時間：2023-05-30 09:25:59
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇分式方程的解法，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
人教版九年義務教育數學教材中，解分式方程安排在八年級下期系統學習了分式的四則運算之后，專用一小節學習可化為一元一次方程的分式方程的解法及其應用，另外在九年級上期一元二次方程一章學習了一元二次方程的解法之后涉及了可化為一元二次方程的分式方程的解法。
分式方程的教學是初中階段代數方程教學中的重要內容。在分式方程的教學中，要讓學生體會分式方程是一種有效描述現實世界的數學模型，解分式方程的基本方法是去分母法，通過這種解法的教學滲透一種重要的數學思想，即轉化思想。
通過探究，我們總結出了分式方程教學的基本模式：創設問題情境——列出分式方程——歸納得出概念——自主探究解法——合作交流疑點——剖析增根原因——總結驗根方法——練習鞏固提高。
在教學可化為一元一次方程的分式方程時，我們進行了如下教學設計：
1 確立導學目標
知識技能：了解分式方程定義，理解分式方程的一般解法和分式方程可能產生增根的原因，掌握解分式方程驗根的方法。
過程方法：通過經歷實際問題列分式方程探究解分式方程的過程，體會分式方程是一種有效描述現實世界的數學模型，發展學生分析和解決實際問題的能力，培養應用意識，滲透轉化思想。
情感態度：強化用數學的意識，增進同學之間的配合，增強在數學活動中運用知識解決問題的成功體驗，樹立學好數學的自信心。
2 確定導學重難點
導學重點：解分式方程的基本思路和方法。
導學難點：理解分式方程可能產生增根的原因。
3 導學過程設計
3.1 創設問題情境，引導列出方程。
數學來源于生活，數學教學應走進生活，生活也應走進數學，數學與生活的結合，會使問題變得具體、生動，學生就會產生親近感、探究欲，從而誘發內在學習潛能，主動動手、動口、動腦。因此，在教學中，我們應自覺地把生活作為課堂，讓數學回歸生活，服務生活。培養學生的動手能力和創新能力，豐富和發展學生的數學活動經歷，并使學生充分體會到數學之趣、數學之用、數學之美。為此，我們設置了兩個問題情境：
情境一：在一次信息技術課上，老師對同學們進行打字速度測試。在相同時間內，吳龍同學錄入了80個字，羅靜同學錄入了60個字，已知吳龍每分鐘比羅靜多錄入5個字，求羅靜同學每分鐘錄入多少個字？
情境二：暑假期間，樂樂一家從煙臺乘船到大連旅游。在船上，樂樂的爸爸給她出了這樣一道題：我們這艘船在靜水中的最大航速為20千米∕時，它以最大航速順流航行100千米所用的時間，與以最大航速逆流航行60千米所用時間是相等的。樂樂，你能計算出海水的流速是多少嗎？看到樂樂眉頭緊鎖的樣子，媽媽給了她一點提示：我們可以考慮用方程的思想來解決這個問題。同學們，你能幫助樂樂列出方程嗎？
老師啟發學生設適當的未知數，根據題意列出方程。同學們經過思考，不難列出方程。在情境一中，設羅靜同學每分鐘錄入x個字，可列方程為：80x+5=60x；在情境二中，設海水的流速為x千米/時，可列方程為：10020+x=6020-x。
老師啟發學生觀察方程的特點，引導學生歸納得出分式方程的概念，并讓學生領會分式方程與以前學過的整式方程的區別。
3.2 自主探究解法，合作交流疑點。
現代認知學習理論認為：數學學習的過程是學生在教師的引導下，能動的構建數學認知結構，并使自己得到全面發展的過程。所以在課堂中教師不應單純地講解知識，應引導學生主動探究。在分式方程教學中，教師要有意識地引導學生主動參與學習，鼓勵學生進行自主探索和反思并與同學、老師共同合作交流。在新知識的學習過程中引導學生去體會數學思想，使學生對解分式方程的基本思想方法的認識理解能隨著學習內容的擴充而不斷深化。讓學生主動的獲得知識，而且在學習過程中產生積極的學習體驗和興趣，同時提高對新知識與已熟悉知識之間聯系的認識。
對于剛才列出的分式方程，啟發學生通過與含有分母的一元一次方程的解法進行類比，自主探究其解法。部分學生通過類比，得出了通過去分母轉化為整式方程求解的基本方法。教師引導學生反思探究過程，歸納出解分式方程的一般方法，讓學生體驗到轉化這一重要的數學思想，解分式方程的基本思想就是要通過去分母把
分式方程轉化為整式方程再求解。這也體現了數學上常常要化新知為舊知的基本思路。
此時，教師給出一個會產生增根的分式方程讓學生求解，并要求學生驗根。例如：解分式方程3x-3=18x2-9。
學生在解出后進行驗根，卻發現原方程的分母為0。由此產生疑問，這是怎么回事呢，難道解錯了嗎？學生合作交流，反思解題過程，未發現錯誤。教師適時介入，介紹增根的概念。
3.3 剖析增根原因，總結驗根方法。
教師引導學生剖析解分式方程有可能產生增根的原因，是因為在分式方程的兩邊都乘以一個含有未知數的整式時，這個整式有可能為零，在把分式方程轉化為整式方程后，未知數的取值范圍就擴大到了全體實數，因而有可能產生使原方程分母為零的根，這就是增根。因為解分式方程有可能產生不適合原方程的增根，因此必須檢驗。學生由此明確了增根產生的原因，并理解了解分式方程驗根的必要性，教師適時強調解分式方程必須檢驗。那么如何驗根呢？教師引導學生歸納出驗根的基本方法。
3.4 例題示范小結，練習鞏固提高。
教師給出例題示范，并由學生小結解分式方程的一般步驟和注意事項。通過課堂練習鞏固，布置課后作業。
教師作為數學教學主導，在設計數學活動時要遵循以下原則：
一、根據學生的年齡特征和認知特點組織教學。
二、重視培養學生的應用意識和實踐能力。
1、讓學生在現實情境和已有的生活和知識經驗中體驗和理解數學。
2、培養學生應用數學的意識和提高解決問題的能力。
三、重視引導學生自主探索，培養學生的創新精神。
1、引導學生動手實踐、自主探索和合作交流。
2、鼓勵學生解決問題策略的多樣化。
四、教師對教學目標，難點，重點把握要恰當、具體。
數的計算非常重要，計算是幫助我們解決問題的工具，只有在具體的情境中才能讓學生真正認識計算的作用。首先應當讓學生理解的是面對具體的情境，確定是否需要計算，然后再確定需要什么樣的計算方法。口算、筆算、估算、計算器和計算機都是供學生選擇的方式，都可以達到算出結果的目的。
一、設計思想：
數學來源于生活，數學教學應走進生活，生活也應走進數學，數學與生活的結合，會使問題變得具體、生動，學生就會產生親近感、探究欲，從而誘發內在學習潛能，主動動手、動口、動腦。因此，在教學中，我們應自覺地把生活作為課堂，讓數學回歸生活，服務生活。培養學生的動手能力和創新能力，豐富和發展學生的數學活動經歷，并使學生充分體會到數學之趣、數學之用、數學之美。
處理好教與學的關系。教師
既要做到精講精練，又要敢于放手引導學生參與嘗試和討論，展開思維活動 。
根據新教材留給學生一定的思維空間的特點，教師要鼓勵學生自己動腦參與探索，讓學生有發表意見的機會，絕對不能包辦代替，使學生不僅能學會，而且能會學。充分發揮網絡在課堂教學中的優勢，力爭促進學生學習方式的轉變，由被動聽講式學習轉變為積極主動的探索發現式學習。數學問題生活化，主導主體相結合，發揮媒體技術優勢，探究練習相結合，符合《課標》精神。
網絡環境下代數課的教學模式：設置情境-提出問題-自主探究-合作交流-反思評價-鞏固練習-總結提高
二、背景分析：
（一）學情分析：
內容是義務教育課程標準實驗教科書（人民教育出版社）數學八年級下冊第十六章：《分式》
學生是本校初二實驗班的學生，參加北師大“基礎教育跨越式發展”課題實驗一年半，學生基礎知識較扎實，具有一定探索解決問題的能力，電腦使用水平較熟練，對于網絡環境下的學習模式已適應。
本節課實施網絡環境下教學，采用自學導讀式教學模式。學生喜歡上網絡數學課，學習數學的興趣較濃。
（二）內容分析：
本節內容是在學生掌握了一元一次方程的解法和分式四則運算的基礎上進行的，為后面學習可化為一元二次方程的分式方程打下基礎。
通過經歷實際問題列分式方程探究解分式方程的過程，體會分式方程是一種有效描述現實世界的模型，發展學生分析問題解決問題的能力，培養應用意識，滲透類比轉化思想。
（三）教學方式：自學導讀—同伴互助—精講精練
（四）教學媒體：Midea---Class純軟多媒體教學網 幾何畫板
三、教學目標：
知識技能：了解分式方程定義，理解解分式方程的一般解法和分式方程可能產生增根的原因，掌握解分式方程驗根的方法。
過程方法：通過經歷實際問題列分式方程探究解分式方程的過程，體會分式方程是一種有效描述現實世界的模型，發展學生分析問題解決問題的能力，培養應用意識，滲透轉化思想。
情感態度：強化用數學的意識，增進同學之間的配合，體驗在數學活動中運用知識解決問題的成功體驗，樹立學好數學的自信心。
教學重點：解分式方程的基本思路和解法。
教學難點：理解分式方程可能產生增根的原因。
設計說明：情感、態度、價值觀目標不應該是一節課或一學期的教學目標，它應該貫穿于初中數學教學的每一堂課，它應該與具體的數學知識聯系在一起，才能讓教師
好把握，學生好掌握，否則就是空中樓閣，霧里看花，水中望月。
四、板書設計：
a不是分式方程的解
（二）學習方法：類比與轉化
教學思考：伴隨教學過程的進行，不失時機的，恰到好處的書寫板書，要比用多媒體呈現出來效果好，絕不能用媒體技術替代應有的板書，現代教育技術與傳統教育技術完美的結合才是提高課堂教學效率的有效途徑之一。
五、教學過程：
活動1：創設情境，列出方程
設計說明：教師不失時機的對學生進行思想教育，激勵學生，寓德于教。體現了教學評價之美-激勵啟迪。
設計說明：通過經歷實際問題列分式方程，體會分式方程是一種有效描述現實世界的模型，發展學生分析問題解決問題的能力，培養應用意識，激發學生的探究欲與學習熱情，為探索分式方程的解法做準備。
活動2：總結定義，探究解法
使學生能從整體上把握數、式、方程及它們之間的聯系與區別；通過合作探究分式方程的解法，培養學生的探究能力，增強利用類比轉化思想解決實際問題的能力及合作的意識。
教學思考：再一次體現了對全章進行整體設計的好處，在學習16.1分式和16.2分式的運算時，幾乎每一節課都運用類比的思想-分式與分數類比和進行算法多樣化訓練，所以才出現了這樣好的效果。在利用媒體技術拓展學習內容時要遵循以下原則：一、拓展內容要與所學內容有有機聯系。二、拓展內容要符合學生實際認知水平，不要任意拔高。三、拓展內容要適量，不要信息過載。
一、漏掉“檢驗”，解答過程不完整或產生增根
例1 解方程：[1x-3]=[3x].
