時(shí)間：2023-05-30 09:13:39
開(kāi)篇：寫(xiě)作不僅是一種記錄，更是一種創(chuàng)造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇數(shù)列的極限，希望這些內(nèi)容能成為您創(chuàng)作過(guò)程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進(jìn)步。
關(guān)鍵詞 數(shù)列極限；施篤茲法；級(jí)數(shù)求和
一、引言
極限是分析數(shù)學(xué)中最基本的概念之一，用以描述變量在一定的變化過(guò)程中的終極狀態(tài)。公元前5世紀(jì)，希臘數(shù)學(xué)家安提豐（Antiphon）在研究化圓為方問(wèn)題時(shí)創(chuàng)立了割圓術(shù)，即從一個(gè)簡(jiǎn)單的圓內(nèi)接正多邊形（正方形、正六邊形）出發(fā)，把每邊所對(duì)的圓弧二等分，聯(lián)結(jié)分點(diǎn)，得到一個(gè)邊數(shù)加倍的圓內(nèi)接正多邊形，當(dāng)重復(fù)這一步驟足夠多次時(shí)，所得圓內(nèi)接正多邊形面積與圓面積之差將小于任何給定的限度。在我國(guó)古代，樸素的、直觀的極限思想也有記載。例如，中國(guó)古代的《墨經(jīng)》中載有“窮，或有前，不容尺也”，《莊子?天下》中載有“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”，公元3世紀(jì)我國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立的割圓術(shù)，其中都包含了深刻的極限思想。極限是現(xiàn)代數(shù)學(xué)分析奠基的基本概念，函數(shù)的連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)、積分以及無(wú)窮級(jí)數(shù)的和等都是用極限來(lái)定義的。可見(jiàn)，研究數(shù)列極限是十分有意義的。在數(shù)學(xué)分析中介紹了很多求數(shù)列極限的方法，常見(jiàn)的有：定義法、數(shù)列求和法、定積分定義法、單調(diào)有界原理、同限夾擠定理等。上述方法在求常見(jiàn)的數(shù)列極限時(shí)比較有效，但遇到一些特殊的數(shù)列就很難求出、甚至無(wú)從下手。為此我們介紹三種特殊的求極限的方法主要有施篤茲法、比值法、級(jí)數(shù)求和法。這些方法對(duì)于求一些特殊的數(shù)列極限有很重要的作用。
二、數(shù)列極限的三種求法
1.施篤茲法
施篤茲法被稱為求數(shù)列極限的洛必達(dá)法則，對(duì)一些不能用上述洛必達(dá)法則方法求的數(shù)列極限如■■，有時(shí)可用下面施篤茲法。
命題1（施篤茲法）給定數(shù)列Tn可以寫(xiě)成Tn=■且■yn=∞，y■>y■，若■■存在，則■=■■。
例1 求■■
解令y■=1■+3■+……+（2n-1）■，z■=2■+4■+……+（2n）■
顯然z■∞，z■>z■滿足施篤茲定理，從而有
■■=■■=1
2.比值法
一般來(lái)說(shuō)，n次根式的數(shù)列極限■■比較難求，我們通過(guò)下面的命題2將一些n次根式的數(shù)列極限轉(zhuǎn)化為較為簡(jiǎn)單的比值數(shù)列極限■■來(lái)處理，能起到很好效果。
命題2 設(shè)an>0若■■=l，則■■=l
例2 求■■
解令a■=■，
由于■■=■■?■=1
由命題2有■■=■■=l
3.級(jí)數(shù)求和法
當(dāng)被求數(shù)列的極限中的數(shù)列是n項(xiàng)和構(gòu)成時(shí)，一般考慮先求和再求極限，但有時(shí)數(shù)列的，項(xiàng)和比較難求如x■=1-■+■-……+（-1）■■我們可把它作為冪級(jí)數(shù)在某點(diǎn)的值，通過(guò)冪級(jí)數(shù)和的方法，例如對(duì)冪級(jí)數(shù)求導(dǎo)、積分等方法來(lái)求數(shù)列的n項(xiàng)和，這樣可以很方便求出n項(xiàng)和數(shù)列的極限，甚至是一些較為復(fù)雜的n項(xiàng)和數(shù)列的極限。
有時(shí)還可以用泰勒展式求數(shù)列的極限。
例3 求■（1-1-■+■-……+（-1）■■）
解作冪級(jí)數(shù)s（x）=■（-1）■■，顯然我們要求的數(shù)列即為冪級(jí)數(shù)s（x）在x=1處的值，又易知級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為（-1，+1】所以s（x）在x=1處的值有意義.，下面求冪級(jí)數(shù)s（x），
兩邊求導(dǎo)則有s（x）=■（-1）■■=■，
兩邊積分有s（x）=■■dt=1n（1+x），
所以■（1-1-■+■-……+（-1）■■）=■（-1）■|x=1=s（1）=ln2
例4 求■（1+1+■+■……+■）
解 因?yàn)閑x的泰勒展式為e■=1+x+■+……+■+……
而ex在x=1時(shí)，e■=1+1+■+■……+■+……
所以■（1+1+■+■……+■）=■■=e■=e
參考文獻(xiàn)：
[1]李大華.大學(xué)數(shù)學(xué)2000題第2版[M].湖北武漢，華中科技大學(xué)出版社，2001
[2]李成章，黃玉民.數(shù)學(xué)分析第4版（上）[M].天津，科學(xué)出版社，1999
[3]劉玉鏈，付沛仁.數(shù)學(xué)分析講義[M].吉林長(zhǎng)春，高等教育出版社，2003
[4]華東師大數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析第3版（上）[M].上海，高等教育出版社，2001
關(guān)鍵詞： 數(shù)列極限 單調(diào)有界定理 迫斂定理 柯西收斂準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限
數(shù)列收斂性問(wèn)題在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中既是難點(diǎn)又是重點(diǎn)，數(shù)列收斂問(wèn)題的判別方法通常有以下幾種：?jiǎn)握{(diào)有界定理、迫斂定理、柯西收斂準(zhǔn)則和兩個(gè)重要極限等.解決問(wèn)題的關(guān)鍵是如何正確理解并選擇合適的方法.本文通過(guò)一些典型例題來(lái)討論數(shù)列的收斂性問(wèn)題.
例1.若x=A，其中A是有限數(shù)、+∞或-∞，則有=A.
證明：當(dāng)A是有限數(shù)時(shí)，由x=A，?坌ε＞0，?堝N，當(dāng)n＞N時(shí)，有|x-A|＜.
因此
-A≤
≤+
＜+?＜+，
其中K=|x-A|+…+|x-A|.
又存在N，當(dāng)n＞N時(shí)，＜.
因此當(dāng)n＞max{N，N}時(shí)，
-A＜+=ε.
當(dāng)A=+∞時(shí)，由x=+∞，?坌M＞0，?堝N，當(dāng)時(shí)n＞N，因此x＞3M.
因此
=+
＞+?3M，
其中K=x+x+…+x.由于0，1（n∞），
從而存在N，當(dāng)n＞N時(shí)，＜，＞.故
＞?3M-M=M.
類似可證A=-∞情形.
例2.若x=A，且x＞0（n=1，2，3，…），則=A.
證明：由x=A，且x＞0（n=1，2，3，…），得A≥0.
當(dāng)A＞0時(shí)，lnx=lnA，由例1，
（lnx+lnx+…+lnx）=lnA.
從而=e=e=A.
當(dāng)A=0時(shí)，x=-∞，故
（lnx+lnx+…+lnx）=-∞，
于是=e=0.
注1：例1和例2的逆命題不成立.
例如數(shù)列{x}，其中x=（-1）（n=1，2，3…）.易知=0，但是極限x不存在.對(duì)于數(shù)列{y}，其中y=n（n=1，2，3…）.容易看出=1，但是極限y不存在.
定理1：設(shè)x＞0（n=1，2，3…），滿足=A（A是有限或無(wú)窮），則有=A.
證明：不妨設(shè)
y=x，y=，…，y=，….
由例2得：
=y，
所以
==y===A.
例3.證明：=e
證明：設(shè)x=，則
=?=（1+）=e.
由定理1得
==e
例4.求極限
解：令x=，則
=?=（1+）=.
由定理1得
==.
定理2：若x=A，y=B，則=AB.
證明：設(shè)y-B=σ，則由y=B知，σ=0.從而
=
=b+
由例1知b=AB，下證=0，
已知x=A，故數(shù)列{x}有界，即?堝M＞0，?坌n∈N，有|x|≤M.
又σ=0.即?坌ε＞0，?堝m∈N，?坌n＞m，|σ|＜ε.
取定自然數(shù)m，易知有|xσ+xσ+…+xσ|上界，設(shè)它的上界是K.
