讓學生用自己的方法來記錄出搭配的結果，卡片來代替實物進行搭配，學生在此活動的基礎上發現了“連線法”。由此可見，在教學活動中，根據教學目的設計活動，讓學生直觀操作，同時適時提出問題，就會引導學生的思考逐步走向深入，有意想不到的收獲。
2、在活動中為學生創建拓展延伸探究問題的空間。
在備此節課時，我分析了學生的年齡特征和已有的知識經驗，對教學結果進行了預設，因此大膽地把研究的問題進行拓展延伸，在學習初步感知搭配的方法后進一步引導學生找規律，用連線的方法來找出一共有幾種搭配的方法，在對路線搭配中，讓學生通過獨立思考、同桌合作發現規律，解決問題。我又讓學生用自己喜歡方法解決問題。目的是讓他們通過在建模過程中充分體驗、感悟，找出最優的方法，提高學習能力，鍛煉實踐能力。
通過本節課的教學，我感到數學的思想與方法是數學學習的精髓。在教學活動中，把知識的傳授與實踐能力的培養怎樣有效地結合是教師們不斷探究的目標。
關鍵詞：復習課；教學方法
高三數學，不同于高一、高二階段。隨著知識內容的進展，由單純新授課轉變到復習課，由單元知識的測驗轉化到全面知識的考查，學生要以平靜的心態，高水平的能力，在高考中力爭取得好成績，發揮出自己的水平。隨著時間的推移，高三數學學習分三個階段，一是基礎復習階段，二是題組訓練階段，三是反思復習階段。每一個階段的側重點各有不同，但一定要結合學生自身特點，教師有選擇地指導學生進行復習，使學生形成自己的學習方法。筆者通過近幾年的探索和努力，確定了高三數學復習課的基本模式為：
一、明確復習目標，綱舉目張
在進行復習課的教學設計之前，教師應該首先依據教學內容、教學大綱、考試說明和學生情況制定明確的教學目標，教學目標應包括復習目標、知識目標、能力目標，并注意突出能力目標。高中數學是由函數的性質與應用、數列、三角函數、向量、不等式、曲線與方程、立體幾何、排列組合與概率統計、導數九大主干部分組成,每個主干知識又可以自成體系。
二、學生主體，教師主導
學生通過自己的努力去理解的東西，才能成為自己的東西，才是他真正掌握的東西，按傳統的說法就是：師傅的任務在于度，徒弟的任務在于悟。高三數學課堂教學必須廢除“注入式”“滿堂灌”的教法。復習課也不能由教師一人講解，更不能成為教師展示自己解題“高難動作”的“絕活表演”，而要讓學生成為學習的主人，讓他們在主動積極地探索活動中實現創新、突破，通過展示自己的才華智慧，提高數學素養和悟性。作為教學活動的組織者，其任務是點撥、啟發、誘導、調控，而這些都應以學生為中心。復習課上有一個突出的矛盾，就是時間太緊，既要處理足量的題目，又要充分展示學生的思維過程，二者似乎很難兼顧。我們可采用“焦點訪談”法較好地解決這個問題。因大多數題目是“入口寬，上手易”，但在連續探究的過程中，常在某一點或某幾點上擱淺受阻，這些點被稱為“焦點”，其余的則被稱為“”。
三、解析典型問題
典型問題解析是數學復習課主要組成部分，它是鞏固基礎知識、強化基本技能和基本思想方法和提升學科能力的主要環節。因此，典型問題的選擇與處理是否得當，在一定程度上決定了整個復習課的成敗。在高三數學復習課中，讓學生做一定量的各種類型的習題是必要的，但不能盲目，也絕不是越多越好，充分利用好課本，發揮教材中例題的典型作用，是提高學生解題能力的有效方法。課本中的知識是前人長期積累的經驗和探索獲得的成果，是知識的精華。教材中的例題，大都經過嚴格的精選，具有基礎性、通用性、典型性和可發展性，是我們提高復習效率的良好載體。我們一定要克服“眼高手低”的毛病，如片面追求難題、搞綜合提高。事實上高考數學試卷中有相當多的試題是課本上基本題目的直接引用或稍作變形而得來的。
如2008年上海高考（理科）第18題：
已知雙曲線C： -y =1,P是雙曲線C上的任意點。
1.求證：點P到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積是一個常數；
2.設點A的坐標為（3，0），求│PA│的 最小值。
第1小題的原題可見教材《高中二年級第一學期》（試用本）第117頁練習12.6第4題。第2小題也可由教材第102頁例2，關于“人造地球衛星的運行軌跡”一例中出現的“近地點”“遠地點”，加以證明。對實際問題的解決，學生往往更投入，這時要趁熱打鐵。
變式1：已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3，最小值為1，求橢圓C的標準方程。從實際問題抽象到數學問題，學生較易接受。
變式2：已知橢圓，求橢圓上到定點距離最近的點的坐標。通過以上兩個變式，學生對用二次函數在閉區間求最值的方法來解決解析幾何最值問題，印象應該非常深刻了。然后再把橢圓變為雙曲線，學生便能融會貫通、駕輕就熟了。
有統計表明，高考中約有三分之二的試題都來源于教材，改編自例題或練習題，高三最后階段的復習，理應回歸課本，回歸基礎，回歸通性、通法。
四、反思歸納總結
反思小結是一般數學課的不可缺少的重要環節，高三數學復習課的反思小結包括知識總結、思想方法規律小結和高考命題規律與趨勢總結三部分，三者不可偏廢。通過反思，把本部分知識納入整個知識體系，使學生掌握基本規律與方法，提升學生的數學學科能力和應對高考的能力。
參考文獻:
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［3］黃安成.談數學悟性.數學教學（滬），1999.