【錯解】方程兩邊同乘x（x-3），得：
x=3（x-3），
解這個方程，得：
x=[92].
所以x=[92]是原方程的解.
【分析】本題中缺少解分式方程的重要步驟――檢驗.錯解的最后一步改為：“檢驗：當x=[92]時，x（x-3）≠0，所以x=[92]是原方程的解”.
【點評】解分式方程的一般步驟是：（1）去分母，把分式方程轉化為整式方程；（2）解整式方程；（3）檢驗，在求出未知數的值后應檢驗這個值是否使得原方程有意義且成立.
例2 解方程：[x-2x+2]-[x+2x-2]=[16x2-4].
【錯解】方程兩邊同乘（x+2）（x-2），得：
（x-2）2-（x+2）2=16，
解這個方程，得：x=-2.
所以x=-2是原方程的解.
【分析】本題方程中未知數x的取值范圍是x≠-2且x≠2，但是在去分母把分式方程轉化為整式方程后，未知數x的取值范圍擴大為任意實數，所以x=-2是原方程的增根.這里漏掉“檢驗”導致了錯誤.本題錯解的最后一步改為“檢驗：當x=-2時，（x+2）（x-2）=0，x=-2是增根，所以原方程無解”.
【點評】解分式方程時要注意未知數的取值范圍，作為檢驗方程解的條件.
二、常數項漏乘公分母，解答錯誤
例3 解方程：[x2x-5]+[55-2x]=1.
【錯解】方程兩邊同乘（2x-5），得：
x-5=1，
解這個方程，得：x=6.
檢驗：當x=6時，2x-5≠0，所以x=6是原方程的解.
【分析】本題中去分母時方程右邊的常數項“1”沒有乘（2x-5），并且在“檢驗”時沒有發現x=6不符合原方程。
【點評】此類錯誤很難檢查出來，所以在解可化為一元一次方程的分式方程時，要認真做好每一步，避免出現類似的錯誤.
【正解】方程兩邊同乘（2x-5），得：
x-5=2x-5，
解這個方程，得：x=0.
檢驗：當x=0時，2x-5≠0，
所以x=0是原方程的解.
三、忽略分數線的括號作用，解答錯誤
例4 解方程：[2x-2]+3=[1-x2-x].
【錯解】方程兩邊同乘（x-2），得：
2+3（x-2）=-1-x，
解這個方程，得：x=[34].
檢驗：當x=[34]時，x-2≠0，
所以x=[34]是原方程的解.
【分析】本題方程右邊的分式[1-x2-x]乘（x-2）后應得-（1-x），正確結果為x=[32].
【點評】分式中的分數線具有括號的作用，如果分子是多項式，那么去分母時應用括號把分子括起來.
四、數量關系理解不清，導致用方程解決實際問題錯誤
例5 一輛汽車從甲地開往相距90千米的乙地，出發后第一個小時按原計劃的速度勻速行駛，一小時后以原來速度的1.5倍勻速行駛，并比原計劃提前20分鐘到達乙地.求前一個小時的行駛速度.
【錯解】設前一個小時的行駛速度為x千米/小時，則一小時后的速度為1.5x千米/小時.
根據題意，得：[90x]-[901.5x]=20
【分析】本題中時間表達式錯誤且時間單位不統一.根據行程問題中的路程、速度、時間三者的關系可得，原計劃的時間為[90x]小時，實際所用的時間應為[1+90-x1.5x]小時，相等關系是：原計劃的時間-實際的時間=20分鐘，但所設未知數的單位是千米/小時，所以應將20分鐘化為[13]小時，正確的方程為：
[90x]-[1+90-x1.5x]=[13]，
解得：x=45.
經檢驗，x=45是所列方程的解，所以前一個小時的行駛速度是45千米/小時.
【關鍵詞】 初中數學；小組合作；同層互助；異層互助；策略
在素質教育理念和新課程改革的推動下，初中數學教學形式不斷革新. 小組合作的模式對于激發學生的學習興趣，實現同層、異層間的互助，進而促進學生全體共同進步有重要的意義. 因此，在新的發展形勢下，面對高素質人才培養標準的不斷提高，在數學小組合作中如何實現同層、異層間互助，提高初中數學教學質量已經成為當務之急.
一、初中數學教學中的小組合作概述
初中數學教學中的小組合作是指在初中數學的教學過程中，以數學學習小組為單位，以數學教師為主導，小組成員自主、探究學習數學知識與技能，共同完成數學學習任務和教學目標的學習形式.
初中數學教學的小組合作，以教師為主導，按照學生數學的水平劃分小組，保障組間相似、組內異質互補，引導全體學生以小組形式進行數學知識與技能的學習. 初中數學教學的小組合作，以學生為主體，學生通過共同的探討、研究，完成教師布置的任務和教學目標，積極主動地進行數學知識的學習.
二、數學小組合作中實現同層、異層間互助的重要性
1. 實現全體學生的共同進步
在數學小組合作中實現同層互助可以促使學優生數學能力進一步提高，中等生的數學知識進一步鞏固，學困生建立學習數學的信心；在數學小組合作中實現異層間的互助，能夠使學優生帶動中等生和學困生進一步提高各自的數學成績，同時學優生在幫助中等生和學困生的過程中鞏固自己的數學知識，進而促進全體學生的共同進步.
2. 提升整體的教學質量
數學小組合作中實現同層、異層間互助可以提升整體的教學質量. 同層、異層互助的小組合作學習，能夠使全體學生都參與到數學課堂中來，能夠調動全體學生學習的積極性，激發各個層次學生學習數學的興趣. 在學習興趣被激發、學習主動性被提高的前提下，組內和組間、同層和異層的學生進行合作學習，能夠進一步地促進整體的數學教學質量的提高.
三、數學小組合作中實現同層、異層間互助的對策
1. 激發學困生的學習興趣
學習興趣是進行學習的內在動力. 激發學困生的學習興趣，是實現同層與異層間互助的關鍵. 因此，在數學小組合作中要實現同層、異層之間的互助，必須激發學困生的學習興趣. 首先，教師要降低對學困生的要求，先要求他們掌握基本的知識和技能，為他們布置作業的難度也要控制在中等或中等以下，從而建立起學困生數學學習的信心，體會到解決數學問題的成就感，進而激發起他們學習數學的興趣. 其次，要求學困生做好課前預習工作，老師可以設置一些適合學困生的預習作業，并鼓勵學困生請教中等生和學優生. 另外，要讓中等生、學優生建立一種觀念：主動幫助他人學習是一種非常有效的學習方法. 根據學習金字塔理論，學習了之后教別人，兩周后可以保留90%，單純學習可以保留10%，反復練習可以保留70%，教別人保留的程度最高. 所以，學優生和中等生要樂于幫助學困生，在幫助學困生時要有耐心，幫助別人就是在強大自己.
