時間：2023-05-30 09:27:00
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創(chuàng)造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇線性代數(shù)，希望這些內容能成為您創(chuàng)作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
關鍵詞線性代數(shù)；教學方法；教學改革
中圖分類號O151.2
1. 引言
線性代數(shù)課程是我國大多數(shù)院校都會開設的一門基礎課程，在我國整個教育體系中起著“基石”的作用。然而這樣一門重要的課程卻很難引起學生足夠的重視，究其原因，就是很多學生都認為學習這門課程“沒用”，所謂的“沒用”就是指實際生活中用不上。的確，在現(xiàn)在的教學方式中，線性代數(shù)的大部分內容很難在生活中得到直接的體現(xiàn)，但這并不意味著這門課程“沒用”。因此，為了體現(xiàn)線性代數(shù)的“用”，有必要在教學過程中設計探索環(huán)節(jié)，體現(xiàn)線性代數(shù)課程的實用性。
2. 解方程組引發(fā)的思考
解方程組是代數(shù)的重要內容之一，從中學到大學，學生們接觸了很多不同類型的方程組，也學習了很多解方程組的方法。但實際生活中的方程組遠沒有課本中出現(xiàn)的那么完美。因此在完成“線性方程組的解”一節(jié)之后，我們提出兩個深入探索，希望由此引導學生積累分析問題，驗證假設和結論的能力。
探索一：伏安法測電阻
一個電阻的電阻值是客觀存在的，但由于實驗中誤差的普遍存在，使得我們所測量的結果通常會是一個矛盾方程組，從數(shù)學角度而言是無解的。然而這并不妨礙人們利用這種實驗方法估算電阻值。此探索的設立就是為了提醒學生們不要死啃書本，在實際生活中要學會靈活應用書本知識。
探索二：解的穩(wěn)定性問題
給出方程組 和 。從數(shù)據(jù)上看，這兩個線性方程組的系數(shù)矩陣相同，常數(shù)項變化很小，但是它們的解卻大不一樣，分別為： 和 。可以看出，常數(shù)項的相對誤差僅0.01%，而解的相對誤差卻高達1999900%。從數(shù)學的角度而言這種變化沒有實質影響，但是在工程方面，由于誤差的普遍存在，如何保證解的穩(wěn)定性是一個非常重要的問題。雖然國際國內的眾多科學家提出了若干種方法盡量保持解的穩(wěn)定，但在當前的科學技術條件下，還沒有一種方法可以完全解決這一問題，并且對這一問題的探索也遠遠超出了線性代數(shù)的研究領域。對將來學習工程類相關專業(yè)的學生而言，這種引導式教學使學生意識到數(shù)學課程的學習對其專業(yè)的重要性，進而端正了對數(shù)學等理論課程的態(tài)度。
3. 特征值的用途
在講完方陣的特征值和特征向量一節(jié)后，我們可以引入奇異值概念。奇異值分解理論在很多學科都有廣泛應用。這里的探索活動主要是進行動畫演示，培養(yǎng)學生感性的認識，體會線性代數(shù)的用處，而不必糾結于原理探討和研究，針對學有余力以及對這部分知識感興趣的學生，以提供一些參考書和文獻為主，相應的課下交流活動為輔。
探索三：圖片的壓縮存儲
目前操作系統(tǒng)對圖像文件的存儲分為文件頭和文件體兩部分。文件頭是對圖像屬性的描述，文件體實際上是一個位圖矩陣，用來描述該圖像各個像素的顏色值或明暗度。因此文件的大小主要是由文件體決定的。以一張458×458的彩色圖片為例，如果直接存儲該圖片，僅位圖矩陣就需要458*458*3/1024=614.5430k字節(jié)。我們將位圖矩陣做奇異值分解，并且只保留最大的90個奇異值。這時我們只需存儲180個458維向量和90個奇異值，總共需要(458*180+90)*3/1024=241.7871k字節(jié)。明顯看出這個方法節(jié)省了很多空間。并且從圖1可以看出，壓縮后的圖像與原始圖像在視覺上沒有多少差別。
圖1 圖像壓縮前后對比
特征值和特征向量的應用不僅僅體現(xiàn)在圖像的壓縮處理上，矩陣的廣義逆也是一個重要的方面，，這個探索還可以結合解的穩(wěn)定性問題，簡單介紹截斷奇異值算法。
探索四：矩陣的廣義逆
任何一個秩為r的m×n階矩陣K可以分解為如下三個矩陣的乘積： 。其中Ur是m×r階矩陣，滿足 (Ir為r階單位陣)，Vr是n×r階矩陣，滿足 ， 是由KKT或KTK的r個非零特征值的正平方根組成的對角陣。
稱為矩陣K的奇異值，i=1,2,…,r且 。我們將 定義為矩陣K的逆算子。在此意義下，方程組Kf = d的解 。設 ， 則
如果矩陣K有特別小的奇異值 ，則 將會非常大，也就是說數(shù)據(jù)d的微小誤差都會在f中被放大。因此解對數(shù)據(jù)d的敏感度非常高。為了壓制d的誤差對f的影響，我們將特別小的奇異值去掉。這樣，解f便不會因為d的微小的變化而造成巨大的改變。在這種意義下，探索二中的兩個線性方程組的解均為
這就保證了解的穩(wěn)定性。雖然這并不是方程組的精確解，但它的實際意義卻遠大于精確解。
4. 總結
在眾多與實際聯(lián)系密切的專業(yè)課程中，線性代數(shù)都起著不可替代的作用。但由于學生前期對線性代數(shù)的重視度不夠，基礎知識不夠扎實，導致在專業(yè)課程中受制。這也為他們的職業(yè)生涯帶來了更多的坎坷。為避免這些消極的影響，有必要更深入的挖掘線性代數(shù)在實際中的應用，激發(fā)學生的學習興趣，為后續(xù)課程的學習奠定堅實的理論基礎。
感謝中國石油大學（北京）2011重大教改項目“基于石油石化數(shù)理素養(yǎng)教育教學平臺的CDIO人才培養(yǎng)模式的創(chuàng)新與探索”(2012zdjgxm001)對本文的資助。
參考文獻
[1] 同濟大學應用數(shù)學系，線性代數(shù)（第四版）[M]，高等教育出版社，2003
[關鍵詞]線性代數(shù)幾何直觀性教學
線性代數(shù)是理工科學生一門重要的數(shù)學基礎課，它在培養(yǎng)學生數(shù)學素質和數(shù)學能力方面起著重要作用，特別是在研究離散變量之間的線性關系上有著重要的意義。實際問題中的變量關系一般可以線性化，而線性化了的問題正是線性代數(shù)可以解決的。因此學習這門課程對學生今后的發(fā)展起著重要作用。而現(xiàn)在線性代數(shù)的教學中普遍存在著兩個問題：一是課程抽象，難于理解；二是課時緊張。那么如何在有限的課堂時間內講解比較抽象的內容提高課堂效率是我們廣大教師需要思考的問題。為此本文提出加強線性代數(shù)的幾何直觀性教學的教學方法，以此方法將抽象的問題具體化，從而提高課堂效率。
一、幾何直觀性教學的重要性
線性代數(shù)課程中的概念、理論都是比較抽象的，學生比較難接受這種看不見、摸不著、想象不出來的概念，這無疑增大了學習這門課程的難度，使許多學生學習起來感覺吃力，且僅停留在對定義結論的機械記憶上，不能掌握其本質。而幾何直觀教學方法借助幾何圖形的形象關系，產生對數(shù)據(jù)關系的直接感知，能把抽象的概念轉化成形象的、直觀的圖形，這對幫助學生理解線性代數(shù)概念具有積極的意義。此外，在教學過程中運用“數(shù)”和“形”的結合，不僅可以使學生對線性代數(shù)的概念有幾何直觀的了解，容易理解，也能使學生明白知識是相關的，連續(xù)的，是相互緊密結合并可以互相轉化的，從而提高靈活運用的能力。因此考慮在線性代數(shù)的概念和理論教學過程加強直觀性教學，融入幾何思想，是幫助學生理解接受線性代數(shù)的眾多概念與結論最為自然的途徑之一。它不僅僅是幫助學員理解概念和定理，而是更有助于學員學會如何去思考問題,從而提高學生的數(shù)學素養(yǎng)和培養(yǎng)學生應用數(shù)學知識來分析問題、解決問題的能力。
二、幾何直觀性教學的可行性
既然幾何直觀性教學能將抽象的概念具體化，能夠便于學生理解，現(xiàn)在的問題是這種方法是不是可行呢？眾所周知，線性代數(shù)起源于對二維和三維直角坐標系的研究，它的所有重要概念均有其幾何意義，這使得在線性代數(shù)教學中加強直觀性教學有著天然的優(yōu)勢。同時從數(shù)學的發(fā)展情況來看，幾何與代數(shù)也是很難完全分離的。大一學生雖然對幾何的理解還有限，不過對二三維的幾何空間的性質還是比較熟悉的，稍加解釋應能理解和接受。
比如向量空間基的概念、理論較為抽象, 然而向量空間的基在三維以下空間中有具體的幾何解釋。在這部分內容的教學過程中，我們可以先闡述向量空間基的概念（向量空間V中的r個向量a1,a2,…,ar線性無關，且VA中任意一個向量都可有這r個向量來線性表示，此時稱這r個向量a1,a2,…,ar為向量空間V的一組基），概念剛一給出，學生對其的理解可能比較模糊，這時我們可以給出這個概念在一二三維空間中的涵義：
一維向量空間R就是我們熟悉的實數(shù)軸x軸,在它上面取的單位坐標1即是一維向量空間R的一個基。因為一個一維向量1∈R,1≠0，故一定線性無關；另外,x軸上任意實數(shù)x=x?1，其中系數(shù)x∈R, 由上面定義,單位坐標1是一維向量空間R的一個基, 整個R上的點可由1生成, 故我們稱1為一維向量空間R的一個基。二維向量的全體構成的向量空間是我們所熟知的平面R2，在平面R2中我們經常引入直角坐標系，即垂直的x,y軸，它的一組基可以選取為兩個單位坐標向量i=(1,0)，j=(1,0)這兩個向量互相垂直，顯然是線性無關的，且對于平面中任一個點a，設其在直角坐標系下的坐標為(a1,a2)，則其可以表示為a=a1i+a2j，即平面中的任意一個點可以由兩個單位坐標向量來線性表示，也說明這兩個單位坐標向量i=(1,0)，j=(1,0)為向量空間R2的一組基；類似地可以解釋三維向量空間R3的一組基可以選擇為空間直角坐標系的三個單位坐標向量。通過這些解釋使學生直觀的理解體會向量空間的基的概念，并由此將基的概念引申到n(n≥1)維向量空間中去。這樣降低了向量空間基的概念的抽象性，使學生較容易理解向量空間的基的概念，且加深了學生對這部分內容的直觀認識。