已知=0，故對(duì)上述的ε＞0，?堝k∈N（k＞m），?坌n＞k，有＜ε，從而有：
-0≤+
≤+
＜+ε≤Kε+ε=（K+1）ε，
即=0，
因此=AB.
例5.求極限
解：令x=1，y=則x=1，y=1.
于是
==1?1=1.
本文通過(guò)典型例題考查了數(shù)列極限的一些特點(diǎn)，并討論數(shù)列不滿足單調(diào)有界定理、迫斂定理、柯西收斂準(zhǔn)則和兩個(gè)重要極限等條件時(shí)的極限問(wèn)題.雖然數(shù)列收斂性問(wèn)題比較復(fù)雜，但只要通過(guò)適當(dāng)?shù)湫皖}目的學(xué)習(xí)，仔細(xì)體會(huì)，認(rèn)真總結(jié)，就可以達(dá)到深刻理解和靈活應(yīng)用各種方法的目的.
參考文獻(xiàn)：
［1］［美］Walter Rudin.數(shù)學(xué)分析原理.機(jī)械工業(yè)出版社，2009.
［2］裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問(wèn)題與方法.高等教育出版社，1993.
［3］龔冬保等.高等數(shù)學(xué)典型題.西安交通大學(xué)大學(xué)出版社，1996.
【中圖分類號(hào)】G633.5 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2016）10-0144-03
第一課時(shí)：
教學(xué)目的：使學(xué)生初步認(rèn)識(shí)極限的概念
一、事物的極限：極限就是極大限制值、極小限制值（至于為什么是這樣？可詳見(jiàn)本刊2016年9月期的“從事物的極限到函數(shù)的極限”一文。）
1、例如，我們行在一座橋的前面，看見(jiàn)一個(gè)交通警示牌，牌上寫(xiě)著20t，這是什么意思呢？這是告訴機(jī)動(dòng)車司機(jī)們經(jīng)過(guò)橋時(shí)，機(jī)動(dòng)車的車重和載物不要超過(guò)20噸重，超過(guò)了就可能引起橋的破壞性事故。20t是該橋的負(fù)荷極大限制值。
2、例如，某中學(xué)高中一年級(jí)去年招收新生的入學(xué)的分?jǐn)?shù)線是500分，這是該校高中一年級(jí)新生入學(xué)的考試成績(jī)的極小限制分。
總之，含有變量的事物在某種條件下變化著，它的極大限制值或者極小限制值，就叫做該事物的極限（橫線以上的字是在教師指導(dǎo)下由學(xué)生填寫(xiě)，以下同。）。
三、數(shù)列的極限：
（一）數(shù)列極限的定義（什么叫做數(shù)列的極限？）
仿照事物的極限得到如下：
數(shù)列極限第一種定義：數(shù)列f（n）在項(xiàng)數(shù)n無(wú)限制的增大時(shí)，它的極大限制值或者極小限制值就叫做數(shù)列的極限。
首先考查例題乙里數(shù)列f（n）與數(shù)1的關(guān)系：
我們從例題乙的圖形可以看到：數(shù)列f（n）隨著項(xiàng)數(shù)n的無(wú)限增大，也是越來(lái)越靠近數(shù)1的（你總不能說(shuō)f（n）是越來(lái)越遠(yuǎn)離數(shù)1的吧？），但是卻隔著一個(gè)大空白處。f（n）的極小限制不是1，這樣一來(lái)
然后研究數(shù)列f（n）與數(shù)3的關(guān)系：
從例題甲的情況看，數(shù)列f（n）是越來(lái)越緊靠近數(shù)3，而且是無(wú)空白的緊靠近。數(shù)3對(duì)f（n）來(lái)說(shuō)，是f（n）的極小限制值，所以數(shù)3是f（n）的極限。
于是得出例題甲結(jié)論：f（n）無(wú)空白處的緊靠近于數(shù)
現(xiàn)在把兩個(gè)結(jié)論并排放在一起如下：
例題甲結(jié)論：f（n）無(wú)空白（無(wú)空隙）的緊靠于數(shù)
例題乙結(jié)論：f（n）有空白（有空隙）的靠近于數(shù)1
綜合上面例題甲和例題乙的無(wú)空白和有空白靠近的兩種情況對(duì)比與襯托，我們可以得到：數(shù)列極限的第二種定義是：數(shù)列f（n）在n無(wú)限制的增大的情況下，f（n）無(wú)空白（無(wú)空隙）（無(wú)縫隙）的緊靠數(shù)A，那么A就叫做f（n）的極限（記號(hào)為：f（n）=A），否則，A就不是f（n）的極限。
上述數(shù)列極限的第二種定義仍然有缺點(diǎn)，它不含數(shù)學(xué)式子，也不能參與數(shù)學(xué)的計(jì)算，所以還得繼續(xù)研究產(chǎn)生出一個(gè)新的定義。
我們?cè)龠M(jìn)一步研究如下：
四、f（n）無(wú)空白（無(wú)空隙）緊靠于數(shù)3，在數(shù)學(xué)上是什么意思呢？
我們?cè)谇懊鎸?duì)照例題甲及其圖形，說(shuō)過(guò)數(shù)列f（n）是無(wú)空白的緊靠數(shù)3的，那里只是直觀觀察呀，還要進(jìn)一步用數(shù)學(xué)式子來(lái)驗(yàn)證一下“無(wú)空白緊靠”在數(shù)學(xué)上這個(gè)純樸的概念。于是我們繼續(xù)考查上述數(shù)列f（n）與數(shù)3之間無(wú)空白緊靠近數(shù)3的現(xiàn)象。
以直線y=3為一條邊，任意小的長(zhǎng)為寬度（比如：0.07為寬度）向上作一個(gè)足夠長(zhǎng)的長(zhǎng)方形的一個(gè)長(zhǎng)條形，看看這個(gè)長(zhǎng)方形區(qū)域內(nèi)存在f（n）的情況。
回答：（1）龍頭項(xiàng)是 f（[ ]）
（2）龍身是f（[ ]） 以后各項(xiàng)
（3）指導(dǎo)學(xué)生填寫(xiě)：從f[ ]項(xiàng)起及其以后各項(xiàng)等等，到數(shù)3的距離皆小于L。
（4）不管上述長(zhǎng)方形寬度多么小，多么窄，也就是L任意小，龍頭那個(gè)項(xiàng)和其后各項(xiàng)形成的龍身結(jié)合在一起組成的無(wú)限長(zhǎng)的長(zhǎng)龍解，都被套在這個(gè)長(zhǎng)條形里。它們到數(shù)3的距離皆小于L，這是多么美麗而神秘的現(xiàn)象。
至此，我們得到例題甲的論點(diǎn)是：f（n）無(wú)空白緊靠于數(shù)3f（n）的極限是3 |f（n）-3|
二、下面是考查例題乙f（n）有空白的靠近數(shù)1的情況。以數(shù)1為一條邊，寬度為L(zhǎng)，L為任意小的正數(shù)。向上作一個(gè)長(zhǎng)方形無(wú)限長(zhǎng)的長(zhǎng)條形，看看此長(zhǎng)條形能套住f（n）的哪些項(xiàng)呢？
第三課時(shí)：
教學(xué)目的：兩個(gè)數(shù)列和、差、積、商的極限
一、數(shù)列極限定義的簡(jiǎn)寫(xiě)形式：
數(shù)列極限定義（常用定義）
已知數(shù)列f（n），又已知數(shù)A，L是一個(gè)任意小的正數(shù)，若數(shù)列f（n）到數(shù)A的距離不等式|f（n）-A|
六、作業(yè)（略）
請(qǐng)各位老師多指導(dǎo)和認(rèn)可我的這個(gè)創(chuàng)意。把極限下放到初二或者高一年級(jí)是完全可行的。至于較復(fù)雜的函數(shù)的極限定義仍放在大學(xué)一年級(jí)進(jìn)行。
【關(guān)鍵詞】極限；幾何意義；數(shù)列
【基金項(xiàng)目】國(guó)家自然科學(xué)基金（11501561）；中國(guó)礦業(yè)大學(xué)基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)項(xiàng)目（2014QNA58）.
一、引言
極限思想貫穿整個(gè)高等數(shù)學(xué)始終，是高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，高等數(shù)學(xué)中的許多概念及運(yùn)算法則都是建立在極限的基礎(chǔ)之上，因此，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，使學(xué)生充分理解極限的定義、內(nèi)涵和性質(zhì)等是十分必要的.而通過(guò)幾何意義體現(xiàn)出的生動(dòng)活潑的極限思想，能夠提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，加深學(xué)生對(duì)極限本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，使得這一概念不再僅僅是一種形式化的表達(dá).