2. 促進同層、異層學生的相互合作
（1）同層互助合作
在數學小組合作中實現同層互助，我們要引導數學水平相近的學生為完成數學教學目標進行互助學習、共同提高. 比如，學優生同層間可以引導彼此領會數學難點，創新解題的過程與方法. 以“分式方程”為例，這節課的重點是分式方程的解法，難點是理解分式方程可能產生增根的原因. 對于學困生而言，首先要讓他們把握好分式方程與整式方程的區別，倡導學困生在交流與合作中充分掌握分式方程的概念和特點，之后再讓他們逐漸掌握分式方程的解法. 對于中等生而言，分式方程的概念較為簡單，但在掌握分式方程的解法上有一定的難度，因此，在教學中要讓他們重點把握分式方程的解法，促進中等生在分式方程求解方法上的交流與討論. 對于學優生而言，分式方程的概念和解法都比較簡單，我們要提高他們探究數學的熱情，故此可以讓學優生對分式方程產生增根的原因進行探討，更好地把握解題后需要檢驗的原因.
（2）異層互助合作
所謂異層互助是指學習水平相差較大的學生相互幫助. 每個小組的成員都由學優生、中等生和學困生組成，在數學學習過程中，我們要積極引導三層學生互幫互助，促進各層學生的共同進步.
以“相似三角形”為例，學困生的數學基礎較差，在理解相似比的概念、找對應邊、理解相似三角形的判定上有一定的難度，我們可以引導中等生和學優生幫助組內的學困生進行預習工作，根據教材和自己對于教材的理解為學困生講解一下相似比的概念和找對應邊的方法. 這樣一來，學優生和中等生能夠在幫助學困生預習的過程中更加深刻地體會相似三角形的概念、判定定理，對于相似比的概念和找對應邊的方法能夠進一步的把握；學困生在接受其他同學的幫助之后，可以大體了解一下新課的內容，為相似三角形的課堂教學奠定一定的基礎，能夠在上課時趕上教師的授課節奏. 長此以往堅持下去，學困生能順利步入中等生的行列，中等生可以輕松掌握課本內容，把時間更多花在各種題型的研究與解決上，學優生則可以站在較高的立場思考相似三角形與其他內容間的聯系與區別，將新舊知識融會貫通.
（3）同層、異層之間互助
小組合作分為組內合作和組間合作，組內由異層的學生組成，組間學生的水平相近，在數學教學過程中可以采用組內、組間結合的方式，實現同層與異層之間的互助合作. 以“二元一次方程組”為例，在講完二元一次方程組的基本知識之后，為了讓學生更好地理解和把握二元一次方程組的概念，我讓學生分小組解方程組、判斷是否是方程組，然后指定別的小組相應程度的成員獨立回答問題，回答不出來或者回答錯誤的題由出題人講解.
學生在出題過程、解題過程中實現了組內異層學生的合作，發揮組內學優生的指揮能力，調動中等生和學困生的參與積極性，促進學優生對學困生的幫助；同時，學生在指定其他小組解題的過程中，實現了相似水平小組的合作，吸取別的小組在出題、解題過程中表現出來的優點，彌補自己小組的短處.
3. 采用聽教師講和討論式相結合的教學模式
在數學小組合作中，實現同層、異層間的互助，可以采用聽教師講和多種討論式相結合的教學模式，讓學生在互相討論的過程中互幫互助、共同進步. 討論形式的多樣性主要表現在：可以是預習、重點內容的討論、習題的分析與解法以及規律的總結；可以是課堂內容，也可以是預習或者自己家庭作業的習題. 當題目難度不大時，可以和同層討論；難度比較大時，可以請教比自己能力強的同學. 上課時要認真聽老師講，有疑問時可以提出來討論，當練習做完的時候可以講解自己的思路，或者是討論各自做法的優劣. 課后可以互相交流學習心得，請教疑惑的地方.
4. 充分發揮集體的力量
在數學小組合作中實現同層、異層間的互助，要充分發揮集體的力量，充分凝聚班集體每一個成員的力量，讓優等生帶動中等生和學困生學習，引導彼此探究數學難點，創新解題思路，進一步提高自身的數學水平；讓中等生幫助學困生解決數學難題，鞏固自己的數學知識，保持學習數學的熱情，縮小與學優生之間的差距；讓學困生通過請教學優生和中等生，打牢數學基礎，樹立學會、學好數學的信心，縮小與中等生之間的差距.
初中數學小組合作對于實現同層、異層互助有重要的意義. 素質教育是面向全體的教育，要求培養學生的實踐能力，促進學生的全面發展，開展數學小組合作，促進同層、異層的互助，這是素質教育對初中數學提出的必然要求. 在未來的發展過程中，我們應當在數學小組合作中充分激發學困生的數學學習興趣，促進同層之間、異層之間以及同層與異層之間的互助合作，采用討論式的教學模式開展數學教學，充分發揮班集體的力量，充分實現同層、異層之間的互助合作，進而促進全體學生數學能力的共同進步，促進初中數學教學質量的提高.
【參考文獻】
[1]袁磊. 數學合作互助小組促進數學教育的均衡發展[J]. 新課程學習：中學，2012，5（12）：32-33.
[2]張東元. 合作學習在數學教學中的實踐[J]. 考試周刊，2011，63（23）：73-74.
【摘要】在當前新課程改革中，培養創新型的全面發展人才已成為當前教育的主題。本文從一線教學實踐中，探索初中數學老師在教學方法上如何創新以及如何培養中學生的創新思維能力。
【關鍵詞】中學生 數學課堂 創新思維 培養
中學階段是人生中非常重要的學習階段，尤其是創新思維和發展思維能力培養的黃金時期。在數學教育方面，教師不應僅是知識的呈現者，更應該重視思想方法的教學，教學方法不應該僅僅停留在知識的灌輸方面，而應該改變以往的死板教學模式，注重學習方法和思維能力的培養，激發學生的主動學習興趣，使學生在掌握數學基礎知識的同時，初步形成數學的思維策略。
所謂創新思維，是人們通過對所掌握的知識和經驗的運用，以及對客觀事物的觀察、類比、聯想、分析、綜合，探索新的現象和規律，產生新的思想，新的理論，新的方法，新的成果的一種思維方式。學生的數學創新思維是指在數學學習的過程中具有新穎性和獨特性的思維成果，而不是簡單再現書本知識和教師講過的解題技能。因此在教學中，教師要加強對學生創新思維的培養，在實際教學中可采用以下幾個方面去培養學生的創新思維能力。
一、更新教育理念，為創新思維創造適宜的環境
在課堂教學中，教師應該適當給予學生思考的習慣與能力，在課堂上善于創設思維情景，引導學生積極思維，運用已學過知識去解決新問題。教師應訓練學生創新能力為目的，創新學生思維為根本，保留學生自己的空間，尊重學生的愛好、個性和人格，以平等、寬容、友善的態度對待學生，使學生在教育教學中能夠與教師一起參與教和學，真正做學習的主人，形成一種寬松和諧的教育環境。只有在這種氛圍中，學生才能充分發揮自己的聰明才智和創造想象的能力。在課堂教學中，教師應有意識地搞好合作教學，使教師、學生的角色處于隨時互換的動態變化中，設計集體討論，差缺互補，分組操作等內容，鍛煉學生的合作能力。教師要讓學生在輕松環境下，暢所欲言，各抒己見，敢于發表獨立的見解，或修正他人的想法，將幾個想法組合為一個最佳的想法，從而在學習過程中，培養學生創新思維能力。如在探索三角形全等的條件時，我大膽地讓學生去主動探索和發現，在學生分析、研究的過程中，我始終參與他們的分析與討論，做到尊重學生的人格，認真聽取他們發表新意見，提出新見解，尊重學生差異，充分解放學生的創造力，為各層次、類型的學生創造性思維能力的培養提供理想空間。教學過程的開放，為學生積極參與教學過程，充分發揮聰明智慧提供了很大的空間，大大激活了學生的思維，培養了學生的創新精神和實踐能力。
二、尊重學生個體差異，開展分層教學
每位學生由于家庭、個人等因素的影響，都存在個體上的差異。因此，教師調控教學內容時必須在知識的深度和廣度上分層次教學，盡可能地采用多樣化的教學方法和學習指導策略，因材施教，在教學評價上要承認學生的個體差異，對不同程度、不同性格的學生提出不同的學習要求。作為一名教師要及時了解并尊重學生的個體差異，積極評價學生的創新思維，從而建立一種平等、信任、理解和相互尊重的和諧師生關系，營造民主的課堂教學環境，學生才會在此環境中大膽發表自己的見解，展示自己的個性特征，對于有困難的學生，教師要給予及時的關照與幫助，要鼓勵他們主動參與數學活動，嘗試用自己的方式去解決問題，發表自己的看法；教師要及時地肯定他們的點滴進步，對出現的錯誤要耐心地引導他們分析其產生的原因，并鼓勵他們自己去改正，從而增強學習數學的興趣和信心。在教學過程中，我深有體會，有些學生你越夸他們成績越好，進步越快，而有些學生，就必須給予一定的壓力，偶爾的批評，反而能激發他們上進心和創新能力。
