時間：2023-05-30 09:15:25
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇正方形面積公式，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
正方形周長和面積公式是C=4a和S=a2。正方形是特殊的平行四邊形之一。即有一組鄰邊相等，并且有一個角是直角的平行四邊形稱為正方形，又稱正四邊形。正方形具有矩形和菱形的全部特性。
正方形的性質有：兩組對邊分別平行；四條邊都相等；鄰邊互相垂直。四個角都是90°，內角和為360°。對角線互相垂直；對角線相等且互相平分；每條對角線平分一組對角。正方形既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形（有四條對稱軸）。
（來源：文章屋網 ）
1.知道長方形、正方形面積公式的推導過程。
2.掌握長方形、正方形面積的計算公式。
3.能夠應用公式計算長方形、正方形的面積。
【教學過程】
一、激趣導入
師:同學們,你們聽過龜兔賽跑的故事嗎?有一天,烏龜又遇到了兔子并再一次向兔子提出了挑戰。這次,烏龜和兔子要進行粉刷墻面的比賽。(課件演示龜兔粉刷墻面的情境:兔子粉刷一塊長方形的墻面,烏龜粉刷一塊正方形的墻面,它們同時開始、同時完工)
師:怎樣才能比較出誰贏了?(要知道它們粉刷的墻面的面積到底哪個大一些)
師:如何知道它們哪個粉刷墻面的面積大?用面積單位去測量行嗎?
師:要測量黑板、操場等比較大的面積,使用面積單位一排一排地實際測量這種方法顯然比較麻煩。今天我們就尋找一下計算長方形、正方形面積的規律,推導出計算公式。
二、探究新知
1.長方形面積的推導
(1)猜想
師:為了能很快找出長方形面積的規律,請看大屏幕。(教師用多媒體演示長、寬的變化引起長方形面積大小變化的動畫)看了老師的操作過程,請你們大膽地猜猜看:長方形的面積可能與什么有關?長方形的面積與它的長、寬到底有著怎樣的關系?你們喜歡自己來探索這個問題嗎?好,通過實驗解決問題是科學研究經常采用的方法。
(2)實驗
師:下面我們用準備好的1平方厘米的小正方形任意擺一些長方形,然后數出它的面積。
師:你擺的長方形一排用了幾個小正方形?一共有幾排?一共用了多少個1平方厘米的正方形?
(3)發現
師:通過剛才的實驗,你有了哪些發現?
生:每排小正方形的個數剛好是長方形長的厘米數,排數正好是長方形寬的厘米數。因為總個數 =每排個數×排數 ,所以長方形的面積=長×寬。
師:大家的這些想法都有一定的道理,說明你們很會鉆研問題。但是,這些長方形都是用1平方厘米的正方形擺出來的,是否對計算所有的長方形的面積都適用呢?我們還要對這個發現進行驗證。
(4)驗證
師:請同學們用1平方厘米的正方形測量已知長、寬的長方形的面積。你有什么發現?
生:我先用剛才發現的計算方法算出這些長方形的面積,再用1平方厘米的正方形直接測量出這些長方形的面積,兩種方法的結果是一樣的。所以,我認為這個計算方法是正確的。
2.正方形面積的推導
師:(應用多媒體動態展示:先出示長7分米、寬5分米的長方形,然后把它的長縮短1分米,接著再把它的長縮短1分米,寬始終不變)這個長方形通過兩次變化已經變成了什么圖形?(正方形)那么,正方形的面積又是怎樣計算的呢?為什么?
生:因為原來長方形的長和寬都變成了正方形的邊長,所以正方形的面積=邊長×邊長。
三、知識運用
一張長方形的餐桌,桌面長14分米、寬9分米,要配上同樣大小的玻璃,這塊玻璃的面積應該是多少平方分米?
四、鞏固新知
題目略。
《長方形、正方形面積的計算》是義務教育教科書三年級數學下冊的內容，本內容是在學生已經掌握長方形和正方形的特征，并會計算長方形和正方形的周長以及認識面積單位的基礎上，學習基本圖形的面積測量。
長方形、正方形的面積計算從屬于圖形的度量，度量的本質是用計量單位的個數表示度量值。學生在上節課學習面積的時候已經知道了圖形的面積實際上是該圖形包含了幾個面積單位。這是學習新知“長方形、正方形面積計算”的支撐點。本節課的學習探究就是利用這一支點，引導學生結合圖形的特征進行長方形、正方形面積計算公式的推導與歸納。
二、教學過程
（一）激活舊知，提供儲備
師：如果一個代表1平方厘米，那么下面圖形的面積是多少平方厘米？誰能很快回答。
學生一般采用數圖形的方式得出結果。
小結：包含了幾個面積單位，圖形的面積就是幾。
設計意圖：這是探究長方形、正方形面積計算的知識起點和支撐點，在新知探究前激活，以便喚醒經驗儲備。
（二）探究新知，提煉升華
1. 數圖形得出面積
（1）如果一個代表1平方厘米，那么這個圖形的面積是多少平方厘米？
師：你是怎樣很快地數出圖形來的？
學生可能會說是一個一個數出來的，也可能說是5×3算出來的。
小結：在數長方形面積單位個數時，可以數每排有幾個，有幾排，再用乘法5×3=15。
像這樣求出圖形包含了幾個面積單位，就是求這個圖形的面積（出示課題）
（2）怎樣才能很快數出長方形的面積，你能把數的過程用乘法運算表示嗎？
學生同桌進行探究，反饋交流后板書：4×6= 4×4=
設計意圖：本教學過程通過設計“怎樣才能很快數出長方形的面積”這樣提問題驅動，讓學生結合圖形特征尋找最優方案，從而把握求長方形面積的核心要素：每排有幾個，有幾排。讓學生把圖形的面積與乘法模型進行結合，為后面的計算公式推導做鋪墊。
2. 根據長方形的圖形求面積
（1）學生討論：如果給你一塊沒有面積單位的長方形紙片，你怎樣求出它的面積？學生交流后進行探究。
（2）小組探究
①每一組提供一塊長方形紙片和10個1平方厘米的小正方形。同桌學生根據提供的材料，探索求長方形的面積。（方法多樣化）
②同桌思考：如果不用擺小正方形也能測量，該怎樣測量？
③四人小組討論：為什么測量出長方形的長和寬就可以求出它的面積？
歸納小結：長方形的長是幾厘米，代表了每一排有幾個1平方厘米的小正方形；長方形的寬是幾厘米，代表有幾排。長方形包含了幾個面積單位，它的面積就是幾。
設計意圖：通過放手讓學生探索沒有面積單位長方形的面積，體現了方法多樣化，同時也順勢引出了只測量長和寬的長度便可求出面積，借助課件演示幫助學生從一維的線性空間向二維的平面空間的飛躍。
（三）鞏固應用，提升能力
一、單選題
1.圓周率是一個（
）
A.?有限小數???????????????????????????????B.?無限小數???????????????????????????????C.?無限不循環小數
2.c=12.56分米，圓的面積是（
）
A.?3.14平方分米???????????????????B.?4平方分米???????????????????C.?6.28平方分米???????????????????D.?12.56平方分米
3.一個圓的半徑由3厘米變成5厘米，圓的面積增加了（
）平方厘米。
A.?2π????????????????????????????????????????B.?4????????????????????????????????????????C.?16????????????????????????????????????????D.?16π
4.周長相同的圓、正方形和長方形，面積最大的是(
)。
A.?正方形????????????????????????????????????????B.?長方形????????????????????????????????????????C.?圓
5.小圓的直徑是2厘米，大圓的半徑是2厘米，小圓的面積是大圓面積的（
）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.