（作者單位 廣東省興寧市黃陂中學）
【關鍵詞】中職數學 新大綱 創新 課堂作業
一、研究背景
筆者在教學調查時，就學生完成數學課堂作業情況對本校學生進行了問卷調查（問卷見附件）。發放問卷145份，回收有效問卷為140份。對回收問卷信息進行歸納分析發現，普遍存在學生不能有效完成課堂作業、敷衍了事的現象。造成這種現象的主要原因在于：
（1）課堂作業的形式過于單一，多以書面的形式為主；
（2）課堂作業內容過于單調，多以課本和數學練習冊為主，而很少兼顧到知識的實踐性和專業需求；
（3）課堂作業統一要求、統一數量，忽視了學生個體在學習興趣、學習能力、學習心理等方面的差異。在這樣的作業設計之下，學生往往被局限在課本和練習冊之中，根本無從體會到學習數學的樂趣和用處，同時思維無法靈活打開，學習的興趣和自主性也難以被充分調動。甚至出現學困生把作業看作是枯燥無味的負擔，更加厭惡數學；學優生則飽受“饑餓”，誤以為數學很簡單，不愿花時間去認真對待。因此，在新課改實施以來，雖然教師在課堂教學上下足了功夫，教學效果卻鮮有成效，其中一個重要原因歸咎于課堂作業沒有發揮應有的作用。課堂作業是數學課堂教學的重要環節，課堂作業效果直接影響著學生學習數學的積極性、知識技能的掌握、能力的提高和后續的學習成效。由此可見，創新課堂作業，挖掘課堂作業最大功能，是提高數學教學效果的重要途徑。
二、創新數學課堂作業的目的和意義
學生在學習數學知識時，必然有一個消化吸收、鞏固提高的過程，而課堂作業正是課堂教學的直接反饋和補充，是課后作業設計的依據，是學生掌握知識必不可少的環節。學生數學概念和定理的理解、性質和運算法則的應用、數學方法與技能的獲得、實踐意識和創新意識的培養，都離不開課堂作業這一基本活動。科學合理的課堂作業可以激發學生學習數學的興趣，增強學生的主體意識，使學生真正地掌握數學知識。作業的解答情況可以反映每個學生認識的真正軌跡，便于教師及時地調整教學內容和課后作業，同時也增進了師生間的交流，拉近了師生間的距離。作業的解答和書寫過程，可以使學生逐步養成良好的學習習慣、實踐意識、創新意識和實事求是的科學態度，從而落實數學大綱中的“三項技能要求”與“四項能力要求”。
《中職數學新大綱》提出數學課程教學目標是：
（1）在九年義務教育基礎上，使學生進一步學習并掌握職業崗位和生活中所必要的數學基礎知識。
（2）培養學生的計算技能、計算工具使用技能和數據處理技能，培養學生的觀察能力、空間想象能力、分析與解決問題能力和數學思維能力。
（3）引導學生逐步養成良好的學習習慣、實踐意識、創新意識和實事求是的科學態度，提高學生就業能力與創業能力。由此可見，創新數學課堂作業是貫徹落實中職數學新大綱的最佳切入點。
三、創新數學課堂作業的實踐
基于對《中職數學新大綱》的認識，針對課堂作業存在的問題，并結合中職生的特點，本文提出了創新數學課堂作業設計的幾點策略：
（一）切合學生思維，借形象理解概念
概念是反映對象的本質屬性，是把握事物本質的思維形式，是從對象的許多屬性中，撇開非本質屬性，抽出本質屬性概括而成。概念是數學的基石，而不少數學概念都比較抽象，因此學生在課堂上就不容易理解和掌握，或者說不容易深刻理解和掌握，有的學生甚至學完全部內容，仍不清楚最基本的概念。由于這些現象的存在，導致部分學生誤認為掌握概念沒有太大的意義，只要會做題就足夠了。在數學學習中，數學概念的學習毫無疑問是重中之重，概念不清，一切無從談起。然而，這個重點卻恰恰又是一個難點。因此，在布置作業時，要注重學生概念的形成過程，盡量將概念形象化，這樣才能真正的加深學生對概念的理解，從而達到最佳的教學目的。概念有內涵和外延，學生只有明確其內涵和外延，才能正確地掌握概念并能靈活運用。內涵即反映概念中對象的本質屬性的總和；外延即概念所涉及的范圍和條件，公式的適用范圍和成立條件。但由于概念的外延指的是適用該概念的一切有關事物，部分學生在理解實際運用概念時，有時會不自覺地縮小或擴大概念的外延，因而造成錯誤的結果。
【案例】“函數”這個概念，內容很抽象，大部分學生學完之后仍不知所云。因此在函數概念的講解過程中，教師如果只把求函數值和定義域作為課堂作業（如已知函數f（x）=x-1，求該函數的定義域及f（2），f（0），f（）的值），學生確實會照搬例題，但實際上并沒有真正理解函數概念，并不知道如何構造函數。只要題目稍有變動，學生便無從下手，這就會給今后的學習帶來很大的困難，很難再進行深層次的學習。此時教師可從概念的外延著手，設計如下的課堂作業：1.判斷下列各圖表確定的對應法則，是不是變量x取值集合上的一個函數，不構成函數的請找出原因。
2.讓學生根據上述習題自己構造一個函數的例子。
以上作業，與學生的思維特點相接軌，將概念形象化，使學生對概念的理解不再只停留表面。整個學習的過程也不再只是一個被動接受書本知識的過程，更是一個積極思考、主動探究和創造的過程。
（二）根據學生基礎，以分層激發動力
《中職數學新教學大綱》和《新課程標準》一樣，體現的是：人人學有價值的數學；人人都能獲得必要的數學；不同的人在數學上得到不同的發展。三大目標都強調了我們的數學教育必須以人為本，讓每一位學生都能得到發展。這就意味著我們要在課堂教學中尊重每一個學生的獨特個性，尊重他們的差異。因為在學習的過程中，由于學生的個體差異和外界環境條件的影響，每個人的發展并不均衡。如果教師在同樣的時間內，拿同樣要求、同樣數量的課堂作業去要對待所有學生，必然會造成有的學生“吃不飽”，有的學生“吃不了”，有的學生根本不知從何“入口”。因此教師在設計課堂作業時，必須遵循因材施教的原則，要有一定的層次性，使每個學生通過做適合自己的作業，能有所收獲。在分層設置數學作業的同時，還應注重題目的梯度性，遵循從易到難，循序漸進的原則。
【案例】在同角三角函數關系式中，針對金融專業學生，教師可酌情設計課堂“作業套餐”（見附件3）：
第一關是基礎題，難度較低，方法以直接套公式和模仿為主，一個題目盡量只安排一個知識點的訓練，讓學困生也可以“吃得了”；