三、注重數學思想方法的滲透，激發學生的創新思維
在數學《新課程標準》中明確提出來，這不僅是課標體現義務教育性質的重要表現，也是對學生實施創新教育、培訓創新思維的重要保證。數學思想和方法是數學知識的精髓，又是知識轉化為能力的橋梁。目前初中階段，主要數學思想方法有：數形結合的思想、分類討論的思想、整體思想、化歸的思想、轉化思想、歸納思想、類比的思想、函數的思想、辯證思想、方程與函數的思想方法等。如講“利用待定系數法確定二次函數解析式”時，可啟發學生去發現確定解析式的關鍵是求出各項系數，可把他們看成三個“未知量”，告訴學生利用方程思想來解決，那學生就會自覺的去找三個等量關系建立方程組。在這里如果單講解題步驟，就會顯得呆板、僵硬，學生只知其然，不知其所以然。與此同時，還要注意滲透其他與方程思想有密切關系的數學思想，諸如換元、消元、降次、函數、化歸、整體、分類等思想，這樣可起到撥亮一盞燈，照亮一大片的作用。如講授“分式方程”時，就體現了分式方程與整式方程的對立統一思想，教學時，不能只簡單介紹分式方程的概念和解法，而要滲透上述思想，我們可以從復習整式和分式的概念出發，然后依據辯證思想自然引出分式方程，接著帶領學生領會兩個概念的對立性(非此即彼)和統一性(統稱有理方程)，再利用未知與已知的轉化思想啟發學生說出分式方程的解題基本思想，從而發現兩種方程在解法上雖有不同，但卻存在內在的必然聯系。這樣，學生在知曉整式方程與分式方程概念和解法的辯證關系后，就能進一步理解和掌握分式方程，收到一種居高臨下，深入淺出的教學效果。
（作者單位：江蘇省泗陽縣致遠中學）
關鍵詞 化歸思想 化歸原則 化歸方向 化歸方法
中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A
古往今來，人們廣泛使用化歸思想方法來處理和解決各種數學問題，眾所周知，法國著名數學家笛卡爾建立坐標系把幾何問題轉化為代數問題，開創了用代數方法研究幾何問題的新紀元，他創立的解析幾何是數學發展史上不朽的里程碑，他的研究就是運用化歸思想的光輝典范。
化歸思想是指當問題難以直接解決時，根據問題的性質、條件和關系的特點，采取適當的變換方法來對問題進行轉換，最終把問題轉化為容易的較簡單的或已經解決的問題的思想。這種思想貫穿于數學學習與數學研究的各個層面，是數學的一個十分重要而又基本的解題思想，在初中數學解題中也常用到這一解題思想，并且有些用常規方法解題顯得較為復雜的題目，使用化歸方法來解，能做到事半功倍，甚至有些用常規方法無法解決的問題，使用化歸方法后便可以收到“柳暗花明又一村”的奇效。
初中數學使用化歸思想解題的例子隨處可見，只要在學習的過程中，多注意觀察總結，我們就會發現數學解題思想中少不了化歸思想，由此可見化歸思想對學習數學的重要性。下面通過一些具體的例子來分析化歸思想的使用有何原則與方向可依循。
例1：解方程
解：方程兩邊乘x（x-3），得：
2x=3x-9
解得：x=9
檢驗：當x=9時，x（x-3）≠0
所以原分式方程的解為x=9
在解分式方程時，是先去分母化為整式方程，因為學分式方程前學過整式方程的解法，學到分式方程時把它轉化為解整式方程問題就解決了，這一轉化過程達到把未知問題轉化已知問題的目的，在尋求方程解法里面常用到這種化歸方向。解多元一次方程組時利用消元法消去未知數，最終轉化成一元一次方程求解；解一元高次方程時，通過降次轉化為一次方程求解。
例2：已知x-y=1，xy=2，求x3y-2x2y2+xy3的值
解：x3y-2x2y2+xy3
=xy（x2-2xy+y2）
=xy（x-y）2
=2？2
=2
該問題如果用常規方法先把x、y的值先求出來再代入，過程會顯得很復雜，而用化歸思想解題，把未知的轉化為已知的，用因式分解法把要求值的式子轉化為能用含有已知值的式子來表示，然后直接代入求值，過程簡單易懂。這是化歸方向的化未知為已知，這種化歸常用于代數式求值問題；幾何中證明問題也常用該化歸方法，求四邊形內角和，就是通過輔助線把四邊形分割三角形，然后利用三角形內角和定理來解決。
例3：計算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）（264+1）
這類問題如果按運算順序和運算法則直接運算，計算量大和運算過程繁雜，觀察后發現，該問題可以在其前面乘上式子（2-1），不改變原式的值，便可以轉化為用平方差公式來運算的式子，達到化繁為簡，化一般為特殊的目的。
解：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）（264+1）
=1祝？+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）（264+1）
=（2-1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）（264+1）
=（22-1）（24+1）…（264+1）
=（24-1）（24+1）…（264+1）
=（28-1）…（264+1）
=2128-1
初中數學中使用化歸思想解題的例子還有很多，只要我們在學習的過程中認真的去分析與總結，便可發現化歸思想的廣泛運用，并且化歸思想也給我們解決問題帶來很大的幫助。由以上所舉的例子，我們大致可以看到化歸思想的運用也有一定的方向與原則可遵循，其中化歸的原則：簡單化、熟悉化和直觀化。化歸的方向：化未知為已知，化抽象為具體，化一般為特殊，化繁為簡。化歸的方法：解析式的恒等變換方法，利用等式的性質變換等式的方法，利用不等式的性質變換不等式的方法，幾何圖形的分割法等等。解題過程的每個化歸步驟所選用的變換方法，都立足于一定的分析、探索的基礎上發現的。
1.在概念教學中引導學生反思
在數學概念的教學中，很多教師往往不注重概念的形成過程，只重視概念的運用，忽視數學知識的產生與形成的重要階段，強行地將一些新的數學概念灌輸給學生，無從體現學生的主體性，將嚴重影響學生形成正確的數學觀，阻礙學生的能力發展。解數學題，有時由于概念不清，套用相近知識，難免產生這樣那樣的錯誤，反思可以給思維主體思考空間，使其盡情地展開想象、發表獨到的見解。初中數學中有很多概念具有相似的屬性。對這些概念的教學，教師可先引導學生反思已學過的數學概念的屬性，然后構建新知識的生成空間，去類比、去體驗，讓數學知識在反思中形成。
例如七年級第一學期講授“垂直”時，我將垂直的性質與平行的性質進行對比，讓學生反思為什么畫平行線時要強調“過直線外一點”畫垂直線時卻不需要。再如九年級第一學期中講到“二元二次方程組”概念的時候，我先列舉了幾個方程組，讓學生判斷一下。然后讓學生對這一概念進行一下反思，提出了以下幾個問題：（1）是否兩個方程中必須都含有兩個未知數？（2）含有未知數的項的次數能否改成含有未知數的次數？（3）方程組中的兩個方程都必須是二元二次方程嗎？經過反思使學生對這一概念有了更深理解，并在頭腦中形成較完整的概念。在以后的練習中錯誤率明顯降低了。
在數學概念教學中，應設計有效的問題情境，充分調動學生參與課堂教學活動，使學生經歷觀察、分析、類比、猜想、歸納、抽象、概括、推廣等思維活動，探究規律，得出新的數學概念。從而使學生體驗到數學概念的產生過程，提高他們對數學的認識水平，掌握數學思想方法，培養數學能力，這是數學概念教學要研究的首要問題。
2.在例題教學中引導學生反思
數學知識有機聯系縱橫交錯，解題思路靈活多變，解題方法途徑繁多，但最終卻能殊途同歸。即使一次性解題合理正確，也未必能保證一次性解題就是最佳思路，最優最簡捷的解法。不能解完題就此罷手，如釋重負。應該進一步反思，探求一題多解，多題一解的問題，開拓思路，溝通知識，掌握規律，權衡解法優劣，在更高層次更富有創造性地去學習、摸索、總結，使自己的解題能力更勝一籌。因此對例題的教學不能就例題講例題，而需要舉一反三、一題多解、一題多變。