通過上面的分析可知，在《線性代數(shù)》教學過程中,加強幾何直觀性教學是可行的，我們可以對某些教學內容采取如下的教學方式：首先闡述概念、結論的低階幾何意義，并借助數(shù)學軟件、多媒體演示實現(xiàn)數(shù)形的結合，讓學生直觀的體會其在二維、三維空間中的涵義，然后再引申到一般的高維空間中去。這樣處理的好處是：符合認知的規(guī)律，降低了相關概念、結論的抽象性；加深了學生對所學知識點的認識，增加了學生對《線性代數(shù)》應用的了解，提高了他們對知識的應用能力。
線性代數(shù)與幾何的聯(lián)系是廣泛的，線性代數(shù)的許多理論可以認為是幾何上二維平面空間、三維立體空間延伸和推廣，因此我們應該發(fā)揮數(shù)學軟件、多媒體的優(yōu)勢，加強幾何直觀教學， 讓學生獲得《線性代數(shù)》相關概念、結論的低維幾何意義，進而實現(xiàn)由低維空間形象認識到高維空間抽象認識的轉變，一方面為代數(shù)找到它的幾何解釋，另一方面又為幾何找到它的代數(shù)表達，這樣在很大程度上降低了線性代數(shù)概念的抽象性，學生不但能夠很好地理解概念和理論，還可從中獲得解決問題的啟示，歷年的研究生入學考試中也體現(xiàn)了代數(shù)與幾何相結合的解題思路，因此在線性代數(shù)教學中應加強幾何直觀性教學。
[參考文獻]
[1]郭勇華.幾何思想在線性代數(shù)教學中的融入.宜春學院學報,2010（12）
[2]章曉.線性代數(shù)與解析幾何結合教學探析.山東師范大學學報,2008（9）
關鍵詞：線性代數(shù) 教學 探索
中圖分類號：G64 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2017）01（c）-0173-02
1 線性代數(shù)課程的歷史與現(xiàn)狀
20世紀五、六十年代，工科院校數(shù)學基礎課程統(tǒng)稱為高等數(shù)學，以一元函數(shù)微積分為主。當時線性代數(shù)在高等數(shù)學的教學中僅占小部分。在線性代數(shù)的教學中，僅介紹行列式與線性方程組的求解。只有少數(shù)大學根據(jù)某些專業(yè)的需要，講授更多的線性代數(shù)理論知識。
后來，由于計算機與信息技術的發(fā)展，高等數(shù)學教學的理念也在逐漸變化。從20世紀七、八十年代開始，一些大學的做法，是把線性代數(shù)放在《工程數(shù)學》中進行講授。
在80年代中后期，已經有部分院校把線性代數(shù)的內容獨立出來，成為數(shù)學基礎課的一門獨立課程。
進入90年代，在多數(shù)重點大學和高職院校，線性代數(shù)成為數(shù)學教學的三門主要課程之一。
近年來，隨著線性代數(shù)課程的教學研究與改革的不斷深入，多數(shù)院校除了注重線性代數(shù)的理論教學外，更加注重數(shù)學軟件的使用，并且更加注重該課程的實驗。
2 筆者學院線性代數(shù)課程的現(xiàn)狀
筆者學院從2015年開始招收本科專業(yè)學生，線性代數(shù)作為理工類本科學生的一門重要基礎課程，不僅是學生學習后續(xù)數(shù)學課程的基礎，也是學生學習相關專業(yè)課程的重要基礎和工具。
（1）教材：筆者學院選用的是北京郵電大學出版社出版，石萍、張景主編，石琳主審的《線性代數(shù)》教材。該院的教材內容與大多數(shù)理工大學的線性代數(shù)教材內容基本相同，主要內容涉及：行列式、矩陣、矩陣的初等變換、n維向量、向量空間、線性方程組、相似矩陣、二次型、線性空間與線性變換等板塊。部分重點大學的教學內容會更多一些。線性代數(shù)的教學內容既是由線性代數(shù)的本身特點所決定，也與高等學校基礎課程教學的基本要求和碩士研究生的考試內容有關。但各部分內容講授多少有所不同，章節(jié)的安排也不盡相同。
（2）課時及內容安排：筆者學院線性代數(shù)的教學時數(shù)為40課時。《線性代數(shù)》特點是概念多、符號多、定理多，內容抽象但是實例很少。這些特點使得學生在學習這門課程時普遍感到有一定的難度。因此在教學過程中，不僅要求教師去幫助學生理解和掌握線性代數(shù)的基礎知識和基本內容，同時也要轉變他們固有的思維模式，提高抽象思維能力。該院的線性代數(shù)教學是根據(jù)教材內容的安排順序進行講解。但是，筆者比較傾向于線性方程組的消元法矩陣行列式（含矩陣的秩、逆陣等）維向量與方程組的解的結構特征值與特征向量（相似、對角化）二次型的教學順序。即：先由線性方程組引入矩陣，然后講矩陣的定義、性質、運算，以及矩陣的初等變換、簡單的矩陣分塊計算、可逆矩陣等，用矩陣等價標準形的唯一性（直接證明它的唯一性）定義它的秩。然后介紹向量組的線性相關性、向量組的秩等。接著，完成線性方程組的解的理論，再介紹行列式。這樣在一定程度上，幫助學生更好地接受這門課程。筆者也認為先講矩陣再講行列式是多數(shù)教師希望采取的授課方式。但由于與教材內容安排不符，只希望在以后的教學過程中進行探索，對教學內容和順序的安排有所改進。
3 筆者學院線性代數(shù)課程存在的問題
（1）筆者學院線性代數(shù)選取的教材“層次”較高，不太適合職業(yè)院校對線性代數(shù)內容與難度的需求。
（2）教學內容的安排依然受數(shù)學專業(yè)的教學內容的影響較大，與實際問題的結合仍然不夠。
（3）課程的安排：線性代數(shù)這門課程是安排在學生入學的第二年的第一學期。入學第一年的第一和第二學期安排《高等數(shù)學》。筆者認為線性代數(shù)與高等數(shù)學中的結合是可取的做法。即：筆者建議將線性代數(shù)課程安排在大一的第二學期。這樣把有關向量的內容、直線、平面與線性代數(shù)很自然地結合，對代數(shù)與幾何的相互融匯是有利的。高等數(shù)學中的多元函數(shù)微積分中的曲線與曲面部分，分析與代數(shù)的側重點是有些不同，但并不矛盾。線性代數(shù)中實二次型的分類的幾何背景就是二次曲線與二次曲面的分類。而且，弄清二次曲面的方程對計算重積分的積分區(qū)域的確定也有幫助。另外，國外線性代數(shù)教材一般都比較注重代數(shù)與幾何的關系。
（4）教材的概念：《線性代數(shù)》是以一系列概念為基礎的，它的抽象程度往往高于其他學科。因此該院學生對這種高度抽象的概念望而生畏。筆者在教學過程中，一方面，讓學生了解概念的產生背景來減弱概念的抽象程度。另一方面，通過對比、比較來加深學生對概念的理解與掌握。例如在講授行列式定義時， 是利用消元法來求解二元線性方程組，把其解用二階行列式表示成容易記憶的形式，通過分析概括，給出了n階行列式定義。但是，筆者在2015、2016年的教學活動中，也發(fā)現(xiàn)教材對部分重要概念的描述不是很完備。也有前面的部分重要概念沒有提及，在后面的教學內容中卻經常用到。希望再版時候，編者能夠及時補充和完善。
（5）教學中的應用性和實際計算題目做得還很不夠。
4 幾點建議
（1）首先，學習線性代數(shù)課程一定要做好預習。預習是我們學好線性代數(shù)的前提。預習可以讓學生提前對所學內容有一個初步的了解；而且預習之后再聽課效率可以大大提高。我們知道，現(xiàn)在線形代數(shù)所用的教材難度非常大，如果學生課前不預習，在上課的時候，可能會有騰云駕霧的感覺。長此以往，有很多同學都對這門課程會失去興趣。大家知道，興趣對于一門課程的學習有著至關重要的作用，沒有了興趣就不可能學好。
（2）其次，學好線性代數(shù)就是認真聽講，這是學生學好這兩門課的中心環(huán)節(jié)。課堂上的時間是非常寶貴的，學生一定要充分利用這些時間，使其發(fā)揮最大的作用。在認真聽講的前提下，認真做筆記也是一個好方法。在課堂上，我們是不可能全部掌握所學的知識的，如果不做筆記，那么學生課后就無法完全理解和體會教師在課堂上所講的一些知識要點和方法。筆記是充分用課堂時間的關鍵。
（3）筆者建議在教學過程中， 教師可以適當增加一些近年來的考研題目作為例題或課后習題， 以典型題為例分析，讓學生了解考研題目中線性代數(shù)的考點。認識到考研題目并不可怕，是我們運用所學知識很容易就可以解決的。這樣不僅有助于對知識的掌握，還可以提高學生的求知欲和綜合分析能力， 繼而增強他們學好《線性代數(shù)》的信心，達到良好的學習效果。
（4）復習和作業(yè)是學生學好線性代數(shù)的關鍵。復習和作業(yè)可以幫助學生進一步理解和掌握所學知識。線性代數(shù)光看書是不行的，看只能看到表面的東西，不能看到本質。因此，筆者建議學生一定要在看的基礎上多練，教師在課堂上講的題目，學生在課后一定要重新做一遍，因為只有這樣，學生才能真正地理解和掌握教師做這道題的思想和方法。
（5）學習線性代數(shù)，適當?shù)刈鲆恍┱n外練習是必不可少的。適當?shù)刈鲂┱n外題目可以幫助學生進一步鞏固所學知識。但是該院學生目前只有線性代數(shù)的教材，教材的習題相對較少。建議學院為本科班的學生統(tǒng)一選購適合他們的線性代數(shù)習題集或者由任課教師幫助他們選擇部分習題。通過做習題來鞏固所學內容。
總之， 在《線性代數(shù)》課程的教學過程中，教師要根據(jù)學生的實際情況，采用各種教學手段，激發(fā)學生的學習興趣，使本科班的學生能夠較好地理解線性代數(shù)的基本知識， 提高他們的抽象思維能力和邏輯推理能力。
參考文獻
[1] 錢椿林.線性代數(shù)[M].2版.北京：高等教育出版社，2004.
[2] 同濟大學數(shù)學教研室.線性代數(shù)[M].2版.北京：高等教育出版社，1991.
[3] 張建軍.高等數(shù)學[M].北京：中國電力出版社，2009.
