開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇圖形的變換，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。

第1篇

課件《圖形的變換》具有導航清晰、目標明確、主體突出、講解細致、反饋及時、內容豐富的特點。

制作背景

課件《圖形的變換》是根據人教版《小學數學》五年級下冊第一單元的內容設計制作的。在日常教學中，對于有作圖要求的知識點，作業批改對教師來說是一項較為繁重的工作，一方面課本上相關的練習較少，且學生的繪圖能力有限，像畫對稱軸、畫對稱圖形等都需要在方格紙上完成，這就為教師給學生準備練習題帶來了困難——每次做練習都要為學生準備方格紙。而對于學生來說，課本上相關知識的講解不精細、練習內容單一、枯燥、乏味，不愿意多練習。為此，我設計制作了這個課件，既減輕了教師批改作業的工作量，又可以讓學生在電腦上自學新知和鞏固練習，還可以接觸到課本以外的相關知識，拓寬視野，激發學生學數學、用數學的意識和情感。

教學策略

通過對知識點的講解、知識點與生活的聯系、對知識點的強化練習等措施，讓學生觀察對比圖形、現象，對知識點進行猜測、驗證等，讓學生親歷知識的形成過程，并感覺數學的思想方法。以多種形式的練習激發學生的學習興趣，調動他們的積極性、主動性，突顯學生的主體地位。尤其在設計這一環節，為學生提供動手動腦的機會，讓學生發揮自己的想象，利用所學知識進行設計創作，既使學生體會到學為所用，又培養了學生的審美情趣。

設計思路及內容結構

1.設計思路

（1）導航清晰

本課件設置了多個導航路徑，既可通過“上頁”、“下頁”兩個按鈕進行翻頁，也可通過一級和二級菜單隨時進入課件的各個環節（如圖1）。

為便于使用者了解課件的結構、內容、工具使用、各環節的操作方法等，本課件還設計了工具使用說明和操作指南。

（2）目標明確

本課件中的每一課時都有明確的學習目標，便于教師和學生把握學習內容要求、學習的方法等。

（3）主體突出

本課件注重學生的主體地位，為了更好地激發學生的學習興趣，課件在呈現內容、色彩搭配等方面考慮到了小學生的審美需求和生活化、情境化的特點，盡量選擇艷麗的色彩、以學生作品作為學習內容。

在激發學生學習興趣的同時，課件還注重引導學生親歷知識的形成過程，讓學生對不同情況進行觀察、對比，然后得出結論。例如，在學習軸對稱圖形的特點時（如下頁圖2），我引導學生觀察一組利用軸對稱繪制的圖形，并讓他們進行對比，進而發現圖形的相同之處，從而初步建立軸對稱的概念（如圖3）。在這一基礎上再給出軸對稱的概念，符合“先學后教”的教學理念，使學生在學習中的主體地位得到了充分的體現。

為了讓學生親歷探究旋轉的結果與哪些因素有關的過程，本課件設計了一個實驗環節（如圖4）。引導學生通過假設“旋轉方向”、“旋轉角度”、“旋轉中心”這三個因素的異同，點擊“播放”按鈕，得到相關的圖形。通過這個環節的學習，學生不僅得出了“旋轉的結果與旋轉方向、旋轉角度和旋轉中心都有關系”的結論，而且體會到探究數學規律的一般方法和過程，即提出假設、操作探究、得出結論。

為了培養學生的發散思維及創新能力，課件還設計了一個學生自己利用課件提供的圖形根據旋轉、軸對稱、平移等圖形變換的方法設計圖畫的環節——設計，這不僅培養了學生應用所學知識解決問題的能力，也培養了學生的審美情趣（如圖5）。

（4）講解細致

本課件在對知識點進行講解的過程中，對于每種類型的例題都給出了詳細的步驟，只要點擊右下方的“步驟”及“繼續”按鈕，即可逐步出示作圖步驟。這既方便了教師課堂教學時進行演示，也方便了學生課下自學，并自覺養成規范作圖的良好習慣（如圖6）。

（5）反饋及時

本課件設計了內容豐富、形式多樣的練習，并能及時對學生的答案做出反饋，這不僅增加了學生練習的積極性，也減輕了教師批改作業的工作量。課件的練習題分為涂色題、填空題、連線題、繪圖題、拖拽題、設計題等題型。涂色題可以通過給正確的答案涂色來完成練習。連線題可以通過把相關的信息連線，加深學生對所學知識的理解。繪圖題可以通過尺子或格子來把握旋轉的角度和線段的長度，完成后把相應圖標拖到相應的點上，再點擊“確定”按鈕，課件即可判斷答題是否正確。拖拽題是把拖動的對象拖到相應的位置，也可旋轉對象到相應的位置，再點擊“確定”按鈕，課件即可判斷答題是否正確。在設計題中，學生可以把屏幕下方的幾種圖形拖到操作區，把這些圖形進行平移和旋轉，還可以改變大小，來組成一幅圖畫。

（6）內容豐富

本課件注重數學與生活的聯系，不僅對本單元的知識點進行了詳細講解，給出了多種形式的練習題，而且通過介紹本節內容在生活中的應用及與軸對稱和旋轉有關的科學知識，使學生感受到數學之美，并產生了對科學知識的向往之情。

2.內容結構

（1）軸對稱

通過軸對稱圖形展示激發學生興趣，引導學生回憶有關軸對稱的知識，為深入探究軸對稱的特征和性質做好鋪墊。通過數一數對應點到對稱軸的距離，概括軸對稱的性質，從而使學生對軸對稱的認識從經驗上升到理論。借助學生已經掌握的關于軸對稱的知識，使學生在能夠畫出三角形的對稱圖形的基礎上，進一步能畫出長方形的對稱軸。通過五道關于軸對稱的練習題，進一步強化學生對軸對稱的認識和理解；同時讓學生在自主學習中，進行空間想象，體會軸對稱變換的特點。

（2）旋轉

由學生生活中熟悉的事物引入，使學生感知旋轉現象，建立旋轉的表象。體驗旋轉現象，初步認識旋轉。通過展示同一線段繞不同的中心點、不同的方向、不同的角度進行旋轉，引出與旋轉相關的幾個因素，進一步觀察、探索圖形旋轉的特征和性質。通過五道關于旋轉的練習題，進一步強化學生對旋轉的認識和理解。

（3）欣賞與設計

通過展示與生活相關的軸對稱和旋轉現象，讓學生體會軸對稱與旋轉存在于生活之中，欣賞數學帶給生活的美，以及學習生活中對稱與旋轉的科學知識。通過兩個設計題目，讓學生自由發揮，充分想象，根據自己的需要繪制圖形。本題目主要是拓展學生的思維、培養學生的創新能力。

關鍵技術

1.涂色題的制作

（1）涂色原理

設色板上的每一個顏料盤都是一個影片剪輯，影片剪輯內嵌一個按鈕，當點擊按鈕時，賦予變量ii1一個值，如點擊綠色顏料盤時變量ii1＝2，代碼如下。

on （release） {

_root.ii1=2；

_parent.tsp.gotoAndStop（3）；

_root.youtong_1.gotoAndStop（3）；

_root.youtong_1.Mouse.hide（）；

_root.youtong_1.startDrag（）；

gotoAndStop（2）；

_parent.gotoAndStop（2）； }

題目中的每個圖形也是一個影片剪輯，內嵌一個按鈕，當點擊按鈕時，如果剛才點擊的是綠色顏料盤即變量ii1＝2，則這個圖形就變為綠色，代碼如下。

on （release） {

if （_root.ii1 == 9） {

_root.m1.gotoAndStop（4）；

colorA=new Color（_root.tuxing1.yidong）；

change_color=new Object（）；

change_color.rb=153；

change_color.gb=153；

change_color.bb=153；

colorA.setTransform（change_color）；

}

if （_root.ii1 == 1） {

_root.m1.gotoAndStop（2）；

colorA=new Color（_root.tuxing1.yidong）；

change_color=new Object（）；

change_color.rb=255；

change_color.gb=0；

change_color.bb=0；

colorA.setTransform（change_color）；

}

if （_root.ii1 == 2） {

_root.m1.gotoAndStop（2）；

colorA=new Color（_root.tuxing1.yidong）；

change_color=new Object（）；

change_color.rb=0；

change_color.gb=204；

change_color.bb=0；

colorA.setTransform（change_color）；

}

}

注意：用這種方法涂色時，圖形必須做成黑色的，在運行時進入這一幀時讓它成為白色，代碼如下。

for（var i = 1；i

if（_root.ii1==0）{

colorA=new Color（_root. ["tuxing"+i].yidong ）；

change_color=new Object（）；

change_color.rb=255；

change_color.gb=255；

change_color.bb=255；

colorA.setTransform（change_color）；

}

}

（2）判斷對錯的原理

影片剪輯m1有3個關鍵幀，第一個關鍵幀是空白的，第二個關鍵幀是對號，第三個關鍵幀是錯號。當點擊圖形為圖形涂色時，如果變量ii1的值符合要求，影片剪輯m1跳轉到第二個關鍵幀，即出現對號；如果變量ii1的值不符合要求，則影片剪輯m1跳轉到第三個關鍵幀，即出現錯號。