例如，在講《等腰三角形》時的例題：已知等腰三角形的腰長為6，底邊長為3，則三角形的周長為 15 .我在原例題上進行了一題多變。變式1：已知等腰三角形的兩邊分別為6和4，則三角形的周長為 16或14 .（需要進行分類討論）變式2：已知等腰三角形的兩邊分別為6和3，則三角形的周長為 15 .（需要進行分類討論后，再利用三角形三邊的關系進行檢驗，便于培養學生的思維嚴密性）變式3：在等腰ABC中，若周長為8cm，且AB=3cm，則BC= 3或2或2.5 .（需要進行兩次分類討論）
一題多解或一題多變，每一種解法變法可能用到不同章節的知識，這樣一來可以復習相關知識，掌握不同解法技巧，同時每一種解法又能解很多道題，然后比較眾多解法中對這一道題哪一種最簡捷，最合理？把本題的每一種解法和結論進一步推廣，同時既可看到知識的內在聯系、巧妙轉化和靈活運用，又可梳理出推證恒等式的一般方法和思路：從左到右、從右到左、中間會師、轉化條件等，善于總結，掌握規律，探求共性，再由共性指導我們去解決碰到的這類問題，問題便會迎刃而解，這對提高解題能力尤其重要。
3.在系統小結中引導學生反思
教師一般都重視新課的引入,導語的設計,因為良好的開端等于成功的一半,而往往忽視課末小結。如果說巧妙的導語能夠激起學生的求知欲,是開啟思維的鑰匙的話,那么一個精彩的課末小結,則能起到畫龍點睛的功效。學生在短短四十分鐘內接受了大量的零碎信息，他們尚缺乏概括、歸納、總結能力，對所學知識如不及時加以總結，遺忘得會更快。只有讓學生在較短時間內重復所學內容，引導學生對所學知識歸納梳理,使知識系統化和網絡化,才能使他們對學習內容有較好的記憶。
注重對每堂課的新知識（即定義、定理、法則、性質）的梳理反思，形成一個知識網絡。比如在學習解分式方程時，學生能基本歸納出解分式方程的一般步驟：把分式方程轉化為整式方程；求出整式方程的解；驗根。此時可以引導學生反思每一步體現的數學思想和存在的原因。第一步體現了轉化的數學思想化未知為已知。第二步鞏固解整式方程的方法。第三步因分式方程轉化為整式方程時會產生增根，需要檢驗分母是否為零。
【關鍵詞】初中數學 思想方法 教學策略
實施新課改以來，對于初中數學教學理念來講，最大的變化莫過于摒棄傳統的題海戰術，取而代之的是對于數學知識的活學活用，注重通過培養學生的數學思想，來提升學生的綜合素養與創新精神。鑒于此，在具體的數學教學中如何培養學生的數學思想方法就成為了目前的當務之急，筆者在具體的教學實踐中脫離了就題論題的教學思想桎梏，在新課改背景下積極拓展自己的教學策略與方法，在培養學生的數學思想方面做出了積極探究，現總結如下，望各位同仁不吝賜教。
一、符號化思想和化歸思想的培養
符號化是初中代數中重要的數學思想.初中數學教師在教學過程中培養學生的符號化思想是非常重要的.數學教師在教學過程中首先應該讓學生認識引進字母的意義，以有理數為例，可以通過兩個不同意義的數說明“+”與“-”所表示的兩種相反的量的意義.其次，培養學生學習符號化的興趣，教師可以通過平方差公式等乘法公式，將符號化的鮮明特點展現在學生面前，使學生對符號化產生興趣，從而培養學生的符號化思想.化歸是一種解決問題的策略，就是將數學問題化解和歸納為幾個較為簡單的問題.初中數學教師在培養學生的化歸思想時應該讓學生掌握縱向化歸和橫向化歸思路.縱向化歸思路是將問題看成是一組相互關聯的小問題，并且根據各個問題的聯系，逐個破解.橫向化歸思路是將問題轉變為相互獨立的小問題再解決問題.例如教師在講解一元一次方程時，就可以培養學生的化歸思想。所以，初中數學教師在教學過程中應該根據教學內容，培養學生的化歸思想.
二、滲透“方法”，了解“思想”
我們知道，初中階段的學生抽象思維與邏輯思維能力還不太成熟，如想單獨把數學思想作為一門課程，抑或教師拿出專門的幾節課來向學生進行講解，不但無益，而且還會使得學生對于數學知識產生恐懼，影響他們的學習效果。既如此，我們就需要把具體的數學知識作為有效的載體，通過對具體數學知識的講解，譬如概念的形成過程，定理的推導過程，還有數學史的發展過程等詳盡地展示給學生，在這些數學知識詳盡的展示過程中，我們讓學生的數學思想從中得到滲透，并反過來指導他們數學學習的具體過程。譬如筆者在講授《有理數的大小比較》這一章節的知識時，許多學生就對于“對于兩個負數來說，絕對值越大的數，數值越小”這個道理百思不得其解，頻頻出錯，對于這些學生，我詳細地給他們展示了一幅數軸，就是說，在數軸上，所有靠右的數值都比靠左的數值要大，對于兩個負數來講，絕對值越大，就越是需要向左移動，所以他們的實際數值也就越小。經過教師這個一畫一講，學生們頓時有所悟，不但明晰地理解了這個定理的具體內涵，而且還樹立了一定的數形結合的思想，為他們數學思想的提升燒了一把旺火。隨后，在初中階段其它內容的講授當中，我都堅決摒棄為了做題而做題的思想與理念，總是著眼于具體知識的脈絡梳理，著眼于引導學生從具體題目中感受數學思想的教學策略，為學生數學思想的形成，整體素養的提升奠定了基礎。
三、滲透分類討論的思想方法
筆者以為，也許所有的數學知識放在一起進行觀察，他們是一個整體，但在具體學習的過程中，我們是通過分類，一個部分，一個部分地來進行講授的。在此過程中，如果我們能夠教給學生這種分類的思想，對于他們的學習過程將產生極大的影響。教師要培養學生分類的意識，然后才能引導學生在分類的基礎上進行討論。我們仔細分析教材的話應該不難發現，教材對于分類討論思想的滲透是一直堅持而又明顯的。比如在研究相反數、絕對值、有理數的乘法運算的符號法則等都是按有理數分成正數、負數、零三類分別研究的；在研究加、減、乘、除四種運算法則時也是按照同號、異號、與零運算這三類分別研究的；而在初中幾何教學中，用分類討論思想進行了角的分類、點和直線的位置關系的分類、兩條直線位置關系的分類；在函數教學中將函數圖象分為開口方向向上、向下，單調遞增、遞減來進行研究；在圓的教學中按圓心距與兩圓半徑之間的大小關系將兩圓的位置關系進行了分類。從功能上看，這種分類討論思想可以避免漏解、錯解情況的出現，從學生的思維品質上看，分類討論思想有利于培養學生的思維嚴謹性與邏輯性。滲透分類討論的思想方法，對培養學生全面觀察事物、靈活處理問題的能力有積極促進作用。
四、辯證思想
眾所周知，辯證思想不但是數學知識領域的一項基本思想，就是在自然界，它也是一項根本的學識理念與思想，中國古代就有著“禍福相倚”的故事與傳說，我們在數學思想的培養過程中，就需要好好利用這一數學思想，既要培養學生對于這一思想的領悟與理解，更要學生能夠利用這一數學思想來進行輔助學習。譬如在講授《分式方程》這一教學內容時，筆者并沒有開門見山，直接介紹分式方程的概念與解題方式，還有性質等內容，而是先從整式方程開始講起，在逐步推導的過程中一步步地將分式方程引導出來，并組織學生進行討論，利用我們學過的整式方程的相關知識，來解決最新出現的分式方程的相關問題。經過討論學生們不但深刻掌握了分式方程的具體內涵，掌握了分式方程的解法，還居高臨下，站在一個頂點對于方程有了一個整體的把握。
總之，教師需要充分重視數學思想方法的滲透和總結提煉，真正重視通法，切實淡化特技，不過分追求特殊方法和技巧；把思維能力培養要落到實處，用數學思想指導知識、方法的靈活運用，進行一題多解、引申推廣、反思評估、解法簡捷、不斷優化，培養學生思維的發散性、靈活性、敏捷性、深刻性、抽象性、嚴謹性、批判性。如何在數學知識教學的過程中，滲透數學思想，提升數學思想，是我們目前所有數學教師應該去研究的問題。
參考文獻：
小組合作學習作為目前世界主流教學理論與策略，是我國本次新課程改革積極倡導和組織實施的學習方式。它是指學習者為了完成某種共同任務，在明確責任分工的基礎上，以小組或團隊的形式進行學習。學生要學好數學，提高學習效率，需要掌握科學的學習方法。數學教師應從學生的實際出發，因人而異，有針對性地進行學法指導，使各層面的學生都有所發展。學法指導，就是教會學生怎樣學習，是教師對學生進行學習方法的滲透、傳授，幫助學生掌握科學的、有效的學習方法，使學生逐步形成較強的自學能力，正所謂“授之以魚，不如授之以漁”，這也是新課程所追求的目標之一。使用先進教學媒體，增大在課堂容量的同時，如何保證良好的學習效果，提高學習效率？要讓學生樂學，善學，掌握好的學習方法。現我從以下方面談談小組合作形式下對學生學習方法的指導。
1.利用互利效應，指導學生加強基本學習習慣的培養