[關鍵詞] 線性代數(shù) 抽象思維 線性相關性
一般的工科《線性代數(shù)》課程主要包括線性方程組、行列式、矩陣、向量、特征值與特征向量、向量空間與線性變換、二次型等幾部分內容[1]。在教材中各部分內容均可獨立成章。從而造成線性代數(shù)教材可以用不同的方式去組合各個專題展開課程的內容。因此學生很難自發(fā)深刻地體會到彼此之間的聯(lián)系。此外，線性代數(shù)課程所具有的高度抽象性也常常使學生望而生畏。針對這些情況，已有不少作者發(fā)表了關于怎樣學好線性代數(shù)的一些文章，可參考文獻[2-5]。
在長期的教學實踐當中，本文作者發(fā)現(xiàn)在對書本知識經過一番必要的解釋之后，再從教材的理論結構這一大處著手，半句妙語，提綱挈領，往往勝于千言。因此，針對線性代數(shù)課程抽象枯燥的特點，提出了強調教材結構體系的方法。從而將線性代數(shù)各部分有機地聯(lián)系到一起，以使學生對線性代數(shù)課程有一個整體全面的把握。
尋找線性代數(shù)的理論結構，需要注重局部和全局的關系。線性代數(shù)是一門高度抽象的課程，如能從高處以更廣的視野對教材的內容進行審視，或對內容進行一種全局性、宏觀性的概括，就可使學生的學習有明確的目標意識，而紛繁多頭的知識點也就會呈現(xiàn)出清晰的主干脈絡和條理性，達到事半功倍的效果。線性代數(shù)具有很多種理論層次結構。本文試圖從如下幾個方面來理解線性代數(shù)的理論結構。
一、線性代數(shù)的理論基礎來源于解線性方程組
最初的線性方程組問題大都來源于生活實踐，正是實際問題刺激了線性代數(shù)這一學科的誕生與發(fā)展。展開知識的發(fā)展過程就是這個問題的解決過程。所有枯燥的理論都是從這里生長的。在學生明確了學習的目的之后，很自然的就可以回憶起高中解二元一次線性方程組的方法――消元法。那么在大學里，我們將要解決的是所有含有有限個未知量的線性方程組。熟話說：工欲善其事，必先利其“器”！而行列式和矩陣正是我們研究線性方程組的兩個“器”。首先，為了求解方程的個數(shù)與未知數(shù)個數(shù)相等時的線性方程組，引入了行列式的概念，進而討論其性質，利用他們得到了解這類線性方程組的優(yōu)美的克萊姆定理。其次，對于方程的個數(shù)與未知數(shù)個數(shù)不相等時的線性方程組，引入了矩陣這一工具。而前者可以統(tǒng)一到后者之中。學生在明白了這一簡單的理論架構以后就知道自己為什么要學習行列式和矩陣了。參看下面的圖1。
圖1表明了求解線性方程組時所用到的兩種工具。
二、線性代數(shù)的重要內容――矩陣
矩陣或者說增廣矩陣就是把一個線性方程組最重要的信息提煉出來。這是學生在線性代數(shù)的學習中將要遇到的第一次抽象。這一問題的轉化過程是通過一一對應實現(xiàn)的。因此矩陣來源于線性方程組。但是矩陣作為線性代數(shù)中一個嶄新的概念，隨著矩陣理論自身的發(fā)展，它又是高于線性方程組的。這句話不是很好理解，打一個譬如。如果我們把線性方程組看作“道”，矩陣是另外的“道”。那么矩陣這個“道”是可以用線性方程組這個“道”來描述的，但又不僅僅是線性方程組這個“道”的平常意義所能包涵得了的。很熟？對！就是“道可道，非常道”那句話。事實上，我們的線性方程組這個“道”也是來源于現(xiàn)實生活中更具體的“道”------“道”法自然。而矩陣那個“道”也可以用諸如向量組，向量空間等更高級的“道”來抽象。像這樣一種不斷的用“道可道，非常道”抽象上去的理論結構的強調對學生抽象思維能力的培養(yǎng)是很有好處的。參看下面的圖2。
圖2揭示了線性代數(shù)課程的某一種理論層次結構：表明了從線性方程組到子空間或極大線性無關組的不斷發(fā)展抽象的過程。
三、矩陣――廣義的數(shù)
矩陣的定義是一個數(shù)表，但是也可以理解為數(shù)的概念的一種推廣。因為矩陣也定義了加減乘等運算，對于可逆矩陣還有求逆的運算。特別地，對于一行一列的矩陣來說就是我們通常意義的實數(shù)或復數(shù)。所以，用這個思路來理解矩陣這個概念就會覺得很自然。另外要注意的一點就是矩陣做為一種新的廣義的數(shù)，當然具有一些自己獨特的性質。如矩陣乘法的交換律，消去律等等已經不再恒成立。這些正是學生需要加以學習和辨認的。當學生對數(shù)的概念放寬以后，就可以繼續(xù)說線性變換甚至更廣的函數(shù)都是數(shù)的概念的推廣。從而形成對數(shù)的認識發(fā)展的理論結構。或者說另外的一種“道可道，非常道”抽象上去的理論結構。參看下面的圖3。
圖3表明人類對數(shù)一種認識的過程。
四、矩陣的核心――矩陣的秩
矩陣的秩是一個較難消化的概念，但又是一個非常重要的概念。對矩陣的秩的理解直接影響到對整個教材的理解。在學生通過學習由K階子式所導出的矩陣的秩的定義之后，把求矩陣的秩轉化為求階梯形矩陣非零行的行數(shù)顯得很重要。對于一個具體的線性方程組來說，其所對應的增廣矩陣的秩就是方程組中“有用”的方程的個數(shù)。也就是說，其增廣矩陣對應的階梯形矩陣中的零行所對應的方程組中的線性方程的存在與否對方程組的解沒有任何影響。即零行對應的這些線性方程是“無用的，表面的”！因此通過化矩陣為階梯形求矩陣的秩的過程，實際上就是對線性方程組的一個化繁為簡的過程，去粗取精的過程！這樣一種結構事實上就是在線性方程組的集合與矩陣的集合之間建立了一種一一對應的關系之后，把對線性方程組的研究徹底的轉化為對矩陣的研究。這是進行數(shù)學研究的根本方法。
五、初等變換――“照妖鏡”
在用消元法求解的過程當中，我們會用到初等變換。此時，初等變換把一個方程組變成同解的另外一個方程組，在這個過程當中，原方程組形式上變得簡單了，但是方程組的解集合不會改變。在把矩陣化為階梯形矩陣的過程當中，我們同樣會用到初等變換，此時矩陣形式上也變得簡單了，但是矩陣的秩不會改變。而從階梯形矩陣我們一眼就可以看出矩陣的秩。所以線性代數(shù)用一句話來說就是研究線性方程組，矩陣，向量組，以及二次型等等在初等變換下不變的那些性質。這樣一種結構就能把各個知識點串起來，讓學生達到融會貫通的效果。
六、兩個重要概念――線性相關與線性無關
線性代數(shù)里面有很多重要的概念，線性相關與線性無關無疑是其中的兩個。這里，一個簡單的命題是含有零向量的向量組線性相關。因為我們可以取零向量的系數(shù)為1，其他向量的系數(shù)為零，從而得到一組不全為零的組合系數(shù)。這個命題的逆命題顯然是不成立的。與此同時，在各種版本的教材中還會有這樣的一個定理：一個向量組線性相關等價于該向量組中存在一個向量被其余向量線性表示。我們說能夠被其余向量線性表示的向量在某種意義上在這個向量組里面是多余的或者說沒用的――在線性方程組里，去掉這個向量所代表的那個線性方程對原方程組的解不會有任何影響，而在某個矩陣里，去掉該向量所代表的行也不會對矩陣的秩有任何影響。在這樣一種意義下，我們甚至可以把這樣的向量――能夠被其余向量線性表示的向量――看成零向量。因此，線性相關的向量組表面上不含有零向量，但本質上還是含有零向量的。認識清楚這一點，我們就可以透過現(xiàn)象，看到本質！從而也能得到線性代數(shù)中另外的一個理論結構。那就是從任何一個向量組出發(fā)，通過反復去掉其中多余的向量――能夠被該向量組剩余向量線性表示的向量，我們可以得到原向量組的一個極大線性無關組；而通過反復添加多余的向量――能夠被該向量組線性表示的向量，就可以直達向量空間這個概念。
七、矩陣的應用――二次型
大部分教材最后一部分往往涉及到實對稱矩陣的一個應用，即利用已經得到的有關實對稱矩陣的對角化的理論，來化一般二次型為標準二次型。因此縱觀整個教材，很好的體現(xiàn)了從實踐上升到理論，最后又用理論來指導實踐這一創(chuàng)造美好世界的原則。參見圖1.
圖4為線性代數(shù)課程的另一種理論層次結構：表明理論來源于實踐（指從解線性方程組中所得到的矩陣理論）之后又可以用于指導實踐（指用矩陣理論解決二次型的標準化問題）的哲學思想。
扎根于對教材的深入理解，能得到許多的理論層次結構。既有關于整個教材的，也有關于某個知識小塊的。許多結構都還有待于我們去繼續(xù)發(fā)現(xiàn)。本文旨在起個拋磚引玉的作用。鑒于各種抽象的過程，借用《道德經》里面的一段話來結束全文：道可道，非常道，名可名，非常名。無，名天地之始，有，名萬物之母。故常無，欲以觀其妙；常有，欲以觀其繳；此兩者，同謂之玄。玄之又玄，眾妙之門！
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【關鍵詞】線性代數(shù)；課堂教學；教學主線；幾何觀點；代數(shù)史
線性代數(shù)及微積分（常稱為高等數(shù)學）、概率論與數(shù)理統(tǒng)計是當今大學生三門必修數(shù)學課.由于中學數(shù)學教材改革和新課標的實施，微積分和概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程中的部分知識點已經在學生的高中階段都有所接觸，而且這兩門課的大部分知識都有較為豐富的背景和應用范圍.相比而言，線性代數(shù)中的行列式、矩陣概念對學生是全新的，沒有在中學接觸過的，就現(xiàn)行的大量教材來看，線性代數(shù)在內容安排上，顯得邏輯性、抽象性有余，而背景性和應用性不足.加上線性代數(shù)一般都安排課時較少，所以使得學生對線性代數(shù)課程的學習更加吃力，達到的教學效果也不盡理想.本文探討在不改變線性代數(shù)課程內容體系的前提下，如何改進課堂教學方法，以達到更好的教學效果.
一、教學中必須把握兩條主線
如前所述，與其他兩門數(shù)學課程相比較，線性代數(shù)的教材編得更為抽象，更加遠離現(xiàn)實.學生通常會覺得概念、定義多，而且由于缺乏背景，一般會顯得零散，各種概念之間的聯(lián)系也較難把握.在課堂教學中，必須把握線性代數(shù)課程的兩條主線，才能把這些大量的概念連起來，形成一個整體.
1.第一條主線是線性方程組
求解線性方程組是線性代數(shù)課程的一個主要任務，將中學的消元法經過一次抽象，就是線性代數(shù)中矩陣的初等變換概念.根據(jù)各種方程組的特點，形成了線性代數(shù)課程中一系列概念和方法.當未知數(shù)個數(shù)與方程的個數(shù)相等的時候，行列式可以派上用場，于是引出了行列式的初等變換、求值、克萊姆法則等相關概念.對一般的線性方程組，我們用秩來描述“真正起作用的方程的個數(shù)”，方程組的有解無解，有唯一解還是無窮多解，自由未知量的個數(shù)，都可以用系數(shù)矩陣的秩和增廣矩陣的秩來理解了.為了對無窮多解有更深入的認識，把方程組的解看成向量，對齊次線性方程組，就需要引入向量空間的概念，這樣就不難理解線性相關與線性無關、最大線性無關組這一連串的概念了.可見，抓住了線性方程組這條主線，就可以把行列式、矩陣、向量組這些概念合理地聯(lián)系起來了.
2.第二條主線是二次型的標準化
解析幾何中很重要的一個主題就是要把一些二次曲線方程化為只含有平方項的二次型，以便研究曲線的類型，這就是我們所謂的二次型化為標準二次型.利用矩陣這一工具來完成這個過程，需要從矩陣的特征值和特征向量出發(fā)，來討論實對稱矩陣的對角化問題.線性代數(shù)課程一般給出了三種化二次型為標準二次型的方法，著重討論的是用正交變換的方法.
在課堂上，抓住這樣兩條主線，不但可以避免概念的零碎，而且對學生掌握線性代數(shù)整個課程體系也是非常有幫助的.
二、在課堂上引入幾何的觀點來介紹代數(shù)知識
大部分線性代數(shù)教材都從知識結構的邏輯性來安排內容，使得代數(shù)知識以抽象的面孔出現(xiàn)在學生面前.事實上，在中學階段，學生學習初等代數(shù)時，是非常注重代數(shù)與幾何之間的結合的.數(shù)形結合不僅有利于降低學生的理解難度，也是掌握代數(shù)思想的一個必然要求.如何用幾何的觀點來學習代數(shù)，是一個在線性代數(shù)的課堂教學中值得思考的問題.