第二關是提高題，是基礎題的變式或一般綜合題，讓中等生也能“吃得好”；
第三關是發展題，靈活性偏大，綜合應用偏強，讓學優生也能“吃得飽”。
通過以上層層遞進的練習題，使學生掌握了同角三角函數關系式的變形和化簡求值，使學生的思維不再只停留在重復和模仿階段，同時充分發揮了學生的主動性和創造性，克服了學生的畏難心理。在分層設置數學作業時，教師可根據學生的認知水平和作業情況，靈活地運用課本上的習題，對教材進行“二度開發”，對一些習題做一些變動或調整，編制出適合自己所需要的鞏固習題。筆者將課堂作業分成必做題和選做題兩類。必做作業的內容應不低于《中職數學新教學大綱》的基本要求，可源自課本上的“練習題”，或是“例題”的簡單變形題，或者是自己編寫的“作業套餐”中的第一關和第二關的題目。不過必做題作業量一定要充足，選做題作業量可以適當減少些，選做題可源自課本上的較難題，或者是練習冊上的習題，或者是練習冊上通過改編的習題。如上述的第三關中的題目，綜合面廣、靈活性強，學優生也要頗費周折才能完成，教師可稍作提示。當然在教學中，對于不同的教學內容，教師須作及時調整，因為每一個學生對不同的知識點的接受狀況都是有差異的。對于學困生，教師甚至可以把一些跟初中知識相關的題目納入到課堂作業中；對于學優生，教師則可以把歷年高職考的考題或職高競賽題納入到課堂作業中。通過分層設計，使不同的學生都可以有適合自己的作業，使每個學生都有一種跳一跳就能摘到果子的愉快心理體驗，從而促進他們積極思考。
（三）聯系實際問題，以案例體現實用
生活有多廣，數學學習就有多廣，數學課堂作業也應如此。數學學習的天地很廣闊，教師應盡量把課堂作業的設計與學生興趣愛好、生活背景和所學的專業相聯系，使學生在學校生活、家庭生活、專業學習、社會實踐中感受數學，切實體會數學的實用性。實際上，不少學生不愿意學數學或者對數學興趣不大的主要原因是他們誤認為數學是某些數學家憑空想象出來的東西，離生活太過遙遠，跟他們將來所從事的職業也毫無關系，一般的人只要學會了加、減、乘、除運算已足夠。其實不然，生活中的數學是無處不在的。如杭州的很多大型建筑物諸如杭州大劇院，杭州大廈，歌德大酒店等都是利用立體幾何的相關知識來設計建造的。因此要使學生真正認識數學，喜歡數學的最佳方法就是從根本上轉變學生的思想觀念，讓學生通過實踐活動去感受數學的廣泛性和實用性。鑒于課堂作業是學生進行數學學習最基本的活動形式，教師可以先從課堂作業著手，讓學生去體驗數學的實用價值。
【案例】在學習了排列組合之后，教師可設計一些排列組合在生活中運用的題目作為課堂作業。如肯德基一直是學生鐘愛的食品，教師可設計一個KFC配餐問題讓學生來完成。
讓學生計算下：（1）從飲料類，雞翅類，漢堡類各挑選一種食品，有多少種不同的選餐方法？
（2）嫩牛肉方是新推出品種，KFC推出給大家免費試吃，現只須從飲料類，雞翅類各挑選一種食品，有多少種不同的選餐方法？
這是從學生的日常生活中提煉出來的課堂作業，教師也可根據不同的專業，設計一些跟專業掛鉤的課堂作業。
【案例】服導專業的大部分學生畢業后會從事旅行社的基調工作和導游工作，教師可布置這樣兩題作為課堂作業：
1、寫出西湖十景、新十景、新新十景；
2、如果旅行社要設計一條西湖一日游的線路，要求在一天內走5個景點。（1）共有多少種設計方案？（2）游客對一些經典景點的呼聲很高，因此要求在設計中必須包含斷橋與虎跑，問有多少種設計方案？（3）為了宣傳新十景與新新十景，要求在本次設計中每條線路包含2個新十景，1個新新十景，有多少種設計方案？第二題，某旅行社接到一個小團隊，其中有女游客6人，男游客4人。客人被安排入住望湖賓館的5個雙標房，其中有2間是臨湖房。安排入住的原則是同性入住一個房間。安排房間時有2位女客與一位男客要求一定要住臨湖房，問共有多少種安排方法？
【案例】金融專業的部分學生畢業后會從事保險行業，教師則可以給他們布置這樣的題目作為課堂作業：汽車保險包括十種（車輛損失險，交強險，第三者責任險，盜搶險，車上座位責任險，玻璃單獨破碎險，自燃險，劃痕險，不計免賠率，不計免賠額）現作為一個保險推銷員，要為客戶設計一個車險的方案，要求含有5個汽車保險種類。共有多少種設計方案？
（1）交強險和第三者責任險，屬強制性保險，問有多少種設計方案？
（2）交強險和第三者責任險，屬強制性保險，而第三者責任險根據賠付標準，有10萬元，20萬元或50萬元這三檔，可以任選一檔來投保，問有多少種設計方案？
這些具有實踐性、生活性的課堂作業打破了學科的界限，將理論與實踐相結合，專業與數學相結合，數學與社會相結合。通過這些課堂作業，使學生體會到數學與生活、專業的密切聯系，逐步改變自己的錯誤觀點；使學生對自己所學的專業和將來所要從事的職業有了更深入的認識；使學生得到了全面的發展和鍛煉，能夠靈活自如地將數學付諸于生產實踐中，為社會創造更多的財富。
（四）豐富作業形式，以多元提高興趣
“知之者不如好之者，好之者不如樂之者”，興趣是最好的老師。為什么學生長時間上網和聽歌絲毫不會厭煩，絲毫不覺得疲憊，那是因為感興趣。數學作業也是如此，如果學生對待數學作業也能像對待上網、聽歌的話，我想我們的數學教學將會變得很輕松。若要使學生對作業感興趣，教師就必須創新課堂作業的設計，使作業有一定的趣味性。教師應充分了解每個學生的智能潛質，根據學生的年齡特征和心理特征，在課堂上依據多元智能理論，豐富課堂作業的形式，盡量發揮學生的各種潛能。在作業設計過程中，教師可在慣有的選擇題、填空題、解答題的這些常規類的作業基礎上，適當地補充一些制作類作業、實驗類作業、閱讀類作業、開放類作業，以激發學生興趣，培養學生計算、傾聽、實踐、思考、表達等多方面的能力。對于除常規類以外的這幾類作業的，教師應盡量把學習的時間最大限度的留給學生，教師只是給予適當的指導。對于作業的完成形式，可以是書面形式的，也可以是口述形式的；可以獨立完成，也可以小組合作完成。由于這幾類作業牽涉的知識面比較的綜合，探索性也比較強，一般的學生都難以獨立完成，所以大都以小組合作的形式來完成。以下是筆者在實踐中除了常規類作業之外嘗試的幾種課堂作業形式：