2.拖拽題的制作

（1）拖拽與旋轉的實現

圖中的對稱軸是一個影片剪輯，影片剪輯內嵌入三個按鈕，用鼠標按住線段中部時可拖動線段，按住線段的兩端時可使線段旋轉。為了便于操作，影片剪輯設有自動吸附功能，即線段的位置接近正確的對稱軸的位置時，它將被吸附到正確的對稱軸的位置。因為線段的平移和旋轉可以通過鍵盤控制，所以界面上其他可用鍵盤控制的影片剪輯都應停留在第一幀，而操作對稱停留在第二幀。代碼如下。

on （press） {

startDrag（this）；

gotoAndStop（2）；

_root.duichen_3.gotoAndStop（1）；

_root.duichen_2.gotoAndStop（1）；

_root.duichen_4.gotoAndStop（1）；

_root.duichen_5.gotoAndStop（1）；

}

on （release， releaseOutside） {

stopDrag（）；

if （this.dian3.hitTest（_root.duichen1.yu03）） {

this._x = _root.duichen1._x；

this._y = _root.duichen1._y；

}

if （（this._rotation > 54 and this._rotation < 62） and this._x == _root.duichen1._x and this._y == _root.duichen1._y） {

this._rotation = 58；

}

if （（this._rotation > -126 and this._rotation < -118 ） and this._x == _root.duichen1._x and this._y == _root.duichen1._y） {

this._rotation = -122；

}

}

（2）判斷對錯的原理

放置好線段后，點擊下面的“確定”按鈕，如果線段的縱、橫坐標及旋轉角度都正確，則判斷對錯的影片剪輯顯示對號，如果不正確則顯示錯號。代碼如下。

on （release） {

if （（_root.duichen_1._rotation == 58

and _root.duichen_1._x == _root.duichen1._x

and _root.duichen_1._y == _root.duichen1._y）

or （_root.duichen_1._rotation == -122 and

_root.duichen_1._x == _root.duichen1._x

and _root.duichen_1._y == _root.duichen1._y）） {

_root.m1.gotoAndStop（2）；

} else {

_root.m1.gotoAndStop（4）；

}

}

3.繪圖題的制作

學生可利用格子和尺子確定線段的長度和方向，本課件的繪圖工具是下載的模板。畫完圖后，拖動標識A’、B’到畫好的三角形的兩個頂的位置，點擊下面的“確定”按鈕，即可查看結果是否正確。

on （press） {

if （（_root.fz1.aa1._x == _root.fz1.dian_a._x）

and （_root.fz1.aa1._y == _root.fz1.dian_a._y）） {

_root.fz1.m1.gotoAndStop（2）；

} else {

_root.fz1.m1.gotoAndStop（3）；

}

if （（_root.fz1.bb1._x == _root.fz1.dian_b._x）

and （_root.fz1.bb1._y == _root.fz1.dian_b._y）） {

_root.fz1.m2.gotoAndStop（2）；

} else {

_root.fz1.m2.gotoAndStop（3）；

}

}

4.填空題的制作

在判斷旋轉方向時，為了便于學生填寫旋轉的方向，點擊括號右下角的“”，可出現“逆”、“順”兩個選項，點擊這兩個選項，括號里便填上相應的字。

“”的代碼on （release） {

gotoAndPlay（10）；

}

“順”字的代碼on （release） {

_root.jiaodu001.text ="順"；

gotoAndPlay（1）；

}

“逆”字的代碼on （release） {

_root.jiaodu001.text ="逆"；

gotoAndPlay（1）；

}

填完括號后，點擊“確定”按鈕，課件即可判斷答題是否正確。

“確定”按鈕的代碼：on （press） {

if（_root.jiaodu003.text == "順"）{

_root.m3.gotoAndStop（2）；

}else{

_root.m3.gotoAndStop（4）；

}

if（_root.jiaodu004.text == "180"）{

_root.m4.gotoAndStop（2）；

}else{

_root.m4.gotoAndStop（4）；

}

}

評價與反思

多年的制作經歷，使我深刻地體會到，一個優秀的課件應融教育性、科學性、藝術性、技術性于一體，既美觀又實用，既有利于教師的課堂教學，也有利于學生課下自主學習，最大限度地發掘學生的潛能，強化教學效果， 提高教學質量。

因此在制作這個課件時，我以Flash軟件為平臺，集圖、文、聲、像等多種媒體為一體，構建了具有多個路徑的導航系統，可以輕松自如地在各個頁面間切換，以便使用者隨時進入不同的學習環節，而且提供鍵盤和鼠標兩種操作方式，較好地實現了人機交互，能讓使用者更好把握使用課件的主動權，而不會被課件所制約。

同時，我深入研究了教材，從深度和廣度兩方面進行挖掘，力求使學生通過這部分知識的學習不僅學到新知識，還能學到獲取知識、解決問題的方法，并了解所學知識在生產和生活中的廣泛應用，從而提高學生學習的興趣、拓寬學生的視野。

幕前幕后

我從1999年開始學習多媒體課件的制作，最初是用PowerPoint軟件制作簡單的演示課件，那時這個軟件還不像現在這樣功能強大，記得為了呈現小朋友玩蹺蹺板的動態過程，我用了好多張幻燈片才實現，那時我就非常渴望掌握一個能輕松實現這一動態過程的軟件，做出一大批能很好地為教學服務的課件。

2002年我開始學習用Flash軟件制作課件，在掌握了基本的制作方法和流程之后，我已經不滿足制作那些只用鼠標來點擊播放的課件，而是嘗試著在課件中加入一些智能化的因素，這時我開始學習寫一些簡單的代碼。2006年我在制作課件《長方形面積計算》時開始嘗試用鍵盤輸入長方形的長和寬的值，讓計算機呈現出相應的長方形，這對于從未學習過計算機編程知識的我來說實在是太難了，但是在培訓班老師的精心指導下我做到了，這使我信心大增。同時我也在把課件的操作權交給學生這方面邁開了第一步，讓學生用課件提供的小正方形拼成一個大長方形，統計出相應的數據，并對這些數據進行分析對比，得出結論。那時我們學校的學生還很少有機會自己上機操作課件，我的這一課讓學生體會到了一種別樣的來自于學習的成功感、快樂感。由此，我認識到一個好的課件不僅是給教師用的，也是給學生用的。

2007年，我做的課件已經實現了能讓學生自主練習并能及時對學生的答題情況進行批閱了，但這些練習只能使用一次，總不能讓學生一次次地做同樣的練習吧。于是，我又想做出能不斷出更新題目的課件。于是在2009年，我開始嘗試用隨機函數來實現計算機出題，并能對學生的答題情況進行批閱，我選擇的課題是《認識鐘表》，我又一次實現了突破，這個課件不僅能讓學生反復地進行練習，而且教師在課堂教學時可以在鍵盤上輸入一個時刻，這時課件上的鐘面就會顯示相應的時刻，這比用實物鐘既方便又準確，而與以往的課件相比，練習內容的主動權交到了任課老師和學生的手上，而不是課件制作者來控制練習的具體內容。

繪圖題一直以來都是學生難以掌握的學習內容，而作業的設計與批改對教師來說也是一項繁重的工作，能不能制作出一個既能出題，又能批閱繪圖題的課件，就成為我的一個新目標。于是，2010年我精心制作了課件《位置與方向》，學生利用課件提供的繪圖和測量工具，繪制行動路線圖，然后把圖標拖到相應的位置，全部完成后，再點擊確定按鈕，課件自動判斷對錯。點擊“出題”按鈕，課件還能夠隨機出題，這既能滿足學生反復練習的要求，又不增加教師批改作業的負擔，可謂一舉兩得。就連一些家長也產生了興趣，通過郵件告訴我：“這個練習很有趣，我也在做。”

2009年，我開始接觸游澤清教授的《多媒體畫面藝術》理論，并在這一理論的指導下力求使自己的課件美觀、精致、實用。兩年多來，我不僅在課件制作水平方面有所提高，而且掌握了一些課件制作的理論知識，欣賞課件的水平也在不斷提高。

在不斷進步的過程中，我認可了這樣一個真理：幫別人就是幫自己。2012年，我開始帶徒弟，在第十屆NOC活動多媒體學習工具評優賽項中我的兩個徒弟分別獲得一、二等獎。我認可的另一個真理是：大家好才是真的好。這學期我承擔了學校課件制作小組首席教師的工作，把我多年來積累的經驗教給大家。因為我深深地知道，一個強有力的團隊，對于一個人的成長是多么重要。十幾年來，我接受過很多老師的指導和幫助，我今天所取得的成績都應歸功于我有這樣一個既專業又熱情的團隊。

評委印象

課件《圖形的變換》的制作很豐富，知識點涵蓋了人教版小學數學五年級下冊第一單元的內容。知識量很多，是一個綜合性的課件。制作技術也很專業。

印象一：課件的知識量豐富，包括了一個單元的內容。里面的演示和工具，有助于教師在教學中突破重、難點，使學生很直觀地進行學習，提高了教學的質量和實效性。

印象二：課件的界面設計很方便，可以通過多種路徑進入。方便了教師教學時的演示，也方便了學生自學時的使用。大大提高了課件的使用性。

印象三：課件中每節課的學習目標很明確，便于教師和學生把握學習內容要求、學習的方法等。課件中還有大量的練習題型，而且每個題型都能夠及時對學生答題做出反饋。這不僅增加學生練習的積極性，也增加了學生的挑戰問題的能力。

教師對Flash軟件的使用和制作課件的水平非常高，代碼應用很準確。而且有不錯的團隊。希望保持下去，制作出更多實用的課件。

印象四：所有練習題的反饋都是針對學生的答題給出對錯，而教師不能夠知道全班學生有多少人在一道練習題答對或是答錯，缺少全面學生的反饋。希望今后能考慮網絡型課件的制作，學生做完題，就能夠讓老師知道這道題，全班有多少人答對，得到第一手反饋信息。

第2篇

一、建立直角坐標系xOy與水平放置的直角坐標系x′O′y′

單擊“繪圖”菜單中的“定義坐標系”。單擊文字工具，小手放到原點處，當小手變黑時，雙擊鼠標左鍵，標簽輸入O，單擊“確定”。用同樣方法將數軸分別標為x、y。單擊點工具，點放到x軸上，單擊鼠標左鍵，將得到的點標為O′。選中點O′，單擊“變換”菜單中的“標記中心”，將點O′設置為中心。選中x軸，單擊“變換”菜單中的“旋轉”，輸入“45”，單擊“確定”。將旋轉后的直線標記為y′.x′軸與x軸重合。