在教學(xué)過(guò)程中，首先，從幾何意義的角度給出直觀的幾何解釋，提起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使得學(xué)生對(duì)概念或性質(zhì)等有個(gè)直觀的印象和初步的理解，然后，進(jìn)行嚴(yán)格的理論推導(dǎo)，可使學(xué)生理解起來(lái)相對(duì)容易，更加容易掌握定義和性質(zhì)的內(nèi)涵，會(huì)收到較好的教學(xué)效果.
二、數(shù)列極限的定義和幾何意義
（一）定義（ε-N語(yǔ)言）[1]
對(duì)于數(shù)列{xn}及常數(shù)a，ε>0（無(wú)論多么小），總存在正整數(shù)N，當(dāng)n>N時(shí)，恒有|xn-a|
（二）幾何意義
在定義中|xn-a|
隨著n的增大，xn代表的點(diǎn)越來(lái)越“密集”在點(diǎn)a的附近.
結(jié)合數(shù)列的幾何意義可以更加有效地向?qū)W生講解數(shù)列極限的有界性、唯一性、保號(hào)性以及數(shù)列子列的收斂性等性質(zhì).
三、從幾何意義的角度理解數(shù)列極限的性質(zhì)
（一）有界性：如果數(shù)列{xn}收斂，則數(shù)列{xn}一定有界
分析設(shè) limn∞xn=a，根據(jù)上述幾何意義，對(duì)于任一給定的正數(shù)ε，一定都有正整數(shù)N，數(shù)列{xn}從第N+1項(xiàng)開(kāi)始都落在區(qū)間（a-ε，a+ε）里面，不妨取ε=1，那么{xn}從某一項(xiàng)開(kāi)始都落在區(qū)間（a-1，a+1）里面，剩下的有限項(xiàng)自然是有界的，取一個(gè)既包含區(qū)間（a-1，a+1）又包含剩下的有限多項(xiàng)的閉區(qū)間[-M，M]即可證明結(jié)論成立.
（二）唯一性：如果數(shù)列{xn}收斂，則極限唯一
（四）數(shù)列子列的收斂性：如果數(shù)列{xn}收斂于a，則它的任一子列{xnk}都收斂于a
分析設(shè) limn∞xn=a，根據(jù)極限的幾何意義，對(duì)于任一給定的正數(shù)ε，都存在正整數(shù)N，數(shù)列{xn}從第N+1項(xiàng)開(kāi)始都落在^間（a-ε，a+ε）里面，在區(qū)間（a-ε，a+ε）外面只有數(shù)列{xn}中的有限項(xiàng)，而{xnk}作為{xn}的子列，自然也只有有限項(xiàng)落在區(qū)間（a-ε，a+ε）外面，于是可以找到正整數(shù)N*，使得{xnk}從第N*+1項(xiàng)開(kāi)始都落在區(qū)間（a-ε，a+ε）里面，這就說(shuō)明{xnk}同樣收斂于a.
對(duì)于函數(shù)f（x）的極限，可以類似地討論其幾何意義并從幾何意義的角度分析其性質(zhì)，這里就不再累述.
四、運(yùn)用幾何意義分析問(wèn)題并尋找證題思路
部分關(guān)于極限的證明題，同樣可以從幾何意義的角度來(lái)理解，從而找到解決問(wèn)題的正確思路.
分析因?yàn)?limk∞x2k-1=a且 limk∞x2k=a，根據(jù)幾何意義可知，對(duì)于任一給定的正數(shù)ε，可以找到共同的正整數(shù)N，數(shù)列{x2k-1}和{x2k}均從第N+1項(xiàng)開(kāi)始都落在區(qū)間（a-ε，a+ε）里面，在區(qū)間（a-ε，a+ε）外面只有{x2k-1}和{x2k}中的有限項(xiàng)，因此，在區(qū)間（a-ε，a+ε）外面必然只有數(shù)列{xn}中的有限項(xiàng)，這就說(shuō)明了{(lán)xn}也是收斂于a.
在高等數(shù)學(xué)中，類似的問(wèn)題還有很多，例如，導(dǎo)數(shù)[3]、微分中值定理、定積分等等，均有其幾何意義，從幾何直觀出發(fā)對(duì)相應(yīng)的問(wèn)題進(jìn)行分析可以加深對(duì)概念或問(wèn)題內(nèi)涵的理解，使得抽象復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得形象直觀，在教學(xué)中合理運(yùn)用這些幾何意義，不僅能夠使得教師的教學(xué)活動(dòng)事半功倍，更能提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.
【參考文獻(xiàn)】
[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)：上冊(cè)[M].北京：高等教育出版社，2007.
極限是微積分的一個(gè)重要概念，是貫穿微積分的一條主線，極限的計(jì)算又是學(xué)好微積分的重要前提條件。正因?yàn)閿?shù)學(xué)之美妙不可言，數(shù)學(xué)中解題方法的多樣性更是引人入勝，許多人都在探索著高等代數(shù)中求極限的方法并有所成效。在前人的基礎(chǔ)之上我對(duì)求極限的方法作了進(jìn)一步的歸納總結(jié)，希望能讓讀者從中受益，能讓初學(xué)者懂得將靜態(tài)的、內(nèi)隱的教學(xué)規(guī)律轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)的、外顯的探索性的數(shù)學(xué)活動(dòng)，從而對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的認(rèn)知發(fā)生一個(gè)“質(zhì)”的飛躍。
一、由定義求極限
極限的本質(zhì)――既是無(wú)限的過(guò)程，又有確定的結(jié)果。一方面可從函數(shù)的變化過(guò)程的趨勢(shì)抽象得出結(jié)論，另一方面又可從數(shù)學(xué)本身的邏輯體系下驗(yàn)證其結(jié)果。
然而并不是每一道求極限的題我們都能通過(guò)直觀觀察總結(jié)出極限值，因此由定義法求極限就有一定的局限性，不適合比較復(fù)雜的題。
二、利用函數(shù)的連續(xù)性求極限
此方法簡(jiǎn)單易行但不適合于f（x）在其定義區(qū)間內(nèi)是不連續(xù)的函數(shù)，及f（x）在x0處無(wú)定義的情況。
三、利用極限的四則運(yùn)算法則和簡(jiǎn)單技巧求極限
極限四則運(yùn)算法則的條件是充分而非必要的，因此，利用極限四則運(yùn)算法則求函數(shù)極限時(shí)，必須對(duì)所給的函數(shù)逐一進(jìn)行驗(yàn)證它是否滿足極限四則運(yùn)算法則條件。滿足條件者，方能利用極限四則運(yùn)算法則進(jìn)行求之，不滿足條件者，不能直接利用極限四則運(yùn)算法則求之。但是，并非不滿足極限四則運(yùn)算法則條件的函數(shù)就沒(méi)有極限，而是需將函數(shù)進(jìn)行恒等變形，使其符合條件后，再利用極限四則運(yùn)算法則求之。而對(duì)函數(shù)進(jìn)行恒等變形時(shí)，通常運(yùn)用一些簡(jiǎn)單技巧如拆項(xiàng)，分子分母同乘某一因子，變量替換，分子分母有理化等等。
四、利用兩邊夾定理求極限
定理 如果X≤Z≤Y，而limX=limY=A，則limZ=A
兩邊夾定理應(yīng)用的關(guān)鍵：適當(dāng)選取兩邊的函數(shù)（或數(shù)列），并且使其極限為同一值。
注意：在運(yùn)用兩邊夾定理求極限時(shí)要保證所求函數(shù)（或數(shù)列）通過(guò)放縮后所得的兩邊的函數(shù)（或數(shù)列）的極限是同一值，否則不能用此方法求極限。
五、利用兩個(gè)重要極限求極限
六、利用單調(diào)有界原理求極限