二、判斷題
6.直徑是半徑的2倍。
7.圓的半徑越大，面積就越大。
8.一個圓的半徑擴大2倍，它的面積也擴大2倍
9.所有的直徑長度都相等，并且都是半徑長度的2倍。
三、填空題
10.求下面圓的周長和面積．
面積是________cm2
周長是________cm
11.要畫一個周長是31.4厘米的圓，圓規兩角之間的距離是________厘米。
12.在一個面積為16平方厘米的正方形內，畫一個最大的圓，這個圓的面積是________平方厘米．
13.一個圓的周長是37.68dm，這個圓的半徑是________?dm，面積是________
14.把一塊邊長4分米的正方形鐵皮剪成一個最大的圓形，剪去部分的面積是正方形面積的________％
四、解答題
15.利用下邊的方法可以畫出一個圓，試解釋這樣畫圓的道理．
16.一個環形，外圓半徑為12厘米，內圓半徑為8厘米，這個環形的面積是多少平方厘米？
五、綜合題
17.操作題：
（1）圖中，圓心O的位置用數對表示是（________，________）．如果每個小方格的邊長是1厘米，這個圓的周長是________厘米，面積是________平方厘米．
（2）請你在O處畫出：把圓按2：1的比例放大后的圖形．
（3）先在上面的方格圖上依次標出A（4，6），B（1，4），C（1，2），D（4，2）．再順次連接A、B、C、D、A，圍成的圖形是________形．請你畫出將這個圖形向右平移5格后再向上平移2格后的圖形．
六、應用題
18.在一個直徑是6米的圓形花壇周圍鋪2米寬的水泥路，這條水泥路面的面積是多少平方米？(結果用小數表示)
參考答案
一、單選題
1.【答案】
C
【解析】【解答】圓周率是一個常數（約等于3.1415926）,是代表圓周長和直徑的比例.它是一個無理數,即是一個無限不循環小數.但在日常生活中,通常都用3.14來代表圓周率去進行計算,即使是工程師或物理學家要進行較精密的計算,也只取值至小數點后約20位.故：選C
【分析】π(pai)是第十六個希臘字母,本來它是和圓周率沒有關系的,但大數學家歐拉在一七三六年開始,在書信和論文中都用π來代表圓周率.既然他是大數學家,所以人們也有樣學樣地用π來表示圓周率了.但π除了表示圓周率外,也可以用來表示其他事物,在統計學中也能看到它的出現.
2.【答案】
D
【解析】【解答】解：3.14×（12.56÷3.14÷2）2＝12.56平方分米
故選：D.
【分析】此題是圓面積公式的實際應用，根據圓的面積公式：s=π（c÷3.14÷2)2
，
把數據代入它們的公式進行解答．
3.【答案】
D
【解析】【解答】解：π×52-π×32
=25π-9π
=16π(平方厘米)
故答案為：D
【分析】圓面積公式：S=πr2；根據圓面積公式，兩個圓的面積差就是面積增加的部分。
4.【答案】
C
【解析】【解答】解：周長相同的圓、正方形和長方形，面積最大的是圓。
故答案為：C
【分析】周長相同的圓、正方形和長方形，面積最大的是圓，面積最小的是長方形；面積相同的圓、正方形和長方形，周長最大的是長方形，最小的是圓。
5.【答案】
B
【解析】【解答】解：[3.14×（2÷1）2]÷[3.14×22]，
=1÷4，
=
；
答：小圓的面積是大圓面積的
．
故選：B．
【分析】根據“小圓的直徑是2厘米，”可求出小圓的半徑，也就求出小圓的面積，再根據大圓的半徑是2厘米，即可求出大圓的面積，用小圓的面積除以大圓的面積，就是要求的答案．解答此題的關鍵是，合理利用圓的面積公式，不用把圓的面積求出，因為在計算的過程中π可以約去．
二、判斷題
6.【答案】錯誤
【解析】【解答】解：同一個圓內或等圓，直徑是半徑的2倍，原題說法錯誤。
故答案為：錯誤
【分析】必須是同一個圓內或者是等圓的直徑才是半徑的2倍，題中少了同一個圓內或等圓。
7.【答案】正確
【解析】【解答】解：圓的半徑越大，面積就越大，原題說法正確。
故答案為：正確
【分析】圓面積公式：S=πr2，圓的面積大小與半徑的長短有關，由此判斷即可。
8.【答案】錯誤
【解析】【解答】解：
設圓的半徑為r，則擴大2倍后的半徑為2r，
擴大后的圓的面積：π×（2r）?2?=4πr?2?，
原來的面積：πr?2?，
面積擴大：4πr?2?÷πr?2?=4倍；
故答案為：錯誤．
【分析】考察了圓的半徑和面積，以及半徑和面積之間的關系。明確半徑擴大2倍，面積擴大4倍
9.【答案】錯誤
【解析】【解答】所有的直徑長度都相等，并且都是半徑長度的2倍，前提是在：同圓或等圓中。
【分析】在同圓或等圓中，所有的直徑長度都相等，直徑是它半徑的2倍；注意對圓的基礎知識的掌握及靈活運用。
三、填空題
10.【答案】
15.7；19.625
【解析】【解答】2.5×2×3.14=15.7（厘米）
2.5×2.5差3.14=19.625（平方厘米）
故答案為：19.625；15.7
【分析】圓的周長=圓周率×直徑=圓周率×半徑×2
圓的面積=圓周率×半徑×半徑
11.【答案】5
【解析】【解答】根據課本知識點我們知道圓的周長C和圓的直徑d的關系為
，題目已知圓的周長，那么可計算出圓的直徑為10厘米，而且圓規兩角之間的距離即為圓的半徑，
（厘米），所以圓規兩角之間的距離是5厘米。
【分析】該題只要是考察同學們對圓規的認識以及圓規畫圓的理解，要認識到圓規兩腳之間的距離是圓的半徑而不是圓的直徑。
12.【答案】12.56
【解析】【解答】解：因為4×4=16，所以正方形的邊長是4厘米，圓面積：3.14×(4÷2)2=12.56(平方厘米)
故答案為：12.56
【分析】根據正方形面積判斷出正方形的邊長，正方形內最大的圓的直徑與正方形的邊長相等，然后根據圓面積公式計算面積即可.