（5）的解即為方程組（2）的滿足整體誤差最小的近似解，這就是最小二乘法求最優(yōu)近似解的結果.從上面的例子可以看出，直觀的幾何意義使得很多推算得到了簡化，更能讓學生加深對概念和方法的理解.
三、從代數(shù)發(fā)展歷史的角度來講線性代數(shù)課程
前面提到，大部分教材的編排由于注重嚴格系統(tǒng)化的形式推理，都不可避免地使線性代數(shù)抽象性特征明顯，我們在課堂教學中，不妨靈活處理知識的來龍去脈，站在從知識發(fā)展的歷史的角度來認識這門課程，這也是引起國外越來越多大學重視的一種教學方式.SpringerVerlag出版社出版的大量大學數(shù)學教材，就是基于這一觀點來編寫的.2008年，普林斯頓大學出版社出版了《普林斯頓數(shù)學指南》（the Princeton Companion to Mathematics），這是一本數(shù)學綜合類的普及讀物，全書共有一千多頁，盡量用淺顯的語言，把現(xiàn)代數(shù)學知識的來龍去脈解釋清楚.在線性代數(shù)的課堂教學中，如果能借鑒這種從知識產生歷史角度來講授知識，不僅能讓學生理解知識之間的內在聯(lián)系，更為可貴的是，能把很多數(shù)學大家當時對這些數(shù)學問題的思考過程呈現(xiàn)在學生面前，對學生創(chuàng)造性思維的形成過程大有益處.
四、結 語
線性代數(shù)課程由于其自身的特征給教學帶來一定的難點，如何在不改變課程知識體系的前提下，達到較好的教學效果，讓學生能在抽象的代數(shù)學習中，接受知識，形成創(chuàng)造性思維方式，提高數(shù)學能力和素養(yǎng)，是每個大學數(shù)學教師面臨的一個重要課題.本文從教學實踐中，結合國內外相關的數(shù)學教育理論，提出了幾條相應的措施.要提高教學質量，需要長時間在實踐不斷去完善教學手段和教學方法，唯有高質量的課堂教學，才能保證線性代數(shù)課程較好的教學效果.
【參考文獻】
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【關鍵詞】線性代數(shù) 教學策略 教學改革
一、關于線性代數(shù)
線性代數(shù)的概念很多，而數(shù)學符號和概念本身就是長期科學抽象的結晶，所以弄清符號的含義，掌握概念的內涵是學好這門課的前提。
二、線性代數(shù)的教學策略
1.直觀介紹概念
數(shù)學概念一般較為抽象，若不注重引入方法直接介紹，對學生而言，文物一時難以接受，即使勉強接受也理解不透，難以應用。《線性代數(shù)》中的一些概念，往往是由若干特殊情況，通過不完全歸納法在一般性定義得出的，它注重具體，淡化抽象。概念都有嚴格的定義，而定義的敘述或易或難。在教學中，為了讓學生弄清某些定義敘述較為抽象的概念，用大量的實例將概念具體化。
2.注重習題課作用
在線性代數(shù)的學習中，學生會普遍感到“做題困難”、“做題沒有思路”等問題，原因是由于這門課程的研究對象和基本思想方法與學生的原有認知結構之間不相匹配產生的，是非常正常的。解決這一問題的最好教學策略就是盡量多上習題課。上好習題課，發(fā)揮習題課的作用，便于學生對概念的理解。線性代數(shù)習題課的基本作用是：使學生正確理解和掌握有關基本概念和基本結論；使學生逐步熟悉和掌握有關基本方法；使學生學會和掌握基本解題技巧，培養(yǎng)學生的思維品質；澄清一些模糊的或者錯誤的認識；培養(yǎng)準確規(guī)范地使用數(shù)學語言的能力。習題課采用師生共同討論的教學模式，形成互動。通過一個階段的適應，一般學生就能逐漸形成分析問題和解決問題的能力。
3.比較法在線性代數(shù)中的應用
所謂比較法，即把某些有一定相關性的知識點或練習題放在一起對照講授或練習，找出它們的共同點和不同點的教學方法。它包括：相反概念的比較；易混概念的比較；新舊知識的比較；同類事物的比較。比較法在線性代數(shù)教學中應用可以使學生加深對知識的理解，準確把握題意，提高分析理解的能力.通過比較可以辨別真?zhèn)巍⒄`，提高認識水平；可以舉一反三，拓寬視野，更好地把握數(shù)學知識的本質特征。
4.培養(yǎng)運用線性代數(shù)的一般能力
學有所用是激發(fā)學生學好一門課程的關鍵。知道理論、了解應用、卻不知該如何利用，面對這樣的狀況學生仍會對這門課程產生距離感，乃至喪失學習興趣。培養(yǎng)學生的應用能力和創(chuàng)造能力，成了目前數(shù)學教育改革的熱點問題。為了解決這一問題，許多學校開設了數(shù)學建模課程，但這種方法有時無法面向絕大多數(shù)學生，因此我們必須考慮如何在涉及面更廣的一些數(shù)學基礎課中培養(yǎng)學生的各種能力。引導學生學習和運用合情推理的方法，合情推理依靠直覺思維，通過猜想、不完全歸納、類比和聯(lián)想的能力得到結論，這是一種或然的結論。
三、線性代數(shù)課程的改革
1.通過學習，提高學生的綜合素質
數(shù)學的理論來自實踐，數(shù)學的思想方法是自然科學、社會科學甚至生活中的各種思維方式的抽象和綜合，它與數(shù)學知識一樣具有一定的普適性。在數(shù)字化社會，學會把事物數(shù)量化、數(shù)學地思考問題，無疑對提高人的素質有重要作用。數(shù)學的嚴謹性使人誠服，其真理性又使人堅信不移。數(shù)學教人們實事求是。數(shù)學的推導是嚴格的，拒絕“想當然”。它是培養(yǎng)學生實事求是作風的很好工具，在培養(yǎng)學生嚴謹科學的治學態(tài)度上起著舉足輕重的作用。數(shù)學推理能力在很大程度上決定了人的工作能力和業(yè)務素質。思維品質和思維能力是人的心理素質和業(yè)務素質的重要的表現(xiàn)形式之一。總之 ，數(shù)學是思維的體操，是訓練人的思維合理性的最佳工具。線性代數(shù)可有效地培養(yǎng)學生的邏輯思維和推理能力，對提高學生的素質是至關重要的。
2.教學方式和教學手段的改革
（1）藝術性教學
要注意講課的藝術性，要善于提出問題。當講到關鍵問題時，可采用發(fā)問式提出問題，之后稍稍停頓，給學生思考的余地，但不能等待，繼續(xù)往下講，促使學生思維靈活，反應敏捷。對提出問題步步深人，一個個解決。語言簡練而不重復，重點地方應加強，語氣放慢，引起重視，讓學生一字一句聽得清清楚楚，且可以邊聽邊思考，給學生一種緊迫感，讓學生感覺到思維一停頓就會脫節(jié)，銜接不上，保證上課全神貫注，注意聽講。
（2）多媒體教學
線性代數(shù)課堂教學的一個顯著特點是板書頻繁而且量大，板書費時、費力，粉塵常常彌漫于整個教室，不僅增加教學難度，而且還影響師生們的身心健康。并且由于字母上標、下標太多使學生不易看清，大班上課后排同學又聽不清，常使得教學效果大打折扣。在多媒體教學中，由于電子板書和話筒的使用，其清晰大號的字形和先進的音量放大系統(tǒng)，可較好的解決這些間題。在使用多媒體教學中，教師可在適當?shù)臅r候利用數(shù)學軟件演示計算行列式、矩陣運算、解線性方程組等，開拓學生視野，增強學生應用數(shù)學解決問題的能力。教師還可隨時方便地使用投影儀將手頭現(xiàn)有的文宇或圖片資料投影于大屏幕上，包括用此方法來講評學生作業(yè)，方便、快捷。
（3）探究式教學
探究式教學是將探討式教學和研究式教學融為一體的一種教學模式。所謂探討式教學，即探索、討論式教學。主要強調調動學生的積極性，正確引導學生對所需要講授的課題進行討論，探索，從而培養(yǎng)學生獨立思考的能力和團結協(xié)作的精神。而研究式教學是重點講授課程知識中的兩個問題：發(fā)現(xiàn)該知識的原始過程和發(fā)現(xiàn)該知識所用的科學思想方法。這種教學方式能夠激發(fā)學生的創(chuàng)新欲望，激活創(chuàng)新潛能增長創(chuàng)新能力燃起創(chuàng)新激情。總之，探究式教學鼓勵學生親自參加探索、研究和實踐，在這個過程中學生不僅可以提高自身發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決向題的能力，還可以促進師生的感情，感受知識所富于的快樂，增長自身的才干。
（4）注重思想方法的培養(yǎng)
在教學內容中滲透數(shù)學思想方法，對學生思維能力的培養(yǎng)是十分重要的，在教與學的過程中，我們除傳授數(shù)學知識外，更應注重學生自學能力的培養(yǎng)。利用初等變換理論作為基礎可建立矩陣的秩、逆，向量組與向量空間，線性方程組，矩陣的對角化，線性變換等理論，進而再考慮抽象空間到抽象空間上的線性變換。能夠掌握貫穿學科的若干思想方法其實就是找到了攀登整個學科高峰的捷徑，學會思想方法對學習線性代數(shù)是大有裨益的，對自學能力的培養(yǎng)促進作用表現(xiàn)是明星的。多講解有利于加深理解基本概念和基本定理，采用一題多解方式拓展解題思路，著重于分析思路，指出解題才是關鍵提高分析能力的關鍵，所以應多讓學生獨立完成計算。
四、總結
以上關于《線性代數(shù)》課程的教學策略和改革一些觀點，概括來說就是要更多的注重學生的接收能力，更為合理的進行教學。相信同行還有更多更好的方法，拋磚引玉，意在使這個問題能引起大家更多的思考。
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關鍵詞：教學方法；教學手段；教學改革；工科線性代數(shù)
中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1673-291X（2013）03-0301-02
線性代數(shù)這門課程是高等學校工科學生的重要的基礎課程，也是工科專業(yè)課程的必備的基礎課程。線性代數(shù)作為基本的數(shù)學工具在自然科學和工程技術等領域中的地位日益受到重視。線性代數(shù)的理論思想是計算機技術的基礎。隨著計算機技術的發(fā)展，很多工科專業(yè)，如信息科學，機械工程，土木建筑等，對線性代數(shù)的要求越來越高。線性代數(shù)[1]這門課程的特點是概念比較抽象，概念之間的聯(lián)系緊密。但是工科線性代數(shù)沒有數(shù)學專業(yè)要求的高，因此，為了更加強調線性代數(shù)在工科專業(yè)中的思想方法和實用性，我們進一步地對工科線性代數(shù)的教學改革進行不斷的探討。