單調(diào)有界準(zhǔn)則即單調(diào)有界數(shù)列必定存在極限。使用單調(diào)有界準(zhǔn)則時(shí)需證明兩個(gè)問(wèn)題：一是數(shù)列的單調(diào)性，二是數(shù)列的有界性；求極限時(shí)，在等式的兩邊同時(shí)取極限，通過(guò)解方程求出合理的極限值。
利用單調(diào)有界原理求極限有兩個(gè)難點(diǎn)：一是證明數(shù)列的單調(diào)性，二是證明數(shù)列的有界性，在證明數(shù)列的單調(diào)性和數(shù)列的有界性時(shí)，我們通常都采用數(shù)學(xué)歸納法。
七、利用洛必達(dá)法則求極限
八、利用等價(jià)無(wú)窮小代換求極限
在實(shí)際計(jì)算過(guò)程中利用等價(jià)無(wú)窮小代換法或與其它方法相結(jié)合，不失為一種行之有效的方法，但并非計(jì)算過(guò)程中所有的無(wú)窮小量都能用其等價(jià)的無(wú)窮小量來(lái)進(jìn)行計(jì)算。用等價(jià)無(wú)窮小代換時(shí)，只能代換分子、分母中的乘積因子，而不能代換其中的加減法因子。于是用等價(jià)無(wú)窮小代換的問(wèn)題便集中到對(duì)于分子、分母中的加減法因子如何進(jìn)行x的等價(jià)無(wú)窮小代換這一點(diǎn)上，在利用等價(jià)無(wú)窮小代換的方法求極限時(shí)必須把分子（或分母）看作一個(gè)整體，用整個(gè)分子（或分母）的等價(jià)無(wú)窮小去代換。
九、利用泰勒展式求極限
運(yùn)用等價(jià)無(wú)窮小代換方法求某些極限，往往可以減少計(jì)算量，使問(wèn)題得以簡(jiǎn)化。但一般說(shuō)來(lái)，這種方法僅限于求兩個(gè)無(wú)窮小量是乘或除的極限，而對(duì)兩個(gè)無(wú)窮小量非乘或非除的極限，對(duì)于一些未能確定函數(shù)極限形態(tài)的關(guān)系式，不能用洛必達(dá)法則及等價(jià)無(wú)窮小代換方法，須用泰勒公式去求極限。
關(guān)鍵詞：集列 上極限 下極限 單調(diào)
中圖分類號(hào)：O171 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1007-3973（2012）001-106-02
1 引言
實(shí)變函數(shù)論是數(shù)學(xué)分析中微積分的發(fā)展，在數(shù)學(xué)分析中，人們研究了實(shí)變函數(shù)論中的可微，可積等基本性質(zhì)，隨著微積分的日益發(fā)展，隨著數(shù)學(xué)其他分支和各類實(shí)際問(wèn)題對(duì)微積分要求的提高，人們發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)分析的方法和結(jié)果并不能完全令人滿意。大家知道，黎曼積分是數(shù)學(xué)分析研究的主要內(nèi)容，但是，人們?cè)趯?shí)際運(yùn)算中越來(lái)越感覺(jué)到Riemann積分的缺陷，要擺脫限制，力求更靈活的運(yùn)算，在這種要求下，實(shí)變函數(shù)應(yīng)運(yùn)而生。時(shí)至今日，實(shí)變函數(shù)論已經(jīng)滲入到數(shù)學(xué)的許多分支中，它在各支數(shù)學(xué)中的應(yīng)用成了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)特征，所以凡是想了解并且掌握近代數(shù)學(xué)的人，都應(yīng)該認(rèn)真地學(xué)習(xí)實(shí)變函數(shù)論這門(mén)課程。
實(shí)變函數(shù)論的出發(fā)點(diǎn)是一般點(diǎn)集，粗略地說(shuō)，實(shí)變函數(shù)論是在點(diǎn)集和集合論的觀點(diǎn)與方法滲入數(shù)學(xué)分析的過(guò)程中產(chǎn)生的，用點(diǎn)集的方法研究n維歐氏空間中實(shí)變函數(shù)性質(zhì)的學(xué)科。在實(shí)變中，人們把函數(shù)的分析轉(zhuǎn)化為點(diǎn)集關(guān)系的研究，從而在點(diǎn)集測(cè)度上建立較為完善的積分理論。在實(shí)變函數(shù)中與集列極限有關(guān)的內(nèi)容就要與上、下極限為基礎(chǔ)，可見(jiàn)，集合極限的分析在實(shí)變函數(shù)中意義很重大，在一般的教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生很難真正理解上、下極限的定義及應(yīng)用。因此，為了方便學(xué)生理解，我們先引入數(shù)學(xué)分析中大家常見(jiàn)的數(shù)列上、下極限，類似的提出集列的上下極限以及集列的收斂。結(jié)合實(shí)例，進(jìn)一步闡述上、下極限的實(shí)質(zhì)，最后深入的講解單調(diào)集列的收斂及應(yīng)用。在本文中，我們改進(jìn)了文獻(xiàn)[1]中對(duì)定理1的證明和上下極限的計(jì)算，方法相對(duì)簡(jiǎn)單，并給出定理2的詳細(xì)證明，這在文獻(xiàn)[1][2]中都沒(méi)有提及。
2 上下極限的概念
為了便于理解本節(jié)內(nèi)容，首先回顧一下數(shù)學(xué)分析中所學(xué)的數(shù)列的上、下極限定義，再引出集列的上、下極限。
2.1 回顧：數(shù)列的上、下極限定義
顯然，,則,從而。若,則稱數(shù)列{xn}收斂,將A稱為{xn}的極限,記為。
2.2 集列上、下極限定義
2.2.1 基本定義
定義1[1] 設(shè)A1,A2,…,An,…是任一列集。由屬于上述集列中無(wú)限多個(gè)集的那種元素的全體所組成的集稱為這一集列的上限集或上極限,記為或。
顯然,用數(shù)學(xué)符號(hào)形式化,可表為
定義2[1] 對(duì)集列A1,A2,…,An,…那種除有限個(gè)下標(biāo)外,屬于集列中每個(gè)集的元素全體所組成的集稱為這一集列的下限集或下極限,記為或。
用集合的概念表示如下
。
顯然,。
例1 A1=A3=A5=…{0,1}，A2=A4=A6=…{0}則,.
就像數(shù)列未必有極限,集合序列當(dāng)然也可能沒(méi)有極限。
定義3[1] 若,則稱集列{An}收斂,稱A為{An}的極限,記為。
2.2.2上、下極限的等價(jià)定義
類似于數(shù)列的上、下極限,我們可以定義集列的上、下極限。
定理1 對(duì)于任意一串集合A1,A2,…,An,…,都有
(1) , (2)。
證明：(1)若對(duì)任意的∈,則對(duì)任意的n∈N,存在m≥n,使得∈Am,所以對(duì)任意的n∈N,有,從而.反之,若,則對(duì)任意的n∈N,均有,所以對(duì)任意的n∈N,存在m≥n,使得∈Am,從而即。
(2)若對(duì)任意的,則存在n∈N,對(duì)任意的m≥n,使得∈Am,所以存在n∈N,均有,從而。反之,若,存在n∈N,均有,所以存在n∈N,對(duì)任意的m≥n,使得∈Am,從而.即。
例2 設(shè)A2m+1=[0,2－],m=0,1,2,…，A2m=[0,1+],m=1,2,3,…
求,。
解:,
。
例3 設(shè)An=[0,1+],n=1,2,3，…，求,。
解:,
。
說(shuō)明：在例3中,集列{An}收斂,且收斂于極限集[0,1].
2.3 單調(diào)集列的定義及其收斂的判定
定義4[1] 如果集合序列A1,A2,…,An,…,（簡(jiǎn)記為{An}）單調(diào)上升（下降）,即An An+1（相應(yīng)地An An+1）對(duì)一切n都成立,則稱集列{An}為增加(減少)集列.增加與減少的集列統(tǒng)稱為單調(diào)集列.