13.【答案】6；113.04
【解析】【解答】解：周長：37.68÷3.14÷2=6(dm)，面積：3.14×62=113.04(dm2)
故答案為：6；113.04【分析】用圓周長除以3.14再除以2即可求出半徑，圓面積：S=πr2，根據面積公式計算面積即可.
14.【答案】21.5
【解析】【解答】解：正方形面積：4×4=16(平方分米)，圓面積：3.14×(4÷2)2=12.56(平方分米)，
剪去部分的面積是正方形面積的：
(16-12.56)÷16
=3.44÷16
=21.5%
故答案為：21.5
【分析】正方形中剪去的最大的圓的直徑與正方形的邊長相等，用正方形面積減去圓的面積求出剪去部分的面積，用剪去部分的面積除以正方形面積求出占正方形面積的百分之幾.
四、解答題
15.【答案】
固定尺子的一端就確定了圓的位置，圓的半徑是尺子上4個小孔之間的距離
【解析】
16.【答案】解：大圓的面積=πr2=π×12×12=452.16(平方厘米)小圓的面積=πr2=π×8×8=200.96(平方厘米)
環形的面積=大圓的面積-小圓的面積=452.16
-200.96=251.2(平方厘米)
答：環形的面積是251.2平方厘米.
【解析】【分析】圓環的面積就是外圓面積減去內圓面積，由此根據圓面積公式計算出圓環面積即可；也可以運用簡便公式計算：S=π(R2-r2).
五、綜合題
17.【答案】
（1）16
；4
；12.56
；12.56
（2）解：圓按2：1的比放大，即半徑擴大了2倍，變成4厘米，再以O為圓心，以4厘米半徑畫圓即可得到放大后的圖形；如圖所示：
（3）解：根據數對表示位置的方法：第一個數字表示列，第二個數字表示行，即可在平面圖中找到它們的位置，在順次連接起來得到的圖形是直角梯形，再根據圖形平移的方法，先把此圖形的四個頂點分別向右平移5格，再把它的四個點分別向上平移2格，再把各點依次連接起來，即可得出平移后的圖形A′B′C′D′；如圖所示：
故答案為：直角梯形．
【解析】【解答】解：（1）找出圖中圓心O對應的列數與行數，列數寫在數對中的第一個數，行數寫在數對中的第二個數，即圓心O的位置用數對表示是（16，4）．由圖知圓的半徑是2厘米，
故圓的周長是：2×3.14×2=12.56（厘米），
圓的面積是：3.14×22=12.56（平方厘米）；
故答案為：16，4，12.56，12.56；
【分析】（1）找出圖中圓心O對應的列數與行數，列數寫在數對中的第一個數，行數寫在數對中的第二個數，由圖知圓的半徑是2厘米，再根據圓的周長和面積公式求出即可；（2）圓按2：1的比放大，即半徑擴大了2倍，變成4厘米，再以O為圓心，以4厘米半徑畫圓即可得到放大后的圖形；（3）根據數對表示位置的方法：第一個數字表示列，第二個數字表示行，即可在平面圖中找到它們的位置，在順次連接起來得到的圖形是，再根據圖形平移的方法，先把此圖形的四個頂點分別向右平移5格，再把各點依次連接起來，得到一個圖形，再把它的四個點分別向上平移2格，再把各點依次連接起來，即可得出平移后的圖形；此題考查了圖形的平移、放大以及數對表示位置的方法的靈活應用．
六、應用題
18.【答案】解：6÷2=3(米)，3+2=5(米)
3.14×(52-32)
=3.14×16
=50.24(平方米)
一、學習無疑須有疑――生疑
學者張宰說過：“于無疑處有疑，方是進矣！”“疑”應是認知的沖突，理智的挑戰。在教學中，教師應當教會學生敢于思考、敢于批判、敢于質疑。
例如，在學習“長方形和正方形的認識”之后，課本中提出讓學生思考長方形和正方形有什么相同點與不同點，教師往往能用表格很清楚地表現它們的異同點，然后提出正方形是特殊的長方形，可學生往往不能理解這句話。比如，當出現“長方形只有兩條對稱軸”這道判斷題時，學生往往認為是正確的，其實這個判斷是錯誤的。究其原因，也就是在比較長方形和正方形的異同點后就概括出正方形是特殊的長方形，是否適切呢？
二、有疑定要求無疑――析疑
質疑是學生構建知識的重要環節，同時質疑也要是有根據的懷疑。教師既要不斷培養學生的質疑意識、質疑能力，也要培養學生不盲從、不唯書、不唯上的精神，讓學生在不斷的思考中析疑。
例如，在學習“認識正方形和長方形的特征”時，長方形的特征有四條邊，對邊相等，有四個角，都是直角；正方形的特征有四條邊，全都相等，有四個角，都是直角。如果在學生學習了這些特征后，教師就要求學生思考長方形和正方形有什么相同點與不同點，將會導致學生誤認為長方形和正方形是并列的概念。怎樣讓學生更好地理解它們之間的關系呢？教師可以讓學生自己先概括出長方形和正方形的特征，再對照被稱為“正方形”的這一類圖形，自主探究長方形的每一項特征正方形是否都具有（都具有）。既然正方形都具有長方形的每一項特征，那么請學生們再思考這兩種圖形之間有怎樣的關系（正方形是長等于寬的長方形）。在此基礎上，教師適時指出正方形是特殊的長方形，然后進行分類，通過歐拉圖（如下）進一步明確長方形和正方形兩者間的種屬關系。
通過以上的分析，學生會明白長方形只有兩條對稱軸這條判斷是不正確的，且在今后學習長方形、正方形面積公式的推導之后，也會更加理解：由于正方形是特殊的長方形，所以長方形的面積公式對正方形的面積計算同樣適用，即可根據長方形面積公式推導出正方形的面積公式。
三、無疑本自有疑始――明疑
學習的更高境界是能自主地學習思考，在學習過程中不斷從有疑到無疑，發展學生的學習策略、學習品質，在不斷的循環質疑中明疑，從而達到無疑。
例如，在教學“被除數末尾有0的除法”后，請學生上黑板板演720÷9，出現兩種不同的豎式形式。如下：
課堂上，學生對余數0所寫的位置不同引起了激烈的爭辯。生1：“①是正確的，把720看成72個十，余數0可以寫在十位數2的下面。”生2：“②也是正確的，我們可以寫完整。”學生們紛紛點頭贊許。在這樣的探討、質疑中達到無疑，學生自主學習、自主探究能力不斷得到提高，不斷增長著與他人分享的內需。
四、有疑方能達無疑――釋疑
有疑方能達無疑。教師應把培養學生的問題意識、探究能力作為教學目標的追求，讓學生在不斷發現問題、解決問題、應用問題中提高創新能力和探究能力，同時也為發展學生的后續學習能力夯實基礎。
例如，在教學“24時計時法”時，教師先介紹普通計時法，再引導學生學習24時計時法，且在學習了它們的互化之后，適時地拋出一些問題。如：為什么要學習24時計時法？一天有24小時，可鐘表上為什么只有12小時？什么場合用24時計時法比較合適……提出這些問題后，學生討論熱烈，興趣高漲。課后，學生有的查閱資料，有的積極上網查詢，努力探尋問題的答案。學生在不斷探索中獲得書本以外的知識，增強學習數學的興趣，感受到學習數學的樂趣，并把生活與數學聯系起來。
關鍵詞: 小學生長方形面積 充分體驗 操作感知
以前幾次教學長方形面積的計算,我都是采用下列步驟:先用5―8分鐘左右的時間進行操作感知,接著得出公式,然后根據公式進行大量訓練,以達到熟練計算。這樣教,一節課下來,學生基本都會計算了。但是,過兩天再來算面積時,多數學生已經忘了怎么算了,等到把面積與周長放到一起算時,學生更是混為一談。究其原因,應該是學生感受不充分,理解不深刻造成的。
這一次,我完全換了一種教學思路:用一節完整課時進行操作感知,結果收到了很好的教學效果。教學過程大致如下。
一、課前準備
1.每人準備30個邊長1厘米的小正方形。(做小正方形的紙要稍微硬一些,這樣便于擺弄。要求學生提前一天做好交給組長檢查,保證課上所有學生都能一起參與操作)
2.我為每位學生準備一張畫有6個長方形的紙(6個長方形大小都不等,邊長都是整厘米,每個長方形都編上號)。
二、操作感知
1.擺一擺,數一數。
我說:“我們每人準備的小正方形的邊長都是1厘米,面積就是1平方厘米,1號長方形的面積是多少平方厘米呢?我們有辦法知道嗎?”