1.制作類作業： 主要讓學生通過自己動手操作，去發現問題解決問題，這樣不僅培養了學生的實踐能力，還培養了學生分析問題解決問題的能力。它們多數用在立體幾何的教學中。因為中職生普遍缺乏空間想象能力，教師直接灌輸幾何體的性質，學生比較難理解。如果讓學生通過制作正方體，長方體，墻體，圓柱，圓錐等一些常見的幾何圖形，自己找尋幾何體的性質，學生就會比較容易接受。
【案例】在“認識圓柱”之后，布置了這樣的課堂作業：
（1）找一找。找一找生活中圓柱。
（2）畫一畫。紙上畫出一個圓柱。
（3）做一做。利用手中的白紙、、圓規、剪刀和膠水制做一個圓柱。
（4）說一說。圓柱的側面周長和底面半徑的關系。如何計算圓柱的側面積和體積。
這類操作作性強的作業學生很樂意完成。學生通過自己的找、畫、做、說，加深了對圓柱性質的認識，同時為圓錐的性質的掌握做了一定的鋪墊。
2.實驗類作業：主要是讓學生以小組合作形式，相互配合，動手完成實驗和實驗報告，共同探究發現數學結論，以增加作業的樂趣，使學生樂學樂做。 在排列組合、等差等比數列、指數對數的運算性質等等這些內容都可以布置適當的實驗類作業，以將所學知識寓含于實驗之中，讓學生在玩中學習，以此激發學生的做題興趣。
【案例】在學習了 “指數及其運算性質”、“對數概念”之后，教師在課堂上讓學生通過數學實驗，總結出對數的運算性質。
2.觀察計算結果，提出同一列中計算結果間關系的猜想
3.證明猜想
4.實驗心得
橫向數據可以讓學生自由填寫，增強了學生學習的樂趣。縱向的觀察項目中，當MN時，計算器顯示出錯信息Error，加深了學生對負數沒有對數的理解。
該小組在“觀察計算結果，提出同一列中計算結果間關系的猜想”欄 填寫了+=；- =；=，一些學生還寫出了以a為底的一般結論。
在“證明猜想”欄寫出了利用指數運算性質證明對數運算性質的過程。
在“實驗心得”欄摘要如下：
“本次試驗因小數點后保留位數太少，造成誤差較多。”
“數學規律是可以從實踐中發現。”
“試驗是檢驗真理的方法。”
這樣可以使學生在“趣”中學，“趣”中練，由舊“趣”促新“趣”，使他們對作業的態度從“要我做”轉變到“我要做”，從而形成良性循環。
3.閱讀類作業：讓學生通過閱讀教材，回答教師提出的問題，以培養學生的自學能力、總結歸納的能力。在中職的課堂中，由于學生普遍數學基礎比較薄弱，教師很少會在課堂上布置閱讀類作業。其實不然，只要選材恰當，學生完全可以通過自己閱讀，進行總結歸納。而且這樣可以讓學生對知識點有系統的認識，加深他們對概念、性質和定理的理解。教師可以選擇一些相對比較簡單、易進行比較和類比，易找出規律的內容作為閱讀材料。
學生通過閱讀，不僅學到了知識，而且感受到了數學思想和方法，學會了歸納、概括。
4.開放類作業：條件和答案都是開放的，留給學生思考、操作的空間很大，有利于學生求異思維能力的提高。只要答案是合理的，教師都應給予鼓勵。如前文提到的“正弦定理”教學中，課堂作業中的按照例2和例3，自編一解和兩解各一題實際上就是一道開放類作業。
這種開放類作業，既培養了學生思考問題的全面性，又閃爍著學生獨特的創新精神，讓學生在完成作業中體驗到思考的快樂。
（五）提高學生能力，自主創新練習
現行數學教學大綱明確提出要重視創新意識和實踐能力的培養，把“逐步養成良好的學習習慣、實踐意識、創新意識和實事求是的科學態度，提高學生就業創業能力”納入新大綱的教學目標。學生是學習的主體，不斷地為學生創造探索的機會，引導他們通過自己看、自己做、自己想、自己說來進行探究創新，從而獲取知識。教師除了在講解過程中注意不斷創設有意義的問題情境，更應注重組織學生開展獨立性和創造性數學活動，教師可把寫章末小結作為學生的課堂作業。中職生通常在一章上完之后，混淆了很多知識點，甚至不知道這一章到底學了哪些知識點，更不知道它們之間的聯系。教師則可要求學生參照筆記本和書寫章末小結，寫出本章的知識脈絡，指出本章的重點難點，重要的知識點要求寫出典型例題。對于學優生，教師可提出更高的要求，要求他們學會歸類，哪些類型的題目是用這種方法，哪些類型的題目是用那種方法。在完成小結后，教師應該給學生充分展現的機會，讓學生把自己的成果用自己喜歡的表達方式與同學交流，在交流中體會成功。這樣不僅可以使學生對所學數學知識有了更深的認識，還可以培養學生的主動性、獨立性和創造性，使學生的能力得到全面的提升。
【案例】“直線方程”的知識點比較多，題目又比較綜合。很多學生在全部學完之后，當遇到稍微綜合一點的題目就不知所措。而且“直線方程”是解析幾何的基礎，圓、橢圓、雙曲線、拋物線的部分內容都和直線方程有著密切的聯系。為了讓學生對“直線方程“能有系統的認識，教師可在課堂上要求學生根據筆記本和課本，畫出“直線方程”的結構圖，并寫出所有相關公式和典型例題。
四、創新數學課堂作業教改實踐成效初顯
調查結果表明，絕大多數學生在作業完成的質量方面及學習數學的態度等方面都有了明顯的進步。
（一）提高了完成作業的質量。采用了以上創新課堂作業的方法，學生課堂作業的參與率和質量，都有了顯著地變化，敷衍了事的現象也越來越少。課堂作業和課后作業是相輔相成的兩個部分，正因為課堂作業的質量有所提高，為學生完成課后作業打下了堅實的基礎，所以學生的課后作業質量也有了明顯的提高。
（二）提高了學習數學的積極性。采用了以上創新課堂作業的方法，學生切身體會到了數學的實用價值，逐漸喚起了更多人學習數學的興趣，而且課堂的氣氛也有了明顯的變化，大部分學生在課堂上都能積極參與討論并踴躍發言。
（三）活化了學生傳統的定格思維。采用了以上創新課堂作業的方法，使學生在小組合作探究的過程中，每個人都能有自己的任務，承擔一定的責任，使他們學會查閱資料，學會交流和合作。同時在交流的過程中，也讓他們充分感受到別人的思維方式和方法，活化了學生傳統的定格思維，提高了學生的解題能力。經過努力，在全年級的期末考試中，我班的數學平均成績名列第一，及格率也是全年級最高的。