每個學生都不一樣，他們各具特點、各有所長。如全面型與特長型、思考型與運動型、形象思維型與邏輯思維型，性格外向型和性格內向型……比如對于實踐操作，即使同樣是動手能力強的學生，在不同的操作項目所體現出的能力也不一樣。學生在一個學習小組里為了實現共同的目標，互相學習，互相提高，這就是互利效應。小組成員在學習基本習慣，如課前預習、課后復習鞏固、不懂就問、有錯就改等方面也存在種種差異，有的在這一方面做得較好，有的在那一方面做得較好，好的習慣需要不斷鞏固，教師要不失時機地表揚、暗示、適當批評，在組內樹立學生身邊的榜樣，適時指導學生取長補短，養成好的習慣有助于學習。
2.利用互律效應，指導學生加深對基本概念、定理的理解
互律即互相制約。小組成員之間為了按時高效地完成學習任務，會在必要的時候互相監督，提醒那些暫時放松的學生趕快進行小組合作學習開發。組內成員會相互提醒：“你記上了嗎？你理解了嗎？有好的方法嗎？要抓緊時間呀！”引入概念時，可引導小組內學生眼、腦、手、口并用舉出熟悉的實例，小組討論逐步加以抽象，弄懂含義，認識本質，把握它的內涵和外延，鼓勵以小組為單位討論對概念如何下定義，組間比一比，賽一賽，相互質疑。對于定理的認識，要注重它的發生、發展和推導過程，小組討論總結它的條件、結論、作用。
3.利用互勵效應，指導學生敢于提問、學會提問
互勵即互相激勵。小組成員在一個小集體里進行學習，會開發潛能，他們要求自己將最優秀最積極的一面展現給自己的同伴，這是一種自發的激勵；同一個小組內的成員會以語言或行為互相鼓勵，這種“同行者的激勵”有時比教師的鼓勵更生動、更有力。在良好的互勵效應下，每個小組中的成員團結友愛、坦誠相見、民主平等，能高質量地完成學習任務。思維從問題開始，會提問題是獨立思考的表現。對學生而言，要想學得更深刻，須善于發現問題，提出問題，而在實際教學過程中，如何指導學生提問呢？首先要鼓勵提問。對學生所提的問題，不論簡單與否，正確與否，教師都需要耐心回答，保護學生的自尊心，絕不可說“這都不會？”“你怎么聽的？”這樣的話；對不愿提問的學生，要求他們每周提一個理解不透的問題，培養善問的習慣，再逐步提高要求。這類學生在學習基本概念時，如學習一元一次方程的概念后，可在小組內當“老師”：假如你是老師，針對一元一次方程的概念，你認為要留心哪些關鍵字詞，你能編一道選擇題或填空題，設置一些“陷阱”考考組內同學嗎？引導組內學生適時激勵：“這道題編得真有水平！”“看，你都能當老師了！”其次，培養學生的好奇心。好奇心是產生問題的源泉，逐步引導學生深入理解問題，這也是解決問題的動力。在平時教學過程中，遇到需要討論的問題，故設懸疑，激勵學生，小組討論，組間辯論，誰有高招？誰有金點子？讓學生的思維碰撞，在此過程中解決問題，產生新的問題。
4.利用自我反省，指導學生勤于思考，總結方法思路
“學而不思則罔，思而不學則怠”，有總結反思，才有提高升華。
（1）解一些重要題型之后，切不可一解完就過，要留時間進行小組總結：這道題的思路是什么？用了哪些知識點？關鍵是什么？怎樣聯想到的？有無其他解法（一題多解）？條件能否變化（一提多變）？結論能否推廣？
（2）對學過的知識，要善于比照，找出它們的區別與聯系，達成正確的遷移和創新。如學習分式方程解法時，小組討論與分式方程解法的類似知識點有哪些？有什么異同點？引導討論分式方程與整式方程解法有何異同點？分式方程與分式計算有什么異同點？對于新知識點的學習，學生既要養成橫向比較的習慣，又要養成縱向比較的習慣，深化、串聯知識點，形成知識網絡。又如，七年級上學期學完倒數后，可引導學生反思：倒數的概念是什么？怎樣求一個數的倒數？一個數的倒數有什么特征？任何數都有倒數嗎？倒數等于本身的數是什么？絕對值和相反數呢？通過這樣的小組練習，促使學生自我總結，培養勇于探索的精神和創新能力。
人文教育是把人類積累的優秀文化成果通過環境陶冶，知識傳授和自身的實踐，內化為學生的氣質、修養、人格和品質的一種教育，其實質是人性教育，其核心是涵養人文精神，是一種以人格完善為最終教育目的的教育。而數學是人類活動的結果，因而是一種文化現象，揭示數學文化的內涵，應是數學課堂教學的有機組成部分。每一個數學知識的背后都有一個豐富的數學文化，每一個知識內容的背后都有一段動人的數學故事，每一次數學發展的背后都有一個偉大的數學天才。所以我們在數學教學過程中應努力去挖掘蘊涵在數學知識背后的人文因素，使其脫去僵硬的外衣顯露出生機、使數學史上種種珍貴的人文精神閃耀出光芒，教師自然地可展現給學生。數學教育中實施人文教育內容極為豐富，關鍵在教師的挖掘和引導。我們在數學教學中，要注意人文精神的弘揚，用它去提升人的精神，促進人的發展，充實人的內涵，使學生不僅變得富有（知識）、聰慧，而且會將數學中人的求真精神、獻身精神、審美追求、人性關愛等輸導給學生，收到預期的教育效果。
一、加強人文關懷，點燃學生的數學情感
人文主義心理學指出：限制和順從不能養成創造性，權威主義的教育只能造就馴服，而不是有創造性的學生。因此，在數學課堂教學中，我們應尊重學生的情感和個性，營造一種自由、平等的人文氛圍，傾注教師的人文關懷，點燃學生強烈的數學情感，從而引發學生積極的情感反應，讓學生獲得生動、和諧的發展。首先，教師要從神圣的三尺講臺上走下來，到學生中去，做學生的朋友，營造以人為本的教學氛圍。在寬容、包涵、和諧的氛圍下，尊重學生的獨立人格，進行適時的鼓勵和引導。只有在這種“零距離”的親密接觸中，學生才會敢想、敢說、敢做，才會給教師展示一個完全屬于學生自己的童真。有利于教師抓住學生求知的疑竇。其次，教師要從過去無視學生人格，忽視學生個性差異的“甄別”評價中走出來，開避人文評價的新路子。人文性評價，需要我們關注學生的個性差異，保護學生的自尊心與自信心。不要用所謂完美無缺的標準答案作為評價結果的唯一標準，而要根據學生的情況，肯定其中正確的因素，指出錯誤的部分并幫助改正。要根據具體問題，采用激勵性語言，發揮評價的鼓動作用。評價過程中，要體現對學生“成果”的肯定，對學生的關懷，從而使學生樂于接受教師的評價，提高學習數學的興趣，增強人文評價的導引作用。
二、鲆事例典故，培養學生的勇敢精神
數學精神之一就是勇氣。數學就是需要勇氣，需要奮斗，需要獻身精神，需要知難而進勇往直前。在數學課堂教學過程中可從兩個方面進行培養。一是要充分利用數學家的故事、數學的發展史教育影響學生。如陳景潤勇探哥德巴赫猜想奮斗了30-40年的艱辛歷程；笛卡兒為解析幾何的創立思索的時間長達19年；大數學家歐拉雙目失明后仍堅持心算，并且寫出很多著作；阿基米德在羅馬侵略者闖進家門時，還在專心研究數學……透過這一幅幅人類生生不息、洋溢著人文氣息的數學畫卷，學生不僅僅開闊了視野，而且還體會到數學成果的取得所走過的曲折歷史，以及數學家在科學探索過程中堅韌不移的精神力量。二是引導學生在數學學習過程中錘煉意志。在學生對堅持性選擇時，引導學生細心觀察、耐心思索、勤于記憶；在學生面對繁難性選擇時，引導學生迎難而上，同時，宜采取漸進的方式，不要一下子就把他們難住了，對于不同層次的學生最好有不同的難度要求，讓他們常處在難易交替中；在學生面對順逆性選擇時，引導學生不畏挫折，“塞翁失馬安得非富”“失敗乃成功之母”，讓他們實際地嘗試到失敗之后的成功，他們才可能真正懂得這個道理。
三、滲透德育思想，培養學生的理性精神
數學教學中理性精神的培養是人文教育的根本目的，是滲透德育思想的基本因素。一個合格的人才既應該掌握豐富的知識，又應有高尚的人格。人文素質提升，不僅是一個認識過程，更是一個修養的過程，是一個體驗、感悟，累積和轉化的過程。M．克萊恩說：“在最廣泛意義上說，數學是一種精神，一種理性精神，正是這種精神，使得人類的思維得以運用到最完善的程度，亦正是這種精神，試圖決定性地影響人類的物質、道德和社會生活；試圖回答有關人類自身存在提出的問題；努力去理解和控制自然；盡力去探求和確立已經獲得知識的最完善的內涵。”數學的產生來源于客觀世界，數學本身充滿了辯證唯物主義的生動題材，只要我們利用好課本資源并加以引申和挖掘，在數學教學中滲透數學文化，灌輸人文理念，讓學生確立“存在決定意識”的唯物主義觀點，就能使學生的人格魅力得到提升。數學中的大量的內容：正與負，有限與無限，常量與變量，函數與反函數，數與形等都是傳輸對立統一，量變與質變，偶然與必然等辯證思想的極好教材。在教學過程中，通過有針對性的滲透，將有助于培養學生的科學世界觀和方法論。數學的理性精神主要體現在嚴謹求是，理智自律，執著求真，開拓創新等方面，學生通過解題實踐，既鞏固了知識，培養了能力，同時也使他們發展了堅持公正，忠于科學，求真務實，一絲不茍，不懈探索的優良的品質，關于理性精神的培養，是一個長期的潛移默化的過程，貫穿在中學數學知識的各個方面。