定理2 單調(diào)集列是收斂的,且
(1)若{An}增加,則。
(2)若{An}減少,則。
證明：(1)若{An}增加,則根據(jù)定理1，即上下極限的等價(jià)定義,,
,
則,則集列{An}收斂,
且。
(2)若{An}減少,則,
,則,則集列{An}收斂,且。
3 上下極限的應(yīng)用
定理3[1] 設(shè){si}是一列遞增的可測(cè)集合：s1 s2 … sn …,令,則。
定理4[1] 設(shè){si}是一列遞減的可測(cè)集合:s1 s2 … sn …,令,則當(dāng)時(shí),。
說(shuō)明：從定理3和定理4中，可知：
對(duì)于單增的可測(cè)集列，
對(duì)單減的可測(cè)集列,且當(dāng)時(shí),
。
參考文獻(xiàn)：
關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想;化歸思想;課程
中圖分類號(hào)：G712 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2015）19-0199-02
一、數(shù)學(xué)課程對(duì)數(shù)學(xué)思想要高度重視
數(shù)學(xué)教學(xué)的根本任務(wù)就是促進(jìn)學(xué)生在不斷學(xué)習(xí)的過(guò)程中逐漸積累數(shù)學(xué)觀念系統(tǒng)。一般來(lái)說(shuō)，在教法上應(yīng)突出滲透性原則。因?yàn)榻滩牟豢赡芗葘?xiě)知識(shí)又寫(xiě)數(shù)學(xué)思想方法，后者是蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)之中的。因此，教師在教學(xué)全過(guò)程中其思維結(jié)合學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)特征，將數(shù)學(xué)概念、公式、定理、法則等內(nèi)容中蘊(yùn)含著的數(shù)學(xué)思想方法挖掘出來(lái)，經(jīng)過(guò)精心設(shè)計(jì)的教學(xué)過(guò)程，在教學(xué)中有意識(shí)潛移默化（不是講一段知識(shí)內(nèi)容，再講一段所用的數(shù)學(xué)思想方法）地引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會(huì)蘊(yùn)含在其中的數(shù)學(xué)思想和方法，將能有效提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。
二、化歸思想方法概述
1.化歸思想方法的基本定義?；瘹w思想方法就是把待求解的問(wèn)題A，通過(guò)某種轉(zhuǎn)化過(guò)程，歸結(jié)到一類已經(jīng)解決的問(wèn)題或若干問(wèn)題Bn，借此來(lái)獲得問(wèn)題的解答?；瘹w思想方法又稱化歸原則，是數(shù)學(xué)方法中重要的基本方法之一，是用數(shù)學(xué)思考和解決問(wèn)題的基本原則。一般模式如圖2所示。
2.化歸思想的主要特點(diǎn)。數(shù)學(xué)問(wèn)題中的化歸思想應(yīng)用有著諸多特點(diǎn)，主要包括重復(fù)性、層次性以及多向性。（1）重復(fù)性。化歸思想的重復(fù)性特點(diǎn)主要體現(xiàn)在具體的解題過(guò)程中，往往一個(gè)問(wèn)題需要利用該方法多次，重復(fù)使用以后才能得出具體的結(jié)果。例如：有不等式1> ，求解x。解答這道題目時(shí)，首先要利用化歸思想將不等號(hào)左邊的1移到右邊來(lái)，然后，將分式轉(zhuǎn)換成整式。整個(gè)過(guò)程中，化歸思想被應(yīng)用了兩次。通常情況下，求解數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，題目越難越復(fù)雜，需要應(yīng)用化歸方法的次數(shù)也就越多。（2）層次性。從不同的層次上對(duì)化歸思想進(jìn)行定義，其意義各不相同。一方面，從微觀角度上看，化歸思想是一種用于解答數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法;從宏觀角度上看，化歸思想可以看成一種數(shù)學(xué)方面的思想。另一方面，從狹義角度分析，化歸思想可以充分調(diào)動(dòng)發(fā)掘人們的已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn);從廣義的角度上分析，化歸思想能夠?qū)?shù)學(xué)學(xué)科的各個(gè)分支有效連接起來(lái)。（3）多向性。數(shù)學(xué)問(wèn)題在轉(zhuǎn)化期間，往往可以選擇多種形式，包括內(nèi)部結(jié)構(gòu)以及外部形式、外在條件或是已有結(jié)論，采用多種轉(zhuǎn)化方法、多種轉(zhuǎn)化對(duì)象以及多種轉(zhuǎn)化目標(biāo)。由于不同的學(xué)生的數(shù)學(xué)能力也各不相同，面對(duì)同樣的題目，很容易產(chǎn)生不同的化歸對(duì)象，進(jìn)而充分體現(xiàn)出了化歸思想的多向性。
3.化歸思想的基本原則。（1）熟悉原則。一個(gè)問(wèn)題的解決中，最常用的方法就是將較生疏的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成相對(duì)熟練的問(wèn)題，繼而啟動(dòng)自身所掌握的知識(shí)解答問(wèn)題。比如：假定數(shù)列{an}符合下列條件，a1=1，而an+1=2an+3，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解答這道題目時(shí)，我們可以直接看出想要求得的數(shù)列并不是自己比較熟悉的等差或是等比數(shù)列，然而，通過(guò)利用化歸思想，構(gòu)造一個(gè)新的數(shù)列，令其滿足等差或等比數(shù)列條件，便可以求得原題的答案了。（2）簡(jiǎn)單原則。化歸的主要目的就是將相對(duì)復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)單化的轉(zhuǎn)化，所謂的簡(jiǎn)單不一定代表問(wèn)題結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，也可以表示對(duì)比原問(wèn)題，轉(zhuǎn)化以后的處理方法更加簡(jiǎn)單。（3）具體原則。數(shù)學(xué)的抽象性非常強(qiáng)，想要將抽象化的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成能夠解決的問(wèn)題，應(yīng)該向著具體化的方向轉(zhuǎn)化。具體化針對(duì)的是原來(lái)的題目，而自身已經(jīng)熟練掌握的知識(shí)點(diǎn)都可以當(dāng)做具體化歸素材。
三、化歸思想在極限問(wèn)題中的應(yīng)用
挖掘輔助函數(shù)法、泰勒級(jí)數(shù)、積分法求極限三個(gè)方面化歸思想的實(shí)際應(yīng)用，積極指向數(shù)學(xué)活動(dòng)，與之相伴隨，教育價(jià)值陡增，回歸培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的根本途徑。
1.輔助函數(shù)法求極限。輔助函數(shù)法求極限，引入的輔助函數(shù)基本上多為學(xué)生比較熟悉的函數(shù)或是固定的專用函數(shù)。其中比較常見(jiàn)的有：數(shù)列函數(shù)轉(zhuǎn)換、極限級(jí)數(shù)轉(zhuǎn)換，引入泰勒公式等。
（1）利用化歸思想將數(shù)列轉(zhuǎn)化為函數(shù)。將數(shù)列的極限選用海涅定理可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極限。
例1：已知an= ，求
解析：由海涅定理可以將所求 轉(zhuǎn)化為 ，即 x ，隨后，便可以利用已經(jīng)掌握的羅比達(dá)法則進(jìn)行極限求解。
例2：利用函數(shù)極限證明柯西準(zhǔn)則具備充分性，有
f（x）在一個(gè)空心鄰是存在的，設(shè)空心鄰為U0（x0，δ′），那么在任意ε>0時(shí)，必然存在某個(gè)正數(shù)δ<δ′，令U0中的x′、x″有f（x′）-f（x″）<ε，也就是指 f（x）是存在的。
解析：首先，假設(shè)存在某個(gè)數(shù)列{xn}在U0（x0，δ′）中，且有 xn=x0，那么對(duì)于給出的ε來(lái)說(shuō)，必然存在對(duì)應(yīng)的δ，且δ<δ′，且U0中的x′、x″有f（x′）-f（x″）<ε。通過(guò)柯西準(zhǔn)則可知，必然存在某正數(shù)N，針對(duì)所有的m，n來(lái)說(shuō)，只要滿足xm，xn在U0中，那么必然有f（xm）-f（xn）<ε。利用柯西準(zhǔn)則可以確定，數(shù)列{f（xn）}的極限是存在的，將該數(shù)列的極限記為A。假設(shè)存在一數(shù)列{yn}在U0（x0，δ′）上也能滿足
yn=x0，表示 yn是存在的，可以記為B，那么B=A。再假設(shè)一數(shù)列{zn}：x1，y1，x2，y2，…，xn，yn…，顯而易見(jiàn)，數(shù)列{zn}在U0（x0，δ′）上也能滿足 zn=x0.所以，我們可以判斷{f（zn）}也是收斂的，其子列的極限是相同的。因此通過(guò)歸結(jié)的原則便可以得出 f（x）=A.
（2）極限和級(jí)數(shù)之間完成轉(zhuǎn)化，利用泰勒公式。函數(shù)的極限是數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，對(duì)于一些復(fù)雜函數(shù)，需要轉(zhuǎn)化問(wèn)題，泰勒公式在數(shù)學(xué)極限問(wèn)題中也比較常用，適用于不同的題型。
例1：求解 [1- + - +…+（-1）n-1 ].
解析：從題目中分析在求解錯(cuò)項(xiàng)級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)之和，其形式與泰勒展開(kāi)式中f（x）=ln（1+x）的展開(kāi)形式較像，所以該問(wèn)題可以通過(guò)級(jí)數(shù)解決，即將題目劃歸為泰勒展開(kāi)式的形式。
解：已知當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)lnx的泰勒展開(kāi)式為：
f（x）=lnx=（x-1）- + - +…+（-1）n-1 +…
所以有：ln（x+1）=x- + - +…+（-1）n-1 +…
則當(dāng)x為1時(shí)，有l(wèi)n（x+1）=ln（1+1）=ln2
即原極限為ln2.