（四）培養了學生的創新意識、實踐意識。采用了以上創新作業的方法，讓學生可以學習到相應職業崗位中已被大量使用或正在被推廣的數學知識與技能；學習到具有時代特征且易被中職學生所接受的數學知識與技能；學習進一步掌握職業技能所必備的數學知識。在作業的過程中，使學生逐步養成良好的學習習慣，實踐意識、創新意識和實事求是的科學態度，從而落實數學大綱中的“三項技能要求”與“四項能力要求”。
五、創新課堂作業的幾點思考：
在創新課堂作業的實踐中還應注意以下幾點：
（一）激勵性
作業的過程是不斷地發現問題、分析問題和解決問題的過程。在學生完成課堂作業的過程中，教師應盡量多給予鼓勵，讓學生能夠感受到問題解決后所帶來的成功體驗。而且教師應盡量幫助學生獲得最大的成功，以達到最佳的激勵效果，逐步提高學生學習數學的自信心。
（二）合作性
《新課程標準》提出：“有效的數學學習活動不能單純地依賴模仿記憶，動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數學的重要方式。”因此，課堂作業的設計應當緊扣新課標的宗旨，在保證基本知識掌握的基礎上，加強學生能力的培養，尤其是探究與創新能力和情感發展方面，將促進學生全面發展作為課堂作業設計的終極目標。教師可以通過讓學生多完成一些小組合作性的課堂作業，如前在制作類作業、實驗類作業、閱讀類作業和開放類作業中牽涉的內容大都比較綜合，多數學生難以獨立完成，最好可以采取小組合作的形式，以激活學生參與互動學習的興趣。這樣不但有利于培養學生的探究能力和分析問題、解決問題的能力，而且有利于提高學生之間的合作交往能力。
（三）人文性
《新課程標準》明確指出：“數學是人類文化的重要組成部分，數學素質是公民所必須具備的一種基本素質。”人文素質的提高是數學素質提高的直接體現。因此教師不僅應該在教學環節的設計上力求體現人文性，也應在課堂作業的設計上體現人文性，以塑造學生完整的人格。在中國的數學史上有很多偉人，如圓周率的發現者祖沖之，楊輝三角的發現者楊輝……教師可以在講解到相關知識的時候，讓學生講述這些數學家的故事、個人簡介，介紹他們發明的各種定律。這樣，不僅能讓學生從榜樣身上汲取力量，得到鼓舞，找到人生道路上前進的“路標”，還能提高學生的綜合能力。數學中的美無處不在，如對稱美、形態美、比例美等等，我們應該讓學生去感受這些美。比如在講偶函數、雙曲線、橢圓、拋物線、立體幾何等教學中，教師在課堂上可以讓學生通過畫一畫去體會對稱美、形態美，通過說一說去熟悉對稱美的性質。這樣的課堂作業，將數學知識的教育與人文教育有機地融合在一起，不僅使學生增長了知識，也陶冶了情操。
六、結束語
創新數學課堂作業，并不是一朝一夕的事，我相信，只要我們從學生的實際出發，以中職數學新大綱為宗旨，在課堂作業方面不斷地探索和嘗試，就能設計出豐富多彩、學生喜愛的作業，從而提高作業的功效，使作業真正有效地為教學服務。
參考文獻：
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[4]《學習論》施方良著 人民教育出版社 2001年5月第2版
關于數學老師工作計劃通用范文 一、指導思想
研究新教材，了解新的信息，更新觀念，探求新的教學模式，加強教改力度，注重團結協作，面向全體學生，因材施教，激發學生的數學學習興趣，培養學生的數學素質，全力促進教學效果的提高。
二、學生基本情況
新的學期里，本人任教高三x、xx班兩個文科班的數學課，這些學生大部分基礎知識薄弱，沒有自主學習的習慣，自制能力差，上課注意力不集中，容易走神，課后獨立完成作業能力差，懶惰思想嚴重，因此整個高三的復習任務相當艱巨。
三、工作措施
1、認真學習《xxx》，研究高考試題，提高復習課的效率
《xxx》是命題的依據，備考的依據。高考試題是《考試說明》的具體體現。因此要認真研究近年來的考試試題，從而加深對《xxx》的理解，及時把握高考新動向，理解高考對教學的導向，以利于我們準確地把握教學的重、難點，有針對性地選配例題，優化教學設計，提高我們的復習質量。
2、教學進度
按照高三數學組學年教學計劃進行，結合本班實際情況，進行第一輪高三總復習，預計在2月底3月初完成。配合學校舉行的月考，并及時進行教學反思。
3、了解學生
通過課堂展示、學生交流互動、批改作業、評閱試卷、課堂板書以及課堂上學生情態的變化等途徑，深入的了解學生的情況，及時的觀察、發現、捕捉有關學生的信息調節教法，讓教師的教最大程度上服務于學生。對于基礎較薄弱的學生，應多鼓勵、多指導學法，增強他們學下去的信心和勇氣。
4、精心備課
精心的備好每一節課，努力提高課堂效率，平常多去聽同科教師的課，向老教師學習經驗和好的教學方法，努力提高自己的任教能力。
5、優化練習
提高練習的有效性：知識的鞏固，技能的熟練，能力的提高都需要通過適當而有效的練習才能實現。練習題要精選，題量要適度，注意題目的典型性和層次性，以適應不同層次的學生；對練習要全批全改，做好學生的錯題統計，對于錯的較多的題目，找出錯的原因。
練習的講評是高三數學教學的一個重要的環節，不該講的就不講，該點撥的要點撥，該講的內容一定要講透；對于典型問題，要讓學生展示講解，充分暴露學生的思維過程，加強教學的針對性。多做限時練習，注重綜合。選取“題型小、方法巧、運用活、覆蓋寬”的題目訓練學生的應變能力。
6、注重學習方法、數學方法的指導
我們在復習中要加強數學思想方法的復習：如轉化與化歸的思想、函數與方程的思想、分類與整合的思想、數形結合的思想、特殊與一般的思想、或然與必然的思想等。以及配方法、換元法、待定系數法、反證法、數學歸納法、解析法等數學基本方法都要有意識地根據學生學習實際予以復習及落實。
針對學生的具體情況，進行復習的學法指導，使學生養成良好的學習習慣，提高復習的效率。如：要求學生建立錯題本，尤其是考后錯題，讓學生養成反思的習慣；養成學生善于結合圖形直觀思維的習慣；養成學生表述規范，按照解答題的必要步驟和書寫格式答題的習慣等。
7、注意心理調節和應試技巧的訓練