四、加強導引，培養學生的辯證思想
辯證思想是科學世界觀在數學中的體現，是最重要的數學思想之一。自然界中的一切現象和過程都存在著對立統一規律，數學中的有理數和無理數、整式和分式、已知和未知、特殊和一般、常量和變量、整體和局部等同樣蘊涵著這一辯證思想。因此，教學時，應有意識地滲透。如《分式方程》中，就體現了分式方程與整式方程的對立統一思想，教學時，不能只簡單介紹分式方程的概念和解法，而要滲透上述思想，我們可以從復習整式和分式的概念出發，然后依據辯證思想自然引出分式方程，接著帶領學生領會兩個概念的對立性(非此即彼)和統一性(統稱有理方程)，再利用未知與已知的轉化思想啟發學生說出分式方程的解題基本思想，從而發現兩種方程在解法上雖有不同，但卻存在內在的必然聯系。這樣，學生在知曉整式方程與分式方程概念和解法的辯證關系后，就能進一步理解和掌握分式方程，收到一種居高臨下，深入淺出的教學效果。因此，抓辯證思想教學，不僅可以培養學生的科學意識，而且可提高學生的探索能力和觀察能力。
五、揭示數學美的本質，培養學生的審美能力
人與動物活動的本質區別就在于，人不但需要物質生活的滿足，而且需要精神生活的滿足，即美的享受。而美不僅存在于自然美景、社會實踐和藝術領域中，而且就在數學的殿堂中也同祥充滿了無窮的美。數學美不同于自然美和藝術美，它是一種辯證的美、抽象形式的美。數學的美不僅表現于其對象的外在形式，如美妙的曲線、對稱的方程等，尤其表現于它的基本結構之中，即蘊含在數學對象的相互聯系和數學方法的互通之中，如數學知識的高度抽象性，邏輯的嚴謹性和縝密性，應用的廣泛性和統一，簡單、和諧的準則等，同時也都是美學的基本原理和一般規律。寓美育于數學教學，有助于培養學生的審美能力。
一是通過數學的美學教育，激發學生的學習興趣，讓學生認識到數學并非枯燥無味，欣賞滲透其中的美妙的自然音符與線條、數學與自然界的和諧關系，深深地感覺到其中的樂趣，品嘗到常人無法領略的美，從而培養學習數學的興趣。
【關鍵詞】 初中數學 課堂 教學策略 思考 實踐
【中圖分類號】 G633.6 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 1992-7711（2014）01-042-02
【案例】在《16.3.1 分式方程》這一節，課本通過一道應用題引出“分式方程”的定義：一艘輪船在靜水中的最大航速為20千米/時，它沿江以最大航速順流航行100千米所用時間，與以最大航速逆流航行60千米所用時間相等，江水的流速為多少？
解：設江水的流速為v千米/時，■=■
方程的分母中含未知數v，像這樣分母中含未知數的方程叫做分式方程。
記得我第一次上這節課時，也是由這道應用題進行導入。當時的教學對象是基礎一般的學生，分析問題能力、邏輯思維能力相對薄弱。在那節課上，我首先引導學生分析這道應用題（順流的速度、逆流的速度如何表示，時間=■），根據題意找到等量關系（航行100千米與航行60千米所用時間相等），列出方程（順流所用時間=■，逆流所用時間=■所以■=■），講完這道題，大概花費了十分鐘的時間，引出分式方程的定義之后，接著以■=■為例題，講求解分式方程的方法，學生在練習的時候，時間上顯得很倉促，練習效果不理想，我精心設計的課堂練習學生還剩一半沒有做完，整個課堂的結構有點虎頭蛇尾。
【思考與實踐】在課后反思中，我探詢教學任務沒有完成的主要原因。《16.3.1 分式方程》這一節的教學目標是了解分式方程定義、理解分式方程的一般解法極其可能產生增根的原因、掌握解分式方程驗根的方法。那么根據班級學生的實際學習情況，學生練習解方程的時間大概控制在15至20分鐘左右，教學目標才有可能達成。從本節課堂時間分配上看，主要是課堂導入耗時過長，以至于沒有充足的時間展開課堂主要內容。
設計這道應用題導入的初衷，原本是希望借此吸引學生的注意力，激發學生求知的興趣。但事與愿違，導入并沒有起到預設的效果。學生對應用題普遍存在嚴重的畏懼心理。以應用題為導入，非但難以調動學生的積極性，單講解題意就需耗費大量時間。因此借助這道應用題進行引入，應該是本節課的一大敗筆。
那本節課如何引入才更有效呢？《課程標準》指出：“隨著數學學習的深入，學生積累的數學知識和方法就成為學生的‘數學現實’。這些數學現實，主要包括學生已具備的數學知識、技能和活動經驗與方法，這些應當成為學生進一步學習數學的素材。”鑒于求解分式方程與求解含有分母的一元一次方程有密切的聯系，我隨后在教學設計上針對導入部分做了以下嘗試：
通過比較不難看出，修改后的導入注意了帶分母的一元一次方程與分式方程的銜接，使學生感到新知識不過是對已理解掌握的知識做進一步的延伸和拓展，在溫故知新的基礎上接受新知。顯然，修改的引入對課堂更有效。
縱觀《3.2.1解一元一次方程（一）》和《8.1.1二元一次方程組》，都是由一道應用題進行引入，這些課同樣可以借鑒上面的方式導入。通過創設情境達到吸引學生注意力、激發學生興趣、促進學生思維能力的目的。如何“有效導人”或“高效導人”呢？經過幾輪的教學實踐和思考后，我認為可以嘗試采取以下策略：
1. 導入內容要貼切，力求導而能入。導入是為課堂教學服務的，不僅為課堂教學提供動機、知識鋪墊，也是新知學習的“引子”。因此，在教學設計時應當整體考慮，既要注意知識的前后銜接，也要注意一堂課的前后聯系，力求“導而能入”。如在2.2整式的加減（1）――同類項》這一節的課堂引入，我是這樣設計的：
（1） 找朋友 （你能從左邊的式子幫助右邊的式子找到它們的朋友嗎？） 100t -2x2
3x2 252t
-4ab2 -m3n
■ m3n 5ab2
5 -■
（2） 觀察連線的單項式，你能說說它們為什么是好朋友嗎？
學生透過觀察，很快就能把這些單項式進行分類，通過總結他們的特點，進而引出本節課的課題――同類項，我們把所含字母相同，并且相同字母的指數也相同的項叫做同類項。其中5 和-■ 是同類項，所以幾個常數項也是同類項。這樣的情境創設，符合學生的認知特點，切合課堂內容實際，使課堂的引入有高效。
2. 激趣尺度要適當，關注導入時效。激發學生的學習興趣是導入的重要目的之一，也是課堂教學成功的關鍵因素之一。有些課的導入創設，為了精彩而不惜時間，往往使導人的時效性降低。興趣的產生首先要有刺激，要進入興奮狀態，設疑是常用方法。但是興奮是否會轉化為學習動機，這還要看學生的興奮點在哪里。為了吸引學生注意，設置與教學內容有關的懸念，才能達到預期目標。如在《7.2.1 三角形的內角》這一節中，教學重點和難點是“推理和證明”。大多數學生覺得幾何證明枯燥、無趣、深奧，如何激發學生勇于探索“三角形內角和等于180°”的欲望，在引入部分，我以一個小故事――《內角三兄弟之爭》導入，在一個直角三角形里住著三個內角，它們三兄弟非常團結。可是一天老二突然不高興，發起脾氣，它指著老大說：“你憑什么度數最大，我也要和你一樣大！”“不行啊！”老大說：“這是不可能的，否則，我們這個家就再也圍不起來了……”“為什么？”老二很納悶。同學們，你們知道其中的道理嗎？
這樣引入，激發了學生的學習興趣，使學生的興趣點關注在為什么這個家圍不起來？那么怎么圍才能使三兄弟圍得起來？設置了懸念讓學生評理說理，為三兄弟排憂解難，自然導入三角形內角和的學習。
3. 啟發思維要巧妙，注重導入的質量。古希臘哲學家亞里士多德認為“思維從問題、驚訝開始”。青少年好奇又好勝，設置巧妙的懸念，不僅抓住了學生的心理特點，激發了學生的求知欲，又發展了學生的思維能力。如在《二次函數y=a（x-h）2+k的圖像與性質》這一節，二次函數y=a（x-h）2+k的圖像和性質可以由通過y=ax2平移得到，那么如何創設有效的問題引導學生進行知識遷移，啟發學生的思維，在引入部分我做了如下的嘗試：
復習：1. 拋物線y=■x2向 平移 單位長度得到拋物線y=■（x+2）x2.2. 拋物線y=■x2向 平移 單位長度得到拋物線y=■（x+2）x2+1.