二、創建“斜二測畫法”變換

單擊點工具，點放到任意位置，單擊鼠標左鍵，將得到的點標為A1.選中點A1、x軸，單擊“構造”菜單中的“垂線”。箭頭放到垂線與x軸的交點處，當箭頭變為橫向箭頭時，單擊鼠標左鍵，得到垂線與x軸的交點，標記為B1.將點B1設置為中心。選中點A1，單擊“變換”菜單中的“縮放”，系統默認縮放1/2，單擊“縮放”，將縮放后的點標為C1.選中點C1，單擊“變換”菜單中的“旋轉”，輸入“- 45”，單擊“旋轉”，將旋轉后的點標為D1.依次選中點O、O′，單擊“變換”菜單中的“標記向量”，將OO′設置為平移向量。選中點D1，單擊“變換”菜單中的“平移”，單擊“平移”。將平移后的點標為A1′.點A1′就是利用斜二測畫法點A1的直觀圖。依次選中點A1、A1′，單擊“變換”菜單中的“創建自定義變換”，輸入“斜二測畫法”，單擊“確定”。選中點A1、B1、C1、D1、A1′，x軸的垂線，單擊“顯示”菜單中的“隱藏對象”。

三、創建“反斜二測畫法”變換

構造任意點A2′.選中點A2′、y′軸，單擊“構造”菜單中的“平行線”。作平行線與y′軸的交點，標為B2′.將點B2′設置為中心。選中點A2′，單擊“變換”菜單中的“縮放”，分子輸入“2”，分母輸入“1”，單擊“縮放”，將縮放后的點標為C2′.選中點C2′，單擊“變換”菜單中的“旋轉”，輸入“45”，單擊“旋轉”，將旋轉后的點標為D2′。依次選中點O′、O，單擊“變換”菜單中的“標記向量”。選中點D2′，單擊“變換”菜單中的“平移”，單擊“平移”，將平移后的點標為A2。點A2就是利用斜二測畫法，直觀圖為點A2′對應的平面圖形。依次選中點A2′、A2，單擊“變換”菜單中的“創建自定義變換”，輸入“反斜二測畫法”，單擊“確定”。隱藏點A2′、B2′、C2′、D2′、A2，y′軸平行線。

四、通過任意改變平面圖形的形狀，來改變平面圖形直觀圖的形狀

以平行四邊形為例，作任意點A3、B3、C3，依次選中點B3、C3，單擊“變換”菜單中的“標記向量”。選中點A3，單擊“變換”菜單中的“平移”，單擊“平移”，將平移后的點標為D3.單擊線段直尺工具，連接A3B3、B3C3、C3D3、D3A3.選中平行四邊形A3B3C3D3，單擊“變換”菜單中的“斜二測畫法”，得到利用斜二測畫法平行四邊形的直觀圖，頂點分別標為A3′、B3′、C3′、D3′.用箭頭分別拖動點A3、B3、C3，任意改變平行四邊形A3B3C3D3的形狀，觀察平行四邊形直觀圖的形狀。通過觀察可以發現：利用斜二測畫法，平行四邊形的直觀圖還是平行四邊形（圖1）。觀察平行四邊形的對邊可以發現：相等的線段在直觀圖中仍然相等；若兩條線段平行，則在直觀圖中對應的兩條線段仍然平行。觀察平行四邊形的對角可以發現：角的水平放置的直觀圖一定是角，相等的角在直觀圖中仍然相等。

五、通過任意改變平面圖形直觀圖的形狀，來改變平面圖形的形狀

第3篇

1.1 位似圖形

定義1 位似圖形：兩個圖形相似，且一個圖形上的任意點A，B，…，P和另一個圖形上的點A′，B′，…，P′分別對應，并且滿足：

①直線AA′，BB′，…，PP′ 都經過同一點O；

②OAOA′=OBOB′=…=OPOP′=k.

點O叫做位似中心.

若位似形是多邊形，叫做位似多邊形.即有如下定義：

定義2 對于兩個多邊形，若一個多邊形的頂點A，B，…，P和另一個多邊形的對應頂點A′，B′，…，P′ 滿足：

①直線AA′，BB′，…，PP′都經過同一點O；

②OAOA′=OBOB′=…=OPOP′.

則這兩個多邊形叫做位似多邊形.

兩個位似圖形的各對對應點，都在位似中心的同旁，這兩個位似圖形叫做相互外位似，其位似中心叫做外位似中心.

兩個位似圖形的各對對應點全部都在位似中心的兩旁，這兩個位似圖形叫做相互內位似，其位似中心叫做內位似中心.

位似多邊形有如下性質：

①每個多邊形都可以位似于它本身(反身性)；

②若多邊形F位似于多邊形F′，則多邊形F′位似于多邊形F；

③兩個位似多邊形一定相似，它們的相似比等于對應頂點與位似中心的距離的比；

④兩個位似多邊形的對應邊分別平行.

1.2 位似變換

定義3 位似變換：一種幾何變換.設O為平面上一定點，若某變換把平面上任意一點A變為直線OA上一點A′，并且|OA′|=k|OA|，k≠0，則稱這種變換為平面到它自身的位似變換，O為位似中心，k為位似比或位似系數.當k>0時，點A和A′位于直線OA上點O的同側，稱這種變換為正向位似變換，或順位似變換，O為外位似中心(圖1)；當k

圖1 圖2當k=1時，位似變換為恒等變換，當k=-1時，位似變換為以O為中心，旋轉角為180°的旋轉變換或中心對稱變換.

若圖形M上各點經過位似變換后得圖形M′時，則稱圖形M位似于圖形M′，或圖形M與M′位似.當|k|>1時，圖形被放大，當|k|

位似變換是一種特殊位置的相似變換.

位似變換有如下性質：

①位似變換把任意直線AB變為直線A′B′(過位似中心的直線變為它本身)，并且AB∥A′B′，線段AB與A′B′滿足|A′B′|=k|AB|；

②位似變換把兩條相交直線變為相交直線，交角不變，并且交角的方向也不變；

③任意多邊形變為與它相似的多邊形；

④任意兩個圓都是位似形.

圖3對于兩個同心圓來說，顯然圓心就是它們的位似中心，而半徑之比就是它們的位似系數.對于任意兩圓，如圖3，設A的半徑為r，B的半徑為R，如果直線AB上的點O和O1滿足OAOB=rR，O1AO1B=rR，則O點是A和B的內位似中心，點O1是兩圓的外位似中心.

2 課標教材中的位似

2.1 定義

我們知道，在中小學教材中，為了使學生易于接受，本著科學性和量力性相結合的原則，常常要對一些本來嚴密的數學概念進行改寫，在某一個教學階段，有時會犧牲一些概念的嚴密性，僅給出一種描述性定義.位似的概念也是如此.不同版本的課標教材對位似概念的處理雖不盡相同，但大多是結合多邊形的縮放給出了位似圖形的定義.大致有如下幾種說法：

(1)如果兩個相似圖形的每組對應點所在的直線都交于一點，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個交點叫做位似中心，這時兩個圖形的相似比又叫做它們的位似比(山東教育出版社2007年7月第3版《數學》八年級上冊p.58).

青島出版社、泰山出版社《數學》2006年8月第1版九年級上冊p.64：每對對應點所在直線交于一點的相似圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心.

顯然，這兩個版本的教材中關于位似的定義是一致的，浙教版九年級上冊的數學課本也采用了這樣的方法來定義.

(2)圖27.3-2每幅圖中的兩個多邊形不僅相似，而且對應頂點的連線相交于一點，對應邊互相平行，像這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心(人民教育出版社2006年6月第1版《數學》九年級下冊p.60).

顯然，和(1)中定義位似的方法不同，這里用“位似多邊形”作為位似圖形的重要示例，把“每組對應點”改為了“對應頂點”，且注明了條件“對應邊互相平行”.

(3)圖24.5.1中的兩個多邊形不僅相似，而且對應頂點的連線相交于一點，像這樣的相似叫做位似，點O叫做位似中心(華東師范大學出版社2007年6月第三版《數學》九年級上冊p.71).

這是一個很不嚴密的定義.

2.2 性質

教材中關于位似的性質大都只涉及這么一條：位似圖形的對應點和位似中心在同一條直線上，任意一對對應點到位似中心的距離之比等于位似比.

有的教材(如魯教版)還試圖讓學生通過探究發現如下性質：位似圖形的對應線段平行(或共線).

3 教學中的位似

3.1 位似的教學定位：放縮變換

義務教育數學課程標準中對位似的要求是“了解圖形的位似，能夠利用位似將一個圖形放大或縮小｡”可見，課標讓學生了解位似，定位于讓學生知道位似是一種變換，一種可以將圖形放大或縮小的變換.

圖4和大綱教材不同，課標教材強化了圖形變換的意識，在學習位似之前，已經學習了平移、旋轉(含中心對稱)、軸對稱三種變換，它們都是合同變換，也就是能夠保持圖形上任意兩點間的距離不變，變換后的兩個圖形是全等形.在學習了相似形的知識后，還有必要讓學生了解：初等幾何變換還有相似變換，其中最簡單的是位似變換，它是可以把圖形放大縮小的一種變換.這種變換在生活中的例子除了在放映機、照相機等成像過程中常見外，課本還安排了諸如“對數視力表”等素材讓學生去主動探究(北師大版、魯教版等)，有時，還可以用位似變換來設計藝術字(人教版)，如圖4.

3.2 關于位似的判定

(1)學習了位似的概念，似乎就繞不過對位似圖形的識別判定問題.由于課標并未涉及位似的判定，教材中也未出現位似的判定定理，因而，定義就成了判定位似圖形的唯一依據.

比如，魯教版教材中設計了一個例題和一組練習，其中的例題是判斷常見的基本圖形――“A型圖”中的兩個三角形是否是位似圖形.例題的解答中首先推導出ADE∽ABC，然后進行了如下說明：

如圖5，又因為點A是ADE和ABC的公共點，點D和點B是對應點，點E和點C是對應點，直線BD和CE相交于點A，所以ADE和ABC是位似圖形.