應試的技巧和心理的訓練要三高三的第一節課開始，要貫穿于整個高三的復習課，良好的心理素質是高考成功的一個重要環節。我們數學老師在講課時尤其是考試中主要鍛煉學生的心理素質，我們教育學生要以平常心來對待每一次考試。
關于數學老師工作計劃通用范文 一、指導思想
高三數學教學要以《全日制普通高級中學課程計劃》為依據，全面貫徹教育方針，積極實施素質教育，高三數學教學計劃。提高學生的學習能力仍是我們的奮斗目標。近年來的高考數學試題逐步做到科學化、規范化，堅持了穩中求改、穩中創新的原則。高考試題不但堅持了考查全面，比例適當，布局合理的特點，也突出體現了變知識立意為能力立意這一舉措。更加注重考查考生進入高校學習所需的基本素養，這些問題應引起我們在教學中的關注和重視。
二、教學建議
1、高度重視基礎知識，基本技能和基本方法的復習。
“基礎知識，基本技能和基本方法”是高考復習的重點。我們希望在復習課中要認真落實“五十次基礎練習”，并注意蘊涵在基礎知識中的能力因素，注意基本問題中的能力培養。特別是要學會把基礎知識放在新情景中去分析，應用。
2、高中的‘重點知識'在復習中要保持較大的比重和必要的深度。
原來的重點內容函數、不等式、數列、立體幾何，平面三角及解析幾何中的綜合問題等。在教學中，要避免重復及簡單的操練。新增的內容：向量、概率等內容在復習時也應引起我們的足夠重視。總之、高三的數學復習課要以培養邏輯思維能力為核心，加強運算能力為主體進行復習。
3、重視‘通性、通法'的落實。
要把復習的重點放在教材中典型例題、習題上；放在體現通性、通法的例題、習題上；放在各部分知識網絡之間的內在聯系上抓好課堂教學質量，定出實施方法和評價方案。
4、認真學習《考試說明》，研究高考試題，提高復習課的效率。
《考試說明》是命題的依據，復習的依據。高考試題是《考試說明》的具體體現。只有研究近年來的考試試題，才能加深對《考試說明》的理解，找到我們與命題專家在認識《考試說明》上的差距，并力求在復習中縮小這一差距，更好地指導我們的復習。
5、滲透數學思想方法，培養數學學科能力。
《考試說明》明確指出要考查數學思想方法，要加強學科能力的考查。我們在復習中要加強數學思想方法的復習，如轉化與化歸的思想、函數與方程的思想、分類討論的思想、數形結合的思想。以及配方法、換元法、待定系數法、反證法、數學歸納法、解析法等數學基本方法都要有意識地根據學生學習實際予以復習及落實。
6、復習課中注意新的目標定位。
①培養學生搜集和處理信息的能力；
②激發學生的創新精神；
③培養學生在學習過程中的的合作精神；
④激活顯示各科知識的儲存，嘗試相關知識的靈活應用及綜合應用。
三、教學參考進度
期中考試之前復習：完成高三選修課內容。因一般期中考試的范圍除選修課內容外，還要涉及到排列組合、概率、簡易邏輯、函數、不等式等內容，所以力爭復習完函數內容。
期中考試之后逐步復習：數列、三角、向量、三角、不等式、解析幾何、立體幾何等內容。第一輪的復習要以基礎知識、基本技能、基本方法為主。
四、復習參考資料
1、20xx年數學科《考試說明》。
2、近幾年高考題。
3、第一輪復習資料。
4、習題重組進行單元訓練。
關于數學老師工作計劃通用范文 新的學期已經開始，為了搞好本學期的教學工作，根據學校計劃和科研室工作計劃，特制定本學期教學工作計劃如下：
一、學情分析
本學期我繼續擔任初二的數學教學工作。這兩個班整體情況是學生基礎較差，優秀生少，后進生站每個班的xx%左右。少數學生學習積極性高，各科作業能按時按量完成，能夠嚴格要求自己，但大部分學生學習不夠認真，上課聽講、作業完成總是應付，不能夠主動學習，所以造成基礎掌握不扎實。要在本學期獲得進步，則必須調動學生學習的積極性，查漏補缺，打好基礎；同時注重學生邏輯思維的培養。
二、教學措施
1、認真研讀新課程標準，鉆研教材，努力構建和諧課堂教學模式，提高教學的實效性與有效性
2、根據教學內容，精心設計數學活動，培養學生探究合作能力，通過變式訓練，培養思維的靈活性。特別是函數一章，利用數形結合，努力培養學生數學建模的思想和能力，
3、仔細批改作業，作好輔導，及時查缺補漏。
4、成立一幫一互助學習小組，輔導后進生，同時促進優生，共同進步。
三、合理落實各項教學常規
1、備好課是上好課的基礎，是提高課堂教學質量的關鍵，所以在備課時深入鉆研教材，正確地掌握和處理好教材的重點、難點，備好三環六步的各個環節。
2、上課時定向要明確，在充分了解學情的基礎上，引導學生弄清疑難。點難撥疑時要面向全體學生，使各類學生都學有所得。都有所發展。
3、作業布置要分層，以關注不同層次的學生。批改要認真、及時，批語要多鼓勵學生，根據作業情況查缺補漏，做好個別輔導。
4、進行個別輔導，優生提升能力，扎實打牢基礎知識；
在新課標的指導下，課堂教學的主體已不再是教師，而是學生。在教學中，要時刻體現學生的主體地位，要引導學生主動學習、自主學習。然而，數學作為一門高度抽象的學科，學生往往對其望而生畏，因而對數學的學習，尤其是對高中數學的學習，缺乏一定的主動性。要提高學生學習數學的主動性，最重要的一點就是要削減學生對數學學習的恐懼心理，激發學生的學習興趣。實際上，數學是一門嚴密的、精美的、實用的學科。如何讓學生感受到數學的美、數學的趣味、數學的價值？如何在課堂教學中，潛移默化地培養學生的學習興趣？這些問題值得探討。對于高中數學課堂學習興趣的培養，不乏研究者的建議[1-4]。本文將結合筆者的教學實踐，針對高中數學課堂學生學習興趣培養方面，給出一些可行性的建議。
1 數學學習興趣培養中存在的問題
筆者結合自己多年的教學實踐經驗，將數學學習興趣培養中存在的主要問題歸納如下：
1.1 對“學生是學習的主體”理解錯誤
“學生是學習的主體”對于這一點，所有教師都認同，但是在實際操作中，教師往往對這句話理解錯誤，認為只要向學生提問，讓學生練習就能體現學生的主體地位。筆者認為，學生主體地位的正確體現應該是：教師心中有學生，要從學生的角度出發看待學習問題，引導學生思考，啟發學生思考，激發學生?W習的興趣，調動學生學習的主動性。然而在激發學生學習興趣方面，很多老師都有所忽視。