一些學生很快想到用小正方形擺一擺,并且立刻動手擺了起來,其他學生也跟著擺了起來,這樣全班所有學生都在用自己準備的小正方形擺弄著。
1號長方形的長是5厘米,寬是3厘米,學生很快地就用15個小方形把它擺滿了,馬上舉手說“面積是15平方厘米。”
我問:“你們橫著擺了幾個?豎著擺了幾個?”
學生答:“橫著擺了5個,豎著擺了3個,三五十五。”
我接著說:“大家擺得好,算得也好,那2號長方形的面積是多大呢?你們能知道嗎?試一試。”
全班學生都積極地在擺。很快,結果又出來了。
我問:“你們橫著擺了幾個?豎著擺了幾個?”
學生答:“橫著擺了6個,豎著擺了4個,四六二十四。”
我接著說:“大家擺得好,算得也好,那3號長方形的面積是多大呢?你們能知道嗎?試一試。”
……
算到4號、5號、6號長方形時,有一些學生說:“老師,我不用擺滿就知道一共要擺多少個了?”
“你怎么擺的?又是怎么知道的?”
“我橫著擺了7個,豎著擺了3個,就知道一共要擺三七二十一個。”
“真聰明,是這樣嗎?我們一起把它擺滿驗證一下。”
2.擺一擺,猜一猜。
“這一次,我們只擺一部分,然后猜一猜,一共要擺多少個才能擺滿整個長方形,好嗎?”
“好!”
“一個長方形,橫著一排擺5個,豎著一排擺4個,一共要擺多少個才能擺滿?先擺一擺,再猜一猜。”全班一起行動,擺一擺,猜一猜。最后擺滿驗證一下。
“說一說,你是怎么猜的?”
“橫排個數×豎排個數=一共擺的個數。”
“他說的有道理嗎?你們是這么想的嗎?”連續猜5題,學生都能猜對。
3.擺一擺,算一算。
出示一個長方形,“已經知道它的長是25厘米,寬是15厘米,你能知道它的面積是多少平方厘米嗎?大家擺一擺。”
“老師,我們一共只有30個小正方形,根本不夠擺。”
“只擺幾個,然后算一算,行嗎?”
“行!”
很快,結果就出來了。
“橫著需要擺幾個?豎著需要擺幾個?一共需要擺多少個?小正方形不夠擺時,能算出來嗎?”
“能!”
“我們接著再來幾題,還是像這樣擺一擺,算一算。”
這時,小正方形個數差得再多也沒人喊不夠擺了,因為他們已經知道長方形的面積和它的長和寬有著怎樣的關系,雖然沒有人明確說出來,但是,他們已經實實在在地感受到了。
三、拓展延伸
“‘一個長方形,長500厘米,寬300厘米,它的面積是多少平方厘米?’,這樣的問題我們有辦法直接解決嗎?我們也用小正方形來擺行嗎?”
“不行。”
“有辦法算嗎?”
“有,500×300=150000。”學生幾乎同時喊出答案。
探究勾股定理的發現S正方形A=22=4，S正方形B=32=9，
S正方形C=52-12×2×3×4=25-12=13，
所以S正方形A+S正方形B=S正方形C.
S正方形A′=32=9，S正方形B′=52=25，
S正方形C′=82-12×3×5×4=64-30=34，
所以S正方形A′+S正方形B′=S正方形C′.
由于正方形A，B(或A′，B′)的面積分別等于直角三角形的兩直角邊的平方，正方形C(或C′)的面積等于直角三角形的斜邊的平方，于是我們得出：
勾股定理直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.
反思1為什么直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方？
探究勾股定理的證明在計算正方形C(或C′)的面積時，我們發現：正方形C(或C′)的面積等于大正方形的面積減去四個全等的直角三角形的面積，由此我們受到啟發.如圖2，若設直角三角形的兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，根據大正方形的面積等于中間正方形的面積加上四個直角三角形的面積，得(a+b)2=c2+12ab×4，整理，得a2+b2=c2.所以直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.
說明上述證明勾股定理的方法用到的圖形，叫做“趙爽弦圖”.運用“趙爽弦圖”證明勾股定理，簡捷巧妙.為了開闊同學們的視野，下面再介紹一種利用全等三角形和面積的證明方法.
如圖2，以RtABC的兩直角邊AC，BC向外作正方形ACGF和正方形BCLK，以RtABC的斜邊向外作正方形ABED，過點C作CIDE，垂足為I，CI交AB于點H，則四邊形ADIH和HIEB都是矩形.
由AF=AC，AB=AD，∠FAC+∠CAB=∠DAB+∠CAB，即∠FAB=∠CAD，得FAB≌CAD，所以SFAB=SCAD.
而S正方形ACGF=2SFAB，S矩形ADIH=2SCAD，
所以S正方形ACGF=S矩形ADIH.
同理S正方形BCLK=S矩形HIEB.
所以S正方形ACGF+S正方形BCLK=S矩形ADIH+S矩形HIEB，
即S正方形ACGF+S正方形BCLK=S正方形ABED.