圖5這個結論無疑是正確的，然而，上述解答卻把教材上定義中的條件“每組對應點所在直線交于一點”中的關鍵詞“每組對應點”簡化成了“對應頂點”，這種不嚴密的推理，很容易使人產生這樣的錯誤認識：“如果兩個相似多邊形的對應頂點的連線經過同一個點，則這兩個多邊形就是位似的.”

本刊2008年第8期李孟堂老師的《一道位似圖形題引發的思考》一文中，李老師命制了如下題目：

如圖6，在梯形ABCD中，ABBC，∠ADC的平分線和∠BCD的平分線交于點E，且點E恰好落在AB上，則圖中和AED是位似圖形的是，位似中心是.

圖6 圖7李老師認為“BCE與AED是位似圖形及中心點是E是確信無疑的”，但一些教師卻根據“任意一對對應點到位似中心的距離比都等于位似比”得出了矛盾.其實，李老師“確信無疑”的是一個錯誤結論，“任意一對對應點到位似中心的距離比都等于位似比”本該是定義中的條件. 即使按魯教版的定義來分析，AED的三個頂點及其對應點并不能代表AED和BCE的“每對”對應點.事實上，相似三角形的每對對應點遠不只是它們的對應頂點，還包括了對應邊上的無數對對應點.如圖7，我們只要取AE的中點M和BC的中點N這樣一對對應點，就會發現，它們的連線并不經過E.

要避免此類錯誤，關鍵是要對概念真正理解.作為一個教師或教研員，對概念的理解如果只局限于課本上的文本，則顯得有些高度不夠.這似乎又驗證了那句老話：用教材教而不是教教材.

(2)由于位似圖形具有對應線段平行、對應線段之比等于位似比和對應點的連線過位似中心等性質，因此，恰當使用位似來解題往往會使解法顯得簡捷明了.但是，要使用位似的性質都需要先進行位似的判定，而初中教材上給出的定義大都難以直接用來證明位似，所以，筆者認為用位似解復雜的證明和計算題，應屬于競賽性質的較高要求，不宜作為對一般學生的普遍要求，也不宜作為中考或模擬考試題使用.

參考文獻

[1] 教育部.全日制義務教育數學課程標準(實驗稿)[S].北京：北京師范大學出版社，2001.

[2] 張春條.中國中學教學百科全書數學卷[M].沈陽：沈陽出版社，1991.

[3] 李孟堂.一道位似圖形題引發的思考[J].中學數學雜志.2008，(8).

[4] http：//jpkc.yzu.省略/course/cdsx/kcrr/kcrr6-3.htm

第4篇

1 內容安排

教材把變換的內容分為三章逐步展開，第七章介紹平面上的剛體運動、反射、旋轉、變換與向量、滑移反射及合成、雕帶圖案，共6節.第八章介紹比率與比例、比例的應用、相似多邊形、相似三角形，相似三角形的證明、比例與相似三角形、放大，共7節.有關矩陣變換內容則放在代數部分.每一章的結構分為問題情境、學習指導（復習，準備，學習策略）、本章內容、本章小結、本章回顧與評價（本章水平測試）、設計題.每一小節又分為活動（拓展概念，信息技術應用）、各節的學習內容（圍繞你應學到什么，你為什么學展開）、練習指導.這種獨立成章的編排使內容相對完整，力圖反映美國課程標準的要求.同時，教材并不追求知識體系的嚴密性，而是讓學生通過案例認識變換，理解變換的性質并能運用變換解決問題.

2 主要特點

2.1 密切聯系生活，注重變換應用

教材從多角度、多層次編排了變換應用的內容，特別是在日常生活中的應用.

首先，教材抓住日常生活中的建筑問題作為全章變換內容的引入，并圍繞應用展開（例1）.這種引入方式不僅有利于創設主動的問題情境，而且有利于學生體會到變換就在你身邊，或者說你身邊的問題需要用變換知識來解決，從而吸引學生到學習中來.同時，這種結合操作引入變換概念，讓學生的思維從靜態的圖形轉向動態的變化，教材的這種做法無疑能讓學生體會用運動變化的觀點或思想觀察和分析周圍的事物，并逐步內化為學生認識事物和解決問題的方法.

例1 建筑師怎樣運用變換？

建筑師常常在建筑設計中添加一些裝飾圖案，這些裝飾給建筑增添了色彩，也體現了建筑的特征.依靠圖形以及圖形的變換可以進行一些建筑設計，例如，可以經過圖形的平移、反射、以及旋轉構造出新的圖案.

思考與討論：

①圖形A是經過怎樣的運動得到圖形B的？如圖：.

②討論一下設計中存在的其他變換.

學習更多：你將在練習35—37（p.435）中了解更多建筑中的圖形變換.

應用鏈接：登錄 McDougal ，可查閱更多有關建筑中的圖形變換信息.應用鏈接拓展了變換內容極其應用的空間，更進一步拓展了學生的數學視野.

其次，教材中有關變換應用的例子和習題比比皆是，其內容涉及建筑、航海、服裝等多方面，充分顯示了變換應用的廣泛性.教材甚至單獨編排了雕帶圖案一節，進一步加強了變換在日常生活中的應用（例2）.這種利用變換設計圖案是十分有趣的實踐活動，讓學生自己動手設計和創造優美的圖案，不僅能熟悉各種變換的特征，而且可以更好地發揮學生的主動性和創造性.

例2 用如下圖的瓷磚裝飾浴室墻壁 （如圖：），瓷磚邊緣的連接是典型的TR型（平移和旋轉180°），畫出符合條件的圖案.

解 首先把給定的瓷磚旋轉180°，然后把這塊瓷磚和原來的瓷磚輪流對稱設計出一種式樣，重復幾次制作出裝飾橫條.如圖：.

此外，教材在這一部分辟有不少小欄目，其中有些欄目是關于應用的.如“聚焦職業”這一欄目，就介紹了商標設計、建筑中應用變換的事例.

2.2 滲透數形結合的思想方法，注重幾何直觀

教材在這一問題上作了一些有益探索，比較突出地表現在如下方面：

（1）具體的變換大多以直觀給以表示.如，建筑裝飾圖與平移、車輪與旋轉等等.這種結合實物圖來介紹具體變換比較直觀，學生容易理解；反過來，學生對相應的幾何圖形性質認識也比較深刻.

（2）注意坐標法的應用.坐標把幾何圖形和數量關系聯系起來，實現了數形結合.教材包含坐標與圖形的位置，坐標與圖形的運動，用坐標的方法刻畫在圖形的變換中所熟知的軸對稱，圖形的平移，圖形的位似等等.如，學習滑行反射及合成時，結合平面直角坐標系，畫出一個圖形經過x軸，再經過y軸反射的圖形；畫出一個圖形關于y軸反射后，又繞原點旋轉90°的圖形，等等.

（3）注重向量法的應用.向量作為溝通數與形的重要工具，在變換中有著廣泛的應用（如例3）.

例3 向量在平移中的應用

GH的分量形式是〈4，2〉，把頂點坐標分別為A（3，-1）、B（1，1）、C（3，5）的三角形沿GH進行平移.

2.3 呈現方式多樣化

注重圖文并茂是美國教材的一個傳統，教材中變換內容的呈現并不是直接的羅列，而是大多以活動的方式呈現.平面的剛體運動圍繞平面運動活動展開，反射圍繞平面的反射活動展開，旋轉圍繞研究雙重反射活動展開（例4），滑移反射及合成圍繞變換的合成活動展開.在上述活動中，教材并沒有把變換概念的定義作為重點，而是先讓學生獲取幾何圖形的感性認識，然后讓學生通過實際操作探索變換的性質，這有利于發展學生對具體變換內容的深層次理解.圖形變換部分的設計題（研究鑲嵌）具有較強的探索性和探索空間.而且，解決它的路徑和方法多樣，有利于拓寬學生的數學知識面.

例4 研究雙重反射（幾何軟件應用活動課）

（你可以應用幾何軟件觀察一個三角形在平面上反射兩次的變換類型.學習幫助：登錄 McDougal ，可查閱幾款軟件的使用說明）

作圖：① 如右圖，畫一個不等邊ABC.

②畫兩條相交直線 k 、m，確定它們不與ABC三邊相交.

③ 直線k 與直線m的交點為P.

研究：（1） ABC關于直線k反射得到A′B′C′， A′B′C′再關于直線m反射得到A″B″C″.那么，ABC和A″B″C″有什么關系呢？ 如下圖：

思考：（2）一個圖形經過兩條相交直線兩次反射后，還可以怎樣考慮它的變換呢？

進一步研究：⑶畫一條線段連結A和P、P和A″，測量∠APA″.這個角作為旋轉角的樣本.⑷測量直線k和直線m所成角的大小，并與∠APA″進行比較.

（5）找出∠BPB″和∠CPC″，你得到了什么結論？

進一步思考：（6）圖形關于兩條相交直線的反射變換中，兩條直線形成的角和旋轉角有什么關系？

拓展：畫不同的三角形重復（1）—（3）步驟，檢驗步驟（6）中的猜測是否正確.

2.4 追求信息技術與變換內容的有機整合

教材力圖反映信息技術與變換內容的相互促進與緊密結合，這部分內容許多地方都涉及信息技術的運用.這不僅給學生提供了豐富的學習環境和資源，而且有助于他們把精力集中在問題的思考和探究上，促進學生的數學學習，它主要包括以下兩方面：

⑴網絡鏈接.它是一種基于網絡環境的數學學習方式.這對于學生今后的發展和適應學習化社會起著積極作用，并進一步拓展數學學習的內容和空間.概括起來，教材中的網絡鏈接主要包括以下4種方式：應用鏈接、學習幫助、職業鏈接和超越挑戰，以上有關信息都可在公眾網站（ McDougal ）進行瀏覽、下載等.

⑵動態幾何軟件（或幾何畫板）在數學活動中的應用.比如，例4中用動態幾何軟件畫的三角形.這既使圖形表示精確，而且也使它的動態效果能加深學生對變換的理解和掌握.