2.積分法求極限。定積分是一種特殊類型的極限，定積分是一種較為復(fù)雜的和式求極限，能夠?qū)⒆兞喀怂械淖宰冞^(guò)程完全反映出來(lái)，在同一個(gè)區(qū)間可以進(jìn)行無(wú)數(shù)種劃分，同時(shí)，針對(duì)每一種劃分方法，也可以找出無(wú)數(shù)種介點(diǎn)取法，相應(yīng)的和式更是存在無(wú)數(shù)個(gè)值。但是，從本質(zhì)上看，積分極限和函數(shù)極限、數(shù)列極限依然存在著共同點(diǎn)。
例1：求極限 。
解析：這個(gè)問(wèn)題是求有限和的極限值，可以使用恒等變形的方式將它轉(zhuǎn)化成一個(gè)定積分，得到極限。
解：假設(shè)存在an= =
那么有l(wèi)nan= ln（1+ ），通過(guò)定積分的定義可以得出：
lnan= ln（1+ ）= ln（1+x）dx=ln
所以，原極限值為ln 。
四、結(jié)語(yǔ)
未學(xué)的、復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題，通過(guò)轉(zhuǎn)化，歸結(jié)為已學(xué)的或易解決的問(wèn)題，這是化歸思想的功能。也就是說(shuō)，化歸轉(zhuǎn)化方法使舊的知識(shí)向新的知識(shí)邁進(jìn)，使低一級(jí)知識(shí)向高一級(jí)知識(shí)縱深發(fā)展。極限的意義在化歸思想的杠桿放大作用下，向?qū)?shù)、連續(xù)、定積分、級(jí)數(shù)等領(lǐng)域發(fā)展，化歸思想實(shí)現(xiàn)了知識(shí)交融，從一個(gè)領(lǐng)域向另一個(gè)領(lǐng)域轉(zhuǎn)化，得到更多新的理論，轉(zhuǎn)化正是數(shù)學(xué)思想方法的核心與精髓。
參考文獻(xiàn)：
[1]周炎龍.化歸思想在高中數(shù)學(xué)中的體現(xiàn)和教學(xué)[D].鄭州：河南師范大學(xué)，2013.
【關(guān)鍵詞】數(shù)列；數(shù)學(xué)思想；中學(xué)數(shù)學(xué)
中考數(shù)學(xué)中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)一些找規(guī)律的題目，這類考題題目新穎、變化莫測(cè)，往往屬于開(kāi)放性題目的范疇，因此，很多中學(xué)生在遇到這類題目的時(shí)候會(huì)變得緊張、擔(dān)憂，進(jìn)而影響了題目的正常思考和作答。經(jīng)分析，中考數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的找規(guī)律題目就是數(shù)列原型，教師要善于分析這些數(shù)列題目中所滲透的數(shù)學(xué)思想，教導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思維解答數(shù)列題目的技巧和方法，一旦中學(xué)生能夠有效把握這些思維方法，那么其中考成績(jī)往往會(huì)取得明顯的提高。
一、數(shù)列中所包含著函數(shù)的思想
（1）數(shù)列中體現(xiàn)著函數(shù)的思想。數(shù)列其實(shí)是函數(shù)的一種離散式表達(dá)，往往函數(shù)是具有自變量和因變量共同作用產(chǎn)生的圖形，而數(shù)列往往體現(xiàn)了當(dāng)把自變量取成整數(shù)的情況，因此在中學(xué)教學(xué)中要善于給學(xué)生滲透數(shù)列中所包含著的函數(shù)的思想。
例如，在求解一些數(shù)列題目的時(shí)候，我們往往要將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)形式，注意數(shù)列的通項(xiàng)公式其實(shí)就是函數(shù)表達(dá)式，而數(shù)列的序號(hào)表示的函數(shù)的定義域，當(dāng)研究數(shù)列的單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì)的時(shí)候，往往將數(shù)列轉(zhuǎn)化為函數(shù)來(lái)研究。
（2）數(shù)列中常常與極限相轉(zhuǎn)化的思想。數(shù)列中的“n”往往代表著無(wú)限個(gè)自然數(shù)，這就表示數(shù)列彰顯著極限的含義，因此，學(xué)生在求解數(shù)列的題目的時(shí)候，一定要注意把握數(shù)列求解可以轉(zhuǎn)化成為極限來(lái)求。
（3）數(shù)列常常體現(xiàn)了觀察與構(gòu)造的數(shù)學(xué)思維。與其說(shuō)是構(gòu)造或者觀察的數(shù)學(xué)思維，我們不妨更加簡(jiǎn)單地認(rèn)為數(shù)列能夠鍛煉學(xué)生的觀察能力和構(gòu)造性思維，這是不言而喻的，因?yàn)樵诤芏嘀袑W(xué)的找規(guī)律的題目中，總是開(kāi)放性地設(shè)置很多的圖形或者公式，需要學(xué)生通過(guò)自己的觀察來(lái)自己總結(jié)出相應(yīng)的數(shù)列通項(xiàng)公式，這對(duì)于提高中學(xué)生的建構(gòu)水平和空間想象力是非常有幫助的。
例如，在用圓圈拼圖的時(shí)候，有如下圖所示的規(guī)律：
請(qǐng)大家計(jì)算下接下來(lái)的圖形用到的圓圈是多少個(gè)？
這個(gè)例子顯然就是一個(gè)數(shù)列的題目，然而我們往往在思考其構(gòu)造的時(shí)候會(huì)發(fā)現(xiàn)，這是一個(gè)簡(jiǎn)單的自然數(shù)相加的構(gòu)造模式，自然而然就會(huì)想到接下來(lái)要算的就是1+2+3+4+5=15。
（4）數(shù)列常常與不等式內(nèi)容相結(jié)合。不等式在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中是非常重要的知識(shí)點(diǎn)之一，數(shù)列的題型與不等式相結(jié)合往往能夠提高題目的難度和深度，這也為學(xué)生的解題帶來(lái)了困難，因此，教師在講解這部分知識(shí)的時(shí)候要注重列舉典型的例題，幫助學(xué)生體會(huì)當(dāng)數(shù)列與不等式相結(jié)合的考題出現(xiàn)時(shí)，要掌握運(yùn)用放縮法求解。
例如，已知，證明：任意的≥
這里的求解就可以根據(jù)放縮法的使用達(dá)到證明目的。
（5）數(shù)列常常體現(xiàn)著分類討論的思想。分類討論往往在數(shù)學(xué)中體現(xiàn)著嚴(yán)密、謹(jǐn)慎的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)理念，因此在數(shù)列的學(xué)習(xí)過(guò)程中，教師要時(shí)刻要求學(xué)生關(guān)注數(shù)列最重要的“n”的范圍，往往在求解的過(guò)程中，會(huì)將n進(jìn)行分類討論，保證題目的嚴(yán)密與正確。
（6）數(shù)列常常體現(xiàn)著猜測(cè)的思想。數(shù)學(xué)的各種思維中猜測(cè)思維占據(jù)著非常重要的地位，這是由于猜想是創(chuàng)新思維的源泉，也是數(shù)學(xué)知識(shí)最終的根本來(lái)源，沒(méi)有猜想就沒(méi)有后來(lái)我們現(xiàn)在學(xué)習(xí)的各種數(shù)學(xué)知識(shí)，因此，數(shù)列往往能夠促進(jìn)中學(xué)生提高創(chuàng)新思維。
例如，設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}，其中它滿足如下兩點(diǎn)：a1=2和，如果a2=1-4，求a3，a4，并猜想a2008的值（不需證明）；
解：由于a1=2，a2=2-2
由此有
故猜想{an}的通項(xiàng)為。
二、研究數(shù)列所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想的重要意義
（1）通過(guò)研究數(shù)列所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想，能為教師的教學(xué)提供明確的方向。教師在教學(xué)過(guò)程中，明確了重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生的哪方面的數(shù)學(xué)思維意識(shí)的目標(biāo)，能收到意想不到的教學(xué)成果。
（2）通過(guò)研究數(shù)列所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想，大大提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)熱情。隨著教師不斷訓(xùn)練，學(xué)生在認(rèn)識(shí)數(shù)列的同時(shí)數(shù)學(xué)思維提高，與此同時(shí)，直接激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)列的熱情，讓學(xué)生在上數(shù)學(xué)課時(shí)充滿激情，有效地提高了課堂效率。
（3）通過(guò)研究數(shù)列所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生對(duì)數(shù)列有了更深刻的認(rèn)識(shí)，為高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)打下扎實(shí)的基礎(chǔ)。
以上所述，都是根據(jù)筆者在多年中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)第一線工作中，對(duì)中學(xué)數(shù)列的思考和總結(jié)。文章通過(guò)列舉簡(jiǎn)要例子的方式概括了中學(xué)數(shù)列學(xué)習(xí)過(guò)程中，所體現(xiàn)的基本數(shù)學(xué)思想，包括函數(shù)思想、不等式知識(shí)、極限知識(shí)、分類討論思想、猜測(cè)想象、建構(gòu)思想等等，盡管如此，學(xué)生對(duì)于數(shù)列的認(rèn)識(shí)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，教師一定要繼續(xù)在平時(shí)的數(shù)學(xué)課堂上，為學(xué)生補(bǔ)充大量的數(shù)列知識(shí)題目，提高學(xué)生解答數(shù)列題目的正確率。
參考文獻(xiàn)：
關(guān)鍵詞: 極限 習(xí)題課 求極限的方法
極限是微積分課程的一個(gè)重要內(nèi)容,是微積分課程開(kāi)始部分的重點(diǎn)和難點(diǎn)部分.在某種程度上說(shuō),能否學(xué)好這部分內(nèi)容直接關(guān)系到微積分學(xué)習(xí)的好壞,將影響到該課程的學(xué)習(xí)效果.