所以直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.
探究勾股定理的拓展
由探究勾股定理的發現過程，我們不難得出：
拓展1以直角三角形的兩直角邊為邊長的正方形的面積和等于以斜邊為邊長的正方形的面積.
反思2如果分別以直角三角形的各邊為斜邊作等腰直角三角形，那么以兩直角邊為斜邊的等腰直角三角形的面積和等于以斜邊為斜邊的等腰直角三角形的面積嗎？
探究設直角三角形的兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，
那么
以a為斜邊的等腰直角三角形的面積等于12a?12a=14a2，
以b為斜邊的等腰直角三角形的面積等于12b?12b=14b2，
以c為斜邊的等腰直角三角形的面積等于12c?12c=14c2，
因為a2+b2=c2，所以14a2+14b2=14c2.
于是我們得出：
拓展2分別以直角三角形的各邊為斜邊作等腰直角三角形，那么以兩直角邊為斜邊的等腰直角三角形的面積和等于以斜邊為斜邊的等腰直角三角形的面積.
說明如果能夠注意到等腰直角三角形正好是以它的斜邊為一邊的正方形的四分之一，運用拓展1的結論很容易得到拓展2.
下面請同學們運用拓展2的結論解決：
問題1已知：以RtABC的三邊為斜邊分別向外作等腰直角三角形.若斜邊AB=3，則三個等腰直角三角形的面積和為.
提示：如果對等腰直角三角形的面積公式(用等腰直角三角形的斜邊表示)不熟悉，可先將每個等腰直角三角形補成正方形，這樣所求的面積就等于兩個等腰RtABE的面積，而兩個等腰RtABE的面積正好等于以AB為一邊的正方形的面積的一半，從而所求部分的面積=12×32=4.5.
例1小麗想用一塊面積為400cm2的正方形紙片，沿著邊的方向裁出一塊面積為300cm2的長方形紙片，使它的長寬之比為3 ∶ 2.不知能否裁出來，正在發愁.小明見了說：“別發愁，一定能用一塊面積大的紙片裁出一塊面積小的紙片.”你同意小明的說法嗎？小麗能用這塊紙片裁出符合要求的紙片嗎？
解： （假設能裁出符合要求的長方形紙片）設長方形紙片的長為3xcm ，寬為2xcm.根據邊長與面積的關系得
3x•2x=300，
6x2=300，
x2=50，
x= .
因此長方形紙片的長為3 cm.
因為50>49，所以 >7.
由上可知3 >21，即長方形紙片的長應大于21 cm.
已知正方形紙片的邊長只有20cm，這樣，要裁出的長方形紙片的長將大于正方形紙片的邊長，這是不可能的.
故不能裁出符合要求的長方形紙片.
答：不同意小明的說法.小麗不能用這塊正方形紙片裁出符合要求的長方形紙片.
評析：這道例題是平方根知識在實際問題中的應用，同學們一般會認為一定能用一塊面積大的紙片裁出一塊面積小的紙片，解完了這道題后同學們該明白平方根知識的用處了吧！解題過程中給出了一種常見的用有理數估計無理數的方法，這種方法是利用與被開方數最接近的完全平方數的算術平方根來估計這個被開方數的算術平方根的大小，這種估算能力是同學們以后學習過程中必須具備的能力.
例2小明的房間面積為10.8m2，房間地面恰由120塊相同的正方形地磚鋪成，每塊地磚的邊長是多少？
解： 房間的面積為10.8m2，也就是120塊相同正方形地磚的面積之和為10.8m2，那么1塊正方形地磚的面積為：
10.8÷120=0.09（m2）.
故每塊正方形地磚的邊長為：
=0.3（m）.
答：每塊正方形地磚的邊長為0.3m.
例3（1） 用一塊面積為400cm2的正方形紙片，沿著邊的方向剪出一塊面積為300cm2的長方形紙片，你會怎樣剪？
（2） 根據你的剪法回答:只要利用面積大的紙片一定能剪出面積小的紙片嗎？
解： （1）設正方形紙片的邊長為a cm，則
a2 = 400，
a = ±
=± 20.
由于負值不合題意，應舍去，故正方形紙片的邊長為20 cm.
要剪出面積為300 cm2的長方形紙片，可以以正方形紙片的邊長20 cm為長，剪去一定寬度的長方形紙片而得.
設剪去的長方形紙片的寬為 xcm，則
20•（20-x）=300，
400-20x=300，
20x=100，
x=5.
[中圖分類號]G[文獻標識碼]A
[文章編號]0450-9889(2012)01A-0088-02
平面組合圖形的面積計算在小學數學教材中占有十分重要的地位，它既是學生學習平面幾何的前奏，又是學習立體幾何的基礎。如何通過求平面組合圖形面積的教學，讓學生掌握一些圖形轉換方法，感悟圖形的排除、包含、轉化等思想，從而達到發展學生空間觀念和培養學生空間想象能力的目的?筆者根據長期的教學實踐和體會，總結出以下一些方法。
一、解題策略簡述
平面組合圖形是由兩個或兩個以上簡單的幾何圖形組合而成，計算它的面積應看清所求圖形是由哪幾個基本圖形組合而成。在教學實踐中，我常采用數據推導、割補、平移、巧添輔助線、旋轉、組合等方法，將復雜問題簡單化。
二、解題方法具體說明
1.數據推導。
根據已知的公理、定義、定理、定律和題目中的數據等經過演算、邏輯推理而得出新的結論。
(1)根據定義推導。
例：如圖1所示，計算圖形的面積。(單位：厘米)
思路分析與解：求梯形的面積，必須知道上底、下底和高這三個條件。從圖中可以看出，此梯形的高是6米，那么解題的關鍵就是求出上底和下底的長度或求出它們的長度和。
在左邊的直角三角形中，一個內角是45°，可知它是等腰三角形，所以梯形高的左邊部分與下底相等。同樣，右邊的三角形也是一個等腰三角形，所以梯形的上底和高的右邊部分相等。這樣根據等腰直角三角形的定義推導出梯形的上、下底的長度和就是梯形高的長度6厘米。因此圖形的面積是：6x6+2=18(平方厘米)。
(2)根據公式推導。
例：如圖2所示，直角三角形的面積是12平方厘米，求圓的面積。
思路分析與解：要求圓的面積，必須要知道圓的半徑。此題給出三角形的面積。暗示學生解題要通過三角形的面積求出半徑的相關值，從而算出圓的面積。在圖2中，三角形的底和高都是圓的半徑，三角形面積為rxr+2=12(平方厘米)，即r212+2=6(平方厘米)，根據公式S圈=πγ2只要知道γ2等于多少，就可求出圓的面積。所以S圈=3.14x6=18.84(平方厘米)
2.割補、平移。
割補、平移是解決組合圖形問題最常用的手段之一，它或是延長所求圖形的某些邊線，或是把圖形切開，或是把切下來的那部分移動到其他位置，使題目便于解答。
(1)補充。一例：如圖3所示，一個等腰直角三角形。最長的邊是16厘米，這個三角形的面積是多少平方米?