3 啟示

從上述特點反觀我國的高中數學教材建設，美國高中教材中圖形變換的上述幾個特點是值得我們參考的.

（1）多角度編排圖形變換的內容，明確圖形變換在課程中的地位，明確圖形變換不僅可以用于圖形性質的探索，還可以在解題實踐中發揮作用.雖然我國高中數學教材在除立體幾何與平面解析幾何之外，從函數的直觀解釋到線性規劃的區域刻畫等等都體現了變換的內容與思想，甚至設立了“對稱與群、矩陣與變換”， 介紹群與矩陣的基本知識和思想. 但我國高中數學教材在例題、練習題中極少要求學生用變換的語言解答問題，還是要求學生能用教材中的定理、推論或性質進行嚴格的推理，以變換為依據的推理是不嚴格的，這樣的做法可能會讓學生認為變換思想僅僅是用來推導書本上的結論.因此，還應考慮多角度配置一定數量的變換類問題，使變換的思想內化為一種重要的思考問題的方法.

（2）信息技術與圖形變換的有機整合.利用信息技術工具，我們可以很方便地制作圖形，可以很方便地讓圖形動起來.許多計算機軟件還有測量的功能，這有利于我們在圖形的運動和變化過程中去發現其中不變的位置和性質.因此，我們不僅應重視信息技術與圖形變換的有機整合，而且要讓學生利用信息技術進行探索和發現數學問題.

（3）數學活動的選擇.活動方式呈現變換內容，具有直觀、具體和有趣等特點.學生經歷其中，通過思考、探索和交流等活動，能形成良好的思維習慣，增進應用意識，增進學好數學的信心.因此，我國高中數學教材中活動的恰當選擇就顯得尤為重要.我們以為，它至少應反映這樣兩方面：一是突出圖形變換的本質和思想；二是利于學生觀測、探索、實驗、驗證、推理和交流等.

參考文獻

［1］ NCTM.Principles and Stan dards for School Mathematics .2001，USA，http：//

第5篇

關鍵詞：初中數學；圖形變換；教學研究

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：B 文章編號：1672-1578（2016）01-0204-02

隨著我國素質教育改革的不斷深入，我國越來越重視初中階段的義務教學，各中小學校紛紛響應素質教育改革的號召，一步一步地進行探索和創新，以適應新時期下的教育事業發展要求，滿足社會對人才的需求，突出素質教育改革的重要作用初中數學是素質教育改革中的重要組成部分，必須予以高度重視，不容忽視在初中數學教學中，圖形變換是數學教材中的重點內容，在幾十年的教學過程中，圖形變換這一內容亙古不變，雖然不同版本教材中的圖形的變換這一內容不盡相同，但是觀點卻保持一致，是初中數學教學中的必學內容為提高初中數學圖形變換這一課程的教學水平，必須突破傳統的教學模式，創新教學方式，以保障授課質量，使學生們能參更好地理解和掌握圖形變換的教學內容。

1.圖形變換的相關概念

在初中數學教學過程中，所渭圖形變換就是指許多點的集合，是某一個幾何圖形關于某一點的變換，這一點不僅存在于原來的圖形中，在變換后的圖形中也能找到相對應的位置圖形變換可以分為兩種形式，一種是全等變換，一種則是相似變換所謂全等變換是指某一幾何圖形在變換之后所得到的新圖形與原圖形，無論是在大小上面還是形伏上面都未有所改變，而且在新的圖形中尋找任意的兩個點，其之間的距離與原圖形中對匣的兩點距離完全相等；相似變換則是指某一圖形在經過變換后所得到的新圖形，雖然與原圖形基本相同，但是大小卻會有所變化，因而在原圖形和新圖形中分別選取兩個相對的點之間的距離也并不相等

圖形變換有三種形式，一種是平移變換，一種是旋轉變換，另一種則是軸對稱變換平移變換和旋轉變換具有相似性，平移變換是在圖形中選擇任意一點，然后尋找其變換圖形中的相對應一點，然后將其連接起來，并且保證長度相等；旋轉變換則是指選擇圖形中的固定一點，以此肖、為基礎進行全等變換軸對稱圖形則是指原圖形中的每一個點都能以某一直線為對稱線來尋找新圖形中的每一個相對應點。

2.初中教學中圖形變換的教學建議

圖形變換能夠將初中數學教學中的很多復雜的幾何問題進行簡單化，學生在變換的過程中能夠找到最佳的解決問題的方法，引導學生應用圖形變化的思想來看待生活中的數學現象，將理論聯系實際。對此，筆者關于初中教學中圖形變換的教學建議由以下幾方面：

2.1 聯系實際生活中圖形變換的實例。隨著新課改的不斷深入和發展，教學活動與學生的實際生活聯系的更加緊密，老師也應該在教學活動中為學生提供生活中的一些素材，激發學生在觀察生活中學習數學知識。對于初中教學中的圖形變換，在實際生活中能找到很多的實例，選擇典型的圖形變換案例，能夠幫助學生更好地認知圖形變換的理論知識，理解變換的具體過程。具體舉例：比如，可以讓學生觀察跳健美操的運動員的動作，看看人的旋轉和變換，并說出是屬于哪一種圖形變換模式；又如，讓學生動手操作，分別以鉛筆的鼻尖、中間的點和筆頭的點為固定點進行旋轉來觀察圖形發生的變化有什么不同和相似的地方。

2.2 通過課件來向學生呈現課堂教學內容和圖形的變換。我們可以應用多媒體技術來進行數學教學，對于學生而言，圖形是一種相對比較具象的符號，可以引起學生的興趣。因此，我們可以將新課程的內容與之前學過的相關圖形知識進行有機結合，并展示在課件上。例如，可以向學生呈現一個三角形，然后慢慢地從左向右移動出一個完全一樣的三角形，并在這兩個三角形的中間畫一條虛線，最后將其中的一個三角形旋轉360°之后與之前的三角形重合。這個簡單的操作可以非常形象地向學生呈現了圖形變換的知識與內容，讓學生更加形象地看到了圖形的變換過程，進而對知識產生更深層次的理解。

2.3 教師可讓學生動手繪制圖形變換的過程。在教師講解圖形變換課程的時候，教師要加強對學生動手實踐能力的培養，引導學生繪制圖形變換的過程，了解圖形變換的特點，在繪制圖形變換過程的時候鞏固和梳理所學到知識，以發散學生的思維，提高學生的動手能力，通過所繪制的圖形來尋找對稱軸的位置例如教師在教學過程中，可以讓學生在方格中先繪制一個三角形，然后再將三角形平移，重新繪制出一個新的三角形，然后可以讓學生數相隔的方格教量，以便掌握三角形平移的單位在初中數學圖形變換的過程中，既要幫助學生了解圖形變換的含義和慨念，也要注重學生數學邏輯思維推理能力的培養。

2.4 引導學生在紙上畫出圖形變換的過程。在方格紙上畫出圖形變換的過程是一個特殊的動手實踐活動，對學生對圖形變換的認知起到了非常重要的作用，學生在繪制圖形變換的過程中能夠重新再梳理一遍圖形變換，對其中蘊含的數學知識也會產生深入的思考。在實際教學過程中可以讓學生先觀察某一對稱圖形的特點，以及原圖與新圖中各個點和對稱軸的位置關系，然后再讓學生自己動手在方格紙上畫出圖形變換的過程。

3.結束語

綜上所述，圖形變換教學法是中學數學教學中一種十分重要的教學方法，對于初中數學教學改革的推進具有重要的意義，筆者在對圖形變換概念論述的基礎上提出了實際的應用方式，希望本文的論述對初中數學教學改革帶來一定的啟示。

參考文獻：

[1] 王愛琴.淺析如何實現初中數學課堂教學生活化[J].學周刊，2015，10：91.

第6篇

梳理圖形變換問題時，應盡量做到題型全面、方法系統化，尤其是：一要借助數形結合的方法理解題意；二要掌握相關的數學思想，能熟練用于解題；三要注意從運動過程中的特殊情況入手，找尋解題思路和解題方法，同時注意特殊情形與一般情形相結合.下面例談幾點體會：

一、關注圖形變換中的基本概念與基本性質

圖形變換的基本性質各具特色，通過設置單一的圖形變換，關注圖形變換中核心元素的變化規律，突顯基礎知識的應用.

例如，點P是正方形ABCD內的一點，PA=1，PB=2，PC=3，將 ABP按順時針方向旋轉，使點A與點C重合，此時點P旋轉到了G點.

（1）說出此時 APB繞點B旋轉了多少度？

（2）連結PG，求PG的長；

（3）猜想 PGC的形狀，并說明理由；

（4）試求 APB的度數.

解：（1） APB繞B點順時針旋轉于90 .

（2）連結PG，由旋轉的性質可知：BG=BP=2，且 PBG= ABC=90 ，由勾股定理得PG= .

（3） PGC為直角三角形.理由：由旋轉的性質可知：GC=AP=1，由（2）可知：PG= ，又由已知得PC=3，故 ，所以 PGC為直角三角形，且 PGC=90 .

（4）由（2）可知： PBG為等腰直角三角形，所以 PGB=45 ，由（3）知： PGC=90 ，所以 BGC= BGP+ PGC=45 +90 =135 ，由旋轉的性質可知： APB= CGB=135 .

本題借助于幾何直觀分別凸顯了對圖形變換前后對應點、對應線段、對應角的關系等變換性質中的核心元素的識別，體現了旋轉圖形的方向、角度，結合利用三角形的內角和定理、勾股定理等，涉及到幾何的基礎知識.

變式題：如圖，點P是正三角形ABC內的一點，且PA=6，PB=8，PC=10，若將 PAC繞A點逆時針旋轉后得到 P′AB.求：

（1）點P與點P′之間的距離；

（2）求 APB的度數.