函數y=a（x+h）x2的圖像平移規律是：左、右平移改變 值，具體是 。函數y=ax2+k的圖像平移規律是：上、下平移改變 值，具體是 。
想一想：函數y=■x2的圖像如圖所示，不用“列表描點”，你能直接畫出函數y=■（x+2）x2和函數y=■（x+2）x2+1的圖像嗎？
關鍵詞： 中學教學 優化課堂教學 優化環節策略 優化方法策略
中學數學的創新教育不是去開拓和創新未知的知識，而是創設一定條件、環境和氛圍，引導、啟發學生去模擬、探究科學家的實踐活動過程，運用積極的求異思維、敏銳的觀察力、活躍的靈感去發現“新”現象，開發智慧潛能，觸發創新思維，歸納出現象的本質和規律，形成獨特的知識結構，這就要求我們數學課堂教學進行改革，優化課堂教學，那么如何優化課堂教學呢？下面筆者結合多年教學實踐經驗，談一點粗淺認識。
一、優化環節策略，提高教學效果
1.優化復習鋪墊
學生對知識的接受和轉化總是建立在舊知識的基礎上。教師要善于從與新知識相關聯的若干舊知識中選擇新知識的生長點，抓住新舊知識的連接點，提出啟發、思考性強的問題，使學生感到好奇，從而激發學生嘗試和探求新知識的欲望和興趣。例如：在講分式方程的解法時，可設計如下一組復習舊知識的提問：
（1）什么叫方程，以及方程的解和解方程？舉例說明。
（2）你都學過哪些方程？解這些方程的主要步驟是什么？解法的基本規律是什么？
（3）在解這些方程的過程中，解哪一種方程時必須驗根？
這組問題實際上為理解新課作了必要的鋪墊，使得新知識――分式方程和它的解法――成為整個“方程”這段知識整體結構的一個自然發展，使得新知識成為一個容易從舊知識“進入”的最近發展區，這樣解分式方程的關鍵步驟――去分母。
2.優化新課導入
新課導入在整個教學中是一個重要環節。成功的導入能集中學生的注意力，明確思維方向，激發學習興趣，引起內在的求知欲，使學生在一開始學習新課時就進入一個良好的學習境界，為整個教學過程創造良好的開端。例如：用創設一種“情境”來導入新課。如：“等腰三角形的判定”一課的導入，可作這樣的設計：已知ABC是等腰三角形， AB=AC，底邊BC=a，底角∠C=50°，求作等腰ABC 。倘若一不留心，它的一部分被墨水涂沒了，只留下一條底邊BC和一個底角∠C，同學們有沒有辦法把原來的等腰三角形ABC重新畫出來？學生通過思索，產生各種畫法，進而提出問題：所畫以B C為邊的三角形一定是等腰三角形嗎？由此展示新知識的學習。
3.優化新知探求
新知探求是課堂教學的中心環節，是學習知識、培養能力、感知方法的主要途徑。如：一是簡單的問題讓他們來回答。二是簡單的練習讓他們來板演，使他們體驗成功的愉快。三要注意加強操作、思維、語言的有機結合，先從操作中獲取大量的感性材料形成表象，在此基礎上讓學生進行認真的對比、分析、判斷、綜合等思維活動，再引導學生把思維的過程或總結概括的結論用簡煉的語言有層次地準確地加以表述，既能加強學生的動手操作，又能發展思維，發展語言，有利于培養學生的思維能力。
4.優化鞏固練習
練習是初中數學課堂教學的一個重要組成部分，它不僅有助于學生對知識理解、鞏固，形成熟練的技能、技巧，而且對學生智力發展和能力提高起著重要作用。鞏固練習要遵循以下幾點：（1）練習要有目的性。（2）練習要及時性。（3）練習要有層次性。（4）練習要多樣性。（5）練習要有反饋性。
5.優化歸納小結
課堂小結有利于促進學生的內化，將所學知識納入已有的認知結構中，是課堂教學中必不可少的一個環節。課堂教學結束前，教師要引導學生回憶、整理、歸納本節的知識，使之條理化、系統化。同時教師要強調重點內容和應注意的問題，準確評價學生對本節課知識的理解掌握情況，提出下一步要求。需要強調的是教師在引導學生對知識進行梳理的同時，要注意引導學生對獲取知識所用的方法和思路進行回憶、總結、明確，即進行學法小結。整個課堂小結要做到兩個突出：突出教學目標，突出基礎知識、基本技能、基本數學思想方法，語言要簡明扼要。
二、優化方法策略，提高教學質量
優化教學策略，就是使教學方法科學化。近年來，在改革教學方法方面各地開展了許多有益的實驗，提出了探究教學、啟導教學、發現教學、自學輔導教學、創造教學、問題教學、單元目標教學等方法，可以說各具特色，各展風采。但每一種方法都有其自身的特點和適應范圍，切不可生搬硬套別人的方法，用一種模式去適應各種課堂，否則將事與愿違，影響教學效果。教學方法是針對每一堂課而言的具體的特殊的教學策略。這種教學策略是根據教學內容、教學對象、教學環境等因素，通過對某些基本模式的合理挑選、恰當組合而構成的。 比如九年級講“反證法”一課，可以首先概述反證法結構（反設―推理―根據矛盾―結論正確），然后用適當的例子來闡述這個結構，其后再說明理由。當教學內容與原有知識可以類比時，可選用學生討論的模式，如分式的概念與性質。為了發現某一個公式或定理，可選用學生活動的模式。如通過量一量、拼一拼等手段來推測三角形的內角和等等。
教學對象的特點，主要指教學對象的活動方式和班級整體素質。活動方式可區分為接受教師影響為主，直接感知為主，或是自己活動為主。整體素質較高，可較少采用活動模式；整體素質較低，可組織一些有趣的活動，來提高學習的興趣。同時，形成教學方法還應考慮的是：要理順兩個“序”，落實三個“點”。兩個“序”指教學內容的“序”和學生認識的“序”，要把兩個“序”統一起來。三個點是：突出重點、排除難點、抓住關鍵點（知識點）。
特別強調指出的是教學方法的優化組合問題，就是根據教學內容、教學對象等綜合因素選用教學方法時，一節課內也可以有多種教學方法，不必用某一固定模式。如引入概念時可用歸納法，探索公式時可用發現法，知識鞏固時可用講練法，容易混淆的內容可用對比法，等等。這要求每位教師必須廣泛涉獵各種教學方法，了解和掌握其特點及其適用范圍，在教學實踐中運用自如，最大程度地提高課堂四十五分鐘的效率和質量。
總之，優化課堂教學最根本的措施是課堂教學的每一環節的設計、教學方法的選擇和現代教學手段（如電教手段）的運用都要緊緊圍繞教學目標進行。教師要緊扣所授知識，強化學生能力培養和思想情感的熏陶，從而使知識目標得以實現，進而使能力目標和思想情感目標得以實現，真正煥發出課堂的活力，使課堂教學質量不斷提高。
參考文獻：