思路分析與解：方法1：由于只知道三角形最長的邊是16厘米，所以不能用三角形的面積公式來計算它的面積。教學時，我們可以讓學生延長三角形的兩條邊，補充成一個正方形，顯然拼成的正方形(如圖4)的面積是16x16。那么，原三角形的面積是16x16+4=64(平方厘米)
方法2：還可以只補充畫一條直角邊，拼成(如圖5)一個大的等腰三角形。那么原三角形的面積為16x16+242=64(平方厘米)
(2)分割。
分割就是把圖形切開.但是并不移動，使題目更為明了。
例：如圖6所示，梯形ABCD的上底是4厘米，下底是6厘米，高是4厘米.求陰影部分的面積。
思路分析與解：根據“同一平面內，等底等高的三角形面積相等”這一知識，把圖中的三個三角形進行“等積變形”，即切割成為與之面積相等的(如圖7所示)中三角形ABC，原陰影部分的面積是6x4÷2=12(平方厘米)。
(3)平移。
將所給圖形中的某一部進行切割，沿直線上下左右移動，把復雜的圖形簡單化。
①整合平移。
例：如圖8所示，正方形的邊長為10厘米，里面橫、豎各有三道黑條，黑條寬為1厘米，問：空白部分的面積是多少?
思路分析與解：觀察圖8可知，黑條形狀相同，我們可以將豎條左平移至如圖9中的正方形的左邊界，橫條上平移到正方形的上邊界。這樣，空白部分的面積相當于一個邊長為7厘米的正方形，因此，空白部分的面積是：7x7=49(平方厘米)
②翻轉平移。
例：如圖10所示，求陰影部分面積。(單位：厘米)
思路分析與解：以圖lO中大圓的圓心為中心，將左側小半圓切割后，旋轉平移到右邊的小半圓，就得到圖11所示的形狀，所求圖10中的陰影部分面積就是求圖11中較大半圓的面積：3.14x102+2=157(平方厘米)。
③等積平移。
例：如圖12所示,計算圖中的陰影部分面積。(單位：厘米)
思路分析與解：觀察圖12，根據三角形內角和定義與一邊長相等得出，正方形內的三角形和外面的三角形面積相等，所以可以將圖12陰影部分的三角形切割下來，并平移拼成一個{圓的面積(如圖13)。S圈=3.14x52÷4=19.625(平方厘米)
3.巧添輔助線。
在所給的圖形中，對尚未直接顯現出來的各元素，通過添加適當輔助線，將那些特殊點、特殊線、特殊圖形性質恰當揭示出來，并充分發揮這些特殊點、線的作用，達到化難為易的目的。
(1)連接。
例：如圖14所示，計算陰影部分的面積。(單位：厘米)
思路分析與解：圖14中，陰影部分有兩塊，一在東，一在西，沒有整合在一起，計算起來比較麻煩。如圖15，給圖形畫上一條輔助線，計算起來就事半功倍，求陰影部分的面積也就是求正方形面積的一半：6x6÷2=18(平方厘米)。
(2)延長。
例：如圖16所示，求四邊形ABCD的面積。(單位：厘米)
思路分析與解：學生一看圖16，就會問：“這種四邊形的面積怎么計算?”如果在圖內作輔助線，根據已知條件也解決不了問題。其實圖16原本是一個等腰直角三角形，只要延長AB邊和CD邊相交于一點(如圖17)，隱藏的條件就立即顯現：大三角形是等腰直角三角形，小三角形也是等腰直角三角形。所以四邊形ABCD的面積為：8x8÷2-4x4÷2=24(平方厘米)。
(3)添加。
例：如圖18所示，正方形的面積為12平方厘米，計算圓的面積。
思路分析與解：已知條件只給正方形的面積是12平方厘米，如何去計算出圓的面積?這就要給圖形添加輔助線，只要通過圓心畫兩條直徑(如圖19)，問題就迎刃而解了。從圖19中可以看出，大正方形的面積是4個小正方形的面積和，而小正方形的面積等于邊長乘邊長，就是半徑乘半徑即半徑的平方為12÷4=3(平方厘米)，所以圓的面積是：3.14x3=9.42(平方厘米)。
4.旋轉。
就是把圖形按照預定的方向旋轉一定的角度，不改變原圖的大小，以達到解決問題的目的。
例：如圖20所示，正方形內有一個最大的圓，圓內又有一個最大的正方形。如果大正方形的面積是22平方厘米，請計算小正方形的面積。
思路分析與解：要求正方形的面積，就要知道正方形的邊長，不過此題的正方形邊長無法求得，教學時，我們可以從兩個正方形之間找到關系。把小正方形繞著它的中心旋轉45°后，再加兩條輔助線(如圖21)，學生就會發現小正方形是由4個相同的三角形組成，而大正方形是由同樣的8個三角形組成，所以小正方形的面積正好是大正方形面積的一半。小正方形的面積是22÷2=11(平方厘米)。
5.組合。
通過改變基本圖形的位置或形狀(但不改變圖形的大小)，把幾個基本圖形合并成一個基本圖形，然后間接求整個圖形的面積。
例：如圖22所示，已知直角三角形兩條直角邊的長度之和是7厘米，斜邊長是5厘米，求這個三角形的面積。
思路分析與解：直接利用題中的已知條件無法求出它的面積，這就要進行圖形組合。在教學中，讓學生準備4塊有“90°、60°、30°”的直角三角板，并把直角邊擺在外層，拼成如圖23的一個正方形。在圖23中，學生通過觀察就會很快發現大正方形的邊長恰好是每個直角三角形兩條直角邊的長度和，而小正方形的邊長正好是每個直角三角形的斜邊長。要求圖22三角形的面積就變得簡單了，就是用大正方形的面積減去小正方形的面積的差除以4即可，也就是：(7x7-5x5)÷4=6(平方厘米)。
當然，在課堂教學中，學生組拼三角形的時候，有的會拼出如圖24的組合情況，就是把直角三角形的斜邊擺在外層。這種組合會得到：大正方形的邊長是直角三角形的斜邊長度，小正方形的邊長是兩條直角邊的差。如果題目是已知直角三角形兩條直角邊的長度之差是2厘米，斜邊長是5厘米，就可以求這個三角形的面積。上面兩個組合圖凸顯了數學的美感和實用性，不但生動有趣，利用它們還能解決生活中的一些疑難問題。
一、 整體思想解決路徑長，等積變形來幫忙
例1 （2013?山東煙臺）如圖1，正方形ABCD的邊長為4，點E在BC上，四邊形EFGB也是正方形，以B為圓心，BA長為半徑畫，連接AF、CF，則圖中陰影部分面積為______.