解析：（1）連PP′，由旋轉的性質得P′A=PA=6， P′AB= PAC，

P′AP= BAC=60 ， P′AP為等邊三角形，PP′=AP′=AP=6.

（2）在 P′BP中，由旋轉的性質得P′B=PC=10，又PP′=6，PB=8，

P′P2+PB2=62+82=100=P′B2， P′PB為直角三角形，且 P′PB=90 ，

APB= APP′+ BPP′=60 +90 =150 .

二、突出圖形變換在構造探索題中的作用

一些題目以圖形變換為問題，使幾何圖形由靜態到動態，豐富了圖形間的位置關系

和數量關系，經過探索論證各種幾何關系，通過這類問題解答可以提高學生的綜合能力.

例如，已知 ABC的面積為3，且AB=AC，現將 ABC沿CA方向平移CA長度得到 EFA.

（1）求 ABC掃過的圖形的面積S；

（2）試判斷AF與BE的位置關系，并說明理由；

（3）若 BEC=15 ，求AC的長.

解：（1）連結BF，易得BF=AE，BA=FE，所以四邊形BFEA為平行四邊形，且SABFE=2S EFA=2S ABC，故S= S ABC+SABFE=3+6=9.

（2）由（1）知四邊形ABFE為平行四邊形，又AE=AC=AB，所以ABFE為菱形，所以AF與BE相互垂直.

（3）由 BEC=15 ，AE=AB得 BAC=2 BEC=30 ，過B點作BD AC于D點，則BD= AB= AC，又S ABC= AC·BD= AC· AC= AC2=3，所以AC2=12，所以AC= （負值舍去）.

本題利用圖形的平移探索基本數量關系，體現了對觀察、猜測、驗證、推理過程，由平移前后線段掃過的面積的形狀，利用特殊四邊形的性質判斷直線的位置關系，利用三角形的面積公式求線段，在一定程度上可以提升學生的數學素養.

變式題：如圖1在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于O點.

（1）畫出 AOB平移后的三角形DEC，其平移方向為射線AD的方向，平移的距離為線段AD的長；

（2）試判斷上題中四邊形CODE的形狀，并說明理由；

（3）當四邊形ABCD是什么四邊形時，（2）中的四邊形CODE為正方形？

三、重視圖形變換在構造綜合問題中的應用

通過數學綜合題，設置探索圖形變換中的數量規律問題，或者研究圖形變換的全過

程來實現對學生數學思想和基本活動經驗的培養.

例如，如圖正方形ABCD的邊長為5cm，在Rt EFG中， ，FG=4cm，EG=3cm，且點B、F、C、G都在直線 上， EFG由點F與點C重合的位置開始沿直線 以1cm/s的速度向左做勻速直線運動.

（1）求點E運動到CD上和運動到AB上的時間；

（2）設 秒后， EFG與正方形ABCD重疊部分的面積為 cm2，求 與 的函數關系式（其中 ）

解（1）因為FG=4cm，BC=5cm，所以點E到CD上的時間為 （秒），點E到AB上的時間為： （秒）

（2）設 秒后，EF交CD于H點，則FC= cm，易知 FCH∽ FGE，所以 ， ， ， （ ）.

第7篇

本單元教材在編排上突出的變化是，加強動手實踐、自主探索，讓學生經歷知識的形成過程，使學生得到較多的有關空間觀念的訓練機會。首先，每種圖形面積計算方法的教學，均采用讓學生動手實驗、自主探索得到。例如，平行四邊形的面積，是先借助數方格的方法得到；再引導學生通過剪、拼圖形，將平行四邊形轉化為長方形，推導出平行四邊形的面積計算方法。其次，按照知識學習的先后順序，逐步提高探索的難度和要求。三角形的面積計算就直接讓學生試著將三角形轉化為已學過的圖形推導出面積計算公式。到梯形面積的計算時，要求學生綜合運用學過的方法自己推導出面積計算公式。第三，研究每一種圖形面積的計算方法時，教材均沒有給出推導的過程和計算公式，以便于學生從多種途徑探索、自己得出結論，從而給教師和學生都留有較大的創造空間。基于以上的編排思路，筆者對這個單元的教學作了深層次的思考。

一、注重前有孕伏，感受化歸思想

“轉化”是數學學習和研究的一種重要思想方法，本單元面積公式的推導都采用了轉化的方法。教學中，應以學生的探究活動為主要形式，教師加強指導和引導。通過操作，引導學生去探究所研究的圖形與轉化后的圖形之間有什么聯系，從而找到面積的計算方法，滲透“轉化”的思想方法。

因此，在本單元的教學中，筆者補充了一節起始課：比較圖形的大小，讓學生借助方格紙，能直接判斷圖形面積的大小（如圖1）。同時通過交流，知道比較圖形面積大小的基本方法：割補、平移、旋轉，體驗圖形形狀的變化與面積大小變化的關系。本單元以“知識”與“思想”這一明暗兩條線索牽動學生的思維。通過補充，引導學生自覺地嘗試運用數學思想方法解決問題的意識，化歸思想統領了整個單元。

二、實踐幾何變換，發展空間觀念

等積變換是幾何學習中重要的思想方法，也是數學推導與證明的一種重要手段。本單元從平行四邊形轉化為長方形，從三角形、梯形轉化為平行四邊形以及計算組合圖形的面積中都可以由等積變換中獲取成功。

（一）在探究中實行變換

在本單元的新課探究中，這種等積變換的思想應成為探究過程的一條重要策略。

在三角形、梯形的面積計算公式推導過程中，除了倍積變換的思路，還可以引導學生采取割補的方法，深度探索等積變換獲得面積的計算公式方法。如在梯形面積計算教學中，運用等積變換的思想來推導公式。

方法1：將梯形轉化為兩個三角形。

方法2：將梯形轉化為一個三角形和一個平行四邊形。

方法3：還可以分割中位線把它轉化為平行四邊形或者長方形。

無論是倍積變換還是等積變換，它們的本質是一樣的，都運用了數學學習和研究的一種重要的方法――轉化。對于平面圖形面積計算公式的推導一般都采用轉化的方法，教師通過學生的操作活動，啟發學生把所學的圖形轉化為已經會計算面積的圖形，落實轉化的思想方法；然后引導學生思考探究所學圖形與轉化成的圖形之間有什么聯系，從而找到面積的計算方法。而在實際操作中，似乎更多的學生喜歡用倍積變換的思想來推導計算公式，這可能與教師提供的探究材料和探究建議有關，因為教師往往已有意識地引導學生用兩個圖形來拼組，如此看來，學生就“被探究了”，倍積變換確實是得到所求圖形面積計算公式比較簡單的方法，但如何進一步促進學生的探究意識和能力需要在等積變換中實現。因此在教學中不妨這樣設計：

比如，在“三角形面積計算”教學中，出示問題：一個三角形底是4厘米，高是3厘米，它的面積是多少？

將它放在方格紙中，數一數，它的面積是多少？你是怎樣數的？

有了方格紙為背景，學生就有探究思考的基礎，也有利于等積變換思想方法的實施，并為后面梯形面積計算公式的推導打好基礎。

（二）在練習中實行變換

運用幾何變換，除了要求在新課的探究中，不把學生的思維限制在一種固定或簡單的途徑或方法上，鼓勵學生從不同的途徑和角度去思考和探索解決問題外，還需要在練習中注重圖形的變式，注重培養學生思維的靈活性和深刻性。通過加強從形的層面積累經驗，凸現等積變形思想，加強空間變換的應用，積極創造本單元的新型習題，提供應用機會，幫助學生發展空間觀念。

如在“三角形面積計算”的練習課中，筆者設計了這樣一道題：

一個長方形長4厘米，寬3厘米， A 為長方形內任意一點，求陰影部分面積 。

對于幾何圖形的變換需要想象，從而發展學生的空間觀念，培養學生的能力。為此，對于此題筆者根據運動的觀點設計了三類題型，先讓學生觀察變化中的三角形，通過移動A點，形成了不同的陰影部分，通過觀察這些三角形，發現了它們的共同特點，溝通了它們之間的聯系。

進一步，教師出示圖3（單位：米），計算陰影部分面積。由于求兩個陰影三角形的面積和缺少條件，學生或用代數的方法，把下底的長度用（a+b）來表示（如圖5），然后進行推導。或利用等積變形的方法，轉化成如圖6的形式后，再計算陰影部分面積。

三、溝通知識聯系，提升思維品質

知識的有效達成建構，是學生掌握與應用知識的重要手段。良好的認知結構有利于學生的及時提取并解決問題。為此，教師一方面要在教學中通過滲透聯系的觀點，凸現轉化的思想，實現知識的有效建構；另一方面要把握知識的本質聯系，提升學生的思維品質，提高教學的有效性。

（一）溝通圖形面積的推導過程

本單元的圖形之間有著密切的聯系，在整理復習課中，通過讓學生回憶各個圖形面積的推導過程，讓學生體會到圖形之間是可以互相轉化的，通過構建知識網絡圖，讓學生在頭腦中形成一個聯系網，可以幫助學生更好地掌握和理解各個圖形的面積計算方法。

（二）溝通各種圖形求積公式之間的聯系

長方形、梯形、三角形和平行四邊形的面積公式有著密切的聯系，筆者在教學中進行了這樣的課件演示：梯形的上底慢慢縮短變成一個三角形；梯形的上底慢慢延長變成一個平行四邊形；梯形的上底延長與下底相等且兩腰互相垂直變成一個長方形。讓學生發現梯形與三角形、平行四邊形、長方形之間也存在著密切的聯系，并指出它們的面積公式間也有著密切的聯系。例如通過梯形與各個圖形之間的聯系，我們發現三角形、平行四邊形、長方形的面積計算公式都可以聯系梯形的面積計算公式。

第8篇

能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形．能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形．兩個三角形全等時，互相重合的頂點叫做對應頂點，互相重合的邊叫做對應邊，互相重合的角叫做對應角．夾邊就是三角形中相鄰兩角的公共邊．夾角就是三角形中有公共端點的兩邊所成的角．

例1如圖1，BD，AC交于O，OA＝OD，用“SAS”證AOB≌DOC，還需（）.