由于該部分的概念抽象、公式繁多,學(xué)生往往會(huì)碰到聽(tīng)懂了,但公式不會(huì)用、不會(huì)做題的問(wèn)題,因此安排習(xí)題課必不可少.通過(guò)組織有效的習(xí)題,不僅能夠強(qiáng)調(diào)重點(diǎn)內(nèi)容,而且能夠?qū)⒄麄€(gè)章節(jié)內(nèi)容貫穿起來(lái),體現(xiàn)體系的完整性,使學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容的認(rèn)識(shí)有質(zhì)的飛躍.
習(xí)題課要密切配合課本內(nèi)容,著重考查學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的掌握情況,起到及時(shí)反饋鞏固所學(xué)知識(shí)的作用.同時(shí)習(xí)題的選擇要有一定的代表性、啟發(fā)性,能做到以基礎(chǔ)知識(shí)為出發(fā)點(diǎn),輻射到所學(xué)知識(shí)點(diǎn).給學(xué)生講解時(shí)要分析透徹,授之以“漁”而非授之以“魚(yú)”.下面是筆者總結(jié)的求極限的方法.
一、利用極限運(yùn)算法則求極限
恒等變形法——對(duì)于不能直接利用極限四則運(yùn)算法則的,可通過(guò)一定的恒等變形再利用法則求解,包括以下三種情況.
(1)■型,可因式分解;分子分母有理化;三角恒等式.(2)■型,分子分母同除以它們代數(shù)式中最高階無(wú)窮大因子.(3)∞-∞型,可通分或有理化轉(zhuǎn)為■型或■型.
例1:■(■-■)
解:分析:屬于∞-∞型,不能直接利用極限的四則運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算,必須先將函數(shù)變形.
原式=■■
=■■=■■=■=1
二、利用單調(diào)有界準(zhǔn)則證明或求極限
方法:利用單調(diào)有界數(shù)列必有極限,主要針對(duì)遞推數(shù)列,其步驟為:
(1)用數(shù)學(xué)歸納法或x■-x■≥0或■>1,證明其單調(diào)性.(2)用不等式放大縮小法證明數(shù)列的有界性.(3)令■x■=A,求解A的方程得A,即得■x■的值.
例2:設(shè)0
證明:由0
令■x■=A,在x■=■中令n∞,得
A=■,解得A=3/2,A=0(舍去),故■x■=■.
三、求數(shù)列n項(xiàng)和的極限
方法一:利用夾逼定理
例3:求■(■+■+…+■)
解:因?yàn)椤?/p>
而■■=1,■■=1,故由夾逼定理得原式=1.
方法二:利用拆項(xiàng)法
例4:■■■
解:由拆項(xiàng)法得■=■-■,■■=1+■-■-■
原式=■■■=■.
四、求數(shù)列n項(xiàng)積的極限
方法一:夾逼定理;
方法二:拆通項(xiàng)分解因式法,即使因子相乘,中間項(xiàng)抵消;
方法三:分子分母同乘以一因式,使其易求;
方法四:取對(duì)數(shù)法.
例5:■(1-■)(1-■)…(1-■)
由于1-■=■,故原式=■(■·■)(■·■)…(■·■)=■■·■=■.
五、利用等價(jià)無(wú)窮小及無(wú)窮小的性質(zhì)求極限
常見(jiàn)的等價(jià)無(wú)窮小:當(dāng)x0時(shí),(1)sinx~x;(2)tanx~x;(3)arctanx~x;(4)1-cosx~■x■;(5)■-1~■x;(6)e■-1~x;(7)arcsinx~x;(8)ln(1+x)~x.等價(jià)無(wú)窮小在作積商運(yùn)算的時(shí)候可以相互代替,對(duì)加減運(yùn)算不宜使用.
例6:■■
解:原式=■■=■■=■
六、冪指函數(shù)y=f(x)■求極限,常用取對(duì)數(shù)的方法
例7:■(sinx)■
解:用羅必塔法則
因?yàn)椤鰐anxlnsinx屬于∞·0型,■tanxlnsinx=■■=■■=■■=■-sinxcosx=0,原式=e■=e■=1.
合理選取有代表性的習(xí)題,往往能加深學(xué)生學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解與應(yīng)用,使學(xué)生能體會(huì)到定義、定理及推論的妙用,同時(shí)使學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力得到了發(fā)展,進(jìn)而提高了教學(xué)質(zhì)量.
參考文獻(xiàn):
[1]參韓飛,張漢平,胡方富.應(yīng)用經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué).湖南:湖南師范大學(xué)出版社,2011,8.
【關(guān)鍵詞】 高等數(shù)學(xué)；極限；教學(xué)
【基金項(xiàng)目】 國(guó)家自然科學(xué)基金青年基金（項(xiàng)目號(hào)：11501416）.
高等數(shù)學(xué)是大學(xué)非數(shù)學(xué)類專業(yè)的一門(mén)核心課程，一般在大學(xué)一年級(jí)開(kāi)設(shè).從內(nèi)容上講，高等數(shù)學(xué)既是中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的推廣和擴(kuò)展，又為后續(xù)各專業(yè)課程提供必要的基礎(chǔ)；從教學(xué)要求上講，高等數(shù)學(xué)通過(guò)介紹微積分學(xué)的理論與方法，力求培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力和邏輯推理能力，以期提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和應(yīng)用能力.鑒于高等數(shù)學(xué)的重要性，它一直是絕大多數(shù)專業(yè)研究生入學(xué)考試的必考科目.然而，教學(xué)實(shí)踐表明，學(xué)生對(duì)這門(mén)課的掌握程度完全沒(méi)有達(dá)到預(yù)期目標(biāo).很多學(xué)生“談高數(shù)而色變”，戲稱“從前有一棵高高的樹(shù)，上面掛了很多人”.因此，高等數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容改革和教學(xué)方法研究逐漸成了大家的研究熱點(diǎn).本文結(jié)合自身經(jīng)驗(yàn)，對(duì)極限概念的教學(xué)方面做了一些探討.
一、極限概念的重要性與教學(xué)要求
極限是微積分的主要理論基礎(chǔ)，高等數(shù)學(xué)中的后續(xù)概念如導(dǎo)數(shù)、積分、級(jí)數(shù)等都要以極限概念為基礎(chǔ)來(lái)建立，后續(xù)的諸多計(jì)算性質(zhì)也是由極限性質(zhì)來(lái)直接推出的.因此，如果極限概念掌握不好，后續(xù)學(xué)習(xí)將相當(dāng)困難.由于當(dāng)下高數(shù)課程的課時(shí)較為緊張，很多教師要么完全摒棄嚴(yán)格的極限概念，要么直接講嚴(yán)格的ε-N極限表達(dá)，這使得學(xué)生云里霧里，對(duì)后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)十分不利.
另一方面，按照高等數(shù)學(xué)的課程標(biāo)準(zhǔn)，教學(xué)中須遵循“以應(yīng)用為目的，以必需、夠用為度”的原則，注重理論聯(lián)系實(shí)際，強(qiáng)調(diào)對(duì)學(xué)生基本運(yùn)算能力和分析問(wèn)題、解決問(wèn)題能力的培養(yǎng)，以努力提高學(xué)生的數(shù)學(xué)修養(yǎng)和素質(zhì).因此，極限概念不宜講得過(guò)難，關(guān)鍵是要讓學(xué)生建立起極限思維和認(rèn)識(shí)到極限是一個(gè)變化過(guò)程.
二、極限概念的引入與建立
結(jié)合自身教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，筆者在教學(xué)中一般采取如下教學(xué)步驟：
（一）還原極限發(fā)展過(guò)程，引發(fā)學(xué)生興趣
自公元前三四世紀(jì)產(chǎn)生極限思想的萌芽到德國(guó)數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯給出課本上的嚴(yán)格定義，前后跨越兩千三百余年，極限理解之難可見(jiàn)一斑.在教學(xué)中，首先，我們粗略介紹極限概念的發(fā)展歷程，使學(xué)生不感枯燥且能體會(huì)極限的基本思想.比如，《九章算術(shù)》中用割圓術(shù)計(jì)算圓的面積時(shí)，提出的“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”.在教學(xué)中，我們介紹阿基里斯悖論后，很多學(xué)生就已產(chǎn)生興趣，覺(jué)得這是“不可能的”，但細(xì)想之下又覺(jué)得有一定道理，迫切想知道正確解釋.