1.2 教學內容陳舊單調
在數學教學中，教師往往只注重書本上陳舊單調的知識點的講授和習題的練習，很少考慮如何激發學生的學習興趣，很少甚至沒有對書本知識點更新擴充，并將這些知識點與學生生活聯系。數學雖然抽象，但是有很多知識點是能在學生日常生活中得到具體體現的，教師應該在教學中考慮如何將抽象知識點具體化生活化，讓學生認識到了數學的具體體現，有助于削減學生對數學的恐懼，增加學生對數學學習的興趣。
2 高中數學學習興趣培養的建議
數學學習興趣的培養，主要是讓學生感受到數學的美，數學的實用，數學的趣味，從而讓學生欣賞、甚至喜歡數學。對于高中數學學習興趣的培養，筆者有以下建議：
2.1 讓學生感受數學之美
數學的美，體現在數學語言、數學符號、數學圖形、數學定理及證明中。數學的美，大多都是蘊含在內的，但不乏諸多“外在美”。黃金分割就是外在美的典例。在數學上，將線段一分為二，使得較長部分與整體的比值等于較短部分與較長部分的比值，這個比值就是黃金分割，其值■，近似值為0.618。這個比例被公認為是最能引起美感的比例，在繪畫、雕塑等領域都有重要應用。實際上黃金分割在數列息息相關，斐波納契數列（亦稱黃金分割數列），它的前2項是1，后面的每項為前兩項之和，其遞歸定義如下a1=1，a2=1，an=an-1+an-2（n∈N，n≥2）. 通過計算發現，■隨著n的增加而逐漸接近黃金分割比。在講數列時，講解黃金分割與斐波納契數列，并讓學生計算斐波納契數列相鄰兩項的比值，這樣很容易引起學生學習相關知識點的興趣。
在講解二項式系數時，詳細介紹楊輝三角形（亦稱帕斯卡三角形），讓學生感受數學之美。
圖1 楊輝三角形與二次項系數的對應關系
在對圓錐曲線總結時，將圓、橢圓、雙曲線和拋物線一同聯系起來：給定一點P，一直線L以及一非負實常數e，則到P的距離與L距離之比為e的點的軌跡是圓錐曲線，當e=0時為圓，當e>1時為雙曲線，當e=1時為拋物線，當0
正如數學家徐利治說：“數學的美是豐富的，如數學概念的簡單性、統一性，結構關系的協調性、對稱性，數學命題與數學模型的概括性、典型性和普遍性，還有數學中的奇異性等等都是數學美的具體內容。”教師在數學教學過程中，在適合的地方，要引導學生發現數學之美，欣賞數學，進而喜歡數學。
2.2 讓學生體會數學之趣
我們在日常教學中，在講解充分條件、必要條件時，可以設置一些邏輯推理題目，活躍課堂氣氛。比如，同學A，B和C去食堂就餐，他們這兩天選擇的菜品不是牛肉就是豬肉。如果同學A選擇牛肉，那么同學B就選豬肉；同學A或同學C要的是牛肉，但是不會兩人都同時選擇牛肉；此外，同學B和同學C不會兩人都要豬肉。請問哪位同學的菜品昨天選擇的是牛肉，今天選擇的是豬肉？通過分析，不難給出答案―同學B。這一邏輯推理題目將邏輯連接詞、充分條件與必要條件，在推理游戲的同時，也讓學生掌握了數學知識點。
在講反函數時，教師可以借助“猜牌游戲”激發學生的學習興趣。所謂猜牌游戲是指學生根據自己所抽取的撲克牌的點數（A表示1，J表示11，Q表示12，K表示13），進行規定的四則運算，比如將牌號數乘以10，加上15，然后除以5，最后再減去1，只要學生報出結果，老師馬上就可以根據報的結果“猜出”學生撲克牌的點數。游戲能充分調動學生的興趣和積極性，不過游戲過后，教師要引導學生分析其中緣由。實際上這用的是函數與反函數的關系，假設學生所持的撲克點數為x，其按規則運算所報的數為y，則y=■-1=2x+2，從而x=■ 。當學生拿到點數為5的撲克后，其報的數為12，教師利用反函數立刻知道其所持的撲克點數為5。
2.3 讓學生了解數學之用
數學在生活中有很多的應用，是可以具體感受體會到的。在講同余的知識點時，可以介紹汽車尾號限行和麻將摸牌規則的例子。成都實行的汽車限行規則為：周一限行牌號最末一位數字為1和6的汽車；周二限行牌號最末一位數字為2和7的汽車；周三限行牌號最末一位數字為3和8的汽車；周四限行牌號最末一位數字為4和9的汽車；周五限行牌號最末一位數字為5和0的汽車。這一規則可以表示為周a（a=1，2，???，5）限行的牌號最末一位數字x滿足xa（mod 5）。在四川麻將中，莊家的摸牌規則通過搖骰子確定，根據兩顆骰子的總點數，確定先摸哪一方的牌。一般而言，以莊為起點，5點9點在自己面前開門摸牌，2點6點10點在莊家上手摸牌，3點7點11點在莊家對門摸牌，4點8點12點在莊家下手摸牌。實際上這是同余問題，令兩顆骰子的點數和為x，x0（mod 4）的在莊家下手摸牌，x1（mod 4）的在莊家面前摸牌，x2（mod 4）的在莊家上手摸牌，x3（mod 4）的在莊家對門摸牌。
在講排列組合的問題時，可以介紹麻將中組合與胡牌的關系。設AAA表示相同的三張牌，BCD表示同一個花色的連續三張牌，EE表示相同的兩張牌，則可將四川麻將胡牌所滿足的公式表示為：xAAA+yBCD+zEE，其中x， y， z均?樽勻皇?，
3x+3y+2z=14且當x+y≥1時有z=1。變化麻將的不同排列次序，可以得到不同的叫牌。
比如，麻將中胡牌數最多的是“九子連環”：全為同花色，2至8各一張且1和9均為3張。
若將其拆為{11，123，456，789，99}，則叫牌為1和9；
若將其拆為{111，23，456，789，99}，則叫牌為1和4；
若將其拆為{111，2，345，678，999}，則叫牌為2；
若將其拆為{11，12，345，678，999}，則叫牌為3；
若將其拆為{111，234，5，678，999}，則叫牌為5；
若將其拆為{11，123，45，678，999}，則叫牌為3和6；
若將其拆為{111，234，567，89，99}，則叫牌為7；
若將其拆為{111，234，567，8，999}，則叫牌為8。
也就是說“九子連環”可以胡同花色1至9種的任意一張。
2.4 培養興趣，難度設置要適宜