數(shù)學教育家斯托利亞爾[2]關于數(shù)學課程現(xiàn)代化的觀點對我們同樣富有啟發(fā)性。他說，數(shù)學教學落后于現(xiàn)代數(shù)學科學與其說在于內容，還不如說在于思想基礎和內容的邏輯結構，就是說，要把教學建立在現(xiàn)代數(shù)學的思想基礎上，使課程的風格和語言接近于現(xiàn)代數(shù)學的風格和語言，使學生的思維向現(xiàn)代數(shù)學思維發(fā)展。線性代數(shù)也是如此，它在工科中的應用主要是它的思想方法和實用價值。因此，在工科專業(yè)線性代數(shù)的教學中，我們應重點強調線性代數(shù)在工科專業(yè)應用中的思想方法。隨著自然科學的發(fā)展，人們所考慮的問題越來越復雜，并且為了更好體現(xiàn)實際的自然現(xiàn)象的精確性，由此而產生的數(shù)學模型中所涉及的變量越來越多。對于這樣復雜的問題從數(shù)學的角度需要進行簡化為線性的形式才容易從計算的角度來得到它們的更精確的表現(xiàn)形式，從而應用到實際的具體的自然現(xiàn)象中去。于是線性代數(shù)的大規(guī)模的線性計算方法也就成為了工科專業(yè)中的重要的數(shù)學工具。然而，由于線性代數(shù)具有抽象的概念，嚴謹?shù)倪壿嬎枷胍约跋鄬Κ毩⑿缘慕忸}思想方法和大量的煩瑣計算，使得工科學生在學習線性代數(shù)的過程中感覺不到它的實際意義和廣泛的應用。大多數(shù)工科的學生對線性代數(shù)學術感到很乏味。我們結合線性代數(shù)在工科中的廣泛應用，為提高和培養(yǎng)工科學生學習線性代數(shù)的興趣，在工科線性代數(shù)教學經驗的基礎上，從教學方法、教學手段和教學實踐等方面探討工科線性代數(shù)的教學改革。
1.從教學方法方面進行探討。很多學生感到線性代數(shù)的概念比高等數(shù)學的概念抽象得多，更難理解。因此，在教學中就要選擇合適的方法來引導學生理解這門課程的實質和廣泛應用，結合工科專業(yè)的一些應用來講解和引入概念、方法等，使得學生更容易接受所學知識并激發(fā)學生學習線性代數(shù)這門課程的興趣。對這方面的探討我們主要從下面幾個不同的角度來考慮。
首先，講解概念時很多教材忽視了引入概念的實際背景，從而讓學生感到概念很抽象。因此在教學過程中，教師最好通過實際的例子來引入各種不同的概念，使學生對概念的思想由來得以把握，從而使學生更能把線性代數(shù)和實際聯(lián)系起來。例如在引入矩陣的概念時結合工程中或經濟生活中為解決問題而得到的大量實驗數(shù)據(jù)以及這些實驗數(shù)據(jù)之間的關系，可以用矩陣形式來表示，這樣既方便又容易理解。
其次，在講解線性代數(shù)中的不同計算思想和方法時，最好可以尋找到這些思想方法的由來和源泉及其在應用中的重要作用，從而激發(fā)學生學習線性代數(shù)中的各種方法的積極性。另外，在講解線性代數(shù)的各種計算方法時，要注重思想方法的講解，從簡單的典型計算入手，讓學生感到方法的思想和技巧也就夠了。隨著現(xiàn)代技術的發(fā)展，很多工科專業(yè)的實際運用相關軟件進行處理的，而這些相關軟件是通過計算的原理和思想進行編程而得到的。因此，很多時候一定要讓學生理解處理問題的思想和實質，在線性代數(shù)的計算方面只需學生掌握有代表性思想的低階的行列式計算方法或低維的線性方程組的解法，不必進行大量的復雜計算來理解方法的運用。
最后，有關習題或例題的選講問題。我們除了在講解概念后給出例子來說明概念的應用，還可以在每一章節(jié)后面多加入一些例題選講。例子選講的目的不僅是加深學生對所學概念的理解，掌握概念之間的關系，而且還須從不同的角度對各種計算方法進行歸納總結，讓學生對所學內容有一個系統(tǒng)化的理解，對概念之間的關系更加清晰明了。從而也就感覺不到學線性代數(shù)這門課程的乏味了。在例題選講中給出解題的不同的方法，可以從一題多解的角度去考慮，從而培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維[3]。例如，在求一個元素具體的矩陣的秩時，常用的方法有初等變換法、計算子式法、綜合法及求極大無關組方法。我們可以對這些方法進行歸納總結，在例題選講中給出不同方法的例子，讓學生從中體會不同方法的思路，從而更加深對概念的理解和應用。
2.從教學手段來探討。隨著現(xiàn)代技術的發(fā)展和現(xiàn)代信息的不斷擴大，各工科專業(yè)對線性代數(shù)的教學內容的要求逐漸增加，而線性代數(shù)的學時沒有改變，要完成教學內容的任務，就需要對教學手段進行改革。
首先，我們可以利用現(xiàn)代高校中常用的一種教學手段多媒體教學來進行講授線性代數(shù)的內容。傳統(tǒng)的教學手段課堂上需要大量的板書來講授這門課程。但是隨著內容的增加和現(xiàn)代科技的發(fā)展，傳統(tǒng)的教學手段已經不能適應現(xiàn)代課程學習的要求。我們可以在教學手段上加以改進，結合現(xiàn)代教學的特點進行精心的設計，使用現(xiàn)代技術常用的多媒體教學來解決內容和學時的矛盾。多媒體教學的很大的特點就是它可以使教學內容更加充實，可以傳遞更多的信息給學生，使得學生可以接觸到大量的知識內容，拓寬學生的知識面和視野，為他們在專業(yè)知識方面能夠有更大的突破打下堅定的基礎。在多媒體課堂教學中，教師可以通過更多的實例來介紹抽象內容蘊涵的實際背景，可以給出很多不同的例題的解法和思想，上述我們所說的教學思想方法的改革都可以實現(xiàn)。這樣，學生在課堂上主要來學習線性代數(shù)這門課程的思想、原理和方法等，在課下可以自己獨立地根據(jù)電子教案來加強學習和復習。當然多媒體教學也有它的缺點。由于多媒體教學中，傳統(tǒng)的板書少了很多，所講內容在不斷的更新，學生看到的內容也是有限的，這樣從邏輯思維的角度來看有可能使學生在思維上出現(xiàn)間斷，從而不知道教師在講什么。在使用多媒體教學時對教師設計電子教案的要求提高了。教師必須精心地設計自己的電子教案，使得教案在教學過程中更能夠適合學生的邏輯思維，要把主要的思想方法精心地設計，在一些復雜的計算方面可以盡量地減少，讓學生在聽課的過程中感到內容的循序漸近性。
其次，通過讓學生進行大量的習題練習來增加學生對所學內容的理解和掌握。在整個教學過程中，可以從一定量習題課中不斷檢驗學生對所學內容的掌握情況。在課下可以給學生布置大量的作業(yè)和習題，通過批改作業(yè)來尋找學生掌握內容的欠缺，并從作業(yè)中來尋找掌握的概念和方法的弱點。然后在習題課中重點強調學生所掌握的弱點，并且可以讓學生在課堂上講解他們自己的理解和思路，在從這里找到理解不是很透徹的原因。這在多媒體教學課堂中是可以實現(xiàn)的。讓學生親自去尋找問題、討論問題和解決問題，從而也提高了他們解決問題的思維方法。
3.從教學實踐角度來探討。俗話說，實踐是檢驗真理的唯一標準。教學實踐是教學過程的重要組成部分，是培養(yǎng)學生的實踐能力和創(chuàng)新意識的重要教學環(huán)節(jié)，也是培養(yǎng)工科專業(yè)學生把所學知識應用到本專業(yè)上的重要實現(xiàn)過程。這對培養(yǎng)有現(xiàn)代人才教育素質的學生有著重要的意義。
首先，教學改革的主題是學生，教師起著主導性的作用，在教師的創(chuàng)新性教改內容和計劃實施的過程中，要讓每個學生在教師的指導下發(fā)揮自己的主體性作用。很多大學生剛考上大學時還沒有真正地了解大學中學習的課程在將來工作中所占的主導性作用，而線性代數(shù)更是一門抽象的數(shù)學基礎課，更讓學生感到乏味和單調。因此，教師在教學改革的過程中要通過積極地創(chuàng)造好的學習情景，在課堂教學中要設計好教學的每一個環(huán)節(jié)，讓學生在學習的過程中有一種探索性的感覺，激發(fā)學生學習線性代數(shù)的好奇心和求知欲，從而調動學生積極主動的學習態(tài)度，引導和培養(yǎng)學生獨立學習這門課程的主動性，使得在教學改革的思路得以順利的進行。
另外，教學實踐過程中還要讓學生有機會充分體驗學習的艱辛和學習的成就感。在自己的教學實踐和改革的基本思路的基礎上，教師除了要認真?zhèn)湔n、認真上課、認真布置與批改作業(yè)、認真輔導，認真做好每一個環(huán)節(jié)外，還要要求學生在自己的專業(yè)的實踐中尋找用線性代數(shù)的思想方法來發(fā)現(xiàn)問題、建立問題、思考問題和解決問題的過程，從而真正地在實踐中尋找自己所學知識的應用。
總之，工科線性代數(shù)的教學改革是一個很重要的課題，也是很廣泛的課題。線性代數(shù)在不同的工科專業(yè)中有不同的應用形式，我們要從中尋找它們的共同的特點，并根據(jù)不同專業(yè)在教授線性代數(shù)時給出相應的靈活性的變化，使得工科學生在學習線性代數(shù)這門抽象的數(shù)學工具的過程中不感到乏味，激發(fā)他們學習基本工具的積極性。整個教學改革需要教師精心設計和實踐，我們在此基礎上已經編出了一本符合整個教學思路的教材[4]，并根據(jù)教材實施了具體的教學方案。我們在此教材的教學經驗的基礎上，將進一步探討有關線性代數(shù)的教學改革，使得工科線性代數(shù)的教學能夠更加完善和成熟，為培養(yǎng)具有現(xiàn)代高素質高水平的大學生而努力。
參考文獻：
[1] 同濟大學數(shù)學系.線性代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2007.