【分析】設正方形EFGB的邊長為a，表示出CE、AG，然后根據陰影部分的面積=S扇形ABC+S正方形EFGB+SCEF-SAGF，列式計算即可得解.
解法一：設正方形EFGB的邊長為a，則CE=4-a，AG=4+a，
陰影部分的面積
=S扇形ABC+S正方形EFGB+SCEF-SAGF
=+a2+a（4-a）-a（4+a）
=4π+a2+2a-a2-2a-a2
=4π.
【點評】本題涉及正方形的性質、整式的混合運算、扇形的面積計算，引入小正方形的邊長這一中間量是解題的關鍵.
解法二：連接AC、BF，易證AC∥BF；則SACF=SABC（同底等高）；所以陰影部分面積為扇形ABC的面積，故答案為：4π.
二、代數式的計算有點煩，各項定位來解難
例2 （2013?臺灣）若一多項式除以2x2-3，得到的商式為7x-4，余式為-5x+2，則此多項式是什么？（ ）.
A. 14x3-8x2-26x+14
B. 14x3-8x2-26x-10
C. -10x3+4x2-8x-10
D. -10x3+4x2+22x-10
【分析】根據題意列出關系式，計算即可得到結果.
解法一：根據題意得：
（2x2-3）（7x-4）+（-5x+2）
=14x3-8x2-21x+12-5x+2
=14x3-8x2-26x+14
故選A.
【點評】此題考查了整式的除法，涉及的知識有多項式乘多項式法則、去括號法則以及合并同類項法則，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.
解法二：這題是一道選擇題，計算的結果是一個三次多項式，最高次項的系數為14，所以只有A、B兩個選項可能正確，常數項為12加2，所以選擇A.
三、 代數推理有點難，數學直觀很好玩
例3 （2013?浙江寧波）7張如圖2的長為a，寬為b（a>b）的小長方形紙片，按圖3的方式不重疊地放在矩形ABCD內，未被覆蓋的部分（兩個矩形）用陰影表示. 設左上角與右下角的陰影部分的面積的差為S，當BC的長度變化時，按照同樣的放置方式，S始終保持不變，則a，b滿足（ ）.
A. a=b B. a=3b C. a=b D. a=b
【分析】表示出左上角與右下角部分的面積，求出S，根據S與BC無關即可求出a與b的關系式.
解法一：左上角陰影部分的長為AE，寬AF=3b，右下角陰影部分的長為PC，寬CG=a.
AD=BC，即AE+ED=AE+a，BC=BP+PC=4b+PC，AE+a=4b+PC，即AE-PC=4b-a，
陰影部分面積之差S=AE?AF-PC?CG=3bAE-aPC=3b（PC+4b-a）-aPC=（3b-a）PC+12b2-3ab，則3b-a=0，即a=3b. 故選B.
【點評】此題考查了整式混合運算的應用，弄清題意是解本題的關鍵.
解法二：當BC的長度變化時，按照同樣的放置方式，左上角與右下角的陰影部分的面積的差S始終保持不變，面積差S與水平長沒有關系，則寬相等（否則兩個增加的面積不一樣大時，面積的差S會發生變化），故選擇B.
四、 數形結合很直觀，邊長大小相比較
例4 （2013?江蘇常州）有3張邊長為a的正方形紙片，4張邊長分別為a、b（b>a）的矩形紙片，5張邊長為b的正方形紙片，從其中取出若干張紙片，每種紙片至少取一張，把取出的這些紙片拼成一個正方形（按原紙張進行無空隙、無重疊拼接），則拼成的正方形的邊長最長可以為（ ）.
A. a+b B. 2a+b C. 3a+b D. a+2b
【分析】根據3張邊長為a的正方形紙片的面積是3a2，4張邊長分別為a、b（b>a）的矩形紙片的面積是4ab，5張邊長為b的正方形紙片的面積是5b2，得出a2+4ab+4b2=（a+2b）2，再根據正方形的面積公式即可得出答案.
解法一：3張邊長為a的正方形紙片的面積是3a2，4張邊長分別為a、b（b>a）的矩形紙片的面積是4ab，5張邊長為b的正方形紙片的面積是5b2，a2+4ab+4b2=（a+2b）2，
拼成的正方形的邊長最長可以為（a+2b），故選D.
【點評】此題考查了完全平方公式的幾何背景，關鍵是根據題意得出a2+4ab+4b2=（a+2b）2，用到的知識點是完全平方公式.
解法二：B、C選項中邊長為a的正方形紙片不夠，A、D選項中D的選項比A的長，只需計算D選項是否能夠滿足條件，經計算可以拼成.
五、 裂項相消很奇妙
例5 （2013?湖南郴州）化簡+的結果為（ ）.
A. -1 B. 1 C. D.
【分析】先把分式進行通分，把異分母分式化為同分母分式，再把分子相加，即可求出答案.
解法一：+=-==1.
故選B.
【點評】此題考查了分式的加減. 在分式的加減運算中，如果是同分母分式，那么分母不變，把分子直接相加減即可；如果是異分母分式，則必須先通分，把異分母分式化為同分母分式，然后再相加減即可.
A.樹葉從樹上落下 B.電梯由一樓升到頂樓
C. 碟片在光驅中運行 D.衛星繞地球運動
2.若∠1與∠2是內錯角，∠1=40°，則
A.∠2=40° B.∠2=140° C.∠2=40°或∠2=140° D.∠2的大小不確定
3.下列計算中正確的是
A. B. C. = D.
4.下列各式能用平方差公式進行計算的是
A. B. C. D.
5.如圖，直線 、 被直線 所截，若 ∥ ，∠1=135°，則∠2等于
A.30° B.45° C.60° D.75°
6.如圖，不能判斷 ∥ 的條件是
A.∠1=∠3 B.∠2=∠3 C.∠4=∠5 D.∠2+∠4=180°
7.若 則
A. B. C. D.
8.已知三角形的三邊分別為2，a，4，那么 的取值范圍是
A. B. C. D.
9.下列方程組是二元一次方程組的有( )個
(1) (2) (3) (4)
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
10. 從邊長為 的大正方形紙板中挖去一個邊長為 的小正方形紙板后，將其裁成四個相同的等腰梯形(如圖甲)，然后拼成一個平行四邊形(如圖乙).那么通過計算兩個圖形陰影部分的面積，可以驗證成立的公式為
A.
B.
C.
D.
二、填一填(3分×10=30分)
11. 若0.0000102=1.02 ,則n=_______ .
12.化簡 的結果是______________.
13.已知 =4， =3，則 =__________.
14.若(x+P)與(x+2)的乘積中，不含x的一次項，則P的值是 .
15.等腰三角形兩邊長分別為3、6，則其周長為 .
16.如圖2所示,是用一張長方形紙條折成的。如果∠1=100°,那么∠2=______°.