A. AB = DCB.OB = OC

C.∠A = ∠D D.∠AOB = ∠DOC

解析：此題的考查要點是“SAS”定理.用“SAS”證全等要有三個獨立條件，已知OA = OD，顯然還差兩個，而AC與BD的相交可得∠ AOB與∠ DOC是一對對頂角，第三個條件應該圍繞夾∠AOB、∠DOC的兩邊來找，顯然OB與OC應是另一組夾邊.選B.

點評：解答本題的關鍵是找出對頂角，然后利用“邊角邊”定理找到另一組對應邊.

考點2全等三角形的性質

全等三角形的對應邊相等，對應角相等.

例2如圖2，ABD≌CDB，且AB、CD是對應邊. 下面四個結論中不正確的是（）.

A.ABD和CDB的面積相等

B.ABD和CDB的周長相等

C.∠A + ∠ABD = ∠C+∠CBD

D. AD∥BC，且AD = BC

解析：由于兩個三角形完全重合，故面積、周長相等.因為AB和CD是對應邊，則AD與BC是對應邊，∠ADB = ∠CBD，因此AD∥BC且AD = BC.故C符合題意.

點評：解答本題的關鍵是要知道兩個全等三角形中，對應頂點在對應的位置上，這樣就不會找錯對應角.

考點3全等三角形的判定

選擇哪種判定方法必須根據已知條件而定，詳細內容見下表：

例3在ABC中，AD為BC邊上的中線，求證：AD＜ （AB + AC）.

解析：通過構造輔助線，利用全等三角形將線段AD，AB，AC轉化到同一個三角形中，由三角形“兩邊之和大于第三邊”即可證，證明過程如下：

延長AD至G，使DG = AD，連結BG.

在ADC和GDB中，

點評：將中線加倍是常用的作輔助線方法.

考點4 變換

只改變圖形的位置，而不改變其形狀大小的圖形變換叫做全等變換．全等變換包括以下三種：

①平移變換：把圖形沿某條直線平行移動的變換叫做平移變換. 如圖4，把ABC沿直線BC移動到A1B1C1和A2B2C2位置，就是平移變換.

②對稱變換：將圖形沿某直線翻折180O，這種變換叫做對稱變換.如圖5，將ABC翻折180O到ABD的位置，就是對稱變換．

③旋轉變換：將圖形繞某點旋轉一定的角度到另一個位置，這種變換叫做旋轉變換. 如圖6，將ABC繞過A點旋轉180O到AED的位置，就是旋轉變換.

我們知道，無論是平移變換、對稱變換還是旋轉變換，變換前后的兩個圖形全等，具有全等的所有性質．

例4如圖7，已知ABC是等腰直角三角形，∠C = 90O.

（1）操作并觀察，如圖7，將三角板的45O角的頂點與點C重合，使這個角落在∠ACB的內部，兩邊分別與斜邊AB交于E、F兩點，然后將這個角繞著點C在∠ACB的內部旋轉，觀察在點E、F的位置發生變化時，AE、EF、FB中最長的線段是否始終是EF？

寫出觀察結果.

（2）探索：AE、EF、FB這三條線段能否組成以EF為斜邊的直角三角形（即能否有EF2= AE2 + BF2）？如果能，試加以證明.

解析：（1）只須旋轉∠ECF再用刻度尺量一量或觀察，即可得到.

（2）要判斷EF2= AE2 + BF2，思路是把AE、EF、FB搬到同一個三角形中，通常有平移、翻折、旋轉等方法，解答此題用翻折的方法，得到與AE、BF相等的線段，并且它們和EF在同一個三角形中.

解答過程如下：

（1）觀察結果是：當45O角的頂點與點C重合，并將這個角繞著點C在∠ACB內部旋轉時，AE、EF、FB中最長的線段始終是EF.

（2）AE、EF、FB三條線段能構成以EF為斜邊的直角三角形，證明如下：

如圖在∠ECF的內部作∠ECG = ∠ACE，

使CG = AC，連結EG，FG，

ACE≌GCE，

∠A = ∠CGE，同理∠B = ∠CGF，

∠A + ∠B = 90O，

∠CGE + ∠CGF = 90O，

∠EGF = 90O，EF為斜邊.

點評：探索、猜測是整個題目的重點、難點，從操作中獲取信息是探索問題過程中最重要的.

反思

1.考綱要求

理解全等形的有關概念和性質，并會運用性質定理進行計算；掌握全等三角形的判定方法，會運用定理進行簡單的推理或計算；能夠運用全等三角形的性質和判定定理解決實際問題，培養幾何計算和邏輯推理能力，養成用數學知識解決問題的意識.

2.構造全等三角形的方法

第9篇

圖形的平移、旋轉和軸對稱現象是“空間與圖形”中的重要組成部分，該部分內容的學習強調學生的數學活動，發展學生的空間觀念。結合本校“自能學習”的理念，讓學生主動、積極地獲取知識，在教學“圖形的平移、旋轉和軸對稱現象”時處理好以下幾點，就能在發展學生空間觀念的同時，提高學生的學習能力。

課前預習，形成初步表象

現代教育認為：“課堂教學，不應把學生當作‘收音機’，只接收信息。而應為學生創設一個寬松氛圍，提供‘舞臺’，讓學生親身去體會、去觀察、去發現、去探索、去交流。這才是學生獲取知識的真諦。”

人們生活在三維空間，豐富多彩的圖形世界給“空間與圖形”的學習提供了大量現實有趣的素材，特別是圖形的平移、旋轉和軸對稱知識大多可以聯系實際生活，在教學前可以讓學生獨立預習，并根據自己的理解搜集生活中的“圖形與變換”現象。讓課堂教學與學生生活實際緊密聯系，能夠使學生增強學習興趣，更好地理解和掌握基礎知識，體會到生活離不開數學。作為學習活動的組織者和引導者，不能忽視學生的自學能力，如在教學《對稱圖形》時孩子們收集了許多漂亮的圖片，有小動物，有生活中的物品，有數字卡片，有幾何圖形等，真是琳瑯滿目。課前孩子們已經在觀察、比較這些圖形的特點，隨著你一言、我一語的交流中，模糊地知道了什么是對稱，什么樣的圖形是對稱圖形。這樣，在新課的導入階段避免了“注入”之嫌，讓學生以輕輕松松、簡簡單單的狀態學數學，甚至提高了學生的審美情趣。

動手操作，準確理解現象

在學習新課之前，學生通過預習已經對軸對稱、平移和旋轉有了初步的認識。加上教材是結合學生熟悉的生活情境進行安排的，學生完全可以通過觀察、想象、分析和推理等過程，獨立探究出結論。因此，教師要切實組織好學生的課堂活動，為學生創造進行“自能學習”的時間和空間。學生的數學學習活動應當是一個生動活潑的、主動的、富有個性的過程。教師作為組織者和參與者，應該讓學生積極主動地進行探索學習。讓每一個學生都參與看一看、折一折、畫一畫等操作活動，不要讓教師的演示或少數學生的回答代替每一位學生親自動手、親自體驗和獨立思考。這樣學生的空間想象力和思維能力才能得以鍛煉，空間觀念才能得到發展。

同時，教師作為學習活動的引導者和指導者，要在學生充分進行“自能學習”的同時，適時點撥、引導，讓學生準確理解平移、旋轉和軸對稱現象，正確解決實際問題。如：學生在形成了軸對稱的表象后不一定能說出軸對稱和對稱軸的概念，這就需要教師點撥，不需要說出準確概念，但必須用“折疊”“完全重合”等詞語總結出軸對稱現象。又如，在理解了平移、旋轉和軸對稱現象后，在方格紙上畫出軸對稱圖形的另一半或圖形平移、旋轉后的圖形是難點，光靠學生的“自能學習”是不夠的。

教師應該在學生充分進行動手操作、總結后，用更加精煉、準確的語言加以點撥。要說清平移，要素有三個：①基本圖形――是什么圖形發生了平移;②方向：向什么方向發生了平移;③距離：平移了多遠。旋轉的要素有四個：①基本圖形――是什么圖形發生了旋轉;②旋轉中心――是繞哪個點旋轉的;③方向：向什么方向發生了旋轉，是順時針還是逆時針;④角度：旋轉了多大的角度？軸對稱的要素要有二個：①基本圖形――是以什么圖形為基本圖形進行變換？②對稱軸――以哪條線為對稱軸作變換？這樣，學生的“自能學習”加上教師的適時指導，能使學生準確理解現象，并靈活運用。

課后拓展，發展空間觀念

圖形的平移、旋轉和軸對稱現象作為學生對幾何知識的初步認識，這從本質上就反映出了課程的目標價值取向：除了掌握圖形變化的特征外，還應發展空間觀念、發展幾何直觀、發展推理能力等。

第10篇

教學通過具體的實例來展示，使學生知道一個簡單的圖形經過平移、旋轉或軸對稱能形成一個較復雜的圖形，并能運用圖形的變換在方格之上設計出美麗圖案。

在教學這一課時，教師注重結合學生的直觀察看，動手操作，充分想象，從這三個層面引導學生展開學習。

一、觀察

教材呈現了多個有簡單圖形經過平移、旋轉或軸對稱形成復雜圖形的情景。教師教學時通過鼓勵、引導學生通過觀察、比對來分析圖形變換的過程，并多次讓學生嘗試用自己的語言進行表述圖形變換過程，充分調動學生的空間想象力，發展空間觀念。

例如在教學“平行四邊形面積”中，教師在演示把平行四邊形轉化成一個長方形的同時，適時設計問題，讓學生聯系生活中的事例進行思考:（1）平行四邊形的面積和長方形的面積有何關系？（2）平行四邊形的底、高與長方形的長、寬分別有什么關系？（3）怎樣求平行四邊形的面積？在教學中落實“以學生為本”的教學理念，在教學內容設計上要充分考慮到學生的生活實際和思維能量。