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[關鍵詞]線性代數(shù) EXCEL 實驗教學 MATLAB
在現(xiàn)實世界中，相當廣泛的實際問題所建立的數(shù)學模型是線性的或者接近于線性的，即使對于非線性問題，解決問題的一種重要方法也是把問題線性化。隨著計算機的快速發(fā)展，用代數(shù)方法解決實際問題已滲透到現(xiàn)代科學、技術、經濟、管理的各個領域。線性代數(shù)是研究有限維空間中線性關系的理論和方法的數(shù)學，“線性代數(shù)”課程已成為高等學校理工科類、經濟管理類專業(yè)的一門重要的數(shù)學基礎課程。但是，“線性代數(shù)”課程的特點是概念、定理、公式具有高度的概括性、抽象性，學習起來難度較大。因此，必須針對“線性代數(shù)”課程進行教學改革，通過數(shù)學實驗來幫助學生提高學習效率，培養(yǎng)用線性代數(shù)知識分析解決實際問題的能力。
一、 利用Excel軟件進行線性代數(shù)的實驗
Excel軟件是計算機中普遍安裝的常用軟件，Excel軟件的使用也是大學中普遍開設的計算機基礎課程的內容之一。線性代數(shù)以矩陣為主要工具，以矩陣初等變換為主要方法。用矩陣的初等變換可以求解線性方程組和矩陣方程，判定向量組的線性相關性，求向量組的極大線性無關組及其秩，進行矩陣變換、求逆等運算，求特征值和特征向量，以及二次型化標準型等。因此，線性代數(shù)課程中幾乎所有的計算都可歸結為矩陣的初等變換。矩陣就是表格，而Excel軟件是處理表格的專用軟件，用Excel進行線性代數(shù)數(shù)學實驗不但是可行的，而且還具有交互界面直觀友好、操作簡單方便等優(yōu)點。
利用Excel的內部函數(shù)可以計算行列式的值、兩個矩陣的乘積、矩陣的逆。如利用MDETERM函數(shù)計算行列式的值，利用MMULT函數(shù)計算兩個矩陣的乘積，利用MINVERSE函數(shù)求矩陣的逆等。
二、 利用MATLAB軟件進行線性代數(shù)的實驗
使用MATLAB實現(xiàn)數(shù)學教學過程中驗證、演示和模擬實驗，可幫助學生理解、認識數(shù)學規(guī)律，例如定理、公式以及空間圖形結構。通過掌握MATLAB 數(shù)學軟件的各種功能和編程，解決線性代數(shù)中的計算問題。
（一）使用MATLAB軟件處理矩陣求逆、求秩和行列式
在線性代數(shù)的教學過程中，學生經常會碰到對矩陣進行逆的求解、秩的求解，也會包括一些復雜的行列式的計算。人工進行這些指標的求解，計算量很大，也占用了大量的教學實踐。利用軟件，在教授指標計算的原理及步驟后，只需用INV實現(xiàn)對矩陣求逆，用RANK實現(xiàn)對矩陣求秩，用DET實現(xiàn)對矩陣求行列式，這樣就可以大大縮短計算的時間，并保證結論的正確性。
（二）使用MATLAB軟件處理線性方程組的求解
線性方程組是重要的代數(shù)方程組。大量的科學技術問題，最終都要化為求解線性方程組，因此線性方程組的解法在線性代數(shù)中占有重要的地位。在方程的個數(shù)及未知量的個數(shù)較少的時候，可利用矩陣的初等變換來求解線性方程組。但當方程的個數(shù)或者未知量的個數(shù)較多時，人工計算顯然需要花費大量的時間，利用軟件就能快捷、準確地解出解。
對于線性齊次方程組Ax=0，MATLAB提供了根據(jù)系數(shù)矩陣A求基礎解系x 的子程序null.m。對于非齊次方程組Ax=b，MATLAB提供了求特解的方法A＼b。從而，就可以正確的到方程組的全部解。
（三）數(shù)學建模實驗與線性代數(shù)課程的結合
建立數(shù)學模型來解決實際問題的過程是眾多行業(yè)和科技領域大量需要的，也是學生在走向工作崗位后常常要做的工作。做這樣的事情僅具備一些解數(shù)學題目的能力是遠遠不夠的，而需要綜合的知識與能力。因此，我們應當努力培養(yǎng)和提高學生在這方面的能力。引入數(shù)學建模實驗，由實際問題建模并用數(shù)學軟件求解，將解決簡單的線性應用問題的觀察、假設、抽象、建模及求解的綜合過程完整地呈現(xiàn)，培養(yǎng)學生運用所學的數(shù)學方法、借助計算機去解決實際問題的能力。其主要內容是選擇一些綜合性的題目，讓學生應用所學的數(shù)學軟件，在計算機上求解，這樣既擴大了學生的知識面，又激發(fā)了學生探索的欲望。例如，在線性方程組求解的教學中，介紹投入產出模型；在矩陣運算的教學后，介紹馬爾科夫鏈；在特征值與特征向量的教學中，介紹人口流動模型；在線性變換后，介紹動畫中的圖形變換在內積空間介紹后，介紹最小二乘法等。
總之，以國外的經驗為借鑒，我們應該利用數(shù)學軟件來輔助線性代數(shù)教學，激發(fā)學生的學習興趣，提高學習積極性，改變“繁”“難”的現(xiàn)狀，達到良好的教學效果。但是具體到每一節(jié)課該怎樣將軟件與線性代數(shù)理論很好的結合起來，不能太向計算機軟件靠攏，但是也不該像以前一樣排斥數(shù)學軟件，這是一個度的問題。在“線性代數(shù)”的教學中軟件的學習不能完全代替板書，而應將其作為一種重要的輔助手段與板書有機結合起來，這樣才能達到較好的教學效果，提高教學質量。
項目資助：上海海關學院優(yōu)秀青年教師資助課題（No.2312064）。
[參考文獻]
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[3]韓云瑞.中西教學理念在西交利物浦大學的碰撞和交融【J】.大學數(shù)學.26（1）：81-85
[4]杜燕飛.加強線性代數(shù)實踐教學提高學生創(chuàng)新實踐能力【J】.數(shù)學教學研究.27（8）：54-55
【關鍵詞】線性代數(shù) 線性方程組 矩陣 秩
【中圖分類號】G642 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）11-0140-02
一、研究背景
線性代數(shù)作為諸多理工科課程的基礎課程，盡管本身學時不長，但對于后續(xù)課程的學習卻起著關鍵性的作用。在教學過程中既要使學生獲得必要的基礎知識， 同時又具有必要的基本能力。 能力的形成與思想方法的掌握是密不可分的。代數(shù)學的基本思想方法有技巧性的數(shù)學方法、邏輯性的數(shù)學方法、宏觀性的數(shù)學方法等[1]。關于如何合理安排教授內容章節(jié)來教授線性代數(shù)，許多高校組織了學者進行探討教改，并且整理出版了自己的教材，其中以同濟大學的教改成果尤為突出，其出版的《線性代數(shù)》第三版還獲得了2000年中國高校科學技術二等獎。我校也依據(jù)本校學生特點，重新編寫了《線性代數(shù)》[2]教程，在此基礎上，進行了一系列教改探討及教學建設，該課程也被評選成為江蘇省精品課程。
二、教授線性代數(shù)課程面臨環(huán)境
1.學生初次學習線性代數(shù)課程，會覺得該課程概念多而且抽象，實際生活中也難找到佐證。行列式，方程組、矩陣、二次型等概念框架思路不同，彼此間也難發(fā)現(xiàn)其深層次聯(lián)系，證明繁多，且思路與高等數(shù)學證明體系完全不同，初學者極易產生畏懼心理。
2.針對線性代數(shù)課程中所遇問題，很多專家學者給出了不同的授課模式，諸如探究式課堂教學、問題解決型課堂教學等模式，然而，對于以上的教學模式，首先對授課人數(shù)有了要求，小班教學情況下，才有探究式教學的空間，這對教職工人數(shù)和工作量安排提出了較高的要求，在一般工科學校中很難有這樣的教學環(huán)境;問題解決型更是對學生的基本數(shù)學素養(yǎng)有較高的要求，這對于線性代數(shù)這樣的為大一大二學生而設的基礎必修課而言，也有由較大的難度。
三、線性代數(shù)的教學嘗試
1.課程銜接
線性代數(shù)雖然課時不多，但是和高等數(shù)學一樣是整個大學學習的重要理論基石。這點可以由研究生入學考試中必含有線性代數(shù)部分可以得到體現(xiàn)。大部分學生都有在大學二年級學習線性代數(shù)課程，經過大一階段高等數(shù)學的學習，已經掌握了學習高等數(shù)學時不同于初等數(shù)學的學習方法，然而高等數(shù)學重視解題能力，強調學以致用，這一點在大學物理的學習過程中也得到了充分體現(xiàn)。初上線性代數(shù)課程時可向學生說明，作為基礎課程，不一定能做到理論映射到現(xiàn)實生活中。所謂的學以致用，線性代數(shù)也在強調工具的應用，但工具并非都是解決實際問題，解決數(shù)學問題、專業(yè)問題的也稱之為工具，線性代數(shù)這門學科主要鍛煉學生的抽象思維能力以及邏輯思維能力。這與高等數(shù)學體系的思維鍛煉側重點不一樣。當然，線性代數(shù)和高等數(shù)學也不是完全割裂的。例如說，可以在剛開始介紹行列式的時候提及解決隱函數(shù)方程組所用到的雅克比行列式，其實就是求解二元一次方程組的系數(shù)行列式。再如講到向量組的線性相關性，可以結合解析幾何中混合積的幾何意義加以釋義。諸如此類，讓學生能夠覺得數(shù)學課程雖然分類眾多，但彼此間聯(lián)系緊密。
2.確立主線
初學者在學習線性代數(shù)，容易被紛雜抽象的概念所嚇倒，有一定的消極心理，不能真正做到主動學習，即便學完線性代數(shù)課程，腦海中的印象也就止于一堆堆抽象的定義、枯燥的定理。其根本原因在于教師在授課時候沒有有效的給學生貫穿一條線性代數(shù)的學習主線，把繁多的知識點串聯(lián)起來。讓學生真正知道自己學到了什么，并用之于以后的進一步學習中。關于線性代數(shù)主線的討論，許多學者給出了自己的建議，有的從矩陣出發(fā)，有的從方程組出發(fā)，還有的從向量組出發(fā)，筆者認為以“初等變換”這一聯(lián)系方程組、矩陣、向量組三者之間的知識點作為主線或者更能收到成效。要把這一想法付諸實施，授課模塊的調整也是有需要的。將行列式和高斯消元法放至首章，緊隨著介紹矩陣的定義和基本性質，然后再轉入向量組的學習，在利用向量組的知識講解方程組解的結構時可進一步強調“初等變換”這一主線的重要性。
3.螺旋式切入
實際授課環(huán)境中，由于概念定理的抽象性，不可機械地填鴨式教育。根據(jù)德國心理學家艾賓浩斯的遺忘曲線理論，如果能增強知識點的螺旋式切入，不斷的用已經學過的知識點來“推陳出新”，讓學生做到前后銜接，融會貫通。例如：在方程組的講解過程中，利用高斯消元法求解方程組時，要重點強調“初等變換”知識點的學習，并將其作為后續(xù)知識點的重要串聯(lián)點。學習向量組的性質時，為了能呼應剛結束的方程組知識，可以通過分析線性齊次和非齊次方程組，利用方程組的初等變換來化簡方程組，可以得到關于向量組的兩個重要結論。
①即向量β可以由向量組α1，α2，…，αs線性表出的充要條件為以向量α1，α2，…，αs為系數(shù)列向量，β為常數(shù)項向量的線性方程組有解，并且每個解向量的分量就是一組組合系數(shù)。