讓學生認識到數學有一定難度，但是能被征服的太簡單或者太難的內容，都不容易激發起學生學習的興趣。因此教師要在教學過程中設置適當難度的題目，既不至于太簡單，又不至于太復雜。在設置練習題目時注意層次性，讓題目難度依次遞增，通過這些題目的訓練，讓學生體會到征服數學的成就感，進而激發甚至提高學生學習數學的興趣。
【關鍵詞】高中數學教學有效性
一、對高中數學教學困難的思考
中學數學是重要的基礎學科，在推進素質教育的過程中肩負著自身的歷史重任，對培養和發展中學生素質意義重大。數學在形成人類理性思維的過程中發揮著獨特的、不可替代的作用。然而，在高中數學教學中，很多學生對數學都有一種心理上的恐懼，這種現象目前是比較普遍的，應當引起重視。究其原因，主要是由于高中數學過于抽象，難度偏大，加上教師的教法不能與學生想適應，學生學法不當，學習不主動，初、高中數學部分知識斷層等，造成了大多數學生數學成績偏差，嚴重影響了高中數學的有效教學。
1.學生學習不主動
許多同學進入高中后，還像初中那樣，有很強的依賴心理，跟隨老師慣性運轉，沒有掌握學習主動權。表現在不定計劃，坐等上課，課前沒有預習，對老師要上課的內容不了解，上課忙于記筆記，沒聽到“門道”。沒有真正理解所學內容。
2.學習方法不恰當
老師上課一般都要講清知識的來龍去脈，剖析概念的內涵，分析重點難點，突出思想方法。而一部分同學上課沒能專心聽課，對要點沒聽到或聽不全，筆記記了一大本，問題也有一大堆，課后又不能及時鞏固、總結、尋找知識間的聯系，只是趕做作業，亂套題型，對概念、法則、公式、定理一知半解，機械模仿，死記硬背。也有的晚上加班加點，白天無精打采，或是上課根本不聽，自己另搞一套，結果是事倍功半，收效甚微。一些“自我感覺良好”的同學，常輕視基本知識、基本技能和基本方法的學習與訓練，經常是知道怎么做就算了，而不去認真演算書寫，但對難題很感興趣，以顯示自己的“水平”，好高鶩遠，重“量”輕“質”，陷入題海。到正規作業或考試中不是演算出錯就是中途“卡殼”。
3.知識銜接不到位
高中數學與初中數學相比，知識的深度、廣度，能力要求都是一次飛躍。這就要求必須掌握基礎知識與技能為進一步學習作好準備。高中數學很多地方難度大、方法新、分析能力要求高。如二次函數在閉區間上的最值問題，函數值域的求法，實根分布與參變量方程，三角公式的變形與靈活運用，空間概念的形成，排列組合應用題及實際應用問題等。客觀上這些觀點就是分化點，有的內容還是高初中教材都不講的脫節內容，如不采取補救措施，查缺補漏，分化是不可避免的。
二、高中數學有效教學的實踐嘗試
1.更新教學觀念，以學生為主體
新課程的“新”要新在哪里？我想首先要體現在教師的教學理念上，要與時俱進。新課改要求教師要樹立“以人為本”的教學理念，考慮學生的認知需要，通過生活化教學將書本知識與生活經驗有機結合；轉換教育角色，從知識的灌輸者、傳遞者轉變為學生學習的幫助者、引導者；提倡創新教育，在教學過程中發展學生的個性，實施各種促進學生自主學習的策略，給學生自主思考問題、分析問題、解決問題和交流的機會與空間；在培養目標上，要充分認識到對學生自主學習能力和綜合數學能力的培養勝過一切知識的單純灌輸，要認識到培養學生獲取知識的能力遠比掌握知識本身重要，以上這些都是在強調，教師要樹立新的人才培養觀和發展觀念。
2.創設學生自主學習的問題情境
在數學教學過程中，我們要合理地創造與問題有關的教學情境，讓學生在情境中通過合作探究提高他們運用數學來解決實際問題的能力，同時促使學生自主學習能力的培養。設立課堂自主學習的問題情境，首先教師在設計問題時要充分考慮，該問題的情境要符合學生的特點，能夠引起學生對問題探究的興趣，并主張學生能夠對問題提出疑點，培養學生善于觀察問題、提出問題以及解決問題的能力。其次，要求學生在討論時要進行合作交流，并得出各自對問題的不同見解。如：在對集合的初步認知的課程中，集合對于學生來說從未接觸過，在教學時如果直接進行講解則效果肯定不盡人意，如果這時我們能夠根據集合的特點，把集合設置在一個特定的情境中，那么學生就很容易對集合的概念產生一個良好的定位，這樣既容易讓學生接受又可以培養學生運用數學解決生活中的問題的能力，從而提高了教學效果，使學生對數學學習產生濃厚的學習興趣。
3.激發學生從多方面思考，培養學生的創新能力和發散思維能力
教師在給學生設置問題的時候要激發學生從多方面思考，讓學生能夠充分發揮他們的想象力和創造力，從而激發學生學習數學的興趣。教師對于數學練習題的選擇要精挑細講，給學生更多接觸更多題型的機會，讓學生能夠見多識廣，知道各種題型的解題思路，從而鍛煉他們的創新能力和發散思維能力。
例如有這樣一道練習題：若 cos2x+cosx+a=0 有實根，試確定實數a 的取值范圍是什么？學生們根據學過的知識很容易就可以解出來這道題，可是教師要教給學生的不僅僅這道題的解法，教師要啟發和鼓勵學生進一步去思考，看看如果把試題變了學生還會不會解。例如我就把試題變成了：①若關于x 的方程式cos2x+sinx+a=0 有實數解，求實數a 的最大值與最小值的和；②若關于x 的不等式cos2x+sinx+a>0在R上恒成立，求a的取值范圍；③若關于x 的不等式cos2x+sinx+a>0在x 能成立，求a的取值范圍。教師在教學的過程中需要鼓勵學生靈活運用學過的知識，發散學生的思維，培養學生的創新能力，以不變應萬變。
4.研究學科特點，加強學法指導
數學學科擔負著培養學生運算能力、邏輯思維能力、空間想象能力，以及運用所學知識分析問題、解決問題的能力的重任。它的特點是具有高度的抽象性、邏輯性和廣泛的適用性，對能力要求較高。學習數學一定要講究“活”，只看書不做題不行，埋頭做題不總結積累不行，對課本知識既要能鉆進去，又要能跳出來，結合自身特點，尋找最佳學習方法。高中數學中易分化的地方多，這些地方一般都有方法新、難度大、靈活性強等特點。對易分化的地方教師應當采取多次反復，加強輔導，開辟專題講座，指導閱讀參考書等方法，將出現的錯誤提出來讓學生議一議，充分展示他們的思維過程，通過變式練習，提高他們的鑒賞能力，以達到靈活掌握知識、運用知識的目的。