(第16題圖)
17. 一個正多邊形的每個外角都等于24°，則它是_____邊形.
18.已知 是方程5x-( k-1)y-7 = 0的一個解，則k = .
19.如圖邊長為4cm的正方形ABCD先向上平移2cm，再向右平移1cm，得到正方形A′B′C′D′，此時陰影部分的面積為_______cm2.
20.如圖，它是由6個面積為1的小正方形組成的長方形，點A、B、C、D、E、F是小正方形的頂點，以這六個點中的任意三點為頂點，可以組成________個面積是1的三角形.
三、做一做
21.計算：(4分×6=24分)
(1) (2)
(5) (6) (a-2b+c)(a+2b+c)
22.因式分解：(4分×4=16分)
(1) (2)
23.(本題6分)在正方形網格中，每個小正方形的邊長均為1個單位長度，ABC的三個頂點的位置如圖所示，現將ABC平移，使點A變換為點A′，點B′、C′分別是B、C的對應點.
(1)請畫出平移后的A′B′C′.并求A′B′C′的面積.
(2)若連接AA′，CC′，則這兩條線段之間的關系是________.
24.(本題6分)已知 ，求n的值.
25.(本題6分)已知a=2-555，b=3-444，c=6-222，請用“>”把它們按從大到小的順序連接起來，并說明理由.
26.(本題8分)已知 ，
求：①
②xy的值.
27.(本題12分)如圖甲，在ABC中，ADBC于D，AE平分∠BAC.
(1)若∠B=30°，∠C=70°，則∠DAE=________.
(2)若∠C-∠B=30°，則∠DAE=________.
提問既是一門科學，也是一門藝術，是提高教育教學質量的有效途徑。在教育教學活動中，課堂提問是教師為達到某一目標、任務所經常采用的手段和行為方式。教師只有善于探究掌握課堂提問藝術，苦心鉆研、精心設計，提出的問題才具有實際效果、實用價值，因此筆者擬就課堂提問談幾點膚淺的認識和見解。
一、摸清基礎，幫學生搭起問題支架
教學中，教師并不是簡單地提出問題，所提問題要接近學生的年齡特征，接近學生知識與能力基礎，能夠讓學生摸得著、抓得住，先易后難，形成一條問題鏈，引導學生拾階而上。
1.銜接性。
教學片斷：“兩位數乘兩位數”。
學生口算：21×3=63，21×30=630。
師：我把它們放在一起，看看它們之間有什么聯系?
學生繼續口算：
34×2=68，34×20=680；41×5=205，
41×50=2050；15×2=30，15×10=150。
師：15×2=30，15×10=150，這兩個算式之間有上面的關系嗎?
師：那這兩個算式和15×12有關系嗎？發現了什么?
在學兩位乘兩位數之前，學生已掌握了兩位數乘一位數和兩位數乘整十數算法，教師的提問有效地溝通了新舊知識之間的聯系，喚醒了學生的思維，為學生學習新知搭設了適宜的“腳手架”。
2.邏輯性。
教學片斷:“長方形和正方形面積計算”。
師:觀察板書，你們有什么發現嗎?
生1:我發現這里長方形的長乘寬正好等于它們的面積。
師:其他長方形的面積是不是也可以用“長×寬”來計算呢?
(學生以小組為單位，用相同小正方形拼長方形，并對拼成的長方形的長、寬、面積作記錄。)
師:你們發現其他長方形的面積與它的長和寬有什么關系?
(學生得出:長方形的面積=長×寬。)
師:在面積公式中，“長×寬”實際表示的是什么?
(學生討論得出，“長×寬”實際上表示的是長方形中所包含面積單位的個數。)
教師提問步步入深，使學生茅塞頓開，深刻感知、理解、把握了“長方形的面積=長×寬”。這樣的提問，既幫助學生找到了解決問題的關鍵，又培養了學生良好的思維習慣。
二、抓住關鍵，讓提問充滿思維含量
教師要提出有效的問題，就必須研究教材，使自己達到“懂、透、化”的境界。
“懂”就是理解教材的基本結構;“透”就是掌握教材的系統性，掌握教材的重點、難點和關鍵；“化”就是使自己的思想感情與教材中包含的思想感情融為一體。教師在充分研究與分析的基礎上，才能抓住教材的關鍵處，提出具有思維含量的問題，從而避免步入提問頻繁、表層化等誤區。
1.目標性。
教學片斷：“分數的基本性質”。
教師請學生任意寫出三個分數，引導他們觀察他們各自所寫分數的分子、分母情況。
師：當兩個分數的分子、分母不完全一樣的情況下，分數的大小完全一樣嗎?
生：不一樣(有個別說“可能一樣”)。
師：在什么情況下，分數的大小可能一樣大呢？我們一起來學習、探究這個規律。
(學生利用折紙來探討這一問題，得出 = = = = = 等）。
師：分數的分子和分母不同時，這兩個分數有可能相等嗎?
生：有可能。
師：任意兩個分數，它們的分子、分母不同時，分數大小都相等嗎?
生：不會。
師：那什么情況下才能相等呢?
教師的提問始終圍繞本課的核心內容，環環緊扣，引導學生分析、比較、歸納，自主探究分數的基本性質。
2.思考性。
教學片斷:“素數與合數”。
(學生分別用4個、12個同樣大小的正方形拼出幾個不同的長方形。)
師:如果給出的相同正方形個數越多，那拼出的不同的長方形的個數會怎樣呢?
(學生獨立思考后，經討論發現:給出相同正方形的個數越多，拼出的長方形的種數不一定就越多。)
師:用相同的正方形拼長方形，有時只能拼出一種，有時拼出的長方形不止一種。你們覺得當正方形的個數是什么數的時候，只能拼一種?
(學生研究發現:表示正方形個數的數只能被1和它本身整除的時候，只能拼成一個長方形。)
師:當正方形的個數是什么數的時候，拼得的長方形不止一種呢?
在教學中將質數與合數知識的教學巧妙地融于圖形的拼組中，通過一個個充滿挑戰性的問題，讓學生去思考、鉆研、探索，不斷獲得了成功的體驗。
三、因事制宜，把握提問的有利時機
課堂教學是不斷動態生成的一個過程，沒有預設的生成，容易背離學科本質，偏離價值目標。教師要盡可能地把所要提的問題，事先周密地考慮到、設計好，對知識的關鍵處、理解的疑難處、思維的轉折處、規律的探求處進行充分的預設，設計好問題，同時對學生的回答也做好充分的預設。
教學片斷：“圓的面積計算”。
教師組織學生直觀操作，將圓剪開拼成一個近似長方形，并利用長方形的面積公式推導出圓的面積公式。
師：把圓轉化成長方形后什么變了？什么沒變？
生1：形狀變了。
生2：周長變了，面積沒變。
師：這個長方形的長和寬相當于圓的什么?
生3：長相當于原來圓周長的一半，寬相當于原來圓的半徑。