（二）采用“導(dǎo)―學(xué)―研”模式，從感性到理性，逐步引導(dǎo)學(xué)生探索
《莊子》中記載“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”，將其用數(shù)列來(lái)描述，即每日的截取量為 1 2 ， 1 4 ， 1 8 ，…， 1 2n .第n天的截取量即為通項(xiàng)an= 1 2n .學(xué)生們可以很直觀地認(rèn)識(shí)到，隨著天數(shù)增加，所剩長(zhǎng)度越來(lái)越小，會(huì)無(wú)限地接近于零但又不為零，即“萬(wàn)世不竭”.由此，即可得到極限的描述性概念：給定一個(gè)數(shù)列{an}，隨著n越來(lái)越大時(shí)，若通項(xiàng)an無(wú)限地接近一個(gè)常數(shù)A，則稱該數(shù)列的極限為A，記作 lim n∞ an=A.此時(shí)，給出 lim n∞ 1 n =？學(xué)生立刻會(huì)答：“等于零.”這表明已經(jīng)建立了感性認(rèn)識(shí).
為了給出嚴(yán)格定義，可以提出問(wèn)題：如何定量地表達(dá)“接近”？什么叫“無(wú)限接近”？一般的，學(xué)生很容易想到利用距離的大小來(lái)衡量接近程度，部分學(xué)生也能想到“無(wú)限接近”指的是“要多近就有多近”.這就可以理解為給定一個(gè)規(guī)定的接近程度（用正數(shù)ε來(lái)刻畫(huà)接近程度），只要n很大，就一定可以達(dá)到該程度.對(duì)上例而言，若取ε=0.1，要想|an-A|= 1 n 10.換言之，只有從第十項(xiàng)開(kāi)始（我們用N=10來(lái)刻畫(huà)這個(gè)開(kāi)始下標(biāo)），才能達(dá)到該接近程度.于是，為了表達(dá)無(wú)限接近，只需要對(duì)給定的任意一個(gè)正數(shù)ε，都能找到這樣一個(gè)開(kāi)始下標(biāo)N，從第N項(xiàng)開(kāi)始，都有|an-A|= 1 n
至此，教師可以與學(xué)生一起將極限的描述性概念用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)：若對(duì)任給的ε>0，總存在一個(gè)正整數(shù)N，對(duì)任意的n>N，都有|an-A|
（三）用定義證明數(shù)列極限，強(qiáng)化理解
在公共數(shù)學(xué)的研究生入學(xué)考試中，一般不會(huì)考查嚴(yán)格的極限定義.雖然如此，我們還是認(rèn)為，應(yīng)當(dāng)適時(shí)地讓學(xué)生練習(xí)一下如何利用極限定 義來(lái)證明極限.如下的例1是今后計(jì)算極限時(shí)常用的結(jié)論，例2則是從小學(xué)時(shí)代就困惑的循環(huán)小數(shù)問(wèn)題.
例1 對(duì)給定的|q|
例2 記an= 0.99 … 9 n個(gè) ，有 lim n∞ an=1.
（四）趁熱打鐵，將數(shù)列極限概念推廣到函數(shù)極限
建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，知識(shí)不是通過(guò)教師傳授得到，而是學(xué)習(xí)者憑借原有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，在他人的幫助和引導(dǎo)下，通過(guò)意義建構(gòu)的方式而獲得的.在完成數(shù)列極限的概念后，我們發(fā)現(xiàn)數(shù)列極限包含兩個(gè)變化過(guò)程，一是自變量n的變換，一是函數(shù)值an的變化.這樣，我們很容易引導(dǎo)學(xué)生自己給出函數(shù)極限lim x+∞ f（x）=A的概念：就是隨著自變量x趨于正無(wú)窮大時(shí)，函數(shù)值f（x）無(wú)限接近于A.在此基礎(chǔ)上，逐步引導(dǎo)學(xué)生建立其他極限概念（包括x-∞，xa，xa+，xa-）.講解時(shí)可以利用圖形的直觀性來(lái)展示，此外還要特別注意引導(dǎo)學(xué)生了解本質(zhì)：就是隨著自變量x越來(lái)越接近某一值時(shí)，函數(shù)值無(wú)限趨近于某個(gè)常數(shù).
三、結(jié) 語(yǔ)
對(duì)極限是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，對(duì)這一概念掌握的好壞將直接影響后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)和理解，也將決定學(xué)生大學(xué)數(shù)學(xué)功底的修煉水平.本文通過(guò)極限部分教學(xué)中的一些具體問(wèn)題來(lái)探索教學(xué)方法.當(dāng)然，教無(wú)成法.要提高教學(xué)質(zhì)量，還要從多方面入手.筆者將不斷努力，積累教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，探索教學(xué)方法，以期從根本上提高教學(xué)效果，讓學(xué)生們真正熱愛(ài)數(shù)學(xué)！
【參考文獻(xiàn)】
[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)第六版[M].北京：北京高等教育出版社，2007.
[2]齊民友.從微積分的發(fā)展看微積分的教學(xué)[J].高等數(shù)學(xué)研究，2004（2）：2-6.
級(jí)數(shù)是指將數(shù)列的項(xiàng)依次用加號(hào)連接起來(lái)的函數(shù)。典型的級(jí)數(shù)有正項(xiàng)級(jí)數(shù)、交錯(cuò)級(jí)數(shù)、冪級(jí)數(shù)、傅里葉級(jí)數(shù)等。級(jí)數(shù)理論是分析學(xué)的一個(gè)分支；它與另一個(gè)分支微積分學(xué)一起作為基礎(chǔ)知識(shí)和工具出現(xiàn)在其余各分支中。二者共同以極限為基本工具，分別從離散與連續(xù)兩個(gè)方面，結(jié)合起來(lái)研究分析學(xué)的對(duì)象。
數(shù)列是以正整數(shù)集為定義域的函數(shù)，是一列有序的數(shù)。數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)。排在第一位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)，排在第二位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第2項(xiàng)，以此類推，排在第n位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)。
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高中極限知識(shí)是從推理與證明中的數(shù)學(xué)歸納法引入的，數(shù)學(xué)歸納法讓我們接觸到了極限的思想，其主要的概念為：（1）證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0時(shí)命題成立，一般情況下n0取值為1或2，但也有特殊情況，例如我們?cè)谘芯慷噙呅蝺?nèi)角和公式的時(shí)候n從3開(kāi)始；（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥n0）時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立。綜合以上兩點(diǎn)可得對(duì)于一切自然數(shù)n命題都成立。在求函數(shù)在某一點(diǎn)x0處的瞬時(shí)變化率的問(wèn)題中，一般取x0所在的一個(gè)區(qū)間，當(dāng)我們逐漸減小區(qū)間的長(zhǎng)度時(shí)，它在這個(gè)區(qū)間的平均變化率趨近于某一個(gè)固定的常數(shù)，這一常數(shù)就稱為在此點(diǎn)的瞬時(shí)變化率也就是函數(shù)在此點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，即f′（x）=這些思想都與函數(shù)極限的思想相吻合。下面介紹一下用函數(shù)極限的定義解有關(guān)函數(shù)極限問(wèn)題：
一、函數(shù)極限定義
1.x趨于∞時(shí)函數(shù)的極限
設(shè)f（x）為定義在[a，+∞）上的函數(shù)，A為定數(shù)，若對(duì)于？坌ε>0，都存在一個(gè)整數(shù)M（≥a），使得當(dāng)x>M時(shí)有|f（x）-A|
這里的正數(shù)M與數(shù)列極限定義中的N相類似（數(shù)列極限定義：？坌ε>0，？堝自然數(shù)N，當(dāng)n>N時(shí)，有|xn-a|
通過(guò)以上的例子，我們對(duì)于用定義法求函數(shù)極限有一定的理解，值得注意的是：
（1）定義中的正數(shù)δ，相當(dāng)于數(shù)列極限ε-N定義中的N，它依賴于ε，但也不是由ε所唯一確定，一般來(lái)說(shuō)，ε越小，δ也相應(yīng)地要小一些，而且把δ取的更小些也無(wú)妨。
（2）定義中只要求函數(shù)f（x）在x0的某一空心領(lǐng)域內(nèi)有定義，而一般不考慮f（x）在點(diǎn)x0處的函數(shù)值是否有定義，或者取什么值，這是因?yàn)?，?duì)于函數(shù)極限我們所研究的是當(dāng)x趨于x0過(guò)程中函數(shù)值的變化趨勢(shì)，如在例3中，函數(shù)在|f（x）-A|
（3）定義中的不等式00使得f（U0（xo；δ））？奐U（A；ε）。