② n維向量α1，α2，…，αs線性相關的充分必要條件是以α1，α2，…，αs為系數(shù)列向量的齊次線性方程組有非零解。
這樣從方程組的知識到的向量組知識構成一個有效過渡。對于矩陣而言，矩陣可逆的相關結論可作為聯(lián)系向量組，方程組，矩陣之間的重要紐帶。
例如 ，矩陣可逆矩陣滿秩;
矩陣行列式不為零;
行（列）向量組線性無關;
以該矩陣為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組有唯一零解;
特征值均不為零;
任一可逆矩陣一定可以分解為一系列初等矩陣的乘積，即意味著可逆矩陣矩陣與任意矩陣相乘就是對該矩陣進行一系列初等變換。在這樣反復的把前面的知識點貫穿于新知識點的引入中，不但能使學生在初學概念時去除陌生感，也能同時鞏固了對于前面知識點的理解。至于相似矩陣和二次型的學習，更是將這方程組、矩陣、向量組的知識點交互在一起的效果得到集中體現(xiàn)。
4. 體驗數(shù)學之美
線性代數(shù)課程中盡管概念抽象，證明繁多，讓很多學生感覺頭疼，但如果選取一些典型證明，將證明思路詳細分析給學生，讓學生不僅在證明中學到如何應用理論，從而避免了枯燥記憶的努力，同時也去除了定理太多，以至于無所適從的茫然，也讓學生可以從中學習到代數(shù)思考的方式，這點也是與高等數(shù)學不同之處。讓他們在其中體會到邏輯之美，數(shù)學之美，或許能激發(fā)學生對于抽象數(shù)學的熱忱。例如：定理3.7 矩陣的秩等于其列向量組的秩[1]，該定理的證明值得好好講解。學生能夠從其中仔細體會到行列式、方程組、向量組知識點互相轉換的思考模式;再如線性空間的定義，可從一些簡單的線性空間得介紹中體會到抽象數(shù)學之美;講到線性空間的基底和坐標時候，線性空間中向量之間的線性運算可以借助于其一一對應的坐標的線性運算來實現(xiàn)，這樣就可以一般線性空間與我們熟知的 維向量空間之間的同構，借此可以了解到不同線性空間的結構。進一步，在不同的基底下可以得到不同的坐標系，可以適當介紹仿射坐標系，并與熟知的空間直角坐標系作類比，順帶引出施密特標準化，并介紹其應用價值，并進一步引出一種特殊而重要的線性變化--正交變化，其在實際應用中可起到旋轉坐標系的作用，解決了非標準二次曲面化標準型問題。
五、結束語
線性代數(shù)課程很緊湊，內容卻很豐富，最能體現(xiàn)出代數(shù)學思想的就是線性空間部分，然而因為課時原因，線性空間教學部分被大大壓縮，如何能夠調整知識點，把線性空間的思想融入到課程當中去，也是一個重要課題。在探討不同教學模式的同時，對于知識點的分配和講解串聯(lián)，也需要教師們加強內功修養(yǎng)，讓學生能夠更好地學習線性代數(shù)。
參考文獻：
[1] 李小平 關于《線性代數(shù)》教學改革的一些思考[J] 大學數(shù)學vol.27，NO.3，2011（6）
,探索發(fā)現(xiàn)法,討論交流法
線性代數(shù)課程是高等院校的一門重要的數(shù)學基礎課程。但是線性代數(shù)不如概率統(tǒng)計有眾多實際案例可選,能喚起學生的學習興趣,能讓學生直接感受到該課程的實用價值。也不如高等數(shù)學可以聯(lián)系學生已有的數(shù)學知識,可以做到以舊迎新,降低學習的難度。線性代數(shù)完全是另起爐灶,學生面對的是全新的數(shù)據(jù)形式——表格數(shù)據(jù)。學生以前連表格都很少見到,而現(xiàn)在要在很短的時間內掌握表格數(shù)據(jù)的算法,難度是很大的。線性代數(shù)之所以成為教師和學生都感到難的課程之一,主要在于它的抽象性。如何克服線性代數(shù)的抽象性帶來的困難,搞好線性代數(shù)的教學也是我一直思考的問題。結合自己的教學實踐與學習談談自己的認識。
一、更新教學方法,充分發(fā)揮學生的主觀能動性。
在教法上,我們可以采取“問題研究法”,“探索發(fā)現(xiàn)法”、“討論交流法”等,變教師一人講授、唱獨角戲,為師生互動交流、人人都參與,使學生真正成為學習的主人!參與其中。讓他們在學習中發(fā)現(xiàn)問題、研究問題、交流探討合作、嘗試解決問題。老師在這個過程中給以及時的啟發(fā)、引導和幫助,使學生們真正的“學會學習”。同時,還要加強實踐教學環(huán)節(jié),提高學生動手解決實際問題的能力。
二、課程教學方法的設計,針對差生進行
設計課程的教學方法,應充分發(fā)掘各個知識點的內涵及其所具有的幾何以及其他相關意義,將困難的,抽象的內容以生動的和易于理解的形式教給學生。從學生熟悉的問題入手,由淺入深,引入抽象的概念或公式,逐步展開《線性代數(shù)》內容。這樣講既便于學生接受,又能引起學生興趣,符合認知規(guī)律的。參考網。
教法設計應該針對差生進行,但不能一味“屈就”差生,以所謂的“降低難度,縮減內容”來滿足差生。而應該積極探索新的教學方法,化繁為簡,化抽象為具體,來努力的提高線性代數(shù)的教學效果。
比如,在矩陣的乘法的教學中,只告訴學生將一個矩陣的行和另一個矩陣的列的元素對應相乘,然后將這些乘積的和作為乘積矩陣的相應行和相應列上的元素。學生不理解,納悶為什么會有這樣的乘法呢。為此,我先舉了一個引例:一某廠家向三個商發(fā)送四種產品,求三個商所得產品總重量和總價,再自然地引入乘法公式,矩陣乘法的定義相對來說很容易被學生接受了。
三、提高能力、增強素質應該成為教學的首要目的
學習知識、掌握知識固然是重要的,但是,提高學生能力,增強學生的數(shù)學素質,尤其是創(chuàng)新素質,應該是最重要的!眾所周知,大學時代是一個人一生中,最重要的學習階段。利用大學的有利條件和豐富的學習資源,掌握一些基礎知識和專業(yè)知識是十分必要的。參考網。但是,當一個人步入社會,走上工作崗位之后,會面臨許多新的知識和新的問題,也許這些都是他或她在大學中所根本沒有接觸過的。既使是屬于其專業(yè)領域中的問題,也有許多全新的東西。如果一個人僅僅是“課本的復讀機”、“知識的復印機”,解決問題的能力低下,那后果將是不可想象的!如果“照本宣科”,“滿堂灌”,學生只是被動地接受、下載、復制,結果恐怕也不會比過去有多大的起色。所以,我們教學過程中不能只是為了向學生傳授知識。更重要的是,要把提高他們分析、解決問題的能力,增強他們的數(shù)學素質,培養(yǎng)他們的創(chuàng)新精神放在首要位置上!
四、貫徹“懂數(shù)學,懂學生,教好數(shù)學,教好學生”的理念
(1)教學中抽象轉化為具體,出發(fā)點是學生。有個非常生動的例子:一個準備旅游的人,如果不知道自己的目的地的情況,甚至不知道要去哪里,那么即使導游沿途給予他再好的指導和服務,他對這個導游的安排都會覺得莫名其妙。甚至于,如果這個旅行者本來的目的地是大海,而他卻認為是草原,那么他對于導游一定要讓他戴上泳衣絕對非常不可理解!我們在教學過程中恐怕是做過這類的事情吧。
在教學過程中,應充分貫徹“懂數(shù)學,懂學生,教好數(shù)學,教好學生”的理念,用簡單解決復雜的理念。充分理解學生,尤其是理解基礎差的學 生。將抽象的線性代數(shù)概念,經過幾何化為具體,空間為體,矩陣為用,使學生更容易理解和掌握,達到教好學生的目的。抽象源于自然和具體潤物細無聲,通過精彩的應用案例,隨風潛入夜。 (2)概念引入應適時自然。給不餓的人吃饅頭,勉為其難;而當他饑餓的時候自然而然地會要求吃饅頭。參
考網。不僅是數(shù)學的概念,任何概念的引入,其實都應該是這個道理:到了必須用這個概念不可的時候,再引入,那就再自然不過,學生當然會很容易理解了。
(3)例子引用要貼切。在教學過程中,一個恰如其分的例子,具有點石成金的作用。例子并不只是考慮到教學的內容,同時也考慮到學生的接受能力和興趣所在,使得枯燥的內容變得生動自然,具有親和力。
(4)注重情感教育。從父母到老師,對于孩子影響最大的莫過于對他的獎勵與懲罰。發(fā)現(xiàn)并抓住學生的錯誤中對的地方,及時給予肯定和表揚,有利于激發(fā)學生的積極性,克服畏懼失敗的心理。
關鍵詞：習題課教學；解題；"講評式導學法"
中圖分類號：G420
引言
線性代數(shù)是工科院校各專業(yè)的一門重要基礎課，線性代數(shù)抽象難懂，學生總感覺知識點很多，前后縱橫交錯，學習上有很大難度。因此。僅僅依靠課堂講授不能很好地實現(xiàn)教學目的，必須重視習題課的教學。
習題課教學是以指導學生進行解題為主的一種課堂教學，它是教學的重要組成部分。解題在教學中是一個重要的組成環(huán)節(jié)，是運用所學的知識解決實際問題的初步實戰(zhàn)，它對于深入理解基本內容，培養(yǎng)分析問題解決問題的能力以及從中攝取廣博的實際知識、技能等具有不可替代的作用。因此對《線性代數(shù)》習題課教學進行研究、改革具有實際的和發(fā)展的意義。
一、有關習題課教學的幾個問題
（一）學生解題存在的問題
《線性代數(shù)》課程的研究對象和基本思想方法與學生的原有認知結構不匹配，加之學生不能正確理解和掌握有關基本概念和基本結論；不能很好掌握有關基本方法、基本解題技巧以及相近理論的運用等等，就形成了學生解題困難的主要原因。
（二）教師在習題課教學中的認識誤區(qū)
1.重"難"輕"易"的誤區(qū)
認為解題能力與難度是一種線性關系，不重視習題的典型性、啟發(fā)性、和針對性，不重視基本方法的指導和基本定理的形成，這樣容易掩蓋對方法的掌握、對能力的培養(yǎng)，容易削弱學生的學習興趣和動機，將給今后的習題教學造成深遠的消極影響。
2.重"結果"輕"過程"的誤區(qū)
教學過程中只重視"結果"而忽略"過程"，讓學生知道一套分析問題的方
法、類型，就可以讓學生掌握一條學習的捷徑。長期以往學生的獨立思考、創(chuàng)造
性能力就得不到發(fā)展。因此教師要注重學生學習的"過程"，讓學生在學習中逐漸培養(yǎng)自己的解題能力。
二、"講評式導學法"在習題課教學中的應用
（一）"講評式導學法"的具體教學方案
"講評式導學法"的具體教學方案主要是通過教師的精選習題讓學生先來"備課'，大膽的嘗試讓學生來講，經過大家的討論評價，教師再作指導和總結，最后通過反饋練習來對本節(jié)課教學進行診斷，并鞏固本節(jié)所學的知識和解題的技能，以實現(xiàn)習題課教學目的的一種新型的教學方法。
（二）"講評式導學法"進行習題課教學應注意的問題
1.精選習題
精選習題是利用"講評式導學法"進行習題教學的關鍵。習題一定要精選，否則很難完成習題課的教學任務，如對所涉及的知識點、方法和技巧以及解題時的困難、關鍵處和易錯處等方面的分析。可以從三個方面搜集題目：一是對教材中原有的習題改變提問角度和條件；二是對學生含混不清的問題編一些思考題；三是有的題目盡量聯(lián)系數(shù)學的前沿分支。
2.啟發(fā)釋疑
教師對議的不深不透的問題要啟發(fā)精講，幫助學生理解掌握，對出現(xiàn)的問題進行剖析、糾正，應著重于指導學生掌握解題的思路和方法，訓練解題的規(guī)范性，
逐步提高學生的解題能力。
（三）對"講評式導學法"的評析