學生在熟悉的貼近自己生活實際的學習內容上，通過自主探索、積極思維，解決問題、發現本質并找到規律。過程設計中以學生為主，把握住學生的思維空間，學生作為學習的主人，在和同學共同探討交流的學習活動中理解和掌握了學習內容。滿足了學生發展需要。

二、實際操作

在學生會觀察的基礎上，讓學生用課前準備的三角形等圖形在方格紙上進行平移、旋轉等操作練習并同桌之間互相交流，再請幾位學生展示自己圖形變化的過程，并能用自己的語言有條理的表述設計圖行變化的過程。在操作中對學生的空間想象能力要求到位，是發展學生空間觀念的有效途徑。即“先想一想，做一做，在說一說”在學生動手操作中，注重讓學生結合操作思考問題，并把操作、思考和語言表述有機的結合起來，能有效的提高教學質量。

三、充滿想象力

教學安排注重啟發引導學生通過觀察展開想象。比如想一個等邊三角形的平移時的方向和距離，旋轉時去想圍繞哪個點，順時針還是逆時針方向，旋轉多少度。教學中通過各種方式，盡可能使更多學生參與交流討論。想像圖形的變化，怎樣變，變得過程是怎么樣的，得到什么樣的結果。

教師引導學生通過觀察、操作、想象，經歷一個簡單圖形經過平移、旋轉或軸對稱變換復雜圖形的過程，能條理清晰地表達圖形的變化過程，強化了學生的空間觀念。鼓勵學生充分想象，能在方格紙上設計出美麗的圖案。感受圖形世界的神奇。

四、鼓勵學生敢于質疑

質疑問難是探求知識，發現問題的開始。因此，從兒童的好奇、好問，求知欲望盛等特點出發，引導學生勤于思考問題，善于發現問題，鼓勵學生大膽提出問題，也是培養學生創新意識的重要措施。例如在教學“循環小數”時，有意識讓學生計算7÷3，58.6÷11，學生在計算時發現總是除不盡，而且商的各位上的數字總是不斷重復出現，于是心里充滿了好奇疑問。這時教師適時地問學生，你發現了?什么鼓勵學生大膽地提出心中的疑問:“為什么這兩道題總是除不盡？”“為什么商當中總有重復出現的數字？”教師指出這樣的小數叫循環小數。接著讓學生以小組為單位探討疑問，給循環小數下定義。在學生動口、動手、動腦過程中，學生的思維在不知不覺中得到發展。

五、注重學生學習體驗

第11篇

中考命題規則中的基礎性、全面性原則中表明了要對學生的空間觀念進行考察。在中考中通常有這樣的一些題型：空間想象，圖形變換，分解圖形，坐標表示。這些題型所要考察的就是學生的空間觀念。如果學生具有較強的空間觀念，那么對這些題型完全不用擔心。

“認識圖形，掌握它們的特征及周長、面積與體積的計算規則，進而運用它們解決問題”，這些曾是“幾何初步知識”領域重要甚至唯一的教學目標。如今當數學學習對于人的發展的價值再一次被重新認識和界定時，我們是否可以做出這樣的判斷：僅僅掌握一定的幾何知識、形成相關的解題技能，已遠遠無法滿足個體對于數學學習的價值期待。空間觀念的積累，可以逐步形成空間想象力，這將為目前和以后的學習奠定必要的基礎。有了空間觀念，學生才能建立沒有大小的點、沒有寬窄的線、沒有厚薄的面這樣的幾何概念。

二、對發展學生空間觀念的思考

（一）圖形分解與組合是學生能發展空間觀念的基本保證

分解圖形通常是指學生能從較復雜的幾何圖形中分解出基本的圖形，并分析其中的基本元素及其關系。組合則是學生能夠利用基本圖形的特性，將若干簡單的圖形組合成為符合條件的圖形。

這個題是將三角形作為載體，，通過角的變化來對變化過程（從特殊情況到一般情況）的不變量進行探求。不僅僅考察了學生的閱讀理解、圖形觀察能力、歸納和思維發散的能力，還重點的考察了學生的圖形分解能力（解決本題的關鍵是找出基本圖形角，利用角的軸對稱性解題），特別是對類比過程中的變化問題進行了重點考查。

（二）發展學生是空間觀念，圖形的變換與操作是必要途徑

圖形的變換與操作，在《標準》中主要涉及軸對稱、平移、旋轉與位似。這里主要就對2005年北京海淀區一道數學題進行分析。

該題中考查了圖形對稱性，而且圖形不是進行一次對折，而是進行兩次或多次的對折，這就要求學生在折疊過程中對折后圖形的性質和狀態有正確的認識。此過程是學生獲得對折運動表象和信息加工的過程。如果學生沒有良好的空間觀念作基礎，那么在做這個題的時候必然存在著很大的困難。從這個案例中可以得到這樣的結論：對于軸對稱圖形與對折次數超過兩次的圖形題，學生必須學會圖形變化，并通過圖形變換的方法來發展空間觀念。

（三）具備良好的幾何直觀能力是學生空間觀念成熟的標志

第12篇

一、巧用變換（平移、旋轉）化不規則圖形為規則圖形

例1 如圖1，P內含于O，O的弦AB切P于點C，且AB∥OP.若陰影部分的面積為9π，則弦AB的長為（ ）

解析：兩圓內含，陰影部分的面積為9π，如果將P向左平移，與O構造同心圓，此時陰影部分的圖形為環形（如圖2），環形的面積為πR2-πr2=π（R2-r2）=π（OB2-OC2）=9π，則此時SCOB已構造成直角三角形，借助數形結合巧妙構建勾股定理求解，即弦AB=2BC=

2

點評：有關弦長計算問題，常過圓心作弦的弦心距，利用半徑、弦長的一半及弦心距三邊勾股關系求解.在計算有關不規則圖形面積時，通常是將這些圖形通過割補、剪拼等方法，將它們轉化為基本圖形的和、差關系，這種化歸可以有效解決許多問題，往往會使所求問題化難為易.

例2 如圖3分別以正方形ABCD的邊AB、AD為直徑畫半圓，若正方形的邊長為a，陰影部分的面積是.

解析：連AC、BD如圖4，則繞AD中點將圖中②逆時針旋轉90°到圖中③，將圖中①繞AB中點順時針方向旋轉90°到圖中④，則原圖中陰影部分的面積就和DBC的面積相等，即圖中陰影部分的面積=SDCB=12

S正方形ABCD=12a2.

點評：有關圖形面積的計算，常直接運用圖形面積計算公式與間接計算（相關圖形面積的加減拼湊）.本題解題關鍵是把握陰影部分的面積與整體圖形（或相關圖形）面積之間的關系，通過相關圖形的割補或等積變形等，實現不規則圖形向規則圖形的轉化，變換在解題中主要體現在以下兩個方面：一是題設條件和結論關系不明顯或條件不易集中利用的情形下，通過變換操作起到鋪路架橋的作用，二是圖形錯綜復雜，但圖形中的量與量之間關系多，這時也可看能否使用變換法，改變部分圖形的位置，使題目中隱藏的關系明朗起來，從而找到解題途徑與策略.

二、巧用旋轉化分散為集中

例3 如圖5，邊長為1的正方形ABCD被兩條與邊平行的線段EF、GH分割為四個小矩形，EF與GH交于點P.

點評： 在處理一些幾何問題時，有時不能直接解答，如果我們能恰當地運用旋轉，使分散、不相關的幾何圖形重新組合，進而醞釀與構建特殊圖形之間的位置、大小或形狀，從而使問題得到突破與解決.像本例一類題不但要注意正方形的四邊相等，還需要注意夾在平行線段間的平行線段也相等，思考時要仔細分析，觀察圖中線段之間，角之間的數量關系，位置關系，為解決問題積累素材，創造條件.

三、巧用對稱構全等

例4 問題背景 在ABC中，∠B=2∠C，點D為線段BC上一動點，當AD滿足某種條件時，探討在線段AB、BD、CD、AC四條線段中，某兩條或某三條線段之間存在的數量關系.例如，在圖6（1）中，當AB=AD時，可證得AB=DC，現在繼續探索：

任務要求：（1）當ADBC時，如圖6（2），求證：AB+BD=DC；

點評：遇到角平分線或者垂線段時，并且證明結論中的線段是角平分線或者垂線段一旁的三角形的一條邊時，常借助相關圖形（等腰三角形、角、線段、特殊四邊形等）對稱思想，在另一旁構造此三角形的全等三角形，實現相關圖形的翻折，化分散條件為集中，化一般圖形為特殊圖形.

四、巧用對稱破解最短距離

例5 （1）觀察發現

如圖8（1），若點A，B在直線l同側，在直線l上找一點P，使AP+BP的值最小.

做法如下：作點B關于直線l的對稱點B′，連結AB′，與直線l的交點就是所求的點P

再如圖8（2），在等邊三角形ABC中，AB=2，點E是AB的中點，AD是高，在AD上找一點P，使BP+PE的值最小.

做法如下：作點B關于AD的對稱點，恰好與點C重合，連結CE交AD于一點，則這

點就是所求的點P，故BP+PE的最小值為

如圖8（4），在四邊形ABCD的對角線AC上找一點P，使∠APB=∠APD.保留作圖痕跡，不必寫出作法.

解析：（1）首先由等邊三角形的性質知，CEAB，在直角BCE中，∠BEC=90°，BC=2，BE=1，由勾股定理可求出CE=3.

（2）如圖9，作點B關于CD的對稱點E，則點E正好在圓周上，連結OA、OB、OE，連結AE交CD于一點P，AP+BP最短，因為AD的度數為60°，點B是AD的中點，所以∠AEB=15°，因為B關于CD的對稱點E，所以∠BOE=60°，所以OBE為等邊三角形，所以∠OEB=60°，所以∠OEA=45°，又因為OA=OE，所以OAE為等腰直角三角形，所以AE=22.