1.有利于加深學生對基本概念、規(guī)律的理解
在習題課上選編思考題作為學習的內容，不僅使學生更準確的掌握基本概念，并能應用基本概念正確的解釋一些問題，從而改變學生"機械記憶"一些定義、定理，而不能深刻理解、靈活應用的弊端。
2.有利于培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力
采用"講評式導學法"學生通過分析、實際的講解，體驗了問題解決的全過程，對解題的思路和方法都有深刻的認識，再加以教師的指導，學生對解題的方法和技巧就會有新的理解，這樣不斷的訓練學生的分析、解決問題的能力就會不斷的提高。
三、習題課教學與改革的思考
（一）更新觀念、勇于創(chuàng)新
在習題課教學中要根據(jù)學生的特點、課堂教學的內容及要求不斷的嘗試新的教學方法和模式。創(chuàng)新教法一般應遵循以下"二個有利于"的原則：
1.有利于活躍課堂氣氛、激發(fā)學生興趣的原則
活躍的課堂氣氛有利于師生的互動，使學生積極的參與課堂教學，調動學生學習的積極性。如果說興趣是學生學習的內動力的話，那么活躍的課堂氣氛就是學生學習的外部動力，兩者結合一定會充分的調動學生學習的積極性和主動性。
2.有利于啟發(fā)學生的思考、教給方法的原則
習題課教學的中心目的就是指導學生解題，培養(yǎng)學生分析解決問題的能力，在老師的精心啟發(fā)和引導的過程中使學生的智力和能力得到發(fā)展。將學的知識應用于實踐，實現(xiàn)認識的第二次飛躍，進而更好地實現(xiàn)習題課教學的目標
（二）教師要不斷提高自身的素質和技能
隨著基礎教學改革的不斷深入，對教師的專業(yè)知識和教學技能的要求將進一步提高，特別是教師的課堂組織能力和利用先進的教育技術的能力。如：投影儀、多媒體等在習題課教學中的應用，不但使教學手段多樣化，還可以大大的增加課堂教學的內容。實踐證明，在習題課教學中適當?shù)睦枚嗝襟w教學，可以得到較好的教學效果。
四、結束語
教學有法，但無定法。習題課教學更是如此，"講評式導學法"只是習題課教學中的一次大膽的嘗試與革新，我們應不斷地總結經驗、吸取教訓，進而更好地完善發(fā)展習題課教學方法與教學策略，提高習題課教學的效率。
參考文獻
[1]高梅；淺談線性代數(shù)習題課的教與學[J]；科技信息；2010年02期
關鍵詞：線性代數(shù)模型生活應用
中圖分類號：G71 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2016）06（a）-0000-00
線性代數(shù)與實際生活聯(lián)系緊密并具有廣泛的應用性，生活中一些難以解答的問題，如果能將之抽象成數(shù)學問題，且運用線性代數(shù)構造模型，這些問題將會得到較為簡單的解決方案。本文通過生活中的一些實例闡述了線性代數(shù)模型的應用，下面就幾個生活中的問題進行具體討論。
一、線性代數(shù)與通入產出模型
投入產出分析是20世紀30年代由俄羅斯籍美國經濟學家列昂惕夫（ 1906～1999）首先提出的，是經濟分析的一種方法。為了進行生產，每個產業(yè)部門必須要有投入，這些投入包括原料、半成品和從其他部門購置的設備等，還需要支付工商稅收、支付工資等。但在生產的過程中，既有物資方面（如原材料、設備、運輸、能源）又有人力等方面的消耗。投入的目的是為了生產，生產的結果必然是要創(chuàng)造新的價值。總之，在物資方面的消耗和新創(chuàng)造的價值等于他的總產品的價值，就是“投入”和“產出”之間總的平衡關系。
下面是一個將產業(yè)部門簡化為僅有農業(yè)、制造業(yè)和服務業(yè)構成的例子。假設沒有進口，也不考慮折舊等因素，給出投入產出表（表1-1）
解：表1-1中數(shù)字表示產值，單位為億元。每一行表示單位部門生產的用作各部門的投入的價值和提供給外部用戶的分配，沒一列表示一個部門需要投入的資源。用1，2，3分別表示農業(yè)、制造業(yè)和服務業(yè)；設 為部門 的總產值； 為部門 在生產中消耗部門 的產值（也稱部門間的流量）； 為部門的 外部需求（也稱部門的最終產品）。那么表1-1中行的基本關系為
將投入產出表1-1中的數(shù)字轉換成表示每個部門的單位產值產出需要的投入更為方便，這樣轉換所得的表稱為技術投入產出表，表中元素稱為投入系數(shù)或直接消耗系數(shù)。將表1-1中各部門的投入除以該部門的總產出可得技術投入產出表（表1-2）
令 表示生產一個單位產值的產品 需要消耗產品 的產值（稱為直接消耗系數(shù)）即
將它代入式（1-1）得
令T （稱為直接消耗系數(shù)矩陣），向量x ，d 分別表示總產出向量和外部需求向量，則式（2-2）可寫成矩陣形式
x = Tx + d或（E - T）x = d
（3-3）式稱為產出平衡方程，它是投入產出中的基本平衡關系式，是進行一系列數(shù)值計算和經濟分析的基礎。
若令A = E - T，則式（2-2）最終化為
Ax = d，
其中 ，
在本例中，若直接消耗系數(shù)矩陣T不變，社會外部需求確定，可求出各部門的總產出x；若社會最終需求改變，那么相應的總產出應如何改變呢？這就需要對d求解線性方程組（3-3）.如果對任何的外部需求d（其元素不會出現(xiàn)負值），方程組都有非負解x（每個元素非負），就稱此經濟系統(tǒng)是可行的。
對上述矩陣A，求其逆矩陣 ，可得
其元素全部非負.因此對任何外部需求向量d（元素全部非負）解得的總產出 的元素也是全部非負，即此經濟系統(tǒng)是可行的。
二、線性方程組在量綱分析模型中的運用
在力學中，任一物理量都可以表示為最基本的物理量―質量（M）、長度（L）和時間（T）的組合形式，這種組合形式稱為這一物理量的量綱.如面積的量綱是 ，密度的量綱是 （或者 ）。值得注意的是量綱是獨立于單位的例如，速度的量綱是 （或者 ），但它可以用英里每小時或米每秒為單位.通常用qim表示取量綱的運算，如面積A的量綱qimA ；速度v的量綱 qimv 等。
量綱齊次原則是指任一個有意義的方程必定是量綱一致的，即方程左右兩邊的量綱應保持一致。即有
qim左邊 = qim右邊.
同時，左邊或右邊的每一項也都必須有相同的量綱.只有量綱相同的項才可以相比較，相加減。
因此，我們來考慮下實際問題。
設長為l，吃水深度為h的船以速度v航行，若不考慮風的影響，那么航船受到的阻力f除依賴船的諸變量l，h，v以外，還與水的參數(shù)―密度ρ，粘度μ，以及重力加速度g有關。下面用量綱分析法確定阻力與這些物理量之間的關系。
解：航船問題中涉及到的物理量有：阻力f，船長l ，吃水深度h ，船速v ，水的密度ρ，粘度μ，以及重力加速度g.要尋求的物理關系記作：
這是一個力學問題，基本量綱選為L，M，T，上述各物理量的量綱表為
式中μ的量綱由基本關系 得到.這里p是壓強（單位面積受的力），所以 ；v是流速，x是尺度， ，代入可得μ的上述量綱.
由式（2-2）可寫出量綱矩陣
經計算知矩陣A的秩R（A）=3.
解齊次線性方程組Ay=0 可得基礎解系為
式（2-4）給出4個相互獨立的量綱為1的量
而式（2-1）與
等價，Φ是未定的函數(shù)，式（2-5）和式（2-6）表達了航船問題中各物理量之間的全部關系.為得出阻力的顯示表達式，由式（2-6）及式（2-5）中 的式子可寫出
式中Ψ是一個未定函數(shù)，在流體力學中量綱為1的量 稱為Froude數(shù)， 稱為Reynold數(shù)，分別記作
式（2-7）又表示為
式（2-9）就是用量綱分析法確定的航船阻力與各物理量之間的關系.這個結果用通常的機理分析法是難以得到的.雖然函數(shù)Ψ的形式無從知道，但它的表達式在物理模擬問題中很有用途.
基本量綱的作用有些類似于線性代數(shù)中有限維空間中基的作用.基本量綱選擇過少，無法表示各物理量；選擇過多則會使問題復雜化.還應注意的是齊次線性方程組，雖然基本的基礎解系可以有無窮多組，雖然基本解組能相互線性表示，但為了特定的建模目的恰當?shù)臉嬙旎窘猓軌蚋苯拥牡玫狡谕慕Y果。
三、向量組的線性相關性在魔方中的應用
德國著名藝術家AlbrechtDurer（1471-1521）于1514年曾鑄造一枚銅幣.令人奇怪的是在這枚銅幣的畫面上充滿了符號、數(shù)字及幾何圖形.這里僅研究數(shù)字問題.
下面是一個由自然數(shù)組成的方塊，稱之為Dürer魔方.為什么稱之為魔方？這種數(shù)字排列有什么性質？從方塊的數(shù)字排列可以看出：
每行數(shù)字之和為34；每列數(shù)字之和也是34；對角線上的數(shù)字之和是34；若用水平線和垂直線把它平均分成四個小方塊，每個小方塊的數(shù)字之和也是34；若把四個角上的數(shù)字相加，其和還是34.
Dürer魔方定義：如果存在一個4×4數(shù)字方，它的每一行、每一列、每一對角線及每一小方塊上的數(shù)字和均相等且為一確定數(shù)，稱這個數(shù)字方為Dürer魔方.
現(xiàn)在思考有多少個符合上述定義的魔方？是否存在構建所有魔方的方法？這個問題初看給人變幻莫測的感覺，但如果借助于向量空間，這個問題就很容易解答.
定義“0-方”和“1-方”如下
，
分別計算得，0―方中R=C=D=S=0， 1―方中R=C=D=S=4，其中R為行和，C為列和，D為對角線和，S為小方塊和.
下面通過用0，1兩個數(shù)字組合的方法構成R=C=S=1的所有魔方，稱之為基本魔方
假設把一個Dürer魔方堪稱一個向量，那么根據(jù)向量運算規(guī)則，對Dürer魔方可施行數(shù)乘、加減運算.
記
易驗證：D對上述定義的數(shù)乘運算、向量加法運算封閉；D中元素的線性組合構成新的魔方D構成向量空間，稱為Dürer魔方空間.
D是向量空間，存在基向量，基向量是線性無關的，并且D中任一元素都可以由基向量線性表示.
等式兩邊對應比較得： ，所以 線性無關.因此 是D的一組基，D中任一元素都可由 線性組合生成， 可以這樣認為： 是D的生成集，但不是最小的生成集，而 是D的最小生成集.
現(xiàn)在回到AlbrechtDurer鑄造的銅幣.用 的線性組合表示銅幣上的魔方， ，即解方程組
解得 .
改變對Dürer魔方數(shù)字和的要求，可以利用線性子空間的定義，構造D的子空間或D空間的擴展.1967年，Botsch證明了可以構造大量的D子空間或D的擴展空間.對于1至16之間的每一個數(shù)k，都存在k維類似 方的向量空間.
四、小結
線性代數(shù)在實際中的應用往往是綜合性的，單單某個章節(jié)在某些方面的具體應用很難找到.如矩陣的特征值與特征向量問題，在控制論中討論系統(tǒng)（機械振動、彈性震動、電磁震蕩等）的穩(wěn)定性以及生物物種存在的狀態(tài)和趨勢中有著廣泛應用，但要牽涉到微分方程組的建立和其他的相關知識內容，以上幾例僅僅說明了一小部分線性代數(shù)在某些生活領域中的應用。實際上，線性代數(shù)在實際生活中的應用相當廣泛，在這里筆者不再一一列舉。
參考文獻
[1]陳東升.線性代數(shù)與空間解析幾何.北京：機械工業(yè)出版社，2008